二倍角的三角函数第2课时
第二节简单的三角恒等变换(第二课时)示范教
的三角函数表达式化简为基本的三角函数形式。
学生自我评价报告
1 2
知识掌握程度
大部分学生表示能够理解和掌握本节课所学的三 角恒等变换公式，并能够运用它们解决一些实际 问题。
学习方法
学生认为通过推导公式、举例验证以及大量练习 的方式，有助于加深对知识点的理解和记忆。
3
学习态度
学生表示在学习过程中保持积极的学习态度，认 真听讲、思考并积极参与课堂讨论。
02
实例2
证明$tanalpha = frac{sinalpha}{cosalpha}$。该恒等式可通过三角函
数的定义和商数关系式进行证明，也可通过几何意义进行解释。
03
实例3
证明$sin(alpha + beta) = sinalphacosbeta + cosalphasinbeta$。
该恒等式是三角函数和差化积公式的基础，可通过向量的数量积或复数
方法三
利用三角恒等式。通过已知的三角恒等式，如正弦、余弦定理等，推导出三角形内角和定 理。
三角形外角定理证明
方法一
利用平行线的性质。通过延长三角形的一条边，并在延长线上取一点，连接该点与三角形的另外两个顶点，形成新的 三角形。根据平行线的性质，可以证明原三角形的外角等于新三角形的两个内角之和。
方法二
分析法
从已知条件出发，逐步推导出结论 ，证明过程中需注意逻辑严密性。
综合法
将归纳法和分析法相结合，既考虑 特殊情况，又考虑一般情况，从而 证明恒等式的正确性。
实例分析与讨论
01
实例1
证明$sin^2alpha + cos^2alpha = 1$。该恒等式是三角函数的基本
恒等式之一，可通过勾股定理或三角函数定义进行证明。
两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式 课件
探
究
返 首 页
17
课
前 自 主
5．若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝
.
回 顾
课
1 7
[tan β＝tan[(α＋β)－α]＝1t＋antaαn＋αβ＋－βttaannαα＝1＋12－12×31 31＝17.]
课 后 限 时 集 训
堂
考
点
探
究
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18
课
前
自
主回顾 第1课时Fra bibliotek时 集 训
堂
考 点 探 究
cos 2α＝ccooss22αα－＋ssiinn22αα＝11－ ＋ttaann22αα.
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7
课 前
2．降幂公式
自
主 回 顾
sin2α＝1－c2os 2α；
课 后
限
课
cos2α＝1＋c2os 2α；
时 集 训
堂
考 点 探
sin αcos α＝12sin 2α.
究
用．
返
首
页
34
公式的变形用
课
1
前 自
sin235°－2
主
(1)化简cos 10°cos 80°＝
.
回
课
顾
(2)化简sin2α－π6＋sin2α＋π6－sin2α的结果是
．
后 限 时
课 堂 考 点
(1)－1
(2)12
[(1)cossin1203°5c°o－s 8120°＝1c－osc1o20s°s7i0n°－1012°＝－112cos
课
前
二、教材改编
自
主 回 顾
1．已知cos α＝－35，α是第三象限角，则cosπ4＋α为(
高中数学 第三章 三角恒等变换 第二节 简单的三角恒等变换(第二课时)示范教案数学教案
第三章第二节简单的三角恒等变换第二课时导入新课思路 1.(问题导入)三角化简、求值与证明中，往往会出现较多相异的角，我们可根据角与角之间的和差、倍半、互补、互余等关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获得解决，如：α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)＝(π4＋α)－(π4－α)，π4＋α＝π2－(π4－α)等，你能总结出三角变换的哪些策略？由此探讨展开． 思路2.(复习导入)前面已经学过如何把形如y ＝a sin x ＋b cos x 的函数转化为形如y ＝A sin(ωx ＋φ)的函数，本节主要研究函数y ＝a sin x ＋b cos x 的周期、最值等性质．三角函数和代数、几何知识联系密切，它是研究其他各类知识的重要工具．高考题中与三角函数有关的问题，大都以恒等变形为研究手段．三角变换是运算、化简、求值、证明过程中不可缺少的解题技巧，要学会创设条件灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能． 推进新课新知探究 提出问题①三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x 的周期，最大值和最小值是多少？ ②函数y ＝a sin x ＋b cos x 的变形与应用是怎样的？ ③三角变换在几何问题中有什么应用？活动：教师引导学生对前面已学习过的三角函数的图象与性质进行复习与回顾，我们知道正弦函数，余弦函数的图象都具有周期性、对称性、单调性等性质．而且正弦函数，余弦函数的周期都是2k π(k ∈Z 且k ≠0)，最小正周期都是2π.三角函数的自变量的系数变化时，会对其周期性产生一定的影响，例如，函数y ＝sin x 的周期是2k π(k ∈Z 且k ≠0)，且最小正周期是2π，函数y ＝sin2x 的周期是k π(k ∈Z 且k ≠0)，且最小正周期是π.正弦函数，余弦函数的最大值是1，最小值是－1，所以这两个函数的值域都是[－1,1]．函数y ＝a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2(a a 2＋b2sin x ＋b a 2＋b2cos x )，∵(a a 2＋b2)2＋(b a 2＋b2)2＝1，从而可令a a 2＋b2＝cos φ，b a 2＋b 2＝sin φ，则有a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2(sin x cos φ＋cos x sin φ)＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)．因此，我们有如下结论：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中tan φ＝b a.在以后的学习中可以用此结论进行求几何中的最值问题或者角度问题．我们知道角的概念起源于几何图形，从而使得三角函数与平面几何有着密切的内在联系．几何中的角度、长度、面积等几何问题，常需借助三角函数的变换来解决，通过三角变换来解决几何中的有关问题，是一种重要的数学方法．讨论结果：①y ＝sin x ，y ＝cos x 的周期是2k π(k ∈Z 且k ≠0)，最小正周期都是2π；最大值都是1，最小值都是－1.②～③(略)见活动．