2010版高中数学全程复习方略(大纲版理)：第15章数系的扩充--复数
【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 3.1.1 数系的扩充和复数的概念课件 新人教A版选修2-2
(2)(1＋ 3 )i可看作0＋(1＋ 3 )i＝a＋bi， 所以实部a＝0，虚部b＝1＋ 3. 答案：0，1＋ 3 (3)(a＋1)＋(a2－1)i(a∈R)为实数的充要条件是a2－1＝0， 所以a＝〒1. 答案：〒1
【要点探究】 知识点1 数系的扩充与分类
1.数系扩充的脉络 自然数系→整数系→有理数系→实数系→复数系.
2 m 【变式训练】m取何实数时，复数 z＝ m 6＋ m 2－2m－ 15 i. m3
(1)是实数？(2)是虚数？(3)是纯虚数？
m 2 2m 15 0， 【解析】(1)因为z为实数，所以 m 3 0， m 5或m 3， 所以 m 3，
(2)代数式中各字母的名称:
实部
虚部
虚数单位
(3)复数z=a+bi 的分类及满足条件
实数 _____b=0 ，
复数a＋bi(a，b∈R)
虚数 _____b≠ 0
纯虚数a=0,b≠0，
非纯虚数a≠0,b≠0.
2.复数的相等 a＝c且b＝d ，b，c，d∈R). a＋bi＝c＋di ___________(a 3.复数集
m 2 4 0, ③要使z为纯虚数，必有 2 m 3m 2 0, m 2且m 2, 所以 m 1或m 2.
所以m＝1，故m＝1时，z为纯虚数．
【延伸探究】把题(1)中的“纯虚数”改为“实数”,则结果如 何? 【解析】复数z为实数的充要条件是a+|a|=0,而|a|=-a,所以 a≤0.
【误区警示】复数概念易错点 (1)注意虚部不是bi,而是b.还要特别注意,要保证实部、虚部 有意义.
(2)形如bi的数不一定是纯虚数,只有限定条件b∈R且b≠0时,
(大纲版)高三数学全程复习方略：第十五章复数
第十五章复数自主学习则有a2-5a-6丸且 宁厂有意义,■'■a^-1 且 a 丸 且 a 工±1. -'-a 工± 且a 丸.-当 a (- g ,-1) U (-1,1) U (1,6) U (6,+ g )时,z 为虚数. a 2 5a 6 0(3)当z 为纯虚数时，有a 2 7a 6, 2 0 a 1-不存在实数a 使z 为纯虚数.例2已知x,y 为共轭复数，且(x+y)2-3xyi=4-6i 解 设x=a+ bi(a,b R)，则 y=a-bi, x+y=2a,xy=a 2+b 2, 代入原式，得(2a)2-3(a 2+b 2)i=4-6i,匚基础自测 1. (2020 •浙江理，1) 已知a是实数，畀是纯虚数，则a等于 A.1 B.-1 C. 2 D.- J 2答案 A 2.设复数 z=a+bi( a, b R), 则z 为纯虚数的必要不充分条件是A. a=0B.a=0 且 b 工C. a 工 0 且b=0 答案 A 3.满足条件| z|=|3+4i|的复数z 在复平面上对应点的轨迹是 A. 一条直线 B.两条直线 C.圆 答案 C D.椭圆 1 4. (2020 •辽宁理，4)复数亠- 2 i 1 的虚部是1 2i 1 . A. i 5 C.- - i 5 D.- 15答案 B 5. (2020 •广西河池市模拟)复数 i)( 2 i) * *的共轭复数是 .3i答案-3+i典例剖析例1已知复数 ，求 x, y.24a 2 43(a 2 b 2)解得故所求复数为计算:•/ BC= AO ，- BC 所表示的复数为-3-2i.(1)i)(2.3i(12i)2 3(12 i(3)(1i)(2 i)3iJ^=-1-3i. i(2)(12i)2 3(1 i)3 4i 3 3ii(2 5i) 2. i. 5(3)1 i (1 i)2 1 i (1 i)21 i 2i1 i 2ii丄2 2 1.(4)(”3 i)( i) (i)(”3i)例 4 (12（、3 i ）2（-.3 i ）23 i分）如图所示，平行四边形 OABC , (1)AO 表示的复数，BC 所表示的复数;(2) 对角线CA 所表示的复数； (3) 求B 点对应的复数.顶点0 , A , 解（1） AO=- OA ，- AO 所表示的复数为-3-2i.根据复数相等得(2) CA =O A OC ，：CA 所表示的复数为 (3+2i)-(-2+4i)=5-2i. (3) OB = OA AB OA OC•：OB 表示的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i,1.已知 m R ,复数 z=m(m +(m 2+2m -3)i,当 m 为何值时，(1) z R; (2) z 是纯虚数；(3) m 1复平面第二象限；(4) z 对应的点在直线x+y+3=0上. 解(1 )当z 为实数时，则有m 2+2m-3=0 且m-1工0 得 m=-3,故当 m=-3 时，z R. m(m 2) 0(2 )当z 为纯虚数时厕有m 1m 2 2m 3 0.解得m=0，或m=2..:当m=0或m=2时，z 为纯虚数.(3)当z 对应的点位于复平面第二象限时，则有 m(m 2) 0m 1 2m 2m 3解得m v -3或1 < m < 2，故当m v -3或1 < m < 2时，z 对应的点位于复平面的第二象限 (4) 当z 对应的点在直线 x+y+3=0 上时， 则有+(m 2+2m-3)+3=0, m 1•:当m=0或m=-1 ± . 5时，z 对应的点在直线x+y+3=0 上.2.已知复数 z 1=m +(4- m 2)i( m R), Z 2=2cos +( +3sin )i (R).若 Z 1=Z 2,求 的取值范围解'•z 1=z 2,：m+(4-m 2)i=2cos +(入+3sin )i,m 2cos ,由复数相等的条件，得 2 4 m 3sin ,=4-m 2-3sin =4-4cos2-3sin=4sin 2-3sin3 2 9 =4 (sin-)2-,8 16■--1 <sin<1,3 ,9•:当 sin = 时，min =-816即B 点对应的复数为1+6i.---- 知能迁移一12分z 对应的点位于m( m 2 2mm 14)=0，解得 m=0 或 m=-13. 计算下列各题 (.2”2i)3(4 5i). (5 4i)(1 i)'求z 为何值时，I z|有最小值，并求出I z|的最小值.解(1) vt> 是方程 x 2-( 6+ i ) x+9+ai=0 (a R )的实根,/•(b 2-6b+9 ) + (a- b ) i=0 ,2,,b 6b 9 0 丽小 ,c 故解得a=b=3.a b(2)设 z=x+yi (x , y R ), 由 | z -3-3i|=2|z| ,得(x-3 ) 2+(y+3) 2=4 (x 2+y 2), 即(x+1 ) 2+ (y-1 ) 2 =8.••Z 点的轨迹是以 01 (-1 , 1 )为圆心，2 .2为半径的圆 如图，当Z 点在OO 1的连线上时，|z|有最大值或最小值 ••|OO 1|= 2，半径 r=22 ,•当z=1-i 时,|z|有最小值且|z| min = 2.- -- ■ * ■—涪 彳乍 •、选择题当 sin =-1 时,max=7,(2)2 0062-3 i 1 2 3i(1)(、2 ..2i)3(4 5i)(5 4i)(1 i)2.. 2(1 i)3i(5 4i) (5 4i)(1 i)— 42.2(1 i) i-,2i(1 i)4 ,2i (1 i)2, 2 i(2i)24. 