高考数学一轮复习：第8章 解析几何 第9讲
2022版高考数学一轮复习 第八章 解析几何 第九讲(理)第八讲(文)第2课时 最值、范围、证明问
学习资料2022版高考数学一轮复习第八章解析几何第九讲（理）第八讲（文）第2课时最值、范围、证明问题学案（含解析）新人教版班级：科目：第二课时 最值、范围、证明问题考点突破·互动探究考点一 圆锥曲线中的最值问题——自主练透例1 （2021·广东调研)已知圆x 2＋y 2＋2错误!x －26＝0的圆心为F 1,直线l 过点F 2（错误!，0）且与x 轴不重合，l 交圆F 1于C ，D 两点，过F 2作F 1C 的平行线，交F 1D 于点E ．设点E 的轨迹为Ω．(1)求Ω的方程；（2)直线l 1与Ω相切于点M ,l 1与两坐标轴的交点为A 与B ，直线l 2经过点M 且与l 1垂直，l 2与Ω的另一个交点为N ．当｜AB |取得最小值时，求△ABN 的面积．［解析] (1）因为F 1C ∥EF 2，所以∠F 1CD ＝∠EF 2D ．又F 1C ＝F 1D ,所以∠F 1CD ＝∠F 1DC ，则∠EDF 2＝∠EF 2D ，所以|ED |＝｜EF 2｜，从而|EF 2|＋｜EF 1|＝｜ED |＋｜EF 1|＝｜DF 1｜．x 2＋y 2＋2错误!x －26＝0可化为(x ＋错误!）2＋y 2＝32，所以｜EF 2|＋|EF 1|＝错误!＝4错误!＞2错误!．从而E 的轨迹为以F 1(－6,0),F 2(错误!,0)为焦点，长轴长为4错误!的椭圆(剔除左、右顶点)．所以Ω的方程为x 28＋错误!＝1（y ≠0)． （2)易知l 1的斜率存在，所以可设l 1的方程为y ＝kx ＋m （k ≠0)联立错误!消去y ,得（1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－8＝0．因为直线l 与Ω相切，所以Δ＝（8km ）2－4(1＋4k 2）(4m 2－8)＝0．即m 2＝8k 2＋2．l 1在x 轴、y 轴上的截距分别为－错误!，m ,则|AB ｜＝错误!＝错误!＝错误! ＝8k 2＋2k2＋10≥错误!＝3错误!， 当且仅当8k 2＝错误!,即k ＝±错误!时取等号．所以当k2＝错误!时,｜AB｜取得最小值，此时m2＝6，根据对称性，不妨取k＝错误!，m＝错误!，此时2x M＝－错误!＝－错误!，即x M＝－错误!，从而y M＝－错误!×错误!＋错误!＝错误!，联立错误!消去y,得9x2＋16错误!x＋16＝0,则x M＋x N＝－错误!＋x N＝－错误!，解得x N＝－错误!，所以｜MN｜＝错误!｜x M－x N｜＝错误!，故△ABN的面积为错误!×错误!×3错误!＝4错误!．例2(2021·四川省联合诊断）已知抛物线x2＝8y，过点M（0，4）的直线与抛物线交于A，B两点，又过A,B两点分别作抛物线的切线，两条切线交于P点．（1)证明：直线P A，PB的斜率之积为定值；(2)求△P AB面积的最小值．[解析]（1)证明：由题意设l的方程为y＝kx＋4，联立错误!，得x2－8kx－32＝0，因为Δ＝（－8k）2－4×(－32)＞0,所以设A(x1，y1），B(x2,y2),则x1x2＝－32，设直线P A，PB的斜率分别为k1，k2，对y＝错误!，求导得y′＝错误!，所以k1＝错误!,k2＝错误!，所以，k1k2＝错误!·错误!＝错误!＝错误!＝－2(定值）．（2)由(1）可得直线P A的方程为y－错误!＝错误!(x－x1）①直线PB的方程为y－错误!＝错误!(x－x2）②联立①②，得点P的坐标为错误!，由(1)得x1＋x2＝8k，x1x2＝－32，所以P(4k,－4)．于是|AB｜＝8错误!错误!,点P到直线AB的距离d＝错误!，所以S△P AB＝16错误!(k2＋2)，当k2＝0，即k＝0时，△P AB的面积取得最小值32错误!．名师点拨处理圆锥曲线最值问题的求解方法(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决,这就是几何法．(2）代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目标函数,再求这个函数的最值,求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法等．〔变式训练1〕（2021·广东省佛山市质检)已知F为椭圆C：错误!＋错误!＝1（a＞b＞0)的左焦点，过原点O的动直线l与C交于A，B两点．当A的坐标为错误!时，|OB|＝｜BF|．（1）求椭圆C的标准方程；（2）延长BF交椭圆C于Q,求△QAB的面积的最大值．[解析］(1）由A错误!，得B错误!,而｜OB｜＝｜BF|．∴F（－2，0），即c＝2．由错误!，解得a2＝5，b2＝1．∴椭圆C的标准方程为错误!＋y2＝1．(2）当直线BF斜率不存在时，BF：x＝－2，此时B错误!，|BQ|＝错误!，A错误!，S△QAB＝错误!×错误!×4＝错误!；当BF所在直线斜率存在时,设BF：y＝k（x＋2)(k≠0)，联立错误!，得（1＋5k2)x2＋20k2x＋20k2－5＝0，设B(x1，y1)，Q(x2，y2），则x1＋x2＝错误!,x1x2＝错误!．则｜BQ｜＝错误!＝1＋k2·错误!＝错误!·错误!．又O到BQ的距离d＝错误!，则A到BQ的距离为错误!，∴S△QAB＝错误!．令1＋5k2＝t(t＞1），则S△QAB＝45错误!＝错误!错误!．∴当错误!＝错误!时，(S△QAB)max＝错误!．综上,△QAB的面积的最大值为错误!．考点二圆锥曲线中的范围问题—-师生共研例3(2021·西安模拟)已知椭圆C：错误!＋错误!＝1（a＞b＞0)的右焦点为F(1，0)，且点P错误!在椭圆C上，O为坐标原点．（1)求椭圆C的标准方程；(2)设过定点T（0,2）的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．[解析](1)由题意,得c＝1，所以a2＝b2＋1．因为点P错误!在椭圆C上，所以错误!＋错误!＝1，所以a2＝4，b2＝3．则椭圆C的标准方程为错误!＋错误!＝1．（2）设直线l的方程为y＝kx＋2，点A(x1，y1),B(x2，y2）,由错误!得（4k 2＋3）x 2＋16kx ＋4＝0．因为Δ＝48（4k 2－1)＞0,所以k 2＞错误!，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝错误!，x 1x 2＝错误!．因为∠AOB 为锐角，所以OA →·错误!＞0，即x 1x 2＋y 1y 2＞0．所以x 1x 2＋（kx 1＋2）(kx 2＋2）＞0，即（1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4＞0,所以(1＋k 2）·错误!＋2k ·错误!＋4＞0，即错误!＞0,所以k 2＜错误!． 综上可知14＜k 2＜错误!， 解得－错误!＜k ＜－错误!或错误!＜k ＜错误!．所以直线l 的斜率k 的取值范围为错误!∪错误!．［引申]本例中①，若错误!·错误!＝0,则k ＝__±错误!__，②若O 在以AB 为直径的圆内,则k 的取值范围是__错误!∪错误!__．名师点拨求解范围问题的常见求法(1)利用判别式来构造不等式关系，从而确定参数的取值范围．（2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系．(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围．（4)利用基本不等式求出参数的取值范围．（5）利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．〔变式训练2〕（2021·广东省质检)已知椭圆C 的两个焦点分别是(－1，0)，（1,0)，并且经过点错误!．（1）求椭圆C 的标准方程;(2）已知点Q （0，2）,若C 上总存在两个点A 、B 关于直线y ＝x ＋m 对称，且QA ，→·QB ，→＜4，求实数m 的取值范围．［解析］ (1）因为椭圆C 的焦点在x 轴上,所以设它的标准方程为错误!＋错误!＝1（a ＞b ＞0）．由椭圆的定义得2a ＝错误!＋错误!＝2错误!,所以a ＝错误!．因为c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝1．因此，椭圆C 的标准方程为错误!＋y 2＝1．(2)根据题意可设直线AB 的方程为y ＝－x ＋n ，联立错误!，整理得3x 2－4nx ＋2n 2－2＝0，由Δ＝（－4n ）2－4×3(2n 2－2）＞0，得n 2＜3．设A (x 1，－x 1＋n )，B (x 2，－x 2＋n ),则x 1＋x 2＝错误!，x 1x 2＝错误!．又设AB 的中点为M （x 0，－x 0＋n ），则x 0＝错误!＝错误!，－x 0＋n ＝错误!．由于点M 在直线y ＝x ＋m 上，所以错误!＝错误!＋m ，得n ＝－3m ,代入n 2＜3，得9m 2＜3，所以－错误!＜m ＜错误!．①因为错误!＝(x 1，－x 1＋n －2），错误!＝（x 2,－x 2＋n －2），所以错误!·错误!＝2x 1x 2－（n －2)(x 1＋x 2)＋（n －2）2＝错误!－错误!＋错误!＝错误!．由错误!·错误!＜4，得3n 2－4n ＋8＜12,3n 2－4n －4＜0得－错误!＜n ＜2，得－错误!＜－3m ＜2，所以－错误!＜m ＜错误!②由①②得－错误!＜m＜错误!，故实数m的取值范围为错误!．考点三,圆锥曲线中的证明问题-—师生共研例4（2018·课标Ⅰ卷）设椭圆C：错误!＋y2＝1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2，0)．（1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；（2)设O为坐标原点，证明:∠OMA＝∠OMB．［解析］（1)由已知得F（1，0），l的方程为x＝1，由已知可得，点A的坐标为错误!或错误!．所以AM的方程为y＝－错误!x＋错误!或y＝错误!x－错误!．(2)当l与x轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0°．当l与x轴垂直时，直线OM为AB的垂直平分线．所以∠OMA＝∠OMB．当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0），A(x1，y1），B（x2，y2），则x1＜错误!，x2＜错误!,直线MA,MB的斜率之和为k MA＋k MB＝错误!＋错误!，将由y1＝kx1－k，y2＝kx2－k得k MA＋k MB＝错误!，将y＝k（x－1）代入错误!＋y2＝1得（2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0，所以，x1＋x2＝错误!，x1x2＝错误!．则2kx1x2－3k（x1＋x2）＋4k＝错误!＝0,从而k MA＋k MB＝0,故MA，MB的倾斜角互补，所以∠OMA＝∠OMB．综上，∠OMA＝∠OMB．名师点拨圆锥曲线中的证明问题，常见的有位置关系方面的,如证明相切、垂直、过定点等；数量关系方面的,如存在定值、恒成立等．在熟悉圆锥曲线的定义和性质的前提下，要多采用直接法证明，但有时也会用到反证法．解决证明问题的答题模板错误!—错误!｜错误!-错误!｜错误!-错误!〔变式训练3〕（2021·河北张家口模拟）已知椭圆E：错误!＋错误!＝1(a＞b＞0)的焦距为4．且过点错误!．(1)求椭圆E的方程；(2)设A（0，b）,B(0，－b），C(a，b），过B点且斜率为k(k＞0)的直线l交椭圆E于另一点M，交x轴于点Q,直线AM与直线x＝a相交于点P．证明：PQ∥OC（O为坐标原点）．［解析］(1)由题可知,2c＝4,c＝2，∴椭圆的左，右焦点分别为（－2,0)，（2,0)．由椭圆的定义知2a＝错误!＋错误!＝4错误!,∴a＝2错误!,b2＝a2－c2＝4，∴椭圆E的方程为错误!＋错误!＝1．错误!．（2）证明：易得A(0,2），B(0，－2），C（2错误!，2），直线l：y＝kx－2与椭圆x2＋2y2＝8联立，得(2k2＋1）x2－8kx＝0，∴x M＝错误!，从而M错误!，Q错误!．∴直线AM的斜率为错误!＝－错误!,直线AM的方程为y＝－错误!x＋2．令x＝2错误!得P错误!，∴直线PQ的斜率k PQ＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!．∵直线OC的斜率k OC＝错误!＝错误!，∴k PQ＝k OC,从而PQ∥OC．名师讲坛·素养提升圆锥曲线中的对称问题例5 试确定m的取值范围,使得椭圆错误!＋错误!＝1上有不同两点关于直线y＝4x＋m对称．［解析]解法一：设椭圆上两点A(x0－u，y0－v)，B(x0＋u，y0＋v），AB的中点为C(x0，y0）．∵A,B关于y＝4x＋m对称，∴k AB＝错误!＝－错误!．又错误!两式相减，得错误!＝－错误!，∴y0＝3x0．而点C在直线y＝4x＋m上，∴错误!∵点C在椭圆错误!＋错误!＝1内，∴(－m)24＋(－3m)23＜1．∴m∈错误!．解法二：设椭圆上两点A(x1,y1），B(x2，y2）关于直线y＝4x＋m对称．设AB的中点为P(x0，y0)，则错误!又由错误!得错误!＋错误!＝0．∴错误!＋错误!·错误!＝0．∴y1＋y2＝3(x1＋x2)，得y0＝3x0．代入y0＝4x0＋m，得x0＝－m，∴y0＝－3m．以下同解法一．[引申］（1）在例题中将椭圆错误!＋错误!＝1换成抛物线y2＝2x，则相应m的范围为__（－∞，－36)__．(2）在例题中将直线改为y＝mx＋错误!，则相应的m的范围为__错误!∪(2，＋∞）__．名师点拨圆锥曲线上两点的对称问题是圆锥曲线的常见题型，处理方法是：1．设对称两点所在的直线方程与圆锥曲线方程联立，由Δ＞0建立不等关系，再由对称两点的中点在所给直线上，建立相等关系，由相等关系消参,由不等关系确定范围．2．用参数表示中点坐标,利用中点在圆锥曲线内部建立关于参数的不等式,解不等式得参数范围．〔变式训练4〕若抛物线y＝ax2－1上恒有关于直线x＋y＝0对称的相异两点A，B，则a的取值范围是__a＞错误!__．[解析］设抛物线上的两点为A(x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y＝x＋b，代入抛物线方程y＝ax2－1，得ax2－x－(b＋1）＝0,设直线AB的中点为M（x0，y0),则x0＝错误!，y0＝x0＋b＝错误!＋b．由于M（x0，y0)在直线x＋y＝0上，故x0＋y0＝0，由此解得b ＝－错误!,此时ax2－x－（b＋1)＝0可变形为ax2－x－错误!＝0，由Δ＝1＋4a错误!＞0，解得a＞错误!．。
2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第8章 强化训练10 圆锥曲线中的综合问题
由题意可知O→A⊥O→B，即O→A·O→B＝0， ∴x1·x2＋y1·y2＝(1＋k2)x1·x2＋2k(x1＋x2)＋4＝0， ∴121＋1＋4kk22－13＋2k42k2＋4＝0， 解得 k2＝4>34， ∴|AB|＝ 1＋k2|x1－x2|＝ 1＋k2· x1＋x22－4x1x2
＝ 1＋k2·4 1＋4k42－k2 3＝41765. 综上，直线 l 的方程为 2x－y＋2＝0 或 2x＋y－2＝0，|AB|＝41765.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
技能提升练
13.焦点为F的抛物线C：y2＝4x的对称轴与准线交于点E，点P在抛物线C
所以△PAB的面积
S△PAB＝12|PM|·|y1－y2|＝342
y02 4x0
3
2.
因为 x20＋y420＝1(－1≤x0<0)，
所以 y20－4x0＝－4x20－4x0＋4∈[4,5]，
所以△PAB 面积的取值范围是6
2，15
4
10.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
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7.已知双曲线 C：ax22－by22＝1，且圆 E：(x－2)2＋y2＝1 的圆心是双曲线 C 的右焦点.若圆 E 与双曲线 C 的渐近线相切，则双曲线 C 的方程为 __x32_－__y_2_＝__1__.
解析 ∵c＝2⇒a2＋b2＝4.
12.已知椭圆 L：ax22＋by22＝1(a>b>0)的离心率为 23，短轴长为 2. (1)求椭圆L的标准方程； 解 由 e2＝ac22＝a2－a2b2＝1－ba22＝34，得 a2＝4b2， 又短轴长为2，可得b＝1，a2＝4， ∴椭圆 L 的标准方程为x42＋y2＝1.
第8章 第1节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程-2023届高三一轮复习数学精新高考人教A版2019)
3．过点 P(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 _3_x_－__2_y_＝_．0 或 x＋y－5＝0
解析 当纵、横截距均为 0 时，直线方程为 3x－2y＝0； 当纵、横截距均不为 0 时，设直线方程为ax＋ay＝1， 则2a＋3a＝1，解得 a＝5. 所以直线方程为 x＋y－5＝0.
◇考题再现
向旋转 15°，则旋转后得到的直线 l2 的方程为( B )
A．x－ 3y＋1＝0
B． 3x－y＝0
C． 3x＋y＋1＝0
D．3x－ 3y－1＝0
(2)若 A(1，－2)，B(5，6)，直线 l 经过 AB 的中点 M 且在两坐
标轴上的截距相等，则直线 l 的方程为_2_x_－__3_y_＝__0_或 ___x_＋__y．－5＝0
(2)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方 程的几种特殊形式直接写出方程．
(3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适 合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．
[巩固演练] 3．已知直线 l：(2a＋b)x＋(a＋b)y＋a－b＝0 及点 P(3， 4)． (1)证明：直线 l 过某定点，并求该定点的坐标； (2)当点 P 到直线 l 的距离最大时，求直线 l 的方程． 解析 (1)在直线 l 的方程可化为： a(2x＋y＋1)＋b(x＋y－1)＝0， 由2x＋x＋y－y＋11＝＝00，解得xy＝＝－3 2，， ∴直线恒过定点(－2，3)．
＝5＋－k＋－4k≥5＋4＝9. 所以当且仅当－k＝－4k且 k<0， 即 k＝－2 时，|OA|＋|OB|取最小值． 这时 l 的方程为 2x＋y－6＝0.
►规律方法 与直线方程有关问题的常见类型及解题策略
(1)求解与直线方程有关的最值问题．先设出直线方程， 建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．
高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.1直线的倾斜角斜率与直线的方程课件理
冲关针对训练 已知直线 l 过点 M(1,1)，且与 x 轴，y 轴的正半轴分别 相交于 A，B 两点，O 为坐标原点．求： (1)当|OA|＋|OB|取得最小值时，直线 l 的方程； (2)当|MA|2＋|MB|2 取得最小值时，直线 l 的方程．
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解 (1)设 A(a,0)，B(0，b)(a>0，b>0)．
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2．直线方程的五种形式
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[诊断自测] 1．概念思辨 (1)直线的斜率为 tanα，则其倾斜角为 α.( × ) (2)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．( × ) (3)经过点 P(x0，y0)的直线都可以用方程 y－y0＝k(x－x0) 表示．( × ) (4)经过任意两个不同的点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线 都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．( √ )
设直线 l 的方程为ax＋by＝1，则1a＋1b＝1，
所以
|OA|＋|OB|＝a＋
b
＝
(a
＋b)1a＋1b＝2
＋
a b
＋ba≥2＋
2 ab·ba＝4， 当且仅当“a＝b＝2”时取等号，此时直线 l 的方程为 x
＋y－2＝0.
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(2)设直线 l 的斜率为 k，则 k<0， 直线 l 的方程为 y－1＝k(x－1)， 则 A1－1k，0，B(0,1－k)， 所以|MA|2＋|MB|2＝1－1＋1k2＋12＋12＋(1－1＋k)2＝2 ＋k2＋k12≥2＋2 k2·k12＝4. 当且仅当 k2＝k12，即 k＝－1 时取等号，此时直线 l 的 方程为 y－1＝－(x－1)，即 x＋y－2＝0.
