安庆二中2015—2016学年度第一学期期中考试(高二数学)
安徽省安庆市第一中学2015-2016学年高二上学期期末考试数学(理)试题 含答案
安庆一中2015—2016学年度第一学期期末考试高二数学(理科）一、选择题(本大题共12小题,每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）1．抛物线22y x =的焦点坐标是( )A ．1(0,)4B ．1(0,)8C ．1(,0)8D ．1(,0)42．a ＝（1－t ，1－t,t)，b ＝（2,t,t)，则｜b －a |的最小值是（ ) A ． B ．C ．D ．3．若椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为21,则双曲线12222=-by a x 的渐近线方程为 （ ) A ．x y 23±= B ．x y 3±=C ．x y 21±= D ．x y ±=4．下列命题中正确的是( )A ．若p q ∨为真命题,则p q ∧为真命题B ．“0a >，0b >"是“2b a ab+≥”的充分必要条件C ．命题“若2320xx -+=,则1x =或2x ="的逆否命题为“若1x ≠或2x ≠，则2320x x -+≠”D ．命题:p 0R x∃∈,使得20010x x +-<，则:p ⌝R x ∀∈，使得210x x +-≥ 5．如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AA 1＝2,AC ＝BC ＝1，则异面直线A 1B 与AC 所成角的余弦值是 （ )．A。
65B。
64C。
63D。
666．设F1（－4，0），F2(4，0）为定点,动点M满足｜MF1|＋｜MF2|＝8，则动点M的轨迹是( ）。
A．椭圆B．直线C．圆D．线段7．若直线y kx k=-交抛物线2y4x=于A,B两点，且线段AB中点到y轴的距离为3，则AB=（)A、12B、10C、8D、6 8．已知双曲线C：错误!－错误!＝1的左、右焦点分别为F1,F2，P为C 的右支上一点，且｜PF2|＝|F1F2｜,则错误!·错误!等于（）A．24 B．48 C．50 D．569．已知椭圆错误!＋错误!＝1(a>b〉0)的焦点分别为F1、F2，b＝4，离心率为错误!.过F1的直线交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为( ）A．10 B．12 C．16 D．2010．已知正三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦等于（)．A。
2014-2015年安徽省安庆一中高二上学期期中数学试卷及参考答案(普通班)
2014-2015学年安徽省安庆一中高二（上）期中数学试卷（普通班）一、选择题（30分，每题3分）1．（3分）下列给出的赋值语句中正确的是（）A．4=M B．M=﹣M C．B=A﹣3 D．x+y=02．（3分）圆（x﹣）2+（y﹣3）2=16与y轴交于A、B两点，与x轴的一个交点为P，则∠APB等于（）A．B．C．D．3．（3分）如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为（）A．B．4 C．D．24．（3分）若θ为三角形中最大内角，则直线l：xtanθ+y+m=0的倾斜角的范围是（）A． B．C．D．5．（3分）利用秦九韶算法求当x=2时，f（x）=1+2x+3x2+…+6x5的值，下列说法正确的是（）A．先求1+2×2B．先求6×2+5，第二步求2×（6×2+5）+4C．f（2）=1+2×2+3×22+4×23+5×24+6×25直接运算求解D．以上都不对6．（3分）设点A（﹣2，3）、B（3，2），若直线ax+y+2=0与线段AB有交点，则a的取值范围是（）A． B．C．D．7．（3分）在2011年3月15日那天，南昌市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及由散点图可知，销售量y与价格x之间有较好的线性相关关系，根据上表可得回归直线方程是：=﹣3.2x+a，则a=（）A．﹣24 B．35.6 C．40.5 D．408．（3分）下列命题正确的是（）A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行9．（3分）若圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=b2+1始终平分（x+1）2+（y+1）2=4的周长，则a，b应满足的关系式（）A．a2﹣2a﹣2b﹣3=0 B．a2+2a+2b+5=0C．a2+2b2+2a+2b+1=0 D．3a2+2b2+2a+2b+1=010．（3分）为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校200名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，视力在4.6到5.0之间的学生数为a，则a的值为（）A．136 B．146 C．156 D．166二、填空题（20分，每题4分）11．（4分）已知两点A（﹣2，0），B（0，2），点C是圆x2+y2﹣2x=0上的任意一点，则△ABC的面积最小值是．12．（4分）用如下方法从2009名工人中选取100名代表：先用简单随机抽样从2009人中剔除9人，剩下的2000人再按系统抽样的方法选取l00人．则工人甲被抽到的概率为．13．（4分）若九进制数16m27（9）化成十进制数为11 203，则m的值为．14．（4分）过点P（1，4）作一直线，使其在两坐标轴上的截距为正，当其和最小时，这条直线的方程为．15．（4分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为AB的中点，则点C 到平面A1MD的距离为．三、解答题（共六题，50分）16．（7分）袋中有红、黄、白色球各一个，每次任取一个，有放回抽三次，计算下列事件的概率：（1）三次颜色各不同；（2）三种颜色不全相同；（3）三次取出的球无红色或无黄色．17．（8分）已知直线方程为（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m=0．（Ⅰ）证明：直线恒过定点M；（Ⅱ）若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线的方程．18．（9分）如图是某市有关部门根据对某地干部的月收入情况调查后画出的样本频率分布直方图，已知图中第一组的频数为4000．请根据该图提供的信息解答下列问题：（图中每组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1000，1500）（1）求样本中月收入在[2500，3500）的人数；（2）为了分析干部的收入与年龄、职业等方面的关系，必须从样本的各组中按月收入再用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[1500，2000）的这段应抽多少人？（3）试估计样本数据的中位数．19．（8分）如图所示的算法中，令a=tan θ，b=sin θ，c=cos θ，若在集合{θ|﹣＜θ＜，θ≠0，，}中，给θ取一个值，输出的结果是sin θ，求θ值所在的范围．20．（9分）已知方程x2+y2﹣2x﹣4y+m=0（1）若此方程表示圆，求实数m的取值范围；（2）若（1）中的圆与直线x+2y﹣4=0相交于M、N两点，且坐标原点O在以MN为径的圆上，求实数m的值．21．（9分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE．（1）证明：BD⊥平面PAC；（2）若PA=1，AD=2，求二面角B﹣PC﹣A的正切值．2014-2015学年安徽省安庆一中高二（上）期中数学试卷（普通班）参考答案与试题解析一、选择题（30分，每题3分）1．（3分）下列给出的赋值语句中正确的是（）A．4=M B．M=﹣M C．B=A﹣3 D．x+y=0【解答】解：A中，4=M，赋值符号左边不是变量，故不正确；B中，M=﹣M，赋值符号右边不是一个合法的表达式，故不正确；D中，x+y=0，赋值符号左边不是变量，故不正确；故选：C．2．（3分）圆（x﹣）2+（y﹣3）2=16与y轴交于A、B两点，与x轴的一个交点为P，则∠APB等于（）A．B．C．D．【解答】解：圆（x﹣）2+（y﹣3）2=16的圆心坐标C（2，3），半径为：4，∴圆心到y轴的距离为：2，圆在y轴上的弦长为：．∴∠ACB=，∵同弧上的圆周角是圆心角的一半，∴．故选：A．3．（3分）如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为（）A．B．4 C．D．2【解答】解：由已知中该几何中的三视图中有两个三角形一个菱形可得这个几何体是一个四棱锥由图可知，底面两条对角线的长分别为2，2，底面边长为2故底面菱形的面积为=2侧棱为2，则棱锥的高h==3故V==2故选：C．4．（3分）若θ为三角形中最大内角，则直线l：xtanθ+y+m=0的倾斜角的范围是（）A． B．C．D．【解答】解：斜率k=﹣tanθ由于θ为三角形中最大内角所以：60°≤θ＜180°①60≤θ＜90所以tanθ≥√3②90＜θ＜180所以tanA＜0若倾斜角p所以tanp=﹣tanθ所以tanp＞0或tanp≤﹣√3所以0＜p＜，＜p故：倾斜角的范围：（0，）故选：A．5．（3分）利用秦九韶算法求当x=2时，f（x）=1+2x+3x2+…+6x5的值，下列说法正确的是（）A．先求1+2×2B．先求6×2+5，第二步求2×（6×2+5）+4C．f（2）=1+2×2+3×22+4×23+5×24+6×25直接运算求解D．以上都不对【解答】解：∵f（x）=1+2x+3x2+…+6x5=（（（（（6x+5）x+4）x+3）x+2）x+1，∴当x=2时，先计算6×2+5，第二步计算2（6×2+5）+4，故选：B．6．（3分）设点A（﹣2，3）、B（3，2），若直线ax+y+2=0与线段AB有交点，则a的取值范围是（）A． B．C．D．【解答】解：∵直线ax+y+2=0过定点（0，﹣2），斜率为﹣a，如图，，∴若直线ax+y+2=0与线段AB有交点，则﹣a或﹣a．即a或．∴答案为：．故选：D．7．（3分）在2011年3月15日那天，南昌市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及由散点图可知，销售量y与价格x之间有较好的线性相关关系，根据上表可得回归直线方程是：=﹣3.2x+a，则a=（）A．﹣24 B．35.6 C．40.5 D．40【解答】解：=（9+9.5+10+10.5+11）=10，=（11+10+8+6+5）=8，∵y=﹣3.2x+a，∴a=3.2x+y=3.2×10+8=40．故选：D．8．（3分）下列命题正确的是（）A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【解答】解：A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行、相交或异面，故A错误；B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行或相交，故B错误；C、设平面α∩β=a，l∥α，l∥β，由线面平行的性质定理，在平面α内存在直线b∥l，在平面β内存在直线c∥l，所以由平行公理知b∥c，从而由线面平行的判定定理可证明b∥β，进而由线面平行的性质定理证明得b∥a，从而l∥a，故C 正确；D，若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行或相交，排除D．故选：C．9．（3分）若圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=b2+1始终平分（x+1）2+（y+1）2=4的周长，则a，b应满足的关系式（）A．a2﹣2a﹣2b﹣3=0 B．a2+2a+2b+5=0C．a2+2b2+2a+2b+1=0 D．3a2+2b2+2a+2b+1=0【解答】解：∵圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=b2+1始终平分（x+1）2+（y+1）2=4的周长∴两圆交点的直线过（x+1）2+（y+1）2=4的圆心（﹣1，﹣1）两圆方程相减可得：（2+2a）x+（2+2b）y﹣a2﹣1=0将（﹣1，﹣1）代入可得﹣2﹣2a﹣2﹣2b﹣a2﹣1=0即5+2a+2b+a2=0故选：B．10．（3分）为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校200名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，视力在4.6到5.0之间的学生数为a，则a的值为（）A．136 B．146 C．156 D．166【解答】解：由题意第一组的频率是0.01，第二组的频率是0.03，故两两组的频数是200×0.01=2，200×0.03=6，由于前4组的频数成等比数列，故其公比是3，故第三组的频数是18，第四组频数是54，由图知a=54，由此知前三组频数和为26，故后六组频数和为174又后六组的频数成等差数列，设最后一组的频数为x则有得x=4令后六组的公差为d，则有5d=4﹣54=﹣50，d=﹣10，故后组的频数依次是44，34，24，14，4由此得视力在4.6到5.0之间的频数是156，故选：C．二、填空题（20分，每题4分）11．（4分）已知两点A（﹣2，0），B（0，2），点C是圆x2+y2﹣2x=0上的任意一点，则△ABC的面积最小值是3﹣．【解答】解：直线AB的方程为+=1，即x﹣y+2=0．圆x2+y2﹣2x=0，可化为（x﹣1）2+y2=1，∴圆心（1，0）到直线的距离为d==，圆上的点到直线距离的最小值为﹣1．∵|AB|=2，∴△ABC的面积最小值是×2×（﹣1）=3﹣，故答案为：．12．（4分）用如下方法从2009名工人中选取100名代表：先用简单随机抽样从2009人中剔除9人，剩下的2000人再按系统抽样的方法选取l00人．则工人甲被抽到的概率为．【解答】解：∵在系统抽样中，若所给的总体个数不能被样本容量整除，则要先剔除几个个体，然后再分组，在剔除过程中，每个个体被剔除的概率相等，∴每个个体被抽到包括两个过程，一是不被剔除，二是选中，这两个过程是相互独立的，∴每人入选的概率P==．故答案为：．13．（4分）若九进制数16m27（9）化成十进制数为11 203，则m的值为3．=7+2×91+m×92+6×93+1×94=11203，【解答】解：∵16m27（9）解得：m=3故答案为：3．14．（4分）过点P（1，4）作一直线，使其在两坐标轴上的截距为正，当其和最小时，这条直线的方程为2x+y﹣6=0．【解答】解：设直线的方程为，∵点P（1，4）在直线上，∴，则a+b=（a+b）（）=1+4+，当且仅当，即a=3，b=6时等号成立．∴直线方程为，即2x+y﹣6=0．故答案为：2x+y﹣6=0．15．（4分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为AB的中点，则点C到平面A1MD的距离为．【解答】解：连接A1C、MC可得S△CMD=S ABCD=，△A1DM中，A1D=，A1M=MD=∴S△A1MD=A1M•MDsinA 1MD=三棱锥的体积：V A1=V C﹣A1DM﹣MCD×AA1=S△AD1M×d所以S△MCD（设d是点C到平面A1DM的距离）∴d==故答案为：．三、解答题（共六题，50分）16．（7分）袋中有红、黄、白色球各一个，每次任取一个，有放回抽三次，计算下列事件的概率：（1）三次颜色各不同；（2）三种颜色不全相同；（3）三次取出的球无红色或无黄色．【解答】解：基本事件有33=27个，是等可能的，（1）记“三次颜色各不相同”为A，三次颜色各不同共有A33种取法，∴；（2）记“三种颜色不全相同”为B，三种颜色不全相同的否定是三次颜色都相同，∴；（3）记“三次取出的球无红色或无黄色”为C，三次取出的球无红色或无黄色有23+23﹣1种结果，∴．17．（8分）已知直线方程为（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m=0．（Ⅰ）证明：直线恒过定点M；（Ⅱ）若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线的方程．【解答】（Ⅰ）证明：（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m=0化为（x﹣2y﹣3）m=﹣2x ﹣y﹣4．（3分）得∴直线必过定点（﹣1，﹣2）．（6分）（Ⅱ）解：设直线的斜率为k（k＜0），则其方程为y+2=k（x+1），∴OA=|﹣1|，OB=|k﹣2|，（8分）S△AOB=•OA•OB=|（﹣1）（k﹣2）|=|﹣|..（10分）∵k＜0，∴﹣k＞0，=[﹣]=[4+（﹣）+（﹣k）]≥4．∴S△AOB当且仅当﹣=﹣k，即k=﹣2时取等号．（13分）∴△AOB的面积最小值是4，（14分）直线的方程为y+2=﹣2（x+1），即y+2x+4=0．（15分）18．（9分）如图是某市有关部门根据对某地干部的月收入情况调查后画出的样本频率分布直方图，已知图中第一组的频数为4000．