圆的面积(组合图形外方内圆外圆内方)
外方内圆和外圆内方知识点
外方内圆和外圆内方引言圆是几何学中的一种基本图形，具有许多有趣的性质和应用。
在圆的研究中，外方内圆和外圆内方是两个重要的概念。
它们分别描述了一个正方形包含一个内切圆和一个圆包含一个内接正方形的情况。
这两个概念在几何学和工程学中都有广泛的应用。
本文将对外方内圆和外圆内方进行全面、详细和深入的探讨。
外方内圆外方内圆是指一个正方形内切一个圆。
我们先来探讨一下外方内圆的一些基本性质。
性质1：半径比对于一个正方形和内切圆，它们之间的半径有一个固定的比例关系。
设正方形的边长为L，内切圆的半径为r，则有：L = 2r。
这个比例关系对于所有外方内圆都成立。
性质2：面积比正方形和内切圆之间的面积也有一个固定的比例关系。
设正方形的面积为A，内切圆的面积为B，则有：A = 4B。
换句话说，外方内圆所占的比例恒定为4∶π。
性质3：圆心位置内切圆的圆心与正方形的中心重合。
这是因为正方形的对角线恰好通过内切圆的圆心，而对角线的交点即为正方形的中心。
性质4：角度关系正方形的边和内切圆的切线之间存在特定的角度关系。
对于任意一条正方形的边和与之相切的圆上一点，这两者之间的夹角恰好为45°。
外圆内方外圆内方是指一个圆内接一个正方形。
接下来我们将讨论一些外圆内方的性质。
性质1：边长比对于一个圆和内接正方形，它们之间的边长也有一个固定的比例关系。
设圆的直径为D，正方形的边长为L，则有：D = √2L。
这个比例关系对于所有外圆内方都成立。
性质2：面积比圆和内接正方形之间的面积也有一个固定的比例关系。
设圆的面积为A，正方形的面积为B，则有：A = πB。
换句话说，外圆内方所占的比例恒定为π∶2。
性质3：圆心位置内接正方形的中心和圆心是同一个点。
这是因为正方形的对角线恰好通过圆心，而对角线的交点即为正方形的中心。
性质4：角度关系正方形的对角线和与之相切的圆弧之间存在特定的角度关系。
对于任意一条正方形的对角线和与之相切的圆上一点，这两者之间的夹角恰好为90°。
外方内圆及外圆内方面积的计算教案
外方内圆及外圆内方面积的计算教案一、教学目标1. 让学生理解并掌握外方内圆及外圆内方的概念。
2. 让学生学会计算外方内圆及外圆内方的面积。
3. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 外方内圆的面积计算公式：外方内圆的面积等于外正方形的面积减去内圆的面积。
2. 外圆内方的面积计算公式：外圆内方的面积等于外圆的面积减去内正方形的面积。
三、教学重点与难点1. 教学重点：让学生掌握外方内圆及外圆内方的面积计算公式。
2. 教学难点：如何引导学生理解和运用面积计算公式解决实际问题。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究外方内圆及外圆内方的面积计算方法。
2. 利用几何图形模型，直观展示外方内圆及外圆内方的面积计算过程。
3. 通过实际例子，让学生学会将数学知识应用于解决实际问题。
五、教学步骤1. 导入新课：通过展示实物模型，引导学生观察外方内圆及外圆内方的特征。
2. 讲解概念：讲解外方内圆及外圆内方的定义，让学生明确其含义。
3. 面积计算公式的推导：引导学生通过实际操作，推导出外方内圆及外圆内方的面积计算公式。
4. 例题讲解：讲解几个典型例题，让学生学会运用面积计算公式解决问题。
5. 巩固练习：布置一些练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
7. 课后作业：布置一些课后作业，让学生进一步巩固所学知识。
六、教学评估1. 课堂提问：通过提问了解学生对概念的理解和计算公式的掌握情况。
2. 练习题完成情况：检查学生练习题的完成情况，分析其解题思路和错误原因。
3. 课后作业：评估学生课后作业的完成质量，了解其对课堂所学知识的掌握程度。
七、教学反思1. 针对本节课的教学，反思教学方法是否恰当，学生学习效果是否良好。
2. 思考如何改进教学方法，以便更好地引导学生理解和掌握外方内圆及外圆内方的面积计算。
3. 考虑如何在教学中更好地培养学生的实际问题解决能力。
八、拓展与延伸1. 引导学生思考：除了外方内圆和外圆内方，还有其他类似的图形吗？它们的面积如何计算？2. 探讨实际生活中的应用：让学生举例说明外方内圆及外圆内方在实际生活中的应用，如建筑设计、电路板设计等。
圆的组合图形的面积
假设有一个半径为5cm的圆 和一个底边长为8cm、高为 6cm的三角形，相交部分面
积为18.84cm^2。
05 圆的组合图形面积计算的 扩展应用
Байду номын сангаас
在几何图形设计中的应用
图案设计
圆的组合图形可以用于各种图案 设计，如地板、墙纸、纺织品等，
为设计提供丰富的视觉效果和创 意灵感。
建筑设计
在建筑设计中，圆的组合图形可以 用于外观设计、室内装饰和景观规 划，增加建筑的艺术感和美感。
微积分是通过微积分学中的定 积分概念，将不规则图形的面 积转化为求曲线下面积的问题 进行求解。
