四川成都市龙泉第一中学2015-2016学年高二上学期入学考试数学试题 Word版含答案

成都市龙泉一中2015-2016学年高二（上）入学考试试题数 学考试时间：120分钟；满分：150分第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，有且仅有一个选项是符合题意的）1．已知,,,a b c d R ∈，且0ab >，c da b-<-，则下列各式恒成立的是( ) A.bc ad < B.bc ad > C.a b c d > D.a bc d<2．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知32175,2S a a a =+=，则5a = （ ）A ． 2B ．12-C ． 12D ．2- 3．如图是一个几何体的三视图（侧视图中的弧线是半圆），则该几何体的表面积是（ ）.A ．20＋3πB ．24＋3πC ．20＋4πD ．24＋4π4．已知1sin cos()3απα+-=，则sin 2α的值为（ ） A ． 49 B ．19 C ．89- D ．895．函数f （x ）=的定义域为（ ）A ． （0，）B ．（2，+∞）C ．（0，）∪（2，+∞）D ．（0，]∪[2，+∞） 6．在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点(1)P -，则sin(2)2πα-=（ ）A B ．．12 D ．12-7．如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10 m 到位置D ，测得∠BDC ＝45°，则塔AB 的高是（ ）（单位：m ）A ．10B ．10C ．10D ．108．等差数列{}n a 中，11,m k a a k m==()m k ≠，则该数列前mk 项之和为（ ）A ．12mk -B ．2mk C ．12mk + D ．12mk+ 9．在ABC ∆中，内角C B A 、、的对边分别是c b a 、、，若22()6c a b =-+，ABC ∆的面积为2，则C =（ ) A ．23π B ． 3π C ．6π D ．56π 10．如图所示，在ABC ∆中，AD DB =，F 在线段CD （不在端点处）上，设AB a =uu u r r ，AC b =u u u r r ，AF xa yb =+u u u r r r ，则14x y+的最小值为（ ）A．3 C. 9D. 11的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将表面积为4π的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变, 则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为（ ）AD12．已知函数31()sin 22f x x x x =++在R 上单调递增，数列{}n a 是公差为d 的等差数列，且123420150a a a a a ++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅<， 记1232015()()()()m f a f a f a f a =+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅，关于实数m ，下列说法正确的是（ ）A ．m 恒为负数B ．m 恒为正数C ．当0>d 时，m 恒为正数；当0<d 时，m 恒为负数D ．当0>d 时，m 恒为负数；当0<d 时，m 恒为正数第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题（共4小题，每题5分，共20分，请将答案填在题中的横线上）13．函数sin 4y x x =+的最小正周期是 ；14．设数列}{n a 满足21=a ，)(11*1N n a a a nnn ∈-+=+，则该数列的前2015项的乘积=⋅⋅⋅⋅⋅2015321a a a a _________.15．已知ABC ∆中，222sin sin 2sin A B C +=，则cos C 的最小值是 ；16．已知侧棱长为2的正三棱锥S ﹣ABC 如图所示，其侧面是顶角为20°的等腰三角形，一只蚂蚁从点A 出发，围绕棱锥侧面爬行两周后又回到点A ，则蚂蚁爬行的最短路程为 ．三、解答题（共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、演算步骤和证明过程） 17．（本小题满分12分）已知函数2()2f x ax bx a =+-+．（Ⅰ）若关于x 的不等式()0f x >的解集是(1,3)-，求实数,a b 的值；（Ⅱ）若2,0b a =>，解关于x 的不等式()0f x >．18．（本小题满分12分）在海岸A 处 ，发现北偏东450方向，距A 1海里B 处有一艘走私船，在A 处北偏西750方向，距A 处2海里的C 处的缉私船奉命以/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B 处向北偏东030方向航行，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船，并求出所需时间．19．（本小题满分12分）对于数列{}n a ，定义其积数是()123,nn a a a a V n N n+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=∈．