高考概率统计知识归类分析及复习指导
2024高考数学压轴题——概率与统计高考常见题型解题思路及知识点总结
2024高考数学压轴题——概率与统计高考常见题型解题思路及知识点总结2024高考数学压轴题——概率与统计的挑战与应对随着高考的临近，数学科目的复习也进入了关键阶段。
2024年的高考数学压轴题将会涉及到概率与统计的内容，这不仅考察学生的基本数学知识，更侧重于考察学生的逻辑思维能力、实际应用能力和问题解决能力。
本文将针对这一部分的常见题型、解题思路和知识点进行总结，希望能为广大考生提供一些帮助和指导。
一、常见题型的解题思路1、概率计算：在解决概率计算问题时，学生需要明确事件的独立性、互斥性和概率公式的应用。
尤其是古典概率和条件概率的计算，需要学生熟练掌握。
对于涉及多个事件的概率计算，学生需要理清事件的关联关系，采用加法、乘法或全概率公式进行计算。
2、随机变量及其分布：这部分要求学生掌握离散型和连续型随机变量的分布律及分布函数，理解并掌握几种常见的分布，如二项分布、泊松分布和正态分布等。
对于随机变量的数字特征，如期望、方差和协方差等，学生需要理解其含义并掌握计算方法。
3、统计推断：在统计推断问题中，学生需要掌握参数估计和假设检验的基本方法。
对于点估计，学生需要理解矩估计法和最大似然估计法的原理，并能够进行计算。
对于假设检验，学生需要理解显著性检验的原理，掌握单侧和双侧检验的方法。
4、相关与回归分析：相关与回归分析要求学生能够读懂散点图，理解线性相关性和线性回归的概念，掌握回归方程的拟合方法和拟合优度的评估方法。
二、概率与统计的相关知识点总结1、概率的基本概念：事件、样本空间、事件的概率、互斥事件、独立事件等。
2、随机变量及其分布：离散型随机变量和连续型随机变量，二项分布、泊松分布和正态分布等。
3、统计推断：参数估计、假设检验、点估计、置信区间、单侧和双侧检验等。
4、相关与回归分析：线性相关性和线性回归的概念，回归方程的拟合方法和拟合优度的评估方法。
三、示例分析下面我们通过一个具体的示例来演示如何分析和解决一道概率与统计的压轴题。
高考数学概率与统计题型解析与答题技巧
高考数学概率与统计题型解析与答题技巧在高考数学中，概率与统计是一个重要的板块，它不仅考查学生的数学知识和技能，还培养学生的数据分析和推理能力。
对于很多同学来说，这部分内容既有一定的挑战性，又充满了得分的机会。
下面我们就来详细解析高考数学中概率与统计的常见题型以及相应的答题技巧。
一、概率题型1、古典概型古典概型是概率中最基础的题型之一。
它的特点是试验结果有限且等可能。
例如，从装有若干个红球和白球的袋子中摸球，计算摸到某种颜色球的概率。
答题技巧：首先，确定总的基本事件数和所求事件包含的基本事件数。
然后，利用古典概型的概率公式 P（A）＝所求事件包含的基本事件数÷总的基本事件数进行计算。
2、几何概型几何概型与古典概型不同，它的试验结果是无限的。
常见的有长度型、面积型、体积型几何概型。
比如，在一个区间内随机取一个数，求满足某个条件的概率。
答题技巧：对于几何概型，关键是要正确确定几何度量。
例如，长度型就计算长度，面积型就计算面积，体积型就计算体积。
然后，按照几何概型的概率公式 P（A）＝构成事件 A 的区域长度（面积或体积）÷试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）进行求解。
3、条件概率条件概率是指在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率。
题目中通常会给出一些条件，让我们计算在这些条件下的概率。
答题技巧：利用条件概率公式 P（A|B）＝ P（AB）÷P（B），先求出 P（AB）和 P（B），再计算条件概率。
4、相互独立事件与互斥事件相互独立事件是指一个事件的发生与否对另一个事件的发生概率没有影响；互斥事件则是指两个事件不能同时发生。
答题技巧：对于相互独立事件，它们同时发生的概率用乘法计算，即 P（AB）＝ P（A）×P（B）；对于互斥事件，它们至少有一个发生的概率用加法计算，即 P（A∪B）＝ P（A）＋ P（B）。
二、统计题型1、抽样方法包括简单随机抽样、分层抽样和系统抽样。
高考数学中的概率统计相关知识点分析
高考数学中的概率统计相关知识点分析高考数学中，概率统计是一道不可忽略的大题，几乎每年都出现在高考试卷中，因此对于概率统计相关知识点的掌握程度直接影响到考生高考成绩的好坏。
要想在高考数学中获得优异的成绩，必须熟练掌握概率统计知识，并了解其相关考点。
本文将从以下几个方面，对高考数学中的概率统计知识点进行分析和总结。
一、概率统计的定义概率统计是数学中的一个重要分支，是一种研究随机现象规律性的数学工具，主要包括概率论和统计学两个方面。
概率论是用来描述随机现象可能发生的概率的数学理论，而统计学则是通过对样本数据的分析，来推断总体的性质和规律的一门学科。
二、常见的概率统计方法在高考数学中，常见的概率统计方法包括概率、期望、方差和标准差等。
其中，概率是指某一事件在所有可能事件中所占的比例，通常用百分数或小数表示。
期望是指一次随机试验中，所期待获得的数值，可以用公式E(X)=∑P(Xi)X i 来表示。
方差是指一组数据与其期望的差的平方值的平均数，可以用公式D(X)=E[X-E(X)]^2来表示。
标准差是方差的平方根，可以用公式σ=sqrt(D(X))来表示，α 和β 之间的数即为随机变量 X 的一个离散分布。
三、高考数学中的概率统计考点1.条件概率条件概率是指在某一事件已经发生的情况下，另一个事件发生的概率。
在高考数学中，条件概率经常被用来解决概率计算问题，如计算A事件在B事件发生的情况下的概率等。
通常来说，条件概率用公式P(A|B) = P(AB) / P(B) 来表示。
2.独立事件独立事件是指两个或多个事件之间不相互影响，即一个事件的发生与另一个事件的发生无关。
在高考概率统计中，考生需要掌握如何判定两个事件是否独立，以及如何根据独立事件的性质计算概率。
3.随机变量随机变量是指变量的取值不确定，以概率的形式来描述的变量。
高考概率统计中，随机变量通常用于求期望、方差、标准差等常见的概率统计方法。
四、概率统计的应用概率统计理论在现实生活中有着广泛的应用，在自然科学、社会科学、医学、经济学、政治学等领域都有重要的地位。
数学高考必备概率与统计知识点总结
数学高考必备概率与统计知识点总结数学高考中，概率与统计是一个重要的考点，占据大约10%的考试比重。
掌握好概率与统计的知识点，对于考试取得好成绩至关重要。
本文将对数学高考中必备的概率与统计知识点进行总结，并提供实用的解题方法和技巧。
一、基本概念和概率计算1.1 随机事件和样本空间在概率理论中，随机事件是指实验过程的一个结果，而样本空间则是实验中可能出现的所有结果的集合。
在解题时，我们需要明确随机事件和样本空间的概念，将题目中的问题抽象成适合计算的形式。
1.2 概率的定义和性质了解概率的定义和性质对于解题至关重要。
掌握概率的加法原理、乘法原理、全概率公式和贝叶斯定理能够帮助我们解决复杂的概率计算问题。
1.3 随机变量和概率分布随机变量是指与随机事件相对应的可数的数值，概率分布则定义了随机变量的取值范围和其对应的概率。
掌握随机变量和概率分布的概念和计算方法，能够在解题过程中更好地理解和分析问题。
1.4 用排列组合解决概率问题排列组合是概率计算中常用的方法之一。
理解排列和组合的概念，掌握计算排列和组合的方法，可以帮助我们解决一定范围内的概率计算问题。
