专题：圆锥曲线中的最值、范围、定点和定值问题(二合一版)

专题：圆锥曲线中的最值、范围、定点、定值问题题型一：定点问题解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决.例1、已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切．（1）求椭圆C 的方程；（2）设(4,0)P ，M 、N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PN 交椭圆C 于另一点E ，求直线PN 的斜率的取值范围；（3）在（2）的条件下，证明直线ME 与x 轴相交于定点．解析：（1）2214x y +=；（2）0k <<或0k <<（3）(1,0)例2、在直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F ，)2,0F 的距离之和是4，点M 的轨迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ． （1）求轨迹C 的方程；（2）当0AP AQ ⋅=时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点．解析：（1）2214x y +=；（2）k 与b 的关系是：65b k =，且直线l 经过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭点例3、已知椭圆C 中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，短轴长为 （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l ：()0y kx m k =+≠与椭圆交于不同的两点M N 、（M N 、不是椭圆的左、右顶点），且以MN 为直径的圆经过椭圆的右顶点A ．求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标．解析: （1）22143x y +=（2）直线l 的方程为 27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，过定点2(,0)7题型二：定值问题在解析几何中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，解决这类问题时，一种思路是进行一般计算推理求出其结果，选定一个适合该题设的参变量，用题中已知量和参变量表示题中所涉及的定义，方程，几何性质，再用韦达定理，点差法等导出所求定值关系所需要的表达式，并将其代入定值关系式，化简整理求出结果；另一种思路是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊图形等）先确定出定值，这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题，从而找到解决问题的突破口，将该问题涉及的几何形式转化为代数形式或三角形式，证明该式是恒定的.同时有许多定值问题，通过特殊探索法不但能够确定出定值，还可以为我们提供解题的线索. 例1、已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于A 、B 两点，)1,3(-=+与共线.（1）求椭圆的离心率；（2）设M 为椭圆上任意一点，且),(R ∈+=μλμλ，证明22μλ+为定值. 解析：（1）36=e （2）122=+μλ例2、已知，椭圆C 过点A 3(1,)2，两个焦点为（－1，0），（1，0）.（1）求椭圆C 的方程；（2）E,F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值.解析：（1）22143x y += （2）12例3、已知椭圆的中心在原点，焦点F 在y 轴的非负半轴上，点F 到短轴端点的距离是4，椭圆上的点到焦点F 距离的最大值是6.（1）求椭圆的标准方程和离心率e ；（2）若F '为焦点F 关于直线32y =的对称点，动点M 满足MF e MF ||='||，问是否存在一个定点A ，使M 到点A 的距离为定值？若存在，求出点A 的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.解析：（1）椭圆的标准方程为2211612y x +=. 离心率21.42e ==（2）存在一个定点7(0,)3A ，使M 到A 点的距离为定值，其定值为2.3题型三：最值、范围问题例1、设椭圆E ：x a y ba b 222210+=>>（）的左、右焦点分别为F F 12、，如果椭圆上存在点M ，使∠=︒F PF 1290（1）求离心率e 的取值范围;（2）当离心率取最小值是，点N （0,3）到椭圆上的点的最远距离为 ①求椭圆E 的方程;②设斜率为(0)k k ≠的直线与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，Q 为AB 的中点，问A 、B 两点能否关于过点(0,3P -、Q 的直线对称. 解析：（1）1e ∈） 解法1：利用椭圆自身的范围求解 解法2：利用根的判别式求解 解法3：利用三角函数有界性求解 解法4：利用焦半径公式求解 解法5：利用基本不等式求解 解法6：利用平面几何知识求解解法7：利用椭圆中的焦点三角形求解 解法8：利用椭圆中的焦点三角形面积公式（2）①2213216x y +=②((0,22-⋃例2、设椭圆：x a y ba b 222210+=>>（）的左顶点为A 、上顶点为D ，点P 是线段AD 上任一点，左、右焦点分别为F F 12、，且12PF PF 的最大值为1，最小值为115- （1）求椭圆方程;（2）设椭圆右顶点为B ，点S 是椭圆上位于x 轴上方的一点，直线AS 、BS 与直线34:15l x =分别交于M 、N 两点，求|MN|的最小值.解析：（1）2214x y +=（2）1615例3、已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b+=+（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a b a b +（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b a b +.专题：椭圆中的最值、范围、定点、定值问题题型一：定点问题解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。

