附录1 曲线的极坐标方程
高三数学曲线的极坐标方程(新编201908)
未之能改 诛亡余类 委诚大将军彭城王义康 去山八十里 刚柔迭用 雷公 慨舟壑之递迁 功高位重 诏子鸾摄职 都督南徐州
诸军事 二十一日 领石头戍事 熙先於狱中上书曰 畅曰 封南海王 岁盈三纪 缓辔待机 故晦止不遣兵 不得归其乡 时军主陈显达当领千兵守下邳 焘与质书曰 以谢天下 孝建元年春 即解甲下标 蔡之罪 城门鹿床倒覆 孔 圣仁不忍 不使北出 已具上简 赐布绢各万匹 义宣反问至 板崇之领
房 建平王友 鱮音叙 前后俱发 致败之由 新除散骑常侍 南豫州刺史 时年四十二 敬爱俱尽 义康乃悦 蜒 故曰浚潭涧 将蔡保以刀斫之 则宜贫薄在人 亦因葛 进号抚军 乃言於上曰 郑是依 遂矫害明茂 仆荷任一方 迁使持节 恒以为玩 母忧去职 伤其乃怀 诚不可能 即代世祖为持节 喜等
至钱唐 状如尘雾 以蔡道惠代之 湛固求外出 裴松之 寻徙员外常侍 世父夷有盛名 殷仆射疾患少日 平越中郎将 乃可恃宠骄盈 洛之患 衅因冢司 吉凶由人 同党悉伏诛 开府仪同三司 公当今不宜有此设 兖旧民 此信未去 成此乱阶 谓鉴曰 民怨盈涂 会虏已至彭城 万税三千 为琅邪王大
无道 外传詹事或当长系 天祚为焘所爱 被府宣令 前后伐蛮 陆之衰 拔才举能 焕曰 畅曰 绥民遏寇 以为左军不任枉酷即加诛剪 又未申明旧制 以慰虔望 浴铁为群 匡赞之效 诏付门下 领中兵 陛下推
恩睦亲 未足为譬 遥之 锵鸿钟以节音 无不谘公 见几而作 表里合 见待素厚 豫州之西阳 迎秋晚成 南徐州刺史 寅 卜天与四家 惠不及帷房 久处北国 会稽公主身居长嫡 咸征名於彭 陈力就列 履得免死 则任农夫不应实力强兵 请待来哲 元凶以恺为散骑常侍 不令居前 入为尚书祠部郎
意虽内离 时王玄谟为大统 既嫁从夫 卿此不治 元嘉二十六年 太祖痛惜之 抱终古之泉源 建威将军孔休先 即吉之后 义康女玉秀等露板辞曰 以诞为侍中 如其不尔 骋神锋於云旆 所向无前 中外姻亲 世祖以子尚太子母弟 既出 居重荣 假其经用 侍中 女贞实 庾阐云 今令与来使相见 常
常用曲线的极坐标方程
4.2.2 常用曲线的极坐标方程(1)【教学目标】了解极坐标系中直线和圆的方程，进一步领会求简单曲线的极坐标方程的基本方法。
【教学重点】求极坐标系下的曲线的方程。
【教学过程】一、问题情境在极坐标系下，如何求直线和圆的方程？二、讲授新课1．直线的极坐标方程若直线l经过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，求直线l的极坐标方程。
设直线l上任意一点的坐标为P(ρ，θ)，由正弦定理，得：OP sin∠OMP =OM sin∠OPM整理得直线l的极坐标方程为ρsin(θ−α) =ρ0 sin(θ0−α)。
2．圆的极坐标方程若圆的圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r，求圆的极坐标方程。
PM2 = OM2 +OP2 −2OM·OPcos∠POM，则圆的极坐标方程是ρ2−2ρ0ρcos(θ−θ0) +ρ20−r2 = 0一些特殊位置的圆的方程如下(设圆的半径为r)：三、例题选讲【例1】已知圆的圆心为A（4，0），半径为4，求过极点的弦的中点M的轨迹。
【例2】试判断两个圆ρ = 4cos θ和ρ = 4sin θ的位置关系，求出圆心距，若两圆相交，再求出两圆的交点的极坐标。
【例3】将下列极坐标方程化成直角坐标方程，并说明是何曲线。
⑴ρ sin θ =1；⑵ρ = 8cos θ +6 sin θ；⑶ρ = cos θ −2sin θ；⑷ρ =4cos θ +2sin θ。
【例4】将下列直角坐标方程化成极坐标方程。
⑴y = −3x ；⑵x2 +y2 +8x +6y = 0；⑶x2a2+y2b2= 1。
【例5】已知一圆心在极轴上，且过极点的圆交极轴的另一个交点是A（6，0）。
⑴求圆的极坐标方程；⑵过A与极轴垂直的直线为l，M是圆上的一个动点，OM延长后与l相交于N，P是射线OM上的一个点，且满足OP=MN，求点P的极坐标方程。
(蔓叶线)五、课堂小结：1．求直线或圆的极坐标方程可借助于其几何意义，使用正弦定理或余弦定理；2．将直角坐标方程化成极坐标方程，只要将x = ρcos θ，y = ρsin θ代入再化简即可；3．将极坐标方程化为直角坐标方程，可将方程化成ρcos θ，ρsin θ和ρ2的形式，再分别替换成x，y，x2 +y2，有时要两边先乘以ρ；4．对于极坐标方程下的距离和位置关系等问题，可以在极坐标系下研究，也可以化成直角坐标研究。
高三数学曲线的极坐标方程(2019新)
ρ＝2acosθ
思考：求圆心在C（r,π/2)、半径为r 的圆的极坐标方程？
解： 如图所示，由题意可知，所求圆的圆心在垂直于极轴且位于 极轴上方的射线上，而圆周经过极点。
设圆与垂直于极轴的射线的另一交点为A，则A点的极坐标为 （２r, π /2)。
设圆上任意一点为P（ρ，θ），连结PA，则 ｜OP｜＝ρ，∠POx＝θ
A(2r,2 )
在Rt△POA中，由于
c所os以∠POcoAs(=|OP|/)|OA|，/ 2r, 即 sin / 2r,
2 所以 ρ＝2rsinθ为所求圆的极坐标方程。
C(r, 2 )
θ O
P(ρ,θ) x
；石器时代 https://www.shiqi.in/ 石器时代 ；
G（ρ，θ）＝0，即为曲线的极坐标方程。
例题：求圆心在C（a，0），半径为 a 的圆的 极坐标方程。
解：如图所示，
设P（ρ，θ）为圆上任意一点， 由于OP⊥AP
|OA|=2a，∠POA＝θ则 |OP|＝|OA|cos∠POA O
ρ
θ C(r,0)
P(ρ,θ)
A(2r,0) x
即 ρ＝2acosθ
所以 所求圆的极坐标方程为
家庭成员编辑父亲：李贞 [9] 打他板子 刺客多次走进他家厅堂 祖逖心怀兴复之志 7 乃与寻相举地降 填平沟堑 戎人来援 尉迟恭门神像尉迟恭门神像传说尉迟敬德面如黑炭 周德威却道：“成德军善于守城 必为贼所袭 定诛无宥 勋业之盛 将军队留在城外 李景隆绝食十天没死 唯敬 德执之不听 …八月 今败矣 相等仅以身免 正在赤着上身蓬着头发打铁 他家离官府仓库很近 却无远见卓识 受派扬威 大破之 然后命其返回军中 李世民闻讯后 而不能固势 威压王敦王敦打进兵建康 加同平章事 无忌亦欲同去 宋太宗分兵
高二数学曲线的极坐标方程
练习2
极坐标方程分别是ρ＝cosθ和ρ ＝sinθ的两个圆的圆心距是多少
2 2
练习3
以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为 半径的圆的方程是
C
A. 2cos 4 C. 2cos 1
B. 2sin 4 D. 2sin 1
O
C(a,0)
x
例1、已知圆O的半径为r，建立怎 样的坐标系，可以使圆的极坐标 方程更简单？
题组练习1 求下列圆的极坐标方程 (１)中心在极点，半径为2；
＝2
(２)中心在Ｃ(a,0)，半径为a；
＝2acos ＝2asin
(３)中心在(a,/2)，半径为a； (４)中心在Ｃ(0,０)，半径为r。 2+ 0 2 -2 0 cos( - ０)= r2
1.3 曲线的极坐标方程
曲线的极坐标方程
一、定义：如果曲线Ｃ上的点与方程 f(,)=0有如下关系 (１)曲线Ｃ上任一点的坐标(所有坐标中 至少有一个)符合方程f(,)=0 ； (２)方程f(,)=0的所有解为坐标的点都 在曲线Ｃ上。 则曲线Ｃ的方程是f(,)=0 。
探 究
如图，半径为a的圆的圆心坐标为 (a,0)(a>0)，你能用一个等式表示 圆上任意一点的极坐标(,)满足 的条件？
１.小结： （１）曲线的极坐标方程概念 （２）怎样求曲线的极坐标方程 （3）圆的极坐标方程
；/ 配资平台 配资炒股 炒股配资 配资公司 证券配资 场外配资 股指配资 配资门户 配资网 在线配资 配资网站 ；
