高中数学第二章一元二次函数、方程和不等式同步练习

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人教A版(2019)高中数学必修第一册第二章一元二次函数同步测试卷【答案】

人教A 版（2019）高中数学课时练必修第一册第二章一元二次函数、方程和不等式 2.1等式性质与不等式性质一、选择题（60分）1．若2a ≠-，(21)(2)m a a =-+，(2)(3)n a a =+-，则m 、n 的大小关系是（）A ．m n =B ．m n <C ．m n >D ．m 、n 关系不确定 2．如果不等式组9080x a x b -≥⎧⎨-<⎩的整数解有n （*n ∈N ）个，那么适合这个不等式组的整数a 、b 的有序数对(,)a b 共有（）个A ．17个B ．64个C ．81个D ．72个3．已知x ，y ，z 为正整数，x y z ≤≤，则方程11112x y z ++=的解得个数为（） A ．8 B ．10C ．11D ．12 4．已知函数()22f x x mx n =++，则()1f 、()2f 、()3f 与1的大小关系为（）A ．没有一个小于1B ．至多有一个不小于1C ．都不小于1D ．至少有一个不小于15．实数a ，b ，c 满足221a a c b =+--且210a b ++=，则下列关系成立的是（）A ．b a c >≥B ．c a b ≥>C ．b c a >≥D ．c b a ≥> 6．已知(),,,x f x e x R a b =∈<记()()()()()()1,2A f b f a B b a f a f b =-=-+，则,A B 的大小关系是（）A ．AB > B ．A B ≥C ．A B <D ．A B ≤7．设实数a ，b ，c 满足1a b >>，1c >，则下列不等式中不成立的是（）A ．b a bc aa b ac +<<+ B ．1a bc b a b ac +<<+ C ．1a bc c cc b a +<<+ D a bc b ac +<<+8．已知x ，y 是正实数，则下列式子中能使x y >恒成立的是（）A ．21x y y x +>+B ．112x y y x +>+C ．21x y y x ->-D ．112x y y x->- 9．已知实数a ，b ，c.A ．若|a 2+b+c|+|a+b 2+c|≤1，则a 2+b 2+c 2＜100B ．若|a 2+b+c|+|a 2+b–c|≤1，则a 2+b 2+c 2＜100C ．若|a+b+c 2|+|a+b–c 2|≤1，则a 2+b 2+c 2＜100D ．若|a 2+b+c|+|a+b 2–c|≤1，则a 2+b 2+c 2＜10010．集合()*{,,|S x y z x y z N =∈、、，且x y z <<、y z x <<、z x y <<恰有一个成立}，若(),,x y z S∈且(),,z w x S ∈,则下列选项正确的是( )A ．(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∉B ．(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∈C ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈D ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∉11．关于x 的不等式()()30x a x -->成立的一个充分不必要条件是11x -<<，则a 的取值范围是（） A ．1a ≤-B ．0a <C ．2a ≥D ．1a ≥ 12．已知0<a >>B >>>C >>>D ．以上均不正确二、填空题（20分）13．设0a b >>，若x =，y =x ，y 的大小关系是________（用“<”号连接）. 14．已知,,a b a m +均为大于0的实数,给出下列五个论断:①a b >,②a b <,③0m >,④0m <,⑤b m b a m a+>+.以其中的两个论断为条件,余下的论断中选择一个为结论,请你写出一个正确的命题___________.15．设x ，y 是正实数，记S 为x ，1y x +，1y中的最小值，则S 的最大值为______. 16．如果对于任意的正实数x ，不等式1a x x +≥恒成立，则a 的取值范围是_________． 17．设[]x 表示不超过x 的最大整数（例如：[][]22,1.251==），则方程[]3240x x -+=的解为__.三、解答题（70分）18．设a b c R +∈，，，试证:对任意实数x y 、、z 有222x y z ⎫++≥++⎪⎪⎭19．已知0,0a b >>（1）若22a b +=，且211t a b≤++恒成立，求实数t 的最大值；（2）若函数()2f x x a x b =++-的最小值为1，证明：22a b +=；（3）若22m -<<，且()()2220m a m b ab -++-=，设+a b 的最小值为()g m ，求()g m 的值域. 20．符号[]x 表示不大于x 的最大整数()x R ∈,例如[]1.31=，[]22=，[]1.22-=-（1）已知方程[]0x =的解集为M ，不等式[]1x <-的解集为N ，求M 、N ；（2）设方程13x x ⎡⎤+-=⎣⎦的解集为A ，求A ；21．已知00x y >>，，求证：()()22119x y x y xy ++++.22．若实数x 、y 、m 满足|x ﹣m|＜|y ﹣m|，则称x 比y 接近m ．（1）若2x 比1接近3，求x 的取值范围；（2）已知函数f （x ）定义域D=（﹣∞，0）∪（0，1）∪（1，3）∪（3，+∞），对于任意的x∪D ，f （x ）等于x 2﹣2x 与x 中接近0的那个值，写出函数f （x ）的解析式，若关于x 的方程f （x ）﹣a=0有两个不同的实数根，求出a 的取值范围；（3）已知a ，b∪R ，m ＞0且a≠b ，求证：比接近0．23．(Ⅰ) (Ⅱ)试比较n n +1与(n +1)n (n ∈N +)的大小，根据(Ⅰ)的结果猜测一个一般性结论，并加以证明.【参考答案】1．C 2．D 3．B 4．D 5．D 6．C 7．D 8．B 9．D 10．B 11．D 12．A13．x y <14．①③推出⑤(答案不唯一还可以①⑤推出③等)1516．解：对于任意的正实数x ，不等式1a x x+恒成立，即(1)a x x -(0,)x ∈+∞恒成立．令()(1)f x x x =-，只需a 大于等于()f x 的最大值． 1++m mb a 1²++m mb a。

高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式典型例题(带答案)

高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式典型例题单选题1、已知x >0，则下列说法正确的是（） A ．x +1x −2有最大值0B ．x +1x −2有最小值为0 C ．x +1x−2有最大值为－4D ．x +1x−2有最小值为－4答案：B分析：由均值不等式可得x +1x ≥2√x ×1x =2，分析即得解由题意，x >0，由均值不等式x +1x≥2√x ×1x=2，当且仅当x =1x，即x =1时等号成立故x +1x −2≥0，有最小值0 故选：B2、不等式x (2x +7)≥−3的解集为（） A ．(−∞,−3]∪[−12,+∞)B ．[−3,−12] C ．(−∞,−2]∪[−13,+∞)D ．[−2,−13] 答案：A分析：解一元二次不等式即可.x (2x +7)≥−3可变形为2x 2+7x +3≥0，令2x 2+7x +3=0，得x 1=−3，x 2=−12，所以x ≤−3或x ≥−12，即不等式的解集为(−∞,−3]∪[−12,+∞).故选：A.3、已知命题“∀x ∈R ，4x 2+(a −2)x +14>0”是假命题，则实数a 的取值范围为（） A ．(−∞,0]∪[4,+∞)B ．[0,4] C ．[4,+∞)D ．(0,4)答案：A分析：先求出命题为真时实数a的取值范围，即可求出命题为假时实数a的取值范围.若“∀x∈R，4x2+(a−2)x+14>0”是真命题，即判别式Δ=(a−2)2−4×4×14<0，解得：0<a<4，所以命题“∀x∈R，4x2+(a−2)x+14>0”是假命题，则实数a的取值范围为：(−∞,0]∪[4,+∞).故选：A.4、设a>b>c>0，则2a2+1ab +1a(a−b)−10ac+25c2取得最小值时，a的值为（）A．√2B．2C．4D．2√5答案：A解析：转化条件为原式=1ab +ab+1a(a−b)+a(a−b)+(a−5c)2，结合基本不等式即可得解.2a2+1ab+1a(a−b)−10ac+25c2=1ab+ab+1a(a−b)+a(a−b)−ab−a(a−b)+2a2−10ac+25c2 =1ab+ab+1a(a−b)+a(a−b)+a2−10ac+25c2=1ab+ab+1a(a−b)+a(a−b)+(a−5c)2≥2√1ab ⋅ab+2√1a(a−b)⋅a(a−b)+0=4，当且仅当{ab=1a(a−b)=1a=5c，即a=√2，b=√22，c=√25时，等号成立.故选：A.小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.5、若“﹣2<x <3”是“x 2+mx ﹣2m 2<0（m >0）”的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是（） A ．m ≥1B ．m ≥2C ．m ≥3D ．m ≥4 答案：C分析：x 2+mx ﹣2m 2<0（m >0），解得﹣2m <x <m .根据“﹣2<x <3”是“x 2+mx ﹣2m 2<0（m >0）”的充分不必要条件，可得﹣2m ≤﹣2，3≤m ，m >0.解出即可得出. 解：x 2+mx ﹣2m 2<0（m >0），解得﹣2m <x <m .∵“﹣2<x <3”是“x 2+mx ﹣2m 2<0（m >0）”的充分不必要条件，∴﹣2m ≤﹣2，3≤m ，(两个等号不同时取)m >0. 解得m ≥3.则实数m 的取值范围是[3，+∞）. 故选：C.6、关于x 的不等式ax 2−(a 2+1)x +a <0的解集为{x|x 1<x <x 2}，且x 2−x 1=1，则a 2+a −2=（） A ．3B ．32C ．2D ．23答案：A分析：根据一元二次不等式与解集之间的关系可得x 1+x 2=a +1a 、x 1x 2=1，结合 (x 2−x 1)2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2计算即可.由不等式ax 2−(a 2+1)x +a <0的解集为{x |x 1<x <x 2}，得a >0，不等式对应的一元二次方程为ax 2−(a 2+1)x +a =0，方程的解为x 1、x 2，由韦达定理，得x 1+x 2=a 2+1a=a +1a ，x 1x 2=1，因为x 2−x 1=1，所以(x 2−x 1)2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2=1，即(a +1a )2−4=1，整理，得a 2+a −2=3. 故选：A7、已知关于x 的不等式ax 2+bx +c <0的解集为{x|x <−1或x >4}，则下列说法正确的是（）A．a>0B．不等式ax2+cx+b>0的解集为{x|2−√7<x<2+√7}C．a+b+c<0D．不等式ax+b>0的解集为{x|x>3}答案：B分析：根据解集形式确定选项A错误；化不等式为x2−4x−3<0,即可判断选项B正确；设f(x)=ax2+ bx+c，则f(1)>0，判断选项C错误；解不等式可判断选项D错误.解：因为关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x<−1或x>4}，所以a<0，所以选项A错误；由题得{a<0−1+4=−ba−1×4=ca,∴b=−3a,c=−4a，所以ax2+cx+b>0为x2−4x−3<0,∴2−√7<x<2+√7.所以选项B正确；设f(x)=ax2+bx+c，则f(1)=a+b+c>0，所以选项C错误；不等式ax+b>0为ax−3a>0,∴x<3，所以选项D错误.故选：B8、不等式1+x1−x≥0的解集为（）A．{x|x≥1或x≤−1}B．{x∣−1≤x≤1} C．{x|x≥1或x<−1}D．{x|−1≤x<1}答案：D分析：不等式等价于x+1x−1≤0，即(x+1)(x−1)≤0，且x−1≠0，由此求得不等式的解集．不等式等价于x+1x−1≤0，即(x+1)(x−1)≤0，且x−1≠0，解得−1≤x<1，故不等式的解集为{x|−1≤x<1}，故选：D．多选题9、已知关于x的不等式ax2+bx+c>0解集为{x|−2<x<3}，则（）A．a>0B．不等式ax+c>0的解集为{x|x<6}C．a+b+c>0D．不等式cx2−bx+a<0的解集为{x|−13<x<12}答案：BCD解析：根据已知条件得−2和3是方程ax2+bx+c=0的两个实根，且a<0，根据韦达定理可得b=−a,c=−6a，根据b=−a,c=−6a且a<0,对四个选项逐个求解或判断可得解.因为关于x的不等式ax2+bx+c>0解集为{x|−2<x<3}，所以−2和3是方程ax2+bx+c=0的两个实根，且a<0，故A错误；所以−2+3=−ba ，−2×3=ca，所以b=−a,c=−6a，所以不等式ax+c>0可化为ax−6a>0，因为a<0，所以x<6，故B正确；因为a+b+c=a−a−6a=−6a，又a<0，所以a+b+c>0，故C正确；不等式cx2−bx+a<0可化为−6ax2+ax+a<0，又a<0，所以−6x2+x+1>0，即6x2−x−1<0，即(3x+1)(2x−1)<0，解得−13<x<12,故D正确.故选：BCD.小提示：利用一元二次不等式的解集求出参数a,b,c的关系是解题关键.本题根据韦达定理可得所要求的关系，属于中档题.10、设0<b<a<1，则下列不等式不成立的是（）A．ab<b2<1B．√a<√b<1C．1<1a <1bD．a2<ab<1答案：ABD分析：对于ABD举例判断即可，对于C，利用不等式的性质判断对于A，取a=12,b=13，则ab=16>b2=19，所以A错误，对于B，取a=14,b=19，则√a=12>√b=13，所以B错误，对于C，因为0<b<a<1，所以1ab >0，所以b⋅1ab<a⋅1ab，即1a<1b，因为0<a<1，所以0<a⋅1a <1×1a，即1<1a，综上1<1a<1b，所以C正确，对于D，取a=12,b=13，则ab=16<a2=14，所以D错误，故选：ABD11、下面所给关于x的不等式，其中一定为一元二次不等式的是（）A．3x+4<0B．x2+mx-1>0C．ax2+4x-7>0D．x2<0答案：BD分析：利用一元二次不等式的定义和特征对选项逐一判断即可.选项A是一元一次不等式，故错误；选项B，D，不等式的最高次是二次，二次项系数不为0，故正确；当a=0时，选项C是一元一次不等式，故不一定是一元二次不等式，即错误.故选：BD.填空题12、若x>0,y>0,xy=10，则2x +5y的最小值为_____．答案：2分析：化简2x +5y=2x+102y=2x+xy2y=2x+x2，结合基本不等式，即可求解.由x>0,y>0,xy=10，则2x +5y=2x+102y=2x+xy2y=2x+x2≥2√2x×x2=2，当且仅当x=2时取“=”，即2x +5y的最小值为2．所以答案是：2.13、已知x，y为正数，且12+x +4y=1，则x+y的最小值为________.答案：7解析：由题设等式有x+y+2=5+y2+x +4(x+2)y，利用基本不等式可求x+y+2的最小值，从而可得x+y的最小值.x+y+2=[(x+2)+y]×(1x+2+4y)=5+y2+x+4(x+2)y，由基本不等式有y2+x +4(x+2)y≥4，当且仅当x=1,y=6时等号成立，故x+y+2的最小值为9即x+y的最小值为7.所以答案是：7.小提示：应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.14、已知函数f(x)=√mx2+mx+1的定义域是R，则m的取值范围为______．答案：[0,4]分析：根据函数的定义域为R可得mx2+mx+1≥0对x∈R恒成立，对参数m的取值范围分类讨论，分别求出对应m 的范围，进而得出结果.因为函数f(x)=√mx2+mx+1的定义域为R，所以mx2+mx+1≥0对x∈R恒成立，当m=0时，mx2+mx+1=1>0，符合题意；当m>0时，由Δ=m2-4m≤0，解得0<m≤4；当m<0时，显然mx2+mx+1不恒大于或等于0．综上所述，m的取值范围是[0,4].所以答案是：[0,4].解答题15、设a，b，c∈R，a+b+c=0，abc=1．（1）证明：ab+bc+ca<0；（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥√43．答案：（1）证明见解析（2）证明见解析.分析：（1）方法一：由(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=0结合不等式的性质，即可得出证明；（2）方法一：不妨设max{a,b,c}=a，因为a+b+c=0,abc=1，所以a>0,b<0,c<0,a=(−b)+(−c)≥2√bc=2√1a ，则a3≥4,a≥√43．故原不等式成立．（1）［方法一］【最优解】：通性通法∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=0，∴ab+bc+ca=−12(a2+b2+c2).∵abc=1,∴a,b,c均不为0，则a2+b2+c2>0，∴ab+bc+ca=−12(a2+b2+c2)<0．［方法二］：消元法由a+b+c=0得b=−(a+c)，则ab+bc+ca=b(a+c)+ca=−(a+c)2+ac=−(a2+ac+c2)=−(a +c 2)2−34c 2≤0，当且仅当a =b =c =0时取等号，又abc =1，所以ab +bc +ca <0．［方法三］：放缩法方式1：由题意知a ≠0, a +b +c =0, a =−(c +b ), a 2=(c +b )2=c 2+b 2+2cb ≥4bc ，又ab +bc +ca =a (b +c )+bc =−a 2+bc ≤−a 2+a 24=−3a 24<0，故结论得证．方式2：因为a +b +c =0，所以0=(a +b +c )2=a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ca=12[(a 2+b 2)+(b 2+c 2)+(c 2+a 2)]+2ab +2bc +2ca ≥12(2ab +2bc +2ca )+2ab +2bc +2ca =3(ab +bc +ca )．即ab +bc +ca ≤0，当且仅当a =b =c =0时取等号，又abc =1，所以ab +bc +ca <0．［方法四］：因为a +b +c =0,abc =1，所以a ，b ，c 必有两个负数和一个正数，不妨设a ≤b <0<c,则a =−(b +c ), ∴ab +bc +ca =bc +a (c +b )=bc −a 2<0. ［方法五］：利用函数的性质方式1：6b =−(a +c )，令f (c )=ab +bc +ca =−c 2−ac −a 2，二次函数对应的图像开口向下，又abc =1，所以a ≠0，判别式Δ=a 2−4a 2=−3a 2<0，无根，所以f (c )<0，即ab +bc +ca <0．方式2：设f (x )=(x −a )(x −b )(x −c )=x 3+(ab +bc +ca )x −1，则f (x )有a ，b ，c 三个零点，若ab +bc +ca ≥0，则f (x )为R 上的增函数，不可能有三个零点，所以ab +bc +ca <0．（2）［方法一］【最优解】：通性通法不妨设max {a,b,c }=a ，因为a +b +c =0,abc =1，所以a >0, b <0, c <0, a =(−b )+(−c )≥2√bc =2√1a，则a 3≥4,a ≥√43．故原不等式成立．［方法二］：不妨设max {a,b,c }=a ，因为a +b +c =0,abc =1，所以a >0，且{b +c =−a,bc =1a , 则关于x 的方程x 2+ax +1a =0有两根，其判别式Δ=a 2−4a ≥0，即a ≥√43．故原不等式成立．［方法三］：不妨设max {a,b,c }=a ，则a >0, b =−(a +c ), abc =1, −(a +c )ac =1, ac 2+a 2c +1=0，关于c 的方程有解，判别式Δ=(a 2)2−4a ≥0，则a 3≥4,a ≥√43．故原不等式成立．［方法四］：反证法假设max {a,b,c }<√43，不妨令a ≤b <0<√43，则ab =1c >√43,−a −b =c <√43，又√43>−a −b ≥2√ab >√√43=21−13=√43，矛盾，故假设不成立．即max {a,b,c }≥√43，命题得证．【整体点评】（1）方法一：利用三项平方和的展开公式结合非零平方为正数即可证出，证法常规，为本题的通性通法，也是最优解法；方法二：利用消元法结合一元二次函数的性质即可证出；方法三：利用放缩法证出；方法四：利用符号法则结合不等式性质即可证出；方法五：利用函数的性质证出．（2）方法一：利用基本不等式直接证出，是本题的通性通法，也是最优解；方法二：利用一元二次方程根与系数的关系以及方程有解的条件即可证出；方法三：利用消元法以及一元二次方程有解的条件即可证出；方法四：利用反证法以及基本不等式即可证出．。

