代几综合试题(1)

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中考压轴题代几综合题

❖ 当函数与几何图形相结合时，关键是要做好点的坐标与线段长的互相转化，同时还要考虑分类讨论．
❖ 分类讨论是要依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类原则是不重不漏、最简.
分类常见的依据是：
❖ 一是依概念分类，如判断直角三角形时明确哪个角可以是直角，两个三角形相似时分清谁与谁可以是对应角；
在中考试卷中，代成.
► 热考一坐标系中的几何问题
❖ 本类题通常先给定函数解析式和几何图形，由几何图形的性质或解析法确定待定系数所需的条件，求出函数解析式，然后根据所求的函数关系进行探索研究．探索研究的一般类型有：①在什么条件下三角形是等腰三角形、直角三角形；②四边形是菱形、梯形等；③探索两个三角形满足什么条件相似；④ 探究线段之间的位置关系等．
❖ 二是依运动变化的图形中的分界点进行分类，如一个图形在运动过程中，与另一个图形重合部分可以是三角形，也可以是四边形、五边形等；
❖ 三是依据图形间的位置关系，如点在线段上(不与端点重合)、点与端点重合、点在线段延长线上等．
► 热考二动点问题
❖ 解决动态几何问题我们需要用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握图形运动与变化的全过程，抓住其中的等量关系和变量关系，并特别关注一些不变量和不变关系或特殊关系；在求有关图形的变量之间关系时，通常建立函数模型或不等式模型来求解；求图形之间的特殊数量关系和一些特殊值时，通常建立方程模型求解
二、应用举例 [2012·北京]
在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y＝－m－4 1x2＋54mx＋m2－3m ＋2 与 x 轴的交点分别为原点 O 和点 A，点 B(2，n)在这条抛物线上.
(1) 求 B 点的坐标；(2) 点 P 在线段 OA 上，从 O 点出发向 A 点运动，过 P 点作 x 轴的垂线，与直线 OB 交于点 E，延长 PE 到点 D，

2014年初三数学期末试题分类汇编_代几综合

2014年1月期末试题分类汇编——代几综合（2014·石景山1月期末·26.）已知点)2,2(-A 和点),4(n B -在抛物线)0(2≠=a ax y 上. （1）求a 的值及点B 的坐标；（2）点P 在y 轴上，且满足△ABP 是以AB 为直角边的直角三角形，求点P 的坐标; （3）平移抛物线)0(2≠=a ax y ，记平移后点A 的对应点为'A ，点B 的对应点为'B .点M （2,0）在x 轴上，当抛物线向右平移到某个位置时，''MB M A +最短，求此时抛物线的函数解析式.26．解：（1）21-=a ……………………1分抛物线解析式为：221x y -=)8,4(--B ……………………2分 (2) 记直线AB 与x 、y 轴分别交于C 、D 两点，4:则-=x y AB 直线)4,0(、)0,4(-D C ………………………3分 ︒=∠∴=∆45中，ODA DO OC COD Rt ， ①以A 为直角顶点，则︒=∠901AB P ︒=∠∆45中，11DA P AD P Rt 则2245cos 1=︒=D P AD421==∴AD D P 又),4，0(-D)0，0(1P ∴…………………4分 ②以B 为直角顶点，则︒=∠902DBP ︒=∠=∠∆45中，22ODC BDP DBP Rt 822==∴BD DP )12，0(-∴P ………………………5分)12-，0(或)0，0(综上，P ∴（3）记点A 关于x 轴的对称点为)2，2(E 则BE: 3435-=x y令y=0,得54=x 即BE 与x 轴的交点为)0,54(Q ……6分56542=-=MQ故抛物线221x y -=向右平移56个单位时''MB M A +最短此时，抛物线的解析式为2)56(21--=x y …………………7分（2014·西城1月期末·25）已知：二次函数224y ax ax =+-(0)a ≠的图象与x 轴交于点A ，B （A 点在B 点的左侧），与y 轴交于点C ，△ABC 的面积为12．②求二次函数的解析式；（2）点D 的坐标为（－2，1），点P 在二次函数图象上，∠ADP 为锐角，且tan 2ADP ∠=，求点P 的横坐标；（3）点E 在x 轴的正半轴上，o 45OCE ∠>，点O 与点O '关于EC 所在直线对称．作ON ⊥EO '于点N ，交EC 于点M ．若EM ·EC ＝32，求点E 的坐标．25．解：（1）①该二次函数图象的对称轴为直线1x =-； ............................................... 1分②∵ 当x =0时，y =－4， ∴ 点C 的坐标为(04)-，．∵ ABC S ∆.................................... 2分（2）如图，作(ⅰ)在Rt △ADF 中，o 90AFD ∠=，得tan 2ADF DF∠==．延长DF 与抛物线交于点P 1，则P 1点为所求． ∴ 点P 1的坐标为(24)--，．....................................................................... 3分 (ⅱ)当点P 在直线AD 的上方时，延长P 1A 至点G 使得AG =AP 1，连接DG ，作GH ⊥x 轴于点H ，如图所示．可证 △GHA ≌△1PFA ． ∴ HA =AF ，GH = P 1 F ，GA =P 1A ．又∵ (40)A -，，1(2P --，∴ 点G 的坐标是(64)-，在△ADP 1中，DA =DP 1＝５，1AP =，∴ 22211DA AP DP +=．∴ 1o 90DAP ∠=．∴ DA ⊥1GP ． ∴ 1DG DP =． ∴ 1ADG ADP ∠=∠．∴ 1tan tan 2ADG ADP ∠=∠=．P 2，则P 2点为所求．作DK 2S ∥GK 交DK 于点S ．设P 4)x +-，则2221141522S x x x x P =+--=+-，2DS x =--．由2P S DS GK DK=，3GK =，4DK =，得2152234x x x +---=．................................................... 5分（3∴ O O '⊥CE ，OCE ∠=∠O 'CE ，∠C O 'E o 90COE =∠=．∴ O 'C ⊥O 'E ． ∵ ON ⊥O 'E ， ∴ O 'C ∥O N ． ∴ OMC ∠=∠O 'C E OCE =∠． ∴ OC OM =． ........................................................................................................ 6分 ∴ CT MT =．∵ 在Rt △ETO 中，o 90ETO ∠=，cos ETOEC OE ∠=，在Rt △COE 中，o 90COE ∠=，cos OEOEC EC∠=，∴ OE ET EC OE =． ∴ 2OE ET EC =⋅()EM TM EC =+⋅EM EC TM EC =⋅+⋅ 32TM EC =+⋅．同理 2OC CT EC =⋅TM EC =⋅16=． ∴ 2321648OE =+=． ∵ 0OE >，∴ OE =．，................................................................................ 8分（2014·海淀1月期末·25）如图1，已知二次函数232y x bx b =++的图象与x 轴交于A 、B 两点(B 在A 的左侧)，顶点为C ，点D （1，m ）在此二次函数图象的对称轴上，过点D 作y 轴的垂线，交对称轴右侧的抛物线于E 点．（1）求此二次函数的解析式和点C 的坐标；（2）当点D 的坐标为（1，1）时，连接BD 、BE ．求证：BE 平分ABD ∠；（3）点G 在抛物线的对称轴上且位于第一象限，若以A 、C 、G 为顶点的三角形与以G 、D 、E 为顶点的三角形相似，求点E 的横坐标．图1备用图1 备用图225. （本小题满分8分）解：（1）∵点D （1，m ）在232y x bx b =++图象的对称轴上， ∴112b -=． ∴2b =-．∴二次函数的解析式为223y x x =--．………………………………………1分 ∴C （1，-4）． …………………………………………………………………2分（2）∵D （1，1），且DE 垂直于y 轴， ∴点E 的纵坐标为1，DE 平行于x 轴． ∴DEB EBO ∠=∠．令1y =，则2231x x --=，解得121x x==∵点E 位于对称轴右侧，∴E (1 1)． ∴D E令0y =，则223=0x x --，求得点A 的坐标为（3,0），点B 的坐标为（-1,0）． ∴BD =．∴BD = D E ．……………………………………………………………………3分∴ DEB DBE ∠=∠． ∴ DBE EBO ∠=∠．∴BE 平分ABD ∠．……………………………………………………………4分（3）∵以A 、C 、G 为顶点的三角形与以G 、D 、E 为顶点的三角形相似，且△GDE 为直角三角形， ∴△ACG 为直角三角形． ∵G 在抛物线对称轴上且位于第一象限， ∴90CAG ∠=．∵A （3,0）C （1，-4），AF CG ⊥, ∴求得G 点坐标为（1，1）． ∴AG AC = ∴AC =2 AG .∴GD =2 DE 或 DE =2 GD .图1图2设()2, 23E t t t --（t >1），1︒.当点D 在点G 的上方时，则DE=t -1，GD = (223t t --)1-=224t t --. i. 如图2，当 GD =2 DE 时，则有， 224t t --= 2(t -1).解得，=2t 舍负)………………………5分ii. 如图3，当DE =2GD 时，则有，t -1=2(224t t --). 解得，127=1=2t t -，.(舍负)…………………6分 2︒. 当点D 在点G 的下方时，则DE=t -1，GD =1- (223t t --)= -2+2+4t t . i. 如图4，当 GD =2 DE 时，则有， 2+2+4t t -=2（t -1）.解得，=t 舍负) ………………………7分 ii. 如图5，当DE =2 GD 时，则有，t -1=2（2+2+4t t -）. 解得，123=3=2t t -，.(舍负) …………………8分综上，E点的横坐标为或723.（2014·朝阳1月期末·24）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2(2)2y mx m x =+++过点(2,4)，且与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C .点D 的坐标为(2,0)，连接CA ，CB ，CD .（1）求证：ACO BCD ∠=∠；（2）P 是第一象限内抛物线上的一个动点，连接DP 交B C 于点E . ①当△BDE 是等腰三角形时，直接写出点E 的坐标； ②连接CP ，当△CDP 的面积最大时，求点E 的坐标.图3图4图524.解：（1）∵抛物线y = mx 2+(m +2)x +2过点（2，4）， ∴13m =-． ∴抛物线表达式为215233y x x =-++． ………………………1分 ∴A (－1，0)，B (6，0)，C (0，2) ．作BM ⊥CD ，交CD 延长线于点M ，在Rt △DOC 中，∵OC =OD =2，∴∠CDO ＝∠BDM ＝45o ，CD = 在Rt △BMD 中， ∵BD =4，∴DM =BM =在Rt △CMB 中，1tan2BM BCM CM ∠===．在Rt △AOC 中，1tan 2OA ACO OC ∠==． ∴tan ∠BCM ＝tan ∠ACO ．∴∠BCD ＝∠ACO ． ………………………………………………2分（2）①12(4,)3E ，2(6E ． ……………………………………4分②设215(,2)33P x x x -++，过点P 作x 轴的垂线，垂足为点F ，交CD 延长线于点Q ，直线CD 的解析式为y ＝－x ＋2．∴Q (x ，－x ＋2)． C D P C P QDP S S S ∆∆∆=- 1122PQ OF PQ DF =⋅-⋅ 12PQ OD =⋅． ∴21833CDP S x x ∆=-+（0＜x ＜6）．………5分当x ＝4时，CDP S ∆最大，此时10(4,)3P ． ……………6分直线PD 的解析式为 51033y x =-．直线CB 的解析式为 123y x =-+． PD 与CB 的交点为810(,)39E ． ………………………7分 ∴当△CDP 的面积最大时，点E 坐标为810(,)39.（2014·东城1月期末·25）在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2(1)4y x m x m =-+-+的图象与x 轴负半轴交于点A ，与y 轴交于点B （0，4），已知点E （0，1）．（1）求m 的值及点A 的坐标；（2）如图，将△AEO 沿x 轴向右平移得到△A ′E ′O ′，连结A ′B 、BE ′．①当点E ′落在该二次函数的图象上时，求AA ′的长； ②设AA ′=n ，其中0＜n ＜2，试用含n 的式子表示A ′B 2+BE ′2，并求出使A ′B 2+BE ′2取得最小值时点E ′的坐标；③当A ′B +BE ′取得最小值时，求点E ′的坐标．25．解：（1）由题意可知 44m =，1m =．∴ 二次函数的解析式为24y x =-+．∴ 点A 的坐标为（- 2, 0）． …………………………..2分（2）①∵ 点E （0,1），由题意可知，241x -+=．解得 x =∴ AA ……………………………..3分 ②如图，连接EE ′．由题设知AA ′=n （0＜n ＜2），则A ′O = 2 - n ．在Rt △A ′BO 中，由A ′B 2= A ′O 2+ BO 2，得A ′B 2=(2–n )2+ 42= n 2 - 4n + 20．∵△A ′E ′O ′是△AEO 沿x 轴向右平移得到的， ∴EE ′∥AA ′，且EE ′=AA ′． ∴∠BEE ′=90°，EE ′=n ．又BE =OB - OE =3.∴在Rt △BE ′E 中，BE ′2= E ′E 2+ BE 2= n 2+ 9，∴A ′B 2+ BE ′2= 2n 2- 4n + 29 = 2(n –1)2+ 27．当n = 1时，A ′B 2 + BE ′2可以取得最小值，此时点E ′的坐标是（1，1）． ……………………………..5分 ③如图，过点A 作AB ′⊥x 轴，并使AB ′ = BE = 3．易证△AB ′A ′≌△EBE ′， ∴B ′A ′ = BE ′， ∴A ′B + BE ′ = A ′B + B ′A ′．当点B ，A ′，B ′在同一条直线上时，A ′B + B ′A ′最小，即此时A ′B +BE ′取得最小值．易证△AB ′A ′∽△OBA ′， ∴34AA AB A O OB ''=='， ∴AA ′=36277⨯=，∴EE ′=AA ′=67，∴点E ′的坐标是（67，1）． (8)分（2014·丰台1月期末·24）已知直线y=kx-3与x 轴交于点A （4，0），与y 轴交于点C ，抛物线234y x mx n =-++经过点A 和点C,动点P 在x 轴上以每秒1个长度单位的速度由抛物线与x 轴的另一个交点B 向点A 运动，点Q 由点C 沿线段CA 向点A 运动且速度是点P 运动速度的2倍.（1）求此抛物线的解析式和直线的解析式；（2）如果点P 和点Q 同时出发，运动时间为t （秒），试问当t 为何值时，以A 、P 、Q 为顶点的三角形与△AOC 相似；（3）在直线CA 上方的抛物线上是否存在一点D ，使得△ACD 的面积最大.若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．24．解：（1）∵ 直线y=kx-3过点A （4，0），∴ 0 = 4k -3，k=34．解得∴ 直线的解析式为 y=34x-3．……………………………………1分由直线y=34x-3与y 轴交于点C ，可知C(0，-3) ． ∴ 2344304m -⨯+-=，解得 m=154．∴抛物线解析式为23153.44y x x =-+- ………………………2分（2）对于抛物线3x 415x 43y 2-+-=，备用图令y=0，则03x 415x 432=-+-，解得x 1=1，x 2=4． ∴ B(1，0). ………………………………………………3分∴ AB=3，AO=4，OC=3，AC=5，AP=3-t ，AQ=5-2t. ① 若∠Q 1P 1A=90°,则P 1Q 1∥OC （如图1）， ∴ △AP 1Q 1∽△AOC. ∴11AP AQ AO AC =, ∴3t 52t45--=．解得t= 53； ………4分 ② 若∠P 2Q 2A=90°, ∵∠P 2AQ 2 =∠OAC ，∴ △AP 2Q 2∽△AOC.∴22AP AQ AC AO =, ∴ 3t 52t54--=．解得t=136； ………………5分综上所述，当t 的值为53或136时，以P 、Q 、A 为顶点的三角形与△AOC 相似．（3）答：存在．过点D 作DF ⊥x 轴，垂足为E ，交AC 于点F （如图2）.∴ S △ADF =12DF·AE ，S △CDF =12DF·OE ． ∴ S △ACD = S △ADF + S △CDF =12DF×(AE+OE) =12×4 (DE+EF)=2×(23153x x 3x 3444-+--+)=23x 6x 2-+．…………6分∴ S △ACD =23(x 2)62--+（0<x<4）．又0<2<4且二次项系数023<-，∴ 当x=2时，S △ACD 的面积最大．而当x=2时，y=32．∴ 满足条件的D 点坐标为D (2, 32)． …………………7分（2014·大兴1月期末·25.）已知：在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y x bx c =-++2的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点A 在x 轴负半轴上，点B 在x 轴正半轴上，且===3，4CO BO AO AB ，抛物线的顶点为D. （1）求这个二次函数的解析式；（2）点E(0,n )在y 轴正半轴上，且位于点C 的下方. 当n 在什么范围内取值时∠CBD ＜∠CED ？当n 在什么范围内取值时∠CBD ＞∠CED ？（3）若过点B 的直线垂直于BD 且与直线CD 交于点P ，求点P 的坐标. 25. 解：（1）设AO m =34CO BO AO AB ===，,3CO BO m ∴==. 341m m m ∴+==，.103003A B C ∴-点、点、点的坐标分别为（，）、（，）、（，）. …………………1分223y x x ∴=-++二次函数的解析式为. …………………………2分（2）二次函数223y x x =-++的图象的顶点D 的坐标为（1，4）过点D 作DH y H ⊥轴于=1=1D H C H =O H -O CCD BC BD ∴∴==，由题意，得222CD BC BD ∴+=BCD ∴∆为直角三角形………………………………………………………3分1tan 3CD Rt BCD CBD BC ∆∠===在中，tan tan CBD CED CBD CED ∠=∠∠=∠若，则1tan 33DH Rt EDH CED EH EH ∴∆∠==∴=在中，∴OE =101E ∴此时点的坐标为（，） ……………………………………4分131E C n CBD CED n CBD CED∴<<∠<∠<<∠>∠点位于点的下方当时，当0时，（3）BCD ∆为直角三角形2B 7BC CDBD CD P BP BDBCD PCBBC CD PCPC ∴⊥∴⊥∴∆∆∴=∴=过点的直线垂直于且与直线交于点·分设直线CD 的解析式为y kx b =+，∵C 点坐标（0，3），D 点坐标（1，4） ∴直线CD 的解析式为3y x =+∴直线CD 与x 轴交点K 的坐标为（-3，0）∴OC =OK =3==45CKO FKP CK PK ∠∠︒∴=∴=过点P 作PF x ⊥轴于F66PF FK ∴==，()96P ∴--点坐标为，………………………………………………8分（2014·怀柔1月期末·25）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，1）的抛物线交y 轴于………………………………………………6分∽点A ，交x 轴于B ，C 两点（点B 在点C 的左侧），已知C 点坐标为（6，0）. （1）求此抛物线的解析式；（2）联结 AB ，过点B 作线段AB 的垂线交抛物线于点D ,如果以点C 为圆心的圆与抛物线的对称轴l 相切，先补全图形，再判断直线BD 与⊙C 的位置关系并加以证明；（3）已知点P 是抛物线上的一个动点，且位于A ，C 两点之间.问：当点P 运动到什么位置时，PAC ∆的面积最大？求出PAC ∆的最大面积.25. （本小题满分8分）（1）解：∵抛物线的顶点为（4,1）， ∴设抛物线解析式为2(4)1y a x =-+.∵抛物线经过点C （6，0），∴20(64)1a =-+.∴14a =-. ∴2211(4)12-344y x x x =--+=-+. 所以抛物线的解析式为212-34y x x =-+………………………………3分(2) 补全图形、判断直线BD 与⊙C 相离. ………………………………4分证明：令21(4)+14x --=0，则12x =，26x =. ∴B 点坐标（2，0）. 又∵抛物线交y 轴于点A，∴A 点坐标为（0，-3），∴AB ==设⊙C 与对称轴l 相切于点F ，则⊙C 的半径CF=2，作CE ⊥BD 于点E ，则∠BEC=∠AO B=90°. ∵90ABD ∠=︒，∴90CBE ABO ∠=︒-∠. 又∵90BAO ABO ∠=︒-∠，∴BAO CBE ∠=∠.∴AOB ∆∽BEC ∆，∴CE BCOB AB=.备用图∴2CE =2CE =>.∴直线BD 与⊙C 相离 ………………………………6分 (3) 解：如图，过点P 作平行于y 轴的直线交AC 于点Q . ∵A （0，-3），C （6，0）.∴直线AC 解析式为132y x =-.设P 点坐标为（m ，21234m m -+-），则Q 点的坐标为（m ，132m -）.∴PQ=21234m m -+--(132m -)=21342m m -+.∵22113327()6(3)24244PAC PAQ PCQ S S S m m m ∆∆∆=+=⨯-+⨯=--+,∴当3m =时，PAC ∆的面积最大为274.………………………………7分∵当3m =时，21234m m -+-=34∴P 点坐标为（3，34）. ………………………………8分综上：P 点的位置是（3，34），PAC ∆的最大面积是274（2014·密云1月期末·24）已知四边形ABCD 是边长为4的正方形，以AB 为直径在正方形内作半圆，P 是半圆上的动点（不与点A 、B 重合），连接PA 、PB 、PC 、PD ． (1)如图①，当PA 的长度等于 ▲ 时，∠PAB ＝60°；当PA 的长度等于 ▲ 时，△PAD 是等腰三角形； (2)如图②，以AB 边所在直线为x 轴、AD 边所在直线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系（点A 即为原点O ），把△PAD 、△PAB 、△PBC 的面积分别记为S 1、S 2、S 3．坐标为（a ，b ），试求2 S 1 S 3－S 22的最大值，并求出此时a ，b 的值．（2014·房山1月期末·25）如图，在平面直角坐标系xOy 中，AB 在x 轴上，以AB 为直径的半⊙O’与y 轴正半轴交于点C ，连接BC ，AC ．CD 是半⊙O’的切线，AD ⊥CD 于点D ．（1）求证：∠CAD =∠CAB ；（2）已知抛物线2y ax bx c =++过A 、B 、C 三点，AB =10 ，tan ∠CAD =12． ① 求抛物线的解析式； ② 判断抛物线的顶点E 是否在直线CD 上，并说明理由； ③ 在抛物线上是否存在一点P ，使四边形PBCA 是直角梯形．若存在，直接写出点P 的坐标(不写求解过程)；若不存在，请说明理由．解：25. (1)证明：连接O'C ,∵ CD 是⊙O’的切线 ∴ O'C ⊥CD .....................................1分∵ AD ⊥CD ,∴ O'C ‖AD ,∴ ∠O’CA =∠CAD ∵ O’A =O'C , ∴∠O’CA =∠CAB ∴ ∠CAD =∠CAB ............................................2分 (2) ∵AB 是⊙O ’的直径，∴∠ACB =90°. ∵OC ⊥AB ,∴∠CAB =∠OCB ,∴∆CAO ∽∆BCO ∴'OC OBOA OC=即OC²=OA∙ OB∵tan ∠CAO =tan ∠CAD =12, ∴AO =2CO 又 ∵AB =10,∴OC²=2CO (10-2CO ), ∵CO >0 ∴CO=4,AO=8,BO=2 ∴A (-8,0),B (2,0),C (0,4) ..................................................................................................3分 ∵ 抛物线y=ax²+bx+c 过A 、B 、C 三点，∴c=4∴424064840a b a b ++=⎧⎨-+=⎩由题意得解得213442y x x =--+ .............................4分 ②设直线DC 交x 轴于点F ，易得∆AOC ∽∆ADC ∴ AD=AO =8, ∵O'C ‖AD ∴∆FO’C ∽∆FAD ∴ ''O F O CAF AD= ∴8(BF +5)=5(BF +10), ∴ BF =103, F (163,0) 设直线DC 的解析式为y=kx+m ,则41603m k m =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 即344k m ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴344y x =-+ ..................................................................................5分由2213125254(3)-342444y x x x E =--+=-++得顶点的坐标（，）将E （-3，254）代入直线DC 的解析式344y x =-+中右边=325--3+4==44⨯（）左边 ∴ 抛物线顶点E 在直线CD 上 ..................................................................................6分③存在,12(10,6),(10,36)P P --- .................................................................................8分（2014·顺义1月期末·25）已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21y ax bx =+过点A （6，0）和点B （3（1）求抛物线1y 的解析式；（2）将抛物线1y 沿x 轴翻折得抛物线2y ，求抛物线2y 的解析式；（3）在（2）的条件下，抛物线2y 上是否存在点M ，使OAM △与AOB △相似？如果存在，求出点M 的坐标；如果不存在，说明理由．yxBAO25．解：（1）依题意，得3660,93a b a b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得9a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴抛物线1y的解析式为2193y x x =-+．……………………… 2分（2）将抛物线1y 沿x 轴翻折后，仍过点O （0，0），A （6，0），还过点B 关于x 轴的对称点'(3,B ．设抛物线2y 的解析式为22y mx nx =+，∴3660,93m n m n +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得9a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴抛物线2y的解析式为2293y x x =-．………………………5分（3）过点B 作BC ⊥x 轴于点C ，则有tan BC BOC OC ∠== ∴30BOC ∠=︒，60OBC ∠=︒．∵OC=3，OA=6，∴AC=3.∴30BAC ∠=︒，120OBA ∠=︒． ∴OB=AB ．即OBA △是顶角为120º的等腰三角形．分两种情况： ①当点M 在x 轴下方时，OAM △就是'OAB △，此时点M的坐标为(3,M ．②当点M 在x 轴上方时，假设OAM △∽OBA △，则有AM=OA=6，120OAM ∠=︒．过点M 作MD ⊥x 轴于点D ，则60MAD ∠=︒．∴MD =3AD =． ∴OD=9.而（9，22y x x =，即点M在抛物线2293y x x =-上．根据对称性可知，点(3,-也满足条件．综上所述，点M的坐标为1(3,M，2(9,M，3(3,M -．……………………………… 8分（2014·燕山1月期末·25.）定义：把一个半圆与抛物线的一部分合成封闭图形，我们把这个封闭图形称为“蛋圆”．如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图，A ，B ，C ，D 分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D 的坐标为（0,8），AB 为半圆的直径，半圆的圆心M 的坐标为（1,0），半圆半径为3．（1）请你直接．．写出“蛋圆”抛物线部分的解析式=y ，自变量的取值范围是；（2）请你求出过点C 的“蛋圆”切线与x 轴的交点坐标；（3）求经过点D 的“蛋圆”切线的解析式．解：（1）“蛋圆”抛物线部分的解析式为822++-=x x y ， …………………2分自变量的取值范围是42≤≤-x ； …………………3分（2）如图，连接CM ，设过点C 的“蛋圆”切线与x 轴的交点为E ．∴CE CM ⊥． …………………4分∵ME OC ⊥，在COM Rt ∆中，∵1=OM ，3=CM ， ∴22132222=-=-=OM CM OC ，…………………5分∵COM ∆∽EOC ∆，∴OE OM OC ⋅=2，∴8=OE ．∴点E 的坐标为（-8.，0）． ……………6分（3）设过点)8,0(D ，“蛋圆”切线的解析式为)0(8≠+=k kx y ．由题意得，方程组⎩⎨⎧++-=+=.82,82x x y kx y 只有一组解，……………7分即8282++-=+x x kx 有两个相等实根， ∴2=k∴过点D “蛋圆”切线的解析式为82+=x y ． ………8分（2014·平谷1月期末·25）如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 、B 为x 轴上两点，C 、D 为y 轴上两点，经过A 、C 、B 的抛物线的一部分1C 与经过点A 、D 、B 的抛物线的一部分2C 组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点C 的坐标为（0，23-），点M 是抛物线2C ：)0(322<--=m m mx mx y 的顶点．（1）求A 、B 两点的坐标．（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P ，使得PBC ∆的面积最大？若存在，求出PBC ∆ 面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当BDM ∆为直角三角形时，直接写出m 的值．______25. 解：（1）在m mx mx y 322--=中，令y =0，则0322=--m mx mx ，解得x =3或x = -1．∴A 、B 两点的坐标为：A （-1，0）、B （3，0）．-------------------------------2分（2）设过A 、B 、C 三点的抛物线解析式为c bx ax y ++=2，把A （-1，0）、B （3，0）、C （0，23-）代入c bx ax y ++=2中，得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+--=039023c b a c b a c 解得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-==23121c b a ∴ 23212--=x x y ．-------------------3分设过B （3，0）、C （0，23-）两点的解析式为b kx y +=，代入，得2321-=x y ．-----------------------------------------------------------------------4分设“蛋线”在第四象限上存在一点P ，过P 点作PH ⊥AB ，垂足为H ，交BC 于点G .设H 点坐标为（x ，0），则G （x ，2321-x ），P （x ，23212--x x ）．则PG =2321-x -(23212--x x )=x x 23212+-.----------------------------------------5分 ∵PBG PCG PBCS S S ∆∆∆+=BH PG OH PG ⋅+⋅=2121 )2321(321212x x OB PG +-⨯=⋅=1627)23(43494322+--=+-=∆x x x S PBC∴“蛋线”在第四象限上存在使得PBC ∆面积最大的点P ，最大面积是1627．---------------------------------------------------------6分（3）1-=m 或22-=m -----------------------------------------------------8分。