数学一轮复习第八章平面解析几何第九节圆锥曲线的综合问题第1课时最值范围证明问题学案含解析
第九节圆锥曲线的综合问题最新考纲考情分析1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法．2．了解圆锥曲线的简单应用．3．理解数形结合的思想.1.直线与椭圆、抛物线的位置关系是近几年高考命题的热点．2．考查知识有直线与椭圆、抛物线相交，涉及弦长、中点、面积、对称、存在性问题．3．题型主要以解答题的形式出现,属中高档题。
知识点一直线与圆锥曲线的位置关系1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时,通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0（A,B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y（也可以消去x）得到一个关于变量x(或变量y）的一元方程．即错误!消去y，得ax2＋bx＋c＝0。
（1）当a≠0时,设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ,则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离．（2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一元一次方程，则直线l 与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0）的直线l与圆锥曲线C相交于A,B两点,A(x1，y1），B（x2,y2),则|AB｜＝错误!｜x1－x2|＝错误!·错误!＝错误!·|y1－y2|＝错误!·错误!.知识点二圆锥曲线中的最值与取值范围问题圆锥曲线中的最值与取值范围问题一直是高考命题的热点，各种题型都有，命题角度很广,归纳起来常见的命题角度有：1．转化为函数利用基本不等式或二次函数求最值；2．利用三角函数有界性求最值；3．数形结合利用几何性质求最值．知识点三圆锥曲线中的定值与定点问题1．这类问题一般考查直线与圆锥曲线的位置关系,一元二次方程的根与系数之间的关系，考查斜率、向量的运算以及运算能力．2．解决这类定点与定值问题的方法有两种：一是研究一般情况，通过逻辑推理与计算得到定点或定值，这种方法难度大，运算量大，且思路不好寻找；另外一种方法就是先利用特殊情况确定定点或定值，然后验证，这样在整理式子或求值时就有了明确的方向．1．思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”）（1）直线l与椭圆C相切的充要条件是：直线l与椭圆C只有一个公共点．(√)（2）直线l与双曲线C相切的充要条件是：直线l与双曲线C只有一个公共点．(×)（3)直线l与抛物线C相切的充要条件是：直线l与抛物线C 只有一个公共点．（×)（4)如果直线x＝ty＋a与圆锥曲线相交于A(x1，y1）,B(x2，y2)两点,则弦长｜AB|＝错误!｜y1－y2|.(√）解析：(2)因为直线l与双曲线C的渐近线平行时,也只有一个公共点，是相交，但并不相切．（3）因为直线l与抛物线C的对称轴平行或重合时,也只有一个公共点，是相交，但不相切．2．小题热身（1)过点（0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有(C)A．1条B．2条C．3条D．4条解析：结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x＝0，过点（0,1)且平行于x轴的直线以及过点（0,1）且与抛物线相切的直线（非直线x＝0)．（2)（2020·浙江八校联考）抛物线y＝ax2与直线y＝kx＋b(k≠0）交于A，B两点，且这两点的横坐标分别为x1，x2，直线与x轴交点的横坐标是x3，则(B）A．x3＝x1＋x2B．x1x2＝x1x3＋x2x3C．x1＋x2＋x3＝0 D．x1x2＋x2x3＋x3x1＝0解析：由错误!消去y得ax2－kx－b＝0,可知x1＋x2＝错误!，x1x2＝－错误!，令kx＋b＝0得x3＝－错误!，所以x1x2＝x1x3＋x2x3.(3)已知抛物线y＝ax2(a>0)的准线为l,l与双曲线x24－y2＝1的两条渐近线分别交于A,B两点，若｜AB｜＝4，则a＝错误!.解析：抛物线y＝ax2(a〉0）的准线l：y＝－错误!,双曲线错误!－y2＝1的两条渐近线分别为y＝错误!x，y＝－错误!x，可得x A＝－错误!，x B＝错误!，可得｜AB|＝错误!－错误!＝4，解得a＝错误!。
2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第8章 两条直线的位置关系
√A.6x－4y－3＝0
C.2x＋3y－2＝0
B.3x－2y－3＝0 D.2x＋3y－1＝0
解析 因为抛物线 y2＝2x 的焦点坐标为12，0， 直线 3x－2y＋5＝0 的斜率为32， 所以所求直线 l 的方程为 y＝32x－21，
化为一般式，得6x－4y－3＝0.
4.已知三条直线2x－3y＋1＝0,4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能构成三 角形，则实数m的取值集合为
解析 由题意得，点 P 到直线的距离为|4×4－35×a－1|＝|15－5 3a|. 又|15－5 3a|≤3，即|15－3a|≤15，解得 0≤a≤10，
所以a的取值范围是[0,10].
4.若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则
29
|PQ|的最小值为__1_0___.
题型二 两直线的交点与距离问题
自主演练
1.已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－
1 2
x＋2的交点位于第一象限，则实
数k的取值范围是__－__16，__12__.
解析
y＝kx＋2k＋1， 由方程组y＝－12x＋2，
x＝22－k＋41k， 解得y＝62kk＋＋11.
(若 2k＋1＝0，即 k＝－12，则两直线平行)
知识梳理
一、两条直线的平行与垂直 1.两条直线平行 (1)对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔ k1＝k2 . (2)当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2. 2.两条直线垂直 (1)如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔ k1·k2＝－1 . (2)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1⊥l2.
广东专用2023版高考数学一轮总复习第八章平面解析几何8-4直线与圆圆与圆的位置关系课件
(2021 北京卷)已知圆 C：x2＋y2＝4，直线 l：y＝kx＋m，当 k 变化时，l 截圆 C
所得弦长的最小值为 2，则 m 的取值为
()
A. ±2
B. ± 2
C. ± 3
D. ±3
解：由题可得圆心为(0，0)，半径为 2，则圆心到直线的距离 d＝
|m| ，则弦长为
k2＋1
2 4－k2m＋2 1，则当 k＝0 时，弦长取得最小值为 2 4－m2＝2，解得 m＝± 3. 故选
8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系
1. 能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆，圆与圆的位置关系. 2. 能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题和实际问题.
1. 直线与圆的位置关系
设圆的半径为 r(r>0)，圆心到直线的距离为 d，则直线与圆的位置关系如下表所示.
位置 关系
图示
公共点 个数
几何 特征
相切，所以|－2k－1＋1|＝ k2＋1
2，解得 k＝±1，因为 k<0，所
以 k＝－1，所以直线 l 的方程为 x＋y－1＝0. 圆心 D(2，0)到直线 l 的距离 d＝|2＋0－1| 2
＝
2 2<
3，所以直线 l 与圆 D 相交. 故选 A.
(2)(2021 广东惠州市高三一模)“a≥－3”是“直线 y＝x＋1 与圆(x－a)2＋y2＝2 有公
C.
【点拨】 ①一般来说，直线与圆相交，应首先考虑圆心到直线的距离、弦长的一半、 圆的半径构成的直角三角形，由此入手求解；②圆 O 内过点 A 的最长弦即为过该点 的直径，最短弦为过该点且垂直于直径的弦；③圆锥曲线的弦长公式为
1＋k2·|x1－x2|，必要时考虑运用这一公式也可解题.
数学(理)一轮复习 第八章 平面解析几何 第讲 双曲线
第6讲 双曲线1．双曲线的定义 条件 结论1 结论2 平面内的动点M与平面内的两个定点F 1,F 2M 点的 轨迹为 双曲线 F 1、F 2为双曲线的焦点 |｜MF 1｜－|MF 2|｜＝2a｜F 1F 2｜为双曲线的焦距 2a <|F 1F 2|2.双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 错误!－错误!＝1 （a ＞0，b ＞0) 错误!－错误!＝1 （a ＞0，b ＞0)图形性质 范围x ≥a 或x ≤－a ，y ∈R y ≤－a 或y ≥a ,x ∈R 对称性 对称轴:坐标轴，对称中心:原点顶点 A 1(－a ，0），A 2（a ，0) A 1(0，－a ），A 2(0，a )渐近线y＝±ba xy＝±错误!x离心率e＝错误!,e∈（1，＋∞)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长｜A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长｜B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c的关系c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0）1．辨明三个易误点（1）双曲线的定义中易忽视2a＜|F1F2|这一条件．若2a＝|F1F2|,则轨迹是以F1,F2为端点的两条射线，若2a＞｜F1F2|,则轨迹不存在．（2）区分双曲线中a，b,c的关系与椭圆中a，b，c的关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2。
(3）双曲线的离心率e∈（1，＋∞)，而椭圆的离心率e∈(0，1)．2．求双曲线标准方程的两种方法（1）定义法根据题目的条件,判断是否满足双曲线的定义，若满足,求出相应的a，b，c，即可求得方程．（2）待定系数法①与双曲线错误!－错误!＝1共渐近线的可设为错误!－错误!＝λ（λ≠0);②若渐近线方程为y ＝±b ax ,则可设为错误!－错误!＝λ（λ≠0)； ③若过两个已知点，则可设为错误!＋错误!＝1(mn ＜0）．3．双曲线几何性质的三个关注点（1)“六点”:两焦点、两顶点、两虚轴端点;(2)“四线”：两对称轴（实、虚轴）、两渐近线；（3）“两形”:中心、顶点、虚轴端点构成的三角形;双曲线上的一点（不包括顶点）与两焦点构成的三角形．1。
2015届高考数学(人教,理科)大一轮复习配套讲义：第八章 平面解析几何
第八章 平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程1．直线的倾斜角(1)定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)倾斜角的范围为[0，π)． 2．直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α，倾斜角是90°的直线没有斜率．(2)过两点的直线的斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝y 1－y 2x 1－x 2.3．直线方程1．利用两点式计算斜率时易忽视x 1＝x 2时斜率k 不存在的情况．2．用直线的点斜式求方程时，在斜率k 不明确的情况下，注意分k 存在与不存在讨论，否则会造成失误．3．直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件，当截距为0时可用点斜式． 4．由一般式Ax ＋By ＋C ＝0确定斜率k 时易忽视判断B 是否为0，当B ＝0时，k 不存在；当B ≠0时，k ＝－A B.[试一试]1．若直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1在x 轴上的截距为1，则实数m 是( ) A ．1 B ．2 C ．－12D ．2或－12解析：选D 当2m 2＋m －3≠0时，即m ≠1或m ≠－32时，在x 轴上截距为4m －12m 2＋m －3＝1，即2m 2－3m －2＝0，故m ＝2或m ＝－12.2．过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为________． 解析：∵k MN ＝m －4－2－m ＝1，∴m ＝1.答案：13．过点M (3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为________． 解析：①若直线过原点，则k ＝－43，所以y ＝－43x ，即4x ＋3y ＝0.②若直线不过原点． 设x a ＋ya ＝1，即x ＋y ＝a . 则a ＝3＋(－4)＝－1， 所以直线的方程为x ＋y ＋1＝0. 答案：4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝01．求斜率可用k ＝tan α(α≠90°)，其中α为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割，牢记：“斜率变化分两段，90°是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论”．2．求直线方程的一般方法(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程，选择时，应注意各种形式的方程的适用范围，必要时要分类讨论．(2)待定系数法，具体步骤为： ①设所求直线方程的某种形式； ②由条件建立所求参数的方程(组)； ③解这个方程(组)求出参数； ④把参数的值代入所设直线方程． [练一练]1．直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( ) A ．[0，π) B.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎣⎡⎦⎤0，π4 D.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π 解析：选B 设倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α其中sin α∈[－1,1]．又θ∈[0，π)，∴0≤θ≤π4或3π4≤θ＜π. 2．过点(5,10)且到原点的距离是5的直线的方程为________． 解析：当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0； 当斜率存在时，设其为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)， 即kx －y ＋(10－5k )＝0. 由点到直线的距离公式，得|10－5k |k 2＋1＝5， 解得k ＝34.故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0. 答案：x －5＝0或3x －4y ＋25＝0直线的倾斜角与斜率1．(2013·秦皇岛模拟)直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：选D 由直线的方程得直线的斜率为k ＝－33，设倾斜角为α，则tan α＝－33，又α∈[0，π)，所以α＝5π6.2．若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，而α∈⎣⎡⎭⎫π6，π4∪⎣⎡⎭⎫2π3，π则k 的取值范围是________． 解析：当α∈⎣⎡⎭⎫π6，π4时，k ＝tan α∈⎣⎡⎭⎫33，1； 当α∈⎣⎡⎭⎫2π3，π时，k ＝tan α∈[)－3，0. 综上k ∈[)－3，0∪⎣⎡⎭⎫33，1.答案：[)－3，0∪⎣⎡⎭⎫33，1[类题通法]1．求倾斜角的取值范围的一般步骤： (1)求出斜率k ＝tan α的取值范围；(2)利用三角函数的单调性，借助图像或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围． 2．求倾斜角时要注意斜率是否存在.直线方程[典例] 根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010； (2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12. [解] (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式． 设倾斜角为α，则sin α＝1010(0＜α＜π)， 从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±13.故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4)．即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0.(2)由题设知截距不为0，设直线方程为x a ＋y12－a ＝1，又因为直线过点(－3,4)，所以－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4或a ＝9.故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0. [类题通法]1．在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件． 2．对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用． [针对训练]经过点P (－5，－4)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为5的直线方程是( ) A ．8x ＋5y ＋20＝0或2x －5y －12＝0 B ．8x －5y －20＝0或2x －5y ＋10＝0 C ．8x ＋5y ＋10＝0或2x ＋5y －10＝0 D ．8x －5y ＋20＝0或2x －5y －10＝0解析：选D 由题意设所求方程为y ＋4＝k (x ＋5)，即kx －y ＋5k －4＝0.由12·|5k －4|·|4k －5|＝5得，k ＝85或k ＝25.直线方程的综合应用角度一 与基本不等式相结合求最值问题1．已知直线l 过点M (1,1)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．求：(1)当|OA |＋|OB |取得最小值时，直线l 的方程； (2)当|MA |2＋|MB |2取得最小值时，直线l 的方程． 解：(1)设A (a,0)，B (0，b )(a ＞0，b ＞0)． 设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，则1a ＋1b＝1，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋ba≥2＋2a b ·ba＝4， 当且仅当a ＝b ＝2时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0. (2)设直线l 的斜率为k ，则k ＜0，直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，则A ⎝⎛⎭⎫1－1k ，0，B (0,1－k ), 所以|MA |2＋|MB |2＝⎝⎛⎭⎫1－1＋1k 2＋12＋12＋(1－1＋k )2＝2＋k 2＋1k2≥2＋2k 2·1k 2＝4，当且仅当k 2＝1k2，即k ＝－1时，|MA |2＋|MB |2取得最小值4，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.角度二 直线方程与平面向量的综合2．已知直线l 过点M (2,1)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．求当MA ·MB 取得最小值时，直线l 的方程．解：设A (a,0)，B (0，b )则a ＞0，b ＞0，直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，所以2a ＋1b ＝1.故MA ·MB ＝－MA ·MB ＝－(a －2，－1)·(－2，b －1)＝2(a －2)＋b －1＝2a ＋b －5＝(2a ＋b )⎝⎛⎭⎫2a ＋1b －5＝2b a ＋2ab≥4，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0. [类题通法]1．含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过两条定直线交点的直线系，即能够看出“动中有定”．2．求解与直线方程有关的最值问题，选设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值.第二节两直线的位置关系1．两直线的位置关系2．两直线的交点设两条直线的方程是l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，两条直线的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解，若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立．3．几种距离 (1)两点间的距离：平面上的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)间的距离公式 d (A ，B )＝|AB |(2)点到直线的距离：点P (x 1，y 1)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d(3)两条平行线间的距离：两条平行线Ax ＋By ＋C1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d1．在判断两直线的位置关系时，易忽视斜率是否存在，两条直线都有斜率可据条件进行判断，若无斜率，要单独考虑．2．运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x ，y 的系数分别相等这一条件盲目套用公式导致出错．[试一试]1．(2013·长春调研)已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是( )A.1710 B.175 C ．8D ．2解析：选D ∵63＝m 4≠14－3，∴m ＝8，直线6x ＋my ＋14＝0可化为3x ＋4y ＋7＝0，两平行线之间的距离d ＝|－3－7|32＋42＝2.2．已知p ：直线l 1：x －y －1＝0与直线l 2：x ＋ay －2＝0平行，q ：a ＝－1，则p 是q 的 ( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由于直线l 1：x －y －1＝0与直线l 2：x ＋ay －2＝0平行的充要条件是1×a －(－1)×1＝0，即a ＝－1.1．与已知直线垂直及平行的直线系的设法与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)垂直和平行的直线方程可设为： (1)垂直：Bx －Ay ＋m ＝0； (2)平行：Ax ＋By ＋n ＝0. 2．转化思想在对称问题中的应用对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称，利用坐标转移法． [练一练]1．点(2,3)关于直线x ＋y ＋1＝0的对称点是________．解析：设对称点为(a ，b )，则⎩⎨⎧b －3a －2＝1，a ＋22＋b ＋32＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝－3. 答案：(－4，－3)2．(2014·张家口质检)已知直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则直线l 的方程为________．解析：由直线l 与直线2x －3y ＋4＝0垂直，可知直线l 的斜率是－32，由点斜式可得直线l 的方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0.答案：3x ＋2y －1＝0两直线平行与垂直1．已知过点A (－2，m )和点B (m,4)的直线为l 1，直线2x ＋y －1＝0为l 2，直线x ＋ny ＋1＝0为l 3.若l 1∥l 2，l 2⊥l 3，则实数m ＋n 的值为( )A ．－10B ．－2C ．0D ．8解析：选A ∵l 1∥l 2， ∴k AB ＝4－mm ＋2＝－2.解得m ＝－8. 又∵l 2⊥l 3，∴－1n ×(－2)＝－1，解得n ＝－2，∴m ＋n ＝－10.2．“a ＝2”是“直线ax ＋2y ＝0与直线x ＋y ＝1平行”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：选C 当a ＝2时，直线ax ＋2y ＝0即x ＋y ＝0与直线x ＋y ＝1平行；当直线ax ＋2y ＝0与直线x ＋y ＝1平行时，－a2＝－1，a ＝2.综上所述，“a ＝2”是“直线ax ＋2y ＝0与直线x ＋y ＝1平行”的充要条件，故选C.3．经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程为________．解析：法一 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，即P (0,2)． ∵l ⊥l 3，∴直线l 的斜率k 1＝－43，∴直线l 的方程为y －2＝－43x ，即4x ＋3y －6＝0.法二 ∵直线l 过直线l 1和l 2的交点，∴可设直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0， 即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0. ∵l 与l 3垂直，∴3(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0， ∴λ＝11，∴直线l 的方程为12x ＋9y －18＝0，即4x ＋3y －6＝0. 答案：4x ＋3y －6＝0 [类题通法]充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线l 1和l 2，l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意．距离问题[典例] 已知A (4，－3)，B (2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，在坐标平面内求一点P ，使|P A |＝|PB |，且点P 到直线l 的距离为2.解：设点P 的坐标为(a ，b )． ∵A (4，－3)，B (2，－1)，∴线段AB 的中点M 的坐标为(3，－2)． 而AB 的斜率k AB ＝－3＋14－2＝－1， ∴线段AB 的垂直平分线方程为 y ＋2＝x －3， 即x －y －5＝0.∵点P (a ，b )在直线x －y －5＝0上， ∴a －b －5＝0.①又点P (a ，b )到直线l ：4x ＋3y －2＝0的距离为2， ∴|4a ＋3b －2|5＝2， 即4a ＋3b －2＝±10，②由①②联立可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4，或⎩⎨⎧a ＝277，b ＝－87.∴所求点P 的坐标为(1，－4)或⎝⎛⎭⎫277，－87. [类题通法]1．点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求．注意直线方程为一般式． 2．动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上，从而计算简便，如本例中|P A |＝|PB |这一条件的转化处理．[针对训练]与直线7x ＋24y －5＝0平行，并且到它的距离等于3的直线方程是______________________．解析：设所求直线方程为7x ＋24y ＋m ＝0， 由3＝|m ＋5|72＋242，∴m ＝70或－80.答案：7x ＋4y －80＝0或7x ＋24y ＋70＝0对称问题角度一 点关于点的对称1．过点P (0,1)作直线l 使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，求直线l 的方程．解：设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上， 代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0， 解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上， 所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0. 角度二 点关于线对称2．已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)，求点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标． 解：设A ′(x ，y )，再由已知得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－3313，y ＝413，故A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413. 角度三 线关于线对称3．在[角度二]的条件下，求直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程． 解：在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上． 设对称点M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×⎝⎛⎭⎫a ＋22－3×⎝⎛⎭⎫b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，得M ′⎝⎛⎭⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0， 得N (4,3)．又∵m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. 角度四 对称问题的应用4．光线从A (－4，－2)点射出，到直线y ＝x 上的B 点后被直线y ＝x 反射到y 轴上的C点，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D (－1,6)，求BC 所在的直线方程．解：作出草图，如图所示，设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，D 关于y 轴的对称点为D ′，则易得A ′(－2，－4)，D ′(1,6)．由入射角等于反射角可得A ′D ′所在直线经过点B 与C .故BC 所在的直线方程为y －66＋4＝x －11＋2，即10x －3y ＋8＝0.[类题通法]解决对称问题的方法(1)中心对称①点P (x ，y )关于O (a ，b )的对称点P ′(x ′，y ′)满足⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2a －x ，y ′＝2b －y . ②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． (2)轴对称①点A (a ，b )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)的对称点A ′(m ，n )，则有⎩⎪⎨⎪⎧n －b m －a ×⎝⎛⎭⎫－A B ＝－1，A ·a ＋m 2＋B ·b ＋n 2＋C ＝0.②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．第三节圆的方程1．圆的定义及方程2．