2006年竞赛辅导(一)---测量问题
2006年全国初中数学竞赛(浙江赛区)复赛试题(含答案)
2006年全国初中数学竞赛（浙江赛区）复赛试题答题时注意；1．用圆珠笔或钢笔作答．2．解答书写时不要超过装订线． 3．草稿纸不上交．一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分．以下每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填均得零分）1． 5个相异自然数的平均数为12，中位数为17，这5个自然数中最大一个的可能值的最大值是（ ）（A ）21 （B ）22 （C ）23 （D ）24 2． 如图，长方形ABCD 恰好可分成7个形状大小相同的小长方形，如果小长方形的面积是3，则长方形ABCD 的周长是（ ）（A ）17 （B ）18 （C ）19 （D ）317 3．设0＜k ＜1，关于x 的一次函数)1(1x kkx y -+=，当1≤x ≤2时的最大值是（ ） （A ）k（B ）kk 12-（C ）k1 （D ）kk 1+4．钟面上的1~12这12个数字把圆周12等分，以其中任意4个等分点为顶点作四边形，其中矩形的个数是（ ）（A ）10个 （B ）14个 （C ）15个 （D ）30个 5．平面直角坐标系中，如果把横坐标、纵坐标都是整数的点叫做整点，那么函数1212-+=x x y 的图象上整点的个数是 （ ）（A ）2个 （B ）4个 （C ）6个 （D ）8个A DBC（第2题）6．用标有1克，2克，6克，26克的法码各一个，在一架无刻度的天平上称量重物，如果天平两端均可放置法码，那么可以称出的不同克数（正整数的重物）的种数共有（ ） （A ）15种 （B ）23种 （C ）28种 （D ）33种二、填空题（共6小题，每小题6分，满分36分）7．三个实数按从小到大排列为1x ，2x ，3x ，把其中每两个数作和得到三个数分别是14，17，33，则2x = ．8．如图，AB 为半⊙O 的直径，C 为半圆弧的三等分点，过B ，C 两点的半⊙O 的切线交于点P ，若AB 的长是2a ，则P A 的长是 ．9．函数1422-+=x x y 的最小值是 ．10．在正方形ABCD 中，点E 是BC 上的一定点，且BE =10，EC =14，点P 是BD 上的一动点，则PE +PC 的最小值是 ．11．某商店出售A 、B 、C 三种生日贺卡，已知A 种贺卡每张0.5元，B 种贺卡每张1元，C 种贺卡每张2.5元．营业员统计3月份的经营情况如下：三种贺卡共售出150张，营业收入合计180元．则该商店3月份售出的C 种贺卡至少有 张．12．有一个英文单词由5个字母组成，如果将26个英文字母a ，b ，c ，…，y ，z 按顺序依次对应0到25这26个整数，那么这个单词中的5个字母对应的整数按从左到右的顺序分别为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5．已知x 1+3x 2，4x 2，x 3+2x 4,，5x 4，6x 4+x 5 除以26所得的余数分别为15，6，20，9，9．则该英文单词是 ．DE（第10题）三、解答题（共4小题，满分54分）某列从上海到温州的火车，包括起始和终点在内共有6个停靠站，将这6个站按火车到达的先后次序，依次记为A，B，C，D，E，F．小张乘坐这趟列车从上海出发去温州，火车驶离上海时，小张发现他乘坐的车厢里连他自己在内共19名旅客，这些旅客小张都认识，其中有些是浙江人，其他的都是上海人．一路上小张观测到下列情况：①除了终点站，在每一站，当火车到达时这节车厢里浙江人的人数与下车旅客的人数相同，且这次行程中没有新的旅客进入这节车厢；②当火车离开车站B时，车厢里有12名旅客；当火车离开车站D时，还有7名旅客在这一车厢里；在F站下车的旅客包括小张在内共5人．（1）火车驶离上海时，小张乘坐的这节车厢里共有多少浙江人？多少上海人？（2）在B到C、C到D、D到E的旅途中，分别有多少浙江人？多少上海人？BP与MN、AN分别交于E、F，（1）求证：BF=2FP；（2）设△ABC的面积为S，求△NEF的面积．BAC MNPEF15．（本题满分15分）设,,,321x x x …2006,x 是整数，且满足下列条件： ① -1≤n x ≤2，n =1，2，3，…，2006； ②+++321x x x …2002006=+x ； ③+++232221x x x (20062)2006=+x ．求 +++333231x x x (3)2006x + 的最小值和最大值．一只青蛙在平面直角坐标系上从点（1，1）开始，可以按照如下两种方式跳跃：①能从任意一点（a，b），跳到点（2a，b）或（a，2b）；②对于点（a，b），如果a＞b，则能从（a，b）跳到（a－b，b）；如果a＜b，则能从（a，b）跳到（a，b－a）．例如，按照上述跳跃方式，这只青蛙能够到达点（3，1），跳跃的一种路径为：（1，1）→（2，1）→（4，1）→（3，1）．请你思考：这只青蛙按照规定的两种方式跳跃，能到达下列各点吗？如果能，请分别给出从点（1，1）出发到指定点的路径；如果不能，请说明理由．（１）（3,5）；（２）（12，60）；（3）（200，5）；（4）（200，6）．2006年全国初中数学竞赛（浙江赛区）复赛试题参考答案一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分） 1．答案：D解：设这5个自然数从小到大排列依次为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，则x 3=17．当这5个自然数中最大一个x 5的可能值最大时，其他3个自然数必取最小的可能值，x 1=0，x 2=1，x 4=18，此时x 5=24． 2．答案：C解：设小长方形的长、宽分别为x ，y ，则3 x = 4 y ，y x 34=．∴334=⋅y y ．23=y ，x =2．∴ 长方形ABCD 的周长为19．3．答案：A 解：kx k k y 1)1(+-=，∵ 0＜k ＜1，∴ k k k kk )1)(1(1-+=-＜0，该一次函数的值随x 的增大而减小，当1≤x ≤2时，最大值为k kk k =+-11．4．答案：C解：连结圆周上12个等分点，得6条直径，以其中任意两条为对角线的四边形即为矩形，共15个矩形． 5．