大连理工Chapter5(代数结构)(2008-3-7)(1)

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第三篇 代数系统
代数结构是以研究数字、 代数结构是以研究数字、文字和更一般元素的运算 的规律和由这些运算适合的公理而定义的各种数学 结构的性质为中心问题. 结构的性质为中心问题 它对现代数学如拓扑学、泛函分析等, 它对现代数学如拓扑学、泛函分析等 以及一些其 他科学领域, 如计算机科学、编码理论等, 他科学领域 如计算机科学、编码理论等 都有重要 影响和广泛地应用. 影响和广泛地应用
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有了集合上运算的概念后, 可定义代数结构. 有了集合上运算的概念后 可定义代数结构
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5.1 运算、代数系统与特异元素 运算、
定义5.1.2 设 S 是个非空集合且 fi 是 S 上的 ni 元 定义 运算， 运算，其中 i=1, 2, …, m. 由 S 及 f1, f2, …, fm组 成的结构, 称为代数结构 代数结构, 成的结构 称为代数结构 记作 <S, f1, f2, …, fm>.
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5.1 运算、代数系统与特异元素 运算、
是非空集合, 是它的幂集. 例5.1.2 设 S是非空集合 PS是它的幂集 对任意 是非空集合 是它的幂集 上的运算⊕ 定义如下： 集合 A, B ∈ PS, PS上的运算⊕和⊗定义如下： 上的运算 A⊕B=(A – B)∪(B – A) ⊕ ∪ A⊗B=A∩B ⊗ 是一代数结构. 则<PS, ⊕, ⊗>是一代数结构 是一代数结构 因为, 显然⊕ 是闭运算. 因为 显然⊕和⊗ 是闭运算 可以看到, 和例5.1.2中给出的两个代数结构 可以看到 例5.1.l和例 和例 中给出的两个代数结构 是同类型的, 是同类型的. 是同类型的 即<R, +, ×>与<PS, ⊕, ⊗>是同类型的 21 与 是同类型的 2011-1-15
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主要内容
第一篇 数理逻辑
第一章 命题逻辑 第二章 谓词逻辑
第二篇 集合论
第三章 集合与关系 第四章 函数
第三篇 代数系统
第五章 代数结构 第六章 格与布尔代数
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第四篇 图论
第七章 图论
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第三篇 代数系统
代数结构是近世代数或抽象代数学研究的中心 问题, 是数学中最重要的、基础的分支之一, 问题, 是数学中最重要的、基础的分支之一, 是在初等代数学的基础上产生和发展起来的. 是在初等代数学的基础上产生和发展起来的. 它起始于19世纪初, 形成于20世纪30年代. 19世纪初 20世纪30年代 它起始于19世纪初, 形成于20世纪30年代.
离散数学
代数结构） （代数结构）
Discrete Mathematics （Algbra Structures） ）
徐喜荣 大连理工大学电信学院计算机系
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内容简介
离散数学是现代数学的一个重要分支, 离散数学是现代数学的一个重要分支 是计算机 科学与技术的理论基础, 所以又称为计算机数学． 科学与技术的理论基础 所以又称为计算机数学． 人们已公认, 高技术本质上是数学技术。 人们已公认 高技术本质上是数学技术。 因此, 计算机科学与技术说到底根本是数学技术． 因此 计算机科学与技术说到底根本是数学技术． 事实上，从计算机产生到以后它的每一步发展都 事实上， 离不开数学． 离不开数学．
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5.1 运算、代数系统与特异元素 运算、
运算的例子很多. 例如, 运算的例子很多 例如 在数理逻辑中, 否定是谓词集合上的一元运算； 在数理逻辑中 否定是谓词集合上的一元运算； 合取和析取是谓词集合上的二元运算; 合取和析取是谓词集合上的二元运算 在集合论中, 并与交是集合上的二元运算; 在集合论中 并与交是集合上的二元运算 在整数算术中, 乘运算是二元运算, 在整数算术中 加、减、乘运算是二元运算 除运算便不是二元运算, 因为它不满足封闭性. 除运算便不是二元运算 因为它不满足封闭性
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5.1 运算、代数系统与特异元素 运算、
设 S 是个非空集合且函数 f : Sn →S, 为一个n元运算 元运算, 是自然数, 则称 f 为一个 元运算 其中 n是自然数 称为运算 是自然数 的元数或阶. 的元数或阶 为一元运算, 当 n=1时, 称f为一元运算 时 为一元运算 元运算, 当 n=2时, 称f为2元运算 等等 时 为 元运算 等等.