学生提高初二下----代几综合

yMO A xNPlB代几综合题 7月3日以代数式、坐标系、函数知识为载体，考察：(1)函数性质（反比例垂线段围面积、单调性、对称性等） (2)特殊几何图形的特殊性质 (3)计算解决代数与几何综合题，第一，需要认真审题，分析、挖掘题目的隐含条件，翻译并转化为显性条件；第二，要善于将复杂问题分解为基本问题，逐个击破；第三，要善于联想和转化，将以上得到的显性条件进行恰当地组合，进一步得到新的结论，尤其要注意的是，恰当地使用分析综合法及方程与函数的思想、转化思想、数行结合思想、分类与整合思想等数学思想方法，能更有效地解决问题。

教学建议：（1）因为代数与几何综合比较难，所以注意层次，由易到难，逐步递进，别使学生畏惧，应该增强学生的信心；（2）帮助学生分析问题、挖掘条件、展开联想，尽量多角度来分析问题，开阔学生思路；（3）养成类比、归纳形成方法的习惯。

1.（燕山23）已知：如图，在直角坐标系xOy 中，直线y=2x 与函数y=x2的图象在第一象限的交于A 点，AM ⊥x 轴，垂足是M ，把线段OA 的垂直平分线记作l ，线段AN 与OM 关于l 对称.（1）画出线段AN （保留画图痕迹）；（2）求点A 的坐标；点A （1，2）（3）求直线AN 的函数解析式. y=34 x+310.2.（大兴24）在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，直线)0,2121(332≠≤≤-+=k k m kx y 其中经过点A （23,4）,且与y 轴相交于点C. 点B 在y 轴上，且727OB OA =+-. △ABC 的面积为S. （1）求m 的取值范围; （2）求S 关于m 的函数关系式;（3）设点B 在y 轴的正半轴上，当S 取得最大值时，将△ABC 沿AC 折叠得到C B A '∆，求点B '的坐标.3.(31中27．13中23）如图，已知反比例函数12y x=的图像和一次函数y=kx-7的图像都经过点P(m,2)．（1）求这个一次函数的解析式；（2）如果等腰梯形ABCD 的顶点A 、B 在这个一次函数的图像上，顶点C 、D 在这个反比例函数的图像上，两底AD 、BC 与y 轴平行，且A 和B 的横坐标分别为a 、b （b>a>0）,求代数式ab 的值．4.（41中27）如图，已知反比例函数xky =1和一次函数b ax y +=2的图象相交于点A 和点D ，且点 A 的横坐标为1，点D 的纵坐标为-1. 过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，△AOB 的面积为1. （1）求反比例函数和一次函数的解析式.（2）若一次函数b ax y +=2的图象与x 轴相交于点C ，求∠ACO 的度数. （3）结合图象直接写出：当1y ＞2y 时，x 的取值范围.5.（159中26）如图，直线b x k y +=1与反比例函数xk y 2=(x ＞0)的图象交于A )6,1(，B )3,(a 两点．（1）求1k 、2k 的值；（2）直接写出021>-+xk b x k 时x 的取值范围；（3）如图，等腰梯形OBCD 中，BC //OD ，OB =CD ，OD 边在x 轴上，过点C 作CE ⊥OD 于点E ，CE 和反比例函数的图象交于点P ，当梯形OBCD 的面积为12时，请判断PC 和PE 的大小关系，并说明理由．Dbax y +=2OPE DCBAyx6.（161中24）如图，在直角坐标系中，O 为坐标原点. 已知反比例函数y=xk（k>0）的图象经过点 A (2，m )，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，且△AOB 的面积为21. （1）求k 和m 的值；（2）点C （x ，y ）在反比例函数y=xk的图象上，求当1≤x ≤3时函数值y 的取值范围.7.（35中24）如图，在平面直角坐标系中，双曲线y ＝kx过点A （－4，1），点P 是双曲线上一动点（不与A 重合），过点A 和P 分别向两坐标轴作垂线，垂足分别为B 、C 和D 、E ．（1）求k 、S △ADC 及S △PDC 的值；（2）判断AP 和DC 的位置关系，并说明理由；（3）若点P 在双曲线上运动时，探索以A 、P 、C 、D 四点为顶点的四边形能否成为菱形和等腰梯形？若能，请直接写出所有满足条件的点P 的坐标；若不能，请说明理由．O C B D P E x Ay8.(156中24）如图，正比例函数x y 21=的图象与反比例函数xky =（0≠k ）在第一象限的图象交于A 点，过A 点作x 轴的垂线，垂足为M ，已知△OAM 的面积为1. （1）求反比例函数的解析式；（2）如果B 为反比例函数在第一象限图象上的点（点B 与点A 不重合），且B 点的横坐标为1，在x 轴上求一点P ，使PA PB +最小.9.(八中26) 如图，反比例函数(0)ky k x=≠在第一象限内的图象上有两点A 、B ，已知点A （3m ， m ），点B （n ， n +1）（其中m >0，n >0），OA =210 （1）求A 、B 点的坐标及反比例函数解析式；（2）如果M 为x 轴上一点，N 为坐标平面内一点，以A 、B 、M 、N 为顶点的四边形是矩形，请直接写出符合条件的M 、N 点的坐标，并画出相应的矩形.OMxyA (第24题)11AyOxB7月7日 10.(八中怡海29）如图，点A 是反比例函数4(0)y x x=>上的一个动点，过点A 作AC y ⊥轴于点C ，点M 是AC 的中点，过点M 作BD AC ⊥交x 轴于点D ，交曲线于点B ，顺次连接A 、B 、C 、D 得到四边形ABCD ．（1）探究四边形ABCD 的形状并说明理由；（2）四边形ABCD 可能是正方形吗？若能，求出此时点A 、B 的坐标11.(四中23)已知反比例函数)0(1<=k xky 的图象过点A(m ,3-)，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，且△ AOB 的面积为3 (1) 求k 和m 的值；(2) 若一次函数12+=ax y 的图象经过点A ，并且与x 轴相交于点C ，求AC AO :的值；My=4x yxODC BAxyOABC7月8日12.（实验27）在平面直角坐标系中，M是双曲线36yx=-（x<0）上一点，把双曲线36yx=-（x<0）关于y轴作对称，点M的对称点为N，N点坐标为（m,6），作NA⊥x轴于A，NB⊥y轴于B．（1）如图27-1，以OA为一边在四边形OANB内部作等边△OAC，求点C的坐标；（2）在（1）的前提下，在平面内找到点D，使以O、C、N、D为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点D的坐标；（3）如图27-2，若在四边形BOAN内部有一点P，满足∠PBN=∠PNB=15︒,连接PO、PA．求证：△POA为等边三角形．图27-1 xyMCB NO A图27-2 xyMPB NO A7月9日 14.（三中26）已知：如图1，直线13y x =与双曲线ky x=交于A ，B 两点，且点A 的坐标为（6,m ）．（1）求双曲线ky x=的解析式；（2）点C （,4n ）在双曲线ky x=上，求△AOC 的面积；（3）过原点O 作另一条直线l 与双曲线ky x=交于P ，Q 两点，且点P 在第一象限．若由点A ，P ，B ，Q 为顶点组成的四边形的面积为20，请直接写出．．．．所有符合条件的点P 的坐标．yxCBOA图17月10日 15.(十三分24）已知反比例函数y =xk的图像经过点A (-3，1)。

