高考数学一轮复习第六篇不等式第4节基本不等式训练理新人教版

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优化探究高考数学一轮复习第六章第四节基本不等式

【优化探究】2017届高考数学一轮复习第六章第四节基本不等式课时作业理新人教A 版A 组考点能力演练1．(2016·汉中一模)“a ≥0，b ≥0”是“a ＋b2≥ab ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由a ≥0，b ≥0可得a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时取等号．反之，若a ＋b2≥ab ，则ab ≥0，可得a ≥0，b ≥0，故选C.答案：C2．(2016·杭州一模)设a >0，b >0.若a ＋b ＝1，则1a ＋1b的最小值是( )A ．2 B.14 C ．4D ．8解析：由题意1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋ab≥2＋2b a ×a b ＝4.当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝12时取等号，所以最小值为4.答案：C3．若a >0，b >0且a ＋b ＝7，则4a ＋1b ＋2的最小值为( )A.89 B ．1 C.98D.10277解析：本题考查利用基本不等式求最值．因为b ＝7－a ，所以4a ＋1b ＋2＝4a ＋19－a ＝19(a ＋9－a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋19－a ＝19⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋1＋49－aa＋a 9－a ≥19(4＋1＋4)＝1，当且仅当49－aa＝a9－a时取得等号，故选B.答案：B4．设x ，y ∈R ，a >1，b >1.若a x ＝b y ＝2，a 2＋b ＝4，则2x ＋1y的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由a x＝b y＝2得x ＝log a 2＝1log 2 a ，y ＝log b 2＝1log 2 b ，2x ＋1y＝2log 2 a ＋log 2 b ＝log 2 (a 2·b )≤log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b 22＝2(当且仅当a 2＝b ＝2时取等号)．答案：B5．若直线ax ＋by －1＝0(a >0，b >0)过曲线y ＝1＋sin πx (0<x <2)的对称中心，则1a ＋2b的最小值为( )A.2＋1 B ．4 2 C ．3＋2 2D ．6解析：本题考查三角函数的性质与基本不等式．注意到曲线y ＝1＋sin πx (0<x <2)的对称中心是点(1,1)，于是有a ＋b ＝1，1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ·(a ＋b )＝3＋b a ＋2a b ≥3＋22，当且仅当b a＝2a b ，即b ＝2a ＝2(2－1)时取等号，因此1a ＋2b的最小值是3＋22，故选C.答案：C6．(2016·济南一模)若实数x ，y 满足4x ＋4y ＝2x ＋1＋2y ＋1，则t ＝2x ＋2y的取值范围是________．解析：设a ＝2x ，b ＝2y ，则a >0，b >0，由条件得a 2＋b 2＝2(a ＋b )，∵(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ≤2(a 2＋b 2)，当且仅当a ＝b 时取等号，∴(a ＋b )2≤4(a ＋b )，∴a ＋b ≤4，又(a ＋b )2－2(a ＋b )＝2ab >0.∴a ＋b >2，∴2<a ＋b ≤4，即2<t ≤4.答案：(2,4]7．(2015·郑州二模)已知a ，b 均为正数，且2是2a ，b 的等差中项，则1ab的最小值为________．解析：由于2是2a ，b 的等差中项，故2a ＋b ＝4，又a ，b 均为正数，故2ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋b 22＝4，当且仅当2a ＝b ＝2，即a ＝1，b ＝2时取等号，所以1ab 的最小值为12.答案：128．已知函数y ＝log a x ＋1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线x m ＋y n－4＝0(m >0，n >0)上，则m ＋n 的最小值为________．解析：由题意可知函数y ＝log a x ＋1的图象恒过定点A (1,1)，∵点A 在直线x m ＋y n－4＝0上，∴1m ＋1n ＝4，∵m >0，n >0，∴m ＋n ＝14(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ≥14⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋2n m ·m n ＝1，当且仅当m ＝n ＝12时等号成立，∴m ＋n 的最小值为1.答案：19．已知x ，y ，z 是互不相等的正数，且x ＋y ＋z ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1x－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1z －1>8.证明：因为x ，y ，z 是互不相等的正数，且x ＋y ＋z ＝1，所以1x－1＝1－x x ＝y ＋z x >2yzx，①1y－1＝1－y y ＝x ＋z y >2xz y ，②1z－1＝1－z z＝x ＋y z>2xy z，③又x ，y ，z 为正数，由①×②×③，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1x－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1y－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1z－1>8.10．某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD ，公园由形状为长方形A 1B 1C 1D 1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A 1B 1C 1D 1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示)．(1)若设休闲区的长和宽的比|A 1B 1||B 1C 1|＝x (x >1)，求公园ABCD 所占面积S 关于x 的函数S (x )的解析式；(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A 1B 1C 1D 1的长和宽该如何设计？解：(1)设休闲区的宽为a 米，则长为ax 米，由a 2x ＝4 000，得a ＝2010x.则S (x )＝(a ＋8)(ax ＋20)＝a 2x ＋(8x ＋20)a ＋160＝4 000＋(8x ＋20)·2010x＋160＝8010⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5x ＋4 160(x >1)． (2)8010⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5x ＋4 160≥8010×22x ×5x＋4 160＝1 600＋4 160＝5 760，当且仅当2x ＝5x，即x ＝2.5时，等号成立，此时a ＝40，ax ＝100.所以要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1应设计为长100米，宽40米．B 组高考题型专练1．(2015·高考湖南卷)若实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为( )A. 2 B ．2 C ．2 2D ．4解析：由已知得1a ＋2b ＝b ＋2aab＝ab ，且a >0，b >0，∴ab ab ＝b ＋2a ≥22ab ，∴ab ≥2 2. 答案：C2．(2014·高考重庆卷)若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A ．6＋2 3 B ．7＋2 3 C ．6＋4 3D ．7＋4 3解析：由log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，得12log 2(3a ＋4b )＝12log 2(ab )，所以3a ＋4b ＝ab ，即3b ＋4a＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫3b ＋4a ＝3a b ＋4ba ＋7≥43＋7，当且仅当3ab ＝4b a，即a ＝23＋4，b ＝3＋23时取等号，故选D.答案：D3．(2015·高考陕西卷)设f (x )＝ln x,0<a <b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r <pB ．p ＝r <qC ．q ＝r >pD ．p ＝r >p解析：∵0<a <b ，∴a ＋b2>ab ，又f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增，故f (ab )<f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，即q >p ，∵r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝ln ab ＝f (ab )＝p ，∴p ＝r <q .故选B.答案：B4．(2015·高考山东卷)定义运算“⊗”：x ⊗y ＝x 2－y 2xy (x ，y ∈R ，xy ≠0)．当x >0，y >0时，x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为________．解析：因为x >0，y >0，所以x ⊗y ＋(2y )⊗x ＝x 2－y 2xy ＋4y 2－x 22xy ＝x 2＋2y 22xy ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋2y x ≥2，当且仅当x y＝2yx，即x ＝2y 时取等号．故x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为 2.答案： 2。

