高考新坐标高考数学总复习 第二章 第14节 定积分与微积分基本定理课件
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【优化方案】高考数学 第二章 第14课时 定积分与微积分基本定理复习课件 新人教A版
a
1. dx＝( D ) 2 x A．－ 2ln 2 C．－ ln 2 B．2 ln 2 D． ln 2
41
2．下列值等于 1 的积分是( C ) A. 1xdx
0 1 0
B. 1 (x＋ 1)dx
0
C. 1dx
D. dx 2
0
11
3． (2014· 山东泰安调研 )由曲线 f(x)＝ x与 y 轴及直线 y＝ 8 m(m＞ 0)围成的图形的面积为 ，则 m 的值为 ( A ) 3 A． 2 C． 1 B．3 D． 8
2
(3) e dx＝ 2e |0＝ 2e－ 2.
0
x 2 2
x 22
定积分的几何意义
若定积分 A．－ 1 C． 1
－ 2
m
π －x －2xdx＝ ，则 m 等于( A ) 4
2
B．0 D． 2
[课堂笔记]
【解析】 根据定积分的几何意义知， 定积分
－ 2
m
－ x2－2xdx
的值， 就是函数 y＝ － x2－2x的图象与 x 轴及直线 x＝－ 2， x＝m 所围成图形的面积， y＝ － x2－2x是一个半径为 1 的 π m 半圆， 其面积等于 ， 而 2 － π － x －2xdx＝ ， 即在区间[－2， 4
2 ． (2014· 东北三校联合模拟考试 )已知 Ω＝ {(x， y)||x|≤1 ， |y|≤1}，A 是曲线 y＝ x2 与 y＝x 围成的区域，若向区域 Ω 上
1 随机投一点 P，则点 P 落入区域 A 的概率为________ ． 12
1 2
【解析】曲线 y＝ x2 与 y＝ x 围成的区域面积为 2 2 1 3 1 1 1 2 (x － x )dx＝ ( x － x )|0＝ . 3 3 3
【三维设计】高考数学一轮复习 第14节 定积分与微积分基本定理课件 理
5．如果∫10f(x)dx＝1，∫20f(x)dx＝－1，则∫21f(x)dx＝________.
解析：∵∫02f(x)dx＝∫10f(x)dx＋∫21f(x)dx， ∴∫21f(x)dx＝∫20f(x)dx－∫01f(x)dx＝－1－1＝－2.
答案： －2
利用微积分基本定理(即牛顿—莱布尼兹公式)求定积 分，关键是找到满足F′(x)＝f(x)的函数F(x)，即找被积函数 f(x)的原函数F(x)，利用求导运算与求原函数运算互为逆运 算的关系，运用基本初等函数求导公式和导数四则运算法 则从反方向上求出F(x)．
答案：342
[冲关锦囊] 利用定积分解决变速直线运动问题和变力做功问题时， 关键是求出物体做变速直线运动的速度函数和变力与位移 之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式，再 利用微积分基本定理计算即得所求．
易错矫正 因定积分计算问题致误
[考题范例]
(2011·湖南高考)由直线x＝－π3，x＝π3，y＝0与曲线y＝cos x所围
b
a
f(x)dx＝F(x)|ab＝F(b)－F(a)．
三、定积分的应用 1．平面图形的面积：
一般地，设由曲线y＝f(x)，y＝g(x)以及直线x＝a，x＝b 所围成的平面图形的面积为S，则 S＝ ∫baf(x)dx－∫bag(x)dx (f(x)>g(x))． 2．简单几何体的体积 若几何体由曲线y＝f(x)与x轴所围成的区域绕x轴旋转一 周得到，则其体积为V＝∫baπ[f(x)]2dx.
第
十
第
四
二
节
章
定
函
积
数、 导 数 及
分 与 微 积 分
其
基
应
本
用
高考数学一轮复习 2-14定积分与微积分基本定理课件 理 新人教A版
T 拓思维· 培能力
拓展提伸 提高能力
易混易错系列 定积分几何意义不明致误 【典例】 的面积为( 32 A. 9 C．4＋ln3 ) B．2－ln3 D．4－ln3 由曲线xy＝1，直线y＝x，y＝3所围成的平面图形
【思维启迪】
利用定积分求曲边形的面积时，易弄错积分
上、下限，或不能结合图形选择合适的积分变量．
第二章 函数、导数及其应用
第十四节 ►►定积分与微积分基本定理(理)
读教材· 抓基础
研考点· 知规律
拓思维· 培能力
高考这样考 1.考查定积分的概念，定积分的几何意义，微积分基本定理． 2.利用定积分求曲边形面积、变力做功、变速运动的质点的运 动路程.
备考这样做 1.理解定积分的概念和几何意义． 2.会用微积分基本定理求定积分，解决一些几何、物理问题.
