虹口2015中考数学二模试卷

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2015虹口二模Word版 上海市虹口区2015届高三二模数学理试题 Word版含答案

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2015虹口二模Word版上海市虹口区2015届高三二模数学理试题 Word版含答案虹口区2015年数学学科(理科)高考练卷时间120分钟,满分150分。

2015年4月21日。

一、填空题(本大题满分56分)1.计算:$\frac{1+i}{1+i^2}$ = $\frac{1+i}{1-1}$ = $-i$2.已知函数$f(x)$ = $\begin{cases}2x。

(x\leq 1) \\ x。

(x>1)\end{cases}$,则$f(f(-3))$ = $f(2)$ = 43.函数$f(x)$ = $ln(\frac{1}{x}+1)$,则$f^{-1}(x)$ = $\frac{1}{1+e^{-x}}$4.已知正实数$x,y$满足$x+3y=1$,则$\frac{13x}{xy}$的最小值为$\frac{13}{9}$5.已知复数$z$ = $3sin\theta+icos\theta$,且$z$ = 5,且当$\theta$为钝角时,$tan\theta$ = $-\frac{4}{3}$6.在上海高考改革方案中,要求每位高中生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科(3门理科学科,3门文科学科)中选择3门学科参加等级考试,XXX同学理科成绩较好,决定至少选择两门理科学科,那么XXX同学的选科方案有20种。

7.设数列$\{a_n\}$前$n$项的和为$S_n$,若$a_1$ = 4,且$a_{n+1}$ = $3S_n$,则$S_n$ = $\frac{4(3^n-1)}{2}$8.在极坐标系中,过点$(2,\frac{\pi}{4})$且与圆$\rho$ = $2cos\theta$相切的直线的方程为$y=x\sqrt{2}$9.若二项式$(x-\frac{3}{2})^6$展开式中含$x^2$项的系数为20,则$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{2x(1+a+a^2+。

2015年上海中考各区二模数学试题及答案汇总

2015年上海中考各区二模数学试题及答案汇总
2 2 2 2
BC OC = ∴ OC ,∴ OD
2 2
x r 2 − x2
2
=
r 2 − x2 r
2
,…………………(1 分)
∴ xr = r − x , x + rx − r − 0 , 5 ∵ r ≠ 0 , ( rx ) + rx − 1 ≠ 0 , rx = − 1 ± (负值舍去) ,………………………(1 分) 2 BC x 5 −1 ∴sin∠ODC=sin∠COB = OB .……………(1 分) = = r 2
2 2 2 2
年长宁区初三数学教学质量检测试卷 长宁区初三数学教学质量检测试卷参考答案 初三数学教学质量检测试卷参考答案
2
x
2
2
2
∆ADE
2
∆ADE
1
2
D
E
H
F
C
P
G R
O
A
Q
B
初三数学基础考试卷—3—
2015
年上海各区县中考二模试题及答案
∴DE=CF. (1 分) (2)据题意,设 DP=t,PA=10-t,AQ=3t,QB=12-3t,BR=1.5t(0 < t < 4). (1 分) ∵矩形 ABCD ∴∠A=∠B=90° 若△PAQ 与△QBR 相似,则有 AP AQ 10 - t 3t 14 ① QB = (2 分) = t= BR 12 - 3t 1.5t 5
25
D P E F C
O R
A
Q
B
第 25 题图
初三数学基础考试卷—2—
2015
年上海各区县中考二模试题及答案
2015 18. 1
或 11 . 6 24.(本题满分 12 分) 解:(1) y = x − 2tx + t − 2 = (x - t ) - 2 ∴A(t,-2)(2 分) y ∵点 C 的横坐标为 1,且是线段 AB 的中点 ∴t =2 (1 分) ∴ y = (x - 2 ) - 2 D ∴P(1,-1).(1 分) O (2)据题意,设 C(x,-2)(0< x < t),P(x, ( x − t ) − 2 )E P B C A AC= t-x,PC= ( x − t ) (1 分) 第 24 题图 ∵AC=PC ∴t-x = ( x − t ) ∵x < t ∴ t - x=1 即 x = t - 1 ∴AC=PC=1 (2 分) AC ∵DC//y 轴 ∴ PC ∴EB= t ∴OE=2-t = EB AB 1 1 3 ∴S = 1 (OE + DP) × OD = (3 − t )(t − 1) = − t + 2t − (1< t <2). (2 分) 2 2 2 2 1 1 1 (3) S = 2 DP × AB = 2 ×1× t = 2 t (1 分) 1 3 ∵ S = 2S ∴ 1 t = 2( − t + 2t − ) 2 2 2 3 解得 t = 3 , t = 2 (不合题意)∴ t = .(2 分) 2 2 25.(本题满分 14 分) (1)证:作 OH⊥DC 于点 H,设⊙O 与 BC 边切于点 G,联结 OG. (1 分) ∴∠OHC=90° ∵⊙O 与 BC 边切于点 G ∴OG=6,OG⊥BC ∴∠OGC=90° ∵矩形 ABCD ∴∠C=90° ∴四边形 OGCH 是矩形 ∴CH=OG ∵OG=6 ∴CH=6 (1 分) ∵矩形 ABCD ∴AB=CD 第 25 题图(1) ∵AB=12 ∴CD=12 ∴DH=CD﹣CH=6 ∴DH= CH ∴O 是圆心且 OH⊥DC ∴EH=FH (2 分)

2015年区二模数学答案

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3 2 2
3 ..............................................................................................2 分
22.(本题满分 7 分) (1)画图正确...............................................................................................................................................3 分 △ABC 的面积为6..................................................................................................................................1 分 (2) 画图正确.................................................................................................................................................3 分 23.(本题满分 8 分) (1)解:m = 100,x = 40,y = 0.18........................................................................................................3 分 (2)补图正确..................................................................................................................................................2 分 (3)解: 估计该校学生劳动的总时间为 2640 小时..........................................................................................3 分 24.(本题满分 8 分) (1)在△ABC 中,∵AC=BC,∠ACB=90,CG 平分∠ACB, ∴∠CAB=∠CBA=

2015虹口二模 上海市虹口区2015届高三二模数学(文)试题 Word版含答案

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(第11题图)虹口区2015年高考练习题 数学(文科)试卷2015年4月一、填空题(本大题满分56分)本大题共14题,只要求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.1.计算:201511i i+=+____________.(i 是虚数单位) 2. 已知函数132,(0)(),((3))_______.,(0)x x f x f f x x ⎧≤⎪=-=⎨⎪>⎩则 3.函数1()ln(1)(0)f x x x=+>的反函数1()f x -=___________. 4.已知正实数,x y 满足31,x y +=则xy 的最大值为___________.5.已知复数3sin cos z i θθ=+(i 是虚数单位),且z =则当θ为钝角时,tan _____.θ=6. 在上海高考改革方案中,要求每位高中生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科(3门理科学科、3门文科学科)中选择3门学科参加等级考试. 小丁同学理科成绩较好,决定至少选择两门理科学科,那么小丁同学的选科方案有__________种(结果用数值表示).7.设数列{}n a 前n 项的和为,n S 若114,3(),n n a a S n N *+==∈且则_______.n S =8. 已知抛物线22(0)y px p =>的焦点在圆22(1)4x y -+=上,则p =________.9.6225(lim(1)2n n x x a a a →∞++++=若二项式展开式中含项的系数为,则________.10 .若行列式51in()0cos()24s x x ππ++的第1行第2列的元素1的代数余子式为1-,则实数x 的取值集合为_________. 11.如图所示,已知2212221(0,0)x y F F a b a b-=>>、为双曲线的两个焦点,且122,F F =若以坐标原点O 为圆心,12F F 为直径的圆与该双曲线的左支相交于A B 、两点,且2F AB ∆为正三角形,则双曲线的实轴长为_________.12. 设二元一次不等式组2190802140x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域为,M 若函数x y a =(0,1)a a >≠且的图像经过区域,M 则实数a 的取值范围为_________.13. 已知直线1:125150l x y -+=和2:2,l x =-28P y x =点为抛物线上的动点,则1P l 点到直线2l 和直线的距离之和的最小值为_________.抛物线的准线即为x=-2,所以根据抛物线的定义,点P 到x=-2的距离即为点P 到焦点(2,0)的距离,所以1P l 点到直线2l 和直线的距离之的和为1P l 点到直线和到焦点的距离之和,这个距离的最小值是 3.d ==14.已知向量,a b 满足2,a b a b ==⋅=且()()0,a c b c -⋅-=则2b c -的最小值为________.根据2,a b a b ==⋅=c o s ,3a b π<⋅>=不防设(2,0),(1,3),(,),a b c xy ===所以22()()(2,)(1,320,a cbc x y x y x x y -⋅-=-⋅-=-++=即223()(1,2x y -+=则2b c-的最小值为点到点3(2距离减去1, 即1二、选择题(本大题共4题,满分20分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应题号上,将所选答案的代号涂黑,选对得 5分,否则一律零分.(第17题图)俯视图左视图主视图{}23,0,12,2x U R A x B x x x ⎧+⎫==>=-<⎨⎬-⎩⎭15.设全集已知()()U A B ⋂=则ð(A )3,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭(B )(]1,2- (C )(]2,3 (D )[)2,3 16.设,a R ∈则1a =-“”是“函数()(2)(0,)f x ax x =-+∞在上单调递增”的 ( )(A )充要条件 (B )既不充分也不必要条件 (C )充分不必要条件 (D 17. 一个四棱锥的三视图如图所示,则此四棱锥的体 ( )(A ) 24 (B )16 (C ) 12 (D )818.设函数()()()(),()(2),f x x R f x f x f x f x ∈-==-满足 且当[]20,1().x f x x ∈=时,又函数()sin(),g x x π=则函数[]()()()1,3h x g x f x =--在区间上零点的个数为( )(A ) 6 (B )7 (C ) 8 (D )9由函数()()()(),()f x x R f x f x f x ∈-=满足则为偶函数,()(2)=(2),f x f x f x =--函数的周期为2,所以在同一坐标系下画出两个函数的图象,[]()()1,3y g x y f x ==-和在区间的交点有6个,[]()()()1,3h x g x f x =--在区间上零点的个数为6个三、解答题(本大题共5题,满分74分)解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤.19.(本题满分12分) 本题共2个小题,第1小题5分,第2小题7分. 已知函数()log (01)a f x b x a a =+>≠且的图像经过点(8,2)和(1,1).-(1) 求函数()f x 的解析式;(第21题图)θBCPNMA(第20题图)D 1C 1B 1BCD A 1A(2) 令()2(1)(),()g x f x f x g x =+-求的最小值及取最小值时x 的值.20.(本题满分14分) 本题共2个小题,第1小题6分,第2小题8分. 在如图所示的直四棱柱1111ABCD A BC D -中,底面ABCD 是边长为2的菱形,且60,BAD ∠=︒1 4.AA =(1) 求直四棱柱1111ABCD A BC D -的体积; (2)求异面直线11AD BA 与所成角的大小.21.(本题满分14分) 本题共2个小题,第1小题6分, 第2小题8分.如图,经过村庄A 有两条夹角为60︒的公路AB AC 、,根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P ,分别在两条公路边上建两个仓库M N 、(异于村庄A ),要求2PM PN MN ===(单位:千米). 记.AMN θ∠=(1)将AN AM 、θ用含的关系式表示出来;(2)如何设计(即AN AM 、为多长时),使得工厂产生 的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离AP 最大)?22. (本题满分16分) 本题共3个小题,第1小题5分,第2小题5分,第3小题6分. 已知圆1F :22(1)8x y ++=,点2F (1, 0),点Q 分线交1QF 于点P .(1) 求动点P 的轨迹C 的方程;(2) 设M N 、分别是曲线C 上的两个不同点,且点M 在第一象限,点N 在第三象限,若122OM ON OF +=, O 为坐标原点,求直线MN 的斜率;(3)过点1(0,)3S -的动直线l 交曲线C 于A B 、两点, 求证:以AB 为直径的圆恒过定点(0,1).T23. (本题满分18分) 本题共3个小题,每小题6分.设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为,n S 且满足:211,(1)().n n a S a n N *==+∈4(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)设1121(),lim(2n n n n n n n a ab n N b b b n a a *+→∞+=+∈+++-试求)的值;(3)是否存在大于2的正整数,m k 、使得12300?m m m m k a a a a +++++++=若存(第20题图)D 1C 1B 1BCDA 1A在,求出所有符合条件的m k 、;若不存在,请说明理由.虹口区2015年高考练习题数学(文科)参考答案与评分标准2015年4月一、填空题(本大题共14题,每题4分,满分56分)1.i - 2.12 3.1(0)1x x e >- 4. 1125. 1- 6. 10 7.4n8. 69. 2310.(21),()k k Z π+∈ 111 12. []2,913. 3 14.1二、选择题(本大题共4题,每题5分,满分20分)15. B 16. C 17. D 18. A 三、解答题(本大题共5题,满分74分)19.(本题满分12分) 本题共2个小题,第1小题5分,第2小题7分. 解:(1)由已知,得log 82,log 11a ab b +=⎧⎨+=-⎩解得2.1a b =⎧⎨=-⎩ ……3分 故2()log 1.f x x =-……5分(2)由于[]22()2(1)()2log (1)1(log 1)g x f x f x x x =+-=+---222(1)1log 1log (2)1(0)x x x x x+=-=++-> ……8分 故221()log (2)1log (22)1 1.g x x x=++-≥+-= ……10分 于是,当1x =时,()g x 取得最小值1. ……12分20.(本题满分14分) 本题共2个小题,第1小题6分,第2小题8分. 解:(1) 因菱形ABCD的面积为2sin60AB ⋅︒=……2分故直四棱柱1111ABCD A BC D -的体积为:(第21题图)θBCPNMA14ABCD S AA ⋅==底面……6分(2) 连接111BC AC 、,易知11//BC AD ,故11A BC ∠等于 异面直线11AD BA 与所成角. ……8分由已知,可得1111A B BC AC ===……10分则在11A BC ∆中,由余弦定理,得 222111111117cos .210A B BC AC A BC A B BC +-∠==⋅……12分 故异面直线11AD BA 与所成角的大小为7cos .10arc……14分21.(本题满分14分) 本题共2个小题,第1小题6分, 第2小题8分. 解:(1)在AMN ∆中,由正弦定理,得sin sin(120)sin 60AN AM MN θθ==︒-︒ ……2分于是4,60)(0120).3AN AM θθθ==+︒︒<<︒……6分(2)在ANP ∆中,由余弦定理,得2222222cos 4222cos(180)31616820sin 4cos 2cos 2)33331620sin(230)(0120).1133AP AN NP AN NP ANPθθθθθθθθθθ=+-⋅∠⎛⎫=+-⋅⋅︒- ⎪⎝⎭=++⋅=-+=-︒+︒<<︒⋯⋯分故当2max 2309060()12.AP θθ-︒=︒=︒=,即时, 此时 2.AN AM ==于是,设计2()AN AM ==千米时,工厂与村庄的距离AP最大,为;工厂产生的噪声对居民的影响最小. ……14分22. (本题满分16分) 本题共3个小题,第1小题5分,第2小题5分,第3小题6分. 解:(1) 因为2QF 的垂直平分线交1QF 于点P . 所以2PF PQ =,从而1211122,PF PF PF PQ FQ F F +=+=== 所以,动点P 的轨迹C 是以点12F F 、为焦点的椭圆. ……3分设椭圆的方程为12222=+by a x ,则22,222==c a ,1222=-=c a b ,故动点P 的轨迹C 的方程为 2212x y += ……5分(2) 设1122(,),(,)M a b N a b 1122(0,0,0,0)a b a b >><<,则2222112222,22a b a b +=+= ①因为122OM ON OF +=,则121222,20a a b b +=-+= ② 由①、② 解得112215,,24a b a b ===-= ……8分 所以直线MN 的斜率MNk 212114b b a a -==- . ……10分(3)设直线l 的方程为1,3y kx =-则由221312y kx x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,得229(21)12160,k x kx +--= 由题意知,点1(0,)3S -在椭圆C 的内部,所以直线l 与椭圆C 必有两个交点,设11(,)A x y 、22(,)B x y ,则121222416,.3(21)9(21)k x x x x k k +==-++ ……12分 假设在y 轴上存在定点(0,)T m 满足题设,则1122(,),(,),TA x y m TB x y m =-=- 因为以AB 为直径的圆恒过点T , 所以1122(,)(,)0,TA TB x y m x y m ⋅=-⋅-=即1212()()0()x x y m y m +--=* ……14分因为112211,,33y kx y kx =-=-故()*可化为 2121212221212()121(1)()()339x x y y m y y m k x x k m x x m m +-++=+-+++++2222222216(1)1421()9(21)33(21)3918(1)3(325)9(21)k k k m m m k k m k m m k +=--+⋅+++++-++-=+ 由于对于任意的R k ∈,0,TA TB ⋅=恒成立,故2210,3250m m m ⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩ 解得 1m =.因此,在y 轴上存在满足条件的定点T ,点T 的坐标为(0,1). …… 16分23. (本题满分18分) 本题共3个小题,每小题6分.解:(1)由2(1),n n S a =+4及211(1),n n S a ++=+4 两式相减,得222211111(1)(1)22,n n n n n n n n n a S S a a a a a a +++++=-=+-+=-+-44411()(2)0.n n n n a a a a ++⇒+--= ……3分由于{}n a 各项均为正数,故由上式,可得 12().n n a a n N *+-=∈于是数列{}n a 是以11a =为首项,2为公差的等差数列,其通项公式为:21().n a n n N *=-∈ ……6分(2)因为1121211122(),21212121n n nnn a a n n b a a n n n n +++-=+=+=+--+-+ ……8分 故121111111122(1)()()()22(1)33557212121n b b b n n n n n ⎡⎤+++=+-+-+-++-=+-⎢⎥-++⎣⎦……10分 于是121lim(2lim 2(1) 2.21n n n b b b n n →∞→∞⎡⎤+++--=⎢⎥+⎣⎦)= ……12分 (3)假设存在大于2的正整数,m k 、使得12300.m m m m k a a a a +++++++=由(1),可得12(21)(1),m m m m k a a a a m k k +++++++=+-+从而 (21)(1)300.m k k +-+= ……14分 由于正整数m k 、均大于2,知2114,211m k k m k k +->+≥+-+且与的奇偶性相同. ……16分 故由22300235,=⨯⨯得212312559,21235=23=112125k k k k m k m m m k +=⨯+=⨯==⎧⎧⎧⎧⇒⎨⎨⎨⎨+-=⨯⨯+-=⨯⎩⎩⎩⎩或,或. 因此,存在大于2的正整数:m k 、59,=23=11k k m m ==⎧⎧⎨⎨⎩⎩或使得12300.m m m m k a a a a +++++++=……18分。

