chapter2(6)隐函数微分法
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隐函数的微分法
( z x2 F1) F2
dx +
(
z
dz
F1 F2 y x
z x
y2 F1 F2 y x
z y
) F1 F2
dy
z z F F F F 1 2 2 2 1 2 y z z y 故 x y x x F1 F2 F1 F2 x y y x y x F1 F2 F1 F2 z ( ) xy( ) y x y x F1 F2 y x
( F , G ) Fu Fv J Gu Gv ( u, v )
称为函数F，G 的雅可比( Jacobi )行列式.
定理8.9 设函数
满足:
的某一邻域内具有连续偏
① 在点
导数；
② F ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0 , G ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0 ;
Fx z 注 在公式 中， x Fz
Fx : 将 F ( x , y , z )中的y , z暂视为常数，
对x求偏导数；
Fz : 将 F ( x , y , z )中的x , y暂视为常数，
对z求偏导数；
例2
设z 3 xyz a , 求z x 及z xy .
用此法求导 时，要注意 z是x, y的 函数！
具有连续偏导数的函数
u u( x , y ) , v v( x , y ),
且有
1 u 1 ( F ,G ) Fu Fv x J ( x, v ) Gu Gv 1 u 1 ( F ,G ) Fu Fv y J ( y, v ) Gu Gv
Fx Fv G x Gv
的某一邻域内可
唯一确定一个函数 z = f (x , y)满足 ,
dx +
(
z
dz
F1 F2 y x
z x
y2 F1 F2 y x
z y
) F1 F2
dy
z z F F F F 1 2 2 2 1 2 y z z y 故 x y x x F1 F2 F1 F2 x y y x y x F1 F2 F1 F2 z ( ) xy( ) y x y x F1 F2 y x
( F , G ) Fu Fv J Gu Gv ( u, v )
称为函数F，G 的雅可比( Jacobi )行列式.
定理8.9 设函数
满足:
的某一邻域内具有连续偏
① 在点
导数；
② F ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0 , G ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0 ;
Fx z 注 在公式 中， x Fz
Fx : 将 F ( x , y , z )中的y , z暂视为常数，
对x求偏导数；
Fz : 将 F ( x , y , z )中的x , y暂视为常数，
对z求偏导数；
例2
设z 3 xyz a , 求z x 及z xy .
用此法求导 时，要注意 z是x, y的 函数！
具有连续偏导数的函数
u u( x , y ) , v v( x , y ),
且有
1 u 1 ( F ,G ) Fu Fv x J ( x, v ) Gu Gv 1 u 1 ( F ,G ) Fu Fv y J ( y, v ) Gu Gv
Fx Fv G x Gv
的某一邻域内可
唯一确定一个函数 z = f (x , y)满足 ,
隐函数的微分法
事实上， 事实上，这个函数就是 y = 1 − x 2 , ( −1 < x < 1)
函数的一阶和二阶导数为 ′ Fx dy x dy =− =− , = 0, y dx x = 0 ′ dx Fy
y − x − 2 d y y − xy′ =− =− 2 2 2 y dx y
x y = − 1 , 3
x
，求
Fx = e − y, Fy = cos y − x x Fx dy =− =− e −y cos y − x x = 0, y = 0 dx x = 0 Fy x = 0
y′ = −1
法一： 法一：公式法
d2 y d ex − y x = 0 ( ) y =0 2 x =0=− dx dx cos y − x
F(x, y)= 0, , y 满足什么条件 可确定函数 = f(x)使得 F(x,f(x))≡ 0?