变式思考 2 的面积．
1 求曲线y＝ x ，y＝2－x，y＝－ x所围成图形 3
解
y＝ x， 由 y＝2－x，
得交点A(1,1)；
y＝2－x， 由 得交点B(3，－1)． 1 y＝－3x，
故所求面积S＝
题型三 【例3】
定积分在物理中的应用
物体A以v＝3t2＋1(m/s)的速度在一直线l上运动，
疑 点 清 源 1．定积分计算中应注意 (1)被积函数若含有绝对值号，应去绝对值号，再分段积分； (2)若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积 变量； (3)定积分式子中隐含的条件是积分上限不小于积分下限．
2．利用定积分求曲边梯形的面积时，一是要合理准确的将图 形划分，二是注意面积非负而定积分的结果可以为负．
画出图形，确定被积函数及积分的上、下限，用定积分表示所求 图形的面积，然后根据微积分基本定理求出定积分的值即可．
(人教A版)高考数学复习：2.15《定积分与微积分基本定理》ppt课件
栏目 导引
第二章 基本初等函数、导数及其应用
2．能正确应用求定积分的两种基本方法求简单的定积分 (1)利用微积分基本定理求定积分，其步骤如下： ①求被积函数 f(x)的一个原函数 F(x)； ②计算 F(b)－F(a)． (2)利用定积分的几何意义求定积分： 当曲边梯形面积易求时，可通过求曲边梯形的面积求定积 分．
第二章 基本初等函数、导数及其应用
[规律方法] 用定积分求平面图形面积的四个步骤： (1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象； (2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的 上、下限； (3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和； (4)计算定积分，写出答案．
栏目 导引
第二章 基本初等函数、导数及其应用
1.计算下列定积分：
(1)－ 3 1(3x2－2x＋1)dx； (2)12x－1xdx；
x
(3)02e2dx.
栏目 导引
第二章 基本初等函数、导数及其应用
解：(1)－ 3 1(3x2－2x＋1)dx
3
＝(x3－x2＋x)－
＝24.
1
(2)12x－1xdx＝12x2－ln x|21＝32－ln 2.
b
为了方便，常把 F(b)－F(a)记作___F__(x_)__a__，即bf(x)dx
a
b
＝F(x)a＝F(b)－F(a)．
栏目 导引
第二章 基本初等函数、导数及其应用
[做一做]
1．(2014·高考陕西卷)定积分∫10(2x＋ex)dx 的值为( C )
A．e＋2
B．e＋1
C．e
D．e－1
解析： ∫10(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)|10＝e，故选 C.
第二章 基本初等函数、导数及其应用
2．能正确应用求定积分的两种基本方法求简单的定积分 (1)利用微积分基本定理求定积分，其步骤如下： ①求被积函数 f(x)的一个原函数 F(x)； ②计算 F(b)－F(a)． (2)利用定积分的几何意义求定积分： 当曲边梯形面积易求时，可通过求曲边梯形的面积求定积 分．
第二章 基本初等函数、导数及其应用
[规律方法] 用定积分求平面图形面积的四个步骤： (1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象； (2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的 上、下限； (3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和； (4)计算定积分，写出答案．
栏目 导引
第二章 基本初等函数、导数及其应用
1.计算下列定积分：
(1)－ 3 1(3x2－2x＋1)dx； (2)12x－1xdx；
x
(3)02e2dx.
栏目 导引
第二章 基本初等函数、导数及其应用
解：(1)－ 3 1(3x2－2x＋1)dx
3
＝(x3－x2＋x)－
＝24.
1
(2)12x－1xdx＝12x2－ln x|21＝32－ln 2.
b
为了方便，常把 F(b)－F(a)记作___F__(x_)__a__，即bf(x)dx
a
b
＝F(x)a＝F(b)－F(a)．
栏目 导引
第二章 基本初等函数、导数及其应用
[做一做]
1．(2014·高考陕西卷)定积分∫10(2x＋ex)dx 的值为( C )
A．e＋2
B．e＋1
C．e
D．e－1
解析： ∫10(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)|10＝e，故选 C.
高考数学一轮复习 214定积分与微积分基本定理课件 理
听 课 记 录 如图，抛物线的焦点坐标为(0,1)，所以直线l的
方程为y＝1.
由
x2＝4y， y＝1，
解得
x＝－2， y＝1
或
x＝2， y＝1，
即A(－2,1)，
B(2,1)．
【答案】 C
【规律方法】 利用定积分求解曲边图形的面积，关键要把 握住两点：一是准确确定被积函数，一般的原则是“上”－ “下”，即根据曲边图形的结构特征，用上方曲线对应的函数解 析式减去下方曲线对应的函数解析式；二是准确确定定积分的 上、下限，本例中应为曲边图形左、右两端对应点的横坐标， 上、下限的顺序不能颠倒．
，这个结论叫做微积分基本定
a
理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．
其中F(x)叫做f(x)的一个原函数． 为了方便，常把F(b)－F(a)记作 F(x)|ab ，即
bf(x)dx＝F(x)|ba＝F(b)－F(a)．
a
疑点清源 1．定积分计算中应注意 (1)被积函数若含有绝对值号，应去绝对值号，再分段积分； (2)若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积 变量； (3)定积分式子中隐含的条件是积分上限不小于积分下限．
bf(x)dx
c
(其中a<c<b)．
a
a
2．定积分的几何意义 (1)当函数 f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分bf(x)dx 的几
a
何意义是由直线 x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0 和曲线 y＝f(x)所围成的 曲边梯形的面积(图①中阴影部分)．
(2)一般情况下，定积分bf(x)dx 的几何意义是介于 x 轴、曲线 a
1
0
0
答案 －2
2019金榜e讲堂-高三人教版数学一轮复习课件：第2章第14节定积分与微积分基本定理
S2，S3 的大小关系为
()
A．S1＜S2＜S3
B．S2＜S1＜S3
C．S2＜S3＜S1
D．S3＜S2＜S1
B [S1＝∫21x2dx＝13x3|21＝73， S2＝∫211xdx＝ln x|21＝ln 2， S3＝∫21exdx＝ex|21＝e2－e＝e(e－1)＞e＞73， 所以 S2＜S1＜S3，故选 B.]
