两条直线的夹角
两直线的夹角
一 二.夹角的定义： 夹角的求法：
d2
d1
2 1
d d θ 1.余弦形式： 平面上两条直线相交时，构成了四个角。它们 θ 是两对对顶角。规定两条直线相交成的锐角（或直 L1 :a1x b1y c1 0 角）称为两直线的夹角。
如果两条直线平行或重合，规定它们的夹角为0 设 L1 ， L2的 夹 角 为 α 。直线L 1 ， L2的 一 个 方 向 向 量 夹角的范围：[00 , 900] y 分别为： d1 ( b1 ,a1 ),d2 ( b 2 ,a 2 )y则 L2： L1 L1 π L2 α ； (1)若d1 ,d2夹角为θ [0 ， ]，则：α＝ α 2 x x π O O (2)若d1 ,d2夹角为θ ( , π)，则：α＝π -. 2 a1a 2 b1b 2 cosα ……夹角公式的余弦形式 2 2 2 2 a 1 b1 a 1 b 1
D A(- 5,3) B(0,6) B1
0
P(x,0)
C(0,2) C C O x O L B O O A(1,-2) B
x L xx
练习： 1.已 知 直 线 1 L ： 3x y 4 0 ,L 2 : mx 4y 7 0, 当m
0 为 何 值 时 ，1 L 与 L2夹 角 为 45 。
若直线L ，L2的斜率分别为k k2 (k1 k2 1) 1 1,
则： α＝θ θ 2 1
或： α＝π (θ θ 1 2)
x
O
k 2 k1 tanα 1 k 2 k1
……夹角公式的正切形式
π 注：当 k1 k 2＝ 1时，α＝ 。 2
例 2.已 直 线 L过 点 P（ 角 2 ， 3） ， 且另 与 直线 L ： x 3y 例5.已知B（0，6 ），C（0，2），在 x轴的负半轴上求 4.已知 知 正 方 形 AB CD的 对 角 线 AC在 直 线 x 2y 1 0 2 0 3.等 腰 RtΔ AB C的 直 顶 点 C和 一 点 B都 在 直 线 0 π 一点P，使 BPC最大，并求出最 大值。 上 ， 且 A（ 5， ， 3） ， 1， B（ m ,0） (m AB， 5), 求 顶 点 y B， C， 2x 3y 6 0上 A（ 2） ， 求 AC所 在 的 夹 角 为 ， 求 直 线 L的 方 程 。 y y y 3。 D的 直 线坐 的标 方 程 P(2, 3 ) L
两条空间直线夹角计算公式
两条空间直线夹角计算公式一、引言在三维空间中，直线是常见的几何形状之一。
当我们研究两条直线之间的关系时，一个重要的概念就是夹角。
本文将介绍两条空间直线夹角的计算公式，并讨论其应用。
二、夹角的定义在平面几何中，夹角是由两条直线在同一平面内的交点和两条直线上的一对相对的射线所围成的角度。
而在三维空间中，夹角的定义相似，但需要考虑两条直线所在的不同平面。
三、两条空间直线夹角的计算公式1. 同向直线的夹角当两条直线的方向向量平行时，它们被认为是同向直线。
此时，可以通过计算两个方向向量的夹角来求得两条直线之间的夹角。
假设两条直线分别为L1和L2，其方向向量分别为a和b。
则两条直线夹角θ的计算公式为：cosθ = |a·b| / (|a|·|b|)其中，·表示向量的点积，|a|表示向量a的模长。
2. 反向直线的夹角反向直线是指两条直线的方向向量相反，即平行但方向相反的直线。
在计算反向直线的夹角时，我们可以使用同向直线夹角的计算公式，然后取其补角。
假设两条直线分别为L1和L2，其方向向量分别为a和b。
则两条直线夹角θ的计算公式为：θ = π - arccos(|a·b| / (|a|·|b|))其中，arccos表示反余弦函数，π表示圆周率。
3. 任意两条直线的夹角当两条直线既不是同向直线也不是反向直线时，我们需要进一步考虑两条直线所在的平面。
首先，我们可以通过计算两个方向向量的夹角来确定两条直线在其所在平面内的夹角。
然后，我们可以利用这个夹角和两个方向向量与其所在平面的夹角来计算最终的夹角。
具体计算步骤如下：1) 计算两个方向向量a和b的夹角α：cosα = |a·b| / (|a|·|b|)2) 计算两个方向向量a和b与其所在平面的夹角β和γ：cosβ = |a·n| / (|a|·|n|)cosγ = |b·n| / (|b|·|n|)其中，n为平面的法向量。
两直线的夹角取值范围
两直线的夹角取值范围
两直线的夹角是一个重要的数学概念，它在几何、代数、三角几何、和内容其他数学领域都有重要的应用。
