2018版 第2章 2.2.2 函数的奇偶性

函数的奇偶性
1．了解函数奇偶性的定义及奇偶函数的图象特征．
2．会判断函数的奇偶性．(重点)
3．掌握函数奇偶性的运用．(难点)
[基础·初探]
教材整理函数奇偶性的概念
1．偶函数
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为A，如果对于任意的x∈A，都有f (－x)＝f (x)，那么称函数y＝f (x)是偶函数．
2．奇函数
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为A，如果对于任意的x∈A，都有f (－x)＝－f (x)，那么称函数y＝f (x)是奇函数．
3．奇偶性
如果函数f (x)是奇函数或偶函数，我们就说函数f (x)具有奇偶性．
4．奇、偶函数的图象性质
(1)偶函数的图象关于y轴对称，图象关于y轴对称的函数一定是偶函数．
(2)奇函数的图象关于原点对称，图象关于原点对称的函数一定是奇函数．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数f (x)＝x的图象关于(0,0)对称．()
(2)偶函数的图象一定与y轴相交．()
(3)若对函数f (x)有f (－1)＝f (1)，则f (x)为偶函数．()
(4)奇函数的图象一定过(0,0)．( )
2．若f (x )是定义在区间[a －2,5]上的奇函数，则a ＝________.
[小组合作型]
(1)若函数f (x )的图象如图2-2-5，则f (x )为________函数．(填“奇”或“偶”或“非奇非偶”)
图2-2-5
(2)判断下列函数的奇偶性． ①f (x )＝2|x |；
②f (x )＝x ＋1＋21－x
； ③f (x )＝4－x 2＋x 2－4.
【精彩点拨】 (1)观察图象的对称性．
(2)利用奇偶性的定义，先确定定义域，再看f (x )与f (－x )的关系．
【自主解答】 (1)因为函数的图象关于y 轴对称，所以函数是偶函数．
【答案】 偶
(2)①因为函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．又f (－x )＝2|－x |＝2|x |＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数．
②定义域要求⎩
⎨⎧
x ＋1≥0，1－x ＞0，所以－1≤x ＜1，
所以f (x )的定义域不关于原点对称，所以f (x )是非奇非偶函数．
③由⎩⎨⎧
4－x 2≥0，x 2－4≥0，得x ∈{2，－2}，定义域关于原点对称，且f (±2)＝0， 所以f (x )既是奇函数又是偶函数．
判断函数奇偶性的方法
1．定义法
2．图象法
若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y 轴对称，则函数为偶函数．此法多用于填空题中．
[再练一题]
1．判断下列各函数的奇偶性．
(1)f (x )＝(x －2)2＋x 2－x
； (2)f (x )＝⎩⎨⎧ x ＋2(x <－1)，
0(|x |≤1)，
－x ＋2(x >1).
(1)已知f (x )是R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝－x (1＋x )，求f (x )；
(2)若函数f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋3(x ∈R )是偶函数，求m 的值.
【精彩点拨】 (1)已知x <0时的解析式，用奇偶性求x >0的解析式，应通过(－x )进行过渡，但别忽视x ＝0的情况；(2)应用偶函数满足f (－x )＝f (x )．
【自主解答】 (1)∵f (x )为R 上的奇函数，∴f (－0)＝－f (0)，∴f (0)＝0. 当x ∈(0，＋∞)时，－x ∈(－∞，0)，∴f (－x )＝x (1－x )．
∵f (x )为R 上的奇函数，∴－f (x )＝x (1－x )，∴f (x )＝－x (1－x )．
综上可知，f (x )＝⎩⎨⎧ －x (1＋x )，
0，
－x (1－x )， x <0，x ＝0，x >0.
(2)∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，
即x 2－(m －1)x ＋3＝x 2＋(m －1)x ＋3，
∴2(m －1)x ＝0.∵x ∈R ，∴m －1＝0，得m ＝
1.
1．本题易忽视定义域为R 的条件，漏掉x ＝0的情形．若函数f (x )的定义域内含0且为奇函数，则必有f (0)＝0.