答案：C解：将函数表达式变形，得122+=-x y xy ，24224=--x y xy ，25)12)(12(=--x y ．∵ x ，y 都是整数，∴ )12(),12(--x y 也是整数．∴ ⎩⎨⎧=-=-2512,112x y 或 ⎩⎨⎧-=--=-2512,112x y 或 ⎩⎨⎧=-=-112,2512x y 或 ⎩⎨⎧-=--=-112,2512x y或 ⎩⎨⎧=-=-512,512x y 或 ⎩⎨⎧-=--=-.512,512x y解得整点为（13，1），（-12，0），（1，13），（0，-12），（3，3），（-2，-2）． 6．答案：C解：（1）当天平的一端放1个砝码，另一端不放砝码时，可以称量重物的克数有1克，2克，6克，26克；（2）当天平的一端放2个砝码，另一端不放砝码时，可以称量重物的克数有3克，7克，8克，27克， 28克，32克；（3）当天平的一端放3个砝码，另一端不放砝码时，可以称量重物的克数有9克，29克，33克，34克；（4）当天平的一端放4个砝码时，可以称量重物的克数有35克．（5）当天平的一端放1个砝码，另一端也放1个砝码时，可以称量重物的克数有1克，4克，5克，20克，24克，25克；（6）当天平的一端放1个砝码，另一端放2个砝码时，可以称量重物的克数有3克，5克，7克，18克，19克，21克，22克，23克，25克，27克，30克，31克； （7）当天平的一端放1个砝码，另一端放3个砝码时，可以称量重物的克数有17 克，23克，31克，33克；（8）当天平的一端放2个砝码，另一端也放2个砝码时，可以称量重物的克数有19克，21克，29克．去掉重复的克数后，共有28种．二、填空题（共6小题，每小题6分，满分36分） 7．答案：15解： 1421=+x x ，1731=+x x ，3332=+x x ， ∴ 32321=++x x x ，152=x ．8．答案：a 7解：连结OC ，OP ，则∠OCP =90°，∠COP =60°，OC = a∴ PC =a 3，PB =PC =a 3，P A =a 7． 9．答案：1-解：y =3)1(22-+x =⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+.0,3)1(2,0,3)1(222x x x x其图象如图，由图象可知，当x = 0时，y 最小为 -1． 10．答案：26解：连结AP ，则PE +PC =PE +P A ，当点P 在AE 上时，其值最小，最小值为26102422=+．11．答案：20解：设A 、B 、C 三种贺卡售出的张数分别为x ，y ，z ，则 ⎩⎨⎧=++=++.1805.25.0,150z y x z y x消去y 得，305.15.0-=z x ．由0305.1≥-z ，得20≥z ．12．答案：right ，evght解：由题意得，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=++=+=++=+=+.9266,9265,20262,6264,152635544434322121k x x k x k x x k x k x x （54321,,,,k k k k k 为非负整数）．（第9题）由0≤54321,,,,x x x x x ≤25，可分析得出，123454,17,8,216,7,19.x x x x x =⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪=⎩或或，三、解答题（共4题，满分54分） 13．(12分)解：（1）由条件得，在B 站有7人下车，∴ 19名旅客中有7位浙江人，即火车驶离上海时，车厢里有7个浙江人，12个上海人． ……………2分 （2）在E 站有2人下车，即在D —E 途中有2个浙江人，5个上海人， ……………2分 从而C —D 途中至少有2位浙江人，在D 站至少有2人下车， ……………2分 ∴ C 站后车厢里至少有9个人． ∵ 火车离开B 站时车厢里有12人，离开D 站时有7人， ∴ 在C 站至少有3人下车，即经过C 站后车厢里至多9人，故经过C 站后车厢里有9人，即在C 站有3人下车． ……………2分 ∴ B —C 途中车厢里还有3个浙江人，9个上海人． ……………2分 在D 站有2人下车，C —D 途中车厢里还有2个浙江人，7个上海人．……………2分14．(12分)解：（1）如图1，连结PN ，则PN ∥AB ，且 AB PN 21=． ……………………2分∴ △ABF ∽△NPF ，2===PNAB FNAF FPBF ．∴ BF =2FP ． ……………………2分 （2）如图2，取AF 的中点G ，连结MG ，则MG ∥EF ，AG =GF =FN ． ……………………2分∴ S △NEF =41S △MNG ……………………2分 =41×32S △AMN ……………………2分 =41×32×41S △ABC =241S ． ……………2分BACM N PE F（图1） BA CM N PE F（图2）G15．(15分)解：设,,,321x x x …2006,x 中有r 个－1、s 个1、t 个2，则⎩⎨⎧=++=++-.20064,2002t s r t s r ………………5分 两式相加，得s ＋3t ＝1103，故t ≤≤． ………………2分∵ +++333231x x x …t s r x 832006++-=+ ………………2分=2006+t ． ………………2分∴ 200≤+++333231x x x (3)2006x +≤6×367+200=2402．当0,1103,903t s r ===时，+++333231x x x (3)2006x +取最小值200，………2分 当367,2,536t s r ===时，+++333231x x x (3)2006x +取最大值2402．………2分 16．(15分)解：（1）能到达点（3，5）和点（200，6）． ………………2分从（1，1）出发到（3，5）的路径为：（1，1）→（2，1）→（4，1）→（3，1）→（3，2）→（3，4）→（3，8）→（3，5）． ………………3分 从（1，1）出发到（200，6）的路径为：（1，1）→（1，2）→（1，4）→（1，3）→（1，6）→（2，6）→（4，6） →（8，6）→（16，6）→（10，6）→（20，6）→（40，6）→（80，6） →（160，6）→（320，6）→（前面的数反复减20次6）→（200，6）．……3分 （2）不能到达点（12，60）和（200，5）． ………………2分 理由如下：∵ a 和b 的公共奇约数=a 和2b 的公共奇约数=2a 和b 的公共奇约数， ∴ 由规则①知，跳跃不改变前后两数的公共奇约数．∵ 如果a ＞b ，a 和b 的最大公约数=（a －b ）和b 的最大公约数， 如果a ＜b ，a 和b 的最大公约数=（b －a ）和b 的最大公约数， ∴ 由规则②知，跳跃不改变前后两数的最大公约数．从而按规则①和规则②跳跃，均不改变坐标前后两数的公共奇约数．…………3分 ∵ 1和1的公共奇约数为1，12和60的公共奇约数为3，200和5的公共奇约数为5．………………2分∴ 从（1,1）出发不可能到达给定点（12，60）和（200，5）．。
