数学人教版九年级上册初中几何辅助线技巧之旋转变换——构造旋转

合集下载

初中数学九年级旋转知识点

初中数学九年级旋转知识点在初中数学九年级，旋转是一个重要的几何变换方法。

通过旋转，我们可以改变图形的位置和方向，从而帮助我们解决一些几何问题。

本文将介绍九年级数学中与旋转相关的知识点，包括旋转的定义、旋转的性质以及旋转的应用。

一、旋转的定义旋转是指将一个图形绕着固定点旋转一定角度，保持图形内部的点与固定点的距离保持不变。

旋转的固定点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角度。

九年级数学中常用的旋转角度有90度、180度和270度。

二、旋转的性质1. 旋转保持图形面积不变：无论如何旋转一个图形，它的面积都保持不变。

2. 旋转保持图形周长不变：无论如何旋转一个图形，它的周长也保持不变。

3. 旋转保持图形对称性不变：如果一个图形是对称的，那么它的旋转图形也将保持对称性。

三、旋转的应用1. 确定旋转后的图形：通过给出旋转中心和旋转角度，我们可以确定旋转后的图形。

例如，给出一个三角形ABC，旋转中心为点O，旋转90度，我们可以通过连接OA、OB和OC来确定旋转后的图形。

2. 解决几何问题：旋转常常被用于解决一些几何问题。

例如，在证明两个图形相似时，可以通过旋转一个图形使其与另一个图形重合，从而得到相似的证明。

3. 观察图形性质：通过观察旋转后的图形，我们可以揭示一些图形的性质。

例如，通过旋转正方形，可以发现旋转后的图形仍然是正方形，这说明正方形具有旋转对称性。

四、注意事项在进行旋转时，需要注意以下几点：1. 旋转角度是逆时针方向旋转：九年级数学中的旋转一般都是逆时针方向旋转，所以在进行旋转时需要根据旋转角度确定旋转方向。

2. 旋转中心的选择：选择旋转中心时，需要注意选择一个能够旋转整个图形的点，使得旋转后的图形可以被完全覆盖。

3. 使用适当的工具：在实际操作中，可以使用直尺、量角器等几何工具来进行旋转操作，以确保旋转的准确性。

总结：初中数学九年级的旋转知识点是我们在几何学习中重要的一部分。

通过学习旋转的定义、性质和应用，我们可以更好地理解和解决与旋转相关的问题。

人教版九年级数学上册第23章构造旋转讲义(带解析)

