分式的基本性质及运算复习讲义
分式的概念及基本性质 分式的运算
D. 无法确定
C. x y x y D. x y x y
x y x y
x y x y
x2 1
8. 如果分式
的值为零，那么 x 等于（ ）
x
A. －1 或 1
B. 1
C. 1
D. 1 或 2
9. 小明从家到学校每小时走 a 千米，从学校返回家里每小时走 b 千米，则他往返家里和学校的平均速度
2 a
，其中
a
2
3x （3） (
x ) x 2 4 ，其中 x 4
x2 x2 x
四. 阅读理解题 1. 请你阅读下列计算过程，再回答所提出的问题。
x3 3 x2 1 1 x
6
x3 3
A
(x 1)(x 1) x 1
x 3 3(x 1)
a 1
(x y) 5
A.
(x y) 5
2x y
B.
2x y
(x y)2
C.
x2 y2
x2 y2
D.
x2 y2
2 xy
6. 分式
中 x、y 都扩大 2 倍，那么分式的值（ ）
x y
A. 变为原来的 2 倍 7. 下列各式正确的是（
B. 不变 ）
A. x y x y B. x y x y
4x 3
（1）
3x
x 1
（2）
x2
2| x|
（3）
(x 1)(x 2)
1. 填空。
（1） x xy ( y 0)
x1 (
)
（2） 3xy (
)
分式数学知识点归纳总结
分式数学知识点归纳总结一、分式的定义和基本性质1. 分式是由分子和分母组成的数，分子和分母都是整数，并且分母不为零。
2. 分式可以表示有理数，有理数包括整数和分数。
3. 分式可以看作是代数式的特殊形式，其中分母不为零。
4. 分式的分子和分母可以约分，即分子和分母同时除以一个相同的非零数。
5. 分式可以相加、相减、相乘和相除，也可以化简和合并。
6. 分式的大小比较可以用分式的加减乘除性质进行比较。
二、分式的化简和合并1. 化简分式：化简分式是指对分式的分子和分母进行约分，使分数的值保持不变的基础上，得到最简分数。
2. 合并分式：合并分式是指将两个分式相加或者相减，得到一个最简分式。
三、分式的加减乘除性质1. 分式的加法性质：分式相加时，首先要找到它们的公分母，然后将分子相加，分母保持不变。
2. 分式的减法性质：分式相减时，首先要找到它们的公分母，然后将分子相减，分母保持不变。
3. 分式的乘法性质：分式相乘时，分子相乘，分母相乘。
4. 分式的除法性质：分式相除时，将除数分子分母互换，再将所得的分式作为乘数分式进行运算。
四、分式的大小比较1. 分式的大小比较：分式大小的比较可以用分式的加减乘除性质进行比较。
对于两个分式a/b和c/d来说，若a/b<c/d，则ad<bc；若a/b>c/d，则ad>bc。
2. 分式的大小比较练习：比较分式大小时，可以将分式通分进行比较，也可以将分式转化为小数进行比较。
五、分式方程的解法1. 分式方程的定义：分式方程是含有分式的代数方程。
2. 分式方程的解法：对于分式方程的解法，首先要通过分式的化简和合并，将分式方程化为最简分式方程，然后可以通过分式方程的乘法性质和除法性质进行求解。
六、分式在实际应用中的问题求解1. 分式在应用问题中的运用：分式在实际生活中有着广泛的应用，包括比例、百分数、利率、比率、工程问题等。
2. 分式应用问题求解：在实际应用问题中，我们可以将问题中的条件转化为分式形式，然后通过分式的运算法则进行求解。
分式及分式的基本性质
2、分式有意义的条件：当B≠0时，分式有意义）。
3、分式的值为零的条件：当A=0，B≠0时，分式值为0。
4、有理式：整式和分式统称为有理式。
5、分式的基本性质：分式的分子、分母同乘以或除以一个不为0的整式，分式的值不变。
注：（1）约分和通分的依据都是分式的基本性质
（2）分式的约分和通分都是互逆运算过程。
①约分——最简分式②通分——最简公分母
6、分式的约分步骤：
（1）如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式，将它们的公因式约去。
（2）分式的分子和分母都是多项式，将分子和分母分别分解因式，再将公因式约去。
注：公因式的提取方法：系数取分子和分母系数的最大公约数，字母取分子和分母共有的字母，指数取公共字母的最小指数，即为它们的公因式。
7、最简分式：一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式。约分时，一般将一个分式化为最简分式。
8、分式的通分步骤：
先求出所有分式分母的最简公分母，再将所有分式的分母变为最简公分母。同时各分式按照分母所扩大的倍数，相应扩大各自的分子。
注：最简公分母的确定方法：
系数取各因式系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂及单独字母的幂的乘积。
完整分式讲义
分式1． 分式的概念：形如BA(A,B 是整式，且B 中含有字母)。
要使分式有意义，作为分母的整式B 的值不能为0，即B ≠0。
要使分式的值为0，只能分子的值为0，同时保证分母的值不为0，即A=0，且B ≠0。
1、式子①x 2 ②5y x + ③a -21 ④1-πx中，是分式的有（ ）A ．①② B. ③④ C. ①③ D.①②③④2、分式13-+x ax 中，当a x -=时，下列结论正确的是（ ）A ．分式的值为零 B.分式无意义C. 若31-≠a 时,分式的值为零D. 若31≠a 时,分式的值为零3. 若分式1-x x无意义,则x 的值是( ) A. 0 B. 1 C. -1 D.1±4.如果分式x 211-的值为负数,则的x 取值范围是( )A.21≤xB.21<xC.21≥xD.21>x2． 分式的基本性质：分式的分子，分母同时乘以，或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。
