西南大学2019秋[0264]《概率论》在线作业答案
西南大学概率论第二次应用题作业[1]
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0264应用题1．发报台分别以0.7和0.3的概率发出信号0和1，由于通信系统受到干扰，当发出信号0时，收报台分别以0.8和0.2的概率收到信号0和1；又当发出信号1时，收报台分别以0.9及0.1的概率收到信号1和0。
求收报台收到信号0，此时原发信号也是0的概率.2．设顾客在某银行的窗口等待服务的时间ξ（以分计）服从指数分布其概率密度函数为其他0051)(5>⎪⎩⎪⎨⎧=-x ex p x某顾客在窗口等待服务，若超过十分钟他就离开，他一个月要到银行五次，以η表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，（1）求概率)1(≥ηP ；（2）求η的数学期望ηE3．炮战中，在距目标250米，200米，150米处射击的概率分别为0.1、0.7、0.2,而在各处射击时命中目标的概率分别为0.05、0.1、0.2,（1）求目标被击毁的概率；（2）现在已知目标被击毁，求击毁目标的炮弹是由距目标250米处射出的概率。
4．设某人的每月收入服从指数分布，月平均收入为1500元，按规定月收入超过2000元应交纳个人所得税，问此人每年平均有几个月要交个人所得税？（34-e =0.26）5.假设某地区位于甲、乙两河流交处，当任一河流泛滥时，该地区即遭受水灾，设某时期内甲河流泛滥的概率为0.1，乙河流泛滥的概率为0.2，当甲河流泛滥时，乙河流泛滥的概率为0.3，求：(1)该时期内这个地区遭受水灾的概率；(2)当乙河流泛滥时，甲河流泛滥的概率。
6.已知产品中96％是合格品，现有一种简化的检验方法，它把真正的合格品确认为合格品的概率为0.98，而误认废品为合格品的概率为0.05，求：(1) 产品以简化法检验为合格品的概率；（2）以简化方法检验为合格品的一个产品确实为合格品的概率。
7.一个机床有51的时间加工零件A,其余时间加工零件B ，加工零件A 时，停机的概率为0.3,加工零件B 时，停机的概率为0.4,求这个机床停机的概率。
西南大学概率论与数理统计习题集答案
1、设总体X 服从正态分布),(2σμN ，其中μ已知，2σ未知，n X X X ,,,21 为其样本，2≥n ,则下列说法中正确的是（ D ）。
（A ）∑=-ni iXn122)(μσ是统计量 （B ）∑=ni iXn122σ是统计量（C ）∑=--ni i X n 122)(1μσ是统计量 （D ）∑=ni i X n12μ是统计量2、设两独立随机变量)1,0(~N X ，)9(~2χY ，则YX 3服从（ C ）。
)(A )1,0(N )(B )3(t )(C )9(t )(D )9,1(F3、设两独立随机变量)1,0(~N X ，2~(16)Y χC ）。
)(A )1,0(N )(B (4)t )(C (16)t )(D (1,4)F4、设n X X ,,1 是来自总体X 的样本，且μ=EX ，则下列是μ的无偏估计的是（ A ）.)(A ∑-=-1111n i i X n )(B ∑=-n i i X n 111 )(C ∑=n i i X n 21 )(D ∑-=111n i i X n 5、设4321,,,X X X X 是总体2(0,)N σ的样本，2σ未知，则下列随机变量是统计量的是（ B ）.（A ）3/X σ； （B ）414ii X=∑； （C ）σ-1X ； （D ）4221/ii Xσ=∑6、设总体),(~2σμN X ，1,,n X X 为样本，S X ,分别为样本均值和标准差，则下列正确的是（ C ）.2() ~(,)A X N μσ 2() ~(,)B nX N μσ22211()()~()ni i C X n μχσ=-∑(~()D t n7、设总体X 服从两点分布B （1，p ），其中p 是未知参数，15,,X X ⋅⋅⋅是来自总体的简单随机样本，则下列随机变量不是统计量为（ C ）( A ) . 12X X +( B ){}max ,15i X i ≤≤( C ) 52X p +( D )()251X X -8、设1,,n X X ⋅⋅⋅为来自正态总体2(,)N μσ的一个样本，μ，2σ未知。
概率论与数理统计习题集及答案
《概率论与数理统计》作业集及答案第1章 概率论的基本概念§1 .1 随机试验及随机事件1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ；(2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ；2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= .(2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ；B ：两次出现同一面，则= ；C ：至少有一次出现正面，则C= .§1 .2 随机事件的运算1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件：(1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： .(3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： .(5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： .2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则（1）=⋃B A ，（2）=AB ，（3）=BA ，（4）B A ⋃= ，（5）B A = 。
§1 .3 概率的定义和性质1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===⋃B P A P B A P ，则(1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ⋃= .2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = .§1 .4 古典概型1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率,(2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率.2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.§1 .5 条件概率与乘法公式1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。
2020年秋季学期西南大学[1246]《概率论与数理统计作业答案
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单项选择题1、设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N（160，400）分布。
则寿命超过180小时的概率为( )..0.5949.0.1587.0.8413.0.29742、.(2).(1).(4).(3)3、甲袋中有3个白球2个黑球，乙袋中有4个白球4个黑球，今从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，则该球是白球的概率是（）。
.13/25.3/25.7/25.1/54、设随机变量X的分布律为P{X=k}=a/N，k=1，2，…，N，则常数a=（）..(N+1)/2.2.1.N/25、已知P(A)=P(B)=P(C)=1/3, A与B互不相容，P(AC)=P(BC)=1/4, 则事件A、B、C全不发生的概率为（）..1/4.7/12.1/2.1/36、18个人用摸彩的方式决定谁得一张电影票，他们依次摸彩，则已知前7个人都没摸到，第8个人摸到的概率为（）..1/11.1/8.1/7.1/127、从6双不同的皮鞋中任取4只，其中恰有一双配对的概率是（）。
.8/33.2/33.4/33.16/338、甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，飞机被击落的概率为( )..0.634.0.135.0.458.0.7829、第一只盒子装有5只红球，4只白球；第二只盒子装有4只红球，5只白球。
先从第一盒子中任取2只球放入第二盒中去，然后从第二盒子中任取一只球，则取到红球的概率为( )..58/99.46/99.53/99.41/9910、把长为1的棒任意折成三段，则它们不能构成三角形的概率为( )..1/4.5/6.3/4.1/211、.(2).(3).(4).(1)12、在某工厂里有甲、乙、丙三台机器生产螺丝钉，它们的产量各占25%，35%，40%，并在各自的产品里，不合格品各占有5%，4%，2%。
西南大学《概率统计初步》网上作业及参考答案
第一套作业题一.单项选择题1.设A 、B 是二事件，9.0)(=⋃B A P ，P(A)=0.5 , P(B)=0.8,则P(B-A) = ( ).A 0.4B 0.3C 0.2D 0.12.一部四卷的文集随意摆放到书架上，则恰好各卷自左向右或自右向左的卷号为1，2，3，4的概率为（ ）。
A241 B 121 C 61 D 313.服从（ ）分布的随机变量为连续型随机变量。
A 二项B 均匀C 几何D 两点4.设随机变量为X 与Y ，已知DX=25,DY=36,相关系数ρ=0.4,则D(X-Y)=( ). A. 85 B. 61 C. 11 D .37. 二.判断题1． 设A 、B 、C 表示三事件，则事件“A 、B 、C 三事件中至多有一个发生”表为A ∪B ∪C 。
【 】2.从1，2，3，4，5，6这六个数中随机的、有放回的连续抽取4个，则“取到的4个数字完全不同”的概率为5/18. 【 】3.X ～N(3,4),则P(X<3)= P(X>3). 【 】4.随机变量X 、Y 独立，则X 与Y 必不相关。
【 】5.某工厂用自动包装机包装葡萄糖，规定标准重量为每袋500克。
某天从生产的产品中随机抽取9袋，测得平均重量501.3克，样本标准差5.62，假设每袋重量服从正态分布N (a,σ2),检验该天包装机工作是否正常,应用t 检验。
【 】三.填空题1.有10个产品其中3个次品，从中任取2个，则取出的2个中恰有1个次品的概率为 。
2.设A 与B 为两个随机事件，且P （A ）= 0.3，P （B ）= 0.5，若A 与B 相互独立，则P （A ∪B ）= .3．某城市50％住户订日报，65％订晚报，85％住户至少订有这两种报纸的一种，现随意抽取一住户，则该住户同时订有这两种报纸的概率为 .4．设=≥==)1(,9/4)0(),,3(~),,2(~Y P X P p B Y p B X 则若.5. 假设X ，Y 为二随机变量，且D （X ＋Y ）＝7，D （X ）＝4，D （Y ）＝1， 则Cov(X,Y)= .四．解答题1.假设某地区位于甲、乙两河流交汇处，当任一河流泛滥时，该地区即遭受水灾，设某时期内甲河流泛滥的概率为0.1，乙河流泛滥的概率为0.2，当乙河流泛滥时，甲河流泛滥的概率为0.3，求：(1)该时期内这个地区遭受水灾的概率；(2)当甲河流泛滥时，乙河流泛滥的概率。
西南[0264]概率论20年6月机考大作业参考答案
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西南大学网络与继续教育学院课程考试试题卷类别：网教2020年5月课程名称【编号】：概率论【0264】A卷大作业满分：100分要答案：wangjiaofudao本套大作业共有五个大题，请各位学员在其中选做4个大题，满分100分，多做按顺序由前四个题目的得分之和计总分。
所有题目的解答均需给出解题步骤，涉及到计算的请保留小数点后3位一、（本题共两个小题，满分25分，其中第一小题10分，第二小题15分）1、一颗骰子投4次至少得到一个六点与两颗骰子投24次至少得到一个双六，这两件事中哪一件有更多机会遇到？2、设X与Y为相互独立的随机变量,,Y的密度函数为求E(X-Y)、D(X-Y).二、（本题共两个小题，满分25分，其中第一小题10分，第二小题15分）1、在某一男、女人数相等的人群中，已知5％的男性和0.25％的女性患有色盲，今从该人群中随机的抽出一人，求：（1）此人患有色盲的概率；（2）若已知某人患有色盲，则此人是男性的概率为多少？2、若的密度函数为求：（1）常数；（2）。
三、（本题满分25分）设的联合密度函数为,（1）求的边际密度函数，的边际密度函数，并说明与是否独立？（2）求及它们的相关系数。
