《2.2.2 反证法》课件6-优质公开课-人教B版选修2-2精品
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人教a版数学【选修2-2】2.2.2《反证法》ppt课件
成才之路 · 数学
人教A版 · 选修2-2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第二章
推理与证明
第二章 2.2 直接证明与间接证明
2.2.2 反证法
1
自主预习学案
2
典例探究学案
3
巩固提高学案
4
备 选 练 习
自主预习学案
理解反证法的概念，掌握反证法的特点及证题的步骤．
重点：反证法概念的理解以及反证法的证题步骤． 难点：反证法的应用．
已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2. [解析] 假设p＋q>2，那么p>2－q，所以p3>(2－q)3＝8－12q ＋6q2－q3，将p3＋q3＝2代入消去p，得6q2－12q＋6<0，即 6(q－1)2<0.这与6(q－1)2≥0矛盾，故假设错误．所以p＋q≤2. [点评] 本题已知条件为p、q的三次幂，而结论中只有p，q 的一次幂，若直接证明，应考虑到用立方根，同时用放缩法 ，但很难证，故考虑采用反证法.
[方法规律总结] 用反证法证明数学命题的步骤 第一步：审题，分清命题的条件和结论； 第二步：反设，做出与命题结论相矛盾的假设； 第三步：归谬，由假设出发，应用演绎推理方法，推出矛盾 的结果； 第四步：下结论，断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做 的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明了命题为真 ．
典例探究学案
用反证法证明直接证明不易入手的问题
求证：若两条平行直线 a、b 中的一条与平面 α 相交，则另一条也与平面 α 相交．
[分析] 直接证明直线与平面相交比较困难，故可考虑用反 证法，注意该命题的反面情形不止一种，需一一驳倒，才能 推出命题结论正确．
[解析] 不妨设直线a与平面α相交，b与a平行，从而要证b 也与平面α相交．假设b不与平面α相交，则必有下面两种情 况：(1)b在平面α内．由a∥b，a⊄平面α，得a∥平面α，与题 设矛盾． (2)b∥平面α. 则平面α内有直线b′，使b∥b′. 而a∥b，故a∥b′，因为a⊄平面α，所以a∥平面α，这也与 题设矛盾． 综上所述，b与平面α只能相交．
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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第二章
推理与证明
第二章 2.2 直接证明与间接证明
2.2.2 反证法
1
自主预习学案
2
典例探究学案
3
巩固提高学案
4
备 选 练 习
自主预习学案
理解反证法的概念，掌握反证法的特点及证题的步骤．
重点：反证法概念的理解以及反证法的证题步骤． 难点：反证法的应用．
已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2. [解析] 假设p＋q>2，那么p>2－q，所以p3>(2－q)3＝8－12q ＋6q2－q3，将p3＋q3＝2代入消去p，得6q2－12q＋6<0，即 6(q－1)2<0.这与6(q－1)2≥0矛盾，故假设错误．所以p＋q≤2. [点评] 本题已知条件为p、q的三次幂，而结论中只有p，q 的一次幂，若直接证明，应考虑到用立方根，同时用放缩法 ，但很难证，故考虑采用反证法.
[方法规律总结] 用反证法证明数学命题的步骤 第一步：审题，分清命题的条件和结论； 第二步：反设，做出与命题结论相矛盾的假设； 第三步：归谬，由假设出发，应用演绎推理方法，推出矛盾 的结果； 第四步：下结论，断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做 的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明了命题为真 ．
典例探究学案
用反证法证明直接证明不易入手的问题
求证：若两条平行直线 a、b 中的一条与平面 α 相交，则另一条也与平面 α 相交．
[分析] 直接证明直线与平面相交比较困难，故可考虑用反 证法，注意该命题的反面情形不止一种，需一一驳倒，才能 推出命题结论正确．
[解析] 不妨设直线a与平面α相交，b与a平行，从而要证b 也与平面α相交．假设b不与平面α相交，则必有下面两种情 况：(1)b在平面α内．由a∥b，a⊄平面α，得a∥平面α，与题 设矛盾． (2)b∥平面α. 则平面α内有直线b′，使b∥b′. 而a∥b，故a∥b′，因为a⊄平面α，所以a∥平面α，这也与 题设矛盾． 综上所述，b与平面α只能相交．
2014-2015学年高中数学(人教版选修2-2)配套课件第二章 2.2 2.2.2 反 证 法
栏 目 链 接
自 测 自 评
上述步骤的正确顺序为________(填序号)．
解析：由反证法的一般步骤可知，正确的顺序 应为③①②. 答案：③①②
栏 目 链 接
自 测 自 评
3.“实数 a，b，c 不全大于 0”等价于( A．a，b，c 均不大于 0 B．a，b，c 中至少有一个大于 0 C．a，b，c 中至多有一个大于 0 D．a，b，c 中至少有一个不大于 0