它反映了两条直线之间的关系，其取值范围也是个重要的概念。
首先，两直线的夹角取值范围是从0度到180度。
当两条直线平行时，它们之间的夹角为0度；当两条直线相交时，它们之间的夹角取值为180度。
如果两条直线之间存在其他夹角，则它们之间的夹角取值范围在0度和180度之间。
其次，两条直线之间的夹角取值受到许多因素的影响，如两条直线的方向、长度等。
如果两条直线的方向相同，则它们之间的夹角取值为0度；而如果两条直线的方向不同，则它们之间的夹角取值可能是0度到180度之间的任意值，取决于它们之间的长度关系。
如果两条直线的长度都相等，它们之间的夹角取值可以是90度，也可以是任意角度；而如果两条直线
的长度不同，它们之间的夹角取值可能是大于90度或小于90度。
最后，两条直线之间的夹角取值也可以是负值。
当两条直线的方向相反时，它们之间的夹角可以是负值，取值范围为-180度到0度之间的任意值，具体取值依赖于它们之间的长度
关系。
总而言之，两直线的夹角取值范围为-180度到180度之间的任意值，取值受到两条直线的方向和长度关系的影响。
因此，我们必须考虑到这些因素，才能准确地确定两条直线之间的夹角取值。
两条直线方程的夹角
两条直线方程的夹角【最新版】目录1.直线方程的基本概念2.直线夹角的定义3.两条直线方程的夹角计算方法4.应用实例正文1.直线方程的基本概念在平面直角坐标系中，一条直线可以用一个方程来表示。
通常，我们用两个变量 x 和 y 的线性组合来表示直线，即 y = kx + b，其中 k 是直线的斜率，b 是直线在 y 轴上的截距。
如果直线与 x 轴平行，则斜率 k 为 0；如果直线与 y 轴平行，则截距 b 为 0。
2.直线夹角的定义两条直线之间的夹角是指它们在平面直角坐标系中的夹角。
这个夹角可以用角度或弧度来表示。
通常，我们关注两条直线之间的锐角或钝角。
当两条直线重合时，它们之间的夹角为 0 度或 0 弧度；当两条直线互相垂直时，它们之间的夹角为 90 度或π/2 弧度。
3.两条直线方程的夹角计算方法要计算两条直线方程之间的夹角，我们需要先找到它们的斜率。
设直线方程为 y = k1x + b1 和 y = k2x + b2，则它们的斜率分别为 k1 和 k2。
根据斜率的定义，我们可以得到两条直线之间的夹角θ的正切值：tan(θ) = |(k2 - k1) / (1 + k1 * k2)|。
根据正切值的范围，我们可以判断夹角θ的大小：- 当 tan(θ) > 0 时，θ为锐角；- 当 tan(θ) = 0 时，θ为 0 度或 0 弧度，即两条直线重合或平行；- 当 tan(θ) < 0 时，θ为钝角。
4.应用实例假设我们有两条直线方程：y = 2x + 1 和 y = -3x + 5。
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线性角度计算公式
线性角度计算公式在数学中，线性角度是指两条直线之间的夹角。
线性角度的计算是一项基本的几何运算，它在实际生活中有着广泛的应用。
本文将介绍线性角度的计算公式及其应用。
线性角度的计算公式如下：cos(θ) = (A·B) / (|A|·|B|)。
其中，θ表示两条直线的夹角，A和B分别表示两条直线的向量。
在这个公式中，|A|和|B|分别表示向量A和B的模长，A·B表示向量A和B的点积。
线性角度的计算步骤如下：1. 计算向量A和B的点积A·B。
2. 计算向量A和B的模长|A|和|B|。
3. 将点积A·B除以模长|A|和|B|的乘积，得到cos(θ)。
4. 最后，通过反余弦函数，即可得到线性角度θ的数值。
线性角度的计算公式可以帮助我们准确地计算两条直线之间的夹角，从而在实际生活中得到广泛的应用。
下面我们将介绍一些线性角度计算公式的应用。
1. 工程测量。
在线性角度计算中，工程测量是一个重要的应用领域。
在建筑、道路、桥梁等工程项目中，需要准确地测量各个构件之间的夹角，以确保工程的准确性和稳定性。
线性角度计算公式可以帮助工程师们准确地计算各个构件之间的夹角，从而保证工程的质量。
2. 机械设计。
在机械设计中，线性角度计算公式也有着重要的应用。
例如，在机械零件的设计中，需要准确地计算各个零件之间的夹角，以确保机械设备的正常运转。
线性角度计算公式可以帮助机械工程师们准确地计算各个零件之间的夹角，从而保证机械设备的正常运转。
3. 地图制图。