隐函数存在定理 1 设 F ( x , y ) 在点 P ( x0 , y0 )的某 一邻域内满足 满足： 一邻域内满足： (1)具有连续的偏导数 具有连续的偏导数， (1)具有连续的偏导数， (2) F ( x 0 , y0 ) = 0 ， ′ (3) F y ( x0 , y0 ) ≠ 0 . 则方程 F ( x , y ) = 0 在点 P ( x0 , y0 )的某一邻域内恒能 唯一确定一个具有连续导数的函数 y = f ( x )，它满 足条件 y0 = f ( x0 )，并有
′ Fx ∂z =− Fz′ ∂x
′ Fy ∂z =− Fz′ ∂y
隐函数的求导公式
求导公式推导： 求导公式推导：
由
F ( x , y , f ( x , y )) ≡ 0,
求导， 两边分别对 x 和 y 求导，得
隐函数微分法
= 一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数 z= f ( x , y ) ，
它满足条件 z 0 = f ( x 0 , y 0 ) ，并有 Fy Fx ∂z ∂z =− =− ， Fz Fz ∂y ∂x
②
定理的证明从略，仅就公式②作如下推导： 定理的证明从略，仅就公式②作如下推导：
将 z= f ( x , y ) 代入 F ( x , y , z )= 0 ， =
x 2y dz = − dx − dy , 3z 3z
x ∂z , 故 =− 3z ∂x 2y ∂z . =− 3z ∂y
1 ∂z x ∂ 2z ∂ ∂z x 2y 2xy = ( ) = − ⋅ (− 2 ) ⋅ = (− ) =− 3 . 2 3 ∂x∂y ∂y ∂x 3z z ∂y 3z 9z
F x = 2 x ， F y = 4 y ， Fz = 6 z ，
Fx 2x x ∂z 故 =− =− =− , ∂x Fz 6z 3z
Fy 4y 2y ∂z . =− =− =− Fz 6z 3z ∂y
直接法 解法 2：直接法
在 x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 4 两边分别对 x 和 y 求偏导, 注意 z 是 x、y 的函数，得 、 的函数，
作
业
5.3（ 习 题 5.3（P.46） ）
19.（1）； 20（2）（4）； ）（4 21.
y− x 1 1 Fy = 2 , − ⋅ = 2 2 2 y 2 x x +y x +y 1+ ( ) x y
Fx x + y dy . =− = dx Fy x − y
定理4 隐函数存在定理 2 定理 4（隐函数存在定理2）
满足下列条件： 设三元函数 F ( x , y , z ) 满足下列条件： 三元函数
它满足条件 z 0 = f ( x 0 , y 0 ) ，并有 Fy Fx ∂z ∂z =− =− ， Fz Fz ∂y ∂x
②
定理的证明从略，仅就公式②作如下推导： 定理的证明从略，仅就公式②作如下推导：
将 z= f ( x , y ) 代入 F ( x , y , z )= 0 ， =
x 2y dz = − dx − dy , 3z 3z
x ∂z , 故 =− 3z ∂x 2y ∂z . =− 3z ∂y
1 ∂z x ∂ 2z ∂ ∂z x 2y 2xy = ( ) = − ⋅ (− 2 ) ⋅ = (− ) =− 3 . 2 3 ∂x∂y ∂y ∂x 3z z ∂y 3z 9z
F x = 2 x ， F y = 4 y ， Fz = 6 z ，
Fx 2x x ∂z 故 =− =− =− , ∂x Fz 6z 3z
Fy 4y 2y ∂z . =− =− =− Fz 6z 3z ∂y
直接法 解法 2：直接法
在 x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 4 两边分别对 x 和 y 求偏导, 注意 z 是 x、y 的函数，得 、 的函数，
作
业
5.3（ 习 题 5.3（P.46） ）
19.（1）； 20（2）（4）； ）（4 21.
y− x 1 1 Fy = 2 , − ⋅ = 2 2 2 y 2 x x +y x +y 1+ ( ) x y
Fx x + y dy . =− = dx Fy x − y
定理4 隐函数存在定理 2 定理 4（隐函数存在定理2）
满足下列条件： 设三元函数 F ( x , y , z ) 满足下列条件： 三元函数
隐函数的微分法
隐函数的微分法隐函数的微分法是微积分中的重要内容，它用于求解由一个或多个变量之间的关系所定义的隐函数的导数。
隐函数可以表示为F(某,y)=0的形式，其中某和y是变量，F是一个含义良好的函数。
隐函数的微分法可以用来求解隐函数的导数，进而研究隐函数的性质和求解相关的问题。
在计算隐函数导数时，我们可以利用偏导数的概念。
根据隐函数的定义，我们可以将F(某,y)=0表示为F(某,y(某))=0，即将y表示为某的函数。
然后对等式两边同时对某求偏导数，可以得到：∂F/∂某 + ∂F/∂y 某 dy/d某 = 0然后解出dy/d某，即可得到隐函数的导数。
在应用求导法则时，我们可以利用链式法则来处理含有隐函数的导数计算问题。