2006初赛考题
2006年全國高中職力學競賽初賽考題全部是單選題，共20題，答對給題分，未答給0分，答錯倒扣題分之1/5，共4頁，請將適當的答案填入本競賽所發給的答案卡內1 .(4分) 在彈簧磅秤S2上放置盛有水的燒杯，燒杯連同水總重為600 gw；另有一彈簧吊秤S1吊了一金屬球，金屬球重40 gw，體積10 cm3。
今將金屬球浸入燒杯水中，如右圖(1)所示。
則當指針穩定後，兩彈簧秤S1與S2所顯示的重量分別為（A）0 gw與640 gw（B）10 gw與630 gw（C）20 gw與620 gw（D）30 gw與610 gw（E）40 gw與600 gw。
2. .(6分) 右圖(2)為一個邊長0.125 m，比重0.8的正方體木塊在水面上做小幅度振動。
重力加速度若以10 m/s2計，則木塊振動週期約為（A）π秒（B）0.5π秒（C）0.2π秒（D）0.1π秒（E）0.05π秒。
3. (5分) 質量m，半徑為R的球放在同質量、半徑為2R的薄球殼內，並靜置於水平光滑桌面上，如右圖(3)所示。
然後球被釋放並在球殼內來回滾動，最後靜止於底部；同時球殼也會左右移動，最後靜止於某一位置。
請問最後球殼與桌面的接觸點與原來的接觸點相差了多少？（A）R（B）R/2（C）R/4（D）3R/8（E）R/8。
4. (4分) 右圖(4)是用電動砂輪打磨工件的裝置，砂輪的轉軸通過圖中O點，AB是一長度L = 0.60 m，質量m1= 0.50 kg的均勻剛性細杆，並且可繞著A點無摩擦地自由轉動。
工件C被固定在AB杆上，其質量m2= 1.5 kg，工件的重心、工件與砂輪的接觸點P以及O點都在通過AB中點的垂直線上，P到AB杆的垂直距離d = 0.2 m。
假設AB杆始終保持水平，砂輪與工件之間的動摩擦係數μ= 0.15，而砂輪逆時針轉動。
要使工件對砂輪的正壓力達到100 N 時，則施於B端鉛直向下的力F B是（A）40 N（B）35 N（C）30 N（D）25 N（E）20 N。
2006年中国数学奥林匹克国家集训队试题
= AR + SC + SX − SX = AR + CX − SX = AR + CX − RX
= CX − XA
从而
CE − AE = AF − CF 或者 CE − AF = AE − CF .
在直线 AB 上取一点 E1 使得 E1 AFC 是平行四边形。则 AE1 = CF ， AF = CE1 。因 此
从而
∑ ∑ ∑ (bi − b j )2 ≤
(bi − b j − 1)2 =
[(bi − b j )2 − 2(bi − b j ) + 1]
1≤i≤k < j≤n
1≤i≤k < j≤n
1≤i≤k < j≤n
或者
∑ 0 ≤ −2 (bi − b j ) + k(n − k) 1≤i≤k < j≤n
因为 A3 B ⊥ AB, A3 B // CH ，类似有 A3C // BH. 因此 A3CHB 是平行四边形并且 D 是 HA3 的中点. 同样的方法我们得到 E 和 F 分别是 HB3 和 HC3 的中点.
设 O 点在直线 PA，PB，PC 上的正交投影分别为 A4、B4、C4 ，则 A4、B4、C4 三点落
n ≥1;
n
3
∑ (b)
bi ≤ n 2 , n ≥ 1,
i=0
求 {an }的通项.
解：由(a), 我们有
故
an
−
an+1
=
bn−1 bn+1
(an−1
−
an )
an
−
an+1
=
b0b1 bn bn +1
(a0
2006年全国初中数学竞赛试题(含答案)
（第7题图）ABCDGFE（第5题图） 2006年全国初中数学竞赛试题考试时间 2006年4月2日上午 9∶30－11∶30 满分120分一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。
以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。
请将正确选项的代号填入题后的括号里。
不填、多填或错填均得0分）1、在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪。
刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是（ ）A 、36B 、37C 、55D 、902、已知21+=m ，21-=n ，且()()876314722=--+-n n a m m ，则a 的值等于（ ） A 、5- B 、5 C 、9- D 、93、ABC Rt ∆的三个顶点A ，B ，C 均在抛物线2x y =上，并且斜边AB 平行于x 轴。
若斜边上的高为h ，则（ ）A 、1 hB 、1=hC 、21 hD 、2 h4、一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（ ）A 、2004B 、2005C 、2006D 、20075、如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在劣弧AB 上，连结DP ，交AC 于点Q ．若QO QP =，则QAQC 的值为（ ）A 、132-B 、32C 、23+D 、23+二、填空题 （共5小题，每小题6分，满分30分）6、已知a ，b ，c 为整数，且2006=+b a ，2005=-a c ．若b a ，则c b a ++的最大值为 ．7、如图，面积为c b a -的正方形DEFG 内接于面积为1的正三角形ABC ，其中a ，b ，c为整数，且b 不能被任何质数的平方整除，则bc a -的值等于 ．8、正五边形广场ABCDE 的周长为2000米．甲、乙两人分别从A 、C 两点同时出发，沿A →B →C →D →E →A →…方向绕广场行走，甲的速度为50米/分，乙的速度为46米/分．那么出发后经过 分钟，甲、乙两人第一次行走在同一条边上。