在地图制图中，线性角度计算公式也有着广泛的应用。
地图制图需要准确地测量各个地理要素之间的夹角，以确保地图的准确性和可读性。
线性角度计算公式可以帮助地图制图师们准确地计算各个地理要素之间的夹角，从而保证地图的准确性和可读性。
4. 物理学。
在物理学中，线性角度计算公式也有着重要的应用。
例如，在力学中，需要准确地计算各个力之间的夹角，以确保物体的平衡和稳定。
两条空间直线夹角计算公式
如何计算两条空间直线的夹角在三维空间里，两条直线的夹角是非常重要的概念，它可以用于许多实际问题的解决，如机械工程、物理学、计算机图形学等领域。
下面介绍两条空间直线夹角计算公式，帮助你轻松解决问题。
1. 向量夹角公式
两条空间直线的夹角可以通过它们的方向向量求得。
具体来说，设两条直线分别为L1和L2，它们的方向向量为u和v，那么它们的夹角θ可以用如下公式计算：
cosθ = (u·v) / (|u| × |v|)
其中，u·v表示u和v的数量积，|u|和|v|分别表示u和v的模长。
由此可得，θ = arccos(cosθ)。
需要注意的是，上述公式只能计算0°到180°之间的夹角，如果θ大于180°，则需要将结果减去π得到夹角的补角。
2. 求交角公式
除了通过向量夹角公式计算两条直线的夹角外，还有一种方法是通过它们的交角来求解。
具体方法是，找到两条直线的一个公共点P 和分别垂直于它们的两个平面，然后计算这两个平面的夹角就是两条直线的夹角。
公式如下：
cosθ = (n1·n2) / (|n1| × |n2|)
其中，n1和n2分别表示两个平面的法向量，|n1|和|n2|分别表示它们的模长。
同样地，由此可得，θ = arccos(cosθ)。
需要注意的是，在寻找两条空间直线的交点时，可能会出现一些特殊情况，如两条直线平行、重合或异面，这些情况需要单独考虑。
总结起来，两条空间直线的夹角计算可以由向量夹角公式或求交角公式得出。
在具体应用中，需要根据实际问题选择合适的方法进行计算，并注意处理特殊情况。
两条直线的 夹角
设l1 到l2 的角是θ1， l2到 l1的角是θ2，
则θ1与θ2不一定相同，它们的关系是：
θ1+θ2= π其中θ1，θ2∈（0， π）
直线l1的斜率存在而直线l2的斜率不存在
y l2 l1
y l1
l2
1
1
2
o
x
1
2 o
1 x
1
2
1
1
2
1
求“两条直线的夹角 ”
l2
l1
l1
l2
设直线 l1：y = k1 x +b 1 、l2： y = k2 x +b2 ，
的夹角为α， l1 到l2 的角是θ1， l2到 l1的角
是θ2 若 若
1+k1 1+k1
k2= k2≠
0时， 0时，
2
1
2
tg1
k2 1
k1 k2k1
l2
:
y
x
1 5 0 l2 : 2x 3y 1 0
(3) l1 : x 5 0
l2 : 2x 4y 3 0
(4) l1 : 2 y 3 0
l2 : x 3y 2 0
例2、已知锐角△ABC的三边所在的 直线方程为：lAB:y=x+6; lBC:y=0; lCA:7x+4y-35=0,求△ABC 的三个内角。
1 ( 1) 1
8 11
26
tg 2
km k2 1 km k2
(
1 2
)
数学知识点：两直线的夹角与到角
数学知识点：两直线的夹角与到角
（1）定义：两条直线l1和l2相交构成四个角，它们是两对对顶角，我们把直线l1按逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角，叫做l1到l2的角。
（2）直线l1到l2的角的公式：tanθ′=，l1到l2的角的取值范围是（0，π）,高考数学。
两直线的夹角：
（1）定义：两条直线l1和l2相交，l1到l2的角是θ1，l2到l1的角是θ2＝π-θ1，当直线l1与l2相交但不垂直时，θ1和π-θ1，仅有一个角是锐角，我们就把其中的锐角叫做两条直线的夹角θ。
（2）直线l1和l2的夹角公式：tanθ=（θ不为90°），l1与l2的夹角的取值范围是。
理解这两个公式：
(1)首先应注意到在tanθ′=中两个斜率的顺序是不能改变的，θ′是直线l1到直线l2的角，若写成，则θ′为直线l2到直线l1的角，这两者是有区别的，而在夹角公式ta nθ=中，两直线的斜率没有顺序要求．
(2)在两直线的夹角为900时，我们有，同理，若，则直线l1与直线l2垂直，用这两个公式可以求解角平分线问题及与之有关的问题.