答案 C
[规律方法] 利用定积分解决变速直线运动路程问题和变力做功问题时， 关键是求出物体做变速直线运动的速度函数和变力与位移之 间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式，再利用 微积分基本定理计算即得所求．
[跟踪训练] 3．设变力F(x)作用在质点M上，使M沿x轴正向从x＝1运动到
x＝10，已知F(x)＝x2＋1且方向和x轴正向相同，则变力 F(x)对质点M所做的功为______ J(x的单位：m，力的单位： N)．
定积分的计算
[典题导入] 求下列函数的定积分． (1)∫21(x2＋2x＋1)dx； (2)∫π 0 (sin x－cos x)dx； (3)∫21|3－2x|dx.
[规律方法] 应用微积分基本定理求定积分∫baf(x)dx 时，可按以下两步进行： 第一步：求使 F′(x)＝f(x)成立的 F(x)； 第二步：计算 F(b)－F(a)．
2．一般情况下，定积分∫baf(x)dx 的几何意义是介于 x 轴、曲线 f(x) 以及直线 x＝a，x＝b 之间的曲边梯形面积的代数和[图 2 中阴 影所表示]，其中在 x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在 x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．
三、微积分基本定理
一般地，如果 f(x)是在区间[a，b]上的连续函数，且 F′(x)＝f(x)，
高考数学 3-14《定积分和微积分基本定理》课件 理
3．定积分的性质 b b (1) kf(x)dx＝ k f(x)dx(k为常数)
a
； ； (其中a<c<b)．
a
b b f(x)dx± g(x)dx
b (2) [ a
f(x)± g(x)]dx＝ f(x)dx＝
c
a
a
(3)
b a
(对应学生用书P68)
1．定积分的定义 (1)一般地，如果函数y＝f(x)在某个区间I上的图象是一条 连续不断的曲线，那么我们就把它称为区间I上的 连续函数． (2)求曲边梯形面积的步骤： ① 分割 ；② 近似代替 ；③ 求和；④ 取极限．
(3)如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝ x0<x1<„<xi－1<xi<„<xn＝b将区间[a，b]等分成n个小区间，在 每个小区间[xi－1，xi]上任取一点ξi(i＝1,2，„，n)，作和式 b－a f(ξi)Δx＝ n f(ξi)，当n→∞时，上述和式无限接近某个常 bf(x)dx 数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作
则所求面积S＝ sin xdx＋
0
＝－cos
π x 0
5 2 2 4π ＋cos x ＝2＋－ ＋1＝3－ 2 . 2 π
利用定积分求图象所围成的阴影部分的面积时，要注意利 用数形结合的方法确定出被积函数和积分的上限与下限，同时 要注意图象与x轴的位置．
1
1 3 (x2＋1)dx＝ x x ＋ 3
＝342.
答案：342
(对应学生用书P70)
易错点 对定积分的几何意义理解不到位
5 求曲线 f(x)＝sin x，x∈[0， π]与x轴围成的图形的面 4 积．
年高考数学总复习 (教材回扣夯实双基 考点突破 瞭望高考)第二章第14课时 定积分与微积分的基本定理课件
(2)利用定积分的性质把所求的定积分 化为若干个定积分的和或差；
(3)分别用求导公式求出F(x)，使得
F′(x)＝f(x)； (4)利用牛顿－莱布尼兹公式求出各个 定积分的值； (5)计算所求定积分的值．
例1
1
求下列函数的定积分：
2 2 (1) (x ＋2x＋1)dx；
π 2x (2) 2sin dx； 2 0
③求曲边梯形的面积以及求变速直线 运动的物体在某段时间内运动的路程 的步骤是： (1)分割；(2)近似代替；(3)求和；(4) 取极限．
(3)定积分的基本性质
b b k ∫ af(x)dx(k 为常数) ． ① kf ( x )d x ＝ ____________________ a bf (x)dx± bf (x)dx 1 2 a a b ② [f1(x)± f2(x)]dx＝_________________. a
1 ＝ x 2
1 － sinx 2
π－ 2 1 π 1 ＝ ×( －0)－ ×(1－0)＝ . 2 2 2 4
3 1 2 |3－2x|dx (3) |3 － 2 x |d x ＝ |3 － 2 x |d x ＋ 2 1 3 1 2
3 1 (2x－3)dx ＝2(3－2x)dx＋ 3 1 2
b－a lim f(ξi) →∞ n n i ＝1
n
a与 b ②在∫b af(x)dx 中， _________分别叫做积 [a，b] 叫做 分下限与积分上限，区间 _________ x 函数f(x) 叫做被积函数， 积分区间， _________ ____
叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积式．
(1＋cosx)dx＝(x＋sinx)
＝2＋π.
