北京科技大学附中高考数学二轮复习 冲刺训练提升 导数及其应用
高考数学二轮复习提高题专题复习导数及其应用多选题练习题含答案
高考数学二轮复习提高题专题复习导数及其应用多选题练习题含答案一、导数及其应用多选题1．函数ln ()xf x x=，则下列说法正确的是（ ）A ．(2)(3)f f >B ．ln π>C ．若()f x m =有两个不相等的实根12x x 、，则212x x e <D ．若25,x y x y =、均为正数，则25x y < 【答案】BD 【分析】求出导函数，由导数确定函数日单调性，极值，函数的变化趋势，然后根据函数的性质判断各选项．由对数函数的单调性及指数函数单调性判断A ，由函数()f x 性质判断BC ，设25xyk ==，且,x y 均为正数，求得252ln ,5ln ln 2ln 5x k y k ==，再由函数()f x 性质判断D ． 【详解】由ln (),0x f x x x=>得：21ln ()xf x x -'=令()0f x '=得，x e =当x 变化时，(),()f x f x '变化如下表：故，()f x x=在(0,)e 上递增，在(,)e +∞上递减，()f e e =是极大值也是最大值，x e >时，x →+∞时，()0f x →，且x e >时()0f x >，01x <<时，()0f x <，(1)0f =，A ．1132ln 2(2)ln 2,(3)ln 32f f ===66111133223232(3)(2)f f ⎛⎫⎛⎫>∴>∴> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错B ．e e π<，且()f x 在(0,)e 单调递增lnf fπ∴<<<∴>，故：B正确C．()f x m=有两个不相等的零点()()1212,x x f x f x m∴==不妨设120x e x<<<要证：212x x e<，即要证：221222,()e ex x e e f xx x<>∴<在(0,)e单调递增，∴只需证：()212ef x fx⎛⎫< ⎪⎝⎭即：()222ef x fx⎛⎫< ⎪⎝⎭只需证：()222ef x fx⎛⎫-<⎪⎝⎭……①令2()(),()eg x f x f x ex⎛⎫=->⎪⎝⎭，则2211()(ln1)g x xe x'⎛⎫=--⎪⎝⎭当x e>时，2211ln1,()0()x g x g xe x'>>∴>∴在(,)e +∞单调递增()22()0x e g x g e>∴>=，即：()222ef x fx⎛⎫->⎪⎝⎭这与①矛盾，故C错D．设25x y k==，且,x y均为正数，则25ln lnlog,logln2ln5k kx k y k====252ln,5lnln2ln5x k y k∴==1152ln2ln5ln2,ln525==且1010111153222525⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪>> ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ln2ln52502525ln2ln5x y∴>>∴<∴<，故D正确．故选：BD．【点睛】关键点点睛：本题考查用导数研究函数的单调性、极值，函数零点等性质，解题关键是由导数确定函数()f x的性质．其中函数值的大小比较需利用单调性，函数的零点问题中有两个变量12,x x，关键是进行转化，利用零点的关系转化为一个变量，然后引入新函数进行证明．2．已知函数()f x对于任意x∈R，均满足()()2f x f x=-.当1x≤时()ln,01,0xx xf xe x<≤⎧=⎨≤⎩，若函数()()2g x m x f x=--，下列结论正确的为（）A．若0m<，则()g x恰有两个零点B．若32m e<<，则()g x有三个零点C．若3 02m<≤，则()g x恰有四个零点D．不存在m使得()g x恰有四个零点【答案】ABC【分析】设()2h x m x=-，作出函数()g x的图象，求出直线2y mx=-与曲线()ln01y x x=<<相切以及直线2y mx=-过点()2,1A时对应的实数m的值，数形结合可判断各选项的正误.【详解】由()()2f x f x=-可知函数()f x的图象关于直线1x=对称.令()0g x=，即()2m x f x-=，作出函数()f x的图象如下图所示：令()2h x m x=-，则函数()g x的零点个数为函数()f x、()h x的图象的交点个数，()h x的定义域为R，且()()22h x m x m x h x-=--=-=，则函数()h x为偶函数，且函数()h x的图象恒过定点()0,2-，当函数()h x的图象过点()2,1A时，有()2221h m=-=，解得32m=.过点()0,2-作函数()ln01y x x=<<的图象的切线，设切点为()00,lnx x，对函数lny x=求导得1yx'=，所以，函数lny x=的图象在点()00,lnx x处的切线方程为()001lny x x xx-=-，切线过点()0,2-，所以，2ln1x--=-，解得1xe=，则切线斜率为e，即当m e =时，函数()y h x =的图象与函数()ln 01y x x =<<的图象相切. 若函数()g x 恰有两个零点，由图可得0m ≤或m e =，A 选项正确； 若函数()g x 恰有三个零点，由图可得32m e <<，B 选项正确； 若函数()g x 恰有四个零点，由图可得302m <≤，C 选项正确，D 选项错误. 故选：ABC. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.3．对于函数()2ln 1f x x ax x a =+--+，其中a R ∈，下列4个命题中正确命题有（ ）A ．该函数定有2个极值B ．该函数的极小值一定不大于2C ．该函数一定存在零点D ．