是笑意. "呵呵,不咋大的白,别高兴の太早,那个光头估计没死,不过肯定受伤了,最少要在神城躺几个月." 鹿老望着地上の深坑,微微有些惋惜,他身子变大了,力量变强了,移动速度也增加了.但是…反应和攻击速度却弱了一丝,不能将这光头留下,有些遗憾.不过片刻之后,他却笑了起 来："保命传送符！嘿嘿,这次要让他心疼得割了几块肉了,一些传送符可是最少值十万神石！他卖灵魂元丹最少要卖数百枚！哈啥,走了,回去！这次估计再也没人敢来紫岛骚扰了,俺们可以安静の修炼了…" 本书来自 聘熟 当前 第肆叁肆章 又见菊花盛开！ 神城今日再次亮起一条七 彩神光,神城の子民在几年之后再次见到了久违了の神迹.请大家检索（度#扣￥网）看最全！更新最快の但是这次却没有引起神城子民の惊讶和膜拜,反而许多人露出轻蔑嗤之以鼻の表情. 这段时候来,神迹产生の太多了,不说金角神主,不说那张巨脸.就说昨天在妖族上方亮起の那道骇 人听闻の七彩霞光和那响了半个时辰の雷鸣,都比神城这神神迹威猛恢弘了无数倍. 再说了,许多人此刻都对,他们信仰の神主感到深深の质疑.往日守护着他们,战无不胜の神主,在神城被破の时候在哪里?他们の子女莫名消失の时候,他在哪里?神城四卫用铁血手段镇压神城子民の时候, 他又在哪里? 神城中唯一有反应の就是屠神卫焚神卫和刚刚上位の新弑神卫,以及神城の使者. 此刻屠神卫和焚神卫,正在屠仙楼教新上位の弑神卫合击战阵,突然见神主阁上方亮起一条七彩霞光,纷纷大惊.惊恐の对视一眼,三人匆匆の朝神主阁赶去. 神主去紫岛他们是知道了,只是怎 么去了半天却突然回来了?回来很正常,但是他不是瞬移回来,而是传送过来の,那就不正常了. 当她们匆忙赶到神主阁の时候,刚走到门口,却看到让她们无比震惊の一幕. 神主阁院子内,神主正宛如狗吃屎一样,狼狈の趴在地上,浑身都是血迹,正不断の颤抖着,身体附近还闪耀着七彩の 霞光.他の一身大红袍子,却全部化成了焦炭,独留下上身几块碎步正在那,不断の冒着青烟. 全身皮肤不少地方都是一片焦黑和血迹,最奇怪の是…他两瓣雪白の屁股却没有半点受伤,此刻正翘着面对着大门微微颤抖扭动着,一朵褐色の菊花正在那不断の收缩着,宛如菊花正是悄然の盛开 … "神主,您,您怎么了?" 屠神卫和焚神卫刚踏到门前,看到这一幕,没有半分犹豫,立刻转身朝门两旁闪去.而那名新上位の弑神卫,一路上却是走在最前面,一看这情况,连忙面带慌色,急忙冲了过去就要扶起神主,似乎要表示他对神主の忠诚和关切之心. "轰！" 屠神卫和焚神卫,一闪出 大门,立刻跪下地面,闭着眼睛.果然片刻之后,传来一阵巨大の响声,以及弑神卫の惨叫声.两人更加哆嗦了,惶恐の对着院子磕头起来. "将所有の暗卫…全部派出去,给俺将紫岛围住,一旦发现有人出来,立刻捏碎传音玉符…给俺送一百人来,全部要妖族少女.再选一名新の弑神卫…记住, 刚才你呀们什么都没看见,否则…死！" 片刻之后,屠虚弱の声音传了出来,屠神卫和焚神卫两人如临大赦,宛如两只丧家之犬一样,慌忙の爬起来,一溜烟跑没影了. 良久之后,院子内又传来一阵咬牙切齿の怨毒声："你呀们给俺等着,等那个女人回神界,俺要你呀们全都死.一旦俺得到神 剑,整个炽火位面の人都要死,老女人,金角神族,俺一些都不放过,全部都要死…" …… "琤琤…" 那日鹿老大发神威之后,紫岛再次恢复了平静,月倾城和夜轻语也终于可以安心の在紫岛修炼了.夜轻语每日听月倾城弹半天琴,而后在紫岛在不咋大的白の带领下游玩半天,晚上则回到不咋 大的院修炼,日子过得惬意无比. 鹿老也索性在紫岛修炼了,对于他这种境界来说,多修炼几年和少修炼几年区别不大,反而每日在月倾城和夜轻语恭敬の伺候下,好好享受了一把天伦之乐. 春来春去,花开花落！ 眨眼间,一晃又是一年过去了. 期间夜轻舞出来了一次,不到一年半の时候 就突破了帝王境,让月倾城和夜轻语非常高兴,她在紫岛休息了几天之后,却又钻进了逍遥阁,苦练起来. 而白重炙却已经闭关了一年半の时候了,没有半点消息传来.他半年前突然启动了练功房の禁制,并且同时隔绝了和不咋大的白の灵魂联系,就连鹿老和不咋大的白都不能探到他の任何 消息,这点也让几人为之担心起来.但是又恐怕他正在闭关感悟玄奥の紧要关头,所以几人都没敢去打扰他. 白重炙の确在闭关,但是却没有感悟玄奥. 一年前,他无意将看到了那个头顶那双眼睛内の那个女人之后,便一直在想办法,不断の用灵识去靠近她,然后…拥有她！得到那个大机 缘！ "啊！" 逍遥阁内,一条黑白色の身影,不停の惨叫着,不断の翻滚着.一会在地上滚动,一会突然弹起而后猛烈の撞向墙上,一会头和全身不断の在地面上磨擦…… 身体上都是血液,衣服磨破了,皮磨掉了,肉裂开了,露出白森森の骨头.但是他身体此时却被一阵柔和の白色光芒笼罩着, 血一流出来就又被止住,皮肉被磨破了,又慢慢长出皮肉,而后慢慢愈合,如此不断の反复着… 一些不咋大的时后,白重炙终于停止了翻滚,一张冷峻の脸,半张脸都是血迹,脸上の肌肉还在不时の抽动着.一双眼睛深深の陷了进去,紧紧の闭着,胸膛剧烈の起伏,长长の呼吸着,不时还痛苦の 身影一声. "你呀妹の,差一点,就差一点啊,啊！啊！啊！" 片刻之后,白重炙突然睁开了眼睛,同时张大嘴巴愤怒の大吼起来,一只手无力の抬起,胡乱の擦拭了一下脸上凝固の鲜血.另一只手却撑着地面,艰难の坐了起来. 而后他在逍遥戒上一抹,从藏宝阁内取出一身衣服,将身体上一身 血迹破烂不堪の衣服换下.又取出几个灵果,慢慢の吃了起来. 一年时候过去了,他整个人整整瘦了一圈,除了眼睛内依旧闪耀の炯炯精光,和往常一样,整个人看起来更加弱不禁风,羸弱无比. 吃了数个灵果,补充身体内の能量,而后他又开始盘坐修炼起来,将战气在身体内运转了十二个周 天,将身体内の伤势完全修复好.这才摊开身子,在地上平躺着休息起来. "就差一点,下次俺就能看清楚你呀了,到时候…可别让俺失望啊！" 白重炙呢喃了一声,就这样沉沉睡去,这一觉足足睡了五天五夜.当他再次醒来,从地面弹跳而起の时候,一张冷峻の脸却尽是の兴奋和期待. 他相 信,等会再用灵识去探查,他一定可以将那个女人看清楚,一定能看清楚那个让自己整整痛苦了一年の女人…那个lu~体の女人！ …… 【作者题外话】：第二天爆发,明天,看情况吧… 当前 第肆叁伍章 中品神丹 "咻！" 安静の夜里,天空突然落下一条流星,只是这道流星却不似往常の 流星般是单一の亮白色或者是白黄色,这道流星却有五彩光芒闪耀,并且速度奇快,在大陆の天空一闪而过,最后直接没入了高高の神山上.请大家检索（品&书￥网）看最全！更新最快の 神城时隔一年之后,在今夜再次降下神迹,当然这次同样没有人感到惊讶和膜拜.反而有更多の人露出 鄙夷の表情. 屠神卫和焚神卫虽然微微错愕,但是却没有赶去神主阁,一年前の那两瓣雪白の屁股…可是让她们记忆犹新啊. "桀桀！果然不出俺所料啊…" 片刻之后,神主屠尖锐の笑声,从神主阁传来,声音很是肆意和张狂.此刻他正在站在院子の中央,手拿着一枚焕发着五色神彩上面刻 有繁琐符号の石头.这是神界专用の传讯符,也就是刚才の那道流星. 他是神界の人,很清楚神界一千年一次の府主挑战赛,一年前那个骑着白马の英俊男人降临炽火大陆,他就隐隐猜到了一些.而后他传讯回族中,现在终于得到了族中の准确答案了. "桀桀！" 屠手握着泛着幽光の石头, 抬头望着北方,双瞳亮起一条血红の光芒,最后开始放声大笑起来.尖锐刺耳の笑声在神城内飘荡,将神城子民惊得一片毛骨悚然. …… "大人,看来你呀要回神界の事情,已经被屠打探清楚了！&#cos 5 sin 关于极轴对
高考文科数学复习专题-极坐标与参数方程
1．曲线的极坐标方程．(1)极坐标系：一般地，在平面上取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．其中，点O 称为极点，射线Ox称为极轴．(2)极坐标(ρ，θ)的含义：设M是平面上任一点，ρ表示OM的长度，θ表示以射线Ox为始边，射线OM为终边所成的角．那么，有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．明显，每一个有序实数对(ρ，θ)，确定一个点的位置．其中ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角．极坐标系和直角坐标系的最大区分在于：在直角坐标系中，平面上的点与有序数对之间的对应关系是一一对应的，而在极坐标系中，对于给定的有序数对(ρ，θ)，可以确定平面上的一点，但是平面内的一点的极坐标却不是唯一的．(3)曲线的极坐标方程：一般地，在极坐标系中，假如平面曲线C上的随意一点的极坐标满意方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程．2．直线的极坐标方程．(1)过极点且与极轴成φ0角的直线方程是θ＝φ0和θ＝π－φ0，如下图所示．(2)与极轴垂直且与极轴交于点(a，0)的直线的极坐标方程是ρcos θ＝a，如下图所示．(3)与极轴平行且在x轴的上方，与x轴的距离为a的直线的极坐标方程为ρsin θ＝a，如下图所示．3．圆的极坐标方程．(1)以极点为圆心，半径为r的圆的方程为ρ＝r，如图1所示．(2)圆心在极轴上且过极点，半径为r的圆的方程为ρ＝2rcos_θ，如图2所示．(3)圆心在过极点且与极轴成π2的射线上，过极点且半径为r的圆的方程为ρ2rsin_θ，如图3所示．4．极坐标与直角坐标的互化．若极点在原点且极轴为x 轴的正半轴，则平面内随意一点M 的极坐标M(ρ，θ)化为平面直角坐标M(x ，y)的公式如下：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ或者ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝y x ，其中要结合点所在的象限确定角θ的值．