定积分与微积分基本定理课件
定积分与微积分基本定理 ppt课件
欢迎来到本次课程，我们将深入探讨定积分与微积分的基本定理。
定积分的概念与性质
1 概念
定积分是用来计算曲线下面的面积或者计算变化率的数学工具。
2 性质
定积分具有加法性、线性性、保号性、保序性等基本性质。
3 重要定理
有界函数定积分存在性定理、定积分的中值定理等。
定积分的定义
1 黎曼和
定积分定义为用无穷小矩形逼近曲线下面的面积，并在极限存在时得出结果。
2 积分上限与下限
定义了定积分的区间，上限与下限决定了曲线下面的范围。
3 求解方法
可以进行直接计算、几何意义、等价改写等方式求解定积分。
计算定积分的方法
1
换元法
通过变量代换，把原有的积分式子转化为更简单的形式，以便求解。
2
分部积分法
通过将积分式子分解成两个函数的乘积，再逐步求解得到结果。
3
级数法
将函数展开成幂级数，再通过对级数求积分计算定积分。
微积分基本定理的内容
第一基本定理
定积分与原函数之间的关系，使得我们可以通 过求导得到定积分。
第二基本定理
计算定积分时，我们可以通过寻找原函数的算 法来简化计和推导来证明微积分基本定理的正确性，为其在实际使用中奠定基础。
微积分基本定理的应用
物理学
微积分在物理学中常用于描述运 动、力学和电磁学等领域。
经济学
工程学
经济学家使用微积分来研究需求 和供给、垄断和竞争等经济现象。
工程学中的建模和设计过程依赖 于微积分来解决复杂的问题。
展望与总结
通过学习定积分与微积分的基本定理，你将更深入理解数学背后的美妙，并能应用于各个领域。
欢迎来到本次课程，我们将深入探讨定积分与微积分的基本定理。
定积分的概念与性质
1 概念
定积分是用来计算曲线下面的面积或者计算变化率的数学工具。
2 性质
定积分具有加法性、线性性、保号性、保序性等基本性质。
3 重要定理
有界函数定积分存在性定理、定积分的中值定理等。
定积分的定义
1 黎曼和
定积分定义为用无穷小矩形逼近曲线下面的面积，并在极限存在时得出结果。
2 积分上限与下限
定义了定积分的区间，上限与下限决定了曲线下面的范围。
3 求解方法
可以进行直接计算、几何意义、等价改写等方式求解定积分。
计算定积分的方法
1
换元法
通过变量代换，把原有的积分式子转化为更简单的形式，以便求解。
2
分部积分法
通过将积分式子分解成两个函数的乘积，再逐步求解得到结果。
3
级数法
将函数展开成幂级数，再通过对级数求积分计算定积分。
微积分基本定理的内容
第一基本定理
定积分与原函数之间的关系，使得我们可以通 过求导得到定积分。
第二基本定理
计算定积分时，我们可以通过寻找原函数的算 法来简化计和推导来证明微积分基本定理的正确性，为其在实际使用中奠定基础。
微积分基本定理的应用
物理学
微积分在物理学中常用于描述运 动、力学和电磁学等领域。
经济学
工程学
经济学家使用微积分来研究需求 和供给、垄断和竞争等经济现象。
工程学中的建模和设计过程依赖 于微积分来解决复杂的问题。
展望与总结
通过学习定积分与微积分的基本定理，你将更深入理解数学背后的美妙，并能应用于各个领域。
高考数学总复习 214定积分与微积分基本定理课件 理 新
x)dx＝13x3－cos
1
x
－1
＝23.
(2)依题意得0ef(x)dx＝01x2dx＋1e1xdx＝x3310
e
＋ln x
0
＝13＋1＝43.
[答案]
2 (1)3
4 (2)3
1
．
本
例
(1)
若
变为
计
算
定
积分
“∫2π
0sin2
x 2
dx
＋
1
－
1
________
解析：∫π20sin2x2dx＝∫π201－2cos
x dx
1－x2 dx ＝
＝12x－12sinxπ20 ＝π4－12，
利用几何意义求得1－1 1－x2dx＝π2， ∴原式＝3π－ 4 2.
ex，x∈[0，1]，” 2．本例(2)若变为“f(x)＝x，x∈1，e]，
解析：注意到曲线 y＝x2(x≥0)与 y＝14的交点的横坐标是21，因此所
求图形的面积等于∫12014－x2dx＋121x2－14dx＝4x－13x3120 ＋13x3－x4
1 1 2
＝41，选 D.