三、（本题共两个小题，满分25分，其中第一小题15分，第二小题10分）1、有两门同型号的高射炮，已知它们击中敌机的概率均为0.6，现同时向敌机开炮，求：（1）敌机被击中的概率；（2）恰好一门炮击中敌机的概率；（3）若只用两门炮，要保证击中敌机的概率不低于0.99，则该高射炮的命中率应达到多少？2、设是单调非降函数，且，对随机变量，若，证明：对任意的五、（本题共两个小题，满分25分，其中第一小题15分，第二小题10分）1、若服从分布，求的密度函数。
2、设随机变量服从泊松分布，求的特征函数；并用特征函数证明：若与相互独立，且，则。
2019概率论与数理统计课后习题及答案.doc
概率论与数理统计课后习题及答案第1章 三、解答题1．设P (AB ) = 0，则下列说法哪些是正确的？ (1) A 和B 不相容； (2) A 和B 相容； (3) AB 是不可能事件； (4) AB 不一定是不可能事件； (5) P (A ) = 0或P (B ) = 0 (6) P (A – B ) = P (A ) 解：(4) (6)正确.2．设A ，B 是两事件，且P (A ) = 0.6，P (B ) = 0.7，问： (1) 在什么条件下P (AB )取到最大值，最大值是多少？ (2) 在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少？ 解：因为)()()()(B A P B P A P AB P ，又因为)()(B A P B P 即.0)()( B A P B P 所以(1) 当)()(B A P B P 时P (AB )取到最大值，最大值是)()(A P AB P =0.6.(2)1)( B A P 时P (AB )取到最小值，最小值是P (AB )=0.6+0.7-1=0.3.3．已知事件A ，B 满足)()(B A P AB P ，记P (A ) = p ，试求P (B )．解：因为)()(B A P AB P ，即)()()(1)(1)()(AB P B P A P B A P B A P AB P ，所以.1)(1)(p A P B P4．已知P (A ) = 0.7，P (A – B ) = 0.3，试求)(AB P ．解：因为P (A – B ) = 0.3，所以P (A )– P(AB ) = 0.3, P(AB ) = P (A )– 0.3, 又因为P (A ) = 0.7，所以P(AB ) =0.7– 0.3=0.4，6.0)(1)( AB P AB P .5． 从5双不同的鞋子种任取4只，问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少？ 解：显然总取法有410C n种，以下求至少有两只配成一双的取法k ：法一：分两种情况考虑：15C k24C 212)(C +25C 其中：2122415)(C C C 为恰有1双配对的方法数法二：分两种情况考虑：!2161815C C C k +25C其中：!2161815C C C为恰有1双配对的方法数法三：分两种情况考虑：)(142815C C C k +25C其中：)(142815C C C 为恰有1双配对的方法数法四：先满足有1双配对再除去重复部分：2815C C k -25C法五：考虑对立事件：410C k-45C 412)(C其中：45C 412)(C 为没有一双配对的方法数法六：考虑对立事件：!4141618110410C C C C C k其中：!4141618110C C C C 为没有一双配对的方法数所求概率为.2113410C k p 6．在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任取3人记录其纪念章的号码．求： (1) 求最小号码为5的概率； (2) 求最大号码为5的概率．解：(1) 法一：12131025 C C p ，法二：1213102513 A A C p (2) 法二：20131024 C C p ，法二：2013102413 A A C p 7．将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率． 解：设M 1, M 2, M 3表示杯子中球的最大个数分别为1，2，3的事件，则834)(3341 A M P , 1694)(324232 A C M P , 1614)(3143C M P8．设5个产品中有3个合格品，2个不合格品，从中不返回地任取2个，求取出的2个中全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品的概率各为多少？解：设M 2, M 1, M 0分别事件表示取出的2个球全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品，则 3.0)(25232 C C M P ,6.0)(2512131 C C C M P ,1.0)(25221 C C M P9．口袋中有5个白球，3个黑球，从中任取两个，求取到的两个球颜色相同的概率．解：设M 1=“取到两个球颜色相同”，M 1=“取到两个球均为白球”，M 2=“取到两个球均为黑球”，则2121M M M M M 且.所以.2813C C C C )()()()(282328252121 M P M P M M P M P10． 若在区间(0，1)内任取两个数，求事件“两数之和小于6/5”的概率．解：这是一个几何概型问题．以x 和y 表示任取两个数，在平面上建立xOy 直角坐标系，如图. 任取两个数的所有结果构成样本空间 = {(x ，y )：0 x ，y 1} 事件A =“两数之和小于6/5”= {(x ，y ) ： x + y 6/5} 因此2517154211)(2的面积的面积A A P ． 图？11．随机地向半圆220x ax y（a 为常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，求原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4的概率．解：这是一个几何概型问题．以x 和y 表示随机地向半圆内掷一点的坐标， 表示原点和该点的连线与x 轴的夹角，在平面上建立xOy 直角坐标系，如图.随机地向半圆内掷一点的所有结果构成样本空间 ={(x ，y )：220,20x ax y a x}事件A =“原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4” ={(x ，y )：40,20,202x ax y a x }因此211214121)(222 a aa A A P 的面积的面积．12．已知21)(,31)(,41)( B A P A B P A P ，求)(B A P ． 解：,1213141)()()( A B P A P AB P ,6121121)|()()(B A P AB P B P.311216141)()()()(AB P B P A P B A P 13．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率是多少？解：题中要求的“已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率”应理解为求“已知所取两件产品中至少有一件是不合格品，则两件均为不合格品的概率”。
概率论与数理统计 习题答案全解
1.一打靶场备有5支某种型号的枪,其中3支已经校正,2支未经校正.某人使用已校正的枪击中目标的概率为1p ,使用未经校正的枪击中目标的概率为2p .他随机地取一支枪进行射击,已知他射击了5次,都未击中,求他使用的是已校正的枪的概率(设各次射击的结果相互独立).解以M 表示事件“射击了5次均未击中”,以C 表示事件“取得的枪是已经校正的”，则,5/3)(=C P ,5/2)(=C P 又,按题设,)1()|(51p C M P -=52)1()|(p C M P -=,由贝叶斯公式)()()|(M P MC P M C P =)()|()()|()()|(C P C M P C P C M P C P C M P +=52)1(53)1(53)1(525151⨯-+⨯-⨯-=p p p .)1(2)1(3)1(3525151p p p -+--=2.某人共买了11只水果,其中有3只是二级品,8只是一级品.随机地将水果分给C B A 、、三人,各人分别得到4只、6只、1只.(1)求C 未拿到二级品的概率.(2)已知C 未拿到二级品,求B A ,均拿到二级品的概率.(3)求B A ,均拿到二级品而C 未拿到二级品的概率.解以，，，C B A 分别表示事件C B A ，，取到二级品,则C B A，，表示事件C B A ，，未取到二级品.(1).11/8)(=C P (2)就是需要求).|(C AB P 已知C 未取到二级品,这时B A ,将7只一级品和3只二级品全部分掉.而B A 、均取到二级品,只需A 取到1只至2只二级品,其它的为一级品.于是.5441027234103713|(=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=C AB P (3).55/32)()|()(==C P C AB P C AB P 3.一系统L 由两个只能传输字符0和1的独立工作的子系统1L 和2L 串联而成(如图15.3),每个子系统输入为0输出为0的概率为)10(<<p p ;而输入为1输出为1的概率也是p .今在图中a 端输入字符1,求系统L 的b 端输出字符0的概率.1L 2L b题15.3图解“系统L 的输入为1输出为0”这一事件(记)01(→L )是两个不相容事件之和,即),00()01()01()11()01(2121→→→→=→L L L L L 这里的记号“)11(1→L ”表示事件“子系统1L 的输入为1输出为1,其余3个记号的含义类似.于是由子系统工作的独立性得)}00()01({)}01()11({)}01({2121→→+→→=→L L P L L P L P )}00({)}01({)}01({)}11({2121→→+→→=L P L P L P L P ).1(2)1()1(p p p p p p -=-+-=4.甲乙二人轮流掷一骰子,每轮掷一次,谁先掷得6点谁得胜,从甲开始掷,问甲、乙得胜的概率各为多少?解以i A 表示事件“第i 次投掷时投掷者才得6点”.事件i A 发生,表示在前1-i 次甲或乙均未得6点,而在第i 次投掷甲或乙得6点.因各次投掷相互独立,故有.6165)(1-⎪⎭⎫⎝⎛=i i A P 因甲为首掷,故甲掷奇数轮次,从而甲胜的概率为}{}{531 A A A P P =甲胜 +++=)()()(531A P A P A P ),(21两两不相容因 A A ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+= 426565161.116)6/5(11612=-=同样,乙胜的概率为}{}{642 A A A P P =乙胜+++=)()()(642A P A P A P.1156565656153=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+= 5.将一颗骰子掷两次,考虑事件=A “第一次掷得点数2或5”,=B “两次点数之和至少为7”，求),(),(B P A P 并问事件B A ,是否相互独立.解将骰子掷一次共有6种等可能结果,故.3/16/2)(==A P 设以i X 表示第i 次掷出骰子的点数,则}).6({1})7({)(2121≤+-=≥+=X X P X X P B P 因将骰子掷两次共有36个样本点,其中621≤+X X 有6,5,4,3,221=+X X 共5种情况,这5种情况分别含有1,2,3,4,5个样本点,故.12/712/5136/)54321(1)(=-=++++-=B P 以),(21X X 记两次投掷的结果,则AB 共有(2,5),(2,6),(5,2),(5,3)(5,4),(5,5),(5,6)这7个样本点.故.36/7)(=AB P 今有).(36/7)12/7)(3/1()()(AB P B P A P ===按定义B A ,相互独立.6.B A ，两人轮流射击,每次各人射击一枪,射击的次序为 A B A B A ,,,,,射击直至击中两枪为止.设各人击中的概率均为p ,且各次击中与否相互独立.求击中的两枪是由同一人射击的概率.解A 总是在奇数轮射击,B 在偶数轮射击.先考虑A 击中两枪的情况.