15.2线段的垂直平分线
付军-六安皋城中学
六安皋城中学：付军
线段垂直平分线的尺规画法
①分别以点A、B为圆心 大于AB长的一半为半径 画弧交于点E、F ②过点E、F作直线. 则直线EF就是线段AB的 垂直平分线(如图)
E
A
O
B
F
证明：分别连接AE、AF、BE、 BF，则AE=AF=BE=BF 在△AEF和△BEF中 AE=BE AF=BF EF=EF ∴ △AEF≌△BEF （SSS） ∴∠AEF=∠BEF 在△AOE和△BOE中 AE=BE ∠AEF=∠BEF OE=OE ∴ △AOF≌△BOF （SAS） ∴AO=BO ∠AOF=∠BOF ∵∠AOE+∠BOE=180° ∴∠AOF=∠BOF=90° ∴直线EF是线段AB的垂直平分 线
结束语
同学们，这节课到这里就结束了， 谢谢你们的参与！
思考交流
已知:如图,AO=BO,直线l⊥AB 于点O,P是直线l上任意一点. 猜想:PA与PB的长度有何关系？ 试证明你的结论。
A
l
P
O
B
例1：公路l的同侧的A、B两村，共同出资在公路边修 建一个停靠站C，使停靠站到A、B两村距离相等，你 如何确定停 l
学以致用 1．如右图，△ABC中，AB=AC=16cm，AB 的垂直平分线ED交AC于D点. （1）当AE=13cm时，BE多少cm？ （2）当△BEC的周长为26cm时，则BC多少 cm？ （3）当BC=15cm，△BEC的周长是多少cm？
学以致用
2.如图，已知直线PO垂直平分线段AB ，点D在直线上，则图中全等三角形共 有多少对？
P D
A
O
15.2.2线段的垂直平分线逆定理的说课稿-沪科版八年级数学上册
15.2.2 线段的垂直平分线逆定理的说课稿-沪科版八年级数
学上册
一. 教材分析
1.1 教材基本信息
•教材名称：沪科版八年级数学上册
•单元：15.2 几何初步
•课题：15.2.2 线段的垂直平分线逆定理
•目标能力：学生通过本节课的学习，能够正确运用线段的垂直平分线逆定理解决与线段垂直平分线相关的问题。
1.2 教材分析
本节课是沪科版八年级数学上册的第15章-几何初步的第2节，属于基础性的几何知识，是进一步加深学生对线段垂直平分线概念的理解和应用。
通过教授本节课的内容，可以帮助学生拓展几何应用的思维，提高解决问题的能力。
二. 教学目标
2.1 知识目标
•了解线段的垂直平分线逆定理的概念和性质；
•掌握使用垂直平分线逆定理解决与线段垂直平分相关的问题。
2.2 能力目标
•能够应用线段的垂直平分线逆定理解决与线段垂直平分线相关的问题；
•培养学生分析问题、解决问题的能力。
2.3 情感目标
•培养学生对几何学习的兴趣和好奇心；
•培养学生的合作意识和团队精神。
三. 教学重难点
3.1 教学重点
•掌握线段的垂直平分线逆定理的概念和性质；
•运用线段的垂直平分线逆定理解决与线段垂直平分相关的问题。
3.2 教学难点
•培养学生分析问题、解决问题的能力；
•提升学生的逻辑思维能力。
四. 教学过程
4.1 导入新课
•教师通过问问题的方式导入新课。
例如：。
沪科版八年级数学上15.2《线段的垂直平分线》课件
在数学问题解决中的应用
01
02
03
解决几何问题
利用垂直平分线的性质， 可以解决一些几何问题， 如证明某些线段相等、角 度相等或面积相等。
解决代数问题
在代数问题中，垂直平分 线的性质可以用于解决一 些方程组或不等式问题。
解决三角函数问题
在三角函数问题中，垂直 平分线的性质可以用于确 定某些点的位置或求解某 些三角形的边长和角度。
沪科版八年级数学上15.2《线段 的垂直平分线》课件
目录
• 引言 • 线段的垂直平分线的定义与性质 • 线段的垂直平分线的应用 • 练习与巩固 • 总结与回顾 • 参考文献与资料
01 引言
主题引入
01
介绍线段的垂直平分线的定义和 性质，通过实例展示其在生活中 的实际应用。
02
回顾与线段垂直平分线相关的知 识点，如线段的垂直平分线的性 质定理等。
[3] 《几何原本》. 欧几里得原著，张 卜天译. 科学出版社.