八年级数学代几综合难点题型

八年级数学代几综合难点题型一次函数综合1、已知直线 $y=kx-2k+6$ 经过定点 $Q$。

1）点 $Q$ 的坐标为 $(2k-6,-2k+6)$；2）设点 $M$ 的坐标为 $(t,t)$，则直线 $QM$ 的解析式为$y=(k+1)x-2k+6-t(k+1)$；3）设点 $E$ 的坐标为 $(m,n)$，则点 $A$ 的坐标为$(t,0)$，点 $B$ 的坐标为 $(0,-2k+6-t)$，线段 $CE$ 的长度为$\sqrt{(m-t)^2+(n+t-2k+6)^2}$。

由 $\angle AEO=45^\circ$，可知 $\angle AEC=135^\circ$，因此 $CE$ 的最大值为$\sqrt{2}(k-1)$。

2、正方形 $AOCD$ 的顶点 $A$、$C$ 分别在 $x$、$y$ 轴上，点 $P$ 为对角线 $AC$ 上一动点，过点 $P$ 作$PQ\perp OP$ 交 $CD$ 边于点 $Q$。

1）设 $P$ 的坐标为 $(t,4-t)$，则直线 $PQ$ 的解析式为$y=-\frac{1}{t}(x-t+4)$。

将直线 $EF$ 向上平移 $2$ 个单位，则其解析式为 $y=-x$；2）由勾股定理可知 $OQ^2=2PA^2=24$，$PC^2=2PA^2-AC^2=12$，因此 $OQ^2-PC^2=12$；3）当点 $P$ 沿 $AC$ 方向移动 $2$ 个单位时，点 $M$ 移动的路径长为 $\sqrt{2}$。

设 $P$ 的坐标为 $(t,4-t)$，则$Q$ 的坐标为 $(4-t,t)$，$OQ$ 的中点 $M$ 的坐标为 $(2-t,2+t)$。

当四边形 $OMNB$ 为菱形时，有 $OM=MB$，因此$t=3$。

此时，$OM$ 与 $BC$ 的交点 $H$ 的坐标为 $(3,1)$，$PQ$ 的长度为 $2\sqrt{2}-2$，四边形 $OPQH$ 的周长为$2\sqrt{2}+2\sqrt{10}$，点 $P$ 的坐标为 $(3-\sqrt{2},1+\sqrt{2})$。

代几综合与动手操作集锦1

代几综合与动手操作集锦（一）1、如图，M 为线段AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，∠DME ＝∠A ＝∠B ＝α，且DM 交AC 于F ，ME 交BC 于G ．（1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；（2）连结FG ，如果α＝45°，AB＝AF ＝3，求FG 的长．2、如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，已知AD ＝AB ＝3，BC ＝4，动点P 从B 点出发，沿线段BC 向点C 作匀速运动；动点Q 从点D 出发，沿线段DA 向点A 作匀速运动．过Q 点垂直于AD 的射线交AC 于点M ，交BC 于点N ．P 、Q 两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q 点运动到A 点，P 、Q 两点同时停止运动．设点Q 运动的时间为t 秒．(1)求NC ，MC 的长(用t 的代数式表示)；(2)当t 为何值时，四边形PCDQ 构成平行四边形？(3)是否存在某一时刻，使射线 QN 恰好将△ABC 的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t 的值；若不存在，请说明理由；(4)探究：t 为何值时，△PMC 为等腰三角形？3、如图，在边长为5的正方形中，点、分别是、边上的点，且，延长交正方形外角平分线，边上是否存在一点，使得四边形是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．ABCD E F BC DC AE EF EF CP P 于点AB MDMEP4、如图（1），抛物线22y x x k =-+与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，3-）．［图（2）、图（3）为解答备用图］（1）k = ，点A 的坐标为，点B 的坐标为；（2）设抛物线22y x x k =-+的顶点为M ，求四边形ABMC 的面积；（3）在x 轴下方的抛物线上是否存在一点D ，使四边形ABDC 的面积最大？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）在抛物线22y x x k =-+上求点Q ，使△BCQ 是以BC 为直角边的直角三角形．5、已知：如图所示，直线MA NB MAB ∠∥，与NBA ∠的平分线交于点C ，过点C 作一条直线l 与两条直线MA NB 、分别相交于点D E 、．（1）如图1所示，当直线l 与直线MA 垂直时，猜想线段AD BE AB 、、之间的数量关系，请直接写出结论，不用证明；（2）如图2所示，当直线l 与直线MA 不垂直且交点D E 、都在AB 的同侧时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由；（3）当直线l 与直线MA 不垂直且交点D E 、在AB 的异侧时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，那么线段AD BE AB 、、之间还存在某种数量关系吗？如果存在，请直接写出它们之间的数量关系．图（1）图（2）图（3）ABED CM NABED CM N l ABCM NABCM N图1图2备用图备用图6、如图所示，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，DE ∥BC ，如图①，然后将△ADE 绕A 点顺时针旋转一定角度，得到图②，然后将BD 、CE 分别延长至M 、N ，使DM ＝21BD ，EN ＝21CE ，得到图③，请解答下列问题： (1)若AB ＝AC ，请探究下列数量关系：①在图②中，BD 与CE 的数量关系是________________；②在图③中，猜想AM 与AN 的数量关系、∠MAN 与∠BAC 的数量关系，并证明你的猜想；(2)若AB ＝k·AC(k＞1)，按上述操作方法，得到图④，请继续探究：AM 与AN 的数量关系、∠MAN 与∠BAC 的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明．7、如图，二次函数的图象经过点D(0，)，且顶点C的横坐标为4，该图象在x 轴上截得的线段AB 的长为6. ⑴求二次函数的解析式；⑵该抛物线的对称轴上找一点P ，使PA+PD 最小，求出点P 的坐标；⑶在抛物线上是否存在点Q ，使△QAB 与△ABC 相似？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．3978、如图，已知点A （0，1）是y 轴上一个定点，点B 是x 轴上一个动点，以AB 为边，在OAB ∠外部作,OAB BAE ∠=∠过点B 作,AB BC ⊥交AE 于点C ，设点C 的坐标为（y x ,），当点B 在x 轴上运动时，求y 关于x 的函数关系式。

中考复习之代几综合问题知识讲解

代几综合问题—知识讲解（提高）【中考展望】代几综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型．近几年的中考压轴题多以代几综合题的形式出现．解代几综合题一般可分为“认真审题、理解题意；探求解题思路；正确解答”三个步骤,解代几综合题必须要有科学的分析问题的方法．数学思想是解代几综合题的灵魂，要善于挖掘代几综合题中所隐含的重要的转化思想、数形结合思想、分类讨论的思想、方程（不等式）的思想等，把实际问题转化为数学问题，建立数学模型，这是学习解代几综合题的关键．题型一般分为：（1）方程与几何综合的问题；（2）函数与几何综合的问题；（3）动态几何中的函数问题；（4）直角坐标系中的几何问题；（5）几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题.题型特点：一是以几何图形为载体，通过线段、角等图形寻找各元素之间的数量关系，建立代数方程或函数模型求解；二是把数量关系与几何图形建立联系，使之直观化、形象化，从函数关系中点与线的位置、方程根的情况得出图形中的几何关系.以形导数，由数思形，从而寻找出解题捷径. 解代几综合题要灵活运用数形结合的思想进行数与形之间的相互转化，关键是要从题目中寻找这两部分知识的结合点，从而发现解题的突破口.【方法点拨】方程与几何综合问题是中考试题中常见的中档题，主要以一元二次方程根的判别式、根与系数的关系为背景，结合代数式的恒等变形、解方程（组）、解不等式（组）、函数等知识．其基本形式有：求代数式的值、求参数的值或取值范围、与方程有关的代数式的证明．函数型综合题主要有：几何与函数结合型、坐标与几何、方程与函数结合型问题，是各地中考试题中的热点题型．主要是以函数为主线，建立函数的图象，结合函数的性质、方程等解题．解题时要注意函数的图象信息与方程的代数信息的相互转化．例如函数图象与x轴交点的横坐标即为相应方程的根；点在函数图象上即点的坐标满足函数的解析式等．函数是初中数学的重点，也是难点，更是中考命题的主要考查对象，由于这类题型能较好地考查学生的函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想，能较全面地反映学生的综合能力，有较好的区分度，因此是各地中考的热点题型．几何综合题考查知识点多、条件隐晦，要求学生有较强的理解能力，分析能力，解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识与创新能力．1．几何型综合题，常以相似形与圆的知识为考查重点，并贯穿其他几何、代数、三角等知识，以证明、计算等题型出现．2．几何计算是以几何推理为基础的几何量的计算，主要有线段和弧长的计算，角的计算，三角函数值的计算，以及各种图形面积的计算等．3．几何论证题主要考查学生综合应用所学几何知识的能力．4．解几何综合题应注意以下几点：（1）注意数形结合，多角度、全方位观察图形，挖掘隐含条件，寻找数量关系和相等关系；（2）注意推理和计算相结合，力求解题过程的规范化；（3）注意掌握常规的证题思路，常规的辅助线作法；（4）注意灵活地运用数学的思想和方法．【典型例题】类型一、方程与几何综合的问题1.（2015•大庆模拟）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm．点P从B出发沿BA向A运动，速度为每秒1cm，点E是点B以P为对称中心的对称点，点P运动的同时，点Q从A出发沿AC向C运动，速度为每秒2cm，当点Q到达顶点C时，P，Q同时停止运动，设P，Q两点运动时间为t秒．（1）当t为何值时，PQ∥BC？（2）设四边形PQCB的面积为y，求y关于t的函数关系式；（3）四边形PQCB面积能否是△ABC面积的？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由；（4）当t为何值时，△AEQ为等腰三角形？（直接写出结果）【思路点拨】（1）先在Rt△ABC中，由勾股定理求出AB=10，再由BP=t，AQ=2t，得出AP=10﹣t，然后由PQ∥BC，根据平行线分线段成比例定理，列出比例式，求解即可；（2）正确把四边形PQCB表示出来，即可得出y关于t的函数关系式；（3）根据四边形PQCB面积是△ABC面积的，列出方程，解方程即可；（4）△AEQ为等腰三角形时，分三种情况讨论：①AE=AQ；②EA=EQ；③QA=QE，每一种情况都可以列出关于t的方程，解方程即可．【答案与解析】解：（1）Rt△ABC中，∵∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，∴AB=10cm．∵BP=t，AQ=2t，∴AP=AB﹣BP=10﹣t．∵PQ∥BC，∴=，∴=，解得t=；（2）∵S四边形PQCB=S△ACB﹣S△APQ=AC•BC﹣AP•AQ•sinA∴y=×6×8﹣×（10﹣t）•2t•=24﹣t（10﹣t）=t2﹣8t+24，即y关于t的函数关系式为y=t2﹣8t+24；（3）四边形PQCB面积能是△ABC面积的，理由如下：由题意，得t2﹣8t+24=×24，整理，得t2﹣10t+12=0，解得t1=5﹣，t2=5+（不合题意舍去）．故四边形PQCB面积能是△ABC面积的，此时t的值为5﹣；（4）△AEQ为等腰三角形时，分三种情况讨论：①如果AE=AQ，那么10﹣2t=2t，解得t=；②如果EA=EQ，那么（10﹣2t）×=t，解得t=；③如果QA=QE，那么2t×=5﹣t，解得t=．故当t为秒秒秒时，△AEQ为等腰三角形．【总结升华】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定等，综合性较强，难度适中．解答此题时要注意分类讨论，不要漏解；其次运用方程思想是解题的关键．举一反三：【变式】（2016•镇江）如图1，在菱形ABCD中，AB=6，tan∠ABC=2，点E从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线DA的方向匀速运动，设运动时间为t（秒），将线段CE绕点C顺时针旋转一个角α（α=∠BCD），得到对应线段CF．（1）求证：BE=DF；（2）当t= 秒时，DF的长度有最小值，最小值等于；（3）如图2，连接BD、EF、BD交EC、EF于点P、Q，当t为何值时，△EPQ是直角三角形？（4）如图3，将线段CD绕点C顺时针旋转一个角α（α=∠BCD），得到对应线段CG．在点E的运动过程中，当它的对应点F位于直线AD上方时，直接写出点F到直线AD的距离y 关于时间t的函数表达式．【答案】解：（1）∵∠ECF=∠BCD，即∠BCE+∠DCE=∠DCF+∠DCE，∴∠DCF=∠BCE，∵四边形ABCD是菱形，∴DC=BC，在△DCF和△BCE中，∵，∴△DCF≌△BCE（SAS），∴DF=BE；（2）如图1，当点E运动至点E′时，DF=BE′，此时DF最小，在Rt△ABE′中，AB=6，tan∠ABC=tan∠BAE′=2，∴设AE′=x，则BE′=2x，∴AB=x=6，则AE′=6∴DE′=6+6，DF=BE′=12，故答案为：6+6，12；（3）∵CE=CF，∴∠CEQ＜90°，①当∠EQP=90°时，如图2①，∵∠ECF=∠BCD，BC=DC，EC=FC，∴∠CBD=∠CEF，∵∠BPC=∠EPQ，∴∠BCP=∠EQP=90°，∵AB=CD=6，tan∠ABC=tan∠ADC=2，∴DE=6，∴t=6秒；②当∠EPQ=90°时，如图2②，∵菱形ABCD的对角线AC⊥BD，∴EC与AC重合，∴DE=6，∴t=6秒；（4）y=t﹣12﹣，如图3，连接GF分别交直线AD、BC于点M、N，过点F作FH⊥AD于点H，由（1）知∠1=∠2，又∵∠1+∠DCE=∠2+∠GCF，∴∠DCE=∠GCF，在△DCE和△GCF中，∵，∴△DCE≌△GCF（SAS），∴∠3=∠4，∵∠1=∠3，∠1=∠2，∴∠2=∠4，∴GF∥CD，又∵AH∥BN，∴四边形CDMN是平行四边形，∴MN=CD=6，∵∠BCD=∠DCG，∴∠CGN=∠DCN=∠CNG，∴CN=CG=CD=6，∵tan∠ABC=tan∠CGN=2，∴GN=12，∴GM=6+12，∵GF=DE=t，∴FM=t﹣6﹣12，∵tan∠FMH=tan∠ABC=2，∴FH=（t﹣6﹣12），即y=t﹣12﹣．类型二、函数与几何综合问题2.如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动t（t＞0）秒，抛物线y=x2＋bx＋c经过点O和点P．已知矩形ABCD的三个顶点为A（1，0）、B（1，－5）、D（4，0）．⑴求c、b（可以用含t的代数式表示）；⑵当t>1时，抛物线与线段AB交于点M．在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值；⑶在矩形ABCD的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”．若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接．．写出t的取值范围．【思路点拨】（1）由抛物线y=x2+bx+c经过点O和点P，将点O与P的坐标代入方程即可求得c，b；（2）当x=1时，y=1-t，求得M的坐标，则可求得∠AMP的度数；（3）根据图形，可直接求得答案．【答案与解析】解：（1）把x=0，y=0代入y=x2+bx+c，得c=0，再把x=t，y=0代入y=x2+bx，得t2+bt=0，∵t＞0，∴b=-t；（2）不变．∵抛物线的解析式为：y=x2-tx，且M的横坐标为1，∴当x=1时，y=1-t，∴M（1，1-t），∴AM=|1-t|=t-1，∵OP=t ，∴AP=t-1， ∴AM=AP ，∵∠PAM=90°，∴∠AMP=45°；（3）72＜ｔ＜113．①左边4个好点在抛物线上方，右边4个好点在抛物线下方：无解； ②左边3个好点在抛物线上方，右边3个好点在抛物线下方：则有-4＜y 2＜-3，-2＜y 3＜-1，即-4＜4-2t ＜-3，-2＜9-3t ＜-1，∴72＜ｔ＜４且103＜ｔ＜113，解得72＜ｔ＜113；③左边2个好点在抛物线上方，右边2个好点在抛物线下方：无解； ④左边1个好点在抛物线上方，右边1个好点在抛物线下方：无解； ⑤左边0个好点在抛物线上方，右边0个好点在抛物线下方：无解；综上所述，t 的取值范围是：72＜ｔ＜113．【总结升华】此题考查了二次函数与点的关系．此题综合性很强，难度适中，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用．类型三、动态几何中的函数问题3. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数2+2y ax ax c =+的图象与y 轴交于(0,3)C ，与x 轴交于A 、B 两点，点B 的坐标为(-3,0)（1）求二次函数的解析式及顶点D 的坐标；（2）点M 是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM 把四边形ACDB 分成面积为1:2的两部分，求出此时点M 的坐标；（3）点P 是第二象限内抛物线上的一动点，问：点P 在何处时△CPB 的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点P 的坐标.【思路点拨】（1）抛物线的解析式中只有两个待定系数，因此只需将点B 、C 的坐标代入其中求解即可．（2）先画出相关图示，连接OD 后发现：S △OBD ：S 四边形ACDB =2：3，因此直线OM 必须经过线段BD 才有可能符合题干的要求；设直线OM 与线段BD 的交点为E ，根据题干可知：△OBE 、多边形OEDCA 的面积比应该是1：2或2：1，即△OBE 的面积是四边形ACDB 面积的1233或，所以先求出四边形ABDC 的面积，进而得到△OBE 的面积后，可确定点E 的坐标，首先求出直线OE （即直线OM ）的解析式，联立抛物线的解析式后即可确定点M 的坐标（注意点M 的位置）．（3）此题必须先得到关于△CPB 面积的函数表达式，然后根据函数的性质来求出△CPB 的面积最大值以及对应的点P 坐标；通过图示可发现，△CPB 的面积可由四边形OCPB 的面积减去△OCB 的面积求得，首先设出点P 的坐标，四边形OCPB 的面积可由△OCP 、△OPB 的面积和得出．【答案与解析】解：（1）由题意，得：3,9-60.c a a c =⎧⎨+=⎩ 解得：-1,3.a c =⎧⎨=⎩所以，二次函数的解析式为：2--23y x x =+ ，顶点D 的坐标为（-1，4）. （2）画图由Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四点的坐标，易求四边形ACDB 的面积为9.直线BD 的解析式为y=2x+6.设直线OM 与直线BD 交于点E ，则△OBE 的面积可以为3或6.①当1=9=33OBE S ∆⨯时，如图，易得E 点坐标（-2，-2），直线OE 的解析式为y=-x.E M xy O A BCD设M 点坐标（x ，-x ），21223113113,().22x x x x x -=--+---+==舍 ∴113113M ,22--+（） ② 当时，同理可得M 点坐标．∴ M 点坐标为（-1，4）．（3）如图，连接OP ，设P 点的坐标为(),m n ， ∵点P 在抛物线上，∴232n m m =-+-， ∴PB PO OPB OB S S S S =+-△C △C △△C111||222OC m OB n OC OB =⋅-+⋅-⋅ ()339332222m n n m =-+-=--()22333273.2228m m m ⎛⎫=-+=-++ ⎪⎝⎭∵3<0m -<，∴当32m =-时，154n =. △CPB 的面积有最大值27.8∴当点P 的坐标为315(,)24-时，△CPB 的面积有最大值，且最大值为27.8【总结升华】此题主要考查了二次函数解析式的确定、图形面积的解法以及二次函数的应用等知识；（2）问中，一定先要探究一下点M 的位置，以免出现漏解的情况．举一反三：【变式】如图所示，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为（3，0），（0，1），点D 是线段BC 上的动点（与端点B 、C 不重合），过点D 作直线y ＝－12x ＋b 交折线OAB 于点E ．（1）记△ODE 的面积为S ，求S 与b 的函数关系式；（2）当点E 在线段OA 上时，若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形OA 1B 1C 1，试探究OA 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.yxDECOAB【答案】（1）由题意得B （3，1）．若直线经过点A （3，0）时，则b ＝32 若直线经过点B （3，1）时，则b ＝52若直线经过点C （0，1）时，则b ＝1.①若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤32，如图1，此时点E（2b，0）.∴S＝12OE·CO＝12×2b×1＝b.②若直线与折线OAB的交点在BA上时，即32＜b＜52，如图2，此时点E（3，32b-），D（2b－2，1）.∴S＝S矩－(S△OCD＋S△OAE＋S△DBE)＝ 3－[12(2b－1)×1＋12×(5－2b)•(52b-)＋12×3(32b-)]（2）如图3，设O1A1与CB相交于点M，C1B1与OA相交于点N，则矩形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积．由题意知，DM∥NE，DN∥ME，∴四边形DNEM 为平行四边形,根据轴对称知，∠MED＝∠NED, 又∠MDE＝∠NED，∴∠MED＝∠MDE，MD＝ME，∴平行四边形DNEM为菱形．过点D作DH⊥OA，垂足为H，设菱形DNEM的边长为a，由题可知，D（2b-2，1），E（2b，0），∴DH=1，HE=2b-（2b-2）=2，∴HN=HE-NE=2-a，则在Rt△DHM中，由勾股定理知：222(2)1a a=-+，∴a=5 . 4.∴S四边形DNEM ＝NE·DH＝54．∴矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为54．类型四、直角坐标系中的几何问题4. 如图所示，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．（1）直接写出点E、F的坐标；（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴．．．于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）由轴对称的性质，可知∠FBD=∠ABD，FB=AB，可得四边形ABFD是正方形，则可求点E、F的坐标；（2）已知抛物线的顶点，则可用顶点式设抛物线的解析式. 因为以点E、F 、P 为顶点的等腰三角形没有给明顶角的顶点，而顶角和底边都是唯一的，所以要抓住谁是顶角的顶点进行分类，可分别以E 、F 、P 为顶角顶点；（3）求周长的最小值需转化为利用轴对称的性质求解. 【答案与解析】解：(1)E(3,1)；F(1,2)；(2)连结EF ，在Rt △EBF 中,∠B=90°，∴EF=5212222=+=+BF EB .设点P 的坐标为(0,n),n ＞0,∵顶点F(1,2), ∴设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+2，(a ≠0)．①如图1，当EF=PF 时，EF 2=PF 2，∴12+(n-2)2=5，解得n 1=0(舍去)，n 2=4. ∴P(0，4)，∴4=a(0-1)2+2，解得a=2， ∴抛物线的解析式为y=2(x-1)2+2．②如图2，当EP=FP 时，EP 2=FP 2，∴(2-n)2+1=(1-n)2+9，解得n=－25(舍去)③当EF=EP 时，EP=5＜3，这种情况不存在. 综上所述，符合条件的抛物线为y=2(x-1)2+2．(3)存在点M 、N ，使得四边形MNFE 的周长最小．如图3，作点E 关于x 轴的对称点E′，作点F 关于y 轴的对称点F′，连结E′F′，分别与x 轴、y 轴交于点M 、N ，则点M 、N 就是所求. 连结NF 、ME. ∴E′(3，-1)、F′(-1，2)，NF=NF′，ME=ME′. ∴BF′=4，BE′=3. ∴FN+NM+ME=F′N+NM+ME′=F′E′=2243 =5. 又∵EF=5，∴FN+MN+ME+EF=5+5，此时四边形MNFE 的周长最小值为5+5.【总结升华】本题考查了平面直角坐标系、等腰直角三角形、抛物线解析式的求法、利用轴对称求最短距离以及数形结合、分类讨论等数学思想. 分类讨论的思想要依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类原则是不重不漏，最简分类常见的依据是：一是依据概念分类，如判断直角三角形时明确哪个角可以是直角，两个三角形相似时分清哪两条边是对应边；二是依运动变化的图形中的分界点进行分类，如一个图形在运动过程中，与另一个图形重合部分可以是三角形，也可以是四边形、五边形等. 几何与函数的综合题是中考常见的压轴题型，解决这类问题主要分为两步：一是利用线段的长确定出几何图形中各点的坐标；二是用待定系数法求函数关系式．类型五、几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题5. 如图所示，以等腰三角形AOB 的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA 1，再以等腰直角三角形ABA 1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A 1BB 1，……，如此作下去，若OA=OB=1，则第n 个等腰直角三角形的面积Ｓ＝ ________（n 为正整数）．B 2B 1A 1BOA【思路点拨】本题要先根据已知的条件求出S 1、S 2的值，然后通过这两个面积的求解过程得出一般性的规律，进而可得出S n 的表达式．【总结升华】本题要先从简单的例子入手得出一般化的结论，然后根据得出的规律去求特定的值．举一反三：【变式】阅读下面的文字，回答后面的问题．求3+32+33+…+3100的值．解：令S=3+32+33+…+3100（1），将等式两边提示乘以3得到：3S=32+33+34+…+3101（2），（2）-（1）得到：2S=3101-3问题：（1）2+22+…+22011的值为__________________；（直接写出结果）（2）求4+12+36+…+4×350的值；（3）如图，在等腰Rt△OAB中，OA=AB=1，以斜边OB为腰作第二个等腰Rt△OBC，再以斜边OC为腰作第三个等腰Rt△OCD，如此下去…一直作图到第8个图形为止．求所有的等腰直角三角形的所有斜边之和．（直接写出结果）．【答案】解：（1）22012-2．（2）令S=4+12+36+…+4×350 ①，将等式两边提示乘以3得到：3S=12+36+108+…+4×351②，②-①得到：2S=4×341-4∴S=2×351-2∴4+12+36+…+4×350=2×351-2．（3）92-2 2-1（）．。

