高考数学一轮复习第六篇不等式第4节基本不等式训练理新人教版

第4节基本不等式

知识点、方法题号

利用基本不等式比较大小、证明2,3

利用基本不等式求最值1,4,7,9,11,13

基本不等式的实际应用6,12,14

基本不等式的综合应用5,8,10

基础巩固(时间:30分钟)

1.已知f(x)=x2(x<0),则f(x)有( C )

(A)最大值0 (B)最小值0

(C)最大值4 (D)最小值4

解析:因为x<0,所以f(x)=(x)2≤=4,当且仅当x=,即x=1时取等号.

选C.

2.下列不等式一定成立的是( C )

(A)lg(x2)>lg x(x>0)

(B)sin x≥2(x≠kπ,k∈Z)

(C)x21≥2|x|(x∈R)

(D)>1(x∈R)

解析:当x>0时,x2≥2·=x,所以lg(x2)≥lg x(x>0),故选项A不正确当2kππ

有=1,故选项D不正确.

故选C.

3.若a,b∈R,ab≠0,且ab=1,则下列不等式中,恒成立的是( B )

(A)a2b2≤

(B)a2b2≥

(C)(1)(1)≥9

(D) ≥4

解析:由ab=1,可得a2bab=1,

因为2ab≤a2b2,当且仅当a=b时取等号.

所以2ab2≥1,

则a2b2≥.

当a,b异号时,不妨取a=1,b=2,易知A,C,D都不正确.

故选B.

4.导学号 38486112(2017·枣庄一模)若正数x,y满足=1,则3x4y的最小值是( C )

(A)24 (B)28 (C)25 (D)26

解析:因为正数x,y满足=1,

则3x4y=(3x4y)( )=13≥133×2=25,

当且仅当x=2y=5时取等号.

所以3x4y的最小值是25.

故选C.

5.导学号 38486113(2017·平度二模)若直线2mxny2=0 (m>0,n>0)过点(1,2),则最小值

( D )

(A)2 (B)6

(C)12 (D)32

解析:因为直线2mxny2=0(m>0,n>0)过点(1,2),

所以2m2n2=0,即mn=1,

因为=()(mn)=3≥32,

当且仅当=,即n=m时取等号,

所以的最小值为32,

故选D.

6.(2017·河北邯郸一模)已知棱长为的正四面体ABCD(四个面都是正三角形),在侧棱AB

上任取一点P(与A,B都不重合),若点P到平面BCD及平面ACD的距离分别为a,b,则的最小值为( C )

(A) (B)4 (C) (D)5

解析:由题意可得, a·S△BCD bS△ACD=h·S△BCD,其中S△BCD=S△ACD,h为正四面体ABCD的高.

h==2,

所以ab=2.

所以= (ab)( )= (5)≥ (52)=,

当且仅当a=2b=时取等号.

故选C.

7.设x,y∈R,且xy≠0,则(x2)(4y2)的最小值为.

解析:(x2)(4y2)=54x2y2≥52=9,当且仅当x2y2=时“=”成立.

答案:9

8.(2017·洛阳二模)设a>0,b>0.若是3a与32b的等比中项,则的最小值为.

解析:根据题意,若是3a与32b的等比中项,

则有3a2b=3,则有a2b=1

则=(a2b)( )=4()≥42=8,

当且仅当a=2b=时,等号成立.

即的最小值为8.

答案:8

能力提升(时间:15分钟)

9.若对于任意的x>0,不等式≤a恒成立,则实数a的取值范围为( A )

(A)[,∞) (B)(,∞)

(C)( ∞,) (D)(∞,]

解析:由x>0,=,

令t=x,则t≥2=2,

当且仅当x=1时,t取得最小值2.此时取得最大值,

所以对于任意的x>0,不等式≤a恒成立,则a≥.故选A.

10.导学号 38486114(2017·揭阳一模)已知抛物线y=axxa1(a∈R),恒过第三象限上一定点

A,且点A在直线3mxny1=0(m>0,n>0)上,则的最小值为( B )

(A)4 (B)12

(C)24 (D)36

解析:抛物线y=axxa1(a∈R),

即y3=(x1)(axa2),

所以A(1,3),所以mn=,

又==63()≥66=12,

当且仅当m=n时等号成立.

故选B.

11.(2017·淄博一模)设向量=(1,2),=(a,1),=(b,0),其中O为坐标原点,a>0,b>0,若A,B,C三点共线,则的最小值为( C )

(A)4 (B)6 (C)8 (D)9

解析:=(a1,1),=(b1,2),

因为A,B,C三点共线,所以2(a1)(b1)=0,化为2ab=1.

又a>0,b>0,则=(2ab)( )=4≥42=8,当且仅当b=2a=时取等号.

故选C.

12.(2017·江苏卷)某一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是.

解析:一年的总运费为6×=(万元).

一年的总存储费用为4x万元.

总运费与总存储费用的和为(4x)万元.

因为4x≥2=240,

当且仅当=4x,

即x=30时取得等号,

所以当x=30时,一年的总运费与总存储费用之和最小.

答案:30

13.已知x>0,y>0,且2x5y=20.

(1)求u=lg xlg y的最大值