[2] 《线段的垂直平分线》教案. 华东 师范大学出版社.
相关资料
[4] 线段垂直平分线的性质定理 证明. 中国知网.
[5] 线段垂直平分线的作法及应 用. 数学学习与研究杂志.
[6] 线段垂直平分线的性质定理 的应用举例. 中学数学教学参考
杂志.
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
05 总结与回顾
本节课的回顾
知识点回顾 垂直平分线的定义和性质
如何利用垂直平分线性质解决实际问题
本节课的回顾
例题解析 回顾了本节课中出现的典型例题，详细解析了解题思路和技巧。
本节课的回顾
学生易错点分析
分析了学生在学习过程中容易出现的错误，并给出了正确的解题方法。
15.2线段的垂直平分线
∴BE+EC=AC.
∵AC=17，BC=16.
D
E
∴ △BCD的周长=BE+EC+BC=AC+BC=17+16=33.
练习3、如右图，△ABC中，AB=AC=16cm，AB的垂 直平分线ED交AC于D点. (1)当AE=13cm时，BE= cm； (2)当△BEC的周长为26cm时，则BC= cm； (3)当BC=15cm，则△BEC的周长是 cm.
C
A
O
B
线段垂直平分线的判定定理
定理 到线段两端距离相等的点在线段 的垂直平分线上.
P
几何语言 如图，
∵ PA=PB（已知）
∴点P在线段AB的垂直平分线上 （到线段两端距离相等的点在 A 线 段的垂直平分线上.）
线段垂直平分线的判定定理
B
练习1、
已知:如图,AC=AD，BC=BD， 求证：AB垂直平分CD。
E
交流与小结 本节课你学到了什么呢？
• • • • • 线段垂直平分线的折法 线段垂直平分线的画法 线段垂直平分线的性质 线段垂直平分线的判定 线段垂直平分线的应用
尺规作图 三角板取中点 画垂线
五、线段垂直平分线的判定
线段垂直平分线的性质定理 •线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等. • 思考：你能写出上面定理的逆命题吗？ • 它是真命题吗？如何证明呢？ 命题 到线段两端距离相等的点在 这条线段的垂直平分线上. •
<一>操作：画线段垂直平分线 方法一
尺规画法
1
①分别以点A、B为圆心，大于 ½ AB长为半径画弧交于点E、F 则直线EF就是线段AB的垂直平分 线(如图) 方法二 利用三角板过中点画垂线
15.2 线段的垂直平分线(2)
PA=PB=PC
公路l同侧的A、B两村，共同出资 在公路边修建一个汽车停靠站C，使 停靠站到A、B两村距离相等，你如何 确定停靠站C的位置。 想一想：如果要使停 靠站C到A、B两村距离 之和最短，你如何确 定停靠站C的位置？
例、已知：如图，DE、DF分别是△ABD 和△ACD的高，DE＝DF。 求证：AD垂直平分EF。
实际问题1
某市政府为了方便居民的生活， 计划在三个住宅小区A、B、C之间修 建一个购物中心，试问，该购物中 心应建于何处，才能使得它到三个 小区的距离相等。
A
B
C
线段的垂直平分线
实际问题
1、此问题就是在 △ABC中求作一点P， 使它和△ABC的三个 顶点距离相等.