请根据该图提供的信息解答下列问题：（图中每组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1000，1500）（1）求样本中月收入在[2500，3500）的人数；（2）为了分析干部的收入与年龄、职业等方面的关系，必须从样本的各组中按月收入再用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[1500，2000）的这段应抽多少人？（3）试估计样本数据的中位数．【解答】解：（1）∵月收入在[1000，1500]的频率为0.0008×500=0.4，且有4000人，∴样本的容量n=，月收入在[1500，2000）的频率为0.0004×500=0.2，月收入在[2000，2500）的频率为0.0003×500=0.15，月收入在[3500，4000）的频率为0.0001×500=0.05，∴月收入在[2500，3500）的频率为；1﹣（0.4+0.2+0.15+0.05）=0.2，∴样本中月收入在[2500，3500）的人数为：0.2×10000=2000．（2）∵月收入在[1500，2000）的人数为：0.2×10000=2000，∴再从10000人用分层抽样方法抽出100人，则月收入在[1500，2000）的这段应抽取（人）．（3）由（1）知月收入在[1000，2000）的频率为：0.4+0.2=0.6＞0.5，∴样本数据的中位数为：=1500+250=1750（元）．19．（8分）如图所示的算法中，令a=tan θ，b=sin θ，c=cos θ，若在集合{θ|﹣＜θ＜，θ≠0，，}中，给θ取一个值，输出的结果是sin θ，求θ值所在的范围．【解答】解：由框图知，输出的a是a、b、c中最大的．…（3分）由此可知，sin θ＞cos θ，sin θ＞tan θ．又θ在集合{θ|﹣＜θ＜，θ≠0，，}中，∴θ值所在的范围为（，）…（8分）20．（9分）已知方程x2+y2﹣2x﹣4y+m=0（1）若此方程表示圆，求实数m的取值范围；（2）若（1）中的圆与直线x+2y﹣4=0相交于M、N两点，且坐标原点O在以MN为径的圆上，求实数m的值．【解答】解：（1）方程x2+y2﹣2x﹣4y+m=0可化为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m ∵方程表示圆，∴5﹣m＞0，即m＜5；（2）直线x+2y﹣4=0代入圆的方程，消去x可得：5y2﹣16y+8+m=0∵△＞0，∴m＜，设M（x1，y1），N（x2，y2），则y1+y2=，y1y2=∴x1x2=（4﹣2y1）（4﹣2y2）=16﹣8（y1+y2）+4y1y2=∵坐标原点O在以MN为径的圆上，∴∴x1x2+y1y2=0∴+=0∴m=．21．（9分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE．（1）证明：BD⊥平面PAC；（2）若PA=1，AD=2，求二面角B﹣PC﹣A的正切值．【解答】解：（1）∵PA⊥平面ABCD∴PA⊥BD∵PC⊥平面BDE∴PC⊥BD，又PA∩PC=P∴BD⊥平面PAC（2）设AC与BD交点为O，连OE∵PC⊥平面BDE∴PC⊥平面BOE∴PC⊥BE∴∠BEO为二面角B﹣PC﹣A的平面角∵BD⊥平面PAC∴BD⊥AC∴四边形ABCD为正方形，又PA=1，AD=2，可得BD=AC=2，PC=3∴OC=在△PAC∽△OEC中，又BD⊥OE，∴∴二面角B﹣PC﹣A的平面角的正切值为3赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。
2015-2016年安徽省安庆一中高二上学期期中数学试卷及答案(理科)
2015-2016学年安徽省安庆一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分）1．（5分）某社区有500个家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户，为了调查社会购买力的某种指标，要从中抽取一个容量为100户的样本，应采用的抽样方法为（）A．抽签法B．随机数表法C．系统抽样法D．分层抽样法2．（5分）圆心为（1，1）且过原点的圆的标准方程是（）A．（x﹣1）2+（y﹣1）2=1 B．（x+1）2+（y+1）2=1 C．（x+1）2+（y+1）2=2 D．（x﹣1）2+（y﹣1）2=23．（5分）从装有除颜色外完全相同的2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么对立的两个事件是（）A．至少有1个白球，至少有1个红球B．至少有1个白球，都是红球C．恰有1个白球，恰有2个白球D．至少有1个白球，都是白球4．（5分）某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）A．f（x）=x2B．f（x）=C．f（x）=e x D．f（x）=sinx5．（5分）平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（）A．2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 B．2x+y+=0或2x+y﹣=0C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D．2x﹣y+=0或2x﹣y﹣=06．（5分）右图程序运行结果是（）A．32 B．34 C．35 D．367．（5分）天气预报说，在今后的三天中，每三天下雨的情况不完全相间，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：用1，2，3，4表示下雨，从下列随机数表的第1行第2列开始读取直到末尾从而获得N个数据．据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为（）19079661919252719328124585691916 83431257393027556488730113537989．A．B．C．D．非ABC的结果8．（5分）某同学在一次综合性测试中语文、数学、英语、科学、社会5门学科的名次在其所在班级里都不超过3（记第一名为1，第二名为2，第三名为3，依此类推且没有并列名次情况），则称该同学为超级学霸，现根据不同班级的甲、乙、丙、丁四位同学对一次综合性测试名次数据的描述，一定可以推断是超级学霸的是（）A．甲同学：平均数为2，中位数为2B．乙同学：中位数为2，唯一的众数为2C．丙同学：平均数为2，标准差为2D．丁同学：平均数为2，唯一的众数为29．（5分）由直线y=x﹣1上的一点向圆x2+y2﹣6x+8=0引切线，则切线长的最小值为（）A．1 B．C．D．210．（5分）甲、乙两人约定上午7：20至8：00之间到某站乘公共汽车，在这段时间内有3班公共汽车，它们开车的时刻分别是7：40、7：50和8：00，甲、乙两人约定，见车就乘，则甲、乙同乘一车的概率为（假定甲、乙两人到达车站的时刻是互相不牵连的，且每人在7：20至8：00时的任何时刻到达车站都是等可能的）（）A．B．C．D．二、填空题（共5小题，每题5分）11．（5分）将参加夏令营的100名学生编号为001，002，…，100．先采用系统抽样方法抽取一个容量为20的样本，若随机抽得的号码为003，那么从048号到081号被抽中的人数是．12．（5分）已知直线l：x﹣y+3=0被圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2=4截得的弦长为2，则a的值为．13．（5分）用秦九韶算法求多项式f（x）=x6﹣5x5+6x4+x2+0.3x+2在x=﹣2时的值时，v3的值为．14．（5分）在可行域内任取一点（x，y），如果执行如图的程序框图，那么输出数对（x，y）的概率是．15．（5分）过点P（1，1）的直线，将圆形区域{（x，y）|x2+y2≤4}分两部分，使这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为．三、解答题（共75分）16．（12分）从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图），（1）由图中数据求a的值（2）若要从身高在[120，130），[130，140），[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为多少？（3）估计这所小学的小学生身高的众数，中位数（保留两位小数）及平均数．17．（12分）已知点P（2，2），圆C：x2+y2﹣8y=0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．（1）求M的轨迹方程；（2）当|OP|=|OM|时，求l的方程及△POM的面积．18．（12分）（1）一个袋中装有6个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4，5，6，现从袋中随机取3个球，求取出的球的编号之和不大于10的概率；（2）若实数a，b满足a2+b2≤1，求关于x的方程x2﹣2x+a+b=0有实数根的概率．19．（13分）随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额），如下表：（1）求y关于x的回归方程=x+；（2）用所求的回归方程预测该地区2015年的人民币储蓄存款．注：．20．（13分）已知数列{a n}的各项均为正数，观察程序框图（1）若输入的a1=1，d=1，k=3时，求输出的S的值（2）写出k=4时，S的表达式（用a1，a2，a3，a4，a5表示）（3）若输入k=5，k=10时，分别有和．试求数列{a n}的通项．21．（13分）已知圆C的方程为x2+（y﹣4）2=4，点O是坐标原点．直线l：y=kx 与圆C交于M，N两点．（Ⅰ）求k的取值范围；（Ⅱ）设Q（m，n）是线段MN上的点，且．请将n表示为m的函数．2015-2016学年安徽省安庆一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分）1．（5分）某社区有500个家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户，为了调查社会购买力的某种指标，要从中抽取一个容量为100户的样本，应采用的抽样方法为（）A．抽签法B．随机数表法C．系统抽样法D．分层抽样法【解答】解：∵社会购买力的某项指标，受到家庭收入的影响而社区中各个家庭收入差别明显∴要从中抽一个样本容量是100的样本应该用分层抽样法，故选：D．2．（5分）圆心为（1，1）且过原点的圆的标准方程是（）A．（x﹣1）2+（y﹣1）2=1 B．（x+1）2+（y+1）2=1 C．（x+1）2+（y+1）2=2 D．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2【解答】解：由题意知圆半径r=，∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．故选：D．3．（5分）从装有除颜色外完全相同的2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么对立的两个事件是（）A．至少有1个白球，至少有1个红球B．至少有1个白球，都是红球C．恰有1个白球，恰有2个白球D．至少有1个白球，都是白球【解答】解：对于A，“至少有1个白球”发生时，“至少有1个红球”也会发生，比如恰好一个白球和一个红球，故A不对立；对于B，“至少有1个白球”说明有白球，白球的个数可能是1或2，而“都是红球”说明没有白球，白球的个数是0，这两个事件不能同时发生，且必有一个发生，故B是对立的；对于C，恰有1个白球，恰有2个白球是互斥事件，它们虽然不能同时发生但是还有可能恰好没有白球的情况，因此它们不对立；对于D，至少有1个白球和都是白球能同时发生，故它们不互斥，更谈不上对立了故选：B．4．（5分）某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）A．f（x）=x2B．f（x）=C．f（x）=e x D．f（x）=sinx【解答】解：∵A：f（x）=x2、C：f（x）=e x，不是奇函数，故不满足条件①又∵B：f（x）=的函数图象与x轴没有交点，故不满足条件②而D：f（x）=sinx既是奇函数，而且函数图象与x也有交点，故D：f（x）=sinx符合输出的条件故选：D．5．（5分）平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（）A．2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 B．2x+y+=0或2x+y﹣=0C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D．2x﹣y+=0或2x﹣y﹣=0【解答】解：设所求直线方程为2x+y+b=0，则，所以=，所以b=±5，所以所求直线方程为：2x+y+5=0或2x+y﹣5=0故选：A．6．（5分）右图程序运行结果是（）A．32 B．34 C．35 D．36【解答】解：a=1，b=1，t=2，满足条件t≤5，执行循环；a=2，b=3，t=3，满足条件t≤5，执行循环；a=5，b=8，t=4，满足条件t≤5，执行循环；a=13，b=21，t=5，满足条件t≤5，执行循环；a=34，b=55，t=6，不满足条件t≤5，退出循环输出a=34故选：B．7．（5分）天气预报说，在今后的三天中，每三天下雨的情况不完全相间，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：用1，2，3，4表示下雨，从下列随机数表的第1行第2列开始读取直到末尾从而获得N个数据．据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为（）1907966191925271932812458569191683431257393027556488730113537989．A．B．C．D．非ABC的结果【解答】解：由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：191、271、932、812、393，共5组随机数，∴所求概率为=0.25．故选：C．8．（5分）某同学在一次综合性测试中语文、数学、英语、科学、社会5门学科的名次在其所在班级里都不超过3（记第一名为1，第二名为2，第三名为3，依此类推且没有并列名次情况），则称该同学为超级学霸，现根据不同班级的甲、乙、丙、丁四位同学对一次综合性测试名次数据的描述，一定可以推断是超级学霸的是（）A．甲同学：平均数为2，中位数为2B．乙同学：中位数为2，唯一的众数为2C．丙同学：平均数为2，标准差为2D．丁同学：平均数为2，唯一的众数为2【解答】解：A反例：甲同学语、数、英、科、社5门学科的名次依次为1，1，2，2，4．B反例：乙同学语、数、英、科、社5门学科的名次依次为1，2，2，2，5．C反例：丙同学语、数、英、科、社5门学科的名次若为1，1，1，1，6其标准差为2.2，或若为1，1，1，2，5其标准差为1.7，其余的标准差更小，所以没有符合条件的名次．D：丁同学语、数、英、科、社5门学科的名次依次只能为1，2，2，2，3．所以D是超级学霸．9．（5分）由直线y=x﹣1上的一点向圆x2+y2﹣6x+8=0引切线，则切线长的最小值为（）A．1 B．C．D．2【解答】解：将圆方程化为标准方程得：（x﹣3）2+y2=1，得到圆心（3，0），半径r=1，∵圆心到直线的距离d==，∴切线长的最小值为：==1．故选：A．10．（5分）甲、乙两人约定上午7：20至8：00之间到某站乘公共汽车，在这段时间内有3班公共汽车，它们开车的时刻分别是7：40、7：50和8：00，甲、乙两人约定，见车就乘，则甲、乙同乘一车的概率为（假定甲、乙两人到达车站的时刻是互相不牵连的，且每人在7：20至8：00时的任何时刻到达车站都是等可能的）（）A．B．C．D．【解答】解：甲、乙同乘第一辆车的概率为，甲、乙同乘第二辆车的概率为，甲、乙同乘第三辆车的概率为，甲、乙同乘一车的概率为，故选：C．二、填空题（共5小题，每题5分）11．（5分）将参加夏令营的100名学生编号为001，002，…，100．先采用系统抽样方法抽取一个容量为20的样本，若随机抽得的号码为003，那么从048号到081号被抽中的人数是7．【解答】解：∵样本容量为20，首个号码为003，∴样本组距为100÷20=5∴对应的号码数为3+5（x﹣1）=5x﹣2，由48≤5x﹣2≤81，得10≤x≤16.6，即x=10，11，12，13，14，15，16，共7个，故答案为：7．12．（5分）已知直线l：x﹣y+3=0被圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2=4截得的弦长为2，则a的值为1或﹣3．【解答】解：由题意利用弦长公式可得弦心距d==，再由点到直线的距离公式可得d=，∴=，解得a=1，或a=﹣3，故答案为1或﹣3．13．（5分）用秦九韶算法求多项式f（x）=x6﹣5x5+6x4+x2+0.3x+2在x=﹣2时的值时，v3的值为﹣40．