上海市虹口区年中考数学二模考试含答案

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上海市虹口区年中考数学二模考试含答案————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期:虹口区2017学年度第二学期期中教学质量监控测试初三数学 试卷(满分150分,考试时间100分钟)2017.4考生注意:1.本试卷含三个大题,共25题;2.答题时,考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在草稿纸、本试卷上答题一律无效;3.除第一、二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤.一、选择题:(本大题共6题,每题4分,满分24分)[下列各题的四个选项中,有且只有一个选项是正确的,选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上.]1.下列各数中,2的倒数是A .2 ;B .-2;C .12;D . 12-.2.下列根式中,与18互为同类二次根式的是 A .2; B .3; C .5; D .6. 3.已知点111(,)P x y 、222(,)P x y 在双曲线3y x=上,下列说法中,正确的是 A .若12x x >,则12y y >; B .若12x x >,则12y y <;C .若120x x >>,则12y y >;D .若120x x >>,则12y y <.4.在一次中学生田径运动会上,参加男子跳高的10名运动员的成绩如下表所示:成绩(米) 1.50 1.60 1.65 1.70 人数1234这些运动员跳高成绩的中位数和众数分别是A .1.65,1.70;B .1.65,1.65;C .1.675,1.70;D .1.625,1.70.5.如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,对角线AC 与BD 相交于点O ,如果AO : AC =2 : 5, 那么:AOD BOC S S 为 A .4 : 25; B .4 : 9; C .2 : 5; D .2 : 3. 6.下列命题中,真命题是A .对角线互相平分的四边形是矩形;B .对角线互相平分且垂直的四边形是矩形;C .对角线互相平分且相等的四边形是矩形;D .对角线互相垂直且相等的四边形是矩形.二、填空题:(本大题共12题,每题4分,满分48分)[请将结果直接填入答题纸的相应位置]A BCDO 第5① ②7.计算:3()a -= ▲ .8.不等式40x -+<的解集是 ▲ .9.如果一元二次方程240x x m ++=没有实数根,那么m 的取值范围是 ▲ . 10.方程34x x +=的解为 ▲ . 11.直线2y x =-+不经过第 ▲ 象限.12.如果将抛物线22y x =向右平移3个单位,那么所得新抛物线的表达式是 ▲ . 13. 一副52张的扑克牌(无大王、小王),从中任意取出一张牌,抽到K 的概率是 ▲ . 14. 为了支援地震灾区同学,某校开展捐书活动,九(1)班同学积极参与.现将捐书数量绘制成频数分布直方图(如图所示),如果捐书数量在3.5~4.5组别的频率是0.3,那么捐书数量在4.5~5.5组别的人数是 ▲ .15.边心距为4的正三角形的边长为 ▲ .16.如图,在△ABC 中,DE ∥BC ,AD =2BD ,如果AB a =,AC b =,那么DE = ▲ (用a 、b 表示).17.定义:如图,点P 、Q 把线段AB 分割成线段AP 、PQ 和BQ ,若以AP 、PQ 、BQ 为边的三角形是一个直角三角形,则称点P 、Q 是线段AB 的勾股分割点.已知点P 、Q 是线段AB 的勾股分割点,如果AP =4,PQ =6(PQ >BQ ),那么BQ = ▲ . 18.如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,AB =10,4sin 5B =,点 D 在斜边AB 上,把△ACD 沿直线CD 翻折,使得点A 落在同一平面内的A ′处,当A ′D 平行Rt △ABC 的直角边时,AD 的长为 ▲ .三、解答题(本大题共7题,满分78分) 19.(本题满分10分)先化简,再求值:22244()22x x x x x x ++÷---,其中5x =.20.(本题满分10分)解方程组:22430,221.x xy y x y ⎧-+=⎨+=⎩0 本数频数第142.53.54.55.56.5 4 8 12 A BP第17Q AC D E第16BA BC第18x yO70 120 第22题图E G第23CABDFHP21.(本题满分10分,第(1)小题5分,第(2)小题5分)如图,⊙A 、⊙B 、⊙C 两两外切,AB=10,BC=21,4sin 5B =. (1)求AC 的长;(2)求⊙A 、⊙B 、⊙C 的半径.22.(本题满分10分,第(1)小题4分,第(2)小题6分)某市为鼓励市民节约用水,自来水公司按分段收费标准收费,下图反映的是每月水费 y (元)与用水量x (吨)之间的函数关系.(1)当用水量超过10吨时,求y 关于x 的函数解析式(不写定义域);(2)按上述分段收费标准,小聪家三、四月份分别交水费38元和27元,问四月份比三月份节约用水多少吨?23.(本题满分12分,第(1)小题6分,第(2)小题6分)如图,在□ABCD 中,过点A 作AE ⊥BC 、AF ⊥DC ,垂足分别为点E 、F ,AE 、AF 分别交BD 于点G 、H 且 AG=AH .(1)求证:四边形ABCD 是菱形;(2)延长AF 、BC 相交于点P ,求证:2BC DF BP =⋅.C第21ABE P第25CABD24.(本题满分12分,第(1)小题4分,第(2)小题4分,第(3)小题4分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,抛物线214y x bx c =++经过点A (-2,0)和原点,点B 在抛物线上且1tan 2BAO ∠= ,抛物线的对称轴与x 轴相交于点P .(1)求抛物线的解析式,并直接写出点P 的坐标;(2)点C 为抛物线上一点,若四边形AOBC 为等腰梯形且AO ∥BC ,求点C 的坐标; (3)点D 在AB 上,若△ADP ∽△ABO ,求点D 的坐标.25.(本题满分14分,第(1)小题4分,第(2)小题5分,第(3)小题5分)如图,在△ABC 中,AB=AC =5,cos B =45,点P 为边BC 上一动点,过点P 作射线PE 交射线BA 于点D ,∠BPD=∠BAC .以点P 为圆心,PC 长为半径作⊙P 交射线PD 于点E ,联结CE ,设BD=x ,CE=y .(1)当⊙P 与AB 相切时,求⊙P 的半径;(2)当点D 在BA 的延长线上时,求y 关于x 的函数解析式,并写出定义域; (3)如果⊙O 与⊙P 相交于点C 、E ,且⊙O 经过点B ,当OP=54时,求AD 的长.第24xA B yOP2017年虹口区中考数学模拟练习卷答案要点与评分标准说明:1.解答只列出试题的一种或几种解法.如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准相应评分;2.第一、二大题若无特别说明,每题评分只有满分或零分;3.第三大题中各题右端所注分数,表示考生正确做对这一步应得分数;4.评阅试卷,要坚持每题评阅到底,不能因考生解答中出现错误而中断对本题的评阅.如果考生的解答在某一步出现错误,影响后继部分而未改变本题的内容和难度,视影响的程度决定后继部分的给分,但原则上不超过后继部分应得分数的一半; 5.评分时,给分或扣分均以1分为基本单位.一、选择题:(本大题共6题,满分24分)1.C ; 2.A ; 3.D ; 4.A ; 5.B ; 6.C .二、填空题:(本大题共12题,满分48分)7.3a -; 8.4x >; 9.4m >; 10.4x =; 11.三; 12.22(3)y x =-; 13.113; 14.16; 15.83; 16.2233a b -+; 17.25; 18.4或8.三、解答题:(本大题共7题,满分78分)19.解:原式=2244(2)x x xx x x ++-÷-………………………………………………………(3分) 22(2)(2)x x x x x +-=⋅-……………………………………………………………(2分)22x x +=- ………………………………………………………………………(2分)把5x =代入,原式=5294552+=+-……………………………………………(3分)20.由①得:()(3)0x y x y --=,∴ 0x y -=或30x y -= …………………………………………………………(2分) 将它们与方程②分别组成方程组,得:0,221;x y x y -=⎧⎨+=⎩30,221.x y x y -=⎧⎨+=⎩…………………………………………………(4分)分别解这两个方程组,得原方程组的解为117,7;x y =⎧⎨=⎩ 229,3.x y =⎧⎨=⎩. …………………………………………(4分)(代入消元法参照给分)21.解:(1)过点A 作AD ⊥BC ,垂足为点D∵4sin 5B =∴3cos 5B =………………………………………………(1分) 在Rt △ABD 中,3cos 1065BD AB B =⋅=⨯=……………………………(1分)4sin 1085AD AB B =⋅=⨯=………………………………(1分)∴CD =21-6=15在Rt △ACD 中,222281517AC AD CD =+=+= ……………………(2分)(2)设⊙A 、⊙B 、⊙C 的半径长分别为x 、y 、z∵⊙A 、⊙B 、⊙C 两两外切∴AB=x+y ,BC=y+z ,AC=x+z ………………………………………………(2分)根据题意得10,21,17.x y y z x z +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ 解得3,7,14.x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩…………………………………(3分)∴⊙A 、⊙B 、⊙C 的半径长分别为3、7、14.22.解:(1)设函数解析式为y =kx +b (0k ≠)………………………………………(1分)由题意得:30107020k b k b =+⎧⎨=+⎩ 解得:410k b =⎧⎨=-⎩……………………(2分)∴y 与x 之间的函数解析式为410y x =-. ……………………………(1分)(2)把y =38代入410y x =-得38410x =- 解得x =12 ………………………………………………(2分)当0≤x ≤10时,设函数解析式为y =k ’x (0k ≠)由题意得3010'k = 解得k ’=3∴函数解析式为y =3x ………………………………………………………(2分)把y=27代入y =3x ,得27=3x 解得x =9…………………………………………………………(1分) ∴ 12-9=3答:四月份比三月份节约用水3吨. ……………………………………………(1分) 23.(1)证明:在□ABCD 中,∠ABC =∠ADC …………………………………………(1分)∵AE ⊥BC ,AF ⊥DC ∴∠BAE +∠ABC=90° ∠DAF+∠ADC =90°∴∠BAE =∠DAF …………………………………………………………………(1分) ∵AG=AH ∴∠AGH =∠AHG …………………………………………………(1分)∵∠AGH =∠BAE+∠ABG ∠AHG =∠DAF +∠ADH∴∠ABG=∠ADH …………………………………………………………………(1分)∴AB=AD …………………………………………………………………………(1分) 又∵四边形ABCD 是平行四边形∴四边形ABCD 是菱形…………………………………………………………(1分) (2)在□ABCD 中,AD ∥BC ,AB ∥CD …………………………………………(1分)∴DF AF DC AP = ,AF BC AP BP =………………………………………………………(2分) ∴DF BC DC BP=………………………………………………………………………(1分) ∵四边形ABCD 是菱形 ∴BC=DC ……………………………………………(1分) ∴DF BC BC BP= 即2BC DF BP =⋅ ……………………………………………(1分) 24.解:(1)把A (-2,0)、O (0,0)代入得012,0.b c c =-+⎧⎨=⎩ 解得1,20.b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩………………………………………(2分) ∴21142y x x =+……………………………………………………………(1分) P (-1,0) …………………………………………………………………(1分)(2)过点B 作BM ⊥x 轴,垂足为点M由1tan 2BAO ∠=可得12BM AM =设点B (2a -2,a )……………………………………………………………(1分)把点B 代入,得211(22)(22)42a a a =-+-解得a =2或0(舍去)∴点B (2,2)………………………………………………………………(1分) ∵四边形AOBC 为等腰梯形,AO ∥BC把y=2代入21142y x x =+得211242x x=+解得x=-4或2(舍)……………………………(1分) ∵BO=22AC=22∴BO =AC ∴点C (-4,2)………………………………………………………………(1分) (3)∵△ADP ∽△ABO ∠BAO =∠DAP25AB =,AO =2 AP =1① AD AP AO AB=∴1225AD =∴55AD =……………………………………………(1分) 由1tan 2BAO ∠=得D (81,55-)………………………………………………(1分)②AD APAB AO =∴1225AD = ∴5AD =………………………………………………(1分) 由1tan 2BAO ∠=得D (0,1)………………………………………………(1分)综合①②,点D 的坐标为(81,55-)或(0,1)25.(1)过点A 作AM ⊥BC ,垂足为点M在Rt △ABM 中,cos 4BM AB B =⋅=∵AB=AC ∴BC=2BM=8………………………………………………………(1分) 过点P 作PN ⊥AB ,垂足为点N 设⊙P 的半径为r ,则BP =8-r在Rt △BPQ 中,3sin (8)5PN BP B r =⋅=-…………………………………(1分) ∵⊙P 与AB 相切 ∴PN=PC ∴3(8)5r r -= …………………………………………………………………(1分) 解得r =3……………………………………………………………………………(1分) (2)∵∠BPD=∠BAC ,∠B=∠B∴△BPD ∽△BAC∴BD BP BC BA= 即85x BP =∴58BP x = ∴588CP x =-…………………………………………………(1分)过点P 作PQ ⊥CE ,垂足为点Q ∵PE=PC ∴∠CPE =2∠CPQ可得∠B=∠D ∠CPE=∠B+∠D=2∠B∴∠CPQ=∠B ……………………………………………………………………(1分)在Rt △CPQ 中,35243sin (8)5858CQ CP CPQ x x =⋅∠=-=- ………………(1分) ∵PQ ⊥CE ∴CE=2CQ∴48354y x =-(6455x <<)…………………………………………(1分,1分) (3)根据题意可得圆心O 为EC 与BC 垂直平分线的交点,即直线AM 与PQ 的交点在Rt △OPM 中,cos 1PM OP OPM =⋅∠= …………………………………(1分)①点P 在线段MC 上时,415BP =+= ∴885x BP ==………………………………………………(1分)∴AD =3……………………………………………………………………………(1分) ②点P 在线段MB 上时413BP =-= ∴82455x BP ==……………………………………………(1分)∴AD=15…………………………………………………………………………(1分)综合①②可得3AD 或1 5。