B
数学化
A
实 际 问 题 1
C
p
15.2线段的垂直平分线（2）
学习目标：
1.掌握线段垂直平分ຫໍສະໝຸດ 的性质定理及判定 定理，能够利用这两个定理解决相关问题。 2．能够证明线段垂直平分线的判定定理。 3．通过探索、猜测、证明的过程，进一步拓 展推理证明意识和能力。
自学提纲：
自学内容：129—130页，并回答下列问题
1、线段的垂直平分线的性质定理的题设和结论 分别是什么？你能写出它的逆命题吗？ 2、它的逆命题是真命题吗？你会证明吗？ 3、三角形三边的垂直平分线交于一点吗？ 这点到三角形的三个顶点的距离相等吗？
探索发现
线段的垂直平分线可以看 和线段两个端点距离相等 作是____________________ 的所有点的集合。
线段的垂直平分线
例1
已知:如图,在ΔABC中, 边AB，BC的垂直平分线交于P. 求证：PA=PB=PC;
A M
§15.2 线段的垂直平分线
E
3 1 4 2
A
O F
B
在⊿AEO和⊿BEO中 AE=BE（作图） ∵ ∠3=∠4（已证） EO=EO（公共边） ∴⊿AEO≌⊿BEO（SAS） ∴OA=OB ∠1=∠2 （全等三角形的性质） 又∵∠1+∠2 =180° （平角定义） ∴∠1=∠2 =90° （等式性质） ∴EF⊥AB （垂直定义） 即 EF是AB的垂直平分线（垂直平分线定义）
欣赏观察自己的画图，猜测线段的垂直平分线有什么性质？
线段垂直平分线上的点 与 . 线段两端的距离相等. .
。
A
O
B
M P
已知：直线MN经过线段AB的中点O， 且MN⊥AB，P是MN上任意一点. 求证：PA=PB 证明：在⊿AOP 和⊿BOP中 AO=BO（已知） ∵ ∠AOP=∠BOP（垂直定义）
B A
C
回顾过程，谈谈收获！
线段的垂直平分线
当彩旗是插在中点处时最好看 当箭是弓的垂直平分线时最准确 当箭是弓的垂直平分线时最准确
折纸法；工具法；尺规法 线段垂直平分线上的点与线段 两端的距离相等. 在公路上找一点到两个村庄的距离相等 在平面内找一点到三个村庄的距离相等
作业：P124的第3、4两题
此时，箭MN是弓AB的 垂直平分线 线。
A
M
N
B
线段的垂直平分线
C
A
O
B
定义：
D
经过线段的中点 并且垂直于这条线段的直线 叫做线段的垂直平分线。（又叫中垂线）
1. 在没有任何工具的情况下，你用什么 办法得到线段AB的垂直平分线？
15.2线段垂直平分线——刘诗林
B
L
高 速 公 路
课堂小结
本节课学习了哪些知识？
线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距 离相等. 到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段 的垂直平分线上.
作业：
同步100－102页
倍 速 课 时 学 练
倍 速 课 时 学 练
教学反思：
一、本堂课能通过实践操作，独立思考，小组活 动等探索过程，让学生掌握了线段垂直平分线的 性质。 二、通过学生作图，猜想，验证，合作等环节， 培养学生勇于提出问题，解决问题的的探索精神 ，但在学生合作意识和安全防范的培养方面还有 待加强。
D
例题：
如下图△ABC中，AC=16cm， DE为AB的垂直平分线， △BCE的周长为26cm，求BC D 的长。
B
A
E
C
随堂练习
C E A B
1.在△ABC中，∠ACB=90°， AB=8cm，BC的垂直平分线DE 4cm 交AB于D点,则CD=____
D
2、在△ABC,PM,QN分别垂直 平分AB,AC，则: (1)若BC=10cm则△APQ的周长 10 =_____cm; (2)若∠BAC=100°则 200 ∠PAQ=______.
随堂练习
A D E C
BEຫໍສະໝຸດ 3、在△ABC中， AB=AC，AB的中垂线 与AC所在的直线相交 所得的锐角为50°， 700或200 则∠B=______.