2i.2启i ⑵ 12、3i■■■ 2 2006(F7)i(1 2 3i) 1 2 - 3i1003(白=i+( — )1 003 =i+i 1 003 =i+i 2i4 X250+3 =i+i 3=i-i=0.4.已知关于x 的方程x 2- ( 6+i )x+9+ai=0(1)求实数a ，b 的值；(a R )有实数根b.(1)(2)若复数 z 满足 |z-a-bi|-2|z|=0 ,1. (2020 -天津理，1)■ 3i是虚数单位，i （ii1）等于1A.-1B.1答案 A2. (2020 -广东文，2)已知0v a v2,复数z=a+i(iA. (1,5)B. (1, 3)答案 C（）C.-iD.i是虚数单位），则|z|的取值范围是（）C. （1, 5 ）D. （1, 3 ）3. ( 2020 •山东文，2）设z的共轭复数是z，若z+z=4,A.iB.-i答案 D z • z=8,则等于z () C. ± 1 D. ± i4. 若（a-2i）i= b-i ,其中a、b R,i是虚数单位，则A.OB.2 a2+b2等于()C.5D.f2答案C5. 在复平面上，若一个正方形的三个顶点对应的复数分别是1+2i,-2+i , 0，则第四个顶点对应的复数为（）A.3+iB.3-iC.1-3iD.-1+3i答案D6. (2020 •河南新郑二中模拟)设复数z i=1+i, Z2=x-i( x € R),若Z i • Z2为实数，则x等于( )答案C二、填空题7. （2020 •北京理，9）已知（a-i ）2=2i,其中i是虚数单位，那么实数a= .答案-18. （ 2020湖北理，11）设乙是复数，Z2=Z1-i z （其中召表示乙的共轭复数），已知Z2的实部是-1，则Z2的虚部为答案1三、解答题10i9. 已知z2=8+6i,求z3- 16z-— z4 2 2 2 2解原式=Z 16Z 100 (Z 8) 164 (6i) 164 200 200Z 200 z八z z z飞 TT 百，|z|2=|z 2|=|8+6i|=10,又由z2=8+6i= [±(3+i) ] 2,••z= +(3+i),当z=3+i 时，原式=-60+20i;当z=-3-i 时，原式=60-20i.10. 已知z是复数，z+2i、旦均为实数(i为虚数单位)，且复数(z+ai) 2在复平面上对应的点在第一象限，求实数2 ia的取值范围.解设z=x+yi(x、y R),/•z+2i=x+(y+2)i,由题意得y=-2.z x 2i 1 1 1(x 2i)(2 i) -(2x 2) - (x-4)i.2 i 2 i 5 5 5A.-2B.-1C.1D.2由题意得 x=4,「.z=4-2i. •'•(z+ai) 2=(12+4a-a 2)+8(a-2)i,由于(z+ai) 2在复平面对应的点在第一象限 所以 12 4a a 0，,解得 2 < a < 6, 8(a 2) 0 •实数a 的取值范围是(2, 6).11. 是否存在复数z ,使其满足z • z+2i z =3+ai( a R),如果存在，求出z 的值；如果不存在，说明理由解 设 z=x+yi(x,y2xb=0 或 a 2+b 2=1.当 b=0 时,z=a, •|a-2|=2, •a=0 或 a=4. a=0不合题意舍去，二z=4. 当 b 工0 时,a 2+b 2=1. 又 v|z-2|=2, /.(a-2) 2+b 2=4. 由①②解得a= l,b= ±上，.^= 1 ±4 44z 或|z|=1.下同方法一.章末检测十五5分，共60分) z 2则——等于 z 1C. k +_ (k Z)4综上可知,z=4 或 z=1 土 Wi.4 方法二 ••z+ - z1R,・z+ z •■(z-z )- 口 =0,(z-z zz)即=0, R，贝U x 2+y 2+2i (x-yi)=3+ai.y 2 2y 3, 2x a.消去x 得y 2+2y+2a -3=0, △=16-a4当且仅当⑻<4时，复数z 存在,a 2,16 此时z=-22a .i.2112.设 z € C ,求满足 z+z R 且|z-2|=2的复数 Z.解方法一设 z=a+bi( a,b R),贝U z+ - =a+bi+ z—1 =a+ bi+ a a bibi 2 2 a b一、选择题(本大题共12小题，每小题 1. (2020 •海南文，3)已知复数z=1-i,2. ( 2020 •江西理，1)在复平面内，复数z=sin2+icos2 对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案 D3. 已知复数z=t+i( t R +),且z 满足z 3 € R,则实数t 的值为A. 口B. 3C.兰332答案 B4. 设z C z=(1-i) * 2 3+5 6i ,则(1+z)7展开形式的第5项是6 5i A.35i B.-21iC.21答案 D5. 已知方程x 2+(4+i) x+4+ai=0 ( a R 有实根b,且z=a+b i,则复数z 等于答案 B9.若sin2 -1+i( .2 cos +1)是纯虚数，则等于A.2 k - _( k Z)4答案 B 10.若4 3mi (m R)为纯虚数，则(乙卫)2 008的值为3 mi2 miA.2 答案 AB.-2C.2iD.-2iA.2-2iB.2+2iC.-2+2i答案 A6.若复数 z 满足 | z+1|+| z-1|=2, 那么|z-1+i|的最大值为A.1B. .. 2C.2D.-2-2i( )D. 5答案 D7. (2020 • 全国I 理， 4 )设aR ，且 (a+i ) 2i i 为正实数，则a 等于A.2 B .1C.0答案 D8. (2020 • 杭州质检) 北 1 右z=-2_2i2 ，且(x-z) 4 4 3 =a °x +ax +a 2x 2+a 3X +a 4, 则a 2等于( )A.--3i iB.-3+3 ,3 i22C.6+3 ,3 i D .-3-3 . 3 i( )D.-1A.-1 答案 BB.1C.-iD.i( )D.厶63( )D.35( )B.2 k +_(k Z)41 D.丄 k +— (k Z)2 411.设复数z i =1-2i, Z 2=1+i,则复数z=l 在复平面内对应的点位于( )A.第一象限 C.第三象限 答案 CZ 2B.第二象限 D.第四象限12.在复平面内，设向量 p i =(x i , y i ), p 2=(x 2, y 2),又设复数 Z i =X i +y i i, Z 2=X 2+y 2i( X i , X 2, y i , y 2 匕 R), _则 p i• p 2等于() B .Z i Z2Z i Z21D.—(wz 2 Z i Z 2)2答案 D二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共i6分)i3. (2020 •上海理，3)若复数z 满足z=i ( 2-z ) ( i 是虚数单位)，贝U z= 答案i+i.2 007i4. (2020 •淮北模拟)若复数z=a- . 2 +3i 为纯虚数，其中a € R,i 为虚数单位，则 L2 的值为 i ai答案 -ii5.定义运算： a b i i=ad- bc,则符合条件 =i-i 的复数z 的值为c d z z答案 -i 16. 