高一数学总复习数列
高一数学-数列基础知识归纳
一、等差数列与等比数列
等差数列
等比数列
文字定义
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差是一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫等差数列的公差。
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比是一个常数，那么这个数列就叫等比数列，这个常数叫等比数列的公比。
符号定义
如： （下标成等差数列）
3. 等比，则
也等比。
4.等比数列的通项公式类似于 的指数函数，
即：
等比数列的前 项和公式是一个平移加振幅的 的指数函数，即：
5.等比数列中连续相同项数的积组成的新数列是等比数列。
证明方法
证明一个数列为等差数列的方法：
1.定义法
2.中项法
证明一个数列为等比数列的方法：
1.定义法
即把每一项都乘以 的公比 ，向后错一项，再对应同次项相减，转化为等比数列求和。
3.裂项相消法 即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。
适用于数列 和 （其中 等差）可Βιβλιοθήκη 项为：分类递增数列：
递减数列：
摆动数列：
常数数列：
通项
前n项和
中项
主要性质
等和性：
若 则
推论：若 则
即：首尾颠倒相加，则和相等
等积性：
若 则
推论：若 则
即：首尾颠倒相乘，则积相等
其
它
性
质
1.等差数列中连续 项的和，组成的新数列是等差数列。即：
等差，则有
2.从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列。
2.中项法
设元技巧
三数等差：
四数等差：
三数等比：
高一数学必修5：数列(知识点梳理)
第二章：数列一、数列的概念1、数列的概念：一般地，按一定次序排列成一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的一般形式可以写成a a a a n ,,,,,123，简记为数列a n {}，其中第一项a 1也成为首项；a n 是数列的第n 项，也叫做数列的通项.数列可看作是定义域为正整数集*N （或它的子集）的函数，当自变量从小到大取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列.2、数列的分类：按数列中项的多数分为：（1） 有穷数列：数列中的项为有限个，即项数有限； （2） 无穷数列：数列中的项为无限个，即项数无限.3、通项公式：如果数列a n {}的第n 项a n 与项数n 之间的函数关系可以用一个式子表示成=a f n n ()，那么这个式子就叫做这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式.4、数列的函数特征：一般地，一个数列a n {}，如果从第二项起，每一项都大于它前面的一项，即>+a a n n 1，那么这个数列叫做递增数列;高一数学必修5：数列（知识点梳理）如果从第二项起，每一项都小于它前面的一项，即1n n a a +<，那么这个数列叫做递减数列; 如果数列的各项都相等，那么这个数列叫做常数列.5、递推公式：某些数列相邻的两项（或几项）有关系，这个关系用一个公式来表示，叫做递推公式．二、等差数列1、等差数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是同一个常数，那么这个数列久叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差.即1n n a a d +-=（常数），这也是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据.2、等差数列的通项公式：设等差数列的首项为1a ，公差为d ，则通项公式为：()()()11,n m a a n d a n m d n m N +=+-=+-∈、.3、等差中项：（1）若a A b 、、成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且=2a bA +; （2）若数列为等差数列，则12,,n n n a a a ++成等差数列，即1n a +是与2n a +的等差中项，且21=2n n n a a a +++；反之若数列满足21=2n n n a a a +++，则数列是等差数列.4、等差数列的性质：（1）等差数列中，若(),m n p q m n p q N ++=+∈、、、则m n p q a a a a +=+，若2m n p +=，则2m n p a a a +=；（2）若数列和{}n b 均为等差数列，则数列{}n n a b ±也为等差数列；（3）等差数列{}n a 的公差为d ，则{}0n d a >⇔为递增数列，{}0n d a <⇔为递减数列，{}0n d a =⇔为常数列.5、等差数列的前n 项和n S ：（1）数列{}n a 的前n 项和n S =()1231,n n a a a a a n N -++++++∈；（2）数列{}n a 的通项与前n 项和n S 的关系：11,1.,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩（3）设等差数列{}n a 的首项为1,a 公差为d ，则前n 项和()()111=.22n n n a a n n S na d +-=+6、等差数列前n 和的性质：（1）等差数列{}n a 中，连续m 项的和仍组成等差数列，即12122,,m m m m a a a a a a ++++++++21223m m m a a a +++++,仍为等差数列（即232,,,m m m m m S S S S S --成等差数列）；（2）等差数列{}n a 的前n 项和()2111==,222n n n d d S na d n a n -⎛⎫++- ⎪⎝⎭当0d ≠时，n S 可看作关于n 的二次函数，且不含常数项；（3）若等差数列{}n a 共有2n+1（奇数）项，则()11==,n S n S S a S n++-奇奇偶偶中间项且若等差数列{}n a 共有2n （偶数）项，则1==.n nS a S S nd S a +-偶奇偶奇且7、等差数列前n 项和n S 的最值问题：设等差数列{}n a 的首项为1,a 公差为d ，则（1）100a d ><且（即首正递减）时，n S 有最大值且n S 的最大值为所有非负数项之和； （2）100a d <>且（即首负递增）时，n S 有最小值且n S 的最小值为所有非正数项之和.三、等比数列1、等比数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比是同一个不为零的常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示（0q ≠）.即()1n na q q a +=为非零常数，这也是证明或判断一个数列是否为等比数列的依据.2、等比数列的通项公式：设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则通项公式为：()11,,n n m n m a a qa q n m n m N --+==≥∈、.3、等比中项：（1）若a A b 、、成等比数列，则A 叫做a 与b 的等比中项，且2=A ab ; （2）若数列{}n a 为等比数列，则12,,n n n a a a ++成等比数列，即1n a +是与2n a +的等比中项，且212=n n n a a a ++⋅；反之若数列{}n a 满足212=n n n a a a ++⋅，则数列{}n a 是等比数列.4、等比数列的性质：（1）等比数列{}n a 中，若(),m n p q m n p q N ++=+∈、、、则m n p q a a a a ⋅=⋅，若2m n p +=，则2m n p a a a ⋅=；（2）若数列{}n a 和{}n b 均为等比数列，则数列{}n n a b ⋅也为等比数列；（3）等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则{}1100101na a a q q ><⎧⎧⇔⎨⎨><<⎩⎩或为递增数列，{}1100011n a a a q q ><⎧⎧⇔⎨⎨<<>⎩⎩或为递减数列， {}1n q a =⇔为常数列.5、等比数列的前n 项和：（1）数列{}n a 的前n 项和n S =()1231,n n a a a a a n N -++++++∈；（2）数列{}n a 的通项与前n 项和n S 的关系：11,1.,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ （3）设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为()0q q ≠，则()11,1.1,11n n na q S a q q q=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩由等比数列的通项公式及前n 项和公式可知，已知1,,,,n n a q n a S 中任意三个，便可建立方程组求出另外两个.6、等比数列的前n 项和性质：设等比数列{}n a 中，首项为1a ，公比为()0q q ≠，则 （1）连续m 项的和仍组成等比数列，即12122,,m m m m a a a a a a ++++++++21223m m m a a a +++++,仍为等比数列（即232,,,m m m m m S S S S S --成等差数列）；（2）当1q ≠时，()()11111111111111n n n n n a q a a a a aS q q q qq q q q q -==⋅-=-⋅=⋅-------， 设11a t q =-，则n n S tq t =-.