2015年上海各区中考数学二模压轴题24、25题图文解析

2015年上海各区中考数学二模压轴题24、25题图文解析

《2015年上海各区中考数学二模压轴题图文解析》目录2015年上海各区中考数学二模第24、25题例1 2015年宝山区嘉定区中考数学二模第24、25题图文解析/2例2 2015年奉贤区中考数学二模第24、25题图文解析/6例3 2015年虹口区中考数学二模第24、25题图文解析/10例4 2015年黄浦区中考数学二模第24、25题图文解析14例5 2015年金山区中考数学二模第24、25题图文解析/18例6 2015年静安区青浦区中考数学二模第24、25题图文解析/22例7 2015年闵行区中考数学二模第24、25题图文解析/26例8 2015年浦东新区中考数学二模第24、25题图文解析/30例9 2015年普陀区中考数学二模第24、25题图文解析34例10 2015年松江区中考数学二模第24、25题图文解析38例11 2015年徐汇区中考数学二模第24、25题图文解析42例12 2015年杨浦区中考数学二模第24、25题图文解析/46例13 2015年长宁区中考数学二模第24、25题图文解析/50例14 2015年崇明县中考数学二模第24、25题图文解析/54例15 2015年闸北区中考数学二模第24、25题图文解析/592015年上海各区中考数学二模第18题例1 2015年宝山区嘉定区中考数学二模第18题图文解析/63例2 2015年奉贤区中考数学二模第18题图文解析/64例3 2015年虹口区中考数学二模第18题图文解析/615例4 2015年黄浦区中考数学二模第18题图文解析/66例5 2015年金山区中考数学二模第18题图文解析/67例6 2015年静安区青浦区中考数学二模第18题图文解析/68例7 2015年闵行区中考数学二模第18题图文解析/69例8 2015年浦东新区中考数学二模第18题图文解析/70例9 2015年普陀区中考数学二模第18题图文解析/71例10 2015年松江区中考数学二模第18题图文解析/72例11 2015年徐汇区中考数学二模第18题图文解析/73例12 2015年杨浦区中考数学二模第18题图文解析/74例13 2015年长宁区中考数学二模第18题图文解析/75例14 2015年崇明县中考数学二模第18题图文解析/76例15 2015年闸北区中考数学二模第18题图文解析/77例 2015年上海市宝山区嘉定区中考模拟第24题如图1,在平面直角坐标系中,双曲线kyx=(k≠0)与直线y=x+2都经过点A(2, m).(1)求k与m的值;(2)此双曲线又经过点B(n, 2),过点B的直线BC与直线y=x+2平行交y轴于点C,联结AB、AC,求△ABC的面积;(3)在(2)的条件下,设直线y=x+2与y轴交于点D,在射线CB上有一点E,如果以点A、C、E所组成的三角形与△ACD相似,且相似比不为1,求点E的坐标.图1动感体验请打开几何画板文件名“15宝山嘉定24”,拖动点E在射线CB上运动,可以体验到,△ACE与△ACD相似,存在两种情况.思路点拨1.直线AD//BC,与坐标轴的夹角为45°.2.求△ABC的面积,一般用割补法.3.讨论△ACE与△ACD相似,先寻找一组等角,再根据对应边成比例分两种情况列方程.满分解答(1)将点A(2, m)代入y=x+2,得m=4.所以点A的坐标为(2, 4).将点A(2, 4)代入kyx=,得k=8.(2)将点B(n, 2),代入8yx=,得n=4.所以点B的坐标为(4, 2).设直线BC为y=x+b,代入点B(4, 2),得b=-2.所以点C的坐标为(0,-2).由A(2, 4) 、B(4, 2) 、C (0,-2),可知A、B两点间的水平距离和竖直距离都是2,B、C两点间的水平距离和竖直距离都是4.所以AB=22,BC=42,∠ABC=90°.图22所以S△ABC=12BA BC⋅=122422⨯⨯=8.(3)由A(2, 4) 、D(0, 2) 、C (0,-2),得AD=22,AC=210.由于∠DAC+∠ACD=45°,∠ACE+∠ACD=45°,所以∠DAC=∠ACE.所以△ACE与△ACD相似,分两种情况:①如图3,当CE ADCA AC=时,CE=AD=22.此时△ACD≌△CAE,相似比为1.②如图4,当CE ACCA AD=时,21021022CE=.解得CE=102.此时C、E两点间的水平距离和竖直距离都是10,所以E(10, 8).图3 图4考点伸展第(2)题我们在计算△ABC的面积时,恰好△ABC是直角三角形.一般情况下,在坐标平面内计算图形的面积,用割补法.如图5,作△ABC的外接矩形HCNM,MN//y轴.由S矩形HCNM=24,S△AHC=6,S△AMB=2,S△BCN=8,得S△ABC=8.图54例 2015年上海市宝山区嘉定区中考模拟第25题在Rt △ABC 中,∠C =90°,BC =2,Rt △ABC 绕着点B 按顺时针方向旋转,使点C 落在斜边AB 上的点D ,设点A 旋转后与点E 重合,联结AE .过点E 作直线EM 与射线CB 垂直,交点为M .(1)若点M 与点B 重合(如图1),求cot ∠BAE 的值;(2)若点M 在边BC 上(如图2),设边长AC =x ,BM =y ,点M 与点B 不重合,求y 与x 的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围;(3)若∠BAE =∠EBM ,求斜边AB 的长.图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“15宝山嘉定25”,拖动点A 上下运动,可以体验到,△ABE 保持等腰三角形,∠BAE =∠EBM 按照点M 与点B 的位置关系存在两种情况. 思路点拨1.第(1)题的特殊性是∠DEB =∠CAB =∠EBD ,△EDB 是等腰直角三角形.2.第(1)题暗示了第(2)题中蕴含着三个等角,因此寻找相似三角形.3.第(3)题∠BAE =∠EBM 要分两种情况考虑,各有各的特殊性.满分解答(1)如图3,当点M 与点B 重合时,EB //AC .所以∠CAB =∠EBD .又因为旋转前后∠CAB =∠DEB ,所以∠EBD =∠DEB .所以△EDB 和△ACB 是等腰直角三角形.已知BC =2,所以AC =2,AB =22. 在Rt △AED 中,ED =2,AD =222-,所以cot ∠BAE =AD ED=2222-=21-.图3 图4(2)在Rt △ABC 中,BC =2,AC =x ,所以AB =24x +. 如图4,设EM 与AB 交于点F .由FM //AC ,得BM BF BC BA =,即224y BFx =+.所以BF =242y x +. 由于BD =BC =2,所以DF =2422y x +-. 由∠DEB =∠CAB =∠DFE ,∠EDB 是公共角,得△DEB ∽△DFE .所以DE 2=DF ·DB ,即2242(2)2y x x +=-.整理,得2244x y x -=+. 定义域是0<x <2.(3)已知BA =BE ,所以∠BAE =∠BEA .当∠BAE =∠EBM 时,∠BAE =∠BEA =∠EBM .按照M 、B 的位置分两种情况: ①如图5,当M 在B 右侧时,由∠BEA =∠EBM ,得AE //CM .此时∠BAE =∠ABC .又已知∠ABC =∠EBD ,所以∠ABC =∠EBD =∠EBM =60°.在Rt △ABC 中,AB =2BC =4.②如图6,当M 在B 左侧时,在△BAE 中,∠BAE =∠BEA =2∠ABE .所以∠ABE =36°,∠BAE =∠BEA =72°.延长EA 交BC 的延长线于G ,那么∠G =36°,AG =AB ,GE =GB =2CB =4. 由于点A 是GE 的黄金分割点,所以512AG GE -=.所以AB =AG =252-.图5 图6考点伸展第(3)题的第②种情况,我们直接应用了黄金分割数,也可以用相似比来解. 由∠BAE =∠BEA =∠MBE ,容易得到GB =GE =4,AG =AB =BE .由△GBE ∽△BAE ,得到EB 2=EA ·EG .设AB =BE =m .于是得到24(4)m m =-.整理,得m 2+4m -16=0.解得252m =.6例 2015年上海市奉贤区中考模拟第24题如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y =ax 2+x 的对称轴为直线x =2,顶点为A .(1)求抛物线的表达式及顶点A 的坐标;(2)点P 为抛物线对称轴上一点,联结OA 、OP .①当OA ⊥OP 时,求OP 的长;②过点P 作OP 的垂线交对称轴右侧的抛物线于点B ,联结OB ,当∠OAP =∠OBP 时,求点B 的坐标.图1动感体验请打开几何画板文件名“15奉贤24”,拖动点P 在抛物线的对称轴上运动,可以体验到,△BNP ∽△PMO 保持不变,当∠OAP =∠OBP 时,△BOP ∽△AOH . 思路点拨1.根据等角的余角相等,通过已知的等角寻找未知的等角.2.过直角顶点P 向坐标轴画垂线,可以构造相似的直角三角形,于是通过对应边成比例,可以列方程.满分解答(1)由抛物线的对称轴为122x a =-=,可得14a =-. 所以抛物线的表达式为2211(2)144y x x x =-+=--+. 顶点A 的坐标为(2, 1).(2)①如图2,设AP 与x 轴交于点H .由A (2, 1),可得tan ∠OAH =2.当OA ⊥OP 时,∠POH =∠OAH .所以tan ∠POH =PH OH=2. 因此PH =2OH =4.所以OP =25. 图2②如图3,当∠OAP =∠OBP 时,tan ∠AOH =tan ∠BOP .所以2PO HO PB HA==.如图4,过点P 作PM ⊥y 轴于M ,过点B 作x 轴的垂线交直线PM 于N .由△OMP ∽△PNB ,得2OM MP PO PN NB BP===.所以OM =2PN ,MP =2NB . 设21(,)4B x x x -+,P (2, n ),那么2(2)n x -=-,2122()4x x n =-+-. 将n =4-2x 代入2114x x n -+-=,整理,得x 2-12x +20=0. 解得x =10,或x =2(B 与A 重合,舍去).所以点B 的坐标为(10, -15).图3 图4考点伸展如果应用四点共圆的知识,结合勾股定理,那么第(2)②题可以这样做:如图3,当∠OAP =∠OBP 时,A 、B 、P 、O 四点共圆.此时∠OAB =∠OPB =90°.所以OB 2=OA 2+AB 2.设21(,)4B x x x -+,那么22222211()5(2)(1)44x x x x x x ⎡⎤+-+=+-+-+-⎢⎥⎣⎦. 整理,得x 2-12x +20=0.解得x =10,或x =2.所以B (10, -15).例 2015年上海市奉贤区中考模拟第25题如图1,已知线段AB=8,以A为圆心,5为半径作⊙A,点C在⊙A上,过点C作CD//AB 交⊙A于点D(点D在点C右侧),联结BC、AD.(1)若CD=6,求四边形ABCD的面积;(2)设CD=x,BC=y,求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围;(3)设BC的中点为M,AD的中点为N,线段MN交⊙A于点E,联结CE,当CD取何值时,CE//AD.图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“15奉贤25”,拖动点C在圆上运动,可以体验到,当CE//AD 时,四边形CEND是平行四边形,四边形CEAN是平行四边形,四边形CF AG是矩形.思路点拨1.已知△ABC的三边长分别为5,8,y,构造AB边上的高CK,那么CK为两个直角三角形的公共直角边,根据勾股定理列方程,可以得到y关于x的关系式.2.当CE//AD时,注意到CE与AN、DN的关系都是平行且相等.满分解答(1)如图2,过点A作AH⊥CD,垂足为H.在△ACD中,AC=AD=5,CD=6,所以CH=DH=3.所以AH=4.所以S梯形ABCD=1()2CD AB AH+⨯=1(68)42+⨯=28.图2 图3(2)如图3,作CK⊥AB,垂足为K,那么四边形CKAH为矩形.在△ACD中,AC=AD=5,CH=DH=12 x.8在△ABC 中,BC =y ,AC =5,AK =12x ,BK =182x -. 由CK 2=BC 2-BK 2=AC 2-AK 2,得222211(8)5()22y x x --=-. 整理,得898y x =-.自变量x 的取值范围是0<x <10.(3)如图4,已知MN 是梯形ABCD 的中位线,MN //CD ,当CE //AD 时,四边形CEND 是平行四边形,此时CE =DN =12AD =52. 由CE //NA ,CE =NA ,得四边形CEAN 是平行四边形.所以CN =EA =CA =5.作CG ⊥AN 于G ,那么AG =12AN =14AD =54.所以DG =515544-=. 在Rt △CAG 中,AG =54,CA =5,由勾股定理,得CG =5154. 在Rt △CDG 中,CG =5154,DG =154,由勾股定理,得CD =562.图4 图5考点伸展第(3)题还可以用相似比来解:如图5,设直线AE 与DC 的延长线交于点P ,与⊙A 交于点Q ,那么CE 是△P AD 的中位线,因此PC =CD =x ,PE =EA =AQ =5.由CE //DA ,得∠1=∠3,∠2=∠4.又因为∠1=∠2,所以∠3=∠4.于是可得∠Q =∠5=∠6.由△PCE ∽△PQD ,得PC PQ PE PD =.所以1552x x =.解得562x = 由△PDA ∽△PQD ,得PD PQ PA PD =.所以215102x x =.解得562x =例 2015年上海市虹口区中考模拟第24题如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c过A(-1,0)、B(3,0)、C(2, 3)三点,与y轴交于点D.(1)求该抛物线的解析式,并写出该抛物线的对称轴;(2)分别联结AD、DC、CB,直线y=4x+m与线段DC交于点E,当此直线将四边形ABCD的面积平分时,求m的值;(3)设点F为该抛物线对称轴上一点,当以A、B、C、F为顶点的四边形是梯形时,请直接写出所有满足条件的点F的坐标.图1动感体验请打开几何画板文件名“15虹口24”,拖动点P运动,可以体验到,经过梯形中位线的中点,并且与两底相交的直线平分梯形的面积.拖动点F在抛物线的对称轴上运动,可以体验到,以A、B、C、F为顶点的梯形有3个.思路点拨1.已知抛物线与x轴的两个交点,设两点式比较简便.2.经过梯形中位线的中点,并且与两底相交的直线平分梯形的面积.3.过△ABC的3个顶点分别画对边的平行线,三条直线与抛物线的对称轴的3个交点,就是符合条件的点F.满分解答(1)因为抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点,设y=a(x+1)(x-3).将点C(2, 3)代入,得3=-3a.解得a=-1.所以抛物线的解析式为y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3.对称轴是直线x=1.(2)如图2,由C(2, 3)、D(0, 3),得CD//x轴.所以四边形ABCD是梯形.经过梯形中位线的中点,并且与两底相交的直线平分梯形的面积.梯形ABCD的中位线的中点为3(1,)2,将点3(1,)2代入y=4x+m,得m=52.(3)符合条件的点F有3个,坐标分别为(1, 3),(1,-2),(1,-6).10图2 图3考点伸展第(3)题这样解:过△ABC的3个顶点分别画对边的平行线,三条直线与抛物线的对称轴的3个交点,就是符合条件的点F.①如图3,当CF//AB时,点F的坐标是(1, 3).②如图4,当BF//AC时,由tan∠CAM=tan∠FBH,得CM FHAM BH=.所以332FH=.解得FH=2.此时点F的坐标为(1,-2).③如图5,当AF//CB时,由tan∠CBM=tan∠F AH,得CM FHBM AH=.所以312FH=.解得FH=6.此时点F的坐标为(1,-6).图4 图512例 2015年上海市虹口区中考模拟第25题如图1,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,AB =13,CD //AB ,点E 为射线CD 上一动点(不与点C 重合),联结AE 交边BC 于F ,∠BAE 的平分线交BC 于点G .(1)当CE =3时,求S △CEF ∶S △CAF 的值;(2)设CE =x ,AE =y ,当CG =2GB 时,求y 与x 之间的函数关系式;(3)当AC =5时,联结EG ,若△AEG 为直角三角形,求BG 的长.图1动感体验请打开几何画板文件名“15虹口25”,拖动直角顶点C 运动,可以体验到,CG =2GB 保持不变,△ABC 的形状在改变,EA =EM 保持不变.点击屏幕左下角的按钮“第(3)题”,拖动E 在射线CD 上运动,可以体验到,△AEG 可以两次成为直角三角形. 思路点拨1.第(1)题中的△CEF 和△CAF 是同高三角形,面积比等于底边的比.2.第(2)题中的△ABC 是斜边为定值的形状不确定的直角三角形.3.第(3)题中的直角三角形AEG 分两种情况讨论.满分解答(1)如图2,由CE //AB ,得313EF CE AF BA ==. 由于△CEF 与△CAF 是同高三角形,所以S △CEF ∶S △CAF =3∶13.(2)如图3,延长AG 交射线CD 于M . 图2由CM //AB ,得2CM CG AB BG==.所以CM =2AB =26. 由CM //AB ,得∠EMA =∠BAM .又因为AM 平分∠BAE ,所以∠BAM =∠EAM .所以∠EMA =∠EAM .所以y =EA =EM =26-x .图3 图4(3)在Rt△ABC中,AB=13,AC=5,所以BC=12.①如图4,当∠AGE=90°时,延长EG交AB于N,那么△AGE≌△AGN.所以G是EN的中点.所以G是BC的中点,BG=6.②如图5,当∠AEG=90°时,由△CAF∽△EGF,得FC FA FE FG=.由CE//AB,得FC FB FE FA=.所以FA FBFG FA=.又因为∠AFG=∠BF A,所以△AFG∽△BF A.所以∠F AG=∠B.所以∠GAB=∠B.所以GA=GB.作GH⊥AH,那么BH=AH=132.在Rt△GBH中,由cos∠B=BHBG,得BG=132÷1213=16924.图5 图6考点伸展第(3)题的第②种情况,当∠AEG=90°时的核心问题是说理GA=GB.如果用四点共圆,那么很容易.如图6,由A、C、E、G四点共圆,直接得到∠2=∠4.上海版教材不学习四点共圆,比较麻烦一点的思路还有:如图7,当∠AEG=90°时,设AG的中点为P,那么PC和PE分别是Rt△ACG和Rt △AEG斜边上的中线,所以PC=PE=P A=PG.所以∠1=2∠2,∠3=2∠5.如图8,在等腰△PCE中,∠CPE=180°-2(∠4+∠5),又因为∠CPE=180°-(∠1+∠3),所以∠1+∠3=2(∠4+∠5).所以∠1=2∠4.所以∠2=∠4=∠B.所以∠GAB=∠B.所以GA=GB.图7 图814例 2015年上海市黄浦区中考模拟第24题如图1,在平面直角坐标系中,已知点A 的坐标为(a , 3)(其中a >4),射线OA 与反比例函数12y x =的图像交于点P ,点B 、C 分别在函数12y x =的图像上,且AB //x 轴,AC //y 轴.(1)当点P 的横坐标为6时,求直线AO 的表达式;(2)联结BO ,当AB =BO 时,求点A 的坐标;(3)联结BP 、CP ,试猜想ABP ACP S S △△的值是否随a 的变化而变化?如果不变,求出ABPACPS S △△的值;如果变化,请说明理由.图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“15黄浦24”,拖动点A 在点B 右侧运动,观察度量值,可以体验到,△ABP 与△ACP 的面积保持相等.事实上,四边形ABDC 是矩形,△ABP 与△ACP 是同底等高的两个三角形.思路点拨1.点B 是确定的,点C 、P 随点A 的改变而改变.2.已知a >4隐含了点A 在点B 的右侧这个条件.满分解答(1)如图1,当x =6时,12y x==2.所以点P 的坐标为(6, 2). 由O (0, 0)、P (6, 2),得直线AO 的解析式为13y x =. (2)如图2,因为AB //x 轴,A (a , 3),所以点B 的纵坐标为3.又因为点B 在反比例函数12y x=的图像上,所以B (4, 3).因此OB =5. 所以当AB =BO =5时,点A 的坐标为(9, 3).