以12+n A 表示事件“A 在第12+n 轮),2,1( =n 射击时又一次击中,射击在此时结束”.12+n A 发生表示“前n 2轮中A 共射击n 枪而其中击中一枪,且A 在第12+n 轮时击中第二枪”（这一事件记为C ），同时“B 在前n 2轮中共射击n 枪但一枪未中”(这一事件记为D )，因此)()()()(12D P C P CD P A P n ==+nn p p p p n )1()1(11-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-.)1(122--=n p np 注意到 ,,,753A A A 两两互不相容,故由A 击中了两枪而结束射击(这一事件仍记为A )的概率为∑∑∞=-∞=++∞=-===1122112121)1()()()(n n n n n n p np A P A P A P1122])1[()1(-∞=∑--=n n p n p p .)2(1])1(1[1)1(2222p pP p p --=---=(此处级数求和用到公式.1,)1(1112<=-∑∞=-x nx x n n 这一公式可自等比级数1,110<=-∑∞=x x x n n 两边求导而得到.)若两枪均由B 击中,以)1(2+n B 表示事件“B 在第)1(2+n 轮),2,1( =n 射击时又一次击中,射击在此时结束”.)1(2+n B 发生表示在前12+n 轮中B 射击n 枪其中击中一枪,且B 在第)1(2+n 轮时击中第2枪，同时A 在前12+n 轮中共射击1+n 枪,但一枪未中.注意到 ,,,864A A A 两两互不相容,故B 击中了两枪而结束射击(这一事件仍记为B )的概率为∑∞=+-+∞=--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==111)1(21)1()1(1)()(n n n n n p p p p n B P B P 12112222])1[()1()1(-∞=∞=--=-=∑∑n n n np n p p p np .)2()1(])1(1[1)1(222222p p p p p --=---=因此,由一人击中两枪的概率为222)2()1()2(1)()()(p p p p B P A P B A P --+--=+= .21pp --=7.有3个独立工作的元件1,元件2,元件3,它们的可靠性分别为.,,321p p p 设由它们组成一个“3个元件取2个元件的表决系统”,记为2/3].[G 这一系统的运行方式是当且仅当3个元件中至少有2个正常工作时这一系统正常工作.求这一2/3][G 系统的可靠性.解以i A 表示事件“第i 个元件正常工作”，以G 表示事件“2/3][G 系统正常工作”，则G 可表示为下述两两互不相容的事件之和：321321321321A A A A A A A A A A A A G =因321,,A A A 相互独立,故有)()()()()(321321321321A A A P A A A P A A A P A A A P G P +++=AB12题 15.8 图)()()()()()()()()()()()(321321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P +++=.)1()1()1(321321321321p p p p p p p p p p p p +-+-+-=8.在如图15.8图所示的桥式结构电路中，第i 个继电器触点闭合的概率为i p ，.54321，，，，i ＝各继电器工作相互独立.求：（1）以继电器触点1是否闭合为条件，求A 到B 之间为通路的概率.（2）已知A 到B 为通路的条件下，继电器触点3是闭合的概率.解以F 表示事件“A 到B 为通路”，以i C 表示事件“继电器触点i 闭合”，.54321，，，，i ＝各继电器工作相互独立.（1）得.()|(()|()(1111））C P C F P C P C F P F P +=而)()|(545321C C C C C P C F P =)()()()()(54253254532C C C P C C C P C C P C C P C P --++=)()(5432543C C C C P C C C P ＋-543254354253254532p p p p p p p p p p p p p p p p p p ＋－－－＋＋＝)()|(432541C C C C C P C F P ＝543243254p p p p p p p p p －＋＝故),1)(|()|()(1111p C F P p C F P F P -+=其中)|(1C F P 543254354253254532p p p p p p p p p p p p p p p p p p ＋－－－＋＋＝，)|(1C F P 543243254p p p p p p p p p －＋＝.（2）令,1i i p q -=则)()()]([1)()()|()|(35241333F P C P C C C C P F P C P C F P F C P -=＝.)()1(354215241F P p q q q q q q q q +--＝)(F P 的表达式由（1）确定.9.进行非学历考试，规定考甲、乙两门课程，每门课考第一次未通过都允许考第二次．考生仅在课程甲通过后才能考课程乙，如两门课程都通过可获得一张资格证书．设某考生通过课程甲的各次考试的概率为1p ，通过课程乙的各次考试的概率为2p ，设各次考试的结果相互独立．又设考生参加考试直至获得资格证书或者不准予再考为止．以X 表示考生总共需考试的次数．求X 的分布律以及数学期望)(X E ．解按题意知考试总共至少需考２次而最多只考４次．以i A 表示事件“课程甲在考第i 次时通过”，以i B 表示事件“课程乙在考第i 次时通过”，2,1=i ．事件}2{=X 表示考试总共考２次，这一事件只在下列两种互不相容的情况下发生，一种是课程甲、乙都在第一次考试时通过．亦即11B A 发生（此时他得到证书）；另一种是课程甲在第一次、第二次考试均未通过，亦即21A A 发生（此时他不准再考）．故2111}2{A A B A X ==，同样211121211}3{B B A B A A B B A X ==，21212121}4{B B A A B B A A X ==.得X 的分布律为)(}2{2111A A B A P X P ==)()(2111A A P B A P +=)()()()(2111A P A P B P A P ++=)1)(1(2121p p p p --+=；)(}3{211121211B B A B A A B B A P X P ==)(12111B A A B A P =21121)1()1(p p p p p -+-=；)(}3{211121211B B A B A A B B A P X P ==)(12111B A A B A P =21121)1()1(p p p p p -+-=；)(}4{21212121B B A A B B A A P X P ==)(121B A A P =)1()1(211p p p --=．)1()1(4])1()1([3])1([2)(211211212121p p p p p p p p p p p X E --+-+-+-+=)]2(1)[2(211p p p -+-=．例如，若431=p ，212=p ，则有66.2)(=X E （次）．10.(1)5只电池,其中有2只是次品,每次取一只测试,直到将2只次品都找到.设第2只次品在第)5,4,3,2(=X X 次找到,求X 的分布规律(注:在实际上第5次检测可无需进行).(2)5只电池,其中2只是次品,每次取一只,直到找出2只次品或3只正品为止.写出需要测试的次数的分布律.解(1)X 可能取的值为2,3,4,5.P X P ==}2{{第1次、第2次都取到一只次品}.1014152=⨯=P X P ==}3{{(前两次取到一只次品) (第3次取到一只次品)}=P {第3次取到一只次品|前两次取到一只次品}P ⨯{前两次取到一只次品}.102)42534352(31=⨯+⨯⨯=P X P ==}4{{(前3次取到一只次品) (第4次取到一只次品)}=P {第4次取到一只次品|前3次取到一只次品}P ⨯{前3次取到一只次品}.103)324253324253324352(21=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=}4{}3{}2{1}5{=-=-=-==X P X P X P X P .10/4=得分布律为(2)以Y 表示所需测试的次数,则Y 的可能取值为2,3,4..10/1}2{}2{====X P Y P }3{=Y 表示“前3次取到都是正品”或“第二只次品在第3次取到”，故}3{}3{}3{=+==X P P Y P 次取到的都是正品前.103102314253=+⨯⨯1031011}3{}2{1}4{--==-=-==X P X P X P .Y 的分布律为11．向某一目标发射炮弹设炮弹弹着点目标的距离为R (单位:10m ),R 服从瑞利分布,其概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-.0,0,0,252)(25/2r r er r f r R 若弹着点离目标不超过5m 时,目标被摧毁.(1)求发射一枚炮弹能摧毁目标的概率.(2)为使至少有一枚炮弹能摧毁目标的概率不小于0.94,问最少需要独立发射多少枚炮弹.解(1)所求概率为⎰⎰-∞-==≤525/52252)(}5{dre r dr rf R P r R .632.01|1525/2=-==--e e r(2)设发射n 枚炮弹,则这n 枚炮弹都不能摧毁目标的概率为n)632.01(-,故至少有一枚炮弹能摧毁目标的概率为n )632.01(1--.按题意需求最小的n ,使得.94.0)632.01(1≥--n 即.81.2)368.0/(ln )06.0(ln ,06.0368.0=≥≤n n 故最少需要独立发射3枚炮弹.12．设一枚深水炸弹击沉一潜水艇的概率为31，击伤的概率为21，击不中的概率为61.并设击伤两次也会导致潜水艇下沉.求释放4枚深水炸弹能击沉潜水艇的概率.（提示：先求击不沉的概率.）解“击沉”的逆事件为事件“击不沉”，击不沉潜水艇仅出现于下述两种不相容的情况：（1）4枚深水炸弹全击不中潜水艇（这一事件记为A ），（2）一枚击伤潜水艇而另三枚击不中潜水艇（这一事件记为B ）.各枚炸弹袭击效果被认为是相互独立的.故有,61)(4⎪⎭⎫⎝⎛=A P ,612114)(3⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B P （因击伤潜水艇的炸弹可以是4枚中的任一枚），又A ，B 是互不相容的，于是，击不沉潜艇的概率为.613)()()(4=+=B P A p B A P 因此，击沉潜艇的概率为.97989.06131)(14=-=-=B A P p 13．一盒中装有4只白球，8只黑球，从中取3只球，每次一只，作不放回抽样.（1）求第1次和第3次都取到白球的概率.（提示：考虑第2次的抽取.）（2）求在第1次取到白球的条件下，前3次都取到白球的概率.解以,1A ,2A 3A 分别表示1，2，3次取到白球.（1）)()()]([)(321321223131A A A P A A A P A A A A p A A P +== )()|()|()()|()|(112213112213A P A A P A A A P A P A A P A A A P +=.111124118103124113101=⨯⨯+⨯⨯=（2）124102113124)()()|(13211321⨯⨯==A P A A A P A A A A P .5531106==14．设元件的寿命T (以小时计)服从指数分布,分布函数为⎩⎨⎧≤>-=-.0,0,0,1)(03.0t t e t F t (1)已知元件至少工作了30小时,求它能再至少工作20小时的概率.(2)由3个独立工作的此种元件组成一个2/3][G 系统(参见第7题),求这一系统的寿命20>X 的概率.解(1)由指数分布的无记忆性(参见教材)1(第56页)知所求概率为}20{}30|50{>=>>=T P T T P p .5488.0)20(16.0==-=-e F (2)由第7题知2/3][G 系统的寿命20>X 的概率为.5730.0)23()1(3}20{232=-=+-=>p p p p p X P 15.(1)已知随机变量X 的概率密度为,,21)(+∞<<-∞=-x e x f xX 求X 的分布函数.(2)已知随机变量X 的分布函数为),(x F X 另外有随机变量⎩⎨⎧≤->=,0,1,0,1X X Y 试求Y 的分布律和分布函数.解(1)由于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞<≤<<∞-=-.0,21,0,21)(x e x e x f x xX 当0<x 时,分布函数,212121)()(|x x x xx x X X e e dx e dx x f x F ====∞-∞-∞-⎰⎰当0≥x 时,分布函数.2112121212121)()(00x x xx x x X X e e dx e dx e dx x f x F ---∞-∞--=-+=+==⎰⎰⎰故所求分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<=-.0,211,021)(x e x e x F x xX (2),21)0(}0{}1{==≤=-=X F X P Y P .21211}1{1}1{=-=-=-==Y P Y P 分布律为分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤--<=.1,1,11,21,10)(y y y y F Y 16.