北航2006年数学竞赛解答
13 13
内法向量： { 3 , 2 }
13 13
4. 已知方程x4-4x3+4x2+c=0 有四个不等实根， 则c的取值范围
解：令 f(x)=x4-4x3+4x2+c f'(x)=4x3-12x2+8x =4x(x-1)(x-2)=0 令 f'(x)=0x=0, x=1, x=2
x=0, x=2是极小值点， x=1是极大值点
在(2,-3)处的单位内法线向量(
)
解：
x2 y2 F(x, y) 2
49
{ 3 , 2 } 13 13
x
2y
Fx ( x, y) 2 , Fy ( x, y) 9 ,
x 2y
2
法向量：n {Fx , Fy } (2,3) n0 { 3 , 2 }
{ , 2
9
}
( 2, 3 )
{1, } 3
1 则f'(0)=(
)
解：因为sinxf(x)x2+xf(0)=0
当x>0时，sin x f ( x) f (0) x 1
x
x
当x<0时，x 1 f ( x) f (0) sin x
x
x
所以， f '(0) 1 f '(0) f '(0) 1
x2 y2 3. 平面 4 9 2
x2
y2
x2
y2
x
0
z x
z x
投影域：D: x2+y2x
x2dydz y2dzdx [x2(zx ) y2(zy )]dxdy
2[x3 y3]dxdy 2[x3 y3]dxdy
2
测量比赛考试竞赛复习题库
-判断1国际上公认通过英国格林威治天文台的子午面为首子午面，作为计算经度的起点。
（1）2、因为真子午线通过地球的两极，所以过地面上各点的子午线方向并不互相平行，而向两极收敛。
（1）3、坐标方位角有正、反之分。
（2）4、自动安平仪器的补偿器正确性检查：安置仪器，使一个脚螺旋位于视线方向，整平仪器，用盘左位置照准目标读数；旋转视线方向上的脚螺旋2-3周，使仪器倾斜，照准目标重新读数。
如果两个读数相等，说明补偿器起作用，否则不能使用。
（2）5、2倍照准差（2C值）是由同一方向盘左读数减去盘右读数求得。
（2）2C值二盘左-（盘右±180）6、采用多个测回观测时，各测回之间不需要变换度盘位置。
（2 ）7、根据两个已知点的坐标，计算两点间的边长和坐标方位角称为坐标正算。
（1）8竖直角可为正，也可为负。
（1）9对高程测量，用水平面代替水准面的限度是不能代替。
（1）二填空8.有两条直线，AB的丈量相对误差为1/2100,CD的相对误差为/3400,则AB的丈量精度比CD的丈量精度。
低9.经纬仪的视准轴应与横轴垂直。
10.圆曲线的主点包括圆曲线起点、中点、终点。
11.经纬仪的操作步骤为、对中、整平瞄准、读数。
12.高斯投影属于投影。
答案：等角13.管水准器的作用是________ o答案：水平度盘保持水平14用钢尺在平坦地面上丈量AB s CD两段距离AB往测为50.390米返测为50.300米；CD往测为49.390米，返测为49.300米，贝(JAB比CD丈量精度________________ o答案：IwJ15.已知A s B两点的坐标值分别为XA=5773.6332m,YA=4244.098Om,XB=6190.4959m,YB=4193.6140m,则坐标方位角O(AB二、水平距离D=米。
答案：16.测量计算工作的基准面是_________ o答案：参考椭球面17 _______________________________________________________ .地面某点的经度为113。
06年工程测量竞赛理论复习题解析
BM06年工程测量竞赛理论复习题b一、填空题1.测量工作的基本内容是、、。
2. 测量工作的程序是、。
3. 测量学的任务是。
4. 直线定向的标准方向有、、。
5. 距离丈量是用误差来衡量其精度的，该误差是用分子为的形式来表示。
6. 用平量法丈量距离的三个基本要求是、、。
7. 坐标方位角的取值范围是。
8. 地面点的标志，按保存时间长短可分为和。
9. 水准仪主要轴线之间应满足的几何关系为、、。
10. 由于水准仪校正不完善而剩余的角误差对一段水准路线高差值的影响是成正比的。
11. 闭和水准路线高差闭和差的计算公式为。
12. 水准测量高差闭合的调整方法是将闭合差反其符号,按各测段的__________成比例分配或按_________成比例分配。
13. 水准测量的测站校核,一般用______法或______法。
14. 水准测量中丝读数时,不论是正像或倒像,应由________到________ ,并估读到________。
15. 竖盘指标差是指当_____水平,指标水准管气泡居中时,_______没指向____所产生的读数差值。
16. 用测回法测定某目标的竖直角,可消除______误差的影响。
17. 经纬仪在检、校中，视准轴应垂直与横轴的检验有两种方法。
它们分别为_____和______。
18. 对某目标进行n次等精度观测,某算术平均值的中误差是观测值中误差的______倍。
19. 在等精度观测中,对某一角度重复观测多次,观测值之间互有差异,其观测精度是______的。
20. 在同等条件下，对某一角度重复观测n次，观测值为、、…、其误差均为m，则该量_____和_______。
的算术平均值及其中误差分别为21. 在方向观测法中,2C互差是___________各方向之间是_____________。
22. 在碎部测量中采用视距测量法,不论视线水平或倾斜,视距是从________到________的距离。
23. 若知道某地形图上线段AB的长度是cm5.3,而该长度代表实地水平距离为m5.17,则该地形图的比例尺为_________,比例尺精度为__________。
2006年全国高中数学联赛加试题另解
当 p > q 时 ,有两个不动点
x1 ,2 = p ± p - q .
即 C1 N + B 0 M = C1 B 0 . 又因为 B 0 K = B 0 M ,所以 , C1 K = C1 N .
1 π - ∠AC1 B 0 ) , 则 ∠N KC1 = ( 2
在已知递推关系式两边同时减两个不动 点 ,化简得
an =
Ζ an - 1 = 1 或 an - 2 = 1. 0 0 依次往前递推知 x = 1 或 y = 1.
