方程的改进欧拉公式

2013-2014（1）专业课程实践论文题目：方程的改进欧拉公式
一、算法理论
按照⎪⎩
⎪⎨⎧=++=+=+++++Λ,2,1,0)],,(),([2)(1)
(11)1(,1)0(k y x f y x f h y y
y x hf y y n k n n n n n k n n n n 计算⎪⎩⎪⎨⎧=≤≤=0)(),,(y a y b x a y x f dx dy
的数值解时候，如果每次只迭代一次，相当于将欧
拉公式与梯形格式结合使用：先用欧拉公式求出1+n y ，称为预测值，然后用梯形格式校正求得近似值1+n y ，即 预测： ),(1n n n n y x hf y y +=+；
校正： )],(),([2
111+++++=n n n n n n y x f y x f h
y y
将上式称为由欧拉公式和梯形格式得到的预测—校正系统，也叫改进的欧拉公式。

它是显式的单步法。

为了便于编制程序上机，上式常改写成
),(n n n p y x hf y y +=
),(p n n q y h x hf y y ++=
)(2
1
1q p n y y y +=+ 改进的欧拉方法算法如下：
（1）输入),,(,,y x f b a 区间等分数N ，初始值0y 。

（2）输出)(x y 在x 的N 个点处的近似值y 。

（3）置0,,0,y y a x n N
a
b h ===-=。

（4）计算),(),,(p q p y h x hf y y y x hf y y ++=+=，置,
),(2
1
x h x y y y q p ⇒+⇒+输出),(y x 。

（5）若1
n，置，x
<N
-
+1，转（4）；否则，停机.计算框图见二。

n⇒
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <stdlib.h>
double fun(double x,double y)
{
return x*y;
}
void Euler(double (*fun)(double ,double), double h,double x0,double y0 ,double low,double up)
{
int n =0,i=0,j=0;
double x1 = x0,y1=y0;
n = (up-low)/h;
printf("第n个变量变量的值xn 函数值yn\n");
printf("%lf %lf \n",x0,y0);
for ( i = 1 ; i<=n ; i++)
{
x1 = x0 + i*h;
y1 = y1+ h*fun(x1,y1);
printf("%d %lf %lf\n",i,x1,y1);
}
}
void main()
{
double h,x0,y0,low,up;
printf("*****输入初始值x0=");
scanf("%lf",&x0);
printf("********输入初始值y0=");
scanf("%lf",&y0);
printf("************请输入利用“改进的欧拉公式”使用变量的围\n");
printf("****************输入区间下界low=");
scanf("%lf",&low);
printf("********************输入区间上界up=");
scanf("%lf",&up);
printf("************************输入步长h="); scanf("%lf",&h);
Euler(fun,h,x0,y0,low,up);
return 0;
}
四、算法实现
例1．用改进的欧拉公式，求解常微分方程初值问题的解。

⎪⎩
⎪⎨⎧==1
)0(2y y
dx
dy ，4.01.0≤≤x 解：（1）输入0x 的数值； （2）输入初始值0y 的数值；
（3）输入利用改进的欧拉公式使用的变量下界lw 的数值；
（4）输入利用改进的欧拉公式使用的变量上界up 的数值； （5）输入步长h 的数值； （6）得到结果。

例2. 用改进的欧拉公式，求解常微分方程的初值问题的解。

⎪⎩⎪⎨⎧==1
)0(2y y
dx
dy ，5.02.0≤≤x 解：（1）输入0x 的数值；
（2）输入初始值0y的数值；
（3）输入利用改进的欧拉公式使用的变量下界lw的数值；（4）输入利用改进的欧拉公式使用的变量上界up的数值；（5）输入步长h的数值；
（6）得到结果。