精心整理，仅供学习参考。
直线与直线的夹角
角度计算
通过测量直线与直线的夹 角，可以计算其他角度， 如三角形中的角度、多边 形的内角和等。
空间几何
在三维空间中，直线与直 线的夹角是确定物体位置 和方向的重要参数，如方 向向量、法向量等。
建筑学中的夹角
建筑设计
建筑师在设计中会考虑到结构稳 定性、美观性和功能性，而直线 与直线的夹角是影响这些因素的
垂直线的夹角
总结词
垂直线之间的夹角为90度。
详细描述
当两条直线垂直时，它们之间的夹角为90度。这是因为垂直线与水平线垂直，形成直角，所以它们的 夹角为90度。
特殊角度的直线夹角
总结词
当两条直线之间的夹角为45度或135度时，它们是特殊角度的直线夹角。
详细描述
当两条直线之间的夹角为45度或135度时，它们形成特殊的直线夹角。这些角 度在几何学中具有特殊性质，常常用于解决几何问题或构造特殊的图形。
利用几何定理计算夹角
总结词
几何定理提供了一种直观的方式来计算直线与直线的夹角。这种方法通常适用于二维平 面上的直线。
详细描述
我们可以使用几何定理中的“角平分线定理”来计算夹角。这个定理告诉我们，如果一 条线段被两条直线所平分，那么这两条直线与线段所形成的角是相等的。通过这个定理
，我们可以找到两条直线的夹角。
夹角的范围
直线与直线的夹角范围是$0^{circ}$ 到$180^{circ}$，不包括$0^{circ}$ 和$180^{circ}$。
当两条直线垂直时，夹角为 $90^{circ}$；当两条直线平行或重合 时，夹角为$0^{circ}$或$180^{circ}$。
夹角的计算方法
计算直线与直线的夹角需要使 用三角函数和斜率的概念。
立体几何中夹角范围
立体几何中夹角范围
在立体几何中，夹角是指两条直线、两个平面或者一条直线和一个平面之间的角度。
夹角的范围取决于夹角所在的几何形状和空间位置。
以下是一些常见情况下夹角的范围：
1. 直线夹角范围，在平面几何中，两条直线之间的夹角范围是0度到180度之间。
夹角为0度时表示两条直线重合，夹角为180度时表示两条直线平行但不重合。
2. 平面夹角范围，在三维空间中，两个平面之间的夹角范围是0度到180度之间。
夹角为0度时表示两个平面重合，夹角为180度时表示两个平面平行但不重合。
3. 空间夹角范围，在三维空间中，一条直线和一个平面之间的夹角范围是0度到90度之间。
夹角为0度时表示直线在平面上，夹角为90度时表示直线垂直于平面。
总的来说，夹角的范围取决于几何体的维度和位置关系，但通常夹角的范围都是在0度到180度之间。
希望这些信息能够帮助你更好地理解立体几何中夹角的范围。
使用三角函数公式计算两个直线之间的夹角。
使用三角函数公式计算两个直线之间的夹
角。
使用三角函数公式计算两个直线之间的夹角
介绍：
夹角是指两条直线在平面上的交叉角度。
通过使用三角函数公式，可以计算出两个直线之间的夹角。
本文档将介绍如何使用三角函数公式来计算夹角。
步骤：
以下是计算两个直线之间夹角的步骤：
1. 确定两条直线的斜率：
- 假设直线1的斜率为m1
- 假设直线2的斜率为m2
2. 计算两条直线的斜率差：
- 斜率差为 m = tan^-1((m2 - m1) / (1 + m1 * m2))
3. 计算夹角：
- 夹角为θ = tan^-1(m)
注意事项：
- 在使用三角函数公式计算夹角之前，确保直线的斜率存在且无穷远处没有交点。
- 当两条直线平行时，夹角为零。
- 当两条直线重合时，夹角不存在。
示例：
假设直线1的斜率为2，直线2的斜率为-1。
将这些值代入上述步骤中的公式，可以计算出夹角的度数。
结果：
夹角θ = 45°
总结：
本文档介绍了如何使用三角函数公式来计算两个直线之间的夹角。
通过以下步骤，您可以轻松计算出夹角的度数：
1. 确定直线的斜率
2. 计算斜率差
3. 计算夹角
请注意，在计算夹角之前，请确保直线的斜率满足特定条件。