人教版九年级数学上册第23章构造旋转讲义（带解析）1 / 14中考内容中考要求ABC旋转了解图形的旋转，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；会识别中心对称图形能按要求作出简单平面图形旋转后的图形，能依据旋转前、后的图形，指出旋转中心和旋转角能运用旋转的知识解决简单问题满分晋级阶梯中考内容与要求知识互联网5构造旋转图形变换6级构造旋转图形变换5级图形的旋转图形变换4级特殊图形旋转的计算与证明根据已知条件中的直角三角形等，构造共顶角顶点等腰三角形，从而利用下面模型.【例1】如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，30ABC ∠=︒，点D 是射线CB 上任意一点，ADE△是等边三角形，连接BE ．求证：DE BE =．EDCBA图121FAB CDE【解析】取AB 的中点F ，连结EF ，CF ．∵90ACB ∠=︒，30ABC ∠=︒，∴160∠=︒，12CF AF AB ==．典题精练思路导航题型一：构造——共顶角顶点等腰三角形B'A'BO人教版九年级数学上册第23章构造旋转讲义（带解析）3 / 14∴△ACF 是等边三角形．∴AC AF =． ① ∵△ADE 是等边三角形， ∴260∠=︒，AD AE =． ② ∴12∠=∠． ∴12BAD BAD ∠+∠=∠+∠．即CAD FAE ∠=∠．③由①②③得 △ACD ≌△AFE （SAS ）． ∴90ACD AFE ∠=∠=︒． ∵F 是AB 的中点，∴EF 是AB 的垂直平分线． ∴BE=AE .∵△ADE 是等边三角形， ∴DE=AE .∴BE DE =．【例2】如图，AB AC =，点D 为线段BC 中点，点E 在线段AC 的延长线上，DE DF =，BAC EDF ∠=∠，点G 为线段AB 的中点，连接FG 交AC 于H ，求证：2AC GH =.【解析】取线段AC 的中点K ，连接DK 、DG 、GK .∵AB AC =，BAC EDF ∠=∠由中位线可得DG DK =，KDG EDF ∠=∠ ∴EDK FDG ∠=∠ 又∵ED FD =∴EDK FDG △≌△ ∴DGH DKH ∠=∠ ∵DG AC ∥∴GDK DKH ∠=∠，∴DK GH DG == ∵2DG AC =，∴2GH AC =【例3】如图，直线l 1∥l 2∥l 3, l 1与l 2之间的距离是2，l 2与l 3之间的距离是1,试画出一个等边三角形ABC ，使三个顶点分别在直线l 1、l 2、l 3上，并直接写出所画等边三角形ABC 的面积．GH FEDC BAK GH FE D C BA1CE D23H l 1l 2l 3【解析】如图；733.主要考查两种类型：利用旋转把图1转化成图2图1图2③②①转化①①②③ 转化图2图1③②①②③③②①【例4】阅读下列材料：问题：如图1，在正方形ABCD 内有一点P ，P A =5，PB =2，PC =1，求∠BPC 的度数．小明同学的想法是：已知条件比较分散，可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是他将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°，得到了△BP ′A （如图2），然后连结PP ′．请你参考小明同学的思路，解决下列问题： ⑴图2中∠BPC 的度数为；⑵如图3，若在正六边形ABCDEF 内有一点P ，且P A =132，PB =4，PC =2，则∠BPC 的度数为，正六边形ABCDEF 的边长为．图3图2图1PFEDCBAP'PDCBAPDCBA【解析】 ⑴135°；⑵120°；27 ．【例5】 ⑴如图1：在ABC △中，AB AC =，当60ABD ACD ∠=∠=︒时，猜想AB 与BD CD +数量关系，请直接写出结果；思路导航典题精练题型二：构造旋转——转移边和角人教版九年级数学上册第23章构造旋转讲义（带解析）5 / 14⑵如图2：在ABC △中，AB AC =，当45ABD ACD ∠=∠=︒时，猜想AB 与BD CD +数量关系并证明你的结论；⑶如图3：在ABC △中，AB AC =，当ABD ACD β∠=∠=（2070β°≤≤°）时，直接写出AB 与BD CD +数量关系(用含β的式子表示).图3图2图1DC BADCBADC BA【解析】 ⑴AB=BD+CD⑵猜想：2AB BD CD =+证明：如图，过A 点作AE ⊥AC 交CD 延长线于E 点，作AF ⊥AB 交BD 延长线于F 点，连接EF . 容易证出：ABC AEF △≌△∴∠ABC =∠AEF ，BC =EF容易证出：DBC DEF △≌△∴CD =DF在等腰Rt ABF △中，结论可以得出.(3)cos 2BD CDAB β+⋅=【例6】在□ABCD 中，E 是AD 上一点，AE =AB ，过点E 作直线EF ，在EF 上取一点G ，使得∠EGB =∠EAB ，连接AG .⑴ 如图1，当EF 与AB 相交时，若∠EAB =60°，求证：EG =AG +BG ； ⑵ 如图2，当EF 与AB 相交时，若∠EAB = α（0º﹤α﹤90º），请你直接写出线段EG 、AG 、BG 之间的数量关系（用含α的式子表示）；⑶ 如图3，当EF 与CD 相交时，且∠EAB =90°，请你写出线段EG 、AG 、BG 之间的数量关系，并证明你的结论.【解析】证明：如图，作∠GAH =∠EAB 交GE 于点H .∴∠GAB =∠HAE .F ED B A 图3 D C G图2 DA C G F 图1 D C G F∵∠EAB =∠EGB ，∠APE =∠BPG ， ∴∠ABG =∠AEH . ∵又AB =AE ，∴△ABG ≌△AEH . ∴BG =EH ，AG =AH . ∵∠GAH =∠EAB =60°， ∴△AGH 是等边三角形. ∴AG =HG .∴EG =AG +BG .(2) 2sin.2EG AG BG α=+（3）2.EG AG BG =-如图，作∠GAH =∠EAB 交GE 于点H .∴∠GAB =∠HAE . ∵∠EGB =∠EAB =90°，∴∠ABG +∠AEG =∠AEG +∠AEH =180°.∴∠ABG =∠AEH .∵又AB =AE ，∴△ABG ≌△AEH . ∴BG =EH ，AG =AH . ∵∠GAH =∠EAB =90°，∴△AGH 是等腰直角三角形.∴2AG =HG .∴2.EG AG BG =-【例7】 ⑴ 如图1，四边形ABCD 中，CB AB =，︒=∠60ABC ，︒=∠120ADC ，请你猜想线段DA 、DC 之和与线段BD 的数量关系，并证明你的结论；⑵ 如图2，四边形ABCD 中，BC AB =，︒=∠60ABC ，若点P 为四边形ABCD 内一点，且︒=∠120APD ，请你猜想线段PA 、PD 、PC 之和与线段BD 的数量关系，并证明你的结论．图1DCBA图2PDC BA【解析】 ⑴ 如图１，延长CD 至E ，使DE DA =．可证明EAD △是等边三角形．PHCG FHE DCG人教版九年级数学上册第23章构造旋转讲义（带解析） 7 / 14连接AC ，可证明BAD △≌CAE △．故AD CD DE CD CE BD +=+==．图1E DCBA图2B'PDCBA⑵ 如图２，在四边形ABCD 外侧作正三角形D B A '，可证明AB C '△≌ADB △，得DB C B ='． ∵四边形DP B A '符合（1）中条件， ∴PD AP P B +='．连结C B '，ⅰ）若满足题中条件的点P 在C B '上，则PC B P C B +'='．∴PC PD AP C B ++='． ∴PC PD PA BD ++= ．ⅱ）若满足题中条件的点P 不在C B '上， ∵PC B P C B +'<'，∴PC PD AP C B ++<'． ∴PC PD PA BD ++<．综上，BD PA PD PC ++≤．PBP 'ACDP 'ABCDP训练1. 已知：24PA PB ==，，以AB 为一边作正方形ABCD ，使P D 、两点落在直线AB 的两侧．⑴ 如图，当45APB ∠=︒时，求AB 及PD 的长；⑵ 当APB ∠变化，且其它条件不变时，求PD 的最大值，及相应APB ∠的大小．（西城一模）PDCBA图2图1CBDAPP'EABCDP【解析】 ⑴ 如图1，过点A 作AE PB ⊥于点E ．∵45APB =︒∠，∴APE △是等腰直角三角形．∵2PA =，4PB = ∴1AE PE ==，3BE = ∴2210AB AE BE =+=如图2，APP '△是等腰直角三角形． ∵2PA =，∴2PP '=∵45APB =︒∠，∴90BPP '=︒∠ ∴BPP '△是直角三角形∴22222425BP PP BP ''=+=+=显然，APD AP B '△≌△，∴25PD BP '==．⑵ 如图3所示，将PAD △绕点A 顺时针旋转90︒得到P AB '△′，图3则PD 的最大值即为P B ′的最大值．∵P PB '△′中，P B PP PB <+′′，22PP PA ==′，4PB =，且P D 、两点落在直线AB 的两侧，∴当P P B 、、′三点共线时，P B ′取得最大值．如图4 此时6P B PP PB =+=′′，即P B ′的最大值为6，此时180135APB APP ∠=︒-∠=︒′图4训练2. 小华将一张矩形纸片（如图1）沿对角线CA 剪开，得到两张三角形纸片（如图2），其中ACB α∠=，然后将这两张三角形纸片按如图3所示的位置摆放，EFD △纸片的直角顶点D 思维拓展训练(选讲)人教版九年级数学上册第23章构造旋转讲义（带解析）9 / 14落在ACB △纸片的斜边AC 上，直角边DF 落在AC 所在的直线上．⑴ 若ED 与BC 相交于点G ，取AG 的中点M ，连接MB 、MD ，当EFD △纸片沿CA 方向平移时（如图3），请你观察、测量MB 、MD 的长度，猜想并写出MB 与MD 的数量关系，然后证明你的猜想； ⑵ 在⑴的条件下，求出BM D ∠的大小（用含α的式子表示），并说明当45α=︒时， BMD △是什么三角形？⑶ 在图3的基础上，将EFD △纸片绕点C 逆时针旋转一定的角度（旋转角度小于90︒），此时CGD △变成CHD △，同样取AH 的中点M ，连接MB 、MD （如图4），请继续探究MB 与MD 的数量关系，并证明你的结论．（门头沟二模）图2图1DFECBADC BAHABM DEFC图4图3M FE GDCBA【解析】 ⑴ MB =MD .证明：∵AG 的中点为M∴在Rt ABG △中， AG MB 21= 在Rt ADG △中，AG MD 21=，∴MB =MD ⑵ ∵BAM ABM BAM BMG ∠=∠+∠=∠2同理DAM ADM DAM DMG ∠=∠+∠=∠2 ∴BMD ∠=DAM BAM ∠+∠22=BAC ∠2 而90BAC α∠=︒- ∴1802BMD α∠=︒-∴当45α=︒时，90BMD ∠=︒，此时BMD △为等腰直角三角形． ⑶ 当CGD △绕点C 逆时针旋转一定的角度，仍然存在MB =MD ．作Rt CHD △关于CD 对称得到Rt CH D '△，作Rt ABC △关于BC 对称得到Rt A BC '△（如图5）易证AA C '△、HCH '△是等腰三角形，且ACA HCH ''∠=∠ ∴ACH A CH ''∠=∠，又∵AC A C '=，CH CH '=A'H'图5CFEDM BAH∴ACH A CH ''△≌△，∴AH A H ''=，又∵AM HM =，DH DH '=，AB A B '= 由中位线得BM DM =．训练3. 已知ABC △，以AC 为边在ABC △外作等腰ACD △，其中AC AD =.⑴如图1，若2DAC ABC ∠=∠，AC BC =，四边形ABCD 是平行四边形，则ABC ∠= °； ⑵如图2，若30ABC ∠=︒，ACD △是等边三角形，3AB =，4BC =. 求BD 的长； ⑶如图3，若ABC ∠为锐角，作AH BC ⊥于H ，当2224BD AH BC =+时，2DAC ABC ∠=∠是否成立？若不成立，说明你的理由，若成立，并证明你的结论.【解析】 ⑴ 45；⑵ 如图2，以A 为顶点AB 为边在ABC △外作BAE ∠=60°，并在AE 上取AE AB =，连结BE 和CE . ∵ACD △是等边三角形, ∴AD =AC ，DAC ∠=60°. ∵BAE ∠=60°,∴DAC ∠+BAC ∠=BAE ∠+BAC ∠. 即EAC ∠=BAD ∠.∴EAC △≌BAD △.∴EC =BD.∵BAE ∠=60°，AE =AB=3, ∴AEB △是等边三角形， ∴EBA ∠=60°, EB = 3， ∵30ABC ∠=︒, ∴90EBC ∠=︒.∵90EBC ∠=︒，EB =3，BC =4, ∴EC =5.∴BD =5. ⑶ DAC ∠=2ABC ∠成立.以下证明：如图３，过点B 作BE AH ∥，并在BE 上取2BE AH =，连结EA ，EC . 并取BE 的中点K ，连结AK . ∵AH BC ⊥于H ，∴90AHC ∠=︒.∵BE ∥AH , ∴90EBC ∠=︒. ∵90EBC ∠=︒，BE =2AH ,∴222224EC EB BC AH BC =+=+.A BC D1图ABC D2图AB CD3图AE BC D 2图3图A B CD E K人教版九年级数学上册第23章构造旋转讲义（带解析）11 / 14∵2224BD AH BC =+, ∴EC =BD.∵K 为BE 的中点，BE =2AH , ∴BK =AH. ∵BK ∥AH ，∴四边形AKBH 为平行四边形. 又∵90EBC ∠=︒,∴四边形AKBH 为矩形. ∴90AKB ∠=︒.∴AK 是BE 的垂直平分线. ∴AB =AE.∵AB =AE ，EC =BD ，AC =AD,∴EAC △≌BAD △. ∴EAC BAD ∠=∠.∴EAC EAD BAD EAD ∠-∠=∠-∠. 即DAC EAB ∠=∠.∵90EBC ∠=︒，ABC ∠为锐角, ∴90ABC EBA ∠=︒-∠. ∵AB =AE,∴EBA BEA ∠=∠.∴1802EAB EBA ∠=︒-∠.∴EAB ∠=2ABC ∠.∴DAC ∠=2ABC ∠.图3MPCB A【练习1】阅读下列材料：问题：如图1，P 为正方形ABCD 内一点，且::1:2:3PA PB PC =，求APB ∠的度数．小娜同学的想法是：不妨设1,2,3PA PB PC ===，设法把PA PB PC 、、相对集中，于是他将BCP △绕点B 顺时针旋转90°得到BAE △（如图2），然后连结PE ，问题得以解决．请你回答：图2中APB ∠的度数为．请你参考小娜同学的思路，解决下列问题：如图3，P 是等边三角形ABC 内一点，已知∠APB=115°，∠BPC=125°．⑴在图3中画出并指明以PA 、PB 、PC 的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）； ⑵求出以PA PB PC 、、的长度为三边长的三角形的各内角的度数分别等于．（顺义二模）EDDPPPCCCBBBAAA图1 图2 图3【解析】图2中∠APB 的度数为 135°．⑴如图3，以P A 、PB 、PC 的长度为三边长的一个三角形是APM △．（含画图）⑵以P A 、PB 、PC 的长度为三边长的三角形的各内角的度数分别等于60°、65°、55°．复习巩固人教版九年级数学上册第23章构造旋转讲义（带解析）13 / 14【练习2】 ⑴已知：如图1，ABC △是O ⊙的内接正三角形，点P 为弧BC 上一动点，求证：PA PB PC =+⑵如图2，四边形ABCD 是O ⊙的内接正方形，点P 为弧BC 上一动点，求证：2PA PC PB =+⑶如图3，六边形ABCDEF 是O ⊙的内接正六边形，点P 为弧BC 上一动点，请你写出PA ，PB ，PC 三者之间的数量关系表达式．（不需要证明）图3图2图1P F EDCB APDC BAOOOP CBA（通州二模）【解析】 ⑴在AP 上截取PM=BP ，连结BM∵ABC △是⊙O 的内接正三角形， ∴︒=∠=∠60ACB ABC ，AB=BC ∴︒=∠=∠60ACB APB ∵PM=BP ，∴BPM △是正三角形 ∴︒=∠60MBP∵CBP ABM ∠=∠ ABM △≌CBP △ ∴AM=PC∴AP = PB+PC⑵∵过点B 做BM PB ⊥，交P A 于点M ∵四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，∴AB=BC ，︒=∠=∠90BCD ABC ，︒=∠90AOB ∴︒=∠45APB ，PB=BM 根据勾股定理得：2PM PB ∵90ABC MBP ∠=∠=︒ ∴ABM CBP ∠=∠ ∴ABM △≌CBP △ ∴AM PC = ∴2PA PC PB =+ ⑶结论：PC PB PA +=3M BCPOM OPMOAC DFP第十七种品格：成就贝多芬的成就贝多芬的心中充满了自由、平等、博爱的理想，他是1789年法国资产阶级革命的热烈拥护者。