03 圆的组合图形面积计算
圆与圆的重叠
总结词
计算重叠部分的面积
详细描述
当两个或多个圆重叠时，需要分别计算各个圆的面积，并从总面积中减去重叠 部分的面积。重叠部分的面积可以通过计算重叠部分的弧长和半径来得出。
04 圆的组合图形面积计算实 例
实例一：圆与圆的重叠面积计算
总结词
计算重叠部分的面积
详细描述
当两个圆部分重叠时，需要计算重叠部分的面积。可以通 过计算两个圆的面积，然后减去两个圆不相交部分的面积 来实现。
公式
重叠部分的面积 = 两个圆的面积 - 不相交部分的面积
示例
假设有两个半径分别为3cm和5cm的圆，重叠部分面积为 12.56cm^2。
实例二：圆与矩形的组合面积计算
计算圆与矩形相交部分的面积
输入 标题
详细描述
当圆与矩形相交时，需要计算相交部分的面积。可以 通过计算矩形和圆的面积，然后减去矩形与圆不相交 部分的面积来实现。
总结词
公式
假设有一个半径为4cm的圆和一个长为8cm、宽为 6cm的矩形，相交部分面积为25.12cm^2。
人教版六年级上册第五单元《圆的面积——外圆内方和外方内圆》教案
举例：引导学生分析外圆内方和外方内圆的面积计算步骤，明确先求哪个图形的面积，再进行相应的运算。
（3）解决实际问题的应用：将所学知识应用于解决生活中的实际问题，是学生需要突破的难点。
五、教学反思
在今天的教学过程中，我发现学生们对外圆内方和外方内圆的概念掌握得还不错，但在实际运用面积公式进行计算时，部分学生还是显得有些吃力。这让我意识到，在今后的教学中，我需要更加关注学生对公式运用的熟练程度。
在导入新课环节，通过提问生活中的实例，学生们能够很快地进入学习状态，这表明实例导入法对于激发学生的学习兴趣是相当有效的。但在新课讲授过程中，我发现有些学生对理论知识的接受程度并不高，可能是我讲授的方式不够生动形象，也有可能是学生对这部分内容的理解还不够深入。
举例：通过画图、剪裁、拼接等实际操作，让学生直观地感受外圆内方和外方内圆的面积计算方法。
2.教学难点
（1）空间观念的建立：对于六年级学生来说，空间观念正在逐步形成，如何让学生在脑海中构建出外圆内方和外方内圆的图形，是本节课的一个难点。
举例：利用教具、模型或多媒体展示，帮助学生建立空间观念，更好地理解图形的面积计算。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标旨在培养学生的以下能力：1.空间观念与几何直观：通过外圆内方和外方内圆的学习，提高学生对图形面积的认识，增强空间观念和几何直观能力；2.逻辑思维与问题解决：培养学生运用圆的面积公式进行推理和计算，解决实际问题的能力，提高逻辑思维水平；3.数学抽象与模型构建：使学生能够从具体实例中抽象出数学模型，构建外圆内方和外方内圆的面积计算方法，提升数学抽象和模型构建能力。通过本节课的学习，让学生在实际问题中体会数学的价值，培养数学素养。
小学数学六年级《圆的面积—外方内圆外圆内方》教学设计11
外方内圆与外圆内方教学设计教学内容教材第69页例3教学目标知识与技能1、让学生结合具体情境认识组合图形，掌握“外方内圆”与“外圆内方”图形的面积计算方法。
2、通过教师引导，小组合作，培养学生独立思考，合作探究的学习数学的习惯。
过程与方法1、通过观察，探究，交流等活动培养学生独立思考、灵活运用知识解决问题的能力。
2、进一步发展学生的空间观念和分析问题、解决问题的能力。
情感态度与价值观让学生在解决问题的过程中，进一步体验数学解决问题方法的多样性和灵活性，提高学习数学的兴趣。
教学重点：探究并掌握“外方内圆”与“外圆内方”图形的面积计算方法教学难点：探究并总结出圆内正方形面积的计算方法教学过程一、导入1、展示课前预习成果，通过预习提高本节课的学习效率。
昨天老师布置了一个非常有挑战的预习任务，哪位同学能分享你的预习成果？指名学生汇报。
2、情境导入新课，激发学生兴趣。
前面我们已经学习过正方形和圆，今天我们将要学习正方形和圆的组合图形，外方内圆与外圆内方。
（PPT出示课题，并板书）在我国传统的建筑和艺术品中，就大量应用了这样的图案设计，特别的漂亮，我们一起来欣赏吧！（PPT展示欣赏图片，激发学生对祖国传统建筑艺术的喜爱和学习新知识的兴趣）二、探究新知，解决问题中国人真了不起！现在老师这有一个问题，希望能和了不起的你们一起来解决，好吗？出示例题：上图中的两个圆半径都是1m，你能求出正方形和圆之间部分的面积吗？为了方便探究，老师把这两个图案用简单的几何图形表示出来。
提出疑问：正方形和圆之间的部分指的是哪？哪位同学上来把它指出来？真棒！和老师想的一样，我用阴影部分表示出来1、阅读与理解老师：从图中你知道哪些数学信息？指名学生作答：板书：已知：r=1m老师：要求的是什么？指名学生作答：板书：要求：s阴影2、分析与解答老师：根据图中的信息，请同学们独立思考，拿出老师为你们准备好的学习单。
完成活动1。
教师巡视并个别指导学生独自完成。
圆的面积公式大全
圆的面积公式大全1. 圆的面积是什么？圆是一个几何形状，由圆心和半径组成。