代几综合复习(精品) 2

建立代数模型求解
数形结合!! 百般好
代数中的数量关系
点、线位置及方程根的情况
以形助数
以数解形
寻找图形中的几何关系
21
如何解代几综合题？
方法：
1、审题，挖掘隐含条件
2、分解复杂问题 3、恰当使用分析综合法，关注重要的数学思想方法
22
与特殊三角形、四边形等结合的代几综合
等腰三角形：体会数形结合
如图，在直角坐标系中，已知点 A（2，4），B（5，0），动点 P 从 B 点出发沿 BO 向终点 O 运动，动点 Q 从 A 点出发沿 AB 向终点 B 运动．两点同时出发，速度均为每秒 1 个单位，设从出发起运动了 x 秒．
y A
（1）Q 点的坐标为（用含 x 的代数式表示）
Q G
O
P
成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；（3）设 G 为 y 轴上一点，点 P 从直线 y kx b 与 y 轴的交点出发，先沿 y 轴到达 G 点，再沿 GA 到达 A 点.若 P 点在 y 轴上运动的速度是它在直线 GA 上运动速度的 2 倍，试确定 G 点的位置，使 P 点按照上述要求到达 A 点所用的时间最短.
六年考题
07 年北京市 24（本题满分 7 分）
内容方法
函数解析式的确定直线的平移点的坐标勾股定理
并以此为背景
等边三角形角平分线
能力考察
数形结合、分类讨论
11
六年考题
08 年北京市 24（满分 7 分）
在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y x2 bx c 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧）．．，与 y 轴交于点 C，点 B 的坐标为（3，0），将直线 y kx 沿 y 轴向上平移 3 个单位长度后恰好经过 B、C 两点．

2012北京各区第一学期期末代几综合题

xy 2012北京各区第一学期期末代几综合题（丰台）25．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C 1：212.y x x =-+（1）将抛物线C 1先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线C 2，求抛物线C 2的顶点P 的坐标及它的解析式．（2）如果x 轴上有一动点M ，那么在两条抛物线C 1、C 2上是否存在点N ，使得以点O 、P 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形（OP 为一边）？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．（石景山）25．如图，矩形'''O BC A 是矩形ABCO 绕点B 顺时针旋转得到的．其中点C O ,'在x 轴负半轴上，线段OA 在y 轴正半轴上，B 点的坐标为()3,1-．（1）如果二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图象经过'OO 、两点且图象顶点M 的纵坐标为1-．求这个二次函数的解析式；（2）求边''A O 所在直线的解析式；（3）在（1）中求出的二次函数图象上是否存在点P ，使得D CO M PO S S ''3∆∆=,若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．（怀柔）25．如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，1-）的抛物线交y 轴于A 点，交x 轴于B ，C 两点（点B 在点C 的左侧）. 已知A 点坐标为（0，3）.（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B 作线段AB 的垂线交抛物线于点D ，如果以点C 为圆心的圆与直线BD 相切，请判断抛物线的对称轴l 与⊙C 有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P 是抛物线上的一个动点，且位于A ，C 两点之间，问：当点P 运动到什么位置时，PAC ∆的面积最大？并求出此时P 点的坐标和PAC ∆的最大面积.解：（顺义）25已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，边长为32 的等边ABC △随着顶点A 在抛物线x x y 322-=上运动而运动，且始终有BC ∥x 轴．（1）当顶点A 运动至与原点重合时，顶点C 是否在该抛物线上？（2）ABC △在运动过程中有可能被x 轴分成两部分，当上下两部分的面积之比为1∶8（即8:1:=下部分上部分S S ）时，求顶点A 的坐标；（3）ABC △在运动过程中，当顶点B 落在坐标轴上时，直接写（4）出顶点C 的坐标．（昌平）25.如图，抛物线y =ax 2+bx +c 过点A （-1，0），且经过直线y =x -3与x 轴的交点B 及与y 轴的交点C ．（1）求点B 、C 的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）求抛物线的顶点M 的坐标；（4）在直线y =x -3上是否存在点P ，使△CMP 是等腰三角形？若存在，求出满足条件的P 点坐标；若不存在，说明理由．（通州）24．如图，四边形ABCO 是平行四边形，42AB OB ==，，抛物线过A B C 、、三点，与x 轴交于另一点D .一动点P 以每秒1个单位长度的速度从B 点出发沿BA 向点A 运动，运动到点A 停止，同时一动点Q 从点D 出发，以每秒3个单位长度的速度沿DC 向点C 运动，与点P 同时停止.（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线的对称轴与AB 交于点E ，与x 轴交于点F ，当点P 运动时间t 为何值时，四边形POQE 是等腰梯形？( 3 ) 当t 为何值时，以P B O 、、为顶点的三角形与以点 Q B O 、、为顶点的三角形相似？（海淀）25. 如图, 已知抛物线经过坐标原点O 及)0,32(-A ，其顶点为B (m ,3),C 是AB 中点，点E 是直线OC 上的一个动点 (点E 与点O 不重合)，点D 在y 轴上, 且EO =ED . （1）求此抛物线及直线OC 的解析式；（2）当点E 运动到抛物线上时, 求BD 的长；（3）连接AD , 当点E 运动到何处时，△AED 的面积为33，请直接写出此时E 点的坐标.（通州）22．如图，在平面直角坐标系中，以点C （1，1）为圆心，2为半径作圆，交x 轴于A B ，两点，开口向下的抛物线经过点A B ，，且其顶点P 在⊙C 上．（1）求ACB ∠的大小；（2）写出A B ，两点的坐标；（3）试确定此抛物线的解析式；（4）在该抛物线上是否存在一点D ，使线段OP 与CD 互相平分？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．（大兴）25.已知二次函数21342y x x =-+. （1）求它的对称轴与x轴交点D 的坐标；（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，如图所示，设平移后的抛物线的顶点为M ，与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B 、C 三点，连结AC 、BC,若∠ACB =90°. ①求此时抛物线的解析式； ②以AB 为直径作圆，试判断直线CM 与此圆的位置关系，并说明理由.（门头沟）25. 在平面直角坐标系中，抛物线32++=bx ax y 与x 轴的两个交点分别为A （-3，0）、B （1，0），过顶点C 作CH ⊥x 轴于点H. （1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）在y 轴上是否存在点D ，使得△ACD 是以AC 为斜边的直角三角形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，说明理由；（3）若点P 为x 轴上方的抛物线上一动点（点P 与顶点C 不重合），PQ ⊥AC 于点Q ，当△PCQ 与△ACH 相似时，求点P 的坐标.（东城）25．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线235y mx x m =+++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C （0 , 4），D 为OC 的中点. （1）求m 的值；（2）抛物线的对称轴与 x 轴交于点E ，在直线AD 上是否存在点F ，使得以点A 、B 、F 为顶点的三角形与ADE ∆ 相似？若存在，请求出点F 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点G ，使△GBC 中BC G 的坐标；若不存在，请说明理由．（平谷）24. 如图，一次函数的图象与反比例函数y 1= – 3x (0)x < 的图象相交于A 点，与y 轴、x 轴分别相交于B 、C 两点，且C （2，0).当1x <-时，一次函数值大于反比例函数的值，当1x >-时，一次函数值小于反比例函数值. （1）求一次函数的解析式；（2）设函数y 2= a x (0)x > 的图象与y 1= – 3x (x <0)的图象关于y 轴对称.在y 2= ax (0)x > 的图象上取一点P （P 点的横坐标大于2)，过P 作PQ ⊥x 轴，垂足是Q ，若四边形BCQP 的面积等于2，求P 点的坐标. 解：(延庆)25．已知二次函数m x mx y 43212-+-=的图象与x 轴交于点A （4,0）、点B ，与y 轴交于点C 。

【初三数学】代数几何综合题(含答案)(共15页)

代数几何综合题代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广、综合笥最强的题型，近几年的中考试题很多以代数几何综合题的形式出现，其命题的主要结合点是方程与几何、函数与几何等，解代数几何综合题最常用的数学方法是数形结合，由形导数，以数促形。

例1、如图，已知平面直角坐标系中三点A （2，0），B （0，2），P （x ，0）()x <0，连结BP ，过P 点作PC PB ⊥交过点A 的直线a 于点C （2，y ）（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当x 取最大整数时，求BC 与PA 的交点Q 的坐标。

解：（1） PC PB BO PO ⊥⊥,∴∠+∠=︒∠+∠=︒∴∠=∠CPA OPB PBO OPB CPA PBO 9090, A （2，0），C （2，y ）在直线a 上 ∴∠=∠=︒BOP PAC 90∴∆∆BOP PAC ~∴=PO AC BOPA，∴=+||||||x y x 22， x y x y x<<∴=-0022，，∴=-+y x x 122（2） x <0，∴x 的最大整数值为-1 ,当x =-1时，y =-32，∴=CA 32BO a BOQ CAQ OQ AQ BOCA//~,，∴∴=∆∆ 设Q 点坐标为()m ，0，则AQ m =-2∴-=∴=m m m 223287，Q 点坐标为()870，说明:利用数形结合起来的思想，考查了相似三角形的判定及应用。

关键是搞清楚用坐标表示的数与线段的长度的关系。

练习1．如图，从⊙O 外一点A 作⊙O 的切线AB 、AC ，切点分别为B 、C ，⊙O 的直径BD 为6，连结CD 、AO.(1)求证：CD ∥AO ；（3分）(2)设CD ＝x ，AO ＝y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3分） (3)若AO ＋CD ＝11，求AB 的长。