(1)X 服从泊松分布,其分布律为,,2,1,0,!}{ ===-k k e k X P k λλ问当k 取何值时}{k X P =为最大.(2)X 服从二项分布,其分布律为.,2,1,0,)1(}{n k p p k n k X P kn k =-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-问当k 取何值时}{k X P =为最大.解(1)由λλλλ----⨯=-==ek k e k X P k X P k k 1)!1(!}1{}{⎪⎩⎪⎨⎧><===<>=,,1,,2,1,,1,,1λλλλk k k k k 当当当 知道,当λ<k 时,}{k X P =随k 增大而递增;当λ>k 时,}{k X P =随k 增大而递减.从而,若λ为正整数,则当λ=k 时,}1{}{-===λλX P X P 为概率的最大值,即当1-==λλk k 或时概率都取到最大值.若λ不是正整数,令的整数部分），是即λλ00]([k k =则,100+<<k k λ此时有},1{}{},{}1{0000+=>==<-=k X P k X P k X P k X P 因此不难推得]}[{}{0λ===X P k X P 为概率的最大值.(2)由⎪⎩⎪⎨⎧+><=+==+<>--++=---=-==,)1(,1,,2,1,)1(,1,)1(,1)1()1(1)1()1(}1{}{p n k nk p n k p n k p k k p n p k p k n k X P k X P 当当当 知道,当p n k )1(+<时,}{0k X P =随k 增大而递增;,当p n k )1(+>时,}{0k X P =随k 增大而递减.从而,若p n )1(+为正整数,则当p n k )1(+=时,}1)1({})1({-+==+=p n X P p n X P 为概率的最大值,即当1)1()1(-+=+=p n k p n k 或时概率都取到最大值.若p n )1(+不是正整数,令])1[(0p n k +=,则1)1(00+<+<k p n k ,此时有},{}1{00k X P k X P =<-=},1{}{00+=>=k X P k X P 不难推得]})1[({}{0p n X P k X P +===为概率的最大值.17..称X 服从取值为n ,,2,1 的离散型均匀分布.对于任意非负实数x ，记][x 为不超过x 的最大整数.记),1,0(~U U 证明1][+=nU X 服从取值为n ,,2,1 的离散型均匀分布.证对于,,,2,1n i =}1]{[}1]{[)(-===+==i nU P i nU P i X P .1}1{}1{nn i U n i P i nU i P =<≤-=<≤-=证毕.18.设),2,1(~-U X 求X Y =的概率密度.解X 的概率密度为⎩⎨⎧<<-=.,0,21,3/1)(其他x x f X 记X 的分布函数为).(x F X 先来求Y 的分布函数).(y F Y当0≤y 时,,0}{)(=≤=y Y P y F Y 当0>y 时,}{}{)(y X y P y X P y F Y ≤≤-=≤=).()(y F y F X X --=将)(y F Y 关于y 求导可得Y 的概率密度)(y f Y 如下:⎩⎨⎧>-+=.,0,0),()()(其他y y f y f y f X X Y 当10<<y 时,01<-<-y .因而,3/1)(,3/1)(=-=y f y f X X 此时.3/13/1)(+=y f Y 当21<<y 时,12-<-<-y .因而,0)(,3/1)(=-=y f y f X X 此时.3/1)(=y f Y 当2>y 时,,0)(,0)(=-=y f y f X X 因而.0)(=y f Y 故⎪⎩⎪⎨⎧<≤<<=.,0,21,3/1,10,3/2)(其他y y y f Y 19.设X 的概率密度⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∞<≤<≤<=.1,21,10,21,0,0)(2x xx x x f X 求XY 1=的概率密度.解因函数x x g y 1)(==严格单调减少,它的反函数.1)(yy h =当∞<<x 0时,∞<<y 0.由第二章)2(公式(2.1)得Y 的概率密度为⎩⎨⎧≤∞<<'⋅=.0,0,0,)()]([y y y h y h f f X Y⎪⎩⎪⎨⎧≤∞<<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=.0,0,0,112y y yy f X 因而⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∞<≤<<≤=.1,1)/1(121,110,121,0,0)(222y y y y y y y f Y 即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∞<≤≤<≤=.1,21,10,21,0,0)(2y y y y y f Y 本题X 和X1的概率密度相同.20.设随机变量X 服从以均值为λ1的指数分布.验证随机变量][X Y =服从以参数为λ--e1的几何分布.这一事实表明连续型随机变量的函数可以是离散型随机变量.解X 的概率密度为⎩⎨⎧>=-.,0,0,)(其他x e x f x X λλ，X 的值域为）（∞,0，故][X Y =的值域为},2,1,0{ ，Y 是离散型随机变量.对于任意非负整数y ，有}1{}]{[}{+<≤====y X y P y X P y Y P )1(1d +--+--==⎰y y y yx e e x e λλλλ 2,1,0,))(1(==--y e e y λλ－.2,1,0,))1(1)(1( =--=--y e e y λλ－这就是说Y 服从以λ--e1为参数的几何分布.这表示一个连续型随机变量经过变换变成了离散型随机变量.21.投掷一硬币直至正面出现为止,引入随机变量=X 投掷总次数.⎩⎨⎧=.,0,1若首次投掷得到反面若首次投掷得到正面，Y(1)求X 和Y 的联合分布律及边缘分布律.(2)求条件概率}.1|2{},1|1{====X Y P Y X P 解(1)Y 的可能值是0,1,X 的可能值是.,3,2,1 }1{}1|1{}1,1{======X P X Y P Y X P .2/12/11=⨯=(因1=X 必定首次得正面,故).1}1|1{===X Y P 若1>k ,}{}|1{}1,{k X P k X Y P Y k X P ======.0)2/1(0=⨯=k (因,1>=k X 首次得正面是不可能的,故).,3,2,0}|1{ ====k k X Y P }1{}1|0{}0,1{======X P X Y P Y X P 0)2/1(0=⨯=(因1=X 必须首次得正面,故).0}1|0{===X Y P 当1>k }{}|0{}0,{k X P k X Y P Y k X P ======,3,2),2/1(1=⨯=k k (因,1>=k X 必定首次得反面,故).1}|0{===k X Y P 综上,得),(Y X 的分布律及边缘分布律如下:(2).12/12/1}1{}1,1{}1|1{========Y P Y X P Y X P.0}1{}2,1{}1|2{=======X P Y X P X Y P 22.设随机变量),(~λπX 随机变量).2,max(X Y =试求X 和Y 的联合分布律及边缘分布律.解X 的分布律为.,2,1,0,!}{ ===-k k e k X P k λλX 的可能值是 ,2,1,0;Y 的可能值为.,4,3,2 }0{}0|2{}2,0{======X P X Y P Y X P .}0{1λ-==⋅=e X P }1{}1|2{}2,1{======X P X Y P Y X P .}1{1λλ-==⋅=e X P 2≥i 时}{}|{},{i X P i X j Y P j Y i X P ======,4,3,2,,0,,!},{0},{1=⎪⎩⎪⎨⎧≠==⎩⎨⎧≠=⋅==⋅=-j i j i j i e i j i X P i j i X P i λλ即得Y X ,的联合分布律及边缘分布律为23.设X ，Y 是相互独立的泊松随机变量，参数分别为,,21λλ求给定n Y X =+的条件下X 的条件分布.解}|{n Y X k X P =+=}{},{n Y X P n Y X k X P =+=+==}{},{n Y X P k n Y k X P =+-===独立性}{}{}{n Y X P k n Y P k X P =+-==1)(2121!)()!(!2121-+----⎦⎤⎢⎣⎡+-⋅=n e k n e k e n kn k λλλλλλλλn k n k k k n n )(!)!(!2121λλλλ+-=-.)(2122112121kn kn kn k k n k n --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλλλλλ这就是说给定n Y X =+的条件下X 的条件分布为以)/(,211λλλ+n 为参数的二项分布.24.一教授将两篇论文分别交给两个打字员打印.以X ，Y 分别表示第一篇第二篇论文的印刷错误.设),(~λπX ),(~μπY X ，Y 相互独立.（1）求X ，Y 的联合分布律；（2）求两篇论文总共至多1个错误的概率.解（1）X ，Y 的联合分布律为,!!!!},{)(y x e y e x e y Y x X P y x y x μλμλμλμλ+---=⋅===.,2,1,0, =y x (2)两篇论文总共至多1个错误的概率为})1{}0({}1{=+=+=≤+Y X Y X P Y X P }1,0{}0,1{}0,0{==+==+===Y X P Y X P Y X P ).1()()()()(μλμλμλμλμλμλ++=++=+-+-+-+-e e e e 25.一等边三角形ROT (如图15.25)的边长为1,在三角形内随机地取点),(Y X Q (意指随机点),(Y X 在三角形ROT 内均匀分布).(1)写出随机变量),(Y X 的概率密度.(2)求点Q 的底边OT 的距离的分布密度.解(1)因三角形ROT 的面积为4/3,故),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧--≤≤≤≤=.,0),130,303/4),(其他x y x y y x f （2）点),(Y X Q 到底边OT 的距离就是Y ,因而求Q 到OT 的距离的分布函数,就是求),(Y X 关于Y 的边缘分布函数,现在yo题15.25图,230,32134),()(3.13/<<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⎰-y y dx y x f y f y y Y 从而⎪⎩⎪⎨⎧<<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=.,0,230,32134)(其他y y y f Y Y 的分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤-<=.23,1,230,3434,0,0)(2y y y y y y F Y 26.设随机变量),(Y X 具有概率密度⎩⎨⎧>>=+-.,0,0,0,),()1(其他y x xe y x f y x (1)求边缘概率密度).(),(y f x f Y X (2)求条件概率密度).|(),|(||x y f y x f X Y Y X 解(1)当0>x 时,,)()(0)1(x y y xy x y x X e e e dy xe x f -∞==--∞+-===⎰当0>y 时,dx xe y y xe dx xey f y x x x y x y x Y ⎰⎰∞+-∞==+-∞+-+++-==0)1(0)1(0)1(111)(.)1(1)1(22)1(+=+-=∞==+-y y xe x x y x 故边缘概率密度分别是⎩⎨⎧>=-.,0,0,)(其他x e x f x X ⎪⎩⎪⎨⎧>+=.,0,0,)1(1)(2其他y y y f Y (2)条件概率密度:当0>x 时,⎪⎩⎪⎨⎧>=-+-.,0,0,)|()1(|取其他值y y e xe x y f xy x X Y ⎩⎨⎧>=-.,0,0,取其他值y y xe xy 当0>y 时,⎪⎩⎪⎨⎧>+=+-.,0,0,)1/(1)|(2)1(|取其他值x x y xe y x f y x Y X ⎩⎨⎧>+=+-.,0,0,)1()1(2取其他值x x e y x y x 27.