第二章一元二次函数、方程和不等式章节练习参考答案

第二章一元二次函数、方程和不等式章节练习参考答案1．D【分析】根据元素与集合，集合与集合的关系逐项判断，即可得到结果.【详解】因为*{|2}N M x x =∈≤，所以{1,2}M =，所以0M ∉，A 错误；2M ∈，B 错误；{0,1,2}M，C 错误；D 正确.故选:D.2．B【分析】利用充分条件、必要条件的概念以及集合之间的关系进行判断.【详解】因为x ∈R ，所以集合{|3}x x >是集合{|0}x x >的真子集，所以“0x >”是“3x >”的必要非充分条件，故A ，C ，D 错误.故选：B.3．B【解析】利用作差法比较大小即可得正确选项.【详解】()()()222324696810x x x x x x x ----=-+-+-=>，所以()()()2324x x x ->--，故选：B4．C【分析】根据一元二次不等式的解法计算可得；【详解】解：由()()130x x ++<，解得31x -<<-，即不等式的解集为{31}x x -<<-∣；故选：C5．A【分析】由于1a >，所以10a ->，则44(1)111a a a a +=-++--，然后利用基本不等式可求出其最小值【详解】由于1a >，所以10a ->所以44111511a a a a +=-++≥=--，当且仅当411a a -=-，即3a =时取等号.故选：A.6．B【分析】根据特称命题的否定是全称命题求解即可【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以命题p ：∀x ＞0，总有（x +1）ln x ＞1，则¬p 为∃x 0＞0，使得（x 0+1）ln x 0≤1.故选：B.7．A【分析】由二次函数与一元二次不等式关系，结合函数图象确定不等式解集.【详解】由二次函数图象知：20ax bx c ++>有21x -<<.故选：A8．A【分析】讨论0k =、0k ≠，根据不等式恒成立，结合二次函数性质列不等式组求范围.【详解】当0k =时，20x ->不恒成立；当0k ≠时，204(1)0k k >⎧⎨∆=-<⎩，所以1k >；综上，1k >.故选：A9．ACD【分析】由不等式的性质可判断ACD ，由特值法可判断B ．【详解】若0a <，0b >，则0a ->，则0b a ->，故A 成立；a b >不一定成立，如5,6a b =-=，故B 不成立；∵0a <，0b >，∵20a ab >>，故C 成立，因为0,0a b <> 所以10a <，10b >，则11a b<，成立，故D 正确，故选：ACD ．10．ABC【分析】不等式220x x -+>的解集为R ，再求出各个选项的不等式的解，即得解.【详解】解：因为2(1)4270∆=--⨯=-<，二次函数的图象开口朝上，所以不等式220x x -+>的解集为R ，A.14(1)(2)70∆=-⨯--=-<，二次函数的图象开口朝下，所以220x x --<+的解集为R ；B.2(3)42270∆=--⨯⨯=-<，二次函数的图象开口朝上，所以不等式22320x x -+>的解集为R ；C.2(1)413110∆=--⨯⨯=-<，二次函数的图象开口朝上，所以不等式230x x -+≥的解集为R ；D. 220x x +->，所以(2)(1)0,1x x x +->∴>或2x <-，与已知不符.故选：ABC11．BD【分析】由基本不等式知识对选项逐一判断【详解】对于A ，当0x <时，0y <，故A 错误，对于B ，由基本不等式知当0ab >，则2b a a b+≥，故B 正确，对于C ，令22122x x +=+，方程无解，则2212132x x +++≥+等号不成立，故C 错误，对于D ，当0x <时，12x x +≤-，当1x =-时等号成立，故函数()120y x x x =++<的最大值为0，故D 正确，故选：BD12．AB【分析】利用基本不等式可判断AB ，利用不等式的性质可判断C ，利用作差法可判断D ．【详解】对于选项A ，若102x <<，则1－2x ＞0，2x ＞0，则2112121(12)2(12)2228x x x x x x +-⎛⎫-=⨯-≤⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当212x x =-，即14x =时，等号成立，即x (1﹣2x )的最大值为18，故A 正确；对于选项B ，当43x <时，430x ->，∵13134y x x =-+-14333143x x ⎛⎫=--++≤-= ⎪-⎝⎭，当且仅当14343x x-=-，即1x =时，等号成立，即13134y x x =-+-的最大值是1，故B 正确；对于选项C ：∵13a <<，25b <<，∵226a <<，1536b -<-<-，∵122311a b -<-+<，故C 错误；对于选项D ，∵()227M a a =-+，()()23N a a =--，∵()()222213247561024M N a a a a a a a ⎛⎫-=-+--+=++=++> ⎪⎝⎭， ∵M N >，故D 错误；故选：AB.13．∅【分析】根据解一元二次不等式的方法进行求解即可.【详解】2260226x x x x ⇒->++<-，因为一元二次方程2260x x ++=的判别式2246200∆=-⨯=-<，二次函数226y x x =++的开口向上，所以不等式2260x x ++<的解集为空集，故答案为：∅14．[3,4]【分析】由不含参的一元二次不等式的解法即可得出结论.【详解】由(4)(3)0x x --≥，解得：34x ≤≤.所以(4)(3)0x x --≥的解集是：[3,4]故答案为：[3,4]15．()1,3-【分析】根据分式不等式与一元二次不等式之间的转化，即可根据一元二次不等式进行求解. 【详解】由301x x -<+，得()()310x x -+<，解得13x ，所以不等式301x x -<+的解集为()1,3-.故答案为：()1,3-16．M N >【分析】利用作差法直接比较大小.【详解】解：因为23M x x =-,233N x x =-+-所以()()222213334434202M N x x x x x x x ⎛⎫-=---+-=-+=-+> ⎪⎝⎭ 所以M N >.故答案为：M N >.17．（1）2256259x x x x ++<++；（2）2(3)(2)(4)x x x ->--【分析】利用作差法，分析两式之差的正负判定即可【详解】（1）因为()()2225625930x x x x x ++-++=--<，故2256259x x x x ++<++；（2）因为()()2220(63)(2)(4)9681x x x x x x x --=--++---=>，故2(3)(2)(4)x x x ->--【点睛】本题主要考查了作差法判定两式大小的问题，属于基础题18．(1)(,2)(3,)-∞⋃+∞(2)(,3)(3,)-∞⋃+∞(3)∅(4)()2,3-【分析】利用一元二次不等式的解法即可.（1）原不等式化为(2)(3)0x x -->,解得2x <或3x >,所以解集为(,2)(3,)-∞⋃+∞.（2）原不等式化为2(3)0x ->,解得3x ≠,所以解集为(,3)(3,)-∞⋃+∞.（3）原不等式化为230x x -+<,因为24110b ac ∆=-=-<，则不等式无解，即原不等式的解集为∅.（4）由()()023x x +-<解得23x -<<,所以解集为()2,3-.19．(1){|3}x x ≠-；(2){|03}x x <<；(3){|57}x x <<．【分析】（1）二次三项式配方，由平方的性质可得不等式的解集；（2）不等式两边同乘以1-，然后左边因式分解，转化为两个一元一次不等式组求解；（3）移项，通分，再把分子、分母中最高次项化为正数，然后转化为两个一元一次不等式组求解．（1）2690x x ++>可化为2(3)0x +>，所以30x +≠，即3x ≠-，解集为{|3}x x ≠-；（2）230x x ->或化为230x x -<，即(3)0x x -<，所以030x x >⎧⎨-<⎩或030x x <⎧⎨->⎩， 030x x >⎧⎨-<⎩的解集为03x <<，030x x <⎧⎨->⎩无解，综上，原不等式的解集为{|03}x x <<；（3）325x x ->-化为3205x x -->-，即705x x -+>-，即705x x -<-，所以7050x x ->⎧⎨-<⎩或7050x x -<⎧⎨->⎩，不等式组7050x x ->⎧⎨-<⎩无解，不等式7050x x -<⎧⎨->⎩的解集为57x <<．综上，原不等式的解集为{|57}x x <<．20．(1)10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦； (2)18【分析】（1）由,a b 是正数，再结合基本不等式即可得到答案；（2）利用基本不等式“1”的整体替换即可得到答案（1）因为,a b 是正数，且1a b +=，所以由基本不等式得a b +≥，即1≥，所以14ab ≤，当且仅当12a b ==时，取等号；因为,a b 是正数，所以0ab >，所以ab 的取值范围10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦；（2）因为正数,a b 满足1a b +=，所以()282828281101018b a a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=+⨯=+⨯+=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当28b a a b =即12,33a b ==时，取等号，所以28a b+的最小值为18 21．(1){}12A B x x ⋂=-<<；(2)2a ≤.【分析】（1）解不等式求出集合B ，再根据交集的定义求A B ；（2）由A B A =得到A B ⊂，再根据集合间的包含关系列不等式即可.（1）由{}260B x x x =+-<得{}32B x x =-<<，因为4a =，所以{}14A x x =-<<，所以{}12A B x x ⋂=-<<.（2）因为A B A =，所以A B ⊂，∵当A =∅时,1a ≤-；∵当A ≠∅时，12a a >-⎧⎨≤⎩，即12a -<≤，综上所述，2a ≤.22．(1)菜园的长x 为，宽y 为时，所用篱笆总长最小 (2)310【分析】（1）利用基本不等式求解和的最小值；（2）利用基本不等式“1”的妙用求解最小值.（1）由题意得，36xy =，所用篱笆总长为2x y +.因为22x y +≥=当且仅当2x y =时，即x =y =.所以菜园的长x 为，宽y 为时，所用篱笆总长最小.（2）由题意得，230x y +=，()2121121221325530303010x y y x x y xy x y x y x y ⎛⎛⎫⎛⎫+=+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当22y x x y =，即10x y ==时等号成立，所以2x y xy +的最小值是310.。

高中数学第二章一元二次函数方程和不等式经典知识题库(带答案)

高中数学第二章一元二次函数方程和不等式经典知识题库单选题1、若对任意实数x >0,y >0，不等式x +√xy ≤a(x +y)恒成立，则实数a 的最小值为（） A ．√2−12B ．√2−1C ．√2+1D ．√2+12答案：D分析：分离变量将问题转化为a ≥x+√xy x+y对于任意实数x >0,y >0恒成立，进而求出x+√xy x+y的最大值，设√yx=t(t >0)及1+t =m(m >1)，然后通过基本不等式求得答案.由题意可得，a ≥x+√xy x+y对于任意实数x >0,y >0恒成立，则只需求x+√xy x+y的最大值即可，x+√xy x+y=1+√y x 1+y x，设√yx =t(t >0)，则1+√y x 1+y x=1+t1+t 2，再设1+t =m(m >1)，则1+√y x 1+y x=1+t 1+t 2=m 1+(m−1)2=m m 2−2m+2=1m+2m−2≤2√m⋅m−2=2√2−2=√2+12，当且仅当m =2m⇒√y x=√2−1时取得“=”.所以a ≥√2+12，即实数a 的最小值为√2+12. 故选：D.2、已知函数y =ax 2+2bx −c(a >0)的图象与x 轴交于A (2,0)、B (6,0)两点，则不等式cx 2+2bx −a <0 的解集为（）A ．(−6,−2)B ．(−∞,16)∪(12,+∞) C ．(−12,−16)D ．(−∞,−12)∪(−16,+∞) 答案：D解析：利用函数图象与x 的交点，可知ax 2+2bx −c =0(a >0)的两个根分别为x 1=2或x 2=6，再利用根与系数的关系，转化为b =−4a ，c =−12a ，最后代入不等式cx 2+2bx −a <0，求解集. 由条件可知ax 2+2bx −c =0(a >0)的两个根分别为x 1=2或x 2=6，则2+6=−2ba，2×6=−ca ，得b =−4a ，c =−12a ， ∴cx 2+2bx −a <0⇔−12ax 2−8ax −a <0，整理为：12x 2+8x +1>0⇔(2x +1)(6x +1)>0，解得：x >−16或x <−12，所以不等式的解集是(−∞,−12)∪(−16,+∞). 故选：D小提示：思路点睛：本题的关键是利用根与系数的关系表示b =−4a ，c =−12a ，再代入不等式cx 2+2bx −a <0化简后就容易求解. 3、已知a >b >c >0，则（） A ．2a b (a −c ) C ．1a−c >1b−c D ．(a −c )3>(b −c )3 答案：D分析：由不等式的性质判断ACD ；取特殊值判断B.解：对于A ，因为a >b >c >0，所以a +a >b +a >b +c ，即2a >b +c ，故错误；对于B ，取a =3>b =2>c =1>0，则a (b −c )=3b >c >0，得a −c >b −c >0，所以1a−c<1b−c，故错误；对于D ，由a >b >c >0，得a −c >b −c >0，所以(a −c )3>(b −c )3，故正确. 故选：D.4、《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC =a ，BC =b ，则该图形可以完成的无字证明为（）A ．a+b 2≥√ab(a >0,b >0)B ．a 2+b 2≥2√ab(a >0,b >0)C ．2aba+b ≤√ab(a >0,b >0)D ．a+b 2≤√a 2+b 22(a >0,b >0)答案：D分析：根据图形，求出圆的半径以及OC .再利用勾股定理求得FC ,结合直角三角形的直角边长小于斜边长，可得答案.设AC=a,BC=b，可得圆O的半径为r=OF=12AB=a+b2，又由OC=OB−BC=a+b2−b=a−b2，在直角△OCF中，可得FC2=OC2+OF2=(a−b2)2+(a+b2)2=a2+b22，因为FO≤FC，所以a+b2≤√a2+b22，当且仅当a=b时取等号．故选：D.5、已知a>1，则a+4a−1的最小值是（）A．5B．6C．3√2D．2√2答案：A分析：由于a>1，所以a−1>0，则a+4a−1=(a−1)+4a−1+1，然后利用基本不等式可求出其最小值由于a>1，所以a−1>0所以a+4a−1=a−1+4a−1+1≥2√(a−1)⋅4(a−1)+1=5，当且仅当a−1=4a−1，即a=3时取等号.故选：A.6、不等式1+x1−x≥0的解集为（）A．{x|x≥1或x≤−1}B．{x∣−1≤x≤1} C．{x|x≥1或x<−1}D．{x|−1≤x<1}答案：D分析：不等式等价于x+1x−1≤0，即(x+1)(x−1)≤0，且x−1≠0，由此求得不等式的解集．不等式等价于x+1x−1≤0，即(x+1)(x−1)≤0，且x−1≠0，解得−1≤x<1，故不等式的解集为{x|−1≤x<1}，故选：D．7、已知关于x 的不等式mx 2−6x +3m <0在(0，2]上有解，则实数m 的取值范围是（） A ．(−∞，√3)B ．(−∞，127)C ．(√3，+∞)D ．(127，+∞) 答案：A分析：分离参数，将问题转换为m <6xx 2+3在(0，2]上有解，设函数g(x)=6xx 2+3，x ∈(0，2]，求出函数g(x)=6x x 2+3的最大值，即可求得答案.由题意得，mx 2−6x +3m <0，x ∈(0，2]，即m <6xx 2+3，故问题转化为m <6xx 2+3在(0，2]上有解，设g(x)=6xx 2+3，则g(x)=6xx 2+3=6x+3x，x ∈(0，2]，对于x +3x≥2√3 ，当且仅当x =√3∈(0,2]时取等号，则g(x)max =2√3=√3，故m <√3 ，故选：A8、已知a,b 为正实数且a +b =2，则b a+2b的最小值为（）A ．32B ．√2+1C ．52D ．3 答案：D分析：由题知ba +2b =2(1a +1b )−1，再结合基本不等式求解即可. 解：因为a,b 为正实数且a +b =2，所以b =2−a ，所以，ba+2b=2−a a +2b =2a +2b −1=2(1a +1b)−1 因为2a +2b =2(1a +1b )=(a +b )(1a +1b )=2+ba +ab ≥2+2=4，当且仅当a =b =1时等号成立；所以ba +2b =2−a a+2b =2a +2b −1≥3，当且仅当a =b =1时等号成立；故选：D 多选题9、已知正数a，b满足a2+b2=2a+2b，若a+b∈Z，则a+b的值可以是（）A．2B．3C．4D．5答案：BC分析：利用基本不等式构造关于a+b的一元二次不等式，即可求解.解：2(a+b)=a2+b2=12(a2+b2+a2+b2)≥12(a+b)2（当且仅当a=b时，取等号），即(a+b)2−4(a+b)≤0，解得：0≤a+b≤4，又a+b=2时，ab=0，不合题意，故选：BC10、某辆汽车以xkm/ℎ的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全，要求60≤x≤120）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为15(x−k+4500x)L，其中k为常数．若汽车以120km/h的速度行驶时，每小时的油耗为11.5L，欲使每小时的油耗不超过．．．9L，则速度x的值可为（）A．60B．80C．100D．120答案：ABC解析：先利用120km/h时的油耗，计算出k的值，然后根据题意“油耗不超过9L”列不等式，解不等式求得x的取值范围.由汽车以120km/h的速度行驶时，每小时的油耗为11.5L，∴15(120−k+4500120)=11.5，解得：k=100，故每小时油耗为15(x+4500x)−20，由题意得15(x+4500x)−20≤9，解得：45≤x≤100，又60≤x≤120，故60≤x≤100，所以速度x的取值范围为[60,100].故选：ABC小提示：关键点点睛：本题考查利用待定系数法求解析式，考查一元二次不等式的解法，解题的关键是先利用120km/h时的油耗，计算出k的值，然后代入根据题意解不等式，考查实际应用问题，属于中档题.11、下列结论正确的是（）A．当x>0时，√x√x≥2B．当x>2时，x+1x的最小值是2C．当x<54时，4x−2+14x−5的最小值是5D．设x>0，y>0，且x+y=2，则1x +4y的最小值是92答案：AD分析：由已知结合基本不等式检验各选项即可判断．解：x>0时，√x+√x⩾2，当且仅当x=1时取等号，A正确；当x>2时，x+1x >52，没有最小值，B错误；当x<54时，4x−2+14x−5=4x−5+14x−5+3=−(5−4x+15−4x)+3⩽−2√(5−4x)15−4x+3=1，有最大值，没有最小值，C错误；x>0，y>0，x+y=2，则1x +4y=(1x+4y)(x+y)×12=12(5+yx+4xy)⩾12(5+4)=92，当且仅当yx =4xy且x+y=2即x=23，y=43时取等号，故选：AD．12、2022年1月，在世界田联公布的2022赛季首期各项世界排名中，我国一运动员以1325分排名男子100米世界第八名，极大地激励了学生对百米赛跑的热爱．甲、乙、丙三名学生同时参加了一次百米赛跑，所用时间（单位：秒）分别为T1，T2，T3．甲有一半的时间以速度（单位：米/秒）V1奔跑，另一半的时间以速度V2奔跑；乙全程以速度√V1V2奔跑；丙有一半的路程以速度V1奔跑，另一半的路程以速度V2奔跑．其中V1>0，V2>0．则下列结论中一定成立的是（）A．T1≤T2≤T3B．T1≥T2≥T3C．T1T3=T22D．1T1+1T3=1T2答案：AC分析：首先利用时间和速度的关系表示三人的时间，再利用不等式的关系，结合选项，比较大小，即可判断选项.由题意12T1V1+12T1V2=100，所以T1=100V1+V22，T2=V1V2，T3=50V1+50V2=1002V1V2V1+V2，根据基本不等式可知V 1+V 22≥√V 1V 2≥2V 1V 2V 1+V 2>0，故T 1≤T 2≤T 3，当且仅当V 1=V 2时等号全部成立，故A 选项正确，B 选项错误； T 1T 3=100V 1+V 22×1002V 1V 2V 1+V 2=1002V 1V 2=T 22，故C 选项正确；1T 1+1T 3=V 1+V 22100+2V 1V 2V 1+V 2100≠√V 1V 2100=1T 2，故D 选项错误．故选：AC ．13、十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是（）A ．若a >b >0，则1a<1b B ．若a,b,∈R ，则3a 2+b 2≥2√3abC ．若a >b >0，c >0，则ac −bc >0D ．若a b >0，所以1a −1b =b−a ab <0，故A 正确；对于B ，3a 2+b 2−2√3ab =(√3a −b)2≥0，故B 正确；对于C ，若a >b >0，c >0，则ac >bc ，即ac −bc >0，故C 正确；对于D ，当a =−2，b =1时，满足a |b |，故D 不正确．故选：ABC ．填空题 14、函数f(x)=√ax 2+3ax+1的定义域是R ，则实数a 的取值范围为________．答案：[0,49)分析：由题知不等式ax 2+3ax +1>0恒成立，进而分a =0和a ≠0两种情况讨论求解即可. 解：因为函数f (x )的定义域是R . 所以不等式ax 2+3ax +1>0恒成立．所以，当a =0时，不等式等价于1>0，显然恒成立；当a ≠0时，则有{a >0Δ<0，即{a >09a 2−4a <0，解得0<a <49.综上，实数a的取值范围为[0,49).故答案为: [0,49)15、若实数a,b满足a2+b2=1，则1a2+4b2+1的最小值为_________.答案：92##4.5分析：根据实数a,b满足a2+b2=1，利用“1”的代换得到1a2+4b2+1=12(1a2+4b2+1)⋅(a2+b2+1)=1 2(5+b2+1a2+4a2b2+1)，再利用基本不等式求解.因为实数a,b满足a2+b2=1，所以1a2+4b2+1=12(1a2+4b2+1)⋅(a2+b2+1)=12(5+b2+1a2+4a2b2+1)，≥12(5+2√(b2+1a2)⋅(4a2b2+1))=92，当且仅当{b2+1a2=4a2b2+1a2+b2+1=2，即a=√63,b=√33时，等号成立，所以1a2+4b2+1的最小值为92，所以答案是：9216、若实数a>b，则下列说法正确的是__________．（1）a+c>b+c；（2）ac<bc；（3）1a <1b；（4）a2>b2答案：（1）分析：根据不等式的性质以及特殊值验证法，对四个说法逐一分析，由此确定正确的说法. 根据不等式的性质（1）正确；（2）中如果c≥0时不成立，故错误；（3）若a=1,b=−1时，1a <1b不成立，故错误；（4）若a=1,b=−1，a2>b2不成立，故错误.故答案为:（1）小提示：本小题主要考查不等式的性质，属于基础题.解答题17、在△ABC 中，2B =A +C .（1）当AC =12时，求S △ABC 的最大值；（2）当S △ABC =4√3时，求△ABC 周长的最小值. 答案：（1）36√3；（2）12.分析：（1）由题意，B =60°，b =12，由余弦定理、基本不等式，即可求S △ABC 的最大值；（2）当S △ABC =4√3时，求出ac ，利用余弦定理、基本不等式，即可求出△ABC 周长的最小值. 解：（1）由题意，B =60°，b =12，∴由余弦定理可得122=a 2+c 2−2accos60°≥ac ， ∴ac ≤144，∴S △ABC =12acsinB ≤36√3， ∴S △ABC 的最大值为36√3；（2）S △ABC =4√3=12ac ×√32， ∴ac =16，又b 2=a 2+c 2−2accos60°=(a +c)2−48， b 2=a 2+c 2−2accos60°≥ac ， ∴a +c =√b 2+48，b ≥4∴△ABC 周长为a +b +c ≥8+4=12当且仅当时，△ABC 周长的最小值为12.小提示：本题考查了余弦定理、基本不等式，考查三角形面积、周长的求解，考查学生分析解决问题的能力，属于较难题.18、（1）若x >1，求y =x +4x−1的最小值及对应x 的值；（2）若0<x <2，求4x +12−x 的最小值及对应x 的值．答案：（1）最小值为5，x =3；（2）最小值为92，x =43．分析：（1）化简y =x −1+4x−1+1，再利用基本不等式求解；a b c ==（2）化简y=12(4x+12−x)×2=12(4x+12−x)×[x+(2−x)]，再利用基本不等式求解.（1）因为x>1，所以x−1>0,4x−1>0，y=x−1+4x−1+1≥2√(x−1)(4x−1)+1=5当且仅当x−1=4x−1(x>1)即x=3时等号成立，函数取最小值5；（2）y=12(4x+12−x)×2=12(4x+12−x)×[x+(2−x)]=12[5+4(2−x)x+x2−x]≥12(5+2√4(2−x)x×x2−x)=92当且仅当4(2−x)x =x2−x(0<x<2)即x=43时等号成立，函数取最小值92.。

人教A版(2019)高一数学第二章《一元二次函数、方程和不等式》练习题(含答案)