栏 目 链 接
题型3
用反证法证明唯一性命题
例3 用反证法证明：过已知直线a外一点A只有一条直 线b与已知直线a平行．
栏 目 链 接
证明：假设过点 A 还有一条直线 b′与已知直 线 a 平行，即 b∩b′＝A，b′∥a.因为 b∥a，由平 行公理知 b′∥b.这与假设 b∩b′＝A 矛盾，所以 假设错误，故原命题成立．
栏 目 链 接
跟 踪 训 练
1．已知三个正数 a，b，c 成等比数列，但不成等差数 列，求证： a， b， c不成等差数列．
解析： 假设 a， b， c成等差数列， 则 a＋ c＝2 b， 即 a＋c＋2 ac＝4b， 而 b2＝ac，即 b＝ ac，所以 a＋c＋2 ac＝4 ac， 所以( a－ c)2＝0.即 a＝ c， 从而 a＝b＝c，与 a，b，c 不成等差数列矛盾， 故 a， b， c不成等差数列．
证明：假设方程 f(x)＝0 在区间[a，b]上至少有两个实 根，设 α、β 为其中的两个实根．因为 α≠β，不妨设 α ＜β，又因为函数 f(x)在[a，b]上是单调递减函数，所以 f(α)＞f(β)．这与假设 f(α)＝0＝f(β)矛盾，所以方程 f(x) ＝0 在区间[a，b]上至多有一个实根．
2
栏 目 链 接
自 测 自 评
上述步骤的正确顺序为________(填序号)．
解析：由反证法的一般步骤可知，正确的顺序 应为③①②. 答案：③①②
栏 目 链 接
自 测 自 评
3.“实数 a，b，c 不全大于 0”等价于( A．a，b，c 均不大于 0 B．a，b，c 中至少有一个大于 0 C．a，b，c 中至多有一个大于 0 D．a，b，c 中至少有一个不大于 0
栏 目 链 接
题型3
用反证法证明唯一性命题
例3 用反证法证明：过已知直线a外一点A只有一条直 线b与已知直线a平行．
栏 目 链 接
证明：假设过点 A 还有一条直线 b′与已知直 线 a 平行，即 b∩b′＝A，b′∥a.因为 b∥a，由平 行公理知 b′∥b.这与假设 b∩b′＝A 矛盾，所以 假设错误，故原命题成立．
栏 目 链 接
跟 踪 训 练
1．已知三个正数 a，b，c 成等比数列，但不成等差数 列，求证： a， b， c不成等差数列．
解析： 假设 a， b， c成等差数列， 则 a＋ c＝2 b， 即 a＋c＋2 ac＝4b， 而 b2＝ac，即 b＝ ac，所以 a＋c＋2 ac＝4 ac， 所以( a－ c)2＝0.即 a＝ c， 从而 a＝b＝c，与 a，b，c 不成等差数列矛盾， 故 a， b， c不成等差数列．
证明：假设方程 f(x)＝0 在区间[a，b]上至少有两个实 根，设 α、β 为其中的两个实根．因为 α≠β，不妨设 α ＜β，又因为函数 f(x)在[a，b]上是单调递减函数，所以 f(α)＞f(β)．这与假设 f(α)＝0＝f(β)矛盾，所以方程 f(x) ＝0 在区间[a，b]上至多有一个实根．
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栏 目 链 接
《2.2.2反证法》课件2-优质公开课-人教A版选修2-2精品
新课标A版 ·数学 .2 2.2.2
新课标A版 ·数学 ·选修2-2
题型一 存在性问题 例 1 已知 x，y>0 且 x＋y>2， 求证：1＋y x，1＋x y中至少有一个小于 2.
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第二章 2.2 2.2.2
新课标A版 ·数学 ·选修2-2
【证明】 假设1＋y x，1＋x y都不小于 2， 即1＋y x≥2，1＋x y≥2. ∵x，y>0，∴1＋x≥2y,1＋y≥2x. ∴2＋x＋y≥2(x＋y)， 即 x＋y≤2 与已知 x＋y>2 矛盾． ∴1＋y x，1＋x y中至少有一个小于 2.
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第二章 2.2 2.2.2
2．反证法证题的关键是什么？
新课标A版 ·数学 ·选修2-2
答：用反证法证题的关键在于依据假设在正确的推理下得出 矛盾．这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定 义、定理、公理、事实矛盾等，但推导出的矛盾必须是明显的．
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第二章 2.2 2.2.2
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第二章 2.2 2.2.2
新课标A版 ·数学 ·选修2-2
【证明】 假设存在两个 x0，x0′∈(1,2)，且 x0≠x0′使得 x0＝φ(2x0)，x0′＝φ(2x0′)，则由|φ(2x0)－φ(2x0′)|≤
L|x0－x0′|，得|x0－x0′|≤L|x0－x0′|. 所以 L≥1，这与已知 L∈(0,1)矛盾． 故假设错误，原结论成立．
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第二章 2.2 2.2.2
新课标A版 ·数学 ·选修2-2
题型五 用反证法证明直接证明不易入手的问题 例 5 求证：若两条平行直线 a、b 中的一条与平面 α 相交， 则另一条也与平面 α 相交．
《2.2.2 反证法》课件1-优质公开课-人教B版选修2-2精品
3 与 a≤－2或 a≥－1 矛盾，故原命题成立.