圆的面积是指圆内部的所有点所构成的区域的大小。
在数学上，圆的面积用一个数值来表示。
2. 圆的面积公式计算圆的面积需要使用一个特定的公式，这个公式基于圆的半径(r)。
2.1. 圆的面积公式（使用半径）圆的面积公式可以用以下方式表示：圆的面积公式圆的面积公式其中，A表示圆的面积，r表示圆的半径。
2.2. 圆的面积公式（使用直径）如果我们只知道圆的直径（d），想要计算圆的面积，我们可以使用以下公式：圆的面积公式（使用直径）圆的面积公式（使用直径）其中，d表示圆的直径。
3. 示例让我们通过几个示例来理解如何使用圆的面积公式：3.1. 示例1假设一个圆的半径为5 cm，我们可以使用圆的面积公式来计算其面积：r = 5 cmA = π * r^2= 3.14159 * 5^2= 3.14159 * 25= 78.53975 cm^2因此，该圆的面积为78.53975平方厘米（cm²）。
3.2. 示例2如果我们只知道圆的直径而不知道半径，我们需要将直径除以2来得到半径，然后使用圆的面积公式计算面积。
假设一个圆的直径为10 cm：d = 10 cmr = d / 2 = 10 / 2 = 5 cmA = π * r^2= 3.14159 * 5^2= 3.14159 * 25= 78.53975 cm^2这个例子中，无论是使用直径还是半径，计算出来的结果都是一样的，都是78.53975平方厘米（cm²）。
4. 问题与答案4.1. 如何使用圆的面积公式？要使用圆的面积公式，首先需要知道圆的半径或直径。
如果只知道直径，需要将直径除以2来得到半径。
然后，将半径代入公式中计算面积。
4.2. 圆的面积的单位是什么？圆的面积的单位是平方单位（如平方厘米、平方米等）。
公式中的半径单位和面积单位应保持一致。
5. 总结圆的面积公式是一个基本的数学公式，用于计算圆的面积。
小学数学六年级《圆的面积—外方内圆外圆内方》教学设计8
九年义务教育人教版六年级数学上册第五单元生活中的圆——外方内圆教学设计单元教材简析一、单元教材内容说明:本单元主要内容有：圆的认识、圆的周长、圆的面积和扇形。
教材是在学生掌握了直线图形的周长和面积计算，并且对圆已有初步认识的基础上进行教学的。
从学习直线图形到学习曲线图形，不论是内容本身，还是研究问题的方法，都有所变化，教材通过对圆的研究，使学生初步认识研究曲线图形的基本方法，同时，也渗透了曲线图形与直线图形的内在联系。
教材先安排了圆的认识，通过认识圆心、半径和直径以及半径、直径长度间的关系等，使学生认识圆的基本特征。
在此基础上，使学生掌握用圆规画圆的方法，进一步加深对圆的认识。
教材还联系以前学过的轴对称图形和对称轴，说明圆是轴对称图形，且有无数条对称轴。
直径即对称轴。
圆的周长和面积计算公式的教学，教材在编排上加强了启发性和探索性，注重让学生动手操作，使学生在实践活动中通过交流、思考来探究圆的周长和面积计算方法，逐步导出和掌握计算公式。
对于圆的周长，教材是先让学生通过用线绕一绕，把圆放在直尺上滚一滚等方法来测量，然后再引导学生通过填表格，运用不完全归纳法来探寻周长与直径的比值的规律，从而引出圆周率的概念，利用圆周率知识的学习，知道祖冲之，渗透爱国主义教育。
编排圆的面积时，教材启发学生寻找解决问题的思路和方法，回忆以前用过的转化方法，从而把圆的面积转化为熟悉的直线图形的面积来计算。
二、三、学情分析:在之前的学习中，学生已经学习过长方形、正方形等平面图形以及它们的周长、面积计算，也直观的认识过圆。
在此基础上，本单元开始正式学习圆的有关知识，这也是小学阶段的最后一个认识平面图形的单元。
长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等都是直线图形，而圆是曲线图形。
从研究直线图形到研究曲线图形，对学生而言是一种跨越。
因为研究曲线图形的思想、方法与直线图形相比，是有变化和提升的。
因此，通过对圆的研究，学生不仅需要掌握圆的一些基础知识，还不要通过学习，感受“化曲为直”“等积变形”“极限”等数学思想方法，进一步发展数学思维能力和问题解决的能力。
小学数学六年级《圆的面积—外方内圆外圆内方》教学设计23
外方内圆（阴影部分的面积）教学目标：1、认识“外方内圆”图形的特点，会根据要求画出“外方内圆”图形；2、利用圆的面积计算公式解决生活中“外方内圆”的实际问题，培养学生灵活运用知识的能力；3、体验数学与生活的联系，感受平面图形的学习价值。
教学重、难点：会解决“外方内圆”的实际问题。
正确理解图形中圆和正方形之间的关系(在正方形里画一个最大的圆，正方形的边长等于圆的直径)。
教学准备：三角板、圆规等教学工具。
课时安排：1课时教学过程：一、课前三分钟口语训练二、导入课题同学们，在前边的学习中我们已经学了有关圆的知识，现在老师就考考大家，看谁答得又对又快。
圆的面积？圆环的面积？真棒！看来大家都掌握得很好，那么作为奖励现在老师要和大家分享几张漂亮的图片。