存在实数a ，使得该函数有2个零点【答案】BD 【分析】求出导函数，利用导数确定极值，结合零点存在定理确定零点个数． 【详解】函数定义域是(0,)+∞，由已知2121()2x ax f x x a x x+-'=+-=，280a ∆=+>，2210x ax +-=有两个不等实根12,x x ，但12102x x =-<，12,x x 一正一负．由于定义域是(0,)+∞，因此()0f x '=只有一个实根，()f x 只有一个极值，A 错； 不妨设120x x <<，则20x x <<时，()0f x '<，()f x 递减，2x x >时，()0f x '>，()f x 递增．所以2()f x 是函数的极小值．222210x ax +-=，22212x a x -=，22222()ln 1f x x ax x a =+--+＝222222222222212112ln 12ln 2x x x x x x x x x -+---+=-+--+，设21()2ln 2g x x x x x =-+--+，则22111()22(1)(2)g x x x x x x'=-+-+=-+， 01x <<时，()0g x '>，()g x 递增，1x >时，()0g x '<，()g x 递减，所以()g x 极大值＝(1)2g =，即()2g x ≤，所以2()2f x ≤，B 正确； 由上可知当()f x 的极小值为正时，()f x 无零点．C 错；()f x 的极小值也是最小值为2222221()2ln 2f x x x x x =-+--+， 例如当23x =时，173a =-，2()0f x <，0x →时，()f x →+∞，又2422217171714()21()03333f e e e e e =--++=-+>（217()3e >， 所以()f x 在(0,3)和(3,)+∞上各有一个零点，D 正确． 故选：BD ． 【点睛】思路点睛：本题考查用导数研究函数的极值，零点，解题方法是利用导数确定函数的单调性，极值，但要注意在函数定义域内求解，对零点个数问题，注意结合零点存在定理，否则不能确定零点的存在性．4．若直线l 与曲线C 满足下列两个条件： （i ）直线l 在点()00,P x y 处与曲线C 相切；（ii ）曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C . 下列命题正确的是（ ）A ．直线:0l y =在点()0,0P 处“切过”曲线3:C y x =B ．直线:1l x =-在点()1,0P -处“切过”曲线()2:1C y x =+C ．直线:l y x =在点()0,0P 处“切过”曲线:sin C y x =D ．直线:l y x =在点()0,0P 处“切过”曲线:tan C y x = 【答案】ACD 【分析】分别求出每个选项中命题中曲线C 对应函数的导数，求出曲线C 在点P 处的切线方程，再由曲线C 在点P 处两侧的函数值对应直线上的点的值的大小关系是否满足（ii ），由此可得出合适的选项. 【详解】对于A 选项，由3y x =，可得23y x '=，则00x y ='=，所以，曲线C 在点()0,0P 处的切线方程为0y =，当0x >时，0y >；当0x <时，0y <，满足曲线C 在点()0,0P 附近位于直线0y =两侧， A 选项正确；对于B 选项，由()21y x =+，可得()21y x '=+，则10x y =-'=，而直线:1l x =-的斜率不存在，所以，直线l 在点()1,0P -处不与曲线C 相切，B 选项错误；对于C 选项，由sin y x =，可得cos y x '=，则01x y ='=，所以，曲线C 在点()0,0P 处的切线方程为y x =，设()sin x x x f -=，则()1cos 0f x x '=-≥，所以，函数()f x 为R 上的增函数， 当0x <时，()()00f x f <=，即sin x x <； 当0x >时，()()00f x f >=，即sin x x >.满足曲线C 在点()0,0P 附近位于直线y x =两侧，C 选项正确； 对于D 选项，由sin tan cos xy x x ==，可得21cos y x'=，01x y ='=，所以，曲线C 在点()0,0P 处的切线方程为y x =，当,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，设()tan g x x x =-，则()2221sin 10cos cos xg x x x=-=-≤'，所以，函数()g x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减.当02x π-<<时，()()00g x g >=，即tan x x >；当02x π<<时，()()00g x g <=，即tan x x <.满足曲线C 在点()0,0P 附近位于直线y x =两侧，D 选项正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题考查导数新定义，解题的关键就是理解新定义，并把新定义进行转化，一是求切线方程，二是判断在切点两侧函数值与切线对应的函数值的大小关系，从而得出结论.5．设函数()ln f x x x =，()212g x x =，给定下列命题，其中正确的是（ ） A ．若方程()f x k =有两个不同的实数根，则1,0k e⎛⎫∈- ⎪⎝⎭； B ．若方程()2kf x x =恰好只有一个实数根，则0k <；C ．若120x x >>，总有()()()()1212m g x g x f x f x ->-⎡⎤⎣⎦恒成立，则m 1≥；D ．若函数()()()2F x f x ag x =-有两个极值点，则实数10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． 