第九届高数竞赛(理工类)答案

2sin t 3cos t dt 2cos t 3sin t
=6


0
cos t dt 2cos t 3sin t
cos t cos t dt + dt = 6 2 0 2 2cos t 3sin t 2cos t 3sin t 令u t ,
= =
x
于是 xn1 xn 因此
xn1 xn 1 xn1 xn xn1n1 xn1n2 xn xnn1 xn1n1
n + n n
n1
+xn12 ++xn1n1 xn +xn 2 ++xn n
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十一、 （本题满分 8 分） 注：科技学院考生只做第 1 题, 其他考生只做第 2 题。
1. 一质量为 m 的物体以速度 v0 竖直向上抛，空气阻力与速度平方成正比，求物体到达 最高点的时间. 2. 一质量为 m 的物体在粘性液体中由静止自由下落，液体阻力与速度成正比，求位移 与时间的关系. 1、设 t 时刻速度为 v
f x 在 x =0 的连续
（1）
（2）
四、 （本题满分 7 分）
求

n
0
x sin x dx ，其中 n 为正整数.

n
n
0
x sin x dx =
i =1
n
i
i 1
x sin x dx ，令 t =x i 1 ，
原式=

i =1 n

0
t + i 1 sin tdt t sin tdt + i 1 sin tdt 0

0
=

i =1
n


0


0
t sin tdt = ， sin tdt =2
原式=
+2 i 1 = n
2
i =1
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五、 （本题满分 8 分）
设函数
f x 在 0, a a 0 上 有 连 续 的 导 数 ， f 0 0 . 证 明 ： 至 少 存 在 一 点
而解得 c1
1, c2 1 ，故 f x cos x sin x
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七、 （本题满分 9 分）
x2 y 2 dx +dy 计算曲线积分 x + y , 其中 L 是椭圆 4 + 9 =1 ，取逆时针方向. L
令 x 2cos t , y 3sin t ， t 从 到 . 原式=
cos t cos u dt + du 原式=6 2 0 2 2cos u 3sin u 2cos t 3sin t
=0
八、 （本题满分 8 分）
设椭球面 : x
2
3 y 2 z 2 1, 为 在第一卦限内的切平面.求使 与三个坐标面围
lim xn 存 在 ， 设 其 值 为 A , 由 f n xn =1 得 xn +xn 2 + +xn n 1 ， 即
0。
xn 1 x 1 xn
1 ，由 0 x
n
x2 1得 lim xn n =0，于是
n +
A 1 1,因此 A = 。 1 A 2
南昌大学第九届高等数学竞赛(理工类)试题答案
一、填空题(每题 3 分，共 15 分)
1、 ln 2 . 2、
4 . e
3、1.
4、
x+2 y +1 z = = . 1 2 1
5、
1,3 .
二、单项选择题(每题 3 分，共 15 分)
1、C 2、A 3、A 4、B 5、D.
三、 （本题满分 6 分）
成的四面体体积最小的切点坐标. 解 设切点坐标为
x0 , y0 , z0 ，则 x0 2 3 y0 2 z0 2 1,
切平面方程为 : x0 x 3 y0 y z0 z 1, 体积为 V

1 . 18 x0 y0 z0
当 x0 y0 z0 取最大值时， V 取最小值。由重要不等式得
d 2x dx dx m 2 =mg k , x 0 =0, =0 . dt dt dt t =0
非齐次方程通解为 x =c1 +c2 e
k t m
,

mg t， k
m2 g m2 g 解得 c1 2 , c2 , k k2 k m 2 g m t mg 1 t. 于是位移与时间的关系为 x = 2 e k k
n n
0, x 1 1 , x 1或1 2 1, x 1
1 x2 1 x2
n
x 1 时， lim un lim
1 x2 0
于是级数发散。 因此原级数的收敛域为 十、设
, 1 1, 。
f n x =1在 0,+ 上有唯一实根 xn n =2,3, ； （2） 判别 lim xn 是否存在，若存在，则求极限，若不存在，请说明理由.
0, a ，使得 f
令F
x
2 a2
f x dx .
a 0
x 0 f t dt ，则 F 0 0, F 0 f 0 0 , F x1） 证明方程
n +
f n x =x +x 2 + +x n ,n=2,3,
（1）令 g n
x f n x 1 ，则 gn x 1 2x 3x2 nxn1 ， g n 0 1 0, g n 1 n 1 0 ，当 x 0 时，gn x 0 。于是方程 g n x =0 在 0,1 内有唯一实根 xn ，在 1, 上无实根。 （3） 由（1）得 xn 0 ，即 xn 有下界，下证 xn 单调减少。事实上 0 1 1 f n1 xn1 f n xn

n1

1 x 1 x 1 x 1 x
2 4 8 2n
1
的收敛域.
令 un

1 x 1 x 1 x 1 x
2 4 8 2n
1
，则
lim
un1 1 lim n 1 n u n 1 x2 n
于是当 当
x 1 时，原级数收敛。
t ，则
m
dv mg kv2 , v 0 v0 . dt m kv arctan t c , kg mg
由v
0 v0 得 c
kv0 m arctan kg mg
,
速度与时间关系为
kv0 m kv m arctan t arctan kg mg kg mg 令 v 0 解得 kv0 m . t arctan kg mg 2、设 t 时刻位移为 x t ，则
1 x02 3 y02 z02 3 3 3x02 y02 z02
等号成立的充要条件为 x0
2
，
1 3 y02 z02 , 3
于是
3 1 3 x0 , y0 , z0 = , , . 3 3 3
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九、 （本题满分 8 分）
求级数
原式化为 x
f t dt tf t dt x f t dt
x 0
两边求导得 1= 两边再求导得 再求导
f x f t dt ,
0 x
（1） （2） （3） （4）
f x f x 0 , f x f x 0 ,
1 F x F 0 F 0 x F x 2 , 0, x 2 1 2 特别地， F a F 0 F 0 a F a , 0, a 2 2 a = f 2 2 a 于是至少存在一点 0, a ，使得 f 2 f x dx . a 0
六、 （本题满分 7 分）
设
f x 二阶可导，且满足 x f t dt tf t x dt ，求 f x 的表达式.
x x 0 0
令u
t x，

x
0
tf t x dt tf t dt x f t dt ,
0 0 x x 0 0 x x
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sin x 2 , x 0, 设 f x = x （1）求 f x ； （2）讨论 f x 在 x =0 的连续性. 0, x =0,
sin x 2 2 2cos x 2 , x 0, f x = x 1, x =0,
f x f x 0 ,
f x f x 0 .
在（2）中用 x 换 x 得 由（3）（4）得 、 通解为
f x c1 cos x c2 sin x ，由（1）得 f 0 1，由（2）得 f 0 1 ，从