（4分）B2．如图，A、B两点的坐标分别是(x1，0)、(x2，O)，其中x1、x2是关于x的方程x2+2x+m-3=O 的两根，且x1<0<x2．(1)求m的取值范围；(2)设点C在y轴的正半轴上，∠ACB=90°，∠CAB=30°，求m的值；(3)在上述条件下，若点D在第二象限，△DAB≌△CBA，求出直线AD的函数解析式.3．一张矩形纸片OABC 平放在平面直角坐标系内，O 为原点，点A 在x 的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，OA ＝5，OC ＝4。

代几综合题

• （2）求B、C两点的坐标及图2中OF的长；
• （3）若OM是∠AOB的角平分线，且点G与点H分别是线段AO与射线OM上的两个动点，直接写出HG+AH的最小值，请在图3中画出示意图并简述理由。
动点+面积问题
• （12门头沟二模）如图，在直角坐标系中，y梯形34 xA13B6 CD的底边AB在x轴上，底边CD的端点D在y轴上.直线CB的表达式
抛物线+等分面积
• （东城区25）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图像与轴交于点，与轴交于A、B两点，点B的坐标为（1）求二次函数的解析式及顶点D的坐标；（2）点M是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM把四边形ACDB分成面积为1:2 的两部分，求出此时点的坐标；（3）点P是第二象限内抛物线上的一动点，问：点P在何处时△ 的面积最大？最大面
• 解题中用到的数学思想方法主要有：
• 方程与函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想及待定系数法、配方法等。
基本思路
1、借助几何直观解题； 2、运用方程思想、函数思想解题； 3、灵活运用数形结合的思想方法，由形导数，以数促形，综合运用代数和几何知识解题。
教学建议
• 1、因为代数与几何综合比较难，所以要注意层次，由易到难，逐步递进，别使学生畏惧，应该增强学生的自信心；
• （2013东城期末25）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B（0 , 3），顶点C位于第二象限，连结AB，AC，BC．
• (1) 求抛物线的解析式；
• (2) 点D是y轴正半轴上一点，且在B点上方，若∠DCB=∠CAB，请你猜想并证明CD 与AC的位置关系；

一次函数代几综合

一次函数代几综合【例题精讲一】例题1、如图1，已知直线y=2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC（1）求点C的坐标，并求出直线AC的关系式．（2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD=AC，求证：BE=DE．（3）如图3，在（1）的条件下，直线AC交x轴于M，P（，k）是线段BC上一点，在线段BM上是否存在一点N，使直线PN平分△BCM的面积？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．例题2、如图①所示，直线L：5y mx m=+与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点。

(1)当OA=OB时，试确定直线L的解析式；(2)在(1)的条件下，如图②所示，设Q为AB延长线上一点，作直线OQ，过A、B两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM=4，BN=3，求MN的长。

例题2图①(3)当m取不同的值时，点B在y轴正半轴上运动，分别以OB、AB为边，点B为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，连EF交y轴于P点，如图③。

问：当点B在 y轴正半轴上运动时，试猜想PB的长是否为定值，若是，请求出其值，若不是，说明理由。

例题3、直线y=-x+2与x轴、y轴交于A、B两点，C在y轴的负半轴上，且OC=OB(1)求AC的解析式；(2)在OA的延长线上任取一点P,作PQ⊥BP,交直线AC于Q,试探究BP与PQ的数量关系，并证明你的结论。

(3)在（2）的前提下，作PM⊥AC于M,BP交AC于N,下面两个结论：①(MQ+AC)/PM的值不变；②(MQ-AC)/PM的值不变，期中只有一个正确结论，请选择并加以证明。

xyoBACPQ第2题图③【课堂练习】习1、如图，直线1l 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，直线2l 与直线1l 关于x 轴对称，已知直线1l 的解析式为3y x =+，（1）求直线2l 的解析式；（3分）（2）过A 点在△ABC 的外部作一条直线3l ，过点B 作BE ⊥3l 于E,过点C 作CF ⊥3l 于F 分别，请画出图形并求证：BE ＋CF ＝EF（3）△ABC 沿y 轴向下平移，AB 边交x 轴于点P ，过P 点的直线与AC 边的延长线相交于点Q ，与y 轴相交与点M ，且BP ＝CQ ，在△ABC 平移的过程中，①OM 为定值；②MC 为定值。

代几综合-压轴题

【直角三角形存在的顶点问题】1、如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2＋bx＋c过A，B，C三点，点A的坐标是(3，0)，点C的坐标是(0，－3)，动点P在抛物线上．(1)b＝__－2__，c＝__－3__，点B的坐标为__(－1，0)__；(直接填写结果)(2)是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；(3)过动点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．2、如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，且抛物线经过A(1，0)，C(0，3)两点，与x轴交于点B.(1)若直线y＝mx＋n经过B，C两点，求直线BC和抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴x＝－1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；(3)设点P为抛物线的对称轴x＝－1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．【与已知三角形相似的顶点问题】1、如图，直线y＝－x＋3与x轴、y轴分别相交于点B，C，经过B，C两点的抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的另一个交点为A，顶点为P，且对称轴为直线x＝2.(1)求该抛物线的解析式；(2)连接PB，PC，求△PBC的面积；(3)连接AC，在x轴上是否存在一点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2、如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y=x﹣2交于B，C两点．（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）求证：△ABC是直角三角形；（3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．3、已知抛物线y=a（x+3）（x﹣1）（a≠0），与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴相交于点C，经过点A的直线y=﹣x+b与抛物线的另一个交点为D．（1）若点D的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；（2）若在第三象限内的抛物线上有点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC 相似，求点P的坐标；（3）在（1）的条件下，设点E是线段AD上的一点（不含端点），连接BE．一动点Q从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED 以每秒个单位的速度运动到点D后停止，问当点E的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？【等腰三角形存在的顶点问题】1、如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A和点B(3，0)，与y轴交于点C(0，3)．(1)求抛物线的解析式；(2)若点M是在x轴下方抛物线上的动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求线段MN的最大值；(3)在(2)的条件下，当MN取得最大值时，在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使△PBN是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．2、如图，抛物线y＝ax2＋2x－3与x轴交于A，B两点，且B(1，0)．(1)求抛物线的解析式和点A的坐标；(2)如图①，点P是直线y＝x上的动点，当直线y＝x平分∠APB时，求点P的坐标；(3)如图②，已知直线y＝23x－49分别与x轴、y轴交于C，F两点，点Q是直线CF下方的抛物线上的一个动点，过点Q作y轴的平行线，交直线CF于点D，点E在线段CD 的延长线上，连接QE.问：以QD 为腰的等腰△QDE 的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．3、如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝ax 2＋bx －8与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，直线l 经过坐标原点O ，与抛物线的一个交点为D ，与抛物线的对称轴交于点E ，连接CE ，已知点A ，D 的坐标分别为(－2，0)，(6，－8)．(1)求抛物线的函数表达式，并分别求出点B 和点E 的坐标； (2)试探究抛物线上是否存在点F ，使△FOE ≌△FCE ？若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若点P 是y 轴负半轴上的一个动点，设其坐标为(0，m)，直线PB 与直线l 交于点Q ，试探究：当m 为何值时，△OPQ 是等腰三角形．4、如图，抛物线y=ax 2+bx ﹣3（a ≠0）的顶点为E ，该抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且BO=OC=3AO ，直线y=﹣x +1与y 轴交于点D ．（1）求抛物线的解析式；（2）证明：△DBO ∽△EBC ；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PBC 是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P 点坐标，若不存在，请说明理由．【特殊平行四边形存在问题】1、如图，抛物线经过A(－1，0)，B(5，0)，C(0，－52)三点．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点P，使PA＋PC的值最小，求点P的坐标；(3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．2、如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a（x+1）2﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣），顶点为D，对称轴与x轴交于点H，过点H的直线l交抛物线于P，Q两点，点Q在y轴的右侧．（1）求a的值及点A，B的坐标；（2）当直线l将四边形ABCD分为面积比为3：7的两部分时，求直线l的函数表达式；（3）当点P位于第二象限时，设PQ的中点为M，点N在抛物线上，则以DP为对角线的四边形DMPN能否为菱形？若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由．【最短路径问题】1、如图，顶点为A （，1）的抛物线经过坐标原点O，与x轴交于点B．（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；（2）过B作OA的平行线交y轴于点C，交抛物线于点D，求证：△OCD≌△OAB；（3）在x轴上找一点P，使得△PCD的周长最小，求出P点的坐标．。

2020中考数学一轮复习二次函数之代几综合(含答案)

