二次函数图像与几何变换-练习
二次函数知识点及典型例题
二次函数一、二次函数的几何变换二、二次函数的图象和性质(Ⅰ) y=a(x-h)2+k (a≠0)的图象和性质(Ⅱ) y=ax2+bx+c (a≠0)的图象和性质(Ⅲ) a 、b 、c 的符号对抛物线形状位置的影响三、待定系数法求二次函数的解析式1、一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式。
2、顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。
3、交点式：已知图像与x 轴的交点横坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=。
4、顶点在原点，可设解析式为y=ax 2。
5、对称轴是y 轴（或者顶点在y 轴上），可设解析式为y= ax 2+c 。
6、顶点在x 轴上，可设解析式为()2h x a y -=。
7、抛物线过原点，可设解析式为y=ax2+bx 。
四、抛物线的对称性1、抛物线与x 轴有两个交点（x 1,0）（x 2,0），则对称轴为x=2x x 21+。
2、抛物线上有不同的两个交点（m ，a ）（n,a ），则对称轴为x=2nm +。
3、抛物线c bx ax y ++=2（a ≠0）与y 轴交点关于对称轴的对称点为(ab-, c)。
五、二次函数与一元二次方程的关系对于抛物线c bx ax y ++=2（a ≠0），令y=0，即为一元二次方程02=++c bx ax ，一元二次方程的解就是二次函数与x 轴交点的横坐标。
要分三种情况：1、 判别式△=b 2-4ac ＞0⇔抛物线与x 轴有两个不同的交点（ab 24acb -2+，0）（a b 24ac b --2，0）。
有韦达定理可知x 1+x 2=a b - ，x 1·x 2=ac 。
2、 判别式△=b 2-4ac=0⇔抛物线与x 轴有一个交点（ab 2-，0）。
3、 判别式△=b 2-4ac=0⇔抛物线与x 轴无交点。
六、二次函数与一元二次不等式的关系1、a ＞0：（1）02＞c bx ax ++的解集为：x ＜x 1或x ＞x 2（x 1＜x 2）。
中考数学专项复习《二次函数图像的几何变换》练习题及答案
中考数学专项复习《二次函数图像的几何变换》练习题及答案一、单选题1．若二次函数y=mx2-（m2-3m）x+1-m的图象关于y轴对称，则m的值为（）A．0B．3C．1D．0或32．抛物线y＝（x+2）2+1可由抛物线y＝x2平移得到，下列平移正确的是（）A．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位B．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位C．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位D．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位3．将抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣3先向右平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的抛物线的函数表达式是（）A．y＝﹣2（x﹣5）2+8B．y＝﹣2（x﹣3）2+8C．y＝﹣2（x﹣5）2+2D．y＝﹣2（x﹣3）2+24．抛物线y=（x+2）2﹣3可以由抛物线y=x2平移得到，则下列平移过程正确的是（）A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位5．如图，一条抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），其顶点P在线段MN上移动．若点M、N的坐标分别为（﹣1，﹣2）、（1，﹣2）点B的横坐标的最大值为3，则点A的横坐标的最小值为（）A．-3B．-1C．1D．36．在平面直角坐标系中将二次函数y=x2的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为（）A．y=x2﹣2B．y=x2+2C．y=（x﹣2）2D．y=（x+2）27．函数y=2x2+4x+1①；y=2x2－4x+1②的图象的位置关系是()A．②在①的上方B．②在①的下方C．②在①的左方D．②在①的右方8．将抛物线y=x2向左平移一个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线解析式为（）A．y=(x−1)2+2B．y=(x+1)2−2C．y=(x+1)2+2D．y=(x+2)2+1 9．在平面直角坐标系中如果抛物线y＝2x2+1不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是()A．y＝2(x－2)2+ 3B．y＝2(x－2)2－1C．y＝2(x + 2)2－1D．y＝2(x + 2)2 + 310．把抛物线y=（x﹣1）2+2向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线是（）A．y=x2B．y=（x﹣2）2C．y=（x﹣2）2+4D．y=x2+411．把抛物线y=x2+1向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线表达式为（）A．y=（x﹣3）2+2 B．y=（x﹣3）2﹣1C．y=（x+3）2﹣1 D．y=（x﹣3）2﹣212．函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2+bx+c－3＝0 的根情况是（）A．有两个相等的实数根B．有一个实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根二、填空题13．已知将二次函数y=x2+bx+c的图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为y=x2﹣4x﹣5，则b=，c=．14．抛物线y=x2﹣6x+5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是．15．把抛物线y=12x2−1先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为.16．将二次函数y＝﹣（x﹣1）2的图象沿x轴向左平移2个单位，得到的函数表达式为．17．一抛物线和另一抛物线y＝﹣2x2的形状和开口方向完全相同，且顶点坐标是（﹣2，1），则该抛物线的解析式为.18．在平面直角坐标系中将抛物线y=x2﹣x﹣12向上（下）或左（右）平移m个单位，使平移后的抛物线恰巧经过原点，则|m|的最小值为．三、综合题19．在同一个直角坐标系中作出y＝12x2，y＝12x2－1的图象．（1）分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标；（2）抛物线y＝12x2－1与抛物线y＝12x2有什么关系？20．如图，二次函数y=(x−1)(x−a)（a为常数）的图象的对称轴为直线x=2.（1）求a的值.（2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式. 21．已知二次函数y=x2﹣2mx+m2+3（m是常数）．（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；（2）把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？22．如图①，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于两点A，B(4，0)（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C(0，4)，拋物线的对称轴l与x轴交于点N，长为2的线段PQ（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动．（1）求抛物线的关系式；（2）在线段PQ运动过程中当PC+PA的值最小时，求此时点P的坐标；（3）如图②过点P作PM⊥y轴于点M，当△CPM和△QBN相似时，求点Q的坐标．23．已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过点（﹣2，1），它的对称轴为直线x＝﹣1（1）求抛物线的表达式和顶点坐标.（2）如图，已知点A（P，t）（P＞0）在（1）中的抛物线上，将该抛物线向右平移若干个单位后得到抛物线l，点A在抛物线l上的对应点为点B（t，t），若抛物线l恰好经过点C（2，0），求P，t 的值.24．如图，抛物线y=x2﹣3x+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣4）．（1）k=；（2）点A的坐标为，B的坐标为；（3）设抛物线y=x2﹣3x+k的顶点为M，求四边形ABMC的面积．参考答案1．【答案】B2．【答案】C3．【答案】D4．【答案】B5．【答案】A6．【答案】B7．【答案】D8．【答案】C9．【答案】C10．【答案】A11．【答案】C12．【答案】A13．【答案】0；-614．【答案】y=（x﹣4）2﹣315．【答案】y=12(x−1)2−316．【答案】y＝﹣(x+1)2 17．【答案】y＝﹣2（x+2）2+1 18．【答案】319．【答案】（1）解：如图所示：抛物线y＝12x2开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标(0，0)；抛物线y＝12x2－1开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标(0，－1)（2）解：抛物线y＝12x2－1可由抛物线y＝12x2向下平移1个单位长度得到20．【答案】（1）解：y=(x−1)(x−a)=x2−(1+a)x+a. ∵图象的对称轴为直线x=2∴a+12=2∴a =3 .（2）解：∵a =3∴二次函数的表达式为 y =x 2−4x +3 ∴抛物线向下平移3个单位后经过原点∴平移后图象所对应的二次函数的表达式为 y =x 2−4x .21．【答案】（1）证明：∵△=（﹣2m ）2﹣4×1×（m 2+3）=4m 2﹣4m 2﹣12=﹣12＜0∴方程x 2﹣2mx+m 2+3=0没有实数解即不论m 为何值，该函数的图象与x 轴没有公共点 （2）解：y=x 2﹣2mx+m 2+3=（x ﹣m ）2+3把函数y=（x ﹣m ）2+3的图象沿y 轴向下平移3个单位长度后，得到函数y=（x ﹣m ）2的图象，它的顶点坐标是（m ，0）因此，这个函数的图象与x 轴只有一个公共点所以，把函数y=x 2﹣2mx+m 2+3的图象沿y 轴向下平移3个单位长度后，得到的函数的图象与x 轴只有一个公共点22．【答案】（1）解：∵y =−x 2+bx +c 过B(4，0)，C(0，4)∴0=−16+4b +c ∴b =3 c =4∴抛物线的关系式为y =−x 2+3x +4；（2）解：∵A 点关于对称轴l 的对称点是B ，连接CB 交对称轴l 于点P ，连接PB 由对称性可知 PA =PB ∴PC +PA =PC +PB ≥CB当C 、P 、B 三点在一条直线上时，PC +PA 有最小值 ∵B(4，0) C(0，4)设直线BC 的解析式为y =kx +b ∴{4k +b =0b =4 解得{k =−1b =4 ∴y =−x +4∵由在y =−x 2+3x +4得抛物线对称轴为直线x =−3−2=32 ∴y =−32+4=52∴P(32，52)；（3）解：如图：由在y =−x 2+3x +4得抛物线对称轴为直线x =−3−2=32 设Q(32，t)(t >0)，则P(32，t +2) M(0，t +2) N(32，0)∵B(4，0) C(0，4)；∴BN =52QN =t PM =32 CM =|t −2|∵∠CMP =∠QNB =90°∴△CPM 和△QBN 相似，只需CM QN =PM BN 或CM BN =PMQN ①当CM QN =PM BN 时，|t−2|t =3252 解得t =54或t =5 ∴Q(32，54)或(32，5)；②当CM BN =PM QN 时，|t−2|52=32t 解得t =2+√192或t =2−√192（舍去） ∴Q(32，2+√192)综上所述，Q 的坐标是(32，54)或(32，5)或(32，2+√192)．23．【答案】（1）解：y ＝x 2＋bx ＋c 经过点（﹣2，1）对称轴为直线x ＝﹣1，即 −b2a=−1 ∴b =2∴y =x 2+2x +c将点（﹣2，1）代入得： 1=4−4+c 解得： c =1 ∴y =x 2+2x +1∵y =x 2+2x +1=(x +1)2∴y ≥0 恒成立，当 x =−1 时取得最小值， y =0 ∴顶点坐标为： (−1，0) ；（2）解：∵y 向右平移若干单位与l 重合，且l 过点（2，0） ∴平移距离为 2−(−1)=3 ，且A （P ，t ）平移到B （t ，t ）∴t =p +3 ，即 p =t −3∴A （ t −3 ，t ）代入 y =(x +1)2 得： t =(t −3+1)2 ，即 t 2−5t +4=0 解得： t 1=1 t 2=4∴p =t −3=1−3=−2 或 p =t −3=4−3=1 ∵P ＞0∴p =−2 (舍去) ∴p =1，t =4 .24．【答案】（1）k=﹣4（2）（﹣1，0）；（4，0）（3）解：∵y=x 2﹣3x ﹣4= (x −32)2−254∴M(32，−254)设抛物线的对称轴与x 轴交于N ，如图所示：则四边形ABMC 的面积=S △ACN +S △NCM +S △NMB = 12×AN ×OC +12×NM ×ON +12×NB ×NM = 12×52×4+12×254×32+12×52×254 = 352∴四边形ABMC 的面积是 352．。
24题 二次函数综合题
24题二次函数综合题1.二次函数图像与几何变换1.（2020•浙江宁波）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+4x﹣3图象的顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D．点B的坐标是（1，0）．（1）求A，C两点的坐标，并根据图象直接写出当y＞0时x的取值范围．（2）平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．1.【解】（1）把B（1，0）代入y＝ax2+4x﹣3，得0＝a+4﹣3，解得a＝﹣1．∴y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1．∴A（2，1）．∵抛物线的对称轴是直线x＝2，B、C两点关于直线x＝2对称，∴C（3，0）．∴当y＞0时，1＜x＜3．（2）∵D（0，﹣3），A（2，1），∴点D平移到点A，抛物线应向右平移2个单位，再向上平移4个单位，∴平移后抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣4）2+5．2．（2020•浙江金华）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝﹣（x﹣m）2+4图象的顶点为A，与y轴交于点B，异于顶点A的点C（1，n）在该函数图象上．（1）当m＝5时，求n的值．（2）当n＝2时，若点A在第一象限内，结合图象，求当y≥2时，自变量x的取值范围．（3）作直线AC与y轴相交于点D．当点B在x轴上方，且在线段OD上时，求m的取值范围．2.【解】（1）当m＝5时，y＝﹣（x﹣5）2+4，．当x＝1时，n＝﹣×42+4＝﹣4．（2）当n＝2时，将C（1，2）代入函数表达式y＝﹣（x﹣m）2+4，得2＝﹣（1﹣m）2+4，解得m＝3或﹣1（舍弃），∴此时抛物线的对称轴x＝3．根据抛物线的对称性可知，当y＝2时，x＝1或5．∴x的取值范围为1≤x≤5．（3）∵点A与点C不重合，∴m≠1．∵抛物线的顶点A的坐标是（m，4），∴抛物线的顶点在直线y＝4上，当x＝0时，y＝﹣m2+4，∴点B的坐标为（0，﹣m2+4）．抛物线从图1的位置向左平移到图2的位置，m逐渐减小，点B沿y轴向上移动，当点B与O重合时，﹣m2+4＝0，解得m＝2或﹣2．当点B与点D重合时，如图2，顶点A也与B，D重合，点B到达最高点，∴点B（0，4），∴﹣m2+4＝4，解得m＝0．当抛物线从图2的位置继续向左平移时，如图3点B不在线段OD上，∴B点在线段OD上时，m的取值范围是0≤m＜1或1＜m＜2．3．（2020•重庆A卷）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c与直线AB相交于A，B两点，其中A （﹣3，﹣4），B（0，﹣1）．（1）求该抛物线的函数表达式．（2）点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接P A，PB，求△P AB面积的最大值．（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，点D为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E，使以点B，C，D，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．3.【解】（1）将点A，B的坐标代入抛物线表达式得，解得，故抛物线的表达式为y＝x2+4x﹣1．（2）设直线AB的表达式为y＝kx+t，则，解得，故直线AB的表达式为y＝x﹣1，如答图1，过点P作y轴的平行线交AB于点H．设点P（x，x2+4x﹣1），则H（x，x﹣1），△P AB面积S＝×PH×（x B﹣x A）＝（x﹣1﹣x2﹣4x+1）×（0+3）＝﹣x2﹣x．∵＜0，故S有最大值，当x＝﹣时，S的最大值为．（3）抛物线的表达式为y＝x2+4x﹣1＝（x+2）2﹣5，则平移后的抛物线表达式为y＝x2﹣5（如答图2）．联立上述两式并解得，故点C（﹣1，﹣4）．设点D（﹣2，m），点E（s，t），而点B、C的坐标分别为（0，﹣1），（﹣1，﹣4）；①当BC为菱形的边时，点C向右平移1个单位向上平移3个单位得到B，同样D（E）向右平移1个单位向上平移3个单位得到E（D），即﹣2+1＝s且m+3＝t①或﹣2﹣1＝s且m﹣3＝t②，当点D在E的下方时，则BE＝BC，即s2+（t+1）2＝12+32③．当点D在E的上方时，则BD＝BC，即22+（m+1）2＝12+32④，联立①③并解得s＝﹣1，t＝2或﹣4（舍去﹣4），故点E（﹣1，2）；联立②④并解得：s＝﹣3，t＝﹣4±，故点E（﹣3，﹣4）或（﹣3，﹣4﹣）；②当BC为菱形的的对角线时，由中点公式得﹣1＝s﹣2且﹣4﹣1＝m+t⑤，此时，BD＝BE，即22+（m+1）2＝s2+（t+1）2⑥，联立⑤⑥并解得s＝1，t＝2，故点E（1，2）．综上，点E的坐标为（﹣1，2）或（﹣3，﹣4）或（﹣3，﹣4﹣）或（1，2）．2.二次函数与特殊三角形、四边形的判定4．（2020•山东菏泽）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣6与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，OA＝2，OB＝4，直线l是抛物线的对称轴，在直线l右侧的抛物线上有一动点D，连接AD，BD，BC，CD．（1）求抛物线的函数表达式．（2）若点D在x轴的下方，当△BCD的面积是时，求△ABD的面积．（3）在（2）的条件下，点M是x轴上一点，点N是抛物线上一动点，是否存在点N，使得以点B，D，M，N 为顶点，以BD为一边的四边形是平行四边形，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．4.【解】（1）∵OA＝2，OB＝4，∴A（﹣2，0），B（4，0）．把A（﹣2，0），B（4，0）代入抛物线y＝ax2+bx﹣6中得，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣6．（2）如答图1，过D作DG⊥x轴于点G，交BC于点H．当x＝0时，y＝﹣6，∴C（0，﹣6）．设BC的解析式为y＝kx+b，则，解得，∴BC的解析式为y＝x﹣6．设D（x，x2﹣x﹣6），则H（x，x﹣6），∴DH＝x﹣6﹣（x2﹣x﹣6）＝﹣．∵△BCD的面积是，∴．∴，解得x＝1或3．∵点D在直线l右侧的抛物线上，∴D（3，﹣）．∴△ABD的面积＝＝＝．（3）分两种情况：①如答图2，N在x轴的上方时，四边形MNBD是平行四边形．∵B（4，0），D（3，﹣），且M在x轴上，∴N的纵坐标为．当y＝时，即x2﹣x﹣6＝，解得x＝1+或1﹣，∴N（1﹣，）或（1+，）．②如答图3，点N在x轴的下方时，四边形BDNM是平行四边形，此时M与O重合，∴N（﹣1，﹣）．综上，点N的坐标为（1﹣，）或（1+，）或（﹣1，﹣）．3.二次函数与图形面积5．（2020•山东泰安）若一次函数y＝﹣3x﹣3的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点，点B的坐标为（3，0），二次函数y＝ax2+bx+c的图象过A，B，C三点，如图（1）．（1）求二次函数的表达式；（2）如图（1），过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，点E在抛物线上（y轴左侧），若BC恰好平分∠DBE．求直线BE的表达式；（3）如图（2），若点P在抛物线上（点P在y轴右侧），连接AP交BC于点F，连接BP，S△BFP＝mS△BAF．①当m＝时，求点P的坐标；②求m的最大值．5.【解】（1）一次函数y＝﹣3x﹣3的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点，则点A，C的坐标分别为（﹣1，0），（0，﹣3）．将点A，B，C的坐标代入抛物线表达式得，解得，故抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3．（2）设直线BE交y轴于点M，从抛物线表达式知，抛物线的对称轴为x＝2，∵CD∥x轴交抛物线于点D，∴点D（2，﹣3）．由点B，C的坐标知，直线BC与AB的夹角为45°，即∠MCB＝∠DCD＝45°．∵BC恰好平分∠DBE，∴∠MBC＝∠DBC．