C
A D B
如图，△ABC中，边AB、BC的垂直平分线交于点O。 （1）求证：OA=OB=OC。
（2）点O是否也在边AC的垂直平分线上呢？由此你能得出 什么结论？ A 证明：∵点O在线段AB的垂直平分线上
解： ∵ED是线段AB的垂直平分线
15.2线段的垂直平分线(教案)
１§15.2线段的垂直平分线《一》（教案）教学目标(一)教学知识点1．经历探索、猜测过程，能够运用公理和所学过的定理证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理．2．能够利用尺规作已知线段的垂直平分线．(二)思维训练要求1．经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．2．体验解决问题策略的多样性，发展实践能力和创新精神．3．学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果．(三)情感与价值观要求1．能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．2．在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心． 教学重点1．能够利用尺规作已知线段的垂直平分线．2．能够证明线段的垂直平分线的性质定理。
教学难点1.利用尺规作已知线段的垂直平分线．2.线段垂直平分线的性质定理及其证明．教具准备多媒体演示、直尺、圆规教学过程 Ⅰ．创设现实情境，引入新课教师用多媒体演示：Ⅱ．讲述新课1、用尺规作线段垂直平分线做一做已知线段AA',如何画出已知线段的垂直平分线呢？．如图所示，这里有两根质地均匀的长木条，现想用其中的一根木条挑起另一根木条。
问D 点应该处在木条AA′的什么位置？以及木条CD 所在的直线l 与线段AA′有什么关系？A'A２[教师示范，请学生同时练习]已知：线段AB (如图)．求作：线段AB 的垂直平分线．作法：1．分别以点A 和B 为圆心，以大于21AB 的长为半径作弧，两弧相交于点C 和D ．2．作直线CD ．直线CD 就是线段AB 的垂直平分线．如图，在线段AB 的垂直平分线l 上任取一点P ，连接PA ，PB ，线段PA ，PB 之间有什么关系？由此得出线段垂直平分线的性质定理： 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.例1、证明线段的垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等（证明题要画出图形，写出已知、求证和证明）D例2、其实同学们也能用圆规、直尺画出优美的图形，下面请同学们分组用尺规作图画出以上三个三角形的三条边的处置平分线。
15.2线段的垂直平分线
证明： ∵ ON是AB的垂直平分线 (已知) ∴ OA=OB（线段的垂直平分线上的点
∵ OA OC (已知) ∴ OB OC (等量代换) ∴ 点 O 在 BC 的垂直平分线上
（和一条线段的两个端点的距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上）.
和这条线段的两个端点的距 离相等）
习题 ：如图，AB=AC，MB=MC，直线AM是 线段BC的垂直平分线吗？
1.下列说法错误的是( D ) A.点D,E在线段AB垂直平分线上,则AD=BD,AE=BE B.若AD=BD,AE=BE,则DE是线段AB的垂直平分线 C.若PA=PB,则点P在线段AB的垂直平分线上 D.若PA=PB,则过点P的直线是AB的垂直平分线
下列说法：①若直线PE是线段AB的垂直平分线， 则EA=EB，PA=PB；②若PA=PB，EA=EB，则直线PE垂 直平分线段AB；③若PA=PB，则点P必是线段AB的垂 直平分线上的点；④若EA=EB，则过点E的直线垂直 平分线段AB．其中正确的个数有（ C ） A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
A M N B O
• 变式训练：某地有两所大学和两条相交叉 的公路OA，OB，现计划修建一个物资仓库， 希望仓库到两所大学的距离相等，到两条 公路的距离也相等，请你确定该点。
A M
O
B
N
如图：请找出一点P，使点P到A，B两点的 距离相等，并且点P在∠ACB的平分线上。
A
B
C