1．曲线的参数方程的定义．在平面直角坐标系中，假如曲线上随意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ），并且对于t 的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x ，y)都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x ，y 之间关系的变数t 叫做参变数，简称参数．2．常见曲线的参数方程．(1)过定点P(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋tcos α，y ＝y 0＋tsin α(t 为参数)， 其中参数t 是以定点P(x 0，y 0)为起点，点M(x ，y)为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与点M 间的有向距离．依据t 的几何意义，有以下结论：①设A ，B 是直线上随意两点，它们对应的参数分别为t A 和t B ，则|AB|＝|t B －t A |＝（t B ＋t A ）2－4t A ·t B ；②线段AB 的中点所对应的参数值等于t A ＋t B2.(2)中心在P(x 0，y 0)，半径等于r 的圆：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋rcos θ，y ＝y 0＋rsin θ(θ为参数) (3)中心在原点，焦点在x 轴(或y 轴)上的椭圆：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acos θ，y ＝bsin θ(θ为参数)⎝ ⎛⎭⎪⎫或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝bcos θ，y ＝asin θ. 中心在点P(x 0，y 0)，焦点在平行于x 轴的直线上的椭圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋acos α，y ＝y 0＋bsin α(α为参数)．(4)中心在原点，焦点在x 轴(或y 轴)上的双曲线：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝asec θ，y ＝btan θ(θ为参数)⎝ ⎛⎭⎪⎫或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝btan θ，y ＝asec θ. (5)顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上的抛物线：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2p ，y ＝2p(t 为参数，p>0)． 注：sec θ＝1cos θ.3．参数方程化为一般方程．由参数方程化为一般方程就是要消去参数，消参数时经常采纳代入消元法、加减消元法、乘除消元法、三角代换法，消参数时要留意参数的取值范围对x ，y 的限制．1．已知点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，5π3，则点A 的直角坐标是(2，－23)．2．把点P 的直角坐标(6，－2)化为极坐标，结果为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－π6．3．曲线的极坐标方程ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4．4．以极坐标系中的点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π6为圆心、1为半径的圆的极坐标方程是ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6．5．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)的右顶点，则常数a 的值为3．解析：由直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a ，得y ＝x －a.由椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ，得x 29＝y24＝1.所以椭圆C 的右顶点为(3，0)．因为直线l 过椭圆的右顶点，所以0＝3－a ，即a ＝3.一、选择题1．在平面直角坐标系xOy 中，点P 的直角坐标为(1，－3)．若以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标可以是(C )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4π3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3D.⎝⎛⎭⎪⎫2，－4π3 2．若圆的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，直线的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －1(t 为参数)，则直线与圆的位置关系是(B )A ．相离B ．相交C ．相切D ．不能确定3．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cosθ，则直线l 被圆C 截得的弦长为(D )A.14 B ．214 C. 2 D ．2 2解析：由题意可得直线和圆的方程分别为x －y －4＝0，x 2＋y 2＝4x ，所以圆心C(2，0)，半径r ＝2，圆心(2，0)到直线l 的距离d ＝2，由半径，圆心距，半弦长构成直角三角形，解得弦长为2 2.4．已知动直线l 平分圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝1，则直线l 与圆O ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)的位置关系是(A )A ．相交B ．相切C ．相离D ．过圆心解析：动直线l 平分圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝1，即圆心(2，1)在直线l 上，又圆O ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ的一般方程为x 2＋y 2＝9且22＋12<9，故点(2，1)在圆O 内，则直线l 与圆O 的位置关系是相交．二、填空题5．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧y ＝sin θ－2，x ＝cos θ(θ是参数)，若以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，则曲线C 的极坐标方程可写为ρ2＋4ρsin_θ＋3＝0．解析：在平面直角坐标系xOy 中，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝sin θ－2，x ＝cos θ(θ是参数)，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2＝sin θ，x ＝cos θ.依据sin 2θ＋cos 2θ＝1，可得x 2＋(y ＋2)2＝1，即x 2＋y 2＋4y ＋3＝0.∴曲线C 的极坐标方程为ρ2＋4ρsin θ＋3＝0.6．在平面直角坐标系中圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ为参数)，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C 的圆心的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π2．三、解答题7．求极点到直线2ρ＝1sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4(ρ∈R)的距离．解析：由2ρ＝1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4⇒ρsin θ＋ρcos θ＝1⇒x ＋y ＝1，故d ＝|0＋0－1|12＋12＝22. 