又∵BC＝BC，∴△BCD≌△BCM（AAS），∴CM＝CD＝2，∴OM＝3﹣2＝1，∴点M（0，﹣1）．设直线BE的表达式为y＝kx+b，则，解得，故直线BE的表达式为y＝x﹣1．（3）如答图2，过点P作PN∥x轴交BC于点N，则△PFN∽△AFB，则．又S△BFP＝mS△BAF，则＝，解得m＝PN．①当m＝时，则PN＝2．设点P（t，t2﹣2t﹣3）．由点B，C的坐标知，直线BC的表达式为y＝x﹣3，当x＝t﹣2时，y＝t﹣5，∴点N（t﹣2，t﹣5），∴t﹣5＝t2﹣2t﹣3，解得t＝1或t＝2，故点P（2，﹣3）或（1，﹣4）．②m＝PN＝[t﹣（t2﹣2t）]＝﹣（t﹣）2+．∵＜0，∴m的最大值为．4.二次函数与三角形相似6．（12分）（2020•江苏连云港）在平面直角坐标系xOy中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线L1：y＝x2﹣x﹣2的顶点为D，交x轴于点A、B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线L2与L1是“共根抛物线”，其顶点为P．（1）若抛物线L2经过点（2，﹣12），求L2对应的函数表达式；（2）当BP﹣CP的值最大时，求点P的坐标；（3）设点Q是抛物线L1上的一个动点，且位于其对称轴的右侧．若△DPQ与△ABC相似，求其“共根抛物线”L2的顶点P的坐标．6.【解】（1）当y＝0时，x2﹣x﹣2＝0，解得x＝﹣1或x=4，∴A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）．由题意设抛物线L2的解析式为y＝a（x+1）（x﹣4），把（2，﹣12）代入y＝a（x+1）（x﹣4），解得a＝2，∴抛物线的解析式为y＝2（x+1）（x﹣4）＝2x2﹣6x﹣8．（2）∵抛物线L2与L1是“共根抛物线”，A（﹣1，0），B（4，0），∴抛物线L1，L2的对称轴是直线x＝，∴点P在直线x＝上，∴BP＝AP，如答图1，当A，C，P共线时，BP﹣PC的值最大，此时点P为直线AC与直线x＝的交点．∵直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣2，∴P（，﹣5）．（3）由题意，AB＝5，CB＝2，CA＝，∴AB2＝BC2+AC2，∴∠ACB＝90°，CB＝2CA．∵y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣）2﹣，∴顶点D（，﹣）．由题意，∠PDQ不可能是直角．第一种情形：当∠DPQ＝90°时．①如答图3﹣1，当△QDP∽△ABC时，＝＝．设Q（x，x2﹣x﹣2），则P（，x2﹣x﹣2），∴DP＝x2﹣x﹣2﹣（﹣）＝x2﹣x+，QP＝x﹣．∵PD＝2QP，∴2x﹣3＝x2﹣x+，解得x＝或（舍弃），∴P（，）．②如答图3﹣2，当△DQP∽△ABC时，同法可得QO＝2PD，x﹣＝x2﹣3x+，解得x＝或（舍弃），∴P（，﹣）．第二种情形：当∠DQP＝90°时．①如答图3﹣3，当△PDQ∽△ABC时，＝＝，过点Q作QM⊥PD于点M．则△QDM∽△PDQ，∴＝＝，由图3﹣1可知，M（，），Q（，），∴MD＝8，MQ＝4，∴DQ＝4．由＝，可得PD＝10．∵D（，﹣）∴P（，）．②当△DPQ∽△ABC时，过点Q作QM⊥PD于点M，如答图3-4．同法可得M（，﹣），Q（，﹣），∴DM＝，QM＝1，QD＝．由＝，可得PD＝，∴P（，﹣）．5.二次函数与特殊三角形判定6.二次函数与最值问题7．（2020•浙江绍兴）如图1，排球场长为18 m，宽为9 m，网高为2.24 m，队员站在底线O点处发球，球从点O的正上方1.9 m的C点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点A时，高度为2.88 m，即BA＝2.88 m，这时水平距离OB＝7 m，以直线OB为x轴，直线OC为y轴，建立平面直角坐标系，如图2．（1）若球向正前方运动（即x轴垂直于底线），求球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式（不必写出x取值范围）．并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由．（2）若球过网后的落点是对方场地①号位内的点P（如图1，点P距底线1 m，边线0.5 m），问发球点O在底线上的哪个位置？（参考数据：取1.4）7.【解】（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣7）2+2.88．将x＝0，y＝1.9代入上式并解得a＝﹣．故抛物线的表达式为y＝﹣（x﹣7）2+2.88．当x＝9时，y＝﹣（x﹣7）2+2.88＝2.8＞2.24，当x＝18时，y＝﹣（x﹣7）2+2.88＝0.46＞0，故这次发球过网，但是出界了．（2）如答图，分别过点作底线、边线的平行线PQ，OQ交于点Q．在Rt△OPQ中，OQ＝18﹣1＝17，当y＝0时，y＝﹣（x﹣7）2+2.88＝0，解得x＝19或﹣5（舍去﹣5），∴OP＝19，而OQ＝17．故PQ＝6＝8.4．∵9﹣8.4﹣0.5＝0.1，∴发球点O在底线上且距右边线0.1 m处．8．（2020•浙江台州）用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图1）．科学原理：如图2，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为H（单位：cm），如果在离水面竖直距离为h（单位：cm）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）s（单位：cm）与h的关系式为s2＝4h（H﹣h）．应用思考：现用高度为20cm的圆柱体塑料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连续注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距离h cm处开一个小孔．（1）写出s2与h的关系式，并求出当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是多少？（2）在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为a，b，要使两孔射出水的射程相同，求a，b之间的关系式．（3）如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16cm，求垫高的高度及小孔离水面的竖直距离．8.【解】（1）∵s2＝4h（H﹣h），∴当H＝20cm时，s2＝4h（20﹣h）＝﹣4（h﹣10）2+400，∴当h＝10cm时，s2有最大值400，∴当h＝10cm时，s有最大值20cm．∴当h为10cm时，射程s有最大值，最大射程是20cm．（2）∵s2＝4h（20﹣h），∴设存在a，b，使两孔射出水的射程相同，则有4a（20﹣a）＝4b（20﹣b），∴20a﹣a2＝20b﹣b2，∴a2﹣b2＝20a﹣20b，∴（a+b）（a﹣b）＝20（a﹣b），∴（a﹣b）（a+b﹣20）＝0，∴a﹣b＝0或a+b﹣20＝0，∴a＝b或a+b＝20．（3）设垫高的高度为m，则s2＝4h（20+m﹣h）＝﹣4+（20+m）2，∴当h＝cm时，s max＝20+m＝20+16，∴m＝16cm，此时h＝＝18cm．∴垫高的高度为16cm，小孔离水面的竖直距离为18cm．9．（2020•山东滨州）如图，抛物线的顶点为A（h，﹣1），与y轴交于点B（0，﹣），点F（2，1）为其对称轴上的一个定点．（1）求这条抛物线的函数解析式．（2）已知直线l是过点C（0，﹣3）且垂直于y轴的定直线，若抛物线上的任意一点P（m，n）到直线l的距离为d，求证：PF＝d．（3）已知坐标平面内的点D（4，3），请在抛物线上找一点Q，使△DFQ的周长最小，并求此时△DFQ周长的最小值及点Q的坐标．9.【解】（1）由题意抛物线的顶点A（2，﹣1），可以假设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2﹣1．∵抛物线经过B（0，﹣），∴﹣＝4a﹣1，∴a＝，∴抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2﹣1．（2）证明：∵P（m，n），∴n＝（m﹣2）2﹣1＝m2﹣m﹣，∴P（m，m2﹣m﹣），∴d＝m2﹣m﹣﹣（﹣3）＝m2﹣m+．∵F（2，1），∴PF＝＝．∵d2＝m4﹣m3+m2﹣m+，PF2＝m4﹣m3+m2﹣m+，∴d2＝PF2，∴PF＝d．（3）如答图，过点Q作QH⊥直线l于H，过点D作DN⊥直线l于N．∵△DFQ的周长＝DF+DQ+FQ，DF是定值＝＝2，∴DQ+QF的值最小时，△DFQ的周长最小，∵QF＝QH，∴DQ+DF＝DQ+QH，根据垂线段最短可知，当D，Q，H共线时，DQ+QH的值最小，此时点H与N重合，点Q在线段DN上，∴DQ+QH的最小值为6，∴△DFQ的周长的最小值为2+6，此时Q（4，﹣）．10．（2020•山东德州）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，﹣2），在x轴上任取一点M，连接AM，分别以点A和点M为圆心，大于AM的长为半径作弧，两弧相交于G，H两点，作直线GH，过点M作x轴的垂线l交直线GH于点P．根据以上操作，完成下列问题．探究：（1）线段P A与PM的数量关系为，其理由为：．（2）在x轴上多次改变点M的位置，按上述作图方法得到相应点P的坐标，并完成下列表格：M的坐标…（﹣2，0）（0，0）（2，0）（4，0）…P的坐标…（0，﹣1）（2，﹣2）…猜想：（3）请根据上述表格中P点的坐标，把这些点用平滑的曲线在图2中连接起来；观察画出的曲线L，猜想曲线L的形状是．验证：（4）设点P的坐标是（x，y），根据图1中线段P A与PM的关系，求出y关于x的函数解析式．应用：（5）如图3，点B（﹣1，），C（1，），点D为曲线L上任意一点，且∠BDC＜30°，求点D的纵坐标y D的取值范围．10.【解】（1）∵分别以点A和点M为圆心，大于AM的长为半径作弧，两弧相交于G，H两点，∴GH是AM的垂直平分线．∵点P是GH上一点，∴P A＝PM（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等），（2）当点M（﹣2，0）时，设点P（﹣2，a）（a＜0）．∵P A＝PM，∴﹣a＝，∴a＝﹣2，∴点P（﹣2，﹣2）．当点M（4，0）时，设点P（4，b）（b＜0）．∵P A＝PM，∴﹣b＝，∴b＝﹣5，∴点P（4，﹣5）．（3）依照题意，画出图像如答图2．猜想曲线L的形状为抛物线．（4）∵P A＝PM，点P的坐标是（x，y），（y＜0），∴﹣y＝，∴y＝﹣x2﹣1．（5）∵点B（﹣1，），C（1，），∴BC＝2，OB＝＝2，OC＝＝2，∴BC＝OB＝OC，∴△BOC是等边三角形，∴∠BOC＝60°．如答图3，以O为圆心，OB为半径作圆O，交抛物线L与点E，连接BE，CE，∴∠BEC＝30°．设点E（m，n），∵点E在抛物线上，∴n＝﹣m2﹣1．∵OE＝OB＝2，∴＝2，∴n1＝2﹣2，n2＝2+2（舍去）．如答图3，可知当点D在点E下方时，∠BDC＜30°，∴点D的纵坐标y D的取值范围为y D＜2﹣2．11．（2020•山东青岛）某公司生产A型活动板房成本是每个425元．图①表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD＝4 m，宽AB＝3 m，抛物线的最高点E到BC的距离为4 m．（1）按如图①的直角坐标系，抛物线可以用y＝kx2+m（k≠0）表示．求该抛物线的函数表达式；（2）现将A型活动板房改造为B型活动板房．如图②，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN，点G，M在AD上，点N，F在抛物线上，窗户的成本为50元/m2．已知GM＝2 m，求每个B型活动板房的成本是多少？（每个B型活动板房的成本＝每个A型活动板房的成本+一扇窗户FGMN的成本）（3）根据市场调查，以单价650元销售（2）中的B型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个B型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价n（元）定为多少时，每月销售B型活动板房所获利润w（元）最大？最大利润是多少？11.【解】（1）∵长方形的长AD＝4 m，宽AB＝3 m，抛物线的最高点E到BC的距离为4 m．∴OH＝AB＝3，∴EO＝EH﹣OH＝4﹣3＝1，∴E（0，1），D（2，0），∴该抛物线的函数表达式y＝kx2+1．把点D（2，0）代入，得k＝﹣，∴该抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+1．（2）∵GM＝2，∴OM＝OG＝1．∴当x＝1时，y＝，∴N（1，），∴MN＝．∴S矩形MNFG＝MN•GM＝×2＝，∴每个B型活动板房的成本是425+×50＝500（元）．答：每个B型活动板房的成本是500元．（3）根据题意，得w＝（n﹣500）[100+]＝﹣2（n﹣600）2+20000．∵每月最多能生产160个B型活动板房，∴100+≤160，解得n≥620．∵﹣2＜0，∴n≥620时，w随n的增大而减小，∴当n＝620时，w有增大值为19200元．答：公司将销售单价n（元）定为620元时，每月销售B型活动板房所获利润w（元）最大，最大利润是19200元．7.二次函数与几何图形12．（2020•江苏泰州）如图，二次函数y1＝a（x﹣m）2+n，y2＝6ax2+n（a＜0，m＞0，n＞0）的图象分别为C1、C2，C1交y轴于点P，点A在C1上，且位于y轴右侧，直线P A与C2在y轴左侧的交点为B．（1）若P点的坐标为（0，2），C1的顶点坐标为（2，4），求a的值；（2）设直线P A与y轴所夹的角为α．①当α＝45°，且A为C1的顶点时，求am的值；②若α＝90°，试说明：当a、m、n各自取不同的值时，的值不变；（3）若P A＝2PB，试判断点A是否为C1的顶点？请说明理由．12.【解】（1）由题意m＝2，n＝4，∴y1＝a（x﹣2）2+4．把（0，2）代入得到a＝﹣．（2）①如答图1，过点A作AN⊥x轴于点N，过点P作PM⊥AN于点M．∵y1＝a（x﹣m）2+n＝ax2﹣2amx+am2+n，∴P（0，am2+n）．∵A（m，n），∴PM＝m，AN＝n．∵∠APM＝45°，∴AM＝PM＝m，∴m+am2+n＝n．∵m＞0，∴am＝﹣1．②如答图2，由题意AB⊥y中．∵P（0，am2+n），当y＝am2+n时，am2+n＝6ax2+n，解得x＝±m，∴B（﹣m，am2+n），∴PB＝m．∵AP＝2m，∴＝＝2．（3）如答图3，过点A作AH⊥x轴于点H，过点P作PK⊥AH于点K，过点B作BE⊥KP交KP的延长线于点E．设B（b，6ab2+n）．∵P A＝2PB，∴A[﹣2b，a（﹣2b﹣m）2+n]．∵BE∥AK，∴＝＝，∴AK＝2BE，∴a（﹣2b﹣m）2+n﹣am2﹣n＝2（am2+n﹣6ab2﹣n），整理得m2﹣2bm﹣8b2＝0，∴（m﹣4b）（m+2b）＝0．∵m﹣4b＞0，∴m+2b＝0，∴m＝﹣2b，∴A（m，n），∴点A是抛物线C1的顶点．13．（2020•江苏苏州）如图，二次函数y＝x2+bx的图象与x轴正半轴交于点A，平行于x轴的直线l与该抛物线交于B、C两点（点B位于点C左侧），与抛物线对称轴交于点D（2，﹣3）．（1）求b的值；（2）设P、Q是x轴上的点（点P位于点Q左侧），四边形PBCQ为平行四边形．过点P、Q分别作x轴的垂线，与抛物线交于点P'（x1，y1）、Q'（x2，y2）．若|y1﹣y2|＝2，求x1、x2的值．13.【解】（1）直线与抛物线的对称轴交于点D（2，﹣3），∴抛物线的对称轴为x＝2，即b＝2，解得b＝﹣4，∴抛物线的表达式为y＝x2﹣4x．（2）把y＝﹣3代入y＝x2﹣4x并解得x＝1或3，∴点B、C的坐标分别为（1，﹣3）、（3，﹣3），则BC＝2．∵四边形PBCQ为平行四边形，∴PQ＝BC＝2，故x2﹣x1＝2．又∵y1＝x12﹣4x1，y2＝x22﹣4x2，|y1﹣y2|＝2，∴|（x12﹣4x1）﹣（x22﹣4x2）＝2，|x1+x2﹣4|＝1．∴x1+x2＝5或x1+x2＝﹣3．由，解得．由，解得．14．（2020•江苏无锡）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线OA交二次函数y＝x2的图象于点A，∠AOB ＝90°，点B在该二次函数的图象上，设过点（0，m）（其中m＞0）且平行于x轴的直线交直线OA于点M，交直线OB于点N，以线段OM、ON为邻边作矩形OMPN．（1）若点A的横坐标为8．①用含m的代数式表示M的坐标；②点P能否落在该二次函数的图象上？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．（2）当m＝2时，若点P恰好落在该二次函数的图象上，请直接写出此时满足条件的所有直线OA的函数表达式．14.【解】如答图．（1）①∵点A在y＝x2的图象上，横坐标为8，∴A（8，16），∴直线OA的解析式为y＝2x．∵点M的纵坐标为m，∴M（m，m）．②假设能在抛物线上．∵∠AOB＝90°，∴直线OB的解析式为y＝﹣x．∵点N在直线OB上，纵坐标为m，∴N（﹣2m，m），∴MN的中点的坐标为（﹣m，m），∴P（﹣m，2m），把点P坐标代入抛物线的解析式得到m＝．（2）①当点A在y轴的右侧时，设A（a，a2），∴直线OA的解析式为y＝ax，∴M（，2）．∵OB⊥OA，∴直线OB的解析式为y＝﹣x，可得N（﹣，2），∴P（﹣，4），代入抛物线的解析式得到，﹣＝4，解得a＝4±4，∴直线OA的解析式为y＝（±1）x．②当点A在y轴的左侧时，即为①中点B的位置，∴直线OA的解析式为y＝﹣x＝﹣（±1）x，综上所述，满足条件的直线OA的解析式为y＝（±1）x或y＝﹣（±1）x．。
中考数学总复习《二次函数图像的几何变换》专项测试卷-附参考答案
中考数学总复习《二次函数图像的几何变换》专项测试卷-附参考答案一、单选题(共12题；共24分)1．已知抛物线y=3（x+1）2+4是由抛物线y=3x2（）得到的．A．先向右平移1个单位，再向上平移4个单位B．先向右平移1个单位，再向下平移4个单位C．先向左平移1个单位，再向上平移4个单位D．先向左平移1个单位，再向下平移4个单位2．把抛物线y=-x2+4x-3先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，则变换后的抛物线解析式是（）A．y＝－(x＋3)2－2B．y＝－(x＋1)2－1C．y＝－x2＋x－5D．前三个答案都不正确3．抛物线y=-2x2-4x-5经过平移得到y=-2x2，平移方法是（）A．向左平移1个单位，再向下平移3个单位B．向左平移1个单位，再向上平移3个单位C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位D．向右平移1个单位，再向上平移3个单位4．要由抛物线y=−2x2平移得到y=−2x2−4x−2，则平移的方法是（）A．向左平移1个单位B．向上平移1个单位C．向下平移1个单位D．向右平移1个单位5．在平面直角坐标系中，二次函数y=−x2+2x+3的图象交x轴于点A、B（点A在点B的左侧）．若把点B向上平移m（m>0）个单位长度得点B1，若点B1向左平移n (n>0)个单位长度，将与该二次函数图象上的点B2重合；若点B1向左平移(n+2)个单位长度，将与该二次函数图象上的点B3重合．则n的值为（）A．1B．2C．3D．46．在同一平面直角坐标系内，将函数y=2x2+4x+1的图象沿x轴方向向右平移2个单位长度后再沿y轴向下平移1个单位长度，得到图象的顶点坐标是（）A．（﹣1，1）B．（1，﹣2）C．（2，﹣2）D．（1，﹣1）7．将y=2x2的函数图象向左平移2个单位长度后，得到的函数解析式是（）A．y=2x2+2B．y=2（x+2）2C．y=（x－2）2D．y=2x2－28．将抛物线y=x2平移得到抛物线y=（x+2）2，则这个平移过程正确的是（）A．向左平移2个单位B．向右平移2个单位C．向上平移2个单位D．向下平移2个单位9．将二次函数y=x2的图象向左平移1个单位，则平移后图象的函数表达式为（）A．y=x2−1B．y=x2+1C．y=(x−1)2D．y=(x+1)2 10．已知：二次函数y=x2−4x−a，下列说法中错误的个数是（）①若图象与轴有交点，则a≤4．②若该抛物线的顶点在直线y=2x上，则a的值为−8．③当a=−3时，则不等式x2−4x+a>0的解集是1<x<3．④若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点(1,−2)，则a=−1．⑤若抛物线与x轴有两个交点，横坐标分别为x1、x2，则当x取x1+x2时的函数值与x取0时的函数值相等．A．1B．2C．3D．411．对于抛物线y= 23（x+4）2﹣5，下列说法正确的是（）A．开口向下B．对称轴是直线x=4C．顶点坐标（4，﹣5 ）D．向右平移4个单位，再向上平移5个单位得到y= x212．抛物线y＝3x2向右平移一个单位得到的抛物线是（）A．y＝3x2+1B．y＝3x2﹣1C．y＝3（x+1）2D．y＝3（x﹣1）2二、填空题(共6题；共7分)13．已知抛物线p：y=ax2+bx+c的顶点为C，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），点C 关于x轴的对称点为C′，我们称以A为顶点且过点C′，对称轴与y轴平行的抛物线为抛物线p的“关联”抛物线，直线AC′为抛物线p的“关联”直线．若一条抛物线的“关联”抛物线和“关联”直线分别是y=x2+2x+1和y=2x+2，则这条抛物线的解析式为．14．将二次函数y=−x2−4x+1的图象先向右平移a个单位再向下平移2a个单位．（1）若平移后的二次函数图象经过点(1，−1)，则a＝．（2）平移后的二次函数图象与y轴交点的纵坐标最大值为．15．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、B的坐标分别为(0，2)、(1，0)，顶点C在函数y＝13x2＋bx－1的图象上，将正方形ABCD沿x轴正方向平移后得到正方形A′B′C′D′，点D的对应点D′落在抛物线上，则点D与其对应点D′之间的距离为．16．把二次函数y=（x﹣1）2+2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为．17．如图，抛物线L1：y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴只有一个公共点A(1，0)，与y轴交于点B(0，2)，虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线L2，则图中两个阴影部分的面积和为．18．将二次函数y=2x2-4x+3的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度得到函数的图象的表达式是。
