2021年高考数学(理)二轮复习精品《专题02 函数的图像与性质》押题专练(含解析)
2021年高考数学二轮复习 三角函数的图像与性质训练题 理
2021年高考数学二轮复习 三角函数的图像与性质训练题 理1．(xx·浙江高考)函数f(x)＝sin xcos x ＋32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是( )A ．π，1B ．π，2C ．2π，1D ．2π，22．(xx·浙江高考)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，φ∈R)，则“f(x)是奇函数”是“φ＝π2”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．(xx·福建质检)函数f(x)＝x 2cos x 的图像大致是( )4．三角形ABC 是锐角三角形，若角θ终边上一点P 的坐标为(sin A －cos B ，cos A －sin C)，则sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值是( )A ．1B ．－1C ．3D ．45．(xx·济南模拟)若函数f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6x ＋π3(－2<x<10)的图像与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与函数的图像交于B ，C 两点，则(＋)·＝( )A ．－32B ．－16C ．16D ．326．(xx·济南模拟)如图是函数y ＝Asin(ωx＋φ) 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上的图像．为了得到这个函数的图像，只需将y ＝sin x(x ∈R)的图像上所有的点( )A ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变B ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变D ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变7．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，若tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2cos 2α，则α＝________.8．(xx·荆州市质检)函数y ＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为π，且函数图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π8，0对称，则函数的解析式为________________． 9.已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2，y ＝f(x)的部分图像如图，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝________.10．(xx·安徽高考)设函数f(x)＝sin x ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3.(1)求f(x)的最小值，并求使f(x)取得最小值的x 的集合；(2)不画图，说明函数y ＝f(x)的图像可由y ＝sin x 的图像经过怎样的变化得到． 11．(xx·长春市调研)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) 的部分图像如图所示． (1)求函数y ＝f(x)的解析式；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π6时，求f(x)的取值范围．12．(xx·辽宁省五校模拟)已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点P(－3，3)．(1)求sin 2α－ta n α的值；(2)若函数f(x)＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α，求函数y ＝3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2f 2(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域．1．选A 由f(x)＝sin xcos x ＋32cos 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，得最小正周期为π，振幅为1.2．选B 若f(x)是奇函数，则φ＝π2＋kπ(k∈Z)，且当φ＝π2时，f(x)为奇函数．3．选B 因为f(－x)＝(－x)2cos(－x)＝x 2cos x ＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，排除C 、D ；又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π32cos π3＝π218>0，所以排除A.4．选 B 因为三角形ABC 是锐角三角形，所以A ＋B>90°，即A>90°－B ，则sin A>sin(90°－B)＝cos B ，sin A －cos B>0，同理cos A －sin C<0，所以点P 在第四象限，sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|＝－1＋1－1＝－1.5．选D 由f(x)＝0解得x ＝4，即A(4,0)，过点A 的直线l 与函数的图像交于B ，C 两点，根据对称性可知，A 是BC 的中点，如图，所以＋＝2，所以(＋)·＝2·＝2||2＝2×42＝32.6．选A 由题意知，A ＝1；由2πω＝5π6＋π6，得ω＝2；由2×π3－π62＋φ＝π2＋2kπ(k∈Z)，0<φ<π2，得φ＝π3，故y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.只要把函数y ＝sin x 的图像向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，即可得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像．7．解析：∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2cos 2α，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2(cos 2α－sin 2α)，整理得sin α＋cos αcos α－sin α＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)．因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，所以sin α＋cos α≠0.因此(cos α－sin α)2＝12，即sin 2α＝12.由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，得2α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以2α＝π6，即α＝π12.答案：π128．解析：由题意知最小正周期T ＝π＝2πω，∴ω＝2,2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π8＋φ＝kπ(k∈Z)， ∴φ＝kπ＋3π4(k ∈Z)．又0<φ<π，∴φ＝3π4，∴y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π4. 答案：y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3π49．解析：由图像可知，此正切函数的半周期等于3π8－π8＝2π8＝π4，即周期为π2，所以ω＝2.由题意可知，图像过定点⎝⎛⎭⎪⎫3π8，0，所以0＝Atan2×3π8＋φ，即3π4＋φ＝kπ(k∈Z)，所以φ＝kπ－3π4(k ∈Z)，又|φ|<π2，所以φ＝π4.再由图像过定点(0,1)，可得A＝1.综上可知，f(x)＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.故有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π24＋π4＝tan π3＝ 3.答案： 310．解：(1)因为f(x)＝sin x ＋12sin x ＋32cos x ＝32sin x ＋32cos x ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，所以当x ＋π6＝2kπ－π2，即x ＝2kπ－2π3(k ∈Z)时，f(x)取最小值－ 3.此时x 的取值集合为(2)先将y ＝sin x 的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，得y ＝3sin x 的图像；再将y ＝3sin x 的图像上所有的点向左平移π6个单位长度，得y ＝f(x)的图像．11．解：(1)由图像得A ＝1，T 4＝2π3－π6＝π2，所以T ＝2π，则ω＝1.将⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1代入得1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ，而－π2<φ<π2，所以φ＝π3.因此函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3.(2)由于x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π6，－2π3≤x＋π3≤π6，所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3≤12，所以f(x)的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12.12．解：(1)∵角α的终边经过点P(－3，3)， ∴sin α＝12，cos α＝－32，tan α＝－33.∴sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α ＝－32＋33＝－36. (2)∵f(x)＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α＝cos x ，x ∈R ， ∴y ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2cos 2x ＝3sin 2x －1－cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1.∵0≤x≤π2，∴－π6≤2x－π6≤5π6.∴－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1.∴－2≤2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－1≤1. 故函数y ＝3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2f 2(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为[－2,1]．35673 8B59 譙<24064 5E00 帀tBd40222 9D1E 鴞< H b33525 82F5 苵。
2021届高三数学(文理通用)一轮复习题型专题训练：函数的图像及其应用(二)(含解析)
《函数的图像及其应用》（二）考查内容：主要涉及利用函数图像研究函数的性质、利用函数图像解不等式等一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知函数3211,0()32,0x x x x f x e x ⎧-<⎪=⎨⎪≥⎩则2(3)(2)f x f x ->的解集为（ ） A ．(,3)(1,)-∞-⋃+∞ B ．(3,1)- C ．(,1)(3,)-∞-+∞D ．(1,3)-2．已知定义在R 上的函数()f x 在(),2-∞-上是减函数，若()()2g x f x =-是奇函数，且()20g =，则不等式()0xf x ≤的解集是（ ） A ．][(),22,-∞-⋃+∞ B ．][)4,20,⎡--⋃+∞⎣C ．][(),42,-∞-⋃-+∞D ．][(),40,-∞-⋃+∞3．已知奇函数()f x 在0x ≥时的图象如图所示，则不等式()0xf x <的解集为（ ）A ．(1,2)B ．(2,1)--C ．(2,1)(1,2)--⋃D ．(1,1)-4．已知在R 上的偶函数()y f x =，当0x ≥时，()2f x x x =-，则关于x 的不等式()()2f f x ≤的解集为（ ）A ．[]1,1-B ．[]22-,C ．[]3,3-D ．[]4,4-5．已知函数()f x 是定义在[)(]4,00,4-⋃上的奇函数，当(]0,4x ∈时，()f x 的图象如图所示，那么满足不等式()31xf x ≥-的x 的取值范围是( )A ．[)(]1,00,1-B ．[](]4,20,1--C ．[][]4,22,4-- D ．[)[]1,02,4-6．函数()[](),y f x x ππ=∈-的图象如图所示，那么不等式()cos 0f x x ⋅≥的解集为( )A ．,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．][,0,22πππ⎡⎤--⋃⎢⎥⎣⎦C ．,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．0,22ππ⎧⎫⎡⎤-⋃⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦7．函数y ＝f (x )的图象是以原点为圆心、1为半径的两段圆弧，如图所示．则不等式f (x )>f (－x )＋x 的解集为( )A ．[1,-∪(0,1]B ．[－1,0)∪C ．[1,-∪D ．[1,-∪1] 8．已知函数22,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若|()|1f x ax ≥-恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．[2,0]-B ．[4,0]-C ．[2,1]-D ．[4,1]-9．设函数()f x 的定义域为R ，满足2(1)()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =--.若对任意[,)x m ∈+∞，都有8()9f x ≤，则m 的取值范围是( ) A ．7[,)6-+∞B ．5[,)3-+∞C ．5[,)4-+∞D ．4[,)3-+∞10．已知函数()()2,0,ln 1,0,x x f x x x ⎧⎪=⎨+>⎪⎩若不等式()10f x kx k -++<的解集为空集，则实数k 的取值范围为（ ）A ．(2⎤-⎦B ．(2⎤-⎦C ．2⎡⎤-⎣⎦D ．[]1,0-11．已知()y f x =是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()22f x x x =-，则不等式()210f x ->的解集为（ ）A ．13,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．33,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()(),53,-∞-+∞D ．()(),33,-∞-+∞12．设函数2()min{|2|,,|2|}f x x x x =-+，其中min{,,}x y z 表示,,x y z 中的最小者．下列说法错误的是 A ．函数()f x 为偶函数B ．若[1,)x ∈+∞时，有(2)()f x f x -≤C ．若x ∈R 时，(())()f f x f x ≤D ．若[]4,4x ∈-时|()2|()f x f x -≥二．填空题13．如图所示，已知奇函数()y f x =在y 轴右边部分的图像，则()0f x >的解集为_________．14．已知22,0()32,0x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，若|()|f x ax 在[1,1]x ∈-上恒成立，则实数a 的取值范围是__________15．已知函数()(),y f x y g x ==分别是定义在[]3,3-上的偶函数和奇函数，且它们在[]0,3上的图象如图所示，则不等式()()0f x g x ≥在[]3,3-上的解集是________.16．设()(),()()0f x g x g x ≠分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0x <时，()()()()0f x g x f x g x ''-<，且(2)0f -=，则不等式()0()f xg x >的解集为__ 三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．已知函数+2y k x b =+的图象经过点（2-，4）和（6-，2-），完成下面问题：（1）求函数+2y k x b =+的表达式；（2）在给出的平面直角坐标系中，请用适当的方法画出这个函数的图象，并写出这个函数的一条性质； （3）已知函数1+12y x =的图象如图所示，结合你所画出+2y k x b =+的图象，直接写出1+2+12k x b x +＞的解集．18．已知函数()|21|||2f x x x =+--. （1）解不等式()0f x ≤；（2）当[2,2]x ∈-时，|()||1|f x a ≥+有解，求实数a 的取值范围.19．