设z=(i+i) 2-(其中i 是虚数单位)，则(i+z)7展开式中的第4项是 .ii-----------答案 -35i三、解答题(本大题共6小题，共74分)17. (i2分)实数x 分别取什么值时，复数 z=x 2+x-6+( x 2-2x-i5)i 对应的点Z 在：(1) 第三象限; (2) 第四象限; (3)直线 x-y-3=0 上?解 因为x 是实数，所以x 2+x-6, x 2-2 x-i5也是实数.即-3 v x v 2时，点Z 在第三象限. (2)当实数x 满足x 2 x 6 0,x 2x i5 0. 即2 v x v 5时，点Z 在第四象限.2 2(3) 当实数 x 满足(x +x-6 )-(x -2x-i5)-3=0, 即x=-2时，点Z 在直线x- y-3=0 上.i8. (i2分)已知复数z=a+b i( a, b R)且a 2+b 2=25,(3+4i) z 是纯虚数，求z 的共轭复数. 解 方法一 (3+4i)(a+bi)=(3a-4b)+(4a+3b)i是纯虚数，3 a 代入 a 2+b 2=25,得 a= ±4.4/•a=4 时，b=3;a=-4 时，b=-3. /•z=4+3i 或 z=-4-3i.C. 1(Z I Z 22Z i Z 2)(i )当实数x 满足x 6 0,2x i5 0.3a 4b 4a 3b0 0, &2故所求的z 的共轭复数为4-3i 或-4+3i. 设(3+4i)(a+bi ) =ki(k 匕 R, k 丸),2m m解-z 1=+(m-15)i,z 2=-2+m(m-3)i, m 22•Z+z 2= — — +(m-15)i-2+m(m-3)im 22m m =(-2) + [ (m-15)+m(m-3) ]m 22 ”=(m——m —— )+(m 20 21 22 23-2m-15)i. m 2TZ1+Z 2是虚数，• m 2-2m-15 丸,且 m #-2. • m #5，m #-3，且 m #-2 (m € R).V 是实数，b #0, •a 2+b2=1,即 |z|=1,1又 V -1 <3< 2,故-一 < 2已知复数 Z 1=2+i ，2z 2=20 (12分)设z 是虚数，=z+!是实数，且z解 设 z=a+bi,a,b € R 且 b 丸, “ 1 贝 U=z+ =a+bi+z「a+bi=ki ki(3 4i) 4k 3ki . 32^,眷b =H 代入 a2+b2=25，得 k = ±25.•*=25 时, z=4+3i, z =4-3i;k=-25 时, z=-4-3i, z=-4+3i.19. ( 12 分) 2设 m € R ，复数 Z 1=mm+(m -15)i,m 2Z 2=-2+m (m-3)i ，若 Z 1+Z 2 是虚数，求 m 的取值范围(1) 求|z|的值及z 的实部的取值范围;(2) 设U = -_Z,求证：u 是纯虚数.1 Z(1)1 a bib(b-i.(2)证明 1 z 1 a bi u=1 z 1 a bi2 .2a b 2 2a) b2bi 1■- < a <1,且b 工0, •是纯虚数.方法二 -1 <v 2.=2a.a < 1.Z 1 i21. (12 分)(2i 1) Z1 (1)求Z2 ；2C(2)若厶ABC 三内角 A 、B 、C 依次成等差数列，且 u=cosA+2icos 2空,(2 )在△ABC 中，•: A 、B 、C 依次成等差数列,/•2B=A+C ,「.B=60 °,A+C=120C=cosA+i (2cos 2 ^2 -1 )=cosA+icosC.22 2 1 cos 2A 1 cos2C|u+z 2|2=cos 2A+cos 2C=- 2 21=1+ (cos2A+cos2C )2 =1+ 1 : cos2A+cos (240 °-2A )=1+ - : cos2A-cos (60 °-2A )] 2=1+ 1 : cos2A- (cos60 °os2A+sin60 °in2A ) 2=1+ 1 : cos2A- ( 1 cos2A+ — sin2A ) 2 2 2=1+ 1 ( 1 cos2A- 3 sin2A )2 2 2=1+ 1 sin ( -2A ) 2 6•/0 <A < — , ^- 7 < -2A < , 3 6 6 61 1 1才2sin (評)< 4，• •丄 W|u+Z 2|2< 5,2 4即壺<|u+Z 2| <空.2 2(Z 1-Z 2) 2为实数.解满足条件的存在,+isin ) (a 2+ai ))-asin ] + [ a 2sin +a (1-cos 2a (1 cos ) asin 0 2a sin a(1 cos ) 022. (14 分)设 Z 1=1-cos +isin ,Z 2=a 2+ai (a R ),若zz 为纯虚数，问在(0, 2 )内是否存在 使 (1 ) Z 2 = 12(2 i )i (2i 1) (2 i) 2i""2求| U+Z 2|的取值范围 u+z 2=cosA+2icos 2C 2：Z1Z 2= ( 1-cos =[a 2 (1-cos )]i 是纯虚数,从题设知a 工0, cos 工1 (0 < < 2 ), /-a= 3综上=—或 2a -7^-6+(a 2-5a-6)i( a R,a 1 试求实数a 分别取什么值时，z 分别为:(1) 实数；(2)虚数；(3)纯虚数. 解(1 )当z 为实数时，a 2 5a 6 0则有a 2 7a 6 有意义，.a 1 或 a 6…a 1 ,•：a=6，即a=6时，z 为实数.(2) 当z 为虚数时，8 2 '/Z1-Z 2 =(1-cos -a 8) + (sin -a ) i , 「sin -a=0 ^或 1-cos -a 2=0 ^且 sin -a丸, sin由 a a 0 sinsin sin cos 0,1 cos 1 cos又丁 (0,2),「•= 或—; 2 2 1 2 cos a 0由a sin 1 cos 1cos cos 1 cos 1 cos sin a 0要使（Z 1-Z 2） 2 R ,则Z 1-Z 2为实数或纯虚数, 0.sin 1 cos。
【最新】版高中全程复习方略配套课件：4.5数系的扩充与复数的引入(苏教版·数学理)
【即时应用】
(1)设z=3i+2,则1- z =_______. (2)1+i+i2+i3=_______. (3) a 1 i 为实数，则实数a=______.
1i 2
(4) 3 i 3 i1 i _________.
1i
【解析】(1)∵z=3i+2,∴ =z 2-3i,1- =z1-(2-3i)=-1+3i.
④除法：z1
z2
a c
bi di
a bic di c dic di
a_cc2___bd_d2 __bc_c2___dad_2 _i _(c+di≠0).
(2)复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3∈C，都有 z1+z2=__z_2_+_z_1 _,(z1+z2)+z3=_z_1_+_(_z_2+_z_3_)_.
复数的几何意义 【方法点睛】复数的几何意义及应用 (1)|z|表示复数z对应的点与原点的距离.|z1-z2|表示两点间的 距离，即表示复数z1与z2对应点间的距离. (2)结合复数的几何意义、运用数形结合的思想，可把复数、解 析几何有机地结合在一起，达到了学科内的融合，而且解题方 法更灵活.
【例2】(1)(2011·山东高考改编)复数 z 2 i (i为虚数单位)
(2)由复数相等知，xy
Hale Waihona Puke 2 23，故xy(212)，正确.
(3)2i+3的共轭复数为-2i+3,故(3)错误.