• 如图，E为∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA， ED⊥OB，垂足分别为C，D。 • 求证：OE为CD的垂直平分线。
§15.2
线段的垂直平分线
实际问题1
合肥市政府为了方便居民的生活，计划在 三个住宅小区 A、B、C之间修建一个购物 中心，试问，该购物中心应建于何处，才 能使得它到三个小区的距离相等。
15.2 线段的垂直平分线-最新学习文档
15.2线段的垂直平分线知识要点基础练知识点1线段垂直平分线的尺规作图1.(曲靖中考)如图,C,E是直线l两侧的点,以点C为圆心,CE长为半径画弧交l于A,B两点,又分别以点A,B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧交于点D,连接CA,CB,CD,下列结论不一定正确的是(C)A.CD⊥lB.点A,B关于直线CD对称C.点C,D关于直线l对称D.CD平分∠ACB知识点2线段垂直平分线的性质2.三角形纸片上有一点P,量得PA=3 cm,PB=3 cm,则点P一定(D)A.是边AB的中点B.在边AB的中线上C.在边AB的高上D.在边AB的垂直平分线上3.(天门中考)如图,在△ABC中,AC的垂直平分线分别交AC,BC于E,D两点,EC=4,△ABC的周长为23,则△ABD的周长为(B) A.13 B.15 C.17 D.19知识点3线段垂直平分线的判定4.如图,AC=AD,BC=BD,则有(A)A.AB垂直平分CDB.CD垂直平分ABC.AB与CD互相垂直平分D.CD平分∠ACB5.如图,AD与BC相交于点O,OA=OC,∠A=∠C,BE=DE.求证:OE垂直平分BD.证明:在△AOB与△COD中,∴△AOB≌△COD(ASA),∴OB=OD,∴点O在线段BD的垂直平分线上,∵BE=DE,∴点E在线段BD的垂直平分线上,∴OE垂直平分BD.知识点4三角形三边垂直平分线的性质6.如图,A,B,C三个居民小区的位置成三角形,现决定在三个小区之间修建一个超市,使它到三个小区的距离相等,则超市应建在(D)A.AC,BC的两条高线的交点处B.∠A,∠B两内角平分线的交点处C.AC,BC两边中线的交点处D.AC,BC两条边垂直平分线的交点处7.某旅游景区内有一块三角形绿地ABC,如图所示,现要在道路AB的边缘上建一个休息点M,使它到A,C两点的距离相等,请在图中画出休息点M的位置.(尺规作图,保留作图痕迹)答案图解:如图,作AC的垂直平分线交AB于M点,则点M为所求.综合能力提升练8.如图,在△ACB中,AB=AC=6,BC=4.5,分别以点A,B为圆心,4为半径画圆弧,交于两点,过这两点的直线交AC于点D,连接BD,则△BCD的周长为(C)A.10B.6C.10.5D.89.(河北中考)如图,已知钝角△ABC,依下列步骤尺规作图,并保留作图痕迹.步骤1:以点C为圆心,CA为半径画弧①;步骤2:以点B为圆心,BA为半径画弧②,交弧①于点D;步骤3:连接AD,交BC延长线于点H.下列叙述正确的是(A)A.BH垂直平分线段ADB.AC平分∠BADC.S△ABC=BC·AHD.AB=AD10.如图,在△ABC中,分别以点A,B为圆心,大于AB长为半径画弧,两弧分别交于点D,E,则直线DE是(D) A.∠A的平分线B.AC边的中线C.BC边的高线D.AB边的垂直平分线11.已知△ABC三条边的垂直平分线的交点在△ABC的一条边上,那么△ABC的形状是直角三角形.12.在同一平面上有A,B,C,D四点,你在平面上能找出一个点M,使MA=MB,MC=MD吗?不一定能(选填“一定能”或“不一定能”)提示:当A,B,C,D四点不在同一条直线上时,能找出满足条件的点M;当A,B,C,D四点在同一条直线上时,不能找出符合条件的点M.13.如图,有一块三角形田地,AB=AC=10 m,作AB的垂直平分线ED交AC于点D,交AB于点E,量得△BDC的周长为17 m,请你替测量人员计算BC的长.解:∵ED是AB的垂直平分线,∴DA=DB.又∵△BDC的周长为17 m,AB=AC=10 m,∴BD+DC+BC=17,∴DA+DC+BC=17,即AC+BC=17,∴BC=7 m.14.如图,已知D是AB中点,DE是BC的垂直平分线.(1)求证:CD=AB;(2)在AB上找一点F到D,E的距离相等.(尺规作图,保留作图痕迹)答案图解:(1)∵D是AB中点,∴AD=BD,∵DE是BC的垂直平分线,∴CD=BD,∴CD=AB.(2)作DE的垂直平分线,交AB于点F,则点F为所求,如图.