中考数学总复习《二次函数图像的几何变换》练习题及答案
中考数学总复习《二次函数图像的几何变换》练习题及答案班级:___________姓名：___________考号：_____________一、单选题1．抛物线y=x2向下平移一个单位得到抛物线（）A．y=(x+1)2B．y=(x−1)2C．y=x2+1D．y=x2−12．抛物线y＝x2＋4x＋5是由抛物线y＝x2＋1经过某种平移得到，则这个平移可以表述为() A．向上平移2个单位B．向左平移2个单位C．向下平移4个单位D．向右平移2个单位3．如果一种变换是将抛物线向右平移2个单位或向上平移1个单位，我们把这种变换称为抛物线的简单变换．已知抛物线经过两次简单变换后的一条抛物线是y=x2+1，则原抛物线的解析式不可能的是（）A．y=x2﹣1 B．y=x2+6x+5 C．y=x2+4x+4 D．y=x2+8x+174．将抛物线y＝x2﹣2向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度后，所得抛物线的解析式为（）A．y＝（x+3）2+3B．y＝（x﹣3）2+1C．y＝（x+2）2+1D．y＝（x+3）2+15．对于实数c、d，我们可用min{ c，d }表示c、d两数中较小的数，如min{3，-1}=-1.若关于x的函数y = min{2x2，a(x-t)2}的图象关于直线x=3对称，则a、t的值可能是A．3，6B．2，-6C．2，6D．-2，66．将抛物线y=x2﹣2x+2先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（）A．（﹣2，3）B．（﹣1，4）C．（3，4）D．（4，3）7．抛物线y=x2+bx+c的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为y=（x﹣1）2﹣4，则b、c的值为（）A．b=2，c=﹣6B．b=2，c=0C．b=﹣6，c=8D．b=﹣6，c=28．已知抛物线y=-x2+1，下列结论：①抛物线开口向上；②抛物线与x轴交于点（-1，0）和点（1，0）；③抛物线的对称轴是y轴；④抛物线的顶点坐标是（0，1）；⑤抛物线y=-x2+1是由抛物线y=−x2向上平移1个单位得到的.其中正确的个数有A．5个B．4个C．3个D．2个9．在平面直角坐标系中，抛物线y=－12x2+2x－1关于点（－1，2）对称的图象解析式为() A．y= 12x2－2x+1B．y= 12x2+4x+11C．y=－12x2－2x-1D．y= 12x2+4x+1910．抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的解析式为y=x2-2x-3，则b、c的值为()A．b=2，c=2B．b=2，c=0C．b=-2，c=-1D．b=-3，c=211．函数y=(x+3)2的图象可以由函数y=x2的图象()得到A．向左平移3个单位B．向右平移3个单位C．向上平移3个单位D．向下平移3个单位12．将抛物线y=x2−6x+5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（）A．y=(x−4)2−6B．y=(x−1)2−3C．y=(x−2)2−2D．y=(x−4)2−2二、填空题13．将抛物线y=x2﹣4x+9向平移个单位，向平移个单位，得到抛物线y=x2﹣6x+5．14．在平面直角坐标系中，已知A(−1,m)和B(5,m)是抛物线y=x2+bx+1上的两点，将抛物线y=x2+bx+1的图象向上平移n（n是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴没有交点，则n 的最小值为．15．在平面直角坐标系中，若将抛物线y＝−（x＋3）2＋1先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是16．如图，抛物线y=−2x2+8x−6与x轴交于点A，B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D，若直线y=x+m与C1，C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是.17．将抛物线y= 13x2先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到y=．18．如图，一条抛物线y=﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）的一部分，记为C1，它与x轴交于O，A1两点，将C1绕点A1旋转180°得到C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得到C3，交x轴于A3；如此进行下去，直至得到C6，若点P（2017，y）在抛物线C n上，则y=．三、综合题19．如图，在平面直角坐标系xOy中，将二次函数y=x2﹣1的图象M沿x轴翻折，把所得到的图象向右平移2个单位长度后再向上平移8个单位长度，得到二次函数图象N．（1）求N的函数表达式；（2）设点P（m，n）是以点C（1，4）为圆心、1为半径的圆上一动点，二次函数的图象M与x 轴相交于两点A、B，求PA2+PB2的最大值；（3）若一个点的横坐标与纵坐标均为整数，则该点称为整点．求M与N所围成封闭图形内（包括边界）整点的个数．20．在同一个直角坐标系中作出y＝12x2，y＝12x2－1的图象．（1）分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标；（2）抛物线y＝12x2－1与抛物线y＝12x2有什么关系？21．已知二次函数y＝(x﹣m)2﹣(x﹣m)．（1）判断该二次函数图象与x轴交点个数，并说明理由；（2）若该二次函数的顶点坐标为( 72，n)，求m、n的值；（3）若把函数图象向上平移k个单位，使得对于任意的x都有y大于0，求证：k＞1 4．22．如图是小明站在点O处长抛篮球的路线示意图，球在点A处离手，且OA=1m.第一次在点D处落地，然后弹起在点E处落地，篮球在距O点6m的点B处正上方达到最高点，最高点C距地面的高度BC =4m ，点E 到篮球框正下方的距离EF =2m ，篮球框的垂直高度为3m .据试验，两次划出的抛物线形状相同，但第二次的最大高度为第一次的12，以小明站立处点O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系.（1）求抛物线ACD 的函数解析式；（2）求篮球第二次的落地点E 到点O 的距离.（结果保留整数）（3）若小明想一次投中篮球框，他应该向前走多少米？（结果精确到0.1m ）（参考数据：√3≈1.73，√6≈2.45）23．如图，抛物线 y =12x 2+2x +c 经过点 A(0，3) ，将该抛物线平移后，点 A(0，3) 到达点 B(4，1) 的位置.（1）求平移后抛物线的解析式，并在同一平面直角坐标系中画出平移后的抛物线； （2）过点B 画平行于y 轴的直线交原抛物线于点C ，求线段 BC 的长；（3）若平行于y 轴的直线 l ：x =m 与两条抛物线的交点是 P ，Q ，当线段 PQ 的长度超过6时，求m 的取值范围.24．已知抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于点A(1，0)，B(3，0)，且过点C(0，-3).（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y=-x 上，并写出平移后抛物线的解析式.参考答案1．【答案】D 2．【答案】B 3．【答案】B 4．【答案】D 5．【答案】C 6．【答案】D 7．【答案】B 8．【答案】B 9．【答案】B 10．【答案】B 11．【答案】A 12．【答案】D13．【答案】右；1；下；9 14．【答案】4 15．【答案】(-5,-2) 16．【答案】−3<m <−15817．【答案】13 （x+1）2+2 18．【答案】219．【答案】（1）解：二次函数y=x 2﹣1的图象M 沿x 轴翻折得到函数的解析式为y=﹣x 2+1，此时顶点坐标（0，1）将此图象向右平移2个单位长度后再向上平移8个单位长度得到二次函数图象N 的顶点为（2，9） 故N 的函数表达式y=﹣（x ﹣2）2+9=﹣x 2+4x+5 （2）解：∵A （﹣1，0），B （1，0）∴PA 2+PB 2=（m+1）2+n 2+（m ﹣1）2+n 2=2（m 2+n 2）+2=2•PO 2+2∴当PO 最大时PA 2+PB 2最大．如图，延长OC 与⊙O 交于点P ，此时OP 最大∴OP的最大值=OC+PO= √17+1∴PA2+PB2最大值=2（√17+1）2+2=38+4 √17（3）解：M与N所围成封闭图形如图所示由图象可知，M与N所围成封闭图形内（包括边界）整点的个数为25个20．【答案】（1）解：如图所示：抛物线y＝12x2开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标(0，0)；抛物线y＝12x2－1开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标(0，－1)（2）解：抛物线y＝12x2－1可由抛物线y＝12x2向下平移1个单位长度得到21．【答案】（1）解：该二次函数图象与x轴有2个交点．理由如下：y＝(x﹣m)2﹣(x﹣m)＝x2﹣(2m+1)x+m2+m ∵⊙＝(2m+1)2﹣4(m2+m)＝1＞0∴该二次函数图象与x轴有2个交点（2）解：∵该二次函数的顶点坐标为( 72，n)∴﹣−(2m+1)2＝72∴m＝3，n＝﹣1 4（3）解：证明：y＝x2﹣(2m+1)x+m2+m＝(x﹣2m+12)2﹣14抛物线y＝(x﹣2m+12)2﹣14的顶点坐标为(2m+12，﹣14)把抛物线y＝(x﹣2m+12)2﹣14向上平移k个单位后顶点坐标为(2m+12,−14+k)∵把函数图象向上平移k个单位，使得对于任意的x都有y大于0∴平移后的抛物线在x轴上方∴﹣14+k＞0∴k＞1 422．【答案】（1）解：由题意知设抛物线ACD的函数解析式为y=a(x−k)2+ℎ(a≠0)；将A(0，1)、C(6，4)代入表达式得，1=a(0−6)2+4解得a=−112；∴y=−112(x−6)2+4；令y=0得∴抛物线ACD的函数解析式为y=−112(x−6)2+4(0≤x≤4√3+6)；（2）解：由题意，将y=−112(x−6)2+4向下平移两个单位得令y=0得，0=−112(x−6)2+2，解得：x1=6+2√6，x2=6−2√6∴4√3+6−(6−2√6)=4√3+2√6∴4√3+2√6+6+2√6=4√3+4√6+6∴E(4√3+4√6+6，0)∴OE=4√3+4√6+6≈23(m)（3）解：令y=3得解得：x1=6+2√3，x2=6−2√3OF=OE+EF=4√3+4√6+8(m)4√3+4√6+8−(6+2√3)=4√6+2√3+2≈15.3(m)4√3+4√6+8−(6−2√3)=4√6+6√3+2≈22.2(m)∴小明想一次投中篮球框，他应该向前走15.3m或22.2m.23．【答案】（1）解：∵抛物线y＝12x2+2x+c经过点A（0，3）∴c＝3∴y＝12x2+2x+3＝12（x+2）2+1由题意可知，抛物线向右平移4个单位，向下平移2个单位∴平移后抛物线的解析式为y＝12（x+2﹣4）2+1﹣2，即y＝12（x﹣2）2﹣1如图（2）解：把x＝4代入y＝12x2+2x+3得，y＝12×16+2×4+3＝19∴C（4，19）∴BC＝19﹣1＝18；（3）解：当12m2+2m+3−(12m2−2m+1)=6时，m=1；当12m2−2m+1−(12m2+2m+3)=6时，m=-2；由图象可知，当m＞1或m＜﹣2时，线段PQ的长度超过6.24．【答案】（1）解：∵抛物线与x轴交于点A（1，0），B（3，0）可设抛物线解析式为y=a（x-1）（x-3）把C（0，-3）代入得：3a=-3解得：a=-1故抛物线解析式为y=-（x-1）（x-3）即y=-x2+4x-3∵y=-x2+4x-3=-（x-2）2+1∴顶点坐标（2，1）（2）解：先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的解析式为y=-x2，平移后抛物线的顶点为（0，0）落在直线y=-x上．。
初三数学 二次函数图像性质及几何变换
初三数学二次函数图像性质及几何变换一．选择题（共50小题）1．抛物线y＝﹣3（x﹣2）2+4的开口方向和顶点坐标分别是（）A．向上，（2，4）B．向上，（﹣2，4）C．向下，（2，4）D．向下，（﹣2，4）2．关于y＝2（x﹣3）2+2的图象，下列叙述正确的是（）A．顶点坐标为（﹣3，2）B．对称轴为直线y＝3C．当x≥3时，y随x增大而增大D．当x≥3时，y随x增大而减小3．关于抛物线y＝﹣x2﹣2x的叙述，正确的是（）A．开口向下，对称轴是直线x＝﹣1B．开口向下，对称轴是直线x＝1C．开口向上，对称轴是直线x＝﹣1D．开口向上，对称轴是直线x＝14．关于二次函数y＝x2+2x﹣8，下列说法正确的是（）A．图象的对称轴在y轴的右侧B．图象与y轴的交点坐标为（0，8）C．当x＞﹣1时，y随x的增大而减小D．y的最小值为﹣95．关于二次函数y＝（x+1）2﹣3，下列说法错误的是（）A．图象的开口方向向上B．函数的最小值为﹣3C．图象的顶点坐标为（1，﹣3）D．当x＜﹣1时，y随x的增大而减小6．关于抛物线y＝﹣x2+2x﹣3的判断，下列说法正确的是（）A．抛物线的开口方向向上B．抛物线的对称轴是直线x＝﹣1C．当x＜1时，y随x的增大而减小D．抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣3）7．对二次函数y＝x2+2x+3的性质描述正确的是（）A．函数图象开口朝下B．当x＜0时，y随x的增大而减小C．该函数图象的对称轴在y轴左侧D．该函数图象与y轴的交点位于y轴负半轴8．关于二次函数y＝（x+2）2﹣4，下列说法正确的是（）A．函数图象的开口向下B．函数图象的顶点坐标是（2，﹣4）C．该函数的最大值是﹣4D．当x≥﹣2时，y随x的增大而增大9．已知点（﹣4，y1）、（﹣1，y2）、（2，y3）都在函数y＝﹣x2+5的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y3＞y2＞y1C．y2＞y3＞y1D．y3＞y1＞y210．已知点A（4，y1），B（1，y2），C（﹣2，y3）都在二次函数y＝（x﹣2）2﹣1的图象上，则y1，y2，y3从小到大排列（）A．y1＜y3＜y2B．y2＜y1＜y3C．y1＜y2＜y3D．y3＜y1＜y211．若二次函数y＝x2﹣4x+k的图象经过点（﹣1，y1），（3，y2），则y1与y2的大小关系为（）A．y1＝y2B．y1＞y2C．y1＜y2D．不能确定12．已知二次函数y＝a（x﹣1）2+4的图象开口向上，若点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（5，y3）都在该函数图象上，则y1，y2，y3三者之间的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y2＜y1＜y3D．y3＜y1＜y213．已知（﹣1，y1），（﹣2，y2），（﹣4，y3）是抛物线y＝﹣2x2﹣8x+m上的点，则（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y2＞y1＞y3D．y2＞y3＞y114．已知抛物线y＝﹣x2+2x+c，若点（0，y1）（1，y2）（3，y3）都在该抛物线上，则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y3＞y1＞y2B．y3＜y2＜y1C．y3＞y2＞y1D．y3＜y1＜y215．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+3（a＞0），A（﹣1，y1），B（2，y2），C（4，y3）是抛物线上三点，则y1，y2，y3由小到大的排列是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y2＜y3＜y116．若A（﹣4，y1），B（﹣3，y2），C（1，y3）为二次函数y＝ax2+4ax﹣5（a＞0）的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y217．点（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）都在抛物线y＝﹣x2+2x+c上，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y2＜y1＜y3D．y3＜y1＜y218．点（3，y1），（﹣2，y2），（0，y3）在抛物线y＝mx2﹣4mx+n（m＜0）上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y2＜y3＜y1B．y1＜y3＜y2C．y1＜y2＜y3D．y3＜y1＜y219．把抛物线y＝x2+1向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线（）A．y＝（x+3）2﹣1B．y＝（x+3）2+3C．y＝（x﹣3）2﹣1D．y＝（x﹣3）2+320．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2+3先沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向下平移4个单位长度，则平移后得到的抛物线是（）A．y＝（x﹣3）2﹣4B．y＝（x﹣3）2﹣1C．y＝（x+3）2﹣4D．y＝（x+3）2﹣121．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x﹣2）2+1的图象向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得图象对应的函数表达式为（）A．y＝（x+2）2﹣1B．y＝（x+2）2+3C．y＝x2﹣1D．y＝x2+322．要将抛物线y＝x2平移后得到抛物线y＝x2+4x+5，下列平移方法正确的是（）A．向左平移2个单位，再向上平移1个单位B．向左平移2个单位，再向下平移1个单位C．向右平移2个单位，再向上平移1个单位D．向右平移2个单位，再向下平移1个单位23．把抛物线y＝ax2+bx+c的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y＝x2﹣2x+3，则b+c 的值为（）A．12B．9C．﹣14D．1024．抛物线y＝3x2﹣6x﹣3的图象向左平移2个单位，再向上平移2个单位，所得图象的解析式为y＝3x2+bx+c，则b，c的值为（）A．b＝6，c＝﹣1B．b＝﹣18，c＝23C．b＝6，c＝﹣5D．b＝﹣18，c＝2925．二次函数y＝x2+2x+3图象上的两点A（x1，y1）与B（x2，y2）关于对称轴对称，则（）A．x1+x2＝﹣2；y1＝y2B．x1+x2＝﹣1；y1＝﹣y2C．x1＝x2；y1＝y2D．x1＝﹣x2；y1＝﹣y226．将抛物线y＝x2﹣2x+1向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到抛物线y＝x2+bx+c，则b，c的值为（）A．b＝﹣8，c＝18B．b＝8，c＝14C．b＝﹣4，c＝6D．b＝4，c＝627．如果将抛物线y＝ax2+bx+c向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到新的抛物线y＝x2﹣2x+1，那么（）A．b＝6，c＝12B．b＝﹣6，c＝6C．b＝2，c＝﹣2D．b＝2，c＝428．先将抛物线y＝（x﹣1）2+2关于x轴作轴对称变换，所得的新抛物线的解析式为（）A．y＝﹣（x﹣1）2+2B．y＝﹣（x+1）2+2C．y＝﹣（x﹣1）2﹣2D．y＝﹣（x+1）2﹣229．在平面直角坐标系中，先将抛物线y＝x2+2x﹣8关于y轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于x轴作轴对称变换，那么经过两次变换后所得的新抛物线的解析式为（）A．y＝﹣x2﹣2x﹣8B．y＝﹣x2﹣2x+8C．y＝﹣x2+2x﹣8D．y＝﹣x2+2x+830．在平面直角坐标系中，先将抛物线y＝x2+x﹣2关于x轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（）A．y＝﹣x2﹣x+2B．y＝﹣x2+x﹣2C．y＝﹣x2+x+2D．y＝x2+x+231．将抛物线y＝（x﹣1）2+2沿y轴折叠后得到的新抛物线的解析式为（）A．y＝（x+1）2﹣2B．y＝（x﹣1）2﹣2C．y＝﹣（x﹣1）2﹣2D．y＝（x+1）2+232．二次函数y＝﹣x2+6x+a的最大值是10，那么a的值等于（）A．﹣1B．1C．3D．433．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象如图，当﹣5≤x≤0时，下列说法正确的是（）A．有最小值﹣5、最大值0B．有最小值﹣3、最大值6C．有最小值0、最大值6D．有最小值2、最大值634．当0≤x≤3，函数y＝﹣x2+4x+5的最大值与最小值分别是（）A．9，5B．8，5C．9，8D．8，435．已知0≤x≤1，那么函数y＝﹣2x2+8x﹣6的最大值是（）A．﹣6B．0C．2D．436．已知二次函数的图象（0≤x≤4）如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（）A．有最大值2，有最小值﹣2.5B．有最大值2，有最小值1.5C．