应用示例思路1例1如图1，已知OPQ 是半径为1，圆心角为π3的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形．记∠COP ＝α，求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这个最大面积．活动：要求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积S 最大，先找出S 与α之间的函数关系，再求函数的最值．找S 与α之间的函数关系可以让学生自己解决，得到：S ＝AB ·BC ＝(cos α－33sin α)sin α＝sin αcos α－33sin 2α. 求这种y ＝a sin 2x ＋b sin x cos x ＋c cos 2x 函数的最值，应先降幂，再利用公式化成A sin(ωx ＋φ)型的三角函数求最值．教师引导学生思考：要求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积S 最大，可分两步进行： (1)找出S 与α之间的函数关系； (2)由得出的函数关系，求S 的最大值． 解：在Rt△OBC 中，OB ＝cos α，BC ＝sin α，图1在Rt△OAD 中，DA OA＝tan60°＝3，所以OA ＝33DA ＝33BC ＝33sin α. 所以AB ＝OB －OA ＝cos α－33sin α. 设矩形ABCD 的面积为S ，则S ＝AB ·BC ＝(cos α－33sin α)sin α ＝sin αcos α－33sin 2α ＝12sin2α＋36cos2α－36 ＝13(32sin2α＋12cos2α)－36＝13sin(2α＋π6)－36.由于0<α<π3，所以当2α＋π6＝π2，即α＝π6时，S 最大＝13－36＝36.因此，当α＝π6时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为36.点评：可以看到，通过三角变换，我们把形如y ＝a sin x ＋b cos x 的函数转化为形如y ＝A sin(ωx ＋φ)的函数，从而使问题得到简化．这个过程中蕴涵了化归思想．此题可引申即可以去掉“记∠COP ＝α”，结论改成“求矩形ABCD 的最大面积”，这时，对自变量可多一种选择，如设AD ＝x ，S ＝x (1－x 2－33x )，尽管对所得函数还暂时无法求其最大值，但能促进学生对函数模型多样性的理解，并能使学生感受到以角为自变量的优点.[0，π]上的单调递增区间．活动：教师引导学生利用公式解题，本题主要考查二倍角公式以及三角函数的单调性和周期性等基础知识．先用二倍角公式把函数化成最简形式，然后再解决与此相关的问题．解：y＝sin4x＋23sin x cos x－cos4x＝(sin2x＋cos2x)(sin2x－cos2x)＋3sin2x＝3sin2x－cos2x＝2sin(2x －π6)．故该函数的最小正周期是π；最小值是－2；在[0，π]上单调增区间是[0，π3]，[5π6，π]．点评：本题主要考查二倍角公式以及三角函数的单调性和周期性等基础知识.例1已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图象关于点M (3π4，0)对称，且在区间[0，π2]上是单调函数，求φ和ω的值． 活动：学生在解此题时，对f (x )是偶函数这一条件的运用不存在问题，而在对“f (x )的图象关于M (3π4，0)对称”这一条件的使用上，多数考生都存在一定问题．一般地，定义在R 上的函数y ＝f (x )对定义域内任意x 满足条件：f (x ＋a )＝2b －f (a －x )，则y ＝f (x )的图象关于点(a ，b )对称，反之亦然．教师在这类问题的教学时要给予充分的提示与总结，多做些这种类型的变式训练．解：由f (x )是偶函数，得f (－x )＝f (x )，即sin(－ωx ＋φ)＝sin(ωx ＋φ)，所以－cos φsin ωx ＝cos φsin ωx 对任意x 都成立．又ω>0，所以，得cos φ＝0.依题设0≤φ≤π，所以，解得φ＝π2.由f (x )的图象关于点M 对称，得f (3π4－x )＝－f (3π4＋x )．取x ＝0，得f (3π4)＝－f (3π4)，所以f (3π4)＝0.∵f (3π4)＝sin(3ωπ4＋π2)＝cos 3ωπ4，∴cos 3ωπ4＝0.又ω>0，得3ωπ4＝π2＋k π，k ＝0,1,2，….∴ω＝23(2k ＋1)，k ＝0,1,2，….当k ＝0时，ω＝23，f (x )＝sin(23x ＋π2)在[0，π2]上是减函数；当k ＝1时，ω＝2，f (x )＝sin(2x ＋π2)在[0，π2]上是减函数；当k ≥2时，ω≥103，f (x )＝sin(ωx ＋π2)在[0，π2]上不是单调函数．所以，综合得ω＝23或ω＝2.点评：本题是利用函数思想进行解题，结合三角函数的图象与性质，对函数进行变换然后进而解决此题.变式训练已知如图2的Rt△ABC 中，∠A ＝90°，a 为斜边，∠B 、∠C 的内角平分线BD 、CE 的长分别为m 、n ，且a 2＝2mn .问：是否能在区间(π，2π]中找到角θ，恰使等式cos θ－sin θ＝4(cosB ＋C2－cosB －C2)成立？若能，找出这样的角θ；若不能，请说明理由．图2解：在Rt△BAD 中，AB m ＝cos B 2，在Rt△BAC 中，ABa＝sin C ，∴m cos B2＝a sin C .同理，n cos C2＝a sin B .∴mn cos B 2cos C2＝a 2sin B sin C .而a 2＝2mn ，∴cos B 2cos C 2＝2sin B sin C ＝8sin B 2·cos B 2cos C 2sin C 2.∴sin B 2sin C 2＝18.积化和差，得4(cosB ＋C2－cosB －C2)＝－1，若存在θ使等式cos θ－sin θ＝4(cos B ＋C2－cosB －C2)成立，则2cos(θ＋π4)＝－1，∴cos(θ＋π4)＝－22.而π<θ≤2π，∴5π4<θ＋π4≤9π4.∴这样的θ不存在． 点评：对于不确定的开放式问题，通常称之为存在性问题．处理这类问题的一般思路是先假设结论是肯定的，再进行演绎推理，若推证出现矛盾，即可否定假设；若推出合理结果，即假设成立．这个探索结论的过程可概括为假设——推证——定论. 例2已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．解：∵2α－β＝2(α－β)＋β，tan(α－β)＝12，∴tan2(α－β)＝2tan α－β1－tan 2α－β＝43.从而tan(2α－β)＝tan[2(α－β)＋β]＝tan2α－β＋tan β1－tan2α－βtan β＝43－171＋43×17＝25212521＝1.又∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan α－β＋tan β1－tan α－βtan β＝13<1.且0<α<π，∴0<α<π4.