用反证法证明唯一性命题
(1)在用反证法证明“两条相交直线有且只有一 个交点”时的反设为________． (2)求证：方程 2x＝3 有且只有一个根．
【证明】 小于零得
假设三个方程都没有实数根，ห้องสมุดไป่ตู้由判别式都
Δ1＝4a2＋44a－3<0， 2 2 Δ2＝a－1 －4a <0， Δ ＝2a2－4×－2a<0， 3 1 3 －2<a<2， 则a>1或a<－1， 3 －2<a<0，
3 解得－2<a<－1，
2．常见的几种矛盾 (1)与假设矛盾； (2)与 数学公理 、 定理、 公式、 定义或 已证明了的结论 矛 盾； (3)与 公认的简单事实 矛盾(例如，导出 0＝1,0≠0 之类 的矛盾).
用反证法证明否定性命题
设{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn ＝an＋bn，证明数列{cn}不是等比数列．
《2.2.2 反证法》课件1
●三维目标 1．知识与技能 通过实例，体会反证法的含义． 2．过程与方法 了解反证法的基本步骤，会用反证法证明简单的命题．
3．情感、态度与价值观 在观察、操作、推理等探索过程中，体验数学活动充满 探索性和创造性． ●重点难点 重点：体会反证法证明命题的思路方法，用反证法证明 简单的命题． 难点：用反证法证明简单的命题，证明方法的选择．
(2013· 威海高二检测)已知 a， b， c∈(0,1)， 求证： 1 (1－a)b，(1－b)c，(1－c)a 不能都大于 . 4
【思路探究】 “不能都大于”的含义为“至少有一个
小于或等于”其对立面为“全部大于”．
高中数学选修2-2课件2.2.2《反证法》课件
反证法的思维方法：
正难则反
反证法的基本步骤：
（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成------立；
（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
（3）从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结 -----论正确 归缪矛盾：
（1）与已知条件矛盾；
（2）与已有公理、定理、定义矛盾；
（3）自相矛盾。
应用反证法的情形：
(1)直接证明困难; (2)需分成很多类进行讨论． （3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷 多个” ---类命题； （4）结论为 “唯一”类命题；
例1：用反证法证明： 如果a>b>0，那么 a > b 证：假设 a > b不成立，则 a ≤ b
若 a = b，则a = b,与已知a > b矛盾,
例4 如图2.2 2,AB,CD为圆
的两条相交弦,且不全为直径. A
D
求证 AB,CD不能互相平分.
动画演示.
C
B
证明 假设AB,CD互相平分,
图2.2 2
则ACBD为平行四边形,故ACB ADB,
CAD CBD. 因为ABCD为圆内接四边形,所以
ACB ADB 180 0,CAD CBD 180 0.
指有面额的那面.
上述现 象可以用直 接证明的方 法解释, 但是, 我们这 里采用反证法.
假设经过若干次翻转可以使硬币全部反面向上. 由于每枚硬币从正面朝上变为反面朝上,都需要 翻转奇数次,所以3枚硬币全部反面朝上时,需要
翻转3个奇数之和次,即要翻转奇数次.
但由于每次用双手同时翻转2枚硬币,3枚硬币被
翻转的次数只能是2 的倍数,即偶数次.这个矛盾
说明假设错误,原结论正确,即无论怎样翻转都不
正难则反
反证法的基本步骤：
（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成------立；
（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
（3）从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结 -----论正确 归缪矛盾：
（1）与已知条件矛盾；
（2）与已有公理、定理、定义矛盾；
（3）自相矛盾。
应用反证法的情形：
(1)直接证明困难; (2)需分成很多类进行讨论． （3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷 多个” ---类命题； （4）结论为 “唯一”类命题；
例1：用反证法证明： 如果a>b>0，那么 a > b 证：假设 a > b不成立，则 a ≤ b
若 a = b，则a = b,与已知a > b矛盾,
例4 如图2.2 2,AB,CD为圆
的两条相交弦,且不全为直径. A
D
求证 AB,CD不能互相平分.
动画演示.
C
B
证明 假设AB,CD互相平分,
图2.2 2
则ACBD为平行四边形,故ACB ADB,
CAD CBD. 因为ABCD为圆内接四边形,所以
ACB ADB 180 0,CAD CBD 180 0.
指有面额的那面.
上述现 象可以用直 接证明的方 法解释, 但是, 我们这 里采用反证法.
假设经过若干次翻转可以使硬币全部反面向上. 由于每枚硬币从正面朝上变为反面朝上,都需要 翻转奇数次,所以3枚硬币全部反面朝上时,需要
翻转3个奇数之和次,即要翻转奇数次.