二、离散分布2.1 二项分布二项分布是一种重要的离散分布，在高考中经常出现。
掌握二项分布的概念、性质和计算方法，能够解决二项分布相关的问题。
2.2 泊松分布泊松分布是一种常见的离散分布，用于描述单位时间或单位空间内随机事件发生的次数。
了解泊松分布的特点和计算方法，能够解决与泊松分布相关的问题。
三、连续分布3.1 均匀分布均匀分布是一种常见的连续分布，描述了在一定范围内任意取值的概率相等的情况。
掌握均匀分布的概念和计算方法，能够解决与均匀分布相关的问题。
3.2 正态分布正态分布是一种重要的连续分布，具有对称性和钟形曲线的特点。
在高考中，许多问题都可以近似看作正态分布，因此掌握正态分布的概念和计算方法非常重要。
四、统计分析4.1 数据的收集和整理在统计分析中，数据的收集和整理是第一步。
高考数学概率统计知识点梳理
高考数学概率统计知识点梳理概率统计作为高中数学的重要组成部分，是高考中常见的考点之一。
掌握好概率统计的知识，对于考生来说至关重要。
下面将对高考数学概率统计知识点进行梳理，帮助考生更好地复习和备考。
一、随机事件及其概率在概率统计中，随机事件是指在相同条件下可以重复出现的试验结果。
概率是描述随机事件发生的可能性大小的数值。
常见的概率计算方法包括：基本概率公式、加法原理、乘法原理等。
在高考中，常见的随机事件概率计算题型有：求事件发生的可能性，计算联合概率、条件概率等。
二、样本空间与事件样本空间是指试验所有可能结果的集合，事件是样本空间的一个子集。
在概率统计中，常用样本空间和事件的关系来求解概率。
考生需要掌握样本空间的求法，以及事件与样本空间的关系。
三、频率与概率频率是指某个事件在重复试验中发生的次数与试验总次数的比值。
概率是指某个事件在理论上发生的可能性大小。
频率与概率之间存在着紧密的联系，频率可以用来近似估算概率。
在高考中，考生需要理解频率与概率的关系，并能够进行频率与概率之间的转换。
四、排列组合与概率排列组合是概率统计中常用的计算方法。
排列是指从n个不同元素中取出m个元素进行顺序安排的方法数，组合是指从n个不同元素中取出m个元素进行不顺序的安排方法数。
在排列组合的基础上，结合概率的计算，考生需要能够解决排列组合与概率相结合的题型。
五、随机变量及其分布随机变量是指随机试验结果的数值化描述，可以是离散的也可以是连续的。
随机变量的分布描述了随机变量每个可能值出现的概率。
常见的离散随机变量分布有：二项分布、泊松分布等；常见的连续随机变量分布有：正态分布、指数分布等。
在高考中，随机变量的概率计算题型经常出现，考生需要熟练掌握各种分布的特点和计算方法。
六、统计与抽样统计是指对大量数据进行收集、整理和分析的过程。
抽样是统计的基本方法之一，是指从总体中选取一部分样本进行研究。
在高考中，常见的统计与抽样的题型有：调查设计、样本估计等。
高中数学概率与统计的重点知识点整理如何解决概率题目
高中数学概率与统计的重点知识点整理如何解决概率题目在解决概率题目方面，高中数学中的概率与统计是一个重要的知识点。
下面将对高中数学概率与统计的重点知识点进行整理和归纳，希望能够帮助你更好地解决概率题目。
1. 随机事件和样本空间随机事件是指在一次实验中可能发生的一个结果，而样本空间是指实验中所有可能出现的结果的集合。
在解决概率题目时，首先要明确随机事件和样本空间的概念，并将问题中的具体情境转化为对应的随机事件和样本空间。
2. 概率的定义与性质概率是指某个随机事件发生的可能性大小。
在高中数学中，概率通常用数值表示，取值范围在0到1之间。
在解决概率题目时，需要熟悉概率的基本性质，如概率的非负性、必然事件的概率为1、事件的互斥性和相加性等。
根据题目的具体情况，可以利用这些性质来求解概率。
3. 相对频率和概率的关系相对频率是指某个事件在大量重复实验中出现的频率。
当实验次数趋于无穷大时，相对频率接近于概率。
在解决概率题目时，可以通过模拟实验或统计数据来估计概率。
4. 互斥事件和对立事件互斥事件是指两个事件不能同时发生的情况，对立事件是指两个事件中必有一个事件发生的情况。
在解决概率题目时，需要注意判断事件之间的互斥关系和对立关系，根据题目给出的条件，采用合适的方法求解。
5. 条件概率条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
条件概率的计算通常使用乘法定理。
在解决概率题目时，如果题目给出了条件信息，就可以利用条件概率的概念和公式来求解问题。
6. 独立事件独立事件是指两个事件之间相互独立，一个事件的发生不会影响另一个事件的发生。
在解决概率题目时，如果题目给出了事件之间的独立性，就可以利用独立事件的性质来求解概率。
7. 期望值和方差期望值是指随机变量所有可能取值的加权平均值，可以理解为随机变量的平均值。
方差是指随机变量与其期望值之差的平方的平均值，可以理解为随机变量的离散程度。
在解决概率题目时，如果涉及到随机变量和概率分布，就可以利用期望值和方差的概念来计算问题。
数学高三数学概率与统计知识总结与题型解析
数学高三数学概率与统计知识总结与题型解析概率与统计是高中数学中的一个重要部分，也是数学高考中的一个重点考点。
掌握好概率与统计的知识对于高三学生来说非常重要。
本文将对高三数学概率与统计的知识进行总结，并解析一些常见的题型。
一、概率的基本概念和性质概率是研究随机试验结果出现的可能性的数学理论。
在概率的研究中，有几个基本概念和性质需要掌握。
1.1 试验、样本空间和事件随机试验是指具有以下三个特点的试验：可以在相同的条件下重复进行，每次试验的结果不确定，且试验的结果有多种可能性。
样本空间是指一个随机试验的所有可能结果的集合。
事件是样本空间的一个子集，表示随机试验中我们关心的一些结果。
1.2 概率的定义和性质概率的定义可以通过两种方式来描述：频率定义和古典定义。
频率定义是指当试验重复进行很多次时，事件发生的频率趋近于概率值。
古典定义是指在满足条件的情况下，事件发生的可能性与样本空间中元素个数的比值。
概率具有以下几个性质：非负性、规范性、可列可加性、互斥性和独立性。
1.3 条件概率和乘法定理条件概率是指在另一个事件已经发生的条件下，某个事件发生的概率。
条件概率可以通过乘法定理来计算。
二、离散型随机变量离散型随机变量是指在有限或可数无限个取值中取一个确定值的变量。
离散型随机变量具有以下几个重要的性质：概率函数、分布函数、数学期望、方差等。
2.1 二项分布二项分布是指在n次独立的伯努利试验中，事件发生的次数所符合的概率分布。
如果事件发生的概率为p，不发生的概率为q=1-p，那么在n次试验中，事件发生k次的概率可以由二项分布来计算。
2.2 泊松分布泊松分布是在一定时间或空间范围内，某个事件发生的概率符合的分布。
泊松分布的参数λ表示单位时间或单位空间内事件的平均发生率。
三、连续型随机变量连续型随机变量是指在一个或者几个区间内取值的变量。
连续型随机变量具有以下几个重要的性质：概率密度函数、分布函数、数学期望、方差等。
2024高考数学概率统计知识点总结与题型分析
2024高考数学概率统计知识点总结与题型分析概率统计作为数学课程的一个重要分支，在高考中占有重要的一席之地。
它是一个与现实生活息息相关的学科，旨在通过收集、整理和分析数据，帮助我们做出正确的判断和决策。
本文对2024高考数学概率统计的知识点进行了总结，并对可能出现的题型进行了分析。
一、基本概念和公式1. 随机事件：指在一次试验中可能发生也可能不发生的事件。