【解答】解：根据秦九韶算法可将多项式变形为：f（x）=x6﹣5x5+6x4+x2+0.3x+2=（（（（（x﹣5）x+6）x+0）x+1）x+0.3）x+2，当x=﹣2时，∴V0=1，V1=﹣2+（﹣5）=﹣7，V2=﹣7×（﹣2）+6=20，V3=20×（﹣2）+0=﹣40，故答案为：﹣4014．（5分）在可行域内任取一点（x，y），如果执行如图的程序框图，那么输出数对（x，y）的概率是．【解答】解：由框图知对应的图形一个以原点为对称中心的正方形，其边长为，其面积为2而对应的图形是一个以原点为圆心以为半径的圆面，其面积为故输出数对（x，y）的概率让为=故答案为15．（5分）过点P（1，1）的直线，将圆形区域{（x，y）|x2+y2≤4}分两部分，使这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为x+y﹣2=0．【解答】解：要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，必须使过点P 的圆的弦长达到最小，所以需该直线与直线OP垂直即可．又已知点P（1，1），则k OP=1，故所求直线的斜率为﹣1．又所求直线过点P（1，1），故由点斜式得，所求直线的方程为y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0．故答案为：x+y﹣2=0．三、解答题（共75分）16．（12分）从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图），（1）由图中数据求a的值（2）若要从身高在[120，130），[130，140），[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为多少？（3）估计这所小学的小学生身高的众数，中位数（保留两位小数）及平均数．【解答】解：（1）因为直方图中的各个矩形的面积之和为1，所以有10×（0.005+0.035+a+0.020+0.010）=1，解得a=0.030；（2）由直方图知，三个区域内的学生总数为100×10×（0.030+0.020+0.010）=60人，其中身高在[140，150]内的学生人数为10人，所以从身高在[140，150]范围内抽取的学生人数为×10=3人；（3）根据频率分布直方图知，身高在[110，120）内的小矩形图最高，所以该组数据的众数为=115cm；又0.005×10+0.035×10=0.4＜0.5，0.4+0.030×10=0.7＞0.5，所以中位数在[120，130）内，可设为x，则（x﹣120）×0.030+0.4=0.5，解得x=123.33，所以中位数为123.33cm；根据频率分布直方图，计算平均数为105×0.05+115×0.35+125×0.3+135×0.2+145×0.1=124.5cm17．（12分）已知点P（2，2），圆C：x2+y2﹣8y=0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．（1）求M的轨迹方程；（2）当|OP|=|OM|时，求l的方程及△POM的面积．【解答】解：（1）由圆C：x2+y2﹣8y=0，得x2+（y﹣4）2=16，∴圆C的圆心坐标为（0，4），半径为4．设M（x，y），则，．由题意可得：．即x（2﹣x）+（y﹣4）（2﹣y）=0．整理得：（x﹣1）2+（y﹣3）2=2．∴M的轨迹方程是（x﹣1）2+（y﹣3）2=2．（2）由（1）知M的轨迹是以点N（1，3）为圆心，为半径的圆，由于|OP|=|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM．∵k ON=3，∴直线l的斜率为﹣．∴直线PM的方程为，即x+3y﹣8=0．则O到直线l的距离为．又N到l的距离为，∴|PM|==．∴．18．（12分）（1）一个袋中装有6个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4，5，6，现从袋中随机取3个球，求取出的球的编号之和不大于10的概（2）若实数a，b满足a2+b2≤1，求关于x的方程x2﹣2x+a+b=0有实数根的概率．【解答】解：（1）一个袋中装有6个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4，5，6，现从袋中随机取3个球，基本事件总数n==20，取出的球的编号之和不大于10包含的基本事件为（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，2，6），（2，3，4），共5个，∴取出的球的编号之和不大于10的概率p1===．（2）∵实数a，b满足a2+b2≤1，∴点（a，b）在单位圆内，圆面积S=π，∵关于x的方程x2﹣2x+a+b=0有实数根，∴△=（﹣2）2﹣4（a+b）≥0，即a+b≤1，表示图中阴影部分，其面积S′=π﹣（π﹣）=+，故所求概率P2==．19．（13分）随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额），如下表：（1）求y关于x的回归方程=x+；（2）用所求的回归方程预测该地区2015年的人民币储蓄存款．注：．【解答】解：（1）设时间代号t=x﹣2009，则t分别为1，2，3，4，5题意，=3，=7.2，﹣5=55﹣5×32=10，t i y i﹣5=120﹣5×3×7.2=12，∴b=1.2，a=7.2﹣1.2×3=3.6，∴y关于t的回归方程y=1.2t+3.6，∴y关于x的回归方程y=1.2（x﹣2009）+3.6．（2）x=2015，t=6时，y=1.2×6+3.6=10.8（千亿元）．20．（13分）已知数列{a n}的各项均为正数，观察程序框图（1）若输入的a1=1，d=1，k=3时，求输出的S的值（2）写出k=4时，S的表达式（用a1，a2，a3，a4，a5表示）（3）若输入k=5，k=10时，分别有和．试求数列{a n}的通项．【解答】解：（1）a1=1，d=1，k=3时，；（2）k=4时，；（3）由程序框图知，S=++…+，∵数列{a n}是等差数列，设公差为d，则有=（﹣），∴S=（﹣+﹣+…+﹣）=（﹣）；k=5时，S=；k=10时，S=；∴，解得或（舍去）；∴a n=a1+（n﹣1）d=2n﹣1．21．（13分）已知圆C的方程为x2+（y﹣4）2=4，点O是坐标原点．直线l：y=kx 与圆C交于M，N两点．（Ⅰ）求k的取值范围；（Ⅱ）设Q（m，n）是线段MN上的点，且．请将n表示为m的函数．【解答】解：（Ⅰ）将y=kx代入x2+（y﹣4）2=4中，得：（1+k2）x2﹣8kx+12=0（*），根据题意得：△=（﹣8k）2﹣4（1+k2）×12＞0，即k2＞3，则k的取值范围为（﹣∞，﹣）∪（，+∞）；（Ⅱ）由M、N、Q在直线l上，可设M、N坐标分别为（x1，kx1），（x2，kx2），∴|OM|2=（1+k2）x12，|ON|2=（1+k2）x22，|OQ|2=m2+n2=（1+k2）m2，代入=+得：=+，即=+=，由（*）得到x1+x2=，x1x2=，代入得：=，即m2=，∵点Q在直线y=kx上，∴n=km，即k=，代入m2=，化简得5n2﹣3m2=36，由m2=及k2＞3，得到0＜m2＜3，即m∈（﹣，0）∪（0，），根据题意得点Q在圆内，即n＞0，∴n==，则n与m的函数关系式为n=（m∈（﹣，0）∪（0，））．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型： 图形特征：60°60°60°45°45°45°运用举例：1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．B4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。
高二上学期期中考试数学试卷含答案
高二级上学期期中考试题数学本试卷共8页，22小题，满分150分，考试时间120分钟。
第一部分选择题（共60分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知直线l 1：2x ＋my ＝2，l 2：m 2x ＋2y ＝1，且l 1⊥l 2，则m 的值为( )A ．0B ．－1C ．0或1D ．0或－12．若一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为( )A.2π B ．22π C ．2πD ．4π3．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A ，B ，C ，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成角的大小为( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°4．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ）A B C D 5．下列命题中，正确的是( )A ．任意三点确定一个平面B ．三条平行直线最多确定一个平面C ．不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行D ．一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行6．已知M (3，23)，N (－1，23)，F (1，0)，则点M 到直线NF 的距离为( )A. 5 B ．23 C ． 22D ．3 37．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形，且侧棱垂直于底面)高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )A ．20πB ．16πC ．32πD ．24π8．直线:20l x y ++=分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上， 则ABP △面积的取值范围是（ ） A ．[]26，B ．[]48，C ．D ．⎡⎣二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.9．若220x x --<是2x a -<<的充分不必要条件，则实数a 的值可以是( ) A ．1B ．2C ．3D ．410．已知,αβ是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ） A ．若//m n m α⊥，，则n α⊥ B ．若//,m n ααβ⋂=，则//m n C ．若m α⊥，m β⊥，则//αβ D ．若,//,m m n n αβ⊥⊥，则//αβ 11．若直线过点(1,2)A ，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l 方程可能为( ) A ．10x y -+=B ．30x y +-=C ．20x y -=D ．10x y --=12．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为矩形，侧面PCD ⊥平面ABCD ，BC =CD PC PD ===.若点M 为PC 的中点，则下列说法正确的为（ ）A ．BM ⊥平面PCDB ．//PA 面MBDC ．四棱锥M ABCD -外接球的表面积为36π D ．四棱锥M ABCD -的体积为6第二部分非选择题（90分）三、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分.13．命题“20210x x x ∃<-->，”的否定是______________．14．已知直线l 1的方程为23y x =-+，l 2的方程为42y x =-，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，则直线l 的斜截式方程为________________．15．若直线:l y kx =与曲线:1M y =+有两个不同交点，则k 的取值范围是________________．16．已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S -ABC 的体积为9，则球O 的体积为____________．四、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．(本小题满分10分)已知直线l 1的方程为x ＋2y －4＝0，若l 2在x 轴上的截距为32，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 1与l 2的交点坐标；(2)已知直线l 3经过l 1与l 2的交点，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍，求l 3的方程．18．(本小题满分12分)四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝12CD ＝1，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AD ＝ 3.(1)求证：PD ⊥AB ；(2)求四棱锥P-ABCD 的体积．19．(本小题满分12分)已知圆C 的圆心坐标为(a ，0)，且圆C 与y 轴相切． (1)已知a ＝1，M (4，4)，点N 是圆C 上的任意一点，求|MN |的最小值；(2)已知a ＜0，直线l 的斜率为43，且与y 轴交于点20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.若直线l 与圆C 相离，求a 的取值范围．20．(本小题满分12分)在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，点D 是线段AB 上的动点．(1)当点D 是AB 的中点时，求证：AC 1∥平面B 1CD ；(2)线段AB 上是否存在点D ，使得平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1？若存在，试求出AD 的长度；若不存在，请说明理由．21. (本小题满分12分) 如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，060ABC ∠=，FA ⊥平面ABCD ，//,2 2.FA ED AB FA ED ===求二面角F BC A --的大小的正切值；求点E 到平面AFC 的距离；求直线FC 与平面ABF 所成的角的正弦值.22. (本小题满分12分)已知圆22+=9：O x y ，过点()0,2P -任作圆O 的两条相互垂直的弦AB 、CD ，设M 、N 分别是AB 、CD 的中点，（1）直线MN 是否过定点? 若过，求出该定点坐标，若不过，请说明理由； （2）求四边形ACBD 面积的最大值，并求出对应直线AB 、CD 的方程.高二级上学期期中考试题 数学答案及说明一、选择题：1.D ，2.A ，3.C ，4.B ，5.C ，6.B ，7.D ，8.A ，9.BCD ，10.ACD ，11.ABC ，12.BC.二、填空题：13.0x ∀<，2210x x --≤；14.y ＝－2x －2；15.13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭；16.36π.题目及详细解答过程：一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分)1．已知直线l 1：2x ＋my ＝2，l 2：m 2x ＋2y ＝1，且l 1⊥l 2，则m 的值为( ) A ．0 B ．－1 C ．0或1 D ．0或－1 解析：因为l 1⊥l 2，所以2m 2＋2m ＝0，解得m ＝0或m ＝－1. 答案：D2．若一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为( ) A.2π B ．22π C ．2π D ．4π 解析：设底面圆的半径为r ，高为h ，母线长为l ，由题可知，r ＝h ＝22l ，则12(2r )2＝1，r ＝1，l ＝2.所以圆锥的侧面积为πrl ＝2π. 答案：A3．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A ，B ，C ，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成角的大小为( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°解析：当三棱锥D ABC 体积最大时，平面DAC ⊥平面ABC .取AC 的中点O ，则∠DBO 即为直线BD 和平面ABC 所成的角．易知△DOB 是等腰直角三角形，故∠DBO ＝45°.答案：C4．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ）A B C D 【答案】B【解析】由于圆上的点()2,1在第一象限，若圆心不在第一象限， 则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限， 设圆心的坐标为(),a a ，则圆的半径为a ，圆的标准方程为()()222x a y a a -+-=.