【答案】ACD 【分析】利用导数研究函数的单调性和极值，且将题意转化为()y f x =与y k =有两个不同的交点，即可判断A 选项；易知1x =不是该方程的根，当1x ≠时，将条件等价于y k =和ln xy x=只有一个交点，利用导数研究函数的单调性和极值，从而可推出结果，即可判断B 选项；当120x x >>时，将条件等价于1122()()()()mg x f x mg x f x ->-恒成立，即函数()()y mg x f x =-在(0,)+∞上为增函数，通过构造新函数以及利用导数求出单调区间，即可求出m 的范围，即可判断C 选项；2()ln (0)F x x x ax x =->有两个不同极值点，根据导数的符号列出不等式并求解，即可判断D 选项. 【详解】解：对于A ，()f x 的定义域(0,)+∞，()ln 1f x x '=+， 令()0f x '>，有ln 1x >-，即1x e>， 可知()f x 在1(0,)e 单调递减，在1+e∞（，）单调递增，所以极小值等于最小值， min 11()()f x f e e∴==-，且当0x →时()0f x →，又(1)0f =，从而要使得方程()f x k =有两个不同的实根，即()y f x =与y k =有两个不同的交点，所以1(,0)k e∈-，故A 正确； 对于B ，易知1x =不是该方程的根，当1x ≠时，()0f x ≠，方程2()kf x x =有且只有一个实数根，等价于y k =和ln xy x=只有一个交点， 2ln 1(ln )-'=x y x ，又0x >且1x ≠， 令0y '>，即ln 1x >，有x e >， 知ln xy x=在0,1（）和1e （，）单减，在+e ∞（，）上单增， 1x =是一条渐近线，极小值为e ,由ln xy x=大致图像可知0k <或=k e ，故B 错误；对于C ，当120x x >>时，[]1212()()()()m g x g x f x f x ->-恒成立， 等价于1122()()()()mg x f x mg x f x ->-恒成立，即函数()()y mg x f x =-在(0,)+∞上为增函数， 即()()ln 10y mg x f x mx x =-''--'=≥恒成立，即ln 1+≥x m x在(0,)+∞上恒成立， 令ln 1()x r x x +=，则2ln ()xr x x -'=，令()0r x '>得ln 0x <，有01x <<，从而()r x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， 则max ()(1)1r x r ==，于是m 1≥，故C 正确；对于D ，2()ln (0)F x x x ax x =->有两个不同极值点， 等价于()ln 120F x x ax +-'==有两个不同的正根， 即方程ln 12x a x+=有两个不同的正根， 由C 可知，021a <<，即102a <<，则D 正确. 故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性和极值，以及利用导数解决函数的零点问题和恒成立问题从而求参数范围，解题的关键在于将零点问题转化成两个函数的交点问题，解题时注意利用数形结合，考查转化思想和运算能力．6．已知函数()21ln 2f x ax ax x =-+的图象在点()()11,x f x 处与点()()22,x f x 处的切线均平行于x 轴，则（ ）A ．()f x 在1,上单调递增B ．122x x +=C ．()()121212x x x x f x f x ++++的取值范围是7,2ln 24⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭D ．若163a =，则()f x 只有一个零点 【答案】ACD【分析】求导，根据题意进行等价转化，得到a 的取值范围；对于A ，利用导数即可得到()f x 在()1,+∞上的单调性；对于B ，利用根与系数的关系可得121x x =+；对于C ，化简()()121212x x x x f x f x ++++，构造函数，利用函数的单调性可得解；对于D ，将163a =代入()f x '，令()0f x '=，可得()f x 的单调性，进而求得()f x 的极大值小于0，再利用零点存在定理可得解. 【详解】 由题意可知，函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()211ax ax ax a x x xf -+=-+='，则1x ，2x 是方程210ax ax -+=的两个不等正根，则212401a a x x a ⎧∆=->⎪⎨=>⎪⎩，解得4a >， 当()1,x ∈+∞时，函数210y ax ax =-+>，此时()0f x '>，所以()f x 在()1,+∞上单调递增，故A 正确；因为1x ，2x 是方程210ax ax -+=的两个不等正根，所以121x x =+，故B 错误； 因为()()221212121112221111ln ln 22x x x x f x f x x ax ax x ax ax a ++++=+++-++- 1112111ln 1ln 22a a a a a a a a⎛⎫=+++--=--+ ⎪⎝⎭， 易知函数()11ln 2h a a a a=--+在()4,+∞上是减函数， 则当4a >时，()()742ln 24h a h <=--， 所以()()121212x x x x f x f x ++++的取值范围是7,2ln 24⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭，故C 正确；当163a =时，()1616133f x x x '=-+，令()0f x '=，得14x =或34， 则()f x 在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在13,44⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 所以()f x 在14x =取得极大值，且104f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，()2ln 20f =>， 所以()f x 只有一个零点，故D 正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：导数几何意义的应用主要抓住切点的三个特点：①切点坐标满足原曲线方程； ②切点坐标满足切线方程；③切点的横坐标代入导函数可得切线的斜率.7．