即B A =CB C A ⋅⋅ ，B A =CB C A ÷÷ （C ≠0） 1．不改变分式的值，使分式115101139x yx y -+的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（• ） A ．10 B ．9 C ．45 D ．902．下列等式：①()a b c --=-a b c -;②x y x -+-=x y x -;③a b c -+=-a bc+;④m n m --=-m n m-中,成立的是（ ）A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④3．不改变分式2323523x xx x -+-+-的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（• ）A ．2332523x x x x +++-B ．2332523x x x x -++-C ．2332523x x x x +--+D ．2332523x x x x ---+4．对于分式11-x ，永远成立的是（ ） A ．1211+=-x x B. 11112-+=-x x x C. 2)1(111--=-x x x D. 3111--=-x x 5．下列各分式正确的是( )A.22a b a b =B. b a b a b a +=++22C. a a a a -=-+-11122D. xx xy y x 2168432=--3． 最简分式及分式的约分与通分：1）最简分式:分子分母没有公因式的分式称之为最简分式。
分式讲义
一、知识框架 ：二、知识概念：1.分式：形如A B，A B 、是整式，B 中含有字母且B 不等于0的整式叫做分式.其中A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母.2.分式有意义的条件：分母不等于0.3.分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变.4.约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分.5.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分.6.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简分式.7.分式的四则运算：⑴同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.用字母表示为：a b a b c c c ±±= ⑵异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为：a c ad cb b d bd±±= ⑶分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为：a c ac b d bd⨯= ⑷分式的除法法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.用字母表示为：a c a d ad b d b c bc÷=⨯= ⑸分式的乘方法则：分子、分母分别乘方.用字母表示为：n n n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭8.整数指数幂：⑴m n m n a a a+⨯=（m n 、是正整数） ⑵()n m mn a a =（m n 、是正整数）⑶()nn n ab a b =（n 是正整数） ⑷m n m n a a a -÷=（0a ≠，m n 、是正整数，m n >）⑸n nna ab b⎛⎫=⎪⎝⎭（n是正整数）⑹1nnaa-=（0a≠，n是正整数）9.分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.10.分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).。
分式的相关知识点总结
分式的相关知识点总结一、分式的定义和性质1. 分式的定义分式是指两个整数或者两个代数式的比值的表示形式.一般为 a/b 的形式，其中 a 和 b 都是整数，b 不等于 0。
2. 分式的性质(1) 分式的分子和分母互质：如果分数 a/b 已经约分为最简分数，那么 a 和 b 一定是互质的，即它们的最大公因数是 1。
(2) 分母为 1 的分数：如果分数的分母为 1，那就是一个整数，可以简单地把它看作一个整数。
(3) 分式的相等：分数 a/b 和 c/d 相等，当且仅当 ad = bc。
两个分式相等时，它们表示的比值是相等的。
二、分式的运算1. 分式的加法和减法(1) 加法和减法的分母变换：对于不同分母的分数，需要将它们的分母变为相同的数，然后再进行加法或减法运算。
(2) 加法和减法的运算规则：对于相同的分母，直接将分子相加或相减，分母保持不变。
2. 分式的乘法和除法(1) 乘法法则：两个分式相乘时，分子与分子相乘，分母与分母相乘，即 (a/b) * (c/d) = (a*c)/(b*d)。
(2) 除法法则：两个分式相除时，分子与分母相乘，分母与分子相乘，即 (a/b) / (c/d) = (a*d)/(b*c)。