( ii ) 当 α= - 1 时 , a n0 = - 1. 于是 ,
an0 = an0 - 1 a n0 - 2 + 1 a n0 - 1 + a n0 - 2
( x + 1) ( y + 1) ( y - 1) + ( x - 1) . ( x + 1) Fn - 2 ( y + 1) Fn - 1 - ( x - 1) Fn - 2 ( y - 1) Fn - 1
= β. 易知
图1
对于 ⊙C0 ,由弦切角定理得 ∠Q1 P0 N =
1 ∠Q1 C0 P0 ; 2 1 ∠P0 B 0 Q0 . 2
对于 ⊙B 0 ,由弦切角定理得 ∠Q0 P0 N =
∠P0 Q0 P1 = ∠P0 Q0 B 0 + ∠P1 Q0 C1
故 ∠Q1 P0 Q0 = ∠Q1 P0 N - ∠Q0 P0 N
2
B 0 C0
2
C0 B 1 - C1 B 1
2 C0 B 1
2
+
B 0 C1 + C1 B 1
2
= B 0 C0 ,
故 ∠P1 Q0 P0 = ∠P1 Q0 C1 + ∠B 0 Q0 P0
工程测量问答题总结
工程测量问答题总结第一章绪论1、何谓测量学？其主要任务是什么？2、什么叫水准面？它有什么特性？3、何谓大地水准面？4、测量工作的基准面和基准线是什么？5、“测量工作的实质是确定地面点的位置”这句话，你是怎么理解的？6、何谓地理坐标？7、测量上的平面直角坐标与数学上的平面直角坐标有何区别？8、地面点的高程是否只能从大地水准面算起？9、用水平面代替水准面对距离和高程分别有什么影响？10. 确定地面上一点的位置，常用的坐标系有哪些？它们如何定义的？11．高斯平面直角坐标系是怎样建立的，请写出高斯6°带投影的中央子午线通项公式？12．已知某点所在高斯6°投影带的中央子午线经度是117°，该点位于轴子午线以西20 公里，该点的高斯横坐标为多少？13．什么叫施工放样？14．测量工作的基本原则和测量的基本工作分别是什么？15．何谓控制测量和碎部测量？两者有何关系？第二章水准测量1、水准测量的原理是什么？2、什么叫水准管分划值？什么叫视准轴？3、什么叫水准点及转点？4、什么叫视差？视差产生的原因是什么？如何消除视差？5、简述水准仪的操作步骤。
6、圆水准器和水准管的作用分别是什么？7、读完后视读数后，圆水准气泡不居中了，能否调节脚螺旋使气泡居中？为什么？8、水准测量的校核方法有哪些？其作用分别是什么？9、水准仪有哪些主要的几何轴线？它们之间应满足的几何关系是什么？10、简述视准轴不平行于水准管轴的检校方法。
11、在水准测量中，为什么要求前后视距尽量相等？12、安置仪器在A、B两点的中点, 测得正确高差ｈAB=＋0.422m，然后将仪器搬到Ａ点近端，读得近尺读数ａ=1.420m，远尺读数b=1.008m，问水准管轴是否平行于视准轴？如不平行，该怎样校正？13、完成图示附合水准路线的平差计算。
（图略）14、完成图示闭合水准路线的平差计算。
（图略）第三章角度测量1、什么叫水平角?照准在同一竖直面内不同高度的目标时，在水平度盘上的读数是否相同?测站点与此不同目标的两连线，两连线所夹角度是不是水平角？为什么？2、何谓度盘分划值？3、简述经纬仪的操作步骤，其对中和整平的目的分别是什么?4、什么是竖直角?什么是竖盘始读数?什么是竖盘指标差?5、竖盘指标水准管的作用是什么?6、在测竖直角时，竖盘和指标的转动关系与测水平角时平盘和指标的转动关系有何不同?7、怎样根据竖盘注记形式导出竖直角和指标差的计算公式?8、怎样进行指标差的检校?9、经纬仪的主要轴线应满足哪些几何条件?应怎样检验？10.何谓视准误差?如何检校视准误差?11、经纬仪的检校顺序是否可以颠倒?为什么?12、对中与目标偏心的误差与目标的远近有何关系?13、全圆测回法观测中有哪几项限差?14、用盘左、盘右测角能削弱仪器的哪些误差?能否削弱整平不良的误差?15、用一台校正不完善的经纬仪延长直线，怎样才能得到正确的反向延长线?第四章距离测量和直线定向1．进行直线定线的目的是什么?目估定线通常是怎样进行的?2．常规距离测量有哪些方法?各有什么优缺点?3．简述用钢尺在平坦地面量距的步骤。
2006年第23届全国中学生物理竞赛
2006年第23届全国中学生物理竞赛复赛试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．有一竖直放置、两端封闭的长玻璃管，管内为真空，管内有一小球自某处自由下落（初速度为零），落到玻璃管底部时与底部发生弹性碰撞。
以后小球将在玻璃管内不停地上下跳动。
现用支架固定一照相机，用以拍摄小球在空间的位置。
每隔一相等的确定的时间间隔T 拍摄一张照片，照相机的曝光时间极短，可忽略不计。
从所拍到的照片发现，每张照片上小球都处于同一位置。
求小球开始下落处离玻璃管底部距离（用H 表示）的可能值以及与各H 值相应的照片中小球位置离玻璃管底部距离的可能值。
2．如图所示，一根质量可以忽略的细杆，长为2l ，两端和中心处分别固连着质量为m 的小球B 、D 和C ，开始时静止在光滑的水平桌面上。
桌面上另有一质量为M 的小球A ，以一给定速度0v 沿垂直于杆DB 的方间与右端小球B 作弹性碰撞。
求刚碰后小球A ，B ，C ，D 的速度，并详细讨论以后可能发生的运动情况。
3．有一带活塞的气缸，如图所示。
缸内盛有一定质量的气体。
缸内还有一可随轴转动的叶片，转轴伸到气缸外，外界可使轴和叶片一起转动，叶片和轴以及气缸壁和活塞都是绝热的，它们的热容量都不计。
轴穿过气缸处不漏气。
如果叶片和轴不转动，而令活塞缓慢移动，则在这种过程中，由实验测得，气体的压强p 和体积V 遵从以下的过程方程式a pV k =其中a ，k 均为常量， a >1（其值已知）。
可以由上式导出，在此过程中外界对气体做的功为1121111a a k W a V V --⎡⎤=-⎢⎥-⎣⎦式中2V 和1V 分别表示末态和初态的体积。