∴0<2α<π2.又tan β＝－17<0，且β∈(0，π)，∴π2<β<π，－π<－β<－π2.∴－π<2α－β<0.∴2α－β＝－3π4.点评：本题通过变形转化为已知三角函数值求角的问题，关键在于对角的范围的讨论，注意合理利用不等式的性质，必要时，根据三角函数值，缩小角的范围，从而求出准确角．另外，求角一般都通过三角函数值来实现，但求该角的哪一种函数值，往往有一定的规律，若α∈(0，π)，则求cos α；若α∈(－π2，π2)，则求sin α等．知能训练课本本节练习4.解答：4.(1)y ＝12sin4x .最小正周期为π2，递增区间为[－π8＋k π2，π8＋k π2](k ∈Z )，最大值为12；(2)y ＝cos x ＋2.最小正周期为2π，递增区间为[π＋2k π，2π＋2k π](k ∈Z )，最大值为3；(3)y ＝2sin(4x ＋π3)．最小正周期为π2，递增区间为[－5π24＋k π2，π24＋k π2](k ∈Z )，最大值为2.课堂小结本节课主要研究了通过三角恒等变形，把形如y ＝a sin x ＋b cos x 的函数转化为形如y ＝A sin(ωx ＋φ)的函数，从而能顺利考查函数的若干性质，达到解决问题的目的，充分体现出“活”的数学．作业课本复习参考题A组11、12.设计感想1．本节课主要是三角恒等变换的应用，通过三角恒等变形，把形如y＝a sin x＋b cos x 的函数转化为形如y＝A sin(ωx＋φ)的函数，从而能顺利考查函数的若干性质，达到解决问题的目的．在教学中教师要强调：分析、研究三角函数的性质，是三角函数的重要内容．如果给出的三角函数的表达式较为复杂，我们必须先通过三角恒等变换，将三角函数的解析式变形化简，然后再根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质．因此，三角恒等变换是求解三角函数问题的一个基本步骤．但需注意的是，在三角恒等变换过程中，由于消项、约分、合并等原因，函数的定义域往往会发生一些变化，从而导致变形化简后的三角函数与原三角函数不等价．因此，在对三角函数式进行三角恒等变换后，还要确定原三角函数的定义域，并在这个定义域内分析其性质．2．在三角恒等变化中，首先是掌握利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，并由此导出角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式和积化差、和差化积及半角公式，以此作为基本训练．其次要搞清楚各公式之间的内在联系，自己画出知识结构图．第三就是在三角恒等变换中，要结合第一章的三角函数关系、诱导公式等基础知识，对三角知识有整体的把握．3．今后高考对三角变换的考查估计仍以考查求值为主．和、差、倍、半角的三角函数公式、同角关系的运用仍然是重点考查的地方，应该引起足够重视，特别是对角的范围的讨论，从而确定符号．另外，在三角形中的三角变换问题，以及平面向量为模型的三角变换问题将是高考的热点．对三角函数综合应用的考查，估计仍然以三角与数列、不等式、平面向量、解析几何、三角与解三角形的实际应用为主，题型主要是选择题、填空题，也可能以解答题形式出现，难度不会太大．应注意新情景立意下的三角综合应用也是考试的热点．备课资料一、三角函数的综合问题三角函数是中学学习的重要的基本初等函数之一，近年来，高考每年都要考查三角函数的图象和性质的基础知识．在综合题中，也常常会涉及三角函数的基础知识的应用．因此，对本单元的学习要落实在基础知识、基本技能和基本方法的前提下，还应注意与其他部分知识的综合运用．三角函数同其他函数一样，具有奇偶性、单调性、最值等问题，我们还要研究三角函数的周期性、图象及图象的变化，有关三角函数的求值、化简、证明等问题．应熟知三角函数的基本性质，并能以此为依据，研究解析式为三角式的函数的性质，掌握判断周期性，确定单调区间的方法，能准确认识三角函数的图象，会做简图、对图象进行变化．二、备用习题 1.sin10°＋sin20°cos10°＋cos20°的值是( )A ．tan10°＋tan20° B.33C ．tan5°D ．2－ 3 答案：D2．若α－β＝π4，则sin αsin β的最大值是( )A.2－24 B.2＋24C.34 D ．1 答案：B3．若cos αsin x ＝12，则函数y ＝sin αcos x 的值域是( )A ．[－32，12]B ．[－12，12]C ．[－12，32] D ．[－1,1]答案：B4．log 2(1＋tan19°)＋log 2(1＋tan26°)＝________. 答案：15．已知函数f (x )＝cos2x cos(π3－2x )，求f (x )的单调递减区间、最小正周期及最大值．答案：解：f (x )＝12[cos π3＋cos(4x －π3)]＝12cos(4x －π3)＋14，由2k π≤4x －π3≤2k π＋π(k ∈Z )，得原函数的单调递减区间是[k π2＋π12，k π2＋π3](k ∈Z )，T ＝π2，最大值是34. 6．已知sin A ＝－35，cos B ＝－941，A ∈(3π2，2π)，B ∈(π，3π2)，求sin(2A －B2)的值，并判定2A －B2所在的象限．答案：解：cos A ＝45，sin2A ＝－2425，cos2A ＝1－2sin 2A ＝725， ∵B ∈(π，3π2)， ∴B 2∈(π2，3π4)． ∴sin B 2＝541，cos B 2＝－441. ∴sin(2A －B 2)＝sin2A cos B 2－cos2A sin B 2＝61411 025. 又cos(2A －B 2)＝cos2A cos B 2＋sin2A sin B 2<0， ∴2A －B 2是第二象限角． 7．已知f (0)＝a ，f (π2)＝b ，解函数方程：f (x ＋y )＋f (x －y )＝2f (x )·cos y . 答案：解：分别取⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝t ，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝π2＋t ，y ＝π2，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝π2，y ＝π2＋t ，代入方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ f t ＋f －t ＝2f 0·cos t ， ①f π＋t ＋f t ＝0， ②f π＋t ＋f －t ＝－2f π2·sin t ， ③①＋②－③，得2f (t )＝2f (0)cos t ＋2f (π2)sin t . ∵f (0)＝a ，f (π2)＝b ， ∴f (x )＝a cos x ＋b sin x .。
数学人教A版(2019)必修第一册5.5.1二倍角的正弦、余弦、正切公式(共19张ppt)
( + ) = +
两角和差的正弦公式
两角和差的正切公式
( − ) = −
+
( + ) =
1 −
−
(2)配方变换.