有最大值1.5，有最小值﹣2.5D．有最大值2，无最小值37．当a﹣1≤x≤a时，二次函数y＝x2﹣4x+3的最小值为8，则a的值为（）A．﹣1 或5B．0或6C．﹣1或6D．0或538．当a≤x≤a+2时，二次函数y＝x2﹣4x+4的最小值为1，则a的值为（）A．﹣1B．3C．﹣1或3D．0或339．已知二次函数y＝x2+2x+3，当0≤x≤3时，下列说法正确的是（）A．有最小值2，最大值18B．有最小值3，最大值18C．有最小值0，最大值3D．有最小值2，最大值1240．二次函数y＝﹣x2﹣2x+c在﹣3≤x≤2的范围内有最大值为﹣5，则c的值是（）A．﹣2B．3C．﹣3D．﹣641．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴是直线x＝﹣1．下列结论中：①ac＜0；②b2＞4ac；③2a+b＝0；④a+b+c＞0．正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个42．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x＝﹣1，且过点（﹣3，0）．则下列说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③a+b+c＝0；④若（﹣6，y1），是抛物线上的两点，则y1＞y2．其中正确的有（）个．A．1B．2C．3D．443．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，则以下五个结论①abc＞0，②2a+b＝0，③b2＞4ac，④4a+2b+c ＞0，⑤3a+c＜0中，正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个44．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图，下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③4a+2b+c＞0；④a﹣b+c＞0；⑤b2﹣4ac＞0．其中正确的是（）A．②③④⑤B．①②④C．②③⑤D．①②③④⑤45．二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为直线x＝1，其图象如图所示，现有下列结论：①abc＞0；②b﹣2a＜0；③4a+2b+c＜0；④a+b≥m（am+b）．其中正确的结论有（）个．A．1个B．2个C．3个D．4个46．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论正确的个数为（）①abc＜0；②c+2a＜0；③9a﹣3b+c＝0；④am2﹣a+bm+b＞0（m为任意实数）A．1个B．2个C．3个D．4个47．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②3a+c＞0；③（a+c）2﹣b2＜0；④a+b≤m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的为（）A．①④B．②③④C．①②④D．①②③④48．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：①abc＜0；②方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有一个根大于2且小于3；③11a+2c＞0；④对于任意实数m，都有m（am+b）≥a+b，其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个49．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图．下列结论：①abc＞0；②a﹣b+c＜0；③若m为任意实数，则有a+b≥am2+bm；④若，且x1≠x2，则x1+x2＝2；其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个50．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：①abc＞0；②2a﹣b＝0；③若A（﹣1，y1），B（2，y2），C（4，y3）是抛物线上三点，则y3＜y2＜y1；④3a+c＞0；⑤am2+bm＜a+b（m≠1）；⑥关于x的方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，且这四个根的和为4，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个( 50题) ( 59题)二．填空题（共10小题）51．若抛物线y＝x2+6x﹣m与x轴有公共点，则m的取值范围为．52．若二次函数y＝x2﹣6x+k与x轴有两个交点，则k的取值范围是．53．若关于x的函数y＝x2﹣2x+k+1的图象与x轴只有1个交点，则k的值是．54．二次函数y＝（k﹣1）x2﹣2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是．55．二次函数y＝x2﹣6x+5的图象与x轴交点坐标是．56．已知二次函数y＝x2+4x+c的图象与x轴的一个交点坐标是（2，0），则它与x轴的另一个交点坐标是．57．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c与x轴的一个交点坐标为（3，0），与x轴的另一个交点坐标为．58．抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标分别为（﹣3，0）和（1，0），则抛物线的对称轴为直线．59．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个根为x＝4，则另一个根为．60．抛物线y＝﹣4（x+3）2与x轴的交点坐标是，与y轴的交点坐标是．。
类型7 二次函数图像与几何变换(精选20题) 2020年中考数学 三轮冲刺 难点题型突破
二次函数图像与几何变换1．将抛物线y＝﹣x2+2x+3在x轴上方的部分沿x轴翻折至x轴下方，图象的剩余部分不变，得到一个新的函数图象，那么直线y＝x+b与此新图象的交点个数的情况有（）种．A．6B．5C．4D．32．边长为1的正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，将正方形OABC绕顶点O顺时针旋转75°，使点B落在抛物线y＝ax2（a＜0）的图象上．则抛物线y＝ax2的函数解析式为（）A．y＝﹣B．y＝﹣C．y＝﹣2x2D．y＝﹣3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2经过平移得到抛物线y＝x2﹣2x，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为（）A．2B．4C．8D．164．如图，将函数y＝（x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A（1，m），B（4，n）平移后的对应点分别为点A'、B'．若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（）A．B．C．D．5．如图，点A（m，5），B（n，2）是抛物线C1：y＝x2﹣2x+3上的两点，将抛物线C1向左平移，得到抛物线C2，点A，B的对应点分别为点A'，B'．若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则抛物线C2的解析式是（）A．y＝（x﹣5）2+1B．y＝（x﹣2）2+4C．y＝（x+1）2+1D．y＝（x+2）2﹣26．如图，一段抛物线：y＝﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…如此进行下去，直至得C13．若P（37，m）在第13段抛物线C13上，则m＝．7．如图，在平面直角坐标系中，将抛物线y＝﹣x2+4绕点A（2，0）旋转180°，则旋转后的抛物线所对应的函数表达式为．8．如图，抛物线y＝x2在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为A1，A2，A3…A n，…．将抛物线y＝x2沿直线L：y＝x向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件：①抛物线的顶点M1，M2，M3，…M n，…都在直线L：y＝x上；②抛物线依次经过点A1，A2，A3…A n，…．则顶点M2014的坐标为（，）．9．如图，抛物线y＝x2+bx+与y轴相交于点A，与过点A平行于x轴的直线相交于点B（点B在第一象限）．抛物线的顶点C在直线OB上，对称轴与x轴相交于点D．平移抛物线，使其经过点A、D，则平移后的抛物线的解析式为．10．如图，已知抛物线C1：y＝a1x2+b1x+c1和C2：y＝a2x2+b2x+c2都经过原点，顶点分别为A，B，与x轴的另一交点分别为M，N，如果点A与点B，点M与点N都关于原点O成中心对称，则称抛物线C1和C2为姐妹抛物线，请你写出一对姐妹抛物线C1和C2，使四边形ANBM恰好是矩形，你所写的一对抛物线解析式是和．11．如图，抛物线的顶点为P（﹣2，2），与y轴交于点A（0，3）．若平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′（2，﹣2），点A的对应点为A′，则抛物线上P A段扫过的区域（阴影部分）的面积为．12．如图，抛物线y1＝﹣x2+2向右平移1个单位得到抛物线y2，则图中阴影部分的面积S ＝．13．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，顶点C的纵坐标为﹣2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y＝a1x2+b1x+c1，则下列结论正确的是．（写出所有正确结论的序号）①b＞0②a﹣b+c＜0③阴影部分的面积为4④若c＝﹣1，则b2＝4a．14．如图，把抛物线y＝x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（﹣6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y＝x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为．15．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（0，2），（1，0），顶点C在函数y＝x2+bx﹣1的图象上，将正方形ABCD沿x轴正方形平移后得到正方形A′B′C′D′，点D的对应点D′落在抛物线上，则点D与其对应点D′间的距离为．16．如图，把函数y＝x的图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变，得到函数y ＝2x的图象；也可以把函数y＝x的图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝2x的图象．类似地，我们可以认识其他函数．（1）把函数y＝的图象上各点的纵坐标变为原来的倍，横坐标不变，得到函数y＝的图象；也可以把函数y＝的图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝的图象．（2）已知下列变化：①向下平移2个单位长度；②向右平移1个单位长度；③向右平移个单位长度；④纵坐标变为原来的4倍，横坐标不变；⑤横坐标变为原来的倍，纵坐标不变；⑥横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变．（Ⅰ）函数y＝x2的图象上所有的点经过④→②→①，得到函数的图象；（Ⅱ）为了得到函数y＝﹣（x﹣1）2﹣2的图象，可以把函数y＝﹣x2的图象上所有的点．A．①→⑤→③B．①→⑥→③C．①→②→⑥D．①→③→⑥（3）函数y＝的图象可以经过怎样的变化得到函数y＝﹣的图象？（写出一种即可）17．如图，A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点在一次函数y2＝﹣x+m与二次函数y1＝ax2+bx﹣3图象上．（1）求m的值和二次函数的解析式．（2）请直接写出使y2＞y1时，自变量x的取值范围．（3）说出所求的抛物线y1＝ax2+bx﹣3可由抛物线y＝x2如何平移得到？18．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A（3，4），C在x轴的负半轴，抛物线y＝﹣（x﹣2）2+k过点A．（1）求k的值；（2）若把抛物线y＝﹣（x﹣2）2+k沿x轴向左平移m个单位长度，使得平移后的抛物线经过菱形OABC的顶点C．试判断点B是否落在平移后的抛物线上，并说明理由．19．如图，四边形ABCO为矩形，点A在x轴上，点C在y轴上，且点B的坐标为（﹣1，2），将此矩形绕点O顺时针旋转90°得矩形DEFO，抛物线y＝﹣x2+bx+c过B，E两点．（1）求此抛物线的函数关系式．（2）将矩形ABCO向左平移，并且使此矩形的中心在此抛物线上，求平移距离．（3）将矩形DEFO向上平移距离d，并且使此抛物线的顶点在此矩形的边上，则d的值是．20．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（2，﹣3）两点，与y轴交于点D，与x轴交于另一点B．（1）求此抛物线的解析式及顶点坐标；（2）若将此抛物线平移，使其顶点为点D，需如何平移？写出平移后抛物线的解析式；（3）过点P（m，0）作x轴的垂线（1≤m≤2），分别交平移前后的抛物线于点E，F，交直线OC于点G，求证：PF＝EG．试题解析1．将抛物线y＝﹣x2+2x+3在x轴上方的部分沿x轴翻折至x轴下方，图象的剩余部分不变，得到一个新的函数图象，那么直线y＝x+b与此新图象的交点个数的情况有（）种．A．6B．5C．4D．3解：如图1，所示：函数图象没有交点．如图2所示：函数图象有1个交点．如图3所示，图象有两个交点．如图4所示函数图象有3个交点．如图5所示，图象有4个交点．综上所述，共有5种情况．故选：B．2．边长为1的正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，将正方形OABC绕顶点O顺时针旋转75°，使点B落在抛物线y＝ax2（a＜0）的图象上．则抛物线y＝ax2的函数解析式为（）A．y＝﹣B．y＝﹣C．y＝﹣2x2D．y＝﹣解：如图，作BE⊥x轴于点E，连接OB，∵正方形OABC绕顶点O顺时针旋转75°，∴∠AOE＝75°，∵∠AOB＝45°，∴∠BOE＝30°，∵OA＝1，∴OB＝，∵∠OEB＝90°，∴BE＝OB＝，∴OE＝，∴点B坐标为（，﹣），代入y＝ax2（a＜0）得a＝﹣，∴y＝﹣．故选：B．3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2经过平移得到抛物线y＝x2﹣2x，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为（）A．2B．4C．8D．16解：过点C作CA⊥y，∵抛物线y＝＝（x2﹣4x）＝（x2﹣4x+4）﹣2＝（x﹣2）2﹣2，∴顶点坐标为C（2，﹣2），对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为：2×2＝4，故选：B．4．如图，将函数y＝（x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A（1，m），B（4，n）平移后的对应点分别为点A'、B'．若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（）A．B．C．D．解：∵函数y＝（x﹣2）2+1的图象过点A（1，m），B（4，n），∴m＝（1﹣2）2+1＝1，n＝（4﹣2）2+1＝3，∴A（1，1），B（4，3），过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，则C（4，1），∴AC＝4﹣1＝3，∵曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），∴AC•AA′＝3AA′＝9，∴AA′＝3，即将函数y＝（x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移3个单位长度得到一条新函数的图象，∴新图象的函数表达式是y＝（x﹣2）2+4．故选：D．5．如图，点A（m，5），B（n，2）是抛物线C1：y＝x2﹣2x+3上的两点，将抛物线C1向左平移，得到抛物线C2，点A，B的对应点分别为点A'，B'．若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则抛物线C2的解析式是（）A．y＝（x﹣5）2+1B．y＝（x﹣2）2+4C．y＝（x+1）2+1D．y＝（x+2）2﹣2解：y＝x2﹣2x+3＝（x﹣2）2+1．∵曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），点A（m，5），B（n，2）∴3BB′＝9，∴BB′＝3，即将函数y＝（x﹣2）2+1的图象沿x轴向左平移3个单位长度得到一条新函数的图象，∴新图象的函数表达式是y＝（x+1）2+1．故选：C．6．如图，一段抛物线：y＝﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…如此进行下去，直至得C13．若P（37，m）在第13段抛物线C13上，则m＝2．解：∵一段抛物线：y＝﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），∴图象与x轴交点坐标为：（0，0），（3，0），∵将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…如此进行下去，直至得C13．∴C13的解析式与x轴的交点坐标为（36，0），（39，0），且图象在x轴上方，∴C13的解析式为：y13＝﹣（x﹣36）（x﹣39），当x＝37时，y＝﹣（37﹣36）×（37﹣39）＝2．故答案为：2．7．如图，在平面直角坐标系中，将抛物线y＝﹣x2+4绕点A（2，0）旋转180°，则旋转后的抛物线所对应的函数表达式为y＝（x﹣4）2﹣4．解：抛物线y＝﹣x2+4的顶点坐标（0，4），该顶点关于A（2，0）对称的点的坐标是（4，﹣4）．根据旋转的性质，旋转后的抛物线所对应的函数表达式为y＝（x﹣4）2﹣4．故答案是：y＝（x﹣4）2﹣4．8．如图，抛物线y＝x2在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为A1，A2，A3…A n，…．将抛物线y＝x2沿直线L：y＝x向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件：①抛物线的顶点M1，M2，M3，…M n，…都在直线L：y＝x上；②抛物线依次经过点A1，A2，A3…A n，…．则顶点M2014的坐标为（4027，4027）．解：M1（a1，a1）是抛物线y1＝（x﹣a1）2+a1的顶点，抛物线y＝x2与抛物线y1＝（x﹣a1）2+a1相交于A1，得x2＝（x﹣a1）2+a1，即2a1x＝a12+a1，x＝（a1+1）．∵x为整数点∴a1＝1，M1（1，1）；M2（a2，a2）是抛物线y2＝（x﹣a2）2+a2＝x2﹣2a2x+a22+a2顶点，抛物线y＝x2与y2相交于A2，x2＝x2﹣2a2x+a22+a2，∴2a2x＝a22+a2，x＝（a2+1）．∵x为整数点，∴a2＝3，M2（3，3），M3（a3，a3）是抛物线y2＝（x﹣a3）2+a3＝x2﹣2a3x+a32+a3顶点，抛物线y＝x2与y3相交于A3，x2＝x2﹣2a3x+a32+a3，∴2a3x＝a32+a3，x＝（a3+1）．∵x为整数点∴a3＝5，M3（5，5），∴点M2014，两坐标为：2014×2﹣1＝4027，∴M2014（4027，4027），故答案为：（4027，4027）9．如图，抛物线y＝x2+bx+与y轴相交于点A，与过点A平行于x轴的直线相交于点B（点B在第一象限）．抛物线的顶点C在直线OB上，对称轴与x轴相交于点D．平移抛物线，使其经过点A、D，则平移后的抛物线的解析式为y＝x2﹣x+．解：∵令x＝0，则y＝，∴点A（0，），B（﹣b，），∴抛物线的对称轴为x＝﹣，直线OB的解析式为y＝﹣x，∵抛物线的顶点C在直线OB上，∴y＝∴顶点C的纵坐标为×＝，即＝，解得b1＝3，b2＝﹣3，由图可知，﹣＞0，∴b＜0，∴b＝﹣3，∴对称轴为直线x＝﹣＝，∴点D的坐标为（，0），设平移后的抛物线的解析式为y＝x2+mx+n，则，解得，所以，y＝x2﹣x+．故答案为：y＝x2﹣x+．10．如图，已知抛物线C1：y＝a1x2+b1x+c1和C2：y＝a2x2+b2x+c2都经过原点，顶点分别为A，B，与x轴的另一交点分别为M，N，如果点A与点B，点M与点N都关于原点O成中心对称，则称抛物线C1和C2为姐妹抛物线，请你写出一对姐妹抛物线C1和C2，使四边形ANBM恰好是矩形，你所写的一对抛物线解析式是y＝﹣x2+2x和y＝x2+2x（答案不唯一）．解：连接AB，根据姐妹抛物线的定义，可得姐妹抛物线的二次项的系数互为相反数，一次项系数相等且不等于零，常数项都是零，设抛物线C1的解析式为y＝ax2+bx，根据四边形ANBM恰好是矩形可得：OA＝OM，∵OA＝MA，∴△AOM是等边三角形，设OM＝2，则点A的坐标是（1，），则，解得：则抛物线C1的解析式为y＝﹣x2+2x，抛物线C2的解析式为y＝x2+2x，故答案为：y＝﹣x2+2x，y＝x2+2x（答案不唯一）．11．如图，抛物线的顶点为P（﹣2，2），与y轴交于点A（0，3）．若平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′（2，﹣2），点A的对应点为A′，则抛物线上P A段扫过的区域（阴影部分）的面积为12．