(3)如图3,过点B 向x 轴作垂线交OA 于点D ,联结CD .由于直线OA 的解析式为3y x a =,所以点D 的坐标为12(4)a,.由于AC //y 轴,所以点C 的坐标为12()a a ,. 所以CD //x 轴.因此四边形ABDC 是矩形. 所以点B 、C 到对角线AP 的距离相等.因此△ABP 与△ACP 是同底等高的两个三角形,它们的面积相等.所以ABP ACPS S △△=1.图2 图3考点伸展第(3)题也可以这样说理:如图3,ABP ABD S S △△=AP AD ,ACP ACD S S △△=AP AD,而S △ABD =S △ACD ,所以ABP ACP S S △△=1. 第(3)题还可以计算说理:如图4,作PM ⊥AB 于M ,作PN ⊥AC 于N .设点P 的坐标为12()m m ,.将点P 12()m m,代入直线OA 的解析式3y x a=,可以得到24m a =. 于是,由A (a , 3)、B (4, 3)、C 12()a a ,、P 12()m m,,可得 S △ABP =12AB PM ⋅=112(4)(3)2a m --=3416(4)2a a m m--+=2316(4)24m m m --+, S △ACP =12AC PN ⋅=112(3)()2a m a --=34(4)2m a m a--+=2316(4)24m m m --+. 所以S △ABP =S △ACP .而事实上,如图5,由于S 1=S 2,所以S △ABO =S △ACO .所以B 、C 到AO 的距离相等.于是△ABP 与△ACP 就是同底等高的三角形.图4 图5例 2015年上海市黄浦区中考模拟第25题如图1,Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=2,CD是斜边AB上的高,点E 为边AC上一点(点E不与点A、C重合),联结DE,作CF⊥DE,CF与边AB、线段DE 分别交于点F、G.(1)求线段CD、AD的长;(2)设CE=x,DF=y,求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域;(3)联结EF,当△EFG与△CDG相似时,求线段CE的长.图1动感体验请打开几何画板文件名“15黄浦25”,拖动点E在AC边上运动,可以体验到,△EFG 与△CDG相似存在两种情况.一种情况是FC垂直平分DE,另一种情况是EF⊥AB.思路点拨1.图形中的垂直关系较多,因此互余的角较多,相等的角较多.把相等的角都标注出来,便于分析题意.2.求y关于x的函数关系式,设法构造相似三角形.3.△EFG与△CDG都是直角三角形,分两种情况讨论相似.按照对应的锐角相等,可以推出相似时的特殊的位置关系.满分解答(1)在Rt△ABC中,∠A=30°,BC=2,所以AB=4,AC=23.在Rt△ACD中,∠A =30°,AC=23,所以CD=3,AD=3.(2)如图2,∠CDE与∠BFC都是∠EDF的余角,所以∠CDE=∠BFC.又因为∠DCE=∠B=60°,所以△CDE∽△BFD.所以CD BFCE BC=,即312yx+=.整理,得23xyx-=.定义域是32≤x<23.图2(3)△EFG与△CDG都是直角三角形,分两种情况讨论相似:①如图3,当∠FEG=∠DCG时,由于∠FDG=∠DCG,所以∠FEG=∠FDG.因此FE=FD.所以FC垂直平分DE.此时CE=CD=3.16②如图4,当∠FEG=∠CDG时,EF//CD.此时EF⊥AB.作EH⊥CD于H,那么四边形EFDH是矩形,DF=HE.所以y=32x.解2332xxx-=,得3393x-±=.此时3933CE-=.图3 图4考点伸展第(2)题也可以这样思考:如图5,过点E作EH⊥CD,垂足为H.在Rt△CEH中,∠CEH=30°,CE=x,所以CH=12x,EH=32x.如图6,由tan∠DEH=tan∠DCF,得13(3)::322x x y-=.整理,得23xyx-=.图5 图6 图7 第(2)题还可以如图6这样,过点C作AB的平行线交DE的延长线于M.由tan∠M=tan∠DCF,得CD DFCM DC=.所以CM=23CDDF y=.由MC//AD,得CM CEAD AE=.所以323xCMx=-.由3323xy x=-,得23xyx-=.定义域的两个临界值,如图8,CE=12CD=32;如图9,CE=CA=23.图8 图9例 2015年上海市金山区中考模拟第24题已知抛物线y=ax2+bx-8(a≠0)经过A(-2,0)、B(4, 0)两点,与y轴交于点C.(1)求抛物线y=ax2+bx-8(a≠0)的解析式,并求出顶点P的坐标;(2)求∠APB的正弦值;(3)直线y=kx+2 与y轴交于点N,与直线AC的交点为M,当△MNC与△AOC相似时,求点M的坐标.图1动感体验请打开几何画板文件名“15金山24”,拖动点M在AC上运动,可以体验到,△MNC 与△AOC相似存在两种情况.思路点拨1.用面积法求等腰三角形P AB的腰上的高,进而可以求顶角的正弦值.2.探求△MNC与△AOC相似,可以转化为探求直角三角形MNC.满分解答(1)因为抛物线y=ax2+bx-8与x轴交于A(-2,0)、B(4, 0)两点,设y=a(x+2)(x-4)=ax2-2ax-8a.所以-8a=-8.解得a=1.所以y=x2-2x-8=(x-1)2-9.所以顶点P的坐标为(1,-9).(2)如图2,由A(-2,0)、B(4, 0)、P(1,-9),得AB=6,PB=P A=310.作PG⊥AB,AH⊥PB,垂足分别为G、H.由S△P AB=1122AB PG PB AH⋅=⋅,得699105310AB PGAHPB⋅⨯===.在Rt△APH中,sin∠APB=910331055AHPA=÷=.图2 (3)由y=kx+2,得点N的坐标为(0, 2).由A(-2,0)、C(0, -8),得直线AC的解析式为y=-4x-8.因为△MNC与△AOC有公共的锐角∠ACO,所以分两种情况讨论相似:18①如图3,当∠MNC=90°时,14NM OANC OC==.所以1105442NM NC===.此时点M的坐标为5(,2)2-.②如图4,当∠NMC=90°时,过点M作x轴的垂线,过点N、C分别作y轴的垂线,构造直角三角形NEM和直角三角形MFC,那么△NEM∽△MFC.所以EN FM EM FC=.设点M的坐标为(x, -4x-8),那么(48)(8)2(48)x xx x-----=----.解得4017x=-.此时点M的坐标为4024(,)1717-.图3 图4 图5考点伸展第(3)题也可以这样解:①如图3,当∠MNC=90°时,MN//x轴,所以y M=2.解方程-4x-8=2,得52x=-.此时点M的坐标为5(,2)2-.②如图5,当∠NMC=90°时,设直线NM交x轴于K,那么△NOK≌△AOC.所以OK=OC=8.所以直线NM的解析式为124y x=+.联立y=-4x-8和124y x=+,解得4017x=-,2417y=.此时M4024(,)1717-.例 2015年上海市金山区中考模拟第25题如图1,已知在△ABC中,AB=AC=10,tan∠B=43.(1)求BC的长;(2)点D、E 分别是AB、AC的中点,不重合的两动点M、N在边BC上(点M、N不与点B、C重合),且点N始终在点M的右边,联结DN、EM交于点O.设MN=x,四边形ADOE的面积为y.①求y与x的函数关系式,并写出定义域;②当△OMN是等腰三角形且BM=1时,求MN的长.图1动感体验请打开几何画板文件名“15金山25”,拖动点N在MC上运动,可以体验到,等腰三角形OMN存在两种情况.思路点拨1.把四边形ADOE分割为△ADE和△DOE,△DOE与△NOM是相似的.2.分三种情况讨论等腰三角形OMN,其中NM=NO是不存在的.满分解答(1)如图2,作AF⊥BC,垂足为F.在Rt△ABF中,AB=10,tan∠B=43,设BF=3m,AF=4m,那么AB=5m.所以5m=10.解得m=2.所以BF=6,AF=8.因为AB=AC,AF⊥BC,所以BC=2BF=12.图2(2)①如图3,S△ABC=1112848 22BC AF⋅=⨯⨯=.因为DE是△ABC的中位线,所以DE=12BC=6,S△ADE=14S△ABC=12.过点O作BC的垂线,垂足为H,交DE于G,那么GH=12AF=4.由DE//BC,得DE GONM HO=,即64GOx GO=-.所以246GOx=+.因此S△DOE=11247262266 DE GOx x⋅=⨯⨯=++.所以y=S四边形ADOE=S△ADE+S△DOE=7212144 1266xx x++=++.定义域是0<x<12.②如图4,作EQ⊥BC,垂足为Q.在Rt△ECQ中,EC=5,所以EQ=4,CQ=3.20在Rt△EMQ中,MQ=11-3=8,EQ=4,所以EM=45.如图5,在Rt△DMP中,DP=4,MP=3-1=2,所以DM=25.图3 图4 图5 因为△OMN∽△OED,所以讨论等腰△OMN可以转化为讨论等腰△OED.(I)如图6,当OM=ON时,OE=OD.此时点O在ED的垂直平分线上.所以BN=CM=11.此时MN=22-12=10..(II)如图7,当MO=MN时,EO=ED=6.此时MN=MO=45x(III)如果NM=NO,那么DO=DE=6.如图8,因为DM=25<6,所以以D为圆心,DE为半径的⊙D与线段ME只有一个交点E,因此不存在NM=NO的情况.图6 图7 图8考点伸展我们把图8局部放大,如图9,⊙D与直线ME的两个交点为E、O,此时点O在EM的延长线上,点N与点B重合,在点M的左侧,NO=NM.图922例 2015年上海市静安区青浦区中考模拟第24题如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y =ax 2-2ax +c 与x 轴正半轴交于点A ,与y 轴正半轴交于点B ,它的对称轴与x 轴交于点C ,且∠OBC =∠OAB ,AC =3.(1)求此抛物线的表达式;(2)如果点D 在此抛物线上,DF ⊥OA ,垂足为F ,DF 与线段AB 相交于点G ,且32ADG AFG S S =△△,求点D 的坐标.图1动感体验请打开几何画板文件名“15静安青浦24”,拖动点D 在抛物线上运动,观察度量值,可以体验到,DG 与GF 的比值可以等于1.5,此时点D 的横坐标为3.思路点拨1.抛物线的解析式中待定两个系数,需要代入A 、B 两点的坐标列方程组.2.△ADG 与△AFG 是同高三角形,面积比等于对应的底边的比.3.把DG ∶GF =3∶2转化为GF ∶DF =2∶5,运算就简便一些.满分解答(1)由y =ax 2-2ax +c ,得抛物线的对称轴是直线x =1.因为AC =3,所以点A 的坐标为(4,0).如图2,由∠OBC =∠OAB ,∠BOC =∠AOB ,得△BOC ∽△AOB .于是可得OB 2=OC ·OA =4.所以OB =2,B (0, 2).将A (4,0)、B (0, 2)分别代入y =ax 2-2ax +c ,得1680,2.a a c c -+=⎧⎨=⎩ 解得14a =-,c =2.所以抛物线的表达式是211242y x x =-++.图2 图3(2)如图3,因为△ADG 与△AFG 是同高三角形,所以32ADG AFG S DG S GF ==△△. 所以25GF DF =. 由A (4,0)、B (0, 2),得直线AB 的解析式为122y x =-+. 设D 211(,2)42x x x -++,G 1(,2)2x x -+,那么21222115242x x x -+=-++ 解得x =3,或x =4(与A 重合,舍去).所以点D 的坐标是5(3,)4. 考点伸展第(2)题凭直觉,△ADG 的面积总要比△AFG 的面积小,但是32ADG AFG S S =△△确实是有解的. 我们分析一下方程21222115242x x x -+=-++,等号左边是可以化简、约分的. 因为1(4)222125(2)(4)4x x x x --==+-+-,所以原分式方程总有一个增根x =4,另一个就是一元一次方程的根.24例 2015年上海市静安区青浦区中考模拟第25题 在⊙O 中,OC ⊥弦AB ,垂足为C ,点D 在⊙O 上.(1)如图1,已知OA =5,AB =6,如果OD //AB ,CD 与半径OB 相交于点E ,求DE 的长;(2)已知OA =5,AB =6(如图2),如果射线OD 与AB 的延长线相交于点F ,且 △OCD 是等腰三角形,求AF 的长;(3)如果OD //AB ,CD ⊥OB ,垂足为E ,求sin ∠ODC 的值.图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“15静安青浦25”,拖动点C 运动,观察度量值,可以体验到,当CD ⊥OB 时,sin ∠ODC 的值就是黄金分割数啊.思路点拨1.反反复复的勾股定理和三角比的运算,要仔细哦.2.第(2)题等腰三角形OCD 只存在两种情况,因为OC <OD .3.第(3)题中的所有直角三角形都是相似的.怎样简化错综复杂的线段间的关系呢?设⊙的半径为1,设sin ∠ODC =x ,然后把其他线段用x 表示出来.这个设法不多见哦. 满分解答(1)如图2,因为弦心距OC ⊥弦AB ,所以OC 平分AB .在Rt △OAC 中,OA =5,AC =3,所以OC =4.在Rt △OCD 中,OC =4,OD =5,所以DC =224541+=.由OD//CB ,得53DE OD CE BC ==.所以554188DE DC ==.图2 图3 图4(2)因为OC <OD ,所以等腰三角形OCD 存在两种情况:①如图3,当DO =DC 时,作DH ⊥OC ,那么DH 是△OCF 的中位线.在Rt △ODH 中,OD =5,OH =2,所以DH =225221-=. 所以FC =2DH =221.此时AF =AC +FC =3221+.②如图4,当CO =CD 时,作CM ⊥OD ,那么CM 平分OD .在Rt △OCM 中,OC =4,OM =12OD =52,所以CM =22539422⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 由tan ∠COF =CM FC OM OC=,得3954394225CM OC FC OM ⋅==⨯÷=. 此时AF =AC +FC =43935+. (3)设⊙O 的半径为1,设sin ∠ODC =x .如果OD //AB ,CD ⊥OB ,那么∠COD =90°,∠ODC =∠BOC .如图5,在Rt △ODE 中,由sin ∠ODC =OE OD=x ,得OE =x . 如图6,在Rt △OBC 中,由sin ∠BOC =BC OB=x ,得BC =x . 如图7,由OD //CB ,得OD OE BC BE =.所以11x x x =-. 整理,得x 2+x -1=0.解得152x -±=.所以sin ∠ODC =512-.图5 图6 图7考点伸展看到第(3)题的结果,不由得想起了黄金分割数,那么图形中的黄金分割点在哪里? 如图7,因为51DE OE OE DC OB OD -===,所以点E 是线段OB 的黄金分割点,点E 也是线段CD 的黄金分割点.26例 2015年上海市闵行区中考模拟第24题如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y =ax 2-2ax -4与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C ,其中点A 的坐标为(-3,0),点D 在线段AB 上,AD =AC .(1)求这条抛物线的解析式,并求出抛物线的对称轴;(2)如果以DB 为半径的⊙D 与⊙C 外切,求⊙C 的半径;(3)设点M 在线段AB 上,点N 在线段BC 上,如果线段MN 被直线CD 垂直平分,求BN CN的值.图1动感体验请打开几何画板文件名“15闵行24”,拖动点N 在BC 上运动,可以体验到,当DC 垂直平分MN 时,∠NDC =∠ADC =∠ACD ,此时DN //AC .思路点拨1.准确描绘A 、B 、C 、D 的位置,把相等的角标注出来,利于寻找等量关系.2.第(3)题在图形中模拟比划MN 的位置,近似DC 垂直平分MN 时,把新产生的等角与前面存在的等角对比,思路就有了.满分解答(1)将点A (-3,0)代入y =ax 2-2ax -4,得15a -4=0.解得415a =.所以抛物线的解析式为24841515y x x =--. 抛物线的对称轴为直线x =1. (2)由24844(3)(5)151515y x x x x =--=+-,得B (5, 0),C (0,-4). 由A (-3,0)、B (5, 0)、C (0,-4),得 AB =8,AC =5.当AD =AC =5时,⊙D 的半径DB =3.由D (2, 0)、C (0,-4),得DC =25因此当⊙D 与⊙C 外切时,⊙C 的半径为253(如图2所示).(3)如图3,因为AD =AC ,所以∠ACD =∠ADC .如果线段MN 被直线CD 垂直平分,那么∠ADC =∠NDC .这时∠ACD=∠NDC.所以DN//AC.于是35BN BDCN AD==.图2 图3考点伸展解第(3)题画示意图的时候,容易误入歧途,以为M就是点O.这是为什么呢?我们反过来计算:当DN//AC,35BNCN=时,38DNAC=,因此DM=DN=31588AC=.而DO=2,你看M、O相距是多么的近啊.放大还原事实的真相,如图4所示.图4例 2015年上海市闵行区中考模拟第25题如图1,已知梯形ABCD中,AD//BC,AB=DC=5,AD=4.M、N分别是边AD、BC 上的任意一点,联结AN、DN.点E、F分别在线段AN、DN上,且ME//DN,MF//AN,联结EF.(1)如图2,如果EF//BC,求EF的长;(2)如果四边形MENF的面积是△AND 面积的38,求AM的长;(3)如果BC=10,试探求△ABN、△AND、△DNC能否两两相似?如果能,求AN的长;如果不能,请说明理由.图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“15闵行25”,拖动点M在AD上运动,可以体验到,当EF//BC 时,EF是△AND的中位线.还可以体验到,当N是BC的中点时,△ABN、△AND和△DNC 是三个底角相等的等腰三角形.思路点拨1.由平行四边形MENF和平行四边形AEFM,可以得到E是AN的中点.2.第(2)题把四边形MENF与△AND的面积比,转化为△AEM与△MFD的和与△AND的面积比.再根据相似三角形的面积比等于对应边的比的平方列方程.3.第(3)题先探求两个三角形相似,再验证是否与第三个三角形相似.满分解答(1)如图3,由ME//DN,MF//AN,得四边形MENF是平行四边形.所以MF=EN.如果EF//BC,那么四边形AEFM是平行四边形.所以MF=AE.所以E是AN的中点.同理F是DN的中点.所以EF是△AND的中位线,此时EF=12AD=2.图3 图4 (2)如图4,设AM的长为x.28由ME //DF ,得224AEM AND S AM x S AD ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△. 由MF //AN ,得2244MFD AND S DM x S AD -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△. 所以22(4)16AEM MFD AND S S x x S ++-=△△△. 如果四边形MENF 的面积是△AND 面积的38,那么22(4)5=168x x +-. 整理,得x 2-4x +3=0.解得x =1,或x =3.(3)如图5,在等腰梯形ABCD 中,保持AB =DC ,∠B =∠C ,∠1=∠2,∠3=∠4. 在△ABN 、△AND 、△DNC 中,保持不变的是∠B =∠C .因此△ABN 与△DCN 相似时,存在两种可能:①如果=BA CD BN CN,那么BN =CN .所以N 是BC 的中点. ②如果=BA CN BN CD ,那么510=5BN BN -.解得BN =5.所以N 也是BC 的中点. 当点N 是BC 的中点时,△ABN 与△DCN 是两个全等的等腰三角形.此时△AND 也是等腰三角形,∠1=∠2=∠4=∠3.因此△ABN 、△AND 、△DNC 两两相似.由=AB AN AN AD ,得5=4AN AN .所以=25AN .图5考点伸展有一种传说叫做数学典型题.这道题目里的3个题目,都是典型图,都有典型结论. 如图3,联结三角形三边中点得到的三角形与原三角形相似,而且与其它三个小三角形全等.第(3)题可以推广为:如果等腰梯形ABCD 的下底BC 等于腰长的2倍,N 是下底BC 的中点,那么△ABN ∽△NCD ∽AND .。