（多选题）已知函数31()1x x xe x f x e x x⎧<⎪=⎨≥⎪⎩，，，函数()()g x xf x =，下列选项正确的是（ ）A ．点(0,0)是函数()f x 的零点B ．12(0,1),(1,3)x x ∃∈∈，使12()()f x f x >C ．函数()f x 的值域为)1e ,-⎡-+∞⎣D ．若关于x 的方程[]2()2()0-=g x ag x 有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是222e e,(,)e 82⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦ 【答案】BC 【分析】根据零点的定义可判断A ；利用导数判断出函数在()0,1、()1,3上的单调性性，求出各段上的值域即可判断B ；利用导数求出函数的最值即可判断C ；利用导数求出函数的最值即可判断D. 【详解】对于选项A ，0是函数()f x 的零点，零点不是一个点，所以A 错误. 对于选项B ，当1x <时，()(1)xf x x e '=+，可得， 当1x <-时，()f x 单调递减； 当11x -<<时，()f x 单调递增； 所以，当01x <<时， 0()<<f x e ，当1x >时，4(3)()x e x f x x-'=， 当13x <<时，()f x 单调递减； 当3x >时，()f x 单调递增；()y f x =图像所以，当13x <<时， 3()27e f x e << ，综上可得，选项B 正确；对于选项C ，min 1()(1)f x f e=-=-，选项C 正确. 对于选项D ，关于x 的方程[]2()2()0-=g x ag x 有两个不相等的实数根⇔关于x 的方程()[()2]0-=g x g x a 有两个不相等的实数根 ⇔关于x 的方程()20-=g x a 有一个非零的实数根⇔函数()y g x =与2y a =有一个交点，且0x ≠，22,1(),1x xx e x g x e x x⎧<⎪=⎨≥⎪⎩当1x <时，/2()(2)=+xg x e x x ，当x 变化时，'()g x ，()g x 的变化情况如下：x2x <-2-20x -<<0 01x << /()g x +-+()g x极大值 极小值极大值24(2)g e -=，极小值(0)0g =，当1≥x 时，3(2)'()e x g x x -=当x 变化时，'()g x ，()g x 的变化情况如下： x 112x <<2 2x >/()g x-+()g xe极小值极小值2(2)4e g =，()y g x =图像综上可得，22424<<e a e 或2a e >，a 的取值范围是222e e,(,)e 82⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，D 不正确.故选：BC 【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值，利用导数研究方程的根，考查了转化与化归的思想，属于难题.8．已知实数a ，b ，c ，d 满足2111a a e cb d --==-，其中e 是自然对数的底数，则()()22a cb d -+-的值可能是（ ） A ．7 B ．8C ．9D ．10【答案】BCD 【分析】由题中所给的等式，分别构造函数()2xf x x e =-和()2g x x =-+，则()()22a cb d -+-的表示()y f x =上一点(),M a b 与()y g x =上一点(),Ncd 的距离的平方，利用导数的几何意义可知当()01f x '=-时，切点到直线的距离最小，再比较选项.【详解】由212a a a e b a e b-=⇒=-，令()2xf x x e =-，()12x f x e '∴=-由1121cd c d -=⇒=-+-，令()2g x x =-+ 则()()22a cb d -+-的表示()y f x =上一点(),M a b 与()y g x =上一点(),Ncd 的距离的平方，设()y f x =上与()y g x =平行的切线的切点为()000,M x y 由()0001210xf x e x '=-=-⇒=，∴切点为()00,2M -所以切点为()00,2M -到()y g x =的距离的平方为28=的距离为(),M a b 与(),N c d 的距离的平方的最小值.故选：BCD. 【点睛】本题考查构造函数，利用导数的几何意义求两点间距离的最小值，重点考查转化思想，构造函数，利用几何意义求最值，属于偏难题型.。
【速度】高考数学二轮复习导数及其应用