1、出示第一张图片，这些图片中你发现了那些平面图形？2、出示第二张图片，观察这三张图片，它们漂亮吗？它们有什么特点？3、出示第三张图片，再观察这张图片有什么特点？4、像这种正方形里边有一个最大的圆的图形我们把他称之为“外方内圆”。
那么，像这种“外方内圆”的设计在我国的建筑上经常能看到，你们见过吗？在哪见的？（电视上、比较古老的房子上……）那么，今天我们就来学习有关“外方内圆”的实际问题的解法。
三、探究新知1、动手画“外方内圆”的图形，观察这个图形它有什么能特点？那么你能不能画一个这样的图形？这种图形它隐含着什么数学问题呢？ ppt 出示例题题目： 上图中圆的半径是1m ，你能求出正方形和圆之间部分的面积吗？2、学生读题目，找出题中的已知条件和问题。
已知条件：正方形里有一个最大的圆，圆的半径是1米。
问题：求阴影部分的面积。
3、小组合作学习，求出正方形和圆之间部分的面积。
4、学生汇报展示5、集体纠正本题是在正方形里画一个最大的圆，求正方形和圆之间部分的面积，通过画图我们知道：阴影部分的面积=正方形的面积—圆的面积。
要求正方形的面积必须知道正方形的边长，正方形的边长知道吗？如何求？因为在正方形里画最大的圆，正方形的边长=圆的直径的长度，所以 正方形边长a=d=2r=2×1=2（m ） 正方形的面积s= a ²= 2²=4(m ²) 而圆的面积s=πr ²=3.14x1²=3.14(m²) 所以正方形和圆之间部分的面积=正方形的面积—圆的面积 =4—3.14=0.86(m ²) 答：正方形和园之间部分的面积是0.86m ²。
小学数学六年级《圆的面积—外方内圆外圆内方》教学设计32
《外方内圆外圆内方》教学设计【教学目标】1、掌握外圆内方，内方外圆的面积计算方法，并能准确进行计算。
2、通过学生独立思考与合作交流，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力。
3、结合古代钱币，渗透中国传统文化“方圆”文化以及“取像于钱，外圆内方”的价值观教育。
【重、难点】重点：掌握计算外圆内方、外方内圆这类图形的面积计算方法难点：外方内圆的计算方法【教学过程】一、乐导有人说“世界上因为有了圆，万物才显得富有生机”。
（出示圆的图片的两张图片水滴和摩天轮）。
上节课我们学习了圆在生活中的一种应用：圆环（出示圆环的相关图片）。
今天我们继续来学习圆在生活中的另一种经常应用模式（出示有关方圆的图片）：外方内圆，外圆内方。
二、乐议1、圆的半径为1cm,如何计算下面正方形和圆之间部分的面积？明确问题：r=1m所求问题：正方形与圆之间部分的面积？（让学生在黑板上用粉笔突出所求面积）解答过程：外方内圆：1×2=2（m ） 2×2=4（m ） 3.14×1×1=3.14（2m ） 4-3.14=0.86（2m ）外圆内方：3.14×1×1=3.14（2m ） 1×2÷2×2=2（2m ）3.14-2=1.14（2m ）注：（1）理解清楚外圆内方的辅助线正确做法：通过辅助线建立起正方形与圆之间的联系（2）每一步求解过程展示要求有理有据。
（3）允许学生有不同的方法、思路展示。
2、如果两个圆的半径都是r ，结果是怎样？外方内圆：22286.014.3r 2r r =-）（外圆内方：2214.12)221(14.3r r r r =⨯⨯⨯-注：涉及字母的比较难推理，要求学生学会正确推理3、大正方形、圆、小正方形这三者之间的面积关系是怎么样的？ 大正方形：圆：小正方形=2：π：1三、乐练右图是一面我国唐代外圆内方的铜镜。
铜镜的直径是24cm 。
义务教育教科书小学六年级数学上册圆的面积公式的应用-“外方内圆”和“外圆内方”
谢谢同学们的努力！
再 见
探究新知
正方形的面积 — 圆的面积 2×2＝4（m² ） 3.14×1² ＝3.14（m² ） 4－3.14＝0.86（m² ）
圆的面积 — 正方形的面积
（ 1 ×2×1）×2＝2（m² ） 2
3.14－2＝1.14（m² ）
左图求的是正方形比圆多 的面积， 右图求的是……
探究新知
如果两个圆的半径都是r， 那么我们解答得对不对呢？ 结果又是怎样的？ 有什么方法验证吗？
左图：（2r）² －3.14×r² ＝0.86r² 1 右图：3.14×r² － （ 2 × 2r× r） × 2 ＝1.14r²
当r＝1 m时，和前面的结果完全一 致。
答：左图中正方形与圆之间的面积是0.86 m² ，右图中 圆与正方形之间的面积是1.14 m² 。
规律总结 正方形和圆之间部分的面积
2. 一个圆形花坛的直径是20 m ，它的面积是多少m2？ 2 1 1 S= π (d ÷ 2 ) r= d = ×20=10（m） 2 2 =3.14×（20÷2）2 S=πr2=3.14×102=314（m2） =314（m2） 综合算式： 已知直径： 分步： 1 1）由直径的一半求半径,即 r= d 2 S=π(d÷2)2 2）再由公式S=πr2求面积。
规律总结外方内圆外方内圆正方形和圆之间部分的面积086r2外圆内方外圆内方114r2知识应用右图是一面我国唐代外圆内方的铜镜
1 2 1. 一个圆形茶几面的半径是3dm ，它的面积是多少 平方分米？ 3.14×3² ＝28.26（dm² ）