答案：D
考向三 定积分在物理中的应用
∴S 阴影＝∫1202x2dx＋121(－2x2＋2x)dx
＝23x3120
－23x3112
1 ＋x21
2
＝14.
[答案]
1 4
1.(2013 年郑州模拟)如图，曲线 y＝x2 和直线 x＝0，x＝1，y＝14所围
成的图形(阴影部分)的面积为( )
2
1
A.3
B.3
1
1
C.2
D4
4．(2013年武汉模拟)曲线y＝2x2与x轴及直线x＝1所围图 形的面积为________．
一轮复习--定积分与微积分基本定理PPT课件
0
5
所以5
－5
(3x3＋4sin
x)dx＝0－5
(3x3＋4sin
x)dx
＋
0
(3x3
＋
4sin x)dx＝0.
[方法技巧] 1．利用定积分几何意义求定积分的策略 当被积函数的原函数不易求，而被积函数的图象与直 线x＝a，x＝b，y＝0所围成的曲边梯形的面积易求时，利 用定积分的几何意义求定积分． 2．两个常用结论 设函数f(x)在闭区间[－a，a]上连续，则由定积分的几 何意义和奇、偶函数图象的对称性可得两个结论： (1)若f(x)是偶函数，则a－af(x)dx＝2af(x)dx；
图(如图所示)，所求面积为阴影部分的面积．
由yy＝ ＝x－x，2 得交点A(4,2)．
因此 y＝ x与 y＝x－2 及 y 轴所围成的图形的面积为
＝
4
0
x－x＋2dx
＝
2 3x
3 2
－12x2＋2x
4 0
＝23×8－12×16＋2×4＝136.
[答案] C
[方法技巧] 利用定积分求平面图形面积的步骤
3.在区间[0,1]上给定曲线 y＝x2，试在此区间内确定点 t 的值，使图 4－5－4 中阴影部分的面积 S1 与 S2之和最小．
图 4－5－4
解：S1 面积等于边长为 t 与 t2 的矩形面积去掉曲线 y＝x2 与 x 轴、直线 x＝t 所围成的面积，即
t
S1＝t·t2－ 0
x2dx＝23t3.
当 t＝12时，S 最小，
∴最小值为 S12＝14.
kbf(x)dx
(1)bkf(x)dx＝___a______ (k 为常数)；
a
bf1(x)dx±bf2(x)dx
高考数学 第二章 第14课时 定积分与微积分基本定理复习课件 新人教A版
4
对数的底数)，则0ef(x)dx 的值为____3____．
定积分的计算
利用微积分基本定理求下列定积分：
(1)12(x2＋2x＋1)dx； (2)0π(sin x－cos x)dx； (3)02|1－x|dx.
[课堂笔记]
【解】(1)12(x2＋2x＋1)dx＝12x2dx＋122xdx＋121dx
(2)变力做功：一物体在变力 F(x)的作用下，沿着与 F(x)相同
＝x33|21＋x2|21＋x|21＝139.
(2)0π(sin x－cos x)dx＝0πsin xdx－0πcos xdx
π
＝(－cos x)|π0－sin x| 0＝2.
(3)02|1－x|dx＝01(1－x)dx＋12(x－1)dx ＝x－12x2|10＋21x2－x|21 ＝1－12 －0＋21×22－2 －12×12－1＝1.
计算一些简单的定积分，解题的步骤是： (1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函 数与常数的积的和或差； (2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的 定积分； (3)分别用求导公式找到一个相应的原函数； (4)利用牛顿—莱布尼茨公式求出各个定积分的值；
(5)计算原始定积分的值．
1．计算下列定积分：
(1)－ 3
(3x2－2x＋
1
1)dx；
(2)12(x－1x)dx；
x
(3)02e2dx.
【解】(1)－ 3 1(3x2－2x＋1)dx＝(x3－x2＋x)|3－1＝24. (2)12(x－1x)dx＝12x2－ln x|21＝32－ln 2.
x
x
m(m＞0)围成的图形的面积为83，则 m 的值为( A )
A．． (2013·高 考 湖 南 卷 ) 若 0Tx2dx＝ 9 ， 则 常 数 T 的 值 为
对数的底数)，则0ef(x)dx 的值为____3____．
定积分的计算
利用微积分基本定理求下列定积分：
(1)12(x2＋2x＋1)dx； (2)0π(sin x－cos x)dx； (3)02|1－x|dx.
[课堂笔记]
【解】(1)12(x2＋2x＋1)dx＝12x2dx＋122xdx＋121dx
(2)变力做功：一物体在变力 F(x)的作用下，沿着与 F(x)相同
＝x33|21＋x2|21＋x|21＝139.
(2)0π(sin x－cos x)dx＝0πsin xdx－0πcos xdx
π
＝(－cos x)|π0－sin x| 0＝2.