【关键字】速度北京航空航天大学附中三维设计高考数学二轮复习：导数及其应用本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若函数在区间内可导，且则的值为( )A．B．C．D．【答案】B2．设函数是上以5为周期的可导偶函数，则曲线在处的切线的斜率为( ) A． B．C．D．【答案】D3．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s＝t3－t2＋2t，那么速度为零的时刻是( )A．0秒B．1秒末C．2秒末D．1秒末和2秒末【答案】D4．已知函数的定义域为，部分对应值如下表．的导函数的图象如图所示．下列关于函数的命题：①函数是周期函数；②函数在是减函数；③如果当时，的最大值是2，那么的最大值为4；④当时，函数有4个零点．其中真命题的个数是( )A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】D5．( )A． B．C．D．【答案】B6．函数y=x3－3x的极大值为m,极小值为n,则m+n为( )A．0 B．1 C．2 D．4【答案】A7．曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( )A． B．C．D．【答案】B8．已知函数的导数为0的值也使值为0，则常数的值为( )A．0 B．C．0或D．非以上答案【答案】A9．已知点P是曲线上的一个动点，则点P到直线l：的距离的最小值为( ) A．1 B．C．D．【答案】B10．曲线在点处的切线的斜率为( )A． B．C．D．【答案】B11．已知物体的运动方程为（是时间，是位移），则物体在时刻时的速度为( )A ．B ．C ．D ．【答案】D12．的图象画在同一直角坐标系中，不可能正确的是( )【答案】D第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．已知函数的导函数为偶函数，则 .【答案】014． .【答案】15．已知函数，当时函数f(x)的导数为零，f(-1)= ，则 ． 【答案】53 16．曲线e x y =在点2(2e )，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为【答案】22e 三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．某企业有一条价值为m 万元的生产流水线，要提高其生产能力，提高产品的价值，就要对该流水线进行技术改造，假设产值y 万元与投入的改造费用x 万元之间的关系满足：①y 与2)(x x m -成正比；②当2m x =时，23m y =，③a x m x ≤-≤)(40，其中a 为常数，且[]2,0∈a .(1）设)(x f y =，求出)(x f 的表达式;(2）求产值y 的最大值，并求出此时x 的值.【答案】（1）y 与（m －x ）x 成正比，∴y ＝f (x)=k (m －x)x 2又2m x =时，23m y = ∴4)2(223m m m k m ⋅-= ∴k ＝4 ∴y ＝f (x)＝4(m －x)x 2由a m x ≤-≤)1(40得 aam x 4140+≤≤ ∴2)(4)(x x m x f -= a am x 41410+≤≤ (2）∵2)(4)(x x m x f -= a am x 41410+≤≤ ∴)32(4)(/x m x x f -=令0)(/=x f得m x 32 x 021== (i ）若m a am 32414≥+ 即221≤≤a 当)32,0(m x ∈时，0)(/>x f ∴)(x f 在[0，32m]上单调递增 当)414,32(aam m x +∈时，0)(/<x f 由)(x f 在[aam m 414,32+]上单调递减 ∴当m x 32=，3max 2716)32()(m m f x f == (i i ）若a am 414+<m 32 即210≤≤a 时 当∈x (0, aam 414+)时，0)(/>x f ∴)(x f 在[0，aam 414+]上单调递增 ∴332max )41(64)414()(a m a a am f x f +=+= 综合（i ）（i i ）可知 当210≤≤x 时，产值y 的最大值为332)41(64a m a +，此时投入的技术改造费用为a am 414+； 当221≤≤a 时，产值y 的最大值为32716m ，此时投入的技术改造费用为m 32； 18．已知函数()ln f x x =，3()2ag x x=-，（a 为实数）.(1）当1a =时，求函数()()()x f x g x ϕ=-在[4,)x ∈+∞上的最小值； (2）若方程()2()f x e g x =（其中 2.71828e =）在区间1[,1]2上有解，求实数a 的取值范围； (3）证明：*151[2(21)()(1)]21,.460n k n f k f k f k n n N =+<+--+<+∈∑（参考数据：ln 20.6931)≈. 【答案】（1）当1a =时，13()()()ln ,2x f x g x x x ϕ=-=+- 22111'(),x x x x xϕ--=+=令'()0,0,x x ϕ>>又得1x > ()x ϕ∴在(0,1]上单调递减，在[1,)+∞上单调递增4x ∴≥时135()(4)ln 4ln 4.424x ϕϕ≥=+-=-()x ϕ∴的最小值为5ln 44- (2）2()()f x e g x =在1[,1]2x ∈上有解2ln 32x a e x ⇔=-在1[,1]2x ∈上有解332a x x ⇔=-在1[,1]2x ∈上有解令331(),[,1]22h x x x x =-∈ 令2'()0,0,0.2h x x x >><<又解得 3312()[,]222h x x x x ∴=-∈在上单调递增，2[x ∈上单调递减， 又12(1)().(1)()(2h h h h x h <∴<≤ 即12()22h x ≤≤故12[,22a ∈ (3）设2(21)()(1)k a f k f k f k =+--+=由（1），可得min 5()ln 40(4),4x x ϕ=->≥ 构造函数()F x ()11ln 24,'()1,x x x x F x x x -=-+≥=-= 当4x ≥时，1'()0,()x F x F x x-=<∴在[4,)+∞上单调递减， 即()(4)ln 422(ln 21)0F x F ≤=-=-<∴当4x >时，ln 2x x <-即1121k a k k <+-+ 故*151[2(21)()(1)]21,460n k n f k f x f k n n N =+<+-=+<+∈∑19．已知函数3211()(,)32a f x x x bx a ab +=-++∈R ，且其导函数()f x '的图像过原点. (1)当1a =时，求函数()f x 的图像在3x =处的切线方程;(2)若存在0x <，使得()9f x '=-，求a 的最大值；(3)当0a >时，求函数()f x 的零点个数。