解：连接AP，A′P′，过点A作AD⊥PP′于点D，由题意可得出：AP∥A′P′，AP＝A′P′，∴四边形APP′A′是平行四边形，∵抛物线的顶点为P（﹣2，2），与y轴交于点A（0，3），平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′（2，﹣2），∴PO＝＝2，∠AOP＝45°，又∵AD⊥OP，∴△ADO是等腰直角三角形，∴PP′＝2×2＝4，∴AD＝DO＝sin45°•OA＝×3＝，∴抛物线上P A段扫过的区域（阴影部分）的面积为：4×＝12．故答案为：12．12．如图，抛物线y1＝﹣x2+2向右平移1个单位得到抛物线y2，则图中阴影部分的面积S ＝2．解：如图，∵抛物线y1＝﹣x2+2向右平移1个单位得到抛物线y2，∴两个顶点的连线平行x轴，∴图中阴影部分和图中红色部分是等底等高的，∴图中阴影部分等于红色部分的面积，而红色部分的是一个矩形，长、宽分别为2，1，∴图中阴影部分的面积S＝2．13．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，顶点C的纵坐标为﹣2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y＝a1x2+b1x+c1，则下列结论正确的是③④．（写出所有正确结论的序号）①b＞0②a﹣b+c＜0③阴影部分的面积为4④若c＝﹣1，则b2＝4a．解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，又∵对称轴为x＝﹣＞0，∴b＜0，∴结论①不正确；∵x＝﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，∴结论②不正确；∵抛物线向右平移了2个单位，∴平行四边形的底是2，∵函数y＝ax2+bx+c的最小值是y＝﹣2，∴平行四边形的高是2，∴阴影部分的面积是：2×2＝4，∴结论③正确；∵，c＝﹣1，∴b2＝4a，∴结论④正确．综上，结论正确的是：③④．故答案为：③④．14．如图，把抛物线y＝x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（﹣6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y＝x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为．解：过点P作PM⊥y轴于点M，∵抛物线平移后经过原点O和点A（﹣6，0），∴平移后的抛物线对称轴为x＝﹣3，得出二次函数解析式为：y＝（x+3）2+h，将（﹣6，0）代入得出：0＝（﹣6+3）2+h，解得：h＝﹣，∴点P的坐标是（﹣3，﹣），根据抛物线的对称性可知，阴影部分的面积等于矩形NPMO的面积，∴S＝|﹣3|×|﹣|＝．故答案为：．15．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（0，2），（1，0），顶点C在函数y＝x2+bx﹣1的图象上，将正方形ABCD沿x轴正方形平移后得到正方形A′B′C′D′，点D的对应点D′落在抛物线上，则点D与其对应点D′间的距离为2．解：如图，过C作GH⊥x轴，交x轴于G，过D作DH⊥GH于H，∵A（0，2），B（1，0），∴OA＝2，OB＝1，∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠ABO+∠CBG＝90°，∵∠ABO+∠OAB＝90°，∴∠CBG＝∠OAB，∵∠AOB＝∠BGC＝90°，∴△AOB≌△BGC，∴BG＝OA＝2，CG＝OB＝1，∴C（3，1），同理得：△BCG≌△CDH，∴CH＝BG＝2，DH＝CG＝1，∴D（2，3），∵C在抛物线的图象上，把C（3，1）代入函数y＝x2+bx﹣1中得：b＝﹣，∴y＝x2﹣x﹣1，设D（x，y），由平移得：D与D′的纵坐标相同，则y＝3，当y＝3时，x2﹣x﹣1＝3，解得：x1＝4，x2＝﹣3（舍），∴DD′＝4﹣2＝2，则点D与其对应点D′间的距离为2，故答案为：2．16．如图，把函数y＝x的图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变，得到函数y ＝2x的图象；也可以把函数y＝x的图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝2x的图象．类似地，我们可以认识其他函数．（1）把函数y＝的图象上各点的纵坐标变为原来的6倍，横坐标不变，得到函数y ＝的图象；也可以把函数y＝的图象上各点的横坐标变为原来的6倍，纵坐标不变，得到函数y＝的图象．（2）已知下列变化：①向下平移2个单位长度；②向右平移1个单位长度；③向右平移个单位长度；④纵坐标变为原来的4倍，横坐标不变；⑤横坐标变为原来的倍，纵坐标不变；⑥横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变．（Ⅰ）函数y＝x2的图象上所有的点经过④→②→①，得到函数y＝4（x﹣1）2﹣2的图象；（Ⅱ）为了得到函数y＝﹣（x﹣1）2﹣2的图象，可以把函数y＝﹣x2的图象上所有的点D．A．①→⑤→③B．①→⑥→③C．①→②→⑥D．①→③→⑥（3）函数y＝的图象可以经过怎样的变化得到函数y＝﹣的图象？（写出一种即可）解：（1）把函数y＝的图象上各点的纵坐标变为原来的6倍，横坐标不变，设y′＝6y，x′＝x，将y＝，x＝x′代入xy＝1可得y′＝，得到函数y＝的图象；也可以把函数y＝的图象上各点的横坐标变为原来的6倍，纵坐标不变，设y′＝y，x′＝6x，将y＝y′，x＝代入xy＝1可得y′＝，得到函数y＝的图象；（2）（Ⅰ）函数y＝x2的图象上所有的点经过“纵坐标变为原来的4倍，横坐标不变”的变化后，得到y＝4x2的图象；y＝4x2的图象经过“向右平移1个单位长度”的变化后，得到y＝4（x﹣1）2的图象；y＝4（x﹣1）2的图象经过“向下平移2个单位长度”的变化后，得到y＝4（x﹣1）2﹣2的图象．（Ⅱ）为了得到函数y＝﹣（x﹣1）2﹣2的图象，可以把函数y＝﹣x2的图象上所有的点先向下平移2个单位长度，得到y＝﹣x2﹣2的图象，再把y＝﹣x2﹣2的图象向右平移个单位长度，得到y＝﹣（x﹣）2﹣2的图象；最后把y＝﹣（x﹣）2﹣2的图象的横坐标变为原来的2倍，得到y＝﹣（x﹣）2﹣2的图象，即y＝﹣（x﹣1）2﹣2的图象．（3）∵y＝﹣＝＝﹣1，∴函数y＝的图象先将纵坐标变为原来的倍，横坐标不变，得到y＝；再向左平移2个单位，向下平移1个单位即可得到函数y＝﹣的图象．故答案为：（1）6，6；（2）（Ⅰ）y＝4（x﹣1）2﹣2；（Ⅱ）D．17．如图，A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点在一次函数y2＝﹣x+m与二次函数y1＝ax2+bx﹣3图象上．（1）求m的值和二次函数的解析式．（2）请直接写出使y2＞y1时，自变量x的取值范围．（3）说出所求的抛物线y1＝ax2+bx﹣3可由抛物线y＝x2如何平移得到？解：（1）把A（﹣1，0）代入y2＝﹣x+m得：0＝﹣（﹣1）+m，∴m＝﹣1．把A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点代入y1＝ax2+bx﹣3得：，解得：，∴y1＝x2﹣2x﹣3；（2）∵y1＝x2﹣2x﹣3＝（x+1）（x﹣3），抛物线开口向上，∴A（﹣1，0），B（2，﹣3）∴当y2＞y1时，﹣1＜x＜2；（3）∵抛物线y1＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴所求抛物线可由抛物线y＝x2向下平移4个单位，再向右平移1个单位而得到．18．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A（3，4），C在x轴的负半轴，抛物线y＝﹣（x﹣2）2+k过点A．（1）求k的值；（2）若把抛物线y＝﹣（x﹣2）2+k沿x轴向左平移m个单位长度，使得平移后的抛物线经过菱形OABC的顶点C．试判断点B是否落在平移后的抛物线上，并说明理由．解：（1）∵经过点A（3，4），∴，解得：；（2）如图所示，设AB与y轴交于点D，则AD⊥y轴，AD＝3，OD＝4，．∵四边形OABC是菱形，∴OA＝AB＝OC＝5，BD＝AB﹣AD＝2，∴B（﹣2，4）．令y＝0，得，解得：x1＝0，x2＝4，∴抛物线与x轴交点为O（0，0）和E（4，0），OE＝4，当m＝OC＝5时，平移后的抛物线为，令x＝﹣2得，，∴点B在平移后的抛物线上；当m＝CE＝9时，平移后的抛物线为，令x＝﹣2得，，∴点B不在平移后的抛物线上．综上，当m＝5时，点B在平移后的抛物线上；当m＝9时，点B不在平移后的抛物线上．19．如图，四边形ABCO为矩形，点A在x轴上，点C在y轴上，且点B的坐标为（﹣1，2），将此矩形绕点O顺时针旋转90°得矩形DEFO，抛物线y＝﹣x2+bx+c过B，E两点．（1）求此抛物线的函数关系式．（2）将矩形ABCO向左平移，并且使此矩形的中心在此抛物线上，求平移距离．（3）将矩形DEFO向上平移距离d，并且使此抛物线的顶点在此矩形的边上，则d的值是或．解：（1）由题意，点E的坐标为（2，1），则，解得，∴此抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+．（2）∵矩形ABCO的中心坐标为（﹣，1），∴1＝﹣x2+x+，解得x＝﹣或2，∴平移距离d＝﹣﹣（﹣）＝．（3）∵y＝﹣x2+x+＝﹣（x﹣）2+，∴抛物线的顶点坐标为（，），∵E（2，1），∴平移距离d＝或﹣1＝，故答案为或20．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（2，﹣3）两点，与y轴交于点D，与x轴交于另一点B．（1）求此抛物线的解析式及顶点坐标；（2）若将此抛物线平移，使其顶点为点D，需如何平移？写出平移后抛物线的解析式；（3）过点P（m，0）作x轴的垂线（1≤m≤2），分别交平移前后的抛物线于点E，F，交直线OC于点G，求证：PF＝EG．（1）解：把A（﹣1，0），C（2，﹣3）代入y＝x2+bx+c，得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣2，∵y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣）2﹣，∴其顶点坐标为：（，）；（2）解：∵y＝x2﹣x﹣2，∴当x＝0时，y＝﹣2，∴D点坐标为（0，﹣2）．∵将点（，）向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，可得到点D，∴将y＝x2﹣x﹣2向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，顶点为点D，此时平移后的抛物线解析式为：y＝x2﹣2；（3）证明：设直线OC的解析式为y＝kx，∵C（2，﹣3），∴2k＝﹣3，解得k＝﹣，∴直线OC的解析式为y＝﹣x．当x＝m时，y F＝m2﹣2，则PF＝﹣（m2﹣2）＝2﹣m2，当x＝m时，y E＝m2﹣m﹣2，y G＝，则EG＝y G﹣y E＝2﹣，∴PF＝EG．。
3二次函数图象几何变换——学生版
3.二次函数图象几何变换难度：易1．把抛物线y＝﹣2x2向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线是（）A．y＝﹣2（x+1）2+1B．y＝﹣2（x﹣1）2+1C．y＝﹣2（x﹣1）2﹣1D．y＝﹣2（x+1）2﹣12．要将抛物线y＝x2+2x+3平移后得到抛物线y＝x2，下列平移方法正确的是（）A．向左平移1个单位，再向上平移2个单位B．向左平移1个单位，再向下平移2个单位C．向右平移1个单位，再向上平移2个单位D．向右平移1个单位，再向下平移2个单位3．已知抛物线y＝2x2﹣4x+5，将该抛物线沿x轴翻折后的新抛物线的解析式为．难度：中4．将抛物线y＝x2﹣2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（）A．y＝（x﹣1）2+4B．y＝（x﹣4）2+4C．y＝（x+2）2+6D．y＝（x﹣4）2+6 5．在同一平面直角坐标系中，若抛物线y＝x2+（2m﹣1）x+2m﹣4与y＝x2﹣（3m+n）x+n 关于y轴对称，则符合条件的m，n的值为（）A．m 57，n187B．m＝5，n＝﹣6C．m＝﹣1，n＝6D．m＝1，n＝﹣26．在平面直角坐标系中，函数y＝x2﹣2x（x≥0）的图象为C1，C1关于原点对称的图象为C2，则直线y＝a（a为常数）与C1、C2的交点共有（）A．1个B．1个或2个C．1个或2个或3个D．1个或2个或3个或4个7．将抛物线y 12x2+1绕顶点旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为（）A．y＝﹣2x2+1B．y＝﹣2x2﹣1C．y 12x2+1D．y 12x2﹣1难度：难8．将抛物线C1：y＝x2﹣2x+3向左平移1个单位长度，得到抛物线C2，抛物线C2与抛物线C3关于x轴对称，则抛物线C3的解析式为（）A．y＝﹣x2﹣2B．y＝﹣x2+2C．y＝x2﹣2D．y＝x2+29．将抛物线y＝﹣x2+2x+3在x轴上方的部分沿x轴翻折至x轴下方，图象的剩余部分不变，得到一个新的函数图象，那么直线y＝x+b与此新图象的交点个数的情况有（）种．A．6B．5C．4D．310．在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位长度，然后绕原点旋转180°得到抛物线y＝x2+5x+6，则原抛物线的解析式是（）A．y＝﹣（x 52）2 114B．y＝﹣（x52）2 114C．y＝﹣（x 52）2 14D．y＝﹣（x52）2 1411．如图是函数y＝x2﹣2x﹣3（0≤x≤4）的图象，直线l∥x轴且过点（0，m），将该函数在直线l上方的图象沿直线l向下翻折，在直线l下方的图象保持不变，得到一个新图象．若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则m的取值范围是（）A．m≥1B．m≤0C．0≤m≤1D．m≥1或m≤0 12．如图，抛物线的顶点为P（﹣2，2），与y轴交于点A（0，3）．若平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′（2，﹣2），点A的对应点为A′，则抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为．。
二次函数图象与几何变换
二次函数图象与几何变换1．将抛物线y=x2﹣2x+3平移得到抛物线y=x2，则这个平移过程正确的是（）A．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位B．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位D．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位【变式1】．将函数y=x2+x+b的图象向右平移a（a＞0）个单位，再向上平移2个单位，得到函数y=x2﹣3x+4的图象，则a、b的值分别为（）A．a=1、b=4 B．a=2、b=2 C．a=2、b=0 D．a=3、b=2【变式2】如果抛物线A：y=x2﹣1通过左右平移得到抛物线B，再通过上下平移抛物线B得到抛物线C：y=x2﹣2x+2，那么抛物线B的表达式为（）A．y=x2+2 B．y=x2﹣2x﹣1 C．y=x2﹣2x D．y=x2﹣2x+1【变式3】．若抛物线y=x2﹣2x+3不动，将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向上平移三个单位，则原抛物线图象的解析式应变为（）A．y=（x﹣2）2+3 B．y=（x﹣2）2+5 C．y=x2﹣1 D．y=x2+4【变式4】．将抛物线y=x2﹣4x+3向上平移至顶点落在x轴上，如图所示，则两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S（图中阴影部分）是（）A．1 B．2 C．3 D．42．与抛物线y=x2﹣2x﹣4关于x轴对称的图象表示为（）A．y=﹣x2+2x+4 B．y=﹣x2+2x﹣4 C．y=x2﹣2x+6 D．y=x2﹣2x﹣4【变式】．二次函数y=x2﹣4x﹣5的图象关于直线x=﹣1对称的图象的表达式是（）A．y=x2﹣16x+55 B．y=x2+8x+7 C．y=﹣x2+8x+7 D．y=x2﹣8x+73．如图，抛物线y=ax2+bx+c关于原点对称的抛物线是（）A．y=﹣ax2﹣bx+c B．y=ax2﹣bx﹣c C．y=﹣ax2+bx﹣c D．y=﹣ax2﹣bx﹣c【变式1】．将二次函数y=x2﹣2x﹣1的图象绕坐标原点O旋转180°，则旋转后的图象对应的解析式为（）A．y=x2+2x+3 B．y=﹣x2﹣2x+1 C．y=x2﹣2x﹣1 D．y=﹣x2+2x﹣3【变式2】顶点为M的抛物线y=x2+2x+3与y轴交于点A，在顶点不变的情况下，把抛物线绕顶点M旋转180°得到一条新的抛物线，且新抛物线与y轴交于点B，则△AMB的面积为（）A．6 B．3 C．2 D．1【变式3】在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位长度，然后绕原点旋转180°得到抛物线y=x2+5x+6，则原抛物线的解析式是（）A．y=﹣（x﹣）2﹣B．y=﹣（x+）2﹣C．y=﹣（x﹣）2﹣D．y=﹣（x+）2+4．已知P（﹣3，m）和Q（1，m）是抛物线y=x2+bx﹣3上的两点．（1）求b的值；（2）将抛物线y=x2+bx﹣3的图象向上平移k（是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴无交点，求k的最小值；（3）将抛物线y=x2+bx﹣3的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合新图象回答：当直线y=x+n与这个新图象有两个公共点时，求n的取值范围．【变式】．如图，四边形ABCO为矩形，点A在x轴上，点C在y轴上，且点B的坐标为（﹣1，2），将此矩形绕点O 顺时针旋转90°得矩形DEFO，抛物线y=﹣x2+bx+c过B，E两点．（1）求此抛物线的函数关系式．（2）将矩形ABCO向左平移，并且使此矩形的中心在此抛物线上，求平移距离．（3）将矩形DEFO向上平移距离d，并且使此抛物线的顶点在此矩形的边上，则d的值是．5．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=x2+（3﹣m）x经过点A（﹣1，0）．（1）求抛物线C的表达式；（2）将抛物线C沿直线y=1翻折，得到的新抛物线记为C1，求抛物线C1的顶点坐标；（3）将抛物线C沿直线y=n翻折，得到的图象记为C2，设C与C2围成的封闭图形为M，在图形M上内接一个面积为4的正方形（四个顶点均在M上），且这个正方形的边分别与坐标轴平行．求n的值．6．如果抛物线C1的顶点在抛物线C2上，同时，抛物线C2的顶点在抛物线C1上，那么，我们称抛物线C1与C2关联．（1）已知两条抛物线①：y=x2+2x﹣1，②：y=﹣x2+2x+1，判断这两条抛物线是否关联，并说明理由；（2）抛物线C1：y=（x+1）2﹣2，动点P的坐标为（t，2），将抛物线C1绕点P（t，2）旋转180°得到抛物线C2，若抛物线C2与C1关联，求抛物线C2的解析式．【课后练习】一．选择题（共4小题）1．（西城区期末）将抛物线y=﹣3x2平移，得到抛物线y=﹣3 （x﹣1）2﹣2，下列平移方式中，正确的是（）A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位2．（东城区期末）在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2﹣2x﹣1先向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得的抛物线的解析式是（）A．y=（x+1）2+1 B．y=（x﹣3）2+1 C．y=（x﹣3）2﹣5 D．y=（x+1）2+23．（通州区期末）把二次函数的图象经过翻折、平移得到二次函数的图象，下列对此过程描述正确的是（）A．先沿y轴翻折，再向下平移6个单位B．先沿y轴翻折，再向左平移6个单位C．先沿x轴翻折，再向左平移6个单位D．先沿x轴翻折，再向右平移6个单位4．（顺义区一模）在平面直角坐标系x′O′y′中，如果抛物线y′=2x′2不动，而把x轴、y轴分别向下、向左平移2个单位，则在新坐标系下抛物线的表达式为（）A．y=2（x+2）2﹣2 B．y=2（x+2）2+2 C．y=2（x﹣2）2﹣2 D．y=2（x﹣2）2+2二．填空题（共4小题）5．（石景山区期末）如图，抛物线C1：y=x2经过平移得到抛物线C2：y=x2+2x，抛物线C2的对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积是．6．（昌平区期末）如图，我们把抛物线y=﹣x（x﹣3）（0≤x≤3）记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x 轴于另一点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x 轴于另一点A3；…；如此进行下去，直至得C2016．①C1的对称轴方程是；②若点P（6047，m）在抛物线C2016上，则m=．7．（海淀区期末）已知点P（﹣1，m）在二次函数y=x2﹣1的图象上，则m的值为；平移此二次函数的图象，使点P与坐标原点重合，则平移后的函数图象所对应的解析式为．8．（通州区期末）如图：在平面直角坐标系中，A（﹣2，0），B（0，1），有一组抛物线L n，它们的顶点C n（X n，Y n）在直线AB上，并且经过点（X n+1，0），当n=1，2，3，4，5…时，X n=2，3，5，8，13…，根据上述规律，写出抛物线L1的表达式为，抛物线L6的顶点坐标为，抛物线L6D的解析式为．三．解答题（共4小题）9．（门头沟区期末）在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象所在的位置如图所示：（1）请根据图象信息求该二次函数的表达式；（2）将该图象（x＞0）的部分，沿y轴翻折得到新的图象，请直接写出翻折后的二次函数表达式；（3）在（2）的条件下与原有二次函数图象构成了新的图象，记为图象G，现有一次函数y=x+b的图象与图象G有4个交点，请画出图象G的示意图并求出b的取值范围．10．（门头沟区期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点A（0，2）和B（1，）．（1）求该抛物线的表达式；（2）已知点C与点A关于此抛物线的对称轴对称，点D在抛物线上，且点D的横坐标为4，求点C与点D的坐标；（3）在（2）的条件下，将抛物线在点A，D之间的部分（含点A，D）记为图象G，如果图象G向下平移t（t＞0）个单位后与直线BC只有一个公共点，求t的取值范围．11．（东城区二模）二次函数C1：y=x2+bx+c的图象过点A（﹣1，2），B（4，7）．（1）求二次函数C1的解析式；（2）若二次函数C2与C1的图象关于x轴对称，试判断二次函数C2的顶点是否在直线AB上；（3）若将C1的图象位于A，B两点间的部分（含A，B两点）记为G，则当二次函数y=﹣x2+2x+1+m与G有且只有一个交点时，直接写出m满足的条件．12．（海淀区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x+2与y轴交于点A，顶点为点B，点C与点A关于抛物线的对称轴对称．（1）求直线BC的解析式；（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为4．将抛物线在点A，D之间的部分（包含点A，D）记为图象G，若图象G 向下平移t（t＞0）个单位后与直线BC只有一个公共点，求t的取值范围．。
