零诊复习之解三角形学生用
四川省成都石室中学2024届高三零诊模拟考试理科数学试题(解析版)
成都石室中学2022-2023年度下期高2024届零诊模拟数学试题（理科）（总分：150分，时间：120分钟）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1.若复数z 满足23z z i +=-，其中i 为虚数单位，则||z =（）A.2B.C.D.3【答案】C 【解析】【分析】设复数(,)z x yi x y R =+∈，利用相等，求得1,1x y ==-，进而可求复数的模.【详解】设复数(,)z x yi x y R =+∈，则22233z z x yi x yi x yi i +=++-=+=-，则1,1x y ==-，所以1z i =-，所以z =，故选：C.【点睛】本题考查了复数相等的概念和复数模的求解，着重考查了学生的推理与运算能力.2.在某校高中篮球联赛中，某班甲、乙两名篮球运动员在8场比赛中的单场得分用茎叶图表示（如图一），茎叶图中甲的得分有部分数据丢失，但甲得分的折线图（如图二）完好，则下列结论正确的是（）A.甲得分的极差是18B.乙得分的中位数是16.5C.甲得分更稳定D.甲的单场平均得分比乙低【答案】B【分析】根据图一中甲的得分情况可判断ABC 的正误，结合图二可判断图一丢失的数据，计算两者的均值后可判断D 的正误.【详解】对于甲，其得分的极差大于或等于28919-=，故A 错误；从折线图看，甲的得分中最低分小于10，最高分大于或等于28，且大于或等于20的分数有3个，故其得分不稳定，故C 错误；乙的数据由小到大依次为：9,14,15,16,17,18,19,20乙得分的中位数为161716.52+=，故B 正确.乙得分的平均数为914151819171620168+++++++=，从折线图上，茎叶图中甲的得分中丢失的数据为一个为15，另一个可设为m ，其中1015m <<，故其平均数为912131520262812313316888m m ++++++++=>>，故D 错误.故选：B.3.某老师为了了解数学学习成绩得分y （单位：分）与每天数学学习时间x （单位：分钟）是否存在线性关系，搜集了100组数据100100115600,11200i i i i x y ==⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑，并据此求得y 关于x 的线性回归方程为 56y bx =+ .若一位同学每天数学学习时间约80分钟，则可估计这位同学数学成绩为（）A.106 B.122C.136D.140【答案】C 【解析】【分析】利用回归方程经过样本中心可求b ，故可估计这位同学每天数学学习时间约80分钟后的数学成绩.【详解】由题设可得56001120056,112100100x y ====，故1125656b =⨯+ ，故1b = ，故 56y x =+，故当80x =时，8056136y =+=，故选：C.4.利用随机模拟方法可估计无理数π的数值，为此设计右图所示的程序框图，其中rand 表示产生区间(0,1)上的随机数,P 是s 与n 的比值，执行此程序框图，输出结果P 的值趋近于A.πB.4π C.2π D.22π【答案】B 【解析】【分析】根据程序框图可知由几何概型计算出x ，y 任取（0，1）上的数时落在221x y +<内的频率，结合随机模拟实验的频率约为概率，即可得到答案．【详解】解:根据程序框图可知P 为频率，它趋近于在边长为1的正方形中随机取一点落在扇形内的的概率21414πππ⨯⨯=故选B【点睛】本题考查的知识点是程序框图，根据已知中的程序框图分析出程序的功能，并将问题转化为几何概型问题是解答本题的关键，属于基础题.5.已知命题p ：1k <，命题q ：直线10kx y -+=与抛物线24y x =有两个公共点，则p 是q 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】k【详解】由10kx y -+=和24y x =可得()214kx x +=，整理得到：()222410k x k x +-+=，因为直线与抛物线有两个不同的交点，故()22Δ2440k k k ≠⎧⎪⎨=-->⎪⎩，故1,0k k <≠，故命题q 成立能推出命题p 成立；反之，若1k <，取0k =，此时()222410k x k x +-+=仅有一个实数根14x =，故此时直线与抛物线仅有一个不同的交点，故命题p 成立不能推出命题q 成立，故p 是q 的必要不充分条件，故选：B .6.运动会上，有6名选手参加100米比赛，观众甲猜测：4道或5道的选手得第一名；观众乙猜：3道的选手不可能得第一名；观众丙猜测：1，2，6道中的一位选手得第一名；观众丁猜测：4，5，6道的选手都不可能得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是A.甲 B.乙C.丙D.丁【答案】D 【解析】【详解】若甲对,则乙也对,所以甲错;若甲错乙对,则丙也对,所以乙错,即3道的选手得第一名,此时只有丁对,因此选D.7.已知函数1()ln(1)f x x x=+-,则()y f x =的图像大致为（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【详解】试题分析：设()ln(1)g x x x =+-，则()1xg x x'=-+，∴()g x 在()1,0-上为增函数,在()0,∞+上为减函数，∴()()00g x g <=，1()0()f xg x =<，得0x >或10x -<<均有()0f x <排除选项A ，C ，又1()ln(1)f x x x =+-中,10ln(1)0x x x +>⎧⎨+-≠⎩，得1x >-且0x ≠，故排除D.综上，符合的只有选项B.故选B.考点：1、函数图象；2、对数函数的性质.8.某四面体的三视图如图所示，正视图，俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为A. B. C.4 D.【答案】B 【解析】【详解】解：如图所示，该几何体是棱长为2的正方体中的三棱锥-P ABC ，其中面积最大的面为：122PBC S =⨯= .本题选择B 选项.三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．9.若过点()1,2的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线290x y +-=的距离为() A.655B.C.455D.【答案】A 【解析】【分析】根据题意可得圆在第一象限，根据几何关系可设圆的方程为222()()x a y a a -+-=，a >0，代入()1,2即可求出a ，根据点到直线距离公式即可求出答案．【详解】由题意可得所求的圆在第一象限，设圆心为(),a a ，则半径为a ，0a >．故圆的方程为222()()x a y a a -+-=，再把点(2,1）代入，222(2)(1)a a a -+-=，解得5a =或1，故要求的圆的方程为22(5)(5)25x y -+-=或22(1)(1)1x y -+-=．故所求圆的圆心为()5,5或()1,1；故圆心到直线290x y +-=的距离655d ==或655d ==；故选：A ．10.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，左、右顶点分别为M ，N ，点P 在C 的渐近线上，120⋅=PF PF ，60MPN ︒∠=，则双曲线的C 的渐近线方程为（）A.2y x =± B.32y x =±C.y =D.233y x =±【答案】D由题可得12PF F △是直角三角形，则可得121||2OP F F c ==.又在OPN 中，由余弦定理可求得||PN b =，根据勾股定理可知PN ON ⊥，则在Rt PMN 中，利用||tan ||MN MPN PN ∠=可得3b a =，即渐近线方程为3y x =±.【详解】连接OP ，则由120PF PF ⋅=可知12PF PF ⊥，则在12Rt PF F 中，121||2OP F F c ==，在OPN 中，tan b PON a ∠=，则cos aPON c∠=，又||ON a =，则由余弦定理得：222||||||2||||cos PN OP ON OP ON PON =+-⋅⋅∠，解得||PN b =，由222||||||OP ON PN +=知PN ON ⊥，即PN MN ⊥，所以在Rt PMN 中，||tan ||MN MPN PN ∠=，即2ab =233b a =，所以所求渐近线方程为：233y x =±.故选D .【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，利用余弦定理解三角形，属于中档题.11.若函数321()4(0)3f x x ax x a =-+>存在两个极值点1x 和2x ，则12()()f x f x +取值范围为（）A.16,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B.⎛-∞ ⎝C.16,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D.⎛-∞ ⎝【答案】C【分析】求出函数的导数，根据原函数有两个极值点可求2a >，再根据零点的性质可得()3222448x a x a =--、()3211448x a x a =--，据此可用a 表示12()()f x f x +，利用导数可求其范围.【详解】2()24f x x ax '=-+，因为()f x 存在两个极值点1x 和2x ，故1x 和2x 为2240x ax -+=的两个不同的根，故24160a ∆=->且211240x ax -+=，222240x ax -+=，122x x a +=，故2a <-（舍）或2a >且21124x ax =-，所以()()322111111242244448x ax x a ax x a x a =-=--=--，同理()3222448x a x a =--，故()()()()2121212121()()44162843f x f x a x x a a a x x x x ⎡⎤+=-+--+-++⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()212441622883a a a a a a a ⎡⎤=---⨯-+⎣⎦3338448833a a a a a =-+=-+，设()348,23a s a a a =-+>，故()2480s a a '=-+<，故()s a 在()2,+∞上为减函数，故()()321621633s a s <=-=，故12()()f x f x +的取值范围为：16,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，故选：C.12.在正方体1111ABCD A B C D -中，,,M N P 分别为棱111,,AB CC C D 的中点，动点Q ∈平面MNP ，2DQ AB ==，则下列说法错误的是（）A.1B MBC -的外接球面积为9πB.直线//PQ 平面11A BCC.正方体被平面MNP 截得的截面为正六边形D.点Q 的轨迹长度为3π【答案】D 【解析】【分析】可证明正方体被平面MNP 截得的截面为正六边形，故可判断C 的正误，利用面面平行的判定定理可判断B 的正误，利用补体法可求1B MBC -的外接球的直径后可判断A 的正误，利用向量的方法可求D到平面MNP 的距离，从而可求点Q 的轨迹长度，故可判断D 的正误.【详解】如图，设111,,A D A A BC 的中点分别为,,S R T ，连接,,,,PS SR RM MT TN .由正方体的性质可得11//A C RN ，而SP 为三角形111A D C 的中位线，故11//SP A C ，故//SP RN ，故,,,S P R N 四点共面，同理，,,,S P T N 也四点共面，故,,,,S P R N T 五点共面，同理,,,R N T M 也四点共面，故,,,,,S P R N T M 六点共面.正方体被平面MNP 截得的截面为六边形，SP PN NT TM MT RS SP =======，因为平面MNP I 平面11B BCC NT =，平面MNP I 平面1A DDA SR =，而平面11//B BCC 平面1A DDA ，故//NT SR ，而NT 为三角形1BCC 的中位线，故1//NT BC ，故1//SR BC ，但PSR ∠与11AC B ∠方向相反，故PSR ∠与11AC B ∠互补，而11A C B △为等边三角形，故1160A C B ∠=︒，故120PSR ∠=︒，同理120SRM RMT MTN TNP NPS ∠=∠=∠=∠=∠=︒，故正方体被平面MNP 截得的截面为正六边形，故C 正确.由11//A C RN ，RN ⊄平面11A B C ，11AC ⊂平面11A B C ，故//RN 平面11A B C ，同理故//RS 平面11A B C ，而,,RN RS R RN RS =⊂ 平面MNP ，故平面11//A B C 平面MNP ，而PQ ⊂平面MNP ，故//PQ 平面11A B C ，故B 正确.对于A ，将三棱锥1B MBC -补成如图所示的长方体11MBCG HB C P -，其中,H G 分别为11A B 、DC 的中点，则其外接球的直径即为11MBCG HB C P -3=，故三棱锥1B MBC -的外接球的表面积为2π39π⨯=，故A 正确.建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()0,0,0,2,1,0,0,2,1,0,1,2D M N P ，故()()2,1,1,2,0,2MN MP =-=-，设平面MNP 的法向量为(),,m x y z = ，则00m MN m MP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，故20220x y z x z -++=⎧⎨-+=⎩，取1x =，则1,1z y ==，故()1,1,1m = ，而()0,1,2DP =，故D 到平面MNP的距离为DP md m⋅== 而2DQ =，故点Q 的轨迹为平面MNP 与球面的截面（圆），1=，故圆的周长为2π12π⨯=，故D 错误.【点睛】思路点睛：空间几何题外接球的半径的求法，可先根据几何性质确定球心的位置，然后把球的半径放置在可解的图形中求解，也可以通过补体转化为规则几何体的外接球的半径，而与球的截面的计算问题，则需计算球心到截面的距离.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.设命题2:0,p x x a x ∀>+>，若p ⌝是假命题，则实数a 的取值范围是__________.【答案】a <【解析】【分析】根据原命题为真结合基本不等式可求参数的取值范围.【详解】因为p ⌝是假命题，故p 为真命题，因为0x >，故2x x+≥x =时，等号成立，故a <.故答案为：a <.14.在同一平面直角坐标系xOy 中，曲线22:1C x y +=所对应的图形经过伸缩变换2x x y =⎧⎪⎨=''⎪⎩得到图形C '.点P 在曲线C '上，则点P到直线:60l y +-=的距离的最小值为____________.【答案】6152【解析】【分析】通过2x x y =⎧⎪⎨=''⎪⎩得到2x x y ⎧=⎪⎪⎨'⎪=⎪⎩，然后代入到曲线C 的方程即可得到曲线C '的方程，再设()2cos P θθ利用点到直线的距离公式、辅助角公式及三角函数的性质计算可得.【详解】由2x x y =⎧⎪⎨=''⎪⎩得到2x x y ⎧=⎪⎪⎨'⎪=⎪⎩，代入到221x y +=中得22()()143x y ''+=．即22143x y +=为曲线C '的直角坐标方程，设()2cos P θθ，则点P到直线60l y +-=的距离d ==其中（25sin 5ϕ=，5cos 5ϕ=），所以当sin()1θϕ+=时min d =，即点P 到直线l 的距离最小值为6152-.故答案为：615215.已知函数()f x 的定义域为ππ,22⎛⎫-⎪⎝⎭，其导函数是()f x '.有()()cos sin 0f x x f x x '+<，则关于x 的不等式π()2cos 3f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭的解集为_________.【答案】ππ,23⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】构造函数()()cos f x F x x =，利用导数说明函数的单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.【详解】依题意令()()cos f x F x x =，ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则2()cos ()sin ()cos f x x f x x F x x'+'=，因为当ππ22x -<<时，()()cos sin 0f x x f x x '+<，所以当2,ππ2x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0F x '<，∴()F x 在ππ,22⎛⎫ ⎪⎝⎭-上单调递减，则π()2cos 3f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭ 等价于π()3πcos cos 3f f x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭>，即π()3F x F ⎛⎫> ⎪⎝⎭，∴π3ππ22x x ⎧<⎪⎪⎨⎪-<<⎪⎩，解得ππ23x -<<，所以所求不等式的解集为ππ,23⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：ππ,23⎛⎫- ⎪⎝⎭16.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，经过抛物线上一点P ，作斜率为34的直线交C 的准线于点Q ，R 为准线上异于Q 的一点，当PQR PQF ∠∠=时，PF =______．【答案】259##729【解析】【分析】根据题设条件确定P 在第一象限内，且PF QF ⊥，设2(,)4m P m 且0m >，结合0FP FQ ⋅= 得到关于m 的方程并求值，又214m PR PF ==+即可得结果.【详解】不妨令R 为过P 点垂直于准线的垂足，又PQR PQF ∠∠=，即QF 为FQR ∠角平分线，Q 是斜率为34的直线与抛物线准线的交点，则P 在第一象限内，而PR QR ⊥，且||||PR PF =，根据角平分线性质知：PF QF ⊥，如上图示，令2(,)4m P m 且0m >，则直线PQ 为23()44m y m x -=-，令=1x -，则21631216Q m m y --=，由222231*********(1,)(2,)20416216m m m m m m m FP FQ m ----⋅=-⋅-=-+= ，整理可得322381232(4)(38)0m m m m m -+-=+-=，则83m =，故225149m PR PF ==+=.故答案为：259三、解答题（本题共6道小题，22题10分，其余各题12分，共70分）17.已知函数()ln f x ax x =+其中a 为常数，设e 为自然对数的底数.（1）当1a =-时，求曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；（2）是否存在实数a ，使得()f x 在区间()1,e 上的最大值为3-？若存在，求出求a 的值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）1y =-（2）不存在，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义可求出结果；（2）假设存在实数a ，使得()f x 在区间()1,e 上的最大值为3-，利用导数可得11e a -<<-，再利用导数求出函数()f x 在区间()1,e 上的最大值，结合已知最大值列式，解得2e a =-，不满足11ea -<<-，从而可得结论.【小问1详解】当1a =-时，()ln f x x x =-+，0x >，(1)1f =-，1()1f x x'=-+，()01f '=，所以曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为10y +=，即1y =-.【小问2详解】假设存在实数a ，使得()f x 在区间()1,e 上的最大值为3-，因为()ln f x ax x =+，0x >，1()f x a x '=+，若0a ≥，则()0f x '>在区间()1,e 上恒成立，()f x 在区间()1,e 上单调递增，此时()f x 在区间()1,e 上无最大值；故a<0，令()0f x '>，得10x a<<-，令()0f x '<，得1x a >-，则函数()f x 在1(0,a -上单调递增，在1(,)a-+∞上单调递减，因为函数()f x 在开区间()1,e 上有最大值为3-，所以11e a <-<，即11e a -<<-，所以函数()f x 在1(1,a -上单调递增，在1(,e)a -上单调递减，所以max 1()f x f a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭11(ln a a a ⎛⎫⋅-+- ⎪⎝⎭11ln a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭3=-，得2e a =-，又11ea -<<-，所以2e a =-不成立，故不存在实数a ，使得()f x 在区间()1,e 上的最大值为3-.18.今年是中国共青团建团100周年，我校组织了1000名高中同学进行团的知识竞赛.成绩分成6组：[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100，得到如图所示的频率分布直方图.若图中未知的数据a ，b ，c 成等差数列，成绩落在[)[)40,5070,80 内的人数为400.（1）求出直方图中a ，b ，c 的值；（2）估计中位数（精确到0.1）和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；（3）在区间[]80,100内的学生中通过分层抽样抽取了5人，现从5人中再随机抽取两人进行现场知识答辩，求抽取两人中恰好有1人得分在区间[]90,100内的事件概率.【答案】（1）0.01,0.015,0.02a b c ===,（2）平均数为70.5，中位数为71.7.（3）35【解析】【分析】（1）根据频率之和为1、,,a b c 成等差数列以及成绩落在[)[)40,5070,80 内的人数为400可得关于,,a b c 的方程，求出其解即可.（2）利用组中值可求均值，利用公式可求中位数.3）根据频率之比可得抽取人数之比，再用列举法求出基本事件的总数和随机事件中的基本事件的个数，故可求对应的概率.【小问1详解】因为,,a b c 为等差数列，故2b a c =+，又()220.03101a b c +++⨯=，故220.07a b c ++=，因为成绩落在[)[)40,5070,80 内的人数为400，故()4000.03101000a +⨯=，故0.01a =，故0.015,0.02b c ==.【小问2详解】由频率分布直方图可得平均数为：450.1550.15650.2750.3850.15950.170.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，前3组的频率之和为0.10.150.20.45++=，前4组的频率之和为0.10.150.20.30.75+++=，故中位数在区间[)70,80中，设该数为x ，则700.50.451100.36x --==，故57071.73x =+≈.