四、递推数列求通项的方法总结1、递推数列的概念：一般地，把数列的若干连续项之间的关系叫做递推关系，把表达递推关系的式子叫做递推公式，而把由递推公式和初始条件给出的数列叫做递推数列.2、两个恒等式：对于任意的数列{}n a 恒有：（1）()()()()12132431n n n a a a a a a a a a a -=+-+-+-++-（2）()23411231,0,nn n n a a a a a a a n N a a a a +-=⨯⨯⨯⨯⨯≠∈3、递推数列的类型以及求通项方法总结： 类型一（公式法）：已知n S （即12()n a a a f n +++=）求n a ，用作差法：{11,(1),(2)n n n S n a S S n -==-≥类型二（累加法）：已知：数列的首项,且()()1,n n a a f n n N ++-=∈，求n a 通项.给递推公式()()1,n n a a f n n N ++-=∈中的n 依次取1,2,3，……，n-1,可得到下面n-1个式子：()()()()21324311,2,3,,1.n n a a f a a f a a f a a f n --=-=-=-=-利用公式()()()()12132431n n n a a a a a a a a a a -=+-+-+-++-可得：()()()()11231.n a a f f f f n =+++++-类型三（累乘法）：已知：数列的首项,且()()1,n na f n n N a ++=∈，求n a 通项. 给递推公式()()1,n na f n n N a ++=∈中的n 一次取1,2,3，……，n-1,可得到下面n-1个式子： ()()()()23412311,2,3,,1.nn a a aa f f f f n a a a a -====- 利用公式()23411231,0,nn n n a a a a a a a n N a a a a +-=⨯⨯⨯⨯⨯≠∈可得： ()()()()11231.n a a f f f f n =⨯⨯⨯⨯⨯-类型四（构造法）：形如q pa a n n +=+1、n n n q pa a +=+1（q p b k ,,,为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k 的等比数列后，再求n a 。
高一数学数列知识点
高一数学数列知识点数列作为数学中的重要概念，贯穿着高中数学的整个学习过程。
它虽然看似简单，但其中蕴含着丰富的知识和应用。
在高一的数学学习过程中，数列是一个非常重要的章节，本文将对高一数学数列知识点进行总结和探讨。
首先，数列的定义是我们学习数列的基础。
数列是一组有序的数按照一定规律排列而成的序列。
其中，每个数被称为数列的项，而规律被称为数列的通项公式。
例如，{1，3，5，7，9，…}就是一个常数项数列，其中的通项公式可以表示为an = 2n-1。
数列的定义不仅帮助我们从宏观上把握数列的概念，而且为我们后续的学习提供了基础。
接下来，我们来讨论数列的类型。
根据数列的规律性质，我们可以将数列分为等差数列、等比数列和通项公式类型数列。
等差数列是指数列中的相邻两项之差是一个常数，我们常用的等差数列通项公式是an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
等比数列则是指数列中的相邻两项之比是一个常数，我们常用的等比数列通项公式是an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
通项公式类型数列则是指数列的通项公式表达较为复杂，但可以通过一定的规律或者递推关系式来得到。
在应用方面，数列有着广泛的运用。
例如，在数学中，我们常常使用数列来解决实际问题，如求和、求项数等。
这些问题涉及到数列的性质和规律的运用，锻炼了我们数学思维的能力。
此外，在其他学科中，数列也有被使用的机会。
比如在物理学中，数列可以用来描述运动的轨迹和速度；在经济学中，数列可以用来描述人口增长和经济增长的规律。
因此，掌握数列知识对于我们将来的学习和发展有着重要意义。
数列还有一个重要的性质是递推关系式。
递推关系式是数列中项与项之间的关系表达式。
通过递推关系式，我们可以根据前一项或前几项的值来推导后一项的值。
这种递推的思维方式培养了我们的逻辑思维和推理能力。
在解题时，我们可以通过观察数列的规律，找到递推关系式，并利用这一关系求解问题。
高一数学数列知识点
高一数学数列知识点数列作为数学中的一种重要的数学工具和概念，不仅在高中阶段的数学学习中占据着重要的地位，同时也在其他学科中有着广泛的应用。
在高一数学课程中，学生将学习数列的定义、性质和应用等内容，以下将对数列相关知识点进行介绍。
一、数列的概念及表示方法数列指的是按照一定顺序排列的一组数字集合。
其中，每一个数字称为数列的项，而数列的顺序则由项之间的位置关系来确定。
数列可以用文字描述、图形表示和符号表示等多种方式来表达。
以数列 {an} 为例，其中 a1、a2、a3 分别表示数列的第一项、第二项、第三项，an 表示数列的第 n 项。
此外，数列也可以用递推公式表示，该公式表明每一项的值与前一项的关系，如 an = an-1 + 1。
二、等差数列等差数列是指数列中，每一项与它前一项之间的差值都相等的数列。
这个公差可以是整数、小数甚至负数。
一般来说，等差数列的递推公式为 an = a1 + (n-1)d，其中 a1 表示第一项，d 表示公差。
等差数列是数学中十分重要的数列之一，它的性质和规律让人们在各个领域中广泛应用。
例如在物理学中，等差数列可以表示匀速直线运动的位置随时间的变化规律。
三、等比数列等比数列是指数列中，每一项与它前一项之间的比值都相等的数列。
这个公比可以是正数、小数甚至负数。
一般来说，等比数列的递推公式为 an = a1 * r^(n-1)，其中 a1 表示第一项，r 表示公比。
等比数列同样也是数学中十分重要的数列之一，它的性质和规律在金融、工程等领域中有广泛的应用。
例如在金融中，等比数列可以用来计算复利的增长规律。
四、数列的求和在数学中，我们经常需要计算数列的前 n 项和。
对于等差、等比数列，我们可以使用求和公式来计算。
等差数列的前 n 项和为 Sn = (a1 + an) * n / 2，等比数列的前 n 项和为 Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，其中 Sn表示前 n 项和。
高一数学数列与数学归纳法的初步认识
高一数学数列与数学归纳法的初步认识数列与数学归纳法是高中数学中的基础知识，对于数学学科的深入理解和应用起着重要的作用。
本文将对高一数学中数列与数学归纳法的初步认识进行探讨，并从定义、性质、应用等方面进行论述。
一、数列的定义与性质数列是由一系列按照一定顺序排列的数所组成的有序集合。
通常用字母$a_n$表示数列中的第$n$个数。
例如，数列$1, 2, 3, 4, 5, ...$可以表示为$a_n = n$。
数列有许多不同的类型，比如等差数列、等比数列等。
等差数列是指数列中相邻两个数之差保持不变的数列。
设首项为$a_1$，公差为$d$，则等差数列可以表示为$a_n = a_1 + (n-1)d$。
等差数列的一个重要性质是，相邻两项之差恒等于公差。
这个性质在解决数学问题时经常被用到。
等比数列是指数列中相邻两个数之比保持不变的数列。
设首项为$a_1$，公比为$q$，则等比数列可以表示为$a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)}$。
等比数列的一个重要性质是，相邻两项之比恒等于公比。
这个性质在复利、指数函数等问题中有着重要应用。
二、数学归纳法的基本思想与步骤数学归纳法是一种证明方法，通过证明两个基本命题：1）第一个命题成立；2）若第$k$个命题成立，则第$k+1$个命题也成立。
从而可以得出对于任意正整数$n$，命题均成立。
数学归纳法的基本步骤如下：1. 证明基本命题成立。
通常是通过给定$n=1$时命题成立的证明，作为数学归纳法的起点。
2. 假设对于任意正整数$k$，第$k$个命题成立。
这是数学归纳法的归纳假设。
3. 证明根据归纳假设，对于第$k+1$个命题成立。
通过利用归纳假设的前提条件，进一步推导出第$k+1$个命题成立。
通过这三个步骤反复迭代，可以证明对于任意正整数$n$，命题均成立。
三、数学归纳法的应用数学归纳法在高中数学中有着广泛的应用。
以下列举几个典型的例子。
1. 数学归纳法在等差数列求和中的应用。
高一数学数列高三总复习.pptx
若项数为2n-1(n∈N)，则S奇-S偶
=an ,
S奇 / S偶=n / (n-1)
⑥ 等差数列{an }、{bn }的前n项和为Sn、Tn， 则an S2n1
bn T2n1
第11页/共52页
⑦
am an
n m
amn
0
Sm Sn
n m
Smn
(
m
n
)
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设元的技巧:
三个数成等差数列,可设为a-d , a ,
第9页/共52页
练习1. 等差数列{an }、{bn }的 前n项和为Sn、Tn . (1)若am n, an m,求amn; (2)Sm n, Sn m(m n),求Smn; (3)若 Sn 7n 1 ,求an .
Tn 4n 27 bn
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⑤若项数为2n(n∈N)，则S偶-S奇=nd , S偶 / S奇=an+1 / an
}
的前 T n项和，求 n.