在处理平行和重合的直线时，需要特别注意夹角的存在性。
两直线夹角cos公式
两直线夹角cos公式在日常生活中，我们经常会遇到直线之间的夹角问题，特别是在数学、物理、几何等领域。
两直线夹角的大小可以帮助我们更好地理解直线之间的关系。
在本篇文章中，我们将介绍如何使用cos公式来求解两直线夹角。
首先，我们需要了解两直线夹角的概念。
两直线夹角是指两条直线在空间中的夹角，可以用角度或弧度来表示。
在平面直角坐标系中，两条直线的夹角可以通过它们的斜率来判断。
对于垂直的直线，它们的夹角为90度（或π弧度）；对于同一条直线，它的夹角为0度（或0弧度）。
接下来，我们来看cos公式在求解两直线夹角中的应用。
假设直线1的斜率为k1，直线2的斜率为k2，那么它们之间的夹角θ可以通过以下公式求解：cosθ = (k1 * k2 + 1) / (sqrt(1 + k1^2) * sqrt(1 + k2^2))这个公式的原理是利用了两直线的斜率与它们之间夹角的余弦值之间的关系。
当两直线平行时，它们的斜率相等，夹角为0度；当两直线垂直时，它们的斜率互为负倒数，夹角为90度。
现在我们来推导一下这个公式。
首先，我们知道直线的斜率可以表示为：k = (y2 - y1) / (x2 - x1)其中，(x1, y1)和(x2, y2)分别是直线上的两个点的坐标。
我们可以将这个公式平方，得到：k^2 = ((y2 - y1)^2) / ((x2 - x1)^2)接下来，我们将直线1的斜率表示为k1，直线2的斜率表示为k2，代入公式中：k1^2 * k2^2 = ((y2 - y1)^2) / ((x2 - x1)^2)根据勾股定理，我们有：(y2 - y1)^2 + (x2 - x1)^2 = (直线1的模长)^2同样地，我们可以得到：(y2 - y1)^2 + (x2 - x1)^2 = (直线2的模长)^2将这两个等式相减，得到：(直线1的模长)^2 - (直线2的模长)^2 = 0这说明直线1和直线2之间的夹角为0度或180度，即它们平行或反向。
线线,线面,面面夹角公式
线线,线面,面面夹角公式
在几何学中，"线线"、"线面"和"面面"夹角是指两条线、一条线和一个平面，以及两个平面之间的夹角。
下面是它们的相关公式：
1. 线线夹角公式：
当两条直线相交时，它们之间的夹角可以使用以下公式计算：
夹角= arccos((a·b) / (|a|·|b|))
其中，a和b分别是两条直线的方向向量，·表示向量的点积，|a|和|b|表示向量的模（长度）。
2. 线面夹角公式：
当一条直线和一个平面相交时，它们之间的夹角可以使用以下公式计算：
夹角= arccos((n·d) / (|n|·|d|))
其中，n是平面的法向量，d是直线的方向向量，·表示向量的点积，|n|和|d|表示向量的模。
3. 面面夹角公式：
当两个平面相交时，它们之间的夹角可以使用以下公式计算：
夹角= arccos((n1·n2) / (|n1|·|n2|))
其中，n1和n2分别是两个平面的法向量，·表示向量的点积，|n1|和|n2|表示向量的模。
这些夹角公式可以帮助计算不同几何元素之间的夹角，但需要注意选择正确的向量表示和单位。
另外，由于计算中使用了反余弦函数（arccos），所以计算结果通常以弧度表示。
如果需要以度数表示，可以将弧度值转换为度数。
两直线夹角正切公式
两直线夹角正切公式
两直线夹角正切公式可以用于计算两条直线之间的夹角。
假设有
两条直线，分别为L1和L2，它们的斜率分别为m1和m2，它们之间的
夹角为θ，则有以下公式：
tan θ = |(m2 - m1) / (1 + m1m2)|
其中，|…|表示取绝对值。
这个公式可以通过向量的内积公式推
导得出。
两条直线可以看成是在平面上的两个向量，它们的夹角可以
表示为它们的内积除以它们的模长的乘积。
具体地，我们可以将L1表