三、分式的化简1. 分式的约分分式约分是指将分子与分母的公因数约掉，使其成为最简分式.一般采用求最大公因数的方法进行约分。
2. 分式的通分不同分母的分数，通分是指将它们的分母都变为相同的数，通常采用最小公倍数的方法进行通分。
3. 分式的化简原则(1) 分式中的公因式可以约掉；(2) 同等分母的分式相加或相减时，只需对各分子分别进行加减。
四、分式的应用1. 代数方程中的应用在解代数方程时，常常会遇到分式方程，需要对其进行分式的加减乘除，并化简以便求解。
2. 几何问题中的应用在几何中，常常会涉及到对分式的加减乘除和化简操作，特别是在比例、相似三角形、面积等方面的计算中。
3. 物理问题中的应用在物理中，分式广泛应用于密度、速度、功率等问题的计算中，需要进行分式的加减乘除以及化简操作。
分式知识点总结及复习汇总
分式知识点总结及复习汇总一、分式的定义和性质：分式是形如$\frac{a}{b}$的数，其中$a$为分子，$b$为分母，$a$和$b$都为整数且$b \neq 0$。
分式可以表示一个数，也可以表示一个运算过程。
分式可以进行四则运算，包括加减乘除。
分式的相反数：$\frac{a}{b}$的相反数为$-\frac{a}{b}$。
分式的倒数：$\frac{a}{b}$的倒数为$\frac{b}{a}$，其中$a、b$不为零。
分式的化简：将分式化简为最简分式，即分子和分母的最大公约数为1的形式。
二、分式的运算法则：1.加法：两个分式相加，分母相同，分子相加。
2.减法：两个分式相减，分母相同，分子相减。
3.乘法：两个分式相乘，分子相乘，分母相乘。
4.除法：一个分式除以另一个分式，被除数乘以除数的倒数。
三、分式的化简方法：1.求最大公约数：分式的分子和分母同时除以它们的最大公约数。
2.因式分解：将分式的分子和分母进行因式分解，然后约去相同的因式。
四、分式与整式的相互转化：1.分式转化为整式：将分式中的分子除以分母，得到的结果为整数。
2.整式转化为分式：将一个整数写成分子，分母为1的形式。
五、分式的应用：1.比例问题：可以利用分式来表示两个比例的关系。
2.部分与整体的关系：可以用分式表示部分与整体的关系。
3.商业问题：例如打折、利润等问题，可以用分式来表示计算。
4.几何问题：例如面积、体积等问题，可以用分式来表示计算。
六、分式的简化步骤：1.因式分解。
2.分子、分母约去最大公约数。
3.整理化简结果。
七、分式的应用举例：1.甲乙两人分别在一段时间内完成一件工作，甲用时5小时完成，乙用时8小时完成，那么甲乙两人一起完成这件工作需要多少小时？解：甲和乙一起完成工作的效率是每小时$\frac{1}{5}$和$\frac{1}{8}$，所以他们一起完成工作的效率是$\frac{1}{5}+\frac{1}{8}=\frac{13}{40}$。
分式的基本性质及运算复习讲义
分式的基本性质及运算复习班级 姓名一、知识梳理1、一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么代数式A B叫做 。
2、分式的 时，分式有意义；分式的 时，分式的值为0。
3、用具体的数值代替分式中的字母，按照分式的运算关系计算，所得的结果就是 。
4、分式的基本性质：分式的分子和分母都乘（或除以） 的整式， 分式的值 。
5、根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母分别除以它们的 ，叫做分式的约分。
6、根据分式的基本性质，把几个异分母的分式化成同分母的分式，叫做分式的 。
7、同分母的分式相加减，分母 ，把分子 ；异分母的分式相加减，先 ， 再 。
8、分式乘分式,用 的积做积的分子，用 的积做积的分母； 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相 。
9、分式的加、减、乘、除混合运算的顺序是：先 ，后 ，如果有括号，先进行括号内的运算。
二、基础练习1、下列各式中，24,2),(31,23,2,312---+-x x b a y x m x π，分式有 。
2、当x 时，分式31-+x x 有意义；当x 时，分式32-x x 无意义； 当x 时，分式392--x x 的值为零。
3、填空：（1）ba ab b a 2)( =+； （2）x x xy x )(22 =+； （3）222)(xy y xy = ； （4）21()a a ac ++= ； （5）()n mn m m =+2 ； （6）()()222x y x y x y +=≠-；4、若分式1232-a a 的值为负数，则a 的取值范围为 。
5、请你写一个关于x 的分式，使此分式当3=x 时，它的值为2。
6、分式11+x 、12x -的最简公分母是 。
7、当2a =-时，求分式43a a+的值； 8、约分：12122++-a a a9、计算：（1）4233m m +-- （2）1122a a -+-（3）22222x x x x x+-⋅- （4）2222222x y x xy y x y x y -++⋅+-三、例题选讲.例1、（1）已知2-=x 时，分式ax b x +-无意义，4=x 时，分式的值为零， 则a b += ；（2）若把分式22yx y x -+中的字母x 和y 同时变为原来的3倍，分式的值 ； （3）当整数m = 时，分式14+m 的值是整数。
专题 分式性质与运算(知识点精讲)(学生版)