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北京科技大学附中2013版高考数学二轮复习冲刺训练提升：导数及其应用本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列命题为真命题的是( )A ．)(x f 在0x x =处存在极限，则)(x f 在0x x =连续B ．)(x f 在0x x =处无定义，则)(x f 在0x x =无极限C ．)(x f 在0x x =处连续，则)(x f 在0x x =存在极限D ．)(x f 在0x x =处连续，则)(x f 在0x x =可导 【答案】C2．设函数xe xf -=1)(的图象与x 轴相交于点P, 则曲线在点P 的切线方程为( )A ．x y -=B ．x y 2-=C ．x y 21-=D ．x y 23-= 【答案】A3．若2)(0='x f ，则kx f k x f k 2)()(lim000--→等于( )A ．－1B ．－2C ．－21 D ．21 【答案】C4．给出下列四个结论： ①⎰=π200sin xdx ；②命题“2,0"x R x x ∃∈->的否定是“2,0x R x x ∀∈-≤”；③“若22,am bm < 则a b <”的逆命题为真；④集合}1)(|{},014|{2<-=<--=a x x B x x x A ，则“)3,2(∈a ”是“A B ⊆”成立的充要条件. 则其中正确结论的序号为 ( )A ．①③B ．①②C ．②③④D ．①②④【答案】B5．若存在过点(1,0)的直线与曲线3y x =和21594y ax x =+-都相切,则a =( ) A. 1-或2564- B. 1-或214 C. 74-或2564- D. 74-或7【答案】A6．如图，设D 是图中边长为4的正方形区域，E 是D 内函数2y x =图象下方的点构成的区域．向D 中随机投一点，则该点落入E 中的概率为( )A ．15B ．14C．13D ．12【答案】C7．曲线y ＝sinx 与直线y ＝2πx 所围成的平面图形的面积是( )A ．42π＋B ．44π－C ．42π－D ．22π－【答案】C8．已知二次函数c bx ax x f ++=2)(的导数0)0('),('>f x f ，且)(x f 的值域为),0[+∞，则)0(')1(f f 的最小值为( ) A ．3B ．25 C ．2 D ．23 【答案】C9．用边长为6分米的正方形铁皮做一个无盖的水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90︒，再焊接而成（如图）。
设水箱底面边长为x 分米，则( )A ．水箱容积最大为8立方分米B ．水箱容积最大为64立方分米C ．当x 在()0,3时，水箱容积()V x 随x 增大而增大D ．当x 在()0,3时，水箱容积()V x 随x 增大而减小【答案】C10．由直线1,+-==x y x y ，及ｘ轴围成平面图形的面积为( )A ．()[]dy y y ⎰--11B ．()[]dx x x ⎰-+-211C ．()[]dy y y ⎰--2101D ．()[]dx x x ⎰+--11【答案】C11．由曲线1xy =，直线,3y x y ==所围成的平面图形的面积为( )A ．329B ．2ln3-C ．4ln3-D ．4ln3+【答案】C12．函数2sin(2)y x x =+导数是( )A ．．2cos(2)x x + B ．22sin(2)x x x +C ．2(41)cos(2)x x x ++ D ．24cos(2)x x +【答案】C第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．已知()x f x xe =，则'(1)f ＝【答案】2e14．若函数a x x x f +-=3)(3有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是 .【答案】(2,2)-15．2211d 2x x x +⎰= ；【答案】23ln 2116．如图是一个质点做直线运动的V t -图象，则质点在前6 s 内的位移为 m【答案】9三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．已知函数32()39f x x x x =-++(Ⅰ）求曲线y=f(x)在（1,11）处的切线方程； (Ⅱ）求函数的单调区间。
【答案】 (Ⅰ)因为2()369f x x x '=-++，所以切线的斜率为(1)36912f '=-++=所以切线方程y-1=12(x-1)即 12x-y-11=0(Ⅱ)令2()3690f x x x '=-++>得13x -<<所以函数f(x)的单调增区间为（-1,3）令2()3690f x x x '=-++<得x<-1或x>3所以函数f(x)的单调减区间为(,1)(3,)-∞-+∞和。