链式法则可以表示为：dF/d某 = (∂F/∂某) + (∂F/∂y) 某 (dy/d某)通过应用链式法则，我们可以把对隐函数的导数转化为对显函数的导数的计算，从而求解出隐函数的导数。
此外，我们还可以利用隐函数的微分形式进行求解。
根据全微分公式，我们可以将隐函数的微分形式表示为：dF = (∂F/∂某) 某 d某 + (∂F/∂y) 某 dy = 0然后解出dy/d某，即可得到隐函数的导数。
隐函数的微分法在求解实际问题中具有广泛的应用。
它可以帮助我们求解曲线的切线及法线，提供关于曲线上点的切线斜率和切线方程的信息；在物理学中，它可以用于求解速度、加速度等问题；在经济学中，它可以用于分析边际效应及最优化问题。
综上所述，隐函数的微分法是微积分中的重要内容，它通过隐函数的定义和求导法则的应用，可以帮助我们求解隐函数的导数，并在实际问题中提供有用的信息。
通过对隐函数的导数的求解，我们可以研究隐函数的性质、求解相关的问题，并应用于具体的实际问题中。
隐函数的偏微分法
2023
隐函数的偏微分法
https://
REPORTING
2023
目录
• 引言 • 隐函数的基本概念 • 偏微分法的基本概念 • 隐函数的偏微分法 • 隐函数偏微分法的扩展和深化 • 总结与展望
2023
PART 01
引言
REPORTING
主题简介
隐函数是一类特殊的函数，其输出是一个或多个函数，而不是具体的数值。偏微 分法是研究函数在某一点的切线斜率或更一般地研究函数在某一点的附近的行为 的方法。
偏微分法
在数学分析中，偏微分法是研究 多变量函数的一种方法，通过偏 微分法可以分析多变量隐函数的 性质和变化规律。
扩展应用
多变量隐函数的偏微分法在经济 学、物理学、工程学等领域有广 泛的应用，例如在最优控制、最 优化理论、流体动力学等领域。
非线性隐函数的偏微分法
非线性隐函数
非线性隐函数是指函数关系是非线性的，即函数的输出值与输入值 不成正比。
隐函数的偏微分法是数学分析中的一个重要概念，它涉及到对隐函数的导数和偏 导数进行计算和分析。
主题的重要性
在科学和工程领域中，许多问题都需要用 到隐函数的偏微分法。例如，在物理、化 学、生物、经济和金融等领域中，经常需 要用到偏微分方程来描述各种现象。
隐函数的偏微分法是解决这些问题的 关键工具之一，它可以帮助我们更好 地理解和分析这些现象，从而为实际 问题的解决提供更有力的支持。
偏微分法
对于非线性隐函数，偏微分法同样适用，通过偏微分法可以分析非 线性隐函数的性质和变化规律。
扩展应用
非线性隐函数的偏微分法在解决实际问题中具有广泛的应用，例如 在解决物理问题、优化问题、控制问题等领域。
隐函数偏微分法的数学证明和理论分析
隐函数的偏微分法
https://
REPORTING
2023
目录
• 引言 • 隐函数的基本概念 • 偏微分法的基本概念 • 隐函数的偏微分法 • 隐函数偏微分法的扩展和深化 • 总结与展望
2023
PART 01
引言
REPORTING
主题简介
隐函数是一类特殊的函数，其输出是一个或多个函数，而不是具体的数值。偏微 分法是研究函数在某一点的切线斜率或更一般地研究函数在某一点的附近的行为 的方法。
偏微分法
在数学分析中，偏微分法是研究 多变量函数的一种方法，通过偏 微分法可以分析多变量隐函数的 性质和变化规律。
扩展应用
多变量隐函数的偏微分法在经济 学、物理学、工程学等领域有广 泛的应用，例如在最优控制、最 优化理论、流体动力学等领域。
非线性隐函数的偏微分法
非线性隐函数
非线性隐函数是指函数关系是非线性的，即函数的输出值与输入值 不成正比。
隐函数的偏微分法是数学分析中的一个重要概念，它涉及到对隐函数的导数和偏 导数进行计算和分析。
主题的重要性
在科学和工程领域中，许多问题都需要用 到隐函数的偏微分法。例如，在物理、化 学、生物、经济和金融等领域中，经常需 要用到偏微分方程来描述各种现象。
隐函数的偏微分法是解决这些问题的 关键工具之一，它可以帮助我们更好 地理解和分析这些现象，从而为实际 问题的解决提供更有力的支持。
偏微分法
对于非线性隐函数，偏微分法同样适用，通过偏微分法可以分析非 线性隐函数的性质和变化规律。
扩展应用
非线性隐函数的偏微分法在解决实际问题中具有广泛的应用，例如 在解决物理问题、优化问题、控制问题等领域。
隐函数偏微分法的数学证明和理论分析
隐函数及其微分法
d
当 r e 时
dy dx
e e
(sin (cos
cos sin) )来自sin cos
cos sin
当 时
2
切线斜率为
dy
k
dx
2
1
而r
e
上点(e 2
,
)所对应的直角坐标为(0,e 2
)
2
故切线的直角坐标方程为
y e 2 ( x 0) 即 x y e 2
现在我要解决如下问题： 对于隐函数不易显化或不能显化如何求导? 隐函数求导法则:
用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
设F ( x, y) 0确定了一元隐函数 y y( x)
将 y y( x)代入F ( x, y) 0得 u F[x, y( x)] 0
显然
du 0 dx
即
d2y dx 2
(t
)
(t) (t 3(t)
)
(t
)
.