由题意可得()()22221a a a -+-=，可得2650a a -+=，解得1a =或5a =，所以圆心的坐标为()1,1或()5,5，圆心到直线的距离均为121132555d ⨯--==； 圆心到直线的距离均为22553255d ⨯--== 圆心到直线230x y --=的距离均为22555d -==； 所以，圆心到直线230x y --=25. 故选：B ．5．下列命题中，正确的是( ) A ．任意三点确定一个平面 B ．三条平行直线最多确定一个平面C ．不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行D ．一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行 解析：由线面垂直的性质，易知C 正确． 答案：C6．已知M (3，23)，N (－1，23)，F (1，0)，则点M 到直线NF 的距离为( ) A. 5 B ．23 C ． 22D ．3 3解析：易知NF 的斜率k ＝－3，故NF 的方程为y ＝－3(x －1)，即3x ＋y －3＝0. 所以M 到NF 的距离为|33＋23－3|（3）2＋12＝2 3. 答案：B7．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形，且侧棱垂直于底面)高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )A ．20πB ．16πC ．32πD ．24π解析：由题意知正四棱柱的底面积为4，所以正四棱柱的底面边长为2，正四棱柱的底面对角线长为22，正四棱柱的对角线为2 6.而球的直径等于正四棱柱的对角线，即2R ＝2 6.所以R ＝ 6.所以S 球＝4πR 2＝24π. 答案：D8．直线:20l x y ++=分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是（ ） A ．[]26，B ．[]48，C ．232⎡⎤⎣⎦，D ．2232⎡⎤⎣⎦，【答案】A 【解析】直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，()()2,0,0,2A B ∴--,则22AB =.点P 在圆22(2)2x y -+=上，∴圆心为（2，0），则圆心到直线的距离1202222d ++==.故点P 到直线20x y ++=的距离2d 的范围为2,32⎡⎤⎣⎦，则[]22122,62ABP S AB d d ==∈△.故答案为A.二、多选题(每题5分，共20分)9．若220x x --<是2x a -<<的充分不必要条件，则实数a 的值可以是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】BCD【解析】：由220x x --<，解得12x -<<．又220x x --<是2x a -<<的充分不必要条件，(1∴-，2)(2-，)a ，则2a ．∴实数a 的值可以是2，3，4．故选：BCD ．10．已知,αβ是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ） A ．若//m n m α⊥，，则n α⊥ B ．若//,m n ααβ⋂=，则//m n C ．若m α⊥，m β⊥，则//αβ D ．若,//,m m n n αβ⊥⊥，则//αβ 【答案】ACD 【解析】若m α⊥，则,a b α∃⊂且a b P =使得m a ⊥，m b ⊥，又//m n ，则n a ⊥，n b ⊥，由线面垂直的判定定理得n α⊥，故A 对； 若//m α，n αβ=，如图，设m AB =，平面1111D C B A 为平面α，//m α，设平面11ADD A 为平面β，11A D n αβ⋂==，则m n ⊥，故B 错；垂直于同一条直线的两个平面平行，故C 对；若,//m m n α⊥，则n α⊥，又n β⊥，则//αβ，故D 对； 故选：ACD ．11．若直线过点(1,2)A ，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l 方程可能为( ) A ．10x y -+= B ．30x y +-= C ．20x y -= D ．10x y --=【答案】ABC【解析】：当直线经过原点时，斜率为20210k -==-，所求的直线方程为2y x =，即20x y -=； 当直线不过原点时，设所求的直线方程为x y k ±=，把点(1,2)A 代入可得12k -=，或12k +=，求得1k =-，或3k =，故所求的直线方程为10x y -+=，或30x y +-=； 综上知，所求的直线方程为20x y -=、10x y -+=，或30x y +-=． 故选：ABC ．12．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为矩形，侧面PCD ⊥平面ABCD ，23BC =，26CD PC PD ===.若点M 为PC 的中点，则下列说法正确的为（ ）A ．BM ⊥平面PCDB ．//PA 面MBDC ．四棱锥M ABCD -外接球的表面积为36π D ．四棱锥M ABCD -的体积为6 【答案】BC【解析】作图在四棱锥P ABCD -中：为矩形，由题：侧面PCD ⊥平面ABCD ，交线为CD ，底面ABCDBC CD ⊥，则BC ⊥平面PCD ，过点B 只能作一条直线与已知平面垂直，所以选项A错误；连接AC 交BD 于O ，连接MO ，PAC ∆中，OM ∥PA ，MO ⊆面MBD ，PA ⊄面MBD ，所以//PA 面MBD ，所以选项B 正确；四棱锥M ABCD -的体积是四棱锥P ABCD -的体积的一半，取CD 中点N ，连接PN ，PN CD ⊥，则PN平面ABCD ，32PN =，四棱锥M ABCD -的体积112326321223M ABCD V -=⨯⨯⨯⨯=所以选项D 错误.矩形ABCD 中，易得6,3,3AC OC ON ===，PCD 中求得：16,2NM PC ==在Rt MNO 中223MO ON MN =+=即： OM OA OB OC OD ====，所以O 为四棱锥M ABCD -外接球的球心，半径为3， 所以其体积为36π，所以选项C 正确， 故选：BC三、填空题(每题5分，共20分)13．命题“20210x x x ∃<-->，”的否定是______． 【答案】0x ∀<，2210x x --≤【解析】因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题20210x x x ∃<-->，， 则该命题的否定是：0x ∀<，2210x x --≤ 故答案为：0x ∀<，2210x x --≤．14．已知直线l 1的方程为23y x =-+，l 2的方程为42y x =-，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，则直线l 的斜截式方程为________________．解析：由斜截式方程知直线l 1的斜率k 1＝－2，又l ∥l 1，所以l 的斜率k ＝k 1＝－2.由题意知l 2在y 轴上的截距为－2，所以l 在y 轴上的截距b ＝－2.由斜截式方程可得直线l 的方程为y ＝－2x －2.答案：y ＝－2x －215．若直线:l y kx =与曲线()2:113M y x =+--有两个不同交点，则k 的取值范围是________________．解析：曲线M ：y ＝1＋1－（x －3）2是以(3，1)为圆心，1为半径的，且在直线y ＝1上方的半圆．要使直线l 与曲线M 有两个不同交点，则直线l 在如图所示的两条直线之间转动，即当直线l 与曲线M 相切时，k 取得最大值34；当直线l 过点(2，1)时，k 取最小值12.故k 的取值范围是13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 答案：13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭16．已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S -ABC 的体积为9，则球O 的体积为____________．解析：如图，连接OA ，OB .由SA ＝AC ，SB ＝BC ，SC 为球O 的直径，知OA ⊥SC ，OB ⊥SC .又由平面SCA ⊥平面SCB ，平面SCA ∩平面SCB ＝SC ，知OA ⊥平面SCB . 设球O 的半径为r ，则OA ＝OB ＝r ，SC ＝2r ，所以三棱锥S ABC 的体积为311323r V SC OB OA ⎛⎫=⨯⋅⋅= ⎪⎝⎭，即r 33＝9.所以r ＝3.所以3344336.33=O V r πππ=⨯=球答案：36π四、解答题(每题5分，共70分)17．(本小题满分10分)已知直线l 1的方程为x ＋2y －4＝0，若l 2在x 轴上的截距为32，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 1与l 2的交点坐标；(2)已知直线l 3经过l 1与l 2的交点，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍，求l 3的方程． 解：(1)设l 2的方程为2x －y ＋m ＝0，..........1分因为l 2在x 轴上的截距为32，所以3－0＋m ＝0，m ＝－3，即l 2：2x －y －3＝0.....3分联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，2x －y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.所以直线l 1与l 2的交点坐标为(2，1)．..........5分 (2)当l 3过原点时，l 3的方程为y ＝12x ..........6分当l 3不过原点时，设l 3的方程为12x y a a +=...........7分 又直线l 3经过l 1与l 2的交点，所以2112a a+=， 得52a =，l 3的方程为2x ＋y －5＝0...........8分 综上，l 3的方程为y ＝12x 或2x ＋y －5＝0...........10分18．(本小题满分12分)四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝12CD ＝1，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ＝ 3.(1)求证：PD ⊥AB ；(2)求四棱锥P-ABCD 的体积．18.解：(1)证明：因为PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥AB ，..........1分又因为AB ⊥AD ，AD ∩PA ＝A ，..........3分 所以AB ⊥平面PAD ，..........4分又PD ⊂平面PAD ，..........5分所以AB ⊥PD ...........6分 (2)解：S 梯形ABCD ＝12(AB ＋CD )·AD ＝332，.......8分又PA ⊥平面ABCD ，..........9分所以V 四棱锥P-ABCD ＝13×S 梯形ABCD ·PA ＝13×332×3＝32...........12分19．(本小题满分12分)已知圆C 的圆心坐标为(a ，0)，且圆C 与y 轴相切． (1)已知a ＝1，M (4，4)，点N 是圆C 上的任意一点，求|MN |的最小值； (2)已知a ＜0，直线l 的斜率为43，且与y 轴交于点20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.若直线l与圆C 相离，求a 的取值范围．19.解：(1)由题意可知，圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝1...........2分又|MC |＝（4－1）2＋（4－0）2＝5，..........4分 所以|MN |的最小值为5－1＝4...........5分(2)因为直线l 的斜率为43，且与y 轴相交于点20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以直线l 的方程为y ＝43x －23.即4x －3y －2＝0..........7分因为直线l 与圆C 相离，所以圆心C (a ，0)到直线l 的距离d ＞r . 则224243a a ->+.........9分又0a <，所以245a a ->-，解得2a >-..........11分 所以a 的取值范围是(－2，0)．.........12分20．(本小题满分12分)在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，点D 是线段AB 上的动点． (1)当点D 是AB 的中点时，求证：AC 1∥平面B 1CD ；(2)线段AB 上是否存在点D ，使得平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1？若存在，试求出AD 的长度；若不存在，请说明理由．20.解：(1)证明：如图，连接BC 1，交B 1C 于点E ，连接DE ，则点E 是BC 1的中点，又点D 是AB 的中点，由中位线定理得DE ∥AC 1，.........1分 因为DE ⊂平面B 1CD ，.........2分AC 1⊄平面B 1CD ，.........3分所以AC 1∥平面B 1CD ..........4分(2)解：当CD ⊥AB 时，平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1........5分 证明：因为AA 1⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ， 所以AA 1⊥CD ..........6分又CD ⊥AB ，AA 1∩AB ＝A ，.........7分所以CD ⊥平面ABB 1A 1，因为CD ⊂平面CDB 1，.........8分 所以平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1，.........9分故点D 满足CD ⊥AB 时，平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1......10分 因为AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，所以AC 2＋BC 2＝AB 2， 故△ABC 是以角C 为直角的三角形， 又CD ⊥AB ，所以AD ＝95..........12分22. (本小题满分12分) 如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，060ABC ∠=，FA ⊥平面ABCD ，//,2 2.FA ED AB FA ED ===求二面角F BC A --的大小的正切值；求点E 到平面AFC 的距离；求直线FC 与平面ABF 所成的角的正弦值.21.解： 作于点G ，连接FG ， 四边形ABCD 是菱形,,，为等边三角形,,-----1分平面ABCD ，平面ABCD ，，又，，平面AFG ，BC FG ∴⊥-----2分 G∴为二面角的平面角，------3分----------------------------4分连接AE ，设点E 到平面AFC 的距离为h ， 则， ----------------------5分即，也就是，--------------------6分解得：； ------------------------------------------------7分(3)作CH AB ⊥于点H ，连接FH ，ABC ∆为等边三角形，H ∴为AB 的中点，221,3,5,AH CH FH FA AH ===+= FA ⊥平面ABCD ，CH ⊂平面ABCD ，FA CH ∴⊥，----8分 又,CH AB AB AF A ⊥⋂=，CH ∴⊥平面ABF ，-----9分CFH ∴∠为直线FC 与平面ABF 所成的角，-------10分36sin 422CH CFH CF ∴∠===．-----------------12分 22.(本小题满分12分)已知圆22+=9：O x y ，过点()0,2P -任作圆O 的两条相互垂直的弦AB 、CD ，设M 、N 分别是AB 、CD 的中点，（1）直线MN 是否过定点?若过，求出该定点坐标，若不过，请说明理由； （2）求四边形ACBD 面积的最大值，并求出对应直线AB 、CD 的方程.22.解：（1）当直线AB CD 、的斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为:()()()112220,,,,y kx k A x y B x y =-≠------------1分由2229+=y kx x y =-⎧⎨⎩得：()221450k x kx +--=--------------------2分 点()0,2P -在圆内,故0∆>. 又 1212222422,21211M M Mx x k k x x x y kx k k k +∴+=∴===-=-+++ 即 2222,11kM k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭--------------------3分AB CD ⊥以1k -代换k 得22222,11k k N k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭22222222111.22211MNk k k k k k k k k k -+-++∴==+++---------------4分∴直线MN 的方程为：222212121k k y x k k k -⎛⎫+=- ⎪++⎝⎭化简得2112k y x k-=-，故直线MN 恒过定点()01-，--------------------5分 当直线AB CD 、的斜率不存在或为0时，显然直线MN 恒过定点()01-， 综上，直线MN 恒过定点()01-，--------------------.6分 (2) 解法一:圆心O 到直线AB的距离1d =AB ==分 （或由第（1）问得：21AB x =-==以1k -代换k 得CD =）AB CD ⊥∴以1k -代换k 得:CD =分12ACBD S AB CD ∴=⋅==分14=≤= 当且仅当221,1k k k==±时,取等号,故四边形ACBD 面积的最大值为14，--------------------11分对应直线AB 、CD 分别为2,2y x y x =-=--或2,2y x y x =--=-----------12分 解法二：设圆心O 到直线AB 、CD 的距离分别为12,d d 、则22222211229,9AB r d d CD r d d =-=-=-=---------------------7分AB CD ⊥222124d d OP ∴+==--------------------8分()()()2222121221991821818414ACBD S AB CD d d d d OP ∴=⋅=≤-+-=-+=-=-=--------------------10分当且仅当12d d =，即1k =±时,取等号,故四边形ACBD 面积的最大值为14，--------------------11分对应直线AB 、CD 分别为2,2y x y x =-=--或2,2y x y x =--=---------12分。