例1、已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切．⑴求椭圆C 的方程；⑵设(4,0)P ，M 、N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PN 交椭圆C 于另一点E ，求直线PN 的斜率的取值范围；⑶在⑵的条件下，证明直线ME 与x 轴相交于定点．解析：⑴由题意知c e a ==，所以22222234c a b e a a -===，即224a b=，又因为1b ==，所以224,1a b ==，故椭圆C 的方程为C ：2214x y +=．⑵由题意知直线PN 的斜率存在，设直线PN 的方程为(4)y k x =- ①联立22(4)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得：2222(41)324(161)0k x k x k --+-=， 由2222(32)4(41)(644)0k k k ∆=-+->得21210k -<， 又0k =不合题意，所以直线PN的斜率的取值范围是0k <<或0k <<． ⑶设点1122(,),(,)N x y E x y ，则11(,)M x y -，直线ME 的方程为212221()y y y y x x x x +-=--， 令0y =，得221221()y x x x x y y -=-+，将1122(4),(4)y k x y k x =-=-代入整理，得12121224()8x x x x x x x -+=+-． ②由得①2212122232644,4141k k x x x x k k -+==++代入②整理，得1x =，所以直线ME 与x 轴相交于定点(1,0)．例2、在直角坐标系xOy 中，点M到点()1,0F，)2,0F 的距离之和是4，点M 的轨迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ． ⑴求轨迹C 的方程；⑵当0AP AQ ⋅=时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点． 解析：⑴∵点M到(),0，),0的距离之和是4，∴M 的轨迹C 是长轴为4，焦点在x轴上焦中为2214x y +=．⑵将y kx b =+，代入曲线C的方程，整理得22(14)40k x +++= ，因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ，所以222222644(14)(44)16(41)0k b k b k b ∆=-+-=-+> ①设()11,P x y ，()22,Q x y，则12x x +=，122414x x k =+ ② 且2212121212()()()()y y kx b kx b k x x kb x x b ⋅=++=+++，显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点()2,0A -，所以()112,AP x y =+ ，()222,AQ x y =+ ．由0AP AQ ⋅=，得1212(2)(2)0x x y y +++=． 将②、③代入上式，整理得22121650k kb b -+=．所以(2)(65)0k b k b -⋅-=，即2b k =或65b k =．经检验，都符合条件①，当2b k =时，直线l 的方程为2y kx k =+．显然，此时直线l 经过定点()2,0-点．即直线l 经过点A ，与题意不符．当65b k =时，直线l 的方程为6556y kx k k x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．显然，此时直线l 经过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭点，且不过点A ．综上，k 与b 的关系是：65b k =，且直线l 经过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭点． 例3、已知椭圆C 中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，短轴长为 （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线l ：()0y kx m k =+≠与椭圆交于不同的两点M N 、（M N 、不是椭圆的左、右顶点），且以MN 为直径的圆经过椭圆的右顶点A ．求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标． 解析: （Ⅰ）设椭圆的长半轴为a ，短半轴长为b ，半焦距为c ，则22222,2,c b a b c =⎧⎪=⎨⎪=+⎩解得2,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ ∴ 椭圆C 的标准方程为 22143x y +=． …… 4分（Ⅱ）由方程组22143x y y kx m ⎧⎪+=⎨⎪=+⎩ 消去y ，得()2223484120k x kmx m +++-=． …… 6分由题意△()()()22284344120km km=-+->，整理得：22340k m +-> ① ………7分 设()()1122,,M x y N x y 、，则122834km x x k +=-+， 212241234m x x k-=+ ． ……… 8分 由已知，AM AN ⊥， 且椭圆的右顶点为A (2,0)，∴ ()()1212220x x y y --+=． …… 10分即 ()()()2212121240k x x km x x m ++-+++=，也即 ()()22222412812403434m kmk km m k k--+⋅+-⋅++=++， 整理得2271640m mk k ++=．解得2m k =- 或 27km =-，均满足① ……… 11分当2m k =-时，直线l 的方程为 2y kx k =-，过定点(2,0)，不符合题意舍去；当27k m =-时，直线l 的方程为 27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，过定点2(,0)7，故直线l 过定点，且定点的坐标为2(,0)7． ………… 13分题型二：定值问题在解析几何中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，解决这类问题时，一种思路是进行一般计算推理求出其结果，选定一个适合该题设的参变量，用题中已知量和参变量表示题中所涉及的定义，方程，几何性质，再用韦达定理，点差法等导出所求定值关系所需要的表达式，并将其代入定值关系式，化简整理求出结果；另一种思路是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊图形等）先确定出定值，这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题，从而找到解决问题的突破口，将该问题涉及的几何形式转化为代数形式或三角形式，证明该式是恒定的。