但由于每次用双手同时翻转2枚硬币,3枚硬币被
翻转的次数只能是2 的倍数,即偶数次.这个矛盾
说明假设错误,原结论正确,即无论怎样翻转都不
第二章--2.2.2--反证法
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解析：①是“否定”型命题；②是“至少”型命题；③是“唯 一”型命题，且题中条件较少；④中条件较少不足以直接证 明，因此四个命题都适合用反证法证明． 答案：①②③④
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4．已知平面α∩平面β＝直线a，直线b⊂α，直线c⊂β，b∩a＝ A，c∥a，求证：b与c是异面直线，若利用反证法证明，则 应假设________． 解析：∵空间中两直线的位置关系有 3 种：异面、平行、 相交，∴应假设 b 与 c 平行或相交． 答案：b与c平行或相交
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5．若下列三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0， x2＋2ax－2a＝0 中至少有一个方程有实根，试求实数 a 的 取值范围． 解：若三个方程均无实根， 则ΔΔ12＝＝4a－a21－2－4－4a42＜a＋0，3＜0， Δ3＝2a2－4－2a＜0
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(2)如图，点 A 在平面 α 外， 假设经过点 A 至少有平面 α 的 两条垂线 AB，AC(B，C 为垂足)， 那么 AB，AC 是两条相交直线， 它们确定一个平面 β，平面 β 和平面 α 相交于直线 BC，因为 AB⊥平面 α，AC⊥平面 α，BC⊂α，所以 AB⊥BC，AC⊥BC.在平 面 β 内经过点 A 有两条直线都和 BC 垂直，这与平面几何中经过直 线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾． 综上，经过一点 A 只能有平面 α 的一条垂线．
假设ME与BN共面―→由AB∥平面DCEF得 BM∥EN―→由BM∥EF，得EN∥EF―→得出矛盾， 问题得证
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
[规范解答] 假设ME与BN共面，则AB⊂平面MBEN，
[名师批注] 利用反证法证明问题，必须从假设出发，即本题必须以 ME 与 BN 共面为条件证明．此处极易忽视，造成解题错误．
解析：①是“否定”型命题；②是“至少”型命题；③是“唯 一”型命题，且题中条件较少；④中条件较少不足以直接证 明，因此四个命题都适合用反证法证明． 答案：①②③④
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4．已知平面α∩平面β＝直线a，直线b⊂α，直线c⊂β，b∩a＝ A，c∥a，求证：b与c是异面直线，若利用反证法证明，则 应假设________． 解析：∵空间中两直线的位置关系有 3 种：异面、平行、 相交，∴应假设 b 与 c 平行或相交． 答案：b与c平行或相交
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5．若下列三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0， x2＋2ax－2a＝0 中至少有一个方程有实根，试求实数 a 的 取值范围． 解：若三个方程均无实根， 则ΔΔ12＝＝4a－a21－2－4－4a42＜a＋0，3＜0， Δ3＝2a2－4－2a＜0
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(2)如图，点 A 在平面 α 外， 假设经过点 A 至少有平面 α 的 两条垂线 AB，AC(B，C 为垂足)， 那么 AB，AC 是两条相交直线， 它们确定一个平面 β，平面 β 和平面 α 相交于直线 BC，因为 AB⊥平面 α，AC⊥平面 α，BC⊂α，所以 AB⊥BC，AC⊥BC.在平 面 β 内经过点 A 有两条直线都和 BC 垂直，这与平面几何中经过直 线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾． 综上，经过一点 A 只能有平面 α 的一条垂线．
假设ME与BN共面―→由AB∥平面DCEF得 BM∥EN―→由BM∥EF，得EN∥EF―→得出矛盾， 问题得证
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[规范解答] 假设ME与BN共面，则AB⊂平面MBEN，
[名师批注] 利用反证法证明问题，必须从假设出发，即本题必须以 ME 与 BN 共面为条件证明．此处极易忽视，造成解题错误．
人教A选修2-211-12学年高二数学：2.2.2 反证法 课件(人教A版选修2-2)
[例3] 已知：一点A和平面α. 求证：经过点A只能有一条直线和平面α垂直． [分析]
[解析] 根据点A和平面α的位置关系，分 两种情况证明． (1)如图1，点A在平面α内，假设经过点A 至少有平面α的两条垂线AB、AC，那么AB、 AC是两条相交直线，它们确定一个平面β， 平面β和平面α相交于经过点A的一条直线a.
[点评] 1.本题的解答依赖于等差和等比 数列的概念和性质，体现了特殊化思想、 分类讨论思想和正难则反的思维策略．对 代数的推理能力要求较高． 2．结论中含有“不”、“不是”、“不 可能”、“不存在”等词语的命题，此类 问题的反面比较具体，适于应用反证法．
3．反证法属逻辑方法范畴，它的严谨体 现在它的原理上，即“否定之否定等于肯 定”，其中：第一个否定是指“否定结论 (假设)”；第二个否定是指“逻辑推理结 果否定了假设”．反证法属“间接解题方 法”，书写格式易错之处是“假设”易错 写成“设”．
2．命题“三角形中最多只有一个内角是 直角”的结论的否定是 ( ) A．两个内角是直角 B．有三个内角是直角 C．至少有两个内角是直角 D．没有一个内角是直角 [答案] C [解析] “最多只有一个”即为“至多一 个”，反设应为“至少有两个”，故应选 C.
3．如果两个实数之和为正数，则这两个 数( ) A．一个是正数，一个是负数 B．两个都是正数 C．至少有一个正数 D．两个都是负数 [答案] C [解析] 假设两个数都是负数，则两个数 之和为负数，与两个数之和为正数矛盾， 所以两个实数至少有一个正数，故应选C.
