结构力学力法的计算

第二篇 超静定结构
第七章 力 法
§7-1 超静定结构的组成和超静定次数的确定 §7-2 力法的基本原理 §7-3 采用力法解超静定结构举例 §7-4 力法的简化计算 §7-5 温度变化及有弹性支座时结构的计算 §7-6 超静定结构的位移计算及力法计算的校核
1
§7-1 超静定结构的组成和超静定次数的确定
一般规则为： 1）去掉或切断一根链杆，相当于去掉一个约束； 2）去掉一个简单铰，相当于去掉两个约束；
4
3）去掉一个固定支座或切断一根梁式杆件，相当 于去掉三个约束；
4）将梁式杆上的一个刚结点改为一个简单铰结点，
相当于去掉一个约束。
举例说明：
b)
a)
X1
X2
单跨悬臂梁
n=2
原结构
X1
X2
多跨静定梁
n=2
（ A =0） 基本体系
l/2
l/2
A
原结构（ A= 0）
B
基本结构
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二. 多次超静定结构的力法计算
下面给出多次超静定结构的基本结构在荷载和未
知力 X i 分别作用下的位移图。
q
q
C
D
C
D
FP 原结构
A ΔBH = 0, B ΔBV = 0, θB = 0。
FP 基本体系
A ΔBH = X0,3 B ΔBV = 0, X1 θB = 0。X2
如下图所示的单跨静定梁，若只满足平衡条件， 支座 B 处的竖向反力可以是任意值。
q
A
B
EI , l
3 ql
8
3
二. 结构的超静定次数的确定 结构的超静定次数n = 结构中多余约束的数目n 为了确定结构的超静定次数n：
通常使用的方法是拆除多余约束法 (或切断多余 联系法），即将原结构变成为静定结构所必须拆除（ 或切断）的多余约束（或联系）的总数目n。
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静定多跨梁
b)
X2
原结构 X2
X1 n=2
悬臂刚架
n=2 X1
X2
n=2 X1 简支刚架
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c) 原结构
d)
原结构
X
X
1
2
X1
X 3 X 2 X 3 n=3 内部超静定
X2
X1
X
X
2
1
n=2
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e) 原结构
f) 原结构
X1 X1 n=1
不能把原结构拆成几
何可变体系。此外，要把 超静定结构的多余约束全 X1 部拆除完。
因为:
11 11 X1
所以力法方程可写为:
11 X1 1P 0
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讨论： 1）力法方程的实质是位移协调方程。
2）方程的物理意义：基本结构在荷载FP和未知量X1 共同作用下沿X1方向的位移等于原结构B支座竖向位 移。 3）系数及自由项的物理意义：
11 —— 基本结构在X1 1 作用下沿X1方向的位移。
基本结构。
FP
A
EI
B
l/2 l/2
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FP
A
EI
BA
l/2 l/2
原结构（ΔBV=0） A
A
+Δ11
X1 B
A
11 11 X1
A
11
X1 1 B
FP B
基本体系 X1
基本结构 FP
B
B Δ1P
11
2. 力法方程
力法方程为: 11 1P BV 0
基本结构的位移=原结构的位移
BV——原结构B截面竖向位移
一. 超静定结构的组成
超静定结构具有如下特征： 1. 从几何构造分析的角度来看，超静定结构是具有多
余约束的几何不变体系。 2. 从静力学的角度来看，若只考虑静力平衡条件，超
静定结构的内力和支座反力不能够由平衡方程唯一 地确定，还要补充位移协调条件。
2
若只满足平衡条件，超静定结构的内力和支座反 力可以有无穷多组解答。
1P —— 基本结构在FP 作用下沿X1方向的位移。
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3. 力法计算 1) 求系数及自由项:
FP l 2A
FP MP 图
A B
l
l/2
M图
11
1 EI
1ll 2 l
2
3
l3 3EI
1P
1 EI
1 2
FP l 2
l (2 23
l
1 3
l) 2
1 FP l 2 5 l 5FP l 3 EI 8 6 48EI
31 X1 32 X2 33 X3 3P B 0。
根据前面给出的位移图讨论力法方程和系数的 物理意义。
主系数：δ11，δ22，δ33 恒大于零,永远为正值。 副系数：δij ( i≠j ) 可能大于，等于或小于零。 i 表示位移的方位；j 表示产生位移的原因。
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由位移互等定理：δij= δji，即δ12= δ21，δ23= δ32， δ31= δ13。
n=3
X3基本原理
求解任何一个超静定结构，除应满足平衡条件 外，还必须满足位移协调条件。
一. 一次超静定结构的力法计算
1. 力法的基本体系和基本未知量
如下图示单跨超静定梁，去掉支座B的链杆，
用相应的未知力X1代替，X1称为力法基本未知量。 去掉B支座的多余约束后得到的静定结构称为力法
B X1 1
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2) 求未知力X1 :
X1
1P
/ 11
5FP l 3 48 EI
3 EI l3
5 16
FP
3) 作内力图:
3 16 FPl
M MX1 MP
A
11 16 FP
B
5 32 FPl5
16 FP
A
B
M图
FS 图
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思考题:
如何计算?
A X1 EI FP B
l/2
l/2
A
EI FP B
作 M 图及 MP 图，求出力法方程的系数和自由 项，解方程求出力法未知量 X i ，然后根据下式求最 后内力为：
M( x) M1( x)X1 M2( x)X2 M3(x)X3 MP (x)
FS ( x) F S1( x)X1 FS2( x)X2 FS3(x)X3 FSP (x)
FN ( x) F N1( x)X1 F N2(x)X2 F N3(x)X3 FNP (x)
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对于任意一个n次超静定结构，已知n个位移条 件时，其力法的一般（典型）方程为:
1 11 X1 12 X2 13 X3 L 1 j X j K 1n Xn 1P 0,
2
21 X1 22 X2 23 X3
L
2 j X j
L
2nXn
2P
0,
M M M M L M L M M 0,
i
i1X1 i2X2 i3X3 L
ij X j
L
in Xn
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C
D
δ31
A
B
δ21
δ11 X 1 1
C
D
C
D
δ32
A
B
δ22
X2 1
q
δ12
C
D
FP
δ33
A
δ23
B
δ13
X 1 3
A
Δ3P Δ1P
B Δ2P
18
力法方程为:
11 X1 12 X 2 13 X 3 1P BH 0,
21 X1 22 X2 23 X3 2P BV 0,