2020中考数学一轮复习二次函数之代几综合（含答案）1.如图，已知抛物线经过A （1,0），B （6,0），与y 轴交于点C （0，-3），顶点为M. （1）求出抛物线的解析式及点M 的坐标；（2）在抛物线的对称轴上找一点R ，使得CR ＋AR 的值最小，并求出其最小值和点R 的坐标；（3）以 AB 为直径作⊙N 交抛物线于点 P (点P 在对称轴的左侧)，求证：直线MP 是⊙N 的切线．第 1 题图（1）解：设抛物线的解析式为()()61--=x x a y ， ∵点C 在抛物线上，∴()()60103--=-a ，解得21-=a ，∴()()6121---=x x y =327212-+-x x ， ∵y=327212-+-x x =82527212+⎪⎭⎫ ⎝⎛--x ，∴顶点D 的坐标为（82527，）；（2）解：如解图，连接BC ，与对称轴相交于点R ，连接AR ， ∵B ，A 关于对称轴对称，BC 的值即为CR +AR 的最小值，A （1,0）， B （6,0），C （0，-3），第1题解图①∴CR +AR 的最小值为53362222=+=+=OC OB BC , 设直线BC 的解析式为b kx y +=（k ≠0），将B （6,0）、C （0，-3）两点代入b kx y +=（k ≠0），得，⎩⎨⎧-==+306b b k 解得,321⎪⎩⎪⎨⎧-==b k∴直线BC 的解析式为321-=x y ， ∵抛物线的对称轴为直线27212227=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-=-=ab x ，把x =27代入321-=x y 中得y =45-， ∴点R 的坐标为（4527-，），（3）证明：如解图②，连接NP 、AP 、BP ，设点P 的横坐标为a ，则纵坐标为()()6121---a a ，其中1＜a ＜27， ∵A （1,0），B （6,0），N （27，0）， ∴AB =6-1=5，∴PN =AN =25，过点P 作PD ⊥OB 交OB 于点D ， ∵PD =()()6121---a a ，DN =27-a ，在Rt △PDN 中，222PN DN PD =+，即()()22225612127⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a a ，()()()256172222=--+-a a a ，即()()()()()()2561612612222=--+--+-+-a a a a a a ①，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠APB =90°，在Rt △APB 中，由勾股定理得222AB PB PA =+， ∴()()()()256121612222=--+-+-a a a a ②，由①-②，得()()()()0612161222=--+--a a a a ，解得()()461-=--a a 或()()061=--a a （舍去）③，把③代入①中，得()()176122=-+-a a ，解得a =2或a =5（舍去），∴P （2,2），∴6462525222522722222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+PN MP ,6462582522=⎪⎭⎫ ⎝⎛=MN ,∴222MN PN MP =+，由勾股定理逆定理得△PMN 为直角三角形，∴∠MPN =90°， ∵PN 是⊙N 的半径，∴直线M P 是⊙N 的切线.第1题解图②2.如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴分别交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，其中点A (－1，0)、C (0，5)、D (1，8)在抛物线上，M 为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）求△MCB 的面积；（3）在抛物线上是否存在点P ，使△P AB 的面积等于△MCB 的面积？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．第2题图解：（1）∵A (－1，0)，C (0，5)，D (1，8)三点在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 上，∴⎪⎩⎪⎨⎧++==+-=c b a c c b a 850，解得⎪⎩⎪⎨⎧==-=541c b a ， ∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋4x ＋5；（2）如解图，过点M 作MN ∥y 轴交BC 于点N ， ∴S △MCB ＝S △MCN ＋S △MNB ＝12MN ·OB .∵y ＝－x 2＋4x ＋5＝－(x －5)(x ＋1)＝－(x －2)2＋9， ∴M (2，9)，B (5，0)，由B ，C 两点的坐标易求得直线BC 的解析式为：y ＝－x ＋5，当x ＝2时，y ＝－2＋5＝3，则N (2，3)，则MN ＝9－3＝6，则S △MCB ＝12×6×5＝15；第2题解图（3）在抛物线上存在点P，使△P AB的面积等于△MCB的面积．∵A(－1，0)，B(5，0)，∴AB＝6，∵S△P AB＝S△MCB，∴12×6×|y P|＝15，∴|y P|＝5，即y P＝±5.当y P＝5时，－x2＋4x＋5＝5，解得x1＝0，x2＝4；当y P＝－5时，－x2＋4x＋5＝－5，解得x3＝2＋14，x4＝2－14.故在抛物线上存在点P1(0，5)，P2(4，5)，P3(2＋14，－5)，P4(2－14，－5)，使△P AB的面积等于△MCB的面积．3.如图，抛物线y＝－12x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)、B两点，与y轴交于点C(0，2)，抛物线的对称轴交x轴于点D. （1）求抛物线的解析式；（2）求sin∠ABC的值；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形，如果存在，直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．第3题图解：（1）将点A (－1，0)，C (0，2)代入抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 中得， ⎩⎨⎧－12－b ＋c ＝0c ＝2，解得⎩⎨⎧b ＝32c ＝2，∴抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋32x ＋2；（2）令y ＝－12x 2＋32x ＋2＝0，解得x 1＝－1，x 2＝4， ∴点B 的坐标为(4，0)，在Rt △BOC 中，BC ＝OC 2＋OB 2＝22＋42＝25，∴sin ∠ABC ＝OC BC ＝225＝55；（3）存在，点P 坐标为(32，52)或(32，－52)或(32，4)．【解法提示】由抛物线y ＝－12x 2＋32x ＋2得对称轴为直线x ＝32，∴点D 的坐标为(32，0)． ∴CD ＝OC 2＋OD 2＝22＋（32）2＝52.∵点P 在对称轴x ＝32上，且△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形， ∴当点D 为顶点时，有DP ＝CD ＝52，此时点P 的坐标为(32，52)或(32，－52)；当点C 为顶点时，如解图，连接CP ，则CP ＝CD ，过点C 作CG ⊥DP 于点G ，则DG ＝PG ，第3题解图∵DG ＝2， ∴PG ＝2，PD ＝4， ∴点P 的坐标为(32，4)．综上，存在点P 使△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形，点P 的坐标为 (32，52)或(32，－52)或(32，4)．类型三直角三角形的存在性问题4.如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴为直线x ＝－1，且经过A (1，0)，C (0，3)两点，与x 轴的另一个交点为B .（1）若直线y ＝mx ＋n 经过B ，C 两点，求抛物线和直线BC 的解析式；（2）在抛物线的对称轴x ＝－1上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求点M 的坐标；（3）设点P 为抛物线的对称轴x ＝－1上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标．第4题图解：（1）由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－b2a ＝－1a ＋b ＋c ＝0c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－2c ＝3，∴抛物线的解析式为y ＝－x 2－2x ＋3.∵对称轴为直线x ＝－1，抛物线经过A (1，0)， ∴B (－3，0)．把B (－3，0)，C (0，3)分别代入y ＝mx ＋n 得 ⎩⎪⎨⎪⎧－3m ＋n ＝0n ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1n ＝3， ∴直线BC 的解析式为y ＝x ＋3；（2）如解图，连接MA ，第4题解图∵MA ＝MB ，∴MA ＋MC ＝MB ＋MC .∴使MA ＋MC 最小的点M 应为直线BC 与对称轴x ＝－1的交点．设直线BC 与对称轴x ＝－1的交点为M ，把x ＝－1代入直线y ＝x ＋3，得 y ＝2.∴M (－1，2);（3）设P (－1，t )，∵B (－3，0)，C (0，3)，∴BC 2＝18， PB 2＝(－1＋3)2＋t 2＝4＋t 2， PC 2＝(－1)2＋(t －3)2＝t 2－6t ＋10.①若B 为直角顶点，则BC 2＋PB 2＝PC 2，即18＋4＋t 2＝t 2－6t ＋10，解得t ＝－2；②若C 为直角顶点，则BC 2＋PC 2＝PB 2，即18＋t 2－6t ＋10＝4＋t 2，解得t ＝4；③若P 为直角顶点，则PB 2＋PC 2＝BC 2，即： 4＋t 2＋t 2－6t ＋10＝18，解得t 1＝3＋172，t 2＝3－172.综上所述，满足条件的点P 共有四个，分别为：P 1(－1，－2)，P 2(－1，4)，P 3(－1，3＋172)，P 4(－1，3－172)．5. 如图，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交于点A （-3,0），B （1,0），与 y 轴交于点C （0，3），顶点为D . （1）求抛物线的解析式及点D 的坐标；（2）如图①，在x 轴上找一点E ，使得△CDE 的周长最小，求点E 的坐标；（3）如图②，F 为直线AC 上的动点，在抛物线上是否存在点P ，使得△AFP 为等腰直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．第5题图解：（1）∵A (－3，0)，B （1,0），C (0，3)在抛物线上，∴,32130390⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-=c b a c c b a c b a 解得 ∴抛物线的解析式为y ＝－x 2－2x ＋3， ∵y ＝－x 2－2x ＋3=()412++-x ，∴点D 的坐标为（-1,4）；（2）如解图①，作点C 关于x 轴的对称点M ，则M (0，－3)，连接DM ，DM 与x 轴的交点为E ，连接CE ，此时△CDE 的周长最小，设直线DM 的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，将D (－1，4)，M (0，－3)代入y ＝kx ＋b ，得,37,34⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧-==+-b k b b k 解得∴直线DM 的解析式为y ＝－7x －3，令y ＝0，则y ＝－7x －3＝0，解得x ＝－37，∴点E 的坐标为(－37，0)；第5题解图①（3）存在．由（1）知，OA ＝OC ＝3，∠AOC ＝90°， ∴∠CAB ＝45°，如解图②，①当∠AFP ＝90°时，即∠AF 1P 1＝90°，∴点P 1既在x 轴上，又在抛物线上，则点P 1与点B 重合，点P 1的坐标为(1，0)；第5题解图②②当∠F AP ＝90°时，即∠F 2AP 2＝90°，则∠P 2AO ＝45°，设AP 2与y 轴的交点为点N ， ∴OA ＝ON ＝3，则N (0，－3)， ∴直线AP 2的解析式为y ＝－x －3，联立抛物线与直线AP 2的解析式，得方程组⎩⎨⎧+--=--=3232x x y x y ，解得⎩⎨⎧=-=03y x 或⎩⎨⎧-==52y x ，∵A (－3，0)， ∴P 2(2，－5)；③当∠APF ＝90°时，即∠AP 3F 3＝90°，点P 3既在x 轴上，又在抛物线上，则点P 3与点B 重合，点P 3的坐标为(1，0)．综上所述，抛物线上存在点P ，使得△AFP 为等腰直角三角形，其坐标为P (1，0)或(2，－5)． 6. 如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与y 轴交于点C (0，4)，与x 轴交于点A 和点B ，其中点A 的坐标为(－2，0)，抛物线的对称轴为直线x ＝1与抛物线交于点D ，与直线BC 交于点E.第6题图（1）求抛物线的解析式；（2）若点F 是直线BC 上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F ，使四边形ABFC 的面积为17？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）平行于DE 的一条直线l 与直线BC 相交于点P ，与抛物线相交于点Q ，若以D 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐标．解：（1）∵点A (－2，0)与点B 关于直线x ＝1对称，∴B (4，0)，将点A ，B ，C 的坐标代入函数解析式，得⎩⎪⎨⎪⎧4a －2b ＋c ＝016a ＋4b ＋c ＝0c ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12b ＝1c ＝4，∴抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋x ＋4；（2）不存在点F ，使四边形ABFC 的面积为17，理由如下： ∵B (4，0)，C (0，4)， ∴BC 的解析式为y ＝－x ＋4，如解图，过点F 作x 轴垂线，交BC 于G ，设F 点的坐标为(m ，－12m 2＋m ＋4)，则G (m ，－m ＋4)，∴FG＝(－12m2＋m＋4)－(－m＋4)＝－12m2＋2m，∴S四边形ABFC＝S△ABC＋S△BCF＝12AB·y C＋12FG·(x B－x C)＝1 2×6×4＋12×4(－12m2＋2m)＝17，整理得m2－4m＋5＝0，∵b2－4ac＝16－4×1×5＝－4<0.∴方程无解，∴F点不存在；第6题解图（3）当x＝1时，－12x2＋x＋4＝92，即D(1，92)．当x＝1时，－x＋4＝3，即E(1，3)，∴DE＝92－3＝32.设Q点坐标为(m，－12m2＋m＋4)，则P(m，－m＋4)．∴|PQ|＝|(－12m2＋m＋4)－(－m＋4)|＝|－12m2＋2m|.由PQ∥DE，PQ＝DE得|－12m2＋2m|＝32，∴－12m2＋2m＝32或－12m2＋2m＝－32，解得m 1＝1(PQ 与DE 重合，舍去)，m 2＝3，m 3＝2＋7，m 4＝2－7. ∴P 点坐标为(3，1)或(2＋7，2－7)或(2－7，2＋7)．7.如图，一次函数y ＝12x ＋1的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，二次函数y ＝12x 2＋bx ＋c 的图象与一次函数y ＝12x ＋1的图象交于B 、C 两点，与x 轴交于D 、E 两点且D 点坐标为(1，0)．第7题图（1）求二次函数的解析式；（2）若抛物线上存在点P ，使S △BDC ＝S △PBC ，求出P 点坐标(不与已知点重合)；（3）在x 轴上存在点N ，平面内存在点M ，使得B 、N 、C 、M 为顶点构成矩形，请直接写出M 点坐标．解：（1）将x ＝0代入y ＝12x ＋1中，得：y ＝1， ∴B (0，1)，将B (0，1)，D (1，0)代入y ＝12x 2＋bx ＋c 得：,123,0211⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧=++=c b c b c 解得 ∴二次函数的解析式为y ＝12x 2－32x ＋1；（2）如解图①，过点D 作DF ∥y 轴交AC 于点F ，过点P 作PG ∥y 轴交AC 于点G ，将x ＝1代入直线BC 的解析式得：y ＝32，即F (1，32)，设点P (x ，12x 2－32x ＋1)，则G (x ，12x ＋1)，∴GP ＝|12x ＋1－(12x 2－32x ＋1)|＝|－12x 2＋2x |. ∵△PBC 的面积＝△DBC 的面积， ∴DF ＝GP ，即|12x 2－2x |＝32，当12x 2－2x ＝32时，解得x ＝2＋7或x ＝2－7， ∴点P 的坐标为(2＋7，7＋72)或(2－7，7－72)，当12x 2－2x ＝－32时，解得x ＝3或x ＝1(舍去)， ∴点P 的坐标为(3，1)，综上所述，点P 的坐标为(3，1)或(2＋7，7＋72)或(2－7，7－72)；第7题解图①（3）点M 的坐标为(92，2)，(32，－2)，(3，4)或(1，4).【解法提示】如解图②所示：当∠CBN ＝90°时，则BN 的解析式为y ＝－2x ＋1，将直线BC 的解析式与抛物线的解析式联立得：⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋1y ＝12x 2－32x ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝3，∴点C 的坐标为(4，3)，将y ＝0代入直线BN 的解析式得：－2x ＋1＝0，解得x ＝12，∴点N 的坐标为(12，0)，设点M 的坐标为(x ，y )， ∵四边形BNMC 为矩形，∴12＋42＝0＋x 2，0＋32＝1＋y 2，解得x ＝92，y ＝2， ∴点M 的坐标为(92，2)；第7题解图②如解图③所示：当∠CNM ＝90°时，设CN 的解析式为y ＝－2x ＋n ，将点C 的坐标代入得：－8＋n ＝3，解得n ＝11，∴CN 的解析式为y ＝－2x ＋11，将y ＝0代入得－2x ＋11＝0，解得x ＝112，∴点N 的坐标为(112，0)，设点M 的坐标为(x ，y )， ∵四边形BMNC 为矩形， ∴0＋1122＝4＋x 2，1＋02＝3＋y 2，解得x ＝32，y ＝－2， ∴点M 的坐标为(32，－2)；第7题解图③如解图④所示：当∠BNC ＝90°时，过点C 作CF ⊥x 轴，垂足为F ，第7题解图④设ON ＝a ，则NF ＝4－a ，∵∠BNO ＋∠OBN ＝90°，∠BNO ＋∠CNF ＝90°， ∴∠OBN ＝∠CNF ，又∵∠BON ＝∠CFN ， ∴△BON ∽△NFC ，∴ON CF ＝OB NF ，即a 3＝14－a，解得：a ＝1或a ＝3，当a ＝1时，点N 的坐标为(1，0)，设点M 的坐标为(x ，y )， ∵四边形BNCM 为矩形，∴0＋42＝1＋x 2，1＋32＝0＋y 2，解得x ＝3，y ＝4， ∴点M 的坐标为(3，4)；当a ＝3时，点N 的坐标为(3，0 )，设点M 的坐标为(x ，y )， ∵四边形BNCM 为矩形， ∴0＋42＝3＋x 2，1＋32＝0＋y 2，解得x ＝1，y ＝4， ∴点M 的坐标为(1，4)，综上所述，点M 的坐标为(92，2)，(32，－2)，(3，4)或(1，4)．8.如图，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过A 、B 两点，A 、B 两点的坐分别为(－1，0)、(0，－3)．（1）求抛物线的解析式；（2）点E 为抛物线的顶点，点C 为抛物线与x 轴的另一个交点，点D 为y 轴上一点，且DC ＝DE ，求点D 的坐标；（3）在（2）的条件下，直线DE 上是否存在点P ，使得以C 、D 、P 为顶点的三角形与△DOC相似？如果存在，请直接写出点P 的坐标；如果不存在，说明理由．第8题图解：（1）∵抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过点A (－1，0)、B (0，－3)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1－b ＋c ＝0c ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2c ＝－3， ∴抛物线的解析式为y ＝x 2－2x －3；（2）令y ＝0，则x 2－2x ＋3＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3， ∴点C 的坐标为(3，0)， ∵y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4， ∴点E 的坐标为(1，－4)，设点D 的坐标为(0，m )，如解图①，过点E 作EF ⊥y 轴于点F ， ∵DC 2＝OD 2＋OC 2＝m 2＋32， DE 2＝DF 2＋EF 2＝(m ＋4)2＋12， DC ＝DE ，∴DC 2=DE 2，即m 2＋32＝(m ＋4)2＋12，解得m ＝－1，∴点D 的坐标为(0，－1)；第8题解图①（3）存在点P 使得以C 、D 、P 为顶点的三角形与△DOC 相似，其坐标为(－13，0)、(13，－2)、(－3，8)、(3，－10)．【解法提示】∵点C (3，0)，D (0，－1)，E (1，－4)， ∴CO ＝DF ＝3，DO ＝EF ＝1，根据勾股定理得，CD ＝OC 2＋OD 2＝32＋12＝10，在△COD 和△DFE 中，⎩⎪⎨⎪⎧CO ＝DF ∠COD ＝∠DFE ＝90°DO ＝EF ，∴△COD ≌△DFE (SAS)， ∴∠EDF ＝∠DCO ，又∵∠DCO ＋∠CDO ＝90°，∴∠CDE＝180°－90°＝90°，∴CD⊥DE，①OC与CD是对应边时，∵△DOC∽△PDC，∴OCDC＝ODDP，即310＝1DP，解得DP＝103，如解图②，过点P作PG⊥y轴于点G，∵EF⊥y轴，∴△DGP∽△DFE，∴DGDF＝GPFE＝DPDE，即DG3＝PG1＝10310，解得DG＝1，PG＝13，当点P在点D的左边时，OG＝DG－DO＝1－1＝0，∴点P1(－13，0)，当点P在点D的右边时，OG＝DO＋DG＝1＋1＝2，∴点P2(13，－2)；第8题解图②②OC与DP是对应边时，∵△DOC∽△CDP，∴OCDP＝DOCD，即3DP＝110，解得DP＝310，如解图③，过点P作PG⊥y轴于点G，∵EF⊥y，∴△DGP∽△DFE，∴DGDF＝PGEF＝DPDE，即DG3＝PG1＝31010，解得DG＝9，PG＝3，当点P在点D的左边时，OG＝DG－OD＝9－1＝8，∴点P3的坐标是(－3，8)，当点P在点D的右边时，OG＝OD＋DG＝1＋9＝10，∴点P4的坐标是(3，－10)，第8题解图③综上所述，满足条件的点P共有4个，其坐标分别为(－13，0)、( 13，－2)、(－3，8)、(3，－10)．9. 如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(－1，0)，B(4，0)两点，与y轴相交于点C，连接BC.点P为抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线l，交直线BC于点G，交x轴于点E.第9题图（1）求抛物线的表达式；（2）当P在y轴右边的抛物线上运动时，过点C作CF⊥直线l，垂足为F.当点P运动到何处时，以P，C，F为顶点的三角形与△OBC相似？并求出此时点P的坐标；（3）如图②，当点P在直线BC上方的抛物线上运动时，连接PC，PB.请问△PBC的面积S 能否取得最大值？若能，请求出最大面积S，并求出此时点P的坐标；若不能，请说明理由．解：（1）由于抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A(－1，0)和B(4，0)，∴抛物线的表达式为y＝－(x＋1)(x－4)＝－x2＋3x＋4；（2）对于抛物线y＝－x2＋3x＋4，令x＝0，则y＝4，∴C(0，4)，∵B(4，0)，∴OC＝OB＝4，设P点的坐标为(t，－t2＋3t＋4)，则CF＝t，PF＝|－t2＋3t＋4－4|＝|－t2＋3t|，如果以P，C，F为顶点的三角形与△OBC相似，则CF＝PF，即t＝|－t2＋3t|，当t＝－t2＋3t时，解得t1＝0(舍去)，t2＝2，此时，－t2＋3t＋4＝－22＋3×2＋4＝6，∴P的坐标为(2，6)；当－t＝－t2＋3t时，解得t3＝0(舍去)，t4＝4，此时，－t2＋3t＋4＝－42＋3×4＋4＝0，∴P的坐标为(4，0)．∴P 点的坐标为(2，6)或(4，0)；（3）△PBC 的面积S 能取得最大值.设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋m (k ≠0)，代入点B (4，0)和点C (0，4)得：⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋m ＝0m ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1m ＝4， ∴直线BC 的解析式为y ＝－x ＋4.设P 点坐标为(n ，－n 2＋3n ＋4)，∵点G 在直线BC 上，∴G (n ，－n ＋4)，∵点P 在直线BC 上方抛物线上运动，∴PG ＝－n 2＋3n ＋4－(－n ＋4)＝－n 2＋4n ，∵S △PBC ＝S △PGC ＋S △PGB＝12PG ·OE ＋12PG ·BE＝12PG ×OB＝12×(－n 2＋4n )×4＝－2(n －2)2＋8，∵－2＜0，0＜n ＜4，∴当n ＝2时，S △PBC 有最大值为8，此时P 点的坐标为(2，6)．10.如图，经过点A （3,3）的抛物线bx ax y +=2与x 轴交于点B （4,0）和原点O ，P 为二次函数上一动点，过P 作x 轴垂线，垂足为D (x'，0)(x'>0)，并与直线OA 交于点C .（1）求抛物线的表达式；（2）当点P 在线段OA 上方时，过P 作x 轴的平行线与线段OA 相交于点E ，求△PCE 周长的最大值及此时P 点的坐标；（3）当PC ＝CO 时，求P 点坐标.第10题图解：（1）∵A （3,3），B （4,0）两点在抛物线bx ax y +=2上， ∴,4160393⎩⎨⎧+=+=b a b a 解得,41⎩⎨⎧=-=b a ∴抛物线的表达式为x x y 42+-=；（2）如解图①，设点P 的坐标为(x ，－x 2＋4x )，第10题解图①∵点A 坐标为(3，3)；∴∠AOB ＝45°，∴OD ＝CD ＝x ，∴PC＝PD－CD＝－x2＋4x－x＝－x2＋3x，∵PE∥x轴，∴△PCE是等腰直角三角形，∴当PC取最大值时，△PCE周长最大．∵PE与线段OA相交，∴0≤x≤1，由PC＝－x2＋3x＝－(x－32)2＋94可知，抛物线的对称轴为直线x＝32，且在对称轴左侧PC随x的增大而增大，∴当x＝1时，PC最大，PC的最大值为－1＋3＝2，∴PE＝2，CE＝，∴△PCE的周长为CP＋PE＋CE＝4＋，∴△PCE周长的最大值为4＋，把x＝1代入y＝－x2＋4x，得y＝－1＋4＝3，∴点P的坐标为(1，3)；（3）设点P坐标为(x，－x2＋4x)，则点C坐标为(x，x)，如解图②，D2第10题解图②①当点P在点C上方时，P1C1＝－x2＋4x－x＝－x2＋3x，OC12x，∵P1C1＝OC1，∴－x2＋3x2x，解得x1＝32，x2＝0(舍去)．把x＝32代入y＝－x2＋4x得，y＝－(32)2＋4(32)＝1＋2，∴P1(32，1＋2)，②当点P在点C下方时，P2C2＝x－(－x2＋4x)＝x2－3x，OC22x，∵P2C2＝OC2，∴x2－3x2x，解得x1＝32x2＝0(舍去)，把x＝32代入y＝－x2＋4x，得y＝－(32＋4(3)＝1－，∴P2(3，1－)．综上所述，P点坐标为(3，1＋)或(3，1－)．。

最新中考数学：代几综合题—以代数为主的综合

代几综合题（以代数为主的综合）典题探究例1 已知抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交于点A （0，3），与x 轴分别交于B （1，0）、C （5，0）两点．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点D 为线段OA 的一个三等分点, 求直线DC 的解析式；（3）若一个动点P 自OA 的中点M 出发，先到达x 轴上的某点（设为点E ），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F ），最后运动到点A ，求使点P 运动的总路径最短的点E 、点F 的坐标，并求出这个最短总路径的长．例2 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223y mx mx n =++经过(35)(02)P A ，，，两点．（1）求此抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为B ，将直线AB 沿y 轴向下平移两个单位得到直线，直线与抛物线的对称轴交于C 点，求直线的解析式；（3）在（2）的条件下，求到直线OB OC BC ，，距离相等的点的坐标．例3在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B的左侧．．），与y 轴交于点C ，点B 的坐标为（3，0），将直线y kx =沿y 轴向上平移 3个单位长度后恰好经过B 、C 两点．（1）求直线BC 及抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D ，点P 在抛物线的对称轴上，且∠APD =∠ACB ，求点P的坐标；（3）连结CD ，求∠OCA 与∠OCD 两角和的度数．例4在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23454122+-++--=m m x m x m y 与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B(2，n)在这条抛物线上.(1) 求点B 的坐标；(2) 点P 在线段OA 上，从O 点出发向点运动，过P 点作x 轴的垂线，与直线OB 交于点E 。

延长PE 到点D 。

使得ED=PE. 以PD 为斜边在PD 右侧作等腰直角三角形PCD(当P 点运动时，C 点、D 点也随之运动)当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求OP 的长；若P 点从O 点出发向A 点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA 上另一点Q 从A 点出发向O 点作匀速运动，速度为每秒2个单位(当Q 点到达O 点时停止运动，P 点也同时停止运动)。