圆的面积公式： 用S表示圆的面积 已知半径： S=πr2
S=πr2
对角线长为4cm，这个圆的半径是（2 ）cm。
圆的面积咋算
圆的面积咋算
圆的面积计算公式是S=πr²或S=π*(d/2)²。
圆周率：π(数值为3.1415926至3.1415927之间……无限不循环小数)，通常采用3.14作为π的数值
圆面积：S=πr²；S=π(d/2)²
半圆的面积：S半圆=(πr²；)/2
圆环面积：S大圆-S小圆=π(R²-r²)(R为大圆半径，r为小圆半径)
圆的周长：C=2πr或c=πd
半圆的周长：d+(πd)/2或者d+πr
圆的性质
（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。
圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。
（2）直径所对的圆周角是直角。
90度的圆周角所对的弦是直径。
（3）一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。
外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等。
（4）如果两圆相交，那么连接两圆圆心的线段（直线也可）垂直平分公共弦。
2022年秋季新版人教六年级数学上册 第五单元 圆 第8课时 整理和复习(1)
三、一个圆形桌面，直径是2m。现在在桌面上铺上 桌布，桌面周围均匀下垂20 cm，这块桌布的面积是 多少平方米？
20cm=0.2m 桌布半径：（2+0.2×2）÷2=1.2（m） 3.14×1.22=4.5216（m2） 答：这块桌布的面积是4.5216平方米。
巩固练习
一、想一想，填一填。 3.一个时钟的分针长6cm，当分针正好转一圈时， 它扫过的面积是(113.04 )cm2；经过一昼夜，分针的 尖端走了( 904.32 )cm。
二、求各图中阴影部分的面积。 4× 8=32（cm2）
3.14× （8÷ 2）2-8× （8÷ 2）÷ 2× 2 =18.24（cm2）
05 圆 整理和复习（1）
R·六年级上册
谈话引入，初步回顾
本单元你学习了圆的哪些知识？
自主整理，构建知识网络
圆的认识
圆心 半径 直径
圆的周长 ——πd或2πr圆 Nhomakorabea圆的面积 ——πr2
圆环的面积 ——πR2－πr2或π（R2－r2）
组合图形的面积 扇形
外圆内方 外方内圆
r d
O
S = Cr = πr 2 2
2. 一个圆形餐桌桌面的直径是2m。[选自教材P75 第2题] （1）它的面积是多少平方米？
3.14×(2÷2)2＝3.14(m2)
答：它的面积是3.14 m2 。
（2）如果一个人需要0.5m宽的位置就餐，这张餐 桌大约能坐多少人？
3.14×2÷0.5＝12.56≈12(人) 答：大约能坐12人。
S环＝πR2-πr2 S环＝π×(R2-r2)
r
r
d a
S正 =dr
S外方内圆面积差 =S正-S圆 S外圆内方面积差 =S圆-S正
外方内圆和外圆内方知识点
外方内圆和外圆内方知识点外方内圆和外圆内方是数学中的两个几何形状，它们具有一些特殊的性质和应用。
在本文中，我们将详细介绍外方内圆和外圆内方的知识点。
一、外方内圆1. 定义：外方内圆是指一个正方形的四个顶点分别与一个圆相切。
2. 性质：a. 外接圆：外方内圆的四个顶点共同确定了一个圆，称为外接圆。
b. 对角线：正方形的对角线经过外接圆的直径。
c. 角度关系：正方形的对角线与边长之比为√2，即对角线长度为边长乘以√2。
d. 面积关系：正方形的面积等于外接圆面积的两倍。
3. 应用：a. 工程设计：在建筑设计中，外方内圆常用于构造具有稳定性和美观性的结构。
b. 地理测量：测量地球表面时，可以使用正方形和其外接圆来近似表示地球的形状。
二、外圆内方1. 定义：外圆内方是指一个圆与一个正方形相切，且该正方形的四条边都与圆相切。
2. 性质：a. 内切圆：外圆内方的四个顶点共同确定了一个圆，称为内切圆。
b. 对角线：正方形的对角线是内切圆的直径。
c. 角度关系：正方形的对角线与边长之比为√2，即对角线长度为边长乘以√2。
d. 面积关系：正方形的面积等于内切圆面积的两倍。
3. 应用：a. 工程设计：外圆内方常用于设计具有良好流动性和稳定性的物体，如水泵叶轮、风力发电机桨叶等。
b. 制造业：在制造过程中，外圆内方可以用来精确定位和测量工件。
三、外方内圆和外圆内方的区别1. 形状：外方内圆是一个正方形加一个内切圆，而外圆内方是一个正方形加一个外接圆。
2. 圈数：在外方内圆中，正方形围绕着内切圆旋转一周；而在外圆内方中，正方形围绕着外接圆旋转一周。
3. 应用场景：外方内圆常用于建筑和地理测量等领域，而外圆内方常用于工程设计和制造业等领域。
总结：外方内圆和外圆内方是两个几何形状，它们具有一些相似的性质和应用。
外方内圆是一个正方形加一个内切圆，而外圆内方是一个正方形加一个外接圆。