已知函数()()20f x x a x a =-+>． （1）解不等式()2f x a ≥；（2）若函数()f x 的图象与直线2y a =围成的图形的面积为6，求实数a 的值．20．已知函数()()()()22102201log 1x x f x x x x x ⎧+≤⎪=-+<≤⎨⎪>⎩（1）画出()y f x =的简图，并指出函数值域；（2）结合图象，求当()1f x >时，x 的取值范围．21．设函数()121f x x x =+--.（1）画出()y f x =的图象；（2）当(],0x ∈-∞时，()f x ax b ≤+，求-a b 的最大值.22．已知函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，且[)0,x ∈+∞时，()[]()222,0,11,1,x x f x x x ⎧-∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩.（1）求(),0x ∈-∞时()f x 的解析式；（2）在如图坐标系中作出函数()f x 的大致图象；（3）若不等式()f x k ≤恰有5个整数解，求k 的取值范围.《函数的图像及其应用》（二）解析1.【解析】当0x <时，()321132f x x x =-，()2f x x x '=- ()0,0x f x ∴'，()f x 单调递增，且0x →时，()0f x →，∴()0f x <当0x ≥时，()xf x e =单调递增，且()()01f x f ≥=因此可得()f x 单调递增，()()232f x f x ∴->可转化为232xx ->解得31x -<<，故选B 项.2.【解析】由()()2g x f x =-是把函数()f x 向右平移2个单位得到的，且()()200g g ==，()()()4220f g g -=-=-=，()()200f g -==，画出()f x 的大致形状结合函数的图像可知，当4x ≤-或2x ≥-时，()0xf x ≤，故选C. 3.【解析】由图像可知在0x ≥时，在()()012+∞，，，()0f x >；在(1,2)，()0f x <；由()f x 为奇函数，图象关于原点对称，在0x <时，在()(),21,0∞-⋃--，()0f x <；在(2,1)--，()0f x >； 又()y xf x =，在0x ≥时与()y f x =同号，在0x <时与()y f x =异号 故不等式()0xf x <的解集为：(2,1)(1,2)--⋃，故选：C4.【解析】因为()y f x =是R 上的偶函数，且当0x ≥时，()2f x x x =-，则当0x <时，0x ->，()()2f x f x x x =-=+。
高考数学大二轮复习专题2函数与导数第2讲综合大题部分真题押题精练(理)
第2讲 综合大题部分1. (2017·高考全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝a e 2x ＋(a －2)e x－x . (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个零点，求a 的取值范围． 解析：(1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝2a e 2x ＋(a －2)e x －1＝(a e x －1)(2e x ＋1)．①若a ≤0，则f ′(x )<0，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减． ②若a >0，则由f ′(x )＝0得x ＝－ln a . 当x ∈(－∞，－ln a )时，f ′(x )<0； 当x ∈(－ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以f (x )在(－∞，－ln a )上单调递减， 在(－ln a ，＋∞)上单调递增．(2)①若a ≤0，由(1)知，f (x )至多有一个零点．②若a >0，由(1)知，当x ＝－ln a 时，f (x )取得最小值，最小值为f (－ln a )＝1－1a＋ln a .a ．当a ＝1时，由于f (－ln a )＝0，故f (x )只有一个零点；b ．当a ∈(1，＋∞)时，由于1－1a＋ln a >0，即f (－ln a )>0，故f (x )没有零点；c ．当a ∈(0,1)时，1－1a＋ln a <0，即f (－ln a )<0.又f (－2)＝a e －4＋(a －2)e －2＋2>－2e －2＋2>0， 故f (x )在(－∞，－ln a )有一个零点．设正整数n 0满足n 0>ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫3a－1，则f (n 0)＝e n 0(a e n 0＋a －2)－n 0>e n 0－n 0>2n 0－n 0>0.由于ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫3a－1>－ln a ，因此f (x )在(－ln a ，＋∞)有一个零点． 综上，a 的取值范围为(0,1)．2．(2017·高考全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝x －1－a ln x . (1)若f (x )≥0，求a 的值；(2)设m 为整数，且对于任意正整数n ，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n <m ，求m 的最小值． 解析：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)．①若a ≤0，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12＋a ln 2<0，所以不满足题意； ②若a >0，由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax知，当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在(0，a )单调递减，在(a ，＋∞)单调递增． 故x ＝a 是f (x )在(0，＋∞)的唯一最小值点． 由于f (1)＝0，所以当且仅当a ＝1时，f (x )≥0. 故a ＝1.(2)由(1)知当x ∈(1，＋∞)时，x －1－ln x >0.令x ＝1＋12n 得ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n <12n .从而ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122＋…＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n <12＋122＋…＋12n ＝1－12n <1. 故⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n <e. 而⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋123>2， 所以m 的最小值为3.3．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝e x －ax 2. (1)若a ＝1，证明：当x ≥0时，f (x )≥1； (2)若f (x )在(0，＋∞)只有一个零点，求a .解析：(1)证明：当a ＝1时，f (x )≥1等价于(x 2＋1)e －x－1≤0.设函数g (x )＝(x 2＋1)e －x－1，则g ′(x )＝－(x 2－2x ＋1)·e －x＝－(x －1)2e －x. 当x ≠1时，g ′(x )＜0，所以g (x )在(0，＋∞)单调递减． 而g (0)＝0，故当x ≥0时，g (x )≤0，即f (x )≥1. (2)设函数h (x )＝1－ax 2e －x.f (x )在(0，＋∞)只有一个零点等价于h (x )在(0，＋∞)只有一个零点．(ⅰ)当a ≤0时，h (x )＞0，h (x )没有零点； (ⅱ)当a ＞0时，h ′(x )＝ax (x －2)e －x.当x ∈(0,2)时，h ′(x )＜0；当x ∈(2，＋∞)时，h ′(x )＞0. 所以h (x )在(0,2)单调递减，在(2，＋∞)单调递增．故h (2)＝1－4ae 2是h (x )在(0，＋∞)的最小值．①若h (2)＞0，即a ＜e24，h (x )在(0，＋∞)没有零点．②若h (2)＝0，即a ＝e24，h (x )在(0，＋∞)只有一个零点．③若h (2)＜0，即a ＞e24，因为h (0)＝1，所以h (x )在(0,2)有一个零点；由(1)知，当x ＞0时，e x＞x 2，所以h (4a )＝1－16a 3e 4a ＝1－16a3e2a2＞1－16a 32a 4＝1－1a＞0，故h (x )在(2,4a )有一个零点．因此h (x )在(0，＋∞)有两个零点． 综上，当f (x )在(0，＋∞)只有一个零点时，a ＝e24.1. 已知函数f (x )＝ln(x ＋1)＋ax 2，a >0. (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )在区间(－1,0)上有唯一零点x 0，证明：e －2<x 0＋1<e －1. 解析：(1)f ′(x )＝1x ＋1＋2ax ＝2ax 2＋2ax ＋1x ＋1，x >－1，令g (x )＝2ax 2＋2ax ＋1， 则Δ＝4a 2－8a ＝4a (a －2)， 若Δ<0，即0<a <2，则g (x )>0，故当x ∈(－1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 若Δ＝0，即a ＝2，则g (x )≥0， 仅当x ＝－12时，等号成立，故当x ∈(－1，＋∞)时，f ′(x )≥0，f (x )单调递增． 若Δ>0，即a >2，则g (x )有两个零点，x 1＝－a －a a －22a ，x 2＝－a ＋a a －22a，由g (－1)＝g (0)＝1>0，g (－12)<0得，－1<x 1<－12<x 2<0，故当x ∈(－1，x 1)时，g (x )>0，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 当x ∈(x 1，x 2)时，g (x )<0，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )>0，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 综上所述，当0<a ≤2时，f (x )在(－1，＋∞)上单调递增， 当a >2时，f (x )在(－1，－a －a a －22a )和(－a ＋a a －22a ，＋∞)上单调递增，在(－a －a a －22a，－a ＋a a －22a)上单调递减．(2)由(1)及f (0)＝0可知：仅当极大值等于零，即f (x 1)＝0时，符合要求． 此时，x 1就是函数f (x )在区间(－1,0)上的唯一零点x 0. 所以2ax 20＋2ax 0＋1＝0， 从而有a ＝－12x 0x 0＋1，又f (x 0)＝ln(x 0＋1)＋ax 20＝0， 所以ln(x 0＋1)－x 02x 0＋1＝0，令x 0＋1＝t 0，则ln t 0－t 0－12t 0＝0， 即ln t 0＋12t 0－12＝0，且0<t 0<12，设h (t )＝ln t ＋12t －12，则h ′(t )＝2t －12t 2，当0<t <12时，h ′(t )<0，h (t )单调递减，又h (e －2)＝e 2－52>0，h (e －1)＝e －32<0，所以e －2<t 0<e －1，即e －2<x 0＋1<e －1.2．已知函数f (x )＝12ln x －mx ，g (x )＝x －ax (a >0)．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若m ＝12e 2，对∀x 1，x 2∈[2,2e 2]都有g (x 1)≥f (x 2)成立，求实数a 的取值范围．解析：(1)f (x )＝12ln x －mx ，x >0，所以f ′(x )＝12x－m ，当m ≤0时，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增， 当m >0时，由f ′(x )＝0得x ＝12m；由⎩⎪⎨⎪⎧f ′x >0，x >0得0<x <12m ；由⎩⎪⎨⎪⎧f ′x <0，x >0得x >12m.综上所述，当m ≤0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)； 当m >0时，f (x )的单调递增区间为(0，12m )，单调递减区间为(12m ，＋∞)．(2)若m ＝12e 2，则f (x )＝12ln x －12e 2x .对∀x 1，x 2∈[2,2e 2]都有g (x 1)≥f (x 2)成立， 等价于对∀x ∈[2,2e 2]都有g (x )min ≥f (x )max ， 由(1)知在[2,2e 2]上f (x )的最大值为f (e 2)＝12，g ′(x )＝1＋ax2>0(a >0)，x ∈[2,2e 2]，函数g (x )在[2,2e 2]上是增函数，g (x )min ＝g (2)＝2－a2，由2－a 2≥12，得a ≤3，又a >0，所以a ∈(0,3]，所以实数a 的取值范围为(0,3]．3．已知函数f (x )＝ln xx ＋a (a ∈R )，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线x ＋y ＋1＝0垂直．(1)试比较：2 0182 019与2 0192 018的大小并说明理由；(2)若函数g (x )＝f (x )－k 有两个不同的零点x 1，x 2，证明：x 1x 2>e 2.解析：(1)依题意得f ′(x )＝x ＋ax－ln x x ＋a 2，所以f ′(1)＝1＋a 1＋a2＝11＋a， 又曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线x ＋y ＋1＝0垂直，所以f ′(1)＝1， 即11＋a＝1，解得a ＝0. 故f (x )＝ln x x ，f ′(x )＝1－ln xx2.令f ′(x )>0，则1－ln x >0，解得0<x <e ； 令f ′(x )<0，则1－ln x <0，解得x >e ， 所以f (x )的单调递增区间为(0，e)， 单调递减区间为(e ，＋∞)．∴f (2 018)>f (2 019)，即ln 2 0182 018>ln 2 0192 019，即ln 2 0182 019>ln 2 0192 018，∴2 0182 019>2 0192 018.(2)不妨设x 1>x 2>0，因为g (x 1)＝g (x 2)＝0， 所以ln x 1－kx 1＝0，ln x 2－kx 2＝0， 可得ln x 1＋ln x 2＝k (x 1＋x 2)， ln x 1－ln x 2＝k (x 1－x 2)． 要证x 1x 2>e 2，即证ln x 1x 2>2， 只需证ln x 1＋ln x 2>2， 也就是证k (x 1＋x 2)>2，即证k >2x 1＋x 2. 因为k ＝ln x 1－ln x 2x 1－x 2，所以只需证ln x 1－ln x 2x 1－x 2>2x 1＋x 2，即证ln x 1x 2>2x 1－x 2x 1＋x 2.令x 1x 2＝t (t >1)，则只需证ln t >2t －1t ＋1(t >1)．令h (t )＝ln t －2t －1t ＋1(t >1)，则h ′(t )＝1t－4t ＋12＝t －12t t ＋12>0，故函数h (t )在(1，＋∞)上是单调递增的， 所以h (t )>h (1)＝0，即ln t >2t －1t ＋1.所以x 1x 2>e 2. 4．已知函数f (x )＝exx.(1)求曲线y ＝f (x )在点P (2，e22)处的切线方程；(2)证明：f (x )>2(x －ln x )．解析：(1)因为f (x )＝exx，所以f ′(x )＝e x ·x －e xx2＝exx －1x 2，f ′(2)＝e24， 又切点为(2，e22)，所以切线方程为y －e 22＝e24(x －2)，即e 2x －4y ＝0.(2)设函数g (x )＝f (x )－2(x －ln x )＝exx－2x ＋2ln x ，x ∈(0，＋∞)，则g ′(x )＝exx －1x 2－2＋2x ＝e x－2x x －1x2，x ∈(0，＋∞)． 设h (x )＝e x－2x ，x ∈(0，＋∞)，则h ′(x )＝e x－2，令h ′(x )＝0，则x ＝ln 2. 当x ∈(0，ln 2)时，h ′(x )<0； 当x ∈(ln 2，＋∞)时，h ′(x )>0. 所以h (x )min ＝h (ln 2)＝2－2ln 2>0， 故h (x )＝e x－2x >0. 令g ′(x )＝e x－2xx －1x2＝0，则x ＝1.当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0； 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0. 所以g (x )min ＝g (1)＝e －2>0， 故g (x )＝f (x )－2(x －ln x )>0， 从而有f (x )>2(x －ln x )．。
2021年高考数学(文)二轮专项复习专题02 函数
x 1, x 0, 例 2 设函数 f (x) x2 2x 2, x 0, 则 f(1)＝______；若 f(0)＋f(a)＝－2，则 a 的所有可能值为______．
【分析】从映射的角度看，函数就是映射，函数解析式就是映射的法则．
所以 f(1)＝3． 又 f(0)＝－1，所以 f(a)＝－1， 当 a≤0 时，由 a－1＝－1 得 a＝0； 当 a＞0 时，由－a2＋2a＋2＝－1，即 a2－2a－3＝0 得 a＝3 或 a＝－1(舍)． 综上，a＝0 或 a＝3． 例 3 下列四组函数中，表示同一函数的是( )
2
2
2
根据问题的实际意义．AD＞0，x＞0．解
x 0, l 2x 2
πx
得0 0,
x
2
l
π
.