人教A 版（2019）高一数学第二章《一元二次函数、方程和不等式》练习题（含答案）一、单选题1．设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（）A ．4B ．8C ．16D ．32 2．已知a ，b ∈R ，0a b >>，则下列不等式中一定成立的是（）A ．11a a b b ->- B ．11a b b >- C ．11a a b b +>+ D ．11a b b a->- 3．已知不等式组121x m mx n +<⎧⎨->⎩的解集为（2，3），则（） A ．23m n <⎧⎨>⎩B ．23m n =⎧⎨=⎩C ．23m n >⎧⎨<⎩D ．23m n =⎧⎨=⎩4．设a b c d ,,,为实数，且0a b c d >>>>，则下列不等式正确的是（） A ．2c cd >B ．a d b c +<+C ．ad bc <D ．2211a b > 5．下列不等式中成立的是（）A ．若0a b >>，则22ac bc >B ．若0a b >>，则22a b >C ．若0a b <<，则22a ab b <<D ．若0a b <<，则11a b < 6．已知,,a b c 为正数，则“222a b c +>”是“a b c +>”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知a ，b ＞0，且a ＋2b ＝1，则12a b+的最小值为（） A ．6 B ．8 C ．9 D ．10 8．若1x >，则函数221x y x x +=+-的最小值为（）A ．4B ．5C ．7D ．9二、多选题 9．若a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是（）A ．若0ab ≠且a b <，则11a b> B ．若01a <<，则2a a < C ．若0a b >>且0c >，则b c b a c a +>+ D ．222(1)a b a b +≥+- 10．已知a ，b ，c ，d 均为实数，则下列命题正确的是（）A ．若a >b ，c >d ，则a -d >b -cB ．若a >b ，c >d 则ac >bdC ．若ab >0，bc -ad >0，则c d a b> D ．若a >b ，c >d >0，则a b d c > 11．下列四个命题中，正确的是（）A ．若,a b c d >>，则a c b d ->-B ．若a b >，且11a b >，则0ab <C ．若0,0a b c >>>，则b c b a c a +>+D ．若0a b <<，则2a ab <12．已知0a >，0b >，且1a b +=，则（）A ．2728a b +≥B ．114a b +≤C ．14ab ≤D ≤三、填空题13．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若74a =，则678a a a ++的最小值为______．14．已知正数a ，b 满足5a b +=，则2112a b++的最小值为___________. 15．已知21a b +=（a ，0b >），则41a b b ++的最小值为________． 16．已知正数x 、y 满足341x y +=，则xy 的最大值为_________．四、解答题17．已知函数()218=++f x ax bx ，()0f x >的解集为()3,2-．(1)求()f x 的解析式；(2)当0x >时，求()21f x y x-=的最大值．18．已知函数()()24,f x ax x c a c R =-+∈，满足()29f = ，()f c a < ，且函数()f x 的值域为[)0,+∞ ．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）设函数()()()3f x kx g x k R x+-=∈，对任意[]1,2x ∈ ，存在[]01,1x ∈- ，使得()()0g x f x < 求k 的取值范围．19．已知正实数x ，y 满足441x y +=.（1）求xy 的最大值；（2）若不等式2415a a x y+≥+恒成立，求实数a 的取值范围.20．某居民小区欲在一块空地上建一面积为21200m 的矩形停车场，停车场的四周留有人行通道，设计要求停车场外侧南北的人行通道宽3m ，东西的人行通道宽4m ，如图所示（图中单位：m ），问如何设计停车场的边长，才能使人行通道占地面积最小？最小面积是多少？21．若关于x 的不等式240x mx m -+<的解集为()12,x x ．(1)当1m =时，求121144x x +--的值； (2)若120,0x x >>，求1211x x +的值及124x x +的最小值．22．已知集合{24}A x x =<<，集合2{1}B x m x m =-<<.(1)若A B =∅；求实数m 的取值范围；(2)命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值集合.23．在ABC 中，内角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，已知2cos 2a B c b =-．（1）求角A 的值；（2）若5b =，5AC CB ⋅=-，求ABC 的周长；（3）若2sin 2sin b B c C bc +=+，求ABC 面积的最大值参考答案1．B2．C3．B4．C5．B6．A7．C8．C9．BCD10．AC11．BC12．ACD13．1214．34##0.75 15．916．14817．（1）解：因为函数()218=++f x ax bx ，()0f x >的解集为()3,2-，那么方程2180ax bx ++=的两个根是3-，2，且0a <，由韦达定理有321318332b a a b a ⎧-+=-=-⎪=-⎧⎪⇒⎨⎨=-⎩⎪-⨯=⎪⎩所以()23318f x x x =--+．（2）解：()221333133f x x x y x x x x ----⎛⎫===-+- ⎪⎝⎭，由0x >，所以12x x +≥=，当且仅当1x x =，即1x =时取等号，所以1339x x ⎛⎫-+-≤- ⎪⎝⎭，当1x =时取等号，∴当1x =时，max 9y =-．18．（Ⅰ）根据()29f =，可得417a c += ．由函数()f x 的值域为[)0,+∞ 知，方程240ax x c -+=，判别式0∆= ，即4ac = . 又()f c a < ，24ac c c a ∴-+< ，即c a < ，解得：4,1a c ==，()2441f x x x ∴=-+ ．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f(x)的对称轴为1x 2=，则当=-1x 时，()f x 取得最大值为9，若对任意[]1,2x ∈，存在[]01,1x ∈-，使得()()0g x f x < ，即()244139x x kx g x x-++-=<，即()241320x k x +--< 对任意[]1,2x ∈恒成立．设()()24132h x x k x =+-- ，则()()1020h h ⎧<⎪⎨<⎪⎩，即116k k <⎧⎨<⎩，解得k 6< ． k ∴的取值范围是(),6-∞19．（1）441x y +=，所以14x y =+≥164xy ≤，当且仅当18x y ==取等号，∴xy 的最大值为164.（2）()414116444202036y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当16x =，112y =取等号， ∴2536a a +≤，解得94a -≤≤.即a 的取值范围是[]9,4-.20．设矩形停车场南北侧边长为()m 0x x >，则其东西侧边长为1200xm ，人行通道占地面积为()212007200681200848m S x x x x ⎛⎫=++-=++ ⎪⎝⎭，由均值不等式，得27200848482244896m S x x =++≥=⨯+=，当且仅当72008x x =，即30m x =时，2min 96m S =，此时120040m x =．所以，设计矩形停车场南北侧边长为30m ，则其东西侧边长为40m ，人行通道占地面积最小528m 2．21．(1)由题可知关于x 的方程2410x x -+=有两个根12,x x ，所以1212Δ1640,4,1,x x x x =->⎧⎨+==⎩ 故()12121212811444441611616x x x x x x x x +--+===----++-+． (2)由题意关于x 的方程240x mx m -+=有两个正根，所以有212121212Δ>01640,040,00,m m x x x x m x x x x m ⎧⎧->⎪⎪+>⇒+=>⎨⎨⎪⎪>=>⎩⎩解得14m ＞；同时12124x x x x +=，由120,0x x >>得12114x x +=，所以()211212121241111441444x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于2112,0x x x x >，所以211244x x x x +≥，当且仅当21124x x x x =，即122x x =，且12124x x x x +=，解得1233,48x x ==时取得“=”，此时实数91324m =>符合条件，故12944x x +≥，且当932m =时，取得最小值94． 22．(1) ∵A B =∅，∴当B =∅时，m －1≥m 2，解得：m ∈∅.当B ≠∅时，m －1≥4或m 2≤2，∴m ≤5m ≥.(2)∵x ∈A 是x ∈B 的充分条件，∴A ⊆B ，∴2124m m -≤⎧⎨≥⎩，解得：m ≤－2或2≤m ≤3. 所以实数m 的取值集合为{2m m ≤-或}23m ≤≤23．（1）2cos 22sin cos 2sin sin a B c b A B C B =-⇒⋅=-,∴2sin cos 2sin()sin 2(sin cos cos sin )sin A B A B B A B A B B ⋅=⋅+-=⋅+⋅-,∴1cos 2A =, 0A π<<,3A π∴=;（2）2()AC CB AC AB AC AC AB AC ⋅=⋅-=⋅-255cos 5255832c c c π=⋅⋅-=-=-⇒=，在ABC 中利用余弦定理得：2222212cos 58258492a b c b c A =+-⋅⋅=+-⋅⋅⋅=， 7a ∴=，∴ABC ∆的周长为：58720++=；（3）sin sin b c s A a inB C ====∴sin B =sin C =，∴22b c b c bc a a+=，)2221cos 222a abc a abc A +-=⇒=⇒=⇒a =)222233b c b c bc +-=⇒+=+，323bc bc bc ∴+⇒，等号成立当且仅当b c =， ABC面积的最大值为1sin 2maxbc A ⎛⎫ ⎪⎝⎭.。

高中数学必修第一册第二章《一元二次函数、方程和不等式》测试卷

2020-2021学年高中数学必修第一册第二章《一元二次函数、方程和不等式》测试卷解析版一．选择题（共8小题）1．已知正实数a ，b 满足a +b ＝2，则√a +1+√b +1的最大值为（）A ．2√2B ．4C ．4√2D ．16解：因为（√a +1+√b +1）2＝（a +1）（b +1）+2√a +1•√b +1≤（a +1）+（b +1）+（a +1）+（b +1）＝2（a +b +2）＝8，当且仅当a ＝b ＝1时取等号，由：（√a +1+√b +1）2最大值为8，所以√a +1+√b +1的最大值为2√2．故选：A ．2．已知m ＝a +1a−2（a ＞2），n ＝4﹣b 2（b ≠0），则m ，n 之间的大小关系是（）A ．m ＞nB ．m ＜nC ．m ＝nD ．不确定解：∵a ＞2，∴a ﹣2＞0，∴m =a +1a−2=(a −2)+1a−2+2≥2√(a −2)⋅1a−2+2=4，由b ≠0得，b 2＞0，∴n ＝4﹣b 2＜4，∴m ＞n ．故选：A ．3．若a ＞0，b ＞0，a +2b ＝1，则2a +3a+1b 的最小值为（）A ．8B ．6C ．12D ．9 解：2a +3a+1b =2a+4b a +3a+a+2b b =4+4b a +4a b ≥4+2√4b a ×4a b =12．（当且仅当a ＝b时取“＝”）．故选：C ．4．不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为（﹣4，1），则不等式b （x 2+1）﹣a （x +3）+c ＞0的解集为（）A ．(−43，1)B ．(−1，43)C ．(−∞，−43)∪(1，+∞)D ．(−∞，−1)∪(43，+∞)解：不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为（﹣4，1），则不等式对应方程的实数根为﹣4和1，且a ＜0；由根与系数的关系知，{−4+1=−b a −4×1=c a ， ∴{b =3a c =−4a， ∴不等式b （x 2+1）﹣a （x +3）+c ＞0化为3a （x 2+1）﹣a （x +3）﹣4a ＞0，即3（x 2+1）﹣（x +3）﹣4＜0，解得﹣1＜x ＜43，∴该不等式的解集为（﹣1，43）．故选：B ．5．已知函数f （x ）＝x 2+ax +b （a ，b ∈R ）的最小值为0，若关于x 的不等式f （x ）＜c 的解集为（m ，m +4），则实数c 的值为（）A ．9B ．8C ．6D ．4解：f （x ）＝x 2+ax +b （a ，b ∈R ）的值域为[0，+∞），∴4b−a 24=0，∴b =a 24，∵f （x ）＜c 的解集为（m ，m +4），∴f （x ）﹣c ＝0的根为m ，m +4，即x 2+ax +a 24−c ＝0的根为m ，m +4， ∵（m +4﹣m ）2＝（﹣a ）2﹣4（a 24−c ），∴4c ＝16，c ＝4．故选：D ． 6．已知正实数p ，q ，r 满足：（1+p ）（1+q ）＝（1+r ）2，a =√pq ，b =p+q 2，c =√p 2+q 22，则以下不等式正确的是（）A ．r ≤aB ．a ≤r ≤bC ．b ≤r ≤cD ．r ≥c。

高一数学必修一第二章一元二次函数、方程和不等式单元测试试卷 (3)

高一数学必修一第二章一元二次函数、方程和不等式单元测试试卷 (3)数学第二章测试卷A卷本试卷满分100分，考试时间80分钟。

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题5分，共计25分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）1.若$a+b+c=0$，且$a<b<c$，则下列不等式一定成立的是A。

$ab<bc$B。

$ab<ac$XXX<bc$D。

$ab<bc$2.已知正数$a$、$b$满足$\frac{22}{1194}+\frac{a}{b}=1$，则$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$的最小值是A。

6B。

12C。

24D。

363.已知二次函数$f(x)=x^2+bx+c$的两个零点分别在区间$(-2,-1)$和$(-1,0)$内，则$f(3)$的取值范围是A。

$(12,20)$B。

$(12,18)$C。

$(18,20)$D。

$(8,18)$4.若$x>0$，$y>0$，且$\frac{2}{x+1}+\frac{1}{x+2y}=1$，则$2x+y$的最小值为A。

2B。

$\frac{2}{3}$C。

$2+\frac{2}{3}$D。

$3$5.关于$x$的不等式$(ax-1)<x$恰有2个整数解，则实数$a$的取值范围是A。

$-\frac{34}{43}<a\leq-\frac{3}{4}$或$\frac{4}{3}<a\leq\frac{43}{34}$B。

$-\frac{3}{4}<a\leq-\frac{2}{3}$或$\frac{2}{3}<a\leq\frac{3}{4}$C。

$-\frac{34}{43}\leq a<-\frac{3}{4}$或$\frac{4}{3}\leq a<\frac{43}{34}$D。

$-\frac{3}{4}\leq a<-\frac{2}{3}$或$\frac{2}{3}\leq a\leq\frac{3}{4}$二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共计10分。

人教版高中数学必修第一册第二章一元二次函数、方程和不等式单元测试卷

人教版高中数学必修第一册第二章一元二次函数、方程和不等式单元测试卷一、单选题 1．不等式(x ＋3)2＜1的解集是（） 2．A ．{x |x ＞－2} B ．{x |x ＜－4} C ．{x |－4＜x ＜－2}D ．{x |－4≤x ≤－2}2．已知2t a b =+，21s a b =++ ，则t 和s 的大小关系为（） A ．t s > B ．t s ≥ C ．t s <D ．t s ≤3．不等式220ax bx ++>的解集为{}12x x -<<，则a b +=（） A ．0B ．1-C ．1D ．2-4．若不等式组2142x ax a ⎧->⎨-<⎩的解集非空，则实数a 的取值范围是（）A ．()1,3-B ．(,1)(3,)-∞-+∞C ．()3,1-D ．(,3)(1,)-∞-⋃+∞5．对x R ∀∈，不等式()()222240a x a x -+--<恒成立，则a 的取值范围是（） A ．22a -<≤B ．22a -≤≤C ．2a <-或2a ≥D ．2a ≤-或2a ≥6．已知不等式()19a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥对任意实数x 、y 恒成立，则实数a 的最小值为（）A ．8B ．6C ．4D ．27．已知1230m m m >>>，则使得()()211123i m x i -<=，，都成立的x 取值范围是（）A ．110m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．120m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．310m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．320m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，8．如图，某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y（单位：10万元）与营运年数x （x∈N ）为二次函数关系，若使营运的年平均利润最大，则每辆客车应营运（）A ．3年B ．4年C ．5年D ．6年9．若12a <<，13b -<<，则-a b 的值可能是（） A ．4B ．2C ．2-D ．4-10．若0a B ．11a b> C ．222a b ab +> D ．a b +>-11．已知函数11y x x=++（0x <），则该函数的（）． A ．最小值为3 B ．最大值为3 C ．没有最小值 D ．最大值为1-二、多选题 12．已知,a b R +∈且1a b +=，那么下列不等式中，恒成立的有（）． 13．A ．14abB ．1174ab ab +C 2bD ．11222a b+ 三、填空题 13．若关于x 的不等式2260tx x t -+<的解集为{|x x a <或1}x >，则=a _____，t =_____． 14．对于实数x ，当且仅当n ≤x <n ＋1(n ∈N *)时，[x ]＝n ，则关于x 的不等式4[x ]2－36[x ]＋45<0的解集为________．15．当122x ≤≤时，函数2,()y x bx c b c R =++∈与21x x y x++'=在同一点取得相同的最小值，那么当122x ≤≤时，2y x bx c =++的最大值是______． 16．已知04x <<，则414x x+-的最小值为______．四、解答题 17．已知函数22y x x c =++的图象经过原点．求解不等式220x x c ++<．18．当,p q 都为正数且1p q +=时，试比较代数式2()px qy +与22+px qy 的大小.19．已知不等式组22430680x x x x ⎧-+<⎨-+<⎩的解集M 是不等式2290x x a -+<解集的子集，求实数a 的取值范围.20．()1已知3x >，求43y x x =+-的最小值，并求取到最小值时x 的值； ()2已知0x >，0y >，223x y +=，求xy 的最大值，并求取到最大值时x 、y 的值．21．已知a,b,c 均为正实数,且a+b+c=1,求证：(1a -1)(1b -1)(1c-1)≥8．22．已知0,0x y >>且191x y+=，求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围．参考答案：1．C 【解析】原不等式可化为x 2＋6x ＋8＜0，解得－4＜x ＜－2.选C. 2．D 【解析】利用作差法，令s t -，结果配方，判断符号后得出结论．【详解】2221(2)21(1)0s t a b a b b b b -=++-+=-+=-≥，故有s t ≥，故选：D ．【点睛】本题考查用比较法证明不等式的方法，作差﹣﹣变形﹣﹣判断符号﹣﹣得出结论涉及完全平方公式的应用．属于基础题. 3．A 【解析】由不等式220ax bx ++>的解集为{}12x x -<<，得到1,2-是方程220ax bx ++=的两个根，由根与系数的关系求出,a b ，即可得到答案．【详解】由题意，可得不等式220ax bx ++>的解集为{}12x x -<<，所以1,2-是方程220ax bx ++=的两个根，所以可得12ba-+=-，212a -⨯=，解得1a =-，1b =，所以0a b +=，故选：A ． 4．A 【解析】分别解出两个不等式的解，再根据集合交集的概念求解．【详解】由题意124x a x a ⎧>+⎨<+⎩，∈2124a a +<+，即2230a a --<，解得13a -<<．故选：A ．【点睛】本题考查不等式组的解，考查集合的交集运算，属于基础题． 5．A 【解析】对a 讨论，结合二次函数的图象与性质，解不等式即可得到a 的取值范围. 【详解】不等式()()222240a x a x -+--<对一切x ∈R 恒成立，当20a -=，即2a =时，40-<恒成立，满足题意；当20a -≠时，要使不等式恒成立，需200a -<⎧⎨∆<⎩，即有()()22421620a a a <⎧⎪⎨-+-<⎪⎩，解得22a -<<.综上可得，a 的取值范围为(]2,2-. 故选：A. 6．C 【解析】由题意可知，()min 19a x y x y ⎡⎤⎛⎫++≥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，将代数式()1a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开后利用基本不等式求出该代数式的最小值，可得出关于a 的不等式，解出即可. 【详解】()11a ax yx y a x y y x ⎛⎫++=+++⎪⎝⎭. 若0xy <，则0yx<，从而1ax y a y x +++无最小值，不合乎题意；若0xy >，则0yx>，0x y >.∈当0a <时，1ax ya y x+++无最小值，不合乎题意；………内∈当0a =时，111ax y y a y x x +++=+>，则()19a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥不恒成立； ∈当0a >时，())211111a ax y x y a a a x y y x ⎛⎫++=+++≥+=+= ⎪⎝⎭，当且仅当=y 时，等号成立. 所以，)219≥，解得4a ≥，因此，实数a 的最小值为4.故选：C. 【点睛】本题考查基本不等式恒成立问题，一般转化为与最值相关的不等式求解，考查运算求解能力，属于中等题. 7．B 【解析】先解出不等式()()211123i m x i -<=，，的解集，得到当123i =，，时，不等式的解集，最后求出它们的交集即可. 【详解】因为1230m m m >>>，所以()()()22111230123i im x i x i m -<=⇒<<=，，，，，因为1230m m m >>>，所以123222m m m <<，要想使得()()211123i m x i -<=，，都成立，所以x 取值范围是120m ⎛⎫⎪⎝⎭，，故本题选B.【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了不等式的性质应用，考查了数学运算能力. 8．C 【解析】可设y=a(x －6)2+11，又曲线过(4，7)，∈7=a(4－6)2+11 ∈a=－1．即y=－x 2+12x －25，∈=12－(x+)≤12－2=2，当且仅当x=5时取等号. 故选C ．9．B 【解析】运用不等式的性质求出-a b 的范围即可.【详解】因为12a <<，13b -<<，所以31b -<< 所以23a b -<-< 故选：B 【点睛】本题考查的是不等式的性质，较简单. 10．D 【解析】将0a ->a b ，利用不等式的基本性质判断A ，B 的正误，利用重要不等式判断C 的正误，利用特殊值判断D 的正误. 【详解】因为0a ->a b 所以a b >，11a b -<-即11a b>，故A ，B 正确. 因为()20a b -≥，所以222a b ab +≥，所以222a b ab +>故C 正确. 当 2,1a b =-=-时， +<-a b D 错误. 故选：D 【点睛】本题主要考查不等式的基本性质，基本不等式，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 11．D 【解析】先由基本不等式得到12x x--≥，再转化得到111y x x =++≤-（0x <），最后判断选项即可. 【详解】解：因为0x <，所以0x ->，10x->，由基本不等式：1()()2x x -+-≥=，当且仅当1x x-=-即1x =-时，取等号.所以12x x--≥，即12x x +≤-，所以111y x x =++≤-（0x <），当且仅当1x x-=-即1x =-时，取等号.故该函数的最大值为：1- 故选：D 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，是基础题. 12．ABC 【解析】利用基本不等式，逐个进行验证，即可得到结论．【详解】,,1a b R a b +∈+=，2124a b ab +⎛⎫∴= ⎪⎝⎭(当且仅当12a b ==时取得等号)．所以选项A 正确由选项A 有14ab ≤，设1y x x =+，则1y x x =+在104⎛⎤⎥⎝⎦，上单调递减. 所以1117444ab ab +≥+=，所以选项B 正确 2(2a b a b ab a b a b +=+++++=(当且仅当12a b ==时取得等号)， 2b ．所以选项C 正确.113332222222a b a b b a b a b a b a b a +++=+=+++=+222a b =时等号成立），所以选项D 不正确．故A ，B ，C 正确故选：ABC 【点睛】本题考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题 13． 3- 3- 【解析】由不等式的解集可确定对应二次函数图像的开口和对应二次方程的两根，由根与系数关系即可求得a 和t 的值. 【详解】由不等式2260tx x t -+<的解集为{xx a <∣或1}x >，可知不等式对应二次函数图像开口向下即0t <，且1，a 是方程2260tx x t -+=的两根，由根与系数的关系可得61,,a t a t ⎧+=⎪⎨⎪=⎩解得2,2a t =⎧⎨=⎩或3,3.a t =-⎧⎨=-⎩ 0t <，3,3a t ∴=-=-，故答案为：-3，-3 【点睛】本题考查一元二次不等式与二次函数图像，二次方程之间关系的应用，属于基础题. 14．{x |2≤x <8} 【解析】求解不等式4[x ]2－36[x ]＋45<0，得出32<[x ]<152，根据题意，进而得出x 的范围.【详解】由4[x ]2－36[x ]＋45<0，得32<[x ]<152，又当且仅当n ≤x <n ＋1(n ∈N *)时，[x ]＝n ，所以[x ]＝2，3，4，5，6，7，所以所求不等式的解集为{x |2≤x <8}．故答案为：{x |2≤x <8} 【点睛】本题考查了二次不等式求解问题，考查了阅读能力、逻辑推理能力和数学运算能力，属于一般题目. 15．4．【解析】先利用基本不等式求得21x x y x ++'=图象的最低点坐标，根据二次函数的性质求得b 和c ，最后根据x 的范围求得2y x bx c =++的最大值．【详解】21113x x y x x x '++==++≥(当且仅当1x =时取等号)所以当1x =时，y '取得最小值3，所以函数2,()y x bx c b c R =++∈在122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，当1x =时有最小值3. 所以二次函数2y x bx c =++的顶点坐标为()1,3 2(1)3y x ∴=-+．∴当2x =时，max 4y =．故答案为：4 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，基本不等式的应用．考查了学生对二次函数图象的理解和灵活运用，属于中档题. 16．94．【解析】用“1”的代换法配凑出定值，然后用基本不等式得最小值．【详解】4144114(4)95444444x x x x x x x x x x +--⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=++ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当4(4)4x x x x -=-，解得1288,3x x ==，又因为04x <<，所以83x =时等号成立．故答案为：94．【点睛】本题考查用基本不等式求最值，解题关键是要配凑出定值，“1”的代换是常用方法．用基本不等式求最值时一定要注意等号成立的条件是否能满足． 17．{}20x x -<<. 【解析】待定系数法求c ，再解一元二次不等式即可. 【详解】解：22y x x c =++的图象经过原点，0c ∴=．即求解220x x +<，解得20x -<<，即不等式的解集为{}20x x -<<．【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，是基础题. 18．222()px qy px qy +≤+ 【解析】用作差的方法，因式分解，利用1p q +=，化简可得2)0(pq x y --≤，进而得出结果.【详解】22222()(1)(1)2()px qy px qy p p x q q y pqxy +-+=-+-+因为1p q +=，所以1,1p q q p -=--=-因此222222()()(2)()+-+=-+-=--px qy px qy pq x y xy py x y 因为,p q 为正数，所以2)0(pq x y --≤因此222()()+≤+px qy px qy ，当且仅当x y =时等号成立【点睛】本题考查了用作差的方法比较大小，考查了运算求解能力，属于中档题目. 19．(,9]-∞ 【解析】首先解一元二次不等式求出解集M ，由M 是2290x x a -+<解集的子集知，2290x x a -+<在{}|23x x <<上恒成立. 令229y x x a =-+，则函数在()2,3上的最大值不超过0，即可求出参数的取值范围；【详解】解：{}22(1)(3)013430|23(2)(4)024680x x x x x x x x x x x x x ⎧⎧--<<<-+<⎧⎪⇒⇒⇒∈<<⎨⎨⎨--<<<-+<⎩⎪⎩⎩. 所以{}|23M x x =<<，由M 是2290x x a -+<解集的子集知，2290x x a -+<在{}|23x x <<上恒成立. 令229y x x a =-+，只需该函数在{}|23x x <<上的最大值不超过0即可. 因该函数的对称轴为94x =，所以max 9y a =-+，所以90a -+≤，解得9a ≤. 故实数a 的取值范围是(,9]-∞. 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，不等式恒成立问题，属于中档题.20．()1当5x =时，y 的最小值为7．()2 2x =，3y =时，xy 的最大值为6．【解析】()1直接利用基本不等式的关系式的变换求出结果．()2直接利用基本不等式的关系式的变换求出结果．【详解】 ()1已知3x >，则：30x ->，故：44333733y x x x x =+=-++≥=--，当且仅当：433x x -=-，解得：5x =，即：当5x =时，y 的最小值为7． ()2已知0x >，0y >，223x y +=，则：23x y +≥ 解得：6xy ≤，即：123x y ==，解得：2x =，3y =时，xy 的最大值为6．【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 21．证明见解析【解析】主要考查不等关系与基本不等式．证明：因为a, b, c (0,),∈+∞且a+b+c=1，所以111(1)(1)(1)()()()8.a b c a a b c b a b c c a b c a b c b c a c b a a a b b c c ++-++-++----=⋅⋅=+++≥⨯=． 22．16m . 【解析】要使不等式x y m +≥恒成立，只需求x y +的最小值，将19()x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭展开利用基本不等式可求解. 【详解】由191x y +=，则19()x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭910x y y x =++910216y +=．当且仅当169x y x y y x +=⎧⎪⎨=⎪⎩即412x y =⎧⎨=⎩时取到最小值16．若x y m +恒成立，则16m ．【点睛】本题考查不等式恒成立问题，考查利用基本不等式求最值问题，属于基础题.。

