杆系构件稳定理论

H ni = a y Qi 250 0.2 + 1 ns
∑N ：所计算楼层轴力设计值之和 ∑H ：所计算楼层及以上各层水平力之和
Qi ：第i楼层总重力荷载设计值；ns：框架总层数，根号内数大于1时取1；αy：钢材强度影响系数。
——框架较柔，宜计算非线性效应，采用H考虑各类初始缺陷的影响 楼层处的侧向刚度：截面刚度+应力刚度 截面刚度：∑ H / Δu 应力刚度：∑ N / h （负值）
S 0 = 3(1.2 ∑ N bi − ∑ N 0i )
∑ N bi、 N 0i： 分别为用无侧移框架和有侧移框架计算得到的轴压杆稳定承载力之和 ∑
Sb>S0时为强支撑框架，计算长度μ 按无侧移框架取用； Sb<S0时为弱支撑框架，柱子稳定系数插值取用：
ϕ = ϕ 0 + (ϕ1 − ϕ 0 )
ϕ1、ϕ 0： 分别为用无侧移框架和有侧移框架计算长度系数得到的轴压杆稳定系数
2
M eq = M1
⎛ M 2 ⎞ − 2 ⎛ M 2 ⎞ cos kl + 1 ⎜ M ⎟ ⎜ M ⎟ ⎝ ⎝ 1⎠ 1⎠ = βm M1 2 (1 − cos kl )
P = α PE
3.
Q = 0, q ≠ 0 时的构件最大弯矩
qx ( x − l ) y ''+ k y = , 2 EI 特解 y p = c1 x 2 + c2 x + c3
Sb 3(1.2 ∑ N bi − ∑ N 0i )
3. 问题和结论 计算结构的稳定性必须在结构变形后的状态建立平衡方程进行求解，也就是必 须考虑结构的二阶效应。 现行规范方法通过计算长度系数概念避免了进行结构的二阶分析，通过计算长 度 + 一阶内力来进行框架柱和框架的稳定设计，也允许按计算长度系数为1 + 二 阶内力进行稳定设计。 理论上，结构第二类稳定问题的计算仅需进行引入初始缺陷后（规范通过假想 力Hni考虑）的二阶内力分析 + 截面强度验算（+挠度验算）。对于无支撑纯框 架，如按二阶内力，规范为什么规定还应按计算长度系数为1计算稳定系数，按公 式进行验算？——PΔ效应和Pδ效应。 当柱子仅采用一个单元进行计算时， 相当于未考虑Pδ效应及柱身缺陷，所 以应取μ=1计算ϕ。ϕ推导源自Perry 公式： Nε 0 N + = fy A Wx (1 − P / PE ) 当柱子采用两个以上单元进行计算， 并考虑Hni和杆身缺陷，可直接按二 阶最大内力验算强度（+挠度验算） 来完成其稳定性计算。
M max
y max ≈ y o
1 1− P
PE
Mo
1 = Ql 4
1 − 0.2 P
⎛ 1 − 0.2 P PE 1 = Pymax + Ql = M o ⎜ ⎜ 1− P 4 ⎜ PE ⎝
⎞ 1 + 0.234 P PE kl ⎟ = M sec = M eq eq ⎟ 2 1− P ⎟ PE ⎠
（三）等效弯矩概念
1. 压弯构件的转角位移方程
记：k 2 =
MA + MB M P 2 x− A ， 平衡方程：y ''+ k y = EI EIl EI
解：
y = A sin kx + B cos kx +
MA + MB M x− 2 A k 2 EIl k EI
2. Q = 0, q = 0 时的构件最大弯矩
2
通解
y c = A sin kx + B cos kx
⎛ ⎜ 1 ≈ yo ⎜ ⎜1− P ⎜ PE ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠⎤
y = yc + yp
记 5 ql 4 yo = 384 EI
2
,
y max
Mo =
1 2 ql 8
M max
⎡ ⎥ ql ql ⎢ 5 Pl 2 1 = + Py max = 1+ ⎢ ⎥ ≈ Mo 8 8 ⎢ 1− P 48 EI ⎛ 1 − P ⎞ ⎥ ⎜ ⎟ PE PE ⎠ ⎥ ⎢ ⎝ ⎣ ⎦ 1 + 0.234 P PE kl 1 M eq = M o = βmM o, = M eq sec = M eq , 2 1− P 1 + 0.234 P PE PE
2
β m = 1.0
4. 当 Q ≠ 0 ，q=0 时
E Iy '' + P y = −
Qx 2，
y ''+ k 2 y = −
Qx 2 EI
y = A sin kx + B cos kx −
y max =
Qx kl μ = 2 P ，记 2
yo Q l3 = 48EI
3 ( tg μ − μ ) Ql ( tg μ − μ ) = yo μ2 4μ P