设有随机变量U 和V ，它们都仅取1，1-两个值．已知,2/1}1{==U P }.1|1{3/1}1|1{-=-=====U V P U V P (1)求U 和V 的联合分布密度.(2)求x 的方程02=++V Ux x 至少有一个实根的概率.(3)求x 的方程0)(2=+++++V U x V U x 至少有一个实根的概率.解(1).6/1)2/1)(3/1(}1{}1|1{}1,1{========U P U V P V U P }1{}1|1{}1,1{-=-=-==-=-=U P U V P V U P .6/1)2/1)(3/1(}]1{1[)3/1(===-⨯=U P }1{}1|1{}1,1{==-==-==U P U V P V U P .3/1)2/1)(3/2(}1{}]1|1{1[=====-=U P U V P }1{}1|1{}1,1{-=⋅-====-=U P U V P V U P .3/1)2/1()3/2(}1{}]1|1{1[=⨯=-=-=-=-=U P U V P V U ,的联合分布密度为UV-11-11/62/612/61/6xy题 15.30图(2)方程02=++V Ux x 当且仅当在042≥-=∆V U 时至少有一实根,因而所求的概率为.2/1}1{}04{}0{2=-==≥-=≥∆V P V U P P (3)方程0)(2=+++++V U x V U x 当且仅当在0)(4)(2≥+-+=∆V U V U 时至少有一实根,因而所求的概率为.6/5}1,1{}1,1{}1,1{}0{=-==+=-=+-=-==≥∆V U P V U P V U P P 28.某图书馆一天的读者人数)(~λπX ,任一读者借书的概率为p ,各读者借书与否相互独立.记一天读者借书的人数为Y ,求X 与Y 的联合分布律.解读者借书人数的可能值为}{}|{},{,,,2,1,0k X P k X i Y P i Y k X P X Y Y ======≤= =.,,2,1,2,1,!)1(k i k k e p p i k k i k i ==-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--λλ29.设随机变量X 和Y 相互独立,且都服从U (0,1),求两变量之一至少为另一变量之值两倍的概率.解按题意知,(X,Y )在区域:}10,10|),{(<<<<=y x y x G 服从均匀分布,其概率密度为其它10,10,0,1),(<<<<⎩⎨⎧=y x y x f 所求概率为}2{}2{Y X P X Y P p >+>==⎰⎰⎰⎰+12),(),(G G dxdyy x f dxdy y x f =G 1的面积+G 2的面积=1/2,G 1,G 2见图15.29.30.一家公司有一份保单招标，两家保险公司竞标.规定标书的保险费必须在20万元至22万元之间.若两份标书保险费相差2千或2千以上，招标公司将选择报价低者，否则就重新招标.设两家保险公司的报价是相互独立的，且都在20万至22万之间均匀分布.试求招标公司需重新招标的概率.解设以X ，Y 分别表示两家保险公司提出的保费.由假设X 和Y 的概率密度均为⎪⎩⎪⎨⎧<<=.,0,2220 ,21)(其他μμf 因X ，Y 相互独立，故),(Y X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<<<==.,0,2220 ,2220 ,41)()(),(其他y x y f x f y x f Y Xoy题15.29图按题意需求概率为}.2.0{≤-Y X P 画出区域：},2.0|),{(≤-Y X y x 以及矩形},2220 ,2220|),{(<<<<y x y x 如图15.30，它们公共部分的面积G 为G ＝正方形面积－2×三角形面积＝4-1.8×1.8＝0.76.所求概率＝.19.02276.0=⨯31.设),0(~),,0(~2221σσN Y N X 且Y X ,相互独立,求概率}20{2112σσσσ<-<Y X P .解因Y X ,独立,其线性组合Y X 12σσ-仍为正态变量,而)()()(1212=-=-Y E X E Y X E σσσσ22212122122)()()(σσσσσσ=+=-Y D X D Y X D 故).2,0(~222112σσσσN Y X -因而}20{2112σσσσ<-<Y X P =}202200{222121222112σσσσσσσσ-≤--<Y X P =5.0)2()0()22(222121-=-ΦΦσσσσΦ=4207.05.09207.0=-32.NBA 篮球赛中有这样的规律，两支实力相当的球队比赛时，每节主队得分与客队得分之差为正态随机变量，均值为1.5，方差为6，并且假设四节的比分差是相互独立的.问（1）主队胜的概率有多大？（2）在前半场主队落后5分的情况下，主队得胜的概率有多大？（3）在第1节主队赢5分得情况下，主队得胜的概率有多大？解以)4,3,2,1(=i X i 记主队在第i 节的得分与客队在第i 节的得分之差，则有),6,5.1(~N X i ).64,5.14(~41⨯⨯∑=N Xi i记Z 为标准正态随机变量.（1）⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯->⨯⨯=>∑∑==646645.14}0{4141－i i i i X P X P.7889.0}7224.1{=->=Z P （2）由独立性}5{}5|0{432141>+=-=>∑∑==X X P X X P i i i i }33{123562343>=⎭⎬⎫⎩⎨⎧->⨯-+=Z P X X P .8281.0}5577.0{=>=Z P （3）}05{}5|0{432141>+++==>∑=X X X P X XP i i}5{432->++=X X X P ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-->⨯-++=185.45635.4432X X X P .4987.0}239.2{}185.9{=->=->=Z P Z P 33.产品的某种性能指标的测量值X 是随机变量,设X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>=-其他．,0,0,)(221x xe x f x X 测量误差Y~U (εε,-),X ,Y 相互独立,求Z=X+Y 的概率密度)(z f Z ,并验证due Z P u⎰-=>εεε202/221}{解(1)Y 的概率密度为其他．，εεε<<-⎪⎩⎪⎨⎧=y y f Y ,0,21)(故Z =X+Y 的概率密度为⎰+∞∞--=dxx z f x f z f Y X Z )()()(仅当⎩⎨⎧<-<->εεx z x 0即⎩⎨⎧+<<->εεz x z x 0时，上述积分的被积函数不等于零,参考图15.33,即得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<-=⎰⎰+--+-其他，，，,0,21,21)(2212210εεεεεεεεz dx xe z dx xez f z z x z x Z题15.33图题 15.34 图=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥-<<--+---+-其他，，，,0],[21],1[21221221221))()(εεεεεεεεz e e z ez z z (2)⎰∞=>εεdzz f Z P Z )(}{=][21221221)()(⎰⎰∞+-∞---εεεεεdz e dz e z z ε21记成[Ⅰ+Ⅱ]其中Ⅰ=⎰⎰∞-∞--=-0),221221du euz eu dz z εεε令Ⅱ=⎰⎰∞-∞+--=+-εεεε2)(221221dueuz dzez 令于是εε21}{=>Z P [Ⅰ+Ⅱ]=⎰-εε2022121dueu 34.在一化学过程中，产品中有份额X 为杂质，而在杂质中有份额Y 是有害的，而其余部分不影响产品的质量.设)5.0,0(~),1.0,0(~U Y U X ，且X 和Y 相互独立，求产品中有害杂质份额Z 的概率密度.解因,XY Z =)5.0,0(~),1.0,0(~U Y U X 且X 和Y 相互独立，于是Z 的概率密度为,d )()(1)(21-x xz f x f x z f Z ⎰+∞∞=)1(*其中，⎩⎨⎧<<=. 0,0.1,0 ,10)(1其他x x f ，⎩⎨⎧<<=.0,0.5,0 ,2)(2其他x x f 易知仅当⎩⎨⎧<<<<0.5,00.1,0z/x x 即⎩⎨⎧<<<<,200.1,0x z x 时，)1(*中的被积函数不等于零，参考题15.34图，即得⎪⎩⎪⎨⎧<<⋅⋅=⎰.0, 0.05,0 ,d 1210)(1.02其他z x xz f z ⎪⎩⎪⎨⎧<<=.0, 0.05,0 ,ln 201.02其他z x zy题 15.35 图1⎩⎨⎧<<-=.0, 0.05,0 ),20ln(20其他z z 35.设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=-.0,,0,),(其他y x e y x f y (1)求),(Y X 的边缘概率密度.(2)问Y X ,是否相互独立.(3)求Y X ＋的概率密度).(z f Y X +(4)求条件概率密度).|(|y x f Y X (5)求条件概率}.5|3{<>Y X P (6)求条件概率}.5|3{=>Y X P 解（1）⎪⎩⎪⎨⎧>==⎰∞.0, 0,,d )(其他x e y e x f -x x -y X ⎪⎩⎪⎨⎧>==⎰.0, 0,,d )(0其他y ye x e y f -y y-y Y （2）Y X ,不是相互独立的.（3）⎰+∞∞-+-=.d ),()(y y y z f z f Y X 仅当,0y y z <-<即⎪⎩⎪⎨⎧<>>z y y zy 02时被积函数不为零.如图15.35图1，得⎪⎩⎪⎨⎧>-==⎰+.0, 0, ,d )(2/2/其他z e ey e z f -z -z zz -y Y X （4）对于,0>y ⎪⎩⎪⎨⎧<<==--. 0, ,0 ,1)|(|其他y x yye e y x f yyY X 即对于固定的)0(>y y X 的条件分布是区间),0(y 上的均匀分布.y 题 15.35 图2（5）如图15.35图2，条件概率为}5{}5,3{}5|3{<<>=<>Y P Y X P Y X P ,)d (d d 50⎰⎰⎰-=yy f xy e Y D y分子＝⎰⎰⎰=5355x 53d )(-e d d exx y x-y -y,e e 3)d e (-e 35535--+-=+⎰x -x -＝分母＝⎰⎰=5Y5d e (y)d y y y f -y x,1e 6d e e 5550+-=+-=⎰--y -yy y 故.82030.0}5|3{=<>Y X P （6）⎪⎩⎪⎨⎧<<=. 0, ,50 ,51)5|(|其他x x f Y X .52d 51}5|3{53===>⎰x Y X P 36.设图书馆的读者借阅甲种图书的概率为p ,借阅乙种图书的概率为α,设每人借阅甲、乙图书的行动相互独立，读者之间的行动也相互独立.(1)某天恰有n 个读者,求甲、乙两种图书中至少借阅一种的人数的数学期望.解(1)以X 表示某天读者中借阅甲种图书的人数，因各人借阅甲种图书的概率均为p ,且由题设各人是否借阅相互独立,故np X E p n b X =)(),,(~因此.(2)以A 表示事件“读者借阅甲种图书”,以B 表示事件“读者借阅乙种图书”,则就读者而言,有).()()()(AB P B P A P B A P -+= 借阅两种图书的行动相互独立,故ααp p B P A P B P A P B A P -+=-+=⋃)()()()()(.以Y 表示至少借阅一种图书的人数,由题设各人是否借阅相互独立,知),(~ααp p n b Y -+,故).()(ααp p n Y E -+=也可这样做.引入随机变量:⎩⎨⎧=.,0,,1种图书的任一种位读者不借阅甲、乙两若第两种图书的一种位读者至少借阅甲、乙若第i i Z i ni ,,2,1 =)()(][)(,111ααp p n Z E Z E Y E Z Y ni i n i i n i i -+====∑∑∑===.这里不需假设读者之间的行动相互独立.37.某种鸟在某时间区间],0(0t 下蛋数为1~5只,下r 只蛋的概率与r 成正比.一个收集鸟蛋的人在0t 时去收集鸟蛋,但他仅当鸟窝多于3只蛋时他从中取走一只蛋.在某处有这种鸟的鸟窝6个(每个鸟窝保存完好,各鸟窝中蛋的个数相互独立).