所以，所求函数定义域为{x | 0 x l } 2π
【评析】求函数定义域问题一般有以下三种类型问题．
(1)给出函数解析式求定义域(如例 4)，这类问题就是求使解析式有意义的自变量的取值范围．正确的解不等式 或不等式组在解决这类问题中是重要的．
f
是“原象对应于原象除以
x
x
原象的平方减
1”．所以，
f
(x)
x x2 1
1
方法二．设 1 x
t ，则 x 1 ．则 t
f
(t)
1
t
1 t2
t ，所以 t2 1
f (x)
x x2 1
这样，通过“换元”的方法也可以明确看到法则是什么．
(2)用“凑型”的方法，
f
(x 1) xx21 2(x 1)2 x
【分析】此题的题设条件中未给出函数 f(x)的解析式，这就要求我们根据函数三要素之间的相互制约关系明确
2021年高考数学二轮复习 三角函数的图象与性质专题训练(含解析)
2021年高考数学二轮复习 三角函数的图象与性质专题训练（含解析）一、选择题1．(xx·全国大纲卷)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝( ) A.45 B.35 C ．－35D ．－45解析 cos α＝－4－42＋32＝－45.答案 D2．(xx·四川卷)为了得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin2x 的图象上所有的点( )A ．向左平行移动12个单位长度B ．向右平行移动12个单位长度C ．向左平行移动1个单位长度D ．向右平行移动1个单位长度解析 ∵y ＝sin(2x ＋1)＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，∴只需把y ＝sin2x 图象上所有的点向左平移12个单位长度即得到y ＝sin(2x ＋1)的图象．答案 A3．(xx·北京东城一模)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A.3π4B.π2C.π4D ．－π4解析 y ＝sin(2x ＋φ)错误!sin 错误!＝sin 错误!是偶函数，即错误!＋φ＝k π＋错误!(k ∈Z )⇒φ＝k π＋π4(k ∈Z )，当k ＝0时，φ＝π4，故选C.答案 C4．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )A ．1 B.12 C.22D.32解析 观察图象可知，A ＝1，T ＝π， ∴ω＝2，f (x )＝sin(2x ＋φ)．将⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0代入上式得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋φ＝0， 由|φ|<π2，得φ＝π3， 则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 函数图象的对称轴为x ＝－π6＋π32＝π12.又x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，∴x 1＋x 22＝π12，∴x 1＋x 2＝π6， ∴f (x 1＋x 2)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝32.故选D.答案 D5．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的最小正周期是π，若其图象向右平移π6个单位后得到的函数为奇函数，则函数f (x )的图象( )A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0对称B ．关于直线x ＝π12对称C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称 D ．关于直线x ＝π6对称解析 ∵T ＝2πω＝π，∴ω＝2.∴f (x )＝sin(2x ＋φ)向右平移π6个单位，得y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋φ为奇函数， ∴－π3＋φ＝k π(k ∈Z )，∴φ＝π3＋k π(k ∈Z )，∴φ＝π3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋π3＝1，∴直线x ＝π12为函数图象的对称轴．故选B.答案 B6．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－cos2x ，其中x ∈R ，给出下列四个结论：①函数f (x )是最小正周期为π的奇函数；②函数f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝2π3；③函数f (x )图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0；④函数f (x )的递增区间为k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z .则正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析 由已知得，f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－cos2x ＝cos2x cos π3－sin2x sin π3－cos2x ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，不是奇函数，故①错；当x ＝2π3时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋π6＝1，故②正确；当x＝5π12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝－sinπ＝0，故③正确；令2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋32π，k ∈Z ，得k π＋π6≤x ≤k π＋23π，k ∈Z ，故④正确．综上，正确的结论个数为3.答案 C 二、填空题7．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2α＝________. 解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π6＋2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α－1＝－79.答案 －798．(xx·江苏卷)已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________． 解析 利用函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)的图象交点横坐标，列方程求解． 由题意，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝cos π3， 因为0≤φ<π，所以φ＝π6.答案π69．(xx·北京卷)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为________． 解析 由f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6知，f (x )有对称中心⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π知f (x )有对称轴x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋23π＝712π，记T 为最小正周期，则12T ≥π2－π6⇒T ≥23π，从而712π－π3＝T4，故T ＝π.答案 π 三、解答题10．(xx·重庆卷)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2≤φ<π2)的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<α<2π3，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2的值．解 (1)因f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2.又因f (x )的图象关于直线x ＝π3对称， 所以2·π3＋φ＝k π＋π2，k ＝0，±1，±2，….因－π2≤φ<π2得k ＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π6.(2)由(1)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2·α2－π6＝34，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝14.由π6<α<2π3得0<α－π6<π2， 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154.因此cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6 ＝14×32＋154×12＝3＋158. 11．(xx·山东菏泽一模)已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋23sin 2ωx －3(ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数f (x )的单调增区间； (2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )在[0，b ](b >0)上至少含有10个零点，求b 的最小值．解 (1)由题意得f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋23sin 2ωx －3＝sin2ωx －3cos2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π3， 由最小正周期为π，得ω＝1，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3， 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 整理得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z . (2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到y ＝2sin2x ＋1的图象， 所以g (x )＝2sin2x ＋1. 令g (x )＝0，得x ＝k π＋7π12或x ＝k π＋11π12(k ∈Z )， 所以在[0，π]上恰好有两个零点，若y ＝g (x )在[0，b ]上有10个零点，则b 不小于第10个零点的横坐标即可，即b 的最小值为4π＋11π12＝59π12.B 级——能力提高组1．设函数f (x )＝3cos(2x ＋φ)＋sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2，且其图象关于直线x ＝0对称，则( )A ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上为增函数B ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上为减函数 C ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上为增函数 D ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π4上为减函数 解析 f (x )＝3cos(2x ＋φ)＋sin(2x ＋φ) ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ， ∵其图象关于x ＝0对称，∴f (x )是偶函数． ∴π3＋φ＝π2＋k π，k ∈Z . 又∵|φ|<π2，∴φ＝π6. ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋π6＝2cos2x .易知f (x )的最小正周期为π，在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上为减函数．答案 B2．(xx·全国大纲卷)若函数f (x )＝cos2x ＋a sin x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2是减函数，则实数a 的取值范围是________．解析 f (x )＝1－2sin 2x ＋a sin x ＝－2sin 2x ＋a sin x ＋1，sin x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，令t ＝sin x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则y ＝－2t 2＋at ＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1是减函数，∴对称轴t ＝a 4≤12，∴a ≤2.答案 (－∞，2]3．(xx·湖北卷)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0,24)．(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？ 解 (1)因为f (t )＝10－2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3， －1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3≤1. 当t ＝2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝－1. 于是f (t )在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. (2)依题意，当f (t )>11时实验室需要降温．由(1)得f (t )＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，故有10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3>11，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3<－12.又0≤t <24，因此7π6<π12t ＋π3<11π6，即10<t <18. 在10时至18时实验室需要降温． 36014 8CAE 貮33058 8122 脢39755 9B4B 魋21980 55DC 嗜34759 87C7 蟇 30825 7869 硩f33504 82E0 苠 ?" y。
高考数学(理)二轮复习精品考点学与练 函数的图像与性质(高考押题)(解析版)
高考押题专练1．已知f (x )＝3ax 2＋bx －5a ＋b 是偶函数，且其定义域为[6a －1，a ]，则a ＋b ＝( )A.17B ．－1C ．1D ．7【答案】A.【解析】∵f (x )为偶函数，∴b ＝0.定义域为[6a －1，a ]则6a －1＋a ＝0，∴a ＝17，∴a ＋b ＝17. 2．若函数f (x )＝2x ＋12x －a是奇函数，则使f (x )＞3成立的x 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1) B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)【答案】C【解析】f (－x )＝2－x ＋12－x －a ＝2x ＋11－a ·2x ，由f (－x )＝－f (x )得2x ＋11－a ·2x ＝－2x ＋12x －a ，即1－a ·2x ＝－2x ＋a ，化简得a ·(1＋2x )＝1＋2x，所以a ＝1，f (x )＝2x ＋12x －1. 由f (x )＞3得0＜x ＜1.故选C.3．设f (x )是定义在R 上以2为周期的偶函数，已知x ∈(0,1)时，f (x )＝log 12(1－x )，则函数f (x )在(1,2)上( ) A ．是增函数且f (x )＜0B ．是增函数且f (x )＞0C ．是减函数且f (x )＜0D ．是减函数且f (x )＞0【答案】D【解析】设－1＜x ＜0，则0＜－x ＜1，f (－x )＝log 12(1＋x )＝f (x )＞0，故函数f (x )在(－1,0)上单调递减．又因为f (x )以2为周期，所以函数f (x )在(1,2)上也单调递减且有f (x )＞0.4．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1，若f (a )＝23，则f (－a )＝( ) A.23 B ．－23C.43 D ．－43【答案】C【解析】f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1＝1＋x x 2＋1，设f (x )＝1＋g (x )，即g (x )＝x x 2＋1＝f (x )－1.g (x )为奇函数，满足g (－x )＝－g (x )．由f (a )＝23，得g (a )＝f (a )－1＝－13，则g (－a )＝13，故f (－a )＝1＋g (－a )＝1＋13＝43. 5．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (0)＝－1，且对任意x ∈R ，有f (x )＝－f (2－x )成立，则f (2 017)的值为( )A ．1B ．－1C ．0D ．2【答案】C【解析】由题知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (x )＝－f (2－x )，可知函数f (x )为周期为4的周期函数．令x ＝1得，f (1)＝－f (2－1)＝－f (1)，所以f (1)＝0，所以f (2 017)＝f (4×504＋1)＝f (1)＝0，故选C.6．设f (x )是定义在实数集R 上的函数，满足条件y ＝f (x ＋1)是偶函数，且当x ≥1时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －1，则f ⎝⎛⎭⎫23，f ⎝⎛⎭⎫32，f ⎝⎛⎭⎫13的大小关系是( )A ．f ⎝⎛⎭⎫23＞f ⎝⎛⎭⎫32＞f ⎝⎛⎭⎫13B ．f ⎝⎛⎭⎫23＞f ⎝⎛⎭⎫13＞f ⎝⎛⎭⎫32C ．f ⎝⎛⎭⎫32＞f ⎝⎛⎭⎫23＞f ⎝⎛⎭⎫13D ．f ⎝⎛⎭⎫13＞f ⎝⎛⎭⎫32＞f ⎝⎛⎭⎫23【答案】A【解析】.函数y ＝f (x ＋1)是偶函数，所以f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，即函数关于x ＝1对称．所以f ⎝⎛⎭⎫23＝f ⎝⎛⎭⎫43，f ⎝⎛⎭⎫13＝f ⎝⎛⎭⎫53，当x ≥1时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －1单调递减，所以由43＜32＜53，可得 f ⎝⎛⎭⎫43＞f ⎝⎛⎭⎫32＞f ⎝⎛⎭⎫53，即f ⎝⎛⎭⎫23＞f ⎝⎛⎭⎫32＞f ⎝⎛⎭⎫13，故选A.7．已知偶函数f (x )在区间(－∞，0]上单调递减，则满足f (2x －1)＜f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，23B.⎣⎡⎭⎫13，23C.⎝⎛⎭⎫12，23D.⎣⎡⎭⎫12，23 【答案】A【解析】由函数f (x )为偶函数且在区间(－∞，0]上单调递减，得函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，于是将不等式f (2x －1)＜f ⎝⎛⎭⎫13转化为f (|2x －1|)＜f ⎝⎛⎭⎫13.根据单调性，知|2x －1|＜13，解得13＜x ＜23，故选A. 8．函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )＝( )A ．e x ＋1B ．e x －1 C ．e －x ＋1 D ．e －x －1【答案】D【解析】依题意，f (x )的图象向右平移1个单位长度之后得到的曲线对应的函数应为y ＝e －x ，于是f (x )的图象相当于曲线y ＝e －x 向左平移1个单位长度的结果， ∴f (x )＝e －x －1，故选D.9．函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为( )A.14B.12C ．2D ．4【答案】B【解析】f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)是单调递增(减)函数(原因是y ＝a x 与y ＝log a (x ＋1)的单调性相同)，且在[0,1]上的最值分别在两端点处取得，最值之和为f (0)＋f (1)＝a 0＋log a 1＋a ＋log a 2＝a ，∴log a 2＋1＝0，∴a ＝12. 10．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 21－x ，x ≤0，f x －6，x ＞0，则f (2 019)＝( ) A ．－1 B ．0C ．1D ．2【答案】D【解析】∵2 019＝6×337－3，∴f (2 019)＝f (－3)＝log 2(1＋3)＝2.故选D.11．若不等式4x 2－log a x ＜0对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，14恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A.⎣⎡⎭⎫1256，1 B.⎝⎛⎭⎫1256，1。
2021届高考数学(理)二轮考点专训卷(2)函数
1、下列四组函数中，表示同一函数的是( ) A ．()x x f =，()2x x g = B ．()2x lg x f =，()x 2lg x f =C ．()2x 1x x 1f -=-，()x x 1g =+ D ．()x x 1x 1f =+⋅-，()2x x 1g =-2、设(0,),[0,]22ππαβ∈∈,那么23βα-的取值范围是( ) A. 5(0,)6π B. 5(,)66ππ-C.()0,πD. (,)6ππ-3、函数243,[0,3]y x x x =-+∈的值域为( ) A ．[]0,3B ．[]1,0-C ．[]1,3-D ．[]0,24、已知函数[]222,3,2y x x x =-+∈-,则该函数的值域为()A.[]1,17B.[]3,11C.[]2,17D.[]2,4 5、已知函数()132f x x +=+，则()f x 的解析式是( ) A ．32x +B ．31x +C ．31x -D ．34x +6、已知函数210()1f x x =+,则函数()f x 的解析式为( ) A.5()1f x x =+B.5()1(0)f x x x =+≥C.5()1()f x x x =+≥1D.()1()f x x x =+≥17、若函数()()=a 0,1x f x a a >≠为增函数,那么()11log 1ag x x =+的图象是( ) A.B.C.D.8、已知25(1)()21(1)x xf xx x+>⎧=⎨+≤⎩则[(1)]f f=( )A.3B.13C.8D.189、已知映射:f A B→,其中A B R==,对应为2:22f x y x x→=-+若对实数k B∈,在集合A中没有元素对应,则k的取值范围是( )A.[,1]-∞-B.(,1)-∞+C.()1,+∞D.[)1,+∞10、已知函数()y f x=在定义域(1,1)-上是减函数，且(21)(1)f a f a-<-，则实数的取值范围是( )A.2(,)3+∞ B.2(,1)3C. (0,2)D. (0,)+∞11、若(31)4,1()log,1aa x a xf xx x-+<⎧=⎨≥⎩,是R上的减函数,则实数a的取值范围是( )A.(0,1)B.10,3⎛⎫⎪⎝⎭C.11,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.1,17⎡⎫⎪⎢⎣⎭12、已知定义在R上的函数()f x满足:①关于()1,0对称;②()()2,f x f x =--③在[]1,1-上表达式为()21,f x x =-则函数()f x 与函数()2,1,x x g x x x ⎧≤=⎨->⎩的图象在区间[]3,3-上的交点个数为( ) A.5 B.6 C.7 D.8 13、函数(01)x y a a a =>≠且与函数()y f x =的图像关于直线y x =对称,则函数()y f x =与二次函数2(1)y a x x =--在同一坐标系内的图像可能是图中的( )A. B.C. D.14、已知函数[]2()4,,5f x x x x m =-+∈的值域是[]5,4-，则实数m 的取值范围是( )A ．(,1)-∞-B ．[]1,2-C ．(]1,2-D ．[]2,515、如图,是抛物线形拱桥,当水面在l 时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1米后,水面宽( )。
2021高考数学二轮专题训练2.63课时突破函数与导数高考小题第1课时函数的图象与性质课件
2021高考数学二轮专题训练2.63课时突破函数与导数高考小题第1课时函数的图象与性质课件
1
3课时突破 函数与导数高考小题 第1课时 函数的图象与性质
关键能力·应用实践
考向一 函数及其表示
【多维题组】速通关
1.(2020·泰安三模)已知函数 f(x) x ,则函数 f ( x － 1的) 定义域为( )
【技法点拨】提素养 函数性质的应用
函数性质
应用指南
奇偶性 单调性 周期性
(1)具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系密 切; (2)研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上.尤其注意偶函数f(x)的性质 :f(|x|)=f(x)
(1)比较大小;(2)求函数最值; (3)解不等式;(4)证明方程根的唯一性
4.已知函数
f
(
x
)
3,
1 x
x 1， 2
,x 1， 2
则不等式x2·f(x)+x-2≤0的解集是________.
【解析】由题意可得
即
x
1 2
,
－1 x
或 2 3
x x
1, 2
1，
x 3x2
12， x－20或xx21x12, x－20,
所以-1≤x< 1 或 ≤1 x≤1,即解集为{x|-1≤x≤1}.