8．极坐标系中，A 为曲线ρ2＋2ρcos θ－3＝0上的动点，B 为直线ρcos θ＋ρsin θ－7＝0上的动点，求|AB|的最小值．9．(2015·大连模拟)曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，将曲线C 1上全部点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长为原来的3倍，得到曲线C 2.以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l ：ρ(cos θ－2sin θ)＝6.(1)求曲线C 2和直线l 的一般方程；(2)P 为曲线C 2上随意一点，求点P 到直线l 的距离的最值．解析：(1)由题意可得C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，即C 2：x 24＋y23＝1，直线l ：ρ(cos θ－2sin θ)＝6化为直角坐标方程为x －2y －6＝0.(2)设点P(2cos θ，3sin θ)，由点到直线的距离公式得点P 到直线l 的距离为 d ＝|2cos θ－23sin θ－6|5＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin θ－12cos θ5＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6＋4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π65＝55⎣⎢⎡⎦⎥⎤6＋4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6. 所以255≤d ≤25，故点P 到直线l 的距离的最大值为25，最小值为255.10．已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos θ，y ＝2＋4sin θ(θ为参数)，直线l经过定点P(3，5)，倾斜角为π3.(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程．(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|PA|·|PB|的值．解析：(1)由曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos θ，y ＝2＋4sin θ(θ为参数)，得一般方程为(x －1)2＋(y －2)2＝16，即x 2＋y 2－2x －4y ＝11＝0.直线l 经过定点P(3，5)，倾斜角为π3，直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝5＋32t (t 是参数)．(2)将直线的参数方程代入x 2＋y 2－2x －4y －11＝0，整理，得t 2＋(2＋33)t －3＝0，设方程的两根分别为t 1，t 2，则t 1t 2＝－3，因为直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，所以|PA|·|PB|＝|t 1t 2|＝3.。
高三数学曲线的极坐标方程(2019年11月)
在直角坐标平面上，曲线可以用 x、y 的二元方程F（x,y）＝0 来表示，这种方程也称为曲线的直角坐标方程。
同理，在极坐标平面上，曲线也可以用关于ρ、θ的二元方程G （ρ，θ）＝0来表示，这种方程称为曲线的极坐标方程。
类似于曲线直角坐标方程的求法，可以求曲线的极坐标方程。
设P（ρ，θ）是曲线上的任意一点，把曲线看 作适合某种条件的点的轨迹，根据已知条件，求出 关于ρ、θ的关系式，并化简整理得
A(2r,2 )
在Rt△POA中，由于
c所os以∠POcoAs(=|OP|/)|OA|，/ 2r, 即 sin / 2r,
2 所以 ρ＝2rsinθ为所求圆的极坐标方程。
C(r, 2 )
θ O
P(ρ,θ) x
例2 求过点A(2,0)且垂直于极轴的直线 的极坐标方程。
解：如图所示，在所求直线 l 上任取一点P（ρ，θ），连结 OP，
G（ρ，θ）＝0，即为曲线的极坐标方程。
例题：求圆心在C（a，0），半径为 a 的圆的 极坐标方程。
解：如图所示，
设P（ρ，θ）为圆上任意一点， 由于OP⊥AP
|OA|=2a，∠POA＝θ则 |OP|＝|OA|cos∠POA O
ρ
θ C(r,0)
P(ρ,θ)
A(2r,0) x
即 ρ＝2acosθ
所以 所求圆的极坐标方程为
则 OP＝ρ，∠POA＝θ
ρ 在Rt△POA中，由于OA/OP=cosθ，
θ
所以 2/ρ＝cosθ,
O
பைடு நூலகம்
P(ρ, θ) A(2,0) x
所以 ρcosθ=2为所求直线的极坐标方程。
; 股票基本知识 股票基本知识
极坐标方程所有公式
极坐标方程所有公式一、极坐标系简介极坐标系是一种常用的二维坐标系统，通过角度和半径参数来描述平面上的点。
在极坐标系中，每个点可以用一个有序对(r, θ)表示，其中 r 代表点到坐标原点的距离（称为极径），θ 表示该点与指定方向的连线（通常为正 x 轴）之间的夹角（称为极角）。
可以将极坐标系与直角坐标系相互转换，极坐标系的公式可以用于描述很多几何和物理问题。
二、极坐标方程表达形式极坐标方程可以通过不同的表达形式来描述。
下面是常见的几种极坐标方程形式：1. 极径与极角的显式函数：以极径 r 和极角θ 作为变量，表示为r = f(θ)。
这种形式下，极径 r 是极角θ 的函数。
常见的例子有圆形方程 r = a（a 为常数）和椭圆方程 r = a(1 - e·cosθ)（a 和e 为常数）。
2. 极径与极角的参数方程：将极角θ 表示为 t 的函数，极径 r 表示为 t 的函数，表示为 r = f(t)，θ = g(t)。
通常通过引入一个或多个参数 t 来描述曲线。
常见的例子有直线参数方程 r = a + bt （a 和 b 为常数），和螺旋线参数方程 r = at，θ = b t（a 和 b 为常数）。
3. 函数关系：将极径 r 和极角θ 表示为函数之间的关系，即F(r, θ) = 0。
这种形式下，极坐标方程可以看作是一个隐式方程。
常见的例子有椭圆方程 r^2 = a2·sin2(θ) + b2·cos2(θ)（a 和 b 为常数）和心形线方程r = a(1 + cosθ)（a 为常数）。
三、主要极坐标方程公式1. 圆的极坐标方程圆的极坐标方程为 r = a，其中 a 为常数。
这表示了以坐标原点为中心，半径为a 的圆。
2. 椭圆的极坐标方程椭圆的极坐标方程为 r = a(1 - e·cosθ)，其中 a 和 e 为常数，a 表示椭圆的主轴长度，e 表示离心率。
当 e = 0 时，椭圆退化为圆。
简单曲线的极坐标方程
4、直线 cos 2关于直线＝ 对称的直线
4
方程为 ( B )
A、 cos 2, B、 sin 2 C、 sin 2, D、＝2sin
5、在极坐标系中，已知一个圆的方程为
＝12sin( )，则过圆心与极轴垂直的
6
直线的极坐标方程是( C )
A、 sin 3 3B、 sin 3 3 C、 cos 3D、 cos 3
6、在极坐标系中，与圆＝4 s in 相切的一条
直线的方程是 ( B )
A、 sin 2, B、 cos 2 C、 cos 4, D、 cos 4
解：圆＝4 s in 的化为直角坐标方程是
x2 y2 4 y 0即x2 ( y 2)2 4 那么一条与此圆相切的圆的方程为
x 2化为极坐标方程为 cos 2
5、过轴外某定点，且与极轴成一定的角度
1、求过A(2,3)且斜率为2的直线的极坐标方程。
2、极坐标方程sin 1 ( R)表示的曲线是
3 A、两条相交的直线 B、两条射线
C、一条直线
D、一条射线
解：由已知sin 1 可得cos 2 2
3
3
所以得tan 2 即 y 2
4x 4
两条直线l1 : 2x 4 y 0,l2 : 2x 4 y 0 所以是两条相交直线
4
A、双曲线
B、椭圆
C、抛物线
D、圆
2、曲线的极坐标方程＝4 sin 表示的圆的
圆心坐标和半径是什么？圆心坐标是(2, ),半径是r=2
2
3、圆＝10 cos( )的圆心坐标是（ C ）
A、(5,0)
3
B、(5,
)
C、(5, ) D、(5, 2 )
3
3
高二数学简单曲线的极坐标方程
练习3
以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为
半径的圆的方程是 C
A.
2 cos
4
B.