(1)写出一个鸟窝中鸟蛋只数X 的分布率.(2)对于指定的一只鸟窝,求拾蛋人在该鸟窝中拾到一只蛋的概率.(3)求拾蛋人在6只鸟窝中拾到蛋的总数Y 的分布律及数学期望.(4)求}4{},4{><Y P Y P (5)当一个拾蛋人在这6只鸟窝中拾过蛋后,紧接着又有一个拾蛋人到这些鸟窝中拾蛋,也仅当鸟窝中多于3只蛋时,拾取一只蛋,求第二个拾蛋人拾得蛋数Z 的数学期望.解(1)设该中鸟在],0(0t 内下蛋数为X 按题意,5,4,3,2,1,}{===r Cr r X P 其中C 为待定常数.因∑===51,1}{r r X P 即有,11551==∑=C Cr r 所以15/1=C ,因此X 的分布律为.5,4,3,2,1,151}{===r r r X P (2)因当且仅当窝中蛋数多于3时,某人从中取走一只蛋,故拾蛋人在该窝中拾取一只蛋的概率为53155154}5{}4{}3{=+==+==>X P X P X P (3)记拾蛋人在6只鸟窝中拾到蛋的总数为Y ,则)53,6(~b Y ,故518)53(6)(=⨯=Y E (4)}6{}5{}4{1}4{=-=-=-=<Y P Y P Y P Y P =6524535253565253461⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0.456,(6)第2个拾蛋人仅当鸟窝中最初有5只蛋时,他才能从该窝中拾到一只蛋,故他在一个鸟窝中拾到一只蛋的为,31}5{===X P p 以Z 记第2个拾蛋人拾到蛋的总数,则),31,6(~b Z 故有2)31(6)(=⨯=Z E ．38.设袋中有r 只白球,r N -只黑球.在袋中取球)(r n n ≤次,每次任取一只做不放回抽样,以Y 表示取到白球的个数,求)(Y E .解引入随机变量i X :⎩⎨⎧=,,0,,1次取球得到不是白球若第次取到白球若第i i X i ,,,2,1n i =则n 次取球得到的白球数.21n X X X Y +++= 而的分布律为次取球得到白球第i i X Nri P X P ,}{}1{===.,,2,1n i =即知i X 的数学期望为NrX E i =)(.于是得Y 得数学期望为NnrN r n X E X E Y E ni i ni i =⨯===∑∑==11)()()(.本题也可按以下方式写出Y 的表达式,从而求得)(Y E ,将球编号,引入随机变量:i X ⎩⎨⎧=号白球未被取到若第号白球被取到若第i i X i ,0,,1ri ,,2,1 =则r X X X Y +++= 21.事件}1{=i X 发生,表示在袋中取球n 次,若每次任取一只不放回抽样时,第i 号白球被取到.因为事件}1{=i X 可以在第一次、第二次、…、第n 次取球,这n 种两两互不相容的情况发生,且每次取到第i 号白球的概率都是N1.因此r i NnN N N X P i ,,2,1,111}1{ ==+++==,这样N n X E i =)(,从而N nrX E Y E ri i ==∑=1)()(.39.抛一颗骰子直到所有点数全部出现为止,求所需投掷次数Y 的数学期望.解引入随机变量.6,5,4,3,2,1,=i X i 如下:,11=X ,,2待次数等待第二不同点所需等是第一点得到后X 3X 是第一、第二两点得到后,等待第三个不同点所需等待次数,654,,X X X 的意义类似.则所需投掷的总次数为621X X X Y +++= .因第一点得到后,掷一次得第二个不同的点的概率为65,因此2X 的分布律为,,2,1,)61(65}{12 ===-k k X P k 即2X 服从参数65=p 的几何分布,又因得到两个不同的点后,掷一次得第三个不相同点的概率为64,故3X 服从参数64=p 的几何分布,其分布律为,2,1,)62(64}{13===-k k X P k 同样,654,,X X X 的分布律分别为.,2,1,63(63}{14 ===-k k X P k .,2,1,64(62}{15 ===-k k X P k .,2,1,65(61}{16 ===-k k X P k 因几何分布 ,2,1,)1(}{1=-==-k p p k X P k 的数学期望为(参见第四章)2(习题选解19题)pX E 1)(=.所以∑∑==+==62161)()()()(i ii i X E X E X E Y E =7.141626364656[1=+++++．40.设随机变量Y X ,相互独立.且Y X ,分别服从以βα1,1为均值得指数分布.求).(2X Ye X E -+解)()()()(22X X e E Y E X E Ye X E --+=+dtee Y E X E X D ttαα-∞-⎰⋅⋅++=02)()]([)(⎰∞+-++=0)1(22111dte t ααβαα.)1(22++=αβαα41.一酒吧间柜台前有6张凳子,服务员预测,若两个陌生人进来就坐的话,他们之间至少相隔两张凳子.(1)若真有2个陌生人入内,他们随机地就坐,问服务员预言为真的概率是多少?(2)设2个顾客是随机坐的,求顾客之间凳子数的数学期望.解(1)将凳子按自左至右编号,设服务员预言为真.)(A 若第一顾客就坐于1号,则另一顾客可坐4或5或6号共三种坐法,)(B 若第一顾客就坐于2号,则另一顾客可坐在5或6号共两种坐法,)(C 若第一顾客就坐于6号,只有一种坐法.综合)(),(),(C B A 三种情况共计6种坐法.同样,若第一顾客分别就坐于6号,5号,4号,则另一顾客也有6种坐法,因此两人共有1226=⨯种坐法,若两人随机就坐共有3026=A 种坐法,故服务员预言为真的概率是523012==p ．(2)若两顾客是随机坐的,以Y 记两顾客间的凳子数,则Y 可能取的值为0,1,2,3,4.可知Y 的分布律为于是3415141523153215411550)(=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=Y E ．42.设随机变量10021,,,X X X 相互独立，且都服从),1,0(U 又设,10021X X X Y ⋅⋅⋅= 求概率}10{40-<Y P 的近似值.解所求概率为}.1.92ln {}10ln 40{ln }10ln 40{ln }10{1001100140-<=-<=-<=<=∑∏==-i i i i X P X P Y P Y P p 因n X X X ,,,21 相互独立且都服从),1,0(U 知n X X X ln ,,ln ,ln 21 也相互独立,且服从同一分布,又),1,0(~U X i 其概率密度为⎩⎨⎧<<=其他，,010,1)(x x f 故有.112)(,2d ln )(ln ,1d ln )(ln 1221=-===-==⎰⎰i i i X D x x X E x x X E 由中心极限定理得}1.92ln {1001-<=∑=i i X P p ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-<-⨯-=∑=11001001.921100)1(100ln 1001i i X P .7852.0)97.0()1001001.92(=Φ=+-Φ≈43.来自某个城市的长途电话呼叫的持续时间X (以分计)是一个随机变量,它的分布函数是⎪⎩⎪⎨⎧<≥--=--.0,0,0,e 21e 211)(]3[3x x x F x x(其中3[x是不大于3x的最大整数).(1)画出)(x F 的图形.(2)说明X 是什么类型的随机变量.(3)求}6{},4{},3{},4{>>==X P X P X P X P (提示)0()(}{--==a F a F a X P ).解(1)(2))(x F 的所有不连续点为),,2,1(3 =k k X 取这些值的概率的总和为∑∑∞=∞=--==11)]03()3([}3{k k k F k F k X P ∑∞=-----⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1)133(33]33[33e 21e 211e 21e 211i k k k k ∑∑∞=∞=---=-=-=111.21e )1e (21)e e (21i k k kk 注意到,在)(x F 的任一连续点a 处有;0}{==a X P 又由于∑∞===121}3{k k X P ,因此,不可能取到可列多个值,,,21 x x 使得∑∞===1,1}{k kx X P 故X 不是离散型随机变量.又由于)(x F 不是连续函数,故X也不是连续型随机变量.(3).0}4{==X P )03()3(}3{--==F F X P ⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-----)11(111e 21e 211e 21e 211.316.0)e 1(211=-=-.684.00e 21e 211}4{)4(}4{134=---==-=<--X P F X P.0.0.0.0.1题15.43图.135.0e 21e 2111)6(1}4{222==⎪⎭⎫⎝⎛---=-=>---e F X P 44.一汽车保险公司分析一组(250人)签约的客户中的赔付情况.据历史数据分析,在未来一周中一组客户中至少提出一项索赔的客户数X 占10%.写出X 的分布,并求12.0250⨯>X (即30>X )的概率.设各客户是否提出索赔相互独立.解按题意知)10.0,250(~b X .现在需要求∑=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=>2503125090.010.0250}30{x x x x X P 即需求∑=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=>30025090.010.02501}30{x xx x X P 由拉普拉斯定理得⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯⨯-Φ-≈>90.010.025010.0250301}30{X P .1469.08531.01)054.1(1=-=Φ-=45.在区间)1,0(随机地取一点X .定义}.75.0,min{X Y =(1)求随机变量Y 的值域.(2)求Y 的分布函数,并画出它的图形.(3)说明Y 不是连续型随机变量,Y 也不是离散型随机变量.解(1)因},75.0,min{X Y =故X Y ≤且.75.0≤Y 又由于X 的值域是)1,0(,知Y 的值域为]75.0,0(.(2)由(1)知当0<y 时,0}{)(=≤=y Y P y F Y 当75.0≥y 时,.1}{)(=≤=y Y P y F Y 当75.00<≤y 时,事件}{y Y ≤表示X 是在],0(y 随机取的一点.故有⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=75.0,175.00,0,0)(y y y y y F Y )(y F Y 的图形如题15.45图所示.(3)从题15.45图看出,)(y F Y 在点75.0=y 处不连续,故它不是连续型随机变量.)(y F Y 只有一个不连续点75.0=y .注意到在)(y F Y 的任一连续点a 处,有,0}{==a Y P 而在不连续点75.0=y 处,.01题15.45图。
春西南大学概率论作业答案全
精品文档判断题3：随机变量X 的方差DX 也称为X 的二阶原点矩。
错误4：掷硬币出现正面的概率为P , 掷了n 次，则至少出现一次正面的概率为1-(1-p)n. 正确 5：随机变量X 的取值为不可列无穷多，则X 必为连续型随机变量。
错误 6：设事件为A 、B ，已知P(AB)=0，则A 与B 必相互独立. 错误 7： “ABC ”表示三事件A 、B 、C 至少有一个发生。
错误8：设X 、Y 是随机变量，X 与Y 不相关的充分必要条件是X 与Y 的协方差等于0。
正确 9：设X 、Y 是随机变量，若X 与Y 相互独立，则E(XY)=EX •Ey. 正确 10：连续型随机变量均有方差存在。
错误11： A.B 为任意二随机事件，则P(A ∪B)=P(A)+P(B). 错误12：设A 、B 、C 为三事件，若满足：三事件两两独立,则三事件A 、B 、C 相互独立。
错误 4：设事件为A 、B ，已知P(AB)=0,则A 与B 互不相容.错误5：随机向量（X,Y ）服从二元正态分布，则X 的边际分布为正态分布，Y 的边际分布也为正态分布. 正确 6：若X ～B(3,0.2),Y ～B(5,0.2),且X 与Y 相互独立，则X+Y ～B(8,0.2). 正确 7： X 为随机变量，a,b 是不为零的常数，则D(aX+b)=aDX+b. 错误8：设X 、Y 是随机变量，X 与Y 不相关的充分必要条件是D(X+Y)=DX+DY. 正确 2： C 为常数，则D(C)=0. 正确3：若X 服从二项分布B(5,0.2),则EX=2. 错误4： X 服从正态分布，Y 也服从正态分布, 则随机向量（X,Y ）服从二元正态分布。