拓展探究突破练15.如图,已知直线l及其两侧两点A,B.(1)在直线l上求一点O,使到A,B两点距离之和最短;(2)在直线l上求一点P,使PA=PB;(3)在直线l上求一点Q,使l平分∠AQB.解:(1)连接AB,线段AB交直线l于点O.∵点A,O,B在一条直线上,∴O点即为所求点.(2)连接AB,分别以A,B两点为圆心,以大于AB长为半径作弧,两弧相交于C,D两点,连接CD,与直线l相交于P点,与AB相交于E点,连接BD,AD,BP,AP,BC,AC.∵BD=AD=BC=AC,∴△BCD≌△ACD,∴∠BDE=∠ADE,∴△BDE≌△ADE,∴∠BED=∠AED=90°,AE=BE,∴CD是线段AB的垂直平分线,∵P是CD上的点,∴PA=PB.(3)作点B关于直线l的对称点B',连接AB'交直线l与点Q,连接BQ.∵B与B'两点关于直线l对称,∴BD=B'D,DQ=DQ,∠BDQ=∠B'DQ,∴△BDQ≌△B'DQ,∴∠BQD=∠B'QD,即直线l平分∠AQB.。
线段的垂直平分线
A E B
D
C
小结
1.线段的垂直平分线的作法
2.线段垂直平分线的性质定理
作业：
必做题：练习1,2,3 选做题：这个性质定理的逆命题是什么？ 它是否成立？试着自己探究探究。
1 ∵以点A,B为圆心，大于 2
AB长为 在△AMO和△BMO中， AM=BM ∵ ∠AMO=∠BMO MO=MO ∴△AMO≌△BMO（SAS） ∴∠AOM=∠BOM=90° AO=BO 故MN是线段AB的垂直平分线。
∴AM=BM=AN=BN 在△AMN和△BMN中， AM=BM ∵ AN=BN MN=MN ∴△AMN≌△BMN（SSS） ∴∠AMO=∠BMO
思考2：在直线MN上任意取一点P，连接PA 与PB，请大家测量一下PA与PB的长度，看 一看它们之间有什么关系？
PA=PB
小组讨论： 你们选取的P点的位置相同吗？如果不同， 你们能找到什么规律？
规律：线段垂直平分线上的点到线段两端 点的距离相等。
已知：如图，直线MN经过线段AB的中点O，且 MN⊥AB,P是MN上任意一点。 求证：PA=PB
2.已知：△ABC中，D在BC上，AB=AC,DB=DC,E是 AD上的一点。 求证：BE=CE
证明：
在△ABD和△ACD中， AB=AC ∵ DB=DC AD=AD ∴△ABD≌△ACD(SSS) ∴∠ADB=∠ADC=90° ∴AD⊥BC 即AD是BC的垂直平分线。 ∵E是AD上的一点 ∴BE=CE
③尺规作图法： 1 1.作出一条线段AB，分别以点A,B为圆心，大于 AB长为半径 2 （为什么？）画弧交于点M,N。 2.过点M,N作直线。 则直线MN就是线段AB的垂直平分线。
思考1：为什么MN就是垂直平分 线呢？若MN交AB于点O，你能给 出证明吗？
线段的垂直平分线
A. 6
B. 5
C. 4
C
D. 3 A
P
D
E
A
D
B
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
C
图①
图②
2.如图②所示，在△ABC中，BC=8cm,边AB的垂直平分线交AB
于点D，交边AC于点E, △BCE的周长等于18cm,则AC的长
是 10cm .
例3 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD
的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的 延长线于点F. 求证：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.
P3B的长，你能发现什么，请猜想点P1，P2，P3，…
到点A 与点B 的距离之间的数量关系．
P3
P1A _＝___P1B P2A __＝__ P2B
P2
P1
A
B
P3A __＝__ P3B l
猜想： 点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离分别相等．
由此你能得到什么结论？
命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点 的距离相等. 你能验证这一结论吗？
A
B
M
Nl
解：(1)如图所示：
A
B
M PN
l
(2)在△AMP和△BNP中， ∵AM=PN，AP＝BP，PM＝BN， ∴△AMP≌△PNB(SSS)， ∴∠MAP＝∠NPB.