（Ⅰ）若数列{}n a 的积数是1n V n =+，求n a ；（Ⅱ）等比数列{}n a 中，23,a =324a a a 是和的等差中项，若数列{}n a 的积数n V 满足21n t V n-≥对一切n N +∈恒成立，求实数t 的取值范围． 20．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边为c b a 、、，且满足cos 2cos 22cos cos 66A B A A ππ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（Ⅰ）求角B 的值； （Ⅱ）若3=b 且a b ≤，求c a 21-的取值范围．21．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，向量)1,n S （=a ,)21,12-=n （b ,满足条件b a λ=,R ∈λ且0≠λ. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设函数xx f )21()(=，数列{}n b 满足条件21=b ，)(,)3(1)(1*+∈--=N n b f b f n n①求数列{}n b 的通项公式； ②设nnn a b c =，求数列{}n c 的前n 项的和n T . 22．（本小题满分10分）如图是一圆柱形水池，容积为2000π立方米，圆柱的底面直径与母线长相等。

现在水池内修筑了一个三棱柱111ABC A B C -，此三棱柱的高与圆柱的高相等，且底面三角形是正三角形，三个顶点,,A B C 在底面圆周上，求此三棱柱的体积。

成都市龙泉一中2015-2016学年高二（上）入学考试数学试题参考答案及评分标准1．B 【解析】因为bd a c ab -<->,0，两边同时乘以ab ，得到ad bc -<-，两边再同时乘以1-，变号，即ad bc>，故选B .2．C 【解析】3211235S a a a a a =+=++，所以314a a =，即24q =，所以7522142a a q ===. 3．A 【解析】由几何体的三视图分析可知，该几何体上部为边长为2的正方体，下部为底面半径为1、高为2的半圆柱体，故该几何体的表面积是=⨯⨯⨯+⨯+⨯⨯2121212252ππ20＋3π，故选A. 4．D 【解析】由诱导公式得()31cos sin cos sin =-=-+αααπα， ()91cos sin 2=-∴αα，化简得98cos sin 22sin ==ααα 5．解：要使函数有意义，则，即log 2x ＞1或log 2x ＜﹣1，解得x ＞2或0＜x ＜，即函数的定义域为（0，）∪（2，+∞），故选：C 6．D 【解析】由已知得3cos 2α=-，1sin 2α=-，所以21sin(2)cos 22sin 122πααα-=-=-=-. 7．A 【解析】设塔高为x 米，根据题意可知在△ABC 中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，AB=x ， 从而有BC ＝33x ，AC ＝332x 在△BCD 中，CD=10，∠BCD=60°+30°+15°=105°，∠BDC=45°，∠CBD=30°由正弦定理可得，CBD CD BDC BC ∠=∠sin sin ，可得BC ＝21030sin 45sin 1000==x 33，解得610=x 8．C【解析】设公差为,d 由已知1111111,(1)(1),k k m d a a k d k m k mk m mk mk-===--=--⋅=-所以，1(1)1(1)11,222mk mk mk mk mk mk S mka d mk mk mk --+=+=⋅+⋅=选C . 9．B 【解析】由22222()626c a b a b c ab =-+⇒+-=-由余弦定理得2222cos ab C a b c =+- 所以cos 3ab C ab =- ①在ABC ∆中，133sin 2ABCS ab C ∆==33sin 33ab C ab == ② 由①②得333333sin sin 33sin()3C C C C C π=⇒+=⇒+=因为在ABC ∆中，0C π<<，所以4333C πππ<+<，所以2333C C πππ+=⇒=， 10．D 【解析】因为D 是AB 中点，故2AF xa yb xAD yAC =+=+u u u r r r u u u r u u u r且x ＞0，y ＞0因为C 、F 、D 三点共线，故2x ＋y ＝1于是14148()(2)66y xx y x y x y x y+=++=++≥+11．D 【解析】蛋巢的底面是边长为1的正方形，所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为1.鸡蛋的表面积为若4π，所以球的半径为1，所以球心到截面的距离为d==而截面到底面的距离即为三角形的高1212+. 12．A 【解析】∵函数x x x x f s i n 31)(3-+=的定义域为R ，是奇函数，且它的导数0cos 1)(2≥-+='x x x f ，故函数f （x ）在R 上是增函数．数列}{n a 是公差为d 的等差数列，11008-=a ，当d ＞0时，数列为递增数列，由022*********<-==+a a a ，可得12015a a -<，所以)()()(112015a f a f a f -=-<，所以0)()(20151<+a f a f ，同理可得，0)()(20142<+a f a f ，0)()(20133<+a f a f ，．．．．． )()()()(2015321a f a f a f a f m ++++= 0)()()()()(10082014220151<+++++=a f a f a f a f a f 当d ＜0时，数列为递减数列，同理求得 m ＜0．