点与圆的位置关系点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系： (1)若M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2. (2)若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. (3)若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2.对于方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆时易忽视D 2＋E 2－4F ＞0这一成立条件． [试一试]方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆的充要条件是( ) A.14＜m ＜1 B ．m ＜14或m ＞1C ．m ＜14D ．m ＞1解析：选B 由(4m )2＋4－4×5m ＞0知m ＜14或m ＞1.1．确定一个圆的方程，需要三个独立条件．“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法：是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数．2．求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算． (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上． (2)圆心在任一弦的中垂线上．(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线． [练一练]1．圆心在y 轴上且通过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2＋10y ＝0 B ．x 2＋y 2－10y ＝0 C ．x 2＋y 2＋10x ＝0D ．x 2＋y 2－10x ＝0解析：选B 设圆心为(0，b )，半径为r ，则r ＝|b |， ∴圆的方程为x 2＋(y －b )2＝b 2. ∵点(3,1)在圆上，∴9＋(1－b )2＝b 2，解得：b ＝5. ∴圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0.2．以直线3x －4y ＋12＝0夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为______________． 解析：法一：直线3x －4y ＋12＝0与两坐标轴的交点分别为A (－4,0)，B (0,3)，所以线段AB 的中点为C ⎝⎛⎭⎫－2，32，|AB |＝5. 故所求圆的方程为(x ＋2)2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝⎝⎛⎭⎫522. 法二：易得圆的直径的两端点为A (－4,0)，B (0,3)， 设P (x ，y )为圆上任一点，则P A ⊥PB.∴k P A ·k PB ＝－1得y x ＋4·y －3x ＝－1(x ≠－4，x ≠0)，即x (x ＋4)＋y (y －3)＝0. 化简得(x ＋2)2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝⎝⎛⎭⎫522. 答案：(x ＋2)2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝254圆的方程1．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( ) A ．x 2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝1 解析：选A 设圆心坐标为(0，b )，则由题意知(0－1)2＋(b －2)2＝1，解得b ＝2，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.2．经过点(1,0)，且圆心是两直线x ＝1与x ＋y ＝2的交点的圆的方程为( ) A ．(x －1)2＋y 2＝1 B ．(x －1)2＋(y －1)2＝1 C ．x 2＋(y －1)2＝1D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，x ＋y ＝2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即所求圆的圆心坐标为(1,1)，又由该圆过点(1,0)，得其半径为1，故圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1.3. 过直线2x ＋y ＋4＝0和圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝4的交点，并且面积最小的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2＋265x －125y ＋375＝0B ．x 2＋y 2＋265x －125y －375＝0C ．x 2＋y 2－265x －125y ＋375＝0D ．x 2＋y 2－265x －125y －375＝0解析：选A 设所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2－4＋k (2x ＋y ＋4)＝0，即x 2＋y 2＋2(k ＋1)x ＋(k －4)y ＋1＋4k ＝0，化为圆的标准方程得[x ＋(k ＋1)]2＋⎣⎡⎦⎤y ＋12(k －4)2＝(k ＋1)2＋14(k －4)2－(4k ＋1)，由(k ＋1)2＋14(k －4)2－(1＋4k )＞0，得5k 2－16k ＋16＞0，此时，所求圆的半径r＝(k ＋1)2＋14(k －4)2－(1＋4k )＝125k 2－16k ＋16.显然，当k ＝－－1610，即k ＝85时，5k 2－16k ＋16有最小值165，此时，圆的半径最小，从而面积最小．故所求的圆的方程为x 2＋y 2＋265x －125y ＋375＝0.[类题通法]1．利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于a ，b ，r 或D ，E ，F 的方程组． 2．利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程，体现了数形结合思想的运用．与圆有关的最值问题角度一 斜率型最值问题1．已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.求yx 的最大值和最小值．解：原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆． yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝ 3，解得k ＝±3.(如图)所以yx 的最大值为3，最小值为－ 3.角度二 截距型最值问题2.在[角度一]条件下求y －x 的最大值和最小值．解：y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝ 3，解得b ＝－2±6.(如图)所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6. 角度三 距离型最值问题3．在[角度一]条件下求x 2＋y 2的最大值和最小值．解：x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．(如图)又圆心到原点的距离为(2－0)2＋(0－0)2＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值是()2－32＝7－4 3. 角度四 利用对称性求最值4．(2013·重庆高考)已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．52－4 B.17－1 C ．6－2 2D.17解析：选A 两圆的圆心均在第一象限，先求|PC 1|＋|PC 2|的最小值，作点C 1关于x 轴的对称点C ′1(2，－3)，则(|PC 1|＋|PC 2|)min ＝|C ′1C 2|＝52，所以(|PM |＋|PN |)min ＝52－(1＋3)＝52－4.[类题通法]数形结合法求解与圆有关的最值问题(1)形如t ＝y －b x －a 形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如t ＝(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题．与圆有关的轨迹问题[典例] xOy 中，已知圆为22，在y 轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程； (2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程． [解] (1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r .由题设y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2，从而y 2＋2＝x 2＋3. 故P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1. (2)设P (x 0，y 0)．由已知得|x 0－y 0|2＝22.又P 点在双曲线y 2－x 2＝1上，从而得⎩⎪⎨⎪⎧|x 0－y 0|＝1，y 20－x 20＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－y 0＝1，y 20－x 20＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1.此时，圆P 的半径r ＝ 3. 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－y 0＝－1，y 20－x 20＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1.此时，圆P 的半径r ＝ 3. 故圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3或x 2＋(y ＋1)2＝3. [类题通法]求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下做法 (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程． (3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程．(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等． [针对训练]已知OP ＝(2＋2cos α，2＋2sin α)，α∈R ，O 为坐标原点，向量OQ 满足OP ＋OQ ＝0，则动点Q 的轨迹方程是________．解析：设Q (x ，y )，由OP ＋OQ ＝(2＋2cos α＋x,2＋2sin α＋y )＝(0,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－2cos α，y ＝－2－2sin α， ∴(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝4. 答案：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝4第四节直线与圆、圆与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系(半径r ，圆心到直线的距离为d )2．圆与圆的位置关系(两圆半径r 1、r 2，d ＝|O 1O 2|)1．对于圆的切线问题，尤其是圆外一点引圆的切线，易忽视切线斜率k 不存在情形． 2．两圆相切问题易忽视分两圆内切与外切两种情形． [试一试]1．(2014·石家庄模拟)过点(2,3)与圆(x －1)2＋y 2＝1相切的直线的方程为________． 解析：设圆的切线方程为y ＝k (x －2)＋3，由圆心(1,0)到切线的距离为半径1，得k ＝43，所以切线方程为4x －3y ＋1＝0，又直线x ＝2也是圆的切线，所以直线方程为4x －3y ＋1＝0或x ＝2.答案：x ＝2或4x －3y ＋1＝02．(2013·北京东城模拟)已知圆C ：x 2＋y 2－6x ＋8＝0, 则圆心C 的坐标为________；若直线y ＝kx 与圆C 相切，且切点在第四象限，则k ＝________.解析：圆的方程可化为(x －3)2＋y 2＝1，故圆心坐标为(3,0)；由|3k |1＋k 2＝1, 解得k ＝±24，根据切点在第四象限，可得k ＝－24. 答案：(3,0) －241．圆的切线问题(1)过圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)上一点M (x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2；(2)过圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外一点M (x 0，y 0)引切线，有两条，求方程的方法是待定系数法，切点为T 的切线长公式为|MT |＝ x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F ＝|MC |2－r 2(其中C 为圆C 的圆心，r 为其半径)．2．求圆的弦长的常用方法(1)几何法：设圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则⎝⎛⎭⎫l 22＝r 2－d 2. (2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式： |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]. 注意：常用几何法研究圆的弦的有关问题． [练一练]1．(2014·泉州模拟)过坐标原点且与圆x 2－4x ＋y 2＋2＝0相切的直线方程为( ) A ．x ＋y ＝0 B ．x －y ＝0C ．x ＋y ＝0或x －y ＝0D ．x ＋3y ＝0或x －3y ＝0解析：选C 圆x 2－4x ＋y 2＋2＝0的圆心为(2,0)，半径为2，易知过原点与该圆相切时，直线必有斜率．设斜率为k ，则直线方程为y ＝kx ，则|2k |k 2＋1＝2， ∴k 2＝1，∴k ＝±1， ∴直线方程为y ＝±x .2．圆x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0截直线5x －12y ＋c ＝0所得的弦长为8，则c 的值是( ) A ．10 B ．10或－68 C ．5或－34D ．－68解析：选B ∵弦长为8，圆的半径为5， ∴弦心距为52－42＝3，∵圆心坐标为(1，－2)， ∴|5×1－12×(－2)＋c |13＝3，∴c ＝10或c ＝－68.直线与圆的位置关系1．(2013·陕西高考)已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定解析：选B 由点M 在圆外，得a 2＋b 2＞1，∴圆心O 到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝1a 2＋b 2＜1，则直线与圆O 相交．2．(2014·江南十校联考)直线x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －1＝0有两个不同交点的一个充分不必要条件是( )A ．－3＜m ＜1B ．－4＜m ＜2C ．0＜m ＜1D ．m ＜1解析：选C 根据直线与圆有两个不同的交点，可知圆心到直线的距离d 小于半径． ∵圆x 2＋y 2－2x －1＝0可化为(x －1)2＋y 2＝2，即圆心是(1,0)，半径是2， ∴d ＝|1－0＋m |2＜2，∴|m ＋1|＜2，∴－3＜m ＜1，由题意知m 的取值范围应是(－3,1)的一个真子集，故选C. [类题通法]判断直线与圆的位置关系常见的方法(1)几何法：利用d 与r 的关系．(2)代数法：联立方程随之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．切线、弦长问题[典例] ＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝0[解析] 根据平面几何知识，直线AB 一定与点(3,1)，(1,0)的连线垂直，这两点连线的斜率为12，故直线AB 的斜率一定是－2，只有选项A 中直线的斜率为－2.[答案] A(2)过点(3,1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________．[解析] 最短弦为过点(3,1)，且垂直于点(3,1)与圆心的连线的弦，易知弦心距d ＝(3－2)2＋(1－2)2＝2，所以最短弦长为2r 2－d 2＝222－(2)2＝2 2. [答案] 2 2 [类题通法]1．处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长一半、弦心距、半径构成直角三角形． 2．圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径建立关系解决问题． [针对训练](2014·济南模拟)已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且|AB |＝ 3，则OA ·OB 的值是( ) A ．－12B.12 C ．－34D ．0解析：选A 在△OAB 中，|OA |＝|OB |＝1，|AB |＝ 3，可得∠AOB ＝120°，所以OA ·OB ＝1×1×cos 120°＝－12.圆与圆的位置关系[典例] 12：(x ＋m )2＋∈R )相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是________．[解析] 由两圆在点A 处的切线互相垂直，可知两切线分别过另一圆的圆心，即AO 1⊥AO 2，在直角三角形AO 1O 2中，(25)2＋(5)2＝m 2，∴m ＝±5，|AB |＝2×25×55＝4. [答案] 4在本例条件下求AB 所在的直线方程.解：由本例可知m ＝±5.当m＝5时，⊙O1：x2＋y2＝5，①⊙O2：x2＋y2＋10x＋5＝0.②②－①得，x＝－1，即AB所在直线方程为x＝－1.当m＝－5时，⊙O1：x2＋y2＝5，①⊙O2：x2＋y2－10x＋5＝0.②②－①得，x＝1，即AB所在直线方程为x＝1.∴AB所在的直线方程为x＝1或x＝－1.[类题通法]1．两圆位置关系的判断常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．2．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到．[针对训练]与圆x2＋y2＋4x－4y＋7＝0和x2＋y2－4x－10y＋13＝0都相切的直线共有()A．1条B．2条C．3条D．4条解析：选C由题意知，两圆圆心分别为(－2,2)与(2,5)，半径分别为1和4，圆心距为(－2－2)2＋(2－5)2＝5，显然两圆外切，故公切线的条数为3.第五节椭圆1．椭圆的定义(1)满足以下条件的点的轨迹是椭圆：①在平面内；②与两个定点F1、F2的距离之和等于常数；③常数大于|F1F2|.(2)焦点：两定点．(3)焦距：两焦点间的距离．2．椭圆的标准方程和几何性质1．椭圆的定义中易忽视2a ＞|F 1F 2|这一条件，当2a ＝|F 1F 2|其轨迹为线段F 1F 2，当2a ＜|F 1F 2|不存在轨迹．2．求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．3．注意椭圆的范围，在设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上点的坐标为P (x ，y )时，则|x |≤a ，这往往在求与点P 有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．[试一试]若直线x －2y ＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为( ) A.x 25＋y 2＝1 B.x 24＋y 25＝1 C.x 25＋y 2＝1或x 24＋y 25＝1 D ．以上答案都不对解析：选C 直线与坐标轴的交点为(0,1)，(－2,0)，由题意知当焦点在x 轴上时，c ＝2，b ＝1，∴a 2＝5，所求椭圆的标准方程为x 25＋y 2＝1.当焦点在y 轴上时，b ＝2，c ＝1，∴a 2＝5，所求椭圆标准方程为y 25＋x 24＝1.故选C.1．求椭圆标准方程的方法(1)定义法：根据椭圆定义，确定a 2，b 2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程． (2)待定系数法：根据椭圆焦点是在x 轴还是y 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a ，b ，c 的方程组，解出a 2，b 2，从而写出椭圆的标准方程．2．椭圆上任意一点M 到焦点F 的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a ＋c ，最小距离为a －c .3．求椭圆离心率e 时，只要求出a ，b ，c 的一个齐次方程，再结合b 2＝a 2－c 2就可求得e (0＜e ＜1)．[练一练]1．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线x 2m 2－y 2n 2＝1(m ＞0，n ＞0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，若c 是a 、m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率是( )A.33B.22C.14D.12解析：选D 在双曲线中m 2＋n 2＝c 2，又2n 2＝2m 2＋c 2，解得m ＝c2，又c 2＝am ，故椭圆的离心率e ＝c a ＝12.2．椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是3，则这个椭圆方程为________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a －c ＝3，c a ＝12，解得⎩⎨⎧a ＝23，c ＝ 3.∴椭圆方程为x 212＋y 29＝1或y 212＋x 29＝1.答案：x 212＋y 29＝1或y 212＋x 29＝1椭圆的定义及标准方程1.(2014·三明模拟)设F 1，F 2是椭圆x 49＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝4∶3，则△PF 1F 2的面积为( )A ．30B ．25C ．24D ．40解析：选C ∵|PF 1|＋|PF 2|＝14， 又|PF 1|∶|PF 2|＝4∶3， ∴|PF 1|＝8，|PF 2|＝6. ∵|F 1F 2|＝10，∴PF 1⊥PF 2.∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×8×6＝24.2．(2014·烟台质检)一个椭圆中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2, 3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆方程为( )A.x 28＋y 26＝1 B.x 216＋y 26＝1 C.x 28＋y 24＝1 D.x 216＋y 24＝1解析：选A 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由点P (2, 3)在椭圆上知4a 2＋3b 2＝1.又|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|，即2a ＝2·2c ，c a ＝12，又c 2＝a 2－b 2，联立得a 2＝8，b 2＝6.3．已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.x 264－y 248＝1 B.x 248＋y 264＝1 C.x 248－y 264＝1 D.x 264＋y 248＝1 解析：选D 设圆M 的半径为r ，则|MC 1|＋|MC 2|＝(13－r )＋(3＋r )＝16，∴M 的轨迹是以C 1、C 2为焦点的椭圆，且2a ＝16,2c ＝8，故所求的轨迹方程为x 264＋y 248＝1.[类题通法]1．椭圆定义的应用主要有两个方面：一是利用定义求椭圆的标准方程；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等．2．利用定义和余弦定理可求得|PF 1|·|PF 2|，再结合|PF 1|2＋|PF 2|2＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2| 进行转化，可求焦点三角形的周长和面积．3．当椭圆焦点位置不明确时，可设为x 2m ＋y 2n ＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，也可设为Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B ＞0，且A ≠B )．椭圆的几何性质[典例] (2013·福建高考)椭圆Γ：x a 2＋y b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c ，若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．[解析] 直线y ＝3(x ＋c )过点F 1，且倾斜角为60°，所以∠MF 1F 2＝60°，从而∠MF 2F 1＝30°，所以MF 1⊥MF 2.在Rt △MF 1F 2中，|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c ，所以该椭圆的离心率e ＝2c 2a ＝2cc ＋3c ＝3－1.[答案] 3－1本例条件变为“过F1，F2的两条互相垂直的直线l1，l2的交点在椭圆的内部”求离心率的取值范围.解：作图分析可知以线段F1F2为直径的圆在椭圆的内部，所以c＜b，从而c2＜b2，即c2＜a2－c2，⎝⎛⎭⎫ca2＜12，0＜ca＜22，故e∈⎝⎛⎭⎫0，22.[类题通法]椭圆几何性质的应用技巧(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形．(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如－a≤x≤a，－b≤y≤b,0＜e＜1，在求椭圆的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．[针对训练]1．椭圆x29＋y24＋k＝1的离心率为45，则k的值为()A．－21B．21C．－1925或21 D.1925或21解析：选C若a2＝9，b2＝4＋k，则c＝5－k，由ca＝45，即5－k3＝45，得k＝－1925；若a2＝4＋k，b2＝9，则c＝k－5，由ca＝45，即k－54＋k＝45，解得k＝21.2．若椭圆上存在点P，使得点P到两个焦点的距离之比为2∶1，则此椭圆离心率的取值范围是()A．[14，13] B．[13，12]C．(13，1) D．[13，1)解析：选D设P到两个焦点的距离分别为2k，k，根据椭圆定义可知：3k＝2a，又结合椭圆的性质可知．椭圆上的点到两个焦点距离之差的最大值为2c，即k≤2c，∴2a≤6c，即e≥13.又∵0＜e＜1，∴13≤e＜1.直线与椭圆的位置关系[典例] (2013·天津高考)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.(1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点．若AC ·DB ＋AD ·CB ＝8，求k 的值．[解] (1)设F (－c,0)，由c a ＝33，知a ＝3c .过点F 且与x 轴垂直的直线的方程为x ＝－c ，代入椭圆方程有(－c )2a 2＋y 2b 2＝1，解得y ＝±6b 3，于是26b 3＝433，解得b ＝2，又a 2－c 2＝b 2，从而a ＝3，c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(2)设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由F (－1,0)得直线CD 的方程为y ＝k (x ＋1)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 23＋y 22＝1，消去y ，整理得(2＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0. 由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝－6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k 2.因为A (－3，0)，B (3，0)所以AC ·DB ＋AD ·CB ＝(x 1＋3，y 1)·(3－x 2，－y 2)＋(x 2＋3，y 2)·(3－x 1，－y 1) ＝6－2x 1x 2－2y 1y 2＝6－2x 1x 2－2k 2(x 1＋1)(x 2＋1) ＝6－(2＋2k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)－2k 2 ＝6＋2k 2＋122＋3k 2.由已知得6＋2k 2＋122＋3k 2＝8，解得k ＝±2.[类题通法]1．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．2．直线和椭圆相交的弦长公式 |AB |＝ (1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]或|AB |＝ ⎝⎛⎭⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2].[针对训练](2013·全国新课标Ⅱ)平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12.(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值．解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，y 2－y 1x 2－x 1＝－1， 由此可得b 2(x 2＋x 1)a 2(y 2＋y 1)＝－y 2－y 1x 2－x 1＝1.因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，y 0x 0＝12，所以a 2＝2b 2.又由题意知，M 的右焦点为(3，0)，故a 2－b 2＝3. 因此a 2＝6，b 2＝3. 所以M 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x 26＋y 23＝1，解得⎩⎨⎧x ＝433，y ＝－33，或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝ 3.因此|AB |＝463.由题意可设直线CD 的方程为y ＝x ＋n ⎝⎛⎭⎫－533＜n ＜3， 设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋n ，x 26＋y 23＝1得3x 2＋4nx ＋2n 2－6＝0. 于是x 3,4＝－2n ±2(9－n 2)3.因为直线CD 的斜率为1，所以|CD |＝2|x 4－x 3|＝439－n 2. 由已知，四边形ACBD 的面积S ＝12|CD |·|AB |＝8699－n 2.当n ＝0时，S 取得最大值，最大值为863.。
2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版)：解析几何
当m＝－k时，直线PQ的方程为y＝kx－k＝k(x－1). 此时直线PQ过定点(1,0). 当直线PQ的斜率不存在时， 若直线PQ过定点(1,0)， P，Q 的坐标分别为1，32，1，－32. 满足 kAP·kAQ＝－14. 综上，直线PQ过定点(1,0).
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②求△APQ面积的最大值.