二 线段垂直平分线的性质
探究发现
如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是l 上
的点，请你量一量线段P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，
2.如图所示，AC=AD,BC=BD,则下列说法正确的是（ A ）
A．AB垂直平分CD；
沪科版数学八年级上册15.2线段的垂直平分线
,第 5 题图)
,第 6 题图)
6．(4 分)如图，点 D 在△ABC 的边 BC 上，且 BC＝BD＋AD，则
点 D 在A__C__的垂直平分线上．
灿若寒星
7．(4 分)如图，AC＝AD，BC＝BD，则有( A )
,
15．如图所示，DE 是线段 BC 的垂直平分线，连接 DB，DC，EB，
EC，则∠DBC 与∠DCB 的关系是 ∠DBC＝∠DCB ．
灿若寒星
16．(6 分)已知：如图，直线 AB 与直线 BC 相交于点 B，点 D 是 直线 BC 上一点．求作一点 E，使直线 DE∥AB，且点 E 到 B，D 两点 的距离相等．(在题目的原图中完成作图)
称点，P1P2 交 OA 于点 M，交 OB 于点 N，若 P1P2＝5 cm，则△PMN
的周长是( C )
A．3 cm C．5 cm
B．4 cm 灿若寒星
D．6 cm
14．如图所示，在△ABC 中，∠BAC＝100°，EF，MN 分别为 AB，
AC 的垂直平分线，如果 BC＝12 cm，那么∠FAN＝__2_0_°．
解：(1)作BD的垂直平分线MN (2)经D作DF∥AB，交MN于E，∴E即为所求
灿若寒星
17．(8 分)如图所示，已知 AB 比 AC 长 2 cm，BC 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 BC 于点 E，△ACD 的周长是 14 cm，求 AB 和 AC 的长．
解：∵DE 垂直平分 BC，∴DB＝DC， ∵AC＋AD＋DC＝14 cm，∴AC＋AD＋BD＝14 cm. 即 AC＋AB＝14 cm，设 AB＝x cm，AC＝y cm. 根据题意得，xx＋－yy＝＝124解得xy＝＝86. ∴AB 的长为 8 cm，AC 长为 6 cm
15.2 线段的垂直平分线教案
15.2线段的垂直平分线教案一◇教学目标◇【知识与技能】1.要求学生掌握线段垂直平分线的性质定理及其逆命题,能够利用这两个定理解决问题;2.能够证明线段垂直平分线的性质定理及其逆命题.【过程与方法】在探索过程中,增强协作交流,进一步发展学生的推理证明意识和能力.【情感、态度与价值观】通过探索、猜测、证明的过程,进一步拓展学生的推理证明的意识和能力.◇教学重难点◇【教学重点】线段垂直平分线的性质定理及其逆定理.【教学难点】线段垂直平分线的性质定理及其逆定理的内涵和证明.◇教学过程◇一、情境导入什么是线段的垂直平分线?二、合作探究(一)用尺规作线段的垂直平分线已知:线段AB.求作:线段AB的垂直平分线.作法:(1)分别以点A,B为圆心,大于AB长为半径画弧,两弧相交于点E,F.(2)过点E,F作直线.则直线EF就是线段AB的垂直平分线.说明:因为直线EF与线段AB的交点就是AB的中点,所以我们也用这种方法作线段的中点.(二)线段的垂直平分线的性质把准备好的方方正正的纸拿出来,按照如图进行对折,并比较对折之后的折痕EB和EB',FB和FB'的关系.结果:EB'=EB,FB'=FB.【归纳总结】定理:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.(三)线段的垂直平分线的判定先找到原命题的条件和结论,把命题写成“如果……那么……”的形式,然后再写出它的逆命题,最后再对命题的形式进行整理.得出线段的垂直平分线的判定定理.【归纳总结】定理:到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.(四)两个定理的应用典例已知:如图,△ABC的边AB,AC的垂直平分线相交于点P.求证:点P在BC的垂直平分线上.[解析]连接PA,PB,PC.∵点P在AB,AC的垂直平分线上,(已知)∴PA=PB,PA=PC.(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等)∴PB=PC.(等量代换)∴点P在BC的垂直平分线上.