第17页/共52页
6.在等差数列{an}中， a16+ a17+ a18= a9=-36，其前n 项和为Sn.
(1)求Sn的最小值，及取得最小值时的n 值
(2)求Tn=| a1 |+| a2 |+…+| an |
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(2010全国)如果等差数列{an}中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+…+a7=
第27页/共52页
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8. 有一批影碟机（VCD）原销售价为每台800元，在甲、乙两家电商场均有销售，甲 商场用如下的方法促销：买一台单价为780元，买两台单价都为760元，依次类推，每多 买一台则所买各台单价均再减少20元，但每台最低价不能低于440元；乙商场一律都按原 价的75%销售，某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费较少？
高一数学必修一 - 数列知识点总结
高一数学必修一 - 数列知识点总结1. 数列的概念数列是由一组按照一定规律排列的数所组成的序列。
数列可以分为等差数列和等比数列两种。
a. 等差数列等差数列是指数列中相邻两项之间的差值都相等的数列。
如果数列的公差为d，则数列的通项公式为：$a_n = a_1 + (n-1)d$，其中$a_n$为第n项，$a_1$为首项，n为项数。
b. 等比数列等比数列是指数列中相邻两项之间的比值都相等的数列。
如果数列的公比为r，则数列的通项公式为：$a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$，其中$a_n$为第n项，$a_1$为首项，n为项数。
2. 数列的性质a. 通项公式通项公式是数列中任意一项与项数之间的关系式。
根据数列的类型，可以通过公式求解任意项。
b. 公差和公比对于等差数列，公差是指相邻两项之间的差值。
公差可以用于确定数列的特征和性质。
对于等比数列，公比是指相邻两项之间的比值。
公比可以用于确定数列的特征和性质。
c. 首项和末项首项是数列中的第一项，通常用$a_1$表示。
末项是数列中的最后一项，通常用$a_n$表示。
d. 项数项数是数列中项的个数，通常用n表示。
e. 等差数列的和等差数列的前n项和可以通过公式求解：$S_n =\frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$，其中$S_n$表示前n项和。
f. 等比数列的和等比数列的前n项和可以通过公式求解：$S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$，其中$S_n$表示前n项和。
3. 数列的应用数列在数学中有着广泛的应用，其中一些常见的应用包括：a. 金融计算数列可以应用于金融中的利息计算、贷款计算等，帮助人们进行财务规划和计算。
b. 物理学数列可以应用于物理学中的运动学问题，如运动物体所经过的位置、速度等的计算。
c. 统计学数列可以应用于统计学中的数据分析和预测，帮助人们了解和预测事物的发展趋势。
总结数列是数学中非常重要的概念，常见的数列包括等差数列和等比数列。
高一数学每一章知识点梳理
高一数学每一章知识点梳理【高一数学每一章知识点梳理】第一章：数列与数学归纳法数列的概念和性质- 数列的定义与表示方法- 等差数列与等差中项- 等比数列及其性质- 数列的求和公式- 等差数列与等比数列的和的性质- 斐波那契数列数学归纳法- 数学归纳法的基本思想与原理- 数学归纳法的应用第二章：函数基本概念函数的定义与表示- 自变量与因变量- 函数的定义及表示方法- 函数的值域与定义域- 函数的图像与性质函数的基本性质- 函数的奇偶性- 奇偶函数的性质- 函数的单调性与最值- 函数的周期性- 函数的反函数线性函数与二次函数- 线性函数的概念与性质- 线性函数的图像与应用- 二次函数的概念与性质- 二次函数的图像与应用第三章：三角函数单位圆与三角函数的定义- 单位圆的坐标体系- 弧度与角度的互换- 正弦、余弦、正切函数的定义- 三角函数的周期性与奇偶性三角函数的诱导公式- 诱导公式的概念与推导- 角和差公式- 二倍角公式与半角公式三角函数的图像性质与变换- 正弦、余弦、正切函数的图像性质- 幅值、周期、相位的变化- 三角函数的平移与反转第四章：平面向量向量的概念与表示- 向量的定义与表示方法- 向量的模、方向与共线性- 零向量与相反向量向量的运算- 向量的加法与减法- 数乘与向量的数量积- 向量的数量积与夹角- 向量的向量积及其性质平面向量的应用- 平面向量的共线性、共面性- 利用平面向量解决几何问题第五章：解直角三角形勾股定理与三角函数- 直角三角形的性质与定义- 勾股定理的概念与应用- 单位圆上的三角函数与直角三角形的关系解直角三角形- 已知两边求夹角- 已知一边一角求其他边与角度解决初等几何问题- 利用三角函数解决初等几何问题第六章：平面几何向量向量的基本运算法则- 向量的加法、减法与数量积- 向量运算的几何意义- 平面向量与坐标的转换向量的线性相关与线性无关- 向量的线性组合- 向量的线性相关性与线性无关性平面向量的数量积- 数量积的概念与性质- 向量夹角的数量表示- 零向量与向量垂直的判定平面向量的应用- 平面向量解决几何问题- 向量平行和垂直的判定第七章：不等式与不等式组一元一次不等式- 一元一次不等式的概念与解法- 一元一次不等式的综合应用一元二次不等式- 一元二次不等式的概念与解法- 一元二次不等式的综合应用一元函数不等式- 一元函数不等式的概念与解法- 一元函数不等式的综合应用多元函数不等式组- 多元函数不等式组的概念与解法- 多元函数不等式组的应用第八章：平面几何直线与圆直线的方程与性质- 直线的斜截式与截距式- 直线的点斜式与两点式- 直线的平行与垂直关系- 直线的夹角与交点性质圆的方程与性质- 圆的一般方程与特殊方程- 圆的位置关系- 切线与切点的性质圆的切线方程- 切线的定义与判定条件- 切线方程的推导与应用- 切线长度的求解【总结】以上是高一数学每一章的知识点梳理，通过系统的学习与掌握这些知识点，可以帮助同学们打下牢固的数学基础，为后续学习提供有力支持。
高一数学数列知识点总结
高一数学数列知识点总结在高一数学课程中，数列是一个重要的概念。
数列是一种按照一定规律排列的一系列数，通过研究数列的规律和特性，我们可以掌握很多解题技巧和方法。
本文将对高一数学数列相关的知识点进行总结和归纳，帮助同学们更好地理解和掌握这一部分内容。
一、等差数列等差数列是指数列中任意两个相邻的数之差都相等的数列。
常用的表示方式为a1，a2，a3，...，an，其中a1为首项，d为公差。
以下是等差数列的一些重要性质和公式：1. 第n项公式：an = a1 + (n-1)d，其中n为项数；2. 前n项和公式：Sn = (n/2)(a1 + an) =n(a1 + an)/2，其中Sn为前n项和；3. 通项求和：Sn = (n/2)(2a1 + (n-1)d) = (n/2)(a1 + an) ，其中Sn为前n项和；4. 等差数列的性质：任意三个连续项中，第二项是这三个数的中值；5. 若m项等于n项差相等，则m至n项也是等差数列。
二、等比数列等比数列是指数列中任意两个相邻的数之比都相等的数列。
常用的表示方式为a1，a2，a3，...，an，其中a1为首项，q为公比。
以下是等比数列的一些重要性质和公式：1. 第n项公式：an = a1 * q^(n-1)，其中n为项数；2. 前n项和公式：Sn = a1 * (1 - q^n)/(1 - q)，其中Sn为前n项和；3. 通项求和：Sn = a1 * (1 - q^n)/(1 - q)，其中Sn为前n项和；4. 等比数列的性质：任意三个连续项中，第二项是这三个数的几何平均数；5. 如果q的绝对值小于1，那么等比数列的前n项和存在极限，即Sn = a1 / (1 - q)。
三、斐波那契数列斐波那契数列是指数列中每一项都等于前两项之和的数列。
通常用F(n)表示第n项，其中F(1) = 1，F(2) = 1。
斐波那契数列的性质有：1. F(n) = F(n-1) + F(n-2)；2. 斐波那契数列的前n项和可以通过递推公式进行求解。
高一数学数列题型总结
一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 3、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn4、 )1(211+==∑=n n k S nk n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n5、 213)]1(21[+==∑=n n k S nk n [例1] 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nx x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得 n n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32 （利用常用公式）＝xx x n--1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21[例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(21++=n n S n （利用常用公式）∴ 1)32()(++=n nS n S n f ＝64342++n n n＝nn 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n ² b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.