结构力学-渐近法和超静定影响线

1 . 变形逐渐趋于真实变形；刚臂反力逐渐趋于零。
2 . 释放顺序是任意的，但通常先释放不平衡力矩较大的分 配单元（这样收敛快）
3 . 一般最终的杆端力矩与固端力矩是同量级的，要求精确 到三位有效数字，计算中取4位计算，以保证前三位的 精确度
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第十二章 渐近法和超静定影响线 第三节 多结点力矩分配法
k
M1A 传递系数
∑ M 1i =
S1i S1k
M
= μ1i M
=
M
μ 1i
传递弯矩
k
M
C i1
=
C
1i
M
μ 1i
分配弯矩
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第十二章 渐近法和超静定影响线 第二节 力矩分配法基本运算
注 意：
① 结点集中力偶M按指定方向为正。 ② 分配系数表示近端承担结点外力偶的比率，它等于该
杆近端的转动刚度与交与结点1的各杆转动刚度之和 的比值。 ③ 只有分配弯矩才能向远端传递。 ④ 分配弯矩是杆端转动时产生的近端弯矩，传递弯矩是 杆件近端转动时产生的远端弯矩。
杆端转动时产生的远端弯矩与近端弯矩的比值。
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第十二章 渐近法和超静定影响线 第一节 力矩分配法基本概念
远端支撑 固定 铰支 滑动
θ =1
转动刚度S 4i 3i i θ =1
传递系数C 1/2 0 －1
在确定杆端转动刚 度时：近端看位移 (是否为单位位移而 不看支承)；远端看 支承(远端支承不 同，转动刚度不 同)。
=
1 r11
(− R1P )
=
1S (− R1P )
力矩分配法采 用了与位移法相同
∑ M 1 A
=
M
F 1A
+
S1 A S
1
(− R1P )
=
M
F 1A
+ μ1A (− R1P )
的基本结构，即固 定刚结点，在固定 状态下刚臂上产生
∑ M1B
=பைடு நூலகம்
M
F 1B
+
1
S1B S
(− R1P )
=
M1FB
+
μ1B (− R1P )
M
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第十二章 渐近法和超静定影响线
例题：用力矩分配法求图示结构弯矩图(利用传递系数的概念) 。
100 M = 100 kN ⋅ m
A
EI
B
15
EI C
8m
6m
M
μ
0.7 0.3
M F 100
50 0 0
分 配
传0
递
− 35 −15 15
M 100
15 −15 15
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第十二章 渐近法和超静定影响线 第三节 多结点力矩分配法
注2、杆端最终弯矩
∑ ∑ M = M F + M μ + M C
注3、由于内力只与各杆相 对刚度有关，故可用 相对值计算（EI 可取 任意值）
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第十二章 渐近法和超静定影响线
练习：用力矩分配法求图示结构弯矩图(利用传递系数的概念) 。
A EI
B
8m
EI C
6m
10 kN
30kN.m
60kN.m
结构力学
第十二章 渐近法和超静定影响线
学习内容
转动刚度、分配系数、传递系数的概念及确定。 力矩分配法的概念，用力矩分配法计算连续梁和 无侧移刚架。 无剪力分配法的概念及计算。 超静定结构影响线及超静定结构的内力包络图。 利用对称性简化力矩分配法计算。
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第十二章 渐近法和超静定影响线
学习目的和要求
A EI
10m
B EI
C
10m
传递力矩
M AB = 100 + 28.6 = 128.6
ql 2/12
ql 2/12 RBP = −100 kN⋅m
q = 12kN / m
RBP
M BA = −100 + 57.1 = −42.9 A
B
C
M BC = 0 + 42.9 = 42.9 MCB = 0
A
θ =1
4i
2i 3i
i
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第十二章 渐近法和超静定影响线 第二节 力矩分配法基本运算
力矩分配法的基本运算指的是单 结点结构的力矩分配法计算。
1、单结点结构在结点集中力偶作用下的计算
如图1所示结构，结点集中力偶M作用下，使结点转 动，从而带动各杆端转动，杆端转动产生的近端弯 称为分配弯矩，产生远端弯矩称为传递弯矩。
q ql2/8
B
1 ql2/4 C
2ql
ql2/4 A
3ql2/64 ql2/64
B
1 ql2/16 C
11ql2/32 A M
结点 B 杆端 B1
μ
MF 0
分配 传递
0
M0
A
1
C
A1 1A 1B 1C C1
1/2 3/8 1/8
1/4 -1/4 -1/8 0 0
3 3 9 3 −3 32 16 64 64 64
可避免解联立方程
不需要求出角位移
计算程式简单机械 4 / 57
第十二章 渐近法和超静定影响线 第一节 力矩分配法基本概念
1、力矩分配法概述
2、正负号规定
在力矩分配法中对杆端转角、杆端弯矩、固端弯矩的 正负号规定：任确定一个正号方向。作用在结点上的 外力偶荷载，约束力矩，也假定按统一的正号方向.
