结构力学-渐近法和超静定影响线

M
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第十二章 渐近法和超静定影响线
练习：用力矩分配法求图示结构弯矩图。
40 kN
q = 10 kN/m
A EI
4m
μ
MF
分 配 传 递
M
B
4m
EI C
6m
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第十二章 渐近法和超静定影响线
例题：用力矩分配法求图示结构弯矩图(EI=常
数) 。q
结点 B A
1
C
B
1
C
2ql
l
Al
k
M1A 传递系数
∑ M 1i =
S1i S1k
M
= μ1i M
=
M
μ 1i
传递弯矩
k
M
C i1
=
C
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1i
M
μ 1i
分配弯矩
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第十二章 渐近法和超静定影响线 第二节 力矩分配法基本运算
注 意：
① 结点集中力偶M按指定方向为正。 ② 分配系数表示近端承担结点外力偶的比率，它等于该
杆近端的转动刚度与交与结点1的各杆转动刚度之和 的比值。 ③ 只有分配弯矩才能向远端传递。 ④ 分配弯矩是杆端转动时产生的近端弯矩，传递弯矩是 杆件近端转动时产生的远端弯矩。
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第十二章 渐近法和超静定影响线 第二节 力矩分配法基本运算
2、单结点结构在跨间荷载作用下的计算
q
变形过程想象成两个阶段进行
B
1
C
固定+放松
A
q
R1P
• 固端弯矩引 B
1
起不平衡力
固定
C
矩R1P
A
• 消除不平衡力矩
B
最终结果是两个过程的叠加
(− R1P )
1
C
放松
A
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第十二章 渐近法和超静定影响线 第二节 力矩分配法基本运算
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第十二章 渐近法和超静定影响线 第二节 力矩分配法基本运算
q R1P
q
B
1
C
2ql
l
Al
l/2 l/2
B
1
2ql
C
∑ A R1P = M1Fi 1
R11= r11Z1
B
1
C
∑ A k11 = S1i 141 / 57
第十二章 渐近法和超静定影响线 第二节 力矩分配法基本运算
∑ Z1
注2、杆端最终弯矩
∑ ∑ M = M F + M μ + M C
注3、由于内力只与各杆相 对刚度有关，故可用 相对值计算（EI 可取 任意值）
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第十二章 渐近法和超静定影响线
练习：用力矩分配法求图示结构弯矩图(利用传递系数的概念) 。
A EI
B
8m
EI C
6m
10 kN
30kN.m
60kN.m
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第十二章 渐近法和超静定影响线 第一节 力矩分配法基本概念
在计算高次超静定刚架时，位移法以结点位移为基 本未知量，因未知量少，所以比力法更具优越性，但计 算中仍要建立和解算线性方程组，而且要先求出结点位 移后才能计算杆件内力。力矩分配法正是为了减少这些 计算麻烦而提出的一种简便的近似手算方法。它是基于 位移法但采取逐步逼近精确解的近似方法。
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第十二章 渐近法和超静定影响线
第三节 多结点力矩分配法
计算过程详述
⑴ 加入刚臂，锁住刚结点，将体系化成一组单跨超静定梁 （基本体系），计算各杆固端弯矩 MF，由结点力矩平 衡求刚臂内的约束力矩（称为结点的不平衡力矩），基 本体系与原结构的差别是：在受力上，结点1、2上多了 不平衡力矩；在变形上结点1、2不能转动.