【小问3详解】区间[)80,90、[]90,100上的频率之比为0.15:0.13:2=，故5人中在分数在[)80,90内的人数为3人，记为,,a b c ，分数在[]90,100内的人数为2人，记为,A B ，从5人中随机抽取两人进行现场知识答辩，共有10种取法：{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,,,a A b A a B b B c A c B ，{}{}{}{},,,,,,,a b a c c b A B .设C 为“两人中恰好有1人得分在区间[]90,100内”，则C 中的基本事件为：{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,,,a A b A a B b B c A c B ，共6个，故()63105P A ==.19.如图所示，四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是以,AB CD 为底边的等腰梯形，且124,60,AB AD DAB AD D D ︒==∠=⊥.（I ）求证：平面11D DBB ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若112D D D B ==，求直线AB 与平面11BCC B 所成角的正弦值.【答案】（I ）证明见解析；（Ⅱ）217.【解析】【分析】（Ⅰ）要证明平面11D DBB ⊥平面ABCD ，只需证明AD ⊥平面11D DBB 即可；（Ⅱ）取BD 的中点O ，易得1D O ⊥面ABCD ，以O 为原点，分别以1,,OB OC OD 为,,x y z 的非负半轴建立空间直角坐标系，计算平面1B BC 的法向量为n 与AB ，再利用公式||sin |cos ,|||||n AB n AB n AB θ⋅=<>=⋅ 计算即可.【详解】（Ⅰ）ABD △中，4AB =，2AD =，60DAB ∠=︒，由余弦定理得222cos603BD AB AD AB AD =+-⋅= ，则222AD BD AB +=，即AD BD ⊥，而11,AD D D BD D D D ⊥⋂=，故AD ⊥平面11D DBB ，又AD ⊂面ABCD ，所以平面11D DBB ⊥平面ABCD .（Ⅱ）取BD 的中点O ，由于11D D D B =，所以1D O BD =，由（Ⅰ）可知平面11D DBB ⊥面ABCD ，故1D O ⊥面ABCD .由等腰梯形知识可得DC CB =，则CO BD ⊥，2211431D O DD DO =-=-，以O 为原点，分别以1,,OB OC OD 为,,x y z 的非负半轴建立空间直角坐标系，则1(3,2,0),(3,0,0),(0,1,0),(3,0,0),(0,0,1)A B C D D ---，则11(23,2,0),(3,0,1),(3,1,0)AB BB DD BC ====-设平面1B BC 的法向量为(,,)n x y z =，则1110000z n BB n BC y ⎧+=⋅=⎪⇒⎨⋅=+=⎪⎪⎩⎩，令1x =，则y z ==n = ，所以，||sin |cos ,|7||||n AB n AB n AB θ⋅=<>===⋅ ，即直线AB 与平面11BCC B 所成角的正弦值为217.【点晴】本题考查面面垂直的证明、向量法求线面角，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.20.“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）：步骤1：设圆心是E ，在圆内异于圆心处取一点，标记为F ；步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F ；步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆.若取半径为6的圆形纸片，设定点F 到圆心E 的距离为4，按上述方法折纸.以点F 、E 所在的直线为x 轴，线段EF 中点为原点建立平面直角坐标系.（1）求折痕围成的椭圆的标准方程；（2）若过点()1,0Q 且不与y 轴垂直的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，在x 轴的正半轴上是否存在定点(),0T t ，使得直线TM ，TN 斜率之积为定值？若存在，求出该定点和定值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22195x y +=（2）存在，()3,0T ，109-【解析】【分析】（1）根据椭圆的定义对照折纸的方法求出,,a b c ；（2）设直线l 的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理再结合斜率的两点公式求解即可.【小问1详解】如图以FE 所在的直线为x 轴，FE 的中点O 为原点建立平面直角坐标系，设(),P x y 为椭圆上一点，由题意可知，64PF PE PA PE AE EF +=+==>=，所以P 点轨迹是以F ，E 为焦点，长轴长26a =的椭圆，所以2c =，3a =，则2225b a c =-=，所以椭圆方程为22195x y +=；【小问2详解】由已知：直线l 过()1,0Q ，设l 的方程为1x my =+，由题意m 必定是存在的联立两个方程得221951x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 得()225910400m y my ++-=，()22Δ100160590m m =++>得R m ∈，设()11,M x y ，()22,N x y ，则1221059m y y m -+=+，1224059y y m -=+（*）所以()()1212121211TM TN y y y y k k x t x t my t my t ⋅=⋅=--+-+-()()()1222121211y y m y y m t y y t =+-++-，将（*）代入上式，可得()()222405991TM TN k k t m t -⋅=-+-，要使TM TN k k ⋅为定值，则有290t -=，29t =，又∵0t >∴3t =，此时109TM TN k k ⋅=-，∴存在点()3,0T ，使得直线TM 与TN 斜率之积为定值109-.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.21.设函数()()2cos 102x f x x x =-+≥.（1）求()f x 的最值；（2）令()sin g x x =，()g x 的图象上有一点列()*11,1,2,...,,22i i i A g i n n ⎛⎫⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭N ，若直线1i i A A +的斜率为()1,2,...,1i k i n =-，证明：1217 (6)n k k k n -+++>-.【答案】（1）()f x 在[)0,∞+上的最小值为()00f =，()f x 在[)0,∞+上无最大值.（2）见解析【解析】【分析】（1）求出原函数的二阶导数后可判断二阶导数非负，故可判断导数非负，据此可求原函数的最值.（2）根据（1）可得3sin (0)6x x x x ≥-≥，结合二倍角的正弦可证：2271162i i k +>-⨯，结合等比数列的求和公式可证题设中的不等式.【小问1详解】()sin f x x x '=-+，设()sin s x x x =-+，()10()()故()()00s x s >=，所以()0f x ¢>，故()f x 在[)0,∞+上为增函数，故()f x 在[)0,∞+上的最小值为()00f =，()f x 在[)0,∞+上无最大值.【小问2详解】先证明一个不等式：3sin (0)6x x x x ≥-≥，证明：设()3sin ,06x u x x x x =-+≥，则()2cos 1()02x u x x f x '=-+=≥（不恒为零），故()u x 在[)0,∞+上为增函数，故()()00u x u ≥=即3sin (0)6x x x x ≥-≥恒成立.当*N i ∈时，11111111222sin sin 112222i i i i i i i i g g k ++++⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭==- ⎪⎝⎭-11111111111122sin cos sin 2sin 2cos 122222i i i i i i i +++++++⎛⎫⎛⎫=-=⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由（1）可得()2cos 102x x x ≥->，故12311cos 1022i i ++≥->，故111112311112sin 2cos 12sin 2112222i i i i i i ++++++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯-≥-- ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦1112213322111112sin121222622i i i i i i i +++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-≥-- ⎪ ⎪⎪⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222224422117111711111622626262i i i i i +++++⎛⎫⎛⎫=--=-⨯+⨯>-⨯ ⎪⎪⨯⎝⎭⎝⎭,故1214627111...16222n n k k k n -⎛⎫+++>--+++ ⎪⎝⎭ 41111771112411166123414n n n n -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=--⨯=--⨯ ⎪⎝⎭-771797172184726n n n n =--+⨯>->-.【点睛】思路点睛：导数背景下数列不等式的证明，需根据题设中函数的特征构成对应的函数不等式，从而得到相应的数列不等式，再结合不等式的性质结合数列的求和公式、求和方法等去证明目标不等式.22.在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为()11x m y k m =-⎧⎨=-⎩(m 为参数)，直线2l 的参数方程2x n n y k =⎧⎪⎨=+⎪⎩(n 为参数).若直线12,l l 的交点为P ，当k 变化时，点P 的轨迹是曲线C .（1）求曲线C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，点,A B 是曲线C 两动点，60AOB ∠=︒，求AOB 面积的最大值.【答案】（1）22(1)1(0)x y x +-=≠（2）334【解析】【分析】（1）首先将直线方程化为普通方程，再联立消去k ，即可得到曲线C 的普通方程；（2）由cos x ρθ=、sin y ρθ=得到曲线C 的极坐标方程，设()1,A ρθ，2,3πB ρθ⎛⎫+⎪⎝⎭，（π2θ≠），即可表示OA 、OB ，则1sin 2AOB S OA OB AOB =⋅∠△，利用三角恒等变换公式化简，再结合正弦函数的性质计算可得.【小问1详解】直线1l 的参数方程为()11x m y k m =-⎧⎨=-⎩(m 为参数)，则直线1l 的普通方程为y kx =-，直线2l 的参数方程2x n n y k =⎧⎪⎨=+⎪⎩(n 为参数)，则直线2l 的普通方程为2x y k -=，依题意0k ≠，由2y kx x y k =-⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去k 得2(2)y y x -=-，整理得22(1)1(0)x y x +-=≠，所以曲线C 的普通方程为22(1)1(0)x y x +-=≠.2因为曲线C 的普通方程为22(1)1(0)x y x +-=≠，cos x ρθ= ，sin y ρθ=，∴曲线C 的极坐标方程为()()22cos sin 11ρθρθ+-=（π2θ≠），故曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=（π2θ≠）．设()1,A ρθ，2,3πB ρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，（π2θ≠），则12sin OA ρθ==，2π2sin 3OB ρθ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，1sin 2AOB S OA OB AOB ∴=⋅∠ 1ππ2sin 2sin sin 233θθ⎛⎫=⨯⨯+⨯ ⎪⎝⎭πsin3θθ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭ππsin cos cos sin33θθθ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭23sin cos 22θθθ=+1cos 23sin 2222θθ-=+⨯12cos 22224θθ⎫=-+⎪⎪⎝⎭π2264θ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当πsin 216θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，AOB S 有最大值334．。
四川巴中市2021届高三数学(理)上学期零诊考试卷附答案解析
【详解】
因为 y a 1 ，且在点 1, 0 处的切线的斜率为 3，所以 a 1 3 ，即 a 4 .
x
故选 D
【点睛】
本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，是基础题
4．已知 a ， b ， c 满足 2a 3， b ln 2 1， 3c 2 ，则（ ）
A． a b c
B． a c b
所以
SPAB
的最大值为
1 2
33
9 2
．
故选：B.
【点睛】
本题考查了圆上点到直线距离最值的求解，考查了转化化归思想，属于基础题.
8．在直角
△PAB
中，P
90
，
AB
4
，点
Q
在平面
PAB
内，且
PQ
1
，则
QA
QB
的最小值为（
）
A． 1
B． 2
C． 3
D． 4
【答案】C
【解析】以 P 为原点建立直角坐标系，两直角边分别为 x 轴和 y 轴，设 A a, 0 ， B 0,b ，得 a2 b2 16 ，
2x
4
1
的图象，令 2x
4
k
2
，k Z
，解得
x
k 2
8
，
kZ
，故函数的对称中心为
k 2
8
,1 ， k Z
可得
g(x)
的一个对称中心为
8
,1
，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查函数 y Asin(x ) 的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于基础题．
7．已知 P 为圆 x 12 y2 1上任一点， A ， B 为直线 l ：3x 4 y 7 0 上的两个动点，且 AB 3 ，则
四川省广安市2021-2022学年高二下学期“零诊”考试数学(理)试题(高频考点版)
一、单选题二、多选题三、填空题1. 已知函数，，若对，总存在，使得成立，以下对、的取值范围判断正确的是（ ）．A．B．C．D．2. 已知，是双曲线C 的两个焦点，P 为双曲线上的一点，且；则C 的离心率为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43.甲、乙两名射击运动爱好者在相同条件下各射击次，中靶环数情况如图所示．则甲、乙两人中靶环数的方差分别为（）A．，B．，C．，D ．，4. 下列各组函数中,两个函数相等的是（ ）A ．与B ．与C ．与D ．与5. 设全集，集合满足，则（ ）A．B．C．D．6.设全集，集合，，则（ ）A．B．C．D．7. 《九章算术》中，将上、下底面为直角三角形的直三棱柱叫做堑堵，在如图所示的堑堵中，，则（）．A．B．C ．向量在向量上的投影向量为D ．向量在向量上的投影向量为8.已知平面向量，，则下列说法正确的是（ ）A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则四川省广安市2021-2022学年高二下学期“零诊”考试数学（理）试题(高频考点版)四川省广安市2021-2022学年高二下学期“零诊”考试数学（理）试题(高频考点版)四、解答题9. 在中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若，，，则中最短边长为__________．10. 某班有38名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组．已知有27人参加数学小组，有16人参加物理小组，有14人参加化学小组，同时参加数学和物理小组的有7人，同时参加物理和化学小组的有5人，则同时参加数学和化学小组的有______人．11. 已知，，，若，，则________.12.若，且，则用排列数符号表示为__________．13. 已知多面体如图所示，底面为矩形，其中平面，．若，，分别是，，的中点，其中．(1)证明：；(2)若二面角的余弦值为，求的长．14. 为了迎接旅游旺季的到来，辽阳汤河风景区内供游客住宿的某宾馆，工作人员发现为游客准备的食物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控制经营成本，减少浪费，就想适时调整投入．为此他们统计每个月入住的游客人数，现每年各个月份来宾馆入住的游客人数会呈现周期性的变化，并且有以下规律：①每年相同的月份，入住宾馆的游客人数基本相同；②入住宾馆的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人；③2月份入住宾馆的游客约为100人，随后逐月增加直到8月份达到最多．（1）若一年中入住宾馆的游客人数与月份之间的关系为，且．试求出函数的解析式；（2）请问哪几个月份要准备不少于400份的食物？15. 已知，函数.（1）当时，解不等式；（2）若关于的不等式在区间上有解，求实数的取值范围.16.将一颗骰子先后抛掷两次，求：(1)一共有多少种不同的结果？(2)向上的点数之和是7的概率是多少？。
成都七中实验学校高二年级零诊模拟解答题专项训练(一、二)(附答案)
成都七中实验学校高二年级解答题专项训练（一）编写说明：1.当前四川省考题解答题均为6道，满分75分 2.解答题涵盖“三角”、“ 概率与统计”、“ 立体几何”、“ 数列”、“ 解析几何”和“导数与函数” 1．已知向量33(cos,sin ),(cos ,sin ),[,]2222x x x x x ππ==-∈且a b 。
（1）若||+>a b x 的取值范围；（2）函数()||f x =⋅++a b a b ，若对任意，恒有12|()()|f x f x t -<,求t 的取值范围。
2．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知E 为棱CC 1上的动点，（1）求证：A 1E ⊥BD ；（2）是否存在这样的E 点，使得平面A 1BD ⊥EBD ？若存在，请找出这样的E 点；若不存在，请说明理由.3.（1）在一个边长为3 cm 的正方形内部画一个边长为2 cm 的正方形，向大正方形内随机投点，则所投的点落入小正方形内的概率是多少？（2）在20瓶墨水中，有5瓶已经变质不能使用，从这20瓶墨水中任意选出2瓶，取出变质的墨水的概率为多少？4．已知函数()324f x x ax =-+-A 1BC E A B 1 C 1D 1 D（1）若()f x 在处取得极值，求函数()f x 的单调区间。
（2）若存在()00,,x ∈+∞时，使得不等式0()0f x >成立，求实数a 的取值范围。
5. 已知椭圆E ：的焦点坐标为1F （0,2-），点M （2-，2）在椭圆E 上． （1）求椭圆E 的方程； （2）设Q （1，0），过Q 点引直线l 与椭圆E 交于B A ,两点，求线段AB 中点P 的轨迹方程；6．数列{}n a 中，2,841==a a 且满足n n n a a a -=++122*N n ∈（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设||||||21n n a a a S +++= ，求n S ；（3）设n b =)(),(*21*N n b b b T N n n n ∈+++=∈ ，是否存在最大的整数m ，使得对任意*N n ∈，均有>n T 32m成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由。
2024届四川省成都市高三零诊模拟考试数学(理)试题【含答案】