[例3] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x }的通项之积设nn x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ②（设制错位）①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=--（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n xx x S x )12(1121)1(1----⋅+=-- ∴ 21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ [例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积设n n nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………①14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n n S ………………………………② （设制错位）①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n nS（错位相减）1122212+---=n n n∴ 1224-+-=n n n S三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.[例5] 求证：n nn n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++证明： 设nnn n n n C n C C C S )12(53210++⋅⋅⋅+++=………………………….. ① 把①式右边倒转过来得113)12()12(nn n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-（反序）又由mn nm n C C -=可得 n nn n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-1103)12()12(…………..…….. ② ①+②得n nn n n n n n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110⋅+=++⋅⋅⋅+++=-（反序相加）∴ n n n S 2)1(⋅+=[例6] 求89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①将①式右边反序得1s i n 2s i n 3s i n 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..②（反序）又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x①+②得（反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴ S ＝44.5四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例7] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a a a n ，… 解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n aa a S n n将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n（分组）当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(nn + （分组求和）当1≠a 时，2)13(1111n n aa S n n -+--=＝2)13(11n n a a a n -+--- [例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1( ∴ ∑=++=n k n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k knk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得S n＝k k k nk n k nk ∑∑∑===++1213132（分组）＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++＝2)1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n （分组求和）＝2)2()1(2++n n n五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1）)()1(n f n f a n -+= （2）n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （3）111)1(1+-=+=n n n n a n （4）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n（5）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n(6)nnn n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=-则 [例9] 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.解：设n n n n a n -+=++=111（裂项）则11321211+++⋅⋅⋅++++=n n S n（裂项求和）＝)1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+- ＝11-+n [例10] 在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n n n n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.解： ∵ 211211n n n n n a n =++⋅⋅⋅++++=∴)111(82122+-=+⋅=n n n n b n（裂项）∴ 数列{b n }的前n 项和)]111()4131()3121()211[(8+-+⋅⋅⋅+-+-+-=n n S n （裂项求和）＝)111(8+-n ＝ 18+n n[例11] 求证：1sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+⋅⋅⋅++解：设89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S∵n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （裂项）∴89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S（裂项求和）＝]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1sin 1-+-+-+- ＝)0tan 89(tan 1sin 1 -＝1cot 1sin 1⋅＝ 1sin 1cos 2 ∴ 原等式成立六、合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .[例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+²²²+ cos178°+ cos179°的值.解：设S n ＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+²²²+ cos178°+ cos179°∵ )180cos(cos n n --= （找特殊性质项）∴S n ＝ （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+²²²+（cos89°+ cos91°）+ cos90° （合并求和）＝ 0[例13] 数列{a n }：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，求S 2002.解：设S 2002＝2002321a a a a +⋅⋅⋅+++由n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1可得,2,3,1654-=-=-=a a a,2,3,1,2,3,1121110987-=-=-====a a a a a a……2,3,1,2,3,1665646362616-=-=-====++++++k k k k k k a a a a a a∵ 0665646362616=+++++++++++k k k k k k a a a a a a （找特殊性质项）∴S 2002＝2002321a a a a +⋅⋅⋅+++（合并求和）＝)()()(66261612876321++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+++k k k a a a a a a a a a a2002200120001999199819941993)(a a a a a a a +++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+＝2002200120001999a a a a +++ ＝46362616+++++++k k k k a a a a ＝5[例14] 在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求的值.解：设1032313log log log a a a S n +⋅⋅⋅++=由等比数列的性质 q p n m a a a a q p n m =⇒+=+ （找特殊性质项）和对数的运算性质 N M N M a a a ⋅=+log log log 得)log (log )log (log )log (log 6353932310313a a a a a a S n ++⋅⋅⋅++++=（合并求和）＝)(log )(log )(log 6539231013a a a a a a ⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅ ＝9log 9log 9log 333+⋅⋅⋅++ ＝10七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和，是一个重要的方法.