2019届苏教版(理科数学) 数列中的易错题 单元测试

1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －3，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________.
2．(2018·泰州模拟)1＋2＋22＋…＋2n 的和为________．
3．设S n 是公差为d (d ≠0)的无穷等差数列{a n }的前n 项和，给出下列结论： ①若d <0，则数列{S n }有最大项；
②若数列{S n }有最大项，则d <0；
③若数列{S n }是递增数列，则对任意n ∈N *，均有S n >0；
④若对任意n ∈N *，均有S n >0，则数列{S n }是递增数列．
其中错误的是________．(填序号)
4．已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，则a 2－a 1b 2
的值为________．
5．已知函数y ＝f (x )，x ∈R ，数列{a n }的通项公式是a n ＝f (n )，n ∈N *，那么“函数y ＝f (x )在
[1，＋∞)上递增”是“数列
{a n }是递增数列”的____________条件．
6．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝r ·a n ＋r (n ∈N *，r ∈R 且r ≠0)，则“r ＝1”是“数列{a n }为等差数列”的__________条件．
7．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝log 3n n ＋1
(n ∈N *)，则使S n <－4成立的最小自然数n 为________．
8．已知数列{a n }满足：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
(3－a )n －3，n ≤7，a n －6，n >7(n ∈N *)，且{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是________________．
9．等差数列{a n }的前m 项的和为30，前2m 项的和为100，则它的前3m 项的和为________．
10．(2018·南通模拟)等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n .若S n T n ＝7n ＋14n ＋27
(n ∈N *)，则a 7b 7
＝________.
11．已知数列{a n }是单调递增数列，且对于任意的n ∈N *，a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是________．
12．已知{a n }是各项均为正数的等比数列，其前n 项积为T n .若a m ＋1·a m －1＝2a m (m ≥2)，T 2m －1＝512，则m 的值为________．
13．已知数列{a n }满足a n ＝1＋2＋3＋…＋n n ，则数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和为________．
14．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，数列{a n a n ＋1}是公比为q (q >0)的等比数列，则数列{a n }的前2n 项和S 2n ＝____________.
答案精析
1.⎩⎪⎨⎪⎧
－1，n ＝1，2n －1，n ≥2 2.2n ＋1－1 3.③ 4.12 5.充分不必要 6．充分不必要 7.81 8.(2,3)
9．210
解析 因为{a n }是等差数列，所以S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列，即2(S 2m －S m )＝S m ＋(S 3m －S 2m )，
所以S 3m ＝3(S 2m －S m )＝3×(100－30)＝210.
10.9279
解析 a 7b 7＝2a 72b 7＝a 1＋a 13b 1＋b 13＝S 13T 13＝7×13＋14×13＋27＝9279
. 11．(－3，＋∞)
解析 因为数列{a n }是单调递增数列，
所以a n ＋1－a n >0 (n ∈N *)恒成立．
又a n ＝n 2＋λn (n ∈N *)，所以(n ＋1)2＋λ(n ＋1)－(n 2＋λn )>0恒成立，即2n ＋1＋λ>0. 所以λ>－(2n ＋1)(n ∈N *)恒成立．
而当n ∈N *时，－(2n ＋1)的最大值为－3(n ＝1时)，
所以λ的取值范围为(－3，＋∞)．
12．5
解析 因为a m ＋1·a m －1＝2a m ＝a 2m (m ≥2)，
所以a m ＝2(m ≥2)，所以T 2m －1＝a 1·a 2·…·a m ·…·a 2m －1＝(a 2m )m －1·a m ＝22m －
1＝512，解得m ＝5. 13.2n n ＋2
解析 a n ＝1＋2＋3＋…＋n n ＝n ＋12
， 则1a n a n ＋1＝4(n ＋1)(n ＋2)＝4⎝
⎛⎭⎫1n ＋1－1n ＋2， 所以所求的前n 项和为
4⎣⎡⎦
⎤⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n ＋1－1n ＋2 ＝4⎝⎛⎭⎫12－1n ＋2＝2n n ＋2.
14.⎩⎪⎨⎪⎧ 3(1－q n )1－q ，q >0且q ≠1，3n ，q ＝1
解析 ∵数列{a n a n ＋1}是公比为q (q >0)的等比数列， ∴a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1
＝q ，即a n ＋2a n ＝q ， 这表明数列{a n }的所有奇数项成等比数列， 所有偶数项成等比数列，且公比都是q ， 又a 1＝1，a 2＝2，
∴当q ≠1时，S 2n ＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 2n －1＋a 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ) ＝a 1(1－q n )1－q ＋a 2(1－q n )1－q ＝3(1－q n )1－q
； 当q ＝1时，S 2n ＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 2n －1＋a 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ) ＝(1＋1＋1＋…＋1n 个
)＋(2＋2＋2＋…＋2n 个)＝3n .
综上所述，S 2n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3(1－q n )1－q ，q >0且q ≠1，3n ，q ＝1.。