九年级数学上册知识点总结旋转

九年级数学上册知识点总结旋转一、内容概览九年级数学上册的知识点总结中，关于旋转的内容是个特别有意思的部分。

在这里我们为大家梳理一下这个章节的主要内容，让大家有个整体的把握。

首先旋转是个啥？简单来说旋转就是物体围绕一个点转动，在数学里这个点叫做旋转中心，转动的角度就是旋转角。

旋转不仅让图形有了动态美，还帮助我们理解很多生活中物体的运动规律。

比如门开关、风车的转动，都是旋转的例子。

那么在九年级数学上册中，我们主要学习哪些旋转相关的知识点呢？首先是旋转的基本性质，就像我们旋转一个物体时，它的每个点都会围绕旋转中心转动，形成一个固定的轨迹。

这个轨迹就是圆，所以旋转的一个重要性质就是点与圆的关系。

了解这一点，可以帮助我们更好地理解和计算旋转问题。

接下来我们会学习如何在平面内将一个图形旋转，这其中涉及到的知识点包括图形的变换和坐标系的应用。

学会了这些，我们就能轻松地画出旋转后的图形了。

还有关于旋转对称的知识也非常重要，一些图形在旋转后能够重合，这就是旋转对称。

了解这些知识，可以帮助我们更好地欣赏图形的美丽和数学中的对称美。

我们还会学习如何利用旋转来解决一些实际问题，比如几何图形的位置关系等。

这些都是需要我们掌握的重点内容，总之掌握了这些知识点不仅能更好地理解数学知识，也能在实际生活中灵活应用哦！那就让我们深入了解下每个具体的知识点吧！1. 旋转知识点在数学学习中的重要性九年级数学上册的知识点中，旋转是一个相当重要的部分。