示为向量(a1,b1)，L2表示为向量(a2,b2)，则它们的夹角可以表示为：cos θ = (a1a2 + b1b2) / (sqrt(a1^2 + b1^2) * sqrt(a2^2 + b2^2))
sin θ = (a1b2 - a2b1) / (sqrt(a1^2 + b1^2) * sqrt(a2^2 + b2^2))
由于tan θ = sin θ / cos θ，可以得到上述的两条直线夹角
正切公式。
它可以用于计算任意两条直线之间的夹角，无论它们是否
相交。
在实际应用中，常用于计算几何和计算机图形学中。
空间两直线夹角公式cos
空间两直线夹角公式cos
两直线夹角公式：cosφ=A1A2+B1B2/[√(A1^2+B1^2)√
(A2^2+B2^2)]。
直线由无数个点构成。
直线是面的组成成分，并继而组成体。
没有端点，向两端无限延长，长度无法度量。
直线是轴对称图形。
它有无数条对称轴，其中一条是它本身，还有所有与它垂直的直线（有无数条）对称轴。
在平面上过不重合的两点有且只有一条直线，即不重合两点确定一条直线。
在球面上，过两点可以做无数条类似直线。
构成几何图形的最基本元素。
在D·希尔伯特建立的欧几里德几何的公理体系中，点、直线、平面属于基本概念，由他们之间的关联关系和五组公理来界定。
空间是与时间相对的一种物质客观存在形式，但两者密不可分，按照宇宙大爆炸理论，宇宙从奇点爆炸之后，宇宙的状态由初始的“一”分裂开来，从而有了不同的存在形式、运动状态等差异，物与物的位置差异度量称之为“空间”，位置的变化则由“时间”度量。
空间由长度、宽度、高度、大小表现出来。
通常指四方（方向）上下。
1。
空间中直线与直线所成的角(夹角)
感谢您的观看
THANKS
详细描述
当两条重合的直线在空间中相交，它 们之间的夹角是0度。这是因为重合的 直线实际上是同一条直线，所以它们 在任何点处的角度都是相同的。
05
直线与直线所成的角的计算 方法
利用三角函数计算角度
总结词
利用三角函数计算直线与直线所成的角度，需要知道直线的 倾斜角，然后通过三角函数关系计算出两直线之间的夹角。
详细描述
首先，我们需要确定两条直线的倾斜角。然后，使用三角函数 中的正切或余切函数，通过两条直线的斜率来计算它们之间的 夹角。具体地，设两直线的斜率为k1和k2，夹角为θ，则有 tan(θ/2) = |k2 - k1| / (1 + k1 * k2)。
利用向量计算角度
总结词
通过向量的点积和模长来计算直线与 直线所成的角度。首先，我们需要将 直线表示为向量，然后利用点积公式 和向量的模长来计算两向量之间的夹 角。
夹角的几何意义在解 析几何、射影几何等 领域有着广泛的应用。
夹角的大小反映了直 线之间的倾斜程度。
03
直线与直线所成的角的实际 应用
空间几何问题
确定物体位置关系
在空间几何问题中，通过 计算两条直线所成的角， 可以确定物体之间的相对 位置关系。
判断形状和性质
通过分析直线之间的夹角， 可以判断几何形状的性质， 如平行、垂直、相交等。
通过作出的几何图形，利 用量角器或三角板测量夹 角的度数。
利用向量计算
通过向量的点积和模长， 利用向量公式计算夹角的 余弦值，从而得出夹角的 度数。
02
直线与直线所成的角的性质
角度的范围
01
02
03
04
直线与直线所成的角， 其角度范围在0°到180° 之间。
什么是夹角如何计算夹角
什么是夹角如何计算夹角
夹角是指由两条相交的直线所围成的角度。
它常常在数学和几何学
中使用，用于描述和计算两条直线之间的相对方向或夹开的程度。
夹
角的计算方法根据两条直线的位置关系和角度类型的不同而有所不同。
夹角的计算方法如下：
1. 垂直夹角：当两条直线相交于一点，并且其中一条直线与水平方
向垂直时，这两条直线所夹的角度称为垂直夹角。
垂直夹角的计算方
法是通过测量两条直线之间的角度差来确定，一般使用量角器或角度