[分析] 本题中，含有“至少存在一个” 词，可考虑使用反证法．
[证明]
1 假设不存在 x∈[－1,1]上一个 x 满足|f(x)|≥2.
人教A版选修(2-2)2.2.2《反证法》课件(23张ppt)
因此，a、b、c 中至少有一个大于 0.
用反证法证明唯一性问题
结论以“有且只有一个”、“只有一个”、 “唯一存在”等形式出现的命题，由于 反设结论易于导出矛盾，所以用反证 法证其唯一性简单明了． 【方法引导】 证明“有且只有一个” 的问题，需要证明两个命题，即存在 性和唯一性．
【例3】求证方程2x＝3有 且仅有一个实根．
矛盾，假设不成立.
∴PB≠PC
A
P C
全课总结
1、知识小结： 反证法证明的思路：假设命题不成
立→正确的推理,得出矛盾→肯定待定命 题的结论
2、难点提示: 利用反证法证明命题时,一定要准确
而全面的找出命题结论的反面。
注意:用反证法证题时,应注意的事项 :
（1）周密考察原命题结论的否定事项，防止 否定不当或有所遗漏；
三个判别式都小于0 → a的范围 → 与已知a≥－1矛盾 → 否定假设 → 肯定结论
【证明】 假设三个方程都没有实根，则 三个方程中：它们的判别式都小于 0，即：
4a2－4－4a＋3<0
a－12－4a2<0
⇒
2a2＋4×2a<0
－23<a<12 a>13或a<－1 －2<a<0
⇒－32<a<－1，这与已知 a≥－1 矛盾，所以
（2）推理过程必须完整，否则不能说明命题 的真伪性；
（3）在推理过程中，要充分使用已知条件， 否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是 错误的。
独立 作业
作业： 练习：学案中巩固提高
习题91页：A组
谢谢大家
a不垂直于b
2.已知：如图，△ABC中，AB=AC，∠APB≠∠APC。 求证：PB≠PC
用反证法证明唯一性问题
结论以“有且只有一个”、“只有一个”、 “唯一存在”等形式出现的命题，由于 反设结论易于导出矛盾，所以用反证 法证其唯一性简单明了． 【方法引导】 证明“有且只有一个” 的问题，需要证明两个命题，即存在 性和唯一性．
【例3】求证方程2x＝3有 且仅有一个实根．
矛盾，假设不成立.
∴PB≠PC
A
P C
全课总结
1、知识小结： 反证法证明的思路：假设命题不成
立→正确的推理,得出矛盾→肯定待定命 题的结论
2、难点提示: 利用反证法证明命题时,一定要准确
而全面的找出命题结论的反面。
注意:用反证法证题时,应注意的事项 :
（1）周密考察原命题结论的否定事项，防止 否定不当或有所遗漏；
三个判别式都小于0 → a的范围 → 与已知a≥－1矛盾 → 否定假设 → 肯定结论
【证明】 假设三个方程都没有实根，则 三个方程中：它们的判别式都小于 0，即：
4a2－4－4a＋3<0
a－12－4a2<0
⇒
2a2＋4×2a<0
－23<a<12 a>13或a<－1 －2<a<0
⇒－32<a<－1，这与已知 a≥－1 矛盾，所以
（2）推理过程必须完整，否则不能说明命题 的真伪性；
（3）在推理过程中，要充分使用已知条件， 否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是 错误的。
独立 作业
作业： 练习：学案中巩固提高
习题91页：A组
谢谢大家
a不垂直于b
2.已知：如图，△ABC中，AB=AC，∠APB≠∠APC。 求证：PB≠PC
人教版高二数学选修2-2(B版)全册PPT课件
3.1.1 实数系
3.1.3 复数的几何意义
3.2.2 复数的乘法
பைடு நூலகம்
本章小节
附录 部分中英文词汇对照表
第一章 导数及其应用
人教版高二数学选修2－2(B版)全册 PPT课件
1.2 导数的运算
1.2.1 常数函数与冥函数的导
1.2.3 导数的四则运算法则
1.3.2 利用导数研究函数的极值
1.4 定积分与微积分基本定理
1.4.1 曲边梯形
本章小结
第二章 推理与证明
2.1.2 演绎推理
2.2.2 反证法
2.3.2 数学归纳法应用举例
阅读与欣赏
《原本》与公理化思想
3.1 数系的扩充与复数的概念
人教版高二数学选修2－2(B版)全 册PPT课件目录
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第一章 导数及其应用
1.1.2 瞬时速度与导数
人教A版选修(2-2)2.2.2《反证法》课件(23张ppt)优秀课件PPT
【变式训练3】已知a≠0，证明x 的方程ax=b有且只有一个根.
回顾与归纳
反证法
假 设
公 得理
结 论
推理论证
出 矛
、 定
的 反 面 正
反确设
盾理 （等 已） 知
、归谬
命
假题
得出结论
设成 不立
.