如果保持活塞固定不动，而使叶片以角速度ω做匀角速转动，已知在这种过程中，气体的压强的改变量p ∆和经过的时间t ∆遵从以下的关系式1p a L t Vω∆-=⋅∆式中V 为气体的体积，L 表示气体对叶片阻力的力矩的大小。
测量竞赛试题
第一章测量的基本知识----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------在高斯投影中，中央子午线的投影为一直线，赤道的投影也为一直线（）A. 正确B. 错误知识类别：1；难度系数：3；答案：A----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------任何一个静止的水面都可以称为水准面。
A. 正确B. 错误知识类别：1；难度系数：1；答案：A-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------地面点的高程是指该点到参考椭球面的垂直距离。
A. 正确B. 错误知识类别：1；难度系数：2；答案：B----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------从赤道面起，向北0°～180°称为北纬；向南0°～180°称为南纬。
（）A. 正确B. 错误知识类别：1；难度系数：1；答案：B----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------水准面有无数个，大地水准面只有一个（）A. 正确B. 错误知识类别：1；难度系数：1；答案：A------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------测量学中，将空间坐标系分为参心坐标系和地心坐标系，工程测量中通常使用参心坐标系。
测量问题竞赛辅导
测量问题竞赛辅导（长度，质量）测量问题【例1】天平就是等臂的，若存有一架不等臂天平，你能够用它测量一物体的质量吗？如果能够，怎样测？【基准2】为制作高度为2米的英雄塑像，先用同样材料精制一个小样，高度为20厘米，质量为3千克，那么这个塑像的质量将是_______吨。
【例3】例如图4-2右图，a、b从同一块粗细光滑的铁块上裁下来的两块大铁板，其中a的形状圆形，b就是正方形。
给你刻度尺和一架天平（存有砝码），你能够精确地求出来铁板a的面积吗？讲出你的办法。
【例4】有一堆同种规格裸铜线，请设计一个方案测出它的长度。
【基准5】生产和生活中有时必须使用粗管子。
细管外径难测量，但内径大小，无法轻易测量。
恳请设计一个测量方案，写下应当测量的数据和适当的计算公式。
【例6】小刚用一把刻度均匀的米尺测得一块玻璃的宽度为0.754m，将这把米尺与标准尺校准时，发现米尺的实际长度为1.005m，如果此人测量方法完全正确，这块玻璃的实际宽度为______.【基准7】某同学为了测到粗铜丝的直径，先将粗铜丝在铅笔上密切排绕50圈，然后用毫米刻度尺测得铜线圈的总长度为70.5毫米，则粗铜丝直径为______【例8】．有一架托盘天平，没有游码，最小砝码为100毫克，用这架天平称量一个物体，当在右盘中加上36.20克砝码时，天平指针向左端偏1小格；如果在右盘中再加上100毫克的砝码时，天平指针则向右端偏1.5小格，那么所称物体的质量为[]a．36.10克b．36.22克c．36.24克d．36.25克【例1】天平就是等臂的，若存有一架不等臂天平，你能够用它测量一物体的质量吗？如果能够，怎样测？分析】天平的生产原理就是等臂杠杆的平衡条件，若天平左右臂，就可以用间接的方法测量物体的质量，方法存有三种：【解法1】复称法，其步骤是：①将被测物体置于左盘，在右盘中多寡砝码并使天平均衡。
设立物体质量为m0，右盘中砝码总质量为m1，则存有m0l1=m1l2（l1、l2为天平两臂长度）②再将被测物体放于右盘，在左盘中增减砝码使天平平衡。
测量问答题
1、什么是水准面、大地水准面？大地水准面有何特性？答：所谓水准面是假想处于静止状态的海水面延伸穿过陆地和岛屿，将地球包围起来的封闭曲面。
所谓大地水准面是通过平均水面的水准面。
大地水准面具有唯一性，水准面和大地水准面具有共同的特性，即处处与铅垂线方向相垂直。
2、大地测量作业的基准面、基准线是什么？答：大地水准面和铅垂线是大地测量作业的基准面和基准线。
3、什么是绝对高程？什么是相对高程？什么是高差？答：高程是指地面点沿铅垂线到一定基准面的距离。
测量中定义以大地水准面作基准面的高程为绝对高程，简称高程，以H表以其它任意水准面作基准面的高程为相对高程或假定高程，以H’表示。
地面任意两点之间的高程之差称为高差，用h表示：无论采用绝对高程还是相对高程，两点间的高差总是不变的。
4、测量二维坐标系统有哪些？测量上的直角坐标系与数学上直角坐标系有何区别？答：测量二维坐标系统有球面或平面坐标：1）大地坐标系；2）高斯平面直角坐标系；3）独立平面直角坐标系。
无论是高斯平直角坐标系还是独立平面直角坐标系，均以纵轴为轴，横轴为轴，这与数学上笛卡尔平面坐标系的轴和轴正好相反；测与数学上关于坐标象限的规定也有所不同，二者均以北东为第一象限，但数学上的四个象限为逆时针递增，而测量上则为顺时针递增5、用水平面代替水准面，在距离测量及高程测量中的限度是多少？答：当地形图测绘或施工测量的面积较小时，可将测区范围内的椭球面或水准面用水平面来代替，这将使测量的计算和绘图大简便，但必须有一定的限度。
距离测量时，以半径为10km的区域作为用水平面代替水准面的限度；高程测量中，以距离100m为用平面代替水准面的限度。
6、什么是直线定向？标准方向有哪些？答：直线定向就是确定一条直线与标准方向的夹角，一般用方位角表示。
标准方向有：1）真子午线指北端方向；2）磁子午线北端方向；3）平面坐标纵轴平行线指北端方向。