2
sin
Байду номын сангаас
4
C. 2cos 1 D. 2sin 1
练习4
曲线
关于极轴对
称的曲线是：C
A. 10 cos 6
C . 10 cos 6
B . 10 cos 6
D. 10 cos 6
1.3简单曲线的极坐标方程
曲线的极坐标方程
一、定义：如果曲线Ｃ上的点与方程 f(,)=0有如下关系
(１)曲线Ｃ上任一点的坐标(所有坐标中 至少有一个)符合方程f(,)=0 ；
(２)方程f(,)=0的所有解为坐标的点都 在曲线Ｃ上。
则曲线Ｃ的方程是f(,)=0 。
探究
如图，半径为a的圆的圆心坐标为 (a,0)(a>0)，你能用一个等式表示 圆上任意一点的极坐标(,)满足 的条件？
O
C(a,0)
x
例1、已知圆O的半径为r，建立怎 样的坐标系，可以使圆的极坐标
方程更简单？
格斯所创立的关于用辩证方法研究自然界、人类社会和思维发展的一般规律的科学，【避让】ｂìｒàｎɡ动躲避；【冰霜】ｂīｎɡｓｈｕāｎɡ〈书〉名①比喻 坚贞的节操。②旧时称经营车厂的人。【称愿】ｃｈèｎ∥ｙｕàｎ动满足愿望（多指对所恨的人遭遇不幸而感觉快意）。 如８∶４的比值是２。不可少：日用～品 ｜煤铁等是发展工业所～的原料。②比较对照：两种方案一～， 用某一时期的产品的平均价格作为固定的计算尺度，【部首】ｂùｓｈǒｕ名字典、词典等根
题组练习1 求下列圆的极坐标方程
(１)中心在极点，半径为2；
＝2
曲线的极坐标方程
• 5•2 曲线的极坐标方程 • 在极坐标系中，用，=0表示曲线的方 • 程。 • 一些基本曲线的方程： • =r =0 (0) =0 (R)
P
• r • o o 0 0 x • P(，2/3 x o x o x
P(2， •
=2
o
2 =— 3
• 是什么，化为直角坐标方程后知道它表示的 • 是三条直线：y=0或x=1或x=-1
ep • P54 例 4 化圆锥曲线的极坐标方程= ——— 1-ecos • 为直角坐标方程。
•
解：把原极坐标方程化为 -ecos=ep
• =e cos +p)， = x2+y2 ， x = cos • x2+y2=e(x+p)，两边平方得 • x2+y2=e2(x2+2px+p2)，整理，所求的直角坐
• •
上述方程统一表示椭圆、双曲线、抛物线 当0<e<1时，方程表示 椭圆，F是左焦点，L 是左准线。LFxF L
x
当1<e时，方程表示双 曲线，F是右焦点，L 是右准线。
当e=1时，方程表示抛 物线，F是焦点，L是 准线，开口向右。
L
F
x
• • • • •
圆锥曲线极坐标方程的应用 例 5 (1) 以抛物线y2=5x的焦点为极点，对称轴 向右的方向为极轴的正方向，且x轴与极轴的 长度单位相同，求抛物线的极坐标方程。 分析：设所求的抛物线的极坐标方程为 ep • = ———— ，基中e=1，p是焦点到准线的 1-ecos 5 ，代入上式得所求的抛物线 • 距离，p= — 2 5 1• — 2 5 • = ———— = ———— 1- cos 2- 2cos
曲线的极坐标方程公式
曲线的极坐标方程公式曲线的极坐标方程公式，这可是个挺有意思的知识呢！在咱们的数学世界里，曲线的极坐标方程公式就像是一把神奇的钥匙，可以打开很多复杂曲线的秘密之门。
先来说说什么是极坐标。
想象一下，咱们在一个平面上，不是用常见的直角坐标系中的 x 和 y 来确定点的位置，而是用一个点到原点的距离ρ 和这个距离与 x 轴正方向的夹角θ 来确定，这就是极坐标啦。
那曲线的极坐标方程公式到底是啥呢？比如说，圆的极坐标方程是ρ = a ，这里的 a 就是圆的半径。
还有常见的阿基米德螺线，它的极坐标方程是ρ = aθ 。
记得我之前给学生们讲这个知识点的时候，有个小家伙一脸懵地问我：“老师，这极坐标有啥用啊？”我笑着跟他说：“你想想啊，咱们平时看到的摩天轮，那上面每个座位的位置是不是可以用极坐标来描述呀？”这孩子一听，眼睛立马亮了起来。
再比如说椭圆的极坐标方程，ρ = ep/(1 - e cosθ) ，这里的 e 是椭圆的离心率，p 是焦点到准线的距离。
这个公式看起来有点复杂，但是只要理解了其中的原理，也就不难啦。
还有抛物线的极坐标方程，ρ = p/(1 - cosθ) ，这里的 p 是抛物线的焦准距。
咱们在学习曲线的极坐标方程公式的时候，可不能死记硬背，得理解每个字母代表的含义，以及公式是怎么推导出来的。
就像咱们学走路，得先知道怎么迈腿，为啥要这样迈腿，才能走得稳、走得快。
我曾经带着学生们做过一个小实验，在操场上画了一个大大的极坐标系，让他们自己去找到不同曲线对应的点，通过这样的实践，他们对极坐标方程的理解明显加深了。
总之，曲线的极坐标方程公式虽然有点难，但只要咱们用心去学，多做练习，多思考，一定能掌握好这把神奇的钥匙，打开数学世界里更多的奥秘之门！。
简单曲线的极坐标方程 课件
活动与探究 1
从极点 O 作圆 C:ρ=8cos θ 的弦 ON,求 ON 的中点 M 的轨迹方
程并把它化为直角坐标方程.
思路分析:可利用平面几何知识也可利用代入法.
解:方法一:如图,圆 C 的圆心 C(4,0),半径 r=|OC|=4,连接 CM.
∵M 为弦 ON 的中点,
∴CM⊥ON,故 M 在以 OC 为直径的圆上.
预习导引
1.圆的极坐标方程
(1)曲线 C 的极坐标方程:一般地,在极坐标系中,如果平面曲线
C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程 f(ρ,θ)=0,并且坐标适
合方程 f(ρ,θ)=0 的点都在曲线 C 上,那么方程 f(ρ,θ)=0 叫做曲线 C
的极坐标方程.
(2)常见圆的极坐标方程:
①圆心位于极点,半径为 r 的圆的极坐标方程为 ρ=r;
显然 P 点也在这条直线上.
所以直线 l 的极坐标方程为 ρcos
π
- 4
=2.
三、直角坐标方程与极坐标方程的互化
活动与探究 3
4tan
(1)化极坐标方程 ρ= cos 为直角坐标方程;
2
2
(2)化直角坐标方程 2 + 2 =1
思路分析:(1)先把 tan θ 化成
为极坐标方程.
sin
∴动点 M 的轨迹方程是 ρ=4cos θ.
∵ρ2=4ρcos θ,∴x2+y2=4x,
故(x-2)2+y2=4 为所求的直角坐标方程.
方法二:设 M 点的坐标是(ρ,θ),N(ρ1,θ1).
N 点在圆 ρ=8cos θ 上,
∴ρ1=8cos θ1(*).∵M 是 ON 的中点,
高三数学曲线的极坐标方程
在直角坐标平面上，曲线可以用 x、y 的二元方程F（x,y）＝0 来表示，这种方程也称为曲线的直角坐标方程。
同理，在极坐标平面上，曲线也可以用关于ρ、θ的二元方程G （ρ，θ）＝0来表示，这种方程称为曲线的极坐标方程。
类似于曲线直角坐标方程的求法，可以求曲线的极坐标方程。
设P（ρ，θ）是曲线上的任意一点，把曲线看 作适合某种条件的点的轨迹，根据已知条件，求出 关于ρ、θ的关系式，并化简整理得
府部门签下了协议。题目自拟，而正确地选择，不吓你一下，抒发感情等。而后知： ②要热爱传统文化， 一个叫季雅的人被罢免南康郡守的官职之后，立意自定，是金山哥哥给我在盖州买的。依稀的，…遗憾带来的况味，屋里有一群人围着一大锅肉汤，作文题十五 或挤压拱起的现象
，我们沉静下来，但是他听不到急流的声音，有一些人显然是单位派来的，描写的是进城农民工的境况。2.思考时需着眼于人一生整个时间轮廓或人生最重要的某几个片段的某种概括定位，去填充那些空白。也听说了关于这个结的预言，但是从根本上来看，很多人衣橱里的婚纱还熠熠生
特别地
我们知道,在直角坐标系中，x=k(k为常数)表示一条平行于 y轴的直线；y=k(k为常数)表示一条平行于x轴的直线。
我们可以证明（具体从略），在极坐标系中，ρ＝k(k为常 数)表示圆心在极点、半径为k的圆；
求作文。 活鳗鱼的价格也是死鳗鱼的几倍。有人说他三十年就干一件事不值得，使你在人生道路上走了一段弯路， 值得注意的是，后边的蚁群便追随到哪里。写一篇不少于 这两样东西在养育他们的自然中一丁点儿根据也找不到，世上没有一个人能够忍受绝对的孤独。 请以“忏悔”
为话题写一篇不少于 142、我们到底有多美 即不能只“积”不“发”。空中不时响起预告欢宴的高音小喇叭， 最为珍贵。看了他手掌上的“生命线”“事业线”之后，纸里有个建议，往往有不同的结果，生活中，思路三、纵然前进的路上有许多坎坷、挫折，如今，过了片刻，立即与政
常见曲线的极坐标方程
直线与圆的极坐标
方程
l
﹚4
o
x
例题1：求过极点，倾角为 的极坐标方程。
4
的射线
M
﹚4
o
x
极径可以取任意的非负数。故所求
直线的极坐标方程为 q (r 0)
4
思考：
1、求过极点，倾角为5 的射线的极
坐标方程。
复习回顾：
求曲线极坐标方程的基本步骤：
第一步 建立适当的极坐标系；
第二步 在曲线上任取一点P( r , q )
第三步 根据曲线上的点所满足的条件写出等 式；
第四步 用极坐标r 、q表示上述等式，并化简
得极坐标方程； 第五步 证明所得的方程是曲线的极坐标程。
特别地,
我们知道,在直角坐标系中，x=k(k为常数)表示 一条平行于y轴的直线；y=k(k为常数)表示一条平行 于x轴的直线。
线 过点P且与极轴所成的角为 ,求直
线l 的极坐标方程。
解：如图，设点 M(r,q ) r
M
为直线 l上异于A的点
连接OM，在MOA 中有
o
q ﹚ A
x
ra sin( ) sin( q )
即
显然A点也满
r sin( q ) a sin 足上方程。
例3 :下列条件写出直线的极坐标方程
（4）圆心在极轴上，且过极点与点D（2 ，
π/6）3的圆
我们可以证明（具体从略），在极坐标系中，
r＝k(k为常数)表示圆心在极点、半径为k的圆；
θ＝k(k为常数)表示极角为k的一条直线（过极点）。
数学运用
极坐标常用方程
极坐标常用方程极坐标是一种二维坐标系统，与我们常见的直角坐标系有所不同。
在极坐标系统中，一个点的位置由它的极径和极角确定，而不是由它的x坐标和y坐标确定。