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则 x1·x2 ＋ 2(x1 ＋ x2) ＋ 4 ＋ 4(kx1 ＋ m)(kx2 ＋ m) ＝ (1 ＋ 4k2)x1x2 ＋ (2 ＋ 4km)(x1＋x2)＋4m2＋4＝1＋4k32＋44mk22－12＋(2＋4km)·3－＋84kmk2＋4m2＋ 4＝0， 则m2－km－2k2＝0， ∴(m－2k)(m＋k)＝0，∴m＝2k或m＝－k. 当m＝2k时，直线PQ的方程为y＝kx＋2k＝k(x＋2)， 此时直线PQ过定点(－2,0)，显然不符合题意；
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设l1的方程为x＝my＋1，M(x1，y1)，N(x2，y2)， x＝my＋1，
联立x42＋y32＝1， 消去 x 得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0， 易知 Δ>0 恒成立，由根与系数的关系得 y1＋y2＝3－m26＋m4，y1y2＝3m－2＋9 4，
由直线 A1M 的斜率为kA1M＝x1y＋1 2，得直线 A1M 的方程为 y＝x1y＋1 2(x＋2)，
第八章 直线和圆、圆锥曲线
必刷大题17 解析几何
1.(2022·南通模拟)已知P为抛物线C：y2＝4x上位于第一象限的点，F为C 的焦点，PF与C交于点Q(异于点P).直线l与C相切于点P，与x轴交于点M. 过点P作l的垂线交C于另一点N. (1)证明：线段MP的中点在定直线上；
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设 P(x0，y0)，则 y20＝4x0，
高考数学大一轮复习 第八章 第1节 直线的倾斜角与斜率、直线方程
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对点训练 △ABC 的三个顶点为 A(－3,0)，B(2,1)， C(－2,3)，求： (1)BC 所在直线的方程； (2)BC 边上中线 AD 所在直线的方程； (3)BC 的垂直平分线 DE 的方程．
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【解】 (1)因为直线 BC 经过 B(2,1)和 C(－2,3)两点， 由两点式得 BC 的方程为3y－－11＝－x－2－22，即 x＋2y－4＝ 0. (2)设 BC 中点 D 的坐标(x，y)，则 x＝2－2 2＝0，y＝1＋2 3＝2. BC 边的中线 AD 过点 A(－3,0)，D(0,2)两点，由截距式 得 AD 所在直线方程为－x3＋2y＝1，即 2x－3y＋6＝0.
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2．斜率公式
(1)直线 l 的倾斜角为 α≠90°，则斜率 k＝_t_a_n_α__.
(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线 l 上，且 x1≠x2，则 l 的 y2－y1
斜率 k＝__x_2－__x_1__.
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二、直线方程的五种形式
名称
方程
适用范围
点斜式 斜截式
＝
.
【答案】 －
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4．一条直线经过点 A(2，－3)，并且它的倾斜角等于直
线
y＝
1 3x
的倾斜角的
2
倍，则这条直线的一般式方程
是
，斜截式方程是
．
【答案】 3x－y－2 3－3＝0 y＝ 3x－2 3－3
高三数学高考一轮复习系列教案第八章 圆锥曲线 大纲版
第八章圆锥曲线知识结构高考能力要求1．掌握椭圆的定义、标准方程、简单的几何性质、了解椭圆的参数方程．2．掌握双曲线的定义、标准方程、简单的几何性质．3．掌握抛物线的定义、标准方程、简单的几何性质．4．了解圆锥曲线的初步应用．高考热点分析圆锥曲线是高中数学的一个重要内容，它的基本特点是数形兼备，兼容并包，可与代数、三角、几何知识相沟通，历来是高考的重点内容。
纵观近几年高考试题中对圆锥曲线的考查，基本上是两个客观题，一个主观题，分值21分~24分，占15%左右，并且主要体现出以下几个特点：1．圆锥曲线的基本问题，主要考查以下内容：①圆锥曲线的两种定义、标准方程及a、b、c、e、p 五个参数的求解．②圆锥曲线的几何性质的应用．2、求动点轨迹方程或轨迹图形在高考中出现的频率较高，此类问题的解决需掌握四种基本方法：直译法、定义法、相关点法、参数法．3．有关直线与圆锥曲线位置关系问题，是高考的重热点问题，这类问题常涉及圆锥曲线的性质和直线的基本知识以及线段中点、弦长等，分析这类问题时，往往要利用数形结合思想和“设而不求”的方法、对称的方法及韦达定理，多以解答题的形式出现．4．求与圆锥曲线有关的参数或参数范围问题，是高考命题的一大热点，这类问题综合性较大，运算技巧要求较高；尤其是与平面向量、平面几何、函数、不等式的综合，特别近年出现的解析几何与平面向量结合的问题，是常考常新的试题，将是今后高考命题的一个趋势．高考复习建议1．圆锥曲线的定义、标准方程及几何性质是本章的基本内容．复习中对基本概念的理解要深,对公式的掌握要活,充分重视定义在解题中的地位和作用,重视知识间的内在联系．椭圆、双曲线、抛物线它们都可以看成是平面截圆锥所得的截线，其本质是统一的.因此这三种曲线可统一为“一个动点P到定点F和定直线l的距离之比是一个常数e的轨迹”，当0＜e＜1、e＝1、e＞1时,分别表示椭圆、抛物线和双曲线．复习中有必要将椭圆、抛物线和双曲线的定义，标准方程及几何性质进行归类、比较，把握它们之间的本质联系，要学会在知识网络交汇处思考问题、解决问题．2．计算能力的考查已引起高考命题者的重视,这一章的复习要注意突破“运算关”,要寻求合理有效的解题途径与方法．3．加强直线与圆锥曲线的位置关系问题的复习，注重数形结合思想和设而不求法与弦长公式及韦达定理的运用．4．重视圆锥曲线与平面向量、函数、方程、不等式、三角、平面几何的联系，重视数学思想方法的训练，达到优化解题思维、简化解题过程的目的．８．1 椭圆知识要点1．椭圆的两种定义(1) 平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于21F F )的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的 ， 之间的距离叫做焦距．注：①当2a ＝|F 1F 2|时，P 点的轨迹是 ．②当2a ＜|F 1F 2|时，P 点的轨迹不存在．(2) 椭圆的第二定义：到 的距离与到 的距离之比是常数e ，且∈e 的点的轨迹叫椭圆．定点F 是椭圆的 ，定直线l 是 ，常数e 是 ．2．椭圆的标准方程(1) 焦点在x 轴上，中心在原点的椭圆标准方程是：12222=+b y a x ，其中( > >0，且=2a ) (2) 焦点在y 轴上，中心在原点的椭圆标准方程是12222=+bx ay ，其中a ，b 满足： ．3．椭圆的几何性质(对12222=+by a x ,a > b >0进行讨论)(1) 范围： ≤ x ≤ ， ≤ y ≤ (2) 对称性：对称轴方程为 ；对称中心为 ．(3) 顶点坐标： ，焦点坐标： ，长半轴长： ，短半轴长： ；准线方程： ．(4) 离心率：=e ( 与 的比)，∈e ，e 越接近1，椭圆越 ；e 越接近0，椭圆越接近于 ．(5) 焦半径公式：设21,F F 分别为椭圆的左、右焦点，),(00y x P 是椭圆上一点，则=1PF ，122PF a PF -== ．(6) 椭圆的参数方程为 ． 4．焦点三角形应注意以下关系： (1) 定义：r 1＋r 2＝2a(2) 余弦定理：21r ＋22r －2r 1r 2cos θ＝(2c )2(3) 面积：21F PF S ∆＝21r 1r 2 sin θ＝21·2c | y 0 |(其中P(00,y x )为椭圆上一点，|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，∠F 1PF 2＝θ)例题讲练【例1】 中心在原点，一个焦点为F 1(0，52)的椭圆被直线y ＝3x －2截得的弦的中点的横坐标为21，求此椭圆的方程．【例2】 已知点P(3, 4)是椭圆2222b y a x +＝1 (a >b >0) 上的一点，F 1、F 2是它的两焦点，若PF 1⊥PF 2，求：(1) 椭圆的方程； (2) △PF 1F 2的面积．【例3】如图，射线OA 、OB 分别与x 轴、 y 轴所成的角均为︒30；已知线段PQ 的长度为2，并且保持线段的端点),(11y x P 在射线OA 上运动，点),(22y x Q 在射线OB 上运动(1) 试求动点),(21x x M 的轨迹C 的方程(2) 求轨迹C 上的动点N 到直线03=--y x 的距离的最大值和最小值．【例4】 （2005年全国卷I ）已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，+与＝(3, －1)共线.(1) 求椭圆的离心率；(2) 设M 是椭圆上任意一点，且＝μλ+(λ、μ∈R)，证明22μλ+为定值.小结归纳 1．在解题中要充分利用椭圆的两种定义，灵活处理焦半径，熟悉和掌握a 、b 、c 、e 关系及几何意义，能够减少运算量，提高解题速度，达到事半功倍之效．2．由给定条件求椭圆方程，常用待定系数法．步骤是：定型——确定曲线形状；定位——确定焦点位置；定量——由条件求a 、b 、c ，当焦点位置不明确时，方程可能有两种形式，要防止遗漏．3．解与椭圆的焦半径、焦点弦有关的问题时，一般要从椭圆的定义入手考虑；椭圆的焦半径的取值范围是],[c a c a +-．4．“设而不求”，“点差法”等方法，是简化解题过程的常用技巧，要认真领会．5．解析几何与代数向量的结合，是近年来高考的热点，在2005年的考题中足以说明了这一点，应引起重视．基础训练题 一、选择题1． 动点M 到定点)0,4(1-F 和)0,4(2F 的距离的和为8，则动点M 的轨迹为 （ ） A ．椭圆 B ．线段 C ．无图形 D ．两条射线2． (2005年全国高考试题III) 设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 （ ）A ．22 B ．212- C ．2－2D ．2－13． （2004年高考湖南卷）F 1、F 2是椭圆C ：14822=+y x 的焦点，在C 上满足PF 1⊥PF 2的点P 的个数为（ ） A ．2个 B ．4个 C ．无数个 D ．不确定4． 椭圆171622=+y x 的左、右焦点为F 1、F 2，一直线过F 1交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为 （ ） A ．32 B ．16 C ．8 D ．45． 已知点P 在椭圆(x －2)2＋2y 2＝1上，则xy的最小值为（ ）A ．36-B ．26-C ．6-D ．66-6． 我们把离心率等于黄金比215-的椭圆称为“优美椭圆”，设)0(12222>>=+b a by a x 是优美椭圆，F 、A 分别是它的左焦点和右顶点，B 是它的短轴的一个端点，则ABF ∠等于 （ ） A ．︒60 B ．︒75 C ．︒90 D ．︒120二、填空题 7． 椭圆400162522=+y x 的顶点坐标为 和 ，焦点坐标为 ，焦距为 ，长轴长为 ，短轴长为 ，离心率为 ，准线方程为 ．8． 设F 是椭圆16722=+y x 的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点P i (i ＝1，2， )，使得|FP 1|、|FP 2|、|FP 3|…组成公差为d 的等差数列，则d 的取值范围是 ． 9． 设1F ，2F 是椭圆14322=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上一点，且121=-PF PF ，则得=∠21PF F ． 10．若椭圆2222)1(-+m y m x ＝1的准线平行于x 轴则m 的取值范围是 ．三、解答题11．根据下列条件求椭圆的标准方程(1) 和椭圆1202422=+y x 共准线，且离心率为21．(2) 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为534和532，过P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点．12．椭圆14922=+y x 的焦点为21,F F ，点P 为其上的动点，当∠21PF F 为钝角时，求点P 横坐标的取值范围．13．(2005年高考湖南卷)已知椭圆C ：12222=+by a x (a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，离心率为e ．直线l ：y ＝ex ＋a 与x 轴，y 轴分别交于点A 、B 、M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，P 是点F 1关于直线l 的对称点，设＝λ． (Ⅰ)证明：λ＝1－e 2；(Ⅱ)若λ＝43，△MF 1F 2的周长为6，写出椭圆C 的方程；(Ⅲ)确定λ的值，使得△PF 1F 2是等腰三角形．提高训练题14．(2006年高考湖南卷)已知C 1：13422=+y x ，抛物线C 2：(y －m )2＝2px (p ＞0)，且C 1、C 2的公共弦AB 过椭圆C 1的右焦点．(Ⅰ)当AB ⊥x 轴时，求p 、m 的值，并判断抛物线C 2的焦点是否在直线AB 上；(Ⅱ)若p ＝34，且抛物线C 2的焦点在直线AB 上，求m 的值及直线AB 的方程．15．（成都市2006届毕业班摸底测试）设向量i ＝(1, 0)，j ＝(0, 1)，＝(x ＋m )i ＋y j ，＝(x －m )i ＋y j ，且||＋||＝6，0< m < 3，x >0，y ∈R ． ( I )求动点P(x ，y )的轨迹方程；( II ) 已知点A(－1, 0)，设直线y ＝31(x －2)与点P 的轨迹交于B 、C 两点，问是否存在实数m ，使得AC AB ⋅＝31？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．8．2 双 曲 线知识要点 1．双曲线的两种定义(1) 平面内与两定点F 1，F 2的 常数(小于 )的点的轨迹叫做双曲线．注：①当2a ＝|F 1F 2|时，p 点的轨迹是 ．②2a ＞|F 1F 2|时，p 点轨迹不存在．(2) 平面内动点P 到一个定点F 和一条定直线l (F 不在 上)的距离的比是常数e ，当∈e 时动点P 的轨迹是双曲线．设P 到1F 的对应准线的距离为d ，到2F 对应的准线的距离为2d ，则e d PF d PF ==22112．双曲线的标准方程 (1) 标准方程：12222=-b y a x ，焦点在 轴上；12222=-bx ay ，焦点在 轴上．其中：a 0，b 0，=2a ．(2) 双曲线的标准方程的统一形式：)0(122<=+nm ny mx3．双曲线的几何性质(对0,0,122>>=-b a b y a x 进行讨论)(1) 范围：∈x ，∈y ．(2) 对称性：对称轴方程为 ；对称中心为 ．(3) 顶点坐标为 ，焦点坐标为 ，实轴长为 ，虚轴长为 ，准线方程为 ，渐近线方程为 ．(4) 离心率e = ，且∈e ，e 越大，双曲线开口越 ，e 越小，双曲线开口越 ，焦准距P ＝ ．(5) 焦半径公式，设F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若),(00y x P 是双曲线右支上任意一点，=1PF ，=2PF ，若),(00y x P 是双曲线左支上任意一点，=1PF ，=2PF ． (6) 具有相同渐近线x aby ±=的双曲线系方程为 (7) 的双曲线叫等轴双曲线，等轴双曲线的渐近线为 ，离心率为 ．(8) 12222=-b y a x 的共轭双曲线方程为 ．例题讲练【例1】 根据下列条件，写出双曲线的标准方程 (1) 中心在原点，一个顶点是(0，6)，且离心率是1.5．(2) 与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)．【例2】 （04年高考湖北卷）直线l ：y ＝kx ＋1与双曲线C ：2x 2－y 2＝1的右支交于不同的两点A 、B ．(1)求实数k 的取值范围；(2)是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．【例3】 在双曲线1121322-=-y x 的一支上有不同的三点A(x 1，y 1)，B(x 2，6)，C(x 3，y 3)与焦点F(0，5)的距离成等差数列．(1)求y 1＋y 3；(2)求证：线段AC 的垂直平分线经过某一定点，并求出这个定点的坐标．【例4】 （2004年高考全国卷II ）设双曲线C ：)0(1222>=-a y a x 与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点．(1) 求双曲线C 的离心率e 的取值范围；(2) 设直线l 与y 的交点为P ，且＝125，求a的值．小结归纳1．复习双曲线要与椭圆进行类比，尤其要注意它们之间的区别，如a 、b 、c 、e 的关系．2．双曲线的渐近线的探求是一个热点．①已知双曲线方程求渐近线方程；②求已知渐近线方程的双曲线方程．3．求双曲线的方程，经常要列方程组，因此，方程思想贯穿解析几何的始终，要注意定型（确定曲线形状）、定位（曲线的位置）、定量（曲条件求参数）．4．求双曲线的方程的常用方法： (1) 定义法．(2) 待定系数法．涉及到直线与圆锥曲线的交点问题，经常是“设而不求”．5．例2的第(1)问是数材P 132第13题的引申，因此高考第一轮复习要紧扣教材．6．对于直线与双曲线的位置关系，要注意“数形转化”“数形结合”，既可以转化为方程组的解的个数来确定，又可以把直线与双曲线的渐近线进行比较，从“形”的角度来判断．基础训练题 一、选择题1． A 、B 是平面内两定点，动点P 到A 、B 两点的距离的差是常数，则P 的轨迹是 （ ） A ．双曲线 B ．椭圆 C ．双曲线的一支 D ．不能确定2． （04年高考湖南卷）如果双曲线1121322=-y x 上一点p 到右焦点的距离等于13，那么点p 到右焦线的距离是 （ ）A ．513 B ．13 C ．5D ．1353． 已知双曲线的渐近线方程是2xy ±=，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为 （ ）A ．152022=-y x B ．152022±=-y x C ．120522=-y xD ．120522±=-y x4． （2005年高考湖南卷）已知双曲线12222=-by a x (a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，右焦线与一条渐近线交于点A ，△OAF 的面积为22a ，（0为原点）则两条渐近线的夹角为（ ） A ．30° B ．45° C ．60°D ．90°5． 已知双曲线14922=-y x ，则过点A(3，1)且与双曲线仅有唯一的公共点的直线有 （ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条6． (2005年江苏高考最后冲刺题) 设双曲线16x 2－9y 2＝144的右焦点为F 2，M 是双曲线上任意一点，点A 的坐标为（9，2），则|MA|＋53|MF 2|的最小值为（ ）A ．9B ．536C ．542D ．554二、填空题7． 中心在原点，坐标轴为对称轴，实轴与虚轴长之差为2，离心率为45的双曲线方程为 ．8． (2004年高考·吉林、四川)设中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆与双曲线12222=-y x 有公共焦点，且它们的离心率互为倒数，则椭圆方程为 ．9． （2006年高考湖南卷）过双曲线M ：1222=-b y x 的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于点B 、C ，且|AB|＝|BC|，则双曲线M 的离心率是 ．10．可以证明函数x bax y +=(b ≠0)的图象是双曲线，试问双曲线C ：xx y 33+=的离心率e 等于 ．三、解答题11．(1) 已知双曲线的渐近线方程为032=±yx ，且过点(2，－6)，求双曲线的方程；(2) 已知双曲线的右准线为x ＝4，右焦点为F(10，0)，离心率为e ＝2，求双曲线的方程． 12．ABC ∆中，固定底边BC ，让顶点A 移动，已知4=BC ，且A B C sin 21sin sin =-，求顶点A 的轨迹方程．13．双曲线12222=-by a x )0,0(>>b a 的右支上存在与右焦点和左准线等距离的点，求离心率e 的取值范围．提高训练题 14．