高考数学一轮复习第六篇不等式第4节基本不等式课件理新人教版

所以 a+b=(a+b)( 1 + 1 )=2+ a + b ≥2+2 a b =4(当且仅当 a=b=2 时取等号),故选 C.
ab
ba
ba
3.点(m,n)在直线x+y=1位于第一象限内的图象上运动,则log2m+log2n的最大
值是
.
解析:由条件知,m>0,n>0,m+n=1, 所以 mn≤ ( m n)2 = 1 ,
4 a
+
3 b
)=7+
4b a
+
3a b
≥7+2 4b 3a =7+4 3 ,当且仅当 4b = 3a 时取等号,故选 D.
ab
ห้องสมุดไป่ตู้
ab
答案:(1)D
(2)函数 y= (x 5)(x 2) (x>-1)的值域为
.
x 1
解析:(2)因为 x>-1,所以 x+1>0,令 m=x+1,则 m>0,且 y= (m 4)(m 1) =m+ 4 +5≥
第4节基本不等式
考纲展示 1.了解基本不等式的证明过程.
2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
知识梳理自测考点专项突破易混易错辨析
知识梳理自测
把散落的知识连起来
【教材导读】
1.不等式 a2+b2≥2ab 与 a+b≥2 ab 的应用条件是什么?
提示:在 a2+b2≥2ab 中,a,b∈R,而在 a+b≥2 ab 中要求 a>0,b>0.
24
当且仅当 m=n= 1 时上式取等号, 2

高考数学一轮复习 6.4 基本不等式精品课件理新人教A版

2 即a＝b时等号成立，又因为＋ab≥2 ab
2 1 1 2 ＝ab时等号成立，所以 2 ＋ 2 ＋ab≥ ＋ab≥2 2 ，当且仅当 ab a b ab
12＝ 12 a b 2 ＝ab ab
，即a＝b＝ 2时取等号．
4
即时训练
已知x>0，y>0，z>0.
y z x z x y 求证：( ＋ )( ＋ )( ＋ )≥8. x x y y z z
a＋b 1．“a>0且b>0”是“ ≥ ab”的( 2 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
)
a＋b a＋b 解析：∵a>0，b>0，显然有 ≥ ab ，而 ≥ ab 时， 2 2 a>0，b>0不一定成立，如a＝0，b>0时．
答案：A
2．下列不等式证明正确的是(
＋
)
A．若a，b∈R ，则lga＋lgb≥2 lgalgb b a B．若a，b∈R，则＋ ≥2 a b
＋
ab ·＝2 ba
－b － a b a C．若a∈R ，ab<0，则＋＝－( ＋ ) a b a b ≤－2 D. ab> －a －b · ＝－2 b a 2ab a＋b
解析：若0<a<1则lga<0，所以A错，若a，b异号，则B错，D 中需要同号．
证明：x>0，y>0，z>0， y z 2 yz ∴ ＋ ≥ >0， x x x x z 2 xz ＋ ≥ >0， y y y x y 2 xy ＋ ≥ >0. z z z
y z x z x y ( ＋ )( ＋ )( ＋ ) x x y y z z 8 yz· xz· xy ≥ ＝8. xyz 等号成立的条件是x＝y＝z，故原不等式得证．

高考数学一轮复习 6-4基本不等式及其应用课件理新人教A版

[变式探究3]
设a，b，c都是正数，求证：
bc a
＋
ac b
＋
acb≥a＋b＋c. 证明：(1)∵a，b，c都是正数，
∴bac，cba，acb都是正数．
∴bac＋cba≥2c，当且仅当a＝b时等号成立，
cba＋acb≥2a，当且仅当b＝c时等号成立，
acb＋bac≥2b，当且仅当a＝c时等号成立．三式相加，得2(bac＋cba＋acb)≥2(a＋b＋c)，即bac＋cba＋acb≥a＋b＋c，当且仅当a＝b＝c时等号成立.
(2)依题意并由(1)可得 60x，0≤x<20，
f(x)＝13x（200－x），20≤x≤200. 当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，其最大值为60×20＝1200；当20≤x≤200时，f(x)＝13x(200－x)≤ 13[x＋（2200－x）]2＝100300，
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(2)ab≤(a＋2 b)2(a，b∈R)．
(3)(a＋2 b)2≤a2＋2 b2(a，b∈R)．
(4)ba＋ab≥2(a·b>0)．
(5)1a＋2 1b≤ ab≤a＋2 b≤
a2＋2 b2(a>0，b>0)．
2．利用基本不等式求最值问题已知 x>0，y>0，则 (1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 x＝y 时，x＋y 有最小值是 2 p(简记：“积定和最小”)．
当且仅当x＝200－x，即x＝100时，等号成立．所以，当x＝100时，f(x)在区间[20，200]上取得最大值100300. 综上，当x＝100时，f(x)在区间[0，200]上取得最大值100300≈3333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．