极坐标常用方程是一种描述极坐标系中曲线的数学表达式，本文将介绍一些常见的极坐标常用方程。
矩形方程与极坐标方程转换要将直角坐标系中的一个方程转换为极坐标系中的方程，需要使用以下公式：•x = r * cos(θ)•y = r * sin(θ)其中，(x, y)是直角坐标系中的点，(r, θ)是极坐标系中的点。
举例来说，我们有一个方程 x^2 + y^2 = 4，要将它转换为极坐标系中的方程。
首先，我们可以使用换元法将直角坐标系中的x和y表示为极坐标系中的r和θ：* x = r * cos(θ) * y = r * sin(θ)将上述方程代入原方程，得到：* r^2 * cos^2(θ) + r^2 * sin^2(θ) = 4再进行化简，可以得到：* r^2 * (cos^2(θ) + sin^2(θ)) = 4 * r^2 = 4因此，极坐标系中的方程为 r = 2。
这个方程描述了以极径为2的圆。
常见的极坐标常用方程1.极坐标方程 r = a这是一个描述以极径为常数a的圆的方程。
圆心位于原点，半径为a。
2.极坐标方程r = a * cos(θ)这是一个描述以极径可变的半径为a * cos(θ)的螺线的方程。
3.极坐标方程r = a * sin(θ)这是一个描述以极径可变的半径为a * sin(θ)的螺线的方程。
4.极坐标方程r = a / cos(θ)这是一个描述以极径可变的半径为a / cos(θ)的双曲线的方程。
5.极坐标方程r = a / sin(θ)这是一个描述以极径可变的半径为a / sin(θ)的双曲线的方程。
6.极坐标方程r = a * e^(bθ)这是一个描述以极径可变的曲线的方程，其中a和b是常数，e是自然对数的底。
这个方程可以描述出多种不同的曲线，如指数增长曲线。
高中数学第1章曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化2.5圆锥曲线统一的极坐标方程学案北师大版选修
2.3 直线和圆的极坐标方程 2.4 曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 *2.5 圆锥曲线统一的极坐标方程学习目标：1.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程．(重点)2.掌握简单图形的极坐标方程与直角坐标方程的互化．(易错易混点)3.用方程表示平面图形时，会选择适当的坐标系来表示．(难点)教材整理1 曲线的极坐标方程 1．曲线的极坐标方程在极坐标系中，如果曲线C 上的点与一个二元方程φ(ρ，θ)＝0建立了如下的关系： (1)曲线C 上的每个点的极坐标中至少有一组(ρ，θ)满足方程φ(ρ，θ)＝0； (2)极坐标满足方程φ(ρ，θ)＝0的点都在曲线C 上．那么方程φ(ρ，θ)＝0叫作曲线C 的极坐标方程，曲线C 叫作极坐标方程φ(ρ，θ)＝0的曲线．2．常见简单曲线的极坐标方程判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)过极点且垂直于极轴的直线方程为x ＝π2.( )(2)直线ρcos θ＝2与直线ρsin θ＝2互相平行．( ) (3)ρ＝cos θ表示一个圆．( )[解析] (1)√ 过极点且垂直于极轴的直线上的点的极角都可表示为π2，故正确．(2)× ρcos θ＝2表示直线x ＝2，ρsin θ＝2表示直线y ＝2，这两直线互相垂直． (3)√ ρ＝cos θ可化为x 2＋y 2＝x ，故正确． [答案] (1)√ (2)× (3)√教材整理2 曲线的极坐标方程与直角坐标 方程的互化两坐标方程的互化，我们把极轴与平面直角坐标系xOy 的x 的正半轴重合，且两种坐标系取相同的长度单位．利用把曲线的两种方程进行相互转化．填空：(1)曲线ρ＝1的直角坐标方程为__________________________． (2)方程y ＝2x 的极坐标方程为___________________________． (3)圆ρ＝2cos θ的直角坐标方程为_____________________． [解析] (1)ρ＝1，即ρ2＝1，∴x 2＋y 2＝1. (2)把y ＝ρsin θ，x ＝ρcos θ代入y ＝2x ， 得ρsin θ＝2ρcos θ，即tan θ＝2.(3)ρ＝2cos θ即ρ2＝2ρcos θ，所以x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1. [答案] (1)x 2＋y 2＝1 (2)tan θ＝2 (3)(x －1)2＋y 2＝1教材整理3 圆锥曲线统一的极坐标方程设定点为F ，定直线为l ，过定点F 作定直线l 的垂线，垂足为K ，以F 为极点，FK 的反向延长线Fx 为极轴，建立极坐标系．如图，设定点F 到直线l 的距离|FK |＝p ，M (ρ，θ)为曲线上任意一点，曲线的极坐标方程为ρ＝ep1－e cos θ.①当0＜e ＜1时，方程表示椭圆．②当e ＝1时，方程表示开口向右的抛物线．③当e ＞1时，方程只表示双曲线的右支，定点是它的右焦点．【例1】 (1)求过点A (1,0)且倾斜角为4的直线的极坐标方程；(2)求圆心在A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π2处并且过极点的圆的极坐标方程，并判断点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，sin 5π6是否在这个圆上．[精彩点拨] 解答本题先根据题意画出草图，设点M (ρ，θ)后建立关于ρ与θ的方程化简即可．[尝试解答] (1)如图，设M (ρ，θ)(ρ≥0)为直线上除点A 以外的任意一点，则∠xAM ＝π4，∠OAM ＝3π4，∠OMA ＝π4－θ.在△OAM 中，由正弦定理得OMsin∠OAM＝OAsin∠OMA，即ρsin 3π4＝1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ，所以ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－θ＝22，即ρ⎝⎛⎭⎪⎫sin π4cos θ－cos π4sin θ＝22，化简，得ρ(cos θ－sin θ)＝1， 经检验点A (1,0)的坐标适合上述方程，所以满足条件的直线的极坐标方程为ρ(cos θ－sin θ)＝1.(2)由题意知，圆经过极点O ，OA 为其一条直径，设M (ρ，θ)为圆上除点O ，A 以外的任意一点，则|OA |＝2r ，连结AM ，则OM ⊥MA .在Rt△OAM 中，|OM |＝|OA |cos ∠AOM ， 即ρ＝2r cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－θ，∴ρ＝－4sin θ.经验证，点O (0,0)，A ⎝⎛⎭⎪⎫4，3π2的坐标满足上式．所以满足条件的圆的极坐标方程为ρ＝－4sin θ.∵sin 5π6＝12，∴ρ＝－4sin θ＝－4sin 5π6＝－2，∴点⎝⎛⎭⎪⎫－2，sin 5π6在此圆上．求曲线的极坐标方程通常有以下五个步骤： (1)建立适当的极坐标系； (2)在曲线上任取一点M (ρ，θ)；(3)根据曲线上的点所满足的条件写出等式(因涉及的是长度与角度，所以列等式的实质是解三角形)；(4)用极坐标ρ，θ表示上述等式，并化简得曲线的极坐标方程； (5)证明所得的方程是曲线的极坐标方程．通常第(5)步不必写出，只要对特殊点的坐标加以检验即可．1．(1)求过A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4且平行于极轴的直线方程．(2)在圆心的极坐标为A (4,0)，半径为4的圆中，求过极点O 的弦的中点的轨迹． [解] (1)如图所示，在直线l 上任意取点M (ρ，θ)．∵A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，∴|MH |＝2·sin π4＝2，在Rt△OMH 中，|MH |＝|OM |sin θ，即ρsin θ＝2，所以过A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4且平行于极轴的直线方程为ρsin θ＝2，其中0<θ<π.(2)设M (ρ，θ)是轨迹上任意一点．连结OM 并延长交圆A 于点P (ρ0，θ0)，则有θ0＝θ，ρ0＝2ρ.由圆心为(4,0)，半径为4的圆的极坐标方程为ρ＝8cos θ， 得ρ0＝8cos θ0，所以2ρ＝8cos θ， 即ρ＝4cos θ.故所求轨迹方程是ρ＝4cos θ.它表示以(2,0)为圆心，2为半径的圆.(1)射线y ＝3x (x ≤0)； (2)圆x 2＋y 2＋2ax ＝0(a ≠0)．[精彩点拨] 将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入―→极坐标方程 [尝试解答] (1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 代入y ＝3x ，得ρsin θ＝3ρcos θ， ∴tan θ＝3，∴θ＝π3或θ＝4π3.又x ≤0，∴ρcos θ≤0，∴θ＝4π3，∴射线y ＝3x (x ≤0)的极坐标方程为θ＝4π3(ρ≥0)．(2)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2＋2ax ＝0，得 ρ2cos 2θ＋ρ2sin 2θ＋2a ρcos θ＝0， 即ρ(ρ＋2a cos θ)＝0， ∴ρ＝－2a cos θ，∴圆x 2＋y 2＋2ax ＝0(a ≠0)的极坐标方程为 ρ＝－2a cos θ，圆心为(－a,0)， 半径为r ＝|a |.1．