你可能已经意识到，旋转在我们日常生活中无处不在，它不仅在数学学习中占据一席之地，更与我们生活的世界紧密相连。

想象一下你在玩转魔方的时候，每一个小方块都是在做旋转动作。

学习旋转知识点，就像是在学习如何“读懂”这个世界的一个小窍门。

不仅如此旋转知识点的学习还能帮助你培养空间想象能力，通过学习旋转，你可以更好地理解和想象一个物体在空间中的运动轨迹和位置变化。

这种能力不仅在解决数学问题时会派上用场，更能帮助你理解日常生活中的许多事物。

九年级上册旋转知识点

九年级上册旋转知识点旋转知识点旋转是几何学中的一个重要概念，它在我们的日常生活和数学学科中都有着广泛的应用。

在九年级上册的数学课程中，我们将学习有关旋转的基本知识和技巧。

本文将围绕旋转知识点展开，探讨旋转的定义、性质以及应用。

一、旋转的定义和性质1.1 旋转的定义旋转是指一个图形以某个固定点为中心，按照一定的角度绕该中心点旋转。

在数学中，我们常用坐标系来描述旋转的过程。

以平面坐标系为例，对于一个点P(x, y)，以原点O为中心，按照逆时针方向旋转θ角度后得到点P'(x', y')，那么点P'的坐标可以通过旋转公式计算得出。

1.2 旋转的性质旋转具有以下几个性质：（1）旋转保持距离不变：在旋转过程中，图形上任意两点之间的距离在旋转后保持不变。

（2）旋转保持角度不变：在旋转过程中，图形上任意两条线段之间的夹角在旋转后保持不变。

（3）旋转满足合成律：若将一个图形绕A旋转得到的结果再绕B旋转，与直接将图形绕某个点C旋转得到的结果相同。

（4）旋转是可逆的：对于一个旋转变换，可以通过逆时针旋转相同的角度实现逆变换。

二、旋转的应用举例旋转在许多实际问题中具有广泛的应用。

以下是旋转在几个不同领域中的应用举例。

2.1 几何学中的旋转在几何学中，旋转被广泛应用于图形的变换。

例如，通过旋转可以得到图形的对称图形，从而帮助我们探索图形的性质和关系。

另外，旋转还可以用于构造各种几何体，如球体、圆柱体等。

2.2 物理学中的旋转在物理学中，旋转是描述物体旋转运动的重要概念。

例如，地球的自转和公转运动使得我们有了白天和黑夜、不同季节的变化。

旋转还与转动惯量、角动量等物理量有关。

2.3 生物学中的旋转在生物学中，旋转可以描述生物体的运动方式。

例如，蜜蜂在空中飞行时会以身体某一点为中心旋转飞行，这种旋转飞行方式减小了空气阻力，使得蜜蜂能够更加灵活地飞行。

2.4 工程学中的旋转在工程学中，旋转被广泛应用于机械设计和运动控制系统中。

初中数学辅助线添加技巧：旋转

初中数学辅助线添加技巧：旋转方法总结1．旋转是中考压轴题中常见题型，在解这类题目时，什么时候需要构造旋转，怎么构造旋转．下面，就不同类型的旋转问题，给出构造旋转图形的解题方法：遇中点，旋转180°，构造中心对称；遇90°，旋90°，造垂直；遇60°，旋60°，造等边；遇等腰，旋等腰．综上四点得到旋转的本质特征：等线段，共顶点，就可以有旋转．2．图形旋转后我们需要证明旋转全等，而旋转全等中的难点实际上是倒角．下面给出旋转常用倒角，只要是旋转，必然存在这两个倒角之一．如图1，若AOB COD ∠=∠，必有AOC BOD ∠=∠，反之亦然．如图2，若A D ∠=∠，必有B C ∠=∠．图2图1OABCDDCB AO倒角是在初中数学学习中常用的名词，其意思是通过角之间的等量关系，得到我们所需要的角度的关系的过程．典例精析例1．（1）如图1，边长为1的正方形ABCD ，绕点A 逆时针旋转30°到正方形AB'C'D'，图中我们阴影部分的面积是（）A．1-BC．1 D ．12（2）正方形ABCD 在坐标系中的位置如图2所示，将正方形ABCD 绕点D 顺时针旋转90°后，B 点的坐标为．图2图1D'C'BA解：（1）A ；（2）（4，0）．点拨：本例第2小问是在平面直角坐标系中考查旋转变换的作图，是数形结合的完美体现．首先要确定旋转中心是点D 而不是坐标原点O ，此处易出现错误，然后利用平面直角坐标系的特征确定正方形ABCD 绕点D 旋转90°后B'的位置，这类题型常见于正方形网格中的旋转作图．例2．如图，E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、DC 上的点，且∠EAF =45°，求证：EF =BE ＋DF ．FED CBA证明：延长CB 到点G ，使得BG =DF ，连接AG ．GF ED CBA∵四边形ABCD 是正方形， ∴90,D ABG AB AD ∠=∠=︒=． ∴ADF ABG △≌△． ∴,AF AG DAF BAG =∠=∠． ∵45EAF ∠=︒， ∴45DAF BAE ∠+∠=︒．∴45DAG BAE ∠+∠=︒，即45EAG ∠=︒． ∵AE AE =， ∴AFE AGE △≌△．∴EF EG EB BG BE DF ==+=+．点拨：旋转图形可将分散的条件集中到一个图形中，从而可充分利用已知条件，找到有效的解题方法．这种方法在正方形、正三角形以及其它正多边形中都有着广泛的应用．本题是旋转一个经典模型（半角模型），其中结论较多．例3．如图，以ABC △的边AC 、AB 为一边，分别向三角形的外侧作正方形ACFG 和正方形ABDE ，连接EC 交AB 于点H ，连接BG 交CE 于点M ，求证：BG ⊥CE ．MH GFEDCBA证明：∵四边ABDE 、ACFG 是正方形， ∴,,90AE AB AC AG EAB GAC ==∠=∠=︒． ∴EAB BAC GAC BAC ∠+∠=∠+∠． ∴EAC GAB ∠=∠． ∴EAC GAB =△△． ∴AEC ABG ∠=∠．∵90,AEC AHE AHE BHM ∠+∠=︒∠=∠， ∴90ABG BHM ∠+∠=︒． ∴90EMB ∠=︒． ∴BG CE ⊥．点拨：本题旋转的基本模型，充分体现了利用旋转全等解题，本题是以ABC △为基本，以其两边分别向外构造正方形，构成旋转全等（其中用到了8字倒角），和其类似的还可以构造正三角形以及正五边形．例4．如图，在等腰ABC △中，,AB AC ABC α=∠=，在四边形BDEC 中，DB =DE ，2BDE α∠=，M 为CE 的中点，连接AM 、DM ．M EDCB A（1）在图中画出DEM △关于点M 成中心对称的图形；（2）求证：AM DM ⊥；（3）当α= 时，AM DM =．解：（1）M FEDCB A（2）在（1）中连接AD 、AF ．M FEDCB A由（1）中的中心对称可知，DEM FCM △≌△， ∴,,DE FC BD DM FM DEM FCM ===∠=∠， ∵2BDE α∠=，∴ABD ABC CBD ∠=∠+∠360BDE DEM BCE α=+︒-∠-∠-∠360DEM BCE α=︒--∠-∠．∵360360ACF ACE FCM BCE FCM α∠=︒-∠-∠=︒--∠-∠， ∴ABD ACF ∠=∠． ∵AB AC =， ∴ABD ACF =△△． ∴AD AF =． ∵DM FM =， ∴AM DM ⊥．（3）45α=︒．∵,,AB AC AD AF BAC DAF ==∠=∠， ∴ADF ABC α∠=∠=．若AM DM =，则ADM △为等腰直角三角形，即45ADM ∠=︒， ∴45α=︒点拨：本题中第（1）问已经作出了中心对称图形，所以利用中心对称证全等的思路很清晰．本题的难点是利用周角和四边形的内角和为的有关知识倒角．初中几何常用的倒角是平行线的三线八角、对顶角、等边对等角等．例5．已知:在△ABC 中，BC =a ，AC =b ，以AB 为边作等边三角形ABD . 探究下列问题: （1）如图1，当点D 与点C 位于直线AB 的两侧时，a =b =3，且∠ACB =60°，则CD = ；（2）如图2，当点D 与点C 位于直线AB 的同侧时，a =b =6，且∠ACB =90°，则CD = ；（3）如图3，当∠ACB 变化,且点D 与点C 位于直线AB 的两侧时，求 CD 的最大值及相应的∠ACB 的度数.D CBAA B CDABCD图1 图2 图3（1）（2）（3）以点D为中心，将△DBC逆时针旋转60°，则点B落在点A，点C落在点E.联结AE,CE，∴CD=ED，∠CDE=60°，AE=CB=a，∴△CDE为等边三角形，∴CE=CD.当点E、A、C不在一条直线上时，有CD=CE<AE＋AC=a＋b；当点E、A、C在一条直线上时，CD有最大值，CD=CE=a＋b；此时∠CED=∠BCD=∠ECD=60°，∴∠ACB=120°，因此当∠ACB=120°时，CD有最大值是a＋b．例6．已知∠MAN，AC平分∠MAN．（1）在图1中，若∠MAN=120°，∠ABC=∠ADC=90°，求证：AB＋AD=AC；（2）在图2中，若∠MAN=120°，∠ABC＋∠ADC=180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）在图3中：①∠MAN=60°，∠ABC＋∠ADC=180°，则AB＋AD= AC；②若∠MAN=α（0°＜α＜180°），∠ABC＋∠ADC=180°，则AB＋AD= AC（用含α的三角函数表示），并给出证明．ABCDMN AB CD M NN M 图3图2图1D CBA解：（1）=证明：∵AC 平分∠MAN ，∠MAN =120°， ∴∠CAB =∠CAD =60°， ∵∠ABC =∠ADC =90°， ∴∠ACB =∠ACD =30°， ∴12AB AD AC ==， ∴AB ＋AD =A C ．（2）成立．