测量仪进行测量。
2. 对顶角：当两个直角三角形共享一个顶点时，其底边所对应的两
个角称为对顶角。
对顶角的计算方法通常利用三角函数，例如正弦、
余弦和正切函数，根据已知的边长或角度来计算对顶角的大小。
3. 夹脚问题：当两条直线互相平行，但不相交时，它们所夹的角称
为夹脚。
夹脚的大小可以通过测量两条平行线与两条相交线之间的夹
角来确定，同样可以使用量角器或角度测量仪进行测量。
4. 切线问题：在圆的几何中，当一条直线与圆相切时，直线和半径
之间的夹角称为切线角。
切线角的计算方法可以通过使用三角函数，
例如正切函数，根据已知的半径长度和切线长度来计算。
5. 平面夹角：在三维空间中，当两个平面相交时，它们所夹的角度
称为平面夹角。
平面夹角的计算方法一般使用向量的内积或相关的向
量运算来确定。
总结起来，夹角的计算方法根据不同的几何情况和所需精度而有所不同。
在实际应用中，我们可以根据具体的题目要求和几何形状来选择适当的计算方法，以准确地计算夹角的大小。
两条直线的夹角
d1 d2
a1a2 b1b2
由cos cos
d1 d2
a12 b12 a22 b22
所以两直线的夹角公式: cos
a1a2 b1b2
问题:此时角 是唯一确定的吗?
a12 b12 a22 b22
12:21:37
11.3-2两条直线的夹角
斜率推导法
l1:a1x+ b1y+ c1= 0
0,
2
y
x
o
y
x o
12:21:37
11.3-2两条直线的夹角
三、两直线夹角公式的推导
两直线 l1、l2的夹角为 ;方向向量 d1、d2的夹角为
若 时: 若 为钝角时:
2
d1
于是得:cos cos
y
yd1
d2
d2
l2
d
x
2
l2
x
d1
o l1
o l1
1)
2)
12:21:37
11.3-2两条直线的夹角
练习1
1.已知直线l经过原点，且与直线 y 3x 1
的夹角为
6
，求直线l的方程；
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11.3-2两条直线的夹角
练习2 2.求经过点A(1,0)，且与直线x-y+3=0成 30o的直线的方程；
12:21:37
11.3-2两条直线的夹角
思考题
思考题：已知 ABC的三个顶点 为 A(2,1), B(6,1), C(5,5) ； (1)求 ABC中A的大小;
当 b 0时直线l 的方程为7x+24y-10=0;
12:21:37 所以直线l 的方程为x+2=0或7x+24y-10=0;
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1
1 o
1 2 x o 2 1 x
1
2
1
3 1 2 1 1 2
直线l1、直线l2的斜率分别为k1、k2 y l2 l1 1 1 2
l1 1
y l2 1 o x
o
2
x
1 2 1
tg 1 tg( 2 1 )
设直线 2的斜率为 2 l k
1 2
1 2k2 8 2 k2 11
27 1 k2 或 k2 14 6
（舍去）
x 6 y 13 0 P ( 1，) 又由方程组 2 x 2y3 0 27 直 线l 2的 方 程 为 2 y ( x 1) 14 即27x 14 y 1 0
注：公式中分子为角的终边作在直线的斜率 减去角的始边所在直线的斜率。
k1 k 2 l2到l1的角 ，tg 1 k1k 2
求“两条直线的夹角 ”
l2 l1
l1
l2
设直线 l1：y = k1 x +b 1 、l2： y = k2 x +b2 ， 的夹角为α， l1 到l2 的角是θ1， l2到 l1的角 是θ2 若 1+k1 k2= 0时， 2 1 2 若 1+k1 k2≠ 0时， k1 k2 k 2 k1 tg 2 tg1 1 k2 k1 1 k 2 k1
x+y –1=0，点（- 2，0）在另一条腰上，
求这条腰所在直线 l3 的方程.