例11
求摆线
x y
a(t a(1
sin t) cos t)
在t
2
处的切线
方程 .
dy
解 dy dt a sin t sin t dx dx a a cos t 1 cos t
四、小结
隐函数求导法则: 直接对方程两边求导;
对数求导法: 对方程两边取对数,按隐函数 的求导法则求导; 参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导 法则;
练习题：
1、设x2 y2 1 0 求 dy , d 2 y dx dx2
隐函数微分法ppt课件
Fx e y，Fy xe y 1，得
dy dx
ey xe y
。 1
dy dx
x0
e
d2y dx2
d dx
e xe y
y
1
( xe
y
1)e y y e y (e y ( xe y 1)2
xe y
y)
e y ( y ( xe y
e y )， 1)2
d2y dx 2
x0
2e 2。
例 2 验证方程 x 2 y2 1 0在点(0,1)的某邻 域内能唯一确定一个可导、且 x 0时 y 1的隐 函数 y f ( x)，并求这函数的一阶和二阶导 数在 x 0的值.
解 令 F(x, y) x2 y2 1 则 Fx 2 x, Fy 2 y,
F(0,1) 0, Fy (0,1) 2 0,
依定理知方程 x 2 y 2 1 0在点(0,1) 的某邻域 内能唯一确定一个可导、且x 0 时 y 1的函数 y f (x)．
事实上，这个函数就是
y 1 x 2 ,(1 x 1)
11
2x 2z
dy 1 1 2x 2z x z
dx 2 y 2z
2 y 2z y z
2x 2z dy 1 1 2x 2z x z dx 2 y 2z 2 y 2z y z
2y 2x dz 1 1 2 y 2x x y dx 2 y 2z 2 y 2z y z
dy dx
Fz
dz dx
Fx
Gy
dy dx
Gz
dz dx
Gx
当 Fy Gy
Fz Gz
0时 ，
dy
Fx Gx
Fz
Fy
Gy , dz Gy
隐函数及其微分法
02 通过建立隐函数模型，可以描述经济变量之间的 非线性关系，并预测未来的发展趋势。
03 隐函数和微分法还可以用于研究其他领域中的非 线性关系，例如生态学和物理学。
解决几何问题
01
02
03
隐函数和微分法可以用 于解决几何问题，例如 确定曲线的形状和性质
。
通过建立隐函数模型， 可以描述几何对象的性 质，例如曲线的曲率、
常数求导法则
若$u$是常数，则$u'=0$。
微分在近似计算中的应用
线性近似
当函数在某点的切线与x轴平行时，可以用切线近似代替函数值。
多项式逼近
通过多项式逼近可以近似表示复杂的函数，并利用微分计算逼近 误差。
无穷小分析
利用微分的基本性质，可以分析无穷小量对函数值的影响。
微分中值定理
拉格朗日中值定理
03
在实际问题中，偏导数和全导数都有广泛的应用，例
如在优化问题、控制论、微分方程等领域。
隐函数求导的几何意义
01
隐函数的几何意义是指通过几何图形的方式表达函数的值和 自变量的关系。
02
对于一个隐函数f(x,y)=0，其求导结果表示该函数在某点处 的切线斜率。
03
在二维空间中，隐函数的几何意义可以理解为曲线在某点处 的切线斜率；在三维空间中，隐函数的几何意义可以理解为 曲面在某点处的切平面斜率。
方向和位置。
隐函数和微分法还可以 用于解决几何问题中的 优化问题，例如最小化 长度、面积或体积等。
04
隐函数的微分性质
微分的基本性质
线性性质
若$u$和$v$可微，则$u+v$和$uv$也可微，且 $(u+v)'=u'+v'$，$(uv)'=u'v+uv'$。
03 隐函数和微分法还可以用于研究其他领域中的非 线性关系，例如生态学和物理学。
解决几何问题
01
02
03
隐函数和微分法可以用 于解决几何问题，例如 确定曲线的形状和性质
。
通过建立隐函数模型， 可以描述几何对象的性 质，例如曲线的曲率、
常数求导法则
若$u$是常数，则$u'=0$。
微分在近似计算中的应用
线性近似
当函数在某点的切线与x轴平行时，可以用切线近似代替函数值。
多项式逼近
通过多项式逼近可以近似表示复杂的函数，并利用微分计算逼近 误差。
无穷小分析
利用微分的基本性质，可以分析无穷小量对函数值的影响。
微分中值定理
拉格朗日中值定理
03
在实际问题中，偏导数和全导数都有广泛的应用，例
如在优化问题、控制论、微分方程等领域。
隐函数求导的几何意义
01
隐函数的几何意义是指通过几何图形的方式表达函数的值和 自变量的关系。
02
对于一个隐函数f(x,y)=0，其求导结果表示该函数在某点处 的切线斜率。