错误5：若X 服从泊松分布P(10),Y 服从泊松分布P(10),且X 与Y 相互独立，则X+Y 服从泊松分布P(20). 正确 6：cov(X,Y)=0等价于D(X+Y)=DX+DY. 正确7：随机变量的分布函数与特征函数相互唯一确定。
西南大学概率论判断题答案
第一次答案1 判断题“ABC”表示三事件A、B、C 至少有一个发生。
答：错误2 三人独立的破译一份密码,已知每个人能译出的概率分别为0.25,0.5,0.6.则这密码被译出的概率为________.答：0.853 在某城市中，共发行三种报纸A、B、C。
在这城市的居民中，订阅A 报的占45%,订阅B 报的占35%,订阅C 报的占30%,同时订阅 A 报及 B 报的占10%,同时订阅 A 报及C 报的占8%,同时订阅B 报及C 报的占5%,同时订阅ABC 三种报纸的占3%，“至少订阅一种报纸的” 则概率为. 0.94[判断题]设X、Y 是随机变量，X 与Y 不相关的充分必要条件是X 与Y 的协方差等于0。
正确5[判断题]设X、Y 是随机变量，若X 与Y 相互独立，则E(XY)=EX?Ey. 正确6. [判断题]连续型随机变量均有方差存在。
错误7. [判断题]A.B 为任意二随机事件，则P(A∪B)=P(A)+P(B). 错误8. [判断题]设ABC 为三事件，若满足：三事件两两独立,则三事件A、B、C 相互独立。
错误9. [单选题]设X 是随机变量，且EX=DX,则X 服从（）分布。
B：泊松10[单选题] （D）是离散型随机变量的分布。
D：二项分布第二次答案（1）设10 件产品中含有4 件次品，今从中任取 2 件，发现其中一件是次品，则另一件也是次品的概率为1/5 。
（2）投掷五个硬币，每个硬币出现正面的概率为1/2.已知正面数不超过3，则正面数刚好为3 的概率为5/13.（3）[判断题]随机向量（X,Y）服从二元正态分布，则X 的边际分布为正态分布，Y 的边际分布也为正态分布.参考答案：正确(4)[判断题]若X～B(3,0.2),Y～B(5,0.2),且X 与Y 相互独立，则X+Y～B(8,0.2). 答案：正确(5)[判断题]X 为随机变量，a,b 是不为零的常数，则D(aX+b)=aDX+b. 参考答案：错误(6)[判断题]设X、Y 是随机变量，X 与Y 不相关的充分必要条件是D(X+Y)=DX+DY.答案：正确(7)C 为常数，则E(C)=( C ).(8)若X 服从泊松分布P(10),则EX=( A ). (10)已知X 在[1，3]上服从均匀分布，则X 的方差DX=( D ).第三次作业1[判断题]随机变量的分布函数与特征函数相互唯一确定。
西南大学概率论判断题答案
第一次答案1 判断题“ABC”表示三事件A、B、C 至少有一个发生。
答：错误2 三人独立的破译一份密码,已知每个人能译出的概率分别为0.25,0.5,0.6.则这密码被译出的概率为________.答：0.853 在某城市中，共发行三种报纸A、B、C。
在这城市的居民中，订阅A 报的占45%,订阅B 报的占35%,订阅C 报的占30%,同时订阅 A 报及 B 报的占10%,同时订阅 A 报及C 报的占8%,同时订阅B 报及C 报的占5%,同时订阅ABC 三种报纸的占3%，“至少订阅一种报纸的” 则概率为. 0.94[判断题]设X、Y 是随机变量，X 与Y 不相关的充分必要条件是X 与Y 的协方差等于0。
正确5[判断题]设X、Y 是随机变量，若X 与Y 相互独立，则E(XY)=EX?Ey. 正确6. [判断题]连续型随机变量均有方差存在。
错误7. [判断题]A.B 为任意二随机事件，则P(A∪B)=P(A)+P(B). 错误8. [判断题]设ABC 为三事件，若满足：三事件两两独立,则三事件A、B、C 相互独立。
错误9. [单选题]设X 是随机变量，且EX=DX,则X 服从（）分布。
B：泊松10[单选题] （D）是离散型随机变量的分布。
D：二项分布第二次答案（1）设10 件产品中含有4 件次品，今从中任取 2 件，发现其中一件是次品，则另一件也是次品的概率为1/5 。
（2）投掷五个硬币，每个硬币出现正面的概率为1/2.已知正面数不超过3，则正面数刚好为3 的概率为5/13.（3）[判断题]随机向量（X,Y）服从二元正态分布，则X 的边际分布为正态分布，Y 的边际分布也为正态分布.参考答案：正确(4)[判断题]若X～B(3,0.2),Y～B(5,0.2),且X 与Y 相互独立，则X+Y～B(8,0.2). 答案：正确(5)[判断题]X 为随机变量，a,b 是不为零的常数，则D(aX+b)=aDX+b. 参考答案：错误(6)[判断题]设X、Y 是随机变量，X 与Y 不相关的充分必要条件是D(X+Y)=DX+DY.答案：正确(7)C 为常数，则E(C)=( C ).(8)若X 服从泊松分布P(10),则EX=( A ). (10)已知X 在[1，3]上服从均匀分布，则X 的方差DX=( D ).第三次作业1[判断题]随机变量的分布函数与特征函数相互唯一确定。
西南大学《概率论》复习思考题答案
（0264）《概率论》复习思考题记号：ξ的分布函数记为)()(x P x F <=ξ，ξ的密度函数记为)(x p ，ξ的特征函数记为)(t f ξ服从参数为n 、p 的二项分布，简记为),(~p n B ξ。
ξ服从参数为λ的泊松分布，简记为)(~λξP 。
ξ在区间a 、b 上服从均匀分布，简记为[]b a U ,~ξ。
ξ服从参数为λ的指数分布，简记为)(~λξExp 。
ξ服从参数为μ、2σ的正态分布，简记为),(~2σμξN 。
一.填空题：1.一袋中有编号为0，1，2，…，9的球共10只，某人从中任取3只球，则（1）取到的球最小号码为5的概率为 ；（2）取到的球最大号码为5的概率为 。
2.一个房间内有n 双不同型号的鞋子，今从中随意地取出2 r (2 r ≤ n)只，则 （1）2 r 只中没有一双配对的概率为 ； （2）2 r 只中恰有一双配对的概率为 。
（只需写出表达式）3.将n 个不同的球等可能地放入N(N>n)个盒子中，则（1）某指定的n 个盒子中各有一个球的概率p 1= ； （2）任意n 个盒子中各有一个球的概率p 2= 。
4.一部五卷的文集，按任意次序放到书架上，则（1）“第一卷及第五卷出现在旁边”的概率为 ；（2）“第一卷出现在旁边”的概率为 。
5.设一口袋中有a 只白球,b 只黑球,从中取出三只球(不放回),则三只球依次为黑白黑的概率为 。
6.在某城市中，共发行三种报纸A 、B 、C 。
在这城市的居民中，订阅A 报的占45%,订阅B 报的占35%,订阅C 报的占30%,同时订阅A 报及B 报的占10%,同时订阅A 报及C 报的占8%,同时订阅B 报及C 报的占5%,同时订阅A 、B 、C 三种报纸的占3%，则（1）“至少订阅一种报纸的”概率为 ；（2）“不订阅任何报纸的”概率为 ；（3）“只订A 报及B 报的”概率为 ；（4）“只订A 报的”概率为 。
7.三人独立的破译一份密码,已知各个人能译出的概率分别为53,21,41.这密码被译出的概率为 .8.已知 P(A)=0.7,P(B)=0.6,P(AB)=0.2则P()(B A AB ⋃)= .9.设10件产品中含有4件次品，今从中任取2件，发现其中一件是次品，则另一件也是次品的概率为 。
《概率论与数理统计》练习题参考答案与解题提示
《概率论与数理统计》练习题参考答案与解题提示一、单项选择题1-5 DDACC 6-10 BDBAD 11-15 ACCDA 16-20 BCBDC 21-25 DCDDC 26-30 CDDBC 31-35 CDBBA 36-40 CCDBC 41-45 CBCAC 46-50 ABBDC 51-55 BDAAB 56-60 CBABA 61-65 BCBAA 66-68 DCC 6. ()()()()()()P ABC P AB P ABC P A P B P ABC =-=- 23. 001()1(0)2--Φ=-Φ 24. 2(,)(,)4F x y f x y xy x y∂==∂∂37. 若2~(,)X N μσ，则~(0,1)X N μσ-39. 25{1}1{0}1(1)9P Y P Y p ≥=-==--=解得13p =31{1}1{0}1(1)3P X P X ≥=-==-- 44. (,)()()X Y f x y f x f y =45. 画出01,01,1x y x y ≤≤≤≤+≤的公共区域，1111{1}1(1)2yP X Y dy dx y dy -+≤==-=⎰⎰⎰ 二、填空题1. 0.62. 0.33.116 4. 14 5. 63646. 0.67. 0.40968. 1149. 0.18 10. 13 11. 19 12. 183513. 1p - 14. 0.5 15. 0.4 16. 0.5 17. 0.42 18. 19 19. 815 20. 23 21. 0.522. 6581 23. 0.5 24. 0.25 25. 0.25 26. 13 27. 0.5 28. 0.75 29. ,00,x e x -⎧>⎨⎩其它30.101,0220x y ⎧≤≤≤≤⎪⎨⎪⎩其它 31. 3 32. 0.2 33. 0.4 34. 210x 35. 0.25 36. 0.2537. (0,1)N 38. 5356 39. 1927 40. 0.5100x e x -⎧-≥⎨⎩其它41.1342.43. 1,010100,y ⎧≤≤⎪⎨⎪⎩其它 44. 0,00x y e x y --⎧>>⎨⎩其它45. 0.5 46. 447.22x -48.312849. 5 50. 4(1)np p - 51. 8 52.23 53. 1 54. 89 55. 112 56. 0.5 57. 0 58. 0.8664 59. 0 60. 0.16 61. 16 62. 4 63. 2364. 0 65. 0.6826 66. 4 67. 2 68. 18 69. 070. 0.5 71. 112 72. 21(,)F n n 73. 20 74. 0 75. 12 76. n 77. 2212nσσ+78.23X 79. θ= 80. [7.7,12.3] 81. 19 82. 2 83. 1X 84. [9.804,10.196] 85. 0.5 86. 1X - 87. 0.9三、判断题1-5 对错错错对 6-10 对对错错对四、计算题、证明题1．答案：0.8。
概率论参考答案
一、单项选择题 1．若E(XY)=E(X))(Y E ⋅,则必有( B )。
A ．X 与Y 不相互独立B ．D(X+Y)=D(X)+D(Y) C．X与Y 相互独立D ．D(XY)=D(X)D(Y2．一批产品共有18个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为 A 。
A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.43．设随机变量X 的分布函数为)(x F ，下列结论错误的是 D 。
A ．1)(=+∞F B ．0)(=-∞FC ．1)(0≤≤x FD ．)(x F 连续4．当X 服从参数为n ，p 的二项分布时，P(X=k)=( B )。
A ．nk k m q p CB．kn k k n qp C -C ．k n pq -D ．k n k q p -5．设X 服从正态分布)4,2(N ，Y 服从参数为21的指数分布，且X 与Y 相互独立，则(23)D X Y ++= CA ．8B ．16C ．20D ．24 6．设n X X X 21独立同分布，且1EX μ=及2DX σ=都存在，则当n 充分大时，用中心极限定理得()1n i i P X a a =⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭∑为常数的近似值为 B 。
A ．1a n n μσ-⎛⎫-Φ⎪⎝⎭B．1a n n μσ-⎛⎫-Φ ⎪⎝⎭C ．a n n μσ-⎛⎫Φ⎪⎝⎭D ．a n n μσ-⎛⎫Φ⎪⎝⎭7．设二维随机变量),(Y X 的联合分布函数为),(y x F ，其联合分布律为Y X0 1 2-1 0 10.2 0 0.10 0.4 0 0.1 0 0.2则(0,1)F = C 。
A ．0.2B ．0.4C ．0.68．设k X X X ,,,21 是来自正态总体)1,0(N 的样本，则统计量22221k X X X ++服从（ D ）分布A ．正态分布B ．t 分布C ．F分布 D ．2χ分布9．设两个相互独立的随机变量X 与Y 分别服从)1,0(N 和)1,1(N ，则 B 。
西南大学网络与继续教育19.9月概率论【0264】答案
类别：网教专业：数学教育2019年9月
课程名称【编号】：概率论【0264】A卷
大作业满分：100分
1、简算题（本题需要给出计算过程，计算结果保留小数点后3位）（共五个小题，每小题10分，满分50分）：
1、若A、B为二事件， ，求概率 .