高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式专项训练(带答案)

高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式专项训练单选题1、若a>0，b>0，则下面结论正确的有（）A．2(a2+b2)≤(a+b)2B．若1a +4b=2，则a+b≥92C．若ab+b2=2，则a+b≥4D．若a+b=1，则ab有最大值12答案：B分析：对于选项ABD利用基本不等式化简整理求解即可判断，对于选项C取特值即可判断即可. 对于选项A：若a>0，b>0，由基本不等式得a2+b2≥2ab，即2(a2+b2)≥(a+b)2，当且仅当a=b时取等号；所以选项A不正确；对于选项B：若a>0，b>0，1 2×(1a+4b)=1，a+b=12×(1a+4b)(a+b)=12(5+ba+4ab)≥12(5+2√ba⋅4ab)=92，当且仅当1a +4b=2且ba=4ab，即a=32,b=3时取等号，所以选项B正确；对于选项C：由a>0，b>0，ab+b2=b(a+b)=2，即a+b=2b，如b=2时，a+b=22=1<4，所以选项C不正确；对于选项D：ab≤(a+b2)2=14，当且仅当a=b=12时取等则ab有最大值14，所以选项D不正确；故选：B2、若不等式2x2+2mx+m4x2+6x+3<1对一切实数x均成立，则实数m的取值范围是（）A ．(1,3)B ．(−∞,1)C ．(−∞,1)∪(3,+∞)D ．(3,+∞) 答案：A分析：因为4x 2+6x +3=4(x +34)2+34>0恒成立，则2x 2+2mx+m 4x 2+6x+3<1恒成立可转化为2x 2+(6−2m )x +(3−m )>0恒成立，则Δ<0，即可解得m 的取值范围因为4x 2+6x +3=4(x +34)2+34>0恒成立所以2x 2+2mx+m 4x 2+6x+3<1恒成立⇔2x 2+2mx +m <4x 2+6x +3恒成立 ⇔2x 2+(6−2m )x +(3−m )>0恒成立故Δ=(6−2m )2−4×2×(3−m )<0 解之得：1<m <3 故选：A3、若不等式ax 2+bx +2>0的解集是{x |−12<x <13}，则ax +b >0的解集为（）A ．(−∞,−16)B ．(−∞,16)C ．(−16,+∞)D ．(16,+∞)答案：A分析：利用根于系数的关系先求出a,b ，再解不等式即可. 不等式ax 2+bx +2>0的解集是{x |−12<x <13} 则根据对应方程的韦达定理得到：{(−12)+13=−ba(−12)⋅13=2a ，解得{a =−12b =−2，则−12x −2>0的解集为(−∞,−16) 故选：A4、不等式|5x −x 2|<6的解集为（）A ．{x|x <2,或x >3}B ．{x|−1<x <2,或3<x <6}C ．{x|−1<x <6}D ．{x|2<x <3}答案：B分析：按照绝对值不等式和一元二次不等式求解即可. 解：∵|5x−x2|<6，∴−6<5x−x2<6∴{x 2−5x−6<0x2−5x+6>0⇒{−1<x<6x<2或x>3⇒−1<x<2或3<x<6则不等式的解集为：{x|−1<x<2或3<x<6}故选：B.5、已知x>0，y>0，且x+y=2，则下列结论中正确的是（）A．2x +2y有最小值4B．xy有最小值1C．2x+2y有最大值4D．√x+√y有最小值4答案：A分析：利用基本不等式和不等式的性质逐个分析判断即可解：x>0，y>0，且x+y=2，对于A，2x +2y=12(x+y)(2x+2y)=2+xy+yx≥2+2√xy⋅yx=4，当且仅当x=y=1时取等号，所以A正确，对于B，因为2=x+y≥2√xy，所以xy≤1，当且仅当x=y=1时取等号，即xy有最大值1，所以B错误，对于C，因为2x+2y≥2√2x⋅2y=2√2x+y=4，当且仅当x=y=1时取等号，即2x+2y有最小值4，所以C错误，对于D，因为(√x+√y)2=x+y+2√xy≤2(x+y)=4，当且仅当x=y=1时取等号，即√x+√y有最大值4，所以D错误，故选：A6、已知集合M={x|−4<x<2}，N={x|x2−x−6<0}，则M∩N=A．{x|−4<x<3}B．{x|−4<x<−2}C．{x|−2<x<2}D．{x|2<x<3}答案：C分析：本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．由题意得，M={x|−4<x<2},N={x|−2<x<3}，则M∩N={x|−2<x<2}．故选C．小提示：不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．7、关于x的方程x2+(m−2)x+2m−1=0恰有一根在区间(0,1)内，则实数m的取值范围是（）A．[12,32]B．(12,23]C．[12,2)D．(12,23]∪{6−2√7}答案：D分析：把方程的根转化为二次函数的零点问题，恰有一个零点属于(0,1)，分为三种情况，即可得解. 方程x2+(m-2)x+2m-1=0对应的二次函数设为：f(x)=x2+(m-2)x+2m-1因为方程x2+(m-2)x+2m-1=0恰有一根属于(0,1)，则需要满足：①f(0)⋅f(1)<0，(2m-1)(3m-2)<0，解得：12<m<23；②函数f(x)刚好经过点(0,0)或者(1,0)，另一个零点属于(0,1)，把点(0,0)代入f(x)=x2+(m-2)x+2m-1，解得：m=12，此时方程为x2-32x=0，两根为0，32，而32⋅(0,1)，不合题意，舍去把点(1,0)代入f(x)=x2+(m-2)x+2m-1，解得：m=23，此时方程为3x2-4x+1=0，两根为1，13，而13⋅(0,1)，故符合题意；③函数与x轴只有一个交点，Δ=(m-2)2-8m+4=0，解得m=6±2√7，经检验，当m=6-2√7时满足方程恰有一根在区间 (0,1) 内;综上：实数m的取值范围为(12,23]⋅{6-2√7}故选：D8、已知1a <1b<0，则下列结论正确的是（）A．a|b|D．ab>b2答案：B分析：结合不等式的性质、差比较法对选项进行分析，从而确定正确选项.因为1a <1b<0，所以b<a<0，故A错误；因为b<a<0，所以a+b<0,ab>0，所以a+b<ab，故B正确；因为b<a<0，所以|a|>|b|不成立，故C错误；ab−b2=b(a−b)，因为b<a<0，所以a−b>0，即ab−b2=b(a−b)<0，所以ab<b2成立，故D错误.故选：B多选题9、若a，b，c∈R，则下列命题正确的是（）A．若ab≠0且a<b，则1a >1bB．若0<a<1，则a2<aC．若a>b>0且c>0，则b+ca+c >baD．a2+b2+1≥2(a−2b−2)答案：BCD分析：由不等式的性质逐一判断即可.解：对于A，当a<0<b时，结论不成立，故A错误；对于B，a2<a等价于a(a−1)<0，又0<a<1，故成立，故B正确；对于C，因为a>b>0且c>0，所以b+ca+c >ba等价于ab+ac>ab+bc，即(a−b)c>0，成立，故C正确；对于D，a2+b2+1≥2(a−2b−2)等价于(a−1)2+(b+2)2≥0，成立，故D正确. 故选：BCD.10、已知正实数a，b满足a+b=ab，则（）A．a+b≥4B．ab≥6C．a+2b≥3+2√2D．ab2+ba2≥1答案：ACD分析：根据特殊值判断B，利用ab⩽(a+b)24判断A，利用换“1”法判断C，变形后利用基本不等式判断D. 对于B，当a=b=2时，满足a+b=ab，此时ab<6，B错误；对于A，ab⩽(a+b)24，则(a+b)24⩾a+b，变形可得a+b⩾4，当且仅当a=b=2时等号成立，A正确；对于C ，a +b =ab ，变形可得1a +1b =1，则有a +2b =(a +2b)(1a +1b )=3+2b a+ab ⩾3+2√2，当且仅当a =2b 时等号成立，C 正确；对于D ，ab 2+ba 2=a 3+b 3a 2b 2=(a+b)(a 2+b 2−ab)a 2b 2=b a +ab −1⩾2−1=1，当且仅当a =b =2时等号成立，D 正确；故选：ACD11、对任意两个实数a,b ，定义min{a ，b}={a,a ≤b,b,a >b,若f (x )=2−x 2，g (x )=x 2，下列关于函数F (x )=min {f (x ),g (x )}的说法正确的是（） A ．函数F (x )是偶函数 B ．方程F (x )=0有三个解C ．函数F (x )在区间[−1,1]上单调递增D ．函数F (x )有4个单调区间答案：ABD分析：结合题意作出函数F (x )=min {f (x ),g (x )}的图象，进而数形结合求解即可.解：根据函数f (x )=2−x 2与g (x )=x 2，，画出函数F (x )=min {f (x ),g (x )}的图象，如图．由图象可知，函数F (x )=min {f (x ),g (x )}关于y 轴对称，所以A 项正确；函数F (x )的图象与x 轴有三个交点，所以方程F (x )=0有三个解，所以B 项正确；函数F (x )在(−∞,−1]上单调递增，在[−1,0]上单调递减，在[0,1]上单调递增，在[1,+∞)上单调递减，所以C 项错误，D 项正确．故选：ABD填空题12、若不等式kx2+2kx+2<0的解集为空集，则实数k的取值范围是_____．答案：{k|0≤k≤2}分析：分k=0和k>0两种情况讨论，当k>0时需满足Δ≤0，即可得到不等式，解得即可；解：当k=0时，2<0不等式无解，满足题意；当k>0时，Δ=4k2−8k≤0，解得0<k≤2；综上，实数k的取值范围是{k|0≤k≤2}．所以答案是：{k|0≤k≤2}13、已知a,b,a+m均为大于0的实数,给出下列五个论断:①a>b,②a<b,③m>0,④m<0,⑤b+ma+m >ba.以其中的两个论断为条件,余下的论断中选择一个为结论,请你写出一个正确的命题___________. 答案：①③推出⑤(答案不唯一还可以①⑤推出③等)解析：选择两个条件根据不等式性质推出第三个条件即可，答案不唯一.已知a,b,a+m均为大于0的实数,选择①③推出⑤.①a>b，③m>0，则b+ma+m −ba=ab+am−ab−bma(a+m)=am−bma(a+m)=(a−b)ma(a+m)>0，所以b+ma+m >ba.所以答案是：①③推出⑤小提示：此题考查根据不等式的性质比较大小，在已知条件中选择两个条件推出第三个条件，属于开放性试题，对思维能力要求比较高.14、已知不等式ax2+bx+c>0的解集为(2,4)，则不等式cx2+bx+a<0的解集为___________.答案：{x|x>12或x<14}分析：先由不等式ax2+bx+c>0的解集为(2,4)，判断出b=-6a,c=8a,把cx2+bx+a<0化为8x2−6x+ 1>0，即可解得.因为不等式ax2+bx+c>0的解集为(2,4)，所以a<0且2和4是ax2+bx+c=0的两根.所以{2+4=−ba2×4=ca可得：{b=−6ac=8a，所以cx2+bx+a<0可化为：8ax2−6ax+a<0，因为a<0，所以8ax2−6ax+a<0可化为8x2−6x+1>0，即(2x−1)(4x−1)>0，解得：x>12或x<14，所以不等式cx2+bx+a<0的解集为{x|x>12或x<14}.所以答案是：{x|x>12或x<14}.解答题15、回答下列问题：(1)若a>b，且c>d，能否判断a−c与b−d的大小？举例说明．(2)若a>b，且c<d，能否判断a+c与b+d的大小？举例说明．(3)若a>b，且c>d，能否判断ac与bd的大小？举例说明．(4)若a>b，c<d，且c≠0，d≠0，能否判断ac 与bd的大小？举例说明．答案：(1)不能判断，举例见解析(2)不能判断，举例见解析(3)不能判断，举例见解析(4)不能判断，举例见解析分析：因为a,b,c,d的正负不确定，因此可举例说明每个小题中的两式的大小关系不定. （1）不能判断a−c与b−d的大小，举例：取a=5,b=3,c=1,d=0，满足条件a>b，且c>d，此时a−c>b−d；取a=5,b=4,c=3,d=0，满足条件a>b，且c>d，此时a−c<b−d；取a=5,b=4,c=3,d=2，满足条件a>b，且c>d，此时a−c=b−d；（2）不能判断a+c与b+d的大小，举例：取a=5,b=3,c=0,d=1，满足条件a>b，且c<d，此时a+c>b+d；取a=5,b=3,c=2,d=6，满足条件a>b，且c<d，此时a+c<b+d.取a=5,b=3,c=4,d=6，满足条件a>b，且c<d，此时a+c=b+d；（3）不能判断ac与bd的大小，举例：取a=5,b=3,c=1,d=0，满足条件a>b，且c>d，此时ac>bd；取a=5,b=3,c=−3,d=−5，满足条件a>b，且c>d，此时ac=bd；取a=5,b=−3,c=1,d=−2，满足条件a>b，且c>d，此时ac<bd；（4）不能判断ac 与bd的大小举例：取a=6,b=3,c=1,d=2，满足条件a>b，且c<d，此时ac >bd；取a=2,b=1,c=−1,d=2，满足条件a>b，且c<d，此时ac <bd；取a=6,b=3,c=−2,d=−1，满足条件a>b，且c<d，此时ac =bd；。

高中数学第二章一元二次函数方程和不等式专项训练题(带答案)

高中数学第二章一元二次函数方程和不等式专项训练题单选题1、实数a,b 满足a >b ，则下列不等式成立的是（） A ．a +b <ab B ．a 2>b 2C ．a 3>b 3D ．√a 2+b 2<a +b 答案：C分析：利用不等式的性质逐一判断即可. A ，若a =1,b =0，则a +b >ab ，故A 错误； B ，若a =1,b =−2，则a 2b ，则a 3−b 3=(a −b )(a 2+ab +b 2)=(a −b )[(a +b 2)2+3b 24]>0，所以a 3>b 3，故C 正确；D ，若a =1,b =−2，则√a 2+b 2>a +b ，故D 错误. 故选：C2、若a,b,c ∈R ，则下列命题为假命题的是（） A ．若√a >√b ，则a >b B ．若a >b ，则ac >bc C ．若b >a >0，则1a >1b D ．若ac 2>bc 2，则a >b 答案：B分析：根据不等式的性质逐一分析各选项即可得答案. 解：对A ：因为√a >√b ，所以a >b ≥0，故选项A 正确；对B ：因为a >b ，c ∈R ，所以当c >0时，ac >bc ；当c =0时，ac =bc ；当c <0时，ac <bc ，故选项B 错误；对C ：因为b >a >0，所以由不等式的性质可得1a>1b >0，故选项C 正确；对D ：因为ac 2>bc 2，所以c 2>0，所以a >b ，故选项D 正确. 故选：B.3、若x >53，则3x +43x−5的最小值为（）A ．7B ．4√3C ．9D ．2√3 答案：C分析：利用基本不等式即可求解. 解：∵x >53， ∴3x −5>0，则3x +43x−5=(3x −5)+43x−5+5≥2√(3x −5)⋅43x−5+5=9，当且仅当3x −5=2时，等号成立，故3x +43x−5的最小值为9，故选：C ．4、已知2<a <3，−20，a +4b =ab ，则a +b 的最小值为（） A ．10B ．9C ．8D ．4 答案：B分析：由题可得4a +1b =1，根据a +b =(a +b )(4a +1b )展开利用基本不等式可求.∵a,b >0，a +4b =ab ，∴4a +1b =1， ∴a +b =(a +b )(4a +1b )=4b a +a b +5≥2√4b a ⋅ab +5=9，当且仅当4ba =ab 时等号成立，故a +b 的最小值为9. 故选：B.23,21<<-<<-a b6、已知两个正实数x ，y 满足x +y =2，则1x+9y+1的最小值是（）A ．163B ．112C ．8D ．3 答案：A分析：根据题中条件，得到1x +9y+1=13(1x +9y+1)[x +(y +1)]，展开后根据基本不等式，即可得出结果. 因为正实数x,y 满足x +y =2，则1x +9y+1=13(1x +9y+1)[x +(y +1)]=13(10+y+1x+9x y+1)≥13(10+2√y+1x⋅9x y+1)=163，当且仅当y+1x=9xy+1，即x =34,y =54时，等号成立.故选：A ．小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.7、关于x 的方程x 2+2(m −1)x +m 2−m =0有两个实数根α，β，且α2+β2=12，那么m 的值为（） A ．−1B ．−4C ．−4或1D ．−1或4 答案：A分析：α2+β2=(α+β)2−2α⋅β，利用韦达定理可得答案. ∵关于x 的方程x 2+2(m −1)x +m 2−m =0有两个实数根， ∴Δ=[2(m −1)]2−4×1×(m 2−m )=−4m +4⩾0，解得：m ⩽1，∵关于x 的方程x 2+2(m −1)x +m 2−m =0有两个实数根α，β， ∴α+β=−2(m −1)，α⋅β=m 2−m ，∴α2+β2=(α+β)2−2α⋅β=[−2(m −1)]2−2(m 2−m )=12，即m 2−3m −4=0，解得：m =−1或m =4(舍去). 故选：A.8、已知实数x ，y 满足x 2+y 2=2，那么xy 的最大值为（） A ．14B ．12C ．1D ．2 答案：C分析：根据重要不等式x 2+y 2≥2xy 即可求最值，注意等号成立条件.由x 2+y 2=2≥2xy ，可得xy ≤1，当且仅当x =y =1或x =y =−1时等号成立. 故选：C. 多选题9、下面所给关于x 的不等式，其中一定为一元二次不等式的是（） A ．3x +4<0B ．x 2+mx -1>0 C ．ax 2+4x -7>0D ．x 2<0 答案：BD分析：利用一元二次不等式的定义和特征对选项逐一判断即可.选项A 是一元一次不等式，故错误；选项B ，D ，不等式的最高次是二次，二次项系数不为0，故正确；当a =0时，选项C 是一元一次不等式，故不一定是一元二次不等式，即错误. 故选：BD.10、已知a >0，b >0，且a 2+b 2=2，则下列不等式中一定成立的是（） A ．ab ≥1B ．a +b ≤2 C ．lga +lgb ≤0D ．1a +1b ≤2 答案：BC分析：对于AD ，举例判断，对于BC ，利用基本不等式判断解：对于A ，令a =√22,b =√62满足a 2+b 2=2，则ab =√22×√62=√32<1，所以A 错误，对于B ，因为(a +b)2=a 2+b 2+2ab =2+2ab ≤2+a 2+b 2=4，所以a +b ≤2，当且仅当a =b =1时取等号，所以B 正确，对于C ，因为lga +lgb =lgab ≤lg a 2+b 22=lg1=0，当且仅当a =b =1时取等号，所以C 正确，对于D ，令a =√22,b =√62满足a 2+b 2=2，则1a +1b =√2+√63≈1.414+0.8165>2，所以D 错误，故选：BC11、已知a >0，b >0，且a +b =1，则（） A ．a 2+b 2≥12B ．2a−b >12C ．log 2a +log 2b ≥−2D ．√a +√b ≤√2 答案：ABD分析：根据a +b =1，结合基本不等式及二次函数知识进行求解. 对于A ，a 2+b 2=a 2+(1−a )2=2a 2−2a +1=2(a −12)2+12≥12，当且仅当a =b =12时，等号成立，故A 正确；对于B ，a −b =2a −1>−1，所以2a−b >2−1=12，故B 正确；对于C ，log 2a +log 2b =log 2ab ≤log 2(a+b 2)2=log 214=−2，当且仅当a =b =12时，等号成立，故C 不正确；对于D ，因为(√a +√b)2=1+2√ab ≤1+a +b =2，所以√a +√b ≤√2，当且仅当a =b =12时，等号成立，故D 正确；故选：ABD小提示：本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养.12、下列选项中正确的是（） A ．不等式a +b ≥2√ab 恒成立B ．存在实数a ，使得不等式a +1a ≤2成立 C ．若a ，b 为正实数，则ba +ab ≥2D ．若正实数x ，y 满足，则2x +1y ≥821x y +=答案：BCD分析：根据基本不等式的条件与“1”的用法等依次讨论各选项即可得答案. 解：对于A选项，当a<0,b<0时不成立，故错误；对于B选项，当a<0时，a+1a =−[(−a)+(−1a)]≤2，当且仅当a=−1等号成立，故正确；对于C选项，若a，b为正实数，则ba >0,ab>0，所以ba+ab≥2√ba⋅ab=2，当且仅当a=b时等号成立，故正确；对于D选项，由基本不等式“1”的用法得2x +1y=(2x+1y)(x+2y)=4+4yx+xy≥4+2√4yx⋅xy=8，当且仅当x=2y时等号成立，故正确.故选：BCD13、已知函数f(x)=x2−2(a−1)x+a，若对于区间[−1,2]上的任意两个不相等的实数x1，x2，都有f(x1)≠f(x2)，则实数a的取值范围可以是（）A．(−∞,0]B．[0,3]C．[−1,2]D．[3,+∞)答案：AD解析：对于区间[−1,2]上的任意两个不相等的实数x1，x2，都有f(x1)≠f(x2)，分析即f(x)在区间[−1,2]上单调，利用二次函数的单调区间判断.二次函数f(x)=x2−2(a−1)x+a图象的对称轴为直线x=a−1，∵任意x1,x2∈[−1,2]且x1≠x2，都有f(x1)≠f(x2)，即f(x)在区间[−1,2]上是单调函数，∴a−1≤−1或a−1≥2，∴a≤0或a≥3，即实数a的取值范围为(−∞,0]∪[3,+∞).故选：AD小提示：（1）多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证．（2）二次函数的单调性要看开口方向、对称轴与区间的关系．填空题14、已知三个不等式：①ab>0，②ca >db，③bc>ad，用其中两个作为条件，剩下的一个作为结论，则可组成______个真命题．答案：3分析：根据题意，结合不等式性质分别判断①、②、③作为结论的命题的真假性即可. 由不等式性质，得{ab >0c a >d b ⇒{ab >0bc−ad ab>0⇒bc >ad ；{ab >0bc >ad ⇒c a >d b ；{ca>d bbc >ad⇒{bc−adab>0bc >ad⇒ab >0．故可组成3个真命题．所以答案是：3.15、命题p:∀x ∈R ，x 2+ax +a ≥0，若命题p 为真命题，则实数a 的取值范围为___________. 答案：[0,4]分析：根据二次函数的性质判别式解题即可.∀x ∈R ，要使得x 2+ax +a ≥0，则Δ=a 2−4a ≤0，解得0≤a ≤4. 若命题p 为真命题，则实数a 的取值范围为[0,4]. 所以答案是：[0,4]. 16、a >b >c ，n ∈N ∗，且1a−b+1b−c≥n a−c恒成立，则n 的最大值为__．答案：4分析：将不等式变形分离出n ，不等式恒成立即n 大于等于右边的最小值；由于a −c =a −b +b −c ，凑出两个正数的积是常数，利用基本不等式求最值．解：由于1a−b+1b−c≥n a−c恒成立，且a >c即恒成立只要的最小值即可∵a −c a −b +a −c b −c =a −b +b −c a −b +a −b +b −cb −c=2+b −c a −b +a −bb −c∵a >b >ca c a cn a b b c --≤+--a c a cn a b b c --≤+--∴a −b >0，b −c >0，故(a−c a−b +a−cb−c )≥4，因此n ≤4 所以答案是：4．解答题17、（1）已知x >1，求4x +1+1x−1的最小值；（2）已知0<x <1，求x (4−3x )的最大值．答案：（1）9；（2）43．分析：（1）由于x −1>0，则4x +1+1x−1=4(x −1)+1x−1+5，然后利用基本不等式求解即可，（2）由于0<x <1，变形得x (4−3x )=13⋅(3x )⋅(4−3x )，然后利用基本不等式求解即可. （1）因为x >1，所以x −1>0，所以4x +1+1x−1=4(x −1)+1x−1+5≥2√4(x −1)⋅1x−1+5=9，当且仅当4(x −1)=1x−1，即x =32时取等号，所以4x +1+1x−1的最小值为9．（2）因为0<x <1，所以x (4−3x )=13⋅(3x )⋅(4−3x )≤13(3x+4−3x 2)2=43，当且仅当3x =4−3x ，即x =23时取等号，故x (4−3x )的最大值为43．18、在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，已知2acosB =2c −b ．（1）求角A 的值；（2）若b =5，AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−5，求△ABC 的周长；（3）若2bsinB +2csinC =bc +√3a ，求△ABC 面积的最大值．答案：（1）A =π3;（2）20;（3）3√34. 解析：（1）利用正弦定理及两角和的正弦公式展开，可得，可求得角A 的值；（2）根据向量的数量积及余弦定理分别求出a,c ，即可求得周长；1cos 2A（3）将利用正弦定理将角化成边，再利用余弦定理结合基本不等式可求得面积的最值；（1）∵2acosB =2c −b ⇒2sinA ⋅cosB =2sinC −sinB ,∴2sinA ⋅cosB =2⋅sin(A +B)−sinB =2(sinA ⋅cosB +cosA ⋅sinB)−sinB , ∴,∵0<A <π,∴A =π3;（2）∵AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2 =c ⋅5⋅cos π3−52=52c −25=−5⇒c =8，在△ABC 中利用余弦定理得：a 2=b 2+c 2−2b ⋅c ⋅cosA =52+82−2⋅5⋅8⋅12=49， ∴a =7，∴ΔABC 的周长为：5+8+7=20；（3）∵bsinB =csinC =asinA =√32=2√3a3，∴sinB =√32ba，sinC =√32ca， ∴2b ⋅√32⋅b a+2c ⋅√32⋅ca=bc +√3a ，∴√3(b 2+c 2−a 2)=abc ⇒√3⋅cosA =a2⇒√3⋅12=a2⇒a =√3， ∴√3(b 2+c 2−3)=√3bc ⇒b 2+c 2=3+bc ， ∴3+bc ⩾2bc ⇒bc ⩽3，等号成立当且仅当， △ABC 面积的最大值为(12bcsinA)max=3√34. 小提示：本题考查三角恒等变换、正余弦定理在解三角形中的应用，求解时注意选择边化成角或者角化成边的思路.1cos 2A =b c =。