安徽省安庆五校联盟2015-2016学年高二上学期期中考试数学试题
安庆市“五校联盟”2015～2016学年度第一学期期中考试高二数学试题命题人：崔新年 国春霞 鲍成航 殷学锋 朱贤良本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，总分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是（ ）A.22(1)(1)1x y -+-= B.22(1)(1)1x y +++= C.22(1)(1)2x y -+-=D.22(1)(1)2x y +++=2．对两个变量y 和x 进行回归分析，得到一组样本数据：1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y ，则下列说法不正确的是（ ）A.若这组样本数据分别是(1,1),(2,1.5),(4,3),(5,4.5)，则其回归直线y bx a =+$$$必过点(3,2.5)B.若求得回归方程为0.8585.71y x =-$，则y 和x 具有正的线性相关关系C.若求得回归方程为0.8585.71y x =-$，则x 每增加1个单位，y 大约增加0.85个单位D.若求得回归方程为0.8585.71y x =-$，且变量170x =，则变量y 必定为58.79 3.给出下列流程图，欲输出给定两实数,a b 中的较小的数，则判断框中应填( )A. ?a b < B ．?a b ≥ C ．?a b > D ．?a b = 4．在区间[2,3]-上随机选取一个数X ，则1X ≤的概率为( )A.45 B.35 C.25 D.155．若直线1y kx =+与圆221x y +=相交于P Q ,两点，且120POQ ∠=︒（其中O为原点），则k 的值为（ ）A.6．从装有5只红球、5只白球的袋中任意取出3只球，关于下列四组事件：①“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球”；②“取出2只红球和1只白球”与“取出3只红球”；③“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只白球”；④“取出3只红球”与“取出3只白球”．其中是对立事件的是( ) A.①② B.②③ C.③④ D.③7．已知(1,2,11)A -，(4,2,3)B ，(6,1,4)C -为三角形的三个顶点，则ABC ∆是（ ）A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.等腰三角形8．①学校需在高二年级的学号为001～800的学生中抽调20人参加关于学校管理工作的综合座谈；②一次高二数学竞赛中，某班有10人在110分以上，40人在90～100分，12人低于90分.现在从中抽取12人了解有关情况；③学校某班60名学生参加2016元旦聚会，要产生3名“幸运之星”.关于这三件事，合适的抽样方法为( )A ．分层抽样，系统抽样，简单随机抽样B ．简单随机抽样，分层抽样，系统抽样C ．分层抽样，简单随机抽样，系统抽样D ．系统抽样，分层抽样，简单随机抽样9．如图，,,,,a b c d e 是处于断开状态的开关，任意闭合两个，则电路被接通的概率是( ) A.25B.320 C.35D.31010．某教研机构随机抽取某校20个班级，调查各班关注汉字听写大赛的学生人数，根据所得数据的茎叶图，以组距为5将数据分组成[0,5),[5,10),[10,15),[15,20),[20,25),[25,30),[30,35),[35,40]时，所作的频率分布直方图如图所示，则原始茎叶图可能是（ ）11. 我市某机构为调查2015年中学生参加体育活动的情况，设平均每人每天参加体育锻炼时间X(单位：分钟)，按锻炼时间分下列四种情况统计：①0～10分钟；②11～20分钟；③21～30分钟；④30分钟以上，有10000名中学生参加了此项活动，如图所示是此次调查中某一项的算法框图，其输出的结果是6200，则平均每天参加体育锻炼时间在0～20分钟内的学生的频率是( ) A ．0.62B.0.38 C ．6200D.380012．已知圆1C ：22(2)(3)1x y -+-=，圆2C ：22(3)(4)4x y -+-=，,M N 分别是圆12,C C 上的动点，P 为y 轴上的动点，则PM PN +的最小值为( )A.3B. 4C.5-1第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10,6,8,5,6,则该组数据的标准差为______ _．14．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为 ．15．如图所示，面积为S 的正方形ABCD 中有一个不规则的图形M ，可按下面方法估计M 的面积：在正方形ABCD 中随机投掷n 个点，若n个点中有m 个点落入M 中，则M 的面积的估计值为mS n⋅，假设正方形ABCD 的边长为2，M 的面积为1，并向正方形ABCD 中随机投掷10000个点，则落入M 中的点的数目是 ． 16．已知圆C方程为()()221225x y -+-=，直线l 方程为()()21174m x m y m+++=+()m R ∈，则直线l 被圆C 所截得的弦长最短时直线l 的一般方程_ _．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本题满分10分）随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表：（Ⅰ）运用最小二乘法原理，求y 关于x 的回归直线方程ˆy bx a =+$$； （Ⅱ）用所求回归方程预测该地区2015年（6x =）的人民币储蓄存款.附：回归直线ˆy bx a =+$$中，()()()121nii i nii xx y yb xx==--=-∑∑$=1221ni ii nii x y nx yxnx==--∑∑，a y bx =-$$.18.（本题满分12分）已知圆心为C 的圆经过三个点(0,0),(1,3),(4,0)O A B ．（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）求过点(3,6)P 且被圆C 截得弦长为4的直线的方程．19.（本题满分12分）为了了解一个小水库中养殖的鱼的有关情况，从这个水库中多个不同位置捕捞出100条鱼，称得每条鱼的质量(单位：千克)，并将所得数据分组，画出频率分布直方图(如图所示)． （Ⅰ）根据频率分布直方图，估计数据落在[1.15，1.30)中的概率为多少；（Ⅱ）将上面捕捞的100条鱼分别作一记号后再放回水库，几天后再从水库的多处不同位置捕捞出120条鱼，其中带有记号的鱼有6条，请根据这一情况来估计该水库中鱼的总条数．20.（本题满分12分）一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为,,a b c ．（Ⅰ）求“抽取的卡片上的数字满足a b c +=”的概率； （Ⅱ）求“抽取的卡片上的数字,,a b c 不完全相同”的概率．21.（本题满分12分）已知以点2(,)(,0)C t t R t t∈≠为圆心的圆与x 轴交于点,O A ，与y 轴交于点,O B ，其中O 为原点.（Ⅰ）求证：OAB ∆的面积为定值；（Ⅱ）设直线24y x =-+与圆C 交于点,M N ，若OM ON =，求圆C 的方程.22.（本题满分12分）已知圆O ：221x y +=和定点(2,1)A ，由圆O 外一点(,)P a b 向圆O 引切线PQ ，切点为Q ，且满足||||PQ PA =． （Ⅰ）求实数a b 、间满足的等量关系； （Ⅱ）求线段PQ 长的最小值；（Ⅲ）若以P 为圆心所作的圆P 与圆O 有公共点，试求半径取最小值时圆P 的方程．安庆市“五校联盟”2015～2016学年度第一学期期中考试高二数学答案1-12：CDAB DDAD CABA13． 14 15．2500． 16．250x y --=．20．（Ⅰ）由题意，(,,)a b c 所有可能的取值为(1,1,1)， (1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27种．设“抽取的卡片上的数字满足a b c +=”为事件A ，则事件A 包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种，故“抽取的卡片上的数字满足a b c +=”的概率为31()279P A ==．（Ⅱ）设“抽取的卡片上的数字,,a b c 不完全相同”为事件B ，则其对立事件B 包含(1,1,1)，(2,2,2)与(3,3,3)三种情况，故“抽取的卡片上的数字,,a b c 不完全相同”的概率为38()1()1279P B P B =-=-=．。
高二上学期期中考试数学试题(带答案)
高二上学期期中考试数学试题(带答案)高二上学期期中考试数学试题（带答案）注：题号后（A）表示1-7班必做，（B）表示8班必做。
）完卷时间：120分钟，总分：150分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1.设$a,b,c\in R$，且$a>b$，则（）A．$ac>bc$B．$\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$C．$a^2>b^2$D．$a^3>b^3$2.已知数列$\{a_n\}$是公差为2的等差数列，且$a_1,a_2,a_5$成等比数列，则$a_2=$（）A．$-2$B．$-3$C．$2$D．$3$3.已知集合$A=\{x\in R|x^2-4x-12<0\},B=\{x\in R|x<2\}$，则$A\cap B=$（）A．$\{x|x<6\}$B．$\{x|-2<x<2\}$C．$\{x|x>-2\}$D．$\{x|2\leq x<6\}$4.若变量$x,y$满足约束条件$\begin{cases}x+y\leq 4\\x\geq 1\end{cases}$，则$z=2x+y$的最大值和最小值分别为（）A．4和3B．4和2C．3和2D．2和55.已知等比数列$\{a_n\}$的前三项依次为$a-1,a+1,a+4$，则$a_n=$A．$4\cdot (\frac{3}{2})^{n-1}$B．$4\cdot (\frac{2}{3})^{n-1}$C．$4\cdot (\frac{3}{2})^{n-2}$D．$4\cdot (\frac{2}{3})^{n-2}$6.在$\triangle ABC$中，边$a,b,c$的对角分别为$A,B,C$，且$\sin^2 A+\sin^2 C-\sin A\sin C=\sin^2 B$。
安徽省安庆市高二上学期期中数学试卷
安徽省安庆市高二上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高二上·诸暨月考) 若一个正方体截去一个三棱锥后所得的几何体如图所示.则该几何体的正视图是（）A .B .C .D .2. （2分）若直线x＝0的倾斜角为，则=（）A . 0B .C .D . 不存在3. （2分）在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则△ABC的形状是（）A . 锐角三角形B . 直角三角形C . 钝角三角形D . 不能确定4. （2分）已知m≠0，直线ax+3my+2a=0在两坐标轴上的截距之和为2，则直线的斜率为（）A . 1B . -C . -D . 25. （2分） (2016高三上·珠海模拟) 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是棱A1B1 ， B1C1的中点，O 是AC与BD的交点，面OEF与面BCC1B1相交于m，面OD1E与面BCC1B1相交于n，则直线m，n的夹角为（）A . 0B .C .D .6. （2分） (2017高一上·福州期末) 已知两平行直线间的距离为3，则（）A . -12B . 48D . -12或487. （2分）圆C：（x﹣2）2+（y+1）2=3的圆心坐标是（）A . （2，1）B . （2，﹣1）C . （﹣2，1）D . （﹣2，﹣1）8. （2分） (2019高三上·凤城月考) 正四棱锥的侧棱长为 ,底面ABCD边长为2,E为AD的中点,则BD与PE所成角的余弦值为（）A .B .C .D .9. （2分）(2018·陕西模拟) 已知 ,点是外一点，则过点的圆的切线的方程是（）A .B .C .D .10. （2分）已知抛物线，过其焦点且斜率为的直线交抛物线于两点，若线段的中点的纵坐标为，则该抛物线的准线方程为（）B .C .D .11. （2分）(2014·湖南理) 一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）A . 1B . 2C . 3D . 412. （2分）(2017·丰台模拟) 圆（x+1）2+y2=1的圆心到直线y=x﹣1的距离为（）A . 1B .C .D . 2二、填空题 (共4题；共5分)13. （2分）正方体的全面积为a，它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是________，体积是________．14. （1分）已知两条平行直线3x+4y+1=0与6x+ay+12=0间的距离为d，则的值为________15. （1分）已知点A（﹣2，3）、B（1，﹣4），则直线AB的方程是________16. （1分） (2016高三上·六合期中) 已知直线l：x﹣y=1与圆M：x2+y2﹣2x+2y﹣1=0相交于A，C两点，点B，D分别在圆M上运动，且位于直线AC两侧，则四边形ABCD面积的最大值为________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分） (2016高二上·包头期中) 如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=BC1=2，∠AA1C1=60°，平面ABC1⊥平面AA1C1C，AC1与A1C相交于点D．（1）求证：BD⊥A1C；（2）若E在棱BC1上，且满足DE∥面ABC，求三棱锥E﹣ACC1的体积．18. （5分）已知平面内两点A（8，﹣6），B（2，2）．（Ⅰ）求过点P（2，﹣3）且与直线AB平行的直线l的方程；（Ⅱ）求线段AB的垂直平分线方程．19. （10分） (2016高一上·周口期末) 在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=AA1=2，D、E分别为棱AB、BC的中点，点F在棱AA1上．（1）证明：直线A1C1∥平面FDE；（2）若F为棱AA1的中点，求三棱锥A1﹣DEF的体积．20. （10分）如图，多面体ABCDEF中，正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，已知AB∥CD，AD⊥CD，AB=2，CD=4，直线BE与平面ABCD所成的角的正切值等于（1）求证：平面BCE⊥平面BDE；（2）求平面BDF与平面CDE所成锐二面角的余弦值．21. （10分）一种画椭圆的工具如图1所示．是滑槽的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且，．当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C．以O为原点，AB所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（1）求椭圆C的方程；（2）设动直线与两定直线和分别交于两点．若直线总与椭圆有且只有一个公共点，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．22. （5分） (2017高二下·广安期末) 如图，在三棱锥C﹣OAB中，CO⊥平面AOB，OA=OB=2OC=2，AB=2 ，D为AB的中点．（Ⅰ）求证：AB⊥平面COD；（Ⅱ）若动点E满足CE∥平面AOB，问：当AE=BE时，平面ACE与平面AOB所成的锐二面角是否为定值？若是，求出该锐二面角的余弦值；若不是，说明理由．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、。