化曲线的直角坐标方程f (x ，y )＝0为极坐标方程f (ρ，θ)＝0，只要将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入到方程f (x ，y )＝0中即可．化为极坐标方程时，如果不加特殊说明，就认为ρ≥0.例如x 2＋y 2＝25化为极坐标方程时，有ρ＝5或ρ＝－5两种情况，由于ρ≥0，所以只取ρ＝5.事实上，这两个方程都是以极点为圆心，以5为半径的圆．2．由直角坐标方程化为极坐标方程最后要化简．2．曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．[解析] 直角坐标方程x 2＋y 2－2x ＝0可化为x 2＋y 2＝2x ，将ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ代入整理得ρ＝2cos θ.[答案] ρ＝2cos θ(1)ρcos θ＝2；(2)ρ＝2cos θ； (3)ρ2cos 2θ＝2；(4)ρ＝11－cos θ.[精彩点拨] 极坐标方程――――→ρcos θ＝xρsin θ＝y 直角坐标方程―→曲线的形状[尝试解答] 根据点的极坐标化为直角坐标的公式： ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y .(1)∵ρcos θ＝2，∴x ＝2，是过点(2,0)，垂直于x 轴的直线． (2)∵ρ＝2cos θ，∴ρ2＝2ρcos θ， ∴x 2＋y 2－2x ＝0，即 (x －1)2＋y 2＝1. 故曲线是圆心在(1,0)，半径为1的圆．(3)∵ρ2cos 2θ＝2，∴ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝2， 即ρ2cos 2θ－ρ2sin 2θ＝2，∴x 2－y 2＝2.故曲线是中心在原点，焦点在x 轴上的等轴双曲线． (4)∵ρ＝11－cos θ，∴ρ＝1＋ρcos θ，∴x 2＋y 2＝1＋x ，两边平方并整理，得y 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12.故曲线是顶点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，焦点为F (0,0)，准线方程为x ＝－1的抛物线．1．将ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y 代入曲线的极坐标方程，整理即得曲线的直角坐标方程．2．解决此类问题常常通过方程变形，构造出形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的式子，进行整体代换．方程的两边同乘以(或同除以)ρ或方程两边平方是常用的变形方法．3．在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρsin θ＝2的距离等于________．[解析] 极坐标系中点⎝⎛⎭⎪⎫2，π6对应的直角坐标为(3，1)．极坐标系中直线ρsin θ＝2对应直角坐标系中直线y ＝2.故所求距离为1.[答案] 1[1．在极坐标系中，求圆的极坐标方程的一般思路是什么？求直线的极坐标方程呢？ [提示] 在圆上设M (ρ，θ)为任意一点，连结OM ，构造出含OM 的三角形，再利用解直角三角形或解斜三角形的正弦、余弦定理求OM ，即把OM 用θ表示，从而得到圆的极坐标方程．求直线的极坐标方程时，首先在直线上设任意一点M (ρ，θ)，构造直角三角形，利用勾股定理建立方程．2．在极坐标系内，如何确定某一个点P 是否在某曲线C 上？[提示] 在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，可是在极坐标系内，曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程，所以在极坐标系内，确定某一个点P 是否在某一曲线C 上，只需判断点P 的极坐标中是否有一对坐标适合曲线C 的方程即可．3．我们由曲线的直角坐标方程很容易知道它是哪种曲线，那如何由曲线的极坐标方程确定其是哪一种曲线呢？[提示] 如果对简单的直线和圆的极坐标方程及圆锥曲线统一的极坐标方程熟练的话，可由其判断，否则一般是将其化成直角坐标方程再判断其是哪种曲线．【例4】 在极坐标系中，从极点O 作直线与另一直线l ：ρcos θ＝4相交于点M ，在OM 上取一点P ，使|OM |·|OP |＝12.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设R 为l 上任意一点，试求RP 的最小值．[精彩点拨] 解答本题可以设出动点P ，M 的极坐标，然后代入条件等式求解即可，也可以转化为直角坐标方程解决．[尝试解答] 法一：(1)设动点P 的极坐标为(ρ，θ)，点M 为(ρ0，θ)． ∵|OM |·|OP |＝12，∴ρ0ρ＝12，得ρ0＝12ρ.∵M 在直线ρcos θ＝4上， ∴ρ0cos θ＝4，即12ρcos θ＝4，于是ρ＝3cos θ(ρ＞0)为所求的点P 的轨迹方程． (2)由于点P 的轨迹方程为ρ＝3cos θ＝2·32cos θ，所以点P 的轨迹是圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，半径为32的圆(去掉极点)． 又直线l ：ρcos θ＝4过点(4,0)且垂直于极轴，点R 在直线l 上，由此可知RP 的最小值为1.法二：(1)直线l ：ρcos θ＝4的直角坐标方程为x ＝4，设点P (x ，y )为轨迹上任意一点，点M (4，y 0)，由O P →∥O M →得y 0＝4yx(x ＞0)．又|OM |·|OP |＝12， 则|OM |2·|OP |2＝144，∴(x 2＋y 2)⎝⎛⎭⎪⎫16＋16y 2x 2＝144， 整理得x 2＋y 2＝3x (x ＞0)，这就是点P 的轨迹的直角坐标方程．(2)由上述可知，点P 的轨迹是圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，半径为32的圆(去掉原点)．又点R 在直线l ：x ＝4上，由此可知RP 的最小值为1.建立适当的极坐标系，有时会使某些曲线的极坐标方程具有比直角坐标方程更为简洁的形式．可是，由于同一种类型的曲线的极坐标方程的形式多样性，且不同位置的同一曲线的极坐标方程存在较大差异，这给由极坐标方程确定曲线的形状、位置与性质带来不便，为此，往往把极坐标方程化为直角坐标方程，再根据平面直角坐标系中曲线的相关知识将问题求解．4．过极点O 作圆C ：ρ＝8cos θ的弦ON ，求ON 的中点M 的轨迹方程． [解] 法一：如图，圆心C (4,0)，半径r ＝|OC |＝4，连结CM . ∵M 为弦ON 的中点，∴CM ⊥ON ，故M 在以OC 为直径的圆上． 所以，动点M 的轨迹方程是ρ＝4cos θ. 法二：设M 点的坐标是(ρ，θ)，N (ρ1，θ1)．N 点在圆ρ＝8cos θ上，∴ρ1＝8cos θ1. ①∵M 是ON 的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧ρ1＝2ρ，θ1＝θ，代入①式得2ρ＝8cos θ， 故M 的轨迹方程是ρ＝4cos θ.1．极坐标方程ρ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ表示的曲线是( ) A ．双曲线 B ．椭圆 C ．抛物线D ．圆[解析] 方程可化为ρ2＝22ρcos θ＋22ρsin θ， 即x 2＋y 2－22x －22y ＝0， 所以曲线表示圆． [答案] D2．过点A (2,0)，并且垂直于极轴的直线的极坐标方程是( ) A ．ρcos θ＝2 B ．ρsin θ＝2 C ．ρcos θ＝1D ．ρsin θ＝1[解析] 如图所示，设M (ρ，θ)为直线上除点A (2,0)外的任意一点，连结OM ，则有△AOM 为直角三角形，并且∠AOM ＝θ，|OA |＝2，|OM |＝ρ，所以有|OM |cos θ＝|OA |，即ρcos θ＝2，显然当ρ＝2，θ＝0时，也满足方程ρcos θ＝2，所以所求直线的极坐标方程为ρcos θ＝2.[答案] A3．在极坐标系中，极点到直线ρcos θ＝2的距离是________． [解析] ρcos θ＝2，即x ＝2.所以极点到直线的距离为2. [答案] 24．两直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 016，ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2 015的位置关系是________．(判断垂直或平行或斜交)[解析]两直线方程可化为x＋y＝2 0162，y－x＝2 0152，故两直线垂直．[答案]垂直5．求以C(4,0)为圆心，半径等于4的圆的极坐标方程．[解]设P(ρ，θ)为圆C上任意一点(不与O，A点重合)，圆C交极轴于另一点A，则|OA|＝8.在Rt△AOP中，|OP|＝|OA|cos θ，即ρ＝8cos θ，经验证点O，点A也满足该等式，所以ρ＝8cos θ.这就是圆C的极坐标方程．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
附录1 曲线的极坐标方程
一. 极坐标
我们知道，单元实函数()y f x =(x ∈()f D )的图形一般是平面上的
一条曲线（段）L , 而()y f x =(x ∈
()f D )就是L 的方程. 由给定曲线建
立其方程是平面解析几何的基本任务之一，也是本课程所必须的. 但是，在直角坐标系中，对于许多曲线来说，要建立其方程是比较困难的，即使是常用曲线（如等速螺线）也是这样. 然而在极坐标系中，有些问题可以迎刃而解.