高2024届零诊模拟考试数学试题(理科)一、单选题：共12道小题，每题5分，共60分.1.设1i2i 1i z -=++，则z 的虚部为（）A.iB.3iC.1D.32.若直线1:10l x ay ++=与直线2:10l ax y ++=平行，则=a （）A.0B.1- C.1D.1±3.一组数据包括47、48、51、54、55，则这组数据的标准差为（） A.10 B.52C.10D.504.已知函数()f x 在其定义域R 上的导函数为()f x '，当x ∈R 时，“()0f x '>”是“()f x 单调递增”的（）A 充要条件 B.既不充分也不必要条件C.必要不充分条件D.充分不必要条件5.如图所示的算法框图思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该算法框图，若输入的a 、b 分别为36、96，则输出的=a （）A.0B.8C.12D.246.直线2x =与抛物线()2:20C y px p =>交于D 、E 两点，若0OD OE ⋅=，其中O 为坐标原点，则C 的准线方程为（）A.14x =-B.12x =-C.=1x -D.2x =-7.函数lg y x =的图象经过变换10:2x xy y ϕ''=⎧⎨=+⎩后得到函数()y f x ''=的图象，则()f x =（）A.1lg x-+ B.1lg x+ C.3lg x-+ D.3lg x+8.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或是丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖了．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖歌手是（）A.甲B.乙C.丙D.丁9.设曲线C 的参数方程为1cos 1sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数，且π,2π2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦)，曲线C 上动点P 到直线:143x y l +=的最短距离为（）A.0B.15C.25D.110.关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请100名同学每人随机写下一个x ，y 都小于1的正实数对(),x y ；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(),x y 的个数m ；最后再根据统计数m 估计π的值，假如某次统计结果是28m =，那么本次实验可以估计π的值为（）．A.227B.4715C.7825D.531711.点,A B 在以PC 为直径的球O 的表面上，且AB BC ⊥，2AB BC ==，已知球O 的表面积是12π，设直线PB 和AC 所成角的大小为α，直线PB 和平面PAC 所成角的大小为β，四面体PABC 内切球半径为r ，下列说法中正确的个数是（）①BC ⊥平面PAB ；②平面PAC ⊥平面ABC ；③sin cos αβ=；④12r >A.1B.2C.3D.412.函数()e 1sin(11)x f x x =--在[0,)+∞上的零点个数为（）A.1B.2C.3D.4二、填空题:共4道小题，每题5分，共20分.13.命题“0x ∀>，tan x x >”的否定为________．14.函数()cos xf x x=的图象在πx =处的切线方程为________．15.某区为了解全区12000名高二学生的体能素质情况，在全区高二学生中随机抽取了1000名学生进行体能测试，并将这1000名的体能测试成绩整理成如下频率分布直方图．根据此频率分布直方图，这1000名学生平均成绩的估计值为________．16.双曲线2222:1(,0)x y H a b a b-=>其左、右焦点分别为12,F F ，倾斜角为π3的直线2PF 与双曲线H 在第一象限交于点P ，设12F PF △内切圆半径为r ，若223PF r ≥，则双曲线H 的离心率的取值范围为______.三、解答题：共5道大题，共70分.17.设函数321(1)()2(1)34f f x x x x f '-=-+-，（1）求(1)f ¢-、(1)f 的值；（2）求()f x 在[0,2]上的最值．18.信创产业即信息技术应用创新产业，是一条规模庞大、体系完整的产业链，是数字经济的重要抓手之一．在政府、企业等多方面的共同努力下，中国信创产业市场规模不断扩大，市场释放出前所未有的活力．下表为2018—2022年中国信创产业规模（单位：千亿元），其中2018—2022年对应的代码依次为1~5．年份代码x12345中国信创产业规模y /千亿元8.19.611.513.816.7（1）从2018—2022年中国信创产业规模中任取2个数据，求这2个数据都大于10的概率．（2）由上表数据可知，可用指数型函数模型x y a b =⋅拟合y 与x 的关系，请建立y 关于x 的回归方程（a ，b 的值精确到0.01），并预测2023年中国信创产业规模能否超过20千亿元．参考数据：v51i ii x v=∑ 1.919e 0.177e 61.192.4538.52 6.81119 2.84其中ln i i v y =，5115i i v v ==∑．参考公式：对于一组数据()11,u w ，()22,u w ，…，(),n n u w ，其回归直线 wu αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 1221ni ii ni i u w nuwu nuβ==-=-∑∑， w u αβ=+．19.如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A 为矩形，AB AC ⊥且2,AB AC D ==为11B C 的中点，1122AA B C ==．（1）证明：1AC //平面1A BD ；（2）求平面1AB C 与平面1AA D 的夹角的余弦值．20.椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上顶点为B ，左焦点为F ，中心为O .已知T 为x 轴上动点，直线BT 与椭圆C 交于另一点D ；而P 为定点，坐标为(2,3)-，直线PT 与y 轴交于点Q .当T 与F 重合时，有||||PB PT =，且2BT BP BQ =+.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设T 的横坐标为t ，当(0,2)t ∈时，求DTQ △面积的最大值.21.设函数()e xf x ax =-，其中a ∈R .（1）讨论函数()f x 在[1,)+∞上的极值；（2）若函数f (x )有两零点()1212,x x x x <，且满足1211x x λλ+>+，求正实数λ的取值范围.22.在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 和直线l 的极坐标方程分别为2sin 2cos a ρθθ=+和：πsin 24x ρ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．且二者交于M ，N 两个不同点．（1）写出曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（2）若点P 的极坐标为(2,π)，||||52PM PN +=，求a 的值．一、单选题：共12道小题，每题5分，共60分.1.C2.B3.A4.D5.C6.B7.B8.C9.B 10.C 11.C 12.B二、填空题:共4道小题，每题5分，共20分.13.命题“0x ∀>，tan x x >”的否定为________．00x ∃>，00tan x x ≤14.函数()cos xf x x=的图象在πx =处的切线方程为________．0x y +=15.某区为了解全区12000名高二学生的体能素质情况，在全区高二学生中随机抽取了1000名学生进行体能测试，并将这1000名的体能测试成绩整理成如下频率分布直方图．根据此频率分布直方图，这1000名学生平均成绩的估计值为________．80.516.双曲线2222:1(,0)x y H a b a b-=>其左、右焦点分别为12,F F ，倾斜角为π3的直线2PF 与双曲线H 在第一象限交于点P ，设12F PF △内切圆半径为r ，若223PF r ≥，则双曲线H 的离心率的取值范围为______.5,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭三、解答题：共5道大题，共70分.17.设函数321(1)()2(1)34f f x x x x f '-=-+-，（1）求(1)f ¢-、(1)f 的值；（2）求()f x 在[0,2]上的最值．（1）(1)6f '-=，5(1)12f =（2）max 5()12=f x ，min 5()12=-f x 【分析】（1）求出函数的导函数，令=1x -求出(1)f ¢-，再令1x =求出()1f ；（2）由（1）可得32135()23212f x x x x =-+-，利用导数求出函数的单调性，即可求出函数的极值，再由区间端点的函数值，即可得解.【小问1详解】因为321(1)()2(1)34f f x x x x f '-=-+-，所以2(1)()22f f x x x '-'=-+，取=1x -，则有(1)(1)32f f '-'-=+，即(1)6f '-=；所以3213()2(1)32f x x x x f =-+-，取1x =，则有5(1)(1)6f f =-，即5(1)12f =．故(1)6f '-=，5(1)12f =．【小问2详解】由（1）知32135()23212f x x x x =-+-，[]0,2x ∈，则2()32(1)(2)f x x x x x '=-+=--，所以x 、()f x '与()f x ，[]0,2x ∈的关系如下表：x(0,1)1(1,2)2()f x '+-()f x 512-单调递增极大值512单调递减14故max 5()(1)12f x f ==，min 5()(0)12f x f ==-．18.信创产业即信息技术应用创新产业，是一条规模庞大、体系完整的产业链，是数字经济的重要抓手之一．在政府、企业等多方面的共同努力下，中国信创产业市场规模不断扩大，市场释放出前所未有的活力．下表为2018—2022年中国信创产业规模（单位：千亿元），其中2018—2022年对应的代码依次为1~5．年份代码x12345中国信创产业规模y /千亿元8.19.611.513.816.7（1）从2018—2022年中国信创产业规模中任取2个数据，求这2个数据都大于10的概率．（2）由上表数据可知，可用指数型函数模型x y a b =⋅拟合y 与x 的关系，请建立y 关于x 的回归方程（a ，b 的值精确到0.01），并预测2023年中国信创产业规模能否超过20千亿元．参考数据：v51i ii x v=∑ 1.919e 0.177e 61.192.4538.526.811.192.84其中ln i i v y =，5115i i v v ==∑．参考公式：对于一组数据()11,u w ，()22,u w ，…，(),n n u w ，其回归直线 wu αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 1221ni ii ni i u w nuwu nuβ==-=-∑∑， w u αβ=+．（1）310（2） 6.811.19x y =⨯，不会超过20千亿元．【分析】（1）根据古典概型概率计算公式，利用列举法可得2个数据都大于10的概率为310；（2）将指数型函数模型x y a b =⋅两边取对数可得ln ln ln y a x b =+，即ln ln v a x b =+，再利用参考数据可得回归方程为 6.811.19x y =⨯，将2023年的年份代码6代入可得19.3420y ≈<$，即可得出结论.【小问1详解】从2018—2022年中国信创产业规模中任取2个数据有()8.1,9.6，()8.1,11.5，()8.1,13.8，()8.1,16.7，()9.6,11.5，()9.6,13.8，()9.6,16.7，()11.5,13.8，()11.5,16.7，()13.8,16.7，共10种情况．其中这2个数据都大于10的有()11.5,13.8，()11.5,16.7，()13.8,16.7，共3种情况，所以2个数据都大于10的概率310P =．【小问2详解】x y a b =⋅两边同时取自然对数，得()ln ln ln ln xy a ba xb =⋅=+，则ln ln v a x b =+．因为3x =， 2.45v =，52155ii x==∑，所以5152221538.5253 2.45ln 0.17755535i i i ii x v xvb xx==--⨯⨯===-⨯-∑∑，ln ln 2.450.1773 1.919a v x b =-⋅=-⨯=，所以 1.9190.177vx =+ ，即 ln 1.9190.177y x =+，所以 1.9190.177e 6.81 1.19x x y +==⨯$，即y 关于x 的回归方程为 6.811.19x y =⨯．2023年的年份代码为6，把6x =代入 6.811.19x y =⨯，得 66.811.19 6.81 2.8419.3420y =⨯=⨯≈<，所以预测2023年中国信创产业规模不会超过20千亿元．19.如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A 为矩形，AB AC ⊥且2,AB AC D ==为11B C 的中点，1122AA B C ==．（1）证明：1AC //平面1A BD ；（2）求平面1AB C 与平面1AA D 的夹角的余弦值．（1）证明见解析（2）33【分析】（1）连接1AB 与1A B 交于点O ，连接OD ，则1//AC OD ，利用线面平行的判定定理即可证明；（2）由已知条件得CA ⊥面11ABB A ，则1CA AB ⊥，由22211ABAB BB +=得1AB AB ⊥.以A 为坐标原点，1,,AB AB AC 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，由AB ⊥面1AB C 得平面1AB C 的一个法向量为()11,0,0n =u r ，设平面1AA D 的法向量为()2,,n x y z =u u r ，由12120AA n A D n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩求得()21,1,1n =- ，然后利用向量夹角公式求解即可.【小问1详解】连接1AB 与1A B 交于点O ，连接OD111ABC A B C - 为三棱柱，11ABB A ∴为平行四边形，点O 为1AB 的中点又D 为11B C 的中点，则1//AC OD ，又OD ⊂ 平面11,A BD AC ⊄平面1A BD ，1AC ∴//平面1A BD ．【小问2详解】解法1：11,,CA AB CA AA AB AA A ⊥⊥⋂= ，CA ∴⊥面11ABB A 1AB ⊂ 面11ABB A ，1CA AB ∴⊥222211(22)22AB CB AC ∴=-=-=112,2,22AB AB BB === ，22211AB AB BB ∴+=，即1AB AB ⊥以A 为坐标原点，1,,AB AB AC 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，()()()()()()1110,0,0,2,2,0,2,0,0,0,2,0,2,2,2,1,2,1A A B B C D ---()()112,2,0,1,0,1AA A D ∴=-=11,,AB AB AB AC AB AC A⊥⊥⋂= AB ∴⊥面1AB C ，则平面1AB C 的一个法向量为()11,0,0n =u r设平面1AA D 的法向量为()2,,n x y z =u u r ，则12120AA n A D n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2200x y x z -+=⎧⎨+=⎩令()21,1,1,1,1,1x y z n ===-∴=-设平面1AB C 与平面1AA D 的夹角为θ，()1221211010113cos 33111(1)n n n n θ⋅⨯+⨯+⨯-∴====⨯++-∴平面1AB C 与平面1AA D 的夹角的余弦值是33．解法2：设点E 为BC 的中点，点F 为AC 的中点，连接DE 交1BC 于点Q ，连接,,AE AQ EF ，设点P 为AQ 的中点，连接,EP FP点E 为BC 的中点，点D 为11B C 的中点1//EQ BB ∴且1122EQ BB ==，点Q 为1B C 的中点11ACC A 为矩形，1AC AA ∴⊥又1,,AC AB AB AA A AC ⊥⋂=∴⊥ 平面11ABB A ，1AC AB ∴⊥∴在1ACB 中，11,2,22AC AB AC B C ⊥==，可得12AB =1AB C ∴ 为等腰直角三角形，其中112,22AC AB B C ===而点Q 为1B C 的中点，1AQ B C ∴⊥且2AQ =点P 为AQ 的中点，点F 为AC 的中点1//FP B C ∴且1112242FP CQ B C ===，FP AQ∴⊥又 在Rt ABC 中，2AB AC ==，点E 为BC 的中点，2AE ∴=∴在AEQ △中，2AE EQ AQ ===，且点P 为AQ 的中点EP AQ ∴⊥且62EP =EPF ∠∴即为平面1AB C 与平面1AA D 的夹角∴在EFP △中，1261,,222EF AB FP EP ====2223cos 23EP FP EF EPF EP FP ∠+-∴==⋅．∴平面1AB C 与平面1AA D 的夹角的余弦值是33．20.椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上顶点为B ，左焦点为F ，中心为O .已知T 为x 轴上动点，直线BT 与椭圆C 交于另一点D ；而P 为定点，坐标为(2,3)-，直线PT 与y 轴交于点Q .当T 与F 重合时，有||||PB PT =，且2BT BP BQ =+.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设T 的横坐标为t ，当(0,2)t ∈时，求DTQ △面积的最大值.（1）22143x y +=（2）632-【分析】（1）由2BT BP BQ =+代入可求出1c =，再由||||PB PT =，用两点间的距离公式可求出3b =，再由22a b c =+，即可得出答案.（2）设直线BT 的方程为(3)3tx y =--，与22143x y +=联立，由韦达定理可求出22434D t y t -=+，设直线PT 的方程为22(3)3t x y ++=--，令0x =，可求出32Q ty t =+，表示出DTQPTB S S ，即可求出22234DTQt t S t -=⋅+△，结合基本不等式即可得出答案.【小问1详解】设(),0F c -，因为当T 与F 重合时，有||||PB PT = ，且2BT BP BQ =+，所以()()()0,,,0,(2,3),,0,Q B b T c P Q y --，()()(),,2,3,0,Q BT c b BP b BQ y b =--=--=-，由2BT BP BQ =+，知()()()2,2,30,Q c b b y b --=--+-所以()220c -=-+，即1c =，()()()2,3,2,31,3PB b PT c =-=-+-=，由||||PB PT =知22||PB PT = ，所以22222(3)1(3)b +-=+，即3b =，则222a b c =+=，故椭圆C 的标准方程为22143x y+=.【小问2详解】设直线BT 的方程为(3)3tx y =--，与22143x y +=联立，可得()22224233120t y t y t +-+-=且0∆>，有2231234D t y t -⋅=+，即22434D ty t -=⋅+，设直线PT 的方程为22(3)3t x y ++=--，令0x =，可得32Q ty t =+，由()sin ,sin 333DTQ Q D Q D DTQ PTB PTBS y y y y QT DT DTQ QT DT S S S PT BT BTP PT BT ⋅-⋅⋅∠⋅====-⋅⋅∠⋅⋅ ，由题意知：=3PTB S ，则22234DTQt t S t -=⋅+△，(0,2)t ∈，而22222(2)21=1121844424(2)42t t t t t t t -+-=-≤⋅-++-++-+，当222t +=，即222t =-时取等，且()0,2t ∈，故DTQ △面积的最大值为632-.21.设函数()e xf x ax =-，其中a ∈R .（1）讨论函数()f x 在[1,)+∞上的极值；（2）若函数f (x )有两零点()1212,x x x x <，且满足1211x x λλ+>+，求正实数λ的取值范围.（1）答案见解析（2）[1,)+∞【分析】（1）求出()e xf x a '=-，分e a ≤、e a >讨论，可得答案；（2）由零点存在定理可知120ln x a x <<<，而题设1212e e 0x x ax ax -=-=，消去a 可得221121e e e x x x x x x -==，令211x t x =>，且21ln t x x =-，求出2x ，1x ，将其代入1211x x λλ+>+得(1)(1)()ln 01t F t t t λλ+-=->+，再利用导数分1λ≥、01λ<<讨论可得答案..【小问1详解】由()e x f x ax =-知()e xf x a '=-，1）当e a ≤时，且有[1,)x ∈+∞，()0f x '≥，()f x 单调递增，故无极值；2）当e a >时，有(1,ln )x a ∈，()0f x '<，()f x 单调递减，而(ln ,)x a ∈+∞，()0f x '>，()f x 单增，故()(ln )ln f x f a a a a ==-极小值，()f x 无极大值.综上，当e a ≤时，()f x 无极值；当e a >时，()f x 极小值为ln a a -，()f x 无极大值；【小问2详解】由（1）可知当e a >时，(ln )(1ln )0f a a a =-<，1(00f =>），且x f x →+∞→+∞，（），由零点存在定理可知120ln x a x <<<，而题设可知1212e e 0x xax ax -=-=，消去a 可得221121e e e x x x x x x -==，令211x t x =>，且21ln t x x =-，即2ln 1t t x t =-，1ln 1t x t =-，将其代入1211x x λλ+>+，整理可令得(1)(1)()ln 01t F t t t λλ+-=->+，而()()22221(1)1(1)(1)(1)t t F t t t t t λλλλ--+'=-=++，1)当1λ≥时，且(1,)t ∈+∞，有()22(1)0(1)t F t t t λ-'≥>+，()F t 单调递增，()(1)0F t F >=，满足题设；2)当01λ<<时，且211,t λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，有()0F t '<，()F t 单调递减，()(1)0F t F <=，不满足题设；综上，λ的取值范围为[1,)+∞.关键点点睛：第二问解题关键点是1212e e 0x x ax ax -=-=消去a 可得221121e e e x x xx x x -==，令211x t x =>得2x 、1x ，将其代入1211x x λλ+>+构造函数(1)(1)()ln 01t F t t t λλ+-=->+，本题还考查了学生思维能力、运算能力.22.在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 和直线l 的极坐标方程分别为2sin 2cos a ρθθ=+和：πsin 24x ρ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．且二者交于M ，N 两个不同点．（1）写出曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（2）若点P 的极坐标为(2,π)，||||52PM PN +=，求a 的值．（1）()()2221+1-+-=x a y a ，2y x =+（2）2或4-【分析】（1）利用极坐标与平面直角坐标方程互化公式进行求解；（2）先判断出P 的直角坐标为(2,0)-，在直线l 上，写出直线l 的标准参数方程，代入曲线的普通方程中，得到1a ≠，分1a >-且1a ≠，1a ≤-两种情况，列出方程，求出答案.【小问1详解】由2sin 2cos a ρθθ=+，得22sin 2cos a ρρθρθ=+，故曲线C 的直角坐标方程为2222x y y ax +=+，即222()(1)1x a y a -+-=+；由πsin 24ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得sin cos 2ρθρθ-=，故直线l 的直角坐标方程为2y x =+．【小问2详解】因为π2,2sin π02cos =-=，所以点P 的直角坐标为(2,0)-，在直线l 上，而直线l 的标准参数方程为22222x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），将其代入2222x y y ax +=+，整理可得2(322)440t a t a -+++=．由题设知222(3)4(44)2(1)0a a a ∆=+-+=->，解得1a ≠．又12322t t a +=+，1244t t a =+．当1a >-，且1a ≠时，有1t ，20t >，则1212||||2(3)52PM PN t t t t a +=+=+=+=，解得2a =，满足要求；当1a ≤-时，有120t t ≤，则()()212122121||||21524PM PN t t t t t t t a t +=+==--+-==，解得4a =-，满足要求．故a 的值为2或4-．。
2024届四川省巴中市普通高中高三上学期“零诊”考试理综物理试题
2024届四川省巴中市普通高中高三上学期“零诊”考试理综物理试题一、单选题 (共7题)第(1)题光在科学技术、生产和生活中有着广泛的应用，下列说法正确的是( )A．用透明的标准平面样板检查光学平面的平整程度是利用光的偏振现象B．用三棱镜观察白光看到的彩色图样是利用光的衍射现象C．在光导纤维内传送图象是利用光的色散现象D．光学镜头上的增透膜是利用光的干涉现象第(2)题如图所示，在“探究感应电流产生的条件”实验中，正确连接好电路后，关于该实验，下列说法不正确的是（ ）A．开关闭合瞬间，电流表的指针发生偏转B．开关闭合后，电路达稳定状态，电流表指针不发生偏转C．开关闭合后，线圈A从线圈B中插入与拔出时，电流表指针发生偏转D．开关闭合后，滑动变阻器的滑片匀速滑动，电流表指针不发生偏转第(3)题回旋加速器工作原理如图所示，置于真空中的两个半圆形金属盒半径为R，两盒间留有一狭缝接有频率为f的高频交流电，加速电压为U，磁感应强度为B的匀强磁场与盒面垂直。