专题08分式性质与运算重难突破知识点一分式有意义及值为0的条件1、分式的定义一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A B 叫做分式，其中A 是分式的分子，B 是分式的分母．注意：三要素（1）形如A B 的式子；（2）A ，B 均为整式；（3）分母B 中含有字母.2、分式有意义、无意义的条件（1）当分母0B =时，分式A B无意义；（2）当分母0B ≠时，分式A B 有意义．注意：①分母不为0，并不是说分母中的字母不能为0，而是表示分母的整式的值不能为0；②分式是否有意义，只与分式的分母是否为0有关，而与分式的分子的值是否为0无关.3、分式的值（1）分式值为0：分子为0且分母不为0，即00A B =⎧⎨≠⎩；（2）分式值为正：分子分母同号，即00A B >⎧⎨>⎩或00A B <⎧⎨<⎩；（3）分式值为负：分子分母异号，即00A B >⎧⎨<⎩或00A B <⎧⎨>⎩．注意：①分式的值为0必须同时满足两个条件：分子的值为0；分母的值不为0.②必须在分式有意义的前提下，才能谈分式的值是多少，也就是说，必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值是否等于0.典例1（2020•姑苏区一模）若分式3x x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围为()A ．3x >B ．0x ≠且3x ≠C ．0x D ．3x ≠典例2（2021春•罗湖区校级期中）已知分式2(3)(1)1x x x -+-的值为0，那么x 的值是()A ．1-B ．3C ．1D ．3或1-知识点二分式基本性质1、分式的基本性质分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．用字母表示：a a m b b m ⋅=⋅，a a m b b m÷=÷（0m ≠）其中m 是不等于0的整式．注意：（1）分式的符号法则将分式、分子、分母的符号改变其中的任意两个，其结果不变.速记口诀：分式变形用性质，变形牢记要两同；分子、分母同乘除，非零整式且相同.（2）分式的基本性质是分式约分和通分的依据.2、分式的约分根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．当分式的分子和分母没有公因式时，这样的分式称为最简分式．约分通常要把分式化为最简分式或整式．典例1（2021春•光明区期中）若把分式3xy x y -中的x 和y 都扩大为原来的5倍，那么分式的值()A ．扩大为原来的5倍B ．扩大为原来的10倍C ．不变D ．缩小为原来的15倍典例2（2020春•铜仁市期末）下列各式，正确的是()A ．632x x x=B ．a x a b x b +=+C ．1()x y x y x y -+=-≠-D ．22a b a b a b+=++知识点三分式的运算1、分式的乘除法（1）乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母．用式子可以表示为：b d bd a c ac⋅=．（2）除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．用式子可以表示为：b d b c bc a c a d ad÷=⋅=．（3）乘方法则：分式的乘方要把分子、分母分别乘方．用式子可以表示为：(n n n b b a a =（n 是正整数，b ≠0）2、分式的通分（1）根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分.（2）通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
分式知识点总结及复习
分式知识点总结及复习分式是数学中一个重要的概念，也是许多人在学习数学时感到困惑的内容之一。
本文将对分式的基本概念、运算法则以及应用进行总结与复习，帮助读者更好地理解和掌握分式知识。
一、基本概念分式由分子和分母两部分组成，分子表示分数的被除数，分母表示分数的除数。
分数的值可以是整数、小数或者其他分数。
下面是分式的基本概念：1. 真分数：分子小于分母的分数称为真分数，例如1/2、3/4等。
2. 假分数：分子大于或等于分母的分数称为假分数，例如5/2、7/3等。
3. 常分数：分子为0的分数称为常分数，其值为0。
二、分式的四则运算分式的四则运算包括加法、减法、乘法和除法。
下面是各种运算的规则和注意事项：1. 加法与减法：- 分式加减法的前提是分母相同，如果分母不同，则需要找到它们的最小公倍数来进行通分。
- 计算分子时，加法取分子相加，减法取分子相减。
- 结果的分子不一定能被整除，可能需要进行约分。
2. 乘法：- 分式乘法直接将分子相乘，分母相乘。
- 结果的分子和分母都需要化简，即约分。
3. 除法：- 分式除法可以转化为乘法求逆的问题，即将被除数的分子和除数的分母互换位置，然后进行乘法运算。
- 运算结束后需化简结果。
三、分式的应用分式在实际问题中有广泛的应用，以下是几个常见的应用场景：1. 比例问题：当我们需要比较两个量的大小、计算比例或者解决比例问题时，常常会使用到分式。
2. 混合运算：在一些复杂的算术题中，可能会出现含有分式的运算，我们需要根据题目要求进行正确的计算和化简。
3. 高等数学中的应用：在微积分、线性代数等高等数学中，分式经常用于表示函数、方程组等，是一种重要的数学工具。
四、分式知识点的复习为了更好地巩固分式的知识，建议读者可以通过以下方法进行复习：1. 多做练习题：选择一些分数相关的练习题，分情况进行分类练习，逐步提高解题能力。