证法一：如图，过点C 分别作AM ，AN 的垂线，垂足分别为E ，F ，ABCD M N F E∵AC 平分∠MAN ， ∴CE =CF ，∵∠ABC ＋∠ADC =180°，∠ADC ＋∠CDE =180°， ∴∠CDE =∠ABC ， ∵∠CED =∠CFB =90°， ∴△CED ≌△CFB ， ∴ED =FB ，∴AB ＋AD =AF ＋BF ＋AE －ED =AF ＋AE ，由（1）知AF ＋AE =AC ， ∴AB ＋AD =AC ，证法二：如图，在AN 上截取AG =AC ，连接CG ，AB CD M NG∵∠CAB =60°，AG =AC ，∴∠AGC =60°，CG =AC =AG ， ∵∠ABC ＋∠ADC =180°，∠ABC ＋∠CBG =180°， ∴∠CBG =∠ADC ， ∴△CBG ≌△CDA ， ∴BG =AD ，∴AB ＋AD =AB ＋BG =AG =AC ；（3）①证明：由（2）知，ED =BF ，AE =AF ，ABC D M N FE在Rt △AFC 中，cos AFCAF AC∠=，即cos2AFACα=， ∴cos2AF AC α=，∴AB ＋AD =AF ＋BF ＋AE －ED =AF ＋AE =2AF 2cos 2AC α=．把α=60°，代入得AB AD +=． ②2cos2α点拨：在第（2）小题中，由题意可知，60BCD ∠=︒，有60°角就可把有关图形旋转60°，所以我们作,CE AM CF AN ⊥⊥的实质，就是将CBF △以顶点C 为旋转中心顺时针旋转了60°，从而构造了全等三角形，使此题有了解题思路．例7．如图1，O 为正方形ABCD 的中心，分别延长OA 、OD 到点F 、E ，使OF ＝2OA ，OE ＝2OD ，连接EF ．将△EOF 绕点O 逆时针旋转α角得到△E 1OF 1(如图2)．（1）探究AE 1与BF 1的数量关系，并给予证明；（2）当α＝30°时，求证：△AOE 1为直角三角形．AB CDE 1F 1O FE 图2图1O DC BA解：（1）AE 1=BF 1．证明：∵O 为正方形ABCD 的中心， ∴OA =OD ，∵OF =2OA ，OE =2OD ， ∴OE =OF ，∵将△EOF 绕点O 逆时针旋转α角得到△E 1OF 1 ∴OE 1=OF 1，∵∠F 1OB =∠E 1OA ，OA =OB ， ∴△E 1AO ≌△F 1BO ， ∴AE 1=BF 1；（2）证明：取OE 1中点G ，连接AG ，ABCDE 1F 1O G∵∠AOD =90°，α=30°， ∴∠E 1OA =90°－α=60°， ∵OE 1=2OA ， ∴OA =OG ，∴∠E 1OA =∠AGO =∠OAG =60°，∴AG =GE 1，∴∠GAE 1=∠GE 1A =30°， ∴∠E 1AO =90°，∴△AOE 1为直角三角形．例8．如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD =AB =CD =2，∠C =60°，M 是BC 的中点．D'C'MFE DCBA（1）求证：△MDC 是等边三角形；（2）将△MDC 绕点M 旋转，当MD (即MD')与AB 交于一点E ，MC 即MC')同时与AD 交于一点F 时，点E ，F 和点A 构成△AEF ．试探究△AEF 的周长是否存在最小值．如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出△AEF 周长的最小值．解：（1）证明：过点D 作DP ⊥BC ,于点P ，过点A 作AQ ⊥BC 于点Q ，PQ D'C'M FE DCBA∵∠C =∠B =60°∴12CP BQ AB ==，CP +BQ =AB 又∵ADPQ 是矩形，AD =PQ ，故BC =2AD ，由已知，点M 是BC 的中点， BM =CM =AD =AB =CD ，即△MDC 中，CM =CD ，∠C =60°，故△MDC 是等边三角形．（2）解：△AEF 的周长存在最小值，理由如下：连接AM ，由（1）平行四边形ABMD 是菱形，△MAB ，△MAD 和△MC'D'是等边三角形，∠BMA =∠BME +∠AME =60°，∠EMF =∠AMF +∠AME =60°， ∴∠BME =∠AMF ）．在△BME 与△AMF 中，BM =AM , ∠EBM =∠FAM =60°， ∴△BME ≌△AMF (ASA )．∴BE =AF , ME =MF ,AE +AF =AE +BE =AB ，∵∠EMF =∠DMC =60°，故△EMF 是等边三角形，EF =MF ． ∵MF 的最小值为点M 到ADEFAEF 的周长=AE +AF +EF =AB +EF ， △AEF的周长的最小值为2．跟踪训练1．如图，在△ABC 中，AB =AC ，90BAC ∠=︒，点D 是BC 上的任意一点，探究：22BD CD +与2AD 的关系，并证明你的结论．CBA2．如图，P 是等边△ABC 内一点，若AP =3，PB =4，PC =5，求APB ∠的度数．PCBA3．如图1，在ABCD □中，AE BC ⊥于点E ，E 恰为BC 的中点，tan 2B =．（1）求证：AD AE =；（2）如图2，点P 在线段BE 上，作EF DP ⊥于点F ，连结AF ．求证：DF EF -=；（3）请你在图3中画图探究：当P 为线段EC 上任意一点（P 不与点E 重合）时，作EF 垂直直线DP ，垂足为点F ，连结AF ．线段DF 、EF 与AF 之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论．图1EDCBA图2PF ABCDE图3ABCDE4．请阅读下列材料：已知：如图（1）在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点D 、E 分别为线段BC 上两动点，若∠DAE =45°．探究线段BD 、DE 、EC 三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把△AEC 绕点A 顺时针旋转90°，得到△ABE ′，连接E ′D ，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：（1）猜想BD 、DE 、EC 三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想；（2）当动点E 在线段BC 上，动点D 运动在线段CB 延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；（3）已知：如图（3），等边三角形ABC 中，点D 、E 在边AB 上，且∠DCE =30°，请你找出一个条件，使线段DE 、AD 、EB 能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数．图3图2图1CE ADBCE AD BEDCBA5．请阅读下列材料：问题：如图1，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A B E ，，在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连结PG PC ，．若60ABC BEF ∠=∠=，探究PG 与PC 的位置关系及PGPC的值．小聪同学的思路是：延长GP 交DC 于点H ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）写出上面问题中线段PG 与PC 的位置关系及PGPC的值；（2）将图1中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转，使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．（3）若图1中2(090)ABC BEF αα∠=∠=<<，将菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出PGPC的值（用含α的式子表示）．6．在Rt △ABC 中，AB =BC ，在Rt △ADE 中，AD =DE ，连接EC ，取EC 的中点M ，连接DM 和BM ．（1）若点D 在边AC 上，点E 在边AB 上且与点B 不重合，如图1，探索BM 、DM 的关系并给予证明；（2）如果将图1中的△ADE 绕点A 逆时针旋转小于45°的角，如图2，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．DCG PAB EF图2DAB EF CPG图1图2图1AEBMD CMEDB CA7．已知正方形ABCD 和等腰Rt △BEF ，EF =BE ，∠BEF =90°，按图1旋转，使点F 在BC 上，取DF 中点G ，连接EG 、CG ．（1）探索EG 、CG 的关系，并说明理由；（2）将图1中△BEF 绕点B 顺时针旋转45°得图2，连接DF ，取DF 的中点G ．问（1）中的结论是否成立？并说明理由．（3）将图1中△BEF 绕点B 转动任意度数（旋转角在0到90°之间）得图3，连接DF ，取DF 的中点G ，问（1）中的结论是否成立，请说明理由．图3BF DC GEABFDCGE AG F图2图1E DBCA中考前瞻将正方形ABCD 绕中心O 顺时针旋转角α得到正方形1111A B C D ，如图1所示．（1）当45α=︒时，如图2，若线段OA 与边11A D 的交点为E ，线段1OA 与AB 的交点为F ，可得下列结论成立①EOP FOP △≌△，②1PA PA =，试选择一个证明；（2）当090α︒<<︒时，第（1）小题的结论1PA PA =还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．（3）在旋转过程，记正方形1111A B C D 与AB 边交于P 、Q 两点，探究POQ ∠的度数是否发生变化？如果变化，请描述它与α之间的关系；如果不变，请直接写出POQ 的度数．PQ PD 1AA 1BB 1CC 1DD 1C 1B 1A 1F E F图2图1EDBCA。