已知动点p 与双曲线13222=-y x 的两个焦点F 1、F 2的距离之和为定值，且cos ∠F 1PF 2的最小值为－91．(1) 求动点p 的轨迹方程；(2) 若已知点D(0，3)，点M 、N 在动点p 的轨迹上且λ=，求实数λ的取值范围．15．(2005年武汉市高三调考)已知等轴双曲线C ：)0(222>=-a a y x 上一定点P(00,y x )及曲线C 点上两个动点A 、B ，满足0=⋅PB PA(1) M 、N 分别为PA 、PB 中点，求证：0=⋅ON OM (O 为坐标原点)；(2) 求|AB|的最小值及此时A 点坐标．抛 物 线 1．抛物线定义：离 的点的轨迹叫抛物线，焦点， 叫做抛物线的准线2．抛物线的标准方程和焦点坐标及准线方程① px y 22=，焦点为 ，准线为 ． ② px y 22-=，焦点为 ，准线为 ． ③ py x 22=，焦点为 ，准线为 ． ④ py x 22-=，焦点为 ，准线为 ． 3．抛物线的几何性质：对)0(22>=p px y 进行讨论． ① 点的范围： 、 ． ② 对称性：抛物线关于 轴对称． ③ 离心率=e ．④ 焦半径公式：设F 是抛物线的焦点，),(o o y x P 是抛物线上一点，则=PF ．⑤ 焦点弦长公式：设AB 是过抛物线焦点的一条弦(焦点弦)i) 若),(11y x A ，),(22y x B ，则AB ＝ ，21y y ．ii) 若AB 所在直线的倾斜角为θ()0≠θ则AB ＝ ．特别地，当θ2π=时，AB 为抛物线的通径，且AB ＝ ．iii) S △AOB ＝ （表示成P 与θ的关系式）．iv) ||1||1BF AF +为定值，且等于 ． 例题讲练【例1】 已知抛物线顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点),3(n A -到焦点的距离为5，求抛物线的方程和n 的值．【例2】 已知抛物线C ：x y 42=的焦点为F ，过点F 的直线l 与C 相交于A 、B ．(1) 若316=AB ，求直线l 的方程．(2) 求AB 的最小值．【例3】 若A(3，2)，F 为抛物线x y 22=的焦点，P 为抛物线上任意一点，求PA PF +的最小值及取得最小值时的P 的坐标．【例4】 （05全国卷(Ⅲ)）设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，两点在抛物线y ＝2x 2上，l 是AB 的垂直平分线．(1)当且仅当x 1＋x 2取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F ？证明你的结论？(2)当直线l 的斜率为2时，求在y 轴上的截距的取值范围．小结归纳 1．求抛物线方程要注意顶点位置和开口方向，以便准确设出方程，然后用待定系数法．2．利用好抛物线定义，进行求线段和的最小值问题的转化．3．涉及抛物线的弦的中点和弦长等问题要注意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算．4、解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，应注意焦点弦的几何性质．基础训练题 一、选择题1． 过抛物线)0(22>=P px y 的焦点作直线交抛物线于),(11y x A ，),(22y x B 两点，若P x x 321=+，则AB等于（ ）A ．2PB ．4PC ．6PD ．8P2． 已知动点),(y x P 满足22)2()1(5-+-y x ＝|1243|++y x ，则P 点的轨迹是 （ ）A ．两条相交直线B ．抛物线C ．双曲线D ．椭圆3． 已知抛物线212:x y C =与抛物线2C 关于直线x y -=对称，则2C 的准线方程是（ ）A ．81-=x B ．21=xC ．81=x D ．21-=x4． （2005年高考上海卷）过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线 （ ） A ．有且仅有一条 B ．有且仅有两条 C ．有无数条 D ．不存在5． (2003年新课程卷)抛物线2ax y =的准线方程是2=y ，则a 的值为 （ ）A ．81B ．81-C ．8D ．8-6． （04年高考湖北卷）与直线2x －y ＋4＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线方程是 （ ） A ．2x －y ＋3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．2x －y ＋1＝0 D ．2x －y －1＝0二、填空题7． 点M 与点F(4，0)的距离比它到连线l ：x ＋5＝0的距了小1，则点M 的轨迹方程为 ． 8． 某桥的桥洞是抛物线，桥下水面宽16米，当水面上涨2米后达警戒水位，水面宽变为12米，此时桥洞顶部距水面高度为 米(精确到0.1米)． 9． 过点（3，3）的直线与抛物线y 2＝3x 只有一个公共点，则这样的直线的条数为 ．10．一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的方程是x 2)200(2≤≤=y y ，在杯内放入一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r 的取值范围是三、解答题11．求顶点在原点，对称轴是x 轴，并且顶点与焦点的距离等于6的抛物线方程．12．正方形ABCD 中，一条边AB 在直线y ＝x ＋4上，另外两顶点C 、D 在抛物线y 2＝x 上，求正方形的面积．13．设A 和B 为抛物线y 2＝4px (p ＞0)上原点以外的两个动点，已知OA ⊥OB ，OM ⊥AB ，求点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？提高训练题 14．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 作直线交抛物线于A 、B 两点，试问：以AB 为直径的圆与抛物线的准线是相交、相切还是相离？若把抛物线改为椭圆12222=+b y a x 或双曲线12222=-b y a x ，结果又如何呢？15．(2004年高考上海卷)如图，直线x y 21=与抛物线4812-=x y 交于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与直线5-=y 交于Q 点． (1) 求点Q 的坐标；(2) 当P 为抛物线上位于线段AB(含点A 、B)下方的动点时，求OPQ ∆面积的最大值．8．4 直线与圆锥曲线的位置关系知识要点 1．直线与圆锥曲线的位置关系，常用研究方法是将曲线方程与直线方程联立，由所得方程组的解的个数来决定，一般地，消元后所得一元二次方程的判别式记为△，△>0时，有两个公共点，△＝0时，有一个公共点，△<0时，没有公共点．但当直线方程与曲线方程联立的方程组只有一组解（即直线与曲线只有一个交点）时，直线与曲线未必相切，在判定此类情形时，应注意数形结合．（对于双曲线，重点注意与渐近线平行的直线，对于抛物线，重点注意与对称轴平行的直线）2．直线与圆锥曲线的交点间的线段叫做圆锥曲线的弦．设弦AB 端点的坐标为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2),直线AB 的斜率为k ，则：｜AB ｜=————————或：—————————．利用这个公式求弦长时，要注意结合韦达定理． 当弦过圆锥曲线的焦点时，可用焦半径进行运算． 3．中点弦问题：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)是椭圆12222=+b y a x 上不同的两点，且x 1≠x 2，x 1＋x 2≠0，M(x 0，y 0)为AB 的中点，则 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+11222222221221b y ax b y a x 两式相减可得2221212121ab x x y y x x y y -=++⋅--即 ．对于双曲线、抛物线，可得类似的结论．例题讲练 【例1】 直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1相交于A 、B 两点．(1) 当a 为何值时，A 、B 两点在双曲线的同一支上？当a 为何值时，A 、B 两点分别在双曲线的两支上？(2) 当a 为何值时，以AB 为直径的圆过原点？x【例2】 已知双曲线方程2x 2－y 2＝2.(1) 求以A(2,1)为中点的双曲线的弦所在直线方程； (2) 过点B(1,1)能否作直线l ，使l 与所给双曲线交于Q 1、Q 2两点，且点B 是弦Q 1Q 2的中点？这样的直线l 如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．【例3】 在抛物线y 2＝4x 上恒有两点关于直线y ＝kx ＋3对称，求k 的取值范围．【例4】 （2006届苏州市高三调研测试）已知椭圆222y ax +＝1(a 为常数，且a >1)，向量m ＝(1, t ) (t >0)，过点A(－a , 0)且以为方向向量的直线与椭圆交于点B ，直线BO 交椭圆于点C （O 为坐标原点）．(1) 求t 表示△ABC 的面积S( t )；(2) 若a ＝2，t ∈[21, 1]，求S( t )的最大值．小结归纳1．判断直线与圆锥曲线的位置关系时，注意数形结合；用判别式的方法时，若所得方程二次项的系数有参数，则需考虑二次项系数为零的情况．2．涉及中点弦的问题有两种常用方法：一是“设而不求”的方法，利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率的关系，它能简化计算；二是利用韦达定理及中点坐标公式．对于存在性问题，还需用判别式进一步检验．3．对称问题，要注意两点：垂直和中点．基础训练题 一、选择题1． 曲线x 2＋4y 2＋D x ＋2E y ＋F ＝0与x 轴有两个交点，且这两个交点在原点的两侧的充要条件是 （ ） A ．D ≠0，E ＝0，F ＞0 B ．E ＝0，F ＜0 C ．D 2－F ＞0 D ．F ＜0 2． 若椭圆193622=+y x 的弦被点（4，2）平分，则此弦所在直线的斜率为 （ ） A ．2 B ．－2C ．31D ．－213． 经过抛物线)0(22>=p px y 的所有焦点弦中，弦长的最小值为 （ ） A ．p B ．2p C ．4p D ．不确定4． 过双曲线1222=-y x 的右焦点作直线l ，交双曲线于A 、B 两点，若∣AB ∣=4，则这样的直线l 有（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条5． （华师大二附中2005年模拟试卷2） 直线l ：y ＝kx ＋1(k ≠0)椭圆E ：1422=+y m x ，若直线l 被椭圆E 所截弦长为d ，则下列直线中被椭圆E 截得的弦长不是d 的是 （ ） A ．kx ＋y ＋1＝0 B ．kx －y －1＝0 C ．kx ＋y －1＝0 D ．kx ＋y ＝06． 椭圆mx 2＋ny 2＝1与直线y ＝1－x 交于M 、N 两点，过两点O 与线段MN 之中点的直线的斜率为22，则xnm的值是 （ ）A ．22B ．332 C ．229D ．2732二、填空题7． 已知直线x －y ＝2与抛物线y 2－4x 交于A 、B 两点，那么线段AB 的中点坐标是 .8． 对任意实数k ，直线y ＝kx ＋b 与椭圆⎩⎨⎧==θθs i n 4c o s 2y x (0≤θ＜2π)恒有公共点，则b 的取值范围是 ．9． 已知抛物线y 2＝4x 的一条弦AB ，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，AB 所在直线与y 轴交点坐标为（0，2），则2111y y +＝ ．10．若直线mx ＋ny －3＝0与圆x 2＋y 2＝3没有公共点，则m 、n 的关系式为___________;以(m ，n )为点P 的坐标，过点P 的一条直线与椭圆13722=+y x 的公共点有____个.三、解答题 11．已知直线l 交椭圆162022y x +＝1于M 、N 两点，B(0，4)是椭圆的一个顶点，若△BMN 的重心恰是椭圆的右焦点，求直线l 的方程.12．已知直线y ＝(a ＋1)x －1与曲线y 2＝ax 恰有一个公共点，求实数a 的值.13．（05重庆）已知椭圆C 1的方程为1422=+y x ，双曲线C 2的左、右焦点分别为C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点． (1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与椭圆C 1及双曲线C 2恒有两个不同的交点，且l 与C 2的两个交点A 和B 的满足6<⋅(其中O 为原点)，求k 的取值范围． 提高训练题14．已知椭圆的一个顶点为A(0，－1)，焦点在x 轴上，若右焦点到直线022=+-y x 的距离为3． ⑴ 求椭圆的方程；⑵ 设椭圆与直线y ＝kx ＋m (k ≠0)相交于不同的两点M 、N ，当AN AM =时，求m 的取值范围．15．（04湖南）过抛物线x 2＝4y 的对称轴上任一点P(0，m )(m ＞0)，作直线与抛物线交于A 、B 两点，点Q 是点P 关于原点的对称点． (Ⅰ)设点P 分有向线段所成的比为λ，证明：)(λ-⊥；(Ⅱ)设直线AB 的方程是x －2y ＋12＝0，过A 、B 两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程．8．5 轨迹方程知识要点1．直接法求轨迹的一般步骤：建系设标，列式表标，化简作答（除杂）．2．求曲线轨迹方程，常用的方法有：直接法、定义法、代入法（相关点法、转移法）、参数法、交轨法等．例题讲练【例1】一动圆与圆x2＋y2＋6x＋5＝0外切，同时与圆x2＋y2－6x－91＝0内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线．【例2】已知抛物线过点N(1，－1)，且准线为l：x ＝－3，求抛物线顶点M的轨迹．【例3】已知直线l与椭圆12223=+byax(a>b>0)有且仅有一个交点Q，且与x轴、y轴交于R、S，求以线段SR 为对角线的矩形ORPS的顶点P的轨迹方程．【例4】已知点H（0，－3），点P在x轴上，点Q 在y轴正半轴上，点M在直线PQ上，且满足PMHP⋅＝0，MQPM23-=．(1) 当点P在x轴上移动时，求动点M的轨迹曲线C 的方程；(2) 过定点A（a，b）的直线与曲线C相交于两点S、R，求证：抛物线S、R两点处的切线的交点B恒在一条直线上．小结归纳1．直接法求轨迹方程关键在于利用已知条件，找出动点满足的等量关系，这个等量关系有的可直接利用已知条件，有的需要转化后才能用．2．回归定义是解决圆锥曲线轨迹问题的有效途径．3．所求动点依赖于已知曲线上的动点的运动而运动，常用代入法求轨迹．4．参数法求轨迹关键在于如何选择好参数，建立起x ，y 的参数方程，以便消参，选择n 个参数，要建立n ＋1个方程，消参时，要注意等价性．5．求轨迹比求轨迹方程多一个步骤，求轨迹最后须说明轨迹的形状、大小、位置、方向．基础训练题 一、选择题1． 已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得| PQ |＝| PF 2 |，那么动点Q 的轨迹是 ( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线的一支 D ．抛物线2． 动点P 与定点)0,1(,)0,1(B A -的连结的斜率之积为1-，则P 点的轨迹方程是( ) A ．x 2＋y 2＝1 B ．x 2＋y 2＝1)1(±≠x C ．x 2＋y 2＝1)0(≠x D ．21x y -=3． 已知动点P(x 、y )满足1022)2()1(-+-y x ＝|3x ＋4y＋2|，则动点P 的轨迹是（ ）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．无法确定4． 设P 为椭圆12222=+by a x 上一点，过右焦点F 2作∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，垂足为Q ，则点Q 的轨迹是（ ） A ．直线 B ．抛物线 C ．圆 D ．双曲线 5． 设P 为双曲线12222=-b y a x 上一点， 过右焦点F 2作∠F 1PF 2的内角平分线的垂线，垂足为Q ，则点Q 的轨迹是 （ ） A ．圆 B ．抛物线 C ．直线 D ．椭圆 6． 已知点P(x ，y )在以原点为圆心，半径为1的圆上运动，则点(x ＋y ，xy )的轨迹是 （ ） A ．半圆 B ．抛物线的一部分 C ．椭圆 D ．双曲线的一支二、填空题7． 长为2a 的线段AB 的两个端点分别在x 轴、y 轴上滑动，则AB 中点的轨迹方程为 ．8． 经过定点M(1，2)，以y 轴为准线，离心率为21的椭圆左顶点的轨迹方程 ． 9． 已知抛物线)(12R m mx x y ∈-+-=，当m 变化时抛物线焦点的轨迹方程为 ． 10．（04北京）在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 是侧面BB 1C 1C 内一动点，若P 到直线BC 与到直线C 1D 1的距离相等，则动点P 的轨迹是 ．三、解答题 11．以动点P 为圆心的圆与圆A ：(x ＋5)2＋y 2＝49及圆B ：(x －5)2＋y 2＝1都外切，求动点P 的轨迹.12．已知双曲线2222ny m x -＝1(m ＞0，n ＞0)的顶点为A 1、A 2，与y 轴平行的直线l 交双曲线于点P 、Q. (1) 求直线A 1P 与A 2Q 交点M 的轨迹方程； (2) 当m ≠n 时，求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率.13．设直线l ：y ＝kx ＋1与椭圆C ：ax 2＋y 2＝2(a ＞1)交于A 、B 两点，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAPB （O 为坐标原点）．(1)若k ＝1，且四边形OAPB 为矩形，求a 的值； (2)若a ＝2，当k 变化时，(k ∈R)，求点P 的轨迹方程．提高训练题14．设椭圆方程为1422=+y x ，过点M(0，1)的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 是坐标原点，点P 满足)(21OB OA OP +=，点N 的坐标为)21,21(，当l 绕点M 旋转时，求：(1) 动点P 的轨迹方程； (2) ||NP 的最小值与最大值.A1。
高考数学一轮复习教学设计
高考数学一轮复习教学设计一、教学目标本教学设计旨在帮助学生通过一轮复习，全面巩固高考数学的核心知识和解题技巧，达到以下教学目标：1. 理解并掌握高考数学各个章节的基础概念和相关定理；2. 熟悉并灵活运用各类数学问题的解题思路和方法；3. 培养学生的逻辑思维能力和数学建模能力；4. 提高学生的解决实际问题的能力和创新思维。
二、教学内容本教学设计重点涵盖高考数学的各个章节，具体内容安排如下：1. 高中数学知识的复习和巩固（8周）第一周：复习数列与数列的应用第二周：复习函数与函数的应用第三周：复习概率与统计第四周：复习立体几何第五周：复习三角函数第六周：复习向量与坐标系第七周：复习复数与平面几何第八周：复习解析几何2. 完形填空和阅读理解的练习（2周）第九周：完形填空练习第十周：阅读理解练习3. 写作和小作文的练习（2周）第十一周：写作练习第十二周：小作文练习三、教学方法1. 理论教学与实践相结合：通过教师讲解和示范，学生进行练习和解题，深化对数学知识的理解和应用。
2. 合作学习：鼓励学生分组合作，共同解决难题和研究数学问题，培养学生的团队合作精神和解决问题的能力。
3. 案例分析法：通过精选的数学题目和实际问题，引导学生运用所学知识解决实际问题，提高解决问题的能力和创新思维。
4. 异彩纷呈的教学手段：利用多媒体、模拟教学等手段，让学生在轻松的氛围中学习数学，激发学生对数学学习的兴趣和学习动力。
四、教学评估1. 课堂小测验：每周一次的课堂小测验，检验学生对本周所学内容的掌握情况。
并及时反馈评估结果，帮助学生发现问题，加强薄弱环节。
2. 月度模拟考试：每个月进行一次模拟考试，帮助学生了解自己的学习进度和存在的问题，督促学生在复习过程中不断提高，做到知识的全面复习。
3. 个人学习计划：每个学生制定个人学习计划，定期与教师进行学习情况的交流和反馈，在自主学习的基础上加强巩固和复习。
五、教学资源1. 教材：根据学生的实际情况选择适合的高考数学教材，如人民教育出版社的《高中数学》教材。
(新课标)2020年高考数学一轮总复习第八章平面解析几何8_1直线的倾斜角与斜率、直线的方程课件文新人教A版
＝
a b
<0，又倾斜角的取值范围为[0，π)，故直线PQ的倾斜
角的取值范围为π2，π.