若A处粒子源产生的氘核在狭缝中被加速，不考虑相对论效应和重力的影响，不计粒子在电场中的加速时间。
则（ ）A．氘核离开回旋加速器时的最大速率随加速电压U增大而增大B．氘核被加速后的最大速度可能超过C．氘核第n次和第次经过两金属盒间狭缝后的轨道半径之比为D．不改变磁感应强度B和交流电频率f，该回旋加速器也能加速粒子第(4)题图为小球沿竖直方向运动的频闪照片，则小球（ ）A．一定做自由落体运动B．一定做竖直上抛运动C．加速度方向一定向下D．加速度方向一定向上第(5)题如图所示，平面第三、四象限内有垂直纸面向里的匀强磁场，圆形金属环与磁场边界相切于O点.金属环在平面内绕O点沿顺时针方向匀速转动，时刻金属环开始进入第四象限。
规定顺时针方向电流为正，下列描述环中感应电流i随时间t变化的关系图像可能正确的是（ ）A．B．C．D．第(6)题A、B两物体同时受到同样的水平拉力后，分别在水平面上从静止开始做匀加速直线运动，后，同时撤去拉力，它们均做匀减速直线运动，直到停止，其图像如图所示，重力加速度取。
2023_2024学年四川省巴中市高三上册“零诊”考试数学试题(理科)(附答案)
2023_2024学年四川省巴中市高三上册“零诊”考试数学试题（理科）7π8πA．B．7．第31届世界大学生夏季运动会以中国的美好祝愿．某高校田径组拟从甲、乙两名女同学中选一人参加本届大运会，已知甲、乙两名同学近五次800米训练成绩（单位：秒）如下面的茎叶图所示．根据两人训练成绩的平均值及方差，现有下列4种推荐意见．①甲成绩的平均值低于乙成绩的平均值，推荐甲参加大运会．②甲成绩的平均值高于乙成绩的平均值，推荐乙参加大运会．③甲成绩的方差大于乙成绩的方差，推荐乙参加大运会．A．B．39．已知双曲线2222 :x yCa b-=的右支交于点，若线段C P1(1)证明：平面；EF ∥PBC (2)求二面角的余弦值．P CD F --20．已知椭圆2222:1(x y C a a b +=.1234MA MA ⋅=-(1)求椭圆的方程；C故表示三角形区域的不等式组为故选：B6．A则有圆锥的母线为22π1S=⨯⨯圆柱下底面圆面积因为O 为的中点，故12F F AO 则，而，则2AO PF ∥12AO F F ⊥因为直线的斜率为，故1PF 34||3PF t =||4,|F F t =定即可证明结论；方法四，建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明结论.（2）方法一，建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求得平面和平面的法向量，CDP CDF 利用空间角的向量求法即可求得答案；方法二，作出二面角的平面角，解三角形即可求得答案.P CD F --【详解】（1）证明：方法一：综合法——平行平面的性质取的中点，连结（如下图）AB M ,ME MF由分别为的中点及中位线定理得，,E F ,CD PA ,ME BC MF PB ∥∥平面平面，,BC PB ⊂ ,,PBC FM EM ⊄PBC 平面平面，ME ∴∥,PBC MF ∥PBC 又平面，,,ME MF M ME MF ⋂=⊂EFM 故平面平面，∥EFM PBC 平面，EF ⊂ EFM 平面；EF ∴∥PBC 方法二：综合法——平行平面的性质取的中点，连结（如下图）PD Q ,QE QF由分别为的中点及中位线定理得，,E F ,CD PA ,QF AD QE PC ∥∥平面平面，PC ⊂ ,PBC QE ⊄PBC 平面，QE ∴∥PBC ，，,AD BC QF AD ∥∥QF BC ∴∥平面平面,BC ⊂ ,PBC QF ⊄PBC 平面，QF ∴∥PBC 又平面，,,QE QF Q QE QF =⊂ EFQ 平面平面，∴EFQ ∥PBC 平面，EF ⊂ EFQ 平面.EF ∴∥PBC 方法三：综合法——直线与平面平行的判定连结延长交的延长线于，连结，AE BC N PN，即，又，AD BC AD CN ∥CE ED =，AE EN ∴=又，，=AF FP EF PN ∴∥平面平面，PN ⊂ ,PBC EF ⊄PBC 平面．EF ∴∥PBC 方法四：空间向量方法底面平面，PA ⊥ ,,ABCD AB AD ⊂ABCD ，,PA AB PA AD ∴⊥⊥又，AB AD ⊥故两两垂直，,,AB AD AP由知：4,2PA AD AB BC ====，2AB BC == 22AC AB BC ∴=+=当，即时，有两个零点，∴1101e a <<+e 1a >-()g x 方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现。
(20200531)高二(文)零诊复习(一)
高二（文）零诊复习（一）一、三角函数1．（2020•山西模拟）函数2()sin 2f x x x =+-，若12()()4f x f x =-，则12||x x +的最小值是( ) A ．6πB ．4π C ．3π D ．23π 2．（2020•芜湖模拟）将函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位得到()g x ，下列关于()g x 的说法正确的是( ) A ．12x π=是对称轴B ．在[0,]2π上单调递增C ．在[0,]3π上最大值为1D ．在[,0]3π-上最小值为1-3．（2020•湖北模拟）已知函数()sin()(0)3f x x πωω=->在[0，]π有且仅有4个零点，则ω的取值范围为()A ．1013[,)33B ．1316[,)33C ．717[,)36D ．716[,)334．（2020春•永济市期中）已知tan 2α=，则221(sin cos αα=- ) A ．5-B ．53C ．35D ．53-5．（2020•福州模拟）将函数2()2sin(3)3f x x π=+的图象向右平移12个周期后得到函数()g x 的图象，则()g x 图象的一条对称轴可以是( ) A ．18x π=B ．6x π=C ．718x π=D ．1118x π=6．（2020春•秦淮区校级期中）海春轩塔（又名广福寺塔），江苏第一古塔，为唐代建筑物，位于江苏省东台市古镇西溪．距今已有1300多年历史，为东台西溪旅游观光主要景点之一．在一次春游活动中，同学们为了估算塔高，某同学在该塔正西方向的A 处测得该塔仰角为30︒，对着塔向正东方向前进了24米到达B 处后测得该塔仰角为60︒，则该塔的高度估计为( )A ．B ．12米C ．米D ．7．（2020•茂名二模）函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，||)2πϕ<的图象如图所示，则()3f π的值为( )A ．12B ．1C D二、解三角形8．（2020•资阳模拟）a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边．已知(sin 9sin )12sin a A B A +=，1sin 3C =，则ABC ∆的面积的最大值为( ) A ．1B ．12C ．43D ．239．（2020春•武汉期中）已知ABC ∆中，a =，3A π=，b c +=，则ABC ∆的面积为( )A ．58B C D 10．（2020•湖北模拟）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2222sin sin sin b c a B Aab A+--=．则角C 等于( ) A ．6π B ．3π C ．4π D ．23π 11.（2020春•徐州期中）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若ABC ∆的面积为2224a cb +-，则角B = ．12.（2020•新乡二模）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知(sin )sin sin b B C c C c A -+=，且8b c +=，则ABC ∆的面积的最大值是 ．13.（2020•新疆模拟）设ABC ∆的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC ∆的面积为24sin b B，且1cos cos 3A C =，则cosB = ．14.（2020•盐城三模）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin ,2sin A ba c B a c==+，则cos A = ．三、平面向量15.（2020•芜湖模拟）已知向量(1,)a k =，||2b =，a 与b 的夹角为56π，且()a b a +⊥，则实数k 的值为( )A B C ．2D ．16.（2020•湖北模拟）ABC ∆中，点D 为BC 的中点，3AB AE =，M 为AD 与CE 的交点，若AM AD λ=，则实数(λ= ) A ．14 B ．13C ．25D ．1217.（2020•滨州二模）已知正方形ABCD 的边长为3，2,(DE EC AE BD == ) A ．3 B ．3-C ．6D ．6-18.（2020•临川区校级模拟）在ABC ∆中，4AC AD =，P 为BD 上一点，若13AP AB AC λ=+，则实数λ的值( )A ．18B ．316C ．16 D ．3819.（2020•唐山一模）已知向量a ，b 满足||||a b b +=，且||2a =，则b 在a 方向上的投影是( ) A ．2 B ．2- C ．1 D ．1-20．（2020•甲卷三模）等边ABC ∆的边长为2，点G 为ABC ∆的重心，则AG AB = ．21．（2020•徐州模拟）在ABC ∆中，若120BAC ∠=︒，2BA =，3BC =，1132BM BC BA =+，则MA MC = ．。
北京市高三零诊模拟考试数学(理)试题(解析版)
成都七中高 2024 届零诊模拟考试数学试题(理科)一、单选题：共12道小题，每题5分，共60分.1. 设，则的虚部为（ ）1i2i 1i z -=++z A.B.C. 1D. 3i 3i 【答案】C 【解析】【分析】利用复数的除法及加减运算求解作答. 【详解】依题意，，(1i)(1i)2i2i=2i i 2i i (1i)(1i)2z ---=++=-+=+-所以复数的虚部为1. z 故选：C2. 若直线与直线平行，则（ ）1:10l x ay ++=2:10l ax y ++==a A. 0 B.C. 1D.1-1±【答案】B 【解析】【分析】根据两直线平行的条件可直接求出的值.a 【详解】因为，所以，解得.12//l l 1101110a a a ⨯-⨯=⎧⎨⨯-⨯≠⎩1a =-故选：B.3. 一组数据包括47、48、51、54、55，则这组数据的标准差为（ ）A .B. C. 10 D. 50【答案】A 【解析】【分析】根据平均数、方差公式计算可得. 【详解】依题意这组数据的平均数为，4748515455515++++=所以方差为， ()()()()()22222147514851515154515551105⎡⎤-+-+-+-+-=⎣⎦.4. 已知函数在其定义域上的导函数为，当时，“”是“单调递增”的()f x R ()f x 'x ∈R ()0f x '>()f x （ ） A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 充分不必要条件【答案】D 【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】因为函数在其定义域上的导函数为， ()f x R ()f x '若当时，，则单调递增，故充分性成立；x ∈R ()0f x '>()f x 若在上单调递增，则，()f x R ()0f x '≥如，显然函数在上单调递增，但是，故必要性不成立；()3f x x =()f x R ()230f x x '=≥故“”是“单调递增”的充分不必要条件. ()0f x '>()f x 故选：D5. 如图所示的算法框图思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该算法框图，若输入的、分别为、，则输出的（ ）a b 3696=aA. B. C. D.081224【答案】C【分析】根据题意，由程序框图，逐步运算，即可得出结果.【详解】第一步：初始值，；此时；进入循环； 36a =96b =a b ¹第二步：，计算，此时，进入循环； 3696a =<963660b =-=3660≠第三步：，计算，此时，进入循环； 3660a =<603624b =-=3624≠第四步：，计算，此时，进入循环；3624a =>362412a =-=1224≠第五步：，计算，此时，结束循环，输出. 1224a =<241212b =-=1212=12a =故选：C.【点睛】本题主要考查循环程序框图求输出值，属于基础题型.6. 直线与抛物线交于、两点，若，其中为坐标原点，则2x =()2:20C y px p =>D E 0OD OE ⋅=O 的准线方程为（ ）C A.B. C.D.14x =-12x =-=1x -2x =-【答案】B 【解析】【分析】求出点、的坐标，根据求出的值，即可得出抛物线的准线方程.D E 0OD OE ⋅=p C 【详解】不妨设点在第一象限，则点在第四象限，D E 联立可得，则点、，222x y px =⎧⎨=⎩2x y=⎧⎪⎨±⎪⎩(2,D (2,E -所以，，解得，因此，的准线方程为.440OD OE p ⋅=-= 1p =C 122p x =-=-故选：B.7. 函数的图象经过变换后得到函数的图象，则（ ）lg y x =10:2x xy y ϕ''=⎧⎨=+⎩()y f x ''=()f x =A. B.C.D.1lg x -+1lg x +3lg x -+3lg x +【答案】B 【解析】【分析】由已知可得出，代入可得出的表达式，即可得出的表达式.102x x y y ''⎧=⎪⎨⎪=-⎩lg y x =()f x '()f x【详解】由已知可得，代入可得，则，102x x y y ''⎧=⎪⎨⎪=-⎩lg y x =2lg lg 110x y x '''-==-lg 1y x ''=+即，因此，. ()lg 1f x x ''=+()lg 1f x x =+故选：B.8. 有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或是丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖了．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖歌手是（ ） A. 甲 B. 乙C. 丙D. 丁【答案】C 【解析】【分析】逐一验证即可.【详解】若甲是获奖的歌手，则都说假话，不合题意若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说真话，丙说假话，不符合题意 若丁是获奖的歌手，则甲、丁、丙都说假话，乙说真话，不符合题意 故获奖的歌手是丙 故选：C9. 设曲线C 的参数方程为(为参数，且)，曲线C 上动点P 到直线1cos 1sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩θπ,2π2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最短距离为（ ） :143x yl +=A. 0 B.C.D. 11525【答案】B 【解析】【分析】设，由点到直线的距离公式结合三角函数的性质求解即可. ()1cos ,1sin P θθ++【详解】设，直线 ()1cos ,1sin P θθ++:3412l x y +=由动点P 到直线的距离为：:3412l x y +=，()()()31cos 41sin 125sin 53cos 4sin 5555d θθθϕθθ+++-+-+-===其中，， 3tan ϕ=43cos ,sin j j ==因为，所以， π,2π2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π,2π2θϕϕϕ⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦，所以，π4sin cos 25ϕϕ⎛⎫+== ⎪⎝⎭()41sin 5θϕ-≤+≤所以当时，. ()4sin 5θϕ+=min 4551555d ⨯-==故选：B .10. 关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启π发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请100名同学每人随机写下一个，都小于1的πx y 正实数对；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对的个数；最后再根据统计数估(),x y (),x y m m 计的值，假如某次统计结果是，那么本次实验可以估计的值为（ ）． π28m =πA.B.C.D.227471578255317【答案】C 【解析】【分析】根据约束条件画出可行域，得到面积，根据几何概型得到答案. 22110x y x y +>⎧⎨+-<⎩【详解】∵而满足构成钝角三角形，则需画出图像： 0101x y <<⎧⎨<<⎩22110x y x y +>⎧⎨+-<⎩弓形面积：，∴． 28π110042=-78π25=故选C 【点睛】本题考查了几何概型，画出图像是解题的关键，意在考查学生的综合应用能力. 11. 点在以为直径的球的表面上，且，，已知球的表面积是,A B PC O AB BC ⊥2AB BC ==O 12π，设直线和所成角的大小为，直线和平面所成角的大小为，四面体内切球PB AC αPB PAC βPABC 半径为，下列说法中正确的个数是（ ）r①平面；②平面平面；③；④ BC ⊥PAB PAC ⊥ABC sin cos αβ=12r >A.B.C.D.1234【答案】C 【解析】【分析】根据，，由线面垂直判定可知①正确；根据，，由线PB BC ⊥AB BC ⊥PA AC ⊥BC PA ⊥面垂直和面面垂直的判定可知②正确；根据平行关系和异面直线所成角定义可知，由面面垂OEF α=∠直性质和线面角定义可知，由长度关系可求得③正确；利用体积桥可求得BPD β=∠，知④错误. 3112P ABC V r S -==<【详解】对于①，为球的直径，为球上一点，， PC O B O PB BC ∴⊥又，，平面，平面，①正确；AB BC ⊥PB AB B ⋂=,PB AB ⊂PAB BC ∴⊥PAB 对于②，为球的直径，为球上一点，， PC O A O PA AC ∴⊥由①知：平面，又平面，，BC⊥PAB PA ⊂PAB BC PA ∴⊥，平面，平面，AC BC C = ,AC BC ⊂ABC PA ∴⊥ABC 又平面，平面平面，②正确；PA ⊂PAC ∴PAC ⊥ABC 对于③，取中点，连接，,,AC BC AB ,,D E F ,,,,,,BD PD OE EF OF OD DF 分别为中点，，，； ,,O E F ,,PC BC AB //OE PB ∴//EF AC OEF α∴=∠分别为中点，，又平面，平面， ,O D ,PC AC //OD PA ∴PA ⊥ABC OD ∴⊥ABC 平面，；DF ⊂ ABC OD DF ∴⊥球的表面积为，，解得：， O 12π214π12π2PC ⎛⎫∴⨯= ⎪⎝⎭PC =，；AC == 2PA ∴==，，， 11DF BC == 11OD PA ==OF ∴==又， 12EF AC ===12OE PB ===为等边三角形，，则； OEF ∴ π3α∴=sin α=，为中点，，AB BC = D AC BD AC ∴⊥又平面平面，平面平面，平面，PAC ⊥ABC PAC ABCAC =BD ⊂ABC 平面，， BD ∴⊥PAC BPD β∴=∠，，， PD == 12BD AC ==PB ∴==，③正确； cos PD PB β∴===sin cos αβ∴=对于④，，，，122ABC S AB BC =⋅= 122PAB S PA AB =⋅= 12PAC S PA AC =⋅=△12PBC S PB BC =⋅==，四面体的表面积，1433P ABC ABC V S PA -∴=⋅= PABC 4ABC PAB PAC PBC S S S S S =+++=+四面体内切球半径，④错误. ∴PABC 3112P ABC V r S -====-<故选：C.12. 函数在上的零点个数为（ ） ()e 1sin(11)x f x x =--[0,)+∞A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】【分析】当时，；当时，；当，令0x =(0)0f =ln 2x >()0f x >0ln 2x <<，即求与的图像在的交点个数，从而结()e 1sin(11)0x f x x =--=e 1x y =-()sin(11)g x x =(]0,ln 2合图像即可得解.【详解】当时，， 0x =0(0)e 1sin 00f =--=当时，，ln 2x >()()()()ln 2e 1sin 11e1sin 111sin 110xf x x x x =-->--=-≥故当时，无零点，ln 2x >()f x 当，令，即， 0ln 2x <≤()e 1sin(11)0x f x x =--=e 1sin(11)x x -=因为，所以，两边同时取对数，则，3555e 22===35e 2<35e 2<353lne ln 25=<而7101010e22===因为， 773393e 2.77.29 2.77.28 2.720.91 2.7>=⨯>⨯=⨯⨯而， 33330.910.930.90.010.7290.02430.75334>+⨯⨯=+=>所以，所以， 338.10.91 2.7 2.7244⨯>⨯=>710e 2>所以，两边同时取对数，则， 710e 2>7100.7lne ln 2=>所以， 3ln 20.75<<又因为的最小正周期为， ()sin(11)g x x =2π55π,11422T T ==因为， 2π35πln 20.711522<<<<画出与在上的大致图象，e 1x y =-()sin(11)g x x =(]0,ln 2由图可知与的图像在上只有一个交点， ()sin(11)g x x =e 1x y =-2π0,11⎛⎤⎥⎝⎦而在上单调递增，且在处取不到最大值， ()sin(11)g x x =2π,ln 211⎛⎤⎥⎝⎦()g x ln 2x =所以，故与的图像在上没有交点，()ln 2e11sin 11ln 2-=>()sin(11)g x x =e 1x y =-2π,ln 2⎛⎤⎥综上：当，与的图象只有一个交点. 0ln 2x <<e 1x y =-()sin(11)g x x =综上：函数在上的零点个数为. ()e 1sin(11)x f x x =--[0,)+∞2故选：B .【点睛】关键点睛：本题的关键点在于当，令，将本题转化为与0ln 2x <≤()0f x =e 1x y =-的交点个数，再判断得，从而画出图象即可得解. ()sin(11)g x x =5π2πln 22211>>二、填空题:共4道小题，每题5分，共20分.13. 命题“，”的否定为________． 0x ∀>tan x x >【答案】， 00x ∃>00tan x x ≤【解析】【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题，即可得解. 【详解】命题“，”为全称量词命题， 0x ∀>tan x x >其否定为：，. 00x ∃>00tan x x ≤故答案为：，00x ∃>00tan x x ≤14. 函数的图象在处的切线方程为________． ()cos xf x x=πx =【答案】0x y +=【解析】【分析】求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程.