解：∵P(A-B)=P(A)-P(B)=0.2
解：
3、设 的概率密度为 ，求 、 .
解：
=-1/2
=1/12
4、已知二维随机变量 的联合分布律为
-2
-1
1
2
0
0
0
1ห้องสมุดไป่ตู้
0
0
（1）求 与 的相关系数；（2） 与 是否独立，为什么？
5、设随机变量 的概率密度函数为
求随机变量 的概率密度。
解：
二、（15分）设随机变量 的概率密度函数为
，
求（1）常数 ；（2）概率 ；（3） 的分布函数 。(4)设 表示三次独立观察中事件 发生的次数，求 。
三、（15分）设（ ）的联合密度函数为
（1）分别求出 的边际密度函数 与 ；（2） 与 是否相互独立？（3）求出 的相关系数。（4） 与 是否不相关？
(1)
(2)
四、（10分）设 是独立随机变量序列,且
证明 服从大数定律.
五、（10分）请阅读书中案例，并解答下列问题：某车间有200台车床，由于经常需要检修、测量、调换刀具、变换位置等种种原因，每台机床只有60%的时间在开动用电，若每台车床开动时耗电1千瓦，问应供给这个车间多少电，才能以不低于99.9%的概率保证该车间正常的生产。
∴P(AB)=P(A)-0.2=0.3
∴ =1-P(AB)=1-0.3=0.7
西南大学19秋[1246] 平时作业辅导答案
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1246 20192单项选择题1、1.A与B中恰有一个发生2.必然事件3.不可能事件4.A与B不能同时发生2、甲袋中有3个白球2个黑球，乙袋中有4个白球4个黑球，今从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任（）。
1.13/252.3/253.7/254.1/53、1.(1)2.(3)3.(4)4.(2)4、已知某路口车辆经过的时间间隔服从指数分布Exp(a)，其中a未知，现在观测到六个时间间隔数据（单位1.8, 3.2, 4, 8, 4.5, 2.5，则该路口车辆经过的平均时间间隔的最大似然估计值为(1. E. 82. 43. 3.24. 1.85、在一本书上随机检查了10页，发现每页上的错误数为：4，5, 6，0， 3， 1， 4， 2, 1，4，则其样本1. 1.682. 1.453. 1.944. 2.326、某车间生产滚珠,从长期实践中知道,滚珠直径X可以认为服从正态分布.从某天的产品里随机抽取6个, 为:14.6, 15.1, 14.9, 14.8, 15.2, 15.1. 若已知总体方差为0.06，则均值的置信区间为（(置信度为0.95，u_0.025 =1.96).1.[14.35，15.65]2.[14.75，15.25]3.[14.75，15.15]4.[14.25，14.75]7、如果在1500件产品中有100件不合格品，从中任意抽取15件进行检查，则查得不合格品数的数学期望为1.15/142.15/73. 14. 28、从6双不同的皮鞋中任取4只，其中恰有一双配对的概率是（）。
1.8/332.2/333.4/334.16/339、10张奖券中含有4张中奖的奖券，每人购买1张，则第四个购买的人中奖的概率为（）。
1.0.12.0.23.0.44.0.810、设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布N(10, 2, 1, 1, 0)，则Var(-2X+3Y+5)=（）1. 12. 63.384.1311、1.82. 23. 14. 412、1.1/42.15/643.15/324.3/1613、把长为1的棒任意折成三段，则它们不能构成三角形的概率为( ).1.1/42.5/63.3/44.1/214、若X服从F(n, n), 则P(X<1)=( ).1.0.82.0.53.0.34.0.115、一个盒中有5个白球，4个黑球，现按每次取1个，取后放回的方式从中任取3个球，则取出的球中有( ).1.35/812.1/143.80/2434.5/1416、在一本书上随机检查了10页，发现每页上的错误数为：4，5, 6，0， 3， 1， 4， 2, 1，4，则其样本1. 12. 33.04. 517、1. F. 0.642.0.763.0.364.0.2418、1. A. (2)2.(3)3.(1)4.(4)19、在一本书上随机检查了10页，发现每页上的错误数为：4，5, 6，0， 3， 1， 4， 2, 1，4，则其样本1. 3.782. 5.123. 2.674. 4.5620、设总体X服从U(0, a)，现从该总体中抽取容量为10的样本，样本值为：0.5 1.3 0.6 1,7 2.2 1.2 0.8 1.5 2.0 1.6. 则参1. 1.342. 2.683. 3.324. 5.3621、元素碳-14在半分钟内放射出到达计数器的粒子数X服从参数为a的泊松分布，下面是X的一个样本观测6 4 9 6 10 11 6 3 7 10则a的最大似然估计值为( ).1.7.22.113. 34.8.422、设在区间[a,b]上，随机变量的密度函数为f(x)=sinx，而在[a,b]外，f(x)=0，则区间 [a,b]等于（1.[0,π/2]2.[-π/2,0]3.[0,3π/2]4.[0,π]23、某公共汽车站每隔10分钟有一辆汽车到达，乘客到达汽车站的时刻是任意的，则一个乘客候车时间不超1.0.82.0.63.0.24.0.424、有五条线段，长度分别为1、3、5、7、9。
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2. 4/9
3. 5/9
4. 1
8、设随机变量X的分布列为
则常数C＝( ).
1. 1
2. 2
3. 4
4. 5
9、设随机变量 的分布函数为
则其中常数为（ ）。
1. A=1,B= -1
2. A= -1,B=1
3. A=1,B=1
4. A=-1,B=-1
10、对事件A、B，下列说法正确的是（ ）.
1. A.√
2. B.×
35、X为随机变量，a,b是不为零的常数，则D(aX+b)=aDX+b.
1. A.√
2. B.×
36、X为随机变量，a,b是不为零的常数，则E(aX+b)=aEX+b.
1. A.√
2. B.×
37、"三事件A、B、C至少有一个发生"表示为“A∪B∪C”.
1. A.√
2. B.×
窗体顶端
单项选择题
1、下列函数中，( )可以作为连续型随机变量的分布函数.
1.
2.
3.
4.
2、设两个相互独立的随机变量 ， ， ， , 则（ ）。
1. A.
2. B.
3. C.
4. D.
3、设随机变量X~ ,且EX=3, ,则P(-1<X<1)= ( ).
1.
2.
3.
4.
4、设随机变量X的概率密度为
1. A.√
2. B.×
31、“A∪B∪C”表示三事件A、B、C至少有一个发生。
1. A.√
2. B.×
32、特征函数 具有性质： 。
1. A.√
2. B.×
33、设X、Y是随机变量，若E(XY)=EX•EY,则X与Y相互独立.
1. A.√
2. B.×
34、从一堆产品中任意抽出三件进行检查，事件A表示“抽到的三个产品中合格品不少于2个”，事件B表示“抽到的三个产品中废品不多于2个”，则事件A与B是互为对立的事件。
1. A.√
2. B.×
主观题
43、
参考答案：
44、
参考答案：
45、
参考答案：
46、
参考答案：
47、
参考答案：
48、
参考答案：
49、
参考答案：
50、
参考答案：
51、
参考答案：
52、
参考答案：
53、
参考答案：
54、
参考答案：
55、
参考答案：
56、
参考答案：
57、
参考答案：
5X服从二项分布b (n , p) , 当n充分大时，由中心极限定理，X近似服从正态分布N(np,np(1-p)).
1. A.√
2. B.×
39、设A、B为二事件，则A—B=A—AB.
1. A.√
2. B.×
40、n个相互独立的随机变量之积的特征函数等于它们特征函数的乘积。
1. A.√
2. B.×
且 ，则（ ）.
1. k=2,b=1
2. k=1,b=2
3. k=1,b=1
4. k=2,b=2
5、 ，则 。
1. 11/12
2. 7/12
3. 1/2
4. 5/6
6、设随机变量X服从二项分布 ,由切比雪夫不等式有 ( ).
1.
2.
3.
4.
7、两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟既可离去，则这两个人能会面的概率为（ ）.
1. A.√
2. B.×
27、已知随机变量 的联合分布、边际分布如下表
则 相互独立。
1. A.√
2. B.×
28、设两个相互独立的随机变量 ， 的方差分别是 4 和 2 ，则 ＝44。
1. A.√
2. B.×
29、任意随机变量均存在数学期望。
1. A.√
2. B.×
30、已知：P(A)=0.2, P(B)=0.5, P(AB)=0.1,则P(A∪B)=0.6.
60、
参考答案：
窗体底端
1. A.√
2. B.×
23、设 服从 的均匀分布， ，则 的密度函数为 。
1. A.√
2. B.×
24、随机向量（X,Y）服从二元正态分布，则X的边际分布为正态分布，Y的边际分布也为正态分布.
1. A.√
2. B.×
25、设X服从参数为 的泊松分布，则 。
1. A.√
2. B.×
26、“ABC”表示三事件A、B、C至少有一个发生.
3. A与B相等
4. A包含B或B包含A
16、设 服从二维正态分布 ， 是 独立的（ ）.
1. 充分但不必要条件
2. 必要但不充分条件.
3. 无关条件
4. 充分且必要条件
17、下列函数可以作为某个随机变量X的概率密度函数的是（ ）.
1.
2.
3.
4.
判断题
18、X、Y相互独立，则X、Y必不相关.
1. A.√
1. 若A与B互不相容，则 也互不相容
2. 若A与B相容，则 也相容
3. 若A与B互不相容，则A与B相互独立
4. A与B相互独立，则 也相互独立
11、设随机变量X服从两点分布 ，其分布律为
其中 , 则X的特征函数为（ ）.
1.
2.
3.
4.
12、设随机变量 服从参数为 的泊松分布，则 =（ ）。
1.
2.
3.
4.
13、设随机变量X的概率密度函数为
则随机变量 的概率密度为（ ）.
1.
2.
3.
4.
14、已知随机变量X的分布函数为
则 ( ).
1. 1/4
2. 1/2
3. 3/4
4. 1
15、设事件A、B的概率均大于零，且A与B互为逆事件（或称为对立事件），则有（ ）。
1. A与B相互独立
2. A与B互不相容
41、一批产品有10件正品，3件次品，现有放回的抽取，每次取一件，直到取得正品为止，假定每件产品被取到的机会相同，用随机变量 表示取到正品时的抽取次数，则 服从几何分布。
1. A.√
2. B.×
42、设A、B、C为三事件，若满足：P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),则事件A、B、C必然相互独立.
2. B.×
19、X～N(3,4),则P(X<3)= P(X>3).
1. A.√
2. B.×
20、若X～B(3,0.2),Y～B(5,0.2),且X与Y相互独立，则X+Y～B(8,0.2).
1. A.√
2. B.×
21、每一个连续型随机变量均有方差存在。
1. A.√
2. B.×
22、设 为相互独立的随机变量序列，如果数学期望 均为有限的，则序列 服从大数定律.