2. 样本空间：指一个试验所有可能结果的集合。
3. 必然事件：指在一次试验中一定会发生的事件。
4. 不可能事件：指在一次试验中一定不会发生的事件。
5. 事件的概率：指随机事件发生的可能性大小。
6. 加法原理：对于两个互不相容的事件A和B，它们的和事件A∪B的概率等于各个事件的概率之和。
P(A∪B) = P(A) + P(B)7. 乘法原理：对于两个相互独立的事件A和B，它们的积事件A∩B的概率等于各个事件的概率之积。
P(A∩B) = P(A) × P(B)二、概率计算1. 事件的概率计算：对于离散型随机事件，概率可通过频率估计和计数原理计算。
对于连续型随机事件，概率可通过定积分计算。
2. 事件的互斥与独立：如果两个事件A和B互斥（即不能同时发生），则它们的和事件A∪B的概率等于各自事件的概率之和。
如果两个事件A和B相互独立（即一个事件的发生不受另一个事件发生与否的影响），则它们的积事件A∩B的概率等于各自事件的概率之积。
三、排列组合与概率计算1. 排列：排列是从n个不同元素中取出m个元素（m≤n），并有顺序地排成一列的方式。
排列的计算公式为：A(n,m) = n! / (n-m)!2. 组合：组合是从n个不同元素中取出m个元素（m≤n），不考虑顺序地组成一个集合的方式。
组合的计算公式为：C(n,m) = n! / [m! × (n-m)!]3. 概率计算中的排列组合：当事件A与某个事件B相关时，在计算A的概率时，需要考虑B 发生的不同排列组合情况。
“概率与统计”高考专题分析和备考策略
“概率与统计”高考专题分析和备考策略一．考纲要求（原文）6．统计（1）随机抽样① 理解随机抽样的必要性和重要性．② 会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法．（2）总体估计① 了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点．② 理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差．③ 能从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并作出合理的解释．④ 会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想．⑤ 会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题．（3）变量的相关性① 会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系．② 了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程．7．概率（1）事件与概率① 了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别．② 了解两个互斥事件的概率加法公式．（2）古典概型①理解古典概型及其概率计算公式．②会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．（3）随机数与几何概型①了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．②了解几何概型的意义．21．概率与统计（1）概率① 理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性．② 理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用．③ 了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题．④ 理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题．⑤ 利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．（2）统计案例了解下列一些常见的统计方法，并能应用这些方法解决一些实际问题．（1）独立性检验了解独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想、方法及其简单应用．（2）回归分析了解回归的基本思想、方法及其简单应用．二、考点分布1.随机事件及其概率2.古典概型3.几何概型4.离散型随机变量的分布列5.均值与方差6.二项分布及其应用7.抽样方法8.频率分布直方图与茎叶图9.样本的数字特征10.变量间的相关性11.独立性检验三、考纲解读1.掌握随机事件及概率的有关概念，能以生活中的实例为背景，用频率估计随机事件发生的概率．2.理解古典概型的意义及概率计算公式，能用列举法列举出所有的基本事件并求某一事件的概率．3.了解几何概型的意义，会解与几何概型相交汇的线性规划、圆及其他图形的概率．4.确定离散型随机变量的取值；会求实际问题的分布列，能利用分布列解决有关问题．5.能计算简单随机问题的均值、方差，能利用它们解决一些实际问题．6.理解条件概率、相互独立事件的概率、次独立重复试验中事件恰好发生次的概率，能利用上述概率公式计算有关事件的概率．7. 了解随机抽样的意义，会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；会根据分层抽样比计算总体或样本中的个体数．8.会画频率分布直方图、茎叶图，能从中读取相关信息，会用样本频率分布估计总体分布．9.了解众数、中位数、平均数、标准差，会用样本的数字特征估计总体的数字特征．10.会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系；能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程．11.了解独立性检验（只要求列联表）的基本思想、方法及简单应用，能通过计算判断两个变量的相关程度．四、“概率与统计”高考试题研究（一）近几年全国卷统计与概率试题的命题特点从近三年全国高考新课标卷概率统计试题来看，无论是文科卷还是理科卷，都是1道客观题和1道解答题，分值为17分，试题的题量、题型、分值都很稳定．概率统计试题对知识点的考查较为全面，以理科数学为例，考点覆盖了概率统计必修与选修的各个章节内容，考查了抽样方法，统计图表，数据的数字特征，用样本估计总体，回归分析，独立性检验，古典概型，几何概型，条件概率，相互独立事件的概率，独立重复试验的概率，离散型随机变量的分布列、数学期望与方差，超几何分布，二项分布，正态分布等基础知识和基本方法。
数学高考复习概率与统计重点梳理
数学高考复习概率与统计重点梳理高考复习概率与统计重点梳理概率与统计是数学高考中的重要内容，也是考生们备考过程中需要重点关注的部分。
在高考中，概率与统计经常出现在选择题、计算题和应用题中，因此，熟练掌握概率与统计的基本概念、定理和解题方法，对于取得高分至关重要。
本文将针对高考中概率与统计的重点内容进行梳理，帮助考生们更好地复习和应对考试。
一、基本概念与术语1.1 概率的基本定义概率是表示事件发生可能性大小的数值，通常用0到1之间的实数表示。
在概率中，事件发生的可能性越大，其概率值越接近于1；反之，事件发生的可能性越小，其概率值越接近于0。
1.2 随机事件与样本空间随机事件是在一定条件下，有可能发生的事件。