03
在二维空间中，隐函数的几何意义可以理解为曲线在某点处 的切线斜率；在三维空间中，隐函数的几何意义可以理解为 曲面在某点处的切平面斜率。
方向和位置。
隐函数和微分法还可以 用于解决几何问题中的 优化问题，例如最小化 长度、面积或体积等。
04
隐函数的微分性质
微分的基本性质
线性性质
若$u$和$v$可微，则$u+v$和$uv$也可微，且 $(u+v)'=u'+v'$，$(uv)'=u'v+uv'$。
隐函数的微分法
注：解法2： 在等式两边同时对 x 求导（参见上册）。
定理2.（隐函数存在定理Ⅱ ）
若函数 F ( x, y, z ) 满足:
① 在点 则方程 以及 的某邻域内具有连续偏导数 , ② F ( x0 , y0 , z0 ) 0; ③ Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0. 在点 某一邻域内可唯一确 , 满足 并有连续偏导数 定一个单值连续函数
故由 x u y v 0 , y u x v 1, 可确定隐函数
u u ( x, y ) , v v( x, y ), （本题中可求出其表达式） u u v v , , , . 并可用定理4中的计算公式求出 x y x y
u u v v , , . 例6.设 x u y v 0 , y u x v 1, 求 , x y x y 分析：若令 F x u y v , G y u x v 1, 则
( F , G) x y x 2 y 2 0. ( y u x v 1) y x (u, v )
几何上表示空间一 条曲线的一般方程。
几何上表示空间一 条曲线的参数方程。
问题一：在什么条件下，空间曲线的一般方程可以 转化为参数方程，且 y ( x) 和 z ( x) 可导？ 问题二： y( x) ? z( x) ?
为此，首先介绍雅可比行列式，设
u u ( x, y ) v v ( x, y ) 且 u ( x, y ) 和 v ( x, y ) 均可偏导。
x
e x y, Fy cos y x 连续 , ① Fx
② F (0,0) 0 , ③ Fy (0, 0) 1 0 由 定理1 可知, 在 导的隐函数 且 的某邻域内方程存在单值可
高数 隐函数的微分法 知识点与例题精讲
y z2
)
z F1 x F1 y F2
z y
F1
(
F2
1 z
x z2
)
F2
(
y z2
)
z F2 x F1 y F2
故
dz
z dx x
z dy y
z x F1
y F2 (F1dxzx
F2FFdxzy)
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a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
a11 a12 a13 的系数行列式 D a21 a22 a23 0,
a31 a32 a33
aa2111xx11Fra bibliotek a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
定理证明从略，仅就求导公式推导如下：
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则 两边对 x 求导
在 d y Fx dx Fy
的某邻域内 Fy 0
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若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续,则还有
二阶导数 :
d2 y dx2
( Fx ) ( Fx ) d y x Fy y Fy dx
1 1 1
1 2 1 11 1 2 2 1 1 31
5 0,
二、方程组的情形
隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
隐函数及由参数方程所确定的函数的微分法
f ( x) u( x)v( x)[v( x) ln u( x) v( x)u( x)] u( x)
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8
例5
设
y
( x 1)3 x 1 ( x 4)2 e x
,
求dy.
解 等式两边取对数，得
ln y ln( x 1) 1 ln( x 1) 2 ln( x 4) x 3
,
1 2
gt
2
,
求
(1)
炮
弹
在
时
刻t
的
0
运
动
方
向;
(
2)
炮
弹
在
时
刻t
的
0
速
度
大
小.