它们在角度关系、面积关系和对角线等方面有一些共同的特点。
小学数学六年级《圆的面积—外方内圆外圆内方》教学设计21
<<圆的面积——解决问题(外方内圆和外圆内方)>>教学设计教学内容：人教版小学数学教材六年级上册第69～70页例3及相关练习。
教学目标：1．结合具体情境认识与圆相关的组合图形的特征，掌握计算此类图形面积的方法，并能准确计算。
2．在解决实际问题的过程中，通过独立思考、合作探究、讨论交流等活动，培养学生分析问题和解决问题的能力。
3．结合例题渗透传统文化的教育，通过体验图形和生活的联系感受数学的价值，提升学习的兴趣。
教学重点：掌握计算组合图形面积的方法，并能准确计算。
在解决具体问题的基础上发现一般的数学规律。
教学难点：分析图形各要素之间的关系。
教学过程：一、创设情景，谈话引入师：咱们荆州是楚文化的发源地，高大的城墙，精美的建筑，沉淀着历史的痕迹、风雨的沧桑。
大家看——（视频播放）亭台楼阁、回廊水榭、檐脊屋角，处处流露着古风古韵。
就连屋内的雕窗都这么精美雅致！（出示教材例3中的雕窗插图）今天，我们就以它们为素材来学习“解决问题”。
（板书：解决问题）二、探究新知，解决问题1．观察操作，发现特征。
师：咱们先来仔细观察，看看两种雕窗的设计有什么联系和区别？师：我们可以将上述特征分别概括地称为外方内圆、外圆内方。
（板书：外方内圆外圆内方）反馈交流，作品展示。
师：大家觉得画得怎么样？嗯，我也觉得有设计师的风范！能把复杂的雕窗抽象成我们学过的几何图形。
我想向同学们请教一下，大家在画外方内圆时怎样确定圆的半径，正方形的边长和圆有什么关系？外圆内方中圆的半径和正方形又有什么关系？师：看来，圆、方之间关系密切啊！了解他们之间的关系，对我们解决问题有什么作用呢？（出示问题：上图中的两个圆半径都是1m，你能求出正方形和圆之间的面积吗？）指名读题，师：“正方形和圆之间部分的面积”指的是那部分？谁能指给大家看看？2、合作探究，分析解答。
师：只告诉你这两个圆的半径都是1米，你能计算出这两部分的面积吗？大家先独立思考，然后小组内互相说一说，最后讨论结论记录在作业纸上。
外方内圆及外圆内方面积的计算教案
外方内圆及外圆内方面积的计算教案一、教学目标1. 让学生理解并掌握外方内圆及外圆内方的概念。
2. 让学生学会计算外方内圆及外圆内方的面积。
3. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 外方内圆的面积计算：外方内圆是指一个正方形内部有一个圆，要求计算这个组合图形的面积。
2. 外圆内方的面积计算：外圆内方是指一个圆内部有一个正方形，要求计算这个组合图形的面积。
三、教学重点与难点1. 教学重点：让学生掌握外方内圆及外圆内方的面积计算方法。
2. 教学难点：如何引导学生理解并推导出面积计算公式。
四、教学方法1. 采用直观演示法，通过实物模型或动画演示，让学生直观地理解外方内圆及外圆内方的概念。
2. 采用引导学生自主探究、合作交流的学习方式，让学生在探究中发现问题、解决问题，培养学生的动手操作能力和思维能力。
3. 采用讲解法，讲解面积计算的原理和公式，让学生理解并掌握计算方法。
五、教学步骤1. 导入新课：通过展示实物模型或动画，引导学生观察外方内圆及外圆内方的特点，激发学生的学习兴趣。
2. 自主探究：让学生分组讨论，尝试计算外方内圆及外圆内方的面积，并总结计算方法。
3. 讲解演示：讲解外方内圆及外圆内方的面积计算原理和公式，让学生跟随讲解过程，理解并掌握计算方法。
4. 练习巩固：设计一些练习题，让学生独立完成，检验学生对面积计算方法的掌握程度。
5. 总结拓展：总结本节课所学内容，引导学生思考如何将所学知识应用到实际问题中。
六、教学评价1. 通过课堂练习和课后作业，评价学生对面积计算方法的掌握程度。
2. 观察学生在解决问题时的思维过程，评价学生的逻辑思维和解决问题的能力。
3. 结合学生的课堂表现和作业完成情况，对学生的学习态度和合作精神进行评价。
七、教学资源1. 实物模型或动画演示：用于直观展示外方内圆及外圆内方的特点。
2. 练习题：设计一些练习题，用于巩固所学知识。
3. 教学课件：展示教学内容和步骤，辅助学生学习。
人教版六年级上册第五单元《圆的面积——外圆内方和外方内圆》教学设计
人教版六年级上册第五单元《圆的面积——外圆内方和外方内圆》教学设计在教学设计中，我会详细阐述教学内容、教学目标、教学难点与重点、教具与学具准备、教学过程、板书设计、作业设计以及课后反思与拓展延伸。
一、教学内容我打算用人教版六年级上册第五单元的《圆的面积——外圆内方和外方内圆》作为教学内容。
我会引导学生回顾之前学过的平面图形的面积计算方法，如正方形、长方形等。
然后，我会引入圆的面积的概念，并讲解圆的面积的计算公式。
接着，我会通过具体例题，让学生掌握外圆内方和外方内圆的面积计算方法。
二、教学目标通过这节课的学习，我希望学生能够理解并掌握圆的面积的概念和计算方法，能够灵活运用到实际问题中。
同时，我也希望学生能够理解并掌握外圆内方和外方内圆的面积计算方法，能够解决相关的实际问题。