2. 总结归纳：将每个知识点进行总结和分类，形成自己的知识框架，并根据实际问题进行思考和应用。
(完整版)第十五章分式知识点归纳与整理
第十五章分式知识点归纳与整理§15.1分式1.分式的概念形如BA(A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)的式子，叫做分式.其中 A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母 整式和分式统称有理式。
特别注意：1π不是分式。
2.分式的基本性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
MB MA MB M A B A ÷÷=••=（其中0,0≠≠B M ，且M B A ,,均表示的是整式） 【分式的约分】首先要找出分子与分母的公因式，再把分子与分母的公因式约去。
【分式的通分】通分的关键是确定几个分式的公分母，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母（叫做最简公分母）。
§15.2 分式的运算1.分式的乘除【乘法法则】分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
注意：如果得到的不是最简分式，应该通过约分进行化简。
【除法法则】分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
2.分式的加减法同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母的分式想加减，先通分，变为同分母的分式，再把分子相加减。
3.分式的乘方【乘方法则】n n nb a b a =⎪⎭⎫⎝⎛【零指数幂】任何不等于零的数的零次幂都等于1。
【负整指数幂】任何不等于零的数的－N （N 为正整数）次幂，等于这个数的N 次幂的倒数。
【正整数指数幂运算性质】注意：这些性质在整数指数幂中同样适用。
4.科学记数法：把一个数表示成的形式10n a ⨯（其中101<≤a ，n 是整数）的记数方法叫做科学记数法。
（1）用科学记数法表示绝对值大于1的数时，应当表示为10n a ⨯的形式, 其中1≤︱a ︱＜10,n 为原整数部分的位数减1；（2）用科学记数法表示绝对值小于1的数时,则可表示为10n a -⨯的形式，其中n 为原数第1个不为0的数字前面所有0的个数(包括小数点前面的那个0)，1≤︱a ︱＜10。
分式(基础)知识讲解
分式(基础)知识讲解分式的概念和性质（基础）研究目标】1.理解分式的概念，能够求出使分式有意义、分式无意义、分式值为零的条件。
2.掌握分式的基本性质，并能利用分式的基本性质将分式恒等变形，进而进行条件计算。
要点梳理】要点一、分式的概念分式是由两个整式相除得到的商式，其中分母中含有字母。
分数是整式，不是分式。
分数的分子、分母中都不含字母。
分式与分数是相互联系的，分数是分式中字母取特定值后的特殊情况。
分母中的“字母”是表示不同数的“字母”，但π表示圆周率，是一个常数，不是字母，如a/πx^2y是整式而不能当作分式。
要点二、分式有意义、无意义或等于零的条件1.分式有意义的条件：分母不等于零。
2.分式无意义的条件：分母等于零。
3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零。
要点三、分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于零的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质。
用式子表示是：A/M ÷ B/M = A/B，其中M是不等于零的整式。
在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化。
要点四、分式的变号法则在变形后，字母x的取值范围可能变大了。
对于分式中的分子、分母和分式本身的符号，只要改变其中任何两个，分式的值不变；但改变其中任何一个或三个，分式的值会变成原分式的相反数。
要点解释：根据分式的基本性质，我们可以得出上述结论。
同时，根据有理数除法的符号法则，我们可以知道，分式与分子、分母同号，结果为正；异号，结果为负。
分式的符号法则在分式的运算中非常重要。
要点五、分式的约分和最简分式与分数的约分类似，我们可以利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。
如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式。
要点解释：约分的实质是将一个分式化成最简分式，即约分后，分式的分子与分母再没有公因式。
分式复习知识点总结
分式复习知识点总结一、分式的定义分式是指由一个整数或多项式作为分子，一个非零整数或多项式作为分母组成的表达式。
通常表示为a/b，其中a为分子，b为分母，a和b分别为整数或多项式，且b ≠ 0。
分式可以表示有理数，它可以是一个整数、分数或带分数。
二、分式的性质1. 分式的值可以是正数、负数或零，取决于分子和分母的符号。
2. 分式的分子和分母都可以约分，约分后的分式与原分式等值。
3. 分式中的分母不能为0，因为0不能做除数。
4. 分式可以化简为最简形式，即分子和分母没有公因数。
5. 分式可以进行加、减、乘、除以及简单化简等运算。