样本空间是一个包含了所有可能结果的集合，每个结果称为样本点。
随机事件可以由样本空间中的样本点组成。
1.3 事件的概率计算公式事件的概率计算公式根据事件的性质和样本空间的大小来确定。
对于等可能的随机试验，事件A发生的概率可以表示为：P(A) = 事件A的样本点数 / 样本空间的样本点数。
二、概率的计算方法2.1 乘法原理与加法原理乘法原理是指若事件A是由两个或多个独立事件的发生所组成，则事件A的概率可以用每个独立事件概率的乘积表示。
加法原理是指若事件A可以由事件B或事件C等多个互不相容的事件所组成，则事件A的概率可以用各个事件概率之和表示。
2.2 条件概率与独立性条件概率是指在已知事件A发生的情况下，事件B发生的概率。
如果事件A与事件B的发生是独立的，那么事件A发生的概率与事件B 发生的概率的乘积等于事件A与B同时发生的概率。
2.3 贝叶斯定理贝叶斯定理是利用已知的条件概率，求解与之相反的条件概率的方法。
它的基本思想是通过已知条件概率和全概率公式，得到所需的条件概率。
三、离散型与连续型随机变量3.1 随机变量的定义与性质随机变量是数学中的一种函数关系，用来描述随机试验的结果与实数之间的对应关系。
随机变量可以是离散型的，也可以是连续型的。
高考数学一轮总复习统计与概率应试技巧整理
高考数学一轮总复习统计与概率应试技巧整理一、引言在高考数学考试中，统计与概率是一个重要的考点，也是一些学生容易出现困惑的部分。
为了帮助同学们更好地复习和备考，本文将整理一些高考数学统计与概率的应试技巧。
二、基础知识梳理在复习统计与概率前，要先掌握相关的基础知识。
常见的统计与概率的基础知识包括：事件的概念、随机事件的概念、样本空间与事件的关系、频率与概率的概念、设备的概念等。
掌握这些基础知识是理解后续内容的基础。
三、常见概念与公式1. 概率的基本性质在复习概率时，要了解概率的基本性质。
例如，概率是介于0和1之间的实数，所有样本点的概率之和为1等。
2. 条件概率条件概率是统计与概率中的重要概念，也是高考考点中常见的一部分。
复习时，要掌握条件概率的计算方法和应用，包括乘法定理和全概率公式等。
3. 事件的运算了解事件的运算是复习统计与概率的关键。
在考试中，往往需要对事件进行求交集、求并集、求补集等运算。
复习时，要熟练掌握这些运算的方法，并能够灵活应用。
4. 离散型随机变量与概率分布在统计与概率中，离散型随机变量是一个重要的概念。
复习时，要了解离散型随机变量的概念及其概率分布函数，包括分布列、累积分布函数等。
5. 连续型随机变量与概率密度函数与离散型随机变量类似，连续型随机变量也是一个重要的概念。
复习时，要了解连续型随机变量的概念及其概率密度函数，包括密度函数的性质、分布函数的计算等。
6. 统计图表的应用在高考数学中，统计图表的应用经常出现。
复习时，要熟悉各种统计图表的类型、特点和应用场景，包括条形图、折线图、饼图、散点图等。
四、解题技巧与策略1. 增强计算能力统计与概率涉及到大量的计算，而高考数学试卷的时间是有限的。
因此，提高计算速度和准确性是非常重要的。
可以通过多做一些练习题、刷一些真题来提升计算能力。
2. 理解题意，理顺思路在解决统计与概率的题目时，往往需要理解题意，抓住关键信息，进行问题分析。
然后，根据问题的要求，选择合适的方法和技巧来求解。
高考概率与统计知识点梳理
高考概率与统计知识点梳理概率与统计是数学中非常重要的一个分支，也是高考数学中的一个重点知识点。
理解概率与统计的原理和应用，对高考取得优异的成绩有着至关重要的作用。
本文将对高考中常见的概率与统计知识点进行梳理，帮助大家更好地掌握这一部分内容。
一、概率的基本概念和计算方法1.1 随机事件与样本空间概率论的研究对象是随机事件，而样本空间是指一个试验所有可能结果组成的集合。
随机事件是样本空间的子集，我们可以通过列举样本空间和随机事件来解决概率问题。
1.2 概率的定义和性质概率是指某个事件发生的可能性大小，可以通过事件发生的次数与总次数之比来计算。
概率具有非负性、规范性和可加性等基本性质，这些性质是进行概率计算的基础。
1.3 频率与概率的关系频率是指在大量重复试验中，某个事件发生的实际次数与试验总次数的比值。
频率和概率在大量试验时趋于相等，这是概率理论的基本思想之一。
1.4 基本计数原理基本计数原理指的是利用乘法原理和加法原理来解决复杂的计数问题。
乘法原理适用于多个进行相互独立的事件的计算，而加法原理适用于多个不相容事件的计算。
二、离散型随机变量及其分布律2.1 随机变量的概念与分类随机变量是指根据试验结果的不同而随机变化的变量。
离散型随机变量是指其可能取值个数有限或可数，而连续型随机变量则取值为整个数轴上的任意一点。
2.2 离散型随机变量的分布律离散型随机变量的分布律是指随机变量取各个可能值的概率，也称为概率分布或概率函数。
常见的离散型随机变量有二项分布、泊松分布和几何分布等。
2.3 期望与方差期望是指随机变量的平均取值，可以通过所有可能值的加权平均来求解。
方差是指随机变量与其期望之间的差异程度，反映了随机变量的离散程度。
三、连续型随机变量及其概率密度函数3.1 连续型随机变量的概念与特点连续型随机变量是指其可能取值为整个数轴上的任意一点，而不是一个个分立的值。
与离散型随机变量相比，连续型随机变量更适用于处理实际问题中的测量结果。
数学高三概率与统计章节重点知识梳理与习题攻略
数学高三概率与统计章节重点知识梳理与习题攻略概率与统计是高中数学中的重要章节，也是高考中的热点内容。
精通概率与统计对于学生提高数学成绩、应对高考至关重要。
为此，本文将对高三概率与统计章节的重点知识进行梳理，并提供习题攻略，帮助学生更好地掌握这一知识点。
一、基本概念1.事件与样本空间在概率与统计中，我们需要了解事件和样本空间的概念。
事件是指一个我们感兴趣的结果或者结果的集合，而样本空间是所有可能结果的集合。
2.概率概率是指某个事件发生的可能性大小。
常见的概率有经典概率、几何概率和统计概率等。
3.条件概率条件概率是指在某个事件已经发生的条件下，另一个事件发生的概率。
它可以用公式表示为：P(B|A) = P(A∩B)/P(A)。
4.互斥事件与独立事件互斥事件是指两个事件不能同时发生的情况，独立事件是指两个事件的发生不会相互影响。
二、概率计算方法1.加法原理与乘法原理加法原理是指计算两个事件至少发生一个的概率。
乘法原理是指计算两个事件同时发生的概率。
2.全概率公式和贝叶斯定理全概率公式是指在一组互斥事件的基础上计算某个事件的概率。
贝叶斯定理是指在已知某个事件发生的条件下计算另一个事件发生的概率。
三、随机变量与概率分布1.随机变量随机变量是指随机试验结果的某个函数，它可以是离散型随机变量或连续型随机变量。
2.离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布可以用概率函数、分布列和累积分布函数来表示。
3.连续型随机变量的概率密度函数和分布函数连续型随机变量的概率密度函数和分布函数可以用来描述其取值的概率。
四、常见的概率分布1.二项分布与泊松分布二项分布是指在一系列独立的、相同概率的伯努利试验中，成功次数的概率分布。
泊松分布是指在一个固定时间或空间内，随机事件发生的概率分布。
2.正态分布正态分布是指在自然界种种现象中，满足特定条件的随机变量的概率分布。
它是统计学中最重要的分布之一。
五、统计推断1.抽样与抽样分布抽样是指从总体中选取个体（样本），通过对样本的统计量进行分析推断出总体特征。
高考概率统计知识点汇总