【详解】因为，则，，()cos xf x x =()πππcos πf ==-2cos s ()cos in x x xx f x +'=则， ()21cos si ππππc n os πf +'==-所以切线方程为，整理得. ()()ππy x --=--0x y +=故答案为：0x y +=15. 某区为了解全区名高二学生的体能素质情况，在全区高二学生中随机抽取了名学生进行120001000体能测试，并将这名的体能测试成绩整理成如下频率分布直方图．根据此频率分布直方图，这1000名学生平均成绩的估计值为________．1000【答案】 80.5【解析】【分析】根据所有矩形面积之和为求出的值，将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，相加可1a 得这名学生平均成绩.1000【详解】由于频率分布直方图中所有矩形面积之和为， 1可得，解得， ()0.0050.0220.04101a ++⨯+⨯=0.015a =由频率分布直方图可知，这名学生平均成绩的估计值为1000分.550.05650.15750.2850.4950.280.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=故答案为：.80.516. 双曲线其左、右焦点分别为，倾斜角为的直线与双曲线H 在2222:1(,0)x y H a b a b-=>12,F F π32PF 第一象限交于点P ，设内切圆半径为r ，若，则双曲线H 的离心率的取值范围为12F PF △2PF ≥______. 【答案】 5,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】设内切圆与分别相切于点，由题意结合双曲线的定义可得12F PF △C 12F PF △,,M N Q ，再由双曲线的焦半径公式即可求出，代入，解方程即可)r c a =-22212c a PF e a -=⎛⎫- ⎪⎝⎭2PF ≥得出答案.【详解】设内切圆与分别相切于点，则，12F PF △C 12F PF △,,M N Q CM CN CQ r ===且， 1122,,F M FQ F M F N PQ PN ===π所以，所以，260CF M ∠=︒22tan 60r MF F N ===︒因为，112F M c FQ ==2PQ PN PF ==-由双曲线的定义可知，，所以， 122PF PFa -=122QF NF a -=即，所以，22c a =)r c a =-过点作轴于点，设， P PH x ⊥H (),P P P x y 则， 221,2P P x c PF y PF =+=由双曲线的焦半径公式可得：， 2212P PF ex a e c PF a ⎛⎫=-=+-⎪⎝⎭则，因为，所以， 22212c a PF e a -=⎛⎫- ⎪⎝⎭2PF ≥()22612c a c a e a -≥-⎛⎫- ⎪⎝⎭则，即，化简可得：，+1612e e ≥-+16012e e -≥-()45102102e e e ⎧⎛⎫--≤ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪-≠⎪⎩则双曲线H 的离心率的取值范围为， 524e ≤<故答案为：.5,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭三、解答题：共5道大题，共70分.17. 设函数， 321(1)()2(1)34f f x x x x f '-=-+-（1）求、的值； (1)f ¢-(1)f （2）求在上的最值． ()f x [0,2]【答案】（1）， (1)6f '-=5(1)12f =（2），max 5()12=f x min 5()12=-f x 【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，令求出，再令求出； =1x -(1)f ¢-1x =()1f （2）由（1）可得，利用导数求出函数的单调性，即可求出函数的极值，32135()23212f x x x x =-+-再由区间端点的函数值，即可得解. 【小问1详解】因为， 321(1)()2(1)34f f x x x x f '-=-+-所以，取，则有，即；2(1)()22f f x x x '-'=-+=1x -(1)(1)32f f '-'-=+(1)6f '-=所以，取，则有，即．3213()2(1)32f x x x x f =-+-1x =5(1)(1)6f f =-5(1)12f =故，．(1)6f '-=5(1)12f =【小问2详解】 由（1）知，， 32135()23212f x x x x =-+-[]0,2x ∈则，2()32(1)(2)f x x x x x '=-+=--所以、与，的关系如下表：x ()f x '()f x []0,2x ∈x 0(0,1) 1(1,2) 2()f x '+0-()f x 512-单调递增极大值512单调递减14故，． max 5()(1)12f x f ==min 5()(0)12f x f ==-18. 信创产业即信息技术应用创新产业，是一条规模庞大、体系完整的产业链，是数字经济的重要抓手之一．在政府、企业等多方面的共同努力下，中国信创产业市场规模不断扩大，市场释放出前所未有的活力．下表为2018—2022年中国信创产业规模（单位：千亿元），其中2018—2022年对应的代码依次为1~5．年份代码x1 2 3 4 5 中国信创产业规模y /千亿元8.19.611.513.816.7（1）从2018—2022年中国信创产业规模中任取2个数据，求这2个数据都大于10的概率． （2）由上表数据可知，可用指数型函数模型拟合y 与x 的关系，请建立y 关于x 的回归方程x y a b =⋅（a ，b 的值精确到0.01），并预测2023年中国信创产业规模能否超过20千亿元． 参考数据：v51i ii x v=∑1.919e0.177e61.192.4538.52 6.811.192.84其中，．ln i i v y =5115i i v v ==∑参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最()11,u w ()22,u w (),n n u w wu αβ=+小二乘估计公式分别为，． 1221ni ii ni i u w nuwu nu β==-=-∑∑ w u αβ=+【答案】（1）310（2），不会超过20千亿元． 6.81 1.19x y =⨯【解析】【分析】（1）根据古典概型概率计算公式，利用列举法可得2个数据都大于10的概率为；（2）将指310数型函数模型两边取对数可得，即，再利用参考数据可得回x y a b =⋅ln ln ln y a x b =+ln ln v a x b =+归方程为，将2023年的年份代码6代入可得，即可得出结论. 6.81 1.19x y =⨯19.3420y ≈<$【小问1详解】从2018—2022年中国信创产业规模中任取2个数据有，，，，，， ()8.1,9.6()8.1,11.5()8.1,13.8()8.1,16.7()9.6,11.5()9.6,13.8，，，，共10种情况．()9.6,16.7()11.5,13.8()11.5,16.7()13.8,16.7其中这2个数据都大于10的有，，，共3种情况， ()11.5,13.8()11.5,16.7()13.8,16.7所以2个数据都大于10的概率． 310P =【小问2详解】两边同时取自然对数，x y a b =⋅得，则．()ln ln ln ln xy a ba xb =⋅=+ln ln v a x b =+因为，，，3x = 2.45v =52155ii x==∑所以， 5152221538.5253 2.45ln 0.17755535i i i i i x v xvb x x==--⨯⨯===-⨯-∑∑，所以， ln ln 2.450.1773 1.919a v x b =-⋅=-⨯= 1.9190.177vx =+ 即，所以， ln 1.9190.177y x =+ 1.9190.177e 6.81 1.19x x y +==⨯$即y 关于x 的回归方程为．6.81 1.19x y =⨯2023年的年份代码为6，把代入， 6x = 6.81 1.19x y =⨯得， 66.81 1.19 6.81 2.8419.3420y =⨯=⨯≈<所以预测2023年中国信创产业规模不会超过20千亿元． 19. 如图，三棱柱中，侧面为矩形，且为的中111ABC A B C -11ACC A AB AC ⊥2,AB AC D ==11B C 点，．11AA B C ==（1）证明：平面；1AC //1A BD （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 1AB C 1AA D 【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）连接与交于点，连接，则，利用线面平行的判定定理即可证1AB 1A B O OD 1//AC OD 明；（2）由已知条件得面，则，由得.以为坐标原CA ⊥11ABB A 1CA AB ⊥22211AB AB BB +=1AB AB ⊥A 点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，由面得平面的一个法1,,AB AB AC x y z AB ⊥1AB C 1AB C 向量为，设平面的法向量为，由求得，然后()11,0,0n =u r 1AA D ()2,,n x y z =u u r 12120AA n A D n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ()21,1,1n =- 利用向量夹角公式求解即可. 【小问1详解】连接与交于点，连接1AB 1A B O OD为三棱柱，为平行四边形，点为的中点111ABC A B C - 11ABB A ∴O 1AB 又为的中点，则，D 11B C 1//AC OD 又平面平面，平面． OD ⊂ 11,A BD AC ⊄1A BD 1AC ∴//1A BD 【小问2详解】 解法1：，面 11,,CA AB CA AA AB AA A ⊥⊥⋂= CA ∴⊥11ABB A 面，1AB ⊂ 11ABB A 1CA AB ∴⊥12AB ∴===，，即112,2,AB AB BB === 22211AB AB BB ∴+=1AB AB ⊥以为坐标原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，A 1,,AB AB AC x y z()()()()()()1110,0,0,2,2,0,2,0,0,0,2,0,2,2,2,1,2,1A A B B C D --- ()()112,2,0,1,0,1AA A D ∴=-=11,,AB AB AB AC AB AC A ⊥⊥⋂= 面，则平面的一个法向量为AB ∴⊥1AB C 1AB C ()11,0,0n =u r设平面的法向量为，则，即 1AA D ()2,,n x y z =u u r 12120AA n A D n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 2200x y x z -+=⎧⎨+=⎩令()21,1,1,1,1,1x y z n ===-∴=-设平面与平面的夹角为，1AB C 1AA D θcos θ∴=平面与平面．∴1AB C 1AA D 解法2：设点为的中点，点为的中点， E BC F AC 连接交于点，连接，DE 1B C Q ,,AE AQ EF设点为的中点，连接 P AQ ,EP FP 点为的中点，点为的中点EBC D 11B C 且，点为的中点 1//EQ BB ∴112EQ BB ==Q 1B C 为矩形，11ACC A 1AC AA ∴⊥又平面，1,,AC AB AB AA A AC ⊥⋂=∴⊥11ABB A 1AC AB ∴⊥在中，∴1ACB 11,2,AC AB AC B C ⊥==12AB =为等腰直角三角形，其中1AB C ∴ 112,AC AB B C===而点为的中点，且Q 1B C 1AQ B C ∴⊥AQ =点为的中点，点为的中点P AQ F AC 且1//FP B C ∴11124FP CQ B C ===FP AQ ∴⊥又在Rt 中，，点为的中点，ABC 2AB AC ==EBC AE ∴=在中，，且点为的中点∴AEQ△AE EQ AQ ===P AQ 且EP AQ ∴⊥EP =即为平面与平面的夹角EPF ∠∴1AB C 1AA D 在中，∴EFP △11,2EF AB FP EP ====222cos 2EP FP EF EPF EP FP ∠+-∴==⋅平面与平面．∴1AB C 1AA D 20. 椭圆上顶点为B ，左焦点为F ，中心为O .已知T 为x 轴上动点，直线BT2222:1(0)x y C a b a b+=>>与椭圆C 交于另一点D ；而P 为定点，坐标为，直线PT 与y 轴交于点Q .当T 与F 重合时，有(-，且.||||PB PT = 2BT BP BQ =+（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设T 的横坐标为t ，当时，求面积的最大值.(0,2)t ∈DTQ △【答案】（1）22143x y+=（2【解析】【分析】（1）由代入可求出，再由，用两点间的距离公式可求出2BT BP BQ =+ 1c =||||PB PT =，再由.b =a=（2）设直线BT 的方程为，与联立，由韦达定理可求出，x y =22143x y +=Dy =设直线PT 的方程为，令，可求出，表示出，即可求出2x y +=0x =Q y =DTQ PTB S S，结合基本不等式即可得出答案.2224DTQt t S t -=+△【小问1详解】设，因为当T 与F 重合时，有，且， (),0F c -||||PB PT =2BT BP BQ =+所以，()()()0,,,0,(,0,Q B b T c P Q y --，()()(),,,0,Q BT c b BP b BQ y b =--=--=-由，知 2BT BP BQ =+()()()2,0,Q c b b y b --=--+-所以，即，()220c -=-+1c =，(((2,,2,PB b PT c ==-+=由知，所以，即，||||PB PT =22||PB PT = 22222(1b +=+b =则，故椭圆C 的标准方程为.2a==22143x y +=【小问2详解】设直线BT 的方程为，与联立，可得x y =22143x y +=且，有，即，()222243120t y y t +-+-=0∆>223124D t y t -=+2244D ty t -=+设直线PT 的方程为，令，可得， 2x y +=0x =Q y =由，sin sin 3DTQ Q D DTQ PTB PTBS y y QT DT DTQQT DT S S S PT BT BTP PT BT⋅⋅∠⋅====-⋅⋅∠⋅ 由题意知：，则，， PTB S 2224DTQt t S t -=+△(0,2)t ∈而，22222(2)2=1121844(2)42t t t t t t t -+-=-≤-++++-+当时取等，且， 2t +=2t =-()0,2t ∈故DTQ△21. 设函数，其中.()e xf x ax =-a ∈R （1）讨论函数在上的极值； ()f x [1,)+∞（2）若函数f (x )有两零点，且满足，求正实数的取值范围.()1212,x x x x <1211x x λλ+>+λ【答案】（1）答案见解析（2） [1,)+∞【解析】【分析】（1）求出，分、讨论，可得答案；()e x f x a '=-e a ≤e a >（2）由零点存在定理可知，而题设，消去a 可得120ln x a x <<<1212e e 0x xax ax -=-=，令，且，求出，，将其代入得221121e e e x x x x x x -==211x t x =>21ln t x x =-2x 1x 1211x x λλ+>+，再利用导数分、讨论可得答案..(1)(1)()ln 01t F t t t λλ+-=->+1λ≥01λ<<【小问1详解】由知，()e xf x ax =-()e xf x a '=-1）当时，且有，，单调递增，故无极值；e a ≤[1,)x ∈+∞()0f x '≥()f x 2）当时，有，，单调递减，而，，单增，e a >(1,ln )x a ∈()0f x '<()f x (ln ,)x a ∈+∞()0f x '>()f x故，无极大值.()(ln )ln f x f a a a a ==-极小值()f x 综上，当时，无极值；e a ≤()f x 当时，极小值为，无极大值；e a >()f x ln a a -()f x 【小问2详解】由（1）可知当时，，， e a >(ln )(1ln )0f a a a =-<1(00f =>）且， x f x →+∞→+∞，（）由零点存在定理可知，而题设可知，消去a 可得120ln x a x <<<1212e e 0x x ax ax -=-=，令，且，即，， 221121e e e x x x x x x -==211x t x =>21ln t x x =-2ln 1t t x t =-1ln 1t x t =-将其代入，整理可令得， 1211x x λλ+>+(1)(1)()ln 01t F t t t λλ+-=->+而， ()()22221(1)1(1)(1)(1)t t F t t t t t λλλλ--+'=-=++1)当时，且，有，单调递增，，满足题设； 1λ≥(1,)t ∈+∞()22(1)0(1)t F t t t λ-'≥>+()F t ()(1)0F t F >=2)当时，且，有，单调递减，，不满足题设； 01λ<<211,t λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0F t '<()F t ()(1)0F t F <=综上，的取值范围为.λ[1,)+∞【点睛】关键点点睛：第二问解题关键点是消去a 可得，令1212e e 0x x ax ax -=-=221121e e e x x x x x x -==得、， 将其代入构造函数，本题还考查了学211x t x =>2x 1x 1211x x λλ+>+(1)(1)()ln 01t F t t t λλ+-=->+生思维能力、运算能力.22. 在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线和直线的极xOy O x C l 坐标方程分别为和：．且二者交于，两个不同点． 2sin 2cos aρθθ=+πsin 4x ρ⎛⎫-= ⎪⎝⎭M N （1）写出曲线和直线的直角坐标方程；C l （2）若点的极坐标为，，求的值．P (2,π)||||PM PN +=a 【答案】（1），()()2221+1-+-=x a y a 2y x =+（2）2或4-【解析】【分析】（1）利用极坐标与平面直角坐标方程互化公式进行求解；（2）先判断出的直角坐标为，在直线上，写出直线的标准参数方程，代入曲线的普通方程P (2,0)-l l 中，得到，分且，两种情况，列出方程，求出答案.1a ≠1a >-1a ≠1a ≤-【小问1详解】由，得，2sin 2cos a ρθθ=+22sin 2cos a ρρθρθ=+故曲线的直角坐标方程为，即；C 2222x y y ax +=+222()(1)1x a y a -+-=+由，得，πsin 4ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin cos 2ρθρθ-=故直线的直角坐标方程为．l 2y x =+【小问2详解】因为，π2,2sin π02cos =-=所以点的直角坐标为，在直线上，P (2,0)-l 而直线的标准参数方程为（为参数），l 2x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩t 将其代入，整理可得．2222x y y ax +=+2)440t t a -++=由题设知，解得．222(3)4(44)2(1)0a a a ∆=+-+=->1a ≠又，．12t t +=+1244t t a =+当，且时，有，，则， 1a >-1a ≠1t 20t>1212||||3)PM PN t t t t a +=+=+=+=解得，满足要求；2a =当时，有，1a ≤-120t t ≤则，)1221||||1PM PN t t t t a +=+==--==解得，满足要求．4a =-故的值为2或． a 4-。
高三数学零诊复习学后练习6
陕西省宝鸡市陇县东风中学 高三数学零诊复习学后练习6知识要点1、一般数列{ a n }的通项公式：记S n= a 1 + a 2 + …+ a n ,则恒有⎩⎨⎧-=-11n n n S S S a ()()N n n n ∈≥=,21 2、等差数列{ a n }：(1)定义：1n n a a d +-=（常数）(2)通项公式：a n = a 1 + ( n – 1 ) d ，推广：a n = a m + ( n – m ) d ( m , n ∈N )（3）前n 项和公式：S n = n a 1 +21n ( n – 1 ) d = 2)(1n a a n +（4）等差数列的主要性质：① 若m + n = 2 p ，则 a m + a n = 2 a p （等差中项）( m , n ∈N )； ② 若m + n = p + q ，则 a m + a n = a p + a q ( m , n , p , q ∈N ) ； ③21(21)n n S n a -=-能力培养1、已知数列{an}的前n 项和Sn ，求通项．⑴ Sn ＝3n －2； ⑵ Sn ＝n2＋3n ＋1变式训练1、已知数列{an}的前n 项的和Sn 满足关系式lg(Sn －1)＝n ，(n ∈N*)，则数列{an}的通项公式为 ．2、按照下面数列{an}的首项和递推关系，探求其通项公式． ⑴ a1＝1，an ＝2an －1＋1 (n ≥2); ⑵ a1＝1，an ＝113--+n n a (n ≥2)⑶ a1＝1，an ＝11--n a n n (n ≥2)变式训练2、已知数列{an}中，a1＝1，an ＋1＝22+n n a a (n ∈N*)，求该数列的通项公式． 3、在等差数列{an}中，(1)已知a15＝10，a45＝90，求a60；(2)已知S12＝84，S20＝460，求S28；(3)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8．5、在等差数列{an}中，a1＝25，S9＝S17，问此数列前几项的和最大？（1）判断{}n a 是何种数列，并给出证明；（2）若11+=n n n a a C ，求数列{}n C 的前n 项和三、巩固练习1、在等差数列{an}中，a3＝9，a9＝3，则a12＝( )。
高三数学上学期零诊试卷 理(含解析)-人教版高三全册数学试题