三、分式的简化对于分式a/b，若a和b有公因数，可以进行约分，使分子和分母互素，即没有公因数。
对于多项式分式，可以进行因式分解，将分子和分母都化为最简形式。
四、分式的运算1. 分式的加法和减法若a/b和c/d是两个分式，且b≠0，d≠0，则a/b + c/d = (ad+bc)/bda/b - c/d = (ad-bc)/bd2. 分式的乘法若a/b和c/d是两个分式，且b≠0，d≠0，则a/b × c/d = ac/bd3. 分式的除法若a/b和c/d是两个分式，且b≠0，c≠0，则a/b ÷ c/d = ad/bc4. 分式的混合运算先将分式化为最简形式，然后进行运算。
五、解分式方程分式方程指含有未知数的分式等式，解分式方程的关键是通分，将分式方程转化为多项式方程，然后求解。
六、分式的应用分式在实际生活中有着广泛的应用，例如在工程、物理、经济等领域都有着重要的作用。
在经济学中，分式可以用来表示利润、成本、收入等比例关系；在物理学中，分式可以用来表示速度、加速度、密度等物理量的关系；在工程学中，分式可以用来表示材料的混合比例、工程测量中的比例关系等。
在学习分式的过程中，要善于把分数化简成最简式，掌握有理数的运算法则，灵活运用有理数的基本性质，加强分数的认识和运用，掌握有理数的相关知识，对于解决有理数问题能够运用有理数的性质和基本运算规律。
分式的基本性质与运算
分式的基本性质与运算1. 分式的基本性质分式是数学中一种特殊的表示形式，由分子和分母组成，分子与分母之间用分数线分隔。
分式在代数运算中有着重要的地位，它具备以下基本性质：1.1. 分式的定义域分式的定义域是指使分式中的分母不为零的实数集合。
因为在分式运算中，分母为零的情况是不合法的，会导致分式无法计算。
所以在定义分式运算时，需要排除分母为零的情况。
1.2. 分式的约束条件分式的约束条件是指对分子和分母的进行约束，使分式保持在最简形式。
一个约束条件是分子与分母的最大公约数为1，即分子和分母没有共同的因子。
另一个约束条件是分式的分子没有负号，而负号只出现在分式的整体前面。
1.3. 分式的唯一性分式在满足定义域和约束条件的前提下，具备唯一性。
即给定一个分式，它的分子和分母确定后，分式的值也就确定了。
这个性质在分式的运算中是非常重要的，保证了分式的计算结果是确定的。
2. 分式的运算分式的运算包括加法、减法、乘法和除法四种基本运算。
下面分别对这四种运算进行讨论。
2.1. 分式的加法两个分式的加法可以通过通分的方式来实现。
通分是指使两个分式的分母相同，然后将它们的分子相加。
通分的方法是将两个分式的分母取最小公倍数，然后分别将分子乘以相应的倍数。
最后得到的分式就是它们的和。
2.2. 分式的减法分式的减法与加法类似，也可以通过通分来实现。
通分的方法与加法相同，只是将分子相减而不是相加。
最后得到的分式就是它们的差。
2.3. 分式的乘法分式的乘法可以通过将两个分式的分子相乘，分母相乘来实现。
最后得到的分式就是它们的乘积。
2.4. 分式的除法分式的除法可以通过将一个分式的分子乘以另一个分式的倒数来实现。
倒数是指将分子和分母交换位置得到的新的分式。
最后得到的分式就是它们的商。
3. 分式的简化与展开在分式的运算中，有时需要将分式进行简化来得到最简形式。
分式的简化可以通过约分来实现，即将分子和分母同时除以它们的最大公约数。
分式综合知识点总结
分式综合知识点总结一、分式的定义分式是指两个整数的比值，通常用分数形式表示，分数由分子和分母两部分组成，分子在分数线上方，分母在分数线下方。
分子表示被分成若干等分中的几份，分母表示整块被分成的份数。
例如，1/2、2/3、3/4等都是分式的例子。
在分式中，分子与分母都可以是整数或多项式，分式也可以是一个数字或者一个代数表达式。
二、分式的基本性质1. 分式的值是有意义的，当分子不为0时分式有值，当分子为0且分母不为0时，分式的值为0。
2. 分式可以化简，即可以约分，化简后保持原分式的值不变。
3. 分式可以进行运算，包括加减乘除等运算。
4. 分式可以化简为整数、真分数或带分数。
三、分式的简化分式的简化是指将分式化为最简形式的过程。
简化分式的方法有：1. 将分子和分母化为最简式；2. 将分子和分母互换位置，即倒数；3. 化为整数或带分数。
四、分式的运算1. 分式的加减运算：分式的加减运算要求先找到它们的公共分母，然后按照公共分母的要求进行加减。
2. 分式的乘除运算：分式的乘除运算可以转化为分数的乘除运算，即分子与分子相乘，分母与分母相乘。
3. 分式的混合运算：分式可以与整数混合进行运算，运算规则与普通的加减乘除运算类似。
五、分式方程和不等式1. 分式方程：分式方程是指含有分式的方程，解分式方程的关键是找到使得方程成立的变量的值。
2. 分式不等式：分式不等式是指含有分式的不等式，解分式不等式的关键是找到不等式的解集合。
六、分式函数与分式图形1. 分式函数：分式函数是指自变量和因变量都是分式的函数，例如f(x) = 1/x。
2. 分式图形：分式函数对应的图形通常为双曲线、双曲线的反比例函数等。
七、分式在实际问题中的应用分式在实际问题中有着广泛的应用，例如在比例、百分比、利润、利率、速度等实际问题中都会涉及到分式的运算。
因此，掌握好分式的概念和运算规则对于解决实际问题具有重要意义。
以上是对分式的综合知识点总结，分式作为数学中的一个重要概念，其应用范围非常广泛。
第讲分式的基本性质及其运算
第3讲 分式的基本性质及其运算第一部分 知识要点一、分式的性质1. 形如A B（A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0）的式子叫做分式。