(3)02|1－x|dx＝01(1－x)dx＋12(x－1)dx ＝x－12x2|10＋21x2－x|21 ＝1－12 －0＋21×22－2 －12×12－1＝1.
计算一些简单的定积分，解题的步骤是： (1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函 数与常数的积的和或差； (2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的 定积分； (3)分别用求导公式找到一个相应的原函数； (4)利用牛顿—莱布尼茨公式求出各个定积分的值；
(5)计算原始定积分的值．
1．计算下列定积分：
(1)－ 3
(3x2－2x＋
1
1)dx；
(2)12(x－1x)dx；
x
(3)02e2dx.
【解】(1)－ 3 1(3x2－2x＋1)dx＝(x3－x2＋x)|3－1＝24. (2)12(x－1x)dx＝12x2－ln x|21＝32－ln 2.
x
x
m(m＞0)围成的图形的面积为83，则 m 的值为( A )
A．． (2013·高 考 湖 南 卷 ) 若 0Tx2dx＝ 9 ， 则 常 数 T 的 值 为
《定积分与微积分基本定理》新课程高中数学高三一轮复习课件
下半支方程为y=- 2x，所以
S A1 =
2
[
0
2x (
2x )]dx 2
1 2
2 x 2dx 0
=2
2
2 3
3
x2
0 2
16 3
,
S A2 =
8
[4 x ( 2x )]dx
2
=
4x
1 2
x2
22 3
3
x2
0 2
38 3
于是：S=
16 18 33
=18.
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解法二：选y作积分变量，
0
1
2
=
x2 4
1+
0
1 3
x3
1 0
+ 2x 3 ln 2 2
= 181 8 4 4 3 3 ln 2 ln 2
= 31 4
.
12 ln 2
名师伴你行
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(2)当x∈[0, ]时,
2
1 sin 2x (sin x cos x)2 =|sinx-cosx|
-sinx+cosx
= sinx-cosx
λ→0 i=0
a
被,a积函数
叫 积分下限 ,b叫 积分上限 ，f(x)dx叫作 被积式 .
2、定积分的几何意义
设函数f(x)在区间［a,b］上连续，定积分
b
f(x)dx
在
a
几何上表示界于x轴、曲线y=f(x)及直线x=a、x=b之间
各部分面积的代数和，在x轴上方的面积取 正号 ，
在x轴下方的面积取 负号 .
3 4
t2
90t
60 40
1350
答:此汽车在这1 min内所行驶的路程是1 350 m.
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＝0 围成的封闭图形的面积，
π·32 9π
故3
9－x2dx＝ 4 ＝ 4 .
0
π
π
(2)∫20(sin x＋acos x)dx＝(asin x－cos x)2 0
＝asin
π
2 －cos
π－(asin 0－cos 0)＝a＋1＝2.
2
∴a＝1.
[答案] (1)94π (2)1
[解析] S＝∫t00vdt＝∫t0010tdt＝5t2t00＝5t20. [答案] B
3．(2014·陕西高考)定积分∫10(2x＋ex)dx 的值为( ) A．e＋2 B．e＋1 C．e D．e－1
[解析]
1
01(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)0＝e.
[答案] C
4．设 f(x)＝x22x（ （xx≥＜00）），，则－1 1f(x)dx 的值是(
a
a
②b[f1(x)±f2(x)]dx＝b
f1(x)dx±
b
f2(x)dx ．
a
a
a
③bf(x)dx＝cf(x)dx＋bf(x)dx(其中 a<c<b)．
a
a
c
2．微积分基本定理 一般地，如果 f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且 F′(x)＝f(x)， 那么bf(x)dx＝F(b)－F(a) ，这个结论叫做微积分基本定理，又叫
a
形一定在 x 轴下方．( )
(4)若 f(x)是偶函数，则a f(x)dx＝2af(x)dx.( )
－a
0
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√
2．(教材改编)已知质点的速度 v＝10t，则从 t＝0 到 t＝t0 质点所经
过的路程是( )
A．10t20
B．5t20
C.130t20
D.53t20
D．逆否命题是“若 m>1，则函数 f(x)＝ex－mx 在(0，＋∞)上 不是增函数”是真命题
(2)01
1－x2＋12xdx＝01
1－x2dx＋0112xdx，
因为1 1－x2dx 的几何意义是单位圆 x2＋y2＝1(x≥0，y≥0)与坐标
0
轴围成区域的面积，
所以1
0
1－x2dx＝π4 ，又0112xdx＝14x210＝14，
－1<xi<…<xn＝b，将区间[a，b]等分成 n 个小区间，在每个小区间[xi
－1，xi]上任取一点
ξi(i＝1，2，…，n)，作和式∑i＝n1f(ξi)Δx＝
n
b－n af(ξi)，
i＝1
当 n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数 f(x) 在区间[a，b]上的定积分，记作bf(x)dx.
ππ [解析] 封闭图形的面积为 S＝∫3－3cos xdx＝
π
sin
3 x
＝sin π
π3 －sin－π3 ＝
3.