18．已知函数f(x)=x 4-4x 3+ax 2-1在区间[0,1]上单调递增,在区间[1,2]上单调递减; ⑴求a 的值;⑵是否存在实数b,使得函数g(x)=bx 2-1的图象与函数f(x)的图象恰有2个交点,若存在,求出实数b 的值;若不存在,试说明理由【答案】⑴∵f(x)在区间[0,1]上单调递增,在区间[1,2]上单调递减,∴f ’(1)=0,f ’(1)=4x 3-12x 2+2ax|x=1=2a-8=0,∴a=4;⑵由⑴知f(x)=x 4-4x 3+4x 2-1,由f(x)=g (x)可得x 4-4x 3+4x 2-1=bx 2-1即x 2(x 2-4x+4-b)=0.∵f(x)的图象与g(x)的图象只有两个交点,∴方程x 2-4x+4-b=0有两个非零等根或有一根为0,另一个不为0, ∴Δ=16-4(4-b)=0,或4 – b = 0,∴b = 0或b =4．19．已知函数.18)(23)(3有极大值为常数其中a ax x x f +-=(Ⅰ）求a 的值；(Ⅱ）若曲线)(x f y =过原点的切线与函数()ln g x b x =-的图像有两个交点，试求b 的取值范围.【答案】 (Ⅰ) '2()33f x x a =-Q ，又函数()f x 有极大值'()0f x ∴>令，得x x <>()f x ∴在(,)-∞+∞上递增，在(上递减()(18f x f ∴==极大值，得4a =(Ⅱ）设切点3000(,122)x x x -+，则切线斜率'200()312k f x x ==- 所以切线方程为320000122(312)()y x x x x x -+-=--将原点坐标代入得01x =，所以9k =- 切线方程为9y x =-由9ln y xy b x =-⎧⎨=-⎩得ln 90x x b --=设()ln 9h x x x b =--则令'119()90x h x x x -=-=>，得109x << 所以()h x 在1(0,)9上递增，在1(,)9+∞上递减所以1()()ln 919h x h b ==---最大值若ln 90x x b --=有两个解，则()0h x >最大值 得ln91b <--20．已知函数f(x)＝plnx ＋(p －1)x 2＋1．(I ）讨论函数f(x)的单调性；(II ）当p ＝1时，f(x)≤kx 恒成立，求实数k 的取值范围；(III ）证明：ln(n ＋1)<1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)．【答案】(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝p x＋2(p －1)x ＝2p －1x 2＋px．当p>1时，f ′(x)＞0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当p ≤0时，f ′(x)＜0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减； 当－1＜p ＜0时，令f ′(x)＝0，解得x ＝－p 2p －1，则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，－p 2p －1时，f ′(x)＞0；x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－p 2p －1，＋∞时，f ′(x)＜0．故f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2p －1上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2p －1，＋∞上单调递减． (2)因为x>0，所以当p ＝1时，f(x)≤kx 恒成立⇔1＋lnx ≤kx ⇔k ≥1＋lnx x ，令h(x)＝1＋lnxx，则k ≥h(x)max ，因为h ′(x)＝－lnxx2，由h ′(x)＝0得x ＝1，且当x ∈(0,1)时，h ′(x)>0；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x)<0．所以h(x)在(0,1)上递增，在(1，＋∞)上递减．所以h(x)max ＝h(1)＝1，故k ≥1．(3)由(2)知当k ＝1时，有f(x)≤x ，当k>1时，f(x)<x ，即lnx<x －1，令x ＝n ＋1n ，则ln n ＋1n <1n ，所以ln 21<11，ln 32<12，…，ln n ＋1n <1n ，相加得ln 21＋ln 32＋…＋ln n ＋1n <1＋12＋…＋1n ，而ln 21＋ln 32＋…＋lnn ＋1n ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫21·32·…·n ＋1n ＝ln(n ＋1)，所以ln(n ＋1)<1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *) 21．设函数()xf x e =(e 为自然对数的底数)，23()12!3!!n n x x x g x x n =+++++L （n +∈N ）．(Ⅰ）证明：()f x 1()g x ≥；(Ⅱ）当0x >时，比较()f x 与()n g x 的大小，并说明理由；(Ⅲ）证明：123222212341(1)nn g n e ++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭≤L （n +∈N ）． 【答案】（Ⅰ）设11()()()1xx f x g x e x ϕ=-=--，所以1()1x x e ϕ'=-．当0x <时，1()0x ϕ'<，当0x =时，1()0x ϕ'=，当0x >时，1()0x ϕ'>． 即函数1()x ϕ在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增， 在0x =处取得唯一极小值，因为1(0)0ϕ=，所以对任意实数x 均有 11()(0)0x ϕϕ=≥． 即1()()0f x g x -≥，所以()f x 1()g x ≥． (Ⅱ）当0x >时，()f x >()n g x ．