① 分式有意义⇔分母B ≠0②分式无意义⇔分母B=0③ 分式值为0⇔分子A=0且分母B ≠02. 分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
用式子表示为：MB M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯=。
3. 最简分式就是分子、分母中不含有公因式的分式。
4. 分式的符号变号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变，用式子表示为：BA B A B A B A --=--=--=。
5. 约分是把分子、分母中的公因式约去的过程；通分是根据分式本身的性质，不改变分式的值，把几个分母不同的分式化为分母相同的分式的过程。
二、分式的运算1. 分式运算法则： ①bcad c d b a d c b a =⨯=÷ ②为正整数）n ba b a n nn ()(= ③bdbc ad bd bc bd ad d c b a ±=±=± ④)0()1(1≠==-a a a a p p p 2. 分式的乘除运算其实就是约分，约分时，分子、分母如果是多项式的，先因式分解再约分；分式的加减运算其实就是通分，通分的关键在于确定公分母。
3. 分式的加减乘除乘方混合运算顺序，应注意选择合适的运算律改变运算顺序以使运算简便三 分式方程1、分母里含有未知数的方程叫做分式方程。
解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验，但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解2. 解分式方程组的基本思想是：化为整式方程（两种做法：去分母，换元；常见思路：取倒，方程叠加）。
3. 分式方程的应用主要是列方程解应用题。
做题步骤为：①审；②设；③列；④解；⑤检；⑥答。
分式 基础知识详解+基础典型例题解析
类型一、分式的概念
1、下列式子中，哪些是整式？哪些是分式？
2 ， x ， m 1 ，3 x2 ， 5 ， a2 ， 2 ．
a3 m
a 3
【思路点拨】 x ， 5 ， 2 虽具有分式的形式，但分母不含字母，其中 5 的分母中 表示
3 3
一个常数，因此这三个式子都不是分式．
当 x 2 时， x2 4 (2)2 4 0 ，
x2
∴ 在分式有意义的前提下，分式
的值永不为 0．
x2 4
类型三、分式的基本性质
3、不改变分式的值，将下列分式的分子、分母中的系数化为整数．
0.2x y
（1）
；
0.02x 0.5 y
1x1 y （2） 3 4 ．
要点三、分式的基本性质
分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于 0 的整式，分式的值不变，这个性质叫做
A
分式的基本性质，用式子表示是：
AM
，A
AM
（其中
M 是不等于零的整式）.
B BM B BM
要点诠释：（1）基本性质中的 A、B、M 表示的是整式.其中 B≠0 是已知条件中隐含着
的条件，一般在解题过程中不另强调；M≠0 是在解题过程中另外附加
要点六、分式的通分 与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改
变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分. 要点诠释：（1）通分的关键是确定各分式的最简公分母：一般取各分母所有因式的最 高次幂的积作为公分母. （2）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相 同字母的最高次幂的乘积；如果各分母都是多项式，就要先把它们分解 因式，然后再找最简公分母. （3）约分和通分恰好是相反的两种变形，约分是对一个分式而言，而通分则 是针对多个分式而言.
分式复习讲义.doc
2
2.已知
x
1
4
，求x4
x2
的值；
3.
已知y2
y
1 0
,求y
21
x
x2
1
y2的值。3
4.已知a2
4a 1 0，且
a4
ma2
1
3，求m的值。19
2a3
ma2
2a
x
2m
1
x
5.如果关于
2
x
2
m的取值范围。
x的方程1
x
2
的解也是不等式组
的一个解，求
2 x
4
2(x
3)
x
8
6.若a b c
a b
c b c a
a
4有增根，则a= 6 8
x
2
x( x 2)
x
16.已知1
1
1
，则b
a的值为（C）
a
b
a b
a
b
A、-3B、-2C、-1D、0
17.（2013?日照）甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作，从第三个工作日起，乙志愿者加盟此
项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前3天完成任务，则甲志愿者计划完成此项工作的天数是（）
14.分式方程 ：分母中含有未知数的方程叫分式方程。
整式方程
，如3x +3 = 4 x -2
分式方程,
如
1
2
x
1
2x 3
15．解分式方程的一般步骤：
（1）去分母，在方程的两边都乘以，约去分母，化成整式方程；
（2）解这个整式方程；
（3）验根，把整式方程的根代入，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根 ，必须舍去.