中考数学《二次函数图形的几何变换》专项练习题(附答案)
中考数学《二次函数图形的几何变换》专项练习题(附答案)一、单选题1．在平面直角坐标系中，二次函数y=(x+1)(x−3)的图象向右平移2个单位后的函数为（）A．y=(x−1)(x−5)B．y=(x+2)(x−2)C．y=(x+3)(x−1)D．y=(x+1)(x+5)2．把抛物线y=-x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（）A．y=-（x-1）2-3B．y=-（x+1）2-3C．y=-（x-1）2+3D．y=-（x+1）2+33．在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x+5）（x﹣3）经变换后得到抛物线y＝（x+3）（x﹣5），则这个变换可以是（）A．向左平移2个单位B．向右平移2个单位C．向左平移8个单位D．向右平移8个单位4．要得到函数y=−x2+3的图像，可以将函数y=−x2的图像（）A．向左平移3个单位B．向右平移3个单位C．向上平移3个单位D．向下平移3个单位5．将抛物线y＝2（x﹣1）2﹣3向右移动2个单位，再向下移动3个单位，得到的抛物线的解析式为（）A．y＝2（x+1）2B．y＝2（x+1）2﹣6C．y＝2（x﹣3）2D．y＝2（x﹣3）2﹣66．抛物线y=−2x2向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线解析式为（）A．y=−2(x−2)2−3B．y=−2(x+2)2−3C．y=2(x−2)2−3D．y=2(x+2)2−37．已知抛物线y=ax2−2ax+a2+1(a≠0).当x≥3时，y随x的增大而增大；当−2≤x≤0时，y的最大值为10.那么与抛物线y=ax2−2ax+a2+1关于y轴对称的抛物线在−2≤x≤3内的函数最大值为（）A．10B．17C．5D．28．将抛物线y=4x2向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（）A．y=4（x+1）2+3B．y=4（x﹣1）2+3C．y=4（x+1）2﹣3D．y=4（x﹣1）2﹣39．将抛物线y=ax2﹣1平移后与抛物线y=a（x﹣1）2重合，抛物线y=ax2﹣1上的点A（2，3）同时平移到A′，那么点A′的坐标为（）A．（3，4）B．（1，2）C．（3，2）D．（1，4）10．将抛物线y=x2向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度所得的抛物线解析式为（）A．y=（x﹣1）2+2B．y=（x+1）2+2C．y=（x﹣1）2﹣2D．y=（x+1）2﹣211．将抛物线y=x2+2x先向左平移2个长度单位，再向上平移3个长度单位，所得到的抛物线是（）A．y=(x+1)2+3B．y=(x+3)2+2C．y=(x−1)2−4D．y=(x−3)2+112．将抛物线y＝﹣3x2﹣1向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（）A．y＝﹣3（x+2）2+1B．y＝﹣3（x﹣2）2﹣3C．y＝﹣3（x+2）2﹣3D．y＝﹣3（x﹣2）2+1二、填空题13．把抛物线y=−3x2向上平移2个单位，所得抛物线是．14．如图，抛物线C1：y=12x2经过平移得到抛物线C2：y=12x2+2x，抛物线C2的对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积是．15．将二次函数y＝2x2的图象沿y轴向上平移2个单位长度所得图象的解析式为. 16．把抛物线y=5x2向左平移3个单位长度，再向下平移7个单位长度，得到的抛物线解析式为．17．抛物线y=2x2﹣4x+3绕坐标原点旋转180°所得的抛物线的解析式是. 18．在平面直角坐标系中，将解析式为y=2x2的图象沿着x轴方向向左平移4个单位，再沿着y轴方向向下平移3个单位，此时图象的解析式为．三、综合题19．如图，经过点A（0，﹣4）的抛物线y= 12x2+bx+c与x轴相交于B（﹣2，0），C两点，O为坐标原点．（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线y= 12x2+bx+c向上平移72个单位长度，再向左平移m（m＞0）个单位长度得到新抛物线，若新抛物线的顶点P在△ABC内，求m的取值范围；（3）设点M在y轴上，△OMB+△OAB=△ACB，求AM的长．20．如图，顶点M在y轴上的抛物线y=ax2+c与直线y=x+1相交于A，B两点，且点A在x轴上，点B的横坐标为2，连接AM，BM（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）判断⊿ABM的形状，并说明理由；（3）若将（1）中的抛物线沿y轴上下平移，则如何平移才能使平移后的抛物线过点(−2，−3)？21．定义新运算：对于任意实数m，n都有m☆n＝m2﹣mn+n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：−3☆2＝(−3)2−(−3)×2+2＝17．根据以上知识解决问题：（1）若x☆3＝1，求x的值；（2）求抛物线y＝(2−x)☆(−1)的顶点坐标；（3）将（2）中的抛物线绕着原点旋转180°，写出得到的新的抛物线解析式．22．课题学习：我们知道二次函数的图象是抛物线，它也可以这样定义：如果一个动点M（x，y）到定点A（0，m）（m＞0）的距离与它到定直线y=﹣m的距离相等，那么动点M形成的图形就是抛物线y=ax2（a＞0）的图象，如图所示．（1）探究：当x≠0时，a与m有何数量关系？（2）应用：已知动点M（x，y）到定点A（0，4）的距离与到定直线y=﹣4的距离相等，请写出动点M形成的抛物线的解析式．（3）拓展：根据抛物线的平移变换，抛物线y= 14（x﹣1）2+2的图象可以看作到定点A（，）的距离与它到定直线y=的距离相等的动点M（x，y）所形成的图形．（4）若点D的坐标是（1，8），在（2）中求得的抛物线上是否存在点P，使得PA+PD最短？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．23．在平面直角坐标系xOy中（如图）．已知抛物线y=﹣12x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，52），顶点为C，点D在其对称轴上且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．（1）求这条抛物线的表达式；（2）求线段CD的长；（3）将抛物线平移，使其顶点C移到原点O的位置，这时点P落在点E的位置，如果点M在y 轴上，且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8，求点M的坐标．24．如图①，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求抛物线的顶点坐标和对称轴；（3）把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S（图②中阴影部分）．参考答案1．【答案】A 2．【答案】D 3．【答案】B 4．【答案】C 5．【答案】D 6．【答案】B 7．【答案】B 8．【答案】B 9．【答案】A 10．【答案】A 11．【答案】B 12．【答案】C13．【答案】y =−3x 2+2 14．【答案】4 15．【答案】y ＝2x 2+216．【答案】y =5(x +3)2−7 17．【答案】y=﹣2x 2﹣4x ﹣3 18．【答案】y=2（x+4）2﹣319．【答案】（1）解：将A （0，﹣4）、B （﹣2，0）代入抛物线y= 12x 2+bx+c 中，得：{0+c =−412×4−2b +c =0 解得： {b =−1c =−4故抛物线的解析式：y= 12x 2﹣x ﹣4（2）解：由题意，新抛物线的解析式可表示为：y= 12 （x+m ）2﹣（x+m ）﹣4+ 72 ，即：y= 12x 2+（m ﹣1）x+ 12 m 2﹣m ﹣ 12 ；它的顶点坐标P ：（1﹣m ，﹣1）；由（1）的抛物线解析式可得：C （4，0）；设直线AC 的解析式为y=kx+b （k≠0），把x=4，y=0代入 ∴4k+b=0，b=﹣4 ∴y=x ﹣4．同理直线AB ：y=﹣2x ﹣4；当点P在直线AB上时，﹣2（1﹣m）﹣4=﹣1，解得：m= 5 2；当点P在直线AC上时，（1﹣m）﹣4=﹣1，解得：m=﹣2；∴当点P在△ABC内时，﹣2＜m＜5 2；又∵m＞0∴符合条件的m的取值范围：0＜m＜5 2（3）解：由A（0，﹣4）、C（4，0）得：OA=OC=4，且△OAC是等腰直角三角形；如图，在OA上取ON=OB=2，则△ONB=△ACB=45°；∴△ONB=△NBA+△OAB=△ACB=△OMB+△OAB，即△OMB=△NBA；如图，在△ABN、△AM1B中△BAN=△M1AB，△ABN=△AM1B∴△ABN△△AM1B，得：AB2=AN•AM1；易得：AB2=（﹣2）2+42=20，AN=OA﹣ON=4﹣2=2；∴AM1=20÷2=10；而△BM1A=△BM2A=△ABN∴OM1=OM2=6，AM2=OM2﹣OA=6﹣4=2．综上，AM的长为10或2．20．【答案】（1）解：当y=0时，有x+1=0，则x=-1．∴A（-1，0）当x=2时，y=2+1=3∴B（2，3）将A，B两点代入y=ax2+c中得{0=a+c3=4a+c，解得{a=1 c=−1∴抛物线的解析式为y=x2−1．（2）解：三角形ABM为直角三角形，理由如下：在抛物线中，当x=0时，y=-1∴M（0，-1）又∵A（-1，0），B（2，3）∴AB=3√2，AM=√2BM=2√5又∵AM2+AB2=20=BM2∴三角形ABM为直角三角形．（3）解：设抛物线y=x2−1沿y轴平移后的解析式为y=x2−1+m 将点（-2，-3）代入上式，得m=-6则向下平移6个单位过点（-2，-3）．21．【答案】（1）解：根据题意，得x2−3x+3＝1移项、合并同类项，得x2−3x+2＝0整理，得(x−1)(x−2)=0解得：x1=1，x2=2；（2）解：根据题意知整理得：y=x2−5x+5=(x−52)2−54所以，顶点坐标（52，−54）（3）解：根据题意知，新的抛物线解析式为y=−(−x−52)2+54=−(x+52)2+54．22．【答案】（1）解：由定义可知，MA=MB∴x2+（y﹣m）2=（y+m）2∵y=ax2∴x2= y a∴ya=4my∴a=1 4m（2）解：由（1）可知，a= 1 16∴抛物线的解析式为y= 116x2．（3）1；3；1（4）解：如图所示，过点D作直线y=﹣4的垂线垂足为M，与抛物线的交点就是的点P，此时PA+PD=PD+PM最短（垂线段最短）此时点P坐标（1，1 16）．23．【答案】（1）解：把A（﹣1，0）和点B（0，52）代入y=﹣12x2+bx+c得（2）解：∵y=﹣12（x﹣2）2+ 92，∴C（2，92），抛物线的对称轴为直线x=2，如图，设CD=t，则D（2，92﹣t），∵线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处∴△PDC=90°，DP=DC=t∴P（2+t，92﹣t），把P（2+t，92﹣t）代入y=﹣12x2+2x+ 52得﹣12（2+t）2+2（2+t）+52= 92﹣t，整理得t2﹣2t=0，解得t1=0（舍去），t2=2，∴线段CD的长为2（3）解：P点坐标为（4，92），D点坐标为（2，52），∵抛物线平移，使其顶点C（2，92）移到原点O的位置，∴抛物线向左平移2个单位，向下平移92个单位，而P点（4，92）向左平移2个单位，向下平移92个单位得到点E，∴E点坐标为（2，﹣2）设M（0，m）当m＞0时，12•（m+52+2）•2=8，解得m= 72，此时M点坐标为（0，72）；当m＜0时，12•（﹣m+52+2）•2=8，解得m=﹣72，此时M点坐标为（0，﹣72）；综上所述，M点的坐标为（0，72）或（0，﹣72）24．【答案】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3）∴{c=39a+3b+c=016a+4b+c=3，解得{a=1b=−4c=3。
中考数学《二次函数图像的几何变换》专项练习题及答案
中考数学《二次函数图像的几何变换》专项练习题及答案一、单选题1．在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2﹣4先向右平移两个单位，再向上平移两个单位，得到的抛物线的解析式是（）A．y=（x+2）2+2B．y=（x﹣2）2﹣2C．y=（x﹣2）2+2D．y=（x+2）2﹣22．将抛物线影响y=-x2向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是（）A．y=-（x+2）2B．y=-x2+2C．y=-（x-2）2D．y=-x2-23．若将抛物线y=5x2先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，可得到新的抛物线是（）A．y=5(x+2)2+3B．y=5(x−2)2+3C．y=5(x+2)2−3D．y=5(x−2)2−34．在平面直角坐标系内，将抛物线y=(x+2)2−3经过两次平移后，得到的新抛物线为y=(x−1)2−4.下列对这一平移过程描述正确的是（）A．先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度B．先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度C．先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度D．先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度5．下列平移中，不能使二次函数y=2x2+4x−6经过原点的是（）A．向左平移1个单位B．向右平移3个单位C．向上平移6个单位D．向上平移8个单位6．二次函数y＝x2－1的图象可由下列哪个函数图象向右平移2个单位，向下平移2个单位得到（）A．y=(x−2)2+1B．y=(x+2)2+1C．y=(x−2)2−3D．y=(x+2)2+37．如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，点A（4，0），以OA为对角线作正方形ABOC，若将抛物线y= 12x2沿射线OC平移得到新抛物线y= 12（x-m）2+k（m＞0）．则当新抛物线与正方形的边AB有公共点时，m的值一定是（）A．2，6，8B．0<m≤6C．0<m≤8 D．0<m≤2 或6 ≤ m≤88．将抛物线y＝3x2的图象先向右平移2个单位，再向上平移5个单位后，得到的抛物线解析式是（）A．y＝3（x﹣2）2﹣5B．y＝3（x﹣2）2+5C．y＝3（x+2）2﹣5D．y＝3（x+2）2+59．在平面直角坐标系中，对于二次函数y=(x−2)2+1，下列说法中错误的是（）A．y的最小值为1B．图象顶点坐标为（2，1），对称轴为直线x=2C．当x<2时，y的值随x值的增大而增大，当x≥2时，y的值随x值的增大而减小D．它的图象可以由y=x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到10．抛物线y＝12x2向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得抛物线的表达式是（）A．y＝12（x+1）2﹣2B．y＝12（x﹣1）2+2C．y＝12（x﹣1）2﹣2D．y＝12（x+1）2+211．将二次函数y=x2的图象如何平移可得到y=x2+4x+3的图象（）A．向右平移2个单位，向上平移一个单位B．向右平移2个单位，向下平移一个单位C．向左平移2个单位，向下平移一个单位D．向左平移2个单位，向上平移一个单位12．把抛物线y=(x+2)2向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，所得抛物线是（）A．y=(x+2)2+2B．y=(x+1)2−2C．y=x2+2D．y=x2−2二、填空题13．将抛物线y=﹣x2先向下平移2个单位，再向右平移3个单位后所得抛物线的解析式为．14．抛物线y=-x2-2x+3可由抛物线y=ax2平移得到，则a的值是。
中考数学总复习《二次函数图像的几何变换》练习题附有答案
中考数学总复习《二次函数图像的几何变换》练习题附有答案一、单选题(共12题；共24分)1．把抛物线y=-x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（）A．B．C．D．2．如果要得到y=x2－6x＋7的图象，需将y=x2的图象（）.A．由向左平移3个单位，再向上平移2个单位B．由向右平移3个单位，再向下平移2个单位C．由向右平移3个单位，再向上平移2个单位D．由向左平移3个单位，再向下平移2个单位3．将抛物线C1：y＝（x－3）2＋2向左平移3个单位长度，得到抛物线C2，抛物线C2与抛物线C3关于x轴对称，则抛物线C3的解析式为（）．A．y＝x2－2B．y＝－x2＋2C．y＝x2＋2D．y＝－x2－24．已知抛物线y=x2+ax+b对称轴是直线x=1，与x轴两个交点间的距离为2，将此抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则所得新抛物线与x轴两个交点间的距离为（）A．2B．3C．4D．55．关于x的方程（x﹣3）（x﹣5）=m（m＞0）有两个实数根α，β（α＜β），则下列不符合题意的是（）A．3＜α＜β＜5B．3＜α＜5＜βC．α＜2＜β＜5D．α＜3且β＞56．把抛物线y=2x2向右平移1个单位，所得抛物线的函数解析式为（）A．y=2x2+1B．y=2(x+1)2C．y=2x2−1D．y=2(x−1)27．如图，抛物线y=ax2+bx+c关于原点对称的抛物线是（）A．y=﹣ax2﹣bx+c B．y=ax2﹣bx﹣cC．y=﹣ax2+bx﹣c D．y=﹣ax2﹣bx﹣c8．将抛物线y=4x2向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（）A．y=4（x+1）2+3B．y=4（x﹣1）2+3C．y=4（x+1）2﹣3D．y=4（x﹣1）2﹣39．将抛物线y=2x2向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到的抛物线表达式是（）A．y=2(x+1)2+3B．y=2(x−1)2−3C．y=2(x−1)2+3D．y=2(x+1)2−310．如图，抛物线y=﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y=x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（）A．﹣2＜m＜18B．﹣3＜m＜﹣74C．﹣3＜m＜﹣2D．﹣3＜m＜﹣15811．将抛物线y=(x−1)2+2向右平移1个单位，再向上平移5个单位后所得抛物线的解析式为（）A．y=(x−2)2+7B．y=(x−1)2+3C．y=x2+7D．y=x2+312．在平面直角坐标系中，如果抛物线y=2x2不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移3个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（）A．y=2(x+3)2-3B．y=2(x-3)2+3C．y=2(x-3)2-3D．y=2(x+3)2+3二、填空题(共6题；共6分)13．一抛物线和另一抛物线y＝﹣2x2的形状和开口方向完全相同，且顶点坐标是（﹣2，1），则该抛物线的解析式为.14．把二次函数y=（x﹣2）2+1的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2经过平移得到抛物线y=x2﹣2x，其对称轴与两抛物线所围成的阴影部分的面积是．16．把抛物线y=ax2+bx+c的图象先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得图象的解析式是y=2（x﹣3）2+1，则a+b+c=．17．如图，抛物线y=x2+bx+ 92与y轴相交于点A，与过点A平行于x轴的直线相交于点B（点B在第一象限）．抛物线的顶点C在直线OB上，对称轴与x轴相交于点D．平移抛物线，使其经过点A、D，则平移后的抛物线的解析式为．18．将二次函数y=−x2+mx+n（m，n为常数）的图象，先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，得到的图象顶点为(0，4)，则m+n的值为.三、综合题(共6题；共111分)19．已知二次函数图象的对称轴为y轴，且经过点（1，5）和（﹣12，114）.（1）求此二次函数的解析式；（2）若将该二次函数先向下平移4个单位，再沿x轴翻折后与x轴交于A，B两点，设顶点为P，求△AOP的面积.20．