[例15] 求11111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++之和. 解：由于)110(91999991111111-=⋅⋅⋅⨯=⋅⋅⋅kk k个个 （找通项及特征）∴11111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++＝)110(91)110(91)110(91)110(91321-+⋅⋅⋅+-+-+-n （分组求和）＝)1111(91)10101010(911321 个n n +⋅⋅⋅+++-+⋅⋅⋅+++ ＝9110)110(1091nn ---⋅＝)91010(8111n n --+ [例16] 已知数列{a n }：∑∞=+-+++=11))(1(,)3)(1(8n n n n a a n n n a 求的值.解：∵ ])4)(2(1)3)(1(1)[1(8))(1(1++-+++=-++n n n n n a a n n n （找通项及特征）＝])4)(3(1)4)(2(1[8+++++⋅n n n n（设制分组）＝)4131(8)4121(4+-+++-+⋅n n n n（裂项）∴ ∑∑∑∞=∞=∞=++-+++-+=-+1111)4131(8)4121(4))(1(n n n n n n n n n a a n （分组、裂项求和）＝418)4131(4⋅++⋅ ＝313 一、选择题1、若数列{a n }的通项公式是a n =2(n ＋1)＋3，则此数列 ( )(A)是公差为2的等差数列 (B)是公差为3的等差数列 (C) 是公差为5的等差数列 (D)不是等差数列 2、等差数列{a n }中，a 1=3,a 100=36,则a 3＋a 98等于 ( )(A)36 (B)38 (C)39 (D)423、含2n+1个项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为 ( ) (A)n n 12+ (B)n n 1+ (C)n n 1- (D)nn 21+ 4、设等差数列的首项为a,公差为d ，则它含负数项且只有有限个负数项的条件是 ( )(A)a ＞0,d ＞0 (B)a ＞0,d ＜0 (C)a ＜0,d ＞0 (D)a ＜0,d ＜0 5、在等差数列{a n }中，公差为d ，已知S 10＝4S 5，则da 1是 ( ) (A)21 (B)2 (C)41(D)4 6、设{a n }是公差为－2的等差数列，如果a 1+ a 4+ a 7+……+ a 97=50，则a 3+ a 6+ a 9……+ a 99= ( )(A)182 (B)－80 (C)－82 (D)－84 7、等差数列{a n } 中，S 15=90，则a 8= ( ) (A)3 (B)4 (C)6 (D)128、等差数列{a n }中，前三项依次为xx x 1,65,11+，则a 101= ( ) (A)3150 (B)3213 (C)24 (D)3289、数列{a n }的通项公式nn a n ++=11，已知它的前n 项和为S n =9，则项数n=( )(A)9 (B)10 (C)99 (D)100 10、等差数列{a n }中，a 3+ a 4+ a 5+ a 6+ a 7=450，求a 2+a 8= ( ) (A)45 (B)75 (C)180 (D)300 11、已知{a n }是等差数列，且a 2+ a 3+ a 8+ a 11=48，则a 6+ a 7= ( )(A)12 (B)16 (C)20 (D)2412、在项数为2n+1的等差数列中，若所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n 等于 ( )(A)9 (B)10 (C)11 (D)1213、等差数列{a n } 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为( ) (A)130 (B)170 (C)210 (D)160 14、等差数列{a n }的公差为21，且S 100=145，则奇数项的和a 1+a 3+a 5+……+ a 99=( ) (A)60 (B)80 (C)72.5 (D)其它的值15、等差数列{a n }中，a 1+a 2+……a 10=15，a 11+a 12+……a 20=20，则a 21+a 22+……a 30=( ) (A)15 (B)25 (C)35 (D)4516、等差数列{a n }中，a 1=3，a 100=36，则a 3+a 98= ( ) (A)36 (B)39 (C)42 (D)4517、{a n }是公差为2的等差数列，a 1+a 4+a 7+……+a 97=50，则a 3+a 6+……+ a 99= ( ) (A)－50 (B)50 (C)16 (D)1.82 18、若等差数列{a n }中，S 17=102，则a 9= ( )(A)3 (B)4 (C)5 (D)6 19、夏季高山上温度从山脚起每升高100米，降低0.7℃，已知山顶的温度是14.1℃，山脚的温度是26℃，则山的相对高度是 ( ) (A)1500 (B)1600 (C)1700 (D)180020、若x ≠y ，且两个数列：x ，a 1，a 2，y 和x ，b 1，b 2，b 3，y 各成等差数列，那么=--31b y xa( )(A)43 (B)34 (C)32(D)值不确定 21、一个等差数列共有2n 项，奇数项的和与偶数项的和分别为24和30，且末项比首项大10.5，则该数列的项数是 ( )(A)4 (B)8 (C)12 (D)2022、等差数列{a n }中如果a 6=6，a 9=9，那么a 3= ( )(A)3 (B)32 (C)916(D)4 23、设{a n }是等比数列，且a 1=32，S 3=916，则它的通项公式为a n = ( )(A)1216-⎪⎭⎫⎝⎛∙n (B)n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-∙216 (C)1216-⎪⎭⎫⎝⎛-∙n (D)1216-⎪⎭⎫⎝⎛-∙n 或23 24、已知a 、b 、c 、d 是公比为2的等比数列，则dc ba ++22= ( )(A)1 (B)21 (C)41 (D)8125、已知等比数列{a n } 的公比为q ，若21+n a =m （n 为奇数），则213+n a = ( )(A)mq n －1(B) mq n(C) mq(D)8126、已知等比数列前10项的和为10，前20项的和为30，那么前30项的和为( )(A)60 (B)70 (C)90 (D)12627、若{a n }是等比数列，已知a 4 a 7=－512，a 2+a 9=254，且公比为整数，则数列的a 12是 ( )(A)－2048 (B)1024 (C)512 (D)－512 28、数列{a n }、{b n }都是等差数列，它们的前n 项的和为1213-+=n n T S n n ，则这两个数列的第5项的比为 ( )(A)2949 (B)1934 (C)1728 (D)以上结论都不对 29、已知cb b a ac lg lg 4lg2∙=，则a ，b ，c ( ) (A)成等差数列 (B)成等比数列(C)既成等差数列又成等比数列 (D)既不成等差数列又不成等比数列30、若a+b+c ，b+c －a ，c+a －b ，a+b －c 成等比数列，且公比为q ，则q 3+q 2+q 的值为 ( )(A)1 (B)－1 (C)0 (D)231、若一等差数列前四项的和为124，后四项的和为156，又各项的和为350，则此数列共有 ( ) (A)10项 (B)11项 (C)12项 (D)13项32、在3和9之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则二数之和为 ( ) (A)2113(B)04111或 (C)2110 (D)219 33、数列1，211+，3211++，……，n+⋅⋅⋅++211的前n 项和为 ( ) (A) n n 12+ (B)122+n n (C)12++n n (D)12+n n 34、设数列{a n }各项均为正值，且前n 项和S n =21（a n +na 1），则此数列的通项a n 应为 ( )(A) a n =n n -+1 (B) a n =1--n n(C) a n =12+-+n n (D) a n =12-n 35、数列{a n }为等比数列，若a 1+ a 8=387，a 4 a 5=1152，则此数列的通项a n 的表达式为( )(A) a n =3³2n -1 (B) a n =384³（21）n -1 (C) a n =3³2n -1或a n =384³（21）n -1 (D) a n =3³（21）n -1 36、已知等差数{a n }中，a 3+ a 4+ a 5+ a 6+ a 7=450，则a 1+ a 9= ( )(A)45 (B)75 (C)180 (D)30037、已知等比数列{a n }中，a n ＞0，公比q ≠1，则 ( )(A)26242723a a a a +〉+ (B)26242723a a a a +〈+ (C)26242723a a a a +=+ (D)的大小不确定与26242723a a a a ++38、在等比数列中，首项89，末项31，公比32，求项数 ( ) (A)3 (B)4 (C)5 (D)639、等比数列{a n }中，公比为2，前四项和等于1，则前8项和等于 ( )(A)15 (B)17 (C)19 (D)2140、某厂产量第二年增长率为p ，第三年增长率为q ，第四年增长率为r ，设这三年增长率为x ，则有 ( ) (A)3r q p x ++=(B)3r q p x ++< (C)3r q p x ++≤ (D)3r q p x ++≥ 二、填空题1、已知等差数列公差d ＞0,a 3a 7=－12,a 4+a 6=－4,则S 20=_______2、数列{a n }中，若a 1,a 2,a 3成等差数列,a 2,a 3,a 4成等比数列,a 3,a 4,a 5的倒数又成等差数列，则a 1,a 3,a 5成_______数列3、已知{a n }为等差数列,a 1=1,S 10=100,a n =_______.