2020版高考数学一轮复习第六章不等式、推理与证明第四节基本不等式学案理(含解析)新人教A版

第四节基本不等式2019考纲考题考情1．重要不等式a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )(当且仅当a ＝b 时等号成立)。

2．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0。

(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时等号成立。

(3)其中a ＋b2叫做正数a ，b 的算术平均数，ab 叫做正数a ，b 的几何平均数。

3．利用基本不等式求最大、最小值问题(1)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且xy ＝P (定值)，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2P 。

(简记：“积定和最小”)(2)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且x ＋y ＝S (定值)，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值S 24。

(简记：“和定积最大”)4．常用的几个重要不等式 (1)a ＋b ≥2ab (a ＞0，b ＞0)。

(2)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )。

(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )。

(4)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)。

以上不等式等号成立的条件均为a ＝b 。

1．应用基本不等式求最值要注意：“一正、二定、三相等”。

忽略某个条件，就会出错。

2．对于公式a ＋b ≥2ab ，ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，要弄清它们的作用、使用条件及内在联系，两个公式也体现了ab 和a ＋b 的转化关系。

3．在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式。

若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致。

一、走进教材1．(必修5P 99例1(2)改编)设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．80 B ．77 C ．81D ．82解析因为x >0，y >0，所以x ＋y2≥xy ，即xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max ＝81。

高考数学一轮复习第6章第4节基本不等式课件新人教A版

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【解析】应用基本不等式：x，y∈R＋，x＋2 y≥ xy(当且仅当 x＝y 时取等号)逐个分析，注意基本不等式的应用条件及取等号的条件．
当 x>0 时，x2＋14≥2·x·12＝x，所以 lgx2＋14≥lg x(x>0)，故选项 A 不正确；运用基本不等式时需保证一正二定三相等，而当 x≠kπ，k∈Z 时，sin x 的正负不定，故选项 B 不正确；由基本不
D 不正确，∵x＜0，∴－x＞0
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∴y＝2－3x－4x＝2＋－3x＋－4x≥2＋4 3.
当且仅当－3x＝－4x，即 x＝－233时等号成立．
(2)由 x＞0，y＞0，且 x＋3y＝5xy，得53x＋51y＝1.
∴3x＋4y＝(3x＋4y)53x＋51y
＝153＋35xy＋152xy≥153＋2 35xy·152xy＝5，
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3
由公式 a2＋b2≥2ab 和 ab≤a＋2 b可以引申出的常用结论
(1)ba＋ab≥2(a，b 同号)；
(2)ba＋ab≤－2(a，b 异号)；
(3)1a＋2 1b≤ ab≤a＋2 b≤
a2＋2 b2(a＞0，b＞0)(或 ab≤a＋2 b
2≤a2＋2 b2(a＞0，b＞0)．
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)
14
(2)(2014·贵阳模拟)若正数 x，y 满足 x＋3y＝5xy，则 3x＋4y
的最小值是( )
24 A. 5
28 B. 5
C．5
D．6
【思路点拨】 (1)借助均值不等式的使用条件“一正、二定、
三相等”逐一判断．(2)将条件变形53x＋51y＝1，然后注意“1”的代

2020版高考数学一轮复习第六章不等式、推理与证明6.4基本不等式课件理新人教版

考向三基本不等式与函数的综合应用【例 3】 (1)对函数 f(x)，如果存在 x0≠0 使得 f(x0)＝－f(－x0)，则称(x0，f(x0))与(－x0，f(－x0))为函数图象的一组奇对称点．若 f(x)＝ex－
a(e 为自然对数的底数)存在奇对称点，则实数 a 的取值范围是( B )
某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 x 吨，运费为 6 万元/ 次，一年的总存储费用为 4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之
和最小，则 x 的值是 30 .
解析：一年购买60x0次，则总运费与总存储费用之和为 f(x) ＝60x0×6＋4x＝490x0＋x≥8 90x0·x＝240，当且仅当 x＝30 时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时，x 的值是 30.
A．40
B．10
C．4
D．2
(2)(2019·南昌摸底调研)已知函数 y＝x＋x－m 2(x>2)的最小值为 6，
则正数 m 的值为 4 .
解析：(1)因为 x＋4y＝40，且 x>0，y>0，所以 x＋4y≥2 x·4y＝4 xy.(当且仅当 x＝4y 时取“＝”)所以 4 xy≤40.所以 xy≤100.所以 lgx＋lgy＝lgxy≤lg100＝2.所以 lgx＋lgy 的最大值为 2. (2)∵x>2，m>0，∴y＝x－2＋x－m 2＋2≥ 2 x－2·x－m 2＋2＝2 m＋2，当 x＝2＋ m时取等号，又函数 y＝x＋x－m 2(x>2)的最小值为 6，∴2 m＋2＝6，解得 m＝4.
【点评】本题解答的关键是将变量 a 拆解为 a－b＋b，以及拆项后的恰当组合，同时在利用基本不等式解题时要注意基本不等式适用的条件，即“一正、二定、三相等”；切记要注意等号成立的条件．