1±sin 2α=sin2α+cos2α±2sin αcos α=(sin α±cos α)2.
(3)升幂缩角变换.
1+cos 2α=2cos2α , 1-cos 2α=2sin2α .
(4)降幂扩角变换.
1
1
1
cos α=2(1+cos 2α),sin α=2(1-cos 2α),sin αcos α=2sin 2α.
5.5.1 第三课时
二倍角的正弦、余弦、正切公式
Hale Waihona Puke 学习目标1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、
正切公式.（逻辑推理）
2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变
形运用.（数学运算）
复习回顾
两角和差的余弦公式
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
( + ) = −
( + ) = 2 = + = 2
+
2
( + ) = 2 =
=
1 − 1 − 2
新知梳理
二倍角公式
2sin αcos α
2cos2α-1
cos2α-sin2α
2
－1＝1－2sin －x；
－x
4
4
2
例题讲解
题型三：化简与证明
例3
(1)化简:cos2(θ+15°)+sin 2(θ-15°)+sin(θ+90°)cos(90°-θ);
2020高考数学第三章两角和与差的三角函数二倍角公式(第2课时)三角函数式的化简与求值课件
[解析] (1)∵cosA＝35，0<A<π，∴A 为锐角，且 sinA＝ 1－cos2A＝45.又 sinB ＝153<sinA，∴B<A，
∴B 为锐角且 cosB＝ 1－sin2B＝1123. ∴sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝6635.故选 D．
考点2 求值问题——多维探究
角度 1 给角求值 例 2 求下列各式的值．
(1)csions77°°＋－csoins1155°°ssiinn88°°； (2)tan20°＋4sin20°.
[解析] (1)原式＝scions1155°°－－88°°＋－csoins1155°°ssiinn88°°
A>B⇔sinA>sinB⇔cosA<cosB
例 5 (1)设 A，B 是△ABC 的内角，且 cosA＝35，sinB＝153，则 sinC＝
( D)
A．6635或－1665
B．1665
C．1665或－6635
D．6635
(2)(2018·河北唐山一中质检)在△ABC中，若sin(A－B)＝1＋2cos(B＋C)sin(A
＋C)，则△ABC的形状一定是
(D)
A．等边三角形
B．不含60°的等腰三角形
C．钝角三角形
D．直角三角形
[ 分 析 ] (1) 由 sinC ＝ sin(A ＋ B) ＝ sinAcosB ＋ cosAsinB 知 求 sinA 、 cosB 即
可．(2)利用cos(B＋C)＝－cosA，sin(A＋C)＝sinB及两角差的正弦经公式求解．
解法二：(从“名”入手，化异名为同名) 原式＝sin2αsin2β＋(1－sin2α)cos2β－12cos2αcos2β ＝cos2β－sin2α(cos2β－sin2β)－12cos2αcos2β ＝cos2β－sin2αcos2β－12cos2αcos2β ＝cos2β－cos2β(sin2α＋12cos2α) ＝1＋c2os2β－12cos2β＝12.