旋转的知识点九年级上册

旋转的知识点九年级上册旋转中的几何图形在几何学中，旋转是一种常见的变换方式。

当一个图形绕着固定点旋转时，其形状与尺寸都保持不变，只是方向发生了改变。

本文将介绍九年级上册中与旋转相关的知识点，包括旋转的定义、旋转矩阵以及旋转对称等概念。

一、旋转的定义在几何学中，旋转是指一个图形按照某个轴或点进行转动的操作。

旋转可以分为顺时针旋转和逆时针旋转，取决于旋转角度的正负。

顺时针旋转角度为正，逆时针旋转角度为负。

二、旋转矩阵旋转矩阵是一种表示平面上图形旋转的数学工具。

对于一个平面上的点P(x, y)，绕着原点旋转角度θ后得到的新点P'(x', y')可以用旋转矩阵表示：x' = x * cosθ - y * sinθy' = x * sinθ + y * cosθ其中，cosθ表示旋转角度θ的余弦值，sinθ表示旋转角度θ的正弦值。

三、旋转对称旋转对称是指一个图形在某个点旋转180°后与原图形完全重合。

具有旋转对称的图形，无论如何旋转，都无法与原图形区分开来。

九年级上册的知识点中有一些具有旋转对称性质的图形，比如正方形、正三角形等。

对于这些图形，可以利用旋转对称的性质来求解相关的问题。

四、旋转的性质1. 旋转不改变长度和角度：在旋转过程中，图形的边长和角度都保持不变。

因此，可以利用旋转来判断两个图形是否全等。

2. 旋转可以叠加：多次旋转操作可以叠加在一起。

例如，先绕一个点旋转90°，再绕同一个点旋转180°，相当于绕该点旋转270°。

3. 旋转与平移的关系：旋转和平移是两种不同的几何变换，但可以相互转换。

通过旋转和平移的结合，可以实现更复杂的几何图形变换。

五、旋转的应用旋转在几何学中有广泛的应用。

它可以用于解决与对称性有关的问题，比如判断图形是否具有旋转对称性。

同时，旋转还可以用于证明一些几何定理，推导出一些几何公式。

在实际应用中，旋转也被广泛运用于计算机图形学、游戏开发等领域。

九年级数学上册旋转知识点

九年级数学上册旋转知识点在九年级数学上册中，旋转是一个重要的知识点，它涉及到几何图形旋转后的性质和变化。

在本文中，我们将深入探讨旋转的概念、旋转的性质以及如何运用旋转来解决问题。

一、旋转的概念旋转是一种几何运动，它将一个图形围绕一个点或一条线旋转一定角度后得到一个新的图形。

旋转可以分为顺时针旋转和逆时针旋转两种方式。

旋转的中心可以是任意一点，也可以是图形内部的一个点或多边形的中心。

二、旋转的性质1. 相似性：旋转不改变图形的形状和大小，只改变位置和方向。

旋转后的图形仍与原图相似。

2. 旋转角度：旋转角度是旋转的基本概念，它表示图形旋转的角度大小。

顺时针旋转角度为负值，逆时针旋转角度为正值。

3. 旋转中心：旋转中心是旋转的参考点，图形围绕旋转中心旋转。

旋转中心可以是图形内部的一个点，也可以是任意一点。

4. 不变性：旋转不改变图形的面积、周长和内角和。

只要旋转角度相同，图形的这些性质不会发生改变。

三、旋转的应用1. 图形的旋转：可以通过旋转图形来找出图形的对称轴，以及解决一些与对称有关的问题。

例如，我们可以通过旋转一个正方形90度来发现它有4个对称轴，分别是水平轴、垂直轴和两条对角线。

这有助于我们更好地理解图形的对称性质。

2. 图形的判断：通过旋转图形，我们还可以判断一个图形是否与另一个图形相似。

例如，我们可以通过旋转一个三角形180度，使其与另一个三角形重叠。

如果两个三角形完全重合，那么它们就是相似的。

3. 问题的求解：在解决一些几何问题时，旋转可以帮助我们更好地理清思路和寻找解题方法。

例如，当我们需要计算一个图形的面积时，可以将图形旋转一定角度，使其变成一个更简单的图形，然后计算这个简单图形的面积，最后通过旋转角度计算出原图形的面积。

四、旋转的思维拓展1. 与平移和缩放的关系：旋转与平移和缩放是几何变换的三种基本变换，它们之间存在着一定的联系。

例如，通过不同的旋转角度和旋转中心，可以实现平移和缩放的效果。

旋转九年级上册知识点

旋转九年级上册知识点旋转是数学中的一个基本概念，也是几何中重要的技巧。

在九年级上册的数学课程中，旋转是一个重要的知识点。

本文将详细介绍旋转的定义、性质以及相关运算。

一、旋转的定义旋转是指将一个图形绕定点旋转一定角度后得到的新图形。

旋转是一个平面运动，它保持了图形的形状和大小不变，只改变了其位置和方向。

二、旋转的性质1. 旋转角度：表示旋转的角度可以是正数、负数或零。

正数表示逆时针旋转，负数表示顺时针旋转，零表示无旋转。

2. 旋转中心：表示固定不动的点，被称为旋转中心。

所有图形的每个点绕着此点旋转。

3. 旋转方向：正数表示逆时针旋转，负数表示顺时针旋转。

旋转方向与旋转角度有关。

4. 旋转角的作用：旋转角的绝对值越大，旋转后的图形与原图形之间的角度越大。

三、旋转的运算旋转的运算包括绕定点旋转和绕坐标轴旋转两种情况。

1. 绕定点旋转：对于一个图形A，绕点O旋转θ度后得到的新图形记作A'。

可以通过以下步骤实现绕定点旋转：a) 将点O作为旋转中心，连接OA。

b) 在OA的一侧取点O'，使得∠AOA' = θ。

c) 连接AA'，则AA'即为旋转后的图形A'。

2. 绕坐标轴旋转：对于一个图形A，绕坐标轴旋转θ度后得到的新图形记作A'。

可以通过以下步骤实现绕坐标轴旋转：a) 若绕x轴旋转，则连接OA，其中O为原点。

b) 在OA的一侧取点O'，使得∠AOA' = θ。

c) 连接AA'，则AA'即为绕x轴旋转θ度后的图形。

d) 若绕y轴旋转，则按照类似的步骤进行旋转。

四、旋转的应用旋转不仅仅是一个数学概念，在实际生活和其他学科中都有着广泛的应用。

以下是一些常见的旋转应用：1. 制作艺术品和雕塑：在艺术品和雕塑制作中，旋转技巧常常被用来改变形状和方向，创造出不同的艺术效果。

2. 机械工程：在机械设计和制造中，通过旋转转轴、齿轮等部件来实现不同部件之间的运动和传递力量。

人教版初中数学九年级上册旋转重点知识归纳

人教版初中数学九年级上册旋转重点知识归纳知识点1旋转的相关概念1.概念：在同一平面内，将一个图形绕某一个定点O沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫旋转。

定点O叫旋转中心，转动的角称为旋转角。

2.旋转对称图形：绕某一点旋转一定角度后能与自身完全重合的图形。

3.图形旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角知识点2 旋转的性质1.旋转的性质：只改变位置，不改变图形的形状和大小。

（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与对应中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等。

2.旋转中心的确定：旋转中心是两对对应点所连线段的垂直平分线的交点。

3.旋转作图具体步骤（1）定：确定图形中的每一个关键点和旋转中心；（2）连：连接图形中每一个关键点和旋转中心；（3）转：把连线按要求绕旋转中心转动一定角度（作旋转角）；（4）截：在角的另一边上截取与对应的关键点到旋转中心距离相等的线段，得到各点的对应点；（5）连：顺次连接所得到的各对应点；（6）写：写出结论，说明作出的图形。

【核心提示】找、连、作。

找出关键点，连线并转动一定的角度，连接对称点并作出图形。

4.旋转与平移、轴对称的相同点和不同点知识点3 中心对称如果把一个图形(如△ABO)绕定点O旋转180º，它能够与另一个图形(如△CDO)重合，那么就说这两个图形△ABO与图形△CDO关于这个点对称或中心对称，点O就是对称中心。

知识点4 中心对称性质1.成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分.（即对称点与对称中心三点共线）；2.中心对称的两个图形是全等形。

4.中心对称与中心对称图形的区别与联系知识点5 中心对称图形1.定义：一个图形绕某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形完全重合，则这个图形叫做中心对称图形。