1M
B
Z1 C
A
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第十二章 渐近法和超静定影响线 第二节 力矩分配法基本运算
1M
∑ m1 = 0
转动刚度
B
Z1 C
M1A + M1B + M1C = M
A
M1i = S1i Z1 i = A, B, C
∑ M 1 M1C ( S1k )Z1 = M
k
M1B
分配系数
∑ Z1 =
1 M
S1k
力矩分配法与位移法的区别：
用位移法是由刚臂平衡
k11Z1 + R1P = 0
求出Z1，通过叠加求内力
M = MP + Z1M1
力矩分配法以位移法为基础，也是从分析结点位移入
手，采用相同的基本结构，但不建立位移方程，不求结
点位移，而直接计算杆端力。
力矩分配法在位移法基础上提出两点改进措施：
⑴ 以杆端力矩为基本未知量，直接求杆端力矩； ⑵ 以逐次渐近法代替方程的建立和求解。
用力矩分配法计算多结点的连续梁和无侧移刚架， 只需人为制造只有一个分配单元的情形。 方法：先固定，然后逐个放松。应用单结点的基
本运算，就可逐步渐近求出杆端弯矩。
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第十二章 渐近法和超静定影响线 第三节 多结点力矩分配法
FP
1
2
FP
1
2
FP
1
2
FP
1
2
FP
1
2
固定两点
放松1点
新位定1 点，放2点 新位定2 点，放1点
A EI
10m
B EI
C
10m
传递力矩
M AB = 100 + 28.6 = 128.6
ql 2/12
ql 2/12 RBP = −100 kN⋅m
q = 12kN / m
RBP
M BA = −100 + 57.1 = −42.9 A
B
C
M BC = 0 + 42.9 = 42.9 MCB = 0
A
l/2 l/2
杆端 B1 A1 1A 1B 1C C1
μ
1/2 3/8 1/8
MF
分配
S1B = 3i S1A = 4i S1C = i 传递
μ1A
=
4i
4i + 3i
+
i
=
1/ 2
M
μ1B
=
4i
3i + 3i
+
i
=
3/8
μ1C
=
4i
+
i 3i
+
i
=
1/8
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第十二章 渐近法和超静定影响线
11 − 1
1
3 −3
32
16 64 64
64
所得结果是 近似解吗?
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第十二章 渐近法和超静定影响线
练习：用力矩分配法求图示结构弯矩图。
40 kN
A EI
4m
μ
MF
分 配 传 递
M
B
4m
M = 10 kN ⋅ m
2EI C
6m
RBP = −40 −10 = −50 kN ⋅ m
注1、力偶不引起固端弯矩
q ql2/8
B
1 ql2/4 C
2ql
ql2/4 A
3ql2/64 ql2/64
B
1 ql2/16 C
11ql2/32 A M
结点 B 杆端 B1
μ
MF 0
分配 传递
0
M0
A
1
C
A1 1A 1B 1C C1
1/2 3/8 1/8
1/4 -1/4 -1/8 0 0
3 3 9 3 −3 32 16 64 64 64
结构力学
第十二章 渐近法和超静定影响线
学习内容
转动刚度、分配系数、传递系数的概念及确定。 力矩分配法的概念，用力矩分配法计算连续梁和 无侧移刚架。 无剪力分配法的概念及计算。 超静定结构影响线及超静定结构的内力包络图。 利用对称性简化力矩分配法计算。
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第十二章 渐近法和超静定影响线
学习目的和要求
杆端转动时产生的远端弯矩与近端弯矩的比值。
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第十二章 渐近法和超静定影响线 第一节 力矩分配法基本概念
远端支撑 固定 铰支 滑动
θ =1
转动刚度S 4i 3i i θ =1
传递系数C 1/2 0 －1
在确定杆端转动刚 度时：近端看位移 (是否为单位位移而 不看支承)；远端看 支承(远端支承不 同，转动刚度不 同)。
M
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第十二章 渐近法和超静定影响线
例题：用力矩分配法求图示结构弯矩图(利用传递系数的概念) 。
100 M = 100 kN ⋅ m
A
EI
B
15
EI C
8m
6m
M
μ
0.7 0.3
M F 100
50 0 0
分 配
传0
递
− 35 −15 15
M 100
15 −15 15
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第十二章 渐近法和超静定影响线 第三节 多结点力矩分配法
RB' P = − RBP
B
C
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第十二章 渐近法和超静定影响线
通常采用列 表方式计算
q = 12kN / m
A EI
10m
B EI
C
10m
μ
0.571 0.429
M F 100 −100 0
0
分 配
28.6
57.1 42.9
0
传
递
M 128.6 − 42.9 42.9