2015年上海市虹口区中考数学、语文、英语二模试卷及答案

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2015年上海市虹口区中考数学二模试卷一、选择题:(本大题共6题,每题4分,满分24分)1.(4分)计算(a2)3的结果是()A.a5B.a6C.a8D.3a22.(4分)下列代数式中,+1的一个有理化因式是()A.B.C.+1D.﹣13.(4分)不等式组的解集是()A.x≥﹣B.x<1C.﹣≤x<1D.﹣<x<14.(4分)下列事件中,是确定事件的是()A.上海明天会下雨B.将要过马路时恰好遇到红灯C.有人把石头孵成了小鸭D.冬天,盆里的水结成了冰5.(4分)下列正多边形中,中心角等于内角的是()A.正三角形B.正四边形C.正六边形D.正八边形6.(4分)下列命题中,真命题是()A.有两边和一角对应相等的两个三角形全等B.有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等C.有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等D.有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等二、填空题:(本大题共12题,每题4分,满分48分)7.(4分)据报道,截止2015年3月,某市网民规模达5180000人.请将数据5180000用科学记数法表示为.8.(4分)分解因式:2x2﹣8x=.9.(4分)如果关于的方程x2+3x﹣a=0有两个相等的实数根,那么a=.10.(4分)方程的根是.11.(4分)函数y=的定义域是.12.(4分)在反比例函数y=的图象所在的每个象限中,如果函数值y随自变量的x 值增大而增大,那么常数k的取值范围是.13.(4分)为了了解某中学学生的上学方式,从该校全体学生900名中,随机抽查了60名学生,结果显示有15名学生“步行上学”.由此,估计该校全体学生中约有名学生“步行上学”.14.(4分)在Rt△ABC中,∠C=90°,点G是Rt△ABC的重心,如果CG=6,那么斜边AB的长等于.15.(4分)如图,在△ABC中,点E、F分别在边AC、BC上,EF∥AB,CE=AE,若=,=,则=.16.(4分)如图,⊙A、⊙B的半径分别为1cm、2cm,圆心距AB为5cm.将⊙A由图示位置沿直线AB向右平移,当该圆与⊙B内切时,⊙A平移的距离是cm.17.(4分)定义[a,b,c]为函数y=ax2+bx+c的“特征数”.如:函数y=x2+3x﹣2的“特征数”是[1,3,﹣2],函数y=﹣x+4的“特征数”是[0,﹣1,4].如果将“特征数”是[2,0,4]的函数图象向下平移3个单位,得到一个新函数图象,那么这个新函数的解析式是.18.(4分)在RtABC中,∠C=90°,AC=BC=(如图),若将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置,联结C′B,则C′B的长为.三、解答题(本大题共7题,满分78分)19.(10分)先化简,再求值(﹣)÷,其中x=﹣3.20.(10分)解方程组:.21.(12分)如图,等腰△ABC内接于半径为5的⊙O,AB=AC,tan∠ABC=.求BC的长.22.(12分)某商店试销一种成本为10元的文具.经试销发现,每天销售件数y(件)是每件销售价格x(元)的一次函数,且当每件按15元的价格销售时,每天能卖出50件;当每件按20元的价格销售时,每天能卖出40件.(1)试求y关于x的函数解析式(不用写出定义域);(2)如果每天要通过销售该种文具获得450元的利润,那么该种文具每件的销售价格应该定为多少元?(不考虑其他因素)23.(6分)如图,四边形ABCD是平行四边形,点E为DC延长线上一点,联结AE,交BC边于点F,联结BE.(1)求证:AB•AD=BF•ED;(2)若CD=CA,且∠DAE=90°,求证:四边形ABEC是菱形.24.(12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c过点A(﹣1,0)、B(3,0).C(2,3)三点,且与y轴交于点D.(1)求该抛物线的表达式,并写出该抛物线的对称轴;(2)分别联结AD、DC,CB,直线y=4x+m与线段DC交于点E,当此直线将四边形ABCD 的面积平分时,求m的值;(3)设点F为该抛物线对称轴上的一点,当以点A、B、C、F为顶点的四边形是梯形时,请直接写出所有满足条件的点F的坐标.25.(16分)如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°.AB=13,CD ∥AB .点E 为射线CD 上一动点(不与点C 重合),联结AE ,交边BC 于点F ,∠BAE 的平分线交BC 于点G .(1)当时CE=3,求S △CEF :S △CAF 的值;(2)设CE=x ,AE=y ,当CG=2GB 时,求y 与x 之间的函数关系式;(3)当AC=5时,联结EG ,若△AEG 为直角三角形,求BG 的长.2015年上海市虹口区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题:(本大题共6题,每题4分,满分24分)1.(4分)计算(a2)3的结果是()A.a5B.a6C.a8D.3a2【考点】幂的乘方与积的乘方.【分析】根据幂的乘方,底数不变,指数相乘,计算后直接选取答案.【解答】解:(a2)3=a6.故选:B.【点评】本题考查了幂的乘方的性质,熟练掌握性质是解题的关键.2.(4分)下列代数式中,+1的一个有理化因式是()A.B.C.+1D.﹣1【考点】分母有理化.【分析】根据有理化因式的定义进行求解即可.两个含有根式的代数式相乘,如果它们的积不含有根式,那么这两个代数式相互叫做有理化因式.【解答】解:∵由平方差公式,()()=x﹣1,∴的有理化因式是,故选D.【点评】本题主要考查了对有理化因式的理解,正确选择两个二次根式,使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键.3.(4分)不等式组的解集是()A.x≥﹣B.x<1C.﹣≤x<1D.﹣<x<1【考点】解一元一次不等式组.【分析】先解不等式组中的每一个不等式的解集,再利用求不等式组解集的方法得出解集.【解答】解:解不等式①的x≥﹣,解不等式②得x<1,所以不等式的解集是﹣≤x<1.故选:C.【点评】此题考查了一元一次不等式解集的求法,其简便求法就是用口诀求解.求不等式组解集的口诀:同大取大,同小取小,大小小大中间找,大大小小找不到(无解).4.(4分)下列事件中,是确定事件的是()A.上海明天会下雨B.将要过马路时恰好遇到红灯C.有人把石头孵成了小鸭D.冬天,盆里的水结成了冰【考点】随机事件.【分析】利用确定事件包括必然事件和不可能事件.必然事件就是一定发生的事件,即发生的概率是1的事件.不可能事件是指在一定条件下,一定不发生的事件,进而判断得出即可.【解答】解:A,B,D都不一定发生,属于不确定事件.有人把石头孵成了小鸭,是不可能事件.故选:C.【点评】本题考查了随机事件,理解概念是解决这类基础题的主要方法.必然事件指在一定条件下,一定发生的事件;不可能事件是指在一定条件下,一定不发生的事件;不确定事件即随机事件是指在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件.5.(4分)下列正多边形中,中心角等于内角的是()A.正三角形B.正四边形C.正六边形D.正八边形【考点】正多边形和圆.【分析】设正边形的边数是n,根据内角根据中心角等于内角,就可以得到一个关于n的方程,解方程就可以解得n的值【解答】解:设正边形的边数是n.根据题意得:180﹣=,解得:n=4.故选B.【点评】本题考查了正多边形和圆,考查正多边形的中心角和内角和的知识,正确利用n表示出正多边形的中心角和内角是关键.6.(4分)下列命题中,真命题是()A.有两边和一角对应相等的两个三角形全等B.有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等C.有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等D.有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等【考点】命题与定理;全等三角形的判定.【分析】根据三角形全等的判定方法对A、D进行判断;利用三角形高的位置不同可对B、C进行判断.【解答】解:A、有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等,所以A选项错误;B、有两边和第三边上的高对应相等的两个锐三角形全等,所以B选项错误;C、有两边和其中一边上的高对应相等的两个锐三角形全等,所以C选项错误;D、有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等,所以D选项正确.故选D.【点评】本题考查了命题与定理:判断一件事情的语句,叫做命题.许多命题都是由题设和结论两部分组成,题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项,一个命题可以写成“如果…那么…”形式.有些命题的正确性是用推理证实的,这样的真命题叫做定理.二、填空题:(本大题共12题,每题4分,满分48分)7.(4分)据报道,截止2015年3月,某市网民规模达5180000人.请将数据5180000用科学记数法表示为 5.18×106.【考点】科学记数法—表示较大的数.【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.【解答】解:将5180000用科学记数法表示为5.18×106.故答案为:5.18×106.【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.8.(4分)分解因式:2x2﹣8x=2x(x﹣4).【考点】因式分解-提公因式法.【分析】直接提取公因式2x,进而得出答案.【解答】解:原式=2x(x﹣4).故答案为:2x(x﹣4).【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式,正确找出公因式是解题关键.9.(4分)如果关于的方程x2+3x﹣a=0有两个相等的实数根,那么a=﹣.【考点】根的判别式.【分析】根据方程x2+3x﹣a=0有两个相等的实数根可得△=32﹣4(﹣a)=9+4a=0,求出a 的值即可.【解答】解:∵关于的方程x2+3x﹣a=0有两个相等的实数根,∴△=0,∴32﹣4(﹣a)=9+4a=0,∴a=﹣,故答案为:﹣.【点评】本题主要考查了根的判别式的知识,解答本题的关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系:△=0⇔方程有两个相等的实数根,此题难度不大.10.(4分)方程的根是x=1.【考点】无理方程.【分析】把方程两边平方去根号后即可转化成整式方程,解方程即可求得x的值,然后进行检验即可.【解答】解:两边平方得:2﹣x=x2,整理得:x2+x﹣2=0,解得:x=1或﹣2.经检验:x=1是方程的解,x=﹣2不是方程的解.故答案是:x=1.【点评】在解无理方程是最常用的方法是两边平方法及换元法,本题用了平方法.11.(4分)函数y=的定义域是x≥﹣1.【考点】函数自变量的取值范围.【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解.【解答】解:由题意得,x+1≥0,解得x≥﹣1.故答案为:x≥﹣1.【点评】本题考查的知识点为:二次根式的被开方数是非负数.12.(4分)在反比例函数y=的图象所在的每个象限中,如果函数值y随自变量的x值增大而增大,那么常数k的取值范围是k<.【考点】反比例函数的性质.【分析】先根据函数y=的图象在其所在的每一象限内,函数值y随自变量x的增大而增大列出关于m的不等式,求出m的取值范围即可.【解答】解:∵函数y=的图象在其所在的每一象限内,函数值y随自变量x的增大而增大,∴2k﹣3<0,解得k<.故答案为:k<.【点评】本题考查的是反比例函数的性质,熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键.13.(4分)为了了解某中学学生的上学方式,从该校全体学生900名中,随机抽查了60名学生,结果显示有15名学生“步行上学”.由此,估计该校全体学生中约有225名学生“步行上学”.【考点】用样本估计总体.【分析】先通过样本计算“步行上学”的学生所占百分比,然后估计整体中“步行上学”的学生人数.【解答】解:∵从该校全体学生900名中,随机抽查了60名学生,结果显示有15名学生“步行上学”,∴“步行上学”的学生所占百分比为×100%=25%,∴估计该校全体学生中“步行上学”的人数为900×25%=225.故答案为225.【点评】本题考查了用样本的数据特征来估计总体的数据特征,利用样本中的数据对整体进行估算是统计学中最常用的估算方法.14.(4分)在Rt△ABC中,∠C=90°,点G是Rt△ABC的重心,如果CG=6,那么斜边AB的长等于18.【考点】三角形的重心.【专题】计算题.【分析】CD为斜边上的中线,如图,根据重心的性质得到DG=CG=3,则CD=9,然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得到AB的长.【解答】解:CD为斜边上的中线,如图,∵点G是Rt△ABC的重心,∴CG:GD=2:1,∴DG=CG=×6=3,∴CD=3+6=9,∴AB=2CD=18.故答案为18.【点评】本题考查了三角形重心:三角形的重心是三角形三边中线的交点.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1.也考查了直角三角形斜边上的中线性质.15.(4分)如图,在△ABC中,点E、F分别在边AC、BC上,EF∥AB,CE=AE,若=,=,则=﹣.【考点】*平面向量.【分析】由=,=,利用三角形法则,即可求得,然后由EF∥AB,可证得△CEF∽△CAB,再利用相似三角形的对应边成比例,即可求得答案.【解答】解:∵=,=,∴=﹣=﹣,∵EF∥AB,∴△CEF∽△CAB,∴,∵CE=AE,∴==﹣.故答案为:﹣.【点评】此题考查了平面向量的知识以及相似三角形的判定与性质.注意掌握三角形法则的应用.16.(4分)如图,⊙A、⊙B的半径分别为1cm、2cm,圆心距AB为5cm.将⊙A由图示位置沿直线AB向右平移,当该圆与⊙B内切时,⊙A平移的距离是4或6cm.【考点】圆与圆的位置关系;平移的性质.【分析】可根据圆心距与半径之间的数量关系判断⊙A与⊙B的位置关系.【解答】解:当内切时,圆心距为2﹣1=1,当点A在点B的左侧时,移动的距离为5﹣1=4cm;当点A在点B的右侧时,移动的距离为5+1=6cm;所以向右移动4或6cm时两圆内切,故答案为:4或6.【点评】考查了圆与圆的位置关系,解此题的关键是熟练掌握由数量关系来判断两圆位置关系的方法.设两圆的半径分别为R和r,且R≥r,圆心距为P;外离P>R+r;外切P=R+r;相交R﹣r<P<R+r;内切P=R﹣r;内含P<R﹣r.17.(4分)定义[a,b,c]为函数y=ax2+bx+c的“特征数”.如:函数y=x2+3x﹣2的“特征数”是[1,3,﹣2],函数y=﹣x+4的“特征数”是[0,﹣1,4].如果将“特征数”是[2,0,4]的函数图象向下平移3个单位,得到一个新函数图象,那么这个新函数的解析式是y=2x2+1.【考点】二次函数图象与几何变换.【专题】新定义.【分析】根据“特征数”的定义得到:“特征数”是[2,0,4]的函数的解析式为:y=2x2+4,则该抛物线的顶点坐标是(0,4),根据平移规律得到新函数解析式.【解答】解:依题意得:“特征数”是[2,0,4]的函数解析式为:y=2x2+4,其顶点坐标是(0,4),向下平移3个单位后得到的顶点坐标是(0,1),所以新函数的解析式为:y=2x2+1.故答案是:y=2x2+1.【点评】主要考查了函数图象的平移,抛物线与坐标轴的交点坐标的求法,要求熟练掌握平移的规律:左加右减,上加下减.并用规律求函数解析式.18.(4分)在RtABC中,∠C=90°,AC=BC=(如图),若将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置,联结C′B,则C′B的长为﹣1.【考点】旋转的性质.【分析】连接BB′,根据旋转的性质可得AB=AB′,判断出△ABB′是等边三角形,根据等边三角形的三条边都相等可得AB=BB′,然后利用“边边边”证明△ABC′和△B′BC′全等,根据全等三角形对应角相等可得∠ABC′=∠B′BC′,延长BC′交AB′于D,根据等边三角形的性质可得BD⊥AB′,利用勾股定理列式求出AB,然后根据等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质求出BD、C′D,然后根据BC′=BD﹣C′D计算即可得解.【解答】解:如图,连接BB′,∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△AB′C′,∴AB=AB′,∠BAB′=60°,∴△ABB′是等边三角形,∴AB=BB′,在△ABC′和△B′BC′中,,∴△ABC′≌△B′BC′(SSS),∴∠ABC′=∠B′BC′,延长BC′交AB′于D,则BD⊥AB′,∵∠C=90°,AC=BC=,∴AB=2,∴BD=2×=,C′D=×2=1,∴BC′=BD﹣C′D=﹣1.故答案为﹣1.【点评】本题考查了旋转的性质,全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,等腰直角三角形的性质,作辅助线构造出全等三角形并求出BC′在等边三角形的高上是解题的关键,也是本题的难点.三、解答题(本大题共7题,满分78分)19.(10分)先化简,再求值(﹣)÷,其中x=﹣3.【考点】分式的化简求值.【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简,再求出x的值代入进行计算即可.【解答】解:原式=[﹣]•(x﹣3)=•(x﹣3)=,当x=﹣3时,原式===2﹣.【点评】本题考查的是分式的化简求值,熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键.20.(10分)解方程组:.【考点】高次方程.【分析】把①化为x+3y=1和x+3y=﹣1,再把x+3y=1和x+3y=﹣1分别与x﹣y﹣3=0组成方程组,解出方程组得到答案.【解答】解:,由①得,(x+3y)2=1即x+3y=1,x+3y=﹣1,得到方程组,,分别解这两个方程组,得原方程组的解:,.【点评】本题考查的是二元二次方程组的解法,把二元二次方程通过因式分解化为两个二元一次方程,再把这两个二元一次方程分别与另一个方程组成二元一次方程组,解方程组即可.21.(12分)如图,等腰△ABC内接于半径为5的⊙O,AB=AC,tan∠ABC=.求BC的长.【考点】垂径定理;解直角三角形.【分析】连接AO,交BC于点E,连接BO,求出=,根据垂径定理得出OA⊥BC,BC=2BE,设AE=x,则BE=3x,OE=5﹣x,根据勾股定理得出方程(3x)2+(5﹣x)2=52,求出方程的解即可.【解答】解:连接AO,交BC于点E,连接BO,∵AB=AC,∴=,又∵OA是半径,∴OA⊥BC,BC=2BE,在Rt△ABE中,∵tan∠ABC=,∴=,设AE=x,则BE=3x,OE=5﹣x,在Rt△EO中,BE2+OE2=OB2,∴(3x)2+(5﹣x)2=52,解得:x1=0(舍去),x2=1,∴BE=3x=3,∴BC=2BE=6.【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系,垂径定理,解直角三角形,勾股定理的应用,解此题的关键是构造直角三角形,用了方程思想,难度适中.22.(12分)某商店试销一种成本为10元的文具.经试销发现,每天销售件数y(件)是每件销售价格x(元)的一次函数,且当每件按15元的价格销售时,每天能卖出50件;当每件按20元的价格销售时,每天能卖出40件.(1)试求y关于x的函数解析式(不用写出定义域);(2)如果每天要通过销售该种文具获得450元的利润,那么该种文具每件的销售价格应该定为多少元?(不考虑其他因素)【考点】一元二次方程的应用;根据实际问题列一次函数关系式.【分析】(1)设出一次函数解析式y=kx+b,用待定系数法建立关于k和b的方程组,解之即可求出所求;(2)按照等量关系“每月获得的利润=(销售价格﹣进价)×销售件数”列出二次函数,并求得最值.【解答】解:(1)由题意,知:当x=15时,y=50;当x=20时,y=40,设所求一次函数解析式为y=kx+b,由题意得:,解得:∴所求的y关于x的函数解析式为y=﹣2x+80.(2)由题意,可得:(x﹣10)(﹣2x+80)=450解得:x=25答:该种文具每件的销售价格应该定为25元.【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的应用,重点是掌握求最值的问题.注意:数学应用题来源于实践,用于实践,在当今社会市场经济的环境下,应掌握一些有关商品价格和利润的知识,总利润等于总收入减去总成本,然后再利用二次函数求最值.23.(6分)如图,四边形ABCD是平行四边形,点E为DC延长线上一点,联结AE,交BC边于点F,联结BE.(1)求证:AB•AD=BF•ED;(2)若CD=CA,且∠DAE=90°,求证:四边形ABEC是菱形.【考点】相似三角形的判定与性质;平行四边形的性质;菱形的判定.【分析】(1)由四边形ABCD是平行四边形得到∠ABC=∠D,AB∥CD,∠BAF=∠DEA,推出△ABF∽△EDA,于是即可得到结论;(2)根据∠DAE=90°,得到∠AED+∠D=90°,∠EAC+∠DAC=90°,根据CD=CA,推出四边形ABCD是平行四边形,根据平行四边形的性质得到AB∥CD且AB=CD,证出四边形ABEC是平行四边形.由于CE=CA,推出四边形ABEC是菱形.【解答】证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠ABC=∠D,AB∥CD,∴∠BAF=∠DEA,∴△ABF∽△EDA,∴=,∴AB•AD=BF•ED;(2)∵∠DAE=90°,∴∠AED+∠D=90°,∠EAC+∠DAC=90°,∵CD=CA,∴∠DAC=∠D,∴∠AED=EAC,∴CE=CA,∴CE=CD.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD且AB=CD,∴AB∥EC且AB=EC,∴四边形ABEC是平行四边形.∵CE=CA,∴四边形ABEC是菱形.【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,菱形的判定,熟记定理是解题的关键.24.(12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c过点A(﹣1,0)、B(3,0).C(2,3)三点,且与y轴交于点D.(1)求该抛物线的表达式,并写出该抛物线的对称轴;(2)分别联结AD、DC,CB,直线y=4x+m与线段DC交于点E,当此直线将四边形ABCD 的面积平分时,求m的值;(3)设点F为该抛物线对称轴上的一点,当以点A、B、C、F为顶点的四边形是梯形时,请直接写出所有满足条件的点F的坐标.【考点】二次函数综合题.【分析】(1)抛物线y=ax2+bx+c过点A(﹣1,0)、B(3,0).C(2,3)三点,列方程组可求得.(2)由梯形的面积公式列方程即可求得m的值.(3)由以A、B、C、F为顶点的四边形是梯形,分类讨论当CF∥AB时,点F在线段CD 上,求得F(1,3),当AF∥BC时,直线BC的解析式为;y=﹣3x+9,直线AF的解析式为y=﹣3x﹣3,求得F(1,﹣6),当CA∥BF时,直线AC的解析式为;y=x+1,直线BF 的解析式为;y=x﹣3,求得F(1,﹣2).【解答】解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c过点A(﹣1,0),B(3,0),C(2,3)三点,∴解得:,∴所求抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3,其对称轴是直线x=1,(2)由题意,得:D(0,3),∵DC ∥AB ,AB=4,CD=3,∵直线y=4x+m 与线段DC 交于点E ,且将四边形ABCD 的面积平分,∴直线y=4x+m 与边AB 相交,设交点为点G ,∴点E 的纵坐标是3,点G 的纵坐标是0,∴可求得E (,3),G (﹣,0),由题意,得:S 四边形ABCD =2S 四边形AGED ,∴AB+CD=2(AG+DE )∴4+2=2(﹣+1+),解得:m=﹣.(3)当CF ∥AB 时,点F 在线段CD 上,∴F (1,3),当AF ∥BC 时,直线BC 的解析式为;y=﹣3x+9,∴直线AF 的解析式为y=﹣3x ﹣3,当x=1时,y=﹣6,∴F (1,﹣6),当CA ∥BF 时,直线AC 的解析式为;y=x+1,∴直线BF 的解析式为;y=x ﹣3,∴当x=1时,y=﹣2,∴F (1,﹣2);综上所述;点F 的坐标:(1,3),(1,﹣2),(1,﹣6).【点评】此题考查了抛物线解析式的确定、梯形的判定、梯形的面积的求法重要知识点,(3)小题中,都用到了分类讨论的数学思想,难点在于考虑问题要全面,做到不重不漏.25.(16分)如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°.AB=13,CD ∥AB .点E 为射线CD 上一动点(不与点C 重合),联结AE ,交边BC 于点F ,∠BAE 的平分线交BC 于点G .(1)当时CE=3,求S △CEF :S △CAF 的值;(2)设CE=x ,AE=y ,当CG=2GB 时,求y 与x 之间的函数关系式;(3)当AC=5时,联结EG ,若△AEG 为直角三角形,求BG 的长.【考点】相似形综合题.【分析】(1)过点C 作CH ⊥AE 于H ,根据等高的两个三角形面积之比等于底的比,求出EF :AF 即可;(2)延长AG交射线CD于点K,根据相似三角形对应边成比例求出y与x之间的函数关系式;(3)分∠AGE=90°、∠AEG=90°两种情况进行解答,求出BG的长.【解答】解:(1)过点C作CH⊥AE于H,∴==,∵CD∥AB,∴,∵CE=3,AB=13,∴=,∴=.(2)延长AG交射线CD于点K,∵CD∥AB,∴∠EKA=∠KAB,∵AG平分∠BAE,∴∠EAK=∠KAB,∴∠EKA=∠EAK,∴AE=EK,∵CE=x,AE=y,∴CK=CE+EK=CE+AE=x+y,∵CD∥AB,∴=,∵CG=2GB,∴=2,∴,∴y=26﹣x.(3)由题意,得:BC=12,①当∠AGE=90°时,则AG=GK,∵CD∥AB,∴BG=BC=6.②当∠AEG=90°时,则△ACF∽△GEF,∴=,∠CFE=∠AFG,∴△ECF∽△GAF,∴∠ECF=∠FAG,又∵∠FAG=∠GAB,∠ECF=∠B,∴∠B=∠GAB,∴GA=GB,过点G作GN⊥AB于N,∴BN=AB=,∴BG=BN=.【点评】本题考查的是相似三角形的综合应用,灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键,本题可以提高学生综合运用知识的能力、逻辑思维能力.虹口区2015年语文学科中考练习题(满分150分,考试时间100分钟)考生注意:1、本试卷共28题。

虹口区2015学年度第二学期初三质量调研数学试卷

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第5题图虹口区2015学年度第二学期初三质量调研数学试卷一.选择题:(本大题共6题,每题4分,满分24分) 1.计算3)2(-的结果是( )A .6;B .6-;C .8;D .8-; 2.下列根式中,与3是同类二次根式的是( ) A .6; B .12; C .23; D .18; 3.不等式042≤+x 的解集在数轴上表示正确的是( )A . ;B . ;C . ;D . ;4.李老师对某班学生“你最喜欢的体育项目是什么?”的问题进行了调查,每位同学都选择了其中的一项,现把所得的数据绘制成频数分布直方图(如图).如图中的信息可知,该班学生最喜欢足球的频率是( )A .12;B .3.0;C .4.0;D .40;5.如图所示的尺规作图的痕迹表示的是( )A .尺规作线段的垂直平分线;B .尺规作一条线段等于已知线段;C .尺规作一个角等于已知角;D .尺规作角的平分线; 6.下列命题中,真命题是( )A .四条边相等的四边形是正方形;B .四个角相等的四边形是正方形;C .对角线相等的平行四边形是正方形;D .对角线相等的菱形是正方形; 二.填空题:(本大题共12题,每题4分,满分48分) 7.当1=a 时,3-a 的值为 ;某班学生最喜欢的体育项目的频数分布直方图第4题图第15题图 第18题图 8.方程x x =+32的根是 ;9.若关于x 的方程022=+-m x x 有两个不相等的实数根,则m 的取值范围是 ; 10.试写出一个二元二次方程,使该方程有一个解是⎩⎨⎧=-=21y x ,你写的这个方程是(写出一个符合条件的即可);11.函数121-=x y 的定义域是 ; 12.若),23(1y A -.),52(2y B 是二次函数3)1(2+--=x y 图像上的两点,则1y2y (填“>”或“<”或“=”);13.一个不透明纸箱中装有形状.大小.质地等完全相同的7个小球,分别标有数字1、2、3、4、5、6、7,从中任意摸出一个小球,这个小球上的数字是奇数的概率是 ; 14.已知某班学生理化实验操作测试成绩的统计结果如下表:则这些学生成绩的众数是 分;15.如图,在梯形ABCD ∆中,E .F 分别为腰AD .BC 的中点,若3=DC m ,5=EF m ,则向量=AB (结果用m 表示);16.若两圆的半径分别为cm 1和cm 5,圆心距为cm 4,则这两圆的位置关系是 ; 17.设正n 边形的半径为R ,边心距为r ,如果我们将rR的值称为正n 边形的“接近度”,那么正六边形的“接近度”是 (结果保留根号); 18.已知ABC ∆中,5==AC AB ,6=BC (如图所示),将ABC ∆沿射线BC 方向平移m 个单位得到DEF ∆,顶点A .B .C 分别与D .E .F 对应,若以点A .D .E 为顶点的三角形是等腰三角形,且AE 为腰,则m 的值是 ;三.解答题:(本大题共7题,满分78分) 19.(本题满分10分)先化简,再求值:4216442+÷-+-x x x x ,其中8=x ;成绩(分)4 5 6 7 8 9 10 人数12269119第21题图20.(本题满分10分,第(1)小题满分6分,第(2)小题满分4分)已知一个二次函数的图像经过)10(-,A .)51(,B .)31(--,C 三点. (1)求这个二次函数的解析式;(2)用配方法...把这个函数的解析式化为k m x a y ++=2)(的形式;21.(本题满分10分)如图,在∆ABC 中,CD 是边AB 上的中线,B ∠是锐角,且22sin =B ,21tan =A ,22=BC ,求边AB 的长和CDB ∠cos 的值;22.(本题满分10分)社区敬老院需要600个环保包装盒,原计划由初三(1)班全体同学制作完成。