休息时间到啦
•同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们休 息一下眼睛，
•看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐对身 体不好哦~
3.(2020·全国Ⅱ卷)设函数f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|,则f(x)( )
A.是偶函数,且在 ( 1 , ) 单调递增
2021届高考数学(理)二轮总复习课时跟踪检测(三) 函数的图象与性质
第一部分 高考层级专题突破 层级二 7个能力专题 师生共研专题一 函数与导数 第一讲 函数的图象与性质 课时跟踪检测(三) 函数的图象与性质一、选择题1．函数f (x )＝3x 21－x ＋lg (3x ＋1)的定义域是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13D ．[0,1)解析：选D 要使函数有意义，需⎩⎨⎧lg (3x ＋1)≥0，1－x >0，即0≤x <1.2．已知函数f (x )＝－x ＋log 21－x 1＋x ＋1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12的值为( )A ．2B ．－2C ．0D ．2log 213解析：选A f (x )的定义域为(－1,1)，由f (－x )－1＝1－f (x )知f (x )－1为奇函数，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－1＝0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2.3．函数y ＝ln(2－|x |)的大致图象为( )解析：选A 令f (x )＝ln(2－|x |)，易知函数f (x )的定义域为{x |－2<x <2}，且f (－x )＝ln(2－|－x |)＝ln(2－|x |)＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，排除选项C 、D ；当x ＝32时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝ln 12<0，排除选项B ，故选A ．4．(2019·开封模拟)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f (x ＋2)，当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x ＋log 2x ，则f (2 019)＝( )A ．5B ．12 C ．2D ．－2解析：选D 由f (x )＝－f (x ＋2)，得f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )是周期为4的周期函数，所以f (2 019)＝f (504×4＋3)＝f (3)＝f (1＋2)＝－f (1)＝－(2＋0)＝－2，故选D ．5．(2019·陕西四校联考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧lg (ax ＋4)，x >0，x ＋2，x ≤0，且f (0)＋f (3)＝3，则实数a 的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 由题意知，f (0)＝2，因为f (0)＋f (3)＝3，所以f (3)＝1，所以f (3)＝lg(3a ＋4)＝1，解得a ＝2.故选B ．6．(2019·皖中名校联考)若函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2，x ≤2，1＋log a x ，x >2(a >0，且a ≠1)的最大值是4，则a 的取值范围是( )A ．(0,1)∪(1,2]B ．(0,1)∪(1，2]C ．(0,1)D ．(0,1)∪(1，32]解析：选C 若a >1，则函数1＋log a x 在x >2时单调递增，没有最大值，因此必有0<a <1.此时1＋log a x 在x >2时，满足f (x )<f (2)＝1＋log a 2.而f (x )＝x ＋2在x ≤2时的最大值是4.因此应有1＋log a 2≤4，解得0<a ≤32.故0<a <1.7．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1，x >0，cos (6π＋x )，x ≤0，则下列结论正确的是( )A ．函数f (x )是偶函数B ．函数f (x )是减函数C ．函数f (x )是周期函数D ．函数f (x )的值域为[－1，＋∞)解析：选D 由函数f (x )的解析式，知f (1)＝2，f (－1)＝cos(－1)＝cos 1，f (1)≠f (－1)，则f (x )不是偶函数．当x >0时，f (x )＝x 2＋1，则f (x )在区间(0，＋∞)上是增函数，且函数值f (x )>1；当x ≤0时，f (x )＝cos x ，则f (x )在区间(－∞，0]上不是单调函数，且函数值f (x )∈[－1,1]，所以函数f (x )不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[－1，＋∞)．故选D ．8．(2019·湖北、山东部分重点中学第一次联考)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )，且y ＝f (x ＋3)为偶函数，若f (x )在(0,3)内单调递减，则下面结论正确的是( )A ．f (－4.5)<f (3.5)<f (12.5)B ．f (3.5)<f (－4.5)<f (12.5)C ．f (12.5)<f (3.5)<f (－4.5)D ．f (3.5)<f (12.5)<f (－4.5)解析：选B 易知函数f (x )的最小正周期T ＝6，f (x )的图象关于直线x ＝3对称，∴f (3.5)＝f (2.5)，f (－4.5)＝f (1.5)，f (12.5)＝f (0.5)．又f (x )在(0,3)内单调递减，∴f (3.5)<f (－4.5)<f (12.5)，故选B ．9．(2019·江西名校高三一检)已知函数f (x )＝3|x －k －1|＋cos x 的图象关于y 轴对称，若函数g (x )恒满足g (k ＋x )＋g (3－x )＋2＝0，则函数g (x )的图象的对称中心为( )A ．(1,1)B ．(1，－1)C．(2,1) D．(2，－1)解析：选B依题意，函数f(x)为偶函数，故k＝－1，则g(k＋x)＋g(3－x)＋2＝0，即g(－1＋x)＋g(3－x)＝－2，故函数g(x)的图象的对称中心为(1，－1)，故选B．10. (2019·山东部分重点中学第一次联考)已知二次函数f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝f(x)·e x的图象为()解析：选A由图象知，当x<－1或x>1时，f(x)>0，则g(x)>0；当－1<x<1时，f(x)<0，则g(x)<0，由选项可知选A．11．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，若⎪⎪⎪⎪⎪⎪f(ln x)－f⎝⎛⎭⎪⎫ln1x2<f(1)，则x的取值范围是()A．⎝⎛⎭⎪⎫0，1e B．(0，e)C．⎝⎛⎭⎪⎫1e，e D．(e，＋∞)解析：选C∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(ln x)－f⎝⎛⎭⎪⎫ln1x＝f(ln x)－f(－ln x)＝f(ln x)＋f(ln x)＝2f(ln x)，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪f(ln x)－f⎝⎛⎭⎪⎫ln1x2<f(1)等价于|f(ln x)|<f(1)．又f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，故f(x)在R上单调递增，∴－1<ln x<1，解得1e<x<e.12．(2019·洛阳模拟)若函数f(x)同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”：(1)∀x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0；(2)∀x1，x2∈R，且x1≠x2，都有f(x1)－f(x2)x1－x2<0.①f(x)＝sin x；②f(x)＝－2x3；③f(x)＝1－x；④f(x)＝ln(x2＋1＋x)．以上四个函数中，“优美函数”的个数是()A．0 B．1C．2 D．3解析：选B由条件(1)，得f(x)是奇函数，由条件(2)，得f(x)是R上的单调递减函数．对于①，f(x)＝sin x在R上不单调，故不是“优美函数”；对于②，f(x)＝－2x3既是奇函数，又在R上单调递减，故是“优美函数”；对于③，f(x)＝1－x不是奇函数，故不是“优美函数”；对于④，易知f(x)在R上单调递增，故不是“优美函数”．故选B．二、填空题13．若f(x)＝2x＋2－x lg a是奇函数，则实数a＝________.解析：∵函数f(x)＝2x＋2－x lg a是奇函数，∴f(x)＋f(－x)＝0，即2x＋2－x lg a＋2－x＋2x lg a＝0，(2x＋2－x)(1＋lg a)＝0，∴lg a＝－1，∴a＝1 10.答案：1 1014．(2019·广东百校联考)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且g(0)＝0，当x≥0时，f(x)－g(x)＝x2＋2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＋g(－1)＝________.解析：由f(x)为定义在R上的奇函数可知f(0)＝0，所以f(0)－g(0)＝20＋b＝0，得b＝－1，所以f(1)－g(1)＝4，于是f(－1)＋g(－1)＝－f(1)＋g(1)＝－[f(1)－g(1)]＝－4.答案：－415．(2019·山西八校联考)已知f (x )是定义在R 上的函数，且满足f (x ＋2)＝－1f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－112＝________.解析：∵f (x ＋2)＝－1f (x )，∴f (x ＋4)＝f (x )，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－112＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52.又2≤x ≤3时，f (x )＝x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝52，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－112＝52. 答案：5216.函数f (x )是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图所示，那么不等式f (x )cos x <0的解集为________．解析：当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，y ＝cos x >0.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，4时，y ＝cos x <0.结合y ＝f (x )，x ∈[0,4]上的图象知，当1<x <π2时，f (x )cos x <0.又函数y ＝f (x )cos x 为偶函数， 所以在[－4,0]上，f (x )cos x <0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1，所以f (x )cos x <0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2。
2021年高考数学二轮复习 函数的图象与性质专题训练(含解析)
2021年高考数学二轮复习 函数的图象与性质专题训练（含解析）一、选择题1．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧a ·2x，x ≥02－x，x <0(a ∈R )，若f [f (－1)]＝1，则a ＝( )A.14B.12 C ．1D ．2解析 f (－1)＝2，f [f (－1)]＝f (2)＝4a ＝1，∴a ＝14.答案 A2．(xx·辽宁卷)已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．c >b >a解析 0<a ＝2－13<1，b ＝log 213<0，c ＝log 1213>log 1212＝1，∴c >a >b .答案 C3．(xx·湖南卷)已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析 用“－x ”代替“x ”，得f (－x )－g (－x )＝(－x )3＋(－x )2＋1，因f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，可化简上式得：f (x )＋g (x )＝－x 3＋x 2＋1，令x ＝1，得f (1)＋g (1)＝1.故选C.答案 C4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≥0，x 2－2x ，x <0.若f (－a )＋f (a )≤2f (1)，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1,0)B ．[0,1]C ．[－1,1]D ．[－2,2]解析 因为函数f (x )是偶函数，故f (－a )＝f (a )，原不等式等价于f (a )≤f (1)，即f(|a|)≤f(1)，而函数在[0，＋∞)单调递增，故|a|≤1，解得－1≤a≤1，故选C.答案 C5．已知函数y＝f(x)的大致图象如图所示，则函数y＝f(x)的解析式应为( )A．f(x)＝e x ln x B．f(x)＝e－x ln(|x|)C．f(x)＝e x ln(|x|) D．f(x)＝e|x|ln(|x|)解析由定义域是{x|x∈R，且x≠0}，排除A；由函数图象知不是偶函数，排除D；当x→＋∞时，f(x)＝ln|x|e x→0，排除B，选C.答案 C6．已知函数f(x)对定义域R内的任意x都有f(x)＝f(4－x)，且当x≠2时其导函数f′(x)满足xf′(x)>2f′(x)，若2<a<4，则( )A．f(2a)<f(3)<f(log2a)B．f(3)<f(log2a)<f(2a)C．f(log2a)<f(3)<f(2a)D．f(log2a)<f(2a)<f(3)解析由f(x)＝f(4－x)，可知函数关于x＝2对称．由xf′(x)>2f′(x)，得(x－2)f′(x)>0，所以当x>2时，f′(x)>0，函数递增，同理当x<2时，函数递减．当2<a<4,1<log2a<2,22<2a<24，即4<2a<16.所以f(log2a)＝f(4－log2a)，所以2<4－log2a<3，即2<4－log2a<3<2a，所以f(4－log2a)<f(3)<f(2a)，即f(log2a)<f(3)<f(2a)，选C.答案 C二、填空题7．函数y ＝log 2x －2的定义域是________．解析 log 2(x －2)≥0，∴x －2≥1，即x ≥3. 答案 [3，＋∞)8．已知函数f (x )的定义域为R ，满足f (x ＋2)＝f (－x )，且当x ∈[1，＋∞)时，f (x )＝x ，则满足f (2x )<f (x )的x 的取值范围是________．解析 f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥1，2－x ，x <1，f (2x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥12，2－2x ，x <12，如图可知不等式f (2x )<f (x )的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪0<x <23.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，239．已知偶函数y ＝f (x )(x ∈R )在区间[－1,0]上单调递增，且满足f (1－x )＋f (1＋x )＝0，给出下列判断：(1)f (5)＝0；(2)f (x )在[1,2]上是减函数； (3)函数y ＝f (x )没有最小值； (4)函数f (x )在x ＝0处取得最大值； (5)f (x )的图象关于直线x ＝1对称． 其中正确的序号是________．解析 因为f (1－x )＋f (1＋x )＝0，所以函数y ＝f (x )(x ∈R )关于点(1,0)对称，画出满足条件的图形，结合图形可知(1)(2)(4)正确．故答案为(1)(2)(4)．答案 (1)(2)(4) 三、解答题10．已知二次函数f (x )满足条件f (0)＝1，f (x ＋1)－f (x )＝2x . (1)求f (x )；(2)求f (x )在区间[－1,1]上的最大值和最小值． 解 (1)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ∵f (0)＝1，∴c ＝1. ∵f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ， 即2ax ＋a ＋b ＝2x .∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)∵f (x )＝x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34，∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝34，f (x )max ＝f (－1)＝3.11．已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x＋2的图象关于点A (0,1)对称．(1)求f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋a x，且g (x )在区间(0,2]上为减函数，求实数a 的取值范围． 解 (1)设f (x )的图象上任一点P (x ，y )．则点P 关于(0,1)点的对称点P ′(－x,2－y )在h (x )的图象上， 即2－y ＝－x －1x＋2，∴y ＝f (x )＝x ＋1x(x ≠0)．(2)g (x )＝f (x )＋a x ＝x ＋a ＋1x， g ′(x )＝1－a ＋1x 2， ∵g (x )在(0,2]上为减函数， ∴1－a ＋1x 2≤0在(0,2]上恒成立， 即a ＋1≥x 2在(0,2]上恒成立， ∴a ＋1≥4，即a ≥3.