精选练习部编统编高中数学必修A版第一册第二章《一元二次函数方程和不等式》课后作业同步练习含答案解析

【新教材统编版】高中数学必修A版第一册第二章《一元二次函数、方程和不等式》全章课后练习（含答案解析）第二章一元二次函数、方程和不等式 2.1等式性质与不等式性质（共2课时）（第1课时）一、选择题1．【2018-2019学年银川一中】下列说法正确的是( ) A.某人月收入x 不高于2000元可表示为" 2 000x <" B.小明的身高x ,小华的身高y ,则小明比小华矮表示为"x y >" C.某变量x 至少是a 可表示为"x a ≥" D.某变量y 不超过a 可表示为"y a ≥"2．【2018-2019正定一中期中】3.已知()12,0,1a a ∈,记12M a a =, 121N a a =+-,则M 与N 的大小关系是( )A. M N <B. M N >C. M N =D.不确定3. 【2018-2019莆田二中期末】某同学参加期末模拟考试，考后对自己的语文和数学成绩进行了如下估计：语文成绩()x 高于85分，数学成绩()y 不低于80分，用不等式组可以表示为( )A ．8580x y >⎧⎨⎩ B ．8580x x <⎧⎨⎩C ．8580x y ⎧⎨>⎩ D ．8580x y >⎧⎨<⎩ 4．【2018-2019湖南师大附中月考】有一家三口的年龄之和为65岁，设父亲、母亲和小孩的年龄分别为x 、y 、z ，则下列选项中能反映x 、y 、z 关系的是( )A ．65x y z ++=B ．65x y z x zy z ++=⎧⎪>⎨⎪>⎩C ．6500x y z x z y z ++=⎧⎪>>⎨⎪>>⎩D ．65656565x y z x y z ++=⎧⎪<⎪⎨<⎪⎪<⎩ 5. 【2018-2019六安中学月考】若2x ≠-且1y ≠,则2242M x y x y =++-的值与5-的大小关系是( )A. 5M >-B. 5M <-C. 5M ≥-D. 5M ≤-6．【2018-2019攀枝花市级联考】某公司从2016年起每人的年工资主要由三个项目组成并按下表规定实施：若该公司某职工在2018年将得到的住房补贴与医疗费之和超过基础工资的25%，到2018年底这位职工的工龄至少是( )A ．2年B ．3年C ．4年D ．5年二、填空题7．【2018-2019银川一中】若x ∈R ，则x 1＋x 2与12的大小关系为________． 8.【2018-2019学年山东威海市期中】一辆汽车原来每天行驶xkm ，如果该汽车每天行驶的路程比原来多19km ，那么在8天内它的行程将超过2200km ，用不等式表示为． 9．【2017-2018学年上海市金山中学】如图所示的两种广告牌,其中图(1)是由两个等腰直角三角形构成的,图(2)是一个矩形,从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系,并将这种关系用含字母(),a b a b ≠的不等式表示出来__________10．【2018广西玉林高一联考】近来鸡蛋价格起伏较大，假设第一周、第二周鸡蛋价格分别为a元/斤、b元/斤，家庭主妇甲和乙买鸡蛋的方式不同：家庭主妇甲每周买3斤鸡蛋，家庭主妇乙每周买10元钱的鸡蛋，试比较谁的购买方式更优惠（两次平均价格低视为实惠）__________．（在横线上填甲或乙即可）三、解答题11．【陕西省安康市高级中学检测】有一公园，原来是长方形布局，为美化市容，市规划局要对这个公园进行规划，将其改成正方形布局，但要求要么保持原面积不变，要么保持原周长不变，那么对这个公园选哪种布局方案可使其面积较大？12．【沈阳市东北育才学校2018-2019高一】某家庭准备利用假期到某地旅游,有甲、乙两家旅行社提供两种优惠方案,甲旅行社的方案是:如果户主买全票一张,其余人可享受五五折优惠;乙旅行社的方案是:家庭旅游算集体票,可按七五折优惠.如果这两家旅行社的原价相同,请问该家庭选择哪家旅行社外出旅游合算?参考答案： 1. 【答案】C【解析】对于,A x 应满足 2 000,x ≤故A 错;对于,,B x y 应满足x y <,故B 不正确; C 正确; 对于,D y 与a 的关系可表示为y a ≤,故D 错误. 2. 【答案】B【解析】由题意得()()1212121110M N a a a a a a -=--+=-->,故M N >.故选B3. 【答案】A 【解析】语文成绩()x 高于85分，数学成绩()y 不低于80分，8580x y >⎧∴⎨⎩，故选：A ． 4. 【答案】C 【解析】一家三口的年龄之和为65岁，设父亲、母亲和小孩的年龄分别为x 、y 、z ，65x y z ∴++=，0x z >>，0y z >>．故选：C ．5. 【答案】A【解析】()225425M x y x y --=++-+()()2221x y =++-,∵2,1x y ≠-≠,∴()220x +>,()210y ->,因此()()22210x y ++->.故5M >-. 6. 【答案】C【解析】设这位职工工龄至少为x 年，则2400160010000(110%)25%x +>+⨯，即40016003025x +>，即 3.5625x >，所以至少为4年．故选：C ． 7. 【答案】x 1＋x 2≤12【解析】∵x 1＋x 2－12＝2x －1－x 22(1＋x 2)＝－(x －1)22(1＋x 2)≤0，∴x 1＋x 2≤12.8. 【答案】8(19)2200x +> 【解析】汽车原来每天行驶xkm ，该汽车每天行驶的路程比原来多19km ，∴现在汽车行驶的路程为19x km +，则8天内它的行程为8(19)x km +，若8天内它的行程将超过2200km ，则满足8(19)2200x +>；故答案为：8(19)2200x +>； 9. 【答案】()2212a b ab +> 【解析】(1)中面积显然比(2)大,又(1)的面积()222211,2S a b a b =+=+ (2)的面积2S ab =,所以有()2212a b ab +> 10. 【答案】乙【解析】由题意得甲购买产品的平均单价为3362a b a b++=，乙购买产品的平均单价为2021010aba b a b=++，由条件得a b ≠． ∵()()22022a b a b ab a b a b -+-=>++， ∴22a b aba b+>+，即乙的购买方式更优惠． 11. 【答案】见解析；【解析】设这个公园原来的长方形布局的长为a ,宽为b (a>b ).若保持原面积不变，则规划后的正方形布局的面积为ab ;若保持周长不变，则规划后的正方形布局的周长为2(a+b )，所以其边长为2b a +,其面积为（2b a +）2.因为ab -（2b a +）2=ab -()()()04444222<--=+-=+b a b a ab b a (a>b ),所以ab <（2b a +）2.故保持原周长不变的布局方案可使公园的面积较大. 12. 【答案】见解析；【解析】设该家庭除户主外,还有()x x x N ∈人参加旅游, 甲、乙两旅行社收费总金额分别为12,y y ,—张全票的票价为a 元,则只需按两家旅行社的优惠条件分别计算出12,y y ,再比较12,y y 的大小即可.∵()120.55,0.751y a ax y x a =+=+,而()120.550.751y y a ax x a -=+-+()0.2 1.25a x =-. ∴当 1.25x >时. 12y y <;当 1.25x <时, 12y y >.又x 为正整数,所以当1x =时, 12y y >,即两口之家应选择乙旅行社; 当()1x x x N >∈时, 12y y <,即三口之家或多于三口的家庭应选择甲旅行社.2.1等式性质与不等式性质（第2课时）一、选择题1．（2019湖南高一期中）若a ＞b ，c ＞d ，下列不等式正确的是（） A ．c b d a ->-B ．ac bd >C ．a c b d ->-D ．a bd c> 2．（2019·福建高二期末）若,0a b c ac >><，则下列不等式一定成立的是 A ．0ab >B ．0bc <C ．ab ac >D ．()0b a c ->3．（2019·哈尔滨市呼兰区第一中高一期中）设11b a -<<<，则下列不等式恒成立的是（） A ．11b a> B ．11b a< C ．22b a < D ．2b a <4．（2019安徽郎溪中学高一期末）已知,a b 为非零实数，且a b <，则下列不等式成立的是（） A ．22a b C ．2211ab a b<D ．11a b a>- 5.（2019福建三明一中高一期中）已知实数,,a b c 满足c b a <<且0ac <，则下列选项中不．一定成立的是（） A ．ab ac >B ．()0c b a ->C ．()0ac a c -<D ．22cb ab <6（2019浙江绍兴一中高一月考）已知实数x ，y 满足41x y -≤-≤-，145x y -≤-≤，则9x y -的取值范围是（） A ．[7,26]- B ．[1,20]- C ．[4,15] D ．[1,15]二、填空题7．【2019咸阳中学高一检测】已知不等式：①a 2b 0>1b；③a 3<ab 2，如果a >0>b 且a 2>b 2，则其中正确不等式的个数是_______；8．（2019·吉林省实验高二期中（文））已知a ，b ，x 均为正数，且a ＞b ，则b a ____b xa x++（填“＞”、“＜”或“＝”）．9．（2019·浙江绍兴一中高一月考）已知1260a <<,1536b <<,则ab的取值范围为__________.10．（2019·上海高一期末）已知12,36a b ≤≤≤≤，则32a b -的取值范围为_____．三、解答题11．（2019·福建高一期中已知下列三个不等式： ①ab >0；②ca >db ；③bc >ad ，以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可组成几个正确命题？12．【沈阳市东北育才学校2018-2019高一】已知f (x )=ax 2−c,且－4≤f(1)≤－1,－1≤f(2)≤5,求f(3)的取值范围.参考答案： 1.【答案】A【解析】由题意，因为a b >，所以a b -<-，即b a ->-，又因为c d >，所以c b d a ->-，故选：A ． 2. 【答案】C【解析】取1,0,1a b c ===-代入，排除A 、B 、D ，故选：C 。

全国通用2023高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式必考考点训练

全国通用2023高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式必考考点训练单选题1、已知a >0，b >0，若a +4b =4ab ，则a +b 的最小值是（） A ．2B ．√2+1C ．94D ．52 答案：C分析：将a +4b =4ab ，转化为1b +4a =4，由a +b =14(a +b )(1b +4a )=14(5+ab +4b a)，利用基本不等式求解.因为a +4b =4ab ，所以1b +4a =4，所以a +b =14(a +b )(1b +4a )=14(5+ab +4b a)，≥14(5+2√ab ⋅4b a )=94，当且仅当{1b +4a =4a b=4b a，即{a =32b =34 时，等号成立，故选：C2、若(x −a)2<4成立的一个充分不必要条件是1+12−x ≤0，则实数a 的取值范围为（） A ．(−∞,4]B ．[1,4]C ．(1,4)D ．(1,4] 答案：D分析：解一元二次不等式､分式不等式求得题设条件为真时对应x 的范围，再根据条件的充分不必要关系求参数a 的取值范围.由(x −a)2<4，可得：a −2<x <a +2；由1+12−x=3−x2−x ≤0，则{(x −2)(x −3)≤02−x ≠0，可得2<x ≤3； ∵(x −a)2<4成立的一个充分不必要条件是1+12−x ≤0， ∴{a −2≤2a +2>3，可得1<a ≤4. 故选：D.3、已知正实数a ，b 满足a +1b=2，则2ab +1a的最小值是（）A ．52B ．3C ．92D ．2√2+1 答案：A分析：由已知得， a =2−1b代入得2ab +1a=2(2b −1)+b2b−1，令2b −1=t ，根据基本不等式可求得答案.解：因为a +1b=2，所以a =2−1b>0，所以0<b <2 ，所以2ab +1a =2(2−1b )b +b 2b−1=2(2b −1)+b2b−1，令2b −1=t ，则b =t +12，且−1<t <3 ，所以2ab +1a =2t +t +12t=2t +12t+12≥2√2t ⋅12t+12=52，当且仅当2t =12t，即t =12，b =34,a =23时，取等号，所以2ab +1a 的最小值是52. 故选：A.4、前后两个不等式解集相同的有（） ①x+52x−1≥0与(2x −1)(x +5)≥0 ②x+52x−1>0与(2x −1)(x +5)＞0③x 2(2x −1)(x +5)≥0与(2x −1)(x +5)≥0 ④x 2(2x −1)(x +5)＞0与(2x −1)(x +5)＞0 A ．①②B ．②④C ．①③D ．③④ 答案：B分析：由不含参的一元二次不等式，分式不等式、高次不等式的解法解出各个不等式，对选项一一判断即可得出答案.对于①，由x+52x−1≥0可得{2x −1≠0(x +5)(2x −1)≥0，解得：x >12或x ≤−5. (2x −1)(x +5)≥0的解集为：{x |x ≥12或x ≤−5}，故①不正确；对于②，由x+52x−1>0可得{2x −1≠0(x +5)(2x −1)>0，解得：x >12或x <−5. (2x −1)(x +5)>0的解集为：{x |x >12 或x <−5}，故②正确；对于③，x 2(2x −1)(x +5)≥0的解集为：{x |x =0 或x ≤−5或x ≥12}，(2x −1)(x +5)≥0的解集为：{x |x ≥12 或x ≤−5}，故③不正确；对于④，x 2(2x −1)(x +5)>0的解集为：{x |x <−5 或x >12}，(2x −1)(x +5)>0的解集为：{x |x >12或x <−5}，故④正确；故选：B.5、若不等式x 2+ax +1≥0对于一切x ∈(0,12]恒成立，则a 的最小值是（） A ．0B ．−2C ．−52D ．−3 答案：C解析：采用分离参数将问题转化为“a ≥−(x +1x )对一切x ∈(0,12]恒成立”，再利用基本不等式求解出x +1x 的最小值，由此求解出a 的取值范围.因为不等式x 2+ax +1≥0对于一切x ∈(0,12]恒成立，所以a ≥−(x +1x )对一切x ∈(0,12]恒成立，所以a ≥[−(x +1x)]max(x ∈(0,12])，又因为f (x )=x +1x 在(0,12]上单调递减，所以f (x )min =f (12)=52，所以a ≥−52，所以a 的最小值为−52，故选：C.小提示：本题考查利用基本不等式求解最值，涉及不等式在给定区间上的恒成立问题，难度一般.不等式在给定区间上恒成立求解参数范围的两种方法：参变分离法、分类讨论法. 6、若a >0，b >0，则下面结论正确的有（） A ．2(a 2+b 2)≤(a +b)2B ．若1a+4b=2，则 a +b ≥92C ．若ab +b 2=2，则a +b ≥4D ．若a +b =1，则ab 有最大值12 答案：B分析：对于选项ABD 利用基本不等式化简整理求解即可判断，对于选项C 取特值即可判断即可. 对于选项A ：若a >0，b >0，由基本不等式得a2+b2≥2ab，即2(a2+b2)≥(a+b)2，当且仅当a=b时取等号；所以选项A不正确；对于选项B：若a>0，b>0，1 2×(1a+4b)=1，a+b=12×(1a+4b)(a+b)=12(5+ba+4ab)≥12(5+2√ba⋅4ab)=92，当且仅当1a +4b=2且ba=4ab，即a=32,b=3时取等号，所以选项B正确；对于选项C：由a>0，b>0，ab+b2=b(a+b)=2，即a+b=2b，如b=2时，a+b=22=1<4，所以选项C不正确；对于选项D：ab≤(a+b2)2=14，当且仅当a=b=12时取等则ab有最大值14，所以选项D不正确；故选：B7、已知函数y=x−4+9x+1(x>−1)，当x=a时，y取得最小值b，则a+b=（）A．−3B．2C．3D．8答案：C分析：通过题意可得x+1>0，然后由基本不等式即可求得答案解：因为x>−1，所以9x+1>0,x+1>0，所以y=x−4+9x+1=x+1+9x+1−5≥2√(x+1)⋅9x+1−5=1,当且仅当x+1=9x+1即x=2时，取等号，所以y的最小值为1，所以a=2,b=1，所以a+b=3，故选：C8、小李从甲地到乙地的平均速度为a ，从乙地到甲地的平均速度为b(a >b >0)，他往返甲乙两地的平均速度为v ，则（） A ．v =a+b 2B ．v =√abC ．√ab <v <a+b 2D ．b <v <√ab答案：D分析：平均速度等于总路程除以总时间设从甲地到乙地的的路程为s ，从甲地到乙地的时间为t 1，从乙地到甲地的时间为t 2，则 t 1=sa，t 2=sb，v =2s t 1+t 2=2ss a +s b=21a +1b，∴v =21a +1b>21b +1b=b ，v =21a +1b=2ab a+b<2√ab=√ab ，故选:D.9、已知x >0，y >0，且x +y =2，则下列结论中正确的是（） A ．2x +2y 有最小值4B ．xy 有最小值1 C ．2x +2y 有最大值4D ．√x +√y 有最小值4 答案：A分析：利用基本不等式和不等式的性质逐个分析判断即可解： x >0，y >0，且x +y =2，对于A ，2x +2y =12(x +y )(2x +2y )=2+xy +yx ≥2+2√xy ⋅yx =4，当且仅当x =y =1时取等号，所以A 正确，对于B ，因为2=x +y ≥2√xy ，所以xy ≤1，当且仅当x =y =1时取等号，即xy 有最大值1，所以B 错误，对于C ，因为2x +2y ≥2√2x ⋅2y =2√2x+y =4，当且仅当x =y =1时取等号，即2x +2y 有最小值4，所以C 错误，对于D ，因为(√x +√y)2=x +y +2√xy ≤2(x +y)=4，当且仅当x =y =1时取等号，即√x +√y 有最大值4，所以D 错误，故选：A10、若正数x ，y 满足3x +1y =5，则3x +4y 的最小值是（）A ．245B ．285C ．5D ．25答案：C分析：由3x +4y =15(3x +4y )(3x +1y )配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得结果. ∵3x +4y =15(3x +4y )(3x +1y )=15(13+3x y+12y x)≥15(13+2√3x y ⋅12y x)=5（当且仅当3x y =12y x，即x =2y =1时取等号），∴3x +4y 的最小值为5. 故选：C. 填空题11、若正数a ，b 满足1a+1b =1，则4a−1+16b−1的最小值为__．答案：16 分析：由条件可得1b−1=a b ，1a−1=ba，代入所求式子，再由基本不等式即可求得最小值，注意等号成立的条件.解：因为正数a ，b 满足1a+1b=1，则有1a =1−1b =b−1b，则有1b−1=ab ，1b=1−1a =a−1a ，即有1a−1=ba ，则有4a−1+16b−1=4b a+16a b≥2√4b a ⋅16a bb =16，当且仅当4b a=16a b即有b ＝2a ，又1a+1b=1，即有a =32，b ＝3，取得最小值，且为16．所以答案是：16． 12、若x >−1，则x +3x+1的最小值是___________.答案：2√3−1分析：由x +3x+1=x +1+3x+1−1，结合基本不等式即可. 因为x >−1，所以x +1>0，所以x +3x+1=x +1+3x+1−1≥2√3−1，当且仅当x +1=3x+1即x =√3−1时，取等号成立.故x +3x+1的最小值为2√3−1，所以答案是：2√3−113、已知x >54，则函数y =4x +14x−5的最小值为_______.答案：7分析：由x >54，得4x −5>0，构造导数关系，利用基本不等式即可得到.法一：∵x >54，∴4x −5>0，y =4x +14x−5=(4x −5)+14x−5+5≥2+5=7，当且仅当4x −5=14x−5，即x =32时等号成立，所以答案是：7.法二：∵x >54，令y ′=4−4(4x−5)2=0得x =1或x =32，当54<x <32时y′<0函数单调递减，当x >32时y′>0函数单调递增，所以当x =32时函数取得最小值为：4×32+14×32−5=7，所以答案是：7.【点晴】此题考基本不等式，属于简单题. 解答题14、已知不等式ax 2+(1−a)x +a −1<0．(1)若不等式对任意实数x 恒成立，求实数a 的取值范围； (2)若不等式对a ∈[0,12]恒成立，求实数x 的取值范围．答案：(1)(−∞，−13)； (2)(−1−√52，−1+√52)．分析：（1）根据一元二次不等式的解集为全体实数的条件可得Δ<0，a<0，从而解出a的范围即可．（2）化简整理为关于a的一次函数再分析．构造函数g(a)利用{g(0)<0g(12)<0，解不等式组．（1）当a=0时，不等式为x−1<0，解得x<1，显然不符合题意；当a≠0时，由已知，得{a<0(1−a)2−4a(a−1)<0即{a<03a2−2a−1>0，解得a<−13,综上，实数a的取值范围为(−∞，−13)．（2）原不等式可化为(x2−x+1)a+x−1<0，设g（a）=(x2−x+1)a+x−1，由题意，当a∈[0，12]，g(a)<0恒成立，所以{g(0)<0g(12)<0，即{x−1<012(x2−x+1)+x−1<0 ,解得−1−√52<x<−1+√52，所以实数x的取值范围为(−1−√52，−1+√52)．15、解以下一元二次不等式(1)2x2−3x+1≤0(2)−x2−5x+6<0(3)4x2−4x+1>0(4)x2−6x+9≤0答案：(1){x|12≤x≤1}(2){x|x<−6或x>1}；(3){x|x≠12}(4)x=3分析：（1）（3）（4）对不等式的左边分解因式求解，（2）由−x2−5x+6<0，得x2+5x−6>0，然后对不等式的左边分解因式求解，（1）由2x2−3x+1≤0，得(x−1)(2x−1)≤0，≤x≤1，解得12≤x≤1}所以不等式的解集为{x|12（2）由−x2−5x+6<0，得x2+5x−6>0，则(x−1)(x+6)>0，解得x<−6或x>1，所以不等式的解集为{x|x<−6或x>1}（3）由4x2−4x+1>0，得(2x−1)2>0，，解得x≠12}所以不等式的解集为{x|x≠12（4）由x2−6x+9≤0，得(x−3)2≤0，得x=3，所以不等式的解集为{x|x=3}。