2015-2016学年某某省某某市南山中学高三（上）零诊数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A={x∈R|＜1}，B={x∈R|2x＜1}，则( )A．A⊇B B．A=B C．A⊆B D．A∩B=ϕ2．公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a4a10=16，则a6=( )A．1 B．2 C．4 D．83．甲：函数，f（x）是R上的单调递增函数；乙：∃x1＜x2，f（x1）＜f（x2），则甲是乙的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．下列函数中，既是奇函数又是减函数的是( )A． B．y=﹣tanx C．D．y=﹣x3（﹣1＜x≤1）5．已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是( )A．f（x）=﹣x3B．f（x）=+x3C．f（x）=﹣x3D．f（x）=﹣﹣x3 6．已知点A（1，3），B（4，﹣1），则与向量的方向相反的单位向量是( )A．（﹣，）B．（﹣，）C．（，﹣）D．（，﹣）7．若变量x，y满足约束条件，则x+2y的最大值是( )A． B．0 C．D．8．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A．B．C．D．9．已知M是△ABC内的一点，且，∠BAC=，若△MBC，△MCA，△MAB的面积分别为，x，y，则的最小值为( )A．16 B．18 C．20 D．2410．从边长为10cm×16cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，做成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为( )A．160 cm3B．144cm3C．72cm3D．12 cm311．已知函数g（x）=a﹣x2（≤x≤e，e为自然对数的底数）与h（x）=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值X围是( )A． B． C． D．∪D．（﹣∞，3]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上.13．设函数f（x）=，则方程f（x）=的解集为__________．14．已知cos（﹣φ）=，且|φ|，则tanφ=__________．15．2014年足球世界杯赛上举行升旗仪式．如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位所在直线AB与旗杆所在直线MN共面，在该列的第一个座位A和最后一个座位B测得旗杆顶端N 的仰角分别为60°和45°，若旗杆的高度为30米，则且座位A、B的距离为__________ 米．16．如果f（x）的定义域为R，对于定义域内的任意x，存在实数a使得f（x+a）=f（﹣x）成立，则称此函数具有“P（a）性质”，给出下列命题：①函数y=sinx具有“P（a）性质”；②若奇函数y=f（x）具有“P（2）性质”，且f（1）=1，则f=1；③若不恒为零的函数y=f（x）同时具有“P（0）性质”和“P（3）性质”，则函数y=f（x）是周期函数；④若函数y=f（x）具有“P（4）性质”，图象关于点（1，0）成中心对称，且在（﹣1，0）上单调递减，则y=f（x）在（﹣2，﹣1）上单调递减，在（1，2）上单调递增；其中正确的是__________（写出所有正确命题的编号）．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．命题p：关于x的不等式x2+2ax+4＞0对于一切x∈R恒成立，命题q：函数f（x）=（3﹣2a）x是增函数，若p为真，且q为假，某某数a的取值X围．18．已知等差数列{a n}中，a1=1，a3=﹣3．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{a n}的前k项和S k=﹣35，求k的值．19．设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）在区间上的最大值、最小值分别是M、m，集合A={x|f （x）=x}．（1）若A={1，2}，且f（0）=2，求M和m的值；（2）若A={1}，且a≥1，记g（a）=M+m，求g（a）的最小值．20．已知向量=（sinx，﹣1），=（cosx，﹣），函数f（x）=（）•﹣2．（1）求函数f（x）的最小正周期T；（2）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，其中A为锐角，a=2，c=4，且f（A）=1，求A，b和△ABC的面积S．21．已知函数f（x）=mx﹣，g（x）=2lnx．（Ⅰ）当m=1时，判断方程f（x）=g（x）在区间（1，+∞）上有无实根．（Ⅱ）若x∈（1，e]时，不等式f（x）﹣g（x）＜2恒成立，某某数m的取值X围．22．（14分）已知函数f（x）=x2﹣2x+alnx（a∈R）．（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），不等式f（x1）≥mx2恒成立，某某数m的取值X围．2015-2016学年某某省某某市南山中学高三（上）零诊数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A={x∈R|＜1}，B={x∈R|2x＜1}，则( )A．A⊇B B．A=B C．A⊆B D．A∩B=ϕ【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题；集合．【分析】分别化简集合A，B，即可得出结论．【解答】解：∵，∴A={x|x＞1或x＜0}，∵2x＜1，∴B={x|x＜0}，∴B⊆A．故选：A．【点评】本题考查利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系，考查学生的计算能力，比较基础．2．公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a4a10=16，则a6=( )A．1 B．2 C．4 D．8【考点】等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由题意结合等比数列的性质可得a7=4，由通项公式可得a6．【解答】解：由题意可得=a4a10=16，又数列的各项都是正数，故a7=4，故a6===2故选B【点评】本题考查等比数列的通项公式，属基础题．3．甲：函数，f（x）是R上的单调递增函数；乙：∃x1＜x2，f（x1）＜f（x2），则甲是乙的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数单调性的定义和性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：根据函数单调性的定义可知，若f（x）是 R上的单调递增函数，则∀x1＜x2，f （x1）＜f（x2），成立，∴命题乙成立．若：∃x1＜x2，f（x1）＜f（x2），则不满足函数单调性定义的任意性，∴命题甲不成立．∴甲是乙成立的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数单调性的定义和性质是解决本题的关键．4．下列函数中，既是奇函数又是减函数的是( )A． B．y=﹣tanx C．D．y=﹣x3（﹣1＜x≤1）【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性单调性的性质分别进行判断即可．【解答】解：A．y=在定义域上不是单调函数，B．y=﹣tanx在定义域上不是单调函数，C．f（﹣x）==﹣=﹣f（x），则函数为减函数，f（x）===﹣1，则函数f（x）为减函数，满足条件．D．定义域关于原点不对称，为非奇非偶函数，故选：C．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质．5．已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是( )A．f（x）=﹣x3B．f（x）=+x3C．f（x）=﹣x3D．f（x）=﹣﹣x3【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】本题是选择题，可采用排除法，根据函数的定义域可排除选项C再根据特殊值排除B，D，即可得到所求【解答】解：由图象可知，函数的定义域为x≠a，a＞0，故排除C，当x→+∞时，y→0，故排除B，当x→﹣∞时，y→+∞，故排除B，当x=1时，对于选项A．f（1）=0，对于选项D，f（1）=﹣2，故排除D．故选：A．【点评】本题主要考查了识图能力，数形结合的思想，属于基础题6．已知点A（1，3），B（4，﹣1），则与向量的方向相反的单位向量是( ) A．（﹣，）B．（﹣，）C．（，﹣）D．（，﹣）【考点】单位向量．【专题】平面向量及应用．【分析】利用与向量的方向相反的单位向量=即可得出．【解答】解：=（4，﹣1）﹣（1，3）=（3，﹣4），==5．∴与向量的方向相反的单位向量===．故选：A．【点评】本题考查了与向量的方向相反的单位向量=，属于基础题．7．若变量x，y满足约束条件，则x+2y的最大值是( )A． B．0 C．D．【考点】简单线性规划．【专题】计算题；不等式的解法及应用．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=x+2y 对应的直线进行平移，可得当x=，y=时，x+2y取得最大值为．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（﹣，﹣1），B（，），C（2，﹣1）设z=F（x，y）=x+2y，将直线l：z=x+2y进行平移，当l经过点B时，目标函数z达到最大值∴z最大值=F（，）=故选：C【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．8．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A．B．C．D．【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】根据函数在同一周期内的最大值、最小值对应的x值，求出函数的周期T==π，解得ω=2．由函数当x=时取得最大值2，得到+φ=+kπ（k∈Z），取k=0得到φ=﹣．由此即可得到本题的答案．【解答】解：∵在同一周期内，函数在x=时取得最大值，x=时取得最小值，∴函数的周期T满足=﹣=，由此可得T==π，解得ω=2，得函数表达式为f（x）=2sin（2x+φ）又∵当x=时取得最大值2，∴2sin（2•+φ）=2，可得+φ=+2kπ（k∈Z）∵，∴取k=0，得φ=﹣故选：A．【点评】本题给出y=Asin（ωx+φ）的部分图象，求函数的表达式．着重考查了三角函数的图象与性质、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换等知识，属于基础题．9．已知M是△ABC内的一点，且，∠BAC=，若△MBC，△MCA，△MAB的面积分别为，x，y，则的最小值为( )A．16 B．18 C．20 D．24【考点】基本不等式；平面向量数量积的运算．【专题】不等式的解法及应用；平面向量及应用．【分析】由，∠BAC=，利用数量积运算可得，即bc=4．利用三角形的面积计算公式可得S△ABC==1．已知△MBC，△MCA，△MAB的面积分别为，x，y．可得，化为x+y=．再利用基本不等式==即可得出．【解答】解：∵，∠BAC=，∴，∴bc=4．∴S△ABC===1．∵△MBC，△MCA，△MAB的面积分别为，x，y．∴，化为x+y=．∴===18，当且仅当y=2x=时取等号．故的最小值为18．故选：B．【点评】本题考查了数量积运算、三角形的面积计算公式、基本不等式等基础知识与基本技能方法，属于中档题．10．从边长为10cm×16cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，做成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为( )A．160 cm3B．144cm3C．72cm3D．12 cm3【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】应用题；函数思想；综合法；导数的综合应用．【分析】设小正方形的变长为xcm（0＜x＜5），可表示出盒子的容积，利用导数可求得其最大值．【解答】解：设小正方形的变长为xcm（0＜x＜5），则盒子的容积V=（10﹣2x）（16﹣2x）x=4x3﹣52x2+160x（0＜x＜5），V'=12x2﹣104x+160=4（3x﹣20）（x﹣2），当0＜x＜2时，V'＞0，当2＜x＜5时，V'＜0，∴x=2时V取得极大值，也为最大值，等于（10﹣4）（16﹣4）×2=144（cm3），故选：B．【点评】本题考查导数在解决实际问题中的应用，考查学生的阅读理解能力及利用数学知识解决问题的能力．11．已知函数g（x）=a﹣x2（≤x≤e，e为自然对数的底数）与h（x）=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值X围是( )A． B． C． D．．故选B．【点评】本题考查了构造函数法求方程的解及参数X围；关键是将已知转化为方程a﹣x2=﹣2lnx⇔﹣a=2lnx﹣x2在上有解．12．已知函数f（x）=，g（x）=x2﹣2x，设a为实数，若存在实数m，使f（m）﹣2g（a）=0，则实数a的取值X围为( )A．∪D．（﹣∞，3]【考点】对数函数图象与性质的综合应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数f（x）的图象，得出值域为，利用存在实数m，使f（m）﹣2g（a）=0，得出2g（a）的值域满足﹣2≤2a2﹣4a≤6，即可．【解答】解：∵g（x）=x2﹣2x，设a为实数，∴2g（a）=2a2﹣4a，a∈R，∵y=2a2﹣4a，a∈R，∴当a=1时，y最小值=﹣2，∵函数f（x）=，f（﹣7）=6，f（e﹣2）=﹣2，∴值域为∵存在实数m，使f（m）﹣2g（a）=0，∴﹣2≤2a2﹣4a≤6，即﹣1≤a≤3，故选；C【点评】本题综合考查了函数的性质，图象，对数学问题的阅读分析转化能力，数形结合的能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上.13．设函数f（x）=，则方程f（x）=的解集为{﹣1，}．【考点】分段函数的应用；函数的零点．【专题】函数的性质及应用．【分析】结合指数函数和对数函数的性质，解方程即可．【解答】解：若x≤0，由f（x）=得f（x）=2x==2﹣1，解得x=﹣1．若x＞0，由f（x）=得f（x）=|log2x|=，即log2x=±，由log2x=，解得x=．由log2x=﹣，解得x==．故方程的解集为{﹣1，}．故答案为：{﹣1，}．【点评】本题主要考查分段函数的应用，利用指数函数和对数函数的性质及运算是解决本题的关键．14．已知cos（﹣φ）=，且|φ|，则tanφ=．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【专题】三角函数的求值．【分析】直接利用诱导公式化简，求出角的大小，然后求解所求函数值．【解答】解：cos（﹣φ）=，可得sinφ=，∵|φ|，∴0＜φ，φ=．tan=．故答案为：．【点评】本题考查三角函数的值的求法，诱导公式的应用，考查计算能力．15．2014年足球世界杯赛上举行升旗仪式．如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位所在直线AB与旗杆所在直线MN共面，在该列的第一个座位A和最后一个座位B测得旗杆顶端N 的仰角分别为60°和45°，若旗杆的高度为30米，则且座位A、B的距离为10（﹣）米．【考点】解三角形的实际应用．【专题】解三角形．【分析】过B作BD∥AM交MN与D，由三角形的边角关系可得AN，进而在△ABN中由正弦定理可得．【解答】解：如图过B作BD∥AM交MN与D，则由题意可得∠NAM=60°，∠NBD=45°，∠ABD=∠CAB=15°，MN=30，∴∠ABN=45°+15°=60°，∠ANB=45°﹣30°，在△AMN中可得AN==，在△ABN中=，∴AB=×sin（45°﹣30°）÷=10（﹣）故答案为：10（﹣）【点评】本题考查解三角形的实际应用，涉及正弦定理的应用和三角形的边角关系，属中档题．16．如果f（x）的定义域为R，对于定义域内的任意x，存在实数a使得f（x+a）=f（﹣x）成立，则称此函数具有“P（a）性质”，给出下列命题：①函数y=sinx具有“P（a）性质”；②若奇函数y=f（x）具有“P（2）性质”，且f（1）=1，则f=1；③若不恒为零的函数y=f（x）同时具有“P（0）性质”和“P（3）性质”，则函数y=f（x）是周期函数；④若函数y=f（x）具有“P（4）性质”，图象关于点（1，0）成中心对称，且在（﹣1，0）上单调递减，则y=f（x）在（﹣2，﹣1）上单调递减，在（1，2）上单调递增；其中正确的是①③④（写出所有正确命题的编号）．【考点】函数的周期性．【专题】函数的性质及应用．【分析】由条件：f（x+a）=f（﹣x）成立可得：函数f（x）的图象关于直线x=对称，是轴对称图形，①根据正弦函数的对称轴即可判断；②由“P（2）性质”得：f（x+2）=f（﹣x），由奇函数的性质推出函数的周期，由周期性求出f的值；③由“P（0）性质”和“P（3）性质”列出等式，即可求出函数的周期；④由“P（4）性质”得f（x+4）=f（﹣x），则f（x）关于x=2对称，即f（2﹣x）=f（2+x），由偶函数的性质和图象关于点（﹣1，0）成中心对称，即可得到答案．【解答】解：若对于定义域内的任意x，存在实数a使得f（x+a）=f（﹣x）成立，则函数f（x）的图象关于直线x=对称，是轴对称图形，①函数y=sinx的对称轴是x=，则具有“P（a）性质”，①正确；②若奇函数y=f（x）具有“P（2）性质”，则f（x+2）=f（﹣x）=﹣f（x），所以f（x+4）=f（x），函数f（x）的周期是4，由f（1）=1得，f=f（4×504﹣1）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣1，②不正确；③∵恒为零的函数y=f（x）同时具有“P（0）性质”和“P（3）性质”，∴f（x）=f（﹣x），f（x+3）=f（﹣x）=f（x），∴f（x）为偶函数，且周期为3，③正确；④∵函数y=f（x）具有“P（4）性质”，则f（x+4）=f（﹣x），∴f（x）关于x=2对称，即f（2﹣x）=f（2+x），∵图象关于点（1，0）成中心对称，∴f（2﹣x）=﹣f（x），即f（2+x）=﹣f（﹣x），则f（x）=f（﹣x），即f（x）为偶函数，∵图象关于点（1，0）成中心对称，且在（﹣1，0）上单调递减，∴图象也关于点（﹣1，0）成中心对称，且在（﹣2，﹣1）上单调递减，根据偶函数的对称得出：在（1，2）上单调递增，④正确，故答案为：①③④．【点评】本题考是新概念的题目，考查函数的奇偶性、周期性、单调性、对称性的综合应用，主要运用抽象函数性质进行推理判断，难度较大，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．命题p：关于x的不等式x2+2ax+4＞0对于一切x∈R恒成立，命题q：函数f（x）=（3﹣2a）x是增函数，若p为真，且q为假，某某数a的取值X围．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】利用“三个二次”的关系和指数函数的单调性对命题p、q进行化简，再根据p为真且q为假，即可求出a的取值X围．【解答】解：①对于命题p：关于x的不等式x2+2ax+4＞0对于一切x∈R恒成立，∴△=4a2﹣16＜0，解得﹣2＜a＜2．②对于命题q：函数f（x）=（3﹣2a）x是增函数，∴3﹣2a＞1，解得a＜1．∵p为真，且q为假，∴，解得1≤a＜2．故a的取值X围是上的最大值、最小值分别是M、m，集合A={x|f（x）=x}．（1）若A={1，2}，且f（0）=2，求M和m的值；（2）若A={1}，且a≥1，记g（a）=M+m，求g（a）的最小值．【考点】二次函数的图象；二次函数的性质．【专题】综合题；数形结合法．【分析】（1）由f（0）=2得到c的值，集合A的方程可变为f（x）﹣x=0，因为A={1，2}，得到1，2是方程的解，根据韦达定理即可求出a和b，把a、b、c代入得到f（x）的解析式，在上根据函数的图象可知m和M的值．（2）由集合A={1}，得到方程f（x）﹣x=0有两个相等的解都为1，根据韦达定理求出a，b，c的关系式，根据a大于等于1，利用二次函数求最值的方法求出在上的m和M，代入g（a）=m+M中得到新的解析式g（a）=9a﹣﹣1，根据g（a）的在，根据函数图象可知，当x=1时，f（x）min=f（1）=1，即m=1；当x=﹣2时，f（x）max=f（﹣2）=10，即M=10．（2）由题意知，方程ax2+（b﹣1）x+c=0有两相等实根x1=x2=1，根据韦达定理得到：，即，∴f（x）=ax2+bx+c=ax2+（1﹣2a）x+a，x∈其对称轴方程为x==1﹣又a≥1，故1﹣∴M=f（﹣2）=9a﹣2m=则g（a）=M+m=9a﹣﹣1又g（a）在区间因为ω=2，所以（Ⅱ）因为，所以，则a2=b2+c2﹣2bccosA，所以，即b2﹣4b+4=0则b=2从而【点评】本题主要考查了向量的数量积的坐标表示，辅助角公式的应用，三角函数的周期公式的应用，由三角函数值求角，及三角形的面积公式．综合的知识比较多，但试题的难度不大．21．已知函数f（x）=mx﹣，g（x）=2lnx．（Ⅰ）当m=1时，判断方程f（x）=g（x）在区间（1，+∞）上有无实根．（Ⅱ）若x∈（1，e]时，不等式f（x）﹣g（x）＜2恒成立，某某数m的取值X围．【考点】函数恒成立问题；根的存在性及根的个数判断．【专题】综合题；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）m=1时，令，求导数，证明h（x）在（0，+∞）上为增函数，利用h（1）=0，可得结论；（Ⅱ）恒成立，即m（x2﹣1）＜2x+2xlnx恒成立，又x2﹣1＞0，则当x∈（1，e]时，恒成立，构造函数，只需m小于G（x）的最小值．【解答】解：（Ⅰ）m=1时，令，…，…∴h（x）在（0，+∞）上为增函数…又h（1）=0，∴f（x）=g（x）在（1，+∞）内无实数根…（Ⅱ）恒成立，即m（x2﹣1）＜2x+2xlnx恒成立，又x2﹣1＞0，则当x∈（1，e]时，恒成立，…令，只需m小于G（x）的最小值，，…∵1＜x≤e，∴lnx＞0，∴当x∈（1，e]时，G′（x）＜0，∴G（x）在（1，e]上单调递减，∴G（x）在（1，e]的最小值为，则m的取值X围是…【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，正确分离参数，构造函数求最值是关键．22．（14分）已知函数f（x）=x2﹣2x+alnx（a∈R）．（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），不等式f（x1）≥mx2恒成立，某某数m 的取值X围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】分类讨论；导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）求当a=2时，函数的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到切线方程；（Ⅱ）求出f（x）的导数，令f'（x）=0，得2x2﹣2x+a=0，对判别式讨论，即当时，当时，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间；（Ⅲ）函数f（x）在（0，+∞）上有两个极值点，由（Ⅱ）可得，不等式f（x1）≥mx2恒成立即为≥m，求得=1﹣x1++2x1lnx1，令h（x）=1﹣x++2xlnx（0＜x＜），求出导数，判断单调性，即可得到h（x）的X围，即可求得m 的X围．【解答】解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=x2﹣2x+2lnx，，则f（1）=﹣1，f'（1）=2，所以切线方程为y+1=2（x﹣1），即为y=2x﹣3．（Ⅱ）（x＞0），令f'（x）=0，得2x2﹣2x+a=0，（1）当△=4﹣8a≤0，即时，f'（x）≥0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（2）当△=4﹣8a＞0且a＞0，即时，由2x2﹣2x+a=0，得，由f'（x）＞0，得或；由f'（x）＜0，得．综上，当时，f（x）的单调递增区间是（0，+∞）；当时，f（x）的单调递增区间是，；单调递减区间是．（Ⅲ）函数f（x）在（0，+∞）上有两个极值点，由（Ⅱ）可得，由f'（x）=0，得2x2﹣2x+a=0，则x1+x2=1，，，由，可得，，==1﹣x1++2x1lnx1，令h（x）=1﹣x++2xlnx（0＜x＜），h′（x）=﹣1﹣+2lnx，由0＜x＜，则﹣1＜x﹣1＜﹣，＜（x﹣1）2＜1，﹣4＜﹣＜﹣1，又2lnx＜0，则h′（x）＜0，即h（x）在（0，）递减，即有h（x）＞h（）=﹣﹣ln2，即＞﹣﹣ln2，即有实数m的取值X围为（﹣∞，﹣﹣ln2]．【点评】本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值，主要考查导数的几何意义，同时考查函数的单调性的运用，以及不等式恒成立问题转化为求函数的最值或X围，属于中档题．。