* 无支撑的纯框架可采用近似方法计算二阶弹性杆端弯矩
M II = M Ib + α 2i M Is
α 2i =
1 ∑ N • Δu 1− ∑H •h
一阶分析得到MIb
一阶分析得到MIs
2. 柱子稳定设计规定 * 无支撑的纯框架 采用一阶内力分析时，计算长度 μ 按有侧移框架取用； 采用二阶内力分析时，计算长度 μ 取1.0 * 有支撑框架 门槛侧移刚度：
μ1
1.973
μ2
10.138
μ1’
2.300 3.078 3.739 1.730 2.186 2.628 1.152 1.216 1.383
μ2’
5.143 3.974 3.739 3.867 2.822 2.628 2.577 1.570 1.383
对所有柱均采用计算长度系数进行设计才能保证结构安全！！
μ1 = 0.7 μ 2 = 1.414
μ1 = 1.0 μ 2 = 1.0
Pcr = 9.87 EI / h 2
μ1 = ∞ μ 2 = 1.0
×
×
×
×
＃计算长度与荷载分布有关 ＃不能根据单根构件边界确定计算长度 # 框架中某柱子首先失稳时，该柱子计算长度能反映其真实稳定性能 ＃框架中某柱子不失稳时，该柱提供的0 ∞的有利边界约束在计算失稳柱计算长度时得到 了合理考虑，但其自身计算长度值不合理（例如： = 0, 时μ＝∞ ）。 P
2.实用方法 假定： ①同列柱同时屈曲。 ②同一层各横梁段转角大小相等，方向相反（无侧移）或方向相同（有侧移）。 ③柱端转角隔层相等。 ④各柱的
kl
2 值相等，这里 k = P / EI （ π P / PE 相等）。
⑤忽略横梁中轴力的影响。 ⑥对有侧移情况，失稳时层间位移角相等。
（1）无侧移多层刚架
节点A、B的平衡方程：
MAB + MAG + MAC + MAD = 0⎫ * * ⎧θA⎫ ⎧0⎫ ⎬→ ⎨ ⎬=⎨ ⎬ MBA + MBH + MBE + MBF = 0⎭ * * ⎩θB ⎭ ⎩0⎭
0 .6 4 k 1 k 2 + 1 .4 ( k 1 + k 2 ) + 3 , k1 = μ = 1 .2 8 k 1 k 2 + 2 ( k 1 + k 2 ) + 3
（3）特点： ① 排除了荷载与周边柱列刚度对本柱子屈曲的影响，大部分情况下偏于安全， 某些情况下不安全。 ＃有侧移: μ1=2, ② μ2=∞, (μ1=2～∞, μ2=1.814～2.694～∞)
＃无侧移: μ1=0.7, μ2=1.0,(μ1=0.7～∞, μ2=1～∞)
K=ib/ic 0.01 P2/P1 0.2 0.6 1.0 0.1 0.2 0.6 1.0 1 0.2 0.6 1.0 1.277 1.465 1.784 3.392
一、结构稳定问题的基本类型
整体稳定问题：系统失稳 局部稳定问题：系统中部分失稳 整体稳定和局部稳定的相互作用 框架的稳定问题
框架整体失稳 ——整体稳定问题 框架中部分梁柱构件失稳 ——对于框架为局部稳定问题，对于板件为整体稳定问题 框架中部分梁柱构件中的板件失稳 ——局部稳定问题 网壳整体失稳 ——整体稳定问题 网壳部分杆件失稳 ——对于框架为局部稳定问题，对于板件为整体稳定问题 网壳中部分杆件中的板件失稳 ——局部稳定问题
网壳的稳定问题
二、框架的稳定设计
（一）屈曲现象及分析理论
强支撑 对称失稳
无支撑 反对称失稳 一阶线性分析
弱支撑 不对称失稳
分枝型屈曲分析 弹性稳定问题 二阶弹性分析 弹性稳定问题
二阶弹塑性分析 弹塑性稳定问题
设计目的： 外荷载≤PU。 设计方法： ①对各荷载组合进行二阶弹塑性分析,根据可靠度理论考虑抗力分项系数。 ＃计算复杂，耗时，难以应用。 ＃抗力分项系数难以确定。
π 2 EI ⇒P = , μ= cr 2 ( μl )
Ib Ic
π
P ×l EI
=
π
kl
∑
A
lb lc
∑
A
, k2 =
∑
B
Ib Ic
lb lc
∑
B
（2）有侧移多层框架
节点A、B弯矩和AB柱水平剪力平衡：
7.5k1k2 + 4 ( k1 + k2 ) + 1.52 μ= 7.5k1k2 + k1 + k2
2 (1 − cos kl ) kl ql = M 1 sec = M eq sec sin 2 kl 2 2
令M1 ≠ M 2时的M max = M max , 2 (1 − cos kl ) = M1 2 sin kl
2
M eq
⎛M ⎞ ⎛M ⎞ ⎜ 2 M ⎟ − 2 ⎜ 2 M ⎟ cos kl + 1 ⎝ ⎝ 1⎠ 1⎠ sin 2 kl