代几综合训练题

代几综合训练题1 如图在平面平面直角系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与轴交于点A（-2，0）、B（4，0），与轴交于点C（0，4），直线l是抛物线的对称轴，与x轴交于点D，点P 是直线l上一动点．（1）求此抛物线的表达式．（2）当AP+CP的值最小时，求点P的坐标；再以点A为圆心，AP的长为半径作⊙A．求证：BP与⊙A相切．（3）点P在直线l上运动时，是否存在等腰△ACP？若存在，请写出所有符合条件的点P坐标；若不存在，请说明理由．2如图，四边形OABC为正方形，点A在x轴上，点C在y轴上，点B（8，8），点P 在边OC上，点M在边AB上．把四边形OAMP沿PM对折，PM为折痕，使点O落在BC边上的点Q处．动点E从点O出发，沿OA边以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，运动时间为t，同时动点F从点O出发，沿OC边以相同的速度向终点C运动，当点E到达点A时，E、F同时停止运动．（1）若点Q为线段BC边中点，直接写出点P、点M的坐标；（2）在（1）的条件下，设△OEF与四边形OAMP重叠面积为S，求S与t的函数关系式；（3）在（1）的条件下，在正方形OABC边上，是否存在点H，使△PMH为等腰三角形，若存在，求出点H的坐标，若不存在，请说明理由；（4）若点Q为线段BC上任一点（不与点B、C重合），△BNQ的周长是否发生变化，若不发生变化，求出其值，若发生变化，请说明理由．3如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点P，顶点为C（1，-2）．（1）求此函数的关系式；（2）作点C关于x轴的对称点D，顺次连接A，C，B，D．若在抛物线上存在点E，使直线PE将四边形ABCD分成面积相等的两个四边形，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得△PEF是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点F的坐标及△PEF的面积；若不存在，请说明理由．4如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点A（-3，0），点B（1，0），交y轴于点E（0，-3）．点C是点A关于点B的对称点，点F是线段BC的中点，直线l过点F且与y轴平行．直线y=-x+m过点C，交y轴于D点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点K为线段AB上一动点，过点K作x轴的垂线与直线CD交于点H，与抛物线交于点G，求线段HG长度的最大值；（3）在直线l上取点M，在抛物线上取点N，使以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标．5如图，抛物线y=ax2+2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A（-4，0）和B．（1）求该抛物线的解析式；（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ．当△CEQ的面积最大时，求点Q的坐标；（3）平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（-2，0）．问是否有直线l，使△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．6已知二次函数图象的顶点坐标为M（2，0），直线y=x+2与该二次函数的图象交于A、B两点，其中点A在y轴上（如图示）（1）求该二次函数的解析式；（2）P为线段AB上一动点（A、B两端点除外），过P作x轴的垂线与二次函数的图象交于点Q，设线段PQ的长为l，点P的横坐标为x，求出l与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；（3）在（2）的条件下，线段AB上是否存在一点P，使四边形PQMA为梯形？若存在，求出点P的坐标，并求出梯形的面积；若不存在，请说明理由7在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-3，0）、B（0，3）、C（1，0）三点．（1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标；（2）如图1，将抛物线的对称轴绕抛物线的顶点D顺时针旋转60°，与直线y=-x交于点N．在直线DN上是否存在点M，使∠MON=75°．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点P、Q分别是抛物线y=ax2+bx+c和直线y=-x上的点，当四边形OBPQ是直角梯形时，求出点Q的坐标．8如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1与抛物线y=ax2+bx-3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A、B点重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D．（1）求a、b及sin∠ACP的值；（2）设点P的横坐标为m；①用含有m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；②连接PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积之比为9：10？若存在，直接写出m的值；若不存在，说明理由．9已知，如图，点B（0，1），点F（-2，0），直线BF与抛物线交于A，B两点，若抛物线图象顶点为C（1，0），（1）求直线BF与抛物线函数关系式；（2）P为线段AB上一动点（P不与A，B重合），过P做x轴垂线与二次函数交于点E，设线段PE长为h，点P横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x取值范围；（3）D为线段AB与二次函数对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使四边形DCEP为平行四边形？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由；（4）在（3）中，线段AB上是否存在一点P，使四边形DCEP为等腰梯形？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．10如图，已知直线y＝－12x＋2与抛物线y＝a(x＋2)2相交于A、B两点，与x轴相交于C点，点B 在y轴上，D为抛物线的顶点．P为线段AB上一个动点（点P不与A、B重合），过P点作x轴的垂线与抛物线交于Q点．（1）求抛物线的解析式；（2）设直线与抛物线的对称轴交于点E，如果以P、Q、E为顶点的三角形与△BOC相似，求点P 的坐标；（3）连接QD，探究四边形PQDE的形状：①能否成为菱形；②能否成为等腰梯形？如果能，求点11 已知二次函数y＝ax2＋bx－2的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A 的坐标为（4，0），且当x＝－2和x＝5时二次函数的函数值y相等．（1）求实数a、b的值；（2）如图1，动点E、F同时从A点出发，其中点E以每秒2个单位长度的速度沿AB 边向终点B运动，点F以每秒5个单位长度的速度沿射线AC方向运动．当点E停止运动时，点F随之停止运动．设运动时间为t秒．连接EF，将△AEF沿EF翻折，使点A落在点D处，得到△DEF．①当t为何值时，线段DF平分△ABC的面积？②是否存在某一时刻t，使得△DCF为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．③设△DEF与△ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式；（3）如图2，点P在二次函数图象上运动，点Q在二次函数图象的对称轴上运动，四边形PQBC能否成为以PQ为底的等腰梯形？如果能，直接写出P、Q两点的坐标；如果不能，请说明理由．。

综合试题1题库(119道)

综合试题11、K001、请选择出哪一个功能选项，在手动遥控飞行时，可以改变各通道的操作灵敏度？——[单选题]A 微调比例B 行程比例C 通道速度正确答案：B2、K002、用于起降的遥控器中THR、ELE通道分别控制多旋翼无人机的什么运动？——[单选题]A THR（上升、下降）ELE（前后、俯仰）B THR（前后、俯仰）ELE（上升、下降）C THR（上升、前后）ELE（下降、俯仰）正确答案：A3、K003、用于起降的遥控器中AIL、RUD通道分别控制多旋翼无人机的什么运动？——[单选题]A AIL（左、右移动）RUD（左、右水平旋转）B AIL（左、右水平旋转）RUD（左、右移动）C AIL（前、后移动）RUD（上、下移动）正确答案：A4、K004、用于起降的遥控器菜单中FAIL SAFE是什么功能设定？——[单选题]A 模式转换B 模型选择C 失控保护正确答案：C5、K005、遥控器SUB TRIM代表什么意思？——[单选题]A 舵量微调B 中立微调C 油门微调正确答案：B6、K006、聚合物锂电池长时间储存单片电压是多少？——[单选题]A 4.2VB 3.8VC 3.7V正确答案：B7、K007、以6S 5000mAh 20C( )锂电池为例，最大放电电流是多少？——[单选题]A 30AB 15AC 100A正确答案：C8、K008、下列哪种电池的能量密度最大？——[单选题]A 锂聚合物电池B 镍氢电池C 铅酸电池正确答案：A9、K009、现有两组10000mah/6S/15C的电池，将两组电池并联后使用1C充电，充满电后电池组的电压是多少？——[单选题]A 25.2VB 22.2VC 11.1V正确答案：A10、K010、6S1P/10000mah/20C电池，当两块电池并联，最大放电电流多少安？——[单选题]A 200AB 120AC 400A正确答案：C11、K011、10000mah/6S/15C的电池充电，设置安全电流多少安？——[单选题]A 150AB 10AC 60A正确答案：B12、K012、成品Lipo 6S 1P 12000mah30C电池，请问该电池的单片电芯容量为多少mah？——[单选题]A 12000mahB 72000mahC 24000mah正确答案：A13、K013、成品Lipo6S 1P 10000mah 25C( )电池，请问该电池可设定的最大充电电流为多少A？——[单选题]A 20AB 30AC 40A正确答案：B14、K014、成品Upo6S 1P 12000mah 30C电池，请问该电池的单片电芯容量为多少mah？该组电池电压在几V的状态下可长时间保存？——[单选题]A 12000mah 22.8V-23.4VB 12000mah 22.2V-25.2VC 12000mah21.6V-22.8V正确答案：A15、K015、下列无人机部件中，电调杜邦线接什么？——[单选题]A 接收机B 飞控C 电机正确答案：B16、K016、标有60A的电调中，选用多大的电池合适？——[单选题]A 大于60AB 等于60AC 小于60A正确答案：A17、K017、电调的作用不包括哪些？——[单选题]A 改变电机转速B 直流电变交流电C 改变电流大小正确答案：C18、K018、常用电调线的数量不包括？——[单选题]A 8根B 7根C 6根正确答案：C19、K019、电调最粗的两根硅胶线连接什么？——[单选题]A 电池B 电机C 飞控正确答案：A20、K020、标有4S-6S的电调，最大允许多大电压？——[单选题]A 22.2VB 25.2VC 44.4V正确答案：B21、K021、无人机ESC部件( )，以下两组电池6S 10000mah 10C和12S 16000mah 15C，哪一组适用？——[单选题]A 12S 16000mah 15CB 6S 10000mah 10CC 都适用正确答案：B22、K022、目前常用无人机使用什么类型的电机——[单选题]A 外转子三相交流无刷同步电机B 外转子三相交流无刷异步电机C 内转子直流有刷电机正确答案：A23、K023、保持油门持续爬升，电机功率会增加还是减小？——[单选题]A 增大B 不变C 减小正确答案：B24、K024、外转子电机和内转子电机，在相同电压，相同电流下那个转速高？——[单选题]A 外转子电机B 内转子电机C 一样大正确答案：B25、K025、一般情况下，无人机使用的电机5022、4025哪个电机的KV值大些？——[单选题]A 5022B 4025C 一样快正确答案：B26、K026、汽油机随着高度的增加，功率会增加还是减小？——[单选题]A 增大B 不变C 减小正确答案：C27、K027、有这么三种规格的电机，( )3s30000mah400KV，( )4s20000mah600KV，( )6s 10000mah 800KV，请问哪个电机的转速最高( )——[单选题]A 第（1）种B 第（2）种C 第（3）种正确答案：C28、K028、CW1545螺旋桨与CCW14X6螺旋桨，请问哪支螺旋桨螺距大？——[单选题]A CW1545B CCW14×6C 一样大正确答案：B29、K029、所使用的多旋翼无人机，其所使用的是定距螺旋桨还是变距螺旋桨？——[单选题]A 变距螺旋桨B 定距螺旋桨C 有定距螺旋桨也有变距螺旋桨正确答案：B30、K030、请选择出以下哪一只螺旋桨升力最大？——[单选题]A 18×7（两叶螺旋桨）B 16×4.5（三叶螺旋桨）C 15×4（四叶螺旋桨）正确答案：A31、K031、多旋翼飞机如何实现左转弯，螺旋桨转速如何变化？——[单选题]A （顶视）顺时针减速、逆时针加速B （顶视）顺时针加速、逆时针加速C （顶视）顺时针加速、逆时针减速正确答案：C32、K032、能否使用高KV的电机带动远大于适配桨大小的桨——[单选题]A 能B 不能C 无所谓正确答案：B33、K033、高海波地区选用什么样的桨叶效率最高？——[单选题]A 二叶桨B 三叶桨C 多叶桨正确答案：A34、K034、现有螺旋桨1845、1555和电机5035、4012请写出最优化的组合方式？——[单选题]A 1845 和4012 1555 和 4012B 1845和5035 1555和 4012C 1845和4012 1555和 5035正确答案：B35、K035、电台、接收机、调速器、电池、GPS、电机( )？——[单选题]A 调速-电机-GPS-接收机B 接收机-调速器-电池-电台C 电池-调速器-电机正确答案：C36、K036、请将多旋翼无人机以下部件正确用线连接：IMU、ESC、起落架、电机、螺旋桨。