当d=0时，该数列为常数数列，每一项都等于-1，故0)()()()(2015201421<++++=a f a f a f a f m ，故选A13．2π14．3.【解析】由题意可得，121131a a a +==--，2321112a a a +==--，3431113a a a +==-，4514121a a a a +===-，∴数列{}n a 是以4为周期的数列，而201545033=⨯+，∴前2015项乘积为1233a a a =.15．1216． 【解析】由题意，利用侧面展开图两次，则顶角为120°，利用余弦定理可得蚂蚁爬行的最短路程为=．故答案为：．17．解：（1）由题1-=x，3是方程022=+-+a bx ax 的二根．……2分代入有⎩⎨⎧=++=02382b a b ，∴⎩⎨⎧=-=21b a ……6分（2）)1)(2(22)(22++-=+-+==x a ax a x ax x f b时， ……8分∵0>a ∴0)1)(20)(>+-->x a a x x f 化为（ ……9分①当⎭⎬⎫⎩⎨⎧->-<≥-≥-a a x x x a a a 211,12或时，解集为即 ……11分②⎭⎬⎫⎩⎨⎧->-<<<-<-1210,12x a a x x a a a 或时，解集为即 ……12分18．解：设在D 处追上走私船，所需时间为t 小时，则CD=，BD=10t ……2分在ABC ∆中，∵BAC ∠=007545+=0120，1，BC=2，由余弦定理得 2BC=22221)21)cos120+-⨯=6， ……6分cos CBA ∠=2222AB BC AC AB BC +-∙=2又∵0︒<∠CBA 180<︒，则∠CBA=450，则C 在B 的正西方向， ……8分在BCD ∆中，0120CBD ∠=，由余弦定理得2222cos CD BC BD BC CD CBD =+-⨯∠，即2220)(10)210t t =+-⨯，解得，t =t =， ……10分 ∴CD=BD=BC ，∴030DCB BDC ∠=∠=， 故缉私船沿东偏北300方向追截，所需时间为 ……12分 19．解：（1）1n V n =+ ()1231n a a a a n n ∴⋅⋅=+ ①当2n≥，()12311n a a a a n n -∴⋅⋅=-⋅ ②①/②得：11n n a n +=- ……4分 当111,2n a V === 211n a n n ⎧⎪∴=+⎨⎪-⎩ ()()12,n n n N +=≥∈ ……6分（2）设等比数列{}n a 的公比为q 3a 是2a 和4a 的等差中项，且2a =33242a a a ∴=+ 22222a q a a q ⋅=+2210q q -+= ()210q -= 1q ∴= ……8分 3,n a ∴=………………9分()321n n t V n N n n +-=≥∈则恒成立即()min213nt -≤ 则 213t -≤ 即2t ≤ ……12分20.解：（1）由已知cos 2cos 22cos cos 66A BA A ππ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得2222312sin 2sin 2cos sin 44B A A A ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭……2分化简得sin B = ……4分故233B ππ=或． ……6分（2）因为b a ≤，B A ∴≤ 所以3B π=， …………7分由正弦定理2sin sin sin a c b A C B ====，得a=2sinA,c=2sinC ，……8分122sin sin 2sin sin 23a c A C A A π⎛⎫-=-=-- ⎪⎝⎭3sin 26A A A π⎛⎫==- ⎪⎝⎭ ……10分 因为b a ≤，所以2,33662A A πππππ≤<≤-<， ……11分所以126a c A π⎛⎫-=-∈ ⎪⎝⎭． ……12分21．解：（1）因为a b λ= 所以22,12211-=-=+n n n n S S . ……1分 当2≥n 时，n n n n n n S S a 2)22()22(11=---=-=+- ……2分当1=n时，2221111=-==+S a ，满足上式所以n na 2= …………4分（2）①)3(1)(,)21()(1n n x b f b f x f --==+11(b )(3)n nf f b +=-- n n b b --=∴+3)21(1)21(1 n n b b +=∴+321211∴ 31+=+n n b b 即3-1=+n n b b ，……6分 又12b = ∴{}n b 是以2为首项3为公差的等差数列，∴13-=n b n ……8分②n n n n n a b c 213-==n n n n n T 2132432825221321-+-+⋅⋅⋅+++=- ①143221324328252221+-+-+⋅⋅⋅+++=n n n n n T ② ①-②得1432213-23232323121+-+⋅⋅⋅++++=n n n n T ……10分1121321-1)21-1413121+---⋅+=n n n n T （n n n n T 21323-321--+=- 即n n n T 253-5+= ……12分22．解：设圆柱的底面直径为d 米，则圆柱的高也为d 米，…………1分因为圆柱的体积为2000π立方米，2()20002dd ππ∴⋅⋅=…………4分解得20d =米………………5分由正弦定理，底面三角形的边长AB 满足 20sin ABd C==，所以20sin60AB =︒=（米）…………7分因圆柱的高等于三棱柱的高120AA =V=⋅=9分所以三棱柱的体积220答：三棱柱的体积为米。