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1M
B
Z1 C
A
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第十二章 渐近法和超静定影响线 第二节 力矩分配法基本运算
1M
∑ m1 = 0
转动刚度
B
Z1 C
M1A + M1B + M1C = M
A
M1i = S1i Z1 i = A, B, C
∑ M 1 M1C ( S1k )Z1 = M
k
M1B
分配系数
∑ Z1 =
1 M
S1k
l/2 l/2
杆端 B1 A1 1A 1B 1C C1
μ
1/2 3/8 1/8
MF
分配
S1B = 3i S1A = 4i S1C = i 传递
μ1A
=
4i
4i + 3i
+
i
=
1/ 2
M
μ1B
=
4i
3i + 3i
+
i
=
3/8
μ1C
=
4i
+
i 3i
+
i
=
1/8
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第十二章 渐近法和超静定影响线
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第十二章 渐近法和超静定影响线
例题：用力矩分配法求图示结构弯矩图。
固定状态:
M
F AB
=
1 12
ql 2
= 100
kN ⋅ m
M
F BA
=
−100
kN ⋅ m
M
F BC
=
M
F CB
=
0
放松状态:
不平衡力矩变号，再乘以 分配系数即为分配弯矩
M
μ BA
=
μBA (−RBP )
=
57.1
M
第十二章 渐近法和超静定影响线 第一节 力矩分配法基本概念
3、转动刚度 S
转动刚度S 表示杆端对转动的抵抗能力。 在数值上 等于仅使杆端发生单位转动时需在杆端施加的力矩。 杆件近端的转动刚度与杆件的线刚度 i（材料的性 质、横截面 的形状和尺寸、杆长）及远端支承有 关，而与近端支承无关。
4、传递系数 C
μ BC
=
μBC (−RBP )
=
42.9
q = 12kN/m
A EI
10m
B EI
C
10m
ql 2/12
ql 2/12 RBP = −100 kN⋅m
q = 12kN/m
RBP
A
B
C
RB' P = − RBP
A
B
C
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第十二章 渐近法和超静定影响线
最终状态:
q = 12kN / m
杆端弯矩＝固端 弯矩+分配弯矩+
目的：力矩分配法是计算连续梁和无侧移刚架的一种 实用计算方法。它不需要建立和求解基本方程，直接得到 杆端弯矩。运算简单，方法机械，便于掌握。
要求：熟练掌握力矩分配法的基本概念与连续梁和无 侧移刚架的计算。掌握无剪力分配法的计算，了解用力矩 分配法计算有侧移刚架。
了解超静结构影响线的绘制和内力包络图的绘制。
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第十二章 渐近法和超静定影响线 第三节 多结点力矩分配法
经过一轮固定与放松，变形曲线与实际变形曲线已比较 接近，但还不是实际的变形，因为刚臂上还残存约束力矩，需 要再次进行一轮固定、放松过程。由于每次放松都是将一个约
束力矩分解（因为μ <1，C <1），所以几个轮回约束力矩就会
小到可以忽略了。通过逐渐逼近的方式直接求出杆端力矩。
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第十二章 渐近法和超静定影响线 第二节 力矩分配法基本运算
q R1P
q
B
1
C
2ql
l
Al
l/2 l/2
B
1
2ql
C
∑ A R1P = M1Fi 1
R11= r11Z1
B
1
C
∑ A k11 = S1i 141 / 57
第十二章 渐近法和超静定影响线 第二节 力矩分配法基本运算
∑ Z1
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第十二章 渐近法和超静定影响线 第一节 力矩分配法基本概念
在计算高次超静定刚架时，位移法以结点位移为基 本未知量，因未知量少，所以比力法更具优越性，但计 算中仍要建立和解算线性方程组，而且要先求出结点位 移后才能计算杆件内力。力矩分配法正是为了减少这些 计算麻烦而提出的一种简便的近似手算方法。它是基于 位移法但采取逐步逼近精确解的近似方法。
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第十二章 渐近法和超静定影响线 第二节 力矩分配法基本运算
2、单结点结构在跨间荷载作用下的计算
q
变形过程想象成两个阶段进行
B
1
C
固定+放松
A
q
R1P
• 固端弯矩引 B
1
起不平衡力
固定
C
矩R1P
A
• 消除不平衡力矩
B
最终结果是两个过程的叠加
(− R1P )
1
C
放松
A
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第十二章 渐近法和超静定影响线 第二节 力矩分配法基本运算
11 − 1
1
3 −3
32
16 64 64
64
所得结果是 近似解吗?