2012北京各区第一学期期末代几综合题答案

2012北京各区第一学期期末代几综合题答案（丰台）25．解：(1) ∵1)1(2221+--=+-=x x x y ，------1分∴抛物线C 1的顶点坐标是（1,1），∴平移后的抛物线C 2顶点P （3，2）．------2分∴2)3(22+--=x y ．（或者7622-+-=x x y ）------3分 (2) 存在点N （x ,y ）满足条件．------ 4分∵以点O 、P 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形，∴N P y y -=，∴2-=N y ．当点N 在C 1上时，21-=y ，即21)1(2-=+--x ，解得31±=x ； ∴N 1（2,31-+）, N 2（2,31--）;当点N 在C 2上时，22-=y ，即22)3(2-=+--x ，解得1543==x x ，； ∴N 3（2,5-）, N 4（2,1-）． ∴满足条件的点N 有4个，分别是N 1（2,31-+）、N 2（2,31--）、N 3（2,5-）、N 4（2,1-）．（石景山）xy(第25题)（怀柔）25. 解：（1）设抛物线为2(4)1y a x =--.∵抛物线经过点A （0，3），∴23(04)1a =--.∴14a =.∴抛物线为2211(4)12344y x x x =--=-+. …………2分(2) 答：l 与⊙C 相交. ……………………………………3分证明：当21(4)104x --=时，12x =，26x =.∴B 为（2，0），C 为（6，0）. ∴AB ==设⊙C 与B D 相切于点E ，连接C E ，则90B E C A O B ∠=︒=∠.∵90A B D ∠=︒，∴∠ABO ＋∠CBE =90°.又∵∠ABO ＋∠BAO =90°，∴B A O C B E ∠=∠.∴A O B ∆∽B E C ∆. ∴C E B CO BA B =.∴2C E =.∴2CE =>.…………4分∵抛物线的对称轴l 为4x =，∴C 点到l 的距离为2. ∴抛物线的对称轴l 与⊙C 相交. …………………5分 (3) 解：如图，过点P 作平行于y 轴的直线交A C 于点Q . 由点A （0,3）点C （6,0）可求出直线A C 的解析式为132y x =-+.………………6分设P 点的坐标为（m ，21234m m -+），则Q 点的坐标为（m ，132m -+）.∴2211133(23)2442P Q m m m m m =-+--+=-+. ∵22113327()6(3)24244P A C P A Q P C Q S S S m m m ∆∆∆=+=⨯-+⨯=--+,∴当3m =时，P A C ∆的面积最大为274.此时，P 点的坐标为（3，34-）. …………………8分解答(3)的关键是作PQ ∥y 轴交AC 于Q ，以PQ 为公共底，OC 就是高，用抛物线、直线解析式表示P 、Q 两点的纵坐标，利用三角形的面积推导出面积与P 点横坐标m 的函数关系式，即：2327(3)44P A C S m ∆=--+.（顺义）25．解：（1）当顶点A 运动至与原点重合时，设BC 与 y 轴交于点D ，如图所示．∵BC ∥x 轴，BC=AC=32， ∴3=CD ，3=AD ．∴C 点的坐标为)3,3(-． ……………1分 ∵当3=x 时，3332)3(2-=⨯-=y ．∴当顶点A 运动至与原点重合时，顶点C 在抛物线上．……………2分（2）过点A 作BC AD ⊥于点D ，设点A 的坐标为（x ，x x 322-）． ∵8:1:=下部分上部分S S ， ∴)32(32x x AD -=． ∵等边A B C △的边长为32， ∴360sin =︒⋅=AC AD ． ∴3)32(32=-x x ． ∴01322=--x x ．解方程，得 =x 23±．∴顶点A 的坐标为)1,23(+或)1,23(-．…………………………5分（3）当顶点B 落在坐标轴上时，顶点C 的坐标为)0,632(-、)0,632(+、)6,32(-． …………………………………………………………… 8分（昌平）25．解：（1）在y =x -3中，分别令y =0和x =0，得x =3和y =-3．∴ B （3，0），C （0，-3）． ………………………………… 2分（2）∵ 抛物线过点A （-1，0）、B （3，0），∴ 设抛物线的解析式为：y =a （x +1∵ 抛物线过点C （0，-3），∴ -3= a （0+1）（0-3）．∴ a=1．∴ 抛物线的解析式为：y =（x +1）（x -3）． ………………… 4分即 y =x 2-2x -3．（3）由y =x 2-2x -3，得y =（x -1）2-4．∴ 抛物线的顶点M （1，-4）． ………………… 5分（4）如图，存在满足条件的P 1（1，-2）和P 2（-1，-4）．作MN ⊥y 轴于点N ，则∠CNM =90°． ∵ M （1，-4），C （0，-3）， ∴ MN =NC =1． ∴ ∠MCN =45°．∵∠COB =90°，B （3，0），C （0，-3）， ∴ ∠OCB =45°．∴ ∠BCM =90°． …………………………………………… 6分∴ 要使点P 在直线y =x -3上，必有PC =MC .∠MPC =∠CMP =45°．则过点M 分别作x 轴和y 轴的垂线，交直线y =x -3于点P 1和P 2. 在y = x -3中，分别令x =1，y =-4，得y =-2，x =-1．则 P 1（1，-2）和P 2（-1，-4）． ……………………………… 8分（通州）24.解：（1）四边形A B C O 是平行四边形，4.O C AB ∴==(42)(02)(40)A B C ∴-，，，，，．………………………(1分) 抛物线2y ax bx c =++过点B ， 2.c ∴=由题意，有1642016422a b a b -+=⎧⎨++=⎩，．解得1161.4a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴所求抛物线的解析式为211 2.164y x x =-++………………………(2分)（2）将抛物线的解析式配方，得211(2)2.164y x =--+∴抛物线的对称轴为 2.x =(80)(22)(2).D E F ∴，，，，，0欲使四边形POQE 为等腰梯形，则有..OP QE BP FQ ==即363.2t t t ∴=-=，即 ………………………(3分)（3）欲使以点P B O 、、为顶点的三角形与以点Q B O 、、为顶点的三角形相似，90PBO BOQ ∠=∠=∴ °，有B P O Q O BB O=或BP BO OBOQ=，即PB OQ =或2O B PB Q O =·．①若P Q 、在y 轴的同侧.当BP OQ =时，t =83t -，2t ∴=．当2O B PB Q O =·时，(83)4t t -=，即23840.t t -+= 解得1222.3t t ==， ………………………(4分)②若P Q 、在y 轴的异侧.当PB OQ =时，38t t -=，4t ∴=．当2O B PB Q O =·时，(38)4t t -=，即23840t t --=.解得43t ±=403t -=< .故舍去. 43t +∴=………………………(5分)∴当2t =或23t =或4t =或43t +=秒时，以P B O 、、为顶点的三角形与以点Q B O 、、为顶点的三角形相似. ………………………(6分)（海淀）25. 解：（1）∵ 抛物线过原点和A(-)， ∴ 抛物线对称轴为3-=x .∴ B(3).设抛物线的解析式为23y a x =+（.∵ 抛物线经过(0, 0),∴ 0=3a+3. ∴ a=-1. ∴3)3(2++-=x y ……………………………………………1分=.322x x --∵ C 为AB 的中点, A(-)、B(3)，可得C(322-) .可得直线OC 的解析式为xy 33-=. ……………………………………………2分（2）连结OB. 依题意点E 为抛物线xxy 322--=与直线xy 33-=的交点（点E 与点O 不重合）.由23,y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=--⎩，解得5,3x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或0,0.x y =⎧⎨=⎩（不合题意，舍）. ∴ E（533-） …………………………3分过E 作EF ⊥y 轴于F, 可得OF=53，∵ OE=DE ，EF ⊥y 轴， ∴ OF=DF .∴ DO=2OF=103.∴ D(0,10)3.∴ =.（3）E 点的坐标为(322-)或(122-). （通州）22. 解：（1）如图，过点C 作CE ⊥x 轴于点E ，∵点C （1，1），⊙C 的半径为2， ∴cos ∠ACE==，∴∠ACE=60°， ∴∠ACB=2∠ACE=2×60°=120°，根据圆周角定理可得∠APB=∠ACB=×120°=60°，所以，∠ADB=180°﹣∠APB=180°﹣60°=120°；（2）在Rt△ACE中，根据勾股定理，AE===，根据对称性，BE=AE=，所以，OA=﹣1，OB=+1，所以，点A（1﹣，0），B（+1，0）；（3）∵抛物线的顶点P在⊙C上，圆的半径为2，圆心C的坐标（1，1），∴顶点P的坐标为（1，3），设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2+3，则a（+1﹣1）2+3=0，解得a=﹣1，所以，抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+3；（4）∵点M在y轴上，∴设点M的坐标为（m，0），①AC是平行四边形的边时，如图1，点N在x轴下方是，坐标为（﹣，m﹣1），∵点N在抛物线上，∴﹣（﹣﹣1）2+3=m﹣1，解得m=﹣2，所以，点M的坐标为（0，﹣2），点N在x轴上方时，坐标为（，m+1），∵点N在抛物线上，∴﹣（﹣1）2+3=m+1，解得m=2﹣2，所以，点M的坐标为（0，2﹣2）；②AC是对角线时，∵点A（1﹣，0），C（1，1），∴平行四边形的中心坐标为（1﹣，），∴点N的横坐标为2（1﹣）=2﹣，纵坐标为×2﹣m=1﹣m，所以，N（2﹣，1﹣m），∵点N在抛物线上，∴﹣（2﹣﹣1）2+3=1﹣m，解得m=2﹣2，所以，点M 的坐标为（0，2﹣2），综上所述，点M 的坐标为（0，﹣2）或（0，2﹣2（大兴）25．解:（1）由21342y x x =-+得32b x a=-=∴Ｄ（3，0） …………………………1分（2）∵ 21342y x x =-+∴顶点坐标93,4⎛⎫⎪⎝⎭设抛物线向上平移h 个单位,则得到()0,C h ,顶点坐标93,4M h ⎛⎫+ ⎪⎝⎭∴平移后的抛物线:()219344y x h =--++ ……………………2分当0y =时,()2193044x h --++=,得 13x =- 23x =+∴ A (30)- B (30)+ ……………………3分易证△AOC ∽△COBO C O B O AO C=∴2OC =OA ·OB ……………………4分)233h =∴ 14h =,()20h =舍去∴平移后的抛物线: ()()22191253434444y x x =--++=--+………5分（3）如图2, 由抛物线的解析式213442y x x =-++可得 A (-2 ，0)，B (8 ，0) C (0，4) ，25(3,)4M ……………………6分过C 、M 作直线，连结CD ，过M 作MH 垂直y 轴于H , 则3M H = ∴2225625()416D M ==22222252253(4)416CMM H CH =+=+-=在Rt △COD 中,CD 5==AD∴点C 在⊙D 上 ……………………7分 ∴2222225256255()16416CD CM +=+==∴222DM CM CD =+ ∴△CDM 是直角三角形， ∴CD ⊥CM∴直线CM 与⊙D 相切 …………………………………8分（门头沟）25.解：（1）由题意，得⎩⎨⎧=++=++030339b a b a解得，⎩⎨⎧-=-=21b a抛物线的解析式为y=-x 2-2x+3 …………………………………1分顶点C 的坐标为（-1，4）………………………2分（2）假设在y 轴上存在满足条件的点D , 过点C由∠CDA =90°得，∠1+∠2=90°. 又∠2+∠∴∠3=∠1. 又∵∠CED =∠DOA =90°， ∴△CED ∽△DOA ，∴AODO EDCE =.设D （0，c ），则341c c=-. …………3分变形得0342=+-c c ，解之得1231c ,c ==.综合上述：在y 轴上存在点D （0，3）或（0，1使△ACD 是以AC 为斜边的直角三角形. …………………………………4分（3）①若点P 在对称轴右侧（如图①），只能是△PCQ ∽△CAH ，得∠QCP =∠CAH .延长CP 交x 轴于M ，∴AM =CM ， ∴AM 2=CM 2. 设M （m ，0），则( m +3)2=42+(m +1)2，∴m =2，即M （2，0）. 设直线CM 的解析式为y=k 1x+b 1，则⎩⎨⎧=+=+-0241111b k b k ，解之得341-=k ，381=b .∴直线CM 的解析式3834+-=x y .…………………………………………… 5分3238342+--=+-x x x ，解得311=x ，12-=x (舍去). 9201=y .∴)92031(，P .………………………………………………6分②若点P 在对称轴左侧（如图②），只能是△PCQ ∽△ACH ，得∠PCQ =∠ACH .过A 作CA 的垂线交PC 于点F ，作FN ⊥x 轴于点N .由△CFA ∽△CAH 得2==AH CH AF CA ，由△FNA ∽△AHC 得21===CAAF HCNA AHFN .∴12==FN AN ，, 点F 坐标为（-5,1）.设直线CF 的解析式为y=k 2x+b 2，则⎩⎨⎧=+-=+-1542222b k b k ，解之得419,4322==b k .∴直线CF 的解析式41943+=x y . ……………………………………………7分32419432+--=+x x x ，解得471-=x ， 12-=x (舍去).∴)165547(，-P . …………………………………8分 ∴满足条件的点P 坐标为)201(，或)5547(，-（东城）（图①）（图②）（平谷）（延庆）25．(1) …………………………………………1分 …………………………………………………………2分（2）①t=1 ………………………………………………………………4分…………………………………………时，（房山）∵点P 的坐标为()a ,2.∴点P 到y 轴的距离为2----------2分 ∵⊙P 的半径为2∴点P 到y 轴的距离=⊙P 的半径∴y 轴与⊙P 相切.------------------3分（2）过点P 作PE ⊥AB 于点E ，联结PA 并延长PA 交x 轴于点C. -----4分 ∵PE ⊥AB ，AB=2∴AE=21AB=1. --------5分∵PA=2在Rt △PAE 中，由勾股定理得：PE=1 ∴PE=AE, ∴∠PAE=45°∵函数x y =的图象与y 轴的夹角为45° ∴y 轴∥PA, ∴∠PCO=90°∴A 点的横坐标为2∵A 点在直线x y =上，∴A 点的纵坐标为2∴PC=22∴a =22 ---------------------------------------7分（房山）24、探究 : (1)①(1，0)；②(-2，21)；-------------------------------1分(2) AB 中点D 的坐标为（3，2）------------------------------------2分（3）AB 中点D 的坐标为(2c a +，2d b +)．--------------------3分归纳：2c a +，2d b +．----------------------------------------------4分运用：①由图象知：交点的坐标为A (-1，-3)，B (3，1) ．-----------5分 ②以AB 为对角线时，由上面的结论知AB 中点M 的坐标为(1，-1) ． ∵平行四边形对角线互相平分， ∴OM =OP ，即M 为OP 的中点．∴P 点坐标为(2，-2) ．--------------------------------6分同理可得分别以OA ，OB 为对角线时，点P 坐标分别为 (-4，-4) ， (4，4)．∴满足条件的点P 有三个，坐标分别是(2，-2) ，(4，4) ， (-4，-4) ．--------------------------------------------------------7分（房山）25、解：（1）∵抛物线y=﹣x 2+bx+c 的对称轴为直线x=1 ∴2b=1,∴b=21又∵抛物线最小值为3 ∴3=-c+⨯+⨯121141，∴c=411∴抛物线解析式为：41121412++-=x x y ---------------2分（2）把x=0代入抛物线得：y=，∴点A （0，）．--------------------------------------3分∵抛物线的对称轴为x=1， ∴OC=1．-------------------------------------------------4分（3）①如图：∵此抛物线与y 轴交于点A ，顶点为B ∴B （1，3）分别过点D 作DM ⊥x 轴于M ，DN ⊥PQ 于点N ，∵PQ ∥BC ，∴∠DMQ=∠DNQ=∠MQN=90°， ∴DMQN 是矩形． ∵△CDE 是等腰直角三角形， ∴DC=DE ，∠CDM=∠EDN ∴△CDM ≌△EDN ∴DM=DN ， ∴DMQN 是正方形， ∴∠BQC=45° ∴CQ=CB=3 ∴Q （4，0）设BQ 的解析式为：y=kx+b ，把B （1，3），Q （4，0）代入解析式得：k=﹣1，b=4．所以直线BQ 的解析式为：y=﹣x+4．-------------------------------6分 ②所求的点P 的坐标为：P 1（1+，），P 2（1+3，﹣），P 3（1﹣，），P 4（1﹣3，﹣）．------------------------8分（求对一个给1分，其余3个1分）（朝阳）25.（本小题满分8分）解：（1）根据题意，得C （0,6）.在Rt △AOC 中，61tan =∠ACO ，OC ＝6，∴OA ＝1. ∴A （－1,0）. ……………………………………………………………1分（2）∵OC OB 21=，∴OB ＝3. ∴B （3,0）.由题意，得 ⎩⎨⎧=++=+-.0639,06b a b a 解得 ⎩⎨⎧=-=.4,2b a∴6422++-=x x y .∴D （1,8）. ……………………………………………………………………2分可求得直线CD 的解析式为62+=x y .∴E （－3,0）. ……………………………………………………………………3分（3）假设存在以点A 、C 、F 、E 为顶点的平行四边形，则F 1（2,6），F 2（－2,6），F 3（－4,－6）.经验证，只有点（2,6）在抛物线6422++-=x x y 上，∴F （2,6）. ………………………………………………………………………4分（4）如图，作NQ ∥y 轴交AM 于点Q ，设N （m , 6422++-m m ）.当x ＝2时，y ＝6，∴M （2,6）. 可求得直线AM 的解析式为22+=x y . ∴Q （m ，2m ＋2）.∴NQ ＝422)22(64222++-=+-++-m m m m m . ∵AMN ABM S S S ∆∆+=，其中126421=⨯⨯=∆ABM S ，∴当AMN S ∆最大时，S 值最大. ∵MNQ ANQ AMN S S S ∆∆∆+=)422(3212++-⨯⨯=m m ,6332++-=m m , 427)21(32+--=m .∴当21=m 时，AMN S ∆的最大值为427.∴S 的最大值为475.……………………………………………………………………6分当21=m 时，2156422=++-m m .∴N （21，215）. ……………………………………………………………………7分（5）P 1（1，15-），P 2（1，15--）. …………………………………………8分说明：写成P 1（1，154+），P 2（1，154--）不扣分.（西城）25．解：（1）图2中的m 1分（2）∵ 图11（原题图2）中四边形ODEF 是等腰梯形，点D 的坐标为(,12)D m ，∴ 12E D y y ==，此时原题图1中点P 运动到与点B 重合， ∵ 点B 在x 轴的正半轴上，∴ 1131222BO C C S O B y O B ∆=⨯⨯=⨯⨯=．解得 8O B =，点B 的坐标为(8,0)． ………………………………………2分此时作AM ⊥OB 于点M ，CN ⊥OB 于点N ．（如图12）．∵ 点C 的坐标为(,3)C n -，∴ 点C 在直线3y =-上．又由图11（原题图2）中四边形ODEF 是等腰梯形可知图12中的点C 在过点O 与AB 平行的直线l 上，∴ 点C 是直线3y =-与直线l 的交点，且ABM C O N ∠=∠．又∵ 3A C y y ==，即AM= CN ，可得△ABM ≌△CON ．∴ ON=BM=6，点C 的坐标为(6,3)C -．……………………………………3分∵ 图12中 AB ==∴ 图11中DE =，2D O F x D E =+= …………………4分（3）①当点P 恰为经过O ，B 两点的抛物线的顶点时，作PG ⊥OB 于点G ．（如图13）∵ O ，B 两点的坐标分别为(0,0)O ，(8,0)B ，∴ 由抛物线的对称性可知点P 的横坐标为4，即OG=BG=4．由3tan 6AM PG ABM BMBG∠===可得PG=2．∴ 点P 的坐标为(4,2)P ．………………5分设抛物线W 的解析式为(8)y ax x =-（a ≠0）． ∵ 抛物线过点(4,2)P ，∴ 4(48)2a -=．解得 18a =-．∴ 抛物线W 的解析式为218y x x =-+．…………………………………6分②如图14．i ）当BP 为以B ，P ，Q ，R 为顶点的菱形的边时，∵ 点Q 在直线1y =-上方的抛物线W上，点P 为抛物线W 的顶点，结合抛物线的对称性可知点Q 只有一种情况，点Q 与原点重合，其坐标为1(0,0)Q ．……………………………………7分ii ）当BP 为以B ，P ，Q ，R 为顶点的菱形的对角线时，可知BP 的中点的坐标为(6,1)，BP 的中垂线的解析式为211y x =-． ∴ 点2Q 的横坐标是方程212118x x x -+=-的解．将该方程整理得 28880x x +-=．解得4x =-±由点Q 在直线1y =-上方的抛物线W 上，结合图14可知点2Q 的横坐标为4．∴ 点2Q 的坐标是24,19)Q ． …………………………8分综上所述，符合题意的点Q 的坐标是1(0,0)Q ，24,19)Q ．（燕山）25. ⑴∵△AOB ∽△BOC （相似比不为1），∴OAOB OBOC =. 又∵OA=4, OB=3,图13∴OC=32×41=49. ∴点C(49, 0). …………………1分设图象经过A 、B 、C 三点的函数解析式是y=ax 2+bx+c,则c= -3，且⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-0.c b 49a 1681,0c 4b 16a即⎩⎨⎧=+=-16.12b 27a ,34b 16a解得,a=31, b=127.∴这个函数的解析式是y =31x 2+127x -3. ⑵∵△AOB ∽△BOC （相似比不为1），∴∠BAO=∠CBO.又∵∠ABO+ ∠BAO =90°，∴∠ABC=∠ABO+∠CBO=∠ABO+∠BAO=90°. ………………4分 ∴AC 是△ABC 外接圆的直径. ∴ r =21AC=21×[49-(-4)]=825. ………………5分⑶∵点N 在以BM 为直径的圆上，∴ ∠MNB=90°. ……………………6分 ①. 当AN=ON 时，点N 在OA 的中垂线上，∴点N 1是AB 的中点，M 1是AC 的中点. ∴AM 1= r =825，点M 1(-87, 0)，即m 1= -87. ………………7分②. 当AN=OA 时，Rt △AM 2N 2≌Rt △ABO ， ∴AM 2=AB=5，点M 2(1, 0)，即m 2=1.③. 当ON=OA 时，点N 显然不能在线段AB 上. 综上，符合题意的点M （m ，0）存在，有两解： m= -87，或1. ……………………8分（密云）25. 解：（1）如图，∵圆以点A （3，0）为圆心，5为半径， ∴根据圆的对称性可知 B （-2，0），C （8，0）．连接AD ．在Rt △AOD 中，∠AOD=90°，OA=3，AD=5， ∴OD=4．∴点D 的坐标为（0，-4）．设抛物线的解析式为y=ax 2+bx-4，又∵抛物线经过点C （8，0），且对称轴为x=3，。

代几综合问题

代几综合题1
北京四中
例1. 如图1，已知抛物线的顶点为A （2，1），且经过原点O ，与x 轴的另一个交点为B ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点C 在抛物线的对称轴上，点D 在抛物线上，且以O C D B ，，，四点为顶点的四边形为平行四边形，求D 点的坐标；
（3）连接OA ，AB ，如图2，在x 轴下方的抛物线上是否存在点P ，使得OBP △与OAB △相似？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由．
例2．已知关于x 的一元二次方程22410x x k ++-=有实数根，k 为正整数．
（1）求k 的值；
（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数
2241y x x k =++-的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；
（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x 轴下方的部
分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线1(2
y x b b k =
+＜)与此图象有两个公共点时，b 的取值范围．
x y O
A B C
例3. 如图，已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A （-1，0）、B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，3）．
（1）求抛物线的解析式及顶点M 坐标；
（2）在抛物线的对称轴上找到点P ，使得△P AC 的周长最小，并求出点P 的坐标；
（3）若点D 是线段OC 上的一个动点（不与点O 、C 重合）．过点D 作
DE ∥PC 交x 轴于点E ．设CD 的长为m ，问当m 取何值时，1=9ABMC S S △PDE 四边形．。