例5、已知光线的入射线所在的直线l2的程是：
x-6y+13=0，入射线在定直 线m:x+2y-3=0上反射， 求反射直线所在的直线方程。
解：设直线 与m的夹角为 1， l1 直线l 2与m的夹角为 2
1 1 直 线l1的 斜 率 1 ，直 线m 的 斜 率 m ， k k 6 2
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例5：正方形ABCD的对角线AC在直线x+2y-1=0 上，且顶点A（-5，3）、B（m,0）（m>-5)，求 B、C、D的坐标。
例6：求过P（2，3），且与直线：2x+3y-6=0 的夹角为arcctg(2/3)的直线方程。
例4.等腰三角形一腰所在直线l1 的方程是
x -2y –2=0 ，底边所在直线 l2 的方程是
分析：直线 和l2关于直线 对称 l1 m 13 在 直 线 1上 取 一 点 （0， ） l A 6
设A点关于直线 的对称点为（x0，y0） m A'
13 y0 6 2 x0 0 由 13 y0 0 x0 2 6 30 2 2
解 得 ， （ A' 8 13 ， ） 15 30
k1 k2 tg 1 k1k2
上述三个公式的使用前提是两条直线的斜率都存在且 这两条直线互不垂直。如果两条直线垂直，则它们的 夹角和直线到直线的角都为90°；如果两条直线中有 一条直线的斜率不存在，则可依题意作出图形，直接 有图形求出两条直线的夹角和直线到直线的角。
y l2 l1 l2 y
1 1 ( ) k m k1 2 6 8 tg 1 1 1 11 1 k m k1 1 ( ) 2 6 1 ( ) k2 km k 2 1 2k2 2 tg 2 1 1 km k 2 2 k2 1 ( ) k2 2
着交点按逆时针方向旋转到与 l2 重合时所
转过的角，叫做 l1到 l2 的角，记为θ。
θ的取值范围是（0,π）.
设l1 到l2 的角是θ1， l2到 l1的角是θ2， 则θ1与θ2不一定相同，它们的关系是：
θ1+θ2= π其中θ1，θ2∈（0， π）
直线l1的斜率存在而直线l2的斜率不存在
y l2 l1 l1 y l2
1
0
x
2
x l1
2
1
2
2
直线到直线的角与两条直线的夹角的区别： ①直线到直线的角是一个动态的角（有方 向），而直线的夹角是一个静态的角（无 方向）；
②直线到直线的角是（0，π）的一个角，
而直线的夹角是［0,
2
］的一个角。
例1：求两条直线的夹角
1 (1) l1 : y 2 x 1 l2 : y x 2 (2) l1 : x 2 y 5 0 l2 : 2 x 3 y 1 0 (3) l1 : x 5 0 (4) l1 : 2 y 3 0 l2 : 2 x 4 y 3 0 l2 : x 3 y 2 0
例2、已知锐角△ABC的三边所在的
直线方程为：lAB:y=x+6; lBC:y=0;
lCA:7x+4y-35=0,求△ABC 的三个内角。
例3、已知两条直线的方程是18x+6y-17=0 和14x-7y+15=0，求它们的夹角的平 分线所在的直线方程。
例4：等腰直角三角形ABC的直角顶点C和顶点B都 在直线2x+3y-6=0上，顶点A的坐标是（-1，2）， 求AB、AC所在直线方程。
tg 2 tg 1 1 tg 2 tg 1
k 2 k1 1 k 2 k1
1 ( 2 1 )
tg 1 tg( 2 1 ) tg( 2 1 )
k 2 k1 1 k 2 k1
k 2 k1 l1到l2的角，tg 1 k1k 2
再由A' 和P点坐标求出 直线方程为27 x 14 y 1 0
例7：将直线l：2x+3y+1=0绕点P（1，-1）逆时针方 向旋转45，求旋转后的所得的直线l’的方程。
解 ： 设 直 线'的 斜 率 为 l k
2 直线l的斜率为 3
2 k 3 tg 45 2 1 k 3
解得， k 1 5
直 线l '的 方 程 为 1 y
1 ( x 1) 即x 5 y 6 0 5
两条直线的
夹角
定义1：当两条直线相交时，我们称不大
于直角的角叫做两条直线所成的
角，简称“夹角”，
记为α；当两条直线平行或重合 时，两直线的夹角α=0。
因此α的取值范围是
0, 2
请同学们看演示，理解直线到直线的角的定义。
l2
）θ
l1
定义2：若直线l1与直线l2相交，我们把直线 l1 绕