二倍角公式教案
二倍角公式
教材来源：高等教育出版社《数学（拓展模块）》
内容来源：中等职业《数学（拓展模块）》第一章1.1.4
主题：二倍角公式
课时：2课时第一课时
授课对象：高二学生
设计者：王雨来
目标确定的依据
1、课程标准的相关要求
通过公式的推导,理解二倍角公式，并能化简和求值。
2、教材分析
二倍角公式是在学生学习了和角公式以后，它又为研究三角函数的图象及性质等问题提供了又一必备的要素，因此它起着承上启下的作用，同时，也是培养学生逻辑思维能力和化归的重要数学思想方法。
3、学情分析
学生已经学习了两角和与差的正弦、余弦与正切，也能应用。
本节课重要学习二倍角公式的掌握以及应用。
对学生而言，能根据和角公式推出二倍角公式不难，可什么是二倍角关系，如何灵活应用是一个难点，通过提出问题，学生分组讨论，公式的探索和深入研究以及学生的课堂练习逐步化解难点。
目标
1、学生通过复习和角公式，能够推出两倍角公式
2、借助学生讨论归纳二倍角关系。
3、通过学生演板做题能够用二倍角公式求值化简。
评价任务
1、提问和角公式，引导学生推出二倍角公式。
2、提出问题什么是二倍角？什么样的角是二倍角，能举例举例说明。
3、能够独立的求值和化简，并会灵活应用。
教学过程。
专题04 二倍角的三角函数(知识串讲+热考题型+专题训练)(解析版)
专题4二倍角的三角函数（一）二倍角的正弦S 2α：sin2α＝2sin αcos α（二）二倍角的余弦C 2α：cos2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；（三）二倍角的正切T 2α：tan2α＝2tan α1－tan 2α；公式应用的条件：α≠24k ππ+且α≠k π＋2π(k ∈Z )，当α＝k π＋2π(k ∈Z )时，tan α不存在，求tan2α的值可采用诱导公式（四）二倍角公式的逆用、变形1.逆用形式：2sin αcos α＝sin2α；sin αcos α＝12sin2α；cos α＝sin2α2sin α；cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α＝cos2α；2tan α1－tan 2α＝tan2α．2.变形用形式：1±sin2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2；1＋cos2α＝2cos 2α；1－cos2α＝2sin 2α；cos 2α＝1＋cos2α2；sin 2α＝1－cos2α2．题型一公式的正用【典例1】（2022春·江苏南京·高一南京航空航天大学附属高级中学校考期中）已知()0,απ∈，1tan 2α=，则cos2α＝（）A ．15B ．35C ．45D ．1225【典例2】（2022春·江苏苏州·高一统考期末）已知向量3sin ,2,1,1cos a b αα=-=-，若2a b ⋅=-，则tan2α=（）A ．1213-B ．613-C ．125-D ．65-【典例3】（2022春·江苏徐州·高一校考竞赛）求sin sin sin 181818的值.由给出的某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变角”使“目标角”变成“已知角”，另外角的范围应根据所给条件进一步缩小，避免出现增解．题型二公式的逆用【典例4】（2022春·江苏盐城·高一江苏省响水中学校考阶段练习）设212tan13cos 66,,21tan 13a b c ︒=︒-︒==-︒则有（）A ．a b c >>B ．a b c <<C ．a c b<<D ．b<c<a正确的是（）A ．tan 25tan 3525tan 35︒+︒+︒⋅︒=B ．22ππ1cos sin 12122-=C ．2tan22.51tan45tan 22.52︒=︒-︒D．12sin10=(1)求值()4sin 67cos 27sin 23cos 27tan 40-- ；(2)已知ππ1sin sin 634αα⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ππ,32α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求sin 2α的值当出现（或可化成）公式右端结构形式时，注意“逆用”公式，简化解题过程.题型三公式的变用【典例7】（2023秋·重庆沙坪坝·=（）A ．1BCD 122122212212222sin cos sin cos π，Z sin cos sin cos sin θθθθθk θθθθθ⎛⎫+-+++=≠∈ ⎪+++-⎝⎭．【典例9】（2023·江苏·高一专题练习）已知cos 2,252θθπ=<<．(1)求tan θ的值；(2)求22cos sin 24θθπθ-⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．公式变形的主要形式有1±sin2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2,1＋cos2α＝2cos 2α，1－cos2α＝2sin 2α，cos 2α＝1＋cos2α2，sin 2α＝1－cos2α2．题型四三角函数式化简问题【典例10】（2022秋·河北承德·高一河北承德第一中学校考期末）化简：1cos15sin15·sin170cos15sin15⎫︒+︒-⎪⎪︒︒-︒⎝⎭____.sin21tan tan2ααα⎛⎫+=⎪⎝⎭__．︒-︒cos40sin501︒+︒︒1.三角公式化简求值的策略(1)使用倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．(3)使用公式求值，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．2.注意三角函数公式逆用、变形用及“变角、变名、变号”的“三变”问题(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．(2)注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，,23入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．题型五三角恒等式证明问题【典例13】（2023·江苏·高一专题练习）证明：ππ2sin sin cos 244ααα⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；【典例14】（2023·江苏·高一专题练习）求证：tan 1sin 2cos 2ααα=++【典例15】（2023春·湖北黄冈·高一校考阶段练习）（1）化简：cos()2sin sin αβαβ--；（2）求证：1sin cos sin 1sin cos 1cos θθθθθθ+-=+++．三角恒等式的证明方法(1)从等式的比较复杂的一边化简变形到另一边，相当于解决化简题目．(2)等式两边同时变形，变形后的结果为同一个式子．(3)先将要证明的式子进行等价变形，再证明变形后的式子成立．提醒：开平方时正负号的选取易出现错误，所以要根据已知和未知的角之间的关系，恰当地把角拆分，根据角的范围确定三角函数的符号．一、单选题1．（2023·江苏·高一专题练习）1sin cos ,sin25ααα+=-=（）A ．2425-B ．2425C ．1225D ．1225-2．（2023春·安徽·高三合肥市第六中学校联考开学考试）已知2sin 2cos24θ+=，则sin 2θ=A ．1516-B ．1516C ．34-D ．34tan 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则4tan 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．