故a 的取值范围是[3，＋∞)．B 级——能力提高组1．设f (x )是定义在R 上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2,1]上的图象，则f (2 014)＋f (2 015)＝( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析 因为f (x )是定义在R 上的周期为3的周期函数，所以f (2 014)＋f (2 015)＝f (671×3＋1)＋f (672×3－1)＝f (1)＋f (－1)，而由图象可知f (1)＝1，f (－1)＝2，所以f (2 014)＋f (2 015)＝1＋2＝3.答案 A2．(xx·山东卷)已知函数y ＝f (x )(x ∈R )．对函数y ＝g (x )(x ∈I )，定义g (x )关于f (x )的“对称函数”为y ＝h (x )(x ∈I )，y ＝h (x )满足：对任意x ∈I ，两个点(x ，h (x ))，(x ，g (x ))关于点(x ，f (x ))对称．若h (x )是g (x )＝4－x 2关于f (x )＝3x ＋b 的“对称函数”，且h (x )>g (x )恒成立，则实数b 的取值范围是________．解析 在正确理解新定义的基础上，根据函数的性质求解． 由已知得h x ＋4－x 22＝3x ＋b ，所以h (x )＝6x ＋2b －4－x 2.h (x )>g (x )恒成立，即6x ＋2b－4－x 2>4－x 2，3x ＋b >4－x 2恒成立．在同一坐标系内，画出直线y ＝3x ＋b 及半圆y ＝4－x 2(如图所示)，可得b10>2，即b >210，故答案为(210，＋∞)．答案 (210，＋∞)3．设f (x )＝|lg x |，a ，b 为实数，且0<a <b . (1)求方程f (x )＝1的解； (2)若a ，b 满足f (a )＝f (b )＝2f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，求证：a ·b ＝1，a ＋b 2>1；(3)在(2)的条件下，求证：由关系式f (b )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2所得到的关于b 的方程g (b )＝0，存在b∈(3,4)，使g (b 0)＝0.解 (1)由f (x )＝1，得lg x ＝±1， 所以x ＝10或110. (2)证明：结合函数图象，由f (a )＝f (b )可判断a ∈(0,1)，b ∈(1，＋∞)，从而－lg a ＝lg b ，从而ab ＝1.又a ＋b 2＝1b＋b 2，令φ(b )＝1b＋b (b ∈(1，＋∞))，任取1<b 1<b 2，∵φ(b 1)－φ(b 2)＝(b 1－b 2)⎝⎛⎭⎪⎫1－1b 1b 2<0，∴φ(b 1)<φ(b 2)，∴φ(b )在(1，＋∞)上为增函数． ∴φ(b )>φ(1)＝2. ∴a ＋b2>1.(3)证明：由已知可得b ＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，得4b ＝a 2＋b 2＋2ab ，得1b2＋b 2＋2－4b ＝0，g (b )＝1b2＋b 2＋2－4b ，因为g (3)<0，g (4)>0，根据零点存在性定理可知，函数g (b )在(3,4)内一定存在零点，即存在b 0∈(3,4)，使g (b 0)＝0.23728 5CB0 岰p30510 772E 眮31849 7C69 籩23004 59DC 姜38100 94D4 铔)}27831 6CB7 沷 40164 9CE4 鳤28277 6E75 湵q /。
2021年高考数学二轮总复习 专题1 第2讲函数的概念、图象与性质检测试题
2021年高考数学二轮总复习专题1 第2讲函数的概念、图象与性质检测试题一、选择题1．(文)(xx·朝阳一模)已知函数y＝f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝lg x，则f(f(1100))的值等于( )A.1lg2B．－1lg2C．lg2 D．－lg2 [答案] D[解析] 当x<0时，－x>0，则f(－x)＝lg(－x)．又函数为奇函数，f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－lg(－x)．∴f(1100)＝lg1100＝－2，f(f(1100))＝f(－2)＝－lg2.(理)(xx·辽宁文，7)已知函数f(x)＝ln(1＋9x2－3x)＋1，则f(lg2)＋f(lg 12)＝( )A．－1 B．0C．1 D．2[答案] D[解析] 本题主要考查函数的性质与换底公式．∵f(x)＝ln(1＋9x2－3x)＋1＝－ln(1＋9x2＋3x)＋1，f(－x)＝ln(1＋9x2＋3x)＋1，∴f(x)＋f(－x)＝2，又lg 12＝－lg2，∴f(lg2)＋f(lg12)＝2，故选D.2．已知f(x)＝2x，则函数y＝f(|x－1|)的图象为( )[答案] D[解析] 法一：f (|x －1|)＝2|x －1|.当x ＝0时，y ＝2.可排除A 、C. 当x ＝－1时，y ＝4.可排除B. 法二：y ＝2x→y ＝2|x |→y ＝2|x －1|，经过图象的对称、平移可得到所求．3．(xx·新课标Ⅰ文，5)设函数f (x )，g (x )的定义域为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数 [答案] C[解析] 本题考查函数的奇偶性． 由f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，得f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )．∴f (x )·g (x )是奇函数，|f (x )|g (x )是偶函数，f (x )|g (x )|是奇函数，|f (x )g (x )|是偶函数，选C.4．(xx·山东文，5)函数f (x )＝1－2x＋1x ＋3的定义域为( )A ．(－3,0]B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪(－3,0]D ．(－∞，－3)∪(－3,1][答案] A[解析] 本题考查了定义域的求法．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－2x≥0，x ＋3>0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x≤1，x >－3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x >－3，∴3<x ≤0，∴f (x )定义域为(－3,0]．5．(文)(xx·北京东城区模拟)对于函数y ＝f (x )，部分x 与y 的对应关系如下表：x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y745813526数列{x n }1n n ＋1的图象上，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋…＋x xx ＋x xx 的值为( )A ．9394B ．9380C ．9396D ．9400[答案] A[解析] ∵点(n ，x n ＋1))在函数y ＝f (x )的图象上，∴x n ＋1＝f (x n )，n ∈N *，∵x 1＝2，∴x 2＝f (x 1)＝f (2)＝4，x 3＝f (4)＝8，x 4＝f (8)＝2，x 5＝f (2)＝4，即数列{x n }为周期数列，周期为3，∴x 1＋x 2＋…＋x xx ＝671×(2＋4＋8)＝9394.(理)(xx·和平区质检)已知函数f (x ＋1)是偶函数，当x ∈(1，＋∞)时，函数f (x )单调递减，设a ＝f (－12)，b ＝f (3)，c ＝f (0)，则a 、b 、c 的大小关系为( )A ．b <a <cB ．c <b <dC ．b <c <aD ．a <b <c[答案] A[解析] ∵f (x ＋1)为偶函数， ∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴f (3)＝f (－1)，∵x ∈(1，＋∞)时，f (x )单调递减， ∴x ∈(－∞，1)时，f (x )单调递增， ∴f (－1)<f (－12)<f (0)，∴b <a <c .6．(文)(xx·霍邱二中模拟)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间(1,2)上都是减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1][答案] D[解析] 由f (x )在(1,2)上为减函数得a ≤1；由g (x )＝a x ＋1在(1,2)上为减函数得a >0，∴0<a ≤1.(理)(xx·江西师大附中、鹰潭一中联考)函数f (x )＝(12)－x 2＋2mx －m 2－1的单调增区间与值域相同，则实数m 的取值为( )A ．－2B ．2C ．－1D ．1[答案] B[解析] ∵－x 2＋2mx －m 2－1＝－(x －m )2－1≤－1，∴(12)－x 2＋2mx －m 2－1≥2， ∴f (x )的值域为[2，＋∞)，∵y ＝(12)x 单调递减，y ＝－(x －m )2－1的单调减区间为[m ，＋∞)，∴f (x )的单调增区间为[m ，＋∞)．由条件知m ＝2. 二、填空题7．(文)(xx·上海黄浦区模拟)设a 为常数，函数f (x )＝x 2－4x ＋3，若f (x ＋a )在[0，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．[答案] [2，＋∞)[解析] ∵f (x )＝x 2－4x ＋3在[2，＋∞)上为增函数，f (x ＋a )在[0，＋∞)上为增函数，∴应将f (x )的图象至少向左平移2个单位得到f (x ＋a )的图象，∴a ≥2.(理)已知函数f (x )为R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (x ＋1)．若f (a )＝－2，则实数a ＝__________.[答案] －1[解析] 令x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－x (1－x )，又f (x )为奇函数，所以当x <0时有f (x )＝x (1－x )，当a ≥0时，f (a )＝a (a ＋1)＝－2，无解；当a <0时，f (a )＝a (1－a )＝－2，得a 2－a －2＝0，解得a ＝－1或a ＝2(舍去)，综上知a ＝－1.8．(xx·吉林市质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 4x ，x >03x，x ≤0，则f [f (14)]＝________.[答案]13[解析] f (14)＝log 414＝－1，∴f [f (14)]＝f (－1)＝3－1＝13.9．(xx·唐山市一模)函数y ＝log 3(2cos x ＋1)，x ∈(－2π3，2π3)的值域为________．[答案] (－∞，1][解析] ∵x ∈(－2π3，2π3)，∴cos x ∈(－12，1]，∴2cos x ＋1∈(0,3]，∴log 3(2cos x ＋1)≤log 33＝1.10．(xx·北京海淀区期中)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－a ， x ≤0，x 2－3ax ＋a ， x >0有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．[答案]49<a ≤1[解析] 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧2x－a ＝0，x ≤0，且方程x 2－3ax ＋a ＝0有两不等正根，∴0<a ≤1，且⎩⎪⎨⎪⎧3a >0，a >0，9a 2－4a >0，∴49<a ≤1.一、选择题11．(xx·吉林省吉大附中二模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧8x －8，x ≤1，0，x >1，g (x )＝log 2x ，则f (x )与g (x )两函数图象的交点个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1[答案] C[解析] 画出两函数的图象知，当0<x <1时，有一个交点，又f (1)＝g (1)＝0；当x >1时，f (x )>g (x )恒成立，故选C.12．(文)(xx·湖南理，3)已知f (x )、g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3[答案] C[解析] 本题考查函数的奇偶性．分别令x ＝1和x ＝－1可得f (1)－g (1)＝3且f (－1)－g (－1)＝1⇒f (1)＋g (1)＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧f1－g 1＝3，f 1＋g1＝1.⇒⎩⎪⎨⎪⎧f1＝2，g 1＝－1.⇒f (1)＋g (1)＝1，故选C.(理)(xx·江西八校联考)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2－x ，x <0f x －5，x ≥0，则f (xx)等于( )A ．－1B ．2C ．0D ．1[答案] D[解析] ∵xx ＝403×5－2，∴f (xx)＝f (－2)＝log 22＝1.13．(文)(xx·福建质检)函数f (x )＝log 12cos x (－π2<x <π2)的图象大致是( )[答案] C[解析] 解法1：由奇偶性定义易知函数为偶函数，故其图象关于y 轴对称，排除A ，B ；又x ∈[0，π2]时，cos x ∈(0,1]，f (x )＝log 12cos x >0，排除D ，故选C. 解法2：利用复合函数单调性的判断方法，由于u ＝cos x 在区间(－π2，0)、(0，π2)上分别为增函数和减函数，而y ＝log 12u 为减函数，故复合函数f (x )＝log 12cos x 在区间(－π2，0)、(0，π2)上分别为减函数和增函数，故选C. (理)(xx·北京东城训练)已知定义在R 上的函数f (x )的对称轴为x ＝－3，且当x ≥－3时，f (x )＝2x－3.若函数f (x )在区间(k －1，k )(k ∈Z )上有零点，则k 的值为( )A ．2或－7B ．2或－8C ．1或－7D ．1或－8[答案] A[解析] ∵f (1)＝－1<0，f (2)＝1>0，∴f (x )在(1,2)上有零点，又f (x )的图象关于直线x ＝－3对称，∴f (x )在(－8，－7)上有零点，∴k ＝2或－7.14．(xx·豫东、豫北十所名校联考)已知f (x ＋1)为偶函数，且f (x )在区间(1，＋∞)上单调递减，a ＝f (2)、b ＝f (log 32)、c ＝f (12)，则有 ( )A ．a <b <cB ．b <c <aC ．c <b <aD ．a <c <b [答案] D[解析] ∵f (x ＋1)为偶函数，∴其图象关于y 轴对称， ∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称， 又∵函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减， ∴函数f (x )在(－∞，1)上单调递增， ∵2>12>0>log 32，∴f (2)<f (12)<f (log 32)，∴a <c <b .15．(文)(xx·长春市三调)已知函数f (x )＝22x＋1＋sin x ，则f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＝( )A.52B.25 C ．4 D ．5[答案] D[解析] ∵f (x )＋f (－x )＝22x ＋1＋sin x ＋22－x ＋1－sin x ＝22x ＋1＋2x ＋11＋2x ＝2，且f (0)＝1，∴f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＝5.(理)(xx·东北三省三校第一次联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 21－x ＋1，－1≤x <kx 5－3x ＋2，k ≤x ≤a ，若存在k 使得函数f (x )的值域是[0,2]，则实数a 的取值范围是( )A ．[3，＋∞)B ．[12，3]C ．(0，3]D ．{2}[答案] B[解析] 当a ＝2时，f (x )＝x 5－3x ＋2，k ≤x ≤2，f (2)＝28不合题意，∴a ≠2，排除A 、D ；当a ＝13时，∵k ≤x ≤a ，∴k ≤13 ，当k ＝13时，－1≤x <13，23<1－x ≤2，∴log 223<log 2(1－x )≤1，又log 223<0，∴不合题意，排除C ，故选B.16．(文)(xx·沈阳市质检)已知函数f (x )满足：①定义域为R ；②对任意x ∈R ，有f (x＋2)＝2f (x )；③当x ∈[－1,1]时，f (x )＝1－x 2.若函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e xx ≤0ln x x >0，则函数y ＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]上零点的个数是( )A ．7B ．8C ．9D ．10[答案] D[解析] 如图，当x ≤0时，y ＝f (x )与y ＝e x的图象有6个交点；当x >0时，y ＝f (x )与y ＝ln x 的图象有4个交点．故选D.(理)(xx·河北衡水中学模拟)设f (x )是定义在R 上的函数，若f (0)＝xx ，且对任意x ∈R ，满足f (x ＋2)－f (x )≤3·2x ，f (x ＋6)－f (x )≥63·2x，则f (xx)＝( )A ．2xx＋xx B ．2xx＋xx C ．2xx ＋xx D ．2xx＋xx[答案] C[解析] 由题意f (xx)≤f (xx)＋3×2xx≤f (xx)＋3×2xx＋3×2xx≤…≤f (0)＋3×(2xx＋2xx＋…＋22＋20)＝xx ＋3×221004－122－1＝xx ＋2xx①f (xx)≥f (xx)＋63×2xx ≥f (1996)＋63×21996≥...≥f (4)＋63×(2xx ＋21996＋ (24)＝f (4)＋63×24[26344－1]26－1＝f (4)＋2xx －24② 又由条件f (x ＋2)－f (x )≤3·2x，f (x ＋6)－f (x )≥63·2x， 可得f (x ＋6)－f (x ＋2)≥60·2x ＝15·2x ＋2即f (x ＋4)－f (x )≥15·2x再由f (x ＋2)－f (x )≤3·2x 得f (x ＋4)－f (x ＋2)≤3·2x ＋2两式相加得f (x ＋4)－f (x )≤15·2x， ∴f (x ＋4)－f (x )＝15·2x∴f (4)－f (0)＝15，∴f (4)＝f (0)＋15＝2023，代入②解得f (xx)≥xx＋2xx③ 由①③得f (xx)＝xx ＋2xx. 