7、什么是方位角？取值范围？什么是正方位角、反方位角？正、反方位角如何换算？答：所谓方位角就是自某标准方向起始，顺时针至一条直线的水平角，取值范围为。
测量竞赛实际操作题
实操题一、四等水准测量（占总成绩40％）1．测量要求：1）小组成员按四等水准测量要求完成一闭合路线的测定。
从指定的一个已知高程点，测定2个指定待测水准点的高程，并闭合到原已知高程点上；2）观测时前、后视距离必须根据上、下丝读数计算，上、下丝读数应记录在手薄中；3）观测必须使用S型微倾水准仪。
（可以自带）34）观测顺序为“后－后－前－前”。
5）观测时间为：40分钟。
2.比赛要求：1）各组观测路线的起始点及待定点由竞赛委员会事先确定，各组现场抽签确定测量路线。
2）记录必须采用竞赛委员会统一发放的盖有竞赛委员会专用章的手薄。
3）每测段测量2站，共6站。
4）计算表格由组委会提供，现场完成计算，计算结果取位至0.001m。
5）各小组独立作业，每个参赛组至少3位选手各自独立完成一站观测。
6）观测过程中不允许妨碍或阻挡其他小组的观测，经劝告无效者取消比赛资格。
3.技术要求：1)观测、记录和计算必须按四等水准测量的规范执行，观测限差见下表。
2)记簿应记录完整，符合规定，并标明参赛组号，每站必须备注栏内填写观测者。
3)计算表中应注明高差闭合差。
4)测段不进行检核，最后进行总的检核。
表1 水准测量基本技术要求注：L为水准路线长度，以km计。
4．评分标准以参赛队完成作业的速度、观测质量和计算结果评定成绩，采用百分制，其中速度占50%，成果质量占30％，计算结果占20％。
1)时间（50分）：裁判宣布开始，测量计时同时开始，到仪器装箱、上交成果计时结束。
以完成任务的时间为准（精确到秒）计分，得分计算方法：设该项成绩满分为50分，所有参赛组中最先完成的时间为，最晚完成的时间为，各组成绩（时间计为）按下列公式计算：超过40分钟时，裁判应终止该组观测。
有多组被终止观测的，按观测数据多少排名，计算时间分值。
2)观测质量（30分）成果全部符合限差和无违反规定者排名居前。
外业观测要求：a.每一测站限差及计算考核，占20分。
以技术要求中所列项目为考核对象，符合规范规定限差为合格，每超限一处，扣3分，扣完为止。
工程测量问答题
五、问答题（一）测量学基础知识（1-63题）1.地面上一点得空间位置在测量工作中是怎样表示的？2.何谓绝对高程，相对高程，高差？3.试述测量工作平面直角坐标系与教学计算中平面直角坐标系的不同点？4.普通测量学的任务是什么？5.何谓水准面？6.水平面与水准面有何区别？7.确定地面点位要做哪些基本测量工作？8.在测量中，采取哪些措施来保证测量成果的正确性？9.何谓正、反方位角？10.为了保证一般距离丈量的境地，应注意哪些事项？11.直线定向的目的是?常用什么来表示直线方向？12.距离丈量有哪些主要误差来源？13.直线定向与直线定线有何区别？14.试述罗盘仪测定磁方位角的主要操作步骤。
15.钢尺的名义长度与标准长度有何区别？16.何谓直线定线？17.何谓水准仪的视准轴误差？怎样检校？18.何谓高差闭合差？怎样调整高差闭合差？19.绘图说明水准仪用角螺旋使圆水准气泡居中的操作步骤。
20.影响水准测量成果的主要因素有哪些？如何减少或消除？21.水准测量中转点应如何选择？22.绘图说明水准测量的基本原理。
23.视差产生的原因是什么？如何消除？24.试述在一测站上测定两点高差的观测步骤。
25.如何进行圆水准器轴平行于竖轴的检校？26.为什么观测时要把水准仪安置在距两尺基本等远处？27.叙述用测回法观测水平角的观测程序。
28.指标差怎样检校？29.简述在一个测站上观测竖直角的方法和步骤。
30.水平角观测时应注意哪些事项31.竖角测量中指标差是指什么？32.什么叫水平角？33.经纬仪上有几对制动、微动螺旋？各起什么作用？如何正确使用？34.对中和整平的目的是什么？试述仅有一个水准管的经纬仪的整平操作方法。
35.什么是竖直角？36.何谓系统误差？偶然误差？有合区别？37.试述中误差，容许误差、相对误差的含义与区别？38.举例说明如何消除或减小仪器的系统误差？39.偶然误差具有什么特征？40.等精度观测中为什么说算术平均值是最可靠的值？41.从算术平均值中误差（M）的公式中，使我们在提高测量精度上能得到什么启示？42.什么叫观测误差？产生观测误差的原因有哪些？43.观测值函数的中误差与观测值中误差存在什么关系？44.闭和导线的内业计算有几步？有哪些闭合差？45.何谓基线闭合差、归零差、测回差、2C互差？46.绘图简述四个方向的方向观测方法？47.跨河水准测量中仪器与水准尺的安置为什么要构成平行四边形？48.简述四等水准测量（双面尺）一个测站的观测程序？49.导线布置的形式有哪几种？50.为敷设经纬仪导线，在选点时应考虑哪些问题？51.经纬仪导线测量中，应直接观测哪些元素？52.小三角测量的特点是什么？它与导线测量相比有何异同？53.小三角测量的布置形式有哪几种？54.试述高等线的性质？55.何谓坡度？在地形图上怎样确定两点间的坡度？56.何谓地形图及地形图比例尺？57.什么是比例尺的精度？58.表示地物的符号有哪几种？举例说明。
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2006年竞赛辅导（一）---测量问题
测量问题一
1．一个同学正确测得铅笔的长度是16．34厘米。
从这个数据看，他所用刻度尺的最小刻度( )
A．分米。
B．厘米。
C．毫米D．微米。
思路点拨