512B ．43-C ．34D ．43A ．0B ．2cos αC π4α⎛⎫- ⎪⎝⎭D π4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭5．（2022春·江苏宿迁·高一统考期末）若51sin 123⎛⎫+= ⎪⎝⎭πα，则cos 26πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（）A ．9B ．9-C ．79D ．79-sin (1sin 2)sin cos θθθθ+=+（）A ．25B ．25-C ．65D ．65-7．（2022春·江苏苏州·高一江苏省沙溪高级中学校考期中）已知0,απ∈，且sin cos 5αα-=，则22sin2cos sin ααα=-（）A ．247B ．12C ．12-D ．247-，且，则α=（）A ．9B ．18C ．27oD ．36o【答案】D【分析】根据二倍角公式和逆用余弦的差角公式化简得到()cos 29sin 9α+=，结合090α<< 得到29909α+=- ，求出α.【详解】因为()()sin181sin 22sin 9cos 91sin 2αα+=+，所以()22cos 9cos 22sin 9cos 91sin 2αα=+，整理得：cos9cos 2sin 9sin 2sin 9αα=+ ，cos9cos 2sin 9sin 2sin 9αα-= ，()cos 29sin 9α+= ，因为090α<< ，所以929189α<+< ，所以29909α+=- ，解得：36α= 故选：D.二、多选题9．（2022春·江苏盐城·高一盐城市伍佑中学校考期中）下列等式成立的是（）A ．22cos 15sin 15-B ．sincos 882ππ=C ．1sin 4040sin 702=D ．tan152=10．（2022春·江苏徐州·高一统考期中）已知sin cos 5αα+=，以下选项正确的是（）A ．24sin 225α=±B ．7sin cos 5αα-=±C ．7cos 225α=±D ．447sin cos 25αα-=±11．（2023秋·宁夏银川·高一银川唐徕回民中学校考期末）24cos 20︒=___________.12.（2022春·江苏盐城·高一统考期中）若(,2)2απ∈_____．13．（2022秋·上海宝山·高一上海交大附中校考阶段练习）已知tan 2θ=-π02θ<<.(1)求tan θ；(2)求22cos sin 12π4θθθ+-⎛⎫- ⎪⎝⎭.14．（2023秋·陕西渭南·高一统考期末）（1）已知2sin sin 22α=-，求sin cos cos2ααα+的值；（2）已知ππ22x -<<，1sin cos 5x x +=，则2sin22sin 1tan x x x+-．15．（2023·江苏·高一专题练习）已知向量()()sin ,1,3,cos m n αα=-=-，其中,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且m n ⊥ ．(1)求tan α和sin 2α的值；(2)若sin()αβ+=0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求角β的值．16．（2022春·江苏盐城·高一盐城中学校考期中）已知向量()cos ,sin a αα=，122b ⎫=-⎪⎪⎝⎭，02πα<<．(1)若a b ⊥时，求sin 21cos 2αα+的值；(2)若a b -= sin 212απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．。
专题：三角函数及解三角形 第二课时 三角函数的图象与解析式(课件)高三数学二轮复习
（D）y=2sin（2x– ）
3
题型突破
题型一 三角函数的图象变换问题
2.(2022·浙江高考)为了得到函数y=2sin 3x的图象,只要把函数 y 2sin3x
5
图象上所有的点 ( D )
A.向左平移 个单位长度
5
B.向右平移 个单位长度
5
C.向左平移 个单位长度
15
D.向右平移 个单位长度
( C)
A． 10π 9
B． 7π 6
C． 4π 3
D． 3π 2
题型突破
题型二 三角函数的图象及应用
7. 如 图 所 示 的 曲 线 为 函 数 f x Acosx A 0, 0, 的 部 分 图 象 , 将
2
y f x 图象上的所有点的横坐标伸长到原来的 3 倍,再将所得曲线向右平移
2
8
个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,求 gx =
2sin 2x
达标检测
1.为了得到函数 y 2sin 2x 的图象，可以将函数y＝2sin
3
2x的图象(
C)
A．向右平移π 个单位长度 6
B．向右平移π 个单位长度 3
C．向左平移π 个单位长度 6
D．向左平移π 个单位长度 3
达标检测
15Leabharlann 题型突破题型一 三角函数的图象变换问题
3. （2021年全国乙卷）把函数y＝f（x）图像上所有点的横坐标缩短到原来的1 2
倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移 个单位长度，得到函数
3
y＝sin（x−
）的图像，则f（x）＝（
4
B
）
A．sin（
2
−
7）
二倍角公式教案
3．1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式（第一课时）一．学习目标1.知识与技能（1）能够由和角公式而导出倍角公式；（2）能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明，增强观察、运用数学知识和逻辑推理能力；2.过程与方法通过推导倍角公式，领会从一般转化为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的结构美，激发学习数学和学好数学的兴趣；通过练习、例题解析，总结方法，进一步理解和巩固所学知识.3.情感态度价值观通过本节的学习，使同学们对三角函数各个公式之间有一个全新的认识；增强学生灵活运用数学知识、逻辑推理能力和综合分析能力，提高逆用、灵活思维的能力.二．学习重、难点重点：倍角公式的应用.难点：倍角公式的推导、变式应用.三 .学法：(1)自主、探究性学习：学生自己由和角公式导出倍角公式，领会从一般化为特殊的数学思想，通过练习、对改、纠错，体会公式所蕴涵的结构美，激发学好数学的兴趣.四.学习预设【探究新知】1.复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式：用一道练习题检测并引出新课.2.提问课本132页探究的问题及其结果，得出三个二倍角公式：（１）（２）• 1.复习本节课练习、例题，研究二倍角的正余弦公式有哪些常用变形；• 2.研究二倍角的正切公式成立的条件.3．1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式（第二课时教案）一.学习目标：1.知识与技能（1）能推导和理解半角公式；（2）揭示知识背景，引发学生学习兴趣，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识. 并培养学生综合分析能力.2.过程与方法让学生自己由和角公式而导出半角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣.3.情感态度价值观通过本节的学习，使同学们对三角函数各个公式之间有一个全新的认识；增强学生灵活运用数学知识、逻辑推理能力和综合分析能力.提高逆用思维的能力.二．学习重、难点重点：半角公式的应用.难点：半角公式的推导.三 .学法：作业布置：Ｐ１３８１６，１７，１８。