高考概率统计知识点汇总概率统计作为数学的一个重要分支，是高中数学中的一项重要内容，也是高考中难度较大的一部分。
掌握概率统计的知识点对于高考取得好成绩至关重要。
本文将对高考概率统计的知识点进行汇总介绍，帮助考生更好地备考。
一、基本概念与定义1. 概率的概念：概率是对一件事件发生的可能性进行量化的数学方法。
常用的表示方式有百分数、小数和分数。
2. 随机事件与样本空间：随机事件指的是具有不确定性的事件，而样本空间是指所有可能结果的集合。
3. 必然事件和不可能事件：必然事件是一定会发生的事件，概率为1；不可能事件是一定不发生的事件，概率为0。
二、基本计算方法1. 乘法定理：乘法定理是指当两个随机事件A、B同时发生时，它们的概率等于事件A发生的概率乘以在A发生条件下事件B发生的概率。
2. 加法定理：加法定理是指当两个互斥事件A和B中至少一个事件发生时，它们的概率等于事件A发生的概率加上事件B发生的概率。
3. 条件概率：条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
计算条件概率时，需要用到乘法定理。
4. 独立事件：独立事件是指两个事件A和B的发生与否互不影响，即事件A的发生与否不会对事件B的发生产生影响。
对于独立事件来说，它们的概率乘积等于各自概率的乘积。
三、概率分布1. 随机变量与概率分布：随机变量是指在随机试验中可能取得的各个值，概率分布是指随机变量取各个值的概率。
2. 离散型随机变量与离散概率分布：离散型随机变量是指可以取一定个数值的随机变量，离散概率分布是指离散型随机变量取各个值的概率。
3. 连续型随机变量与连续概率分布：连续型随机变量是指在一定范围内可以取任意值的随机变量，连续概率分布是指连续型随机变量取某个区间的概率。
四、抽样与估计1. 简单随机抽样：简单随机抽样是指从总体中依概率挑选出样本的方法，以确保样本能够代表总体。
2. 参数与统计量：参数是指总体中的某个特征值，统计量是指样本中的某个特征值。
高考复习概率与统计知识点归纳总结
高考复习概率与统计知识点归纳总结概率与统计是高中数学中的一大重点和难点。
在高考中，这一部分的知识点占有相当大的比重，因此学生需要在复习阶段集中精力，深入理解和掌握相关的知识点。
本文将对高考概率与统计的知识点进行归纳总结，以帮助学生们更好地复习和备考。
一、概率基本概念1. 随机事件与样本空间：随机事件是对某一随机试验的结果的一种描述，样本空间是一个随机试验中可能出现的所有结果的集合。
2. 事件的概率：事件A发生的概率用P(A)表示，其计算公式为P(A) = 事件A的可能结果数 / 样本空间的结果总数。
3. 事件的互斥与对立：互斥事件指的是两个事件不可能同时发生，对立事件指的是两个事件中一个必然发生，另一个必然不发生。
4. 事件的独立性：两个事件相互独立指的是一个事件的发生不受另一个事件的影响，它们的概率计算是相互独立的。
二、排列与组合1. 排列：排列是从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按一定的顺序排列成一列。
公式为An^m = n(n-1)(n-2)...(n-m+1)。
2. 组合：组合是从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，不考虑排列顺序。
公式为Cn^m = n! / (m!(n-m)!)。
三、事件概率的计算1. 加法定理：对于两个事件A和B，其和事件A∪B的概率为P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。
2. 乘法定理：对于两个独立事件A和B，其积事件A∩B的概率为P(A∩B) = P(A) × P(B)。
3. 全概率公式：对于一组互斥事件A1、A2、...、An，其和事件A的概率为P(A) = P(A1) + P(A2) + ... +P(An)。
4. 条件概率公式：对于两个事件A和B，已知事件B发生的条件下事件A发生的概率为P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
四、随机变量与概率分布1. 随机变量：随机变量是随机试验结果的函数，它的取值是随机的。
数学高考必备知识总结概率与统计的应用技巧
数学高考必备知识总结概率与统计的应用技巧在高考数学中，概率与统计是一个重要的考点，也是学生们常常感到困惑的部分。
概率与统计的应用技巧不仅能够帮助我们解决实际问题，还能提升我们在高考中的得分。
本文将对概率与统计的必备知识总结和应用技巧进行详细介绍。
一、概率的基本概念与应用1. 概率的定义与性质概率是事件发生的可能性的度量，通常用一个介于0和1之间的数值表示。
概率的性质包括：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，对于任意事件A，都有0≤P(A)≤1。
2. 事件的互斥与独立性互斥事件指的是两个事件不可能同时发生，而独立事件则指的是两个事件的发生与否互不影响。
在计算概率时，我们需要注意事件之间的互斥性和独立性。
3. 条件概率与乘法定理条件概率是指在已知某个条件下，事件A发生的概率。
乘法定理是计算复合事件概率的重要方法，其公式为：P(A∩B) = P(A) × P(B|A)，其中P(A∩B)表示事件A与事件B同时发生的概率，P(B|A)表示在事件A已经发生的条件下，事件B发生的概率。
4. 全概率公式与贝叶斯定理全概率公式是求解复合事件概率的常用方法，其公式为：P(B) =P(A1)P(B|A1) + P(A2)P(B|A2) + … + P(An)P(B|An)，其中A1, A2, …,An为互不相容的事件，且它们的并集构成了样本空间。
贝叶斯定理是在已知概率的基础上，根据逆概率计算条件概率的方法，其公式为：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
二、统计的基本概念与应用1. 随机变量与概率分布随机变量是指取值不确定的变量，其可以分为离散型随机变量和连续型随机变量。
离散型随机变量只能取有限个或可数个值，而连续型随机变量则可以取任意一个区间内的值。
概率分布是随机变量在不同取值下的概率情况的总结。
2. 随机事件与频率随机事件是指在一次试验中可能发生的事件，频率是指在大量独立重复的试验中，某个事件发生的次数与试验总数的比值。
如何备考高考数学统计与概率部分重点知识点及解题思路
如何备考高考数学统计与概率部分重点知识点及解题思路备考高考数学统计与概率部分是每位考生所面临的一项重要任务。
为了提高备考效果，考生需要明确重点知识点及解题思路，并采取相应的备考策略。
本文将为考生介绍备考高考数学统计与概率部分的重点知识点，以及提供解题思路和备考策略。
一、概率的基本概念与性质在备考高考数学统计与概率部分时，考生首先需要掌握概率的基本概念与性质。
考生需要了解事件、样本空间、随机事件、概率的定义以及概率的性质等基本概念。
此外，考生还需了解概率的加法定理、乘法定理、全概率公式、贝叶斯定理等概率的性质，以便在解题时能够准确运用这些概率原理。
二、随机变量与概率分布备考高考数学统计与概率部分时，考生还需要学习随机变量与概率分布的相关知识。
随机变量是概率论中的重要概念，它可以通过数值来表示随机试验的结果。
考生需要了解离散型随机变量和连续型随机变量的性质与特点，并能够判断给定随机变量是离散型还是连续型，并给出相应的概率分布。