二、填空题17．(文)设f (x )是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若f (1)>1，f (2)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围是________．[答案] (－1，23)[解析] f (x ＋3)＝f (x )，f (－x )＝－f (x )，得f (2)＝f (2－3)＝f (－1)＝－f (1)，又f (1)>1，所以f (2)<－1，即2a －3a ＋1<－1，解得－1<a <23. (理)设M 是由满足下列性质的函数f (x )构成的集合：在定义域内存在x 0，使得f (x 0＋1)＝f (x 0)＋f (1)成立．已知下列函数：①f (x )＝1x；②f (x )＝2x ；③f (x )＝lg(x 2＋2)；④f (x )＝cosπx .其中属于集合M 的函数是________(写出所有满足要求的函数的序号)．[答案] ②④ [解析] 对于①，方程1x ＋1＝1x＋1，显然无实数解；对于②，由方程2x ＋1＝2x＋2，解得x ＝1；对于③，方程lg[(x ＋1)2＋2]＝lg(x 2＋2)＋lg3，也无实数解；对于④，方程cos[π(x ＋1)]＝cosπx ＋cosπ，即cosπx ＝12，显然存在x 使等式成立，故填②④.18．(xx·眉山市二诊)如图所示，f (x )是定义在区间[－c ，c ](c >0)上的奇函数，令g (x )＝af (x )＋b ，并有关于函数g (x )的四个论断：①若a >0，对于[－1,1]内的任意实数m 、n (m <n )，g n －g mn －m>0恒成立；②函数g (x )是奇函数的充要条件是b ＝0； ③∀a ∈R ，g (x )的导函数g ′(x )有两个零点； ④若a ≥1，b <0，则方程g (x )＝0必有3个实数根； 其中所有正确结论的序号是________． [答案] ①②③[解析] ①∵g (x )＝af (x )＋b ，∴g n －g m n －m ＝a [f n －f m ]n －m，由图知对于f (x )在[－1,1]上任意两点A (m ，f (m ))，B (n ，f (n ))，有k AB ＝f n －f mn －m>0，又a >0，∴g n －g mn －m>0恒成立，故①正确；②g (x )为奇函数⇔g (－x )＝－g (x )⇔af (－x )＋b ＝－af (x )－b ⇔2b ＝－a [f (－x )＋f (x )]，∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＋f (x )＝0，故g (x )为奇函数⇔b ＝0，故②正确；③g ′(x )＝af ′(x )，由图知f (x )在[－c ，c ]上减、增、减，∴f ′(x )在[－c ，c ]上取值为负、正、负，从而当a ≠0时，g ′(x )＝0在[－c ，c ]上与x 轴必有两个交点，又a ＝0时，g ′(x )＝0在[－c ，c ]上恒成立，∴∀a ∈R ，g ′(x )在[－c ，c ]上有两个零点，故③正确；④取a ＝1，b ＝－5，则g (x )＝f (x )－5与x 轴无交点，∴方程g (x )＝0无实根，∴④错误．三、解答题19．已知函数f (x )的定义域为R ，对任意的实数x 、y 都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋12，且f (12)＝0，当x >12时，f (x )>0.(1)求f (1)；(2)判断f (x )的增减性并证明．[解析] (1)令x ＝y ＝12，得f (1)＝f (12)＋f (12)＋12＝12.(2)f (x )为增函数，证明：任取x 1、x 2∈R ，且x 2>x 1，Δx ＝x 2－x 1>0，则：Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)＝f (Δx )＋f (x 1)＋12－f (x 1)＝f (Δx )＋12＝f (Δx )＋f (12)＋12＝f (Δx ＋12)，又∵Δx >0，∴Δx ＋12>12，∴f (Δx ＋12)>0，∴f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )在R 上是增函数．1;c*"*29350 72A6 犦27841 6CC1 況X31582 7B5E 筞#26586 67DA 柚22567 5827 堧 24715 608B悋。
2021高考数学考前押题 函数的大体性质(1)
2021高考数学考前押题：函数的大体性质函数的单调性1，以下函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是( )(A)y=1x(B)y=e-x(C)y=-x2+1 (D)y=lg |x|解析:y=1x是奇函数,选项A错;y=e-x是指数函数,非奇非偶,选项B错;y=lg|x|是偶函数,但在(0,+∞)上单调递增,选项D错;只有选项C是偶函数且在(0,+∞)上单调递减.应选C.答案:C2.以下函数中,既是奇函数又是增函数的为( )(A)y=x+1 (B)y=-x3(C)y=1x (D)y=x|x|解析:假设为奇函数,排除A,假设为增函数,排除B、C,应选D.答案:D3.给定函数①y=12x,②y=12log(x+1),③y=|x-1|,④y=2x+1,其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是( )(A)①②(B)②③(C)③④(D)①④解析:显然幂函数y=12x及指数型函数y=2x+1在(0,1)上单调递增,关于y=12log(x+1)可看做是y=12logu,u=x+1的复合函数,由复合函数的单调性知y=12log (x+1)在(0,1)上递减,对函数y=|x-1|,其图象是偶函数y=|x|的图象向右平移一个单位取得,y=|x|在(-1,0)上递减,那么y=|x-1|在(0,1)上递减.应选B.答案:B4.设a>0,b>0,e 是自然对数的底数( )(A)假设ea+2a=eb+3b,那么a>b(B)假设ea+2a=eb+3b,那么a<b(C)假设ea-2a=eb-3b,那么a>b(D)假设ea-2a=eb-3b,那么a<b解析:设函数f(x)=ex+2x,易知函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,又因为a>0,b>0,那么当ea+2a=eb+3b 时,必然有ea+2a>eb+2b,现在a>b.应选A.答案:A5.假设函数f(x)=|2x+a|的单调递增区间是[3,+∞),那么a= .解析:函数的图象是以,02a ⎛⎫- ⎪⎝⎭为端点的2条射线组成,因此-2a =3,a=-6. 答案:-6函数的奇偶性1.已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)=x2+1x ,那么f(-1)等于( )(A)2 (B)1 (C)0 (D)-2解析:因x>0时f(x)=x2+1x .因此f(1)=1+1=2,又f(x)为奇函数,因此f(-1)=-f(1)=-2.应选D.答案:D2.已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,那么g(1)等于( )(A)4 (B)3 (C)2 (D)1解析:由题意:f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,得f(-1)=-f(1),g(-1)=g(1),()()()()112,114,f g f g -+=⎧⎪⎨+-=⎪⎩⇒()()()()112,114,f g f g -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得g(1)=3.应选B.答案:B3.已知函数f(x)是概念在R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增.假设实数a 知足f(log2a)+f(12log a)≤2f(1),那么a 的取值范围是( )(A)[1,2] (B) 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ (C)1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (D)(0,2] 解析:由题得f(log2a)+f(-log2a)≤2f(1),即f(log2a)≤f(1),那么-1≤log2a ≤1, 因此12≤a ≤2,应选C.答案:C4. 以下函数为偶函数的是( )(A)y=sin x (B)y=x3(C)y=ex 解析:选项A 、B 为奇函数,选项C 为非奇非偶函数,关于D 有=f(x). 答案:D5.以下函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为( )(A)y=cos 2x,x ∈R(B)y=log2|x|,x ∈R 且x ≠0 (C)y=2x xe e --,x ∈R (D)y=x3+1,x ∈R解析:函数y=log2|x|为偶函数,且当x>0时,函数y=log2|x|=log2x 为增函数,因此在(1,2)上也为增函数.应选B.答案:B6.以下函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单调递减的函数是( )(A)y=x-2 (B)y=x-1(C)y=x2 (D)y=13x解析:选项为偶函数的是A 、C,其中y=x2在(0,+∞)上是单调递增函数.应选A.答案:A7.设f(x)为概念在R 上的奇函数.当x ≥0时,f(x)=2x+2x+b(b 为常数),那么f(-1)等于( )(A)-3 (B)-1 (C)1 (D)3解析:因为f(x)为概念在R 上的奇函数,因此有f(0)=20+2×0+b=0,解得b=-1,因此当x≥0时,f(x)=2x+2x-1,即f(-1)=-f(1)=-(21+2×1-1)=-3.应选A.答案:A8.已知f(x)是概念在R上的奇函数.当x>0时,f(x)=x2-4x,那么不等式f(x)>x的解集用区间表示为.解析:设x<0,那么-x>0,f(-x)=x2+4x,因此x<0时,f(x)=-x2-4x.因此f(x)=224,0,4,0. x x xx x x⎧-≥⎨--<⎩当x≥0时,由x2-4x>x,解得x>5,当x<0时,由-x2-4x>x,解得-5<x<0,故不等式的解集为(-5,0)∪(5,+∞).答案:(-5,0)∪(5,+∞)9.函数f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数,那么实数a= . 解析:因为函数f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数,因此f(-x)=f(x),由f(x)=(x+a)(x-4)=x2+(a-4)x-4a,得x2-(a-4)x-4a=x2+(a-4)x-4a,即a-4=0,a=4.答案:410.已知f(x)为奇函数,g(x)=f(x)+9,g(-2)=3,那么f(2)= .解析:g(-2)=f(-2)+9=3,那么f(-2)=-6,又f(x)为奇函数,因此f(2)=-f(-2)=6.答案:611.设函数f(x)=x3cos x+1.假设f(a)=11,那么f(-a)= .解析:f(a)+f(-a)=a3cos a+1+(-a)3cos (-a)+1=2,而f(a)=11,故f(-a)=2-f(a)=2-11=-9.答案:-9函数的周期性1. x为实数,[x]表示不超过x的最大整数,那么函数f(x)=x-[x]在R上为( )(A)奇函数(B)偶函数(C)增函数(D)周期函数解析:因为f(x+1)=(x+1)-[x+1]=(x+1)-([x]+1)=x-[x]=f(x).因此f(x)是周期函数,应选D.答案:D2.设f(x)是周期为2的奇函数,当0≤x≤1时,f(x)=2x(1-x),那么f52⎛⎫-⎪⎝⎭等于( )(A)-12(B)-14(C)14(D)12解析:f52⎛⎫-⎪⎝⎭=f522⎛⎫-+⎪⎝⎭=f12⎛⎫-⎪⎝⎭=-f12⎛⎫⎪⎝⎭=-2×12×112⎛⎫-⎪⎝⎭=-12.应选A.答案:A3.函数y=3sinπ24x⎛⎫+⎪⎝⎭的最小正周期为.解析:T=2π2=π.答案:π4.设f(x)是以2为周期的函数,且当x∈[1,3)时,f(x)=x-2,那么f(-1)= . 解析:f(-1)=f(-1+2)=f(1)=1-2=-1.答案:-15.设函数f(x)是概念在R上的周期为2的偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x+1,那么f32⎛⎫⎪⎝⎭= .解析:f32⎛⎫⎪⎝⎭=f322⎛⎫-⎪⎝⎭=f12⎛⎫-⎪⎝⎭=f12⎛⎫⎪⎝⎭=12+1=3 2.答案:3 26.设f(x)是概念在R上且周期为2的函数,在区间[-1,1]上,f(x)=1,10,2,01,1ax xbxxx+-≤<⎧⎪+⎨≤≤⎪+⎩其中a,b∈R.假设f12⎛⎫⎪⎝⎭=f32⎛⎫⎪⎝⎭,那么a+3b的值为.解析:由题意f12⎛⎫⎪⎝⎭=f32⎛⎫⎪⎝⎭=f12⎛⎫⎪⎝⎭,因此2232b+=-12a+1,∴32a+b=-1①又f(-1)=f(1),∴b=-2a,②解①②得a=2,b=-4,∴a+3b=-10.答案:-10函数的单调性1.已知f(x)是概念在实数集R上的增函数,且f(1)=0,函数g(x)在(-∞,1]上为增函数,在[1,+∞)上为减函数,且g(4)=g(0)=0,那么集合{x|f(x)g(x)≥0}等于( )(A){x|x≤0或1≤x≤4}(B){ x|0≤x≤4}(C){x|x≤4}(D){x|0≤x≤1或x≥4}解析:画出函数f(x)和g(x)的草图如下图,由图可知当f(x)g(x)≥0时,x的取值范围是x≤0或1≤x≤4,即{x|f(x)g(x)≥0}={x|x≤0或1≤x≤4}.应选A.答案:A2. “函数g(x)=(2-a)在区间(0,+∞)上是增函数”的充分没必要要条件是a∈ .解析:在(0,+∞)上是增函数,故需要2-a>0,即a<2,而要求充分没必要要条件,那么填集合(-∞,2)的一个子集即可.答案:(-∞,t)(t<2)函数的奇偶性1.已知函数f(x)=()()120,210,xxxx-⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩那么该函数是( )(A)偶函数,且单调递增 (B)偶函数,且单调递减(C)奇函数,且单调递增(D)奇函数,且单调递减解析:当x>0时,f(x)=1-2-x,这时-x<0,因此f(-x)=2-x-1,于是f(-x)=-f(x);当x<0时,f(x)=2x-1,这时-x>0,因此f(-x)=1-2x,于是也有f(-x)=-f(x).又f(0)=0,故函数f(x)是一个奇函数;又因为当x>0时,f(x)=1-2-x单调递增,当x<0时,f(x)=2x-1也单调递增,因此f(x)单调递增.应选C.答案:C2.概念在R上的奇函数f(x)知足:当x>0时,f(x)=2020x+log2020x,那么在R上方程f(x)=0的实根个数为( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:因为f(x)是R上的奇函数,因此f(0)=0.当x>0时,函数y=2020x与函数y=-log2020x有一个交点,知2020x+log2020x=0有唯一的实根.由奇函数性质知,当x<0时,也有唯一一个根使f(x)=0,因此f(x)=0在R上有3个实数根.答案:C函数大体性质的综合应用1.函数f(x)=15,0,51,0,xxxx-⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩那么该函数为( )(A)单调递增函数,奇函数(B)单调递增函数,偶函数(C)单调递减函数,奇函数(D)单调递减函数,偶函数解析:当x>0时,-x<0,那么f(-x)=5-x-1=-f(x);当x<0时,-x>0,那么f(-x)=1-5x=-f(x),又f(0)=0,因此函数f(x)为奇函数,易知函数在(0,+∞)递增,故函数在概念域内递增.应选A.答案:A2.已知函数f(x)是概念在R上的偶函数,且对任意的x∈R,都有f(x+2)=f(x).当0≤x≤1时,f(x)=x2.假设直线y=x+a与函数y=f(x)的图象在[0,2]内恰有两个不同的公共点,那么实数a 的值是( )(A)0 (B)0或-1 2(C)-14或-12(D)0或-14解析:∵f(x+2)=f(x),∴T=2.又0≤x≤1时,f(x)=x2,可画出函数y=f(x)在一个周期内的图象如下图.显然a=0时,y=x与y=x2在[0,2]内恰有两个不同的公共点.另当直线y=x+a与y=x2(0≤x≤1)相切时也恰有两个不同公共点,由题意知y'=(x2)'=2x=1,∴x=12.∴A11,24⎛⎫⎪⎝⎭,又A点在y=x+a上,∴a=-1 4.综上知选D.答案:D3.函数y=f(x-1)为奇函数,y=f(x+1)为偶函数(概念域均为R).假设0≤x<1时,f(x)=2x,那么f(10)= .解析:依题意得f(-x-1)=-f(x-1),f(-x+1)=f(x+1),因此f(x+4)=-f(x),f(x+8)=f(x),故函数周期为8.f(10)=f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=1.答案:1综合检测1.)已知概念在R上的函数f(x)知足f(1)=1,f(x+2)=()1f x对任意x∈R恒成立,那么f(2020)等于( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:由f(x+2)=() 1f x,得f(-1+2)=() 1f x-,即f(1)f(-1)=1,而f(1)=1,故f(-1)=1,且f(x+4)=()12f x+=f(x),∴f(2020)=f(503×4-1)=f(-1)=1.应选A.答案:A2.已知减函数f(x)的概念域是R,m,n∈R,若是不等式f(m)-f(n)>f(-m)-f(-n)成立,那么在以下给出的四个不等式中,正确的选项是( )(A)m+n<0 (B)m+n>0(C)m-n<0 (D)m-n>0解析:将f(m)-f(n)>f(-m)-f(-n)变形为f(m)+f(-n)>f(-m)+f(n),当m<n时,-n<-m,那么有f(m)>f(n)且f(-n)>f(-m),反之亦成立.应选C.答案:C3.已知概念在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)知足f(x)+g(x)=ax-a-x+2(a>0且a≠1),假设g(2)=a,那么f(2)等于( )(A)2 (B)17 4(C)154(D)a2解析:由题意得f(-x)+g(-x)=g(x)-f(x)=a-x-ax+2,联立f(x)+g(x)=ax-a-x+2,求解得g(x)=2,f(x)=ax-a-x.故a=2,f(2)=22-2-2=4-14=154.应选C.答案:C。