2020-2021学年高一数学课时同步练习第二章第3节二次函数与一元二次方程、不等式

第二章一元二次函数、方程和不等式第3节二次函数与一元二次方程、不等式一、基础巩固1．（2020·四川省三台中学高一月考）不等式(3)(5)0x x -+>的解集是（） A ．{53}x x -< C ．{35}x x -<< D ．{|3x x <-或5}x >【答案】B【解析】与不等式对应的一元二次函数为：(3)(5)y x x =-+，如图函数开口向上，与x 轴的交点为：(5,0)-，(3,0)，可得不等式的解集为：{|5x x <-或3}x >.2．（2020·江苏省高一期末）不等式28x >的解集是（） A ．(2,22)- B ．(,22)(22,)-∞-⋃+∞ C ．(42,42)-D ．(,42)2,)-∞-⋃+∞【答案】B【解析】由28x >得280x ->，即(22220x x -+>，解得22x <-或2x >(,2)(22,)-∞-⋃+∞. 3．（2020·吉林省实验高一期中）不等式()43x x -<的解集为（） A ．{|1x x <或}3x >B ．{0x x <或}4x >C ．{}13x x << D ．{}04x x <<【答案】A【解析】由题：等式()43x x -<化简为：2430x x -+>()()130x x -->解得：1x <或3x >.4．（2020·安徽省怀宁县第二中学高一期中）不等式13()()022≥x x +-的解集是（） A ．1{|2x x <-或3}2x > B ．1{|2x x ≤-或3}2x ≥ C ．13{|}22x x -≤≤ D ．13{|}22x x -<<【答案】C【解析】不等式130,22x x ⎛⎫⎛⎫+-≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭可化为130,22x x ⎛⎫⎛⎫+-≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1322x ≤≤∴-，所以不等式的解集为.13{|}22x x -≤≤ 5．（2020·浙江省高一期末）不等式23210x x +-≤的解集是（） A ．11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．(]1,1,3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[)1,1,3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦【答案】A【解析】由23210x x +-≤，可得，(1)(31)0+-≤x x ，所以，113x -≤≤，故选：A 6．（2020·盘锦市第二高级中学高一期末）不等式290x -<的解集为（） A ．{}3x x > B ．{}3x x <-C ．{}33x x -<< D ．{3x x <-或}3x >【答案】D【解析】将不等式290x -<变形为290x ->，解此不等式得3x <-或3x >. 因此，不等式290x -<的解集为{3x x <-或}3x >.7．（2020·浙江省高一期末）不等式23100x x --<的解集是（） A ．()2,5- B ．()5,2- C ．()(),52,-∞-+∞ D ．()(),25,-∞-+∞【答案】A【解析】解：因为23100x x --<，所以(2)(5)0x x +-< 解得25x -<<，所不等式的解集为{}25x x -<<，故选：A8．（2020·邢台市第二中学高一开学考试）已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂=A ．}{43x x -<<B ．}{42x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<【答案】C【解析】由题意得，{}{}42,23M x x N x x =-<<=-<<，则{}22M N x x ⋂=-<<．故选C ．9．（2020·元氏县第四中学高一月考）一元二次不等式2260x x +-≥的解集为（） A ．(]3,2,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭B ．([)3,2,2⎤-∞-+∞⎥⎦C ．32,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．322⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，【答案】A【解析】原不等式可化为()()2320x x -+≥，解得，2x -≤，或32x ≥. 10．（2020·浙江省诸暨中学高一期中）关于x 的不等式()()()1101ax x a --<>的解集为（） A ．11,a ⎛⎫⎪⎝⎭B ．()1,1,a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭C ．1,1a ⎛⎫⎪⎝⎭D ．()1,1,a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】方程()()110ax x =--的两根分别为1,1a，又1a >，所以11a <，故此不等式的解集为1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 11．（2019·天津市双菱中学高一月考）一元二次不等式220ax bx ++>的解集是11,23⎛⎫- ⎪⎝⎭，则+a b 的值是（） A ．10 B ．-10C ．14D ．-14【答案】D【解析】解：根据题意，一元二次不等式220ax bx ++>的解集是11,23⎛⎫- ⎪⎝⎭，则方程220ax bx ++=的两根为12-和13，则有112311223b a a ⎧⎛⎫-+=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-⨯= ⎪⎪⎝⎭⎩，解可得12a =-，2b =-，则14a b +=-，故选：D ．12．（2020·安徽省六安中学高一期末（理））关于x 的不等式x 2﹣（a +1）x +a ＜0的解集中恰有两个正整数，则实数a 的取值范国是（） A ．[2，4） B ．[3，4]C ．（3，4]D ．（3，4）【答案】C【解析】()()()21010x a x a x a x -++<⇔--<，因解集中恰好有两个正整数，可判断解集为()1,x a ∈，两正整数为2,3，故(]3,4a ∈ 13．（2020·吉林省实验高一期末）不等式222221x x x x --<++的解集为 ( )A ．{}2x x ≠- B ．RC ．∅D ．{|2x x <-或}2x >【答案】A【解析】由222221x x x x --<++得：222222442011x x x x x x x x ------=<++++210x x ++>恒成立 2440x x ∴---<又()22442x x x ---=-+ ()220x ∴+> 2x ∴≠-∴不等式222221x x x x --<++的解集为{}2x x ≠- 14．（2020·宁夏回族自治区银川一中高一期末）不等式210x ax ++≥对于一切10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦成立，则a 的最小值为（） A ．52B ．52-C ．2D ．2-【答案】B 【解析】记2()1=++f x x ax ，不等式210x ax ++≥对于一切10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦成立，则必须有(0)1011110242f f a =≥⎧⎪⎨⎛⎫=++≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得52a ≥-， 52a =-时，22559()1()2416f x x x x =-+=--，在10,2⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，min 1()()02f x f ==，满足题意，∴a 的最小值是52-．15．（2020·浙江省高一期末）不等式210x -<的解集是（）A ．()1,1-B ．(),1-∞-C ．(),1-∞D ．()(),11,-∞-+∞【答案】A【解析】解：因为210x -<，所以()()110x x -+<，解得11x -<<，即()1,1x ∈- 故选：A16．（2020·重庆高一期末）若关于x 的一元二次不等式2210ax x ++>的解集为R ，则实数a 的取值范围是（） A ．()1,+∞ B ．()0,1C ．(),1-∞D ．()(),00,1-∞【答案】A【解析】由于关于x 的一元二次不等式2210ax x ++>的解集为R ，则0440a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得1a >.因此，实数a 的取值范围是()1,+∞.17．（2020·齐齐哈尔市朝鲜族学校高一期中）不等式250ax x c -+<的解集为11|32x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，则a ，c 的值为（） A ．6a =，1c = B ．6a =-，1c =- C ．1a =，6c = D ．1a =-，6c =-【答案】A【解析】不等式250ax x c -+<的解集为11|32x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，故不等式对应方程的系数满足：115321132ac a⎧+=⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，解得6a =，1c =.18．（2020·福建省泰宁第一中学高一月考）不等式220ax bx ++>的解集是11|23x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则-a b 的值为（） A ．14 B ．-14C ．10D ．-10【答案】D【解析】不等式220ax bx ++>的解集是11|23x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，可得11,23-是一元二次方程220ax bx ++=的两个实数根，11112,2323b a a∴-+=--⨯=，解得12,2a b =-=-，12(2)10a b ∴-=---=-，故选：D.19．（2020·全国高一）若函数f (x )的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是（） A ．[0，4) B ．(0，4)C ．[4，＋∞)D ．[0,4]【答案】D【解析】由函数f (x )的定义域为一切实数，即210mx mx ++≥在R 上恒成立，当m =0时，1≥0恒成立；当m ≠0时，则240m m m >⎧⎨∆=-≤⎩，解得04m <≤. 综上可得04m ≤≤，故选：D .20．（2020·浙江省诸暨中学高一期中）若不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<的解集为R ，则a 的取值范围是（） A ．2a ≤ B ．22a -<≤ C ．22a -<< D ．2a <【答案】B【解析】当20a -=即2a =时，40-<恒成立，满足题意；当20a -≠时，不等式2(2)(2)10a x a x ----<的解为一切实数，所以()()220421620a a a -<⎧⎪⎨∆=-+-<⎪⎩，解得22a -<<，综上可得实数a 的取值范围是22a -<≤，故选：B.21．（2020·霍邱县第二中学高一月考）设一元二次不等式210ax bx ++>的解集为{}|12x x -<<则ab 的值为（）A ．1B ．14-C ．4D ．12-【答案】B【解析】由题意可知方程210ax bx ++=的根为1,2-，所以有11212{{114122b a a ab b a -+=-=-∴∴=--⨯==22．（2020·浙江省余姚中学高一期中）已知不等式2440mx mx +-<对任意实数x 恒成立．则m 取值范围是（） A ．(－1，0) B ．[－1，0]C ．(,1)(0,)-∞-+∞D ．(－1，0]【答案】D【解析】①若0m =，则40-<成立；②若0m ≠，则2001016160m m m m m <<⎧⎧⇒⎨⎨-<<∆=+<⎩⎩. 综上所述，(1,0]m ∈-.23．（2020·全国高一）若,,m n R ∈且0,m n +>则关于x 的不等式()()0m x n x -+>的解集为（） A ．{}x x n x m -或 B ．{}x n x m -<< C ．{}x m x n -<< D ．{}x x m x n -或【答案】B【解析】()()0m x n x -+>，则()()0x m n x -+<，因为0m n +>，则m n >-,()() 0x m n x -+<的解集为{}|x n x m -<<,选B .24．（2020·全国高一）若方程()2250x m x m +-+-=的两根都大于2，则实数m 的取值范围是（）A ．()(],55,4-∞---B ．(],4-∞-C ．(],2-∞-D ．(]5,4--【答案】D【解析】设()()225f x x m x m =+-+-，由题意得：()()()2245020222m m f m ⎧⎪∆=---≥⎪>⎨⎪-⎪>⎩，解之得实数m 的取值范围为：(]5,4--.25．（2020·全国高一）已知不等式对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数m 的最小值是A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】B【解析】解：不等式对任意的正实数x ，y 恒成立，则对任意的正实数x ，y 恒成立，又，，解得或不合题意，舍去，，即正实数m 的最小值是4．26．（多选题）（2019·全国高一课时练习）已知a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式260x x a -+≤的解集中有且仅有3个整数，则a 的值可以是（）. A ．6 B ．7 C ．8 D ．9【答案】ABC【解析】设26y x x a =-+，其图像为开口向上，对称轴是3x =的抛物线，如图所示.若关于x 的一元二次不等式260x x a -+≤的解集中有且仅有3个整数，因为对称轴为3x =,则2226201610a a ⎧-⨯+≤⎨-⨯+>⎩ 解得58a <≤，.又a ∈Z ，故a 可以为6，7，8.27．（多选题）（2019·辽宁省高一月考）（多选题）已知正数a ，b 满足4a b +=，ab 的最大值为t ，不等式230x x t +-<的解集为M ，则（）A ．2t =B ．4t =C ．{}|41M x x =-<<D ．{}|14M x x =-<<【答案】BC【解析】∵正数a ，b 满足4a b +=，∴242+⎛⎫≤= ⎪⎝⎭a b ab ，即ab 的最大值为4t =，当且仅当2a b ==时，取等号.∵2340x x +-<的解集为M ，∴{}|41M x x =-<<.28．（多选题）（2020·江苏省高一期末）对于给定的实数a ，关于实数x 的一元二次不等式()()10a x a x -+>的解集可能为（） A ．φB ．()1,a -C ．(),1a -D ．()(),1,a -∞-⋃+∞【答案】ABCD【解析】解：对于一元二次不等式()(1)0a x a x -+>，则0a ≠当0a >时，函数()(1)y a x a x =-+开口向上，与x 轴的交点为a ，1-，故不等式的解集为()(),1,x a ∈-∞-+∞；当0a <时，函数()(1)y a x a x =-+开口向下，若1a =-，不等式解集为∅；若10a -<<，不等式的解集为(1,)a -，若1a <-，不等式的解集为(,1)a -，综上，ABCD 都成立，故选：ABCD ．29．（多选题）（2020·全国高一课时练习）已知关于x 的方程()230x m x m +-+=,下列结论正确的是( )A ．方程()230x m x m +-+=有实数根的充要条件是{1m m m ∈<，或}9m > B ．方程()230x m x m +-+=有一正一负根的充要条件是{}0m m m ∈< C ．方程()230x m x m +-+=有两正实数根的充要条件是{}01m m m ∈<≤ D ．方程()230x m x m +-+=无实数根的必要条件是{}1m m m ∈> E.当3m =时,方程的两实数根之和为0【答案】BCD【解析】在A 中,由()2340m m ∆=--≥得1m 或9m ≥,故A 错误；在B 中,当0x =时,函数()23y x m x m =+-+的值为m ,由二次函数的图象知,方程有一正一负根的充要条件是{}0m m m ∈<,故B 正确；在C 中,由题意得()2340,30,0,m m m m ⎧∆=--≥⎪->⎨⎪>⎩解得01m <≤,故C 正确；在D 中,由()2340m m ∆=--<得19m <<,又{}{}191m m m m <<⊆>,故D 正确；在E 中,当3m =时,方程为230x +=,无实数根,故E 错误.30．（多选题）（2020·全国高一课时练习）已知关于x 的不等式23344a x xb ≤-+≤，下列结论正确的是（） A ．当1a b <<时，不等式23344a x xb ≤-+≤的解集为∅ B ．当1a =，4b =时，不等式23344a x xb ≤-+≤的解集为{}04x x ≤≤ C ．当2a =时，不等式23344a x xb ≤-+≤的解集可以为{}xc xd ≤≤的形式 D ．不等式23344a x x b ≤-+≤的解集恰好为{}x a x b ≤≤，那么43b = E.不等式23344a x x b ≤-+≤的解集恰好为{}x a x b ≤≤，那么4b a -= 【答案】ABE 【解析】由23344x x b -+≤ 得23121640x x b -+-≤，又1b <，所以()4810b ∆=-<，从而不等式23344a x xb ≤-+≤的解集为∅，故A 正确.当1a =时，不等式23344a x x ≤-+就是2440x x -+≥，解集为R ，当4b =时，不等式23344x x b -+≤就是240x x -≤，解集为{}04x x ≤≤，故B 正确.在同一平面直角坐标系中作出函数()2233342144y x x x =-+=-+的图象及直线y a =和y b =，如图所示.由图知，当2a =时，不等式23344a x x b ≤-+≤的解集为{}{}A C D B x x x x x x x x ≤≤⋃≤≤的形式，故C 错误. 由23344a x x b ≤-+≤的解集为{}x a x b ≤≤，知min a y ≤，即1a ≤，因此当x a =，x b =时函数值都是b .由当x b =时函数值是b ，得23344b b b -+=，解得43b =或4b =. 当43b =时，由2343443a a b -+==，解得43a =或83a =，不满足1a ≤，不符合题意，故D 错误. 当4b =时，由233444a a b -+==，解得0a =或4a =，0a =满足1a ≤，所以0a =，此时404b a -=-=，故E 正确.故选：ABE二、拓展提升1．（2020·上海高一课时练习）求下列不等式的解集：（1）21202x x -++<；（2）2353x x +≤．【解析】解（1）原不等式可化为21202x x -->．0∆>，∴方程21202x x --=的解是114x -=，214x +=．所以原不等式的解集是{|x x <或x >．（2）原不等式变形为23503x x -+≤．0∆<，∴方程23503x x -+=无解．所以原不等式的解集是∅．2．（2020·上海高一课时练习）已知m 是常数，解关于x 的不等式：212m x m x -<+.【解析】原不等式可化为()2112m x m +>-. 210m +>，2121m x m ->∴+ 3．（2019·山东省高一月考）甲厂以x 千克/时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求110x ≤≤），每小时可获得利润310051x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭元.要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x 的取值范围. 【解析】由题可知：3200513000x x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭ 化简可得：251430x x --≥ 所以21514305x x x --≥⇒≤-或3x ≥ 又110x ≤≤，所以310x ≤≤ 4．（2020·梅河口市第五中学高一月考）已知关于x 的不等式：()1311a x x +-<-．（1）当1a =时，解该不等式；（2）当a 为任意实数时，解该不等式．【解析】（1）当1a =时，原不等式可化为2311x x -<-即201x x -<-，故()()210x x --<，所以12x <<，故原不等式的解为1,2.（2）原不等式可化为201ax x -<-即()()210ax x --<，当0a <时，不等式的解为2x a <或1x >；当0a =时，原不等式可化为10x ->即1x >；当0a >时，原不等式可化为()210x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，若02a <<，则不等式的解为21x a <<；若2a =，则不等式的解为∅；若2a >，则不等式的解为21x a<<. 综上，当0a <时，不等式的解为()2,1,a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭，当0a =时，不等式的解为1,，当02a <<时，不等式的解为21,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，当2a =时，不等式的解为∅，当2a >时，不等式的解为2,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 5．（2020·上海高一课时练习）若不等式22231ax x x x-+<-+对一切实数x 均成立，求实数a 的范围．【解析】210x x -+>,11430∆=-=-<，则210x x -+>恒成立，22231ax x x x +-+∴-<，即()22231ax x x x -+<-+．整理得:()22310x a x +-+>．该式对一切实数x 均成立，()22380a ∴∆=--<，即(2330a a ∆=---+<,解得：33a -<<+ 6．（2020·浙江省高一期末）已知集合(){}(][)22310,15,x R x k x k ∈-+-+≥=-∞-⋃+∞．（Ⅰ）求实数k 的值；（Ⅰ）已知(),2t ∈-∞，若不等式()22234150x k x k m m -+--++≥在4t x ≤≤上恒成立，求实数m 的取值范围．【解析】（Ⅰ）由题意可知，1-和5是方程()22310x k x k -+-+=的两个根，所以由韦达定理得152531k k -+=+⎧⎨-=-+⎩，故实数2k =. （Ⅰ）由2k =，原不等式可化为224940x x m m -+-+≥，所以22449x x m m -≥--在()42t x t ≤≤<上恒成立，令()22424y x x x =-=--，因为()42t x t ≤≤<，所以min 4y =-，所以不等式恒成立等价于2494m m --≤-，故由2450m m --≤，解得：15m -≤≤，故实数m 的取值范围为：[]1,5-.。

高中数学必修一第二章一元二次函数、方程和不等式单元测试(含答案)

高中数学必修一第二章一、单选题1．已知集合A ={x‖x ―2|<1}， B ={x |x 2―2x ―3<0}.则A ∩B =A ．{x |1<x <3}B ．{x |―1<x <3}C ．{x |―1<x <2}D ．{x |x >3}2．下列结论成立的是（）A ．若ac ＞bc ，则a ＞bB ．若a ＞b ，则a 2＞b 2C ．若a ＞b ，c ＜d ，则a+c ＞b+dD ．若a ＞b ，c ＞d ，则a ﹣d ＞b ﹣c3．已知关于 x 的不等式 a x 2―2x +3a <0 在 (0,2] 上有解，则实数 a 的取值范围是（）A ．(―∞,33)B ．(―∞,47)C ．(33,+∞)D ．(47,+∞)4．当x ＞3时，不等式x+1x ―1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．（﹣∞，3]B ．[3，+∞）C ．[ 72，+∞）D ．（﹣∞， 72]5．下列不等式恒成立的是（）A ．a 2+b 2≤2abB ．a +b ≥―2|ab |C ．a 2+b 2≥―2abD ．a +b ≤2|ab |6．已知 x >2 ，函数 y =4x ―2+x 的最小值是（） A ．5B ．4C ．8D ．67．设正实数x ，y ，z 满足x 2―3xy +4y 2―z =0，则当xy z取得最大值时，2x +1y ―2z 的最大值是（）A ．0B ．1C ．94D ．38．已知正数x ，y 满足x+y ＝1，且 x 2y +1+y 2x +1≥m ，则m 的最大值为（） A ．163B ．13C ．2D ．4二、多选题9．设正实数a ，b 满足a +b =1，则（）A ．a 2b +b 2a ≥14B ．1a +2b +12a +b ≥43C ．a 2+b 2≥12D ．a 3+b 3≥1410．若a ，b ∈(0，+∞)，a +b =1，则下列说法正确的有（）A ．(a +1a)(b +1b )的最小值为4B ．1+a +1+b 的最大值为6C．1a +2b的最小值为3+22D．2aa2+b+ba+b2的最大值是3+23311．已知a，b是正实数，若2a+b=2，则（）A．ab的最大值是12B．12a+1b的最小值是2C．a2+b2的最小值是54D．14a+b+2a+b的最小值是3212．已知a，b，c为实数，则下列命题中正确的是（）A．若a c2<bc2，则abc，则a>bC．若a>b，c>d，则a+c>b+d D．若a<b<0，则1a >1 b三、填空题13．不等式﹣2x（x﹣3）（3x+1）＞0的解集为．14．已知正实数x，y满足xy―x―2y=0，则x+y的最小值是 . 15．已知a，b均为正数，且ab―a―2b=0，则a24+b2的最小值为．16．以max A表示数集A中最大的数．已知a>0，b>0，c>0，则M=max{1c +ba,1ac+b,ab+c}的最小值为四、解答题17．已知U=R且A={x∣x2―5x―6<0}，B={x∣―4≤x≤4}，求：（1）A∪B；（2）(C U A)∩(C U B)．18．解下列关于x的不等式:（1）x2―2x―3≤0;（2）―x2+4x―5>0;（3）x2―ax+a―1≤019．已知关于x的不等式2x2+x>2ax+a(a∈R)．（1）若a=1，求不等式的解集;（2）解关于x的不等式．20．某县一中计划把一块边长为20米的等边三角形ABC的边角地辟为植物新品种实验基地，图中DE 需把基地分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上．（1）设AD=x（x≥10），ED=y，试用x表示y的函数关系式；（2）如果DE是灌溉输水管道的位置，为了节约，则希望它最短，DE的位置应该在哪里？如果DE 是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应该在哪里？说明理由．答案解析部分1．【答案】A2．【答案】D3．【答案】A4．【答案】D5．【答案】C6．【答案】D7．【答案】B8．【答案】B9．【答案】B,C,D10．【答案】B,C,D11．【答案】A,B12．【答案】A,C,D13．【答案】（﹣∞，﹣1）∪（0，3）314．【答案】3+2215．【答案】816．【答案】217．【答案】（1）解：因为A={x∣x2―5x―6<0}=(―1，6)，且B={x∣―4≤x≤4}=[―4，4]，则A ∪B=[―4，6)．（2）解：由（1）可知，A=(―1，6)，B=[―4，4]，则C U A=(―∞，―1]∪[6，+∞)，C U B=(―∞，―4)∪(4，+∞)，所以(C U A)∩(C U B)=(―∞，―4)∪[6，+∞)．18．【答案】（1）解：x2―2x―3≤0,(x―3)(x+1)≤0⇒x≤―1或x≥3,故解集为: (―∞,―1]∪[3,+∞).（2）解：―x2+4x―5>0,∴x2―4x+5<0⇒(x―2)2+1<0⇒x无解,故解集为: ∅（3）解：x2―ax+a―1≤0,∴[x―(a―1)](x―1)≤0,当a―1<1,即a<2时,解集为[a―1,1],当a―1=1,即a=2时,解集为x=1,当 a ―1>1 ,即 a >2 时,解集为 [1,a ―1] .所以:当 a <2 时,解集为 [a ―1,1] ,当 a =2 时,解集为 x =1 ,当 a >2 时,解集为 [1,a ―1] .19．【答案】（1）解：2x 2+x >2ax +a ，∴x (2x +1)>a (2x +1)，∴(x ―a )(2x +1)>0，当a =1时，可得解集为{x |x >1或x <―12}.（2）对应方程的两个根为a ，―12，当a =―12时，原不等式的解集为{x |x ≠―12}，当a >―12时，原不等式的解集为{x |x >a 或x <―12}，当a <―12时，原不等式的解集为{x |x <a 或x >―12}.20．【答案】（1）解：∵△ABC 的边长是20米，D 在AB 上，则10≤x≤20，S △ADE = 12S △ABC ，∴12 x•AEsin60°= 12 • 34 •（20）2，故AE= 200x，在三角形ADE 中，由余弦定理得：y= x 2+4⋅104x 2―200 ，（10≤x≤20）；（2）解：若DE 作为输水管道，则需求y 的最小值， ∴y= x 2+4⋅104x 2―200 ≥ 400―200 =10 2 ，当且仅当x 2= 4⋅104x 2即x=10 2 时“=”成立．。