三、常用的离散概率分布备考高考数学统计与概率部分时，考生需要熟悉常用的离散概率分布。
例如，考生需要了解二项分布、泊松分布和几何分布等离散概率分布的概念、性质和应用等方面的知识。
考生还需能够通过题目进行识别，根据给定的条件判断使用哪种离散概率分布，并运用相应的概率公式进行计算。
四、常用的连续概率分布备考高考数学统计与概率部分时，考生还需要熟悉常用的连续概率分布。
例如，考生需要了解均匀分布、正态分布和指数分布等连续概率分布的概念、性质和应用等方面的知识。
考生需要能够根据给定的条件判断使用哪种连续概率分布，并掌握相应的概率公式和计算方法。
五、抽样与统计推断备考高考数学统计与概率部分时，考生还需要学习抽样与统计推断的相关知识。
考生需要了解抽样的目的与方法，并能够分析样本数据的特征与规律。
此外，考生还需要掌握点估计与区间估计的概念与计算方法，并能够应用于实际问题中。
六、假设检验备考高考数学统计与概率部分时，考生还需要学习假设检验的相关知识。
高考数学一轮总复习概率与统计解题技巧与方法总结
高考数学一轮总复习概率与统计解题技巧与方法总结在高考数学中，概率与统计是一个重要的知识点，也是考试中常常涉及的内容。
掌握概率与统计解题的技巧和方法，对于提高数学成绩至关重要。
本文将总结一些高考数学概率与统计解题的技巧与方法，希望能对广大考生有所帮助。
一、概率解题技巧与方法1. 理解基本概念：在解概率题时，首先要理解基本概念，如概率、样本空间、随机变量等。
只有对这些基本概念有深刻的理解，才能更好地解题。
2. 利用树状图：树状图是概率解题常用的工具，特别适用于多次实验的情况。
通过画出树状图，可以清晰地展示出每次实验的结果和对应的概率，进而计算出整个事件发生的概率。
3. 排列组合与概率的结合：当求解一些带有限定条件的概率问题时，可以结合排列组合的知识来解决。
通过排列组合的思想，可以确定事件发生的总数，从而计算出概率。
4. 利用条件概率：在解题过程中，经常会涉及到条件概率。
利用条件概率的性质，可以将问题分解为多个子问题，通过计算各个子问题的概率，最终得到所求事件的概率。
二、统计解题技巧与方法1. 数据整理与分析：在统计解题中，首先要将给定的数据进行整理和分析。
通过整理数据，可以清晰地了解到底有哪些数据，从而为后续的解题提供有效的信息。
2. 构建统计图表：构建统计图表是统计解题中常用的方法之一。
通过绘制条形图、折线图、散点图等，可以直观地展示数据之间的关系，进而进行数据的比较和分析。
3. 正确选择统计指标：在解题过程中，需要根据具体的问题选择合适的统计指标。
常见的统计指标有平均数、中位数、众数等，根据问题的要求选择合适的指标进行计算。
4. 运用概率与统计的基本原理：在统计解题中，概率与统计的基本原理经常会被运用到。
通过理解与运用这些基本原理，可以更好地解决统计问题，提高解题效率。
总之，高考数学概率与统计解题在考试中占据较大的比重，掌握解题技巧和方法是提高数学成绩的关键。
通过理解基本概念、使用树状图、结合排列组合与概率、利用条件概率等技巧，以及进行数据整理与分析、构建统计图表、选择合适的统计指标以及运用概率与统计的基本原理等方法，可以辅助考生更好地应对概率与统计解题的挑战。
数学高考数学概率与统计综合归纳
数学高考数学概率与统计综合归纳数学高考中的数学概率与统计是一个重要的知识点，它涵盖了概率和统计两个方面。
本文将综合归纳数学高考数学概率与统计的相关内容，帮助同学们更好地理解和掌握这一知识点。
一、概率概率是研究随机现象的规律性的一门学科，而在数学高考中，概率也是一个重要的考点。
概率可以用来描述某一事件发生或者不发生的可能性大小。
1.1 事件与样本空间在概率的研究中，我们需要先了解事件与样本空间的概念。
样本空间是指一个随机试验中所有可能出现的结果组成的集合。
而事件则是样本空间的一个子集，它代表了我们关心的某一种结果。
1.2 事件的概率在概率的计算中，我们需要计算事件发生的概率。
概率的计算可以通过两种方法来进行：频率方法和几何方法。
频率方法是通过频率的长期稳定性来确定事件的概率，而几何方法则是通过长度或者面积的比例来计算事件的概率。
1.3 条件概率条件概率是指在已知某一事件发生的情况下，另一事件发生的概率。
条件概率的计算可以利用乘法法则进行。
例如，事件A在事件B已经发生的条件下发生的概率可以表示为P(A|B)，表示事件B发生的前提下事件A发生的概率。
1.4 独立事件独立事件是指两个或多个事件之间没有相互制约关系的事件。
当事件A和事件B是独立事件时，事件A的发生与否不会影响事件B的发生与否，反之亦然。
独立事件的概率计算可以利用乘法法则进行。
二、统计统计是概率的应用，旨在通过观察和分析事物的现象和特征，从而推断出总体的特性。
在数学高考中，统计也是一个重要的考点。
2.1 统计指标在进行统计分析时，我们需要使用一些统计指标来描述和度量数据的特征。
常用的统计指标有均值、中位数、众数、标准差等。
均值是指将一组数据求和后除以数据的个数，中位数是将一组数据按照大小进行排列后的中间值，众数是指在一组数据中出现最频繁的数值，标准差是度量数据离散程度的指标。
2.2 抽样调查在统计中，为了对总体进行推断，我们往往需要对样本进行抽样调查。
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高考概率统计知识归类分析及复习指导吴金革 济南第三职业中等专业学校高中学习的概率统计知识是每年高考命题的热点，注重以概率统计的知识为载体，考查实践能力和创新意识. 下面通过简析有关概率统计方面的试题，来分析命题方向，透视命题信息，以便科学高效地组织好对概率统计方面的复习.一、概率统计试题分类解析 （一）统计基本模型1.随机抽样例1. （2010年上海市春季高考)某社区对居民进行上海世博会知晓情况的分层抽样调查.已知该社区的青年人、中年人和老年人分别有800人、1600人、1400人.若在老年人中的抽样人数是70，则在中年人中的抽样人数应该是 .【解析】由题意可知，抽取的比例为201140070==k ，故中年人应该抽取人数为802011600=⨯=N .【命题意图】本题考查分层抽样的知识. 随机抽样有三种：简单的随机抽样、系统抽样、分层抽样，共同点：每一个个体被抽到的概率相等. 2.频率分布例2.(2009年山东高考卷理科)某工厂对一批产品进行了抽样检测. 图1是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是]106,96[，样本数据分组为)98,96[，）100,98[，)102,100[，)104,102[，)106,104[,已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是( ).A.90B.75C. 60D.45【解析】产品净重小于100克的概率为2)100.0050.0(⨯+300.0=, 已知样本中产品净重小于100克的个数是36,设样本容量为n ,则300.036=n,所以120=n ,净重大于或等于98克并且小于104克的产品的概率为75.02)125.0150.0100.0(=⨯++,所以样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是9075.0120=⨯.故选A.【命题意图】本题考查了统计与概率的知识,读懂频率分布直方图, 会计算概率以及样本中有关的数据. 3.平均数、方差例3.