四川省成都市玉林中学高高二数学下期零诊试题 第8课时 三角函数的图象与性质函数复习资料
第8课时 三角函数的图象与性质函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用【知识点梳理】当x ＝____________________________________时，取最大值1； 当x ＝____________________________________时，取最小值－1. 3．余弦函数y ＝cos x当x ＝__________________________时，取最大值1； 当x ＝__________________________时，取最小值－1.4．y ＝sin x 、y ＝cos x 、y ＝tan x 的对称中心分别为____________、___________、______________.5．y ＝sin x 、y ＝cos x 的对称轴分别为______________和____________，y ＝tan x 没有对称轴．6.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点．如下表所示．7.x 的图象作如下变换得到：（1）相位变换：y ＝sin x y ＝sin(x ＋φ)，把y ＝sin x 图象上所有的点向____(φ>0)或向____(φ<0)平行移动__________个单位．（2）周期变换：y ＝sin (x ＋φ)→y ＝sin(ωx ＋φ)，把y ＝sin(x ＋φ)图象上各点的横坐标____(0<ω<1)或____(ω>1)到原来的________倍(纵坐标不变)．（3）振幅变换：y ＝sin (ωx ＋φ)→y ＝A sin(ωx ＋φ)，把y ＝sin(ωx ＋φ)图象上各点的纵坐标______(A >1)或______(0<A <1)到原来的____倍(横坐标不变)．8．当函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)，x ∈(－∞，＋∞)表示一个振动量时，则____叫做振幅，T ＝________叫做周期，f ＝______叫做频率，________叫做相位，____叫做初相．函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为____________．y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期为________．1．R R {x |x ≠k π＋π2，k ∈Z } [－1,1] [－1,1] R 2π 2π π 奇函数 偶函数奇函数 [2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z ) [2k π＋π2，2k π＋32π](k ∈Z ) [2k π－π，2k π](k ∈Z ) [2k π，2k π＋π](k ∈Z ) (k π－π2，k π＋π2)(k ∈Z )2．2k π＋π2(k ∈Z ) 2k π－π2(k ∈Z ) 3.2k π(k ∈Z ) 2k π＋π(k ∈Z ) 4.(k π，0)(k ∈Z ) ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0(k ∈Z ) ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0(k ∈Z ) 5.x ＝k π＋π2(k ∈Z ) x ＝k π(k ∈Z ) 6.0－φω π2－φω π－φω 3π2－φω 2π－φω 0 π2 π 3π22π 7.(1)左 右|φ| (2)伸长 缩短 1ω (3)伸长 缩短 A 8.A 2πω 1T ωx ＋φ φ 2π|ω| π|ω|【课堂讲解】题型一 求三角函数的定义域例1 求函数y ＝2＋log 12x ＋tan x 的定义域．【解析】解题导引 求三角函数的定义域时，需要转化为三角不等式(组)求解，常常借助于三角函数的图象和周期解决，求交集时可以利用单位圆，对于周期相同的可以先求交集再加周期的整数倍即可．解 要使函数有意义，则0tan 0()2x x x k k Z ππ⎧⎪>⎪≥⎨⎪⎪≠+∈⎩，得04()2x k x k k Z πππ<≤⎧⎪⎨≤≤+∈⎪⎩ 所以函数的定义域为02x x ππ⎧⎫<<≤≤⎨⎬⎩⎭或x 4题型二 三角函数的单调性 例2 求函数2sin()4y x π=-的单调区间．【解析】求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中A ≠0，ω>0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“ωx ＋φ (ω>0)”视为一个“整体”；②A >0 (A <0)时，所列不等式的方向与y ＝sin x (x ∈R )，y ＝cos x (x ∈R )的单调区间对应的不等式方向相同(反)．解 2sin()4y x π=-可看作是由y ＝2sin u 与u ＝π4－x 复合而成的．又∵u ＝π4－x 为减函数，∴由2k π－π2≤u ≤2k π＋π2(k ∈Z )，即2k π－π2≤π4－x ≤2k π＋π2 (k ∈Z )，得－2k π－π4≤x ≤－2k π＋3π4(k ∈Z )，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2k π－π4，－2k π＋3π4(k ∈Z )为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的递减区间． 由2k π＋π2≤u ≤2k π＋3π2 (k ∈Z )，即2k π＋π2≤π4－x ≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得－2k π－5π4≤x ≤－2k π－π4 (k ∈Z )，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2k π－5π4，－2k π－π4(k ∈Z )为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的递增区间．综上可知，y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2k π－5π4，－2k π－π4(k ∈Z )； 递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2k π－π4，－2k π＋3π4 (k ∈Z )． 题型三 三角函数的图象及变换 例3 已知函数2sin(2)3y x π=+.(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明2sin(2)3y x π=+的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到．【解析】 (1)作三角函数图象的基本方法就是五点法，此法注意在作出一个周期上的简图后，应向两边伸展一下，以示整个定义域上的图象；(2)变换法作图象的关键是看x 轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx ＋φ＝ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φω来确定平移单位． 解 (1)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的振幅A ＝2，周期T ＝2π2＝π，初相φ＝π3. (2)令X ＝2x ＋π3，则y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝2sin X . 列表：(3)将y ＝sin x 的图象上每一点的横坐标x 缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin 2x 的图象；再将y ＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位，得到y ＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象；再将y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象． 题型四 求y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例4 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π2，x ∈R )的图象的一部分如图所示．求函数f (x )的解析式．【解析】确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的解析式的步骤：(1)求A ，b .确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m2.(2)求ω.确定函数的周期T ，则ω＝2πT.(3)求参数φ是本题的关键，由特殊点求φ时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点．解 由图象可知A ＝2，T ＝8.∴ω＝2πT ＝2π8＝π4.方法一 由图象过点(1,2)，得2sin(1)24πϕ⨯+=，∴sin()14πϕ+=.∵|φ|<π2，∴φ＝π4，∴()2sin()44f x x ππ=+方法二 ∵点(1,2)对应“五点”中的第二个点．∴π4×1＋φ＝π2，∴φ＝π4，∴()2sin()44f x x ππ=+ 【自主测评】一．选择题1．已知函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为[－1，12]，则b －a 的值不可能是( )A.π3B.2π3 C ．π D.4π3答案：A [画出函数y ＝sin x 的草图(图略)，分析知b －a 的取值范围为[2π3，4π3]，故选A.]2．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻的两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则()4f π的值是( )A ．0B ．1C ．－1 D.π4答案：A3．函数y ＝－x cos x 的部分图象是图中 ( )D4．若函数y ＝sin x ＋f (x )在[－π4，3π4]上单调递增，则函数f (x )可以是( )A ．1B ．cos xC ．sin xD ．－cos xD [因为y ＝sin x －cos x ＝2sin(x －π4)，－π2≤x －π4≤π2，即－π4≤x ≤3π4，满足题意，所以函数f (x )可以是－cos x ．] 5．将函数sin()3y x π=-的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移π3个单位，得到的图象对应的解析式是 ( ) A ．y ＝sin 12xB ．1sin()22y x π=-C ．1sin()26y x π=-D ．sin(2)6y x π=- 6．如图所示的是某函数图象的一部分，则此函数是 ( )A ．sin()6y x π=+B ．sin(2)6y x π=- C ．cos(4)3y x π=- D ．cos(2)6y x π=-7．已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象如图所示，f (π2)＝－23，则f (0)等于( )A ．－23B ．－12 C.23D.128．若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋m (A >0，ω>0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则它的解析式是 ( )A ．4sin(4)6y x π=+B ．2sin(2)23y x π=++C ．2sin(4)23y x π=++D ．2sin(4)26y x π=++5.C6.D7.C8.D 二．填空题9．设点P 是函数f (x )＝sin ωx 的图象C 的一个对称中心，若点P 到图象C 的对称轴的距离的最小值是π8，则f (x )的最小正周期是________．π2 解析 依题意得T 4＝π8，所以最小正周期T ＝π2. 10．函数f (x )＝2sin x4对于任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值为________．4π 解析 由f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)知，f (x 1)、f (x 2)分别为f (x )的最小值和最大值，而当x4＝2k π－π2，即x ＝8k π－2π (k ∈Z )时，f (x )取最小值；而x 4＝2k π＋π2，即x ＝8k π＋2π (k∈Z )时，f (x )取最大值， ∴|x 1－x 2|的最小值为4π.11．定义在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上的函数y ＝6cos x 的图象与y ＝5tan x 的图象的交点为P ，过点P作PP 1⊥x 轴于点P 1，直线PP 1与y ＝sin x 的图象交于点P 2，则线段P 1P 2的长为________． 答案：23解析 线段P 1P 2的长即为sin x 的值，且其中的x 满足6cos x ＝5tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，解得sin x ＝23.所以线段P 1P 2的长为23.12．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ) (ω>0，－π≤φ<π)的图象如图所示，则φ＝________.9π1013．已知函数()3sin()6f x x πω=- (ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则f (x )的取值范围是____________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3三．解答题14．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋π6)＋a (ω>0)与g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．(1)求函数f (x )的最小正周期； (2)求函数f (x )的单调递减区间；(3)当x ∈[0，π2]时，f (x )的最小值为－2，求a 的值．解 (1)∵f (x )和g (x )的对称轴完全相同，∴二者的周期相同，即ω＝2，f (x )＝2sin(2x ＋π6)＋a (3分)∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)当2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ，即k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z )时，函数f (x )单调递减，故函数f (x )的单调递减区间为[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z )．(3)当x ∈[0，π2]时，2x ＋π6∈[π6，7π6]，∴2sin(2·π2＋π6)＋a ＝－2，∴a ＝－1.15．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2，x ∈R )的图象的一部分如下图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈[－6，－23]时，求函数y ＝f (x )＋f (x ＋2)的最大值与最小值及相应的x 的值．解 (1)由图象知A ＝2，∵T ＝2πω＝8，∴ω＝π4.又图象经过点(－1,0)，∴2sin(－π4＋φ)＝0.∵|φ|<π2，∴φ＝π4.∴f (x )＝2sin(π4x ＋π4)．(2)y ＝f (x )＋f (x ＋2)＝2sin(π4x ＋π4)＋2sin(π4x ＋π2＋π4)＝22sin(π4x ＋π2)＝22cos π4x .∵x ∈[－6，－23]，∴－3π2≤π4x ≤－π6.∴当π4x ＝－π6，即x ＝－23时，y ＝f (x )＋f (x ＋2)取得最大值6；当π4x ＝－π，即x ＝－4时，y ＝f (x )＋f (x ＋2)取得最小值－2 2. 16．已知函数f (x )＝sin(π－ωx )·cos ωx ＋cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π， (1)求ω的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数y ＝g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π16上的最小值． 解 (1)f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx ＝sin ωx cos ωx ＋1＋cos 2ωx 2＝12sin2ωx ＋12cos 2ωx ＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4＋12.由于ω>0，依题意得2π2ω＝π，所以ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12，所以g (x )＝f (2x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4＋12.当0≤x ≤π16时，π4≤4x ＋π4≤π2.所以22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4≤1.因此1≤g (x )≤1＋22，所以g (x )在此区间内的最小值为1.。
2021-2022学年四川省广安市高三(上)零诊数学试卷(文科)(学生版+解析版)
2021-2022学年四川省广安市高三（上）零诊数学试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知复数z ＝1+i 3，则其虚部为（ ） A ．﹣1B ．1C ．﹣iD ．i2．（5分）已知A ＝{x |x 2＜4x }，B ＝{x |y ＝lg （x ﹣2）}，则A ∩B ＝（ ） A ．（0，2]B ．（﹣∞，2]C ．（2，+∞）D ．（2，4）3．（5分）《九章算术》中，将底面是等腰直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的体积为（ ）A ．2B ．23C ．1D ．4+6√24．（5分）小明使用密码开保险柜时，忘记了密码的前两位，只记得第一位是0，9中的一个数字，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小明输入一次密码能够成功打开保险柜的概率是（ ） A ．115B ．110C ．15D ．255．（5分）设圆C 1：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝9和圆C 2：（x +2）2+（y +1）2＝4交于A ，B 两点，则线段AB 的垂直平分线所在直线的方程为（ ） A ．3x ﹣2y ﹣1＝0B ．2x ﹣3y +1＝0C ．2x +3y ﹣1＝0D ．3x +2y +4＝06．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的ε为0.02，则输出s 的值等于（ ）A．2−124B．2−125C．2−126D．2−1277．（5分）已知实数a，b满足2×3a﹣3b+1＝0，c＝a+log2（x2﹣2x+3），则下列正确的结论是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞a＞b8．（5分）某部门为了解某平台“直播带货”商品销售反馈情况，随机抽取了A，B，C，D，E，F，G，H这8类商品，收集了这几类商品分别在新规实施前后的消费者评价得分，绘制成如图所示的雷达图，根据统计图判断，下面的叙述一定不正确的是（）A．新规实施后，D类商品的评价得分提升幅度最大B．新规实施后，H，F类商品的评价得分低于新规实施前C．这8类商品评价得分的平均分高于新规实施前的平均分D．有7类商品的评价得分高于新规实施前9．（5分）等差数列{a n }中，a 1+3a 8+a 15＝120，则2a 9﹣a 10的值为（ ） A ．20B ．22C ．24D ．﹣810．（5分）已知圆柱形石材，底面圆半径为√33，高为log 54，若此石材可加工成体积最大的球体，则此球表面积为（ ） A ．4π5B ．4π3C ．4π(log 52)2D ．4π(log 54)211．（5分）已知数列{a n }中，a 1=23，a 2＝2，a n ＝2a n ﹣1+3a n ﹣2（n ≥3，n ∈N *），则（ ） A ．a n =3n−12+(−1)n−16B ．a n =23(2n−1+n −1) C ．a n =43n −23D ．a n ＝2•3n ﹣212．（5分）已知点F 是双曲线E ：x 23−y 2=1的右焦点，O 为坐标原点，过点F 且斜率为1的直线交双曲线于A ，B 两点，若点P 满足|PF →|=1且OP →=λOA →+μOB →，则λ+μ的取值范围为（ ） A ．[1−√22，1+√22]B ．[1−√32，1+√32]C ．[1，2]D ．[1，3]二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知平面向量a →=（m ，3），b →=（1，6），若a →∥b →，则m ＝ ． 14．（5分）已知cos (π4−α)=12，则sin2α＝ ．15．（5分）已知点M （x ，y ）是函数y ＝e x 图象上的一个动点，若对于任意的点M （x ，y ），不等式mx ﹣2y +2≤0恒成立，则实数m ＝ ． 16．（5分）设函数f （x ）=3cosx2+sinx ． ①f （x ）的最小正周期为π； ②f （x ）的最大值为32；③f （x ）在区间(0，2π3)上单调递减； ④∀x ＞0，都有f （x ）＞﹣x 成立； ⑤f （x ）的一个对称中心为（2π，0）．其中真命题有 （请填写真命题的编号）．三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）2021年4月29日11时23分，搭载空间站天和核心舱的长征五号B 遥二运载火箭在我国文昌航天发射场发射成功，这标志着中国空间站在轨组装建造全面展开．某市某中学为了调查学生对航天科普知识了解程度，从高中初中各抽取了50名同学回答航天科普知识问题，结果如下：得分分数段 （70，80]（80，90]（90，100]高中组 20 18 12 初中组251510（1）试估计该校学生回答航天科普知识问题得分超过80分的概率；（2）分别计算高中组和初中组的得分平均值（同一分数段的数据用该段区间的中点值作代表）；若该市将于今年8月份举行航天科普知识大赛，以平均值为依据，该校应派哪个组去参加该市的比赛？18．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知△ABC 的外接圆半径为R ，且cosC ac，cosB bc，cosB ab成等差数列．（1）求角B 的大小；（2）若R ＝1，求a +c 的最大值．19．（12分）已知在四棱锥P ﹣ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝CD ＝2，∠ABC ＝120°，G 是PB 的中点，H 为AC 的中点，△P AD 是等边三角形，平面P AD ⊥平面ABCD ． （1）求证：GH ∥平面P AD ； （2）求四棱锥G ﹣ABCD 的体积．20．（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，P为抛物线C上的动点，Q为P 在动直线x＝t（t＜0）上的投影，当△PQF为等边三角形时，其面积为16√3，过抛物线C的焦点F且斜率为1的直线l与该抛物线相交于A，B两点，点M是线段AB的中点．（1）求抛物线C的方程；（2）若焦点在y轴上的椭圆E经过点M，求椭圆E的短轴长的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=e xlnx，g（x）＝2lnx−x22+x．（1）判断函数f（x）在区间（0，1）上的单调性，并说明理由；（2）求证：当x∈（1，+∞）时，f（x）＞g（x）．（二）选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=1−12ty=1+√32t（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣3＝0．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）若直线l与曲线C交于A、B两点M（1，1），求1|MA|+1|MB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）=|x+32|+|1−2x|（1）解不等式f（x）≤72−x；（2）令f（x）的最小值为M，正数a，b满足a+2b＝M，求1a +1b的最小值．2021-2022学年四川省广安市高三（上）零诊数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