2019届高考理科数学(人教版)一轮复习练习第六篇第4节基本不等式 Word版含解析

()若由于地形限制,该池的长和宽都不能超过米,试设计污水处理池
的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价.
解:()设污水处理池的宽为米,则长为米. 总造价()×()××
() ≥ × , 当且仅当(>), 即时取等号. 所以当污水处理池的长为米,宽为米时总造价最低,总造价最低为元. ()由限制条件知所以≤≤. 设()(≤≤), ()在[]上是增函数, 所以当时(此时), ()有最小值,即()有最小值, 即() × () . 所以当污水处理池的长为米,宽为米时总造价最低,总造价最低为元.
() ≥ 解析:由,可得, 因为≤,当且仅当时取等号. 所以≥,
则≥ . 当异号时,不妨取,易知都不正确. 故选.
.导学号 (·枣庄一模)若正数满足 ,则的最小值是( ) () () () ()
解析:因为正数满足 ,
则()( ) ≥×
,
当且仅当时取等号.
所以的最小值是.
故选.
.导学号 (·山东平度二模)若直线 (>>)过点(),则最小值( ) () () () () 解析:因为直线(>>)过点(), 所以,即,
当且仅当时,等号成立.
即的最小值为. 答案
能力提升(时间分钟)
.若对于任意的>,不等式 () ()[ ∞) ()( ∞) ()( ∞, )()(∞, ]
≤恒成立,则实数的取值范围为
解析:由>
,
令 ,则≥ ,
当且仅当时取得最小值.此时
取得最大值 ,
所以对于任意的>,不等式
≤恒成立,则≥ .故选.
则的最小值为( ) () () () () 解析()(), 因为三点共线,所以()(),化为.

一轮复习理科第六篇不等式(必修5) 第4节基本不等式

2
2
(4) b + a ≥2(ab>0). ab
(5) 2 ≤ 11
ab ≤ a b ≤ 2
a2 b2 (a>0,b>0). 2
ab
对点自测
1.“a>0 且 b>0”是“ a b ≥ ab ”成立的( A )
2 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
3
(2) a 2 + b2 + c 2 ≥1. b ca
证明:(2)因为 a2 +b≥2a, b2 +c≥2b, c2 +a≥2c,
b
c
a
故 a2 + b2 + c2 +(a+b+c)≥2(a+b+c), b ca
即 a 2 + b2 + c2 ≥a+b+c. b ca
所以 a 2 + b2 + c 2 ≥1. b ca
考点二利用基本不等式证明不等式【例 2】已知 a>0,b>0,a+b=1,求证:(1) 1 + 1 + 1 ≥8;
a b ab
证明:(1) 1 + 1 + 1 = 1 + 1 + a b =2( 1 + 1 ).
a b ab a b ab
ab
因为 a+b=1,a>0,b>0,
所以 1 + 1 = a b + a b =2+ a + b ≥2+2=4,
3.(教材改编题)若 f(x)=x+ 1 (x>2)在 x=n 处取得最小值,则 n 等于( B )