－
3
[答案] 3
考向 1 定积分的计算
【典例 1】 (1)(2014·江西高考)若 f(x)＝x2＋2∫10f(x)dx，则∫10f(x)dx
＝( )
A．－1
B．－31
1 C.3
a
牛顿-莱布尼茨公式．
1．(夯基释疑)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打
“×”)
(1) 设 函 数 y ＝ f(x) 在 区 间 [a ， b] 上 连 续 ， 则 b f(x)dx ＝ b
Байду номын сангаас
a
a
f(t)dt.( )
(2) 定积分一定是曲边梯形的面积．( )
(3)若bf(x)dx<0，那么由 y＝f(x)，x＝a，x＝b 以及 x 轴所围成的图
·
·
固
启
基
智
础
慧
自
高
主
考
落
研
实
析
第十四节 定积分与微积分基本定理
提
知
课
能
后
限
典
时
例
自
探
测
究
·
[考纲传真] 1．了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积 分的概念． 2.了解微积分基本定理的含义．
1．定积分的概念、几何意义与性质
(1)定积分的定义及相关概念．
一般地，如果函数 f(x)在区间[a，b]上连续，用分点 a＝x0<x1<…<xi
边梯形的面积
表示由直线 x＝a ，x＝b ，y
f(x)<0 ＝0 及曲线 y＝f(x)所围成的曲
边梯形的面积的相反数
f(x)在[a， 表示位于 x 轴上方的曲边梯形
b]上有正 的面积减去位于 x 轴下方的曲
有负 边梯形的面积
((3)定积分的性质．
①bkf(x)dx＝kb f(x)dx (k 为常数)．
则01
1－x2＋12xdx＝14π＋14.
[答案]
π＋1
(1)B (2) 4
【规律方法】 1．用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数， 因为积分与求导互为逆运算，所以可运用导数的运算法则及导数公 式从反方向求原函数．此外，如果被积函数是绝对值函数或分段函 数，那么可以利用定积分对积分区间的可加性，将积分区间分解， 代入相应的解析式，分别求出积分值相加．
a
在bf(x)dx 中，a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b] a
叫做积分区间，函数 f(x)叫做被积函数，x 叫做 积分变量，f(x)dx 叫做被积式．
(2)定积分的几何意义.
f(x)
bf(x)dx 的几何意义
a
表示由直线 x＝a ，x＝b ，y
f(x)≥0 ＝0 及曲线 y＝f(x)所围成的曲
2．根据定积分的几何意义可利用面积求定积分．
3．若 y＝f(x)为奇函数，则a f(x)dx＝0.
－a
【变式训练 1】 (1)定积分3 9－x2dx＝________． 0
π (2)若∫20(sin x＋acos x)dx＝2，则实数 a＝_____
[解析] (1)3 9－x2dx 是由曲线 y＝ 9－x2，直线 x＝0，x＝3，y 0
D．1
(2)(2015·德州模拟)10 1－x2＋12xdx＝________．
[解析] (1)令1f(x)dx＝m，则 f(x)＝x2＋2m， 0
所以1f(x)dx＝1(x2＋2m)dx
0
0
＝13x3＋2mx01＝31＋2m.
因此13＋2m＝m，解得 m＝－13，
即01f(x)dx＝－31.
C．逆否命题是“若 m>1，则函数 f(x)＝ex－mx 在(0，＋∞)上 是减函数”是真命题
)
A.1 x2dx B.1 2xdx
－1
－1
C.－ 0 1x2dx＋102xdx
D.－ 0 12xdx＋01x2dx
[解析]
∴－ 1 1f(x)dx＝0－12xdx＋10x2dx.
[答案] D
ππ
5．由直线 x＝－ 3 ，x＝ 3 ，y＝0 与曲线 y＝cos x 所围成的封闭图 形的面积为________．
π·32 9π
故3
9－x2dx＝ 4 ＝ 4 .
0
π
π
(2)∫20(sin x＋acos x)dx＝(asin x－cos x)2 0
＝asin
π
2 －cos
π－(asin 0－cos 0)＝a＋1＝2.
2
∴a＝1.
[答案] (1)94π (2)1
[解析] S＝∫t00vdt＝∫t0010tdt＝5t2t00＝5t20. [答案] B
3．(2014·陕西高考)定积分∫10(2x＋ex)dx 的值为( ) A．e＋2 B．e＋1 C．e D．e－1
[解析]
1
01(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)0＝e.
