复数的四则运算

1.复数加减法的运算法则： 复数加减法的运算法则： 复数加减法的运算法则 (1)运算法则:设复数z (1)运算法则:设复数z1=a+bi,z2=c+di, 运算法则 那么： 那么：z1+z2=(a+c)+(b+d)i;
z1-z2=(a-c)+(b-d)i. =(a-c)+(b即: 两个复数相加( 两个复数相加(减)就是实部与实部， 就是实部与实部， 虚部与虚部分别相加(减). 虚部与虚部分别相加(
z1z2=z2z1; (z1z2)z3=z1(z2z3); z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.
四、例题应用： 例题应用：
例1.计算 (5 − 6i) + (−2 −i) − (3+ 4i) 1.计算
解: (5 − 6i) + (−2 − i) − (3 + 4i)
= (5 − 2 − 3) + (−6 −1− 4) i = −11i
复数的四则运算
一、复习回顾： 复习回顾： 1.虚数单位 的引入； 虚数单位i的引入 1.虚数单位 的引入； 2.复数有关概念 复数有关概念： 2.复数有关概念： 复数的代数形式: 复数的代数形式: z = a + bi (a ∈ R, b ∈ R)
复数的实部 a ，虚部 实数： 实数： b = 0(a ∈R); 虚数： 虚数： b ≠ 0(a ∈R);
2
+ i +LL+ i
3
2 3 4
2009
解：原式 = i + i + i + i + i ） ... + +
5 6 7 8
（i
2005
+i
1
2006
+i
2007
+i
2008
）i +
2009
= 0+i =i
常用结论： 常用结论：
(1 ± i ) = ±2i;
2
1 1+ i = −i; = i; i 1− i
注意到 i 2 = −1 ，虚数单位 i 可以和实数进行运 算且运算律仍成立，所以复数的加 复数的加、 算且运算律仍成立，所以复数的加、减、乘运算我 们已经是自然而然地在进行着， 们已经是自然而然地在进行着， 只要把这些零散的 操作整理成法则即可了！ 操作整理成法则即可了！
三、知识新授： 知识新授：
例1
3 例 、下列命题中正确的是 (1)如果 1 + Z2是实数，则 1、Z2互为共轭复数 Z 是实数， Z (2)纯虚数 的共轭复数是 Z。 Z − (3)两个纯虚数的差还是纯 虚数 (4)两个虚数的差还是虚数 。
(2)
4 例 、下列命题中的真命题 ： 为 (A)若Z1 + Z2 = 0, 则Z1与Z2互为共轭复数。 互为共轭复数。 (B)若Z1 + Z2 = 0,则Z1与 2互为共轭复数。 Z 互为共轭复数。 (C)若Z1 − Z2 = 0,则Z1与Z2互为共轭复数。 互为共轭复数。 (D)若Z1 − Z2 = 0,则Z1与 2互为共轭复数。 Z 互为共轭复数。
解:原式= a − (bi ) = a + b 原式=
2 2
2
2
一步到位! 一步到位!
注意 a+bi 与 a-bi 两复数的特点 - 两复数的特点.
3. 共轭复数的概念、性质： 共轭复数的概念、性质：
(1)定义 定义: 定义 实部相等,虚部互为相反数的两个复数 实部相等,虚部互为相反数的两个复数 互为共轭复数 共轭复数. 互为共轭复数.
解：因为 4 − 20i 的共轭复数是 4 + 20i 根据复数相等的定义， ，根据复数相等的定义， 可得 x 2 + x − 2 = 4, x = −3或x = 2 解得 2 x = −3或x = 6 x − 3 x + 2 = 20. 所以 x = −3 ．
【例3】求值： i + i 】求值：
我们知道,两个向量的和满足平行四边形 我们知道 两个向量的和满足平行四边形 法则, 复数可以表示平面上的向量， 法则 复数可以表示平面上的向量，那么复数 的加法与向量的加法是否具有一致性呢？ 的加法与向量的加法是否具有一致性呢？ 设z1=a+bi z2=c+di,则z1+z2=(a+c)+(b+d)i uuuu则 r uuuu r
b
.
a = 0 纯虚数： 纯虚数： b ≠ 0 复数相等 a + bi = c + di ⇔
特别地， =0⇔ 特别地，a+bi=0⇔
a=b=0
a = c b = d
.