(4)|1+i|= ,2|2-i|= ,故5(4)错误. 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)×
《数系的扩充与复数》全章复习与巩固知识讲解
《数系的扩充与复数》全章复习与巩固【知识网络】【要点梳理】要点一：复数的基本知识1、虚数单位i ，规定它的平方等于1-，即21i =-.i 可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.2、形如a bi +（,a b R ∈）的数叫做复数，记作：z a bi =+（,a b R ∈）； 当b=0时，z 是实数a ； 当b ≠0时，z 叫做虚数；当a=0且b ≠0时，z bi =叫做纯虚数.3、两个复数相等的充要条件：若,,,a b c d R ∈，则a c a bi c di b d=⎧+=+⇔⎨=⎩.4、复数的几何意义：复数z a bi =+←−−−→一一对应复平面内的点(,)Z a b ←−−−→一一对应平面向量OZ 5、复数的模：设OZ a bi =+u u u r（,a b R ∈），则向量OZ 的长度叫做复数z a bi =+的模，记作||a bi +. 即22||||0z OZ a b ==+≥u u u r.要点诠释：（1）i 的周期性：如果n ∈N ，则有：41ni=，41n i i +=，421n i +=-，43n i i +=-；（2）复数z a bi =+的共轭复数，记为z a bi =-；（3）222()()z z a bi a bi a b z ⋅=+⋅-=+=.要点二：复数的运算设1z a bi =+，2z c di =+（,,,a b c d R ∈），则：12()()()()z z a bi c di a c b d i +=+++=+++ 21()()z z c a d b i -=-+-12()()()()z z a bi c di ac bd bc ad i ⋅=++=-++ 122222()()()()z a bi a bi c di ac bd bc ad i z c di c di c di c d c d ++-+-====+++-++要点诠释：（1）设ω＝122i -±，则31ω=，2ωω=，210ωω++=，21ωω=，31n ω=，31n ωω+=(n ∈N +)等；（2）复数求解计算时，要灵活利用i 、ω的性质，或适当变形，创造条件，从而转化为关于i 、ω的计算问题． 比如2(1)2i i ±=±；11i i i +=-；11ii i-=-+； （3）作复数除法运算时，有如下技巧：()()()a bi a bi i a bi ii b ai b ai i a bi+++===--+． 【典型例题】类型一：复数的概念及运算 例1. 化简下列式子：（14； （220101i ⎛⎫+ ⎪ ⎪-⎝⎭．【解析】 （1444552(1)1(2)2i +=⎛⎫-- ⎪⎝⎭42252(2)12122122i ⎛⎫==--=- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭-+ ⎪⎝⎭；（22010⎝⎭10051005100521(2)i i==--12i i i ii=-=+=-．【总结升华】灵活利用2(1)i±及122-+的特点进行计算．举一反三：【变式1】i是虚数单位，计算23i i i++=()A．-l B．1 C．-i D．i【答案】A【变式2】复数(2)12i ii+-等于()A．i B．-i C．1 D．-1【答案】 D【解析】2(2)12(12)(12)(2)111212(12)(12)5i i i i i ii i i i+-+-++-====----+．【变式3】已知复数1z i=+，则2zz-=________·【答案】-2i例 2.已知213(5)z a a i=-++，221(21)z a a a i=-++-(a∈R)分别对应向量1OZu u u u r，2OZu u u u r（O为原点），若向量21Z Zu u u u r所对应的复数为纯虚数，求a的值．【解析】设向量21Z Zu u u u r对应的复数为z，∵2112Z Z OZ OZ=-u u u u r u u u u r u u u u r，∴22123(5)[1(21)]z z z a a i a a a i=-=-++--++-22[(3)(1)][(5)(21)]a a a a a i=---++-+-22(2)(6)a a a a i=--+--+．∵z为纯虚数，∴222060a aa a⎧--=⎪⎨--+≠⎪⎩，，即2132a aa a==-⎧⎨≠-≠⎩或，且，∴ 1a =-．【总结升华】 讨论复数z 为实数、虚数、纯虚数、非纯虚数应从定义入手． 举一反三：【变式1】设121z z iz =-(其中1z 表示z 1的共轭复数)，已知z 2的实部是-1，则z 2的虚部为________． 【答案】 1【解析】 1z x yi =+，21z bi =-+，(,,)x y b R ∈1()bi x yi i x yi -+=+--()()x y y x i =-+-，由复数相等得()1b y x x y =-=--=．【变式2】 设a ，b 为实数，若复数121ii a bi+=++，则( ) A ．32a =，12b = B ．a ＝3，b ＝l C ．＝12a =，32b = D ．a ＝1，b ＝3【答案】 A 【解析】12112(1)()ii i i a bi a bi+=+⇒+=+++ 31212()()212a ab i a b a b i a b b ⎧=⎪-=⎧⎪⇒+=-++⇒⇒⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩，， 故选A ．类型二：复数的几何意义例3. 已知复数112z i =+，22z i =-+，312z i =--，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．【解析】设复数1z 、2z 、3z 所对应的点分别为A 、B 、C ，正方形的第四个点D 对应的复数为x yi +(x ，y ∈R )，∴ AD OD OA =-u u u r u u u r u u u r对应的复数为()(12)(1)(2)x yi i x y i +-+=-+-，BC OC OB =-u u u r u u u r u u u r对应的复数为(12)(2)13i i i ----+=-． ∵ AD BC =u u u r u u u r ，∴ (1)(2)13x y i i -+-=-，即1123x y -=⎧⎨-=-⎩，， 解得21x y =⎧⎨=-⎩，.∴ 点D 对应的复数为2i -．【总结升华】本题主要考查复数的几何意义．利用AD BC =u u u r u u u r，求点D 对应的复数，也可利用原点O 恰好是正方形ABCD 的中心来解． 举一反三：【变式】已知复平面上的YABCD 中，AC u u u r 对应的复数为6+8i ，BD u u u r 对应的复数为-4+6i ，求向量DA u u u r对应的复数． 【答案】如图所示，Y ABCD 中，设对角线AC 、BD 的交点为E ，则点E 为AC 、BD 的中点，由复数加减法的几何意义可得1122DA EA ED CA BD =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 111()222AC BD AC BD =--=-+u u u r u u u r u u ur u u u r所以DA u u u r 对应的复数为1(6846)172i i i -+-+=--，所以向量DA u u u r对应的复数为17i --．例4. 复数3(1)()1i a bi z i++=-且||4z =，z 对应的点在第一象限，若复数0，z ，z 对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a ，b 的值．【解析】2(1)(1)()1i i z a bi i++=+-g 2()22i i a bi a bi =+=--g ． 由||4z =，得224a b +=． ①∵ 复数0，z ，z 对应的点是正三角形的三个顶点，∴ ||||z zz -=．把22z z bi =--代入上式化简得|b |＝1． ② 又∵ z 对应的点在第一象限. ∴ a ＜0，b ＜0． 由①②得31a b ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，，故所求值为3a =-，1b =-．【总结升华】要确定实数a ，b 的值，需列出含a ，b 的两个方程条件|z |＝4易使用；对于正三角形这个条件，使用方法较多，本题转化为边长相等，即||||||z z z z ==-． 举一反三： 【变式1】复数1iz i=+在复平面上对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】 A 【解析】 2(1)1112i i i i z i i -+===+-1122i =+． ∴ 复数z 在复平面内的对应点为1122⎛⎫⎪⎝⎭，，在第一象限．故选A ． 【变式2】若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数1zi+的点是( )A ．EB ．FC ．GD ．H 【答案】 D【解析】 由题中图示可知3z i =+，∴3211z i i i i+==-++，再结合题中图示知点H 表示2-i ，故选D ． 类型三：复数与方程例5. 已知2+ai ，b+i 是实系数一元二次方程20x px q ++=的两根，求p ，q.A ．p ＝-4，q ＝5B ．p ＝4，q ＝5C ．p ＝4，q ＝-5D ．p ＝-4，q ＝-5 【思路点拨】抓住实系数一元二次方程有虚根时两根互为共轭复数来解题. 【解析】 因为2+ai ，b+i )是实系数一元二次方程20x px q ++=的两个根，所以2+ai 与b+i 互为共轭复数， 所以a ＝-1，b ＝2，所以实系数一元二次方程20x px q ++=的两个根是2±i ， 所以p ＝-[(2+i )+(2-i )]＝-4，q ＝(2+i )(2-i )＝5．【总结升华】本题考查实系数一元二次方程有虚根时两根互为共轭复数的特点，以及根与系数的关系．举一反三：【变式】在复数集中解方程210x x ++=. 【答案】241430b ac ∆=-=-=-<Q ，∴1,2122b x a --==，∴原方程的根为1211,2222x x =+=-. 例6. 已知Z ∈C ，解方程313z z iz i -=+g ．【思路点拨】本题介绍对2||z z z =g 的熟练应用，来求得z .【解析】 ∵ 2||z z z =g ，把方程变形为21||13z z i -=-+， ① 两边取模得2222(1||)||1||9z z z -=+=． 整理得42||11||100z z -+=．解得2||1z =或2||10z =．将其代入①得1z =-或13z i =--． ∴ z ＝-1或z ＝-1+3i ．【总结升华】对于含,,||z z z 的方程，基本解法：（1）设z x yi =+(x ，y ∈R )，利用复数相等的条件求x ，y ；（2）若由（1）困难，则看能否能求出||z ，然后代回去再解. 本题可以也可以用方法求解.举一反三：【变式】已知Z ∈C ，解方程236z z i +=-． 【答案】令z x yi =+(x ，y ∈R )，2()36x yi i -=-，∴由复数相等的条件有23,2 6.x y ==⎪⎩解得4,3.x y =⎧⎨=⎩或0,3.x y =⎧⎨=⎩∴原方程的解为43i +，3i .。