高考数学一轮复习第六篇不等式第4节基本不等式训练理新人教版

第4节基本不等式基础巩固(时间:30分钟)1.已知f(x)=x+-2(x<0),则f(x)有( C )(A)最大值0 (B)最小值0(C)最大值-4 (D)最小值-4解析:因为x<0,所以f(x)=-(-x+)-2≤-2-2=-4,当且仅当-x=,即x=-1时取等号.选C.2.下列不等式一定成立的是( C )(A)lg(x2+)>lg x(x>0)(B)sin x+≥2(x≠kπ,k∈Z)(C)x2+1≥2|x|(x∈R)(D)>1(x∈R)解析:当x>0时,x2+≥2·=x,所以lg(x2+)≥lg x(x>0),故选项A不正确;当2kπ-π<x<2kπ,k∈Z时,sin x<0,sin x+<0,故选项B不正确;由基本不等式可知,选项C正确;当x=0时,有=1,故选项D不正确.故选C.3.若a,b∈R,ab≠0,且a+b=1,则下列不等式中,恒成立的是( B )(A)a2b2≤(B)a2+b2≥(C)(1+)(1+)≥9(D) +≥4解析:由a+b=1,可得a2+b2+2ab=1,因为2ab≤a2+b2,当且仅当a=b时取等号.所以2a2+2b2≥1,则a2+b2≥.当a,b异号时,不妨取a=-1,b=2,易知A,C,D都不正确.故选B.·枣庄一模)若正数x,y满足+=1,则3x+4y的最小值是( C ) (A)24 (B)28 (C)25 (D)26解析:因为正数x,y满足+=1,则3x+4y=(3x+4y)( +)=13++≥13+3×2=25,当且仅当x=2y=5时取等号.所以3x+4y的最小值是25.故选C.·山东平度二模)若直线2mx-ny-2=0 (m>0,n>0)过点(1,-2),则+最小值( D )(A)2 (B)6(C)12 (D)3+2解析:因为直线2mx-ny-2=0(m>0,n>0)过点(1,-2),所以2m+2n-2=0,即m+n=1,因为+=(+)(m+n)=3++≥3+2,当且仅当=,即n=m时取等号,所以+的最小值为3+2,故选D.6.(2017·河北邯郸一模)已知棱长为的正四面体ABCD(四个面都是正三角形),在侧棱AB上任取一点P(与A,B都不重合),若点P到平面BCD及平面ACD的距离分别为a,b,则+的最小值为( C )(A) (B)4 (C) (D)5解析:由题意可得, a·S△BCD+bS△ACD=h·S△BCD,其中S△BCD=S△ACD,h为正四面体ABCD的高.h==2,所以a+b=2.所以+= (a+b)( +)= (5++)≥ (5+2)=,当且仅当a=2b=时取等号.故选C.7.设x,y∈R,且xy≠0,则(x2+)(+4y2)的最小值为.解析:(x2+)(+4y2)=5++4x2y2≥5+2=9,当且仅当x2y2=时“=”成立.答案:98.(2017·洛阳二模)设a>0,b>0.若是3a与32b的等比中项,则+的最小值为.解析:根据题意,若是3a与32b的等比中项,则有3a+2b=3,则有a+2b=1;则+=(a+2b)( +)=4+(+)≥4+2=8,当且仅当a=2b=时,等号成立.即+的最小值为8.答案:8能力提升(时间:15分钟)9.若对于任意的x>0,不等式≤a恒成立,则实数a的取值范围为( A )(A)[,+∞) (B)(,+∞)(C)( -∞,) (D)(-∞,]解析:由x>0,=,令t=x+,则t≥2=2,当且仅当x=1时,t取得最小值2.此时取得最大值,所以对于任意的x>0,不等式≤a恒成立,则a≥.故选A.·揭阳一模)已知抛物线y=ax2+2x-a-1(a∈R),恒过第三象限上一定点A,且点A在直线3mx+ny+1=0(m>0,n>0)上,则+的最小值为( B )(A)4 (B)12(C)24 (D)36解析:抛物线y=ax2+2x-a-1(a∈R),即y+3=(x+1)(ax-a+2),所以A(-1,-3),所以m+n=,又+=+=6+3(+)≥6+6=12,当且仅当m=n时等号成立.故选B.11.(2017·山东淄博一模)设向量=(1,-2),=(a,-1),=(-b,0),其中O为坐标原点,a>0,b>0,若A,B,C三点共线,则+的最小值为( C )(A)4 (B)6 (C)8 (D)9解析:=(a-1,1),=(-b-1,2),因为A,B,C三点共线,所以2(a-1)-(-b-1)=0,化为2a+b=1.又a>0,b>0,则+=(2a+b)( +)=4++≥4+2=8,当且仅当b=2a=时取等号.故选C.12.(2017·江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是.解析:一年的总运费为6×=(万元).一年的总存储费用为4x万元.总运费与总存储费用的和为(+4x)万元.因为+4x≥2=240,当且仅当=4x,即x=30时取得等号,所以当x=30时,一年的总运费与总存储费用之和最小.答案:3013.已知x>0,y>0,且2x+5y=20.(1)求u=lg x+lg y的最大值;(2)求+的最小值.解:(1)因为x>0,y>0,所以由基本不等式,得2x+5y=20≥2.即xy≤10,当且仅当2x=5y时等号成立,此时x=5,y=2,所以u=lg x+lg y=lg(xy)≤lg 10=1.所以当x=5,y=2时,u=lg x+lg y有最大值1.(2)因为x>0,y>0,所以+=(+)·=(7++)≥(7+2)=,当且仅当=时等号成立.所以+的最小值为.14.某造纸厂拟建一座底面形状为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池,池的深度一定(平面图如图所示),如果池四周围墙建造单价为400元/米,中间两道隔墙建造单价为248元/米,池底建造单价为80元/平方米,水池所有墙的厚度忽略不计.(1)试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价;(2)若由于地形限制,该池的长和宽都不能超过16米,试设计污水处理池的长和宽,使总造价解:(1)设污水处理池的宽为x米,则长为米.总造价f(x)=400×(2x+)+248×2x+80×162=1 296x++12 960=1 296(x+)+12 960≥1 296×2+12 960=38 880,当且仅当x=(x>0),即x=10时取等号.所以当污水处理池的长为16.2米,宽为10米时总造价最低,总造价最低为38 880元. (2)由限制条件知所以≤x≤16.设g(x)=x+(≤x≤16),g(x)在[,16]上是增函数,所以当x=时(此时=16),g(x)有最小值,即f(x)有最小值,即f(x)min=1 296× (+)+12 960=38 882.所以当污水处理池的长为16米,宽为米时总造价最低,总造价最低为38 882元.。