4.3 二倍角的三角函数公式
教师辅导讲义半角三角函数的公式(半角公式)sin α2＝± 1－cos α2；cos α2＝± 1＋cos α2； tanα2＝±1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.在这些公式中，根号前面的符号由α2所在象限相应的三角函数值的符号确定，若α2所在象限无法确定，则应保留根号前面的正、负两个符号.【知识点讲解三：二倍角余弦公式的运用】在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛.常用形式： ①1＋cos 2α＝2cos 2 α；②cos 2 α＝1＋cos 2α2；③1－cos 2α＝2sin 2 α；④sin 2 α＝1－cos 2 α2. 【例题解析1】利用二倍角公式求值[例1] (1)求下列各式的值：①23－43sin 2 15°； ②cos π5cos 2π5.(2)已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35，π2≤α<3π2，求cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4的值.【巩固练习1】1.(1)已知x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos x ＝45，则tan 2x ＝( )【本知识点小结2】【例题解析3】三角函数性质与恒等变换的综合应用[例3] 已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ·cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－ 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期； (2)讨论f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的单调性.【巩固练习3】3.(1)函数y ＝32sin x ＋cos 2 x2的最小正周期为________. (2)函数y ＝cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π2的最大值是________，最小值是________.【本知识点小结3】 四、当堂检测限时（分钟） 用时（分钟）难度 分值 得分 得分率1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对于任意的角α，都有sin 2α＝2sin α成立.( )(2)存在角α，使cos 2α＝2cos α成立.( ) (3)cos 3αsin 3α＝12sin 6α对任意的角α都成立.( )(4)cosα2＝1＋cos α2.( ) 2.若sin α＝13，则cos 2α＝( )A.89B.79C.－79D.－893.已知sin α＝3cos α，那么tan 2α的值为( )A.2B.－2C.34D.－344.已知2π<θ<4π，且sin θ＝－35，cos θ<0，则tan θ2的值等于( )A.－3B.3C.－13D.135.若cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35，则sin 2α＝( )A.725 B.15 C.－15D.－7256.若cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12，则sin 2α的值为( )A.－78B.78C.－47D.477.设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A.3α－β＝π2B.2α－β＝π2C.3α＋β＝π2D.2α＋β＝π28.(多选题)下列各式中，值为32的是( ) A.2sin 15°cos 15° B.cos 2 15°－sin 2 15° C.1－2sin 2 15°D.sin 2 15°＋cos 2 15°9.(多选题)设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2sin 13°cos 13°，c ＝1－cos 50°2，则下列结论不正确的是( )A.a >b >cB.a <b <cC.a <c <bD.b <c <a10.已知|cos θ|＝35且5π2<θ<3π，则tan θ2的值为________.11.已知tan α＝2，则sin 2α－cos 2α1＋cos 2 α＝________.12.函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x 在区间⎣⎡⎦⎤π4，π2上的最大值是________.13.若tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝12，则tan 2α＋1cos 2α＝________. 14.已知sin x 2－2cos x2＝0.(1)求tan x 的值； (2)求cos 2xcos⎝⎛⎭⎫5π4＋x sin （π＋x ）的值.15.设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋sin 2 x －12.(1)当x ∈[0，π]时，求f (x )的单调递减区间； (2)当f ⎝⎛⎭⎫α－π8＝33时，求f (2α)的值.。
高中数学课件——倍角公式 课时二
取得最小值时x的集合.
讲解范例： 例4. 若函数 f ( x ) 3 sin 2 x 2 cos x m 在区间 [0, ] 上的最大值为6，求常数 2 m的值及此函数当x∈R时的最小值及
2
取得最小值时x的集合.
课堂小结
1. 二倍角公式
课堂小结
1. 二倍角公式
sin 2 2 sin cos
点评：
例3是三角恒等变换在数学中应 用的举例，它使三角函数中对函数 y＝Asin(x+)的性质研究得到延伸， 体现了三角变换在化简三角函数式 中的作用．
讲解范例： 例4. 若函数 f ( x ) 3 sin 2 x 2 cos x m 在区间 [0, ] 上的最大值为6，求常数 2 m的值及此函数当x∈R时的最小值及
2 tan tan 2 2 1 tan
课堂小结
1. 二倍角公式
sin 2 2 sin cos
2 tan tan 2 2 1 tan 2. 二倍角变式
课堂小结
1. 二倍角公式
sin 2 2 sin cos
2 tan tan 2 2 1 tan 2. 二倍角变式 2 2 cos 1 2 cos 2讲解 Nhomakorabea例： 例1.
讲解范例：
例2. 利用三角公式化简
sin 50(1 3 tan 10 ).
讲解范例： 例3. 已知函数
f ( x ) cos x 2 sin x cos x sin x.
4 4
(1)求f ( x )的最小正周期 ; ( 2)当x [0， ]时, 求f ( x )的最小值及 2 取得最小值时 x 的集合.
课堂小结
教学设计2：二倍角的三角函数【区一等奖】
二倍角的三角函数（第2课时）教学目标：1. 理解化归思想在公式推导中的作用2．灵活运用二倍角公式进行三角恒等变换。