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内容简介
另一方面, 通过学习离散数学, 另一方面 通过学习离散数学 培养和提高了学生 的抽象思维和逻辑推理能力， 的抽象思维和逻辑推理能力，为学生今后继续学 习和工作，参加科学研究，处理离散信息， 习和工作，参加科学研究，处理离散信息，从事 计算机软件的开发和设计以及计算机的其他应用 打好数学基础。 打好数学基础。
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5.1 运算、代数系统与特异元素 运算、
讨论代数结构时, 主要限于一元和二元运算. 讨论代数结构时 主要限于一元和二元运算 将用‘ 等符号表示一元运算符; 将用‘ , ’, – , ~, ¬, !, 等符号表示一元运算符 用⊕,⊗,⊙,◎,★,☆,○,◇,□,∧,∨,∪,∩等符 ⊗ ⊙ ◎ ★ ☆ ○ ◇ □ ∧ ∨ ∪ 等符 号表示二元运算符. 号表示二元运算符 一元运算符常常习惯于前置、顶置或肩置, 一元运算符常常习惯于前置、顶置或肩置 如: ¬x、x’、x”, 、 、 二元运算符习惯于前置、中置或后置, 二元运算符习惯于前置、中置或后置 如：+xy, x+y, xy+.
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第三篇 代数系统
挪威数学家阿贝尔(N 挪威数学家阿贝尔 · H · Abel)法国数学家伽罗瓦 法国数学家伽罗瓦 (E · Galois)英国数学家德 摩根 · De Morgan) 和 英国数学家德· 英国数学家德 摩根(A 布尔(G 等人都做出了杰出贡献， 布尔 · Boole)等人都做出了杰出贡献，荷兰数学 等人都做出了杰出贡献 家范德瓦尔登(B 家范德瓦尔登 · L · Van DerWaerden) 根据德国 数学家诺特 (A · E · Noether) 和奥地利数学家阿廷 (E · Artin) 的讲稿 于 1930年和 的讲稿, 年和1931年分别出版了 年和 年分别出版了 《 近世代数学 》一卷和二卷，标志着抽象代数的 一卷和二卷， 成熟. 成熟
5.1 运算、代数系统与特异元素 运算、
是由有限个字母组成的集合, 例5.1.3 设∑是由有限个字母组成的集合 称为字母表 是由有限个字母组成的集合 称为字母表. 中的字母组成的有序集合, 上的串. 由∑中的字母组成的有序集合 称为 上的串 串中 中的字母组成的有序集合 称为∑上的串 的字母个数m称为该串的长度 ＝ 时 叫做空串, 称为该串的长度. 的字母个数 称为该串的长度 m＝0时, 叫做空串 用 表示. 表示∑上的串集合 ∧表示 用∑*表示 上的串集合 表示 上的串集合. 上定义一个连接运算, 表示. β∈∑*, 在∑*上定义一个连接运算 用 | 表示 例如 α, β∈ 上定义一个连接运算 αβ, 那么<∑*, | >是一个代数结构 是一个代数结构. 则 α | β= αβ 那么 是一个代数结构 也是一个代数结构. ∧ 如果令 ∑+ =∑*- {∧}, 则 <∑+, | > 也是一个代数结构
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5.1 运算、代数系统与特异元素 运算、
设有一台字长为8位的计算机 它以定点加、 位的计算机, 例5.1.4 设有一台字长为 位的计算机 它以定点加、 除以及逻辑加和逻辑乘为运算指令, 减、乘、除以及逻辑加和逻辑乘为运算指令 并分 别用 01, 02, …, 06 表示. 则在计算机中由 28 个不同 表示 数字所组成集合S同该机器中运算指令构成一代数 数字所组成集合 同该机器中运算指令构成一代数 结构<S, 01, 02, …, 06>. 结构
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内容简介
1936年, 英国数学家图灵 年 英国数学家图灵(A.M.Turing)发表了著名 发表了著名 理想计算机” 论文 “理想计算机”，从而给出了计算机的理论 模型． 模型． 1946年在著名数学家冯 诺依曼 J.Von Neumann 年在著名数学家冯·诺依曼 年在著名数学家冯 诺依曼(J.Von Neumann) 的领导下, 的领导下 制造了世界上第一台计算机 ENIAC (Electronic Numerical Integrator and Calculator). 尔后，计算机各代的发展也都无不证实了这一点． 尔后，计算机各代的发展也都无不证实了这一点．
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5.1 运算、代数系统与特异元素 运算、
此外, 集合S的基数即 定义为代数结构的基数. 的基数即|S|定义为代数结构的基数 此外 集合 的基数即 定义为代数结构的基数 如果S是有限集合 则代数结构是有限代数结构 是有限集合, 有限代数结构; 如果 是有限集合 则代数结构是有限代数结构 否则便说是无穷代数结构 无穷代数结构. 否则便说是无穷代数结构. 有时, 要考察两个或多个代数结构, 有时 要考察两个或多个代数结构 这里就有个 是否同类型之说, 请看下面定义: 是否同类型之说 请看下面定义
是一代数结构, 定义 5.1.4 <S, f1, f2, …, fm>是一代数结构 且非 是一代数结构 下是封闭的, 空集 T⊆ S在运算 f1, f2, …, fm下是封闭的 且T ⊆ 在运算 含有与S中相同的特异元 则称<T, f1, f2, …, fm> 中相同的特异元, 含有与 中相同的特异元 则称 子代数, 为代数结构 <S, f1, f2, …, fm> 的子代数 记为 < T, f1, f2, …, fm> ⊆ < S, f1, f2, …, fm>.