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分式的基本性质及运算复习
班级 姓名
一、知识梳理
1、一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么代数式
A
B
叫做 。
2、分式的 时，分式有意义；分式的 时，分式的值为0。
3、用具体的数值代替分式中的字母，按照分式的运算关系计算，所得的结果就是 。
4、分式的基本性质：分式的分子和分母都乘（或除以） 的整式， 分式的值 。
5、根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母分别除以它们的 ，叫做分式的约分。
6、根据分式的基本性质，把几个异分母的分式化成同分母的分式，叫做分式的 。
7、同分母的分式相加减，分母 ，把分子 ； 异分母的分式相加减，先 ， 再 。
8、分式乘分式,用 的积做积的分子，用 的积做积的分母； 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相 。
9、分式的加、减、乘、除混合运算的顺序是：先 ，后 ，如果有括号，先进行括号内的运算。
二、基础练习
1、下列各式中，2
4
,
2),(31,23,2,312---+-x x b a y x m x π，分式有 。
2、当x 时，分式
3
1-+x x 有意义；当x 时，分式32-x x
无意义；
当x 时，分式3
9
2--x x 的值为零。
3、填空：（1）b a ab b a 2)( =+； （2）x x xy x )(22 =+； （3）2
22)(xy y
xy = ； （4）21()a a a c
++= ； （5）
(
)n
mn m
m =+2 ； （6）(
)()2
22x y
x y x y
+=
≠-；
4、若分式12
32
-a a 的值为负数，则a 的取值范围为 。
5、请你写一个关于x 的分式，使此分式当3=x 时，它的值为2。
6、分式
11
+x 、12x -的最简公分母是 。
7、当2a =-时，求分式43a a +的值； 8、约分：1
21
22++-a a a
9、计算： （1）4233m m +-- （2）11
22
a a -+-
（3）22222x x x x x +-⋅- （4）22
22
222x y x xy y x y x y -++⋅+-
三、例题选讲.
例1、（1）已知2-=x 时，分式
a
x b
x +-无意义，4=x 时，分式的值为零， 则a b += ； （2）若把分式
2
2y
x y
x -+中的字母x 和y 同时变为原来的3倍，分式的值 ； （3）当整数m = 时，分式
1
4
+m 的值是整数。
例2、计算：（１）154222a a a -++-+； （2）222412()2
144x x x x x x x ---⋅-+-+
例3、化简求值：1a
a a a a 21
122+-÷--，其中2=a .
例4、已知：10a +> （1）计算：112a a a a +-++； （2）比较1a a +与12
a a ++的大小。
四、课后练习 基础部分：
1、填空：
(
)
b ab
a =；
231()3xy x y
=； 2、化简1
12
---a a ，其结果为（ ） A ．1+a B. 1-a C .a -1 D. 1--a
3、化简1x x y x ÷
⋅，其结果为（ ） A. 1 B.xy C.x y
D.y
x
4、通分：
)
2)(1(++a a a ，3
1a +；
5、计算：（1）2
2494n
m n m --－2294m n
m n +-； （2）2211x x x +÷-
6、化简求值：2
2
121-÷--a a a ，其中1a =。
提高部分
一、选一选（请将唯一正确答案的代号填入题后括号内） 1．下列各式中与分式
a
a b
--的值相等的是（ ）. （A ）a a b -- (B) a a b + (C) a b a
- (D)a
b a --
2．如果分式
21
1
x
x
-
+
的值为零，那么x应为（）.
（A）1 （B）-1 （C）±1 （D）0
3．下列各式的变形：①
x y x y
x x
-+-
=；②
x y x y
x x
-++
=-；③
x y x y
y x x y
-++
=
--
；
④y x x y
x y x y
--
=-
++
．其中正确的是（）.
（A）①②③④（B）①②③（C）②③（D）④
4．计算
2
2
16
(4).
816
x
x
x x
-
-
-+
的结果是（）.
（A）x+1 (B)-x-4 (C)x-4 (D)4-x
5．分式
2
1
,,
234
b x
a b ab
的最简公分母是（）.
（A）24a2b3 (B)24ab2 (C)12ab2(D)12a2b3
6．如果分式
111
a b a b
+=
+
，那么
a b
b a
+的值为（）.
（A）1 （B）-1 （C）2 （D）-2
7．已知实数a，b满足ab-a-2b+2=0，那么
a b
ab
+
的值等于（）.
（A）
3
2
（B）
2
2
b
b
+
（C）
1
a
a
+
（D）
321
22
b a
b a
++
或或8．如果把分式
x
x y
+
中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（）.
(A)扩大3倍 (B)不变 (C)缩小3倍 (D)缩小6倍
二、填一填
9．在代数式
22
11(1)
,,,,5,,9,
31
a b b a b x
x
a a
b y x
π
++
+
-+
中，分式有个．10．当x= 时，分式
2
x x
x
-
的值为0．
11．已知
2
2222
2
M xy y x y
x y x y x y
--
=+
--+
，则M= ．
12．不改变分式的值，使分子、分母首项为正，则
x y
x y
-+
--
= ．
13．化简：
22
ax ay
x y
+-＝ ． 14．已知
11x -有意义，且2111
A
x x =--成立，则x 的值不等于 ．
15．计算：2
23.9y xy x
-= ．
三、做一做 16．约分
（1）34
323
3220aby z a y z
- （2）22969x x x -++.
17．通分 （1）22x y x y -+与2
()xy
x y +； （2）2249mn m -与2323m m -+.
18．已知234x y z ==，求23452x y z
x y
++-的值．
19．计算：1111
(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)(5)
x x x x x x x x +++++++++++.。