高考一轮复习第6章不等式第4讲基本不等式

第四讲基本不等式知识梳理·双基自测知识梳理知识点一重要不等式a 2＋b 2≥_2ab__(a ，b ∈R)(当且仅当_a ＝b__时等号成立)．知识点二基本不等式ab ≤a ＋b2(均值定理)(1)基本不等式成立的条件：_a>0，b>0__； (2)等号成立的条件：当且仅当_a ＝b__时等号成立；(3)其中a ＋b2叫做正数a ，b 的_算术平均数__，ab 叫做正数a ，b 的_几何平均数__.知识点三利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且xy ＝P(定值)，那么当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2P.(简记：“积定和最小”) (2)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且x ＋y ＝S(定值)，那么当x ＝y 时，xy 有最大值S24.(简记：“和定积最大”)重要结论常用的几个重要不等式(1)a ＋b≥2ab(a>0，b>0)．(当且仅当a ＝b 时取等号) (2)ab≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)．(当且仅当a ＝b 时取等号)(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R)．(当且仅当a ＝b 时取等号) (4)b a ＋ab ≥2(a，b 同号)．(当且仅当a ＝b 时取等号)． (5)21a ＋1b≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b22(a ，b>0当且仅当a ＝b 时取等号)．双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数f(x)＝cos x ＋4cos x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2的最小值等于4.( × )(2)“x>0且y>0”是“x y ＋yx ≥2”的充要条件．( × )(3)(a ＋b)2≥4ab(a，b ∈R)．( √ ) (4)若a>0，则a 3＋1a2的最小值为2 a.( × )(5)不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b 2≥ab 有相同的成立条件．( × )(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．( √ ) 题组二走进教材2．(必修5P 100练习T1改编)若x<0，则x ＋1x ( D )A ．有最小值，且最小值为2B ．有最大值，且最大值为2C ．有最小值，且最小值为－2D ．有最大值，且最大值为－2 [解析] 因为x<0，所以－x>0，－x ＋1－x ≥2，当且仅当x ＝－1时，等号成立，所以x ＋1x≤－2. 3．(必修5P 100练习T3改编)设0<a<b ，则下列不等式中正确的是( B ) A ．a<b<ab<a ＋b2B ．a<ab<a ＋b2<b C ．a<ab<b<a ＋b2D ．ab<a<a ＋b2<b [解析] 解法一(特值法)：代入a ＝1，b ＝2，则有0<a ＝1<ab ＝2<a ＋b2＝1.5<b ＝2. 解法二(直接法)：我们知道算术平均数a ＋b2与几何平均数ab 的大小关系，其余各式作差(作商)比较即可，答案为B ．4．(必修5P 100A 组T2改编)若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_25__m 2.[解析] 设矩形的一边为x m ，面积为y m 2，则另一边为12×(20－2x)＝(10－x)m ，其中0<x<10，∴y ＝x(10－x)≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋10－x 22＝25，当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，y max ＝25. 题组三走向高考5．(2020·江苏，12,5分)已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R)，则x 2＋y 2的最小值是_45__.[解析] 由5x 2y 2＋y 4＝1知y≠0，∴x 2＝1－y 45y 2，∴x 2＋y 2＝1－y 45y 2＋y 2＝1＋4y 45y 2＝15y 2＋4y 25≥2425＝45，当且仅当15y 2＝4y 25，即y 2＝12，x 2＝310时取“＝”．故x 2＋y 2的最小值为45.6．(2019·天津，13)设x>0，y>0，x ＋2y ＝4，则x ＋12y ＋1xy 的最小值为_92__.[解析]x ＋12y ＋1xy ＝2xy ＋x ＋2y ＋1xy ＝2xy ＋5xy ＝2＋5xy.∵x>0，y>0，∴4＝x ＋2y≥2x·2y，解得0<xy≤2，当且仅当x ＝2y ＝2，即x ＝2且y ＝1时“＝”成立．此时1xy ≥12，∴2＋5xy ≥2＋52＝92，故x ＋12y ＋1xy 的最小值为92.考点突破·互动探究考点一利用基本不等式求最值——多维探究角度1 拼凑法求最值例1 (1)(2020·天津，14,5分)已知a>0，b>0，且ab ＝1，则12a ＋12b ＋8a ＋b 的最小值为_4__.(2)(2021·吉林模拟)已知x>2，若f(x)＝x ＋1x －2在x ＝n 处取得最小值，则n ＝( B )A ．52 B ．3 C ．72D ．4(3)(2021·重庆南开中学质检)已知实数a ，b>1，且满足ab －a －b ＝5，则2a ＋3b 的最小值为_17__. [解析] (1)12a ＋12b ＋8a ＋b ＝a ＋b 2ab ＋8a ＋b ＝a ＋b 2＋8a ＋b≥2a ＋b 2×8a ＋b ＝4，当且仅当a ＋b 2＝8a ＋b，即(a ＋b)2＝16，也即a ＋b ＝4时取等号．又∵ab ＝1，∴⎩⎨⎧a ＝2＋3，b ＝2－3或⎩⎨⎧a ＝2－3，b ＝2＋3时取等号，∴12a ＋12b ＋8a ＋b的最小值为4. (2)由f(x)＝x ＋1x －2＝(x －2)＋1x －2＋2≥4，当且仅当x －2＝1x －2>0，即x ＝3时，取得等号，故选B ．(3)由ab －a －b ＝5⇒6＝(a －1)(b －1) ⇒36＝(2a －2)(3b －3)≤⎝⎛⎭⎪⎫2a －2＋3b －322则2a ＋3b≥17，当且仅当a ＝4，b ＝3取最小值． [引申]f(x)＝x ＋1x －2的值域为_(－∞，0]∪[4，＋∞)__.[解析] f(x)＝(x －2)＋1x －2＋2， ∵|(x －2)＋1x －2|＝|x －2|＋1|x －2|≥2(当且仅当|x －2|＝1即x ＝3或1时取等号) ∴(x －2)＋1x －2≥2或x －2＋1x －2≤－2，∴f(x)≥4或f(x)≤0，即f(x)的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)．名师点拨拼凑法求最值的技巧(1)用均值定理求最值要注意三个条件：一正、二定、三相等．“一正”不满足时，需提负号或加以讨论，“二定”不满足时，需变形，“三相等”不满足时，可利用函数单调性．(2)求乘积的最值．同样要检验“一正、二定、三相等”，如例(2)的关键是变形，凑出积为常数．角度2 换元法求最值例2 (1)已知x>54，求函数y ＝16x 2－28x ＋114x －5的最小值；(2)(2021·百校联盟尖子生联考)已知a ，b ∈R ＋，且a ＋2b ＝ab －16，则ab 的最小值为( B ) A ．16 B ．