在平面直角坐标系内，二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A(3，0)和B(2，−3)．（1）求这个二次函数的表达式；（2）求出二次函数的顶点坐标；（3）将该二次函数的图象向右平移几个单位，可使平移后所得的图象经过坐标原点．21．已知二次函数y＝2x2＋4x－6．（1）将其化成y＝a(x－h)2＋k的形式；（2）写出开口方向，对称轴方程，顶点坐标；（3）求图象与两坐标轴的交点坐标；（4）画出函数图象；（5）说明其图象与抛物线y＝x2的关系；（6）当x取何值时y随x增大而减小；（7）当x取何值时y＞0，y＝0，y＜0；（8）当x取何值时函数y有最值?其最值是多少?（9）当y取何值时－4＜x＜0；（10）求函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形面积．22．已知二次函数y＝ax2+bx+c中自变量x和函数值y的部分对应值如表：x…-10123…y…105212…（2）在所给的直角坐标系中画出此函数的图象；（3）作该二次函数y＝ax2+bx+c的图象关于x轴对称的新图象，则新图象的函数关系式为.23．把y= −12x2的图象向上平移2个单位.（1）求新图象的解析式、顶点坐标和对称轴；（2）画出平移后的函数图象；（3）求平移后的函数的最大值或最小值，并求对应的x的值.24．已知抛物线y=ax2+bx−1经过A(1，2)，B(−3，2)两点．（1）求该抛物线的函数关系式；（2）若将该抛物线向上平移3个单位长度，求出平移后的函数关系式并直接写出开口方向及顶点坐标．参考答案1．【答案】D 2．【答案】B 3．【答案】D 4．【答案】C 5．【答案】D 6．【答案】D 7．【答案】C 8．【答案】B 9．【答案】B 10．【答案】D 11．【答案】A 12．【答案】A13．【答案】y ＝﹣2（x+2）2+1 14．【答案】y=﹣（x+2）2﹣1 15．【答案】1 16．【答案】517．【答案】y=x 2﹣ 92 x+ 9218．【答案】319．【答案】（1）解：设函数的解析式为y ＝ax 2+c将（1，5）和（﹣ 12 ， 114 ）分别代入函数解析式，得 {a +c =514a +c =114 . 解得 {a =3c =2故此二次函数的解析式y ＝3x 2+2；（2）解：二次函数先向下平移4个单位得到：y ＝3x 2﹣2； 然后沿x 轴翻折后解析式为：y ＝﹣3x 2+2.此时P （0，2），A （ √62 ，0），B （﹣ √62 ，0）所以S △AOP ＝ 12 × √62 ×2＝ √62.20．【答案】（1）解：把点A(3，0)和B(2，−3)的坐标代入y =x 2+bx +c 得：{9+3b +c =04+2b +c =−3解得： {b =−2c =−3∴二次函数表达式为y=x2−2x−3；（2）解：∵y=x2−2x−3=x2−2x+1−4=(x−1)2−4∴二次函数图象的顶点坐标是(1，−4)；（3）解：当y=0时x2−2x−3=0解得：x1=−1，x2=3∴抛物线y=x2−2x−3与x轴的交点坐标为C(−1，0)，A(3，0)，如下图所示∴将二次函数图象向右平移一个单位，可以使图象经过原点．【分析】21．【答案】（1）解：通过配方法可以将y＝2x2＋4x－6配方成y＝2(x＋1)2－8.（2）解：由图像可以看出开口向上，由顶点式得对称轴为直线x＝－1，顶点坐标为(－1，－8)；（2）根据二次函数的性质可解答。
二次函数的图象和性质练习题(含参考答案)
新华师大版九年级下册数学第26章 二次函数的图象和性质练习题姓名____________ 时间: 90分钟 满分:120分 总分____________一、选择题（每小题3分,共30分）1. 在二次函数122++-=x x y 的图象中,若y 随x 的增大而增大,则x 的取值范围是 【 】 （A ）1<x （B ）1>x （C ）1-<x （D ）1->x2. 若二次函数142-++=m x mx y 的最小值是2,则m 的值是 【 】 （A ）4 （B ）3 （C ）1- （D ）4或1-3. 已知二次函数m x x y +-=32（m 为常数）的图象与x 轴的一个交点为（1 , 0）,则关于x 的一元二次方程032=+-m x x 的两个实数根是 【 】 （A ）1,121-==x x （B ）2,121==x x （C ）0,121==x x （D ）3,121==x x4. 如图,由二次函数c bx ax y ++=2的图象可知,不等式02<++c bx ax 的解集是 【 】 （A ）13<<-x （B ）1>x （C ）3-<x 或1>x （D ）3-<x第 4 题图第 5 题图5. 如图是抛物线c bx ax y ++=2的一部分,它的对称轴是直线1=x ,若抛物线x 轴的一个交点为A （3 , 0）,则不等式02<++c bx ax 的解集是 【 】 （A ）3>x （B ）3<x （C ）30<<x （D ）31<<-x6. 若一次函数()a x a y ++=1的图象过第一、三、四象限,则二次函数ax ax y -=2 【 】（A ）有最大值4a （B ）有最大值4a - （C ）有最小值4a （D ）有最小值4a-7. 将抛物线216212+-=x x y 向左平移2个单位后,所得新抛物线的解析式为 【 】（A ）()58212+-=x y （B ）()54212+-=x y（C ）()38212+-=x y （D ）()34212+-=x y8. 二次函数的部分图象如图所示,对称轴是直线1-=x ,则这个二次函数的表达式为 【 】 （A ）322++-=x x y （B ）322++=x x y （C ）322-+-=x x y （D ）322+--=x x y第 8 题图第 9 题图9. 如图,若二次函数c bx ax y ++=2（0≠a ）图象的对称轴为直线1=x ,与y 轴交于点C ,与x 轴交于点A 、点B ()0,1-,则①二次函数的最大值为c b a ++; ②0<+-c b a ;③042<-ac b ; ④当0>y 时,31<<-x .其中正确的个数是 【 】 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）410. 若二次函数12+=ax y 的图象经过点()0,2-,则关于x 的方程()0122=+-x a 的实数根为 【 】 （A ）4,021==x x （B ）6,221=-=x x （C ）25,2321==x x （D ）0,421=-=x x 二、填空题（每小题3分,共30分）11. 若抛物线()12-++=m m x y 的对称轴是直线1=x ,则它的顶点坐标是_________.12. 若抛物线c bx ax y ++=2（0≠a ）与抛物线342+-=x x y 关于y 轴对称,则函数c bx ax y ++=2的关系式为________________.13. 已知二次函数c bx ax y ++=2（0≠a ）,其中c b a ,,满足0=++c b a 和039=+-c b a ,则该二次函数图象的对称轴是直线_________.14. 若二次函数n x x y +-=42的图象与x 轴只有一个公共点,则实数n 的值为_________. 15. 二次函数542++=x x y ,当3-≤x ≤0的最小值为_________.16. 如果将抛物线122-+=x x y 向上平移,使它经过点()3,0A ,那么所得新抛物线的表达式为________________.17. 经过A （4 , 0）,)0,2(-B ,C （0 , 3）三点的抛物线的解析式是___________.18. 若二次函数c bx ax y ++=2（0<a ）的图象经过点（2 , 0）,且其对称轴为直线1-=x ,则使函数值0>y 成立的x 的取值范围是__________.19. 将一条抛物线向上平移4个单位,再向左平移2个单位后,得到新的抛物线为442++=x x y ,则原抛物线的解析式为________________.20. 已知抛物线c bx ax y ++=2（0≠a ）与x 轴交于A 、B 两点,若点A 为()0,2-,抛物线的对称轴为直线2=x ,则线段AB 的长为_________. 三、解答题（共60分）21.（10分）如图,抛物线122++=ax ax y 与x 轴仅有一个公共点A ,经过点A 的直线交该抛物线于点B ,交y 轴交于点C ,且点C 是线段AB 的中点. （1）求这条抛物线的函数解析式; （2）求直线AB 的函数解析式.yxCA BO22.（10分）如图所示,二次函数m x x y ++-=22的图象与x 轴的一个交点为A （3 , 0）,另一个交点为B ,且与y 轴交于点C . （1）求m 的值; （2）求点B 的坐标;（3）若点D 为x 轴上方该函数图象上的一点,且ABC ABD S S ∆∆=,求点D 的坐标.yxCBAO23.（10分）如图,一次函数b kx y +=的图象与x 轴和y 轴分别交于A （6 , 0）和()32,0B ,线段AB 的垂直平分线交x 轴于点C ,交AB 于点D . （1）求一次函数的关系式;（2）求过A、B 、C 三点的抛物线的函数关系式.x24.（10分）如图,二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴交于A 、B 两点,其中点A 的坐标为()0,1-,与y 轴交于点C （0 , 5）,另抛物线经过点（1 , 8）,点M 是抛物线的顶点.（1）求抛物线的解析式; （2）求△MCB 的面积.y xMCBA O25.（10分）已知二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴交于A 、B 两点,其中点A 的坐标为()0,3-,与y 轴交于点C ,点()3,2--D .（1）求抛物线的解析式;（2）抛物线的对称轴上有一动点P ,求出PD PA +的最小值.yxD C AB OFPyx备用图D C AB O FP 26.（10分）如图所示,抛物线c bx x y ++=2与直线1-=x y 交于A 、B 两点,点A 的纵坐标为4-,点B 在y 轴上,直线AB 与x 轴交于点F ,点P 是线段AB 下方的抛物线上一动点,横坐标为m ,过点P 作PC x ⊥轴于C ,交直线AB 于D .（1）求抛物线的解析式;（2）当m 取何值时,线段PD 的长度取得最大值,其最大值是多少?（3）是否存在点P ,使△P AD 是直角三角形?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,说明理由.新华师大版九年级下册数学第26章 二次函数的图象和性质练习题参考答案一、选择题（每小题3分,共30分）二、填空题（每小题3分,共30分）11. ()2,1- 12. 342++=x x y 13. 1-=x 14. 4 15. 1 16. 322++=x x y 17. ()()4283-+-=x x y 18. 24<<-x 19. 42-=x y 20. 8三、解答题（共60分）21.（10分）如图,抛物线122++=ax ax y 与x 轴仅有一个公共点A ,经过点A 的直线交该抛物线于点B ,交y 轴交于点C ,且点C 是线段AB 的中点.（1）求这条抛物线的函数解析式; （2）求直线AB 的函数解析式.yxCA BO解:（1） ∵抛物线122++=ax ax y 与x 轴仅有一个公共点A∴()0422=-=∆a a……………………………………………2分 ∴02=-a a 解之得:1,021==a a……………………………………………4分 ∵0≠a ∴1=a……………………………………………5分 ∴这条抛物线的函数解析式为()22112+=++=x x x y ;（2）∵点A 为抛物线()21+=x y 的顶点∴()0,1-A……………………………………………6分 ∵点C 是线段AB 的中点∴点B 的横坐标为1对于()21+=x y ,当1=x 时,4=y∴B （1 , 4）……………………………………………7分 设直线AB 的函数解析式为b kx y += 把()0,1-A , B （1 , 4）分别代入b kx y +=得:⎩⎨⎧=+=+-40b k b k 解之得:⎩⎨⎧==22b k∴直线AB 的函数解析式为22+=x y . 附 中点坐标公式中点坐标公式在平面直角坐标系中,如果线段AB 的端点A 、B 的坐标分别为A ),(11y x 、B ),(22y x ,则其中点P ),(n m 的坐标为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=222121y y n x x m 图形说明如图（1）所示.图（1）22.（10分）如图所示,二次函数m x x y ++-=22的图象与x 轴的一个交点为A （3 , 0）,另一个交点为B ,且与y 轴交于点C .（1）求m 的值; （2）求点B 的坐标;（3）若点D 为x 轴上方该函数图象上的一点,且ABC ABD S S ∆∆=,求点D 的坐标.yxCBAO解:（1）把A （3 , 0）代入m x x y ++-=22得:069=++-m解之得:3=m……………………………………………3分 ∴该抛物线的解析式为322++-=x x y ; （2）令0=x ,则0322=++-x x 解之得:3,121=-=x x ∴点B 的坐标为()0,1-;……………………………………………6分 （3）令0=x ,则3=y∴C （0 , 3）……………………………………………7分∵ABC ABD S S ∆∆=∴点C 与点D 的纵坐标相等 令3=y ,则3322=++-x x 解之得:2,021==x x ∴点D 的坐标为（2 , 3）.…………………………………………10分 23.（10分）如图,一次函数b kx y +=的图象与x 轴和y 轴分别交于A （6 , 0）和()32,0B ,线段AB 的垂直平分线交x 轴于点C ,交AB 于点D .（1）求一次函数的关系式;（2）求过A 、B 、C 三点的抛物线的函数关系式.解:（1）把A （6 , 0）和()32,0B 分别代入b kx y +=得:⎩⎨⎧==+3206b b k 解之得:⎪⎩⎪⎨⎧=-=3233b k∴一次函数的关系式为3233+-=x y ; ……………………………………………4分 （2）连结BC.∵直线CD 是线段AB 的垂直平分线 ∴BC AC =∵A （6 , 0）()32,0B ∴32,6==OB OA设x BC AC ==,则x AC OA OC -=-=6 在Rt △BOC 中,由勾股定理得:222BC OC OB =+∴()()222632x x =-+解之得:4=x ∴4=AC∴246=-=-=AC OA OC ∴C （2 , 0）……………………………………………7分设过A 、B 、C 三点的抛物线的函数关系式为()()62--=x x a y把()32,0B 代入()()62--=x x a y 得:()()326020=--⨯a解之得:63=a ∴抛物线的解析式为()()6263--=x x y . …………………………………………10分x第（2）问另解: ∵A （6 , 0）()32,0B ∴32,6==OB OA 在Rt △AOB 中 ∵33632tan ===∠OA OB BAO ∴︒=∠30BAO……………………………………………5分 ∴342==OB AB∵直线CD 是线段AB 的垂直平分线 ∴3221==AB AD 在Rt △ACD 中 ∵233230cos ===︒AC AC AD ∴4=AC∴246=-=-=AC OA OC ∴C （2 , 0）……………………………………………7分 设过A 、B 、C 三点的抛物线的函数关系式为()()62--=x x a y把()32,0B 代入()()62--=x x a y 得:()()326020=--⨯a解之得:63=a ∴抛物线的解析式为()()6263--=x x y . …………………………………………10分 注意:若抛物线与x 轴交于A )0,(1x 、B )0,(2x 两点,则可设抛物线的解析式为:()()21x x x x a y --=.24.（10分）如图,二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴交于A 、B 两点,其中点A 的坐标为()0,1-,与y 轴交于点C （0 , 5）,另抛物线经过点（1 , 8）,点M 是抛物线的顶点. （1）求抛物线的解析式; （2）求△MCB 的面积.解:（1）把()0,1-,（0 , 5）,（1 , 8）分别代入c bx ax y ++=2得:⎪⎩⎪⎨⎧=++==+-85c b a c c b a 解之得:⎪⎩⎪⎨⎧==-=541c b a∴该抛物线的解析式为542++-=x x y ;……………………………………………4分 （2）∵542++-=x x y ∴()922+--=x y……………………………………………5分∵点M 是抛物线()922+--=x y 的顶点∴M （2 , 9）……………………………………………6分 令0=y ,则()0922=+--x解之得:5,121=-=x x ∴B （5 , 0）……………………………………………7分 作y ME ⊥轴 ∴9,2==OE ME∴459=-=-=OC OE CE ∴BOC MCE MEOB MCB S S S S ∆∆∆--=梯形()552124212529⨯⨯-⨯⨯-+⨯=15=…………………………………………10分 25.（10分）已知二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴交于A 、B 两点,其中点A 的坐标为()0,3-,与y 轴交于点C ,点()3,2--D . （1）求抛物线的解析式;（2）抛物线的对称轴上有一动点P ,求出PD PA +的最小值.解:（1）把A ()0,3-、()3,2--D 分别代入c bx x y ++=2得:⎩⎨⎧-=+-=+-324039c b c b 解之得:⎩⎨⎧-==32c b∴抛物线的解析式为322-+=x x y ; ……………………………………………4分 （2）令0=y ,则0322=-+x x 解之得:3,121-==x x ∴B （1 , 0）,1=OB……………………………………………6分 ∵A 、B 两点是抛物线322-+=x x y 与x 轴的两个交点∴A 、B 两点关于直线1-=x 对称如图,连结BD ,与直线1-=x 的交点即为PD PA +的值最小时,点P 的位置,作x DE ⊥轴,并连结P A .∴PB PA =∴BD PD PB PD PA =+=+……………………………………………7分∵()3,2--D ∴2,3==OE DE∴321=+=+=OE OB BE 在Rt △BDE 中,由勾股定理得:23332222=+=+=DE BE BD∴PD PA +的最小值为23.…………………………………………10分关于两条线段之和取得最小值的问题有许多几何问题都涉及到两条线段之和最小的问题,解决这类问题的主要方法是依据“两点之间线段最短”,将两条线段的和转化为一条线段,该线段的长度即为两条线段之和的最小值.怎么转化是解决问题的关键-----借助于图形变换中的轴对称可以实现转化.另外还要用到线段垂直平分线的性质定理、勾股定理等知识,有些题目还与函数知识相结合,难度较高.也有部分几何问题涉及到三条线段之和最小,情形比较复杂,但解决问题的依据和思路基本上是不变的.要求:（1）会作出一个点关于某条直线的对称点. （2）熟悉并掌握线段垂直平分线的性质定理.（3）通过合理添加辅助线构造直角三角形,使用勾股定理求解线段（边）的长度. （4）掌握两点关于坐标轴对称时坐标之间的关系,如两点关于y轴对称时,它们的横坐标互为相反数,纵坐标相等.（5）学会并掌握用待定系数法求一次函数的关系式.26.（10分）如图所示,抛物线cbxxy++=2与直线1-=xy交于A、B两点,点A的纵坐标为4-,点B在y轴上,直线AB与x轴交于点F,点P是线段AB下方的抛物线上一动点,横坐标为m,过点P作PC x⊥轴于C,交直线AB于D.（1）求抛物线的解析式;（2）当m取何值时,线段PD的长度取得最大值,其最大值是多少?（3）是否存在点P,使△P AD是直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.yxDC FABOP解:（1）对于1-=xy令4-=y,则41-=-x,解之得:3-=x∴()4,3--A令0=x,则1-=y∴()1,0-B把()4,3--A 和()1,0-B 分别代入c bx x y ++=2得:⎩⎨⎧-=-=+-1439c c b 解之得:⎩⎨⎧-==14c b∴抛物线的解析式为142-+=x x y ; ……………………………………………3分 （2）∵点P 是线段AB 下方的抛物线上一动点,横坐标为m∴()14,2-+m m m P （03<<-m ） ∵PC x ⊥轴,点D 在直线1-=x y ∴()1,-m m D ∵点D 在点P 的上方∴()m m m m m PD 314122--=-+--=∴49232+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=m PD……………………………………………5分∴当23-=m 时,线段PD 的长度取得最大值,最大值为49;……………………………………………6分 （3）存在点P ,使△P AD 是直角三角形. 对于1-=x y 令0=y ,则01=-x 解之得:1=x ∴F （1 , 0）∴1==OF OB∴△BOF 和△DCF 都是等腰直角三角形 ∴︒=∠=∠45ADP CDF分为两种情况:①当︒=∠90PAD 时,△P AD 是等腰直角三角形 作PC AE ⊥ ∴()m m PD AE 321212--==∵()4,3--A ,()0,m C ∴()m m AE +=--=33 ∴()m m m +=--33212 整理得:0652=++m m 解之得:3,221-=-=m m ∵03<<-m ∴2-=m∴()()512421422-=--⨯+-=-+m m∴()5,2--P ;……………………………………………8分 ②当︒=∠90APD 时,PD PA =∴()m m m 332--=-- 整理得:0342=++m m 解之得:3,121-=-=m m ∵03<<-m ∴1-=m∴()()411411422-=--⨯+-=-+m m∴()4,1--P ;…………………………………………10分 综上所述,存在点P ,使△P AD 是直角三角形,点P 的坐标为()5,2--或()4,1--.yxDCFABO P注意:对于讨论的第①种情况,我们还可以用下面的方法予以求解,希望借此拓宽大家的视野.先补充知识点: 对于两条直线:222111::b x k y l b x k y l +=+=若21l l ⊥,则121-=k k .注意 此结论通常用来求一次函数的解析式.例如:直线1l 的解析式为2+-=x y ,直线2l 与1l 垂直,且直线2l 经过点)2,1(-,求直线2l 的解析式.解:由题意可设直线2l 为:b x y +=∵其图象经过点)2,1(- ∴3,21-=-=+b b∴直线2l 的解析式为3-=x y . 回到本题:①当︒=∠90PAD 时,AB AP ⊥ 设直线AP 为n mx y += ∵直线AB 为1-=x y ∴1-=m∴n x y +-= 把()4,3--A 代入n x y +-=得:43-=+n∴7-=n∴直线AP 为7--=x y 解方程7342--=-+x x x 得:3,221-=-=x x （不合题意,舍去）∴()5,2--P .学生整理用图。