成
立
，
原
结论
课堂练习
1.写出下列各结论的反面：
（1）a//b；
a∥b
（2）a≥0；
a<0
（3）b是正数；
b是0或负数
（4）a⊥b
a不垂直于b
2.已知：如图，△ABC中，AB=AC，∠APB≠∠APC。 求证：PB≠PC
证明：假设PB=PC。
在△ABP与△ACP中
AB=AC(已知）
AP=AP（公共边）
PB=PC（已知）
∴△ABP≌△ACP（S.S.S)
∴∠APB=∠APC(全等三角形
对应边相等）
B
这与已知条件∠APB≠∠APC
你能对小华的判断说出理由吗？
小华的理由：
假设昨天晚上没有下雨，那么地上应是干的，这与 早晨地上全湿了相矛盾，所以说昨晚下雨是正确的。
我们可以把这种说理方法总结一下：
知新益能
• 1．反证法 • 假设原命题_不__成_立__(即在原命题的条件下，
结论不成立)，经过正确的推理，最后得 出矛盾，因此说明_假__设__错_误__，从而证明了 _原__命_题__成__立__，这种证明方法叫做反证法． • 2．反证法常见矛盾类型 • 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾， 这个矛盾可以是与_已__知__条_件__、_公_理__、_定__义_、 _定_理__等矛盾．
2016-2017学年人教版高中数学选修2-2课件：第二章 2.2 2.2.2 反证法
[证明] 假设 a， b， c成等差数列，则 a＋ c＝2 b， 即 a＋c＋2 ac＝4b. ∵a，b，c 成等比数列，∴b2＝ac，即 b＝ ac， ∴a＋c＋2 ac＝4 ac，∴( a－ c)2＝0，即 a＝ c. 从而 a＝b＝c，与 a，b，c 不成等差数列矛盾， 故 a， b， c不成等差数列．
a≤－2或a≥0.
即 a∈
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结束
3．[变条件，变设问]已知 a，b，c，d∈R，且 a＋b＝c＋d＝1，ac ＋bd＞1，求证：a，b，c，d 中至少有一个是负数． 证明：假设 a≥0，b≥0，c≥0，d≥0. ∵a＋b＝c＋d＝1， ∴(a＋b)(c＋d)＝1， ∴ac＋bd＋bc＋ad＝1. 而 ac＋bd＋bc＋ad＞ac＋bd＞1，与上式矛盾， ∴假设不成立， ∴a，b，c，d 中至少有一个是负数．
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结束
用反证法证明“至多”“至少”等问题的两个关注点 (1)反设情况要全面，在使用反证法时，必须在假设 中罗列出与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，反 证法都是不完全的． (2) 常 用 题 型 ： 对 于 否 定 性 命 题 或 结 论 中 出 现 “ 至 多”“至少”“不可能”等字样时，常用反证法．
2．[变条件，变设问]将本题条件改为三个方程中至多有 2 个方程有 实数根，求实数 a 的取值范围． 解：假设三个方程都有实数根，则
((4aa－)21－)2－4(－4a42≥a＋0，3)≥0， (2a)2＋4×2a≥0，
即43aa22＋ ＋42aa－ －31≥ ≤00， ， a2＋2a≥0，
a≤－32或a≥12， 解得－1≤a≤13，
a≤－2或a≥0.
即 a∈
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3．[变条件，变设问]已知 a，b，c，d∈R，且 a＋b＝c＋d＝1，ac ＋bd＞1，求证：a，b，c，d 中至少有一个是负数． 证明：假设 a≥0，b≥0，c≥0，d≥0. ∵a＋b＝c＋d＝1， ∴(a＋b)(c＋d)＝1， ∴ac＋bd＋bc＋ad＝1. 而 ac＋bd＋bc＋ad＞ac＋bd＞1，与上式矛盾， ∴假设不成立， ∴a，b，c，d 中至少有一个是负数．
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用反证法证明“至多”“至少”等问题的两个关注点 (1)反设情况要全面，在使用反证法时，必须在假设 中罗列出与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，反 证法都是不完全的． (2) 常 用 题 型 ： 对 于 否 定 性 命 题 或 结 论 中 出 现 “ 至 多”“至少”“不可能”等字样时，常用反证法．
2．[变条件，变设问]将本题条件改为三个方程中至多有 2 个方程有 实数根，求实数 a 的取值范围． 解：假设三个方程都有实数根，则
((4aa－)21－)2－4(－4a42≥a＋0，3)≥0， (2a)2＋4×2a≥0，
即43aa22＋ ＋42aa－ －31≥ ≤00， ， a2＋2a≥0，
a≤－32或a≥12， 解得－1≤a≤13，
人教B版选修2-2高中数学2.2.2《反证法》ppt课件
4
(1 c)a > 4 ,
则三式相乘：
1
(1 a)b•(1 b)c•(1 c)a < 64
①
又∵0 < a, b, c < 1
所以
0
(1
a)a
(1
a) 2
a
2
1 4
同理：(1 b)b 1 (1 c)c 1
4
4
பைடு நூலகம்
以上三式相乘：
(1 a)a•(1 b)b•(1 c)c≤ 1 与①矛盾
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/8/10
最新中小学教学课件
16
谢谢欣赏！
2019/8/10
最新中小学教学课件
17
64
∴原式成立。
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
是令p=2l，l是正整数，代入①式，
得q2=2l2，
②
②式表明q2是偶数，所以q也是偶数，这样
p，q都有公因数2，这与p，q互质矛盾，
因此 2是有理数不成立，于是 2 是无理数.