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第十二章 渐近法和超静定影响线
练习：用力矩分配法求图示结构弯矩图。
40 kN
A EI
4m
μ
MF
分 配 传 递
M
B
4m
M = 10 kN ⋅ m
2EI C
6m
RBP = −40 −10 = −50 kN ⋅ m
注1、力偶不引起固端弯矩
用力矩分配法计算多结点的连续梁和无侧移刚架， 只需人为制造只有一个分配单元的情形。 方法：先固定，然后逐个放松。应用单结点的基
本运算，就可逐步渐近求出杆端弯矩。
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第十二章 渐近法和超静定影响线 第三节 多结点力矩分配法
FP
1
2
FP
1
2
FP
1
2
FP
1
2
FP
1
2
固定两点
放松1点
新位定1 点，放2点 新位定2 点，放1点
⑵ 为了取消结点1 的刚臂，放松结点1（结点2 仍锁住）， 在结点1 加上负的不平衡力矩，此时梁只有一个角位 移，并且受结点集中力偶作用，可按基本运算进行力矩 分配和传递。结点1 处于暂时的平衡。此时2 点的不平衡 力矩是原不平衡力矩加上1 点传递来的传递力矩。
约束力矩，为恢复 到原状态，将刚臂 放松（加反方向约
1
∑ M1C
=
M
F 1C
+
S1C S
(− R1P )
=
M
F 1C
+ μ1C (− R1P )
束力矩），求出放 松状态产生的杆端
1
力矩，将固定状态
表明结点1各杆端弯矩由两部分 组成（固端力矩、转动力矩）
与放松状态的杆端 力矩叠加即得结构 的实际杆端力矩.
RB' P = − RBP
B
C
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第十二章 渐近法和超静定影响线
通常采用列 表方式计算
q = 12kN / m
A EI
10m
B EI
C
10m
μ
0.571 0.429
M F 100 −100 0
0
分 配
28.6
57.1 42.9
0
传
递
M 128.6 − 42.9 42.9
0
128.6
42.9
处理的基本方法是将变形想象成两个过程：
1、固定结点，加载，产生固端力；
2、释放结点，产生分配力矩和传递力矩。
两个过程产生的杆端力矩相加得最终杆端力矩。
∑ μ1i =
S1i S1k
k
弯矩分配系数
i = A, B,C
性质：同一结点的各杆端分配系数之和等于1
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第十二章 渐近法和超静定影响线 第二节 力矩分配法基本运算
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第十二章 渐近法和超静定影响线
第三节 多结点力矩分配法
计算过程详述
⑴ 加入刚臂，锁住刚结点，将体系化成一组单跨超静定梁 （基本体系），计算各杆固端弯矩 MF，由结点力矩平 衡求刚臂内的约束力矩（称为结点的不平衡力矩），基 本体系与原结构的差别是：在受力上，结点1、2上多了 不平衡力矩；在变形上结点1、2不能转动.
计算的指导思想由两个步骤说明：
固定状态的计算（与单点固定一样）。 即刚臂→荷载→固端力矩→约束力矩；
放松状态的计算（与单点放松不同）。 力矩的分配和传递是在远端约束已知的情况下进行 的，因此，分配单元的相邻结点不应同时放松。每次 只能放松一个结点，同时相邻结点保持固定，所以， 整个放松过程是轮流放松每一个结点来逐步完成的。
力矩分配法与位移法的区别：
用位移法是由刚臂平衡
k11Z1 + R1P = 0
求出Z1，通过叠加求内力
M = MP + Z1M1
力矩分配法以位移法为基础，也是从分析结点位移入
手，采用相同的基本结构，但不建立位移方程，不求结
点位移，而直接计算杆端力。
力矩分配法在位移法基础上提出两点改进措施：
⑴ 以杆端力矩为基本未知量，直接求杆端力矩； ⑵ 以逐次渐近法代替方程的建立和求解。
M
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第十二章 渐近法和超静定影响线
练习：用力矩分配法求图示结构弯矩图。
40 kN
q = 10 kN/m
A EI
4m
μ
MF
分 配 传 递
M
B
4m
EI C
6m
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第十二章 渐近法和超静定影响线
例题：用力矩分配法求图示结构弯矩图(EI=常
数) 。q
结点 B A
1
C
B
1
C
2ql
l
Al