问题1： 问题 ：
a=0是z=a+bi(a、 R)为 a=0是z=a+bi(a、b∈R)为 纯虚数的
必要不充分
条件
问题2:一般地, 问题2:一般地,两个复数只能说相等或不相 2:一般地 等,而不能比较大小. 而不能比较大小.
1 3 6.已知 的值. 6.已知 z = − + i ,求 2 z 3 + 3 z 2 + 3 z + 9 的值. 2 2
7.在复数集 内 7.在复数集C内，你能将 x2 在复数集
3
(x+yi)(x-yi) -
+y
2 分解因式吗？ 分解因式吗？
8
（） 例2：计算 1 (a + bi )(a − bi )
= a − abi + abi − b i
2
2 2
= a +b
2
2
复数的乘法与多项 式的乘法是类似的. 式的乘法是类似的. 我们知道多项式的乘法用 乘法公式可迅速展开, 运算, 乘法公式可迅速展开, 运算, 类似地, 类似地,复数的乘法也可大胆 运用乘法公式来展开运算. 运用乘法公式来展开运算.
如图, 如图, z1 对应向量 OZ1 , z2 对应向量 OZ 2 ,根据向量 uuu uuuu uuuu r r r 加法可知 OZ = OZ1 + OZ 2 uuuu r uuuu r y ∵ OZ1 = (a, b) , OZ2 = (c, d ) Z Z2(c,d) 根据向量加法的坐标运算 的坐标运算可知 根据向量加法的坐标运算可知 uuu uuuu uuuu r r r OZ = OZ1 + OZ2 = (a, b) + (c, d ) Z1(a,b) = (a + c , b + d )
4 4 ∴ x1 + x2 = (1 + i )4 + (1 − i )4 = (2i )2 + (−2i )2 = −8.
注:在复数范围内方程的根与系数的关系仍适用. 在复数范围内方程的根与系数的关系仍适用. 3.已知复数 x2 + x − 2 + ( x2 − 3x + 2)i( x ∈R) 是 4 − 20i 3.已知复数 的共轭复数， 的值． 的共轭复数，求x的值． 的值
1− i = 1+ i
−i.
求证： 设 ω = − 1 + 3 i ，求证： 2 2 ；（2） （1） + ω + ω 2 = 0 ；（ ） ω 3 = 1. ） 1 1 3 1 3 2 3 1 + ω ( − 12+= 13 i( − + i ) + (− + i) +ω + )3 ） 证明： （1） 证明：（2） ω = ） 2 2 2 2 2 2 1 3 1 1 + 3 i ) 2 ( −1 + 3 i )1 3 3 2 2 ( = =− + 2 2 2 i + ( − 2 ) −2 × 2 × 2 i + ( 2 i ) 2 2 2 1 3 1 1 3 (1 i ) == − +− 3 i +)( −− +3 i −i3 = ( − 1 ) 2 − ( 3 i ) 2 2 2 2 2 22 4 2 2 2 4 1 = 0; + 3 = 1 = 4 4
(2)复数的加法满足交换律、结合律, (2)复数的加法满足交换律、结合律, 复数的加法满足交换律 即对任何z1,z2,z3∈C,有: ∈C,有
z1+z2=z2+z1, (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
2.复数的乘法： 复数的乘法： 复数的乘法
(1)复数乘法的法则 (1)复数乘法的法则 复数的乘法与多项式的乘法是类似 的,但必须在所得的结果中把i2换成-1, 但必须在所得的结果中把i 换成并且把实部合并.即: 并且把实部合并.
复数 z=a+bi 的共轭复数记作 z,
即 z = a − bi
(2)共轭复数的性质 共轭复数的性质: 共轭复数的性质
思考： ),那么 思考：设z=a+bi (a,b∈R ),那么 z + z = ?
z −z =?
z + z = 2a；z - z = 2bi.
另外不难证明: 另外不难证明 z
1
+ z2 = z1 + z2 , z1 − z2 = z1 − z2
2 2
（2）a + bi ) = a + 2abi + b i (
2 2
= a − b + 2abi
2 2
（3） − 2i )(3 + 4i )(−2 + i ) (1
(1− 2i)(3+ 4i)(−2 + i) = (11− 2i)(−2 + i) = −20 +15i
(1)计算 计算(a+bi)(a-bi) 计算 -