例2．证明质数有无穷多个。
证明：假定质数只有有限多个，设全体质 数为p1，p2，p3，……，pn，
令p= p1p2p3……pn+1，显然p不含因数p1， p2，p3，…，pn，p要么是质数，要么含有 除p1，p2，p3，…，pn之外的质因数。
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《2.2.2 反证法》课件6
一、知识回顾：
1直接证明概念
直接从原命题的条件逐步推得命题成立
2 直接证明的一般形式：
本题条件 已知定义 本题结论 已知公理 已知定理
直接证明方法有几种？
有两种： 综合法、分析法
证法有什么异同？
相同 都是直接证明
不同
综合法：从已知条件出发，以已知的定义、 公理、定理为依据，逐步下推，直到推出 要证明的结论为止 分析法：从问题的结论出发，追溯导致结 论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成 立的条件和已知条件吻合为止
(2k 1) 4k 4k 1
而
2
2
4k 2 4k 1 （k Z）不是偶数
这与原命题条件矛盾.
2 求证： 2 是无理数。
证：假设 2是有理数，
m 则存在互质的整数m，n使得 2 = ， n 2 2 ∴ m = 2n ∴ m = 2n
∴m 2 是偶数，从而m必是偶数，故设m = 2k（k∈N）
间接证明（基本概念）
反证法的过程包括以下三个步骤： （1） 反设——假设命题的结论不成立，即假定 原命题的反面为真； （2） 归谬——从反设和已知条件出发，经过一 系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果； （3） 存真——由矛盾结果，断定反设不真，从 而肯定原结论成立. 反证法的思维方法：
正难则反
应用反证;
2
,
间接证明
3. 设函数
f ( x) 2 x 2 mx n ，求证：
f (1) , f (2) , f (3) 中至少有一个不小于1.
间接证明
已知： f ( x) x2 px q 求证： （1）f (1) f (3) 2 f (2) 2
直接证明
综合法和分析法的推证过程如下： 综合法
已知条件
结论
分析法
结论
已知条件
问题情境
在《数学（必修）》第三章中， 2 如何证明 命题“在长方体 ABCD A1B1C1D1中， AB与A1C是异面直线”
上述证明不同于直接证明
这种证明通常称为间接证明
间接证明（基本概念）
间接证明是不同于直接证明的又一类
(1)直接证明困难; (2)需分成很多类进行讨论． (3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个” 类 命题； (4)结论为 “唯一”类命题；
间接证明（例题1）
求证：正弦函数没有比 2小的正周期 .
思路 先求出周期
用反证法证明 2 是最小正周期.
间接证明（例题1）
解
假设T是正弦函数的周期 则对任意实数x都有:
1 （2） f (1) , f (2) , f (3) 中至少有一个不小于 2 .
若 a < b，则a < b, 与已知a > b矛盾,
故假设不成立，结论 a > b成立。
例2 已知a≠0，证明x的方程ax=b有且只有 一个根。 证：假设方程ax + b = 0(a ≠ 0)至少存在两个根，
不妨设其中的两根分别为x1，x2且x1 ≠ x2
则ax1 = b，ax2 = b ∴ax1 = ax2 ∴ax1 - ax2 = 0 ∴a（x1 - x2） =0 ∵x1 ≠ x2，x1 - x2 ≠ 0 ∴ a = 0 与已知a ≠ 0矛盾, 故假设不成立，结论成立。
证明方法. 反证法是一种常用的间接证明方法.
否定结论 导致矛盾 否定命题不成立 合理的推理 原结论成立
思考？
A、B、C三个人，A说B撒谎，B说 C撒谎，C说A、B都撒谎。则C必定 是在撒谎，为什么？
分析:假设C没有撒谎, 则C真. - - -- -那么A假且B假; 由 A假 , 知 B真 . 这与B假矛盾. 那么假设C没有撒谎不成立; 则C必定是在撒谎.
例3：证明：圆的两条不全是直径的相交 弦不能互相平分. 已知：在⊙O中,弦AB、CD相交于P，且 AB、CD不全是直径 求证：AB、CD不能互相平分。
C A O P B D
练习 2:若a,b,c均为实数,且a = x - 2y +
2
2
,
b = y - 2z +
2
3 6 求证:a,b,c中至少有一个大于0.
从而有4k = 2n ，即n = 2k ∴n2也是偶数， 这与m，n互质矛盾！
所以假设不成立，2是有理数成立。
2
2
2
2
间接证明（回顾小结）
反证法
间接证明
同一法
枚举法
完全归纳法
例1：用反证法证明：
如果a>b>0，那么 a > b
证：假设 a > b不成立，则 a ≤ b
若 a = b，则a = b, 与已知a > b矛盾,
假设最小正周期 0 T 2 故T
从而对任意实数x都应有
sin(x T ) sin x
令x=0,得
sin(x ) sin x
这与
sin T 0
即
sin(
2
) sin
2
矛盾.