(2)当 a＝－1 时，直线 l 的倾斜角为 90°，符合要求；当 a≠－1 时，直线 l 的斜率 为－a＋a 1， 则有－a＋a 1>1 或－a＋a 1<0，解得－1<a<－12或 a<－1 或 a>0.综上可知，实数 a 的 取值范围是－∞，－12∪(0，＋∞)．
考点三|两条直线的位置关系 (方法突破)
【例3】 (1)“a＝0”是“直线l1：(a＋1)x＋a2y－3＝0与直线l2：2x＋ay－2a－1
＝0平行”的( )
A．充分不必要条件
B.必要不充分条件
C．充要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是( )
名师点拨 判断两直线平行或垂直的两个策略 (1)设A2B2C2≠0，两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行的充要条 件为AA12＝BB12≠CC12.更一般地，两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行 的充要条件为A1B2－A2B1＝0，A1C2－A2C1≠0. (2)利用两直线的斜率判定两直线的平行、垂直关系时，注意斜率不存在的情况不 能忽略．
ax＋by＝1 (a≠0，b≠0)
一般式
Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0)
不含直线x＝x1(x1＝x2) 和直线y＝y1(y1＝y2)
不含垂直于坐标轴和 过原点的直线 平面直角坐标系内的 直线都适用
5.线段的中点坐标公式
若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1，P2的中点M的坐标为(x，
第9讲 定点问题-2021届高三数学一轮复习解析几何专题复习训练
第九讲 定点问题题型分析，主要是考察直线过定点，圆过定点等 直线过定点问题解题方式一般分两种：①假设直线y kx b =+，通过求解出,k b 的关系求解定点②两动点坐标通过某参数表示，假设定点坐标00(,)x y ，利用斜率相等求出定点坐标简单引理1.已知直线方程(2)(12)430x y λλλ++-+-=.求证不论λ取何实数值，此直线必过定点；2.求解过点22222220211k k k k A k k-++++（,）,B(,)的直线过哪个定点.直线过定点1.已知椭圆14:22=+y x C ，过点)0,1(T 的动直线l 交椭圆C 于B A ,两点，A 关于x 轴的对称点为A '，问直线B A '是否经过x 轴上的一个定点？若是，求出定点坐标；不是，说明理由.2.已知左焦点为F (－1，0)的椭圆过点E (1)．过点P (1，1)分别作斜率为k 1，k 2的椭圆的动弦AB ，CD ，设M ，N 分别为线段AB ，CD 的中点． （1）求椭圆的标准方程；（2）若P 为线段AB 的中点，求k 1；（3）若k 1+k 2=1，求证直线MN 恒过定点，并求出定点坐标．3.已知A 、B 是抛物线y 2=2p x (p >0)上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β，当α、β变化且α+β=4π时，证明直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标。
4.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -+相切．⑴求椭圆C 的方程；⑵设(4,0)P ，M 、N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PN 交椭圆C 于另一点E ，求直线PN 的斜率的取值范围； ⑶在⑵的条件下，证明直线ME 与x 轴相交于定点．5.在直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F ，)2,0F 的距离之和是4，点M 的轨迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ．⑴求轨迹C 的方程；⑵当0AP AQ ⋅=时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点．6.已知椭圆C 中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，短轴长为（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线l ：()0y kx m k =+≠与椭圆交于不同的两点M N 、（M N 、不是椭圆的左、右顶点），且以MN 为直径的圆经过椭圆的右顶点A ．求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标．7.已知椭圆的焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线24x y =的焦点，离心率25e =，过椭圆的右焦点F 作与坐标轴不垂直的直线l ，交椭圆于A 、B 两点。
人教版导与练总复习数学一轮教学课件：第八章平面解析几何(选择性必修第一册)
人教版导与练总复习数学一轮教学课件：第八章平面解析几何（选择性必修第一册）本节内容包括直线的定义、直线的斜率、直线的方程以及点斜式、两点式和截距式等三种直线方程的推导和应用。
重点介绍如何根据斜率和已知点确定直线方程，以及如何根据两点确定直线方程。
同时，还讲述了直线方程的性质和应用场景。
本节内容主要介绍直线与直线的位置关系，包括重合、平行和相交等情况。
通过线段之间的相交和角的关系，引入了重要的判定定理：两直线平行的充分必要条件、两直线垂直的充分必要条件等。
同时，还通过例题和题对知识点进行了巩固和拓展。
本节内容包括圆的定义、圆的标准方程以及一般方程的推导和应用。
重点介绍了如何根据圆心和半径确定圆的方程，以及如何根据已知条件确定圆的方程。
同时，还讲述了圆的方程的性质和应用场景。
将上述内容按照大纲进行扩写，使用简洁的语言描述，不进行内容总结。
本节内容包括圆的定义、圆的标准方程以及一般方程的推导和应用。
重点介绍了如何根据圆心和半径确定圆的方程，以及如何根据已知条件确定圆的方程。
同时，还讲述了圆的方程的性质和应用场景。
将上述内容按照大纲进行扩写，使用简洁的语言描述，不进行内容总结。
本节内容主要介绍直线与圆的位置关系，包括相切、相交和不相交等情况。
通过切线和弦的性质，引入了切线定理和割线定理等重要的判定定理。
同时，还通过例题和题对知识点进行了巩固和拓展。
本节内容主要介绍抛物线、椭圆和双曲线的方程。
通过给出焦点、准线和离心率等已知条件，讲述了如何确定二次曲线的方程。
同时，还讲述了二次曲线的性质和应用场景。
本节内容主要介绍抛物线、椭圆和双曲线的方程。
通过给出焦点、准线和离心率等已知条件，讲述了如何确定二次曲线的方程。
同时，还讲述了二次曲线的性质和应用场景。
第8讲 齐次化与点乘双根法--新高考数学大一轮复习真题源解析几何专题讲义
新高考数学大一轮复习第8讲 齐次化与点乘双根法一、问题综述（1）齐次化1．齐次化原理：若直线y kx m =+与二次曲线220ax by cxy dx ey f +++++=相交于A ，B ，如图所示，设点A 、B 的坐标分别为11(,)x y 、22(,)x y ，则11OA y k x =，22OB y k x =．现将二次曲线方程220ax by cxy dx ey f +++++=齐次化的方法如下：首先将直线化出“1”： 将直线y kx m =+化为截距式1y kxm-=； 其次利用“1”构建关于x 、y 的齐次方程，操作方法是对二次曲线方程二次方项保持不变，一次方项同乘以“1”，常数项同乘以“1”的平方，则可把二次曲线方程变为：222()0y kx y kx y kx ax by cxy dx ey f m m m---+++⋅+⋅+⋅=， 将其化简得：2222220bm e f cm d ke kf am fk kdm y xy x m m m +++--+-++=*， 为了简化运算，记bm e f A m ++=，2cm d ke kf B m+--=，222am fk kdmC m +-=，则方程*可化为：220Ay Bxy Cx ++=；最后我们对该齐次式两边同时除以2x 可得：2()0y yA B C x x++=， 因为A ，B 是直线y kx m =+与二次曲线220ax by cxy dx ey f +++++=的交点，所以点11(,)A x y ，点22(,)B x y 满足方程2()0y yA B C x x++=，因此11OA y k x =，22OB y k x =是方程2()0y yA B C x x++=的两个根，由韦达定理可得OA OB OA OB B k k AC k k A⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩（240B AC ∆=->）．2．齐次化适用范围：由原理可知齐次化适应于处理解决曲线上的点与坐标系原点连线有关的斜率运算问题，常见类型如：OA OB k k +，OA OB k k ⋅，OA OB k k -，22OA OBk k +，11OA OB k k +，||||OA OB k k +， 前面两个考题相对比较常见，后面的则需要变形才能使用，变形如下：OA OB k k -22OA OB k k +11OA OB OA OB OA OBk k k k k k ++=⋅． ||||OA OB k k +这个需要根据韦达定理判断符号再变形．在遇到上述关于斜率运算问题时，采取齐次化处理往往能达到简化运算的目的． 二、典例分析类型一：定点在坐标原点的斜率问题【例1】已知直线4y kx =+交椭圆2214x y +=于A ，B 两点，O 为坐标原点，若2OA OB k k +=，求该直线方程．【解析】法一（齐次化解法）：设11(,)A x y ，22(,)B x y ， 步骤1：构建关于x 、y 的齐次式：将直线变形为14y kx -=代入2214x y +=进行“1”的代换得222()44x y kx y -+=，整理得222152(4)0y kxy k x ++-=； 步骤2：构建关于斜率yk x=的方程： 因为0x ≠，方程两边同除以2x ，得2215()2()(4)0y yk k x x++-=；步骤3：利用韦达定理转化目标：易知11OA y k x =和22OB y k x =是方程2215()2()(4)0y y k k x x++-=的两个根，由韦达定理得2215OA OB kk k -+==，即15k =-，故所求直线方程为154y x =-+．法二（常规解法）：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立22414y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩①②， ①代入②消去y 得 22(41)32600k x kx +++=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1223241k x x k +=+，1226041x x k =+， 所以1212121244OM ON y y kx kx k k x x x x +++=+=+12124()3222215x x k k k x x +=+=+=， 解得15k =-，故所求直线方程为154y x =-+．【方法小结】本题属于曲线上的两个点与原点连线的斜率之和为定值（斜率之积为定值也可以用本法）问题，通过对直线变形，采取“1”的巧用，一般二次方不变，一次方项直接乘以“1”，常数项乘以“1”的平方，从而构建关于x ，y 的二元二次的齐次方程，再两边同时除以2x 得到一个是以原点与曲线上连线的斜率k 为根的一元二次方程，再借助韦达定理使得问题运算得到简化，我们把这种操作手法称之为“齐次化”．推论1：已知直线y kx m =+交椭圆22221x y a b+= (0)a b >>于A ，B 两点，O 为坐标原点，若OA OB k k λ+=(0)λ≠，则该直线的斜率为222()2b m k b λ-=．推论2：已知直线y kx m =+交双曲线22221x y a b-= (0,0)a b >>于A ，B 两点，O 为坐标原点，若OA OB k k λ+=(0)λ≠，则该直线的斜率为222()2b m k b λ+=．推论3：已知直线y kx m =+交抛物线22x py = (0)p >于A ，B 两点，O 为坐标原点，若OA OB k k λ+=(0)λ≠，则该直线的斜率为k λ=．变式训练1：已知抛物线C 的方程为22y px =，若直线y kx b =+与抛物线C 相交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆过坐标原点，证明直线y kx b =+过定点．【证明】因为以AB 为直径的圆过坐标原点，所以OA OB ⊥，即1OA OB k k ⋅=-． 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则11OA y k x =，22OB y k x =．将直线y kx b =+变形得1y kx b b -=，记1m b =，kn b=-，则直线可化为1my nx +=，将“1”代入抛物线C 的方程得22()y px my nx =+，整理得22220y pmxy pnx --=，因为0x ≠，方程两边同除以2x ，得2()220y ypm pn x x--=，易知11OA y k x =和22OB y k x =是方程2()220y ypm pn x x--=的两个根，由韦达定理得21OA OB k k pn ⋅=-=-，即12n p=，代入求直线方程1my nx +=得112my x p+=，即22x pmy p =+， 当0y =时，2x p =，故直线恒定过点(2,0)p ．类型二：定点不在坐标原点的斜率问题（平移坐标系）【例2】已知椭圆C 过点3(1,)2A ，两个焦点为(1,0)-，(1,0)．（I ）求椭圆C 的标准方程；（II ）E ，F 是椭圆上的两个动点，（1）如果直线AE 的斜率与AF 的斜率之和为2，证明直线EF 恒过定点；（2）如果直线AE 的斜率与AF 的斜率之积为2，证明直线EF 恒过定点．【分析】本题定点3(1,)2A 不再是坐标原点，若坐标系原点平移到与3(1,)2A 重合，则问题就转化为定点为坐标原点的类型，则可以采取类型一的齐次化解法．【解析】（I ）椭圆C 的标准方程为22143x y +=，过程略；（II ）法一：（平移构造+齐次化）平移坐标系．【解析】平移坐标系，使得坐标原点和点3(1,)2A 重合，则132x x y y '=+⎧⎪⎨'=+⎪⎩，得新坐标系x Oy ''中，在新坐标系中，椭圆方程为223()(1)2143yx '+'++=，化简得 22346120x y x y ''''+++= ①，直线EF 平移后变为E F ''，其方程不妨设为1mx ny ''+=，代入①构建齐次式得2234x y ''+6()12()0x mx ny y mx ny ''''''++++=，整理得22(412)(612)(36)0n y n m x y m x ''''+++++=，两边同除以2x '得2(412)()(612)(36)0y y n n m m x x ''+++++=''②， 易知AE k '和AF k '是方程②的两个根，由韦达定理得6122412AE AF n mk k n''++=-=+，化简得641515n m =--，代入直线1mx ny ''+=得64()11515mx m y ''+--=，整理得64()101515m x y y '''---=，直线E F ''恒过6015x y ''-=和直线41015y '--=的交点315(,)24--，则直线EF 恒定过点19(,)24--．(2) 362412AE AF m k k n ''+⋅==+，即546m n =+，直线E F ''的方程为5(4)106n x y x '''++-=，直线E F ''恒过40x y ''+=和直线5106x '-=的交点610(,)53-，则直线EF 恒定过点1133(,)510-．法二：（平移构造+齐次化）平移直线和平移椭圆．【解析】设直线EF 的方程为y kx m =+，即33(1)22y k x k m -=-++-，变形得3(1)2132y k x k m ---=+-，将椭圆22143x y +=变形为2233[()][(1)1]22143y x -+-++=展开整理得22333(1)4()6[(1)2()]1022x y x y -+-+-+-⋅=，将直线进行“1”的代换得223(1)3323(1)4()6[(1)2()]03222y k x x y x y k m ----+-+-+-⋅=+-，去分母化简得2233394()()6(12)(1)()(33)(1)02222k m y k x y m k x ++-+---+---=，等式同除以2(1)x -得23339224()()6(12)3302112y y k m k m k x x --+++-+--=--*， 因此321y x --是方程*的实数根，设11(,)E x y ，22(,)F x y ， 则11321AEy k x -=-和22321AE y k x -=-是方程*的两个实数根，① 由韦达定理得：6(12)234()2AE AE k k k k m --+==++，即3(12)446k k m --=++，即249k m =+， 代入直线EF 的方程得2919()424k y kx k x -=+=+-， 所以直线EF 恒定过定点19(,)24--．②由韦达定理得9332234()2AE AEm k k k k m --⋅==++，所以331125k m +=-， 代入直线EF 的方程为331111332()5510k y kx k x +=+=---， 所以直线EF 恒定过定点1133(,)510-． 法三：（常规解法）．【解析】设11(,)E x y ，22(,)F x y ，直线EF 的方程为y kx b =+，联立22143y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(34)84120k x kbx b +++-=，由韦达定理得122834kb x x k +=-+，212241234b x x k -=+．由题意知，12123322211AE AFy y k k x x --+=+=--，即12123322211kx b kx b x x +-+-+=--， 去分母得 12211233()(1)()(1)2(1)(1)22kx b x kx b x x x +--++--=--，整理得12121(22)()()1202k x x b k x x b -+-+++-=，代入韦达定理得22412(22)34b k k --⋅+218()()120234kb b k b k+-+-+-=+， 去分母整理得22824274640b k kb b k +-++-=，即228(46)(42427)0b k b k k ++--+=， 即28(46)(29)(23)0b k b k k ++---=，即[4(29)][2(23)]0b k b k --+-=，故924k b =-，或32b k =-+． 当924k b =-时，直线EF 19()24y kx b k x =+=+-恒过定点19(,)24--；当32b k =-+时，直线EF 的方程为3(1)2y kx b k x =+=-+恒过定点3(1,)2与A 点重合，不符合题意，舍去．综上：直线EF 恒过定点19(,)24--．【方法小结】解法三是常规方法，需要较强代数恒等变形能力；解法一和解法二通过平移构造二元二次齐次式，使得运算难度大大降低，及时处理的过程有所不同．对于曲线上两个点与定点连线斜率问题，当定点不在作用原点时，往往可以像解法一一样把坐标系原点平到定点处，然后按照定点为原点的处理方法求解，但是最后一定记得把求解结果平移回去；当然也可以按照解法二的方法来处理，但是这个计算往往没有解法一那么简洁．解法二的操作方法如下:一般地，构造齐次方程的方法为：设定点(,)P a b ，直线与曲线的交点为11(,)A x y ，22(,)B x y ，将圆锥曲线的方程及直线方程都转化为关于()x a -，()x b -的方程，使直线方程具有()()1y b k x a m -+-=的形式，在圆锥曲线的方程中，二次项不变，一次项乘以()()y b k x a m -+-，常数项乘以2()()[]y b k x a m-+-，即构造成为关于()x a -，()x b -的齐次方程，然后等式两边同乘以()()x a x b --，从而使得所研究直线的斜率为该方程的两个根，达到简化数学运算的目的． 现把一些常见的曲线定点不在坐标原点的结论归纳如下：命题1：过椭圆22221x y a b+= (0)a b >>上一定点(,)P s t （P 不是椭圆顶点）作两条直线分别交椭圆于A ，B 两点，使这两条直线的斜率之和等于λ（λ为常数），则（1）当0λ≠时，直线AB 恒过一个定点，且定点为2222(,)tb ss t a λλ---； （2）当0λ=时，直线AB 的斜率为定值22b sa t．命题2：过椭圆22221x y a b+= (0)a b >>上一定点(,)P s t （P 不是椭圆顶点）作两条直线分别交椭圆于A ，B 两点，使这两条直线的斜率之积等于λ（λ为常数），则（1）当22b a λ≠时，直线AB 恒过一个定点，且定点为22222222(,)a b a b s t a b a b λλλλ++---； （2）当22b aλ=时，直线AB 的斜率为定值s t -．命题3：过双曲线22221x y a b-= (0,0)a b >>上一定点(,)P s t （P 不是双曲线顶点）作两条直线分别交双曲线于A ，B 两点，使这两条直线的斜率之和等于λ（λ为常数），则（1）当0λ≠时，直线AB 恒过一个定点，且定点为2222(,)tb ss t a λλ--+； （2）当0λ=时，直线AB 的斜率为定值22b sa t-．命题4：过双曲线22221x y a b-= (0,0)a b >>上一定点(,)P s t （P 不是双曲线顶点）作两条直线分别交双曲线于A ，B 两点，使这两条直线的斜率之积等于λ（λ为常数），则（1）当22b a λ≠-时，直线AB 恒过一个定点，且定点为22222222(,)a b a b s t a b a b λλλλ---++； （2）当22b aλ=-时，直线AB 的斜率为定值s t -．命题5：若点00(,)P x y 是抛物线22y px =(0)p >上一点，过点P 引直线1l 和2l 与抛物线相交于A ，B 两点． （1）若0AP BP k k +=时，则0AB pk y =-； （2）若AP BP k k r +=时，则直线AB 恒定过点00022(,)y px y r r --； （3）若AP BPk k r ⋅=时，则直线AB 恒定过点002(,)px y r--．变式训练2：若A ，B 为抛物线C ：22y px =上两点，且以AB 为直径的圆过点()P p ，证明：直线AB 过定点．【证明】因为以AB 为直径的圆过点P ，所以PA PB ⊥，即1PA PB k k ⋅=-． 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则11PAy k x =，22PB y k x =．令x x py y '=+⎧⎪⎨'=+⎪⎩，代入抛物线方程C 得：2()2()y p x p ''=+，整理得：220y px '''+-=*，不妨设直线AB 的方程为：1mx ny ''+=，将其代入*式得：2()2()0y mx ny px mx ny '''''''++-+=， 化简得：22(1)(2)20y pn x y pmx ''''++--=，因为0x ≠，方程两边同除以2x ，得2(122)()(222)20y y pn pm pn pm x x ''++--=''①， 易知11PA y k x ''='和22PB y k x ''='是方程①的两个根， 由韦达定理得21122PA PB pm k k pn''⋅=-=-+，即122m n p =+，代入求直线方程1(2)12n x ny p''++=得1(2)102y n x p''++-=， 所以直线A B ''过20y '+=和1102x p'-=的交点，即(2,2)p -， 利用变换2x x py y p'=+⎧⎪⎨'=+⎪⎩将其平移回原坐标系得(3,22)p p -，故直线恒定过点(3,22)p p -．类型三：齐次化方法在等角问题中的应用【例3】设椭圆C ：2212x y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，点M 点坐标为(2,0)．（1）当直线l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠． 【解析】（1）1x =，过程略．（2）法一: （平移构造+齐次化）方法识别：OMA OMB ∠=∠等价于0AM BM k k +=，故可以用平移构造和齐次化来处理． 将椭圆C ：2212x y +=和直线AB ：1x my =+按照2x x y y '=+⎧⎨'=⎩平移至以点M 为坐标原点，得22(2)12x y '-'+=和21x my ''+=+，即222220x y y '''+++=，将1my x ''-=代入222420x y x '''+++=构造齐次化得22224()2()0x y x my x my x '''''''++-+-=，整理得222(22)0m y x ''+-= *．设平移后设11(,)A x y '''，22(,)B x y '''，则11MA y k x ''='，22MB y k x ''='．易知MA k '和MB k '是方程*的两个根，由韦达定理得0MA MB k k ''+=，根据平移角度不变知，0AM BM k k +=， 故有OMA OMB ∠=∠．法二: （常规解法）设11(,)A x y ，11(,)B x y ，直线AB ：1x my =+，与C 联立得：22(2)210m y my ++-=，由韦达定理得12222m y y m -+=+，12212y y m -=+， 要证OMA OMB ∠=∠，即证0AM BM k k +=， 即证1212022y yx x +=--⇔1221(2)(2)0y x y x -+-=， 用1x my =+消去x 得：12122()0my y y y -+=， 代入韦达定理得：22202m mm -+=+，命题得证．【方法小结】1．本例中M 为椭圆的右准线与x 轴的交点：即本来结论是：设椭圆的右准线与x 轴的交点为M ，过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于A ，B 两点，则x 轴平分角AMB ∠，即OMA OMB ∠=∠，或者说直线MA 和直线MB 的倾斜角互补（即斜率之和为零）．2．本题结论还可以推广到抛物线：设M 为抛物线的准线与x 轴的交点，过抛物线的焦点F 的直线与抛物线相交于A ，B 两点，则x 轴平分角AMB ∠，即FM A FM B ∠=∠，或者说直线MA 和直线MB 的倾斜角互补（即斜率之和为零）．等角问题的推广：结论1：过抛物线线外一点P 作抛物线的切线PA ，PB ，则AFP BFP ∠=∠．结论2：过椭圆外一点P 作椭圆的切线PA ，PB ，则AFP BFP ∠=∠．变式训练1：（2018年高考课标卷1文科第20题）设抛物线C ：22y x =，点(20)A ，，(20)B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； （2）证明：ABM ABN =∠∠．解析：（1）当l 与x 轴垂直时，l 的方程为2x =，可得M 的坐标为(2,2)或(2,2)-． 所以直线BM 的方程为112y x =+或112y x =--． （2）法一：（齐次化解法）要证ABM ABN =∠∠，只需证0BM BN k k +=．当l 与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线，所以ABM ABN =∠∠． 当l 不与x 轴垂直时，设直线l 的方程为2x my =+， 将坐标系原点按2x x y y '=-⎧⎨'=⎩平移至B 点，则在新坐标系中得到抛物线方程和直线方程分别为22(2)y x ''=-，22x my ''-=+，将直线化为14x my ''-=，整理22(2)y x ''=-得:2240y x ''-+=， 将直线代入构建齐次方程得222()4()044x my x my y x ''''--''-+=， 化简得：222(4)0m y x ''+-=，设平移后11(,)M x y '''，22(,)N x y ''，则BM k '和BN k '是方程222(4)0m y x ''+-=的两个根， 由韦达定理得0BM BN k k ''+=，因为平移角度不变，所以0BM BN k k +=，故证ABM ABN =∠∠． 法二：（常规方法）当l 与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线，所以ABM ABN =∠∠．当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为(2)y k x =-(0)k ≠，11(,)M x y ，22(,)N x y ，则10x >，20x >． 由2(2)2y k x y x =-⎧⎨=⎩，得2240ky y k --=，可知122y y k+=，124y y =-． 直线BM ，BN 的斜率之和为1221121212122()22(2)(2)BM BN y y x y x y y y k k x x x x ++++=+=++++．① 将112y x k=+，222y x k =+及12y y +，12y y 的表达式代入①式分子，可得121221121224()882()0y y k y y x y x y y y k k++-++++===．所以0BM BN k k +=．可知BM ，BN 的倾斜角互补，所以ABM ABN =∠∠． 综上，ABM ABN =∠∠． 法三：（常规方法）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线MN ：2x my =+，与C 联立2240y my --=， 由韦达定理得122y y m +=，124y y =-． 1212022BM BN y y k k x x +=+=++⇔1221(2)(2)0y x y x +++=， 代入2x my =+消去x 得:1221(4)(4)y my y my +++121224()my y m y y =++，代入韦达定理得2(4)420m m m ⨯-+⨯=，命题得证．变式训练2：（2013年数学高考陕西卷理科）已知动圆过定点(4,0)A ，且在y 轴上截得弦长MN 的长为8． （1）求动圆圆心的轨迹C 的方程；（2）已知点(1,0)B -，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两个点P ，Q ，若x 轴是PBQ ∠的角平分线，证明：直线l 过定点．（1）动圆圆心轨迹方程为：28y x =；（2）【证明】将坐标系原点按照1x x y y '=-⎧⎨'=⎩平移到B 点，则在新坐标系中，C 的轨迹方程为28(1)y x ''=-，即2880y x ''-+=*，设平移后直线l 的方程为1mx ny ''+=，将其代入*式化为齐次式得228()8()0y x mx ny mx ny ''''''-+++=， 化简得22(81)(168)n y mn n x y '''++-22(88)0m m x '+-=，因为0x '≠，两边同除以2x '得：22(81)()(168)y y n mn n x x ''++-''2(88)0m m +-=①， 设平移后11(,)P x y '''，22(,)Q x y '''，则11BP y k x ''='，22BQ y k x ''='．