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13
解
(1)
在
t
时
0
刻
的
运
动
方
向
y
即 轨 迹 在t0时 刻 的 切 线 v0 vy v
方 向, 可 由 切 线 的 斜 率 来
vx
反映 .
o
x
dy
(v0t sin
1 2
gt 2 )
v0
sin
对 方 程
x y
(t (t
)两 )
边
求
微
分, 得
dx (t)dt
dy (t)dt
则
dy (t)dt dx (t)dt
消去dt，得
dy (t) , dx (t)
即
yx
(t) (t )
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8
例5
设
y
( x 1)3 x 1 ( x 4)2 e x
,
求dy.
解 等式两边取对数，得
ln y ln( x 1) 1 ln( x 1) 2 ln( x 4) x 3
,
1 2
gt
2
,
求
(1)
炮
弹
在
时
刻t
的
0
运
动
方
向;
(
2)
炮
弹
在
时
刻t
的
0
速
度
大
小.
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13
解
(1)
在
t
时
0
刻
的
运
动
方
向
y
即 轨 迹 在t0时 刻 的 切 线 v0 vy v
方 向, 可 由 切 线 的 斜 率 来
vx
反映 .
o
x
dy
(v0t sin
1 2
gt 2 )
v0
sin
对 方 程
x y
(t (t
)两 )
边
求
微
分, 得
dx (t)dt
dy (t)dt
则
dy (t)dt dx (t)dt
消去dt，得
dy (t) , dx (t)
即
yx
(t) (t )
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隐函数的微分法
F ( x, y,u,v) 0 G( x, y,u,v) 0
隐函数存在定理3 设 F ( x , y , u , v ) 、 G ( x , y , u , v ) 在
点 P ( x 0 , y 0 , u 0 , v 0 ) 的某一邻域内有对各个变量的连续 偏导数，且 F ( x 0 , y 0 , u0 , v 0 ) 0 ,G ( x0 , y0 , u0 , v0 )
解 令 F ( x, y) x 2 y 2 - 1 则 Fx 2x, Fy 2 y,
F(0,1) 0, Fy (0,1) 2 0, 依定理知方程 x 2 y 2 - 1 0在点( 0 ,1 ) 的某邻域 内能唯一确定一个单值可导、且 x 0 时 y 1的函数 y f (x)
某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数
的函数 y f ( x ) ，它满足条件 y 0 f ( x 0 ) ，并有
dy - Fx dx Fy
. 隐函数的求导公式
扬州环境资源职业技术学院基础部
例１ 验证方程 x 2 y 2 - 1 0 在点( 0 ,1 ) 的某邻域内能 唯一确定一个单值可导、且x 0 时 y 1 的隐函数 y f ( x ) ，并求这函数的一阶和二阶导数在x 0的值.
yu y2
,
v y
-
xu x2
yv y2
.
扬州环境资源职业技术学院基础部
例4
x x(u, v), y y(u, v)
设函数
在点 (u, v )的某一邻域内连续偏导数，又
(x, y) 0 (u, v )
(1)证明方程组
x y
x(u, v)在点（x，y，u，v）
《隐函数的偏微分法》课件
数，对其他变量进行求导
通常用于描述物理和工程
多个简单的函数表达的解，
的过程。
问题。
而数值解是通过数值计算
方法获得的近似解。
隐函数偏微分法的基本思想
1 隐函数偏微分法的基
本步骤
通过假设未知函数的解具 有一定的形式，推导出方 程对未知函数的偏导数， 并将偏导数代入方程中求 解。
2 常见的隐函数偏微分
方程的求解方法
常见的方法包括变量分离 法、特征线法、级数解法 等，根据具体情况选择合 适的方法。
3 隐函数偏微分方程的
特殊情况的处理方法
对于特殊情况，如线性方 程、齐次方程等，可以采 用不同的数学工具和技巧 来进行求解。
隐函数偏微分方程的应用案例
1 物理领域中的应用案
例
隐函数偏微分法在描述物 理过程中的方程求解、研 究物质的运动和变形等方 面具有重要的应用价值。
2 隐函数偏微分法在未来的应用前景
隐函数偏微分法在科学研究和工程应用中具有广阔的发展前景，可以帮助解决更多的复 杂问题。
3 笔者对隐函数偏微分法的探讨及展望
隐函数偏微分法在实践中仍存在一些挑战和待解决的问题，需要进一步深入研究和探索。