三、教学难点与重点本节课的重点是让学生理解并掌握圆的面积的计算方法，以及外圆内方和外方内圆的面积计算方法。
而教学难点则是让学生理解并掌握圆的面积的概念，以及如何将圆的面积运用到实际问题中。
四、教具与学具准备我会准备多媒体课件、黑板、粉笔等教具，以及练习题、计算器等学具。
五、教学过程1. 实践情景引入：我会通过展示一些实际问题，如计算自行车轮胎的面积，引入圆的面积的概念。
2. 讲解圆的面积的概念和计算方法：我会用多媒体课件展示圆的面积的计算过程，并讲解圆的面积的计算公式。
3. 例题讲解：我会通过具体的例题，让学生掌握外圆内方和外方内圆的面积计算方法。
4. 随堂练习：我会给出一些练习题，让学生当场练习，巩固所学知识。
5. 板书设计：我会设计简洁明了的板书，突出圆的面积的计算公式和外圆内方、外方内圆的面积计算方法。
6. 作业设计：我会布置一些有关圆的面积计算的作业题，让学生课后巩固所学知识。
六、板书设计板书设计主要包括圆的面积的计算公式，以及外圆内方和外方内圆的面积计算方法。
七、作业设计1. 计算自行车轮胎的面积。
2. 计算一个直径为10厘米的圆的面积。
5.7 外方内圆,外圆内方
所求问题：左图求的是正方形比圆多的面积；右图求的是圆比正方形多的面积。
2.分析与解答。
（1）左图——“外方内圆”。
①提问：正方形和圆有什么关系？
（从图中可以看出正方形的边长就是圆的直径。）
②学生独立解答。
③组织交流汇报：
课题
5.7圆的面积
教学目标
1.认识“外方内圆”和“外圆内方”的图形，掌握这两类问题的解题方法。
2.应用圆的面积的计算公式解决生活中的相关实际问题，培养学生灵活、综合运用知识的能力。
3.体验数学与生活的联系，感受平面图形的学习价值。
教学重点
掌握“外方内圆”和“外圆内方”的图形面积计算方法。教学Leabharlann 点培养综合运用知识的能力。
作业设计
板书设计
课后反思
正方形的面积：2×2=4（m ）圆的面积：3.14×1 =3.14（m ）
之间的面积：4－3.14=0.86（m ）
（2）右图——“外圆内方”。
①提问：圆和正方形有什么关系？
（从图中可以看出圆的直径就是正方形的对角线。）
②思考：怎么求正方形的面积呢？
质疑：求正方形的面积需要知道边长，可是题目中不知道正方形的边长，该怎么办呢？
教学准备
多媒体课件
教学过程
修改调整
一、谈话导入
1.投影出示教材上的两个图案。
教师介绍：中国建筑中经常能见到“外方内圆”和“外圆内方”的设计。
2.导入新课。
今天这节课，我们就利用已学过的几何图形的知识来解决和这两个图案有关的问题。
二、探索新知
投影出示例题3。
1.阅读与理解。
外圆内方和外方内圆的面积公式
外圆内方和外方内圆的面积公式
外圆内方和外方内圆是平面图形中常见的两个组合形态，它们的面积由一定的公式计算得出。
下面将会分别介绍外圆内方和外方内圆的面积公式及其应用。
一、外圆内方的面积公式
外圆内方是指一正方形内切于一个圆形，该圆形与正方形相切于其四个顶点。
外圆内方的面积公式如下：
S = πr²/2
其中，S代表正方形的面积，r代表圆的半径。
该公式表示，外圆内方的面积等于圆的面积的一半。
应用举例：
假设正方形的边长为10，求其内切圆的面积。
解：由于正方形内切于圆，则圆的直径等于正方形的对角线长，即10√2。
故圆的半径r=5√2。
带入公式S = πr²/2，得到答案S = 25π。
二、外方内圆的面积公式
外方内圆是指一个圆形内含于一个正方形，该正方形的四个顶点位于
圆周上。
外方内圆的面积公式如下：
S = (2-π)r²
其中，S代表圆的面积，r代表圆的半径。
该公式表示，外方内圆的面
积等于圆的面积与正方形面积之差。
应用举例：
假设正方形的边长为10，求其内含圆的面积。
解：进一步分析可得，正方形对角线长等于圆的直径，即10√2为圆直径。
所以圆的半径r=5√2/2。
带入公式S = (2-π)r²，得到答案S ≈ 11.32。
以上是外圆内方和外方内圆的面积公式及应用的介绍。
这两种形态的
应用十分广泛，常见于建筑物设计、广场景观等领域。
外方内圆和外圆内方图形的面积
右图是一面我国唐代外圆内方的铜镜。铜镜的 直径是24cm。外面的圆与内部的正方形之间的 面积是多少？
求这个门洞的周长和面积。
1m
求这个图形中阴影部分的周长和面积。
4cm 10 cm
求阴影部分的面积。
4cm 8cm
3cm 4cm
求阴影部分的面积。
2dm 2dm
3.5dm
已知梯形的面积是54cm²，求阴影部分的面积。
外方内圆和外圆内方
中国建筑中经常能见到“外方内圆” 和“外圆内方”的设计。
上图中的两个圆半径都是 1m，你能 求出正方形和圆之间部分的面积吗？
2m
上图中的两个圆半径都是 1m，你能 求出正方形和圆之间部分的面积吗？
右图中正方形的边长就 是圆的直径。
2m
正方形和圆之间部分的面积：
2m 2×2－3.14×1² = 4－3.14 = 0.86（m²）
右图中正方形的边 长是多少呢？
可以把图中的正方形看成两 个三角形，它的底和高分别 是……