2015年上海各区中考数学二模压轴题24、25题图文解析

2015年上海各区中考数学二模压轴题24、25题图文解析

《2015年上海各区中考数学二模压轴题图文解析》目录2015年上海各区中考数学二模第24、25题例1 2015年宝山区嘉定区中考数学二模第24、25题图文解析/2例2 2015年奉贤区中考数学二模第24、25题图文解析/6例3 2015年虹口区中考数学二模第24、25题图文解析/10例4 2015年黄浦区中考数学二模第24、25题图文解析14例5 2015年金山区中考数学二模第24、25题图文解析/18例6 2015年静安区青浦区中考数学二模第24、25题图文解析/22例7 2015年闵行区中考数学二模第24、25题图文解析/26例8 2015年浦东新区中考数学二模第24、25题图文解析/30例9 2015年普陀区中考数学二模第24、25题图文解析34例10 2015年松江区中考数学二模第24、25题图文解析38例11 2015年徐汇区中考数学二模第24、25题图文解析42例12 2015年杨浦区中考数学二模第24、25题图文解析/46例13 2015年长宁区中考数学二模第24、25题图文解析/50例14 2015年崇明县中考数学二模第24、25题图文解析/54例15 2015年闸北区中考数学二模第24、25题图文解析/592015年上海各区中考数学二模第18题例1 2015年宝山区嘉定区中考数学二模第18题图文解析/63例2 2015年奉贤区中考数学二模第18题图文解析/64例3 2015年虹口区中考数学二模第18题图文解析/615例4 2015年黄浦区中考数学二模第18题图文解析/66例5 2015年金山区中考数学二模第18题图文解析/67例6 2015年静安区青浦区中考数学二模第18题图文解析/68例7 2015年闵行区中考数学二模第18题图文解析/69例8 2015年浦东新区中考数学二模第18题图文解析/70例9 2015年普陀区中考数学二模第18题图文解析/71例10 2015年松江区中考数学二模第18题图文解析/72例11 2015年徐汇区中考数学二模第18题图文解析/73例12 2015年杨浦区中考数学二模第18题图文解析/74例13 2015年长宁区中考数学二模第18题图文解析/75例14 2015年崇明县中考数学二模第18题图文解析/76例15 2015年闸北区中考数学二模第18题图文解析/77例 2015年上海市宝山区嘉定区中考模拟第24题如图1,在平面直角坐标系中,双曲线kyx=(k≠0)与直线y=x+2都经过点A(2, m).(1)求k与m的值;(2)此双曲线又经过点B(n, 2),过点B的直线BC与直线y=x+2平行交y轴于点C,联结AB、AC,求△ABC的面积;(3)在(2)的条件下,设直线y=x+2与y轴交于点D,在射线CB上有一点E,如果以点A、C、E所组成的三角形与△ACD相似,且相似比不为1,求点E的坐标.图1动感体验请打开几何画板文件名“15宝山嘉定24”,拖动点E在射线CB上运动,可以体验到,△ACE与△ACD相似,存在两种情况.思路点拨1.直线AD//BC,与坐标轴的夹角为45°.2.求△ABC的面积,一般用割补法.3.讨论△ACE与△ACD相似,先寻找一组等角,再根据对应边成比例分两种情况列方程.满分解答(1)将点A(2, m)代入y=x+2,得m=4.所以点A的坐标为(2, 4).将点A(2, 4)代入kyx=,得k=8.(2)将点B(n, 2),代入8yx=,得n=4.所以点B的坐标为(4, 2).设直线BC为y=x+b,代入点B(4, 2),得b=-2.所以点C的坐标为(0,-2).由A(2, 4) 、B(4, 2) 、C (0,-2),可知A、B两点间的水平距离和竖直距离都是2,B、C两点间的水平距离和竖直距离都是4.所以AB=22,BC=42,∠ABC=90°.图22所以S△ABC=12BA BC⋅=122422⨯⨯=8.(3)由A(2, 4) 、D(0, 2) 、C (0,-2),得AD=22,AC=210.由于∠DAC+∠ACD=45°,∠ACE+∠ACD=45°,所以∠DAC=∠ACE.所以△ACE与△ACD相似,分两种情况:①如图3,当CE ADCA AC=时,CE=AD=22.此时△ACD≌△CAE,相似比为1.②如图4,当CE ACCA AD=时,21021022CE=.解得CE=102.此时C、E两点间的水平距离和竖直距离都是10,所以E(10, 8).图3 图4考点伸展第(2)题我们在计算△ABC的面积时,恰好△ABC是直角三角形.一般情况下,在坐标平面内计算图形的面积,用割补法.如图5,作△ABC的外接矩形HCNM,MN//y轴.由S矩形HCNM=24,S△AHC=6,S△AMB=2,S△BCN=8,得S△ABC=8.图54例 2015年上海市宝山区嘉定区中考模拟第25题在Rt △ABC 中,∠C =90°,BC =2,Rt △ABC 绕着点B 按顺时针方向旋转,使点C 落在斜边AB 上的点D ,设点A 旋转后与点E 重合,联结AE .过点E 作直线EM 与射线CB 垂直,交点为M .(1)若点M 与点B 重合(如图1),求cot ∠BAE 的值;(2)若点M 在边BC 上(如图2),设边长AC =x ,BM =y ,点M 与点B 不重合,求y 与x 的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围;(3)若∠BAE =∠EBM ,求斜边AB 的长.图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“15宝山嘉定25”,拖动点A 上下运动,可以体验到,△ABE 保持等腰三角形,∠BAE =∠EBM 按照点M 与点B 的位置关系存在两种情况. 思路点拨1.第(1)题的特殊性是∠DEB =∠CAB =∠EBD ,△EDB 是等腰直角三角形.2.第(1)题暗示了第(2)题中蕴含着三个等角,因此寻找相似三角形.3.第(3)题∠BAE =∠EBM 要分两种情况考虑,各有各的特殊性.满分解答(1)如图3,当点M 与点B 重合时,EB //AC .所以∠CAB =∠EBD .又因为旋转前后∠CAB =∠DEB ,所以∠EBD =∠DEB .所以△EDB 和△ACB 是等腰直角三角形.已知BC =2,所以AC =2,AB =22. 在Rt △AED 中,ED =2,AD =222-,所以cot ∠BAE =AD ED=2222-=21-.图3 图4(2)在Rt △ABC 中,BC =2,AC =x ,所以AB =24x +. 如图4,设EM 与AB 交于点F .由FM //AC ,得BM BF BC BA =,即224y BFx =+.所以BF =242y x +. 由于BD =BC =2,所以DF =2422y x +-. 由∠DEB =∠CAB =∠DFE ,∠EDB 是公共角,得△DEB ∽△DFE .所以DE 2=DF ·DB ,即2242(2)2y x x +=-.整理,得2244x y x -=+. 定义域是0<x <2.(3)已知BA =BE ,所以∠BAE =∠BEA .当∠BAE =∠EBM 时,∠BAE =∠BEA =∠EBM .按照M 、B 的位置分两种情况: ①如图5,当M 在B 右侧时,由∠BEA =∠EBM ,得AE //CM .此时∠BAE =∠ABC .又已知∠ABC =∠EBD ,所以∠ABC =∠EBD =∠EBM =60°.在Rt △ABC 中,AB =2BC =4.②如图6,当M 在B 左侧时,在△BAE 中,∠BAE =∠BEA =2∠ABE .所以∠ABE =36°,∠BAE =∠BEA =72°.延长EA 交BC 的延长线于G ,那么∠G =36°,AG =AB ,GE =GB =2CB =4. 由于点A 是GE 的黄金分割点,所以512AG GE -=.所以AB =AG =252-.图5 图6考点伸展第(3)题的第②种情况,我们直接应用了黄金分割数,也可以用相似比来解. 由∠BAE =∠BEA =∠MBE ,容易得到GB =GE =4,AG =AB =BE .由△GBE ∽△BAE ,得到EB 2=EA ·EG .设AB =BE =m .于是得到24(4)m m =-.整理,得m 2+4m -16=0.解得252m =.6例 2015年上海市奉贤区中考模拟第24题如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y =ax 2+x 的对称轴为直线x =2,顶点为A .(1)求抛物线的表达式及顶点A 的坐标;(2)点P 为抛物线对称轴上一点,联结OA 、OP .①当OA ⊥OP 时,求OP 的长;②过点P 作OP 的垂线交对称轴右侧的抛物线于点B ,联结OB ,当∠OAP =∠OBP 时,求点B 的坐标.图1动感体验请打开几何画板文件名“15奉贤24”,拖动点P 在抛物线的对称轴上运动,可以体验到,△BNP ∽△PMO 保持不变,当∠OAP =∠OBP 时,△BOP ∽△AOH . 思路点拨1.根据等角的余角相等,通过已知的等角寻找未知的等角.2.过直角顶点P 向坐标轴画垂线,可以构造相似的直角三角形,于是通过对应边成比例,可以列方程.满分解答(1)由抛物线的对称轴为122x a =-=,可得14a =-. 所以抛物线的表达式为2211(2)144y x x x =-+=--+. 顶点A 的坐标为(2, 1).(2)①如图2,设AP 与x 轴交于点H .由A (2, 1),可得tan ∠OAH =2.当OA ⊥OP 时,∠POH =∠OAH .所以tan ∠POH =PH OH=2. 因此PH =2OH =4.所以OP =25. 图2②如图3,当∠OAP =∠OBP 时,tan ∠AOH =tan ∠BOP .所以2PO HO PB HA==.如图4,过点P 作PM ⊥y 轴于M ,过点B 作x 轴的垂线交直线PM 于N .由△OMP ∽△PNB ,得2OM MP PO PN NB BP===.所以OM =2PN ,MP =2NB . 设21(,)4B x x x -+,P (2, n ),那么2(2)n x -=-,2122()4x x n =-+-. 将n =4-2x 代入2114x x n -+-=,整理,得x 2-12x +20=0. 解得x =10,或x =2(B 与A 重合,舍去).所以点B 的坐标为(10, -15).图3 图4考点伸展如果应用四点共圆的知识,结合勾股定理,那么第(2)②题可以这样做:如图3,当∠OAP =∠OBP 时,A 、B 、P 、O 四点共圆.此时∠OAB =∠OPB =90°.所以OB 2=OA 2+AB 2.设21(,)4B x x x -+,那么22222211()5(2)(1)44x x x x x x ⎡⎤+-+=+-+-+-⎢⎥⎣⎦. 整理,得x 2-12x +20=0.解得x =10,或x =2.所以B (10, -15).例 2015年上海市奉贤区中考模拟第25题如图1,已知线段AB=8,以A为圆心,5为半径作⊙A,点C在⊙A上,过点C作CD//AB 交⊙A于点D(点D在点C右侧),联结BC、AD.(1)若CD=6,求四边形ABCD的面积;(2)设CD=x,BC=y,求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围;(3)设BC的中点为M,AD的中点为N,线段MN交⊙A于点E,联结CE,当CD取何值时,CE//AD.图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“15奉贤25”,拖动点C在圆上运动,可以体验到,当CE//AD 时,四边形CEND是平行四边形,四边形CEAN是平行四边形,四边形CF AG是矩形.思路点拨1.已知△ABC的三边长分别为5,8,y,构造AB边上的高CK,那么CK为两个直角三角形的公共直角边,根据勾股定理列方程,可以得到y关于x的关系式.2.当CE//AD时,注意到CE与AN、DN的关系都是平行且相等.满分解答(1)如图2,过点A作AH⊥CD,垂足为H.在△ACD中,AC=AD=5,CD=6,所以CH=DH=3.所以AH=4.所以S梯形ABCD=1()2CD AB AH+⨯=1(68)42+⨯=28.图2 图3(2)如图3,作CK⊥AB,垂足为K,那么四边形CKAH为矩形.在△ACD中,AC=AD=5,CH=DH=12 x.8在△ABC 中,BC =y ,AC =5,AK =12x ,BK =182x -. 由CK 2=BC 2-BK 2=AC 2-AK 2,得222211(8)5()22y x x --=-. 整理,得898y x =-.自变量x 的取值范围是0<x <10.(3)如图4,已知MN 是梯形ABCD 的中位线,MN //CD ,当CE //AD 时,四边形CEND 是平行四边形,此时CE =DN =12AD =52. 由CE //NA ,CE =NA ,得四边形CEAN 是平行四边形.所以CN =EA =CA =5.作CG ⊥AN 于G ,那么AG =12AN =14AD =54.所以DG =515544-=. 在Rt △CAG 中,AG =54,CA =5,由勾股定理,得CG =5154. 在Rt △CDG 中,CG =5154,DG =154,由勾股定理,得CD =562.图4 图5考点伸展第(3)题还可以用相似比来解:如图5,设直线AE 与DC 的延长线交于点P ,与⊙A 交于点Q ,那么CE 是△P AD 的中位线,因此PC =CD =x ,PE =EA =AQ =5.由CE //DA ,得∠1=∠3,∠2=∠4.又因为∠1=∠2,所以∠3=∠4.于是可得∠Q =∠5=∠6.由△PCE ∽△PQD ,得PC PQ PE PD =.所以1552x x =.解得562x = 由△PDA ∽△PQD ,得PD PQ PA PD =.所以215102x x =.解得562x =例 2015年上海市虹口区中考模拟第24题如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c过A(-1,0)、B(3,0)、C(2, 3)三点,与y轴交于点D.(1)求该抛物线的解析式,并写出该抛物线的对称轴;(2)分别联结AD、DC、CB,直线y=4x+m与线段DC交于点E,当此直线将四边形ABCD的面积平分时,求m的值;(3)设点F为该抛物线对称轴上一点,当以A、B、C、F为顶点的四边形是梯形时,请直接写出所有满足条件的点F的坐标.图1动感体验请打开几何画板文件名“15虹口24”,拖动点P运动,可以体验到,经过梯形中位线的中点,并且与两底相交的直线平分梯形的面积.拖动点F在抛物线的对称轴上运动,可以体验到,以A、B、C、F为顶点的梯形有3个.思路点拨1.已知抛物线与x轴的两个交点,设两点式比较简便.2.经过梯形中位线的中点,并且与两底相交的直线平分梯形的面积.3.过△ABC的3个顶点分别画对边的平行线,三条直线与抛物线的对称轴的3个交点,就是符合条件的点F.满分解答(1)因为抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点,设y=a(x+1)(x-3).将点C(2, 3)代入,得3=-3a.解得a=-1.所以抛物线的解析式为y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3.对称轴是直线x=1.(2)如图2,由C(2, 3)、D(0, 3),得CD//x轴.所以四边形ABCD是梯形.经过梯形中位线的中点,并且与两底相交的直线平分梯形的面积.梯形ABCD的中位线的中点为3(1,)2,将点3(1,)2代入y=4x+m,得m=52.(3)符合条件的点F有3个,坐标分别为(1, 3),(1,-2),(1,-6).10图2 图3考点伸展第(3)题这样解:过△ABC的3个顶点分别画对边的平行线,三条直线与抛物线的对称轴的3个交点,就是符合条件的点F.①如图3,当CF//AB时,点F的坐标是(1, 3).②如图4,当BF//AC时,由tan∠CAM=tan∠FBH,得CM FHAM BH=.所以332FH=.解得FH=2.此时点F的坐标为(1,-2).③如图5,当AF//CB时,由tan∠CBM=tan∠F AH,得CM FHBM AH=.所以312FH=.解得FH=6.此时点F的坐标为(1,-6).图4 图512例 2015年上海市虹口区中考模拟第25题如图1,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,AB =13,CD //AB ,点E 为射线CD 上一动点(不与点C 重合),联结AE 交边BC 于F ,∠BAE 的平分线交BC 于点G .(1)当CE =3时,求S △CEF ∶S △CAF 的值;(2)设CE =x ,AE =y ,当CG =2GB 时,求y 与x 之间的函数关系式;(3)当AC =5时,联结EG ,若△AEG 为直角三角形,求BG 的长.图1动感体验请打开几何画板文件名“15虹口25”,拖动直角顶点C 运动,可以体验到,CG =2GB 保持不变,△ABC 的形状在改变,EA =EM 保持不变.点击屏幕左下角的按钮“第(3)题”,拖动E 在射线CD 上运动,可以体验到,△AEG 可以两次成为直角三角形. 思路点拨1.第(1)题中的△CEF 和△CAF 是同高三角形,面积比等于底边的比.2.第(2)题中的△ABC 是斜边为定值的形状不确定的直角三角形.3.第(3)题中的直角三角形AEG 分两种情况讨论.满分解答(1)如图2,由CE //AB ,得313EF CE AF BA ==. 由于△CEF 与△CAF 是同高三角形,所以S △CEF ∶S △CAF =3∶13.(2)如图3,延长AG 交射线CD 于M . 图2由CM //AB ,得2CM CG AB BG==.所以CM =2AB =26. 由CM //AB ,得∠EMA =∠BAM .又因为AM 平分∠BAE ,所以∠BAM =∠EAM .所以∠EMA =∠EAM .所以y =EA =EM =26-x .图3 图4(3)在Rt△ABC中,AB=13,AC=5,所以BC=12.①如图4,当∠AGE=90°时,延长EG交AB于N,那么△AGE≌△AGN.所以G是EN的中点.所以G是BC的中点,BG=6.②如图5,当∠AEG=90°时,由△CAF∽△EGF,得FC FA FE FG=.由CE//AB,得FC FB FE FA=.所以FA FBFG FA=.又因为∠AFG=∠BF A,所以△AFG∽△BF A.所以∠F AG=∠B.所以∠GAB=∠B.所以GA=GB.作GH⊥AH,那么BH=AH=132.在Rt△GBH中,由cos∠B=BHBG,得BG=132÷1213=16924.图5 图6考点伸展第(3)题的第②种情况,当∠AEG=90°时的核心问题是说理GA=GB.如果用四点共圆,那么很容易.如图6,由A、C、E、G四点共圆,直接得到∠2=∠4.上海版教材不学习四点共圆,比较麻烦一点的思路还有:如图7,当∠AEG=90°时,设AG的中点为P,那么PC和PE分别是Rt△ACG和Rt △AEG斜边上的中线,所以PC=PE=P A=PG.所以∠1=2∠2,∠3=2∠5.如图8,在等腰△PCE中,∠CPE=180°-2(∠4+∠5),又因为∠CPE=180°-(∠1+∠3),所以∠1+∠3=2(∠4+∠5).所以∠1=2∠4.所以∠2=∠4=∠B.所以∠GAB=∠B.所以GA=GB.图7 图814例 2015年上海市黄浦区中考模拟第24题如图1,在平面直角坐标系中,已知点A 的坐标为(a , 3)(其中a >4),射线OA 与反比例函数12y x =的图像交于点P ,点B 、C 分别在函数12y x =的图像上,且AB //x 轴,AC //y 轴.(1)当点P 的横坐标为6时,求直线AO 的表达式;(2)联结BO ,当AB =BO 时,求点A 的坐标;(3)联结BP 、CP ,试猜想ABP ACP S S △△的值是否随a 的变化而变化?如果不变,求出ABPACPS S △△的值;如果变化,请说明理由.图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“15黄浦24”,拖动点A 在点B 右侧运动,观察度量值,可以体验到,△ABP 与△ACP 的面积保持相等.事实上,四边形ABDC 是矩形,△ABP 与△ACP 是同底等高的两个三角形.思路点拨1.点B 是确定的,点C 、P 随点A 的改变而改变.2.已知a >4隐含了点A 在点B 的右侧这个条件.满分解答(1)如图1,当x =6时,12y x==2.所以点P 的坐标为(6, 2). 由O (0, 0)、P (6, 2),得直线AO 的解析式为13y x =. (2)如图2,因为AB //x 轴,A (a , 3),所以点B 的纵坐标为3.又因为点B 在反比例函数12y x=的图像上,所以B (4, 3).因此OB =5. 所以当AB =BO =5时,点A 的坐标为(9, 3).