二次函数图象与几何变换-初中数学习题集含答案
（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求 n 的取值范围； （3）在（1）的条件下，存在正实数 a ， b(a b) ，当 a„ x„ b 时，恰好有 1 „ y„ 1 ，请直接写出 a ，Байду номын сангаасb 的值．
ba 12．（2020•朝阳区校级模拟）函数 y x2 (m 1)x 1 的图象的对称轴为直线 x 1 ． （1）求 m 的值； （2）将函数 y x2 (m 1)x 1 的图象向右平移 2 个单位，得到新的函数图象 G ． ①直接写出函数图象 G 的表达式； ②设直线 y 2x 2t(t m) 与 x 轴交于点 A ，与 y 轴交于点 B ，当线段 AB 与图象 G 只有一个公共点时，直接写出 t 的取值范围． 13．（2020•海淀区校级模拟）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y x2 2mx m2 1 与 y 轴交于点 C ． （1）试用含 m 的代数式表示抛物线的顶点坐标； （2）将抛物线 y x2 2mx m2 1 沿直线 y 1 翻折，得到的新抛物线与 y 轴交于点 D ．若 m 0 ， CD 8 ，求 m 的值； （3）已知 A(2k, 0) ， B(0, k) ，在（2）的条件下，当线段 AB 与抛物线 y x2 2mx m2 1 有两个公共点时，直接写 出 k 的取值范围． 14．（2019•海淀区校级三模）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y x2 2mx m2 1 与 y 轴交于点 C ． （1）试用含 m 的代数式表示抛物线的顶点坐标； （2）将抛物线 y x2 2mx m2 1 沿直线 y 1 翻折，得到的新抛物线与 y 轴交于点 D ，若 m 0 ， CD 8 ，求 m 的值． （3）已知 A(k 4,1) ， B(1, k 2) ，在（2）的条件下，当线段 AB 与抛物线 y x2 2mx m2 1 只有一个公共点时， 请求出 k 的取值范围． 15．（2019•朝阳区模拟）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y 2x2 (m 9)x 6 的对称轴是 x 2 ． （1）求抛物线表达式和顶点坐标； （2）将该抛物线向右平移 1 个单位，平移后的抛物线与原抛物线相交于点 A ，求点 A 的坐标； （3）抛物线 y 2x2 (m 9)x 6 与 y 轴交于点 C ，点 A 关于平移后抛物线的对称轴的对称点为点 B ，两条抛物线 在点 A 、 C 和点 A 、 B 之间的部分（包含点 A 、 B 、 C) 记为图象 M ．将直线 y 2x 2 向下平移 b(b 0) 个单位， 在平移过程中直线与图象 M 始终有两个公共点，请你写出 b 的取值范围 ．
二次函数图像和几何变换
二次函数图像和几何变换1、如图，在平面直角坐标系中，抛物线221x y =经过平移得到抛物线x x y 2212-=，其对称轴与两端抛 物线所围成的阴影部分面积为 .2.已知下列函数在同一平面内下列4个函数；①y=2（x+1）2-1；②y=2x 2+3；③y=-2x 2-1；④1212-=x y 的图象不可能由函数y=2x 2+1的图象通过平移变换得到的函数是 .(填写所有正确选项的序号）．3、把抛物线y=x 2+bx+c 的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y=x 2-2x+3，则b 的值为 .4、将二次函数y=（x-2）2+3的图象向右平移2个单位，再向下平移2个单位，所得二次函数的解析式为 .5、二次函数y=x 2-2x-3的图象关于原点O （0，0）对称的图象的解析式是 .6、若抛物线y=ax 2+bx+3与y=-x 2+3x+2的两交点关于原点对称，则a 、b 分别为 ， .7、已知抛物线y=x 2-2x-3，若点P （-2，5）与点Q 关于该抛物线的对称轴对称，则点Q 的坐标是 .8、将抛物线y=x 2-4x+4沿y 轴向下平移后，所得抛物线与x 轴交于点A 、B ，顶点为C ，如果△ABC 是等腰直角三角形，那么顶点C 的坐标是 .9、抛物线y=2x 2-4x-5的图象先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，再把抛物线绕顶点旋转180°，得到的新图象的解析式为 .10、在平面直角坐标系中，先将抛物线y=-x 2+2x+3关于x 轴作轴对称变换，再将所得的抛物线平移使它经过原点，写出经两次变换后所得的新抛物线的一个解析式 .22212--=x x y11、下表给出了代数式x 2+bx+c 与x 的一些对应值：函数y=x 2的图象可以通过平移得到函数y=x 2+bx+c 的图象．请写出一种正确的平移 .11、二次函数 的图象在坐标平面内绕顶点旋转180°，再向左平移3个单位，向上平移5个单位后图象对应的二次函数解析式为_____________________．12、把抛物线y ＝ax 2+bx+c 的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是y ＝x 2－3x+5，则a+b+c=__________.13、若抛物线23y ax bx =++与232y x x =-++的两交点关于原点对称，则a b 、分别为 ．14、抛物线x x y 422-=关于y 轴对称的抛物线的关系式为 .15、抛物线c bx ax y ++=2关于x 轴对称的抛物线为3422+-=x x y ，则a= ,b = ,c = .16、将抛物线y ＝ax 2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，移动后的抛物线经过点(3，－1)，那么移动后的抛物线的关系式为 .。
专题8 二次函数的图象抛物线与三大几何变换(原卷版)-2024-2025学年九年级数学上册提优专题及
专题8 二次函数的图象抛物线与三大几何变换（原卷版）类型一抛物线与平移1．（2023•牡丹江）将抛物线y＝（x+3）2向下平移1个单位长度，再向右平移个单位长度后，得到的新抛物线经过原点．2．（2023•青岛）许多数学问题源于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图①）、可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图②所示的直角坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨OA，OB的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，OA、OB关于y轴对称．OC ＝1分米，点A到x轴的距离是0.6分米，A，B两点之间的距离是4分米．（1）求抛物线的表达式；（2）分别延长AO，BO交抛物线于点F，E，求E，F两点之间的距离；（3）以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S1，将抛物线向右平移m（m＞0）个单位，得到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S2．若S2=35S1，求m的值．4．（2023•常州）如图，二次函数y=12x2+bx﹣4的图象与x轴相交于点A（﹣2，0），B，其顶点是C．（1）b＝；（2）D是第三象限抛物线上的一点，连接OD，tan∠AOD=52．将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线经过点D，过点（k，0）作x轴的垂线l．已知在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求k的取值范围；（3）将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q，且其顶点P落在原抛物线上，连接PC、QC、PQ．已知△PCQ是直角三角形，求点P的坐标．4．（2023•绥化）如图，抛物线y1＝ax2+bx+c的图象经过A（﹣6，0），B（﹣2，0），C（0，6）三点，且一次函数y＝kx+6的图象经过点B．（1）求抛物线和一次函数的解析式；（2）点E，F为平面内两点，若以E、F、B、C为顶点的四边形是正方形，且点E在点F的左侧．这样的E，F两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点E的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）将抛物线y1＝ax2+bx+c的图象向右平移8个单位长度得到抛物线y2，此抛物线的图象与x轴交于M，N两点（M点在N点左侧）．点P是抛物线y2上的一个动点且在直线NC下方．已知点P的横坐标为m．过点P作PD⊥NC于点D，求m为何值时，CD+12PD有最大值，最大值是多少？5．（2023•东营）如图，抛物线过点O（0，0），E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上．设B（t，0），当t＝2时，BC＝4．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？（3）保持t＝2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形ABCD的面积时，求抛物线平移的距离．类型二抛物线与翻折6．（2023•淄博）如图，一条抛物线y＝ax2+bx经过△OAB的三个顶点，其中O为坐标原点，点A（3，﹣3），点B在第一象限内，对称轴是直线x=94，且△OAB的面积为18．（1）求该抛物线对应的函数表达式；（2）求点B的坐标；（3）设C为线段AB的中点，P为直线OB上的一个动点，连接AP，CP，将△ACP沿CP翻折，点A 的对应点为A1．问是否存在点P，使得以A1，P，C，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．7．（2023•德阳）已知：在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，﹣4）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，如果把抛物线x轴下方的部分沿x轴翻折180°，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象．当平面内的直线y＝kx+6与新图象有三个公共点时，求k的值；8．（2023•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：y＝x2﹣2x﹣3的顶点为P．直线l过点M （0，m）（m≥﹣3），且平行于x轴，与抛物线L1交于A、B两点（B在A的右侧）．将抛物线L1沿直线l翻折得到抛物线L2，抛物线L2交y轴于点C，顶点为D．（1）当m＝1时，求点D的坐标；（2）连接BC、CD、DB，若△BCD为直角三角形，求此时L2所对应的函数表达式；（3）在（2）的条件下，若△BCD的面积为3，E、F两点分别在边BC、CD上运动，且EF＝CD，以EF为一边作正方形EFGH，连接CG，写出CG长度的最小值，并简要说明理由．类型三二次函数与旋转9．（2023•平昌县校级模拟）如图，抛物线C1：y＝x2﹣2x（0≤x≤2）交x轴于O，A两点；将C1绕点A旋转180°得到抛物线C2，交x轴于A1；将C2绕点A1旋转180°得到抛物线C3，交x轴于A2，…，如此进行下去，则抛物线C10的解析式是（）A．y＝﹣x2+38x﹣360B．y＝﹣x2+34x﹣288C．y＝x2﹣36x+288D．y＝﹣x2+38x+36010．（2023•青秀区校级模拟）将抛物线y＝2（x﹣1）2+3绕原点旋转180°，旋转后的抛物线解析式为（）A．y＝﹣2（x﹣1）2+3B．y＝2（x+1）2﹣3C．y＝﹣2（x+1）2﹣3D．y＝2（x﹣1）2﹣311．（2023•岳阳县二模）在平面直角坐标系中，将抛物线∁l：y＝2x2﹣（m+1）x+m绕原点旋转180°后得到抛物线C2，在抛物线C2上，当x＜1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（）A．m≥5B．m≤5C．m≥﹣5D．m≤﹣512．（2023•高青县二模）边长为1的正方形OA1B1C1的顶点A1在x轴的正半轴上，如图将正方形OA1B1C1绕顶点O顺时针旋转75°得正方形OABC，使点B恰好落在函数y＝ax2（a＜0）的图象上，则a的值为．13．（2023•高新区模拟）如图，抛物线y=12x2−32x−2与x轴交于A，B两点，抛物线上点C的横坐标为5，D点坐标为（3，0），连接AC，CD，点M为平面内任意一点，将△ACD绕点M旋转180°得到对应的△A′C′D′（点A，C，D的对应点分别为点A′，C′，D′），若△A′C′D′中恰有两个点落在抛物线上，则此时点C'的坐标为（点C'不与点A重合）．14．（2023•静安区校级一模）定义：把二次函数y＝a（x+m）2+n与y＝﹣a（x﹣m）2﹣n（a≠0，m、n是常数）称作互为“旋转函数”．如果二次函数y＝x2+32bx﹣2与y＝﹣x2−14cx+c（b、c是常数）互为“旋转函数”，写出点P（b，c）的坐标．15．（2022秋•连云港期末）已知二次函数y＝ax2+c的图象经过点（8，10），(−2，52 )．（1）求二次函数的表达式；（2）点P为二次函数图象上一点，点F在y轴正半轴上，将线段PF绕点P逆时针旋转90°得到PE，点E恰好落在x轴正半轴上，求点P的坐标．16．（2023•郸城县二模）如图1，抛物线y1＝ax2+bx+c分别交x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y 轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的表达式及顶点P的坐标．（2）如图2，将该抛物线绕点（4，0）旋转180°．①求旋转后的抛物线的表达式；②旋转后的抛物线顶点坐标为Q，且与x轴的右侧交于点D，顺次连接A，P，D，Q，求四边形APDQ的面积．17．（2023•鞍山二模）如图，抛物线C1：y＝x2+bx+c与y轴交于点D（0，﹣3），与x轴交于A（﹣3，0），B两点，顶点为H．（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线C1：y＝x2+bx+c平移后得到抛物线C2，且抛物线C2的顶点P（m，n）始终在抛物线C1上，①当点P在第一象限时，抛物线C2与y轴交于点E，若△PED的面积为6m时，直接写出P点坐标；②将平移后的抛物线C2绕点P旋转180°得到抛物线C3，抛物线C3与直线BH交于点M（M与H不重合），与y轴交于点N，连接MN，NH，若∠MNH＝15°，求直线NH的解析式．18．（2023春•沙坪坝区校级月考）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+8（a≠0）与x轴交于点B（﹣4，0），点C（8，0），与y轴交于点A．点D的坐标为（0，4）．（1）求二次函数的解析式．（2）如图1，点F为该抛物线在第一象限内的一动点，过E作FE∥y轴，交CD于点F，求EF+√55DF的最大值及此时点E的坐标．（3）如图2，在（2）的情况下，将原抛物线绕点D旋转180°得到新抛物线y'，点N是新抛物线y'上一点，在新抛物线上的对称轴上是否存在一点M，使得点D，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标，并写出其中一个点M的求解过程．。
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二次函数图像与几何变换
1 求某点的平移、对称点的坐标：
一个点A(-2,-5)作如下变化：
（1）把点A先向右平移2 个单位，再向下平移3 个单位；
（2）把点A沿x轴翻折；
（3）把点A绕坐标系原点旋转180︒；
（4）把点A绕点P(1,0)旋转180︒；
分别求出点的坐标.
2：已知；抛物线y =-x 2 + 2x + 3，回答下列问题：
(1)分别写出此抛物线的顶点P，与x轴的两个交点A、B ( A点在B点的左侧)，与y轴的交
点C的坐标.，并画出函数图像。
(2)若将抛物线y =-x 2 + 2x + 3
向左平移2 个单位长度，且向下平移3 个单
位长度，求所得抛物线的解析式.
(3)求抛物线y =-x 2 + 2x + 3
关于y轴对称的抛物线的解析式.
(4)求抛物线y =-x 2 + 2x + 3
关于x轴对称的抛物线的解析式.
(5)求抛物线y =-x 2 + 2x + 3关于原点O对称的抛物线的解析式.
思考：对比以上几问,你能总结出: 图象变换背景下，求函数解析式的一般方法吗？
一、二次函数图象的平移变换
【例1】函数y = 3(x + 2)2 -1的图象可由函数y = 3x2 的图象平移得到，那么平移的步骤是：（）
A.右移两个单位，下移一个单位
B. 右移两个单位，上移一个单位
C. 左移两个单位，下移一个单位
D. 左移两个单位，上移一个单位
【例2】函数y =-2(x - 1)2 - 1 的图象可由函数y =-2(x + 2)2 + 3 的图象平移得到，那么平移的步骤
是（）
A. 右移三个单位，下移四个单位
B. 右移三个单位，上移四个单位
C. 左移三个单位，下移四个单位
D. 左移四个单位，上移四个单位
【例3】二次函数y =-2x2 + 4x +1 的图象如何移动就得到y =-2x2 的图象（）
A. 向左移动1个单位，向上移动3个单位.
B. 向右移动1个单位，向上移动3个单位.
C. 向左移动1个单位，向下移动3个单位.
D. 向右移动1个单位，向下移动3个单位.
【例4】将函数y =x2 +x 的图象向右平移a(a > 0)个单位，得到函数y =x2 -3x + 2 的图象，则a 的值为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、二次函数图象的对称变换
【例5】函数y =x2 与y =-x2
的图象关于
对称，也可以认为
y =x2 是函数y =-x2 的图象绕旋转得到．
【例6】已知二次函数y =x2 - 2x -1，求：⑴关于x 轴对称的二次函数解析式；⑵关于y 轴对称的二次函数解析式；⑶关于原点对称的二次函数解析式．
【例7】在平面直角坐标系中，先将抛物线y =x2 +x - 2 关于x 轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y 轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为
A y =-x2 -x + 2
C．y=-x2 +x + 2 三、应用练习：B．y =-x2 +x - 2 D．y =x2 +x + 2
例1、如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过A（1，0），B（0，2）两点，顶点为D．将△OAB 绕点A 顺时针旋转90°后，点B 落到点C 的位置，将抛物线沿y 轴平移后经过点C，求平移后所得图象的函数关系式
2、如图，若将抛物线y=（x+1）2-7沿x轴平移经过P（-2，2），则平移后抛物线的解析式为（）
例 3、已知抛物线 C ：y=x 2+2x+4，将抛物线 C 平移到 C′．若两条抛物线 C ，C′关于直线 x=1 对称，则平移后的抛物线 C′的解析式是
．
例 4、如图，在直角坐标系中，已知点 A （-1，0）、B （0，2），将线段 AB 绕点 A 按逆时针方向 90°至 AC ．
（1）点 C 的坐标为 ；
（2）若 y= 1 x 2-ax-2 的图象经过点 C ．
2
①求 y= 1 x 2-ax-2 的关系式； 2
②在此的图象上是否存在点 P （点 C 除外），使△ABP 是以 AB
为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出所有点 P 的坐标；
若不存在，请说明理由．
运用：研究思考题：
1、如图， ABCD 中，AB = 4 ，点 D 的坐标是(0 ，8) ，以点C 为顶点的抛物线 y = ax 2 + bx + c 经过 x 轴上的点 A ， B ．
⑴ 求点 A ， B ， C 的坐标．
⑵ 若抛物线向上平移后恰好经过点 D ，求平移后抛物线的解析式．
2、 如图，已知抛物线C 1 : y = a (x + 2)2 - 5 的顶点为P ，与x 轴相交于A 、B 两点 （ A 点在点B 的左边），点B 的横坐标是 1．
（1）求点B 坐标及a 的值；
（2）如图（1），抛物线C 2 抛物线C 1 关于x 轴对称，将抛物线C 2 向右平移，平移后的抛物 线记为C 3 ，C 3 的顶点为M ，当点P 、M 关于点B 成中心对称时，求C 3 的解析式；
(选做)
*（3）如图（2），点Q 是x 轴正半轴上一点，将抛物线C 1 绕点Q 旋转180︒后得到抛物线C 4 ．抛 物线C 4 的顶点为N ，与x 轴相交于E 、F 两点（点E 在点F 的左边），当以点P 、N 、F 为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q 的坐标．
图 图2
C 1
y N A B Q
O E F x P C 4 图 2 C 1 y
M A B
O x P C 2 C 3 图 1。