2．利用奇偶性求解析式的思路
(1)在待求解析式的区间内设x ，则－x 在已知解析式的区间内；
(2)利用已知区间的解析式进行代入；
(3)利用f (x )的奇偶性，求待求区间上的解析式．
[再练一题]
2．(1)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数f (x )在R 上的解析式是________．(填序号)
①f (x )＝－x (x －3)；②f (x )＝x (|x |－3)；③f (x )＝|x |(x －3)；④f (x )＝|x |(|x |－3)．
(2)已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝2x 2＋1x ，则f (－1)＝________.
[探究共研型]
探究1 观察图2-性？它们在y 轴左右两侧的单调性相同吗？由此，我们可以得出的结论是什么？
图2-2-6
【提示】两个图象均为奇函数的图象，在y轴左右两侧，函数的单调性相同，可得出结论：奇函数在对称区间上的单调性相同．
探究2能否证明一下探究1中的结论(不妨以“已知f (x)在[a，b](a>0)上递增”为例)
【提示】已知f (x)是奇函数，在区间[a，b](a>0)上是单调递增的．证明f (x)在区间[－b，－a]上也单调递增．
证明：任取x1，x2∈[－b，－a]且x1<x2.
则f (x1)－f (x2)＝－f (－x1)－[－f (－x2)]＝f (－x2)－f (－x1)，
∵－b≤x1<x2≤－a，∴a≤－x2<－x1≤b，
由f (x)在[a，b]上单调递增，∴f (－x2)<f (－x1)，
∴f (－x2)－f (－x1)<0，即f (x1)<f (x2)，
∴f (x)在区间[－b，－a]上单调递增．
探究3从图2-2-7两个偶函数的图象中，能否找出偶函数的图象在对称区间上的关系？
图2-2-7
【提示】偶函数的图象在对称区间上单调性相反．
已知函数f (x)是奇函数，其定义域为(－1,1)，且在[0,1)上为增函数．若f (a－2)＋f (3－2a)<0，试求a的取值范围．
【精彩点拨】 可将f (a －2)＋f (3－2a )<0移项得f (a －2)<－f (3－2a )，根据奇偶性和单调性转化为研究a －2与2a －3的大小关系，注意定义域．
【自主解答】 ∵f (a －2)＋f (3－2a )<0，∴f (a －2)<－f (3－2a )．
∵f (x )为奇函数，∴－f (3－2a )＝f (2a －3)，∴f (a －2)<f (2a －3)．
∵f (x )在[0,1)上为增函数，∴f (x )在(－1,1)上单调递增，
∴⎩⎨⎧ －1<a －2<1，
－1<3－2a <1，
a －2<2a －3，解得1<a <2.
1．函数奇偶性和单调性的关系
(1)若f (x )是奇函数，且f (x )在[a ，b ]上是单调函数，则f (x )在[－b ，－a ]上也为单调函数，且具有相同的单调性．
(2)若f (x )是偶函数，且f (x )在[a ，b ]上是单调函数，则f (x )在[－b ，－a ]上也为单调函数，且具有相反的单调性．
2．利用单调性和奇偶性解不等式的方法
(1)充分利用已知的条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f (x 1)＞f (x 2)或f (x 1)＜f (x 2)的形式，再利用单调性脱掉“f ”求解．
(2)在对称区间上根据奇函数的单调性一致，偶函数的单调性相反，列出不等式或不等式组，求解即可，同时要注意函数自身定义域对参数的影响．
[再练一题]
3．已知定义在[－2,2]上的函数f (x )是偶函数，在[0,2]上单调递增，则满足不等式f (2a －1)>f (1)的a 的取值范围是________．
1．下列函数为奇函数的是________．(填序号)
(1)y ＝x ；(2)y ＝2x 2－3；(3)y ＝x ；(4)y ＝x 3，x ∈[0,1]．
2．已知函数f (x )＝x 2－2＋32－x 2，则f (x )的奇偶性为________．
3．已知f (x )＝ax 3＋bx －4，其中a ，b 为常数，若f (－2)＝2，则f (2)的值等于
________．
4．设f (x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且当x≥0时，f (x)＝x3＋1，则当x<0时，f (x)＝________.
5．已知定义在[－2,2]上的奇函数f (x)在[0,2]上单调递增，f (m)＋f (m－1)>0，求实数m的取值范围．。