其中，这个点叫做该图形的对称中心。

2.中心对称图形判定依据（三要素）：①绕某点；②旋转180º；③与本身重合。

人教版九年级旋转知识点

人教版九年级旋转知识点旋转是数学中一种基本的几何变换，它在我们的日常生活中无处不在。

在学习九年级的旋转知识点时，我们将会了解旋转的概念、性质以及它在几何图形中的应用。

下面将对几个重要的旋转知识点进行详细介绍。

一、旋转的基本概念旋转是指将一个物体绕着某个固定的点旋转一定角度的变换。

在二维平面中，我们通常将旋转的中心点称为旋转中心，将旋转的角度称为旋转角度。

旋转可以分为顺时针旋转和逆时针旋转两种方式。

二、旋转的性质1. 顺时针旋转和逆时针旋转的性质：- 两者方向相反，顺时针旋转的角度取负数，逆时针旋转的角度取正数；- 两者角度的绝对值相等。

2. 旋转角度与旋转次数的关系：- 当旋转角度为正数时，顺时针旋转是旋转次数的约定；- 当旋转角度为负数时，逆时针旋转是旋转次数的约定。

三、旋转的几何应用1. 旋转的等角变换特性：旋转变换保持两个图形之间的角度大小不变。

这对于解决一些几何问题非常有用，例如判断两个图形是否全等等。

2. 旋转的对称性：旋转变换可以使一个图形围绕旋转中心对称。

这可以帮助我们研究图形的对称性质，解决一些与对称相关的问题。

3. 图形在旋转变换中的性质：- 线段和角度在旋转变换中保持不变。

这意味着旋转变换不会改变线段的长度和角度的大小；- 旋转变换会改变图形的位置和方向。

通过旋转变换，我们可以将一个图形转到任意位置和朝向。

四、旋转的实例分析下面我们通过几个实例来详细说明旋转的应用。

实例1：旋转中心在图形内部的情况当旋转中心位于图形内部时，旋转后的图形仍然与原图形全等。

这是因为旋转维持了图形内部的所有角度和线段长度。

实例2：旋转中心在图形外部的情况当旋转中心位于图形外部时，旋转后的图形一般不与原图形全等。

这是因为旋转改变了图形的位置和方向。

实例3：旋转中心位于图形上的情况当旋转中心位于图形上时，图形旋转后可能会变形，但是某些特殊情况下仍然与原图形全等，比如正多边形。

综上所述，旋转作为一种重要的几何变换，在九年级数学中扮演着重要的角色。

新人教版九年级上册数学[图形的旋转--知识点整理及重点题型梳理]

新人教版九年级上册数学[图形的旋转--知识点整理及重点题型梳理]本文介绍了旋转的概念、性质和作图方法。

旋转是指将一个图形绕着某一点转动一个角度的变换，其中旋转中心、旋转方向和旋转角度是旋转的三个要素。

旋转有三个基本性质：对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角、旋转前后的图形全等。

在作图时，需要确定旋转中心和图形的关键点，然后将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，连接对应的部分，形成相应的图形。

例如，在例题中，四边形AOBC绕点O旋转得到四边形DOEF，旋转中心是点O，旋转方向是顺时针方向，点A的对应点是点D，点B的对应点是点E，旋转角为∠AOD和∠BOE，四边形AOBC与四边形DOEF的图形全等，即形状一致，大小相等，AO=DO，BO=EO，∠AOD=∠BOE。

总结升华】本题考查了对称的概念和性质，要求学生能够通过已知条件作出对称中心，是一道基础性的几何作图题目。

变式】如图，已知正三角形ABC，将其绕点A逆时针旋转120°得到正三角形A1BC1将其绕点B逆时针旋转120°得到正三角形AB1C1连接线段A1C1求证：线段A1C1垂直于BC.答案与解析】如图所示，连接线段AA1BB1CC1由于△ABC是正三角形，所以∠ABC=60°，又因为A 1BC1是正三角形，所以∠A1BC160°，所以∠___∠A1BC1即∠ABD=∠BDC，所以线段A1C1垂直于BC．总结升华】本题考查了旋转的性质和垂直的判定方法，要求学生能够通过旋转的方法求证垂直关系，是一道较为典型的几何证明题目。

【机构适用;新人教版九年级上学期】旋转的基本性质及旋转辅助线

一、旋转基本性质知识点一：旋转的定义及基本性质知识点二：中心对称与中心对称图形1.中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．旋转的定义旋转的性质作图的基本步骤内容把一个图形绕着某一点O 转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P 经过旋转变为点'P ，那么这两个点叫做这个旋转的的对应点．(如图)①旋转后的图形与原图形是全等的；(进而得到相等的线段、相等的角)②旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等；(进而得到等腰三角形)③对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角；(若特殊角则得到等边三角形、等腰直角三角形)具体步骤分以下几步：连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心．转：即把连线按要求绕旋转中心转过一定角度(作旋转角)截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点．连：即连接所得到的各点．注意⑴研究旋转问题应把握两个元素：旋转中心与旋转角． ⑵每一组对应点所构成的旋转角相等．由旋转的性质可知，旋转作图必须具备两个重要条件： ⑴旋转中心；⑵旋转方向及旋转角度．P'Q'Q PO知识重难点梳理旋转基本性质及旋转辅助线2.中心对称的两条基本性质：(1)关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分．(2)关于中心对称的两个图形是全等图形．3.中心对称图形把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．4.5. 关于原点对称的点的坐标特征：关于原点对称的两个点的横、纵坐标均互为相反数.即点关于原点的对称点的坐标为，反之也成立.知识点三：平移、轴对称、旋转1.经典例题剖析题型一：旋转的性质1、若两个图形关于某一点成中心对称，那么下列说法：①对称点的连线必过对称中心；②这两个图形一定全等；③对应线段一定平行且相等；④将一个图形绕对称中心旋转180°必定与另一个图形重合。

数学人教版九年级上册利用旋转的方法解题

利用旋转解题教学设计学习目标：1、学会利用旋转的辅助线方法解决有关比较分散的条件背景下的几何问题；2、通过类比分析学会总结得出能使用旋转辅助线方法的常见背景，及旋转的基本方法；3、通过对通性通法的总结分析学会解决各种变化情形下的灵活运用问题，并在此过程中逐步提高数学思维分析能力。

学习重点：学会利用旋转的方法解决有关几何问题学习难点：如何作出旋转的辅助线将分散的条件及结论集中学习过程：初中数学几何变换包括平移、旋转、轴对称（翻折）。

这些变换的方法改变了图形的位置，但是不改变图形的形状和大小。

我们常利用这个这个特点通过这些变换方法将一些分散的线段、角的集中到一起，从而解决一些难以解决的几何问题。

下面就我平时教学中的一些体会对旋转的解题方法进行一个简单总结和归纳，希望能让同学们对旋转的解题方法能够更好地掌握。

一、旋转解题常见背景及方法（一）等边三角形背景例1：如图，点O 是等边△ABC内一点，OA＝3，OB＝4，OC＝5，试证明：∠AOB ＝150°.分析：条件与结论似乎相差甚远，且条件分散不好用，但三个数据使我们想到勾股数，若能将此三条线段集中到一个三角形就好了，考虑到等边三角形的条件，有相等的线段，可考虑旋转的方法，将△BOC绕点B逆时针旋转60°的△BDA，则易得△ADO为等边三角形，问题解决。

小结：有等边三角形则有相等的线段，为旋转后能重合的线段提供了条件，再加上等边三角形60°的角，为旋转后再次出现等边三角形提供了条件，使得题目所有条件迅速贯通，问题轻松解决。

还可尝试其他旋转办法进一步体验利用相等线段可以重合来构造旋转解决问题。

（二）等腰直角三角形背景例2：如图，△ABC是等腰直角三角形，C为直角顶点．（1）操作并观察：将三角尺45°角的顶点与点C重合，使这个角落在∠ACB的内部，两边分别与斜边AB交于点E、F，然后将这个角绕着点C在∠ACB内部旋转，观察点E、F的位置发生变化时，AE、EF、FB中最大线段是否始终是EF？（2）线段AE、EF、BF能组成以EF为斜边的直角三角形吗？请说明你的理由．分析：从结论猜想可以将这三条线段集中到一个三角形中，证明其是直角三角形则问题全部解决，考虑到条件等腰直角三角形中AC=BC，∠ACB=90°，具备了旋转的条件，可将△CBF绕点C顺时针旋转90°得△CAM，再连ME，三条线段全部集中到了△MAE中，证出∠MAE=90°即可。