32 C ．64D ．128[思路] (1)通过换元转化为形如Ax ＋Bx ＋C 形式的函数．[解析] (1)设4x －5＝t ，则x ＝t ＋54.∵x>54，∴t>0.∴y ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋542－28·t ＋54＋11t ＝t 2＋3t ＋1t＝t ＋1t＋3≥2＋3＝5.当且仅当t ＝1即x ＝32时，上式取“＝”号．∴x ＝32时，y min ＝5.(2)ab －16＝a ＋2b≥22ab ，令ab ＝t ，则t 2－22t －16≥0⇒t≥22＋722＝42，故ab≥32，即ab 最小值为32.(当且仅当a ＝8，b ＝4时取等号)故选B ． [答案] (1)5角度3 常数代换法求最值例3 (1)已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝4，则2x ＋1y 最小值为_2__；(2)已知正数x ，y 满足8x ＋1y ＝1，则x ＋2y 的最小值为_18__.[思路] (2)先利用乘常数法或消元法，再利用基本不等式求解最值． [解析] (1)2x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y (x ＋2y)×14＝14⎝⎛⎭⎪⎫4＋x y ＋4y x ≥14⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋2x y ·4y x ＝2. 当且仅当x y ＝4yx ，即⎩⎪⎨⎪⎧4y 2＝x 2，x ＋2y ＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1时取等号．(2)解法一：x ＋2y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋1y ·(x ＋2y)＝10＋x y ＋16y x ≥10＋2x y ·16yx＝18，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧8x ＋1y ＝1，x y ＝16y x即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝3时“＝”成立，故x ＋2y 的最小值是18.解法二(消元法)：由8x ＋1y ＝1，得y ＝x x －8，由y>0⇒x x －8>0，又x>0⇒x>8，则x ＋2y ＝x ＋2xx －8＝x ＋2x －8＋16x －8＝x ＋2＋16x －8＝(x －8)＋16x －8＋10≥2x －8·16x －8＋10＝18，当且仅当x －8＝16x －8，即x ＝12(x ＝4舍去)，y ＝3时，“＝”成立，故x ＋2y 的最小值为18.名师点拨常数代换法的技巧(1)常数代换法就是利用常数的变形以及代数式与“1”的积、商都是自身的性质，通过代数式的变形构造和式或积式为定值，然后利用基本不等式求最值．(2)利用常数代换法求解最值应注意：①条件的灵活变形，常数化成1是代数式等价变形的基础；②利用基本不等式求最值时“一正、二定、三相等”的检验，否则容易出现错解．〔变式训练1〕(1)(角度1)(2021·宁夏银川一中月考)已知正数x 、y 满足x ＋y ＝1，则1x ＋41＋y 的最小值为( B )A ．2B ．92 C ．143D ．5(2)(角度2)(2021·山东师大附中模拟)若正数x ，y 满足x ＋5y ＝3xy ，则5x ＋y 的最小值为_12__； (3)(角度3)(2020·天津七校期中联考)已知a>0，b>0，且1a ＋1＋1b ＝1，求a ＋b 的最小值_3__.[解析] (1)∵x ＋y ＝1，所以x ＋(1＋y)＝2，则2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋41＋y ＝[x ＋(1＋y)]⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋41＋y ＝4x 1＋y ＋1＋y x ＋5≥24x 1＋y ·1＋yx＋5＝9，所以1x ＋41＋y ≥92，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧4x 1＋y＝1＋y x x ＋y ＝1，即当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23y ＝13时取等号∴1x ＋41＋y 的最小值为92，故选B ． (2)∵x>0，y>0，x ＋5y ＝3xy ，即5x ＋1y ＝3，∵5x ＋y ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1y (5x ＋y)＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫26＋5y x ＋5x y≥13⎝⎛⎭⎪⎫26＋25y x ·5x y ＝12， (当且仅当x ＝y ＝2时取等号) ∴5x ＋y 的最小值为12，另解：∵x>0，y>0，x ＋5y ＝3xy ，即x ＝5y3y －1，令3y －1＝t ，则y ＝t ＋13，(t>0)，∴5x ＋y ＝25y 3y －1＋y ＝253⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1t ＋t ＋13＝263＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫25t ＋t ≥263＋2325t·t＝12. (当且仅当t ＝5，即x ＝y ＝2时取等号) ∴5x ＋y 的最小值为12. (3)∵a>0，b>0，且1a ＋1＋1b ＝1，∴a ＋b ＝[(a ＋1)＋b]－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋1b [(a ＋1)＋b]－1＝b a ＋1＋a ＋1b＋1≥2b a ＋1·a ＋1b＋1＝3，当且仅当a ＋1＝b ，即a ＝1，b ＝2时取等号， ∴a ＋b 的最小值为3，另解：(换元法)由1a ＋1＋1b ＝1得b ＝1＋1a ，(a>0)，∴a ＋b ＝a ＋1a＋1≥2a ·1a＋1＝3，当且仅当a ＝1，b ＝2时取等号， ∴a ＋b 的最小值为3.考点二利用基本不等式求参数的范围——师生共研例4 若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则 (1)ab 的取值范围是_[9，＋∞)__； (2)a ＋b 的取值范围是_[6，＋∞)__. [解析] (1)∵ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，令t ＝ab>0，∴t 2－2t －3≥0，∴(t －3)(t ＋1)≥0. ∴t≥3即ab ≥3，∴ab≥9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号． (2)∵ab ＝a ＋b ＋3，∴a ＋b ＋3≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22.令t ＝a ＋b>0，∴t 2－4t －12≥0，∴(t －6)(t ＋2)≥0. ∴t≥6即a ＋b≥6，当且仅当a ＝b ＝3时取等号．名师点拨利用方程的思想是解决此类问题的常规解法．另外，本例第二问也可用如下方法求解：由已知b ＝a ＋3a －1>0，∴a －1>0，∴a ＋b ＝a ＋a ＋3a －1＝a ＋a －1＋4a －1＝a ＋1＋4a －1＝(a －1)＋4a －1＋2≥6.当且仅当a ＝b ＝3时取等号．