[答案] C
4．设 f(x)＝x22x（ （xx≥＜00）），，则－1 1f(x)dx 的值是(
a
a
②b[f1(x)±f2(x)]dx＝b
f1(x)dx±
b
f2(x)dx ．
a
a
a
③bf(x)dx＝cf(x)dx＋bf(x)dx(其中 a<c<b)．
a
a
c
2．微积分基本定理 一般地，如果 f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且 F′(x)＝f(x)， 那么bf(x)dx＝F(b)－F(a) ，这个结论叫做微积分基本定理，又叫
a
形一定在 x 轴下方．( )
(4)若 f(x)是偶函数，则a f(x)dx＝2af(x)dx.( )
－a
0
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√
2．(教材改编)已知质点的速度 v＝10t，则从 t＝0 到 t＝t0 质点所经
过的路程是( )
A．10t20
B．5t20
C.130t20
D.53t20
D．逆否命题是“若 m>1，则函数 f(x)＝ex－mx 在(0，＋∞)上 不是增函数”是真命题
(2)01
1－x2＋12xdx＝01
1－x2dx＋0112xdx，
因为1 1－x2dx 的几何意义是单位圆 x2＋y2＝1(x≥0，y≥0)与坐标
0
轴围成区域的面积，
所以1
0
1－x2dx＝π4 ，又0112xdx＝14x210＝14，
－1<xi<…<xn＝b，将区间[a，b]等分成 n 个小区间，在每个小区间[xi
－1，xi]上任取一点
ξi(i＝1，2，…，n)，作和式∑i＝n1f(ξi)Δx＝
n
b－n af(ξi)，
i＝1
当 n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数 f(x) 在区间[a，b]上的定积分，记作bf(x)dx.
ππ [解析] 封闭图形的面积为 S＝∫3－3cos xdx＝
π
sin
3 x
＝sin π
π3 －sin－π3 ＝
3.
－
3
[答案] 3
考向 1 定积分的计算
【典例 1】 (1)(2014·江西高考)若 f(x)＝x2＋2∫10f(x)dx，则∫10f(x)dx
＝( )
A．－1
B．－31
1 C.3
a
牛顿-莱布尼茨公式．
1．(夯基释疑)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打
“×”)
(1) 设 函 数 y ＝ f(x) 在 区 间 [a ， b] 上 连 续 ， 则 b f(x)dx ＝ b
Байду номын сангаас
a
a
f(t)dt.( )
(2) 定积分一定是曲边梯形的面积．( )
(3)若bf(x)dx<0，那么由 y＝f(x)，x＝a，x＝b 以及 x 轴所围成的图
·
·
固
启
基
智
础
慧
自
高
主
考
落
研
实
析
第十四节 定积分与微积分基本定理
提
知
课
能
后
限
典
时
例
自
探
测
究
·
[考纲传真] 1．了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积 分的概念． 2.了解微积分基本定理的含义．
1．定积分的概念、几何意义与性质
(1)定积分的定义及相关概念．
一般地，如果函数 f(x)在区间[a，b]上连续，用分点 a＝x0<x1<…<xi
边梯形的面积
表示由直线 x＝a ，x＝b ，y
f(x)<0 ＝0 及曲线 y＝f(x)所围成的曲
边梯形的面积的相反数
f(x)在[a， 表示位于 x 轴上方的曲边梯形
b]上有正 的面积减去位于 x 轴下方的曲
有负 边梯形的面积
((3)定积分的性质．
①bkf(x)dx＝kb f(x)dx (k 为常数)．
则01
1－x2＋12xdx＝14π＋14.
[答案]
π＋1
(1)B (2) 4
【规律方法】 1．用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数， 因为积分与求导互为逆运算，所以可运用导数的运算法则及导数公 式从反方向求原函数．此外，如果被积函数是绝对值函数或分段函 数，那么可以利用定积分对积分区间的可加性，将积分区间分解， 代入相应的解析式，分别求出积分值相加．
a
在bf(x)dx 中，a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b] a
叫做积分区间，函数 f(x)叫做被积函数，x 叫做 积分变量，f(x)dx 叫做被积式．
(2)定积分的几何意义.
f(x)
bf(x)dx 的几何意义
a
表示由直线 x＝a ，x＝b ，y
f(x)≥0 ＝0 及曲线 y＝f(x)所围成的曲
2．根据定积分的几何意义可利用面积求定积分．
3．若 y＝f(x)为奇函数，则a f(x)dx＝0.
－a
【变式训练 1】 (1)定积分3 9－x2dx＝________． 0
π (2)若∫20(sin x＋acos x)dx＝2，则实数 a＝_____
[解析] (1)3 9－x2dx 是由曲线 y＝ 9－x2，直线 x＝0，x＝3，y 0
D．1
(2)(2015·德州模拟)10 1－x2＋12xdx＝________．
[解析] (1)令1f(x)dx＝m，则 f(x)＝x2＋2m， 0
所以1f(x)dx＝1(x2＋2m)dx
0
0
＝13x3＋2mx01＝31＋2m.
因此13＋2m＝m，解得 m＝－13，
即01f(x)dx＝－31.
C．逆否命题是“若 m>1，则函数 f(x)＝ex－mx 在(0，＋∞)上 是减函数”是真命题
)
A.1 x2dx B.1 2xdx
－1
－1
C.－ 0 1x2dx＋102xdx
D.－ 0 12xdx＋01x2dx
[解析]
∴－ 1 1f(x)dx＝0－12xdx＋10x2dx.
[答案] D
ππ
5．由直线 x＝－ 3 ，x＝ 3 ，y＝0 与曲线 y＝cos x 所围成的封闭图 形的面积为________．