高中全程复习方略数(理) 第4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 课时提能演练 4.5
课时提能演练(二十九)(45分钟 100分)一、选择题(每小题6分，共36分) 1.互为共轭复数的两复数之差是( ) (A)实数 (B)纯虚数 (C)0 (D)零或纯虚数2.(2011·福建高考)i 是虚数单位，若集合S ＝{－1,0,1}，则( ) (A)i∈S (B)i 2∈S (C)i 3∈S (D)2i∈S3.(2011·大纲版全国卷)复数z ＝1＋i ，z 为z 的共轭复数，则z z －z －1＝( )(A)－2i (B)－i (C)i (D)2i4.(2011·辽宁高考)a 为正实数，i 为虚数单位，|a ＋ii |＝2，则a ＝( )(A)2 (B) 3 (C) 2 (D)15.(预测题)若(a ＋4i)i ＝b ＋i ，其中a ，b∈R，i 是虚数单位，则a －b 为( )(A)3 (B)5 (C)－3 (D)－56.复数z ＝m －2i1＋2i (m∈R，i 为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于( )(A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限 (D)第四象限 二、填空题(每小题6分，共18分) 7.i 为虚数单位，1i ＋1i 3＋1i 5＋1i7＝ .8.已知复数z 与(z ＋2)2－8i 均是纯虚数，则z ＝ .9.(易错题)定义一种运算如下：⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 1 y 1x 2 y 2＝x 1y 2－x 2y 1，则复数z ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3＋i －13－i i (i 是虚数单位)的共轭复数是 . 三、解答题(每小题15分，共30分)10.(2011·上海高考)已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.11.复数z 1＝1＋2i ，z 2＝－2＋i ，z 3＝－1－2i ，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数.【探究创新】(16分)已知A(1,2)，B(a,1)，C(2,3)，D(－1，b)(a ，b∈R)是复平面上的四点，且向量AB ，CD 对应的复数分别为z 1，z 2. (1)若z 1＋z 2＝1＋i ，求1＋i z 1＋1－iz 2.(2)若z 1＋z 2为纯虚数，z 1－z 2为实数，求a 、b.答案解析1. 【解析】选D.设互为共轭复数的两个复数分别为z ＝a ＋bi ，z ＝a －bi(a 、b ∈R)，则z －z ＝2bi 或z －z ＝－2bi. ∵b ∈R ，当b ≠0时，z －z ，z －z 为纯虚数； 当b ＝0时，z －z ＝z －z ＝0.故选D.【误区警示】混淆了复数和虚数概念，误认为共轭复数就是共轭虚数，当得到z －z ＝2bi 时，就认为是纯虚数，错误地选B. 2.【解析】选B.∵i 2＝－1，而集合S ＝{－1, 0,1}，∴i 2∈S.3.【解题指南】先求出z 的共轭复数，然后利用复数的运算法则计算即可.【解析】选B. z ＝1－i ，z z －z －1＝(1＋i)(1－i)－(1＋i)－1＝－i. 4.【解析】选B.因为|a ＋ii |＝2，故可化为|1－ai|＝2，又由于a 为正实数，所以1＋a 2＝4，得a ＝3，故选B.5.【解析】选B.由(a ＋4i)i ＝b ＋i ， 得－4＋ai ＝b ＋i ， ∴a ＝1，b ＝－4，a －b ＝5.6. 【解题指南】先把z 化成a ＋bi 的形式，再进行判断.【解析】选A.z ＝m －2i 1＋2i ＝(m －2i)(1－2i)5＝m －45＋－(2m ＋2)5i ，显然m －45＞0与－2m ＋25＞0不可能同时成立，则z ＝m －2i1＋2i对应的点不可能位于第一象限.【一题多解】选A.z ＝m －2i 1＋2i ＝m －45＋－(2m ＋2)5i ，设x ＝m －45，y ＝－(2m ＋2)5，则2x ＋y ＋2＝0.又直线2x ＋y ＋2＝0不过第一象限，则z ＝m －2i 1＋2i对应的点不可能位于第一象限.【方法技巧】复数问题的解题技巧(1)根据复数的代数形式，通过其实部和虚部可判断一个复数是实数，还是虚数.(2)复数z ＝a ＋bi ，a ∈R ，b ∈R 与复平面上的点Z(a ，b)是一一对应的，通过复数z 的实部和虚部可判断出其对应点在复平面上的位置. 7.【解析】1i ＋1i 3＋1i 5＋1i 7＝－i ＋i －i ＋i ＝0.答案：0【变式备选】(1)已知复数z ＝3＋i (1－3i)2，z 是z 的共轭复数，则z ·z＝ .【解析】方法一：|z|＝|3＋i||(1－3i)2|＝12， z ·z ＝|z|2＝14.方法二：z ＝3＋i－2(1＋3i)＝－34＋i4，z ·z ＝(－34＋i 4)(－34－i 4)＝14.答案：14(2)已知复数z ＝1－i ，则z 2－2zz －1＝ .【解析】z 2－2z z －1＝(1－i)2－2(1－i)(1－i)－1＝－2i －2＋2i －i ＝－2i－i ·i ＝－2i.答案：－2i8.【解析】设z ＝ai ，a ∈R 且a ≠0，则(z ＋2)2－8i ＝4－a 2＋(4a －8)i. ∵(z ＋2)2－8i 是纯虚数，∴4－a 2＝0且4a －8≠0.解得a ＝－2.因此z ＝－2i. 答案：－2i9.【解析】由定义知，z ＝(3＋i)i －(3－i)×(－1)＝3－1＋(3－1)i ，故z ＝3－1－(3－1)i.答案：3－1－(3－1)i10.【解析】设z 2＝a ＋2i(a ∈R)，由已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i ，得z 1＝2－i ，又已知z 1·z 2＝(2－i)·(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a)i 是实数，则虚部4－a ＝0，即a ＝4，则复数z 2＝4＋2i.【变式备选】复数z 1＝3a ＋5＋(10－a 2)i ，z 2＝21－a ＋(2a －5)i ，若z 1＋z 2是实数，求实数a 的值.【解析】z 1＋z 2＝3a ＋5＋(a 2－10)i ＋21－a＋(2a －5)i ＝(3a ＋5＋21－a )＋[(a 2－10)＋(2a －5)]i＝a －13(a ＋5)(a －1)＋(a 2＋2a －15)i.∵z 1＋z 2是实数，∴a 2＋2a －15＝0，解得a ＝－5或a ＝3. 又(a ＋5)(a －1)≠0，∴a ≠－5且a ≠1，故a ＝3. 11. 【解析】如图，z 1、z 2、z 3分别对应点A 、B 、C. ∴AB ＝OB －OA ，∴AB 所对应的复数为 z 2－z 1＝(－2＋i)－(1＋2i) ＝－3－i ，在正方形ABCD 中，DC ＝AB ， ∴DC 所对应的复数为－3－i ， 又DC ＝OC －OD ，∴OD ＝OC －DC 所对应的复数为z 3－(－3－i)＝(－1－2i)－(－3－i)＝2－i ，∴第四个顶点对应的复数为2－i.【变式备选】已知复数z 满足|z|＝1，求|z －(1＋i)|的最大值与最小值. 【解题指南】|z|＝1⇒复数z 对应的点是以原点为圆心，1为半径的圆上的点⇒所求即为圆上的点到点(1,1)的距离的最大值、最小值 【解析】因为|z|＝1，所以z 对应的点是单位圆x 2＋y 2＝1上的点，而|z －(1＋i)|表示单位圆上的点到(1,1)点的距离. 所以最大值为(0－1)2＋(0－1)2＋1＝2＋1，最小值为(0－1)2＋(0－1)2－1＝2－1.【探究创新】【解析】(1)∵AB ＝(a,1)－(1,2)＝(a －1，－1)，CD ＝(－1，b)－(2,3)＝(－3，b －3)，∴z 1＝(a －1)－i ，z 2＝－3＋(b －3)i ， ∴z 1＋z 2＝(a －4)＋(b －4)i ，又z 1＋z 2＝1＋i ，∴⎩⎨⎧a －4＝1b －4＝1，∴⎩⎨⎧a ＝5b ＝5，∴z 1＝4－i ，z 2＝－3＋2i ， ∴1＋i z 1＋1－i z 2＝1＋i 4－i ＋1－i －3＋2i＝(1＋i)(4＋i)42＋12＋(1－i)(－3－2i)(－3)2＋22＝3＋5i 17＋－5＋i 13＝－46221＋82221i.(2)由(1)得z 1＋z 2＝(a －4)＋(b －4)i ， z 1－z 2＝(a ＋2)＋(2－b)i ， ∵z 1＋z 2为纯虚数，z 1－z 2为实数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －4＝0b －4≠02－b ＝0，∴⎩⎨⎧a ＝4b ＝2。
高中全程复习方略数(理) 第4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 课时提能演练 4.4
∴③正确.