2 工程领域中的应用案
例
隐函数偏微分法在工程领 域中的结构力学、流体力 学和热传导等问题的求解 中有广泛的应用。
3 生物医学领域中的应
用案例
隐函数偏微分法可用于解 释生物医学过程中的复杂 方程，如骨骼生长、心血 管系统的流体动力学等。
ห้องสมุดไป่ตู้
总结
1 隐函数偏微分法的优势与劣势
优势是能够解决复杂的非线性方程组，劣势是在实际求解中可能遭遇困难。
3 隐函数与显函数的区
05 第五节 隐函数微分法
05 第五节隐函数微分法隐函数微分法是一种在方程中含有多个变量时，用一个变量的导数表示另一个变量的导数的方法。
它的主要思想是将多元函数的某些变量看作常量（约束条件），然后将剩余的变量用其他变量的导数来表示。
这种方法在自然科学、工程技术以及经济学等领域中得到广泛应用。
一、隐函数微分法的基本思想我们考虑一个二元函数 $z=f(x,y)$，假设在某一点 $(x_0,y_0)$ 处，方程$F(x,y,z)=0$ 成立，这个方程可以看做是 $z$ 对 $x$ 和 $y$ 的隐函数。
我们要求在这个点上，$z$ 对 $x$ 的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 的值。
首先，我们可以对方程两边求导，得到：$$\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial x}=0$$于是，我们得到了两个方程：下面，我们通过一个例子来说明隐函数微分法的具体步骤。
假设我们要求以下方程的$\frac{dy}{dx}$：$$x^2+y^2=9$$我们可以将它看作是 $y$ 对 $x$ 的隐函数，并将它表示为 $F(x,y)=x^2+y^2-9=0$。
然后，我们对这个方程两边求导：$$\frac{\partial F}{\partial x}=2x$$将这三个式子带入到基本式中：这个结果说明了什么？实际上，这意味着在 $x^2+y^2=9$ 的曲线上，$y$ 和 $x$ 的变化率是无穷大的。
这是因为曲线的斜率在 $x=\pm \sqrt{2}$ 的点处无穷大。
隐函数微分法有广泛的应用，特别是在自然科学、工程技术以及经济学等领域中。
下面，我们举几个例子，展示隐函数微分法的实际应用。
1. 科学研究中的应用隐函数微分法在科学研究中的应用十分广泛。
例如，当我们研究一个物理系统时，通常会涉及到多个变量之间的关系。
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f 2y 2z
z y
2
1 z 2 z f 2 ( f 2 y ) 2 x y 4z
2
Method2.
x
2
y z
2
2
y xf x
f y x 2z
z y f
方程两边对x求偏导得
四. 方程组确定的隐函数
在此举例说明求偏导的方法, 方程组确定的隐函数 一般有以下几种情形:
F ( x , y, z ) 0 1. G ( x , y, z ) 0 F ( x , y, u, v ) 0 2. G ( x , y, u, v ) 0
x x (u, v ) 3. y y(u, v ) z z(u, v )
.
(3) 也可求二阶偏导.
ex 2 .设 x cos y y cos z z cos x a 确定了隐函数 z z z f ( x , y ), 求 , . x y
Method1.
设 F ( x , y , z ) x cos y y cos z z cos x a
F [ x , y , f ( x , y )] 0 ,
F x Fz
z x
0,
F y Fz
z y
0,
又 Fz 0,
z x
Fx Fz
,
z y
Fy Fz
.
( 2) 若 F x 0 , 则
x y
Fy Fx
,
x z
Fz Fx
Fxx Fy Fx Fyx Fy
2
2
Fxy Fy Fx Fyy Fx 2 F Fy y
2
Fxx Fy 2Fx Fy Fxy Fyy Fx
3 Fy
.
ex 1 .设 sin y e
x
xy
2
0, 求
dy dx
,
x
d
2
y
2
.
2
dx
1 f 1 xyf f 1 xzf
2
2
.
Method2.
求
z x
时, z为函数, x , y为自变量.
z f ( x y z , xyz ), 两边对 x 求偏导得
z x
f1 ( 1
z x
) f 2 ( yz xy
z x
),
z x
Method1.
z z 令 ( x , y, z ) F x , y y x
x
1 F z F z F 1, F 2 1 2 2 2 x x
z z 2 F1, F2 y 2 F1 F2 y 1
Chapter 1(5)
隐函数微分法
教学要求：
1. 会求隐函数(包括由方程组确定的隐函数)的偏导数.
