2018中考数学压轴题探究专题 ：平行四边形的存在性问题

若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，导出矛盾，就做出不 存在的判断。 由于“存在性”问题的结论有两种可能，所以具有开放的特征， 在假设存在性以后进行的推理或计算，对基础知识，基本技能提出了 较高要求，并具备较强的探索性，正确、完整地解答这类问题，是对 我们知识、能力的一次全面的考验。这里我们主要讨论在平面直角坐 标系中平行四边形是否存在的问题。先假设平行四边形存在，并在坐 标系中把平行四边形做出来， 再根据平行四边形的性质得出相应的点 或边的关系，从而得出结论，在作图的时候要注意分类讨论，把所有 的情况考虑进去。
中考数学解法探究专题：平行四边形的存在性问题
【专题解析】 考题研究： 存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题， 这类 问题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法 灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，是近几年来各地 中考的“热点” 。 解题攻略： 解平行四边形的存在性问题一般分三步： 第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算． 难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使解的个数 不重复不遗漏，也可以使计算又好又快． 如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的 有 3 个点：以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行 线，三条直线两两相交，产生 3 个交点． 如果已知两个定点， 一般是把确定的一条线段按照边或对角线分 为两种情况． 根据平行四边形的对边平行且相等， 灵活运用坐标平移， 可以使得计算过程简便． 根据平行四边形的中心对称的性质，灵活运用坐标对称，可以使 得解题简便． 解题思路： 这类题目解法的一般思路是：假设存在→推理论证→得出结论。
（1）求直线 AE 的解析式； （2）点 P 为直线 CE 下方抛物线上的一点，连接 PC，PE．当△PCE 的面积最大 时，连接 CD，CB，点 K 是线段 CB 的中点，点 M 是 CP 上的一点，点 N 是 CD 上 的一点，求 KM+MN+NK 的最小值； （3）点 G 是线段 CE 的中点，将抛物线 y= x 2﹣ x﹣ 沿 x 轴正方向平移
【考点】HA：抛物线与 x 轴的交点；H8：待定系数法求二次函数解析式；T7： 解直角三角形． 【分析】 （1）将点 A、B 代入抛物线 y=﹣x2+ax+b，解得 a，b 可得解析式； （2）由 C 点横坐标为 0 可得 P 点横坐标，将 P 点横坐标代入（1）中抛物线解析 式，易得 P 点坐标； （3）由 P 点的坐标可得 C 点坐标，由 B、C 的坐标，利用勾股定理可得 BC 长， 利用 sin∠OCB= 可得结果．
得到新抛物线 y′，y′经过点 D，y′的顶点为点 F．在新抛物线 y′的对称轴上，是否 存在一点 Q，使得△FGQ 为等腰三角形？若存在，直接写出点 Q 的坐标；若不存 在，请说明理由． 【考点】HF：二次函数综合题． 【分析】 （1）抛物线的解析式可变形为 y= （x+1） （x﹣3） ，从而可得到点 A
例题解析（2017 年真题和 2017 年模拟）
1．已知二次函数的表达式为 y=x2+mx+n． （1）若这个二次函数的图象与 x 轴交于点 A（1，0） ，点 B（3，0） ，求实数 m， n 的值； （2）若△ABC 是有一个内角为 30°的直角三角形，∠C 为直角，sinA，cosB 是方 程 x2+mx+n=0 的两个根，求实数 m，n 的值． 【考点】HA：抛物线与 x 轴的交点；T7：解直角三角形． 【分析】 （1）根据点 A、B 的坐标，利用待定系数法即可求出 m、n 的值； （2）分∠A=30°或∠B=30°两种情况考虑：当∠A=30°时，求出 sinA、cosB 的值， 利用根与系数的关系即可求出 m、n 的值；当∠B=30°时，求出 sinA、cosB 的值， 利用根与系数的关系即可求出 m、n 的值． 【解答】解： （1）将 A（1，0） 、B（3，0）代入 y=x2+mx+n 中， ，解得： ，
∴点 P 的坐标为（ ， ） ；
（3）∵点 P 的坐标为（ ， ） ，点 P 是线段 BC 的中点， ∴点 C 的纵坐标为 2× ﹣0= ， ∴点 C 的坐标为（0， ） ， ∴BC= = ，
∴sin∠OCB=
=
=
．
Байду номын сангаас
3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=
x 2﹣
x﹣
与 x 轴交于 A、B
两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C，对称轴与 x 轴交于点 D，点 E（4， n）在抛物线上．
∴实数 m=﹣4、n=3． （2）当∠A=30°时，sinA=cosB= ， ∴﹣m= + ，n= × ， ∴m=﹣1，n= ； 当∠B=30°时，sinA=cosB= ∴﹣m= ∴m=﹣ + ，n= × ， ，
，n= ． 、n= ．
综上所述：m=﹣1、n= 或 m=﹣
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=﹣x2+ax+b 交 x 轴于 A（1，0） ，B（3， 0）两点，点 P 是抛物线上在第一象限内的一点，直线 BP 与 y 轴相交于点 C． （1）求抛物线 y=﹣x2+ax+b 的解析式； （2）当点 P 是线段 BC 的中点时，求点 P 的坐标； （3）在（2）的条件下，求 sin∠OCB 的值．
【解答】解： （1）将点 A、B 代入抛物线 y=﹣x2+ax+b 可得，
， 解得，a=4，b=﹣3， ∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+4x﹣3；
（2）∵点 C 在 y 轴上， 所以 C 点横坐标 x=0， ∵点 P 是线段 BC 的中点， ∴点 P 横坐标 xP= = ，
∵点 P 在抛物线 y=﹣x2+4x﹣3 上， ∴yP= ﹣3= ，
和点 B 的坐标，然后再求得点 E 的坐标，设直线 AE 的解析式为 y=kx+b，将点 A 和点 E 的坐标代入求得 k 和 b 的值，从而得到 AE 的解析式； （2）设直线 CE 的解析式为 y=mx﹣ ，将点 E 的坐标代入求得 m 的值，从而
得到直线 CE 的解析式，过点 P 作 PF∥y 轴，交 CE 与点 F．设点 P 的坐标为（x， x 2﹣ x﹣ ） ，则点 F（x， x﹣ x 2+ ） ，则 FP= x 2+ x．由三