由α－β＝kπ及向量夹角范围为[0，π]知①不正确.
答案：②③
10.【解析】方法一：(1)由已知可得 ＝ ( ＋ )， ＝ － ，
· ＝ ( ＋ )·( － )
＝ ( 2－ 2)＝ (64－36)＝14.
(2) · 的值为一个常数.
当 ＝2时无解；当 ＝ ，解得k2＝8
k＝±2 .
故直线l的方程为y＝±2 (x－1).
【探究创新】
【解析】(1) ＝ － ＝(－x1，－2＋ x )，
＝ － ＝(x2－x1，－ x ＋ x ).
∵ ⊥ ，∴ · ＝x1·x2＋ x x ＝0，
∴x1x2(4＋x1x2)＝0，
∴x1x2＝0(舍)或x1x2＝－4，
其中正确结论的序号为.
三、解答题(每小题15分，共30分)
10.(2012·衡阳模拟)如图，在△ABC中， · ＝0，| |＝8，| |＝6，l为线段BC的垂直平分线，l与BC交于点D，E为l上异于D的任意一点，
(1)求 · 的值.
(2)判断 · 的值是否为一个常数，并说明理由.
11.(2012·济南模拟)已知A、B分别是直线y＝ x和y＝－ x上的两个动点，线段AB的长为2 ，P是AB的中点.
∵l为线段BC的垂直平分线，l与BC交于点D，E为l上异于D的任意一点，
∴ · ＝0，故 · ＝( ＋ )· ＝ · ＋ · ＝ · ＝14.
方法二：(1)以D点为原点，BC所在直线为x轴，
l所在直线为y轴建立直角坐标系，可求A( ， )，
此时 ＝(－ ，－ )，
＝(－10,0)， · ＝－ ×(－10)＋(－ )×0＝14.
(大纲版)高三数学全程复习方略第十五章 复数
第十五章 复数基础自测1.（2008·浙江理，1）已知a 是实数，i1i+-a 是纯虚数，则a 等于 （ ）A .1B .-1C .2 D .-2答案A2.设复数z =a +b i(a ,b ∈R )，则z 为纯虚数的必要不充分条件是（ ）A .a=0B .a =0且b ≠0C .a ≠0且b=0D .a ≠0且b ≠答案A3.满足条件|z |=|3+4i|的复数z 在复平面上对应点的轨迹是 （ ）A .一条直线B .两条直线C .圆D .椭圆 答案C4.（2008·辽宁理，4）复数i211i 21-++-的虚部是 （ ）A .51i B .51 C .-51i D .-51答案B5.（2009·广西河池市模拟）复数3i i)2i)(1(+--的共轭复数是 .答案-3+i例1 已知复数z =16722-+-a a a +(a 2-5a -6)i(a ∈R), 试求实数a 分别取什么值时，z 分别为：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.解 （1）当z 为实数时， 则有⎪⎩⎪⎨⎧-+-=--167065222a a a a a有意义，∴,161⎩⎨⎧±≠=-=a a a 或 ∴a=6，即a=6时，z 为实数. （2）当z 为虚数时，则有a 2-5a-6≠0且16722-+-a a a 有意义，∴a ≠-1且a ≠6且a ≠±1.∴a ≠±1且a ≠ 6.∴当a ∈(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,6)∪(6,+∞)时，z 为虚数. （3）当z 为纯虚数时，有,0167065222⎪⎩⎪⎨⎧=-+-≠--a a a aa∴.661⎩⎨⎧=≠-≠a a a且∴不存在实数a 使z 为纯虚数.例2 已知x ,y 为共轭复数，且(x +y )2-3xy i=4-6i ，求x ,y .解 设x=a+b i(a,b ∈R )，则y=a-bi, x+y=2a,xy=a 2+b 2,代入原式，得(2a)2-3(a 2+b 2)i=4-6i, 根据复数相等得,6)(344222⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=b aa解得⎩⎨⎧==11b a 或⎩⎨⎧-==11b a或⎩⎨⎧=-=11b a 或.11⎩⎨⎧-=-=ba故所求复数为⎩⎨⎧-=+=i 1i 1y x 或⎩⎨⎧+=-=i 1i 1y x 或⎩⎨⎧--=+-=i 1i 1y x 或.i 1i1⎩⎨⎧+-=--=y x例3 计算：（1）3i i)2i)(1(++-; (2)i 2i)1(3i)21(2+-++;（3）22i)1(i1i)1(i 1-+++-;(4)2i)3(i 31+-. 解（1）ii3i i)2i)(1(3-+-=++-=-1-3i.（2）.i 52515i)2i(i 2i i 2i 33i 43i 2i)1(3i)21(2+=-=+=+-++-=+-++ （3）.12i 12i 1i 2i 1i 2i 1i)1(i 1i)1(i 122-=+-+-+=-++-=-+++-（4）.i 43414i)3i)((i3i i)3(i)i)(3(i)3(i 3122--=--=+-=+-+=+-例4 (12分)如图所示，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0，3+2i,-2+4i（1）AO 表示的复数，BC所表示的复数；（2）对角线CA 所表示的复数; （3）求B 点对应的复数.解（1）AO =-，∴AO 所表示的复数为-3-2i.∵BC =AO ，∴BC 所表示的复数为-3-2i. 4分（2）CA =OC OA -，∴CA 所表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i. 8分（3）OB =,OC OA AB OA +=+∴OB 表示的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i,即B 点对应的复数为1+6i. 12分1.已知m ∈R ，复数z =1)2(--m m m +(m 2+2m -3)i,当m 为何值时，（1）z ∈R ；（2）z 是纯虚数；（3）z 对应的点位于复平面第二象限；（4）z 对应的点在直线x +y +3=0上. 解 （1）当z 为实数时,则有m 2+2m-3=0且m-1≠得m=-3,故当m=-3时，z ∈R . （2）当z 为纯虚数时,则有⎪⎩⎪⎨⎧≠-+=--.03201)2(2m m m m m解得m=0，或m=2.∴当m=0或m=2时，z 为纯虚数. （3）当z 对应的点位于复平面第二象限时,则有⎪⎩⎪⎨⎧>-+<--032.01)2(2m m m m m 解得m ＜-3或1＜m ＜2，故当m ＜-3或1＜m ＜2时，z 对应的点位于复平面的第二象限. （4）当z 对应的点在直线x+y+3=0上时, 则有1)2(--m m m +(m 2+2m-3)+3=0,得1)42(2--+m m m m =0，解得m=0或m=-1±5.∴当m=0或m=-1±5时， z 对应的点在直线x+y+3=0上.2.已知复数z 1=m +(4-m 2)i(m ∈R ),z 2=2cos θ +(λ+3sin θ)i (λ∈R ).若z 1=z 2,求λ的取值范围.解 ∵z 1=z 2,∴m+(4-m 2)i=2cos θ+(λ+3sin θ)i, 由复数相等的条件，得⎩⎨⎧+=-=,sin 34,cos 22θλθmm∴λ=4-m 2-3sin θ=4-4cos 2θ-3sinθ=4sin 2θ-3sin θ =4 (sin θ-83)2-169,∵-1≤sin θ≤1, ∴当sin θ=83时，λmin =-169;当sin θ=-1时，λmax =7,∴-169≤λ≤7. 