T k , k Z .
因此,原命题成立.
间接证明（习题1）
1.求证:若一个整数的平方是偶数,则这个数也是偶数. 证: 假设这个数是奇数,可以设为2k+1, k Z . 则有
一、知识回顾：
1直接证明概念
直接从原命题的条件逐步推得命题成立
2 直接证明的一般形式：
本题条件 已知定义 本题结论 已知公理 已知定理
直接证明方法有几种？
有两种： 综合法、分析法
证法有什么异同？
相同 都是直接证明
不同
综合法：从已知条件出发，以已知的定义、 公理、定理为依据，逐步下推，直到推出 要证明的结论为止 分析法：从问题的结论出发，追溯导致结 论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成 立的条件和已知条件吻合为止
(2k 1) 4k 4k 1
而
2
2
4k 2 4k 1 （k Z）不是偶数
这与原命题条件矛盾.
2 求证： 2 是无理数。
证：假设 2是有理数，
m 则存在互质的整数m，n使得 2 = ， n 2 2 ∴ m = 2n ∴ m = 2n
∴m 2 是偶数，从而m必是偶数，故设m = 2k（k∈N）
间接证明（基本概念）
反证法的过程包括以下三个步骤： （1） 反设——假设命题的结论不成立，即假定 原命题的反面为真； （2） 归谬——从反设和已知条件出发，经过一 系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果； （3） 存真——由矛盾结果，断定反设不真，从 而肯定原结论成立. 反证法的思维方法：
正难则反
应用反证;
2
,
间接证明
3. 设函数
f ( x) 2 x 2 mx n ，求证：
f (1) , f (2) , f (3) 中至少有一个不小于1.
间接证明
已知： f ( x) x2 px q 求证： （1）f (1) f (3) 2 f (2) 2
直接证明
综合法和分析法的推证过程如下： 综合法
已知条件
结论
分析法
结论
已知条件
问题情境
在《数学（必修）》第三章中， 2 如何证明 命题“在长方体 ABCD A1B1C1D1中， AB与A1C是异面直线”
上述证明不同于直接证明
这种证明通常称为间接证明
间接证明（基本概念）
间接证明是不同于直接证明的又一类
(1)直接证明困难; (2)需分成很多类进行讨论． (3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个” 类 命题； (4)结论为 “唯一”类命题；
间接证明（例题1）
求证：正弦函数没有比 2小的正周期 .
思路 先求出周期
用反证法证明 2 是最小正周期.
间接证明（例题1）
解
假设T是正弦函数的周期 则对任意实数x都有:
1 （2） f (1) , f (2) , f (3) 中至少有一个不小于 2 .
若 a < b，则a < b, 与已知a > b矛盾,
故假设不成立，结论 a > b成立。
例2 已知a≠0，证明x的方程ax=b有且只有 一个根。 证：假设方程ax + b = 0(a ≠ 0)至少存在两个根，
不妨设其中的两根分别为x1，x2且x1 ≠ x2
则ax1 = b，ax2 = b ∴ax1 = ax2 ∴ax1 - ax2 = 0 ∴a（x1 - x2） =0 ∵x1 ≠ x2，x1 - x2 ≠ 0 ∴ a = 0 与已知a ≠ 0矛盾, 故假设不成立，结论成立。
证明方法. 反证法是一种常用的间接证明方法.
否定结论 导致矛盾 否定命题不成立 合理的推理 原结论成立
思考？
A、B、C三个人，A说B撒谎，B说 C撒谎，C说A、B都撒谎。则C必定 是在撒谎，为什么？
分析:假设C没有撒谎, 则C真. - - -- -那么A假且B假; 由 A假 , 知 B真 . 这与B假矛盾. 那么假设C没有撒谎不成立; 则C必定是在撒谎.
例3：证明：圆的两条不全是直径的相交 弦不能互相平分. 已知：在⊙O中,弦AB、CD相交于P，且 AB、CD不全是直径 求证：AB、CD不能互相平分。
C A O P B D
练习 2:若a,b,c均为实数,且a = x - 2y +
2
2
,
b = y - 2z +
2
3 6 求证:a,b,c中至少有一个大于0.
从而有4k = 2n ，即n = 2k ∴n2也是偶数， 这与m，n互质矛盾！
所以假设不成立，2是有理数成立。
2
2
2
2
间接证明（回顾小结）
反证法
间接证明
同一法
枚举法
完全归纳法
例1：用反证法证明：
如果a>b>0，那么 a > b
证：假设 a > b不成立，则 a ≤ b
若 a = b，则a = b, 与已知a > b矛盾,
假设最小正周期 0 T 2 故T
从而对任意实数x都应有
sin(x T ) sin x
令x=0,得
sin(x ) sin x
这与
sin T 0
即
sin(
2
) sin
2
矛盾.
T k , k Z .
因此,原命题成立.
间接证明（习题1）
1.求证:若一个整数的平方是偶数,则这个数也是偶数. 证: 假设这个数是奇数,可以设为2k+1, k Z . 则有