2015-2016学年安徽省安庆一中高二(上)数学期中试卷带解析答案(理科)(实验班)
2015-2016学年安徽省安庆一中高二（上）期中数学试卷（理科）（实验班）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．（5分）已知椭圆与双曲线=1有相同的焦点，则a的值为（）A．B． C．4 D．102．（5分）已知命题p：若x＞y，则﹣x＜﹣y；命题q：若x＜y，则x2＞y2；在下列命题中：（1）p∧q；（2）p∨q；（3）p∧（￢q）；（4）（￢p）∨q，真命题是（）A．（1）（3）B．（1）（4）C．（2）（3）D．（2）（4）3．（5分）函数的极大值点为（）A． B．C．D．4．（5分）命题“若对任意∀n∈N*都有a n＜a n+1，则数列{a n}是递增数列”的逆否命题是（）A．若数列{a n}是递减数列，则对任意n∈N*都有a n≥a n+1B．若数列{a n}是递减数列，则存在n∈N*都有a n≥a n+1C．若数列{a n}不是递增数列，则对任意n∈N*都有a n≥a n+1D．若数列{a n}不是递增数列，则存在n∈N*都有a n≥a n+15．（5分）已知椭圆的左右焦点为F1、F2，点P为其上动点，点Q（3，2），则|PF1|﹣|PQ|的最大值为（）A．B．C．D．6．（5分）已知f（x）=3x+4，若|f（x）﹣1|＜a的必要条件是|x+1|＜b（a，b ＞0），则a，b之间的关系是（）A．B．C．D．7．（5分）若双曲线的渐近线与抛物线y=x2+2有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．[3，+∞）B．（3，+∞）C．（1，3]D．（1，3）8．（5分）设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上一点，且OG=3GG1，若=x+y+z，则（x，y，z）为（）A．（，，）B．（，，）C．（，，）D．（，，）9．（5分）在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且|AB|=2，|AD|=1，|CD|=2x其中x ∈（0，1），以A，B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1，以C，D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2，若对任意x∈（0，1）不等式t＜e1+e2恒成立，则t的最大值为（）A．B．C．2 D．10．（5分）已知函数，函数，若对任意x1∈[0，2]，总存在x2∈[0，2]，使f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围是（）A．（0，+∞）B． C．D．（0，1]二、填空题：本大题共5小题，每小题5分.11．（5分）已知函数f（x）=tanx，则f（x）在点处的线方程为．12．（5分）=．13．（5分）在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，底面ABC为直角三角形，∠BAC=，AB=AC=AA1=1．已知G与E分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点（不包括端点）．若GD⊥EF，则线段DF的长度的最小值为．14．（5分）已知f（x）=alnx+x2（a＞0），若对任意两个不等的正实数x1、x2都有＞2恒成立，则a的取值范围是．15．（5分）以下命题：①若x≠1或y≠2，则x+y≠3；②若空间向量与空间中任一向量都不能组成空间的一组基底，则与共线；③若函数y=f（x）在x=x0处导数等于0，则该函数在该点处取得极值；④若A、B为两个定点，K为正常数，若|PA|+|PB|=K，则动点P的轨迹是椭圆；⑤已知抛物线y2=2px，以过焦点的一条弦AB为直径作圆，则此圆与准线相切；其中真命题为．（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）已知命题p：存在x∈（﹣∞，1）使得x2﹣4x+m=0成立，命题q：方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆．（1）若p是真命题，求实数m的取值范围；（2）若p或q是假命题，求实数m的取值范围．17．（12分）已知函数f（x）=ln（x+1）+．（1）当函数f（x）在点（0，f（0））处的切线与直线4y﹣x+1=0垂直时，求实数m的值；（2）若x≥0时，f（x）≥1恒成立，求实数m的取值范围．18．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣3，0）、F2（3，0），直线y=kx与椭圆交于A、B两点．（1）若三角形AF1F2的周长为，求椭圆的标准方程；（2）若，且以AB为直径的圆过椭圆的右焦点，求直线y=kx斜率k的取值范围．19．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，△PAB和△PAD是两个边长为2的正三角形，DC=4，O为BD的中点．（1）求证：PO⊥平面ABCD；（2）若E为线段PA上一点，且，求二面角P﹣OE﹣C的余弦值．20．（13分）已知函数f（x）=lnx，，F（x）=f（x）+g（x）．（1）若函数F（x）在区间[1，e]上的最小值是，求a的值；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数f（x）图象上任意不同的两点，直线AB 的斜率为k，且a=1，求证：．21．（13分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，点是以F1F2为直径的圆与双曲线的一交点．（1）求双曲线的方程；（2）若P为该双曲线上任意一点，直线PF1、PF2分别交双曲线于M、N两点，，，请判断λ1+λ2是否为定值，若是，求出该定值；若不是请说明理由．2015-2016学年安徽省安庆一中高二（上）期中数学试卷（理科）（实验班）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．（5分）已知椭圆与双曲线=1有相同的焦点，则a的值为（）A．B． C．4 D．10【解答】解：由题意，a2﹣4=9+3，∵a＞0，∴a=4．故选：C．2．（5分）已知命题p：若x＞y，则﹣x＜﹣y；命题q：若x＜y，则x2＞y2；在下列命题中：（1）p∧q；（2）p∨q；（3）p∧（￢q）；（4）（￢p）∨q，真命题是（）A．（1）（3）B．（1）（4）C．（2）（3）D．（2）（4）【解答】解：显然命题p是真命题，x＜y得不到x2＞y2，比如x=2，y=3时便得不到22＞32，所以命题q是假命题；∴p∧q为假命题，p∨q为真命题，￢q为真命题，p∧（￢q）为真命题，￢p 为假命题，（￢p）∨q为假命题；∴真命题是（2）（3）．故选：C．3．（5分）函数的极大值点为（）A． B．C．D．【解答】解：令f′（x）=cosx﹣=0，x∈（﹣π，π）．解得x=，列表如下：由表格可知：x=时取得极大值，∴函数f （x ）的极大值点为．故选：C ．4．（5分）命题“若对任意∀n ∈N *都有a n ＜a n +1，则数列{a n }是递增数列”的逆否命题是（ ）A ．若数列{a n }是递减数列，则对任意n ∈N *都有a n ≥a n +1B ．若数列{a n }是递减数列，则存在n ∈N *都有a n ≥a n +1C ．若数列{a n }不是递增数列，则对任意n ∈N *都有a n ≥a n +1D ．若数列{a n }不是递增数列，则存在n ∈N *都有a n ≥a n +1【解答】解：命题“若对任意∀n ∈N *都有a n ＜a n +1，则数列{a n }是递增数列”的逆否命题是：若数列{a n }不是递增数列，则存在n ∈N *都有a n ≥a n +1， 故选：D ．5．（5分）已知椭圆的左右焦点为F 1、F 2，点P 为其上动点，点Q （3，2），则|PF 1|﹣|PQ |的最大值为（ ） A ．B ．C ．D ．【解答】解：如图所示． F 1（﹣2，0），F 2（2，0）． |QF 2|==．由椭圆的定义可得：|PF1|+|PF2|=2a=6．∴|PF1|﹣|PQ|=2a﹣（|PF2|+|PQ|）≤2a﹣|QF2|=6﹣．故选：A．6．（5分）已知f（x）=3x+4，若|f（x）﹣1|＜a的必要条件是|x+1|＜b（a，b ＞0），则a，b之间的关系是（）A．B．C．D．【解答】解：由|f（x）﹣1|＜a得﹣a＜f（x）﹣1＜a，即﹣a＜3x+4﹣1＜a，即＜x＜，由|x+1|＜b得﹣1﹣b＜x＜b﹣1，∵|f（x）﹣1|＜a的必要条件是|x+1|＜b（a，b＞0），∴，即，即a≤3b，即，故选：D．7．（5分）若双曲线的渐近线与抛物线y=x2+2有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．[3，+∞）B．（3，+∞）C．（1，3]D．（1，3）【解答】解：依题意可知双曲线渐近线方程为y=±x，与抛物线方程联立消去y得x2±x+2=0∵渐近线与抛物线有交点∴△=﹣8≥0，求得b2≥8a2，∴c=≥3a∴e=≥3．则双曲线的离心率e的取值范围：e≥3．故选：A．8．（5分）设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上一点，且OG=3GG1，若=x+y+z，则（x，y，z）为（）A．（，，）B．（，，）C．（，，）D．（，，）【解答】解：∵==（+）=+•[（+）]=+[（﹣）+（﹣）]=++，而=x+y+z，∴x=，y=，z=．故选：A．9．（5分）在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且|AB|=2，|AD|=1，|CD|=2x其中x ∈（0，1），以A，B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1，以C，D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2，若对任意x∈（0，1）不等式t＜e1+e2恒成立，则t的最大值为（）A．B．C．2 D．【解答】解：在等腰梯形ABCD中，BD2=AD2+AB2﹣2AD•AB•cos∠DAB=1+4﹣2×1×2×（1﹣x）=1+4x，由双曲线的定义可得a1=，c1=1，e1=，由椭圆的定义可得a2=，c2=x，e2=，则e1+e2=+=+，令t=∈（0，﹣1），则e1+e2=（t+）在（0，﹣1）上单调递减，所以e1+e2＞×（﹣1+）=，故选：B．10．（5分）已知函数，函数，若对任意x 1∈[0，2]，总存在x2∈[0，2]，使f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围是（）A．（0，+∞）B． C．D．（0，1]【解答】解：根据所给条件，函数，在[0，2]上的值域[b，c]，≤=，当且仅当x=1时取等号；x=0时，f（0）=0，x=2时，f（2）=则有b=0且c=；函数的值域为：[0，]．则y=g（x）的值域包含[0，]函数，则g′（x）=ax2﹣a2=0，a＞0时，解得x=．当4＞a＞0时，g′（x）＞0，∴＜x≤2；g′（x）＜0，∴0≤x＜∴g（x）在[0，）上单调递减，在（，2]上单调递增显然g（）＜g（0）=0由题意可知，g（2）≥，即3a2﹣4a+1≤0，∴≤a≤1，当a≥4时，g′（x）≤0，∴g（x）在[0，2]上单调递减，g（x）≤g（0），不合题意．当a≤0时，x∈[0，2]，，不满足y=g（x）的值域包含[0，]．综上，≤a≤1．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分.11．（5分）已知函数f（x）=tanx，则f（x）在点处的线方程为2x﹣y+1﹣=0．【解答】解：f′（x）=sec2x，把x=代入得到切线的斜率k=f′（）=sec2===2，切点为（，1），则所求切线方程为y﹣1=2（x﹣），即为2x﹣y+1﹣=0．故答案为：．12．（5分）=ln5．【解答】解：=ln（x+3）|=ln5﹣ln1=ln5，故答案为：ln5．13．（5分）在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，底面ABC为直角三角形，∠BAC=，AB=AC=AA1=1．已知G与E分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点（不包括端点）．若GD⊥EF，则线段DF的长度的最小值为．【解答】解：建立直角坐标系，以A为坐标原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，则F（t1，0，0）（0＜t1＜1），，，D（0，t2，0）（0＜t2＜1）．∴，．∵GD⊥EF，∴t1+2t2=1，由此推出0＜t2＜．又，=，∴当t2=时，有．故答案为：14．（5分）已知f（x）=alnx+x2（a＞0），若对任意两个不等的正实数x1、x2都有＞2恒成立，则a的取值范围是[1，+∞）．【解答】解：∵f（x）=alnx+x2（a＞0），对任意两个不等的正实数x1、x2都有＞2恒成立，∴f′（x）=+x≥2（x＞0）恒成立，∴a≥2x﹣x2恒成立，令g（x）=2x﹣x2=﹣（x﹣1）2+1，则a≥g（x）max，∵g（x）=2x﹣x2为开口方向向下，对称轴为x=1的抛物线，∴当x=1时，g（x）=2x﹣x2取得最大值g（1）=1，∴a≥1．即a的取值范围是[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．15．（5分）以下命题：①若x≠1或y≠2，则x+y≠3；②若空间向量与空间中任一向量都不能组成空间的一组基底，则与共线；③若函数y=f（x）在x=x0处导数等于0，则该函数在该点处取得极值；④若A、B为两个定点，K为正常数，若|PA|+|PB|=K，则动点P的轨迹是椭圆；⑤已知抛物线y2=2px，以过焦点的一条弦AB为直径作圆，则此圆与准线相切；其中真命题为②⑤．（写出所有真命题的序号）【解答】解：对于①，若x≠1或y≠2，则x+y≠3的逆否命题为：若x+y=3，则x=1且y=2，为假命题，故①也为假命题；对于②，若空间向量与空间中任一向量都不能组成空间的一组基底，则与共线，故②正确；对于③，若函数y=f（x）在x=x0处导数等于0，则该函数在该点处不一定取得极值，反例y=f（x）=x3，故③错误；对于④，若A、B为两个定点，K为正常数，若|PA|+|PB|=K＞|AB|，则动点P 的轨迹是椭圆，若|PA|+|PB|=K=|AB|，则动点P的轨迹是线段，故④错误；对于⑤，已知抛物线y2=2px，以过焦点的一条弦AB为直径作圆，则圆心到准线的距离等于A，B两点到准线距离和的一半，即圆心到准线的距离等于|AB|=r，则此圆与准线相切，故⑤正确；故真命题为：②⑤，故答案为：②⑤．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）已知命题p：存在x∈（﹣∞，1）使得x2﹣4x+m=0成立，命题q：方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆．（1）若p是真命题，求实数m的取值范围；（2）若p或q是假命题，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）命题p：存在x∈（﹣∞，1）使得x2﹣4x+m=0成立，令f（x）=x2﹣4x+m，则f（1）=m﹣3＜0，解得：m＜3，故p为真时：m∈（﹣∞，3）；（2）p真：m＜3，命题q：方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆．q为真时：m2＞2m+8＞0，解得：m＞4或﹣8＜m＜﹣2，若p或q是假命题，则p假q假，，解得：3≤m≤4∴m的取值范围为：[3，4]．17．（12分）已知函数f（x）=ln（x+1）+．（1）当函数f（x）在点（0，f（0））处的切线与直线4y﹣x+1=0垂直时，求实数m的值；（2）若x≥0时，f（x）≥1恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵f′（x）=﹣，∴函数f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率k=f′（0）=1﹣m，∵函数f（x）在点（0，f（0））处的切线与直线4y﹣x+1=0垂直，∴1﹣m=﹣4，∴m=5；（2）依题意不等式ln（x+1）+≥1在x≥0时恒成立，即m≥x+1﹣（x+1）ln（x+1）在x≥0时恒成立．令g（x）=x+1﹣（x+1）ln（x+1）（x≥0），则g′（x）=1﹣[ln（x+1）+1]=﹣ln（x+1），∴x≥0时，g′（x）≤0，∴函数g（x）在[0，+∞）时为减函数，∴g（x）≤g（0）=1，∴m≥1即实数m的取值范围是[1，+∞）．18．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣3，0）、F2（3，0），直线y=kx与椭圆交于A、B两点．（1）若三角形AF1F2的周长为，求椭圆的标准方程；（2）若，且以AB为直径的圆过椭圆的右焦点，求直线y=kx斜率k的取值范围．【解答】解：（1）由题意得，得a=2，c=3．结合a2=b2+c2，解得a2=12，b2=3．椭圆的方程为；（2）由，得（b2+a2k2）x2﹣a2b2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）．∴，依题意，AF2⊥BF2，∵，，∴==0．即，将其整理为．∵，∴12≤a2＜18．∴，即k∈．19．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，△PAB和△PAD是两个边长为2的正三角形，DC=4，O为BD的中点．（1）求证：PO⊥平面ABCD；（2）若E为线段PA上一点，且，求二面角P﹣OE﹣C的余弦值．【解答】证明：（1）设F为DC的中点，连接BF，则DF=AB，∵AB⊥AD，AB=AD，AB∥DC，∴四边形ABFD为正方形，∵O为BD的中点，∴O为AF，BD的交点，∵PD=PB=2，∴PO⊥BD，∵BD===2，∴PO===，AO=，在三角形PAO中，PO2+AO2=PA2=4，∴PO⊥AO，∵AO∩BD=O，∴PO⊥平面ABCD．（2）由（Ⅰ）知PO⊥平面ABCD，又AB⊥AD，∴过O分别做AD，AB的平行线，以它们做x，y轴，以OP为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由已知得：A（﹣1，﹣1，0），B（﹣1，1，0），D（1，﹣1，0），F（1，1，0），C（1，3，0），P（0，0，），O（0，0，0），设E（a，b，c），∵，∴（a+1，b+1，c）=（），∴，解得，∴E（﹣，﹣，），=（﹣，﹣，），=（0，0，），=（1，3，0）设平面OPE的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣1，0），设平面OEC的法向量=（a，b，c），则，取a=3，得=（3，﹣1，2），设二面角P﹣OE﹣C的平面角为θ，则cosθ=|cos＜＞|===．∴二面角P﹣OE﹣C的余弦值为．20．（13分）已知函数f（x）=lnx，，F（x）=f（x）+g（x）．（1）若函数F（x）在区间[1，e]上的最小值是，求a的值；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数f（x）图象上任意不同的两点，直线AB 的斜率为k，且a=1，求证：．【解答】解：（1）f（x）=lnx，，∴F（x）=f（x）+g（x）=lnx+，x＞0，∴F′（x）=﹣=，x＞0，当F′（x）＞0时，解得x＞a，函数单调递增，当F′（x）＜0时，解得0＜x＜a，函数单调递减，∵x∈[1，e]，当0＜a≤1时，F′（x）在[1，e]上单调递增，F（x）min=F（1）=a=，不合题意，当1＜a＜e时，F′（x）在[1，a]上单调递减，在（a，e]上函数单调递增，∴F（x）min=F（a）=lna+1=，解得a=，当a≥e，F′（x）在[1，e]上单调递减，F（x）min=F（e）=1+=，解得a=，不合题意，综上所述a=，（2）∵A（x1，y1），B（x2，y2）是函数f（x）图象上任意不同的两点，设线段AB的中点（x0，y0），当a=1时，g（x）=，∴g（）=g（x0）∵f（x）=lnx，∴f′（x）=，∴g（x0）=f′（x0），∵设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数f（x）图象上任意不同的两点，∴k===不妨设x2＞x1，只要比较k与f'（x0）的大小，即比较与的大小又∵x2＞x1，∴即比较ln与=的大小．令h（x）=lnx﹣，（x≥1），则h′（x）=﹣=≥0∴h（x）在[1，+∞）上是增函数．又＞1，∴h（）＞h（1）=0，∴ln＞，∴k＞f′（x0），∴．21．（13分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，点是以F1F2为直径的圆与双曲线的一交点．（1）求双曲线的方程；（2）若P为该双曲线上任意一点，直线PF1、PF2分别交双曲线于M、N两点，，，请判断λ1+λ2是否为定值，若是，求出该定值；若不是请说明理由．【解答】解：（1）∵双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，∴F1（﹣c，0），F2（c，0）；又点是以F1F2为直径的圆与双曲线的一交点，∴⊥，即•=0，∴（﹣c﹣）（c﹣）+=0，解得c=2；∴||==+，||==﹣；∴||﹣||=2a=2，解得a=；∴b===1，∴双曲线的方程为﹣y2=1；（2）设点P（x0，y0），∵，∴﹣=λ（﹣），∴=﹣=（﹣，﹣）；同理，由，得=（，﹣）；把M、N的坐标代入双曲线方程，得，即；消去x0，得4（1+λ2）+4（1+λ1）=3（﹣1）（1+λ2）+3（﹣1）（1+λ1），即4（1+λ1）（1+λ2）（λ1+λ2+2）=3（1+λ1）（1+λ2）（λ1+λ2﹣2）；∵（1+λ1）（1+λ2）≠0，∴4（λ1+λ2+2）=3（λ1+λ2﹣2），解得λ1+λ2=﹣14；即λ1+λ2为定值．。
高二上册数学期中试卷及答案精选
高二上册数学期中试卷及答案精选学生的时代只有课本、作业、同学和试卷，单纯却美好。
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高二上册数学期中试卷及答案精选(一)一、单项选择(注释)1、在△ABC中，已知60°，如果△ABC 两组解，则x的取值范围是 ( )A.(1，2)B. (3，+∞)C.( 2，+∞)D.( 1，+∞)2、已知函数，若则实数的取值范围是 ( )A.(1，+∞)B. (1，-∞)C. (+∞，2)D.(-∞，2)3、设函数则不等式的解集是( )A.(1，2) (3，+∞)B.(1，2) (2，+∞)C. (1，2) (3，-∞)D.(1，2) (2，-∞)4、已知正数满足 , ,则的取值范围是______ .5、已知实数满足则的最大值是( )A.4B.5C. 7D.46、设f(x)= 则不等式f(x)>2的解集为( )A.(1，2) (3，+∞)B.( ，+∞)C.(1，2) ( ，+∞)D.(1，2)7、下列不等式(1)m-3>m-5;(2)5-m>3-m;(3)5m>3m ;(4)5+m>5-m其中正确的有( )(A)1个 (B)2个(C)3个 (D)4个8、已知等差数列的前项和为，，，取得最小值时的值为( )A. B. C. D.9、设等差数列的前项和为 ,若 ,则等于( )A.18B.36C.45D.6010、S={1,2,…,2003}，A是S的三元子集，满足：A中的所有元素可以组成等差数列.那么，这样的三元子集A的个数是( )A. B.C. D.11、设等差数列满足： ,则 ( )A.14B.21C.28D.3512、在中，，，分别是，，的对边，已知，，成等比数列，且，则的值为( )A. 4B.2C. 1D.5评卷人得分二、填空题(注释)13、已知 ,若恒成立,则实数的取值范围_________14、已知不等式(x+y) 对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为__________15、在△ 中，若，则△ 的形状是16、在△ABC中，已知(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6，则sinA∶sinB∶sinC=________.评卷人得分三、解答题(注释)17、设数列满足下列关系：为常数)， ;数列满足关系： .(1)求证：(2)证明数列是等差数列.18、已知集合A={x|x2<4}，B={x|1< }.(1)求集合A∩B;(2)若不等式2x2+ax+b<0的解集为B，求a、b的值.19、已知数列的各项均为正整数,且 ,设集合 .性质1 若对于 ,存在唯一一组 ( )使成立,则称数列为完备数列,当k取最大值时称数列为k阶完备数列.性质2 若记 ,且对于任意 , ,都有成立,则称数列为完整数列,当k取最大值时称数列为k阶完整数列.性质3 若数列同时具有性质1及性质2,则称此数列为完美数列,当取最大值时称为阶完美数列;(Ⅰ)若数列的通项公式为 ,求集合 ,并指出分别为几阶完备数列,几阶完整数列,几阶完美数列;(Ⅱ)若数列的通项公式为 ,求证:数列为阶完备数列,并求出集合中所有元素的和 .(Ⅲ)若数列为阶完美数列,试写出集合 ,并求数列通项公式.20、已知数列为等差数列,公差 ,其中恰为等比数列,若 , , ,⑴求等比数列的公比⑵试求数列的前n项和21、已知是各项均为正数的等比数列,且 ,;(1)求的通项公式;(2)设 ,求数列的前项和 .22、在数列中, .(1)证明数列是等比数列;(2)设是数列的前项和,求使的最小值.参考答案一、单项选择1、【答案】C2、【答案】C【解析】由题知在上是增函数，由题得，解得，故选择C。
高二上学期期中考试数学试卷含答案(共5套)
高二上学期期中考试数学试题本卷分Ⅰ（选择题）、Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中Ⅰ卷1至2页，第二卷2至4页，共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题：本题共12个小题，每小题5分1．“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．有下列四个命题：（1）“若，则，互为倒数”的逆命题；（2）“面积相等的三角形全等”的否命题；（3）“若，则有实数解”的逆否命题；（4）“若，则”的逆否命题.其中真命题为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（4）D．（1）（2）（3）3．若则为（）A．等边三角形 B．等腰直角三角形C．有一个内角为30°的直角三角形 D．有一个内角为30°的等腰三角形4．已知.若“”是真命题，则实数a的取值范围是A．(1，+∞)B．(－∞，3)C．(1，3)D．5．的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为A．B．C．D．6．已知中，，则等于（）A．B．或C．D．或7．等差数列的前项和为，若，则等于（）A．58B．54C．56D．528．已知等比数列中，，，则（）A．2B．C．D．49．已知，则z=22x+y的最小值是A．1 B．16 C．8 D．410．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（）A．B．C．D．11．当ａ＞０，关于代数式，下列说法正确的是（）A．有最小值无最大值B．有最大值无最小值C．有最小值也有最大值D．无最小值也无最大值12．在△ABC中，AB＝2，C＝，则AC＋BC的最大值为A．B．3C．4D．2第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：共4个小题，每小题5分，共20分13．命题的否定是______________．14．已知的三边长构成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长为________.15．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，当n≥2时，a n＋2S n－1＝n，则S2 017的值____ ___ 16．已知变量满足约束条件若目标函数的最小值为2，则的最小值为__________．三、解答题：共6题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
安徽省高二数学(理)上学期期中试题word版
安师大附中2015～2016学年第一学期期中考查高二数学试卷（理科）第I 卷（选择题）一、选择题（本题共12道小题，每小题3分，共36分） 1、已知ab ＜0，bc ＜0，则直线ax ＋by ＋c ＝0通过( )A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限2、抛物线y =4x 2的焦点坐标是（ ） A ．（0，1）B ．（1，0）C ．D ．3、已知直线012=-+ay x 与直线02)2(=+--ay x a 平行，则a 的值是（ ）A ．23B ．023或C ．－32D ．23-或0 4、若点(2,0)P 到双曲线221x y a b-=(0,0)a b >>的一条渐近线的距离为2线的离心率为（ ）A 23．22 D ．235、已知点)3,2(-A 、)2,3(--B ，直线l 过点)1,1(P 且与线段AB 相交，则直线l 的斜率的取值k 范围是（ ）A ．),43[]4,(+∞--∞B ．),43[]41,(+∞--∞C ．]43,4[- D ．]4,43[ 6、一条光线从点(2,3)--射出，经y 轴反射后与圆22(3)(2)1x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）A ．53-或35- B ．32-或23- C ．5-或4- D ．4-或3- 7、已知直线l ：0Ax By C ++=（A ，B 不全为0），两点111(,)P x y ，222(,)P x y 1122()()0Ax By C Ax By C++++>，且1122Ax By C Ax By C ++>++，则（ A ．直线l 与直线P 1P 2不相交 B ．直线与线段2 1的延长线相交C ．直线l 与线段P 1 P 2的延长线相交D ．直线l 与线段P 1P 2相交8、已知椭圆222125x y a +=（a ＞5）的两个焦点为F 1、F 2，且|F 1F 2|=8，弦AB 过点F 1，则△ABF 2的周长为（ ）A ． 10B ． 20C ．D ．9、F 1，F 2是椭圆22197x y +=的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2=45°，则三角形AF 1F 2的面积为（ ）A ． 7B ．C ．D ．10、过双曲线22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的左焦点F （﹣c ，0）（c ＞0），作圆2224a x y +=的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若2O P O E O F =-，则双曲线的离心率为( ) A ．B ．C ．D ．11、以下几个命题中，其中真命题．．．的序号为（ ） ①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，k =-||||，则动点P 的轨迹为双曲线； ②过定圆C 上一定点A 作圆的动弦AB ，O 为坐标原点，若1()2OP OA OB =+，则动点P 的轨迹为椭圆；③双曲线13519252222=+=-y x y x 与椭圆有相同的焦点； ④在平面内，到定点)1,2(的距离与到定直线01043=-+y x 的距离相等的点的轨迹是抛物线．A ．①④B ．②③C ．③④D ．③12、抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足23AFB π∠=，设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则||||MN AB 的最大值是（ ）A B C D ．第II 卷（非选择题）二、填空题（本题共4道小题，每小题4分，共16分）13、与直线x －y －4＝0和圆x 2＋y 2＋2x －2y ＝0都相切的半径最小的圆的方程是___________．