(到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上)【归纳总结】三角形三边的垂直平分线相交于一点,这点到三角形三个顶点的距离相等.三、板书设计线段的垂直平分线1.线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.2.到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.◇教学反思◇由垂直平分线的作图过程可得到线段垂直平分线的性质定理,随后带领学生对这个定理进行严格的证明,让学生自己思考怎么写已知、求证.然后让学生说出这个命题的逆命题,并证明它是真命题,并把这个命题作为定理熟记,锻炼了学生的逻辑推理能力,培养了学生求真务实的精神.教案二(备用)◇教学目标◇【知识与技能】1.理解线段垂直平分线的性质定理及其逆命题,能够利用这两个定理解决一些问题;2.能够证明线段垂直平分线的性质定理及其逆命题.【过程与方法】在探索过程中,增强协作交流,进一步发展学生的推理证明的意识和能力.【情感、态度与价值观】通过探索、猜测、证明的过程,进一步拓展学生的推理证明的意识和能力.◇教学重难点◇【教学重点】线段垂直平分线的性质定理及其逆定理.【教学难点】线段垂直平分线的性质定理及其逆定理的内涵和证明.◇教学过程◇一、情境导入什么是线段的垂直平分线?二、合作探究(一)线段垂直平分线的性质定理问题1:怎样作出线段的垂直平分线?方法一:通过白纸可以作出线段的垂直平分线.在一张半透明的纸上,画一条线段AA',折叠使点A与点A'重合,得到的折痕l所在的直线就是线段AA'的垂直平分线.方法二:用尺规作图,作出线段AB的垂直平分线.作法:(1)分别以点A,B为圆心,大于AB长为半径画弧,交于点E,F.(2)过点E,F作直线.则直线EF就是线段AB的垂直平分线.问题2:为什么这样作出的直线EF,就是线段AB的垂直平分线呢?设所作直线EF交线段AB于点O.(1)连接AE,BE,AF,BF,构造△AEF和△BEF.由作法知△AEF≌△BEF(SSS),所以∠AEO=∠BEO(全等三角形的对应角相等).继而可证△AEO≌△BEO(SAS),所以∠AOE=∠BOE=90°(全等三角形的对应角相等),AO=BO(全等三角形的对应边相等),所以EF⊥AB,EF平分AB.(2)因为直线EF与线段AB的交点就是AB的中点,所以我们也用这种方法作线段的中点.问题3:如图MN是线段AB的垂直平分线,点P在MN上,则PA,PB有什么数量关系?a.规范写出证明过程(略).b.用文字语言总结出线段垂直平分线的性质定理.【归纳总结】定理:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.(二)线段垂直平分线性质定理的逆定理问题4:写出上面定理的逆命题.它是真命题吗?给出证明.说明:(1)逆命题:到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.(2)结合命题画出图形,写出已知、求证.已知:如图,PA=PB,点P在直线MN上,求证:MN⊥AB,MN平分AB(OA=OB).证明略.(3)总结得线段垂直平分线逆定理.【归纳总结】定理:到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.(三)两个定理的应用典例已知:如图,△ABC的边AB,AC的垂直平分线相交于点P.求证:点P在BC的垂直平分线上.[解析]连接PA,PB,PC,∵点P在AB,AC的垂直平分线上,(已知)∴PA=PB,PA=PC.(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等)∴PB=PC.(等量代换)∴点P在BC的垂直平分线上.(到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上)【归纳总结】三角形三边的垂直平分线相交于一点,这点到三角形三个顶点的距离相等.三、板书设计线段的垂直平分线线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.◇教学反思◇本节课先复习线段垂直平分线的概念,然后用尺规作图画出垂直平分线,并让学生思索为什么用这种方法画出的就是垂直平分线,可以激发学生学习数学的兴趣,达到事半功倍的效果.。