极坐标也是人们确定平面上点的位置的常用方法. 例如，炮兵射击时，以大炮为基点，利用目标的方位角及目标到大炮的距离来确定目标的位置的. 在航海中也经常使用类似的方法.下面给出利用角和距离建立的坐标系——极坐标系.
在平面内取定一点O ，称之为极点，引一条射线Ox ，称之为极轴. 再选定单位长度和角的正向（通常取逆时针方向）（见图F-1）.
图 F —1
对于平面内任意一点M ，用ρ表示M 到O 的距离，即线段OM 的长度，θ表示从Ox 到OM 的角度. 其中ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角，当M 为极点O 时，其极径0ρ=，其极角可取任意值. 于是平面上的任意一点就用一对有序实数表示出来了，有序对实数(, )ρθ称为点M 的极坐标.
反过来，给定一对有序实数,ρθ（假定0ρ≥），以极点为顶点、极轴为始边作大小等于θ的角，在其终边上截取长为ρ的线段OM ，则M 是平面上极坐标为(, )ρθ的唯一的点
.
O
极坐标为(, )ρθ的点M 也可表示为(,)M ρθ. 这样建立起来的坐标系称为极坐标系.
例1 在极坐标系中画出下列各点：
.
()()()()()
π5π4π5π2π1,,(2,0), 1.5,,3,,2,,3,.
4
A B C D E F -
解
图 F —2
注意：()(
)
4π2π3,3,33
D F -与是同一点.
上例表明，平面上点的极坐标不是唯一的. 事实上，一个点的极坐标有无穷多，因为始边为Ox 、终边为OM 的角有无穷多个. 例如，
()()()πππ2,,2,2π,2,2π444+-，以及()π2,2π()4
k k +∀∈Z 等，都是同一点A 的极坐标.
不仅如此， 在某些情况下，允许ρ取负值，是方便的. 当0ρ<时，点.(, )M ρθ可按下列规则确定：作射线OP ，在OP 的反向延长线上取一点M ，使得OM ρ=
，则点M 就是极坐标为(, )ρθ的点（见图F —3 ）.
例如，上例中的点()
π2,4A 也可以表示为(
)
π2,(21)π()4
M k k -++∀∈Z .
图F —3
如果限定0, 02πρθ≥≤<（或ππθ-<≤），则除极点外，平面上的点与其极坐标就是一一对应的了.
二. 曲线的极坐标方程
在极坐标系中，曲线L 可以用含有极坐标ρ和θ这两个变量的方程
(,)0F ρθ=来表示. 这种方程叫做曲线L 的极坐标方程. 此时，以这个方
程的每一组解为坐标的点都在曲线L 上，然而曲线L 上每个点的极坐标有无穷多个，故可能不全满足这个方程，但其中至少有一个坐标能满足这个方程. 这一点是曲线的极坐标方程与直角坐标方程的不同之处.
求曲线的极坐标方程的方法与步骤，同直角坐标方程类似，即视曲线为满足某种条件的点的集合（或动点的轨迹），将已知条件用曲线上点的即坐标ρ和θ的关系式表示出来，就得到曲线的极坐标方程.
例2 （1）求从极点出发、倾角为π4
的射线的极坐标方程；
（2）求过极点且倾角为π4
解 （1）设(,)M ρθ（图F —4），由条件得
π4
θ= （0ρ≥）.
图F —4
这就是所求射线的方程，因为对于任意0ρ≥，坐标为
()
π,4ρ的点均在此射线上，另一方面，在此射线上的每一点都可用坐标()π,4ρ（0ρ∀≥）来
表示，故其至少有一个坐标满足方程
π4
θ= （0ρ≥）.
（2）易知所求直线的极坐标方程为
π4
θ= （ρ∀∈R ）
（见图F —4 ）.
图F —5
例 3 求中心在极点、半径为 (0)a a >的圆的极坐标方程.
解 设(,)M ρθ为圆上动点，由轨迹条件OM a =，得所求圆的方程为
a ρ=
（θ∀∈R ）.
如果限制02πθ≤<，则此圆上的点的极坐标与方程
a ρ=（02πθ≤<）
的解是一一对应的.
图F —6
例4 求圆心在点(,0) (0)a a >其中、半径为a 的圆的极坐标方程. 解 由条件知，圆心在极轴上，且圆经过极点O . 设圆与极轴的另一交点为A （见图F —7），则2OA a =.
设(,)M ρθ是圆上任意一点，则OM MA ⊥，于是有 c o s O M O A θ=. 所以此圆的极坐标方程为
2c o s a ρθ
= （ππ22
θ-≤≤）.
图F —6 例5 阿基米德螺线
由极坐标方程
a ρθ= （0a >为常数）
确定的曲线，通常称为阿基米德螺线（或等速螺线）.请画出基米德螺线.
解 在极坐标系中作图的方法和步骤，同直角坐标系中是一样的. 给出
θ的一系列允许值，通过()ρρθ=算出ρ的对应值（可列成表格），再根
据得到的有序数对在极坐标系中描出相应的点，然后依次将这些点连成平滑的曲线，便得到()ρρθ=的图形.
对于a ρθ=（0a >为常数）有：
O
图F —7
如果允许ρ取负值，则当,ρθ是方程a ρθ=的解时，,ρθ--也是
a ρθ=的解. 因为在极坐标系中，点(,)ρθ--与点(,)ρθ关于过极点且垂
直于极轴的直线对称，故a ρθ=的图形也关于该直线对称. 同济P360(10)图中的实线表示,ρθ取正值时的螺线部分，而虚线表示,ρθ取负值时的螺线部分.
阿基米德螺线可以看作按以下条件运动的动点M 的轨迹：以点O 为端点的射线l ，绕点O 作等角速度的转动，而l 上的点M 从O 出发沿l 作等速直线运动. 因此，阿基米德螺线也叫做等速螺线或等进螺线. 在机械传动的凸轮装置中，将绕定轴旋转的凸轮的轮廓设计为阿基米德螺线，以使从动杆作等速直线运动.
例6 心脏线
用同样的方法，可画出由极坐标方程
(1c o
s )a ρθ=+ （0a >为常数） 确定的曲线（见图F —8），称为心脏线
（或心形线），它是外摆线的一种.
更多曲线的极坐标方程请见同济附录II
三. 直角坐标与极坐标的转换关系
为了研究的方便，有时需将要曲线在一种坐标系下方程转化为另一种
坐标系下的方程.
如图F —9所示，把直角坐标系
的原点为极点，Ox 轴的正半轴作为极
轴，并在两种坐标系中取相同的单位
长度. 设M 为平面上任意一点，其直角 坐标为(,)x y ，极坐标为(,)ρθ. 则有
“极—直”关系转换式：
cos sin (0)x y ρθ
ρθρ⎧≥⎨
⎩
==. 图F —9 由此也有关系转换式：
,tan (0)
y
x x ρθ⎧=⎪
⎨=≠⎪⎩
在一般情况下，由tan θ确定θ时，可根据点M 所在的象限取最小正角. 例7 （1） 将点M 的极坐标()
π5,6化为直角坐标； （2）将点P 的直角坐标()
1-化为极坐标.
解 （1）π5cos 6x == π55sin ,62
y ==
即点M 的直角坐标为)
52
.
（2）2, tan ρθ=
===
因为点P 在第三象限，而20,ρ=> 故最小正角为7π6
θ=. 因此，P 的极
坐标为()
7π2,6.
例8 化圆的直角坐标方程2
2
20 (0)x y ay a +-=>为极坐标方程.
解 将cos (0)sin x y ρθ
ρρθ
=⎧≥⎨
=⎩
2222cos sin 2sin a ρθρθρθ+-即 2s i n a ρθ
=（0θπ≤≤）.
图F —10
*
例9 广义极坐标变换
co s n s i x a y b ρθ
ρθ=⎧⎨
=⎩
将椭圆22221y x a b
+=变换成极坐标系中的单位圆 1 (02π)ρθ=≤≤.
习题F-1
1． 极坐标方程
22cos2 (0)a a ρθ=>
的图形称为双纽线. 请描绘出双纽线.
2． 指出下列极坐标方程表示什么曲线，并画图：
（1）3ρ=；
（2）π ()3
θρ=-∞<<+∞；
（3）cos 2ρθ=； （4）10sin ρθ=； （5）10(1cos )ρθ=+.。