(3)如图3,过点B 向x 轴作垂线交OA 于点D ,联结CD .由于直线OA 的解析式为3y x a =,所以点D 的坐标为12(4)a,.由于AC //y 轴,所以点C 的坐标为12()a a ,. 所以CD //x 轴.因此四边形ABDC 是矩形. 所以点B 、C 到对角线AP 的距离相等.因此△ABP 与△ACP 是同底等高的两个三角形,它们的面积相等.所以ABP ACPS S △△=1.图2 图3考点伸展第(3)题也可以这样说理:如图3,ABP ABD S S △△=AP AD ,ACP ACD S S △△=AP AD,而S △ABD =S △ACD ,所以ABP ACP S S △△=1. 第(3)题还可以计算说理:如图4,作PM ⊥AB 于M ,作PN ⊥AC 于N .设点P 的坐标为12()m m ,.将点P 12()m m,代入直线OA 的解析式3y x a=,可以得到24m a =. 于是,由A (a , 3)、B (4, 3)、C 12()a a ,、P 12()m m,,可得 S △ABP =12AB PM ⋅=112(4)(3)2a m --=3416(4)2a a m m--+=2316(4)24m m m --+, S △ACP =12AC PN ⋅=112(3)()2a m a --=34(4)2m a m a--+=2316(4)24m m m --+. 所以S △ABP =S △ACP .而事实上,如图5,由于S 1=S 2,所以S △ABO =S △ACO .所以B 、C 到AO 的距离相等.于是△ABP 与△ACP 就是同底等高的三角形.图4 图5例 2015年上海市黄浦区中考模拟第25题如图1,Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=2,CD是斜边AB上的高,点E 为边AC上一点(点E不与点A、C重合),联结DE,作CF⊥DE,CF与边AB、线段DE 分别交于点F、G.(1)求线段CD、AD的长;(2)设CE=x,DF=y,求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域;(3)联结EF,当△EFG与△CDG相似时,求线段CE的长.图1动感体验请打开几何画板文件名“15黄浦25”,拖动点E在AC边上运动,可以体验到,△EFG 与△CDG相似存在两种情况.一种情况是FC垂直平分DE,另一种情况是EF⊥AB.思路点拨1.图形中的垂直关系较多,因此互余的角较多,相等的角较多.把相等的角都标注出来,便于分析题意.2.求y关于x的函数关系式,设法构造相似三角形.3.△EFG与△CDG都是直角三角形,分两种情况讨论相似.按照对应的锐角相等,可以推出相似时的特殊的位置关系.满分解答(1)在Rt△ABC中,∠A=30°,BC=2,所以AB=4,AC=23.在Rt△ACD中,∠A =30°,AC=23,所以CD=3,AD=3.(2)如图2,∠CDE与∠BFC都是∠EDF的余角,所以∠CDE=∠BFC.又因为∠DCE=∠B=60°,所以△CDE∽△BFD.所以CD BFCE BC=,即312yx+=.整理,得23xyx-=.定义域是32≤x<23.图2(3)△EFG与△CDG都是直角三角形,分两种情况讨论相似:①如图3,当∠FEG=∠DCG时,由于∠FDG=∠DCG,所以∠FEG=∠FDG.因此FE=FD.所以FC垂直平分DE.此时CE=CD=3.16②如图4,当∠FEG=∠CDG时,EF//CD.此时EF⊥AB.作EH⊥CD于H,那么四边形EFDH是矩形,DF=HE.所以y=32x.解2332xxx-=,得3393x-±=.此时3933CE-=.图3 图4考点伸展第(2)题也可以这样思考:如图5,过点E作EH⊥CD,垂足为H.在Rt△CEH中,∠CEH=30°,CE=x,所以CH=12x,EH=32x.如图6,由tan∠DEH=tan∠DCF,得13(3)::322x x y-=.整理,得23xyx-=.图5 图6 图7 第(2)题还可以如图6这样,过点C作AB的平行线交DE的延长线于M.由tan∠M=tan∠DCF,得CD DFCM DC=.所以CM=23CDDF y=.由MC//AD,得CM CEAD AE=.所以323xCMx=-.由3323xy x=-,得23xyx-=.定义域的两个临界值,如图8,CE=12CD=32;如图9,CE=CA=23.图8 图9例 2015年上海市金山区中考模拟第24题已知抛物线y=ax2+bx-8(a≠0)经过A(-2,0)、B(4, 0)两点,与y轴交于点C.(1)求抛物线y=ax2+bx-8(a≠0)的解析式,并求出顶点P的坐标;(2)求∠APB的正弦值;(3)直线y=kx+2 与y轴交于点N,与直线AC的交点为M,当△MNC与△AOC相似时,求点M的坐标.图1动感体验请打开几何画板文件名“15金山24”,拖动点M在AC上运动,可以体验到,△MNC 与△AOC相似存在两种情况.思路点拨1.用面积法求等腰三角形P AB的腰上的高,进而可以求顶角的正弦值.2.探求△MNC与△AOC相似,可以转化为探求直角三角形MNC.满分解答(1)因为抛物线y=ax2+bx-8与x轴交于A(-2,0)、B(4, 0)两点,设y=a(x+2)(x-4)=ax2-2ax-8a.所以-8a=-8.解得a=1.所以y=x2-2x-8=(x-1)2-9.所以顶点P的坐标为(1,-9).(2)如图2,由A(-2,0)、B(4, 0)、P(1,-9),得AB=6,PB=P A=310.作PG⊥AB,AH⊥PB,垂足分别为G、H.由S△P AB=1122AB PG PB AH⋅=⋅,得699105310AB PGAHPB⋅⨯===.在Rt△APH中,sin∠APB=910331055AHPA=÷=.图2 (3)由y=kx+2,得点N的坐标为(0, 2).由A(-2,0)、C(0, -8),得直线AC的解析式为y=-4x-8.因为△MNC与△AOC有公共的锐角∠ACO,所以分两种情况讨论相似:18①如图3,当∠MNC=90°时,14NM OANC OC==.所以1105442NM NC===.此时点M的坐标为5(,2)2-.②如图4,当∠NMC=90°时,过点M作x轴的垂线,过点N、C分别作y轴的垂线,构造直角三角形NEM和直角三角形MFC,那么△NEM∽△MFC.所以EN FM EM FC=.设点M的坐标为(x, -4x-8),那么(48)(8)2(48)x xx x-----=----.解得4017x=-.此时点M的坐标为4024(,)1717-.图3 图4 图5考点伸展第(3)题也可以这样解:①如图3,当∠MNC=90°时,MN//x轴,所以y M=2.解方程-4x-8=2,得52x=-.此时点M的坐标为5(,2)2-.②如图5,当∠NMC=90°时,设直线NM交x轴于K,那么△NOK≌△AOC.所以OK=OC=8.所以直线NM的解析式为124y x=+.联立y=-4x-8和124y x=+,解得4017x=-,2417y=.此时M4024(,)1717-.例 2015年上海市金山区中考模拟第25题如图1,已知在△ABC中,AB=AC=10,tan∠B=43.(1)求BC的长;(2)点D、E 分别是AB、AC的中点,不重合的两动点M、N在边BC上(点M、N不与点B、C重合),且点N始终在点M的右边,联结DN、EM交于点O.设MN=x,四边形ADOE的面积为y.①求y与x的函数关系式,并写出定义域;②当△OMN是等腰三角形且BM=1时,求MN的长.图1动感体验请打开几何画板文件名“15金山25”,拖动点N在MC上运动,可以体验到,等腰三角形OMN存在两种情况.思路点拨1.把四边形ADOE分割为△ADE和△DOE,△DOE与△NOM是相似的.2.分三种情况讨论等腰三角形OMN,其中NM=NO是不存在的.满分解答(1)如图2,作AF⊥BC,垂足为F.在Rt△ABF中,AB=10,tan∠B=43,设BF=3m,AF=4m,那么AB=5m.所以5m=10.解得m=2.所以BF=6,AF=8.因为AB=AC,AF⊥BC,所以BC=2BF=12.图2(2)①如图3,S△ABC=1112848 22BC AF⋅=⨯⨯=.因为DE是△ABC的中位线,所以DE=12BC=6,S△ADE=14S△ABC=12.过点O作BC的垂线,垂足为H,交DE于G,那么GH=12AF=4.由DE//BC,得DE GONM HO=,即64GOx GO=-.所以246GOx=+.因此S△DOE=11247262266 DE GOx x⋅=⨯⨯=++.所以y=S四边形ADOE=S△ADE+S△DOE=7212144 1266xx x++=++.定义域是0<x<12.②如图4,作EQ⊥BC,垂足为Q.在Rt△ECQ中,EC=5,所以EQ=4,CQ=3.20在Rt△EMQ中,MQ=11-3=8,EQ=4,所以EM=45.如图5,在Rt△DMP中,DP=4,MP=3-1=2,所以DM=25.图3 图4 图5 因为△OMN∽△OED,所以讨论等腰△OMN可以转化为讨论等腰△OED.(I)如图6,当OM=ON时,OE=OD.此时点O在ED的垂直平分线上.所以BN=CM=11.此时MN=22-12=10..(II)如图7,当MO=MN时,EO=ED=6.此时MN=MO=45x(III)如果NM=NO,那么DO=DE=6.如图8,因为DM=25<6,所以以D为圆心,DE为半径的⊙D与线段ME只有一个交点E,因此不存在NM=NO的情况.图6 图7 图8考点伸展我们把图8局部放大,如图9,⊙D与直线ME的两个交点为E、O,此时点O在EM的延长线上,点N与点B重合,在点M的左侧,NO=NM.图922例 2015年上海市静安区青浦区中考模拟第24题如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y =ax 2-2ax +c 与x 轴正半轴交于点A ,与y 轴正半轴交于点B ,它的对称轴与x 轴交于点C ,且∠OBC =∠OAB ,AC =3.(1)求此抛物线的表达式;(2)如果点D 在此抛物线上,DF ⊥OA ,垂足为F ,DF 与线段AB 相交于点G ,且32ADG AFG S S =△△,求点D 的坐标.图1动感体验请打开几何画板文件名“15静安青浦24”,拖动点D 在抛物线上运动,观察度量值,可以体验到,DG 与GF 的比值可以等于1.5,此时点D 的横坐标为3.思路点拨1.抛物线的解析式中待定两个系数,需要代入A 、B 两点的坐标列方程组.2.△ADG 与△AFG 是同高三角形,面积比等于对应的底边的比.3.把DG ∶GF =3∶2转化为GF ∶DF =2∶5,运算就简便一些.满分解答(1)由y =ax 2-2ax +c ,得抛物线的对称轴是直线x =1.因为AC =3,所以点A 的坐标为(4,0).如图2,由∠OBC =∠OAB ,∠BOC =∠AOB ,得△BOC ∽△AOB .于是可得OB 2=OC ·OA =4.所以OB =2,B (0, 2).将A (4,0)、B (0, 2)分别代入y =ax 2-2ax +c ,得1680,2.a a c c -+=⎧⎨=⎩ 解得14a =-,c =2.所以抛物线的表达式是211242y x x =-++.图2 图3(2)如图3,因为△ADG 与△AFG 是同高三角形,所以32ADG AFG S DG S GF ==△△. 所以25GF DF =. 由A (4,0)、B (0, 2),得直线AB 的解析式为122y x =-+. 设D 211(,2)42x x x -++,G 1(,2)2x x -+,那么21222115242x x x -+=-++ 解得x =3,或x =4(与A 重合,舍去).所以点D 的坐标是5(3,)4. 考点伸展第(2)题凭直觉,△ADG 的面积总要比△AFG 的面积小,但是32ADG AFG S S =△△确实是有解的. 我们分析一下方程21222115242x x x -+=-++,等号左边是可以化简、约分的. 因为1(4)222125(2)(4)4x x x x --==+-+-,所以原分式方程总有一个增根x =4,另一个就是一元一次方程的根.24例 2015年上海市静安区青浦区中考模拟第25题 在⊙O 中,OC ⊥弦AB ,垂足为C ,点D 在⊙O 上.(1)如图1,已知OA =5,AB =6,如果OD //AB ,CD 与半径OB 相交于点E ,求DE 的长;(2)已知OA =5,AB =6(如图2),如果射线OD 与AB 的延长线相交于点F ,且 △OCD 是等腰三角形,求AF 的长;(3)如果OD //AB ,CD ⊥OB ,垂足为E ,求sin ∠ODC 的值.图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“15静安青浦25”,拖动点C 运动,观察度量值,可以体验到,当CD ⊥OB 时,sin ∠ODC 的值就是黄金分割数啊.思路点拨1.反反复复的勾股定理和三角比的运算,要仔细哦.2.第(2)题等腰三角形OCD 只存在两种情况,因为OC <OD .3.第(3)题中的所有直角三角形都是相似的.怎样简化错综复杂的线段间的关系呢?设⊙的半径为1,设sin ∠ODC =x ,然后把其他线段用x 表示出来.这个设法不多见哦. 满分解答(1)如图2,因为弦心距OC ⊥弦AB ,所以OC 平分AB .在Rt △OAC 中,OA =5,AC =3,所以OC =4.在Rt △OCD 中,OC =4,OD =5,所以DC =224541+=.由OD//CB ,得53DE OD CE BC ==.所以554188DE DC ==.图2 图3 图4(2)因为OC <OD ,所以等腰三角形OCD 存在两种情况:①如图3,当DO =DC 时,作DH ⊥OC ,那么DH 是△OCF 的中位线.在Rt △ODH 中,OD =5,OH =2,所以DH =225221-=. 所以FC =2DH =221.此时AF =AC +FC =3221+.②如图4,当CO =CD 时,作CM ⊥OD ,那么CM 平分OD .在Rt △OCM 中,OC =4,OM =12OD =52,所以CM =22539422⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 由tan ∠COF =CM FC OM OC=,得3954394225CM OC FC OM ⋅==⨯÷=. 此时AF =AC +FC =43935+. (3)设⊙O 的半径为1,设sin ∠ODC =x .如果OD //AB ,CD ⊥OB ,那么∠COD =90°,∠ODC =∠BOC .如图5,在Rt △ODE 中,由sin ∠ODC =OE OD=x ,得OE =x . 如图6,在Rt △OBC 中,由sin ∠BOC =BC OB=x ,得BC =x . 如图7,由OD //CB ,得OD OE BC BE =.所以11x x x =-. 整理,得x 2+x -1=0.解得152x -±=.所以sin ∠ODC =512-.图5 图6 图7考点伸展看到第(3)题的结果,不由得想起了黄金分割数,那么图形中的黄金分割点在哪里? 如图7,因为51DE OE OE DC OB OD -===,所以点E 是线段OB 的黄金分割点,点E 也是线段CD 的黄金分割点.26例 2015年上海市闵行区中考模拟第24题如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y =ax 2-2ax -4与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C ,其中点A 的坐标为(-3,0),点D 在线段AB 上,AD =AC .(1)求这条抛物线的解析式,并求出抛物线的对称轴;(2)如果以DB 为半径的⊙D 与⊙C 外切,求⊙C 的半径;(3)设点M 在线段AB 上,点N 在线段BC 上,如果线段MN 被直线CD 垂直平分,求BN CN的值.图1动感体验请打开几何画板文件名“15闵行24”,拖动点N 在BC 上运动,可以体验到,当DC 垂直平分MN 时,∠NDC =∠ADC =∠ACD ,此时DN //AC .思路点拨1.准确描绘A 、B 、C 、D 的位置,把相等的角标注出来,利于寻找等量关系.2.第(3)题在图形中模拟比划MN 的位置,近似DC 垂直平分MN 时,把新产生的等角与前面存在的等角对比,思路就有了.满分解答(1)将点A (-3,0)代入y =ax 2-2ax -4,得15a -4=0.解得415a =.所以抛物线的解析式为24841515y x x =--. 抛物线的对称轴为直线x =1. (2)由24844(3)(5)151515y x x x x =--=+-,得B (5, 0),C (0,-4). 由A (-3,0)、B (5, 0)、C (0,-4),得 AB =8,AC =5.当AD =AC =5时,⊙D 的半径DB =3.由D (2, 0)、C (0,-4),得DC =25因此当⊙D 与⊙C 外切时,⊙C 的半径为253(如图2所示).(3)如图3,因为AD =AC ,所以∠ACD =∠ADC .如果线段MN 被直线CD 垂直平分,那么∠ADC =∠NDC .这时∠ACD=∠NDC.所以DN//AC.于是35BN BDCN AD==.图2 图3考点伸展解第(3)题画示意图的时候,容易误入歧途,以为M就是点O.这是为什么呢?我们反过来计算:当DN//AC,35BNCN=时,38DNAC=,因此DM=DN=31588AC=.而DO=2,你看M、O相距是多么的近啊.放大还原事实的真相,如图4所示.图4例 2015年上海市闵行区中考模拟第25题如图1,已知梯形ABCD中,AD//BC,AB=DC=5,AD=4.M、N分别是边AD、BC 上的任意一点,联结AN、DN.点E、F分别在线段AN、DN上,且ME//DN,MF//AN,联结EF.(1)如图2,如果EF//BC,求EF的长;(2)如果四边形MENF的面积是△AND 面积的38,求AM的长;(3)如果BC=10,试探求△ABN、△AND、△DNC能否两两相似?如果能,求AN的长;如果不能,请说明理由.图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“15闵行25”,拖动点M在AD上运动,可以体验到,当EF//BC 时,EF是△AND的中位线.还可以体验到,当N是BC的中点时,△ABN、△AND和△DNC 是三个底角相等的等腰三角形.思路点拨1.由平行四边形MENF和平行四边形AEFM,可以得到E是AN的中点.2.第(2)题把四边形MENF与△AND的面积比,转化为△AEM与△MFD的和与△AND的面积比.再根据相似三角形的面积比等于对应边的比的平方列方程.3.第(3)题先探求两个三角形相似,再验证是否与第三个三角形相似.满分解答(1)如图3,由ME//DN,MF//AN,得四边形MENF是平行四边形.所以MF=EN.如果EF//BC,那么四边形AEFM是平行四边形.所以MF=AE.所以E是AN的中点.同理F是DN的中点.所以EF是△AND的中位线,此时EF=12AD=2.图3 图4 (2)如图4,设AM的长为x.28由ME //DF ,得224AEM AND S AM x S AD ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△. 由MF //AN ,得2244MFD AND S DM x S AD -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△. 所以22(4)16AEM MFD AND S S x x S ++-=△△△. 如果四边形MENF 的面积是△AND 面积的38,那么22(4)5=168x x +-. 整理,得x 2-4x +3=0.解得x =1,或x =3.(3)如图5,在等腰梯形ABCD 中,保持AB =DC ,∠B =∠C ,∠1=∠2,∠3=∠4. 在△ABN 、△AND 、△DNC 中,保持不变的是∠B =∠C .因此△ABN 与△DCN 相似时,存在两种可能:①如果=BA CD BN CN,那么BN =CN .所以N 是BC 的中点. ②如果=BA CN BN CD ,那么510=5BN BN -.解得BN =5.所以N 也是BC 的中点. 当点N 是BC 的中点时,△ABN 与△DCN 是两个全等的等腰三角形.此时△AND 也是等腰三角形,∠1=∠2=∠4=∠3.因此△ABN 、△AND 、△DNC 两两相似.由=AB AN AN AD ,得5=4AN AN .所以=25AN .图5考点伸展有一种传说叫做数学典型题.这道题目里的3个题目,都是典型图,都有典型结论. 如图3,联结三角形三边中点得到的三角形与原三角形相似,而且与其它三个小三角形全等.第(3)题可以推广为:如果等腰梯形ABCD 的下底BC 等于腰长的2倍,N 是下底BC 的中点,那么△ABN ∽△NCD ∽AND .。