令a n =log 2b n ,则的前五项之和S 5′=_______4、已知数列 )2)(1(1,,201,121,61++n n 则其前n 项和S n =________. 5、数列前n 项和为S n =n 2+3n,则其通项a n 等于____________.6、等差数列{a n }中, 前4项和为26, 后4项之和为110, 且n 项和为187, 则n 的值为____________.7、已知等差数列{a n }的公差d ≠0, 且a 1,a 3,a 9成等比数列, 1042931a a a a a a ++++的值是________. 8、等差数列{a n }中, S 6=28, S 10=36(S n 为前n 项和), 则S 15等于________.9、等比数列{a n }中, 公比为2, 前99项之和为56, 则a 3+a 6+a 9+…a 99等于________.10、等差数列{a n }中, a 1=1,a 10=100,若存在数列{b n }, 且a n =log 2b n ,则b 1+b 2+b 3+b 4+b 5等于____________.11、已知数列1, ,3,2,1nn n n n n --- , 前n 项的和为____________. 12、已知{a n }是等差数列,且有a 2+a 3+a 10+a 11=48, 则a 6+a 7=____________.13、等比数列{a n }中, a 1+a 2+a 3+a 4=80, a 5+a 6a 7+a 8=6480, 则a 1必为________.14、三个数a 1、1、c 1成等差数列，而三个数a 2、1、c 2成等比数列， 则22c a c a ++等于____________.15、已知1lg 2, lgy 成等比数列, 且x ＞1,y ＞1, 则x 、y 的最小值为________. 16、在数列{a n }中, 5221-=+n n n a a a , 已知{a n }既是等差数列, 又是等比数列,则{a n }的前20项的和为________.17、若数列{a n }, )1)(2(1,3211+++==+n n a a a n n 且 (n ∈N), 则通项a n =________. 18、已知数列{a n }中, n n a a a )12(,22314-=-=+(n ≥1), 则这个数列的通项公式a n =________.19、正数a 、b 、c 成等比数列, x 为a 、b 的等差中项, y 为b 、c 的等差中项, 则a c x y +的值为________.20、等比数列{a n }中, 已知a 1²a 2²a 3=1,a 2+a 3+a 4=47, 则a 1为________. 三、解答题1、在等差数列{a n }中,a 1=－250,公差d=2,求同时满足下列条件的所有a n 的和,(1)70≤n ≤200;(2)n 能被7整除.2、设等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 3=12, S 12＞0,S 13＜0.(Ⅰ)求公差d 的取值范围；(Ⅱ)指出S 1,S 2,…,S 12,中哪一个值最大,并说明理由.3、数列{n a }是首项为23，公差为整数的等差数列，且前6项为正，从第7项开始变为负的，回答下列各问：(1)求此等差数列的公差d;(2)设前n 项和为n S ,求n S 的最大值;(3)当n S 是正数时,求n 的最大值.4、设数列{n a }的前n 项和n S .已知首项a 1=3,且1+n S +n S =21+n a ,试求此数列的通项公式na 及前n 项和n S .5、已知数列{n a }的前n 项和31=n S n(n ＋1)(n ＋2),试求数列{na 1}的前n 项和.6、已知数列{n a }是等差数列,其中每一项及公差d 均不为零,设2122++++i i i a x a x a =0(i=1,2,3,…)是关于x 的一组方程.回答：(1)求所有这些方程的公共根;(2)设这些方程的另一个根为i m ,求证111+m ,112+m ,113+m ,…, 11+n m ,…也成等差数列.7、如果数列{n a }中,相邻两项n a 和1+n a 是二次方程n n n c nx x ++32=0(n=1,2,3…)的两个根,当a 1=2时,试求c 100的值.8、有两个无穷的等比数列{n a }和{n a },它们的公比的绝对值都小于1,它们的各项和分别是1和2,并且对于一切自然数n,都有1+n a ,试求这两个数列的首项和公比.9、有两个各项都是正数的数列{n a },{n b }.如果a 1=1,b 1=2,a 2=3.且n a ,n b ,1+n a 成等差数列,n b ,1+n a ,1+n b 成等比数列,试求这两个数列的通项公式.10、若等差数列{log 2x n }的第m 项等于n ，第n 项等于m(其中m ≠n)，求数列{x n }的前m ＋n项的和。
高一数学数列知识点总结
高一数学数列知识点总结一、数列的概念与表示数列是由按照一定顺序排列的一列数构成的数学对象。
通常用大写字母或数字来表示数列，如数列{a_n}表示数列的第n项为a_n。
数列可以是有限的，也可以是无限的，根据数列的项是否有规律，数列可以分为等差数列、等比数列、递推数列等。
二、等差数列等差数列是最常见的数列类型之一，它的每一项与前一项的差是一个常数，这个常数称为公差。
等差数列的通项公式为a_n = a_1 + (n - 1)d，其中a_1是首项，d是公差。
等差数列的前n项和公式为S_n = n/2 * (2a_1 + (n - 1)d)。
等差数列的性质包括：1. 等差数列中，任意两项的差是相同的。
2. 如果一个等差数列的首项不为零，那么它的所有项的符号相同。
3. 等差数列的前n项和是关于n的二次函数。
三、等比数列等比数列是每一项与前一项的比值是一个常数的数列，这个常数称为公比。
等比数列的通项公式为a_n = a_1 * q^(n - 1)，其中a_1是首项，q是公比。
等比数列的前n项和公式为S_n = a_1(1 - q^n) / (1 - q)，当q的绝对值小于1时，S_n趋向于a_1/(1 - q)。
等比数列的性质包括：1. 等比数列中，任意两项的比值是相同的。
2. 如果公比q的绝对值小于1，那么等比数列的项会逐渐趋近于零。
3. 当公比q大于1时，等比数列的项会无限增大。
四、递推数列递推数列是指通过数列中前一项或前几项的关系来确定下一项的数列。
递推数列没有简单的通项公式，但可以通过递推公式来计算任意一项。
递推数列的例子包括斐波那契数列，其递推公式为a_n = a_(n-1) +a_(n-2)，其中a_1 = a_2 = 1。
递推数列的性质和特点：1. 递推数列的计算依赖于前面的项。
2. 递推关系可以复杂多变，需要通过具体的递推公式来分析。
3. 递推数列可能具有周期性或者无界性等特点。
五、数列的应用数列在数学和其他科学领域都有广泛的应用。
高一数学数列全章知识点
高一数学数列全章知识点数列是数学中比较重要的一个概念，它是由一系列按照特定规律排列的数所组成的序列。
在高一数学课程中，数列是一个重要的章节，它是以高中数学的理论与实践紧密结合的一门学科。
下面将介绍高一数学数列全章的知识点。
一、等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。
我们用a表示首项，d表示公差。
等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中an表示第n项。
等差数列有以下几个重要的性质：1. 等差数列的前n项和公式为Sn=(a1+an)n/2。
通过将首项和末项相加，再乘以项数的一半可以得到数列的前n项和。
2. 相邻两项之和等于常数项，即an+an+1=常数。
这是等差数列的一个重要性质，它说明了等差数列中相邻两项的和是一个常数。
3. 若数列的首项、末项和公差已知，则可通过等差数列的前n项和公式求出项数n。
二、等比数列等比数列是指数列中相邻两项的比值都相等的数列。
我们用a 表示首项，q表示公比。
等比数列的通项公式为an=a1q^(n-1)，其中an表示第n项。
等比数列有以下几个重要的性质：1. 等比数列的前n项和公式为Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。
通过将首项乘以1与公比的n次方之差再除以1与公比之差可以得到数列的前n项和。
2. 相邻两项之比等于常数项，即an/an+1=常数。
这是等比数列的一个重要性质，它说明了等比数列中相邻两项的比值是一个常数。
3. 若数列的首项、末项和公比已知，则可通过等比数列的前n 项和公式求出项数n。
三、求和公式的推导除了等差数列和等比数列的求和公式外，我们还可以通过数学推导得到其他类型数列的求和公式。
如一个比较常见的例子是求和公式Sn=1^k+2^k+...+n^k，其中k为常数，n为项数。
我们可以通过写出Sn与Sn-1的差值来进行推导。
假设Sn-Sn-1=an，则Sn=an+Sn-1。
我们可以观察到，当n增加时，an的值具有一定的规律性。
通过观察可以得到以下结论：1. 若k=1，则an=n，所以Sn=n(n+1)/2。
高一知识点归纳数学数列
高一知识点归纳数学数列高一知识点归纳：数学数列数学数列是高中数学中重要的概念之一，它在高一阶段的学习中起着基础和桥梁的作用。
数列可以说是数学中非常基础的概念之一，它不仅在高中数学中出现，也在大学数学及其他科学领域中有着广泛的应用。
本文将对高一阶段学习的数学数列进行归纳总结。
一、数列的概念数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的序列。
数列常用于描述某个事物中的数量的变化规律，通过数列我们可以更好地了解事物的发展趋势和规律。
在数列中，每个数称为该数列的项，用通项公式表示。
二、等差数列等差数列是指数列中，任意一项与它的前一项之差都是相等的数列。
即对于等差数列{an}，它的通项公式可以表示为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
等差数列在数学中占有重要地位，在数学建模、物理学等领域都有广泛的应用。
三、等比数列等比数列是指数列中，任意一项与它的前一项之比都是相等的数列。