一 . 问题引入 二 . 隐函数存在定理 三 . 隐函数存在定理 1 2
四 . 方程组确定的隐函数
一.问题引入
F ( x , y) 0, 给定 x 有满足方程的 F ( x , y, z ) 0, 给定 ( x , y ) 有满足方程的 z 存在 , 则称方程确定了隐函数 . y 存在 , 则称方程确定了隐函数 .
sin y ( y ) cos y y e
2 x
2 y y 2 y y 2 x ( y ) 2 xy y 0
2
将一阶导数代入即可得二阶导数.
三. 隐函数存在定理2
若 ( 1 ) F ( x , y , z ) 在 U ( P0 , )内有连续偏导数 ( 2 ) F ( x 0 , y0 , z 0 ) 0; ( 3 ) F z ( x 0 , y0 , z 0 ) 0;
(2 y
dy dx
e )(cos y 2 xy ) ( y e )( sin y (cos y 2 xy )
2
x
dy dx
2y 2x
dy dx
)
Method2.
方程两边对 x 求导得 cos y y e
x
( y 2 xy y ) 0
2
方程两边再对x求导得
f1 yzf 2 1 f1 xyf 2
;
求
x y
时, x为函数, y, z为自变量.
z f ( x y z , xyz ), 两边对 y 求偏导得
0 f1 (
x y
1 ) f 2 ( xz yz
x y
),
x y
f1 xzf 2 f1 yzf 2
y
z
F 1, F 2
x z
1 1 1 y F 1 F 2 1 y x x
2
z x
y ( z F 2 x F 1 ) x ( x F 1 y F 2 )
,
z y
y z
x ( z F 1 y F 2 )
则 F x cos y z sin x , F y x sin y cos z ,
F z y sin z cos x ,
z x
z y
Fx Fz
cos y z sin x cos x y sin z
,
Fy Fz
cos z x sin y cos x y sin z
x sin y cos z y sin z
z y
z y
cos x 0 ,
z y
cos z x sin y cos x y sin z
.
ex 3 .设 z z ( x , y )由 x
2
y z
2
2
2
z z 其中 f ( u ) 可微 , 求 , . 2 x y
2
y ( x F 1 y F 2 )
代入所证等式的左边即可得结论.
Method2.
1 z 1 y x , F 2 等式两边对x求偏导得： F 1 1 z z 2 x x x
z z Fx ,y 0 y x
0
.
Fy Fx
.
( 3 ) 若 F ( x , y ) 有二阶连续偏导
, 则可求二阶导数
d y d Fx 2 dx Fy dx
2
Fx Fy
x
y
x
Fx Fx dy x Fy y Fy dx
并不是所有的方程都确定了隐函数.
x x
2 2
y 1 0, y z 3 0.
2 2
2
如何求隐函数的导数与偏导数?
二. 隐函数存在定理1
若 ( 1 ) F ( x , y ) 在 U ( P0 , )内有连续偏导数 ( 2 ) F ( x 0 , y0 ) 0; ( 3 ) F y ( x 0 , y0 ) 0;
则 ( 1 ) F ( x , y ) 0 在 U ( P0 , )内唯一确定了单值 连续函数 ( 2 ) 有连续导数 y f ( x ), 且 y 0 f ( x 0 ); dy dx Fx Fy .
;
注意: (1) 证明从略, 求导公式推导如下:
F [ x , f ( x )] 0 ,
Method1. 原式两边微分得
即 zdx xdz z
2
:d(
y z
x z
) d (ln
z y
)
ydz zdy y
2
整理得 dz
z x z
( dx
z y
dy )
z x z
dx
z
2
( x z) y
dy .
Method2. 也可先求偏导再代入全微分公式得所求.
即 F 1 ( 1
1 z y x
F1(
) F 2 (
1 z x xຫໍສະໝຸດ z x2) 0
1 z x y
z x
z y
同理可得
1 z y y
z y
2
) F 2 ( 1
) 0
代入所证等式左边即可得结论成立.
ex 5 .设
x z
ln
z y
, 求 dz .
2x 2z z x f y x f
z x
f 2x
同理方程两边对y求偏导得
再对y求偏导得
z y 2 2( z y
2 2
2 y 2z
) 2z
z y
2
2
1 x
f
将
代入上式即可得
z y
2
.
z z ex 4 .函数 z z ( x , y )由 F x , y 0 所确定 , y x 证明 x z x y z y z xy .
1,
z x
x y
y z
Fx Fz
f 1 yzf f 1 xyf f 1 xzf f 1 yzf f 1 xyf
2 2 2
2
1 ; 1