用刻度尺测量长度时，正确的读法是读数的末位数字是估读的(注意：估读数字只能有一位)，例如，如图,以最小刻度为1cm的米尺量一个长约为12 cm的物体的长度时，若该物体的一端与刻度尺的零刻度线对齐，而另一端超过12cm刻度线，其超过部分用目测若约为一个最小刻度长的南，则该长度应读为12．4cm，其中0．4cm的4这一位就是估读的，它不一定很准，也可能超过0．4cm，也可能少于0．4cm．对于这一数值，若只读为12cm或者读为12．43cm，则都是不对的．前者没有进行估读，会使人误以为12cm的2这一位是估读的；后者则由于4这一位就是估读的，若再在其更下一位估读一个数字，显然是没有意义的．
由上可见，本题读得的长度是16．34cm，其中最末位的0．04cm即0．4mm是估读的，可见该刻度尺的最小刻度为毫米．
答案：C
2．为了比较准确地测出一堆相同规格的小橡胶垫圈的数量（估计为1000个），最好采用下列哪种方法？[ ]
A．将这些垫圈叠在一起，用刻度尺量出总厚度L，再量出一个垫圈
B．将这些垫圈叠在一起，用刻度尺量出总厚度L，再量出10个垫
C．用天平测出这些垫圈的总质量M，再测出一个垫圈的质量M1，
D．用天平测出这些垫圈的总质量M，再测出10个垫圈的质量M10。
思路点拨
要将近千个小橡胶垫圈一个接一个地叠起来，实际上很难做到的，更不要说叠起来还要测量其总厚度了．因此，选项A和B所用的方法实际上是不可能的．
用天平测出这些垫圈的总质量M是简易可行的．理论上说，只要再测出一个垫圈的质
量M1，则M/M1等就是这些垫圈的总数了．但实际上测一个垫圈的质量却有两个问题：一是这些垫圈可能不很均匀，只取一个垫圈，则其质量可能偏大或偏小，这会使最后得出总数误差较大；二是一个垫圈质量很小，用天平测它的质量时相对误差会较大，也会导致最后结果误差较大．而如果是取10个垫圈测出其质量M10，再以M10/10为一个垫圈的质量，这样显然可以使上述的误差减小，并且也是可行的，故本题的最好办法是选项D提供的办法．答案：D
测量问题二
1．下图是根据广西北海市一家宾馆中所挂钟表的照片绘制的示意图，图中秒针、分针和标有24个数字的转盘都沿顺时针方向转动。
根据钟表的示数，这张照片是在北京时间（按24小时制计时）______时______分______秒拍摄的。
思路点拨
图中数字圈0～23表示小时数，图中每个城市所在位置对应的数字就是此刻该城市时间的小时数；而内圈数字5～60则是表示时间的分数或者秒数，按照习惯，图中的短针为“分针”，所指示的数值为时间的分数；图中的长针为“秒针”，所指示的数值为时间的秒数．例如，北京所在位置此时所对小时数为20，而钟面上的分数为24min，秒数为57s．故此时刻的北京时间为20h24min57s．
此钟表的功能是显示同一时刻世界上一些主要城市的时间，由表可见．当北京时间为20h24min57s时，莫斯科时间则为15h24rnin57s，而纽约时间才是7h24min57s．
答案:20，24，57
2．量筒做得细而高（图所示），不做成粗而矮的形状，这主要是因为[ ]
A．实验中，细高的量筒便于操作。
B．细高的量筒可以做出相对较大的底座，增加稳度。
C．细高的量筒与粗矮的相比，相应的刻度间隔较大，便于准确地读数。
D．粗矮量筒中的液体较多，筒壁所受压强较大，需用较厚的玻璃，因而不便读数。
思路点拨
以S表示量简的截面积，则体积为V的水，在量筒中形成的水柱的高度h为
在V一定时，S越小则h越大．因此，如以同样一个体积单位(如1cm3)在量筒上刻度，则量筒截面积S越小，其相邻刻度线间距离就越大，测量读数时就能越准确．可见量筒做得细而高，是为了便于准确地读数．
答案：C
测量问题三
图是一张上海市地图的示意图．该地图的原始尺寸是27×38ｃｍ２．现有型号为ＷＬ－1000型的物理天平（最大称量1 000克，感量0.05克）一架，透明描图纸一张，大小为27×38ｃｍ２质量为8克的白纸若干张及剪刀一把等器材．
（1）请你设计一个测量上海市实际面积（图15中阴影部分，不包含崇明、长兴、横沙三岛）的方法．（要求测量过程中不损坏原图）
（2）若要求测量值与图示面积之差不大于20平方公里（地图比例尺1厘米∶600000厘米）．则测量过程中，至少要用几张白纸．
思路点拨
利用天平可测出地图上表示上海市区部分的纸的质量，而这一质量与整张地图纸的质量之比也就等于上海市区面积与整张地图所表示的面积之比，由地图的比例尺和地图的实际尺寸可求得整张地图所表示的面积，再利用前述比值便可求得上海市区的面积了．
答案: (1)可以用如下方法来测量上海市的实际面积：
a)将地图上表示上海市区域(图中的阴影部分)描在描图纸上；
b)用剪刀将描图纸所描出的表示上海市区域的部分剪下，然后再按描图纸的形状剪下若干张白纸；
c)利用天平称出表示上海市区域面积白纸的质量；
d)利用地图比例尺，求出上海市区域的实际面积．
(2)设称得表示上海市区面积的白纸每张的质量为m，白纸每平方厘米的质量为σ，地图比例尺为n，则计算上海市区域的实际面积公式为
根据题中条件和上式计算可得：每平方厘米白纸的质量为
而20km2的实际面积对应的白纸面积为
面积为S1的白纸的质量为
m1=σS1=7．8×10-3×0．56g=4．36×10-3g
由于天平感量m0=0．05g，对应的每张纸的误差质量又不能超过m1=4．36×10-3g，所以至少需要白纸张数为
即至少需要12张白纸．
测量问题四
1.小刚利用一台测体重的台秤、一张纸、一盆水就粗略地测出了排球击在地面上时对地面作用力的大小。
你能说出他是怎样做的吗？
答案：(1)把纸铺在地上，把球用水沾湿。
(2)用球击纸，留下图形湿迹。
(3)把被球沾湿的纸铺在台秤上。
(4)用力把球按在纸上，当球和纸上的圆形湿迹完全接触时，台秤示数即为球击地时对地的作用力。
2．弹簧拉力器的说明书上写着，把每一根弹簧拉长10厘米需要要10牛顿的力。
王刚把图中的拉力器拉长0.4米，他的拉力是______牛顿。
思路点拨
由胡克定律知，在弹性限度内，弹簧的伸长量与对弹簧所加的拉力成正比，在图中，王刚把每条弹簧都拉长了40cm，由此，每条弹簧产生的弹力都是40N，而一共有4条弹簧，故王刚所需用的拉力大小应为
40N×4=160N
答案：160。