用数学归纳法证明如下：①当1n =时，由（1）知()f x 1()g x >；②假设当n k =（k +∈N ）时，对任意0x >均有()f x >()k g x ， 令()()()k k x f x g x ϕ=-，11()()()k k x f x g x ϕ++=-，因为对任意的正实数x ，()()11()()()k kk x f x g x f x g x ϕ++'''=-=-， 由归纳假设知，1()()()0k k x f x g x ϕ+'=->，即11()()()k k x f x g x ϕ++=-在(0,)+∞上为增函数，亦即11()(0)k k x ϕϕ++>， 因为1(0)0k ϕ+=，所以1()0k x ϕ+>．从而对任意0x >，有1()()0k f x g x +->,即对任意0x >，有1()()k f x g x +>， 这就是说，当1n k =+时，对任意0x >，也有()f x >1()k g x +． 由①,②知，当0x >时，都有()f x >()n g x ． (Ⅲ）证明1：先证对任意正整数n ，()1n g e <．由（Ⅱ）知，当0x >时，对任意正整数n ，都有()f x >()n g x ． 令1x =，得()()11=n g f e <．所以()1e n g <． 再证对任意正整数n ，()1231222211111123412!3!!nng n n +++++≤=++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L ． 要证明上式，只需证明对任意正整数n ，不等式211!nn n ⎛⎫≤ ⎪+⎝⎭成立． 即要证明对任意正整数n ，不等式1!2nn n +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭（*）成立．方法1（数学归纳法）：①当1n =时，1111!2+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭成立，所以不等式（*）成立．②假设当n k =（k +∈N ）时，不等式（*）成立，即1!2kk k +≤⎛⎫ ⎪⎝⎭．则()()()1111!1!1222k k k k k k k k ++++=+≤+=⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．11111111112211121C C C 2,111112k k k k k k k k k k k k k k k k +++++++++++==+=+++≥+++++⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎪⎝⎭Q L()11121!222k k k k k ++++∴+≤≤⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,这说明当1n k =+时，不等式（*）也成立． 由①，②知，对任意正整数n ，不等式（*）都成立．综上可知，对n +∀∈N ，不等式()1222211231nn g e n ++++≤<+⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 成立．方法2（基本不等式法）：12n +≤12n +12n +≤， 将以上n 个不等式相乘，得1!2nn n +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭．所以对任意正整数n ，不等式（*）都成立．综上可知，对n +∀∈N ，不等式()1222211231nn g e n ++++≤<+⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 成立． 22．已知2()ln ,() 3.f x x x g x x ax ==-+- (1) 求函数()[,2](0)f x t t t +在＞上的最小值；(2) 若对一切(0,),2()()x f x g x ∈+∞≥恒成立,求实数a 的取值范围； (3) 证明:对一切(0,)x ∈+∞,都有12ln x x e ex-＞成立. 【答案】（1）()ln 1f x x '=+，当1(0,),()0,()x f x f x e '∈<单调递减，当1(,),()0,()x f x f x e'∈+∞>单调递增①102t t e <<<+，即10t e <<时， min 11()()f x f e e ==-；②12t t e ≤<+，即1t e≥时，[](),2f x t t +在上单调递增，min ()()ln f x f t t t ==；所以min11,0.()1ln ,t e e f x t t t e ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩(2）22ln 3x x x ax ≥-+-，则32ln a x x x≤++，[ http://wx.jtyjy/] 设3()2ln (0)h x x x x x =++>，则2(3)(1)()x x h x x +-'=，当(0,1),()0,()x h x h x '∈<单调递减，当(1,),()0,()x h x h x '∈+∞>单调递增， 所以min ()(1)4h x h == 所以min ()4a h x ≤=； (3）问题等价于证明2ln ((0,))xx x x x e e>-∈+∞， 由（1）可知()ln ((0,))f x x x x =∈+∞的最小值是1e-，当且仅当1x e=时取到， 设2()((0,))x x m x x e e =-∈+∞，则1()xxm x e -'=，易知 max 1()(1)m x m e==-，当且仅当1x =时取到，从而对一切(0,)x ∈+∞，都有12ln x x e ex>-成立。