重点：二倍角公式的灵活运用难点: 灵活运用二倍角公式进行三角恒等变换教学过程：一、回顾：二倍角公式. ｓｉｎ２α＝２ｓｉｎαｃｏｓα，（Ｓ２α）ｃｏｓ２α＝ｃｏｓ２α－ｓｉｎ２α，（Ｃ２α）二、学生活动（数学应用）：例1 化简.sin )6(sin )6(sin 222απαπα-++-例2 求证：1)10tan 31(50sin 00=+例 3 在半圆形钢板上截取一块矩形材料，怎样截取能使这个矩形的面积最大？解 如图，设 ∠ＡＯＢ ＝θ，且θ为锐角，半圆的半径为Ｒ ，则面积最大的矩形ＡＢＣＤ 必内接于半圆Ｏ，且两边长分别为ＡＢ ＝Ｒｓｉｎθ，ＤＡ ＝２ＯＡ ＝２Ｒｃｏｓθ．这个矩形的面积为Ｓ矩形ＡＢＣＤ＝ＡＢ·ＤＡ ＝Ｒｓｉｎθ·２Ｒｃｏｓθ＝Ｒ２ｓｉｎ２θ．所以，当ｓｉｎ２θ＝１（θ为锐角），即θ＝４５°时，矩形ＡＢＣＤ 的面积取得最大值Ｒ２．答 2时，所截矩形的面积最大．例4 已知5sin 2,,1342ππαα=<<求sin 4,cos 4,tan 4ααα的值． 解：由,42ππα<<得22παπ<<． 又因为5sin 2,13α=22512cos 21sin 211313αα⎛⎫=--=-=- ⎪⎝⎭． 于是512120sin 42sin 2cos 221313169ααα⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭； 225119cos 412sin 21213169αα⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭；120sin 4120169tan 4119cos 4119169ααα-===-．三 练习：课本122页 练习1，2，3。
四 小结：二倍角公式进行三角恒等变换，体会化归转化思想和函数思想在解题中的应用。
五 作业：课本 123页 习题 4，5，6，7。
《二倍角的正弦、余弦、、正切公式》详案
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式一、教材分析1、二倍角公式的重要性：三角函数是高中数学重要内容之一，而二倍角公式又是三角函数中的重中之重，有着广泛的实际应用，在高考中占有相当大的比重。
2、教学要求：引导学生发现数学规律，让学生体会化归这一基本数学思想在发现中所起的作用，培养学生的创新意识。
3、课时分配：2课时。
二、学情分析1、基础知识情况：二倍角的正弦、余弦、正切是在前面学到的两角和与差的公式的基础上，再进一步研究具有“二倍角”关系的正弦、余弦、正切公式，它一方面是两角和与差的正弦、余弦、正切公式的特殊化，另一方面为后面求三角函数值、化简、证明提供了重要的理论依据。
2、能力基础情况：二倍角的公式是两角和公式的特例，培养学生学习高中数学中的由一般到特殊的思想，培养学生的探索精神、创新能力、逻辑推理能力。
3、学生的习惯情况：对于知识的掌握程度还停留在表层，把知识只作为一个个独立的模块来认识，没有把知识与知识互相联系起来。
三、教学重难点1、教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角的正弦、余弦和正切公式，二倍角公式的运用。
2、教学难点：二倍角公式的证明及应用。
四、教学目标1、知识目标：理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形，体会三角恒等变形在数学中的应用。
2、能力目标：通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促进学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形、以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力。
3、德育目标：通过学习，使学生进一步掌握辩证唯物主义联系的观点，自觉地利用联系的观点。
五、教法与学法1、引导学生重新审视)tan(),cos(),sin(βαβαβα+++这组公式，让学生真正理解，在公式中对α,β合理赋值不会改变等式的成立，因此ααα2tan ,2cos 2sin ，这组公式还是让学生自己从)tan(),cos(),sin(βαβαβα+++这组公式中发现，体会将一般化为特殊的化归思想。
二倍角的三角函数
跟踪训练1 求下列各式的值： (1)cos21π2－sin21π2；
解
原式＝cos
π6＝
3 2.
(2)cos 27πcos 47πcos 67π；
2π 2π 4π 6π
解
2sin 原式＝
7 cos
7 cos 2π
7 cos
7
2sin 7
4π 4π 6π 8π 6π
sin ＝
7 cos
7 cos 2π
例3
(1)化简：11＋ ＋ssiinn
2θ－cos 2θ＋cos
2θ 2θ.
解
方法一
原式＝11－ ＋ccooss
2θ＋sin 2θ＋sin
2θ 2θ
＝22csoins22θθ＋＋22ssiinn
θcos θcos
θ ＝ 2sin θ 2cos
θsin θ＋cos θcos θ＋sin
θθ＝tan
θ.
跟踪训练 3 若π4＜α＜π2，则 1－sin 2α＝ sin α－cos α .
解析 ∵α∈π4，π2，∴sin α＞cos α， ∴ 1－sin 2α＝ 1－2sin αcos α ＝ sin2α－2sin αcos α＋cos2α ＝ sin α－cos α2＝sin α－cos α.
核心素养之数学建模
解 连接OB，如图所示，设∠AOB＝θ， 则 AB＝OBsin θ＝20sin θ，OA＝OBcos θ＝20cos θ，且 θ∈0，π2. 因为A，D关于原点对称， 所以AD＝2OA＝40cos θ. 设矩形ABCD的面积为S，则 S＝AD·AB＝40cos θ·20sin θ＝400sin 2θ. 因为 θ∈0，π2，所以当 sin 2θ＝1，即 θ＝π4时，Smax＝400 m2. 此时 AO＝DO＝10 2 m.
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二倍角的三角函数第2课时
第2课时【学习导航】知识网络 1．熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角―降次，降角―升次） 2．特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形：这两个形式今后常用。
学习要求要求学生能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明，增强灵活运用数学知识和逻辑推理能力重点难点重点：理解倍角公式，用单角的三角函数表示二倍角的三角函数难点：灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式��【自学评价】 1．有关公式：（1）；（2）；（3）。
说明： 1、在倍角公式中，以代替，以代替，即得；则将（1）（2）相除即得。
2、如果知道cosα的值和α角的终边所在象限，就可以将右边开方，从而求得； 3、这三个公式的开方形式称为半角公式，不要求记忆，但推导方法要掌握。
4、。
说明：1、用正切的半角公式显然行不同（带正负号），回到基本关系式，并向右边看齐； 2、这种形式的正切半角公式不需考虑符号，要简单。
【精典范例】例1化简：【解】
例2求证：
【证明】
【思维点拨】关于“升幂”“降次”的应用:在二倍角公式中，“升次”“降次”与角的变化是相对的。
在解题中应视题目的具体情况灵活掌握应用。
例3求函数的值域。
【解】
例4求证：的值是与无关的定值。
【证】
例5 化简：【解】
例6 求证：【证明】例7利用三角公式化简：【解】
【追踪训练】 1．若≤α≤ ，则等于( ) 2．的值等于( ) Ａ。
sin2 Ｂ。
－cos2 Ｃ。
cos2 Ｄ。
－ cos2
3．sin6°cos24°sin78°cos48°的值为( ) 4．的值等于。
5．已知sinｘ＝，则sin2（ｘ－）的值等于。
6．已知
7．求值tan70°cos10°（tan20°－1）。
8．求值：cos280°＋sin250°－sin190°•cos320°��
9．求的值。
��10．已知，求的值。
【师生互动】学生质疑教师释疑。