即对于等比数列{an}，它的通项公式可以表示为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
等比数列在数学中也有着重要的应用，尤其在利滚利、金融工程、自然科学等方面。
四、数列的求和求和是数列中常见的问题之一，它可以帮助我们了解数列中各项的和以及规律。
对于等差数列和等比数列，我们可以通过求和公式来计算其和。
等差数列的和可以表示为Sn = (n/2)(a1 + an)，等比数列的和可以表示为Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)。
五、数列的递推关系与通项公式数列的递推关系和通项公式是数学中研究数列重要的内容。
通过找到数列中项与项之间的关系，我们可以推导出数列的通项公式，从而可以方便地计算数列中任意一项的值。
对于等差数列和等比数列，递推关系和通项公式是可以很容易得到的。
六、数列的性质数列在数学中具有一些重要的性质，这些性质在解题过程中起到了关键的作用。
一些常见的数列性质包括：有界性、单调性、有序性、周期性等。
高一数学知识点带例题大全
高一数学知识点带例题大全一、数列与数列求和1. 等差数列等差数列是指数列中相邻两项之间的差值相等的数列。
记作：an=a1+(n-1)d。
例题：已知等差数列{an}的通项公式为an=2n+1，求该数列的首项和公差，并计算第10项的值。
2. 等比数列等比数列是指数列中相邻两项之间的比值相等的数列。
记作：an=a1*q^(n-1)。
例题：已知等比数列{an}的首项为3，公比为2，求该数列的通项公式，并计算第5项的值。
3. 数列求和数列求和是指对数列中一定范围内的项进行求和。
常用的求和公式有等差数列求和公式、等比数列求和公式以及部分和公式。
例题：已知等差数列{an}的首项为2，公差为3，求该数列的前10项和。
二、函数与方程1. 函数表示与性质函数是一种具有确定性的映射关系。
常见的函数类型有一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等。
函数的性质包括定义域、值域、奇偶性、单调性等。
例题：已知一次函数y=2x+1，求该函数的定义域、值域以及它的奇偶性和单调性。
2. 方程的解与解法方程是指两个代数式之间相等的关系。
常见的方程类型有一次方程、二次方程、指数方程、对数方程等。
解方程的方法有代入法、因式分解法、配方法、公式法等。
例题：求解方程2x^2-5x+2=0，并判断解的个数和属性。
三、几何与三角形1. 向量与平面几何向量是具有大小和方向的量，可以表示位移、速度、力等。
平面几何研究的是平面内点、线、面的关系及性质。
例题：已知两个向量a=3i-2j和b=i+4j，求它们的数量积和夹角，并判断是否垂直。
2. 三角形的性质与定理三角形是由三条线段组成的闭合图形。
常见的三角形类型有等边三角形、等腰三角形、直角三角形等。
三角形的性质包括角度关系、边长关系、面积公式等。
例题：已知三角形ABC，AB=AC，∠BAC=60°，求证：BC=AB。
四、概率与统计1. 概率计算与事件关系概率是指某个事件发生的可能性大小。
常见的事件关系有互斥事件、独立事件、事件的并、交与差等。
高一数列归纳知识点总结
高一数列归纳知识点总结数列是高中数学中一个非常重要的概念，也是数学研究中的一个基本对象。
在高一阶段，数列的学习是数学学习的一个重要内容。
本文将从数列的定义、常见数列的特点以及数列的求和公式等方面进行归纳总结。
一、数列的定义与表示方法1. 数列的定义：数列是按照一定的顺序排列起来的数的集合，其中每个数称为数列的项。
2. 数列的表示方法：（1）通项公式表示法：数列可以通过一个解析式来表示，该解析式可以计算出数列中各项的具体数值。
（2）递推公式表示法：数列可以通过一个递推公式来表示，该递推公式利用前一项或前几项来递推求得后一项。
二、常见数列的特点与分类1. 等差数列：等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。
常用通项公式为：an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
2. 等比数列：等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列。
常用通项公式为：an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
3. 斐波那契数列：斐波那契数列是指数列中每一项都是前两项之和的数列。
通常用F(n)表示第n项，前两项分别为F(1) = 1，F(2) = 1。
4. 平方数列：平方数列是指数列中每一项都是某个整数的平方的数列。
例如1，4，9，16，25，...5. 等差-等比混合数列：等差-等比混合数列是指数列中同时满足等差和等比条件的数列。
通常用an表示第n项，其通项公式为：an = a1 * r^(n-1) + (n-1)d。
三、数列的性质与求和公式1. 数列的有界性：数列可以是有界的，即存在一个上界或下界，也可以是无界的。
2. 数列的递增性与递减性：数列可以是递增的，即每一项都大于前一项，也可以是递减的，即每一项都小于前一项。
3. 奇数数列与偶数数列：数列中的奇数项或偶数项构成了两个新的数列，分别称为奇数数列和偶数数列。
4. 数列的求和公式：对于某些特殊的数列，可以通过递推或另外的方法得出它们的求和公式。
高一年级数学数列知识点
高一年级数学数列知识点数学是一门既让人望而却步又充满挑战的学科。
而在高一的数学课程中，数列是一个非常重要的知识点。
所以，我们有必要系统地学习和理解数列的相关概念和应用。
本文将介绍高一年级数学中与数列相关的知识点。
一、数列的定义与分类数列是由一列按顺序排列的数字组成的列表。
它为我们研究和描述数字之间的规律提供了一个有效的工具。
根据构成数列的数字的特点，数列可以分为等差数列和等比数列。
等差数列是一个常见的数列类型。
它的特点是每个相邻的数字之间的差是相同的。
我们用公式an = a1 + (n-1)d来表示等差数列的通项公式，其中an表示第n个数字，a1表示第一个数字，d表示公差。
例如，1，3，5，7，9就是一个公差为2的等差数列。
相比之下，等比数列的特点是每个相邻的数字之间的比值是常数。
我们用公式an = a1 * r^(n-1)来表示等比数列的通项公式，其中an表示第n个数字，a1表示第一个数字，r表示公比。
例如，1，4，16，64，256就是一个公比为4的等比数列。
二、数列的求和公式在数列的研究中，我们经常需要求出数列的前n个数字的和。
根据数列的类型不同，我们可以使用不同的求和公式。
对于等差数列，求和公式是Sn = n/2(2a1 + (n-1)d)，其中Sn表示前n项和。
而对于等比数列，求和公式是Sn = a1(1 - r^n)/(1 - r)。
在应用求和公式时，我们需要注意数列的边界条件。
特别是在使用等差数列求和公式时，我们必须确认数列的首项、公差和终项。
三、数列的应用数列作为一种有序的数字排列方式，可以在各种实际问题中发挥重要的作用。
首先，数列可以用于描述一些规律或模式。
通过观察和推理数列的数字，我们可以发现其中的规律，并利用这些规律解决问题。
例如，一个数列的通项公式可以帮助我们预测和计算数列中的任意一个数字。
其次，数列可以应用于计算和统计。
例如，我们可以使用数列的求和公式计算某个连续数列的总和。
高一数学数列知识点
高一数学数列知识点高一数学数列知识点1.数列的函数理解：①数列是一种特殊的函数。
其特殊性主要表现在其定义域和值域上。
数列可以看作一个定义域为正整数集N或其有限子集{1，2，3，…，n}的函数，其中的{1，2，3，…，n}不能省略。
②用函数的观点认识数列是重要的思想方法，一般情况下函数有三种表示方法，数列也不例外，通常也有三种表示方法：a.列表法;b。
图像法;c.解析法。
其中解析法包括以通项公式给出数列和以递推公式给出数列。
③函数不一定有解析式，同样数列也并非都有通项公式。
2.通项公式：数列的第N项an与项的序数n之间的关系可以用一个公式an=f(n)来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式(注：通项公式不)。
数列通项公式的特点：(1)有些数列的通项公式可以有不同形式，即不。
(2)有些数列没有通项公式(如：素数由小到大排成一列2，3，5，7，11，...)。
3.递推公式：如果数列{an}的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。
数列递推公式特点：(1)有些数列的递推公式可以有不同形式，即不。
(2)有些数列没有递推公式。
有递推公式不一定有通项公式。
注：数列中的项必须是数，它可以是实数，也可以是复数。
高一数学数列知识点1.等差数列通项公式an=a1+(n-1)dn=1时a1=S1n≥2时an=Sn-Sn-1an=kn+b(k,b为常数)推导过程：an=dn+a1-d令d=k，a1-d=b 则得到an=kn+b2.等差中项由三个数a，A，b组成的等差数列可以堪称最简单的等差数列。
这时，A叫做a与b的等差中项(arithmeticmean)。
有关系：A=(a+b)÷23.前n项和倒序相加法推导前n项和公式：Sn=a1+a2+a3+·····+an=a1+(a1+d)+(a1+2d)+······+[a1+(n-1)d]①Sn=an+an-1+an-2+······+a1=an+(an-d)+(an-2d)+······+[an-(n-1)d]②由①+②得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+······+(a1+an)(n 个)=n(a1+an)∴Sn=n(a1+an)÷2等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半：Sn=n(a1+an)÷2=na1+n(n-1)d÷2Sn=dn2÷2+n(a1-d÷2)亦可得a1=2sn÷n-an=[sn-n(n-1)d÷2]÷nan=2sn÷n-a1有趣的是S2n-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+14.等差数列性质一、任意两项am，an的关系为：an=am+(n-m)d它可以看作等差数列广义的通项公式。