(新高考专用)2021届高三一轮复习精准培优专练2 函数的图像与性质 教师版
C． ( 1 ,1] 2
D．[ 1 ,1] 2
【解析】∵ g(x) lg(2x 2 x) 0 ，∴ 0 2x2 x 1，∴ 1 x 0 或 1 x 1，
2
2
∴ A [ 1 , 0) (1 ,1] ，
2
2
∵ x [2, 1] ，∴ 2x2 x [1,10] ， 0 g(x) 1，故 B [0,1] ， 2
D． f (2) f ( 5) f (3) 2
【解析】∵ f (x 1) f (x 1) ，则函数 f (x) 的周期T 2 ，
当
x [1,1]
时，
f
(x)
x(1
e
2 x
) 1
x
ex ex
1 1
，
则
f
(
x)
x
e e
x x
1 1
x
1 1
ex ex
x
e e
x x
1 1
f
(x) ，则函数
f (x) 为偶函数，
2
2
9．已知定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f (x) f (2 x) ，其图象经过点 (2,0) ，且对任意 x1 ，
x2 (1, ) ，且 x1 x2 ，(x1 x2)[ f (x1) f (x2)] 0 恒成立，则不等式 (x 1) f (x) 0 的
6
解集为（ ）
A． (,1]
0
，故排除
B，只有
A
符合．
6．已知函数
f
(x)
x2
2x,
x0 ，若 |
f (x) | ax ，则实数 a 的取值范围是（
）
ln(x 1), x 0
A． (,0]
高考真题与模拟训练 专题02 函数及其性质(解析版)
专题2 函数及其性质第一部分 真题分类一、单选题1．（2021·浙江高考真题）已知函数21(),()sin 4f x xg x x=+=，则图象为如图的函数可能是（ ）A ．1()()4y f x g x =+-B ．1()()4y f x g x =--C ．()()y f x g x =D ．()()g x y f x =【答案】D【解析】对于A ，()()21sin 4y f x g x x x=+-=+，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A ；对于B ，()()21sin 4y f x g x x x=--=-，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B ；对于C ，()()21sin 4y f x g x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，则212sin cos 4y x x x x⎛⎫'=++ ⎪⎝⎭，当4x π=时，210221642y ππ⎛⎫'=⨯++⨯> ⎪⎝⎭，与图象不符，排除C.故选：D.2．（2021·全国高考真题（文））下列函数中是增函数的为（ ）A ．()f x x =-B ．()23xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．()2f x x =D ．()f x =【答案】D 【解析】对于A ，()f x x=-为R 上的减函数，不合题意，舍.对于B ，()23xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭为R上的减函数，不合题意，舍.对于C ，()2f x x =在(),0-∞为减函数，不合题意，舍.对于D ，()f x =为R 上的增函数，符合题意，故选：D.3．（2021·全国高考真题（文））设()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()1f x f x +=-.若1133f ⎛⎫-=⎪⎝⎭，则53f ⎛⎫=⎪⎝⎭（ ）A ．53-B ．13-C ．13D ．53【答案】C【解析】由题意可得：522213333f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而21111133333f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故5133f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选：C.4．（2021·全国高考真题（理））设函数()f x 的定义域为R ，()1f x +为奇函数，()2f x +为偶函数，当[]1,2x ∈时，2()f x ax b =+．若()()036f f +=，则92f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．94-B ．32-C ．74D ．52【答案】D 【解析】因为()1f x +是奇函数，所以()()11f x f x -+=-+①；因为()2f x +是偶函数，所以()()22f x f x +=-+②．令1x =，由①得：()()()024f f a b =-=-+，由②得：()()31f f a b==+，因为()()036f f +=，所以()462a b a b a -+++=⇒=-，令0x =，由①得：()()()11102f f f b =-⇒=⇒=，所以()222f x x =-+．思路一：从定义入手．9551222222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1335112222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭511322=2222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以935222f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数()f x 的周期4T =．所以91352222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：D ．5．（2021·全国高考真题（理））设函数1()1xf x x -=+，则下列函数中为奇函数的是（ ）A ．()11f x --B ．()11f x -+C ．()11f x +-D ．()11f x ++【答案】B【解析】由题意可得12()111x f x x x -==-+++，对于A ，()2112f x x--=-不是奇函数；对于B ，()211f x x -=+是奇函数；对于C ，()21122f x x +-=-+，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D ，()2112f x x ++=+，定义域不关于原点对称，不是奇函数.故选：B6．（2020·天津高考真题）函数241xy x =+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由函数的解析式可得：()()241xf x f x x --==-+，则函数()f x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD 错误；当1x =时，42011y ==>+，选项B 错误.故选：A.7．（2020·北京高考真题）已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是（ ）A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞ C ．(0,1)D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞【答案】D 【解析】因为()21x f x x =--，所以()0f x >等价于21xx >+，在同一直角坐标系中作出2xy =和1y x =+的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)，不等式21x x >+的解为x <或1x >.所以不等式()0f x >的解集为：()(),01,-∞⋃+∞.故选：D.8．（2020·海南高考真题）若定义在R的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（ ）A ．[)1,1][3,-+∞B ．3,1][,[01]-- C ．[1,0][1,)-⋃+∞D ．[1,0][1,3]-⋃【答案】D【解析】因为定义在R上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞ 时，()0f x <，所以由(10)xf x -≥可得：0210x x <⎧⎨-≤-≤⎩或0012x x >⎧⎨≤-≤⎩或0x =解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x的取值范围是[1,0][1,3]-⋃，故选：D.9．（2020·全国高考真题（理））设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（ ）A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B ．是奇函数，且在11(,22-单调递减C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D ．是奇函数，且在1(,2-∞-单调递减【答案】D【解析】由()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭，关于坐标原点对称，又()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-，()f x ∴为定义域上的奇函数，可排除AC ；当11,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--，()ln 21y x =+Q 在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，()ln 12y x =-在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，()f x ∴在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，排除B ；当1,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x +⎛⎫=----==+ ⎪--⎝⎭，2121x μ=+- 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，()ln f μμ=在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：()f x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，D 正确.故选：D.二、填空题10．（2021·浙江高考真题）已知Ra ∈，函数24,2()3,2,x x f x x a x ⎧->⎪=⎨-+≤⎪⎩若(3f f⎡⎤=⎣⎦，则a =___________.【答案】2【解析】(()()642233f ff f a ⎡⎤=-==-+=⎣⎦，故2a =，故答案为：2.11．（2021·全国高考真题）已知函数()()322x x x a f x -=⋅-是偶函数，则a =______.【答案】1【解析】因为()()322x x x a f x -=⋅-，故()()322x x f x x a --=-⋅-，因为()f x 为偶函数，故()()f x f x -=，时()()332222x x x x x a x a --⋅-=-⋅-，整理得到()()12+2=0x x a --，故1a =，故答案为：112．（2020·北京高考真题）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W 与时间t 的关系为()W f t =，用()()f b f a b a ---的大小评价在[,]a b 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论：①在[]12,t t 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在2t 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；③在3t时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，在[]10,t 的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是____________________．【答案】①②③【解析】()()f b f a b a ---表示区间端点连线斜率的负数，在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，甲企业在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在[]12,t t 的污水治理能力最强．④错误；在2t 时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；在3t时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；故答案为：①②③13．（2020·全国高考真题（理））关于函数f （x ）=1sin sin x x +有如下四个命题：①f （x ）的图象关于y 轴对称．②f （x ）的图象关于原点对称．③f （x ）的图象关于直线x =2π对称．④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．【答案】②③【解析】对于命题①，152622f π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，152622f π⎛⎫-=--=-⎪⎝⎭，则66f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数()f x 的定义域为{},x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称，()()()()111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x ⎛⎫-=-+=--=-+=- ⎪-⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭ ，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=++=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭，则22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，命题③正确；对于命题④，当0x π-<<时，sin 0x <，则()1sin 02sin f x x x=+<<，命题④错误.故答案为：②③.14．设(),()f xg x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时，()f x =，(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中0k >.若在区间(0]9，上，关于x的方程()()f xg x =有8个不同的实数根，则k的取值范围是_____.【答案】1,34⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭.【解析】当(]0,2x ∈时，()f x =即()2211,0.x y y -+=≥又()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为4，如图，函数()f x 与()g x 的图象，要使()()f x g x =在(]0,9上有8个实根，只需二者图象有8个交点即可.当1g()2x =-时，函数()f x 与()g x 的图象有2个交点；当g()(2)x k x =+时，()g x 的图象为恒过点()2,0-的直线，只需函数()f x 与()g x 的图象有6个交点.当()f x 与()g x 图象相切时，圆心()1,0到直线20kx y k -+=的距离为11=，得4k =，函数()f x 与()g x 的图象有3个交点；当g()(2)x k x =+过点1,1（）时，函数()f x 与()g x 的图象有6个交点，此时13k =，得13k=.综上可知，满足()()f x g x =在(]0,9上有8个实根的k的取值范围为134⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭，.三、解答题15．（2021·全国高考真题（文））已知函数()2,()2321f x xg x x x =-=+--．（1）画出()y f x =和()y g x =的图像；（2）若()()f x ag x +≥，求a 的取值范围．【答案】（1）图像见解析；（2）112a ≥【解析】（1）可得2,2()22,2x x f x x x x -<⎧=-=⎨-≥⎩，画出图像如下：34,231()232142,2214,2x g x x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+--=+-≤<⎨⎪⎪≥⎪⎩，画出函数图像如下：（2）()|2|f x a x a +=+-，如图，在同一个坐标系里画出()(),f x g x 图像，()y f x a =+是()y f x =平移了a 个单位得到，则要使()()f x a g x +≥，需将()y f x =向左平移，即0a >，当()y f x a =+过1,42A ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，1|2|42a +-=，解得112a =或52-（舍去），则数形结合可得需至少将()y f x =向左平移112个单位，112a ∴≥.16．设函数()211f x x x =++-．（1）画出()y f x =的图像；（2）当[)0x +∞∈，，()f x ax b≤+，求+a b 的最小值．【答案】（1）见解析（2）5【解析】（1）()13,,212,1,23, 1.x xf x x xx x⎧-<-⎪⎪⎪=+-≤<⎨⎪≥⎪⎪⎩()y f x=的图像如图所示．（2）由（1）知，()y f x=的图像与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当3a≥且2b≥时，()f x ax b≤+在[)0,+∞成立，因此a b+的最小值为5．