3.计算下列各题（1）;i)1i)(45(i)54(i)22(3--++ （2）.)i12(i321i 320062-+++- 解 （1）i)1i)(45(i)45i(i)1(22i)1i)(45(i)54(i)22(33---+=--++=[].i 24i)2i(2i)1(i 2i)1i(22ii)1(2222244-==+=+=+（2）003120062)i 12(i 321i)321i()i 12(i 321i32⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+++=-+++-=i+(i22-)1 003=i+i 1 003=i+i 4×250+3=i+i 3=i-i=0. 4.已知关于x 的方程x 2-（6+i ）x +9+a i=0 （a ∈R ）有实数根b .（1）求实数a ，b 的值；（2）若复数z 满足|-z -a -b i|-2|z |=0，求z 为何值时，|z |有最小值，并求出|z |的最小值.解（1）∵b 是方程x 2-（6+i ）x+9+ai=0 （a ∈R ）的实根，∴（b 2-6b+9）+（a-b ）i=0，故⎩⎨⎧==+-ba b b 0962解得a =b=3.（2）设z=x+yi （x ，y ∈R ）， 由|-z -3-3i|=2|z|，得（x -3）2+(y+3)2=4（x 2+y 2），即（x+1）2+（y-1）2=8.∴Z 点的轨迹是以O 1（-1，1）为圆心，22为半径的圆. 如图，当Z 点在OO 1的连线上时，|z|有最大值或最小值. ∵|OO 1|=2，半径r=22，∴当z=1-i 时，|z|有最小值且|z|min =2.一、选择题1.（2008·天津理，1）i 是虚数单位，1i )1(i i 3-+等于 （ ） A .-1 B .1C .-iD .i答案A2.（2008·广东文，2）已知0＜a ＜2，复数z =a +i(i 是虚数单位)，则|z |的取值范围是 ( )A .（1，5）B .（1，3）C .（1，5）D .（1，3）答案C3.（2008·山东文，2）设z 的共轭复数是-z ，若z +-z =4，z ·-z =8，则zz-等于（ ） A .i B .-i C .±1D .±i答案D4.若(a -2i)i=b -i ，其中a 、b ∈R ,i 是虚数单位，则a 2+b 2等于 （ ） A .0 B .2 C .5D .25答案C5.在复平面上，若一个正方形的三个顶点对应的复数分别是1+2i,-2+i ，0，则第四个顶点对应的复数为（ ） A .3+i B .3-iC .1-3iD .-1+3i答案D6.（2009·河南新郑二中模拟）设复数z 1=1+i,z 2=x -i(x ∈R ),若z 1·z 2为实数，则x 等于 （ ） A .-2 B .-1C .1D .2答案C二、填空题7.（2008·北京理，9）已知（a -i ）2=2i,其中i 是虚数单位，那么实数a = .答案 -18. (2008·湖北理，11)设z 1是复数，z 2=z 1-i -1z （其中-1z 表示z 1的共轭复数），已知z 2的实部是-1，则z 2的虚部为 . 答案 1三、解答题9.已知z 2=8+6i,求z 3-16z -z100. 解 原式=,||200200200164i)6(164)8(10016222224z zzz z z z z z z z z ----=-=-=-=--=-- |z|2=|z 2|=|8+6i|=10,又由z 2=8+6i=［±（3+i)］2, ∴z=±(3+i),当z=3+i 时，原式=-60+20i;当z=-3-i 时，原式=60-20i. 10.已知z 是复数，z +2i 、i2-z 均为实数（i 为虚数单位），且复数(z +a i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围.解 设z=x+yi(x 、y ∈R ), ∴z+2i=x+(y+2)i,由题意得y=-2.51)22(51i)2i)(2(51i 2i 2i 2++=+-=--=-x x x z (x-4)i.由题意得x=4,∴z=4-2i. ∴(z+ai)2=(12+4a-a 2)+8(a-2)i,由于(z+ai)2在复平面对应的点在第一象限, 所以,0)2(8,04122⎩⎨⎧>->-+a a a 解得2＜a ＜6,∴实数a 的取值范围是（2，6）.11.是否存在复数z ，使其满足-z ·z +2i -z =3+a i(a ∈R ),如果存在，求出z 的值；如果不存在，说明理由.解 设z=x+yi(x,y ∈R )，则x 2+y 2+2i(x-yi)=3+ai. ∴⎩⎨⎧==++.2,3222a x y y x消去x 得y 2+2y+42a -3=0,Δ=16-a 2.当且仅当|a|≤4时，复数z 存在，此时z=.i 216222a a -±-12.设z ∈C ，求满足z +z1∈R 且|z -2|=2的复数z . 解 方法一 设z=a+bi(a ,b ∈R ), 则z+z 1=a+bi+i 1b a +=a+b i+i )(i 222222b a b b b a a a b a b a +-+++=+-∈R . ∴b=.22ba b+∴b=0或a 2+b 2=1. 当b=0时,z=a,∴|a-2|=2,∴a=0或a=4.a=0不合题意舍去,∴z=4.当b ≠0时,a 2+b 2=1. ① 又∵|z-2|=2,∴(a-2)2+b 2=4. ②由①②解得a=41,b=±415,∴z=41±415i.综上可知,z=4或z=41±415i.方法二 ∵z+z 1∈R ,∴z+z 1=--+zz 1,∴(z--z )----zz z z ·=0,(z--z )·22||1||z z -=0, ∴z=-z 或|z|=1.下同方法一.章末检测十五一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.（2008·海南文，3）已知复数z =1-i,则12-z z 等于 （ ）A .2B .-2C .2iD .-2i答案A2.（2008·江西理，1）在复平面内，复数z =sin2+icos2对应的点位于 （ ） A .第一象限 B .第二象限C .第三象限D .第四象限答案D3.已知复数z =t +i(t ∈R +),且z 满足z 3∈R ,则实数t 的值为 （ ） A .332 B . 33 C .26 D .36答案B4.设z ∈C ,z =(1-i)2+i56i 65-+,则(1+z )7展开形式的第5项是 （ ） A .35i B .-21iC .21D .35答案D5.已知方程x 2+(4+i)x +4+a i=0 (a ∈R )有实根b ,且z =a +b i,则复数z 等于 （ ）A .2-2iB .2+2iC .-2+2iD .-2-2i答案A6.若复数z 满足|z +1|+|z -1|=2,那么|z -1+i|的最大值为 （ ） A .1 B .2 C .2 D .5答案 D7.（2008·全国Ⅰ理，4）设a ∈R ，且（a +i ）2i 为正实数，则a 等于 （ ）A .2B .1C .0D .-1答案D8.（2009·杭州质检）若z =2321+i ，且(x -z )4=a 0x 4+a 1x 3+a 2x 2+a 3x +a 4,则a 2等于（A .-2321+i B .-3+33i C .6+33i D .