上海中考各区二模数学试题及答案汇总

上海中考各区二模数学试题及答案汇总

2014学年虹口区调研测试九年级数学。

(满分分,考试时间分钟)考生注意:1.本试卷含三个大题,共题;2.答题时,考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在草稿纸、本试卷上答题一律无效;3.除第一、二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤.一、选择题:(本大题共题,每题分,满分分).计算的结果是().;.;.; ...下列代数式中,的一个有理化因式是( ).; .;.;...不等式组的解集是( ).; .;.;...下列事件中,是确定事件的是( ).上海明天会下雨;.将要过马路时恰好遇到红灯;.有人把石头孵成了小鸭;.冬天,盆里的水结成了冰..下列多边形中,中心角等于内角的是().正三角形;.正四边形; .正六边形;.正八边形..下列命题中,真命题是().有两边和一角对应相等的两个三角形全等;.有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等;.有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等;.有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等.二、填空题:(本大题共题,每题分,满分分).据报道,截止年月某市网名规模达人。

请将数据用科学记数法表示为。

.分解因式:。

.如果关于的方程有两个相等的实数根,那么。

.方程的根是。

初三数学基础考试卷—1—初三数学基础考试卷—2—(第题图) (第题图) (第题图)(第题图).函数的定义域是 。

.在反比例函数的图像所在的每个象限中,如果函数值随自变量的值的增大而增大,那么常数的取值范围是 。

.为了了解某中学学生的上学方式,从该校全体学生名中,随机抽查了名学生,结果显示有名学生“步行上学”.由此,估计该校全体学生中约有 名学生“步行上学"。

.在中,,点是的重心,如果,那么斜边的长等于 。

.如图,在中,点、分别在边、上,∥,,若,,则 。

.如图,、的半径分别为、,圆心距为.将由图示位置沿直线向右平移,当该圆与内切时,平移的距离是 ..定义为函数的“特征数".如:函数“特征数”是,函数“特征数"是.如果将“特征数”是的函数图像向下平移个单位,得到一个新函数图像,那么这个新函数的解析式是 。

2015年虹口区中考数学二模试卷及答案

2015年虹口区中考数学二模试卷及答案

2015年虹口中考数学练习卷(满分150分,考试时间100分钟)2015.4一、选择题:(本大题共6题,每题4分,满分24分)[下列各题的四个选项中,有且只有一个选项是正确的,选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上.]1. 计算的结果是A.;B.;C.; D. .2. 下列代数式中,的一个有理化因式是A.;B.;C.;D. .3. 不等式组的解集是A.;B.;C.;D. .4. 下列事件中,是确定事件的是A.上海明天会下雨;B.将要过马路时恰好遇到红灯;C.有人把石头孵成了小鸭;D. 冬天,盆里的水结成了冰. 5.下列正多边形中,中心角等于内角的是A.正三角形;B.正四边形;C.正六边形;D.正八边形. 6.下列命题中,真命题是A. 有两边和一角对应相等的两个三角形全等;B. 有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等;C. 有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等;D. 有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等.二、填空题:(本大题共12题,每题4分,满分48分)[请将结果直接填入答题纸的相应位置]7.据报道,截止2015年3月,某市网民规模达518 0000人.请将数据518 0000用科学记数法表示为▲.8.分解因式: = ▲.9. 如果关于的方程有两个相等的实数根,那么▲ .10.方程的根是▲.11. 函数的定义域是▲.12.在反比例函数的图像所在的每个象限中,如果函数值随自变量的值增大而增大,那么常数的取值范围是▲.13. 为了了解某中学学生的上学方式,从该校全体学生900名中,随机抽查了60名学生,结果显示有15名学生“步行上学”.由此,估计该校全体学生中约有___▲名学生“步行上学”.14. 在中,,点是的重心,如果,那么斜边的长等于▲.①15.如图,在中,点、分别在边、上,∥,,17.定义为函数的“特征数”.如:函数的“特征数”是,函数的“特征数”是.如果将“特征数”是的函数图像向下平移3个单位,得到一个新函数图像,那么这个新函数的解析式是 ▲ .18. 在中,,(如图),若将绕点顺时针方向旋转到的位置,联结,则的长为 ▲ .三、解答题(本大题共7题,满分78分) 19.(本题满分10分) 先化简,再求值:,其中. 20.(本题满分10分)解方程组:21.(本题满分10分)如图,等腰内接于半径为5的⊙O ,,. 求BC 的长.22.(本题满分10分,第(1)小题满分5分,第(2)小题满分5分)某商店试销一种成本为10元的文具.经试销发现,每天销售件数y(件)是每件销售价格x (元)的一次函数,且当每件按15元的价格销售时,每天能卖出50件;当每件按20元的价格销售时,每天能卖出40件.(1)试求y关于x的函数解析式(不用写出定义域);(2)如果每天要通过销售该种文具获得450元的利润,那么该种文具每件的销售价格应该定为多少元?(不考虑其他因素)23.(本题满分12分,第(1)小题满分6分,第(2)小题满分6分)如图,四边形是平行四边形,点为延长线上一点,联结,交边于点,联结.(1)求证:;(2)若,且,求证:四边形是菱形.24.(本题满分12分,第(1)小题满分4分,第(2)小题满分5分,第(3)小题满分3分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线过点、、三点,且与y轴交于点.(1)求该抛物线的表达式,并写出该抛物线的对称轴;(2)分别联结、、,直线与线段交于点,当此直线将四边形的面积平分时,求的值;(3)设点为该抛物线对称轴上的一点,当以点、、、为顶标.25.(本题满分14分,第(1)小题满分4分,第(2)小题满分5分,第(3)小题满分5分)如图,在中,,,.点为射线上一动点(不与点重合),联结,交边于点,的平分线交于点.(1)当时,求的值;(2)设,,当时,求与之间的函数关系式;(3)当时,联结,若为直角三角形,求的长.2015年虹口中考数学练习卷参考答案2015.4一、选择题:(本大题共6题,满分24分) 1.B ; 2.D ; 3.C ; 4.C ; 5.B ; 6.D . 二、填空题:(本大题共12题,满分48分) 7.65.1810⨯;8.2(4)x x -;9.94-;10.1x =;11.1x ≥-;12. 32k <;13.225;14.18;15.1133a b -;16.4或6;17.221y x =+;181.三、解答题:(本大题共7题,满分78分)19.解:原式=2(1)(3)[](3)(3)(3)(3)(3)x x x x x x x x +--⋅-+-+-=2223(3)(3)(3)x x x x x x -++⋅-+- =233x x ++当3x =时,原式2==20.解:由①得:2(3)1x y +=, ∴31x y +=或31x y +=-,将它们与方程②分别组成方程组,得:分别解这两个方程组,得原方程组的解:1112,21;2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩222,1.x y =⎧⎨=-⎩ 21.解:联结AO ,交BC 于点E ,联结BO ,∵AB =AC ,∴AB AC =又∵OA 是半径,∴OA ⊥BC ,2BC BE = 在Rt ABE ∆中,∵1tan 3ABC ∠=,∴13AE BE=设AE x =,则3BE x =,5OE x =- 在Rt BEO ∆中,222BE OE OB +=, ∴222(3)(5)5x x +-= 解得:10x =(舍去),21x =∴33BE x ==,∴26BC BE ==22.解:(1)由题意,知:当15x =时,50y =;当20x =时,40y = 设所求一次函数解析式为y kx b =+.由题意得:5015,4020.k b k b =+⎧⎨=+⎩解得:2,80.k b =-⎧⎨=⎩∴所求的y 关于x 的函数解析式为280y x =-+.(2)由题意,可得:(10)(280)450x x --+= 解得:1225x x ==答:该种文具每件的销售价格应该定为25元. 23.证明:(1)法1:∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴ABC D ∠=∠,AB ∥CD , ∴BAF DEA ∠=∠, ∴ABF ∆∽EDA ∆,∴AB BFED AD=, ∴AB AD BF ED ⋅=⋅法2:∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴BC ∥AD ,AB ∥CD ∴EC CF ED AD =,CF EC BF AB =即:EC ED CF AD =,EC ABCF BF =∴ED ABAD BF=∴AB AD BF ED ⋅=⋅ (2)∵90DAE ∠=∴90AED D ∠+∠=,90EAC DAC ∠+∠= ∵CD CA =,∴DAC D ∠=∠∴AED EAC ∠=∠∴CE CA =,∴CE CD =.∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB ∥CD 且AB CD =,∴AB ∥EC 且AB EC =, ∴四边形ABEC 是平行四边形. ∵CE CA =,∴四边形ABEC 是菱形.24.解:(1)∵抛物线2y ax bx c =++过点(1,0)A -、(3,0)B 、(2,3)C 三点,∴0,930,42 3.a b c a b c a b c -+=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得:1,2,3.a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩∴所求抛物线的表达式为223y x x =-++,其对称轴是直线1x =. (2)由题意,得:D (0,3), 又可得://DC AB ,4,2AB DC ==,∵直线4y x m =+与线段DC 交于点E ,且将四边形ABCD 的面积平分, ∴直线4y x m =+与边AB 相交,该交点记为点G , ∴点E 的纵坐标是3,点G 的纵坐标是0, ∴可求得3(,3)4mE -、(,0)4m G -由题意,得:2ABCD AGED S S =四边形四边形, ∴可得:2()AB CD AG ED +=+∴3422(1)44m m -+=-++ 解得:52m =-.(3)点F 的坐标为(1,2)-或(1,6)-或(1,3) 25.解:(1)过点C 作CH AE ⊥于H ,∴1212CEF CAFEF CHS EF S AF AF CH ∆∆⋅==⋅ ∵//CD AB ,∴EF CEAF AB=∵3,13CE AB ==,∴313EF AF = ∴313CEF CAF S S ∆∆= (2)延长AG 交射线CD 于点K , ∵//CD AB ,∴EKA KAB ∠=∠, ∵AG 平分BAE ∠,∴EAK KAB ∠=∠, ∴EAK EKA ∠=∠,∴AE EK =∵CE x =,AE y =,∴CK CE EK CE AE x y =+=+=+,∵//CD AB ,∴CK CGAB GB=∵2CG GB =,∴2CK AB =,∴213x y +=, ∴26y x =-.(3)由题意,得:12BC =, ∵90EAG ∠<︒,∴当AEG ∆为直角三角形时,只有以下两种情况:①当90AGE ∠=︒时,可证AG GK =,∵//CD AB ,∴162BG BC ==. ②当90AEG ∠=︒时,可证:ACF ∆∽GEF ∆, ∴可证ECF ∆∽GAF ∆,∴ECF FAG ∠=∠ 又∵FAG GAB ∠=∠,ECF B ∠=∠, ∴B GAB ∠=∠,∴GA GB = 过点G 作GN AB ⊥于N ,∴11322BN AB ==, ∴131691224BG BN ==. 2020-2-8。

上海中考数学二模24,25题

上海中考数学二模24,25题

上海中考数学⼆模24,25题黄浦2015⼆模24. (本题满分12分,第(1)⼩题满分3分,第(2)⼩题满分4分,第(3)⼩题满分5分)如图7,在平⾯直⾓坐标系xOy 中,已知点A 的坐标为(a ,3)(其中a >4),射线OA 与反⽐例函数12y x =的图像交于点P ,点B 、C 分别在函数12y x=的图像上,且AB //x 轴,AC //y 轴.黄浦2015⼆模25. (本题满分14分,第(1)⼩题满分3分,第(2)满分6分,(3)⼩题满分5分)如图8,Rt △ABC 中,90C ?∠=,30A ?∠=,BC =2,CD 是斜边AB 上的⾼,点E 为边AC 上⼀点(点E 不与点A 、C 重合),联结DE ,作CF ⊥DE ,CF 与边AB 、线段DE 分别交于点F 、G .(1)求线段CD 、AD 的长;(2)设CE x =,DF y =,求y 关于x 的函数解析式,并写出它的定义域;(3)联结EF ,当△EFG 与△CDG 相似时,求线段CE 的长.(备⽤图)图8奉贤2015⼆模24.(本题满分12分,第(1)⼩题4分,第(2)⼩题8分)已知:在平⾯直⾓坐标系中,抛物线x ax y +=2的对称轴为直线x =2,顶点为A .(1)求抛物线的表达式及顶点A 的坐标;(2)点P 为抛物线对称轴上⼀点,联结OA 、OP .①当OA ⊥OP 时,求OP 的长;②过点P 作OP 的垂线交对称轴右侧的抛物线于点B ,联结OB ,当∠OAP =∠OBP 时,求点B 的坐标.奉贤2015⼆模 25.(本题满分14分,第(1)⼩题4分,第(2)⼩题5分,第(3)⼩题5分)已知:如图,线段AB =8,以A 为圆⼼,5为半径作圆A ,点C 在⊙A 上,过点C 作CD //AB 交⊙A 于点D (点D 在C 右侧),联结BC 、AD .(1)若CD=6,求四边形ABCD 的⾯积;(2)设CD =x ,BC =y ,求y 与x 的函数关系式及⾃变量x 的取值范围;(3)设BC 的中点为M ,AD 的中点为N ,线段MN 交⊙A 于点E ,联结CE ,当CD 取何值时,CE //AD .DCB (第25题图)AB(备⽤图)A普陀2015⼆模24.(本题满分12分)如图10,在平⾯直⾓坐标系xOy 中,⼆次函数的图像经过点()1,0A -,()4,0B ,()0,2C .点D 是点C 关于原点的对称点,联结BD ,点E 是x 轴上的⼀个动点,设点E 的坐标为(m , 0),过点E 作x 轴的垂线l 交抛物线于点P .(1)求这个⼆次函数的解析式;(2)当点E 在线段OB 上运动时,直线l 交BD 于点Q .当四边形CDQP 是平⾏四边形时,求m 的值;(3)是否存在点P ,使△BDP 是不以BD 为斜边的直⾓三⾓形,如果存在,请直接写出点P 的坐标;如果不存在,请说明理由.图10备⽤图图10普陀2015⼆模 25.(本题满分14分)如图11-1,已知梯形ABCD 中,AD //BC ,90D ∠=o,5BC =,3CD =,cot 1B =.P 是边BC 上的⼀个动点(不与点B 、点C 重合),过点P 作射线PE ,使射线PE 交射线BA于点E ,BPE CPD ∠=∠.(1)如图11-2,当点E 与点A 重合时,求DPC ∠的正切值;(2)当点E 落在线段AB 上时,设BP x =,BE y =,试求y 与x 之间的函数解析式,并写出x 的取值范围;(3)设以BE 长为半径的⊙B 和以AD 为直径的⊙O 相切,求BP 的长.C BDA 图11-1CBDA 图11备⽤图(E )P CBDA 图11-2A CB E OD备⽤图 xyO杨浦2015⼆模24.(本题满分12分,第(1)⼩题4分,第(2)⼩题4分,第(3)⼩题4分,) 已知:在直⾓坐标系中,直线y =x +1与x 轴交与点A ,与y 轴交与点B ,抛物线21()2y x m n =-+的顶点D 在直线AB 上,与y 轴的交点为C 。

2015上海初三数学二模23题几何证明

2015上海初三数学二模23题几何证明

2 0 15初三二模几何证明专练长宁 23.(此题满分 12 分)如图,正方形 ABCD 中,点 E、F 分别在边 BC、A DCD 上, AE=AF,AC 和 EF 点 G,使得 AO=OG,联络交于点 O,延伸EG、FG.AC至OFB E C(1)求证 : BE=DF ;G第 23题图(2)求证 :四边形AEGF是菱形 .徐汇 23、已知:如图,正方形 ABCD ,BM 、DN 分别是正方形的两个外角均分线, MAN 45 ,将MAN绕着正方形的极点A旋转,边BAAM 、AN 分别交两条角均分线于点M 、N,联络 MN ;M (1)求证:ABM ∽ADN ;D C (2)联络 BD ,当BAM 的度数为多少时,四边形BMND 为矩形,并加以证明;N虹口金山 23.(此题满分 12 分)DGCF EHA B第23题已知:如图,在中 Rt ABC 中,ACB 90 ,AC BC ,点 E 在边 AC 上,延伸 BC至D点,使CE CD,延伸 BE交 AD于F ,过点C作CG//BF ,交 AD 于点 G ,在 BE 上取一点 H ,使HCE DCG .(1)求证:BCE ACD ;(2)求证:四边形 FHCG 是正方形.静安青浦 23、(此题满分 12 分,每题满分 6 分)如图,在梯形 ABCD 中,AB / /CD,AD BC ,E是CD的中点,BED EC交 AC 于 F,过点 F作FG//AB,交 AE 于点 G;G F(1)求证: AG=BF ;A B (2)当AD2CA CF 时,求证:AB AD AG AC ;宝山嘉定 23.(此题满分 12 分,每题满分各 6 分)如图 8,已知△ABC和△ADE都是等边三角形,点D在边BC上,点E在边 AD的右边,联络 CE .A(1)求证:ACE 60 ;EF(2)在边AB上取一点F,使BF BD,联络 DF 、EF .CB D图 8求证:四边形 CDFE 是等腰梯形.闸北 23.(此题满分 12 分,第( 1)小题 4 分,第( 2)小题 4 分,第( 3)小题 4 分)已知:如图五,在平行四边形ABCD中,点 E、F A(图B D五)E FC分别在 BC、CD上,且 AE=AF,∠ AEC=∠ AFC.(1)求证:四边形 ABCD是菱形;(2)如图六,若 AD=AF,延伸 AE、DC交于点G,求证: AF2=AG·DF.( 3)在第( 2)小题的条件下,连结BD,交 AG于点 H,若 HE=4,EG=12,求 AH的长.A奉贤 23.(此题满分 12 分,每题满分各6分)B DE F已知:如图,在四边形 ABCD中,AB//CCD,点 E 是对角线 AC上一GA点,∠ DEC=∠ABC,且CD2CE CA.E (1)求证:四边形ABCD是平行四边形;(图六)DB C (2)分别过点E、B作AB和AC的平行线交于点F,联络 CF F,(第23题图)若∠ FCE=∠DCE,求证:四边形 EFCD是菱形.普陀 23. (此题满分12 分)如图 9,在△ ABC中,点 D、E 分别在边 BC、AC上,BE、AD订交于点G,EF∥ AD交 BC于点 F,且 BF 2BD BC ,联络FG。

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