三角形的面积：
2×1÷2 = 1（m²）
正方形的面积：
1×2 = 2（m²）
正方形和圆之间部分的面积：
3.14×1²－2 = 3.14－2 = 1.14（m²）
那么我们解答得对不对呢？ 有什么方法验证吗？
如果两个圆的半径都是r， 结果又是怎样的？
8cm 6cm
10cm
15. 如图已知正方形的面积是10平方厘米。圆的 面积是多少平方厘米？
r
ro
r×r = 10 ( cm2)
s =πr2
= 3.14×1Βιβλιοθήκη = 31.4 (cm2)
外圆内方圆的面积公式
外圆内方圆的面积公式以外圆内方圆的面积公式为题，我想向大家介绍一下这个有趣的几何问题。
我们都知道，在数学中，圆是一种非常特殊的几何形状，它的每一点到圆心的距离都相等。
而正方形则是一种有四个相等边的四边形，其特点是四个角都是直角。
那么，外圆内方圆是指一个正方形完全放置在一个圆内部，而这个圆又完全包围了这个正方形。
我们的目标是求解这个外圆和内方圆的面积之比。
我们需要了解一下外圆的面积计算公式。
根据数学原理，圆的面积公式是πr²，其中r表示圆的半径。
所以外圆的面积为πR²，其中R 表示外圆的半径。
接下来，我们来计算内方圆的面积。
由于内方圆是正方形，所以我们只需要计算正方形的面积即可。
正方形的面积计算公式是边长的平方，即S²，其中S表示正方形的边长。
我们可以发现，外圆和内方圆的半径之间存在一个关系，即外圆的半径是内方圆的对角线的一半。
根据勾股定理，正方形的对角线长度等于边长的平方根乘以√2。
所以内方圆的半径可以表示为S/2 * √2。
现在我们可以把外圆和内方圆的面积公式带入计算。
外圆的面积是πR²，而内方圆的面积是S²。
我们可以把内方圆的半径表示为S/2 * √2，然后带入面积公式，即π(S/2 * √2)²。
接下来，我们要求解外圆面积和内方圆面积的比值。
即πR² / π(S/2 * √2)²。
化简这个比值，我们可以得到R² / (S/2 * √2)²。
然后，我们可以进一步化简这个比值。
对分子和分母进行展开，我们得到 R² / (S²/4 * 2)。
继续化简，得到 R² / (S²/2)。
我们可以得出结论，外圆面积和内方圆面积的比值为 R² / (S²/2)。
通过以上的计算过程，我们得到了外圆内方圆的面积比值公式。
这个公式可以用来帮助我们计算外圆和内方圆的面积之比。
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右图：3.14×r²－（ 2×2r×r）×2＝1.14r²
当果r完＝①全1 一外m致时切。，正和前方面形的结与圆之间的面积都是 半径平方的0.86倍。
答：左图中正②方内形接与正圆之方间形的与面圆积之是间0.8的6 m面²，积右都图是中 圆与正方形之半间径的平面方积是的11.1.144m倍²。。
组合图形面积
复习：
（1）已知圆的半径为3厘米，求圆的面积和圆 的周长。 面积：3.14×3² 周长：2×3.14×3
（2）已知圆的直径为8分米，求圆的面积和圆 的周长。 面积：3.14×（8÷2）² 周长：3.14×8
复习：
（3）一块圆环的花坛，外直径是20m,内半径 是5m，这块花坛的面积是多少？ 外半径： 20÷2=10（cm） 花坛面积： 3.14 ×（10²- 5²）
外方内圆
外圆内方
1、外方内圆的面积是0.86r²
2、外圆内方的面积是1.14r²
计算阴影部分的面积：
知识应用
知识应用
右图中的铜钱直径22.5mm， 中间的正方形边长为6mm。 这外铜钱的面积是多少？
圆的面积 – 正方形面积
知识应用
100
一个运动场如右图， 两端是半圆形，中间是长 方形。这个运动场的周长 是多少厘米？面积是多少 平方厘米？
外
外
方
圆内Biblioteka 内圆方中国建筑中经常能见到“外方内圆”和 “外圆内方”的设计。上图中的两个圆半径都 是1m，你能求出正方形和圆之间部分的面积吗？
正方形的面积－圆的面积 圆的面积－正方形的面积
r =1cm
r =1cm
如果两个圆的半径都是r，结
果又是怎样的？
正方形的面积－圆的面积
左图：（2r）²－3.14×r²＝0.86r²
运动场周长= 圆的周长 + 2个100
oo 3322
2×3.14×32 + 100×2 运动场面积= 圆的面积 + 长方形面积
3.14×32²+ 100×32
知识应用
右图中的花瓣状门洞
的边是由4个直径相等的
半圆组成。这个门洞的周
1m
长和面积分别是多少？
门洞的周长 = 4个圆的周长 3.14×1×4
11
门洞的面积 = 2个圆的面积 + 正方形面积 3.14×1²×2 + 1×1
知识应用
一张长方形纸，它的长是50cm，宽40cm。 用这张纸剪一个最大的圆，剩下的面积是多少？
13
知识应用
求阴影部分的面积
20cm
12
20cm
知识应用
乐乐用一张正方形纸剪下一个最大的圆，经测计 算得知这个圆的周长为28.26平方厘米，你能帮乐乐算 出她最初用的正方形纸有多大吗？剩下的边角余料又 有多大吗？