-3-33i答案B9.若sin2θ-1+i(2cos θ+1)是纯虚数，则θ等于 （ ）A .2k π-4π(k ∈Z ) B .2 k π+4π(k ∈Z ) C . k π+4π(k ∈Z ) D .21k π+4π(k ∈Z ) 答案B10.若i 3i 34m m +-(m ∈R )为纯虚数，则)i2i 2(m m -+ 2 008的值为（A .-1B .1C .-iD .i答案B11.设复数z1=1-2i,z 2=1+i,则复数z =21z z 在复平面内对应的点位于 （A .B .C .D .答案C12.在复平面内，设向量p 1=(x 1,y 1),p 2=(x 2,y 2),又设复数z 1=x 1+y 1i,z 2=x 2+y 2i(x 1,x 2,y 1,y 2∈R ),则p 1·p 2等于（ ）A .2121z z z z +B .2121z z z z -C .)(212121z z z z - D .)(212121z z z z + 答案D二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共1613.（2008·上海理，3）若复数z 满足z =i （2-z ）（i 是虚数单位），则z = .答案 1+i14.（2009·淮北模拟）若复数z =a -2+3i 为纯虚数，其中a ∈R ,i 为虚数单位，则i1i 0072a a ++的值为 .答案 -i15.定义运算：d c ba =ad -bc ,则符合条件z z -i 1=1-i 的复数z 的值为 .答案 -i16.设z =(1+i)2-i1i 1-+（其中i 是虚数单位），则(1+z )7展开式中的第4项是 . 答案 -35i三、解答题（本大题共6小题，共7417.（12分）实数x 分别取什么值时，复数z =x 2+x -6+(x 2-2x -15)i 对应的点Z（1（2（3）直线x -y -3=0解 因为x 是实数，所以x 2+x -6,x 2-2x -15也是实数.（1）当实数x 满足⎪⎩⎪⎨⎧<--<-+.0152,0622x x x x即-3＜x ＜2时，点Z 在第三象限.（2）当实数x 满足⎪⎩⎪⎨⎧<-->-+.0152,0622x x x x即2＜x ＜5时，点Z 在第四象限. （3）当实数x 满足(x 2+x -6)-(x 2-2x -15)-3=0,即x=-2时，点Z 在直线x -y-3=0上.18.（12分）已知复数z =a +b i(a ,b ∈R )且a 2+b 2=25,(3+4i)z 是纯虚数，求z 的共轭复数.解 方法一 （3+4i)(a+bi)=(3a-4b)+(4a+3b)i∴,034043⎩⎨⎧≠+=-b a b a ∴b=43a,代入a 2+b 2=25,得a=±4.∴a=4时，b=3;a=-4时，b=-3. ∴z=4+3i 或z=-4-3i.故所求的z 的共轭复数为4-3i 或-4+3i.方法二 设(3+4i)（a+bi ）=k i(k ∈R ，k ≠0), ∴a+bi=,25i3443i)43i(i 43i 22k k k k +=+-=+∴a=254k ,b=253k ,代入a 2+b 2=25,得k =±25. ∴k =25时，z=4+3i,z =4-3i; k =-25时，z=-4-3i,z =-4+3i.19.（12分）设m ∈R ，复数z1=22++m mm +(m -15)i,z 2=-2+m (m -3)i ，若z 1+z 2是虚数，求m 的取值范围.解 ∵z 1=22++m mm +(m-15)i,z 2=-2+m(m-3)i,∴z1+z 2=22++m mm +(m-15)i-2+m(m-3)i=（22++m mm -2）+［(m-15)+m(m-3)］i=（242+--m m m ）+(m 2-2m-15)i.∵z 1+z 2∴m 2-2m-15≠0,且m ≠-2.∴m ≠5，m ≠-3，且m ≠-2 (m ∈R ). 20.（12分）设z 是虚数,ω=z +z1是实数，且-1＜ω＜2. （1）求|z |的值及z（2）设u =zz+-11,求证：u 是纯虚数.（1）解 设z=a+bi,a,b ∈R 且b ≠0, 则ω=z+z 1=a+bi+i1b a +=（a+22b a a +）+（b-22b a b+）i.∵ω是实数，b ≠0, ∴a 2+b 2=1,即|z|=1,ω =2a. 又∵-1＜ω＜2,故-21＜a ＜1.（2）证明 u=i 1)1(i 21i 1i 1112222+-=++---=++--=+-a bb a b b a b a b a z z , ∵-21＜a ＜1,且b ≠0,∴u 是纯虚数. 21.（12分）已知复数z1=2+i ，2z 2=.)1i 2(i11z z -++（1）求z 2（2）若△ABC 三内角A 、B 、C 依次成等差数列，且u =cos A +2icos 22C ，求|u +z 2|的取值范围.解 （1）z 2=[]2i 21i i 1i)2()1i 2(i i)2(21-=-+=+-+++=-i. （2）在△ABC 中，∵A 、B 、C∴2B=A+C ，∴B=60°，A+C=120°u+z2=cosA+2icos 22C-i=cosA+i （2cos 22C-1）=cosA+icosC. |u+z2|2=cos 2A+cos 2C=22cos 122cos 1CA +++=1+21（cos2A+cos2C=1+21［cos2A+cos （240°-2A =1+21［cos2A-cos （60°-2A=1+21［cos2A-（cos60°cos2A+sin60°sin2A=1+21［cos2A-（21cos2A+23sin2A=1+21（21cos2A-23sin2A ）=1+21sin （6π-2A ）.∵0＜A ＜32π,∴-67π＜6π-2A ＜6π,-21≤21sin （6π-2A ）＜41∴21≤|u+z 2|2＜45,即22≤|u+z 2|＜25. 22.（14分）设z 1=1-cos θ+isin θ，z 2=a 2+a i （a ∈R ），若z 1z 2为纯虚数，问在（0，2π）内是否存在θ使（z1-z 2）2为实数. 解 满足条件的θ∵z 1z 2=（1-cos θ+isin θ）（a 2+ai=［a 2（1-cos θ）-asin θ］+［a 2sin θ+a （1-cos θ）］i 是纯虚数，∴,0)cos 1(sin 0sin )cos 1(22⎪⎩⎪⎨⎧≠-+=--θθθθa a a a从题设知a ≠0，cos θ≠1（0＜θ＜2π），∴a=,cos 1sin θθ- 要使（z 1-z 2）2∈R ，则z 1-z2∵z 1-z 2=（1-cos θ-a 2）+（sin θ-a ）i ∴sin θ-a=0或1-cos θ-a 2=0且sin θ-a ≠0 由,0cos sin cos 1sin cos 1sin 0sin =⇒=-⇒⎪⎩⎪⎨⎧-==-θθθθθθθaa又∵θ(0,2π),∴θ=2π或23π; 由.0cos cos 1cos 1cos 10sin cos 1sin 0cos 12=⇒-+=-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠--==--θθθθθθθθa aa综上θ=2π或23π.。
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