第二章一元二次函数、方程和不等式章节练习

第二章一元二次函数、方程和不等式章节练习学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合*{|2}N M x x =∈≤，则以下关系正确的是（） A ．0M ∈ B ．2M ∉ C ．{0,1,2}M ⊆D ．{0,1,2}M2．设R x ∈，则“0x >”是“3x >”的（） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又非必要条件3．比较()23x -与()()24x x --的大小（） A ．无法比较大小 B ．()()()2324x x x ->-- C ．()()()2324x x x -=--D ．()()()2324x x x -<--4．不等式()()130x x ++<的解集是（） A ．RB ．∅C ．{31}xx -<<-∣ D ．{3xx <-∣，或1}x >- 5．已知1a >，则41a a +-的最小值是（） A．5B ．6C ．D ．6．已知命题p ：∀x ＞0，总有（x +1）ln x ＞1，则¬p 为（） A ．∃x 0≤0，使得（x 0+1）ln x 0≤1 B ．∃x 0＞0，使得（x 0+1）ln x 0≤1 C ．∃x 0＞0，总有（x 0+1）ln x 0≤1 D ．∃x 0≤0，总有（x 0+1）ln x 0≤17．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则不等式20ax bx c ++>的解集是（）A ．{}21x x -<C ．{}21x x -≤≤D ．{|2x x ≤-或1}x ≥8．已知对于任意实数2,20x kx x k -+>恒成立，则实数k 的取值范围是（） A ．1k > B ．11k -<< C ．1k <-D ．1k >-二、多选题9．已知0,0a b <>，那么下列不等式中一定成立的是（） A ．0b a -> B ．a b > C ．2a ab >D ．11ab<10．与不等式220x x -+>的解集相同的不等式有（） A ．220x x --<+ B ．22320x x -+> C ．230x x -+≥D ．220x x +->11．以下结论正确的是（）A ．函数21x y x+=的最小值是2B ．若a ，R b ∈且0ab >，则2b aa b+≥C ．若x ∈R ，则22132x x +++的最小值为3D ．函数()120y x x x=++<的最大值为0 12．下列说法正确的是( )A ．已知0＜x 12＜，则x (1﹣2x )的最大值为18B ．当43x <时，13134y x x =-+-的最大值是1 C ．若13a <<，25b <<，则231a b -+的取值范围是14<<-x D ．若()227M a a =-+，()()23N a a =--，则M N <三、填空题13．不等式262x x -->的解集为______． 14．(4)(3)0x x --≥的解集是_______. 15．不等式013≤+-x x 的解集是_____. 16．已知23M x x =-,233N x x =-+-，则M ,N 的大小关系是 _____．四、解答题17．比较下列各组中两个代数式的大小：（1）256x x ++与2259x x ++；（2）2(3)x -与(2)(4)x x --；18．求下列不等式的解集(1)2560x x --> (2)2690x x -+>(3)230x x -+-> (4) 0)3)(2(<-+x x19．求下列不等式的解集：(1)2690x x ++>； (2)230x x ->； (3)325x x ->-．20．已知正数,a b 满足1a b +=. (1)求ab 的取值范围； (2)求28a b+的最小值.21．设集合{}1A x x a =-<<，{}260B x x x =+-<，全集R U =.(1)若4a =，求A B ；(2)若A B A =，求a 的取值范围.22．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园.设菜园的长为x 米，宽为y 米.(1)若菜园面积为36平方米，则x ，y 为何值时，所用篱笆总长最小？ (2)若使用的篱笆总长为30米，求2x yxy +。

全国通用2023高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式专项训练

全国通用2023高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式专项训练单选题1、实数a,b满足a>b，则下列不等式成立的是（）A．a+b<ab B．a2>b2C．a3>b3D．√a2+b2<a+b答案：C分析：利用不等式的性质逐一判断即可.A，若a=1,b=0，则a+b>ab，故A错误；B，若a=1,b=−2，则a2<b2，故B错误；C，若a>b，则a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)=(a−b)[(a+b2)2+3b24]>0，所以a3>b3，故C正确；D，若a=1,b=−2，则√a2+b2>a+b，故D错误.故选：C2、将进货价为每个80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，每涨价1元，销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，则售价a（元/个）的取值范围应是（）A．90<a<100B．90<a<110C．100<a<110D．80<a<100答案：A分析：首先设每个涨价x元，涨价后的利润与原利润之差为y元，结合条件列式，根据y>0，求x的取值范围，即可得到a的取值范围.设每个涨价x元，涨价后的利润与原利润之差为y元，则a=x+90,y=(10+x)⋅(400−20x)−10×400=−20x2+200x.要使商家利润有所增加，则必须使y>0，即x2−10x<0，得0<x<10,∴90<x+90<100，所以a的取值为90<a<100.故选：A3、已知a>0，b>0且ab＝1，不等式12a +12b+ma+b≥4恒成立，则正实数m的取值范围是（）A．m≥2B．m≥4C．m≥6D．m≥8答案：D分析：由条件结合基本不等式可求a +b 的范围，化简不等式可得m ≥4(a +b )−(a+b )22，利用二次函数性质求4(a +b )−(a+b )22的最大值，由此可求m 的取值范围.不等式12a+12b+ma+b≥4可化为a+b 2ab+m a+b≥4，又a >0，b >0，ab ＝1，所以m ≥4(a +b )−(a+b )22，令a +b =t ，则m ≥4t −t 22，因为a >0，b >0，ab ＝1，所以t =a +b ≥2√ab =2，当且仅当a =b =1时等号成立，又已知m ≥4t −t 22在[2,+∞)上恒成立，所以m ≥(4t −t 22)max因为4t −t 22=12(8t −t 2)=−12(t −4)2+8≤8，当且仅当t =4时等号成立，所以m ≥8，当且仅当a =2−√3，b =2+√3或a =2−√3，b =2+√3时等号成立，所以m 的取值范围是[8,+∞)，故选：D.4、已知a >0，b >0，若a +4b =4ab ，则a +b 的最小值是（） A ．2B ．√2+1C ．94D ．52 答案：C分析：将a +4b =4ab ，转化为1b +4a =4，由a +b =14(a +b )(1b +4a )=14(5+ab +4b a)，利用基本不等式求解.因为a +4b =4ab ，所以1b +4a =4，所以a +b =14(a +b )(1b +4a )=14(5+ab +4b a)，≥14(5+2√ab ⋅4b a)=94，当且仅当{1b +4a =4ab =4b a，即{a =32b =34 时，等号成立，故选：C5、在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5 cm ，人跑开的速度为每秒4 m ，为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100 m 以外的安全区，导火索的长度x （cm ）应满足的不等式为（） A ．4×x 0.5≥100B ．4×x 0.5≤100C ．4×x0.5>100D ．4×x0.5<100 答案：C分析：为了安全，则人跑开的路程应大于100米，路程=速度×时间，其中时间即导火索燃烧的时间. 导火索燃烧的时间x0.5秒，人在此时间内跑的路程为4×x 0.5m ．由题意可得4×x0.5>100．故选：C.6、已知x,y,z 都是正实数，若xyz =1，则 (x +y )(y +z )(z +x ) 的最小值为（） A ．2B ．4C ．6D ．8 答案：D分析：均值定理连续使用中要注意等号是否同时成立. 由x >0,y >0,z >0可知x +y ≥2√xy >0（当且仅当x =y 时等号成立） y +z ≥2√yz >0（当且仅当y =z 时等号成立） x +z ≥2√xz >0（当且仅当x =z 时等号成立）以上三个不等式两边同时相乘，可得(x +y )(y +z )(z +x )≥8√x 2y 2z 2=8（当且仅当x =y =z =1时等号成立）故选：D7、已知−1≤x +y ≤1,1≤x −y ≤5，则3x −2y 的取值范围是（） A ．[2,13]B ．[3,13]C ．[2,10]D ．[5,10] 答案：A分析：设3x −2y =m (x +y )−n (x −y )=(m −n )x +(m +n )y ，求出m,n 的值，根据x +y,x −y 的范围，即可求出答案.设3x −2y =m (x +y )−n (x −y )=(m −n )x +(m +n )y ，所以{m −n =3m +n =−2，解得：{m =12n =−52,3x −2y =12(x +y )+52(x −y ), ，因为−1≤x +y ≤1,1≤x −y ≤5，所以3x −2y =12(x +y )+52(x −y )∈[2,13]，故选：A.8、已知a >1，则a +4a−1的最小值是（） A ．5B ．6C ．3√2D ．2√2 答案：A分析：由于a >1，所以a −1>0，则a +4a−1=(a −1)+4a−1+1，然后利用基本不等式可求出其最小值由于a >1，所以a −1>0 所以a +4a−1=a −1+4a−1+1≥2√(a −1)⋅4(a−1)+1=5，当且仅当a −1=4a−1，即a =3时取等号. 故选：A.9、y =x +4x (x ≥1)的最小值为（）A ．2B ．3C ．4D ．5 答案：C分析：利用均值不等式求解即可.因为y =x +4x(x ≥1)，所以x +4x≥2√x ×4x=4，当且仅当x =4x即x =2时等号成立.所以当x =2时，函数y =x +4x 有最小值4. 故选：C.10、已知使不等式x 2+(a +1)x +a ≤0成立的任意一个x ，都满足不等式3x −1≤0，则实数a 的取值范围为（）A ．(−∞,−13)B ．(−∞,−13] C ．[−13,+∞)D ．(−13,+∞) 答案：C分析：使不等式x 2+(a +1)x +a ≤0成立的任意一个x ，都满足不等式3x −1≤0，则不等式x 2+(a +1)x +a ≤0的解集是(−∞,13]的子集，求出两个不等式的解集，利用集合的包含关系列不等式求解.解：由3x −1≤0得x ≤13，因为使不等式x 2+(a +1)x +a ≤0成立的任意一个x ，都满足不等式3x −1≤0 则不等式x 2+(a +1)x +a ≤0的解集是(−∞,13]的子集，又由x 2+(a +1)x +a ≤0得(x +a )(x +1)≤0，当a =1，x ∈{−1}⊆(−∞,13]，符合；当a <1，x ∈[−1,−a ]⊆(−∞,13]，则−a ≤13，∴1>a ≥−13，当a >1，x ∈[−a,−1]⊆(−∞,13]，符合，故实数a 的取值范围为[−13,+∞). 故选：C. 填空题11、设x >0，y >0，x +2y =4，则(x+1)(2y+1)xy的最小值为__________.答案：92.分析：把分子展开化为(x+1)(2y+1)xy=2xy+x+2y+1xy=2xy+5xy=2+5xy，再利用基本不等式求最值．由x +2y =4，得x +2y =4≥2√2xy ，得xy ≤2(x+1)(2y+1)xy=2xy+x+2y+1xy=2xy+5xy=2+5xy≥2+52=92，等号当且仅当x =2y ，即x =2,y =1时成立．故所求的最小值为92．小提示：使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立． 12、不等式2x−7x−1≤1的解集是________. 答案：(1,6]分析：把原不等式的右边移项到左边，通分计算后，根据分式不等式解法，然后转化为两个一元一次不等式组，注意分母不为0的要求，求出不等式组的解集即为原不等式的解集．不等式2x−7x−1≤1得x−6x−1≤0 ，故{(x −1)(x −6)≤0x −1≠0⇒1<x ≤6 ，所以答案是：(1,6].13、已知5x 2y 2+y 4=1(x,y ∈R)，则x 2+y 2的最小值是_______．答案：45分析：根据题设条件可得x 2=1−y 45y 2，可得x 2+y 2=1−y 45y 2+y 2=15y 2+4y 25，利用基本不等式即可求解.∵5x 2y 2+y 4=1 ∴y ≠0且x 2=1−y 45y 2∴x 2+y 2=1−y 45y 2+y 2=15y 2+4y 25≥2√15y 2⋅4y 25=45，当且仅当15y 2=4y 25，即x 2=310,y 2=12时取等号.∴x 2+y 2的最小值为45. 所以答案是：45.小提示：本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）. 解答题14、（1）设b >a >0，m >0，证明：ab <a+mb+m ；（2）设x >0，y >0，z >0，证明：1<x x+y +y y+z+z z+x<2.答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析. 分析：（1）根据作差法证明即可；（2）由于xx+y >xx+y+z ，故1<xx+y +yy+z +zz+x ，再结合（1）的结论易证xx+y +yy+z +zz+x <2. 证明：（1）因为b >a >0，m >0，所以a −b <0，b +m >0。

人教版高中数学必修第一册第2章一元二次函数、方程和不等式综合检测基础卷(含详细解析)

第2章一元二次函数、方程和不等式（原卷版）本卷满分150分，考试时间120分钟。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．下列命题是真命题的是A ．若ac bc >．则a b >B ．若22a b >，则a b>C ．若a b >，则11a b<D ．若c d >，a c b d ->-，则a b>2．已知242,65,M x x N x x R =+-=-∈，下列关系正确的是A ．M N ≤B ．M N <C ．M N=D ．M N>3．已知正数a，b ，满足2a b +=A ．最小值1BC D ．最大值14．已知关于x 的不等式220ax ax -+>在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是A ．()(),08,-∞+∞B ．(][),08,-∞+∞C ．[)0,8D ．()0,85．已知0a >，0b >，且228a b ab ++=，则2+a b 的最小值为A ．2B ．C ．4D ．66．不等式()4421m m >-，则实数m 的取值范围是A ．(),1-∞B ．1,13⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭7．已知0x >，0y >且141x y+=，若不等式246x y m m +≥-对任意正数x ，y 恒成立，则实数m 的取值集合为A ．{|28}m m -≤≤B ．{|82}m m -≤≤C ．{|8m m ≤-或2}m ≥D ．{|2m m ≤-或8}m ≥8．若关于x 的不等式22840x x a --->在[1,4]内有解，则实数a 的取值范围是A ．(4,)-+∞B ．(,4)-∞-C ．(12,)-+∞D ．(,12)-∞-二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知23x <<，23y <<，则下列说法正确的是A ．2x y +的取值范围为(6,9)B ．2x y -的取值范围为(2,3)C ．x y的取值范围为23(,)32D ．xy 的取值范围为(4,9)10．不等式20ax bx c ++≥的解集是122x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭，对于系数a ，b ，c ，下列结论正确的是A ．0a b c -+>B ．0b >C ．0c >D ．0a b c ++>11．现有以下结论①函数1y x x=+的最小值是2②若,a b ∈R 且0ab >，则2b a a b+≥③y =2④函数423(0)y x x x =-->的最小值为2-其中，不正确的是A ．①B ．②C ．③D ．④12．关于x 的一元二次不等式x 2-6x +a ≤0(a ∈Z)的解集中有且仅有3个整数，则a 的取值可以是A ．6B ．7C ．8D ．9三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若方程()200ax bx c a ++=>有唯一的实数根－2，则不等式20ax bx c ++>的解集为________．14．已知正实数a ，b 满足196a b+=，则()()19a b ++的最小值是________．15．若关于x 的不等式223x x a -≥-+无解，则实数a 的取值范围是________．16．已知λ∈R ，函数24,()43,x x f x x x x λλ-≥⎧=⎨-+<⎩，当λ=2时，不等式()0f x <的解集是________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）（1）试比较()()15x x ++与()23x +的大小；（2）已知a b >，11a b<，求证：0ab >．18．（12分）已知二次函数2()3f x ax bx =++，且1,3-是函数()f x 的零点．（1）求()f x 的解析式；（2）解不等式()3f x ≤．19．（12分）求解下列各题：（1）求()23402x x y x x ++=<的最大值；（2）求()2811x y x x +=>-的最小值．20．（12分）今年10月份，学校从某厂家购进了A 、B 型电脑共250台，A 、B 两种型号电脑的单价分别为7000元、9000元，其中购进A 型、B 型电脑的总金额和为205万元．（1）求学校10月份购进A 、B 型电脑各多少台？（2）为推进学校设备更新进程，学校决定11月份在同一厂家再次购进A 、B 两种型号的电脑，在此次采购中，比起10月份进购的同类型电脑，A 型电脑的单价下降了a %，A 型电脑数量增加了4%5a ，B 型电脑的单价上升了503a 元，B 型电脑数量下降了4%5a ，这次采购A 、B 两种型号电脑的总金额为205万元，求a 的值．21．（12分）已知实数0,0x y >>，且()()222,,R xy x y a x y b a b =++++∈．（1）当0,0a b ==时，求4x y +的最小值，并指出取最小值时x ，y 的值：（2）当0,3a b ==时，求x y +的最小值，并指出取最小值时x ，y 的值（3）当1,02a b ==时，求x y +的最小值，并指出取最小值时x ，y 的值．22．（12分）若()0,a b ∈+∞，则2223a b a b a b +≤++．（1）若存在常数M ，使得不等式2222a b a bM a b a b a b a b+++≤≤+++对任意正数a ，b 恒成立，试求常数M 的值，并证明不等式：22a bM a b a b++≤+；（2）证明不等式：32232332a b a ba b a b a b a b≤++++++．第2章一元二次函数、方程和不等式（解析版）本卷满分150分，考试时间120分钟。