（2010年山东高考卷理科）样本中共有五个个体，其值分别为3,2,1,0,a ,若该样本的平均值为1，则样本方差为（ ）A ．56 B.56 C.2 D.2【解析】由题意知，1)321051=++++a （,解得1-=a ,所以样本方差为222)10()11[(51-+--=s2])13()12()11(222=--+-+,故选D.【命题意图】本题考查样本平均数、方差, 属基础题, 熟记平均数、方差公式是解答好本题的关键. 4.离散型随机变量的期望与方差图 1例4．（2009年高考广东卷理科）已知离散型随机变量X 的分布列（如图2）．若0=EX ，1=DX ，则=a ，=b .【解析】由题知1211=++c b a ，061=++-c a ，1121)02()01()00()01(2222=⨯-+⨯-+⨯-+⨯--c b a ，解得125=a ，41=b . 图2【命题意图】本题考查了数学期望、方差的计算公式. 5.正态分布例5．（2010年高考山东卷理科）已知随机变量ξ服从正态分布),0(2e N ,若023.0)2(=>ξP ,则=≤≤-)22(ξP ( )A. 77.40B.25.60C.54.90D. 77.90【解析】因为ξ服从正态分布),0(2e N ,所以正态曲线关于直线0=x 对称. 又=>)2(ξP 023.0,所以023.0)2(=-<ξP ,所以=≤≤-)22(ξP -1->)2(ξP )2(-<ξP 954.0023.021=⨯-=，故选C.【命题意图】本题考查正态分布的基本性质,掌握正态分布的基础知识.6.相关关系例6（2009年高考宁夏海南卷理科）对变量y x ,有观测数据)10,,2,1)(, =i y x i i （,得散点图3；对变量v u ,有观测数据)10,,2,1)(, =i v u i i （,得散点图4. 由这两个散点图可以判断（ ）.A.变量x 与y 正相关，u 与v 正相关B.变量x 与y 正相关，u 与v 负正相关C.变量x 与y 负相关，u 与v 正相关D.变量x 与y 负相关，u 与v 负相关 【解析】由这两个散点图可以判断, 变量x 与y 负正相关，u 与v 正相关,选C. 【命题意图】本题考查变量相关关系的概念、散点图. （二）概率基本模型1.古典概型 例7．（2010年山东高考卷文科）一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为4,3,,1.（1）从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m , 将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ,求2+<m n 的概率.【解析】（1）从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有：1和2, 1和3, 1和4，2和3，2和4，3和4，共6个. 从袋中随机取两个球的编号之和不大于4的事件有：1和2, 1和3,共2个. 因此所求事件的概率 3162==p .（2）先从袋中随机取一个球，记下该球的编号为m , 将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，记下该球的编号为n ，其一切可能的结果),(n m 有：)1,1(，)2,1(，)3,1(，)4,1(，)1,2(，)2,2(，)3,2(，)4,2(，)1,3(，)2,3(，)3,3(，)4,3(，)1,4(，)2,4(，)3,4(，)4,4(，共16个. 又满足条件2+≥m n 的事件为)3,1(，)1,3(，)4,2(，共3个. 所以满足条件2+≥m n 的事件的概率为1631=p . 故满足条件2+<m n 的事件的概率为1613112=-=p p .【命题意图】本小题主要考查古典概型、对立事件的概率计算，考查学生分析问题、解决问题的能力. 2.几何概型例8．(2010年高考湖南卷理科)在区间]2,1[-上随机取一个数x ，则1≤x 的概率为________.【解析】32)1(2)1(1)1(=----=≤x P .【命题意图】本题考查几何概型的概率，属容易题. 3.相互独立事件例9．（2009年高考上海卷理科）若事件E 与F 相互独立，且1()()4P E P F ==，则)(F E P 的值等于（ ）A ．0 B.161 C.41 D.21【解析】)(F E P ＝4141)()(⨯=⋅F P E P 161=. 选B.【命题意图】本题考查相互独立事件的概率公式. 4.条件概率例10．（2010年高考安徽卷理科）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以21,A A 和3A 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________（写出所有正确结论的编号）.①52)(=B P ；②115)|(1=A B P ；③事件B 与事件1A 相互独立；④321,,A A A 是两两互斥的事件；⑤)(B P 的值不能确定，因为它与321,,A A A 中哪一个发生有关.【解析】易知事件123,,A A A 两两互斥，而)|()|()|()(321A B P A B P A B P B P ++=229114103114102115105=⨯+⨯+⨯=.选②④.【命题意图】本题是考查概率的综合问题，掌握事件的互斥、独立性、条件概率基本概念，及条件概率的基本运算是解决问题的关键. （三）概率统计综合题型例11.（2010年高考陕西卷理科）为了解学生身高情况，某校以%10的比例对全校700名学生按性别进行出样检查，测得身高情况的统计如下图5、图6.（1）估计该小男生的人数；（2）估计该校学生身高在cm 185~170之间的概率；（3）从样本中身高在cm 180~165之间的女生中任选2人，求至少有1人身高在cm 180~170之间的概率.【解析】（1）样本中男生人数为40，由分层出样比例为%10估计全校男生人数为400.（2）由统计图知，样本中身高在cm 185~170之间的学生有351341314=++++人，样本容量为70，所以样本中学生身高在cm 185~170之间的频率5.07035==f , 故有f 估计该校学生身高在cm 185~170之间的概率5.0=p .（3）样本中女生身高在cm 180~165之间的人数为10，身高在cm 180~170之间的人数为4. 设A 表示事件“从样本中身高在cm 180~165之间的女生中任选2人，求至少有1人身高在cm 180~1701之间”，则321)(21026=-=C C A P 或32)(210241416=+=C C C C A P .【命题意图】本题考查频数分布图、分层抽样、样本的频率、概率，组合、古典概型、对立事件的概率等知识，及分析解决实际问题的能力.例12.（2010年高考全国卷1理科）投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录 用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为5.0，复审的稿件能通过评审的概率为3.0． 各专家独立评审．(1)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；(2)记X 表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求X 的分布列及期望．