BP k '和BQ k '是方程①的两个根，由韦达定理得216881BP BQ mn nk k n ''-+=-+， 又因为x 轴是PBQ ∠的角平分线，所以2168081BP BQ mn n k k n ''-+=-=+，即1680mn n -=，所以12m =，所以112x ny ''+=，即(2)2n x y '-'=， 所以直线P Q ''过定点(2,0)，将定点(2,0)按照1x x y y '=-⎧⎨'=⎩平移原坐标系得(1,0)，所以PQ 过定点(1,0)，即直线l 过定点(1,0)． 二、点乘双根法及其应用1、点乘双根法的含义与原理：何谓点乘双根法呢？在大学数学中，把向量a ，b 的数量积a b ⋅叫做向量a 点乘向量b ，因此点乘得名；所谓双根是由初中的一元二次方程知识可知：若1x 和2x 是一元二次方程20ax bx c ++=的两个根，则212()()ax bx c a x x x x ++=--，我们把212()()ax bx c a x x x x ++=--叫做二次方程的双根式，所谓的点乘双根法就是构建双根式是去解决含12x x +和12x x 或者可转化为含含12x x +和12x x 的计算问题，其中以向量的数量积有关的问题为最常见．点乘双根法的原理：点乘双根法是通过对双根式212()()ax bx c a x x x x ++=--进行赋值0x x =和0y y =，直接计算1020()()x x x x --和1020()()y y y y --的含参表达式，然后整体代入目标10201020()()()()PA PB x x x x y y y y ⋅=--+--，从而构建出关于参数的等式关系式，避免繁杂的计算，达到快速解题的目的（其中，点P 坐标00(,)x y 为已知定点，11(,)A x y ，22(,)B x y 为直线l 与圆锥曲线的交点）． 2、点乘双根法适用题型:在圆锥曲线中，遇到如PA PB m ⋅=（其中m 为常数）的形式，其中点P 是已知的点，A ，B 为直线l 与圆锥曲线的交点的问题时，可用点乘双根法以达到简化运算，快速解题的目的． 3、点乘双根法解题范式：下来以一个例题来讲解一下点乘双根法应用范式．【例题】椭圆C ：22143x x +=，若直线l ：y kx m =+与椭圆C 交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以直线AB 为直径的圆恒过椭圆C 的右顶点．求证：直线l 恒过定点，并求出该点的坐标．步骤1：联立方程，构建双根式设椭圆的右顶点为(2,0)E ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，所以1212(2)(2)0EA EB x x y y ⋅=--+=， 联立22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，化简得： 222(34)84(3)0k x mkx m +++-=，又因为1x ，2x 是方程222(34)84(3)0k x mkx m +++-=的两个根，所以222(34)84(3)k x mkx m +++-212(34)()()k x x x x =+-- ①步骤2：赋值点乘双根法赋值目的是为了对目标1212(2)(2)0EA EB x x y y ⋅=--+=中的12(2)(2)x x --和12y y 进行整体代换以达到简化计算的目的，故对双根式①中的x 进行赋值2x =得224(34)164(3)k mk m +++-212(34)(2)(2)k x x =+--，整体求出12(2)(2)x x --2221616434k mk m k ++=+ ②．接下来先求出12y y ，2121212()()()()m m y y kx m kx m k x x k k =++=++，只需对双根是进行赋值mx k=-，并两边同时乘以2k 可得21212()()m m y y k x x k k=++22231234m k k -=+ ③． 步骤3：变形代入将②和③整体代入1212(2)(2)0EA EB x x y y ⋅=--+=，可得2222221616431203434k mk m m k k k ++-+=++，即2241670k mk m ++=，分解因式得(72)(2)0m k m k ++=，∴27m k =-或2m k =-，当27m k =-时，直线l y kx m =+2()7k x =-，故直线恒过定点2(,0)7．当2m k =-时，直线l y kx m =+(2)k x =-，故直线恒过定点(2,0)，舍去．4、典型例题【例1】(2012年重庆理科第20题)设椭圆中心在原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左右顶点分别为1F ，2F ，线段1OF ，2OF 中点分别为1B ，2B ，且12AB B ∆是面积为4的直角三角形． （1）求其椭圆的方程（2）过1B 作直线l 交椭圆于P ，Q 两点，使22PB QB ⊥，求直线l 的方程．【解析】（1）221204x y +=，过程略．（2）法一：(点乘双根)易知：直线l 不与轴垂直，则设直线l 方程为：(2)y k x =+，11(,)P x y ，22(,)Q x y ， 因为22PB QB ⊥，则22=0PB QB ⋅，所以1122(2,)(2,)0x y x y --=，⇒21212(2)(2)(2)(2)0x x k x x --+++= ①现联立22(2)1204y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩⇒2225(2)200x k x ++-=则方程2225(2)200x k x ++-=可以等价转化212(15)()()0k x x x x +--= 即2222125(2)20(15)()()x k x k x x x x ++-=+--令2x =，221248020(15)(2)(2)k k x x +-=+--⇒21228016(2)(2)15k x x k ---=+令2x =-，2124020(15)(2)(2)k x x +-=+++⇒12216(2)(2)15x x k -++=+结合21212(2)(2)(2)(2)0x x k x x --+++=①化简可得：22280161601515k k k --+=++228016160k k --=⇒26416k =⇒214k =，∴12k =±，所以直线l 方程为：1(2)2y x =±+．法二：（点乘双根）若l 的斜率为0，则22//B P B Q ，所以l 的斜率不会为0．设l ：2x my =-，11(,)P x y ，22Q(,)x y ，则211(2,)B P x y =-，221(2,)B Q x y =-，所以221212(2)(2)0B P B Q x x y y ⋅=--+= ①，将112x my =-，222x my =-代入①得1212(4)(4)0my my y y --+= ②．当0m =时，l ：2x =-，经检验不符合题意； 当0m ≠时，②式变形得2121244()()0m y y y y m m--+= ③，联立2221204x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22212(2)520(5)()()0my y m y y y y -+-=+--=，令0y =，则212420(5)m y y -=+，即122165y y m -=+ ④； 令4y m =，则21228044420()()m y y m m m+-=--，即 1244()()y y m m--2280165m m -=+ ⑤， 将④⑤代入③得2222801616055m m m m --⋅+=++， 解得2m =±，所以l ：22x y =±-．【方法小结】由22PB QB ⊥，得22=0PB QB ⋅，故而按照点乘双根法的步骤去求解即可，方法一和方法二都是于点乘双根法，题目不同在于消去的元不一样，并无本质上的区别，都是用点乘双根法去简化有关双根的和与乘积有关的式子的计算问题．【例2】(2018年全国课标卷3理科16题) 已知点()1,1M -和抛物线C ：24y x =，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若90AMB ∠=︒，则k = ． 【解析】法一：（点乘双根法）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线AB ：1x my =+(其中1m k=)， 因为90AMB ∠=︒，所以0MA MB ⋅=，即1212(1)(1)(1)(1)MA MB x x y y ⋅=+⋅++-⋅-1212(2)(2)(1)(1)my my y y =+⋅++-⋅- ① 2121222()()(1)(1)0m y y y y m m=+⋅++-⋅-= 联立214x my y x=+⎧⎨=⎩消去x 可得：2440y my --=，又因为1y ，2y 是方程212()()0m y y y y --=的两根，所以221244()()y my m y y y y --=--②．令1y =，得212144(1)(1)m m y y --=--，所以12234(1)(1)my y m ----=③； 令2y m=-，得212242284()()m y y m m m +-=----，所以2122224()()40m y y m m m++=+=④将③④式代入①，得2234440m m m--++=， 解得，12m =，所以12k m==． 法二:(常规方法) 抛物线C ：24y x =的焦点(1,0)F ，∴过A ，B 两点的直线方程为(1)y k x =-， 联立2(1)4y k x y x =-⎧⎨=⎩，可得22222(2)0k x k x k -++=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则212244k x x k++=，121x x =， ∴12124(2)y y k x x k+=+-=，21212(1)(1)y y k x x =--21212[()1]4k x x x x =-++=-，(1,1)M -，∴11(1,1)MA x y =+-，22(1,1)MB x y =+-，90AMB ∠=︒，∴1212(1)(1)(1)(1)0MA MB x x y y ⋅=+⋅++-⋅-=，整理可得，12121212()()20x x x x y y y y +++-++=，∴24412420k k++--+=，即2440k k -+=，∴2k =． 故答案为2．法三:(中点弦法) 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则21122244y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以2221214()y y x x -=-，则1212124y y k x x y y -==-+，如图，取AB 的中点00(,)M x y '，分别过A ，B 作准线1x =-的垂线，垂足为A '，B '，在Rt ABM ∆中，11||||(||||)22MM AB AA BB '''==+，所以点M 为线段A B ''的中点，且MM '平行于x 轴，则0y ，从而有122y y +=，代入12121242y y k x x y y -===-+，故填2．练习巩固：1．设1Q ，2Q 为椭圆222212x y b b+=上两个动点，且12OQ OQ ⊥，过原点O 作直线12Q Q 的垂线OD ，求D 的轨迹方程．1．解析：法一：（常规方法）设111(,)Q x y ，122(,)Q x y ，00(,)D x y ,设直线12Q Q 方程为y kx m =+，联立222212y kx m x y bb =+⎧⎪⎨+=⎪⎩化简可得: 22222222(2)42()0b k b x kmb x b m b +++-=，所以222122222()2b m b x x b k b +=+，222212222(2)2b m b k y y b k b-=+， 因为12OQ OQ ⊥，所以2222222222221212222222222()(2)2()20222121b m b b m b k m b m b k x x y y b k b b k b k k +---+=+=+=++++，∴22232(1)m b k =+ ①又因为直线12Q Q 方程等价于为0000()x y y x x y -=--，即200000x x y x y y y =-++，对比于y kx m =+，则00200x ky x y my ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩代入①中，化简可得：2220023x y b +=．法二：（齐次化解法）设直线12Q Q 方程为1mx ny +=，联立2222112mx ny x y b b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得22221102mx ny x y bb +=⎧⎪⎨+-=⎪⎩， 所以22222()02x y mx ny b b+-+=，化简可得22222222202x y m x n y mnxy b b +---=，整理成关于x ，y 的齐次式：2222222(22)(12)40b n y m b x mnb xy -+--=，进而两边同时除以2x ，则222222(22)()4120y yb n mnb m b x x--+-=，记1OQ ，2OQ 的斜率分别为1k ，2k ，则1k ，2k 为方程222222(22)()4120y yb n mnb m b x x--+-=的两个根，由韦达定理得2212221222m b k k b n -=-，因为12OQ OQ ⊥，所以22122212122m b k k b n -==--， ∴22232(1)m b k =+ ①又因为直线12Q Q 方程等价于为0000()x y y x x y -=--，即200000x x y x y y y =-++，对比于y kx m =+，则00200x ky x y my ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，代入①中，化简可得：2220023x y b +=．2．已知椭圆2214x y +=，设直线l 不经过点(0,1)P 的直线交椭圆于A ，B 两点，若直线PA ，PB 的斜率之和为1-，证明：直线l 恒过定点．2．解：(1)当直线l 的斜率存在时，以点P 为坐标原点，建立新的直角坐标系x py ''，如图所示：旧坐标 新坐标(,)x y ⇒(,)x y '' 即(0,1)⇒(0,0)所以1x x y y '=⎧⎨'=-⎩⇒A A B B '→⎧⎨'→⎩，则1PA PB k k +=-，即1212111y y x x --+=-，在新坐标中转换为：12121y y x x ''+=-''，即121k k ''+=-． 设直线l 方程为：1mx ny ''+=．原方程：2244x y +=则转换到新坐标就成为：224(1)4x y ''++=． 展开得：22480x y y '''++=构造齐次式：2248()0x y y mx ny '''''+++= 整理为：22(48)80n y mx y x ''''+++= 两边同时除以2x '，则2(48)810n k mk ''+++= 所以128148m k k n ''+=-=-+，所以221m n -=⇒12m n =+代入1mx ny ''+=， 整理得()102x n x y '''++-=，对于任意n 都成立． 则0102x y x ⎧''+=⎪⎨'⎪-=⎩，解之得22x y ⎧'=⎪⎨'⎪=-⎩，故原理坐标系地应点坐标为21x y =⎧⎨=-⎩，所以过定点(2,1)-；（2）当直线l 的斜率不存在时，设l ：x a =，则2(14a A a -，2(,14a B a --，所以221111441a a -----==⇒2a =，直线l ：2x =，过定点(2,1)-． 综上，直线l 恒过定点(2,1)-．3．已知椭圆22182x y +=，过其上一定点(2,1)P 作倾斜角互补的两条直线，分别交于椭圆于A ，B 两点，证明：直线AB 斜率为定值．3．解析：以点P 为坐标原点，建立新的直角坐标系x py ''，如图所示：旧坐标 新坐标 (,)x y ⇒(,)x y '' 即(2,1)⇒(0,0)所以21x x y y '=-⎧⎨'=-⎩⇒A A B B '→⎧⎨'→⎩， 原来0PA PB k k += 121211022y y x x --⇒+=--，则转换到新坐标为：12120y y x x ''+=''，即120k k ''+=． 设直线AB 方程为：1mx ny ''+=．原方程：2244x y +=则转换到新坐标就成为：()2224(1)8x y ''+++=． 展开得：224480x y x y ''''+++=构造齐次式：()22448()0x y x mx ny y mx ny ''''''''+++++= 整理为：()()22(48)48140n y n m x y m x ''''+++++=两边同时除以2x '，则()()2(48)48140n k n m k m ''+++++=，所以1248048n mk k n+''+=-=+，所以2n m =-而''1mx ny +='(2)'1210mx m y mx my ∴+-=⇒--=．所以1=2k ． 平移变换，斜率不变，所以直线AB 斜率为定值12． 4．已知椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>经过点6,2． （1）求椭圆C 的方程；(2)过点(2,0)P 作直线PA ,PB 交椭圆于A ，B 两点，且满足PA PB ⊥，试判断直线AB 是否过定点，若过定点请写出点坐标．4．解析： (Ⅰ)椭圆22221x y a b +=(0)a b >>经过点6(1,)2,且离心率等于22, 椭圆C 的方程为22142x y +=;(Ⅱ)方法一：（常规方法）设直线AB 的方程为y kx m =+，11(,)A x y ，22(,)B x y联立椭圆方程得22(12)42(2)0k x mkx m +++-=,则122412km x x k+=-+,21222412m x x k -=+． 22221212121224()()()12m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -=++=+++=+, 由PA PB ⊥,得1212(2)(2)0x x y y --+=,代入得224830k mk m ++=，2m k =-(舍去), 23m k =-,直线AB 的方程为2()3y k x =-,所以过定点2(,0)3．方法二：（平移坐标＋齐次化）把椭圆向左平移2个单位，（是为了平移到原点） 则方程变成22(2)24x y ++=（左加右减，上减下加）设直线为1mx ny +=；下面对椭圆方程进行化简22420x x y ++=；我们需要的形式是不出现一次项，都是二次项，此时将4x 乘上一个1，也就是mx ny +即可，此时椭圆方程变成224()20x x mx ny y +++=⇒2224(41)0y nxy m x +++=，两边同时除以2x ，令yk x=，则化简为224410k nk m +++=，又因为121k k =-⇒34m =-⇒314x ny -+=，则恒过4(,0)3-，再向右平移2个单位，则恒过)0,32(．5．已知椭圆C 与双曲线221y x -=6． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设A 为椭圆C 的下顶点，M ，N 为椭圆上异于A 的不同两点，且直线AM 与AN 的斜率之积为3-． ①试问M ，N 所在直线是否过定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由;②若点P 为椭圆C 上异于M ，N 的一点，且MP NP =，求MNP ∆的面积的最小值．5．解析：(1)依题意设椭圆C 的标准方程为()22221y x a b a b+=>双曲线221y x -=的焦点为(0,，222c c a a b c ⎧=⎪⎪∴=⎨⎪=+⎪⎩，解得a =1b =，椭圆C 的标准方程为2213y x +=．(2)①由题意可知(0A ,设()()1122M x ,y ,N x ,y ，直线MN 的解析式为x my n =+123=-即有(()()12123y y my n my n =-++ (*) 联立2213x my ny x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得()222316330m y mny n +++-= 12221226313331mn y y m n y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩将此代入(*)式可得0n n =或，当n =直线MN过(0A 故0n =此时直线MN 过定点()00,，②由①知0m ≠，由MP NP =知OP MN ⊥ 直线OP 的解析式为y mx =-，联立2213y x +=可得222223333P P m x ,y m m ==++22222331313MM m x ,y m m ==++，OP MN ==，1=2MNP S ∆设[)211t m ,=+∈+∞，MNP S ∆=2t =时，3=2MNP S ∆为最小．方法二：齐次化+平移构造：把点(0A ，平移到原点，需向上平移3个单位，设直线为1=+ny mx 此时椭圆方程变成03233)3(32222=-+⇒=-+y y x y x ，为了让结果都是二次项，则让y 32乘上一个1，即ny mx +，即0)(32322=+-+ny mx y y x ，化简得：0332)321(22=+--x mxy y n ，同时除以2x ，并令xyk =，则方程变成0332)321(2=+--mxk k n ，此时333321321=⇒-=-=n nk k ；直线为133=+y mx ，恒过)0,3(，再平移回去，则原题直线恒过)0,0(． 6．（2017新课标Ⅰ卷理科第20题）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，四点1(1,1)P ，2(0,1)P，3(1,2P -，4(1,2P 中恰有三点在椭圆C 上． (1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过2P 点且与C 相交于A ，B 两点．若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1-，证明：l 过定点． 6．解析：（1）由于两点3P ，4P 关于y 轴对称，故由题设知经过3P ，4P 两点．又由222243111b a b a +>+知，C 不经过点1P ，所以点2P 在C 上，因此⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=143111222b a b ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==1422b a ，故C 的方程为1422=+y x ．（2）法一：（常规方法）设直线2P A 与直线2P B 的斜率分别为1k ，2k ，如果l 与x 轴垂直，设:l x t =，由题设知0t ≠，且2t <，可得A ，B的坐标分别为(A t，(,B t ．则121k k +==-，得2t =，不符合题设．从而可设:(1)l y kx m m =+≠，将y kx m =+代入2214x y +=得：222(41)8440k x kmx m +++-=，由题设可知2216(41)0k m ∆=-+>，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122841km x x k +=-+，21224441m x x k -⋅=+，而121212121212121211112(1)()y y kx m kx m kx x m x x k k x x x x x x --+-+-+-++=+=+=，由题设121k k +=-，故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=，即222448(21)(1)04141m kmk m k k --++-=++， 解得12m k +=-，当且仅当1m >-时，0∆>，则1:2m l y x m +=-+， 即11(2)2m y x ++=--，所以l 过定点(2,1)-． 法二：齐次化+平移构造步骤1：平移坐标系，当定点不是坐标原点时，要坐标系原点平移到与定点重合．令1x x y y '=⎧⎨'=+⎩，在新坐标系x Oy ''中，曲线C ：2214x y +=的方程为22(1)14x y ''++=，化简得22480x y y '''++=． 步骤2：联立方程构建齐次式联立曲线方程22480x y y '''++=和直线l 方程1mx ny ''+=，进行“1”的代换构造齐次式2248()0x y y mx ny '''''+++=，化简得：22(48)80n y mx y x ''''+++=， 两边同除以2x '得2(48)()8()10y y n m x x ''+++=''． 步骤3：构建目标条件本题目标条件是研究直线2P A '与直线2P B '的斜率之和221P A P B k k ''+=-时，易知2P A k '和2P B k '是方程2(48)()8()10y y n m x x ''+++=''的两个根， 由韦达定理可得：228148P A P B m k k n ''+=-=-+，化简可得848m n =+，即12m n =+，将其代入直线l 方程1mx ny ''+=得1()12n x ny ''++=，整理得11()02x n x y '''-++=，令11020x x y ⎧'-=⎪⎨⎪''+=⎩，解得22x y '=⎧⎨'=-⎩，故平移后的直线过定点(2,2)-．步骤4：平移回去将平移后的直线过的定点(2,2)-，将其代入1x x y y '=⎧⎨'=+⎩得(2,1)-，故原直线l 过定点(2,1)-．7．已知抛物线22y px =，过原点且相互垂直的直线OA ，OB 交抛物线于A ，B 两点，求证： 直线AB 过定点．7．解析：方法识别：1OA OB k k ⋅=-，适合用齐次化来处理． 法一：（齐次化）设AB ：x my n =+①，11(,)A x y ，22(,)B x y ，11OA y k x =，22OB y k x =，将直线变形为1x my n-=，代入到22y px =中得22222x my px pmxy y px n n --=⋅=， 两边同除以2x ，整理可得2()220y yn pm p x x +-=，注意到11OA y k x =，22OB y k x =，所以OA k 和OB k 方程2()220y yn pm p x x +-=的两个根，所以2OA OB p k k n -⋅=，又因为OA OB ⊥，所以21p n-=-， 所以2n p =，代入①可得2x my p =+， 所以直线AB 恒定过定点(2,0)p ．类型识别：因为直线OA ，OB 互相垂直，所以0OA OB ⋅=，适合用点乘双根法． 方法二：（点乘双根法）设AB ：x my n =+①，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则11(,)OA x y =， 22(,)OB x y =，12121212()()OA OB x x y y my n my n y y ⋅=+=+++212()()n nm y y m m=++12y y + ①． 联立22x my ny px=+⎧⎨=⎩，2220y pmy pn --=，又因为1y 和2y 是方程2220y pmy pn --=， 所以21222()()y pmy pn y y y y --=--， 令0y =，则122pn y y -=②；令n y m=-，则2122()()n n ny y m m m =++③．将②③代入①得22220n m pn m⋅-=，即2n p =，代入x my n =+可得2x my p =+，所以直线AB 恒定过定点(2,0)p ．8．过双曲线22221x y a b-=l 交双曲线于A ，B ，若OA OB ⊥且4AB =，求双曲线的方程．方法识别：因为OA OB ⊥，所以1OA OB k k ⋅=-，适合用齐次化来处理． 8．解析：法一：（齐次化）设双曲线方程为22221x y a b -=，直线l：)y x c =-，其中222c a b =+．将直线变形为1()1x y c ⋅=，代入双曲线方程得222221[()]x y x a b c -=⋅，整理得2222221511()()03y x b c a c -++-=， 两边同除以2x，22215()3k b c -+2211()0a c +-=， 注意到11OAyk x =，22OB y k x =，所以OA k 和OB k方程22215()3k b c -+2211()0a c+-=的两个根，所以222211153OA OB a c k k b c -⋅=+， 又因为OA OB ⊥，所以2222111153a c b c -=-+，即222215113b c c a +=-，可得22222118833()a b c a b -==+， 化简可得42243830a a b b +-=，即223b a =，2c a =，故双曲线方程为22233x y a -=，联立2222)33y x a x y a ⎧=-⎪⎨⎪-=⎩，消去y 得224490x ax a +-=， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12x x a +=-，21294a x x =-，由弦长公式得AB =4=，计算可得21a =，23b =，所以双曲线方程为2213y x -=．法二：（点乘双根法）方法识别：由OA OB ⊥，得0OA OB ⋅=，适合用点乘双根法． 设AB:)y x c =-①，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则11(,)OA x y =， 22(,)OB x y =，121212123()()05OA OB x x y y x x x c x c ⋅=+=+--=①．联立2222)1y x c x y a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，22222222(53)6350b a x a cx a c a b -+--=，又因为1x 和2x 是方程2222(53)6b a x a cx -+2222350a c a b --=， 所以222222222212(53)635(53)()()b a x a cx a c a b b a x x x x -+--=---． 令0x =得222212223535a c a b x x a b +=-②；令x c =得412225()()53b x c x c b a --=-③．将②③代入①得2222422223535035553a c a b b a b b a ++⨯=--，化简可得42243830a a b b +-=，即223b a =，2c a =，故双曲线方程为22233x y a -=，联立2222)33y x a x y a ⎧=-⎪⎨⎪-=⎩，消去y 得224490x ax a +-=， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12x x a +=-，21294a x x =-，由弦长公式得AB =4=，计算可得21a =，23b =，所以双曲线方程为2213y x -=．9．直线230x y +-=与圆2260x y x y c ++-+=相交于P ，Q ，且OP OQ ⊥，求c 的值．。
新课程2021高考数学一轮复习第八章平面解析几何解答题专项突破五圆锥曲线的综合问题课件
综上，以 MN 为直径的圆过定点(0,1)．
热点题型 2 圆锥曲线中的定值问题 典例1 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 F12，0，直线 l：x＝－12， 点 P 在直线 l 上移动，R 是线段 FP 与 y 轴的交点，RQ⊥FP，PQ⊥l.
