高考数学导数与三角函数压轴题综合归纳总结教师版
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导数与三角函数压轴题归纳总结
近几年的高考数学试题中频频出现含导数与三角函数零点问题,内容主要包括函数零点个数的确定、根据函数零点个数求参数范围、隐零点问题及零点存在性赋值理论.其形式逐渐多样化、综合化.
一、零点存在定理
例1.【2019全国Ⅰ理20】函数()sin ln(1)f x x x =-+,()f x '为()f x 的导数.证明:
(1)()f x '在区间(1,)2
π
-存在唯一极大值点;
(2)()f x 有且仅有2个零点.
【解析】(1)设()()g x f x '=,则()()()
2
11
cos ,sin 11g x x g x x x x '=-
=-+++. 当1,2x π⎛⎫∈- ⎪⎝
⎭时,()g'x 单调递减,而()00,02g g π⎛⎫
''>< ⎪⎝⎭,
可得()g'x 在1,2π⎛⎫
- ⎪⎝
⎭有唯一零点,设为α.
则当()1,x α∈-时,()0g x '>;当,2x πα⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时,()0g'x <.
所以()g x 在()1,α-单调递增,在,2πα⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减,故()g x 在1,2π⎛⎫
- ⎪⎝⎭存在唯一极大
值点,即()f x '在1,2π⎛⎫
- ⎪⎝
⎭存在唯一极大值点.
(2)()f x 的定义域为(1,)-+∞.
(i )由(1)知, ()f x '在()1,0-单调递增,而()00f '=,所以当(1,0)x ∈-时,()0f 'x <,故()f x 在(1,0)-单调递减,又(0)=0f ,从而0x =是()f x 在(1,0]-的唯一零点.
(ii )当0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭时,由(1)知,()f 'x 在(0,)α单调递增,在,2απ⎛⎫ ⎪⎝⎭
单调递减,而
(0)=0f ',02f π⎛⎫'< ⎪⎝⎭,所以存在,2πβα⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭,使得()0f 'β=,且当(0,)
x β∈时,()0f 'x >;当,2x πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0f 'x <.故()f x 在(0,)β单调递增,在,2πβ⎛⎫
⎪⎝⎭单调
递减.又(0)=0f ,1ln 1022f ππ⎛⎫⎛⎫
=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以当0,2x ⎛π⎤∈ ⎥⎝⎦
时,()0f x >.
从而()f x 在0,2π⎛⎤
⎥⎝⎦
没有零点.
(iii )当,2x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时,()0f x '<,所以()f x 在,2ππ⎛⎤
⎥⎝⎦单调递减.而
()0,02f f ππ⎛⎫>< ⎪⎝⎭ ,所以()f x 在,2ππ⎛⎤
⎥⎝⎦
有唯一零点. (iv )当(,)x ∈π+∞时,()l n 11x +>,所以()f x <0,从而()f x 在(,)π+∞没有零点.
综上, ()f x 有且仅有2个零点.
【变式训练1】【2020·天津南开中学月考】已知函数3()sin (),2
f x ax x a R =-∈且
在,0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上的最大值为32π-,
(1)求函数f (x )的解析式;
(2)判断函数f (x )在(0,π)内的零点个数,并加以证明 【解析】(1)由已知得()(sin cos )f x a x x x =+对于任意的x?(0, 2
π), 有sin cos 0x x x +>,当a=0时,f(x)=- 3
2
,不合题意; 当a<0时,x?(0,
2π),f'(x)<0,从而f(x)在(0, 2
π
)单调递减, 又函数3()sin 2f x ax x =- (a?R)在[0, 2
π
]上图象是连续不断的,
故函数在[0, 2π
]上的最大值为f(0),不合题意;
当a>0时,x?(0, 2π),f'(x)>0,从而f(x)在(0, 2
π
)单调递增,
又函数3()sin 2f x ax x =-(a?R)在[0, 2
π
]上图象是连续不断的,
故函数在[0, 2π]上上的最大值为f(2π)=2
πa-32=3
2π-,解得a=1,
综上所述,得3
()sin (),2f x x x a R =-∈;
(2)函数f(x)在(0,π)内有且仅有两个零点。证明如下:
由(I)知,3()sin 2f x ax x =-从而有f(0)=- 3
2<0,f(2
π)=π?32>0,
又函数在[0, 2π]上图象是连续不断的,所以函数f(x)在(0, 2
π
)内至少存在一个零
点,又由(I)知f(x)在(0, 2π)单调递增,故函数f(x)在(0, 2
π
)内仅有一个零点。
当x?[2π
,π]时,令g(x)=f'(x)=sinx+xcosx ,
由g(2π)=1>0,g(π)=?π<0,且g(x)在[2
π
,π]上的图象是连续不断的,
故存在m?2
π
,π),使得g(m)=0.
由g'(x)=2cosx-xsinx,知x?(2π,π)时,有g'(x)<0,从而g(x)在[2
π
,π]上单调递减。
当x?2π,m),g(x)>g(m)=0,即f'(x)>0,从而f(x)在(2π
,m)内单调递增
故当x?(2π,m)时,f(x)>f(π2)=π?32>0,从而(x)在(2
π
,m)内无零点;
当x?(m,π)时,有g(x) ,m)内单调递减。 又f(m)>0,f(π)<0且f(x)在[m,π]上的图象是连续不断的, 从而f(x)在[m,π]内有且仅有一个零点。 综上所述,函数f(x)在(0,π)内有且仅有两个零点。 【变式训练2】【2020·山东枣庄期末】已知函数()ln 2sin f x x x x =-+,()f x '为 ()f x 的导函数. (1)求证:()f x '在()0π,上存在唯一零点; (2)求证:()f x 有且仅有两个不同的零点. 【解析】(1)设()()1 12cos g x f x x x '== -+,