新人教版九年级上册数学5.2技巧训练旋转问题中作辅助线的技巧优质课件

第三页，共十八页。
∴∠BAE＝90°. 在 Rt△BDA 中，BD＝ AB2＋AD2＝ 52＋62＝ 61， ∴BC＝2BD＝2 61.
第四页，共十八页。
2．如图，P为等边三角形ABC内一点，PA＝5，PB＝4，PC＝ 3，求∠BPC的度数．
【】利用旋转作辅助线构造出直角三角形和等边三角形是解题的关键．
∴BE＝AB＋AE＝2＋1＝3，S△ABB′＝12AB·B′E＝12×2×1＝1. ∴BB′＝ BE2＋B′E2＝ 10.
又∵∠BDB′＝60°，BD＝B′D，∴△BDB′为等边三角形．
易知△BDB′的高为
230，∴S△BDB′＝12×
10×
30＝5 22
3.
∴S 四边形 ABCD＝S 四边形 BDB′A＝S△BDB′－S△ABB′＝52 3－1.
解：由(1)知△BCD≌△B′AD， ∴S 四边形 ABCD＝S△BDB′，AB′＝BC＝1. ∴BD＝BB′＝AB＋AB′＝2＋1＝3. 如图①，过点 B′作 B′E⊥BD 于点 E，则易知 BE＝12BD＝32.∴B′E＝ B′B2－BE2＝32 3. ∴S 四边形 ABCD＝S△BDB′＝12×3×32 3＝94 3.
第九页，共十八页。
∴把△BAD 绕点 A 顺时针旋转 90°能与△CAE 完全重合． ∴BD＝CE. ∵AD＝8 2，△ADE 是等腰直角三角形，∴DE＝16. ∵∠ADE＝45°，∠ADC＝45°，∴∠CDE＝90°. ∴△CDE 是直角三角形． ∵DE＝16，CD＝12，∴CE＝ 162＋122＝20.∴BD＝CE＝20.
第十八页，共十八页。
第五页，共十八页。
解：如图，将△BPC绕点B逆时针旋转60°得到△BDA，连接 PD. 由旋转的性质得BD＝PB＝4，AD＝PC＝3，∠BPC＝∠ADB， ∠DBP＝∠ABC＝60°，

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

初中几何辅助线技巧之旋转变换——构造旋转图形
设计老师：广州市番禺区沙湾镇象达中学练兴宏
一、教学内容分析
运用基本图形去解决几何难题，当直接或间接的条件在现有图形结构下显得相对分散，并且不能解决问题时，可以考虑添加辅助线构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中起来，从而建立已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题，这是解决问题常用的策略。

再者，运用旋转命题常见于全国各地的中考压轴题，在分析解决这类题目时，学生们比较困惑的就是：“什么时候需要构造旋转图形、怎么构造旋转图形”，本节课的重点是根据题目所提供的现有图形及已知条件，总结、提炼构造旋转图形的常用技巧：
遇等腰（如右图：BA CA ），转顶角（旋转中心所在位置）。

特别地，
1、遇90（度），转90（度），构造垂直，关注：直角三角形、全等三角形；
2、遇60（度），转60（度），构造等边，关注：等边三角形、全等三角形；
3、遇中点，转180（度），构造对称（中心对称），关注：全等三角形。

二、教学目标分析
1. 以构造旋转图形的常用技巧为载体，加深学生对旋转作图、旋转图形性质的理解；
2. 通过引导学生根据现有几何图形特征，构造恰当的旋转图形，渗透化归思想，学
会把相对分散的信息转化为相对集中的信息，把未知的几何模型转化为熟知的几何模型。

3. 通过三个例题的探究、总结、提炼和运用，培养学生的归纳总结能力。

三、学生学情分析
1. 化归思想不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效
的数学思维方式。

站在化归思想的高度，“未知”与“已知”、“陌生”与“熟悉”、“难”与“易”、“繁”与“简”、 “抽象”与“直观”、“分散”与“集中”等等，就是矛盾的统一体。

初三的学生，对化归思想已有较多的接触与认识，但仍需在平常的教与学中不断得到渗透与深化。

2. 笔者所在学校属于非中心区的镇属学校，学生的整体学习基础与学习水平不高，而
此专题课对学生的学习又提出了比较高的要求，所以，这里选取初中几何辅助线技巧之旋转变换——构造旋转图形为复习专题，既是矛盾的，又是必须的。

计划此节复习专题课设置在初三学生中考复习的第一轮复习之后，基于学生已掌握旋转的基本性质之后学习，并且在设计上选取的题目以中档难度为主，突出训练数学思想方法，力求照顾到各个层次学生的学习需要，并学有所获。

3. 学生有多角度思考问题的需要，学生有追求个性化解题方法的需要，同时，学生也
有通过一题多解吃透问题的需要，然而，课堂上存在时间紧、任务重等诸多束缚因
素，所以本人亦意图借助教学技术（超级画板）改善我们的教学条件，以满足同学们的学习需求，提高课堂教学的效率。

四、教学过程设计
课前热身：如右图，
（1）若'BAP CAP ∠=∠，则'BAC PAP ∠=∠吗？为什么？（2）若'BAC PAP ∠=∠，则'BAP CAP ∠=∠吗？为什么？
设计意图：为中下生的新课学习扫除后续学习障碍，以突出学习重点、更利于突破难点；也是一种由易到难、循序渐进的教学形式。

例题1 如图，已知在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，点D 是BC 上的任意一点，请探究：BD 2
+CD 2
与AD 2
的关系，并证明你的结论．
例题2 如图，点P 是等边△ABC 内一点，若AP=3，BP=4，CP=5，求∠APB 的度数．
例题3 已知：如图，AD 是△ABC 的中线，点E 在AD 上，BE=AC ，延长BE 交于AC 于F ，求证：AF=EF ．
例题1至例题3的设计意图：
第一、三个例题都是思路宽，存在多种解法的题目。

意在启发和引导学生从不同的角度、不同的思路思考问题，采用不同的方法去分析、解决问题，有利于培养学生的发散思维和创新思维，有利于培养和巩固学生的学习兴趣，同时也鼓励不同的学生有不同的解法，体现评价的公平性，这也是广州市近几年来中考命题的特征之一。

第二、例题2与例题3不仅是例题1的变式题，更是例题1的补充、拓展、与延伸，它
们与例题1
都是很具代表性的题，
在完成好三个例题之后，对构造旋转图形的常用技巧进行
总结、提炼就是顺理成章之事。

构造旋转图形的常用技巧如下：
遇等腰（如右图：BA CA ），转顶角（旋转中心所在位置）。

另外：
1、遇90（度），转90（度），构造垂直，关注：直角三角形、全等三角形；
2、遇60（度），转60（度），构造等边，关注：等边三角形、全等三角形；
3、遇中点，转180（度），构造对称（中心对称），关注：全等三角形。

第三、关于例题3，意图拓宽学生思维。

同学们学习过的解题技巧是“几何图形出现中点时,常用的添加辅助线的技巧是——倍长中线法”，所以，设计此题的目的有二：一是借此题复习巩固“倍长中线法”，二是强调“倍长中线法”的实质就是通过“遇中点，转180（度）”构造全等三角形，两者在解法上是一致的。

五、评测练习设计（效果评测与拓展延伸）
1.如图，△ABC 中，D 、M 分别是边AB 、BC 上一点，点E 在AC 的延长线上，并且满足BD=CE,DM=EM ，求证：AB=AC .
2．（北京市怀柔区一模试题）探究：
（1）如图1，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF＝45°，试判断BE 、DF 与EF 三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：；（2）如图2，若把(1)问中的条件变为“在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B＋∠D＝180°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF=
2
1
∠BAD”，则（1）问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；
（3）在（2）问中，若将△AE F 绕点A 逆时针旋转，当点分别E 、F 运动到BC 、CD 延长线上时，如图
3所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明.
A
B C
D
评测练习设计意图：
两道题目的设计都属于三个例题的变式题，其中第1题是比较简单的模仿性题目，第2题的三个小题则由浅入深，有一定的难度，第2、3小题有较高的区分度。

目的是通过测试与评价，掌握同学们的学习情况，为改善教学策略、保质高效地进行教学工作提供依据。

六、备用习题设计
已知:如图，在△ABC 中，BC a AC b ==，，以AB 为边作等边△ABD. 探究下列问题: 当∠ACB 变化，且点D 与点C 位于直线AB 的两侧时，求CD 的最大值及相应的∠ACB 的度数.
备用习题设计意图：供学有余力的学生进行选择性地学习。