(1)求动点 Q 的轨迹 C 的方程；
解题思路 (1)R 是线段 FP 的中点，且 RQ⊥FP→RQ 是线段 PF 的垂直 平分线→|PQ|＝|QF|→点 Q 的轨迹是以 F 为焦点，l 为准线的抛物线→确定 焦准距，根据抛物线的焦点坐标，求出抛物线的方程．
当 l1：x＝ 3时，l1 与“准圆”交于点( 3，1)，( 3，－1)， 此时 l2 为 y＝1(或 y＝－1)，显然直线 l1，l2 垂直； 同理可证当 l1：x＝－ 3时，直线 l1，l2 垂直．
②当 l1，l2 斜率存在时， 设点 P(x0，y0)，其中 x20＋y20＝4. 设经过点 P(x0，y0)与椭圆相切的直线为 y＝t(x－x0)＋y0，
典例2 (2019·济南模拟)已知 Q 为圆 x2＋y2＝1 上一动点，Q 在 x 轴， y 轴上的射影分别为点 A，B，动点 P 满足B→A＝A→P，记动点 P 的轨迹为曲线 C.
(1)求曲线 C 的方程；
解题思路 (1)设 Q(x0，y0)，P(x，y)，利用所给条件建立两点坐标之间 的关系，利用 Q 在圆上可得 x，y 的方程，即为所求．
∴H→M·H→N＝x1x2＋y1y2－m(y1＋y2)＋m2
100m2－1k2＋25m2＋30m－55
＝
251＋4k2
＝0，
∵对任意的 k 恒成立，∴12050m2m＋2－301m＝－05，5＝0，
解得 m＝1，即定点为 H(0,1)，
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第八章 第九讲A 组 基础巩固一、选择题1．方程(2x ＋3y －1)(x －3－1)＝0表示的曲线是 ( ) A ．两条直线 B ．两条射线C ．两条线段D ．一条直线和一条射线[答案] D[解析] 原方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －1＝0，x －3≥0或x －3－1＝0，即2x ＋3y －1＝0(x ≥3)或x ＝4，故原方程表示的曲线是一条直线和一条射线．2．到两定点A (0,0)、B (3,4)距离之和为5的点的轨迹是 ( ) A ．椭圆 B ．AB 所在的直线 C ．线段AB D ．无轨迹[答案] C[解析] ∵|AB |＝5，∴到A 、B 两点距离之和为5的点的轨迹是线段AB .3．若点P 到点F (0,2)的距离比它到直线y ＋4＝0的距离小2，则P 的轨迹方程为 ( ) A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8x C ．x 2＝8y D ．x 2＝－8y [答案] C[解析] 由题意知P 到F (0,2)的距离比它到y ＋4＝0的距离小2，因此P 到F (0,2)的距离与到直线y ＋2＝0的距离相等，故P 的轨迹是以F 为焦点，y ＝－2为准线的抛物线，所以P 的轨迹方程为x 2＝8y .4．在△ABC 中，已知A (－1,0)，C (1,0)，且|BC |，|CA |，|AB |成等差数列，则顶点B 的轨迹方程是 ( )A.x 23＋y 24＝1 B ．x 23＋y 24＝1(x ≠±3)C.x 24＋y 23＝1 D ．x 24＋y 23＝1(x ≠±2)[答案] D[解析] ∵|BC |，|CA |，|AB |成等差数列， ∴|BC |＋|BA |＝2|CA |＝4.∴点B 的轨迹是以A ，C 为焦点，半焦距c ＝1，长轴长2a ＝4的椭圆．又B 是三角形的顶点，A ，B ，C 三点不能共线，故所求的轨迹方程为x 24＋y 23＝1，且y ≠0.5．已知正方形的四个顶点分别为O (0,0)、A (1,0)、B (1,1)、C (0,1)，点D 、E 分别在线段OC 、AB 上运动，且|OD |＝|BE |，设AD 与OE 交于点G ，则点G 的轨迹方程是 ( )A ．y ＝x (1－x )(0≤x ≤1)B ．x ＝y (1－y )(0≤y ≤1)C ．y ＝x 2(0≤x ≤1)D ．y ＝1－x 2(0≤x ≤1)[答案] A[解析] 设D (0，λ)，E (1,1－λ)，0≤λ≤1，所以线段AD 的方程为x ＋yλ＝1(0≤x ≤1)，线段OE的方程为y ＝(1－λ)x (0≤x ≤1)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y λ＝1，0≤x ≤1，y ＝ 1－λ x ，0≤x ≤1，(λ为参数)，消去参数λ得点G 的轨迹方程为y ＝x (1－x )(0≤x ≤1)，故A 正确．6．△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是 ( )A.x 29－y 216＝1 B ．x 216－y 29＝1C.x 29－y 216＝1(x ＞3) D ．x 216－y 29＝1(x ＞4)[答案] C[解析] 如图，|AD |＝|AE |＝8，|BF |＝|BE |＝2，|CD |＝|CF |，所以|CA |－|CB |＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A 、B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x 29－y 216＝1(x ＞3)．二、填空题7．长为3的线段AB 的端点A 、B 分别在x 、y 轴上移动，动点C (x ，y )满足AC →＝2CB →，则动点C 的轨迹方程____________________.[答案] x 2＋y 24＝1[解析] 设A (a,0)，B (0，b )，则a 2＋b 2＝9.又C (x ，y )，则由AC →＝2CB →，得(x －a ，y )＝2(－x ，b －y )．即⎩⎪⎨⎪⎧x －a ＝－2x ，y ＝2b －2y ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3x ，b ＝32y ，代入a 2＋b 2＝9，并整理，得x 2＋y 24＝1.8．已知△ABC 的顶点B (0,0)，C (5,0)，AB 边上的中线长|CD |＝3，则顶点A 的轨迹方程为____________________.[答案] (x －10)2＋y 2＝36(y ≠0)[解析] 方法一：直接法．设A (x ，y )，y ≠0，则D (x 2，y2)．∴|CD |＝x 2－5 2＋y 24＝3. 化简，得(x －10)2＋y 2＝36.由于A 、B 、C 三点构成三角形，所以A 不能落在x 轴上，即y ≠0.方法二：定义法．如图，设A (x ，y )，D 为AB 的中点，过A 作AE ∥CD 交x 轴于E . ∵|CD |＝3，∴|AE |＝6，则E (10,0)，∴A 到E 的距离为常数6.∴A 的轨迹为以E 为圆心，6为半径的圆，即(x －10)2＋y 2＝36.又A ，B ，C 不共线，故A 点纵坐标y ≠0，故A 点轨迹方程为(x －10)2＋y 2＝36(y ≠0)．9．设P 是圆x 2＋y 2＝100上的动点，点A (8,0)，线段AP 的垂直平分线交半径OP 于M 点，则点M 的轨迹为____________________.[答案] 椭圆[解析] 如图，设M (x ，y )，由于l 是AP 的垂直平分线，于是|AM |＝|PM |，又由于10＝|OP |＝|OM |＋|MP |＝|OM |＋|MA |，即|OM |＋|MA |＝10，也就是说，动点M 到O (0,0)及A (8,0)的距离之和是10，故动点M 的轨迹是以O (0,0)、A (8,0)为焦点，中心在(4,0)，长半轴长是5的椭圆．10．若过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线与其交于M 、N 两点，作平行四边形MONP ，则点P 的轨迹方程为____________________.[答案] y 2＝4(x －2)[解析] 设直线方程为y ＝k (x －1)，点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (x ，y )，由OM →＝NP →，得(x 1，y 1)＝(x －x 2，y －y 2)．得x 1＋x 2＝x ，y 1＋y 2＝y .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1 ，y 2＝4x ，联立得x ＝x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2.y ＝y 1＋y 2＝4kk 2，消去参数k ，得y 2＝4(x －2)．三、解答题11．设圆C ：(x －1)2＋y 2＝1，过原点O 作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程.[答案] (x －12)2＋y 2＝14(0＜x ≤1)[解析] 方法一：直译法：设OQ 为过O 的一条弦，P (x ，y )为其中点，则CP ⊥OP ，OC中点为M (12，0)，方法二：定义法：∵∠OPC ＝90°，∴动点P 在以M (12，0)为圆心OC 为直径的圆上，|OC |＝1，再利用圆的方程得解．方法三：相关点法：设Q (x 1，y 1)，则⎩⎨⎧x ＝x 12，y ＝y 12⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x ，y 1＝2y .又∵(x 1－1)2＋y 21＝1， ∴(2x －1)2＋(2y )2＝1(0＜x ≤1)．方法四：参数法：设动弦PQ 的方程为y ＝kx ，代入圆的方程得(x －1)2＋k 2x 2＝1，即(1＋k 2)x 2－2x ＝0，∴x ＝x 1＋x 22＝11＋k 2，y ＝kx ＝k1＋k 2消去k 即可． 方法五：(参数法)设Q 点坐标为(1＋cos θ，sin θ)， ∴P (x ，y )的坐标为⎩⎨⎧x ＝1＋cos θ2，y ＝sin θ2，消θ即可．[点拨] 本题中的前四种方法是求轨迹方程的常用方法，我们已在本章的前几节中做过较多的讨论，故解析时只做扼要总结即可．则|MP |＝12|OC |＝12，得方程(x －12)2＋y 2＝14，考虑轨迹的范围知0＜x ≤1.12．在直角坐标系xOy 中，动点P 与定点F (1,0)的距离和它到定直线x ＝2的距离之比是22. (1)求动点P 的轨迹Γ的方程； (2)设曲线Γ上的三点A (x 1，y 1)、B (1，22)、C (x 2，y 2)与点F 的距离成等差数列，线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k .[答案] (1)x 22＋y 2＝1 (2) 2[解析] (1)设P (x ，y )．由已知，得 x －1 2＋y 2|x －2|＝22，两边同时平方，化简得x 22＋y2＝1，故动点P 的轨迹Γ的方程是x 22＋y 2＝1.(2)由已知得|AF |＝22(2－x 1)，|BF |＝22×(2－1)，|CF |＝22(2－x 2)．因为2|BF |＝|AF |＋|CF |， 所以22(2－x 1)＋22(2－x 2)＝2×22×(2－1)， 所以x 1＋x 2＝2.①故线段AC 的中点坐标为(1，y 1＋y 22)，其垂直平分线的方程为y －y 1＋y 22＝－x 1－x 2y 1－y 2(x －1)．②因为A ，C 在椭圆上，所以代入椭圆，两式相减， 把①代入化简，得－x 1－x 2y 1－y 2＝y 1＋y 2.③把③代入②，令y ＝0，得x ＝12，所以点T 的坐标为(12，0)．所以直线BT 的斜率k ＝22－01－12＝ 2.B 组 能力提升1．设圆O 1和圆O 2是两个定圆，动圆P 与这两个定圆都外切，则圆P 的圆心轨迹可能是 ()A ．①②③⑤B ．②③④⑤C ．①②④⑤D ．①②③④[答案] A[解析] 当两定圆相离时，圆P 的圆心轨迹为①；当两定圆外切时，圆P 的圆心轨迹为②；当两定圆相交时，圆P 的圆心轨迹为③；当两定圆内切时，圆P 的圆心轨迹为⑤.2．平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)、B (－1,3)，若点C 满足OC →＝λ1OA →＋λ2OB →(O 为原点)，其中λ1、λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是 ( )A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线[答案] A[解析] 设C (x ，y )，则OC →＝(x ，y )，OA →＝(3,1)，OB →＝(－1,3)，∵OC →＝λ1OA →＋λ2OB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ1－λ2y ＝λ1＋3λ2，又λ1＋λ2＝1，∴x ＋2y －5＝0，表示一条直线．3．如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 在AB 上，且AM ＝13AB ，点P 在平面ABCD 上，且动点P 到直线A 1D 1的距离的平方与P到点M 的距离的平方差为1，在平面直角坐标系xAy 中，动点P 的轨迹方程是____________________.[答案] y 2＝23x －19[解析] 过P 作PQ ⊥AD 于Q ，再过Q 作QH ⊥A 1D 1于H ，连接PH 、PM ，可证PH ⊥A 1D 1，设P (x ，y )，由|PH |2－|PM |2＝1，得x 2＋1－[(x －13)2＋y 2]＝1，化简得y 2＝23x －19.4．已知点A (－2,0)、B (2,0)，曲线C 上的动点P 满足AP →·BP →＝－3. (1)求曲线C 的方程；(2)若过定点M (0，－2)的直线l 与曲线C 有公共点，求直线l 的斜率k 的取值范围； (3)若动点Q (x ，y )在曲线C 上，求u ＝y ＋2x －1的取值范围．[答案] (1)x 2＋y 2＝1 (2)(－∞，－3]∪[3，＋∞) (3)(－∞，－34][解析] (1)设P (x ，y )，AP →·BP →＝(x ＋2，y )(x －2，y )＝x 2－4＋y 2＝－3，得P 点轨迹(曲线C )方程为x 2＋y 2＝1，即曲线C 是圆．(2)可设直线l 的方程为y ＝kx －2，其一般方程为kx －y －2＝0. 由直线l 与曲线C 有交点，得|0－0－2|k 2＋1≤1，得k ≤－3或k ≥3，即所求k 的取值范围是(－∞，－3]∪[3，＋∞)． (3)由动点Q (x ，y )，设定点N (1，－2)， 则直线QN 的斜率k QN ＝y ＋2x －1＝u ，又点Q 在曲线C 上，故直线QN 与圆有交点，设直线QN 的方程为y ＋2＝u (x －1)，即ux －y －u －2＝0.当直线与圆相切时，|－u －2|u 2＋1＝1，解得u ＝－34.另当u 不存在时，直线与圆相切，所以u ∈(－∞，－34]．5．在平面直角坐标系xOy 中，已知动圆过点(2,0)，且被y 轴所截得的弦长为4. (1)求动圆圆心的轨迹C 1的方程．(2)过点P (1,2)分别作斜率为k 1、k 2的两条直线l 1、l 2，分别交C 1于A 、B 两点(点A 、B 异于点P )．若k 1＋k 2＝0，且直线AB 与圆C 2：(x －2)2＋y 2＝12相切，求△P AB 的面积．[答案] (1)y 2＝4x (2)4 2[解析] (1)设动圆圆心坐标为(x ，y )，半径为r .由题可知⎩⎪⎨⎪⎧x －2 2＋y 2＝r 2，22＋x 2＝r 2⇒y 2＝4x ，∴动圆圆心的轨迹方程为y 2＝4x .(2)设直线l 1斜率为k ，则l 1：y －2＝k (x －1)，l 2：y －2＝－k (x －1)． 点P (1,2)在抛物线y 2＝4x 上，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y －2＝k x －1 ，得ky 2－4y ＋8－4k ＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，Δ＞0恒成立，即(k －1)2＞0，有k ≠1， ∴y 1y p ＝8－4k k ，∵y p ＝2，∴y 1＝4－2k k .代入直线方程，得x 1＝ k －2 2k 2.同理可得x 2＝ 2＋k 2k 2，y 2＝4＋2k－k ， k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝4＋2k －k －4－2kk k ＋2 2－ k －2 2k 2＝－1.不妨设l AB ：y ＝－x ＋b . ∵直线AB 与圆C 2相切，∴|2－b |2＝22，解得b ＝3或1. 当b ＝3时，直线AB 过点P ，舍去；当b ＝1时，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋1，y 2＝4x ⇒x 2－6x ＋1＝0.Δ＝32，|AB |＝1＋1×32＝8，P 到直线AB 的距离d ＝2，则△P AB 的面积为4 2.。