〔变式训练2〕(2020·黑龙江哈尔滨三中期中)已知x>0，y>0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是_4__. [解析] 解法一：∵x>0，y>0，x ＋2y ＋2xy ＝8. ∴(2y ＋1)(x ＋1)＝9且x ＋1>0,2y ＋1>0 ∴x ＋2y ＝(2y ＋1)＋(x ＋1)－2≥22y ＋1·x ＋1－2＝4.(当且仅当x ＝2，y ＝1时取等号)∴x ＋2y 的最小值为4. 解法二：∵x>0，y>0，∴2xy≤⎝ ⎛⎭⎪⎫2y ＋x 22＝2y ＋x42(当且仅当x ＝2，y ＝1时取等号)又x ＋2y ＋2xy ＝8， ∴x ＋2y ＋x ＋2y 42≥8，∴(x ＋2y －4)(x ＋2y ＋8)≥0， ∴x ＋2y －4≥0，即x ＋2y≥4 (当且仅当x ＝2，y ＝1时取等号) ∴x ＋2y 的最小值为4.解法三：∵x>0，y>0，x ＋2y ＋2xy ＝8， ∴x ＝8－2y 1＋2y ＝92y ＋1－1，∴x ＋2y ＝92y ＋1＋(2y ＋1)－2≥292y ＋1·2y ＋1－2＝4(当且仅当y ＝1时取等号)∴x ＋2y 的最小值为4.秒杀解法：x ＋2y ＋2xy ＝8，即x ＋2y ＋x·2y＝8.由条件及结论关于x 、2y 的对称性知当x ＝2y ＝2时x ＋2y 取最小值为4.考点三利用基本不等式解决实际问题——师生共研例5 某人准备在一块占地面积为1 800 m 2的矩形地块中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1 m 的小路(如图所示)，大棚总占地面积为S m 2，其中a ︰b ＝1︰2，则S 的最大值为_1_568__.[解析] 由题意可得xy ＝1 800，b ＝2a ，x>3，y>3，则y ＝a ＋b ＋3＝3a ＋3，所以S ＝(x －2)a ＋(x －3)b ＝(3x －8)a＝(3x －8)y －33＝1 808－3x －83y＝1 808－3x －83×1 800x＝1 808－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋4 800x ≤1 808－23x ×4 800x＝1 808－240＝1 568，当且仅当3x ＝4 800x ，即x ＝40，y ＝45时等号成立，S 取得最大值，所以当x ＝40，y ＝45时，S 取得最大值为1 568.名师点拨应用基本不等式解决实际问题的步骤：①仔细阅读题目，深刻理解题意；②找出题目中的数量关系，并设出未知数，并用它表示其它的量，把要求最值的量设为函数；③利用基本不等式求出最值；④再还原成实际问题，作出解答．〔变式训练3〕某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4 800 m 3，深度为3 m ．如果池底每1 m 2的造价为150元，池壁每1 m 2的造价为120元，要使水池总造价最低，那么水池底部的周长为_160__m.[解析] 设水池底面一边的长度为x m ，则另一边的长度为4 8003x m ，由题意可得水池总造价f(x)＝150×4 8003＋120⎝⎛⎭⎪⎫2×3x＋2×3×4 8003x ＝240 000＋720⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1 600x (x>0)，则f(x)＝720⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1 600x ＋240 000 ≥720×2x ·1 600x＋240 000＝720×2×40＋240 000＝297 600，当且仅当x ＝1 600x ，即x ＝40时，f(x)有最小值297 600，此时另一边的长度为4 8003x＝40(m)，因此，要使水池的总造价最低，水池底部的周长应为160 m.名师讲坛·素养提升基本不等式的综合应用角度1 基本不等式与其他知识交汇的最值问题例6 设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和是S n ，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n 的最小值是_92__.[解析] a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，S n ＝n1＋n2，所以S n ＋8a n ＝n1＋n2＋8n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋16n ＋1≥12⎝⎛⎭⎪⎫2n ·16n ＋1＝92，当且仅当n ＝4时取等号，所以S n ＋8a n 的最小值是92.角度2 求参数值或取值范围例7 已知不等式(x ＋y)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( B ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8[解析] 已知不等式(x ＋y)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，只要求(x ＋y)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y 的最小值大于或等于9，∵1＋a ＋y x ＋axy ≥a＋2a ＋1，当且仅当y ＝ax 时，等号成立，∴a ＋2a ＋1≥9，∴a ≥2或a ≤－4(舍去)，∴a≥4，即正实数a 的最小值为4，故选B ．名师点拨求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．〔变式训练4〕(1)(角度1)已知函数f(x)＝ax 2＋bx(a>0，b>0)的图象在点(1，f(1))处的切线的斜率为2，则8a ＋b ab 的最小值是( B )A ．10B ．9C ．8D ．3 2(2)设x>0，y>0，不等式1x ＋1y ＋mx ＋y≥0恒成立，则实数m 的最小值是_－4__.[解析] (1)由函数f(x)＝ax 2＋bx ，得f′(x)＝2ax ＋b ，由函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线斜率为2，所以f′(1)＝2a ＋b ＝2，所以8a ＋b ab ＝1a ＋8b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋8b (2a ＋b) ＝12⎝⎛⎭⎪⎫10＋b a ＋16a b ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫10＋2b a ·16a b ＝12(10＋8)＝9，当且仅当b a ＝16a b ，即a ＝13，b ＝43时等号成立，所以8a ＋b ab的最小值为9，故选B ． (2) 原问题等价于m x ＋y ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y 恒成立， ∵x>0，y>0，∴等价于m≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y (x ＋y)的最大值．而－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y (x ＋y)＝－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋x y ≤－2－2＝－4，当且仅当x ＝y 时取“＝”，故m≥－4.。

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