零诊复习 数列 立体几何 三角函数资料
【教学目标】零诊复习三角函数，立体几何，数列 【教学重点】三角函数跟向量结合，二面角，异面直线的距离 【教学难点】 大题的解答 【教学内容】1.诱导公式：奇变偶不变，符号看象限()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭． ()6sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭．2正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质教学标题填写3、三角函数公式：4．正弦定理 ：2sin sin sin a b cR A B C===. 两角和与差的三角函数关系 sin(α±β)=sin α·cos β±cos α·sin β cos(α±β)=cos α·cos β sin α·sin β βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅±=±倍角公式 s in2α=2sin α·cos α cos2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1 =1-2sin 2αααα2tan 1tan 22tan -=5.余弦定理：2222cos a b c bc A =+-; 2222cos b c a ca B =+-;2222cos c a b ab C =+-.三角形面积定理.111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===.6 立体几何知识网络一、数列概念1、数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.2、通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即)(n f a n =.3、递推公式：如果已知数列{}n a 的第一项（或前几项），且任何一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即)(1-=n n a f a 或),(21--=n n n a a f a ，那么这个式子叫做数列{}n a 的递推公式.如数列{}n a 中，12,11+==n n a a a ，其中12+=n n a a 是数列{}n a 的递推公式. 4、数列的前n 项和①n n a a a S +++= 21； ②⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n nn .5、数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.6、数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列. ①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1. ②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1. ③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1 --- ④常数数列:例如:6,6,6,6,…….⑤有界数列:存在正数M 使+∈≤N n M a n ,.⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得M a n >.二、等差数列1、等差数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数d ，这个数列叫做等差数列，常数d 称为等差数列的公差. 2、通项公式与前n 项和公式⑴通项公式d n a a n )1(1-+=，1a 为首项，d 为公差.⑵前n 项和公式2)(1n n a a n S +=或d n n na S n )1(211-+=. 3、等差中项：如果b A a ,,成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项.即：A 是a 与b 的等差中项⇔b a A +=2⇔a ，A ，b 成等差数列. 4、等差数列的判定方法⑴定义法：d a a n n =-+1（+∈N n ，d 是常数）⇔{}n a 是等差数列； ⑵中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )⇔{}n a 是等差数列.5、等差数列的常用性质⑴数列{}n a 是等差数列，则数列{}p a n +、{}n pa （p 是常数）都是等差数列； ⑵在等差数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等差数列，公差为kd .⑶d m n a a m n )(-+=；b an a n +=(a ,b 是常数)；bn an S n +=2(a ,b 是常数，0≠a ) ⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p n m ，则q p n m a a a a +=+；⑸若等差数列{}n a 的前n 项和n S ，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等差数列； ⑹当项数为)(2+∈N n n ，则nn a aS S nd S S 1,+==-奇偶奇偶；当项数为)(12+∈-N n n ，则nn S S a S S n 1,-==-奇偶偶奇. 三、等比数列1、等比数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数)0(≠q q ，这个数列叫做等比数列列，常数q 称为等比数列的公比.2、通项公式与前n 项和公式⑴通项公式：11-=n n q a a ，1a 为首项，q 为公比. ⑵前n 项和公式：①当1=q 时，1na S n =②当1≠q 时，qqa a q q a S n n n --=--=11)1(11. 3、等比中项：如果b G a ,,成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项.即：G 是a 与b 的等差中项⇔a ，A ，b 成等差数列⇒b a G ⋅=2.4、等比数列的判定方法 ⑴定义法：q a a nn =+1（+∈N n ，0≠q 是常数）⇔{}n a 是等比数列； ⑵中项法：221++⋅=n n n a a a (+∈N n )且0≠n a ⇔{}n a 是等比数列.5、等比数列的常用性质⑴数列{}n a 是等比数列，则数列{}n pa 、{}n pa （0≠q 是常数）都是等比数列；⑵在等比数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等比数列，公比为k q .⑶),(+-∈⋅=N m n q a a m n m n .⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p n m ，则q p n m a a a a ⋅=⋅；⑸若等比数列{}n a 的前n 项和n S ，则k S 、k k S S -2、k k S S 23-、k k S S 34-是等比数列. 1、由导数的定义可知，求函数)(x f y =的导数的一般方法是： （1）.求函数的改变量)()(x f d x f y -+=∆。
高中高三数学零诊(10月)考试试题 理(含解析)-人教版高三全册数学试题
某某省某某市普通高中2016届高三数学零诊（10月）考试试题 理（含解析）（考试时间：120分钟 满分：150分）第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
）1. 设集合A=｛1，4，5｝，若a ∈A,5-a ∈A ，那么a 的值为 ( ) A.1 B.4 C.1或4 D.0 【答案】C考点：元素与集合间的关系. 2. 在复平面内,复数12iz i-=-对应的点位于（ ） A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】试题分析：()22121222i ii z i i i i i--===-=+--,在复平面内复数z 对应的点为()2,1,在第一象限.故A 正确.考点：1复数的运算;2复数与复平面内的点一一对应. 3. 设向量a =(x-1,2), b =(2,1),则a //b 的充要条件是 ( )A.x=-12B.x= -1C.x= 5D.x=0 【答案】C 【解析】试题分析：由a //b 可得()11220x -⨯-⨯=,解得5x =.故C 正确.考点：1向量共线;2充分必要条件.4. 锐角三角形ABC的面积是12，AB=1，BC= 2，则AC=( )A.5B. 5C. 2D.1【答案】D【解析】试题分析：三角形面积111sin12sin222S AB BC B B=⋅⋅=⨯⨯⨯=解得2sin2B=,因为B为锐角,所以4Bπ=.22222cos1221212AC AB BC AB BC B=+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=,1AC∴=.故D正确. 考点：余弦定理.5. 从1,2,3,4这四个数字中一次随机取两个，则取出的这两个数字之和为偶数的概率是（）A.16B.13C.12D.15【答案】B考点：古典概型概率.6. 设x,y满足约束条件21x-y 1yx y≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则z=3x+y的最大值为m, 最小值为n ,则m+n=（）A.14 B.10 C.12 D.2【答案】B【解析】试题分析：作出可行域及目标函数线:3l y x z=-+,如图:平移目标函数线使之经过可行域,当目标函数线过点()1,2C -时纵截距最小此时z 也最小;当目标函数线过点()3,2B 时纵截距最大,此时z 也最大.所以max 33211z m ==⨯+=,()min 3121z n ==⨯-+=-.10m n ∴+=.故B 正确.考点：线性规划.7. 如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）A.34B.55C.78D.89 【答案】B 【解析】试题分析：根据框图的循环结构依次可得1,1,112x y z ===+=;1,2,123x y z ===+=;2,3,235x y z ===+=;3,5,358x y z ===+=;5,8,5813x y z ===+=;8,13,81321x y z ===+=;13,21,132134x y z ===+=;21,34,213455x y z ===+=,跳出循环,输出55z =.故B 正确.考点：程序框图.8. 函数f (x)=e x·cosx 的图像在点(0,f(0))处的切线的倾斜角为 （ ） A.0 B. 4πC.1 D. 2π 【答案】B考点：导数的几何意义.9.某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积是( )2222 【答案】A 【解析】试题分析：此四面体是底面为直角三角形有一条侧棱垂直于底面的三棱锥.所以此四面体的表面积为111143445442324622222S =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯=+.故A 正确. 考点：三视图.10. 已知点A(0,2)，B(2,0)．若点C 在函数y ＝x 2的图象上，则使得△ABC 的面积为2的点C 的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】A 【解析】考点：1直线方程;2点到线的距离.11. 如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC=AC ，AC 1⊥A 1B,M,N 分别是A 1B 1,AB 的中点，给出下列结论：①C 1M ⊥平面A 1ABB 1,②A 1B ⊥NB 1 ,③平面AMC 1//平面B 1 , 其中正确结论的个数为 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】D 【解析】试题分析：①由侧棱1AA ⊥底面111A B C 可得11AA C M ⊥.由1111AC B C =及M 为11A B 中点可得111C M A B ⊥,1111AA A B A =,1C M ∴⊥面11A ABB ,所以①正确;②由1C M ⊥面11A ABB 可得11C M A B ⊥,又已知11AC A B ⊥,111C MAC C =,1A B ∴⊥面1AMC .从而可得1A B AM ⊥,又易证得1AMNB ,所以11A B NB ⊥.所以②正确;③易证得1AM NB ,1MC CN ,从而根据面面平行的判定定理可证得面1AMC 面1CNB ,所以③正确. 综上可得D 正确.考点：1线线垂直,线面垂直;2面面平行.12. 设函数32231(0)()e (x>0)ax x x x f x ⎧++≤⎪=⎨⎪⎩，在上的最大值为2，则实数a 的取值X 围是( )【答案】D 【解析】试题分析：0x ≤时()32231f x x x =++,()()2'6661f x x x x x =+=+,1x ∴<-时()'0f x >;10x -<<时()'0f x <.所以()f x 在(),1-∞-上单调递增,在()1,0-上单调递减.所以[]2,0-上()()max 12f x f =-=. 当0x >时()ax f x e =,0a =时()12f x =<成立;0a >时()ax f x e =在(]0,2上单调递增,所以()()2max 2a f x f e ==,由题意可得212ln 22a e a ≤⇒≤,即0ln 2a <≤.当0a <时()axf x e =在(]0,2上单调递减,所以()()01f x f <=,符合题意.综上可得1ln 22a ≤.故D 正确. 考点：1分段函数的值域;2用导数求最值.第II 卷(非选择题 共90分)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上。
成都市2019届零诊备考复习专题(6)解析几何学生版
2
1
点 A .若 FAC 1200 ，则圆的方程为_____________ . 变式： 已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上， 点 M (0, 5) 在圆 C 上， 且圆心到直线 2 x y 0 的距离为 则圆 C 的方程为_____________ . 2、点 M ( x0 , y0 ) 与圆 ( x a) ( y b) r (r 0) 的位置关系：
2 2
）. B． x 1 y 1 1
2 2
C．
x 1 y 1
2
2
2
D． x 1 y 1 2
2 2
变式：在平面直角坐标系 xoy 中， A(12,0), B(0,6) ，点 P 在圆 O : x y 50 上,若 PA PB 20 ，
成都市 2016 级高中毕业班摸底测试复习专题 （六）解析几何 一、直线与方程 1、倾斜角与斜率：已知直线上两点 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 )( x1 x2 ) ，则 k tan ____________ 2、直线方程： （1）点斜式：已知直线 l 经过点 P 0 ( x0 , y0 ) ，且斜率为 k ，则直线的方程为：____________； （2）斜截式：已知直线 l 与 y 轴交点为 (0, b) ，则直线的方程为：____________； （3）两点式：已知直线上两点 P 1 ( x1 , y1 )、P 2 ( x2 , y2 )( x1 x2 , y1 y2 ) ，则通过这两点的直线方程为 ；
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零诊复习之解三角形
【学法导航】
处理三角形问题，必须结合三角形全等的判定定理理解斜三角形的四类基本可解型，特别要多角度（几何作图，三角函数定义，正、余弦定理，勾股定理等角度）去理解“边边角”型问题可能有两解、一解、无解的三种情况，根据已知条件判断解的情况，并能正确求解 1.三角形中的边角关系
三角形内角和等于180°；三角形中任意两边之和大小第三边，任意两边之差小于第三边； 三角形中大边对大角，小边对小角；
正弦定理中,a =2R ·sin A ,b =2R ·sin B ,c =2R ·sin C ，其中R 是△ABC 外接圆半径.
在余弦定理中:2bc cos A =2
2
2
a c
b -+. 三角形的面积公式有:S =2
1ah ,S =
2
1ab sin C ,S =))(()(c P b P a P P --⋅-其中，h 是BC 边上
高，P 是半周长.
2.利用正、余弦定理及三角形面积公式等解任意三角形 已知两角及一边，求其它边角，常选用正弦定理.
已知两边及其中一边的对角，求另一边的对角，常选用正弦定理. 已知三边，求三个角，常选用余弦定理.
已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角，常选用余弦定理. 已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，常选用正弦定理. 3.利用正、余弦定理判断三角形的形状 常用方法是：①化边为角；②化角为边. 4.解斜三角形在实际中的运用
5．三角形的面积公式： （1）△＝
21ah a ＝
2
1bh b ＝
2
1ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）；
（2）△＝2
1ab sin C ＝
2
1bc sin A ＝
2
1ac sin B ；
（3）△＝
)
sin(2sin sin 2
C B C B a +＝
)
sin(2sin sin 2
A C A C b +＝
)
sin(2sin sin 2
B A B A c +；
（4）△＝2R 2
sin A sin B sin C 。
（R 为外接圆半径）
（5）△＝
R
abc 4；（6）△＝
))()((c s b s a s s ---；⎪⎭
⎫ ⎝⎛++=)(21c b a s ；
6.三角形中的三角变换
三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。
（1）角的变换
因为在△ABC 中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)=－cosC ；tan(A+B)=－tanC 。
2
sin
2
cos
,2
cos
2
sin
C B A C B A =+=+；
（2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。
r 为三角形内切圆半径，p 为周长之半
（3）在△ABC 中，熟记并会证明：∠A，∠B ，∠C 成等差数列的充分必要条件是∠B= 60°；△ABC 是正三角形的充分必要条件是∠A ，∠B ，∠C 成等差数列且a ，b ，c 成等比数列 【典型例题】
1. 正弦定理与余弦定理
例1．已知∆ABC 中，∠A 0
60=
，a =
求sin sin sin a b c
A B C ++++
[补充练习]已知∆ABC 中，sin :sin :sin 1:2:3A B C =，求::a b c （答案：1：2：3） （归纳总结）：
例2．在∆ABC
中，已知=a
c 0
60=B ，求b 及A
例3．在∆ABC 中，已知134.6=a cm ，87.8=b cm ，161.7=c cm ，解三角形
例4.在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，2
2
74sin
cos 2
2B C A +-=
.
(1)求角A 的度数； (2)若a =3，b +c =3，求b 和c 的值.
例5.在△ABC 中,已知3=a ,b =2,B =45°,求A 、C 及c .
分析：这是一个已知两边及一边的对角解三角形的问题，可用正弦定理求解，但先要判定△ABC 是否有解，有几解，亦可用余弦定理求解.
3.三角形中的三角恒等变换问题
例6．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边长，已知a 、b 、c 成等比数列，且
a 2－c 2=ac －bc ，求∠A 的大小及c
B
b sin 的值。
例7．在△ABC 中，已知A 、B 、C 成等差数列，求2tan
2
tan
32
tan
2
tan
C A C A ++的
值。
课堂练习
1. 在锐角△ABC 中，求证：
C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++
2. 设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =． （1）求B 的大小；（2）求cos sin A C +的取值范围．
3. 在△ABC 中,若a 3+b 3-c 3=c 2·(a+b-c ),sin A ·sin B =4
3,试判定△ABC 的形状.
4. 已知△ABC 的周长为6，,,BC C A AB
成等比数列，求
（1）△ABC 的面积S 的最大值；
（2）BA BC
的取值范围．。