第二部分 模拟训练一、单选题1．设函数()f x,()g x的定义域为R，且()f x是奇函数，()g x是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）A．()()f xg x是偶函数B．|()|()f xg x是奇函数C ．()()f xg x 是奇函数D ．()()f xg x 是奇函数【答案】C【解析】 ()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，()()()(),f x f x g x g x ∴-=--=，对于A ，()()()()f x g x g x g x --=-，故()()f x g x 是奇函数，故A 错误；对于B ，|()|()|()|()|()|()f x g x f x g x f x g x --=-=，故|()|()f xg x 是偶函数，故B 错误；对于C ，()()()()f x g x f x g x --=-，故()()f xg x 是奇函数，故C 正确；对于D ，()()()()f xg x f x g x --=，故()()f xg x 是偶函数，故D 错误.故选：C.2．函数ln e1xy x =--的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】因为ln e1xy x =--当1≥x 时，()ln 111xy ex x x =--=-+=当01x <<时，()ln 111x y e x x x-=+-=+-所以1,111,01x y x x x≥⎧⎪=⎨+-<<⎪⎩，故排除AC ；当12x =时，113101222y =+-=>，故排除D ；故选：B3．已知二次函数()()22f x ax bx b a =+≤，定义()(){}1max 11f x f t t x =-≤≤≤，()(){}2min 11f x f t t x =-≤≤≤，其中{}max ,a b 表示,a b 中的较大者，{}min ,a b 表示,a b 中的较小者，下列命题正确的是( )A ．若()()1111f f -=，则()()11f f ->B ．若()()2211f f -=，则()()11f f ->C ．若()()2111f f =-，则()()1111f f -<D ．若()()211-1f f =，则()()2211f f ->【答案】C【解析】由于2b a ≤,故二次函数的对称轴[]1,12bx a=-∈-.()(){}()11max |11f f t t f -==-=-,()(){}11max |11f f t t =-≤≤,若此时对称轴为0x =,则有()()111f f =,即()()11f f -=,所以A 选项不正确，()(){}()21min |11f f t t f -==-=-, ()(){}21min |11f f t t =-≤≤,在对称轴的位置取得最小值,即对称轴为1x =-,所以()()11f f -<,故B 选项不正确，()(){}21min |11f f t t =-≤≤,()(){}()11max |11f f t t f -==-=-，也即是函数在区间[]1,1-上的最小值,故()()1111f f -<,所以选C.4．若函数()y f x =， x M ∈，对于给定的非零实数a ，总存在非零常数T ，使得定义域M 内的任意实数x ，都有()()af x f x T =+恒成立，此时T 为()f x 的类周期，函数()y f x =是M 上的a 级类周期函数．若函数()y f x =是定义在区间[)0,+∞内的2级类周期函数，且2T =，当[)0,2x ∈时，()()212,01,22,12,x x f x f x x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪-<<⎩函数()212ln 2g x x x x m =-+++．若[]16,8x ∃∈， ()20,x ∃∈+∞，使()()210g x f x -≤成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．13,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦D ．13,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】根据题意，对于函数f （x ），当x∈[0，2）时，()()212,01,22,12,x x f x f x x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪-<<⎩分析可得：当0≤x≤1时，f （x ）=122x ﹣2，有最大值f （0）=12，最小值f （1）=﹣32，当1＜x ＜2时，f （x ）=f （2x ﹣），函数f （x ）的图象关于直线x=1对称，则此时有﹣32＜f （x ）＜12，又由函数y=f （x ）是定义在区间[0，+∞）内的2级类周期函数，且T=2；则在∈[6，8）上，f （x ）=23•f （x 6﹣），则有﹣12≤f （x ）≤4，则f （8）=2f （6）=4f （4）=8f （2）=16f （0）=8，则函数f （x ）在区间[6，8]上的最大值为8，最小值为﹣12；对于函数()212ln 2x x x x m =-+++ ，有g′（x ）=﹣2x +x+1=22(1)(2)x x x x x x+--+=，分析可得：在（0，1）上，g′（x ）＜0，函数g （x ）为减函数，在（1，+∞）上，g′（x ）＞0，函数g （x ）为增函数，则函数g （x ）在（0，+∞）上，由最小值f （1）=32+m ，若∃x 1∈[6，8]，∃x 2∈（0，+∞），使g （x 2）﹣f （x 1）≤0成立，必有g （x ）min ≤f （x ）max ，即32+m≤8，解可得m≤132，即m 的取值范围为（﹣∞，132]；故答案为：B5．已知函数()f x 满足：①对任意1x 、()20,x ∈+∞且12x x ≠，都有()()1212f x f x x x ->-；②对定义域内的任意x ，都有()()f x f x =-，则符合上述条件的函数是（ ）A ．()21f x x x =++B ．()1f x x x=-C ．()ln 1f x x =+D ．()cos f x x=【答案】A【解析】由题意得：()f x 是偶函数，在(0,)+∞单调递增，对于A，()()f x f x -=，是偶函数，且0x >时，2()1f x x x =++，对称轴为12x =-，故()f x 在(0,)+∞递增，符合题意；对于B，函数()f x 是奇函数，不合题意；对于C，由10x +=，解得：1x ≠-，定义域不关于原点对称，故函数()f x 不是偶函数，不合题意；对于D，函数()f x 在(0,)+∞无单调性，不合题意；故选：A 6．已知函数()2f x x x a x=-+，若存在(]23a ∈，，使得关于x 的函数()()y f x tf a =-有三个不同的零点，则实数t 的取值范围是（ ）A ．9584⎛⎫⎪⎝⎭，B ．25124⎛⎫⎪⎝⎭，C ．918⎛⎫⎪⎝⎭，D ．514⎛⎫⎪⎝⎭，【答案】B【解析】(]2,3a ∈,()()()222,2,x a x x af x x a x x a ⎧+-≥⎪=⎨-++<⎪⎩,当x a ≥时，因为2222a a a -+<<，则函数在[),a +∞上为增函数，在2,2a a +⎡⎫⎪⎢⎣⎭上为减函数，在在2,2a +⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上为增函数，故函数的图象如图所示：由于关于x 的函数()()y f x tf a =-有三个不同的零点，故()2y tf a at==与()y f x =的图象有3个不同的交点，故()22,2a at fa f ⎛⎫+⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即()221,8a t a ⎛⎫+ ⎪∈ ⎪⎝⎭而()2214488a a aa +⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为(]2,3上的增函数，故()()22max 2322588324a t a ⎡⎤++<==⎢⎥⨯⎢⎥⎣⎦，所以251,24t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故选：B.二、填空题7．定义在R上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且当0x ≥21,01,()22,1,x x x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩若任意的[],1x m m ∈+，不等式(1)()f x f x m -≤+恒成立，则实数m 的最大值是 ____________【答案】13-【解析】因为当0x ≥时 ()21,01,22,1,x x x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩为单调递减函数，又()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，因此不等式()()1f x f x m -≤+恒成立，等价于不等式()()1f x f x m -≤+恒成立，即1x x m-≥+，平方化简得()2211m x m +≤-，当10m +=时，x R∈；当10m +>时，12m x -≤对[],1x m m ∈+恒成立，11111233m m m m -+≤∴≤-∴-<≤-；当10m +<时，12m x -≥对[],1x m m ∈+恒成立，1123m m m -≥∴≥（舍）；综上113m -≤≤-，因此实数m 的最大值是13-.8．已知定义在R 上的偶函数()f x ，满足()()2f x f x +=，当[]0,1x ∈时，()1x f x e =-，则()()20172018f f -+=__________．【答案】e 1-【解析】由()()2f x f x +=可知，函数()f x 的周期为2，又()f x 为偶函数∴()()()()()()()()20172018f 20161f 01f 01f 0e 1f f f f -+=--+=-+=+=-故答案为e 1-9．定义在[1,1]-上的函数()f x 满足()()0f x f x +-=且(1)1f =，又当12,[1,1]x x ∈-且120x x +≠时，有()()12120f x f x x x +>+.若2()21f x m am ≤-+对所有[1,1]x ∈-，[1,1]a ∈-恒成立，则实数m 的取值范围是__________.【答案】(,2]{0}[2,)-∞-+∞U U 【解析】定义在[1,1]-上的函数()f x 满足()()0f x f x +-=，故函数()f x 为奇函数，设任意的12,,1[]0x x ∈，12x x <，则120x x -≠，由题设有()()()12120f x f x x x +->+-，因为120x x -<，故()()120f x f x +-<即()()120f x f x -<，所以()()12f x f x <，故()f x 为[0,1]上的增函数，而()f x 为[1,1]-上奇函数，故()f x 在[1,1]-上为增函数.若2()21f x m am ≤-+对所有[1,1]x ∈-，[1,1]a ∈-恒成立，所以2max ()(1)21f x f m am -=≤+，即2211m am -+≥，设2()2g a m am =-，则有()0g a ≥在[1,1]a ∈-上恒成立，因()g a 在[1,1]-上的图象为线段，故(1)0(1)0g g ≥⎧⎨-≥⎩，所以222020m m m m ⎧-≥⎨+≥⎩，解得2m ≥或2m ≤-或0m =.故答案为：(,2]{0}[2,)-∞-+∞U U .二、解答题10．已知函数()|3||2|f x x x =++-.（1）若x R ∀∈，2()6f x a a ≥-恒成立，求实数a 的取值范围；（2）求函数()y f x =的图像与直线9y =围成的封闭图形的面积S .【答案】（1）(,1][5,)-∞+∞ ；（2）28.【解析】（Ⅰ）∵()32325f x x x x x =++-≥+-+=，∴256a a ≥-，解得][(),15,a ∈-∞⋃+∞．（Ⅱ）()21,2,32{5,32,12,3,x x f x x x x x x +≥=++-=-<<--≤-当()9f x =时，5x =-或4x =．画出图象可得，围成的封闭图形为等腰梯形，上底长为9，下底长为5，高为4，所以面积为()1954282S =+⨯=．。
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解析：选 B 法一：如图所示，
设∠MON＝α，由弧长公式知 x＝α，在 Rt△AOM 中，|AO|＝1－t，cos x＝ |OA| ＝1－t，∴y＝cos x＝2cos2x
2 |OM|
2
－1＝2(t－1)2－1(0≤t≤1)．故其对应的大致图象应为 B.
法二：由题意可知，当 t＝1 时，圆 O 在直线 l2 上方的部分为半圆，所对应的弧长为π×1＝π，所以 cos π
f2 x ，f1 x ＜f2 x ，
系中分别画出函数 f1(x)与 f2(x)的图象，如图所示，则 g(x)的图象如图中实线部分所示．由图可知 g(x)在[0，
＋∞)上单调递增，又 g(x)在[a，b]上单调递增，故 a，b∈[0,5]，所以 b－a 的最大值为 5.
答案：5
18．定义在 R 上的函数 f(x)在(－∞，－2)上单调递增，且 f(x－2)是偶函数，若对ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ切实数 x，不等式 f(2sin
止移动．记△PCQ 的面积关于移动时间 t 的函数为 S＝f(t)，则 f(t)的图象大致为( )
解析：选 A 当 0≤t≤4 时，点 P 在 AB 上，点 Q 在 BC 上，此时 PB＝6－t，CQ＝8－2t，则 S＝f(t)＝1QC×BP 2
＝1(8－2t)×(6－t)＝t2－10t＋24；当 4＜t≤6 时，点 P 在 AB 上，点 Q 在 CA 上，此时 AP＝t，P 到 AC 的距离 2
1．已知 f(x)＝3ax2＋bx－5a＋b 是偶函数，且其定义域为[6a－1，a]，则 a＋b＝( )
A.1 B．－1 7
C．1 D．7
解析：选 A.∵f(x)为偶函数，∴b＝0.定义域为[6a－1，a]则 6a－1＋a＝0，∴a＝1，∴a＋b＝1.
7
7
2．若函数 f(x)＝2x＋1是奇函数，则使 f(x)＞3 成立的 x 的取值范围为( ) 2x－a
2
22
所以①是假命题；
－1，1 ②令 x＝m＋a，m∈Z，a∈ 2 2 ，
则 f(x)＝x－{x}＝a，
－1，1 ∴f(x)∈ 2 2 ，所以②是真命题；
③∵f
1 2
＝1－0＝1，f
－1 2
＝1≠－f
1 2
，
22
2
∴函数 f(x)不是奇函数，故③是假命题；
④∵f(x＋1)＝(x＋1)－{x＋1}＝x－{x}＝f(x)，
A．(－∞，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1，＋∞)
3．设 f(x)是定义在 R 上以 2 为周期的偶函数，已知 x∈(0,1)时，f(x)＝log1(1－x)，则函数 f(x)在(1,2)上( ) 2
A．是增函数且 f(x)＜0 B．是增函数且 f(x)＞0 C．是减函数且 f(x)＜0 D．是减函数且 f(x)＞0 解析：选 D.设－1＜x＜0，则 0＜－x＜1，f(－x)＝log1(1＋x)＝f(x)＞0，故函数 f(x)在(－1,0)上单调递减．又
＝－1，排除 A、D；当 t＝1时，如图所示，易知∠BOC＝2π，所以 cos2π＝－1＜0，排除 C，故选 B.
2
3
32
m－1，m＋1
15．设 m∈Z，对于给定的实数 x，若 x∈ 2
2 ，则我们就把整数 m 叫做距实数 x 最近的整数，
并把它记为{x}，现有关于函数 f(x)＝x－{x}的四个命题：
①f
－1 2
＝－1；
2
－1，1 ②函数 f(x)的值域是 2 2 ；
③函数 f(x)是奇函数；
④函数 f(x)是周期函数，其最小正周期为 1.
其中，真命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选 B ①∵－1－1＜－1≤－1＋1，
22
2
－1 ∴ 2 ＝－1，
∴f
－1 2
＝－1－
－1 2
＝－1＋1＝1，
x－2)＞f(sin x－1－m)恒成立，则实数 m 的取值范围为________．
为 4t，CQ＝2t－8，则 S＝f(t)＝1QC×4t＝1(2t－8)×4t＝4(t2－4t)；当 6＜t≤9 时，点 P 在 BC 上，点 Q 在 CA
5
2 52
55
上，此时 CP＝14－t，QC＝2t－8，则 S＝f(t)＝1QC×CPsin∠ACB＝1(2t－8)(14－t)×3＝3(t－4)(14－t)．
2 因为 f(x)以 2 为周期，所以函数 f(x)在(1,2)上也单调递减且有 f(x)＞0.
又 f(x)为偶函数， 所以当 x∈[－1,0]时，－x∈[0,1]， f(x)＝f(－x)＝－x＋2， 当 x∈[－2，－1]时，x＋2∈[0,1]， f(x)＝f(x＋2)＝x＋4， 所以当 x∈[－2,0]时，f(x)＝3－|x＋1|. 14.如图，已知 l1⊥l2，圆心在 l1 上、半径为 1 m 的圆 O 沿 l1 以 1 m/s 的速度匀速竖直向上移动，且在 t ＝0 时，圆 O 与 l2 相切于点 A，圆 O 被直线 l2 所截得到的两段圆弧中，位于 l2 上方的圆弧的长记为 x，令 y ＝cos x，则 y 与时间 t(0≤t≤1，单位：s)的函数 y＝f(t)的图象大致为( )
解析：当 f1(x)≥f2(x)时，g(x)＝f1 x ＋f2 x ＋f1 x －f2 x ＝f1(x)；
2
2
当 f1(x)＜f2(x)时，g(x)＝f1 x ＋f2 x ＋f2 x －f1 x ＝f2(x)．
2
2
f1 x ，f1 x≥ f2 x ，
综上，g(x)＝
即 g(x)是 f1(x)，f2(x)两者中的较大者．在同一平面直角坐标
2
2
55
综上，函数 f(t)对应的图象是三段抛物线，依据开口方向得图象是 A.
17．已知函数 f1(x)＝|x－1|，f2(x)＝1x＋1，g(x)＝f1 x ＋f2 x ＋|f1 x －f2 x |，若 a，b∈[－1,5]，
3
2
2
且当 x1，x2∈[a，b]时，g x1 －g x2 ＞0 恒成立，则 b－a 的最大值为________． x1－x2
∴函数 f(x)的最小正周期为 1，故④是真命题．
综上，真命题的个数为 2，故选 B.
16.如图所示，在△ABC 中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，点 P 以 1 cm/s 的速度沿 A→B→C 的路
径向 C 移动，点 Q 以 2 cm/s 的速度沿 B→C→A 的路径向 A 移动，当点 Q 到达 A 点时，P，Q 两点同时停