(精选试题附答案)高中数学第二章一元二次函数方程和不等式专项训练题

(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第二章一元二次函数方程和不等式专项训练题单选题1、设实数x 满足x >0，函数y =2+3x +4x+1的最小值为（） A ．4√3−1B ．4√3+2C ．4√2+1D ．6 答案：A解析：将函数变形为y =3(x +1)+4x+1−1，再根据基本不等式求解即可得答案. 解：由题意x >0，所以x +1>0，所以y =2+3x +4x+1=2+3(x +1)−3+4x+1=3(x +1)+4x+1−1≥2√3(x +1)⋅4x+1−1=4√3−1，当且仅当3(x +1)=4x+1，即x =2√33−1>0时等号成立，所以函数y =2+3x +4x+1的最小值为4√3−1.故选：A ．小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方2、已知a >b >0，下列不等式中正确的是（） A ．ca >cb B ．ab b >0，结合不等式的性质及基本不等式即可判断出结论. 解：对于选项A ，因为a >b >0,0<1a<1b，而c 的正负不确定，故A 错误；对于选项B ，因为a >b >0，所以ab >b 2，故B 错误；对于选项C ，依题意a >b >0，所以a −b >0,1a−b >0，所以a −b +1a−b ≥2√(a −b )×1a−b =2，故C 正确；对于选项D ，因为a >b >0,a −1>b −1>−1,1a−1与1b−1正负不确定，故大小不确定，故D 错误；故选：C.3、若对任意实数x >0,y >0，不等式x +√xy ≤a(x +y)恒成立，则实数a 的最小值为（） A ．√2−12B ．√2−1C ．√2+1D ．√2+12答案：D分析：分离变量将问题转化为a ≥x+√xy x+y对于任意实数x >0,y >0恒成立，进而求出x+√xy x+y的最大值，设√yx =t(t >0)及1+t =m(m >1)，然后通过基本不等式求得答案.由题意可得，a ≥x+√xy x+y对于任意实数x >0,y >0恒成立，则只需求x+√xy x+y的最大值即可，x+√xy x+y=1+√yx 1+y x，设√yx =t(t >0)，则1+√y x 1+y x=1+t 1+t2，再设1+t =m(m >1)，则1+√y x 1+y x=1+t 1+t2=m1+(m−1)2=mm 2−2m+2=1m+2m−2≤2√m⋅2m−2=2√2−2=√2+12，当且仅当m =2m ⇒√yx =√2−1时取得“=”.所以a ≥√2+12，即实数a 的最小值为√2+12. 故选：D.4、若关于x的不等式x2−6x+11−a<0在区间(2,5)内有解，则实数a的取值范围是（）A．(−2,+∞)B．(3,+∞)C．(6,+∞)D．(2,+∞)答案：D分析：设f(x)=x2−6x+11，由题意可得a>f(x)min，从而可求出实数a的取值范围设f(x)=x2−6x+11，开口向上，对称轴为直线x=3，所以要使不等式x2−6x+11−a<0在区间(2，5)内有解，只要a>f(x)min即可，即a>f(3)=2，得a>2，所以实数a的取值范围为(2,+∞)，故选：D5、已知集合M={x|−4<x<2}，N={x|x2−x−6<0}，则M∩N=A．{x|−4<x<3}B．{x|−4<x<−2}C．{x|−2<x<2}D．{x|2<x<3}答案：C分析：本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．由题意得，M={x|−4<x<2},N={x|−2<x<3}，则M∩N={x|−2<x<2}．故选C．小提示：不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．6、已知a>0,b>0,a+b=1，则y=1a +3b的最小值是（）A．7B．2+√3C．4D．4+2√3答案：D分析：由“1”的妙用和基本不等式可求得结果. 因为a>0,b>0,a+b=1，所以y =1a +3b =(a +b )(1a +3b )=4+b a +3a b≥4+2√b a⋅3a b=4+2√3，当且仅当ba =3a b即b =√3a 时，等号成立.结合a +b =1可知，当a =√3−12,b =3−√32时，y 有最小值4+2√3.故选：D.7、已知y =(x −m )(x −n )+2022(n >m )，且α,β(α<β)是方程y =0的两实数根，则α，β，m ，n 的大小关系是（）A ．α<m <n <βB ．m <α<n <βC ．m <α<β<nD ．α<m <β<n 答案：C分析：根据二次函数图像特点，结合图像平移变换即可得到答案.∵α，β为方程y =0的两实数根，∴α，β为函数y =(x −m )(x −n )+2022的图像与x 轴交点的横坐标，令y 1=(x −m )(x −n )，∴m ，n 为函数y 1=(x −m )(x −n )的图像与x 轴交点的横坐标，易知函数y =(x −m )(x −n )+2022的图像可由y 1=(x −m )(x −n )的图像向上平移2022个单位长度得到，所以m <α<β<n . 故选:C.8、已知正实数a ，b 满足a +1b=2，则2ab +1a的最小值是（）A ．52B ．3C ．92D ．2√2+1答案：A分析：由已知得， a =2−1b代入得2ab +1a=2(2b −1)+b2b−1，令2b −1=t ，根据基本不等式可求得答案.解：因为a +1b =2，所以a =2−1b >0，所以0<b <2 ，所以2ab +1a =2(2−1b )b +b2b−1=2(2b −1)+b2b−1，令2b −1=t ，则b =t +12，且−1<t <3 ，所以2ab +1a =2t +t +12t=2t +12t+12≥2√2t ⋅12t+12=52，当且仅当2t =12t，即t =12，b =34,a =23时，取等号，所以2ab +1a的最小值是52.故选：A.9、已知函数y =ax 2+2bx −c(a >0)的图象与x 轴交于A (2,0)、B (6,0)两点，则不等式cx 2+2bx −a <0 的解集为（）A ．(−6,−2)B ．(−∞,16)∪(12,+∞) C ．(−12,−16)D ．(−∞,−12)∪(−16,+∞)答案：D解析：利用函数图象与x 的交点，可知ax 2+2bx −c =0(a >0)的两个根分别为x 1=2或x 2=6，再利用根与系数的关系，转化为b =−4a ，c =−12a ，最后代入不等式cx 2+2bx −a <0，求解集. 由条件可知ax 2+2bx −c =0(a >0)的两个根分别为x 1=2或x 2=6，则2+6=−2b a，2×6=−ca，得b =−4a ，c =−12a ，∴cx 2+2bx −a <0⇔−12ax 2−8ax −a <0，整理为：12x 2+8x +1>0⇔(2x +1)(6x +1)>0，解得：x >−16或x <−12，所以不等式的解集是(−∞,−12)∪(−16,+∞). 故选：D小提示：思路点睛：本题的关键是利用根与系数的关系表示b =−4a ，c =−12a ，再代入不等式cx 2+2bx −a <0化简后就容易求解.10、若不等式ax 2+bx +2>0的解集是{x |−12<x <13}，则ax +b >0的解集为（） A ．(−∞,−16)B ．(−∞,16)C ．(−16,+∞)D ．(16,+∞) 答案：A分析：利用根于系数的关系先求出a,b ，再解不等式即可. 不等式ax 2+bx +2>0的解集是{x |−12<x <13}则根据对应方程的韦达定理得到：{(−12)+13=−ba(−12)⋅13=2a ，解得{a =−12b =−2，则−12x −2>0的解集为(−∞,−16) 故选：A 填空题11、已知x >54，则函数y =4x +14x−5的最小值为_______. 答案：7分析：由x >54，得4x −5>0，构造导数关系，利用基本不等式即可得到.法一：∵x >54，∴4x −5>0， y =4x +14x−5=(4x −5)+14x−5+5≥2+5=7，当且仅当4x −5=14x−5，即x =32时等号成立，所以答案是：7.法二：∵x >54，令y ′=4−4(4x−5)2=0得x =1或x =32，当54<x <32时y′<0函数单调递减，当x >32时y′>0函数单调递增，所以当x =32时函数取得最小值为：4×32+14×32−5=7，所以答案是：7.【点晴】此题考基本不等式，属于简单题.12、设x >0, y >0, x +2y =5，则√xy的最小值为______.答案：4√3分析：把分子展开化为2xy +6，再利用基本不等式求最值．∵√xy=√xy,∵x >0, y >0, x +2y =5,xy >0,∴√xy≥√3√xy √xy=4√3，当且仅当xy =3，即x =3,y =1时成立，故所求的最小值为4√3．小提示：使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．13、已知a >b >0，那么当代数式a 2+4b (a−b )取最小值时，点P (a,b )的坐标为______ 答案：(2,1)分析：根据题意有b(a −b)≤(b+a−b 2)2，当且仅当b =a −b ，即a =2b 时取等号，所以a 2+4b (a−b )≥a 2+16a 2≥16，结合a >b >0以及两个不等式等号成立的条件可求出a,b 的值，从而可求得答案解：由a >b >0，得a −b >0，所以b(a −b)≤(b+a−b 2)2=a 24，当且仅当b =a −b ，即a =2b 时取等号，所以a 2+4b (a−b )≥a 2+16a 2≥16，其中第一个不等式等号成立的条件为a =2b ，第二个不等式等号成立的条件为a 2=16a 2，所以当a 2+4b (a−b )取最小值时，{a 2=16a 2a =2b a >b >0，解得{a =2b =1所以点P (a,b )的坐标为(2,1)，所以答案是：(2,1)小提示：关键点点睛：此题考查基本不等式的应用，解题的关键是多次使用基本不等式，但不要忽视每次取等号的条件，考查计算能力，属于中档题 14、函数y =3x +1x−1(x >1)的最小值是_____ 答案：3+2√3分析：利用基本不等式可求得原函数的最小值. 因为x >1，则x −1>0，所以y =3(x −1)+1x−1+3≥2√3(x −1)×1x−1+3=2√3+3，当且仅当3(x −1)=1x−1，因为x >1，即当x =3+√33时，等号成立.所以函数y =3x +1x−1(x >1)的最小值是2√3+3. 所以答案是：3+2√3.15、已知x >0，则7−x −9x 的最大值为________．答案：1分析：直接利用基本不等式求最大值.∵x >0，则7−x −9x =7−(x +9x )≤7−2√x ⋅9x =1，当且仅当x =9x 即x =3时取等号．所以答案是：1 解答题16、设a ∈R ，关于x 的二次不等式ax 2−2x −2a >0的解集为A ，集合B ={x |1<x <2 }，满足A ∩B ≠∅，求实数a 的取值范围. 答案：(−∞,−2)∪(2,+∞)分析：由题意a ≠0，求出方程ax 2−2x −2a =0的两根，讨论a 的正负，确定二次不等式的解集A 的形式，然后结合数轴列出不等式求解即可得答案.解：由题意a≠0，令ax2−2x−2a=0，解得两根为x1=1a −√2+1a2,x2=1a+√2+1a2，由此可知x1<0,x2>0，当a>0时，解集A={x|x<x1}∪{x|x>x2}，因为x1<0,x2>1，所以A∩B≠∅的充要条件是x2<2，即1a+√2+1a2<2，解得a>2；当a<0时，解集A={x|x1<x<x2}，因为x1<0,x2<2，所以A∩B≠∅的充要条件是x2>1，即1a+√2+1a2>1，解得a<−2；综上，实数a的取值范围为(−∞,−2)∪(2,+∞).17、已知不等式ax2+(1−a)x+a−1<0．(1)若不等式对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围；(2)若不等式对a∈[0,12]恒成立，求实数x的取值范围．答案：(1)(−∞，−13)；(2)(−1−√52，−1+√52)．分析：（1）根据一元二次不等式的解集为全体实数的条件可得Δ<0，a<0，从而解出a的范围即可．（2）化简整理为关于a的一次函数再分析．构造函数g(a)利用{g(0)<0g(12)<0，解不等式组．（1）当a=0时，不等式为x−1<0，解得x<1，显然不符合题意；当a≠0时，由已知，得{a<0(1−a)2−4a(a−1)<0即{a<03a2−2a−1>0，解得a<−13,综上，实数a的取值范围为(−∞，−13)．（2）原不等式可化为(x 2−x +1)a +x −1<0，设g （a ）=(x 2−x +1)a +x −1，由题意，当a ∈[0，12]，g(a)<0 恒成立，所以{g(0)<0g(12)<0，即{x −1<012(x 2−x +1)+x −1<0,解得−1−√52<x <−1+√52，所以实数x 的取值范围为(−1−√52，−1+√52)．18、若函数y =3x 2−5x +a 的两个零点分别为x 1,x 2，且有−2<x 1<0,1<x 2<3，试求出a 的取值范围．答案：−12<a <0.分析：根据题意，利用二次函数的性质和根的分布，列出不等式组，即可求出实数a 的取值范围．令f (x )=3x 2−5x +a ，则{f(−2)>0f(0)<0f(1)<0f(3)>0 得a 的取值范围是−12<a <0．故实数a 的取值范围为−12<a <0.小提示：本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．19、解关于x 的不等式ax 2+(a -1)x -1≤0．答案：答案见解析分析：解含参的一元二次不等式，对参数进行分类讨论、借助一元二次函数进行求解. 因为ax 2+(a -1)x -1≤0，即(ax -1)(x +1)≤0，当a =0时，则-x -1≤0，即x ≥-1；当a >0时，则-1≤x ≤1a ；当a<0时，①当-1<a<0时，则x≤1或x≥-1；a②当a=-1时，则(x+1)2≥0，即x∈R；；③当a<-1时，则x≤-1或x≥1a综上，当a=0时，不等式的解集为{x|x≥-1}；}；当a>0时，不等式的解集为{x|-1≤x≤1a或x≥-1}；当-1<a<0时，不等式的解集为{x|x≤1a当a=-1时，不等式的解集为R；当a<-1时，不等式的解集为{x|x≥1或x≤-1}.a。

2021年秋高一数学必修一第二章《一元二次函数、方程和不等式》练习卷

高一数学第二章《一元二次函数、方程和不等式》练习卷一、单选题1．若0x >，0y >，且47x y +=，则111x y++的最小值为（） A ．2B ．98C ．94D ．322．关于x 的方程11x xx x =--的解集为（） A ．{0} B ．{x |x ≤0或x >1} C ．{x |0≤x <1}D ．{x |x ≠1}3．若－4<x <1，则22222x x x -+-（）A ．有最小值1B ．有最大值1C ．有最小值－1D ．有最大值－14．已知210a +<,则关于x 的不等式22450x ax a -->的解集是 A ．{|5x x a <或}x a >- B ．{|5x x a >或}x a <- C ．{}5x a x a -<<D ．{}5x a x a <<-5．设m ＋n >0，则关于x 的不等式(m －x )·(n ＋x )>0的解集是（） A ．{x |x <－n 或x >m } B ．{x |－n <x <m } C ．{x |x <－m 或x >n }D ．{x |－m <x <n }6．下列四个命题中的真命题为（） A ．∃x ∈Z ，1<4x <3 B ．∃x ∈Z ，5x ＋1＝0 C ．∀x ∈R ，x 2－1＝0 D ．∀x ∈R ，x 2＋x ＋2>0 7．设四边形的两条对角线为、，则“四边形为菱形”是“”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x >0}，B ＝{x |x >1}，则A ∩(∁U B )＝（） A ．{x |0≤x <1} B ．{x |0<x ≤1} C ．{x |x <0} D ．{x |x >1}二、多选题9．下列不等式一定成立的是（）A ．3x x+≥B ．4212x x+≥C ．()2222x y x y +≤+D ．若0x <，0y <，则2y xx y+≤- 10．如果0a b <<，那么下列不等式正确的是（） A ．11a b>11．已知b 克糖水中有a 克糖()0b a >>，若再添加m 克糖()0m >，则糖水变得更甜.对于0b a >>，0m >，下列不等式正确的有：A ．a a mb b m+<+ B ．a a m b b m->- C ．a a bmb b am +<+ D ．a a bmb b am-<- 12．已知关于x 的不等式a ≤34x 2－3x ＋4≤b ，下列结论正确的是（）A ．当a ＜b ＜1时，不等式a ≤34x 2－3x ＋4≤b 的解集为∅B ．当a ＝1，b ＝4时，不等式a ≤34x 2－3x ＋4≤b 的解集为{x |0≤x ≤4}C ．当a ＝2时，不等式a ≤34x 2－3x ＋4≤b 的解集可以为{x |c ≤x ≤d }的形式D ．不等式a ≤34x 2－3x ＋4≤b 的解集恰好为{x |a ≤x ≤b }，那么b ＝43三、填空题13．某公司有20名技术人员，计划开发A ，B 两类共50件电子器件，每类每件所需人员和预计产值如下：今制订计划欲使总产值最高，则A 类电子器件应开发_______件，最高产值为______万元. 14．已知不等式x 2+ax +b ≥0的解集为{x |x ≤2或x ≥3}，则a +b ＝_____．15．设命题p ：对任意[]0,1x ∈，不等式2234x m m -≥-恒成立.若p 为真命题，则实数m 的取值范围是___________.16．不等式－3x 2＋5x －4>0的解集为________．四、解答题17．已知正数a 、b 满足111a b+=．（1）求a +b 的最小值；（2）求4911a ba b 的最小值．18．若正数x ，y 满足x+3y=5xy ，求：（1）3x+4y 的最小值；（2）求xy 的最小值．19．某个体户计划经销A ，B 两种商品，据调查统计，当投资额为(0)t t ≥万元时，经销A ，B 商品中所获得的收益分别为()f t 万元与()g t 万元，其中()1,()f t t g t =+=2101(03),{1912(35).t t t t t t +≤≤+-+-<≤如果该个体户准备投入5万元经营这两种商品，请你帮他制订一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出其最大收益．20．设a，b，c R，a+b+c=0，abc=1．（1）证明：ab+bc+ca<0；（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c 21．解关于x的不等式56x2＋ax－a2<0.22．已知集合A＝{x|a－1≤x≤2a＋3}，B＝{x|－2≤x≤4}，全集U＝R．（1）当a＝2时，求A∪B和(∁R A)∩B；（2）若A∩B＝A，求实数a的取值范围．。

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第二章一元二次函数、方程和不等式同步练习一、单选题1．下列四个结论：①111222a b c a b c ，，，，，都是不等于O 的实数，关于x 的不等式和1110a x b x c ++>的解集分别为P Q ，，则当111222a b c a b c ==是P Q =的既不充分也不必要条件；②>9111lg lg <；④若1224x y x y ≤+≤≤-≤，，则42x y -的取值范围是[6]15，.其中正确的个数为（） A ．4 B ．3 C ．2 D ．12．已知集合2{|20}A x x x =--< ，{|20}B x x =-<<，则AB =（） A ．(2,1)-- B ．(1,0)-C ．(0,2)D ．(1,2)-3．设a ，b R ∈，且a b >，则( )A ．1b a C ．22a b >D ．33a b >4．已知偶函数2()1f x ax bx ++＝的定义域[a ﹣1，2]，则函数()f x 的值域为（） A ．（﹣∞，1） B ．（﹣∞，1] C ．[﹣3，1] D ．[1，+∞）5．下列命题为真命题的是（）A ．命题“若a b >，则11a b <”B ．“若21x ≤，则1x ≤”的逆命题C ．“若12x x =，则12sin sin x x =”的逆否命题D ．“若1x =，则21x =”的否命题 6．某工厂产生的废气经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过1%．已知在过滤过程中的污染物的残留数量P （单位：毫克/升）与过滤时间t （单位：小时）之间的函数关系为：0kt P P e -=⋅（k 为正常数，0P 为原污染物数量）.若前5个小时废气中的污染物被过滤掉了90%，那么要能够按规定排放废气，至少还需要过滤（）A ．12小时B ．59小时C ．5小时D ．52小时7．设:p “函数()225f x x mx m =-+在(],2-∞-上单调递减”， :q “0x ∀>，33823x m x+≥-”，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．设全集U =R ,集合{}{}2|log 2,|(3)(1)0A x x B x x x =≤=-+≥则U C B A （） A ．(,1]-∞- B ．{}|103x x x ≤-<<或 C ．[0,3) D ．(0,3)9．若322x y +=，则84x y +的最小值为（）A ．4B ．C ．2D ．10．已知AB AC ⊥，1AB t =，AC t =，若P 点是ABC 所在平面内一点，且4AB AC AP AB AC =+，则·PB PC 的最大值等于（）.A ．13B ．15C ．19D ．2111．若实数,a b 满足22log log 3a b +=，则11a b+的最小值为（）A ．12B ．2CD ．212．已知函数()x f x e =在点(0,(0))f 处的切线为l ，动点(,)a b 在直线l 上，则22a b -+的最小值是（）A ．4B ．2C ． D二、填空题13．给出下列命题：①1y =是幂函数；②函数2()2log x f x x =-的零点有且只有1；③2)0x -≥的解集为[2,)+∞；④“1x <”是“2x <”的充分非必要条件；其中真命题的序号是______________．14．定义运算“⊗”：22x y x y xy-⊗=（,0x y R xy ∈≠，）.当00x y ，>>时，(2)x y y x ⊗+⊗的最小值是 .15．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，，,12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5，若要使该总体的方差最小，则16．已知函数32()2x x x f ax =-+--在R 上是单调函数，则实数a 的取值范围为______________．三、解答题17．已知关于x 的不等式2320ax x -+>()a R ∈．（1）若关于x 的不等式2320ax x -+>()a R ∈的解集为{|1x x <或}x b >，求,a b 的值；（2）解关于x 的不等式2325ax x ax -+>-()a R ∈.18．正方形的边长是 2cm ，设它的边长增加 x cm 时，正方形的面积增加 y cm 2，求y 与x 之间的函数关系．19．解关于x 的不等式：2213ax a ax x ++>+.20．已知集合{|A x y ==，集合{}2|7120B x x x =--->，集合{|121}C x m x m =+≤≤-.(1)求A B ；(2) 若A C A ⋃=，求实数m 的取值范围.21．（1）已知234x y <<<<，分别求x y -，2x y -的取值范围.（2）若关于x 的不等式20ax x b -+>的解集为3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭，求不等式210bx ax +-≤的解集. 22．已知各项均为正数的数列{}n a 满足22112n n n n a a a a ++=+, 且24324a a a +=+, 其中*n N ∈．（I ）求数列{}n a 的通项公式;（II ）设数列{}n b 的前项和为n T ,令2n n b a =,其中,试比较1124n nT T ++与2122log 22log 1n n b b ++-的大小,并加以证明．参考答案1．B【解析】【分析】①借助二次函数的性质与二次不等式的关系，可举例说明；②将不等式两端同时平方，即可判断；③利用均值不等式以及对数的运算性质即可；④利用不等式的性质将42x y -配凑成题干两个不等式的线性组合，利用同向可加性求解.【详解】解：对于①，当111222a b c a b c ==时，不一定有P Q =，例如210x x ++>的解集为R ，而210x x --->的解集为∅ ；当P Q =时，不一定有111222a b c a b c ==，例如210x x ++>的解集为R ，230x x ++>的解集为R ，故①正确；>1717+>+>> 对于③，有基本不等式222911991009111222lg lg lg lg lg lg +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅≤=<= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故③正确；对于④，设()()42x y m x y n x y -=++-，则()()42x y m n x m n y -=++-，从而4,2m n m n +=-=-，解得1,3m n ==，由24x y ≤-≤可得()6312x y ≤-≤，又12x y ≤+≤，两式相加得：74214x y ≤-≤，故④不正确.故选：B.【点睛】本题主要考查不等式的基本性质，特别是最后一个，不能破坏,x y 的相互约束性，否则范围会扩大，这是易错点，需注意.2．B【解析】【分析】先求解不等式220x x --<,再根据交集的定义求解即可【详解】由题,因为220x x --<,所以12x -<<,即{}|12A x x =-<<,所以{}|10A B x x ⋂=-<<,故选:B【点睛】本题考查集合的交集运算,考查解一元二次不等式3．D【解析】【分析】利用排除法，可取1a =-，2b =-，排除选项,,A B C ，从而可得结果．【详解】因为a b >，所以可取1a =-，2b =-，此时，1b a < ，11a b> ，22a b >均不成立，所以可排除选项,,A B C ，故选D ．【点睛】本题考查了不等式的性质以及排除法的应用，属于基础题. 用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性.4．C【解析】【分析】根据偶函数的定义域特征，求出a 的值，再由偶函数的定义求出b ，结合二次函数图像，即可求解.【详解】已知偶函数2()1f x ax bx ++＝的定义域[]21a -，，所以12,1a a -=-∴=-，()(),f x f x x R -=∈恒成立，即2211,20,x bx x bx bx x R --+=-++=∈恒成立， 20,()1,[2,2]b f x x x ∴=∴=-+∈-，函数()f x 的值域为[3,1]-.故选:C.【点睛】本题考查偶函数的性质，以及二次函数的性质，函数的奇偶性要注意定义域满足的条件，属于基础题.5．C【解析】【分析】当0a b >>时可判断A,写出B 选项的逆命题可得B 选项是否为真命题，易得C 选项为真命题，故其逆否命题也为真命题，写出D 选项的否命题可得D 选项是否为真命题.【详解】解：A 、若0a b >>，则11a b>，故A 为假命题； B 、“若21x ≤，则1x ≤”的逆命题为“若1x ≤，，则21x ≤”，当1x <-时，命题不成立，故原命题的逆命题为假命题；C 、易得“若12x x =，则12sin sin x x =”为真命题，故其逆否命题也为真命题，故C 正确；D 、“若1x =，则21x =”的否命题为“若1x ≠，则21x ≠”可得当1x =-时，21x =，故原命题的否命题为假命题，D 不正确；故选：C.【点睛】本题主要考查四种命题真假性的判断，需对各个命题进行一一判断.6．C【解析】【分析】先利用函数关系式，结合前5个小时消除了90%的污染物，求出常数k 的值，然后根据污染物的残留含量不得超过1%，列出方程001%kt P P e -=，即可求出结论．【详解】由题意，前5个小时消除了90%的污染物，∵0kt P P e -=⋅，∴500(190%)k P P e --=，∴50.1k e -=，即5ln0.1k -=， ∴1ln 0.15k =-，则由001%kt P P e -=，即ln 0.01ln 0.15t =⨯， ∴10t =，即总共需要过滤10小时，污染物的残留含量才不超过1%，又∵前面已经过滤了5小时，所以还需过滤5小时.故本题选C.【点睛】本题主要考查指数函数的定义、解析式、定义域和值域，考查函数的应用，根据实际问题列出表达式是解题的关键，属中档题.7．B【解析】【分析】先由命题p 求出对应的m 的范围；再由q 求出对应的m 的范围，结合充分条件与必要条件的概念，即可得出结果.【详解】因为函数()225f x x mx m =-+在(],2-∞-上单调递减，所以24m -≥--，即8m ≥-．因为0x ∀>时，33828x x +≥=，所以“0x ∀>，33823x m x +≥-”等价于38m -≤，即5m ≥-，因为集合[)[)5,8,-+∞-+∞，所以p 是q 的必要不充分条件．故选：B .【点睛】本题主要考查判断命题的必要不充分条件，熟记概念即可，属于常考题型.8．D【解析】【分析】根据题意，先求出集合A ，B ，进而求出B 的补集，进而根据交集的定义，可得答案．【详解】解：集合(]2{|12}0,4A x og x ==， (][){|(3)(1)0},13,B x x x =-+=-∞-+∞，()1,3U B ∴=-，()()0,3U B A ∴=，故选：D ．【点睛】本题考查集合混合运算，注意运算的顺序，其次要理解集合交、并、补的含义，属于基础题． 9．A【解析】∵322x y +=，∴3284224x y x y +=+≥==，当且仅当32232x y x y +==且，即11,32x y ==时等号成立．选A ． 10．A【解析】【分析】【详解】以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则1(,0)B t，(0,)C t ，1AP =（，0)+4(0,1)=(1,4)，即1P （，4)，所以114)PB t=--（，，14)PC t =--（，，因此PB PC ⋅11416t t =--+117(4)t t =-+，因为144t t +≥=，所以PB PC ⋅的最大值等于13，当14t t =，即12t =时取等号．考点：1、平面向量数量积；2、基本不等式．11．B【解析】【分析】先根据对数的运算性质求出8ab =，再根据基本不等式即可求出．【详解】因为实数,a b 满足22log log 3a b +=，则8ab =所以11a b + 2≥==，当且仅当a b ==故则11a b +的最小值为2，故选B ．【点睛】本题主要考查了对数的运算性质和基本不等式的应用，意在考查综合运用所学知识解答问题的能力，属于基础题．。