人教版高一数学必背知识点梳理五篇
人教版高一数学必背知识点梳理五篇人教版高一数学知识点11.等比数列的有关概念(1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零),那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示,定义的表达式为an+1/an=q(n∈N_q为非零常数).(2)等比中项:如果a.G.b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.即:G是a与b的等比中项?a,G,b成等比数列?G2=ab.2.等比数列的有关公式(1)通项公式:an=a1qn-1.3.等比数列{an}的常用性质(1)在等比数列{an}中,若m+n=p+q=2r(m,n,p,q,r∈N_,则am·an=ap·aq=a.特别地,a1an=a2an-1=a3an-2=….(2)在公比为q的等比数列{an}中,数列am,am+k,am+2k,am+3k,…仍是等比数列,公比为qk;数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…仍是等比数列(此时q≠-1);an=amqn-m.4.等比数列的特征(1)从等比数列的定义看,等比数列的任意项都是非零的,公比q也是非零常数.(2)由an+1=qan,q≠0并不能立即断言{an}为等比数列,还要验证a1≠0.5.等比数列的前n项和Sn(1)等比数列的前n项和Sn是用错位相减法求得的,注意这种思想方法在数列求和中的运用.(2)在运用等比数列的前n项和公式时,必须注意对q=1与q≠1分类讨论,防止因忽略q=1这一特殊情形导致解题失误.人教版高一数学知识点2可以知道:排除了为0与负数两种可能,即对于_ 0,则a可以是任意实数;排除了为0这种可能,即对于_ 0_= 0的所有实数,q不能是偶数;排除了为负数这种可能,即对于_为大于且等于0的所有实数,a就不能是负数.总结起来,就可以得到当a为不同的数值时,幂函数的定义域的不同情况如下:如果a为任意实数,则函数的定义域为大于0的所有实数;如果a为负数,则_肯定不能为0,不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定,即如果同时q为偶数,则_不能小于0,这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数,则函数的定义域为不等于0的所有实数.在_大于0时,函数的值域总是大于0的实数.在_小于0时,则只有同时q为奇数,函数的值域为非零的实数.而只有a为正数,0才进入函数的值域.由于_大于0是对a的任意取值都有意义的,因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况.可以看到:(1)所有的图形都通过(1,1)这点.(2)当a大于0时,幂函数为单调递增的,而a小于0时,幂函数为单调递减函数.(3)当a大于1时,幂函数图形下凹;当a小于1大于0时,幂函数图形上凸.(4)当a小于0时,a越小,图形倾斜程度越大.(5)a大于0,函数过(0,0);a小于0,函数不过(0,0)点.(6)显然幂函数无界.解题方法:换元法解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这种方法叫换元法.换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化.复杂问题简单化,变得容易处理.换元法又称辅助元素法.变量代换法.通过引进新的变量,可以把分散的条件联系起来,隐含的条件显露出来,或者把条件与结论联系起来.或者变为熟悉的形式,把复杂的计算和推证简化.它可以化高次为低次.化分式为整式.化无理式为有理式.化超越式为代数式,在研究方程.不等式.函数.数列.三角等问题中有广泛的应用.人教版高一数学知识点3函数的奇偶性(整体性质)(1)偶函数一般地,对于函数f(_)的定义域内的任意一个_,都有f(-_)=f(_),那么f(_)就叫做偶函数.(2).奇函数一般地,对于函数f(_)的定义域内的任意一个_,都有f(-_)=—f(_),那么f(_)就叫做奇函数.(3)具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.利用定义判断函数奇偶性的步骤:○1首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称;○2确定f(-_)与f(_)的关系;○3作出相应结论:若f(-_)=f(_)或f(-_)-f(_)=0,则f(_)是偶函数;若f(-_)=-f(_)或f(-_)+f(_)=0,则f(_)是奇函数.(2)由f(-_)±f(_)=0或f(_)/f(-_)=±1来判定;(3)利用定理,或借助函数的图象判定.函数的解析表达式(1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域.( 排除了为负数这种可能,即对于_为大于且等于0的所有实数,a就不能是负数.人教版高一数学知识点51.多面体的结构特征(1)棱柱有两个面相互平行,其余各面都是平行四边形,每相邻两个四边形的公共边平行.正棱柱:侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱,底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.反之,正棱柱的底面是正多边形,侧棱垂直于底面,侧面是矩形.(2)棱锥的底面是任意多边形,侧面是有一个公共顶点的三角形.正棱锥:底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥.特别地,各棱均相等的正三棱锥叫正四面体.反过来,正棱锥的底面是正多边形,且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心.(3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到,其上下底面是相似多边形.2.旋转体的结构特征(1)圆柱可以由矩形绕一边所在直线旋转一周得到.(2)圆锥可以由直角三角形绕一条直角边所在直线旋转一周得到.(3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线旋转一周或等腰梯形绕上下底面中心所在直线旋转半周得到,也可由平行于底面的平面截圆锥得到.(4)球可以由半圆面绕直径旋转一周或圆面绕直径旋转半周得到.3.空间几何体的三视图空间几何体的三视图是用平行投影得到,这种投影下,与投影面平行的平面图形留下的影子,与平面图形的形状和大小是全等和相等的,三视图包括正视图.侧视图.俯视图.三视图的长度特征:〝长对正,宽相等,高平齐〞,即正视图和侧视图一样高,正视图和俯视图一样长,侧视图和俯视图一样宽.若相邻两物体的表面相交,表面的交线是它们的分界线,在三视图中,要注意实.虚线的画法.4.空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画,基本步骤是:(1)画几何体的底面在已知图形中取互相垂直的_轴.y轴,两轴相交于点O,画直观图时,把它们画成对应的_′轴.y′轴,两轴相交于点O′,且使∠_′O′y′=45°或_5°,已知图形中平行于_轴.y轴的线段,在直观图中平行于_′轴.y′轴.已知图形中平行于_轴的线段,在直观图中长度不变,平行于y轴的线段,长度变为原来的一半.(2)画几何体的高在已知图形中过O点作z轴垂直于_Oy平面,在直观图中对应的z′轴,也垂直于_′O′y′平面,已知图形中平行于z轴的线段,在直观图中仍平行于z′轴且长度不变.人教版高一数学必背知识点梳理最新五篇。
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高一数学总复习－－数列
一、内容提要：
1、 数列的概念：按照一定次序排列的一列数。
2、 通项公式：一个数列的第项能用的一个表达式来表示。
递推公式：一个数列的能用它前面若干项的表达式来表示。
3、 两类特殊数列的比较：
二、例题讲解：
例1：已知等差数列－1，2，5，8，…, 求：
①.该数列的通项公式； ②.第20项； ③.第几项是152 ？
例2：已知等差数列{n a }的第7项是8，第11项是－20，求它的第15项？
例3：在等差数列{n a }中，123=a ,47-=a ,则20s =
例4：已知三个数成等差数列，它们的和为12，积为－132，求这三个数？
三、练习：
（一）、选择题：
1、设数列{n a }的通项公式为23+-=n n a ，则2a = ( )
A 、 －4
B 、 －7
C 、 8
D 、 11
2、数列1，2，4，7，11，…中，29是该数列的 （ ）
A 、第6项
B 、第7项
C 、第8项
D 、第9项
3、下列各数列中是等差数列的是 （ ）
A 、1，2，3，5
B 、－1，－2，－4，－8
C 、2，0，2，0
D 、－7，－5，－3，－1
4、a ＋c=2b 是a,b,c 成等差数列的 （ ）
A 、充分条件
B 、充分必要条件
C 、必要条件
D 、既不充分又不必要条件
5、等差数列{n a }中，n a =2n －1,则它的前6项和6s 为 （ ）
A 、－36
B 、30
C 、38
D 、36
（二）、填空题：
1、“斐波那契”数列中的第8项为 。
2、在1，32,53,74,…中第5项是 。
3、等差数列{n a }中，12=a ,75=a ,则d = , 1a =
4、 等差数列{n a }中，11=a ,d = 2 , 27=n a ,则n =
5、 25+与25-的等差中项为
6、 前100个正整数的和为 ；
前n 个正偶数的和为 .
7、 在等差数列{n a }中，123=a ,47-=a ,则23s =
（三）、解答题：
1、已知等差数列{n a }中，111=a ,35=a ,求公差d 和前10项和10s ?
2、已知三个数成等差数列，它们的和为15，各数的平方和为83，求这三个数。
3、已知等差数列{n a }中，32=a ,d = 5 , 103=n a ,求n 与n s
4、一个球从20m 高处自由落下，每次着地后弹跳回原高度的一半再落下，当它第8 次着地时，共经过了多少米？。