【解析】(1)记A 表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审；B 表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审；C 表示事件：稿件能通过复审专家的评审；D 表示事件：稿件被录用. 则⋅+=B A D D.25.05.05.0)(=⨯=A P ，5.05.05.02)(=⨯⨯=B P ，3.0)(=C P ，40.03.05.025.0)()()()()()()(=⨯+=⋅+=⋅+=⋅+=C P B P A P C B P A P C B A P D P ．(2))4.0,4(~B X ，1296.0)4.01()0(4=-==X P ，3456.0)4.01(4.0)1(314=-⨯⨯==C X P ，3456.0)4.01(4.0)2(2224=-⨯⨯==C X P ，1536.0)4.01(4.0)3(334=-⨯⨯==C X P ， 0256.04.0)4(4===X P ．其分布列为：期望6.14.04=⨯=EX .【命题意图】本题主要考查等可能性事件、互斥事件、独立事件、相互独立试验、分布列、数学期望等知识,以及运用概率知识解决实际问题的能力,考查分类与整合思想、化归与转化思想.（四）概率与其它知识的综合问题 1.古典概型与等差数列综合例13.（2008年高考山东卷理科）在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为,3,2,1…，18的18名火炬手.若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为( )A ．511B.681 C.3061 D.4081【解析】从18名火炬手中任选3人，共有816318=C 种方法，而选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的基本事件：741、、，852、、,963、、，1074、、,……，171411、、,181512、、，共12种方法，所以选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为68181612==P .故选B .【命题意图】本题考查了等差数列和古典概型的综合应用. 2. 古典概型与立体几何综合例14.（2009年高考安徽卷理科）考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（ ）A.751 B.752 C.753 D.754【解析】如图7，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，共有2251515C C 2626=⨯=⋅种不同取法，其中所得的两条直线相互平行但不重合有,//,//,//,//BE AF BF AE CB AD DB AC ,//FD CEED CF //，共12对. 所以所求概率为75422512==P ，选D.【命题意图】本题考查了立体几何中的两直线的位置关系、排列组合、古典概型的知识. 3.几何概型与三角函数综合例15.(2009年高考山东卷理科)在区间]1,1[-上随机取一个数x ，2cos xπ的值介于0到21之间的概率为( )A.31 B.π2C.21 D.32【解析】在]1,1[-上随机取一个数x ,即]1,1[-∈x 时,要使2cosxπ的值介于0到21之间,需使322πππ-≤≤-x或223πππ≤≤x∴321-≤≤-x 或132≤≤x ，区间长度为32，由几何概型知2cos xπ的值介于0到21之间的概率为31232=.故选A. 【命题意图】本题考查了三角函数的值域和几何概型问题,由自变量x 的取值范围,得到函数值2cos xπ的范围,再由长度型几何概型求得.有值域的范围求定义域的范围就是逆向思维.4. 几何概型与定积分综合例16.（2010年高考陕西卷理科）从如图8所示的长方形区域内任取一个点()y x M ,，则点M 取自阴影部分的概率为____________.【解析】本题属于几何概型，∵1310312===⎰xdx x S 阴影，331=⨯=长方形S ，∴所求概率为31==长方形阴影S S P .【命题意图】本题考查了微积分基本定理，几何概型的知识. 二、高考中概率统计试题的特点 （一）理科试题特点（1）概率统计试题的题量大致为3道题，约占全卷总分的%7.14，试题的难度为中等或中等偏易. （2）概率统计试题通常是通过对课本原题进行改编，通过对基础知识的重新组合、变式和拓展，从而加工为意图高、情境新、设问巧、并赋予时代气息、贴近学生实际的问题.这样的试题体现了数学试卷新的设计理念，尊重不同考生群体思维的差异，贴近考生的实际.（3）概率统计试题主要考查基本概念和基本公式，古典概型和几何概型的概率、互斥事件的概率、独立事件的概率、条件概率、事件在n 次独立重复试验中恰发生k 次的概率、离散型随机变量分布列和数学期望、方差、频率分布、茎叶图、抽样方法、正态分布等内容都进行了考查.（4）概率统计试题在试卷中的题型变化不大，近几年都是两道选择题或填空题、一道解答题.由此可以看出，试题逐步稳定，并成为高考卷中的主流应用题.（二）文科试题特点（1）概率统计试题的题量大致为2道，约占全卷总分的%3.11，试题的难度为中等或中等偏易. （2）概率统计试题主要考查基本概念和基本公式，古典概型、几何概型、互斥事件的概率、频率分布、平均数、方差、茎叶图、抽样方法等内容都进行了考查. 选择题大多与理科相同或相近.（3）概率统计试题在试卷中的题型变化不大，近几年稳定在一道选择题和一道解答题.由此可以看出，试题稳定在一小一大，并成为高考卷中的应用题.三、知识解析和命题趋势探讨1.随机事件的概率试题，理科主要考查基本概念和基本公式，集中在古典概型、几何概型、互斥事件的概率、对立事件的概率、相互独立事件的概率、独立重复试验、条件概率等基本概率类型进行了考查，试题为选择题或解答题的一部分.文科主要考查基本概念和基本公式，集中在古典概型、几何概型、互斥事件的概率、对立事件的概率、相互独立事件的概率等基本概率类型进行了考查，试题为选择题，解答题.文科解答题特别注重对古典概型的考查，也可结合统计的知识，或与其他知识结合设计.值得注意的是试题设计背景在稳定中探求创新性.2.离散型随机变量分布列和数学期望、方差是理科数学高考的一大热点. 由于应用题对学生阅读能力的要求较高，对题目的准确理解，找到数学模型，是解题的关键，很多学生因为阅读理解能力差而不得分. 应该把近几年各地高考及模拟题归类分析，强化训练，提高阅读能力和运算能力.明年高考理科概率解答题估计仍然以离散型随机变量分布列和数学期望形式出现.3.统计试题主要考查抽样方法，茎叶图、平均数、方差、频率分布表和频率分布直方图、正态分布. 抽样方法主要考查分层抽样，较为简单.频率分布直方图、茎叶图是高考的另一个热点，应引起重视.有些省的高考试题已经涉及变量的相关性、独立性检验，也应重视这一动向.4.近几年理科高考中，对概率统计的考查逐步由注重基础知识和基本技能转向注重综合能力，重视在知识网络的交汇点设计试题，解答题基本上对概率中互斥事件、相互独立事件、对立事件、离散项随机变量的期望和方差进行了考查, 在此基础上对分类与整合、函数与方程、转化与划归等数学思想进行考查.今后的高考会继续这一特点，加强试题的综合性，考查综合能力.。