14、直线()()47112:+=+++m y m x m l .()R m ∈恒经过定点_____________． 15、已知点P 为抛物线221x y =上的动点，点P 在x 轴上的射影为M ，点A 的坐标是)217,6(，则PM PA +的最小值是______________．16、在平面直角坐标系中，动点P (x ，y )到两条坐标轴的距离之和等于它到点(1,1)的距离，记点P 的轨迹为曲线W ，给出下列四个结论：①曲线W 关于原点对称；②曲线W 关于直线y ＝x 对称；③曲线W 与x 轴非负半轴，y 轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于21；④曲线W 上的点到原点距离的最小值为2-其中，所有正确结论的序号是________． 三、解答题（本题共5道小题，共48分）17、（本小题8分）在直角坐标系xOy 中，圆C ：222()x a y a -+=，圆心为C ，圆C 与直线1:l y x =-的一个交点的横坐标为2．（1）求圆C 的标准方程；（2）直线2l 与1l 垂直，且与圆C 交于不同两点A 、B ，若2ABC S ∆=，求直线2l 的方程．18、（本小题8分）已知圆C 的方程为0622=+-++m y x y x ，直线032:=-+y x l . （1）求m 的取值范围；（2）若圆C 与直线l 交于P 、Q 两点，且以PQ 为直径的圆恰过坐标原点，求实数m 的值．19、（本小题10分）已知椭圆C:2222b y a x +=1(0a b >>)的离心率为36,短轴一个端点到右焦点的距离为3. (1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为23，求△AOB 面积的最大值.20、（本小题10分）给定直线m ：y =2x －16,抛物线C ：y 2=ax (a >0). （1）当抛物线C 的焦点在直线m 上时，确定抛物线C 的方程；（2）若△ABC 的三个顶点都在(1)所确定的抛物线C 上，且点A 的纵坐标y =8，△ABC 的重心恰在抛物线C 的焦点上，求直线BC 的方程．21、（本小题12分）设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为A ，过点A 与AF 2垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ，且12220F F F Q +=．（1）求椭圆C 的离心率；（2）若过A 、Q 、F 2三点的圆恰好与直线:30l x -=相切，求椭圆C 的方程；（3）在（2）的条件下，过右焦点F 2作斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，在x 轴上是否存在点P （m ，0）使得以PM ，PN 为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m 的取值范围，如果不存在，说明理由．安徽师范大学附属中学2015～2016学年第一学期期中考查高二数学试卷（理科）参考答案一、选择题：A C AAA D C D C C DB 二、填空题：13、(x －1)2＋(y ＋1)2＝2 14、（3,1） 15、21916、②③④ 三、解答题：17、【解析】解:（1）由 圆C 与直线1:l y x =-的一个交点的横坐标为2，可知交点坐标为（2，-2）∴222(2)(2)a a -+-=解得2a =所以圆的标准方程为22(2)4x y -+=……………………………………………………（4分） （2）由（1）可知圆C 的圆心C 的坐标为（2，0） 由直线2l 与直线1l垂直， 直线1:l y x =-可设直线2l:y x m =+ 法一：设1122(,),(,)A x y B x y联立方程22(2)4{x y y x m-+==+，消去y 可得222(24)0x m x m +-+=解得12x x ==2440m m --+≥∴12|x x -=圆心C 到AB 的距离d =所以1||2ABCS AB d ∆=⋅=212122,2m x x m x x +=-=令2(2)t m =+，化简可得22216322(4)0t t t -+-=--=， 解得2(2)4t m =+=，所以04m m ==-或 ∴直线2l的方程为y x =或4y x =- 法二：圆心C到AB 的距离d =||AB ==所以1||2ABC S AB d ∆=⋅=令2(2)t m =+，化简可得22216322(4)0t t t -+-=--=， 解得2(2)4m t +==，所以04m m ==-或∴直线2l 的方程为y x =或4y x =-……………………………………………………（8分）18、【解析】（1）437<m ；……………………………………………………（4分） （2）由⎩⎨⎧=-+=+-++0320622y x m y x y x 122052++-⇒m y y 又OQ OP ⊥，所以02121=+y y x x ，而2121214)(69y y y y x x ++-=所以305125274=⇒=++-m m m ，这时0>∆，3=m ………………………………………………（8分）19、【解析】（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意c aa ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴1b =，∴ 所求椭圆方程为2213x y +=．……………………………………………………（4分）（Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，． （1）当AB x⊥轴时，AB =（2）当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y kx m =+．=223(1)4m k =+．把y kx m =+代入椭圆方程，整理得222(31)6330k x kmx m +++-=，122631km x x k -∴+=+，21223(1)31m x x k -=+． 22221(1)()AB k x x ∴=+-22222223612(1)(1)(31)31k m m k k k ⎡⎤-=+-⎢⎥++⎣⎦22222222212(1)(31)3(1)(91)(31)(31)k k m k k k k ++-++==++ 2422212121233(0)34196123696k k k k k k=+=+≠≤+=++⨯+++． 当且仅当2219k k =，即3k =±时等号成立．当0k =时，AB =，综上所述m a x 2AB =．当k =时，AB 取得最大值，AOB △面积也取得最大值max 1S AB =⨯=．……………………………………………………（10分） 02知20(,),(,)F A c b AQ x b =-=-∵2,F A AQ ⊥，∴22000,b cx b x c--==-，由于12220F F F Q +=,即F 1为F 2Q 中点．故22bc c c -+=-∴b 2=3c 2=a 2﹣c 2， 故椭圆的离心率12e =. ……………………………………………………（4分）（2）由（1）知12c a =，得12c a =. 于是21(,0)2F a ，3(,0)2Q a -,△AQF 的外接圆圆心为1(,0)2a -，半径r=|FQ|=a所以，解得a=2，∴c=1，b=，所求椭圆方程为. ……………………………………………………（8分）（3）由（Ⅱ）知F2（1，0）l：y=k（x﹣1）代入得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0设M（x1，y1），N（x2，y2）则，y1+y2=k（x1+x2﹣2），（8分）=（x1+x2﹣2m，y1+y2）由于菱形对角线垂直，则故k（y1+y2）+x1+x2﹣2m=0则k2（x1+x2﹣2）+x1+x2﹣2m=0k2由已知条件知k≠0且k∈R∴∴故存在满足题意的点P且m的取值范围是．……………………………………………………（12分）。
安徽省安庆一中高二数学上学期期中试卷(实验班,含解析)
安徽省安庆一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（实验班）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）已知集合，则A∩B=（）A．∅B．C．{x|x＜1} D．2．（3分）已知=1﹣yi，其中x，y是实数，i是虚数单位，则复数x+yi的共轭复数对应的点位于为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（3分）在梯形ABCD中，AD∥BC，m是空间直线，则“m⊥AB，m⊥CD”是“m⊥AD，m⊥BC”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要4．（3分）已知函数f（x）的导数为f′（x），且满足关系式f（x）=2x3+x2f'（1）+lnx，则f′（2）的值等于（）A．B．C．﹣7 D．75．（3分）双曲线的离心率为，一条渐近线的倾斜角为α，m=|tanα|，当取得最小值时，双曲线的焦距为（）A．B．C．D．6．（3分）已知实数x，y满足，则z=﹣x2﹣y的最小值是（）A．﹣8 B．﹣2 C．﹣1 D．07．（3分）将函数的图象向左平移个单位后，得到函数y=sin（2x+φ）的图象，则函数y=sin（2x+φ）的一个对称中心为（）A．B．C．D．8．（3分）如图，是一个几何体的正视图（主视图）、侧视图（左视图）、俯视图，正视图（主视图）、侧视图（左视图）都是矩形，则该几何体的体积是（）A．24 B．12 C．8 D．49．（3分）△ABC是边长为2的等边三角形，D是以A为圆心，半径为1的圆上任意一点，如图所示，则的最大值是（）A．B．C．D．10．（3分）马航MH370航班失联事件发生后，多国海军在相关海域展开了搜索救援行动．某日中国将5艘不同的军舰分配到A、B、C三个搜索海域中，每个海域至少安排1艘军舰，其中甲军舰不能分配到A海域，则不同的分配方案种数是（）A．80 B．100 C．132 D．150二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置. 11．（4分）的展开式中只有第3项的二项式系数最大，则它的x﹣3项的系数是．12．（4分）已知程序框图，则输出的i=．13．（4分）若等差数列{a n}满足a1+2014a2014=2013a2013，O为坐标原点，点P（1，a1），Q，则=．14．（4分）定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则关于x的函数g（x）=f（x）+a（0＜a＜2）的所有零点之和为．（用含a的式子表达）15．（4分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，MN是它的内切球的一条弦（把球面上任意两点之间的连线段称为球的弦），P为正方体表面上的动点．给出下列命题：①弦MN的长的取值范围是；②内切球的体积为；③直线PM与PN所成角的范围是；④当PN是内切球的一条切线时，PN的最大值是；⑤线段PN的最大值是．其中正确的命题是（把所有正确命题的序号都填上）三、解答题：本大题共6小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.16．（7分）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边依次是a，b，c，且A=30°，a=1．（Ⅰ）若B=45°，求b的大小；（Ⅱ）若sinC=sin（B﹣A），求△ABC的面积．17．（8分）2013年6月13 日，阿里巴巴推出“余额宝”理财产品，2014年1月22日，腾讯推出的理财产品“微信理财通”（简称“理财通”）正式上线．某人准备将10万元资金投入理财产品，现有“余额宝”，“理财通”两个产品可供选择：（1）投资“余额宝”产品一年后获得的利润X1（万元）的概率分布列如下表所示：X10.6 0.65 0.7P a 0.6 b且X1的数学期望E（X1）=0.65；（2）投资“理财通”产品一年后获得的利润X2（万元）的概率分布列如下表所示：X20.65 0.7 0.75P p 0.6 q（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）假设该人在“理财通”正式推出之前已经选择投资了“余额宝”产品，现在，他决定：只有当满足E（X1）≤E（X2）﹣0.05时，它才会更换选择投资“理财通”产品，否则还是选择“余额宝”产品，试根据p的取值探讨该人应该选择何产品？18．（8分）已知数列{a n}与{b n}满足b n=2an（n∈N*），数列{b n}是等比数列，且b1+b5=68，a2+a4=8．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}是递增数列，设c n=a n+b n，求数列{c n}的前n项和S n．19．（9分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为菱形，△PAD为正三角形，且E，F分别为AD，AB的中点，PE⊥平面ABCD，BE⊥平面PAD．（Ⅰ）求证：BC⊥平面PEB；（Ⅱ）求EF与平面PDC所成角的正弦值．20．（9分）已知函数f（x）=2x﹣lnx﹣m，g（x）=mx﹣1（m∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x﹣y=0，求实数m的值；（Ⅱ）若直线y=﹣1与函数f（x）=2x﹣lnx﹣m的图象无公共点，求实数m的取值范围．21．（9分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的上、下顶点分别为A1A2，左、右顶点分别为B1，B2为坐标原点，若直线A1B2的斜率为﹣，△A1OB2的斜边上的中线长为．（1）求椭圆C的方程；（2）P是椭圆C上异于A1，A2，B1，B2的任一点，直线PA1，PA2分别交x轴于点N，M，若直线OT与过点M，N的圆G相切，切点为T．证明：线段OT的长为定值，并求出该定值．安徽省安庆一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（实验班）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）已知集合，则A∩B=（）A．∅B．C．{x|x＜1} D．考点：对数函数的单调性与特殊点；指数函数的单调性与特殊点．专题：函数的性质及应用．分析：由条件根据对数函数的单调性和特殊点，解对数不等式求得A、B，可得A∩B．解答：解：由于集合A={x|lnx＜0}={x|0＜x＜1}，B={x|2x＜= }={x|x＜}，则A∩B={x|0＜x＜}，故选：D．点评：本题主要考查对数不等式的解法，对数函数的单调性和特殊点，两个集合的交集的定义，属于基础题．2．（3分）已知=1﹣yi，其中x，y是实数，i是虚数单位，则复数x+yi的共轭复数对应的点位于为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的基本概念．专题：数系的扩充和复数．分析：变形由复数相等可得x和y的值，进而可得其共轭复数，可得对应点所在的象限．解答：解：∵=1﹣yi，其中x，y是实数，i是虚数单位，∴x=（1+i）（1﹣yi）=1+y+（1﹣y）i，∴由复数相等可得，解得，∴复数x+yi的共轭复数为2﹣i，∴对应的点为（2，﹣1），在第四象限．故选：D点评：本题考查复数的基本概念，涉及复数相等和共轭复数，属基础题．3．（3分）在梯形ABCD中，AD∥BC，m是空间直线，则“m⊥AB，m⊥CD”是“m⊥AD，m⊥BC”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据线面垂直的判定，性质，充分必要条件的定义判定．解答：解：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，∴AD∩BC，∵m是空间直线，m⊥AB，m⊥CD，∴m⊥平面ABCD，∵AD，BC在平面ABCD内，∴m⊥AD，m⊥BC，而m⊥AD，m⊥BC时，不一定有m⊥平面ABCD成立．∴m⊥AB，m⊥CD不一定成立．根据充分必要条件的定义可判断：“m⊥AB，m⊥CD”是“m⊥AD，m⊥BC”的充分不必要条件．故选：A点评：本题考查了线面垂直的判定，性质，充分必要条件的定义，属于容易题．4．（3分）已知函数f（x）的导数为f′（x），且满足关系式f（x）=2x3+x2f'（1）+lnx，则f′（2）的值等于（）A．B．C．﹣7 D．7考点：导数的加法与减法法则．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：由f′（x）=6x2+2xf′（1）+可得f′（1）=6+2f′（1）+1，从而求出f′（1），代入求f′（2）．解答：解：由题意，f′（x）=6x2+2xf′（1）+，则f′（1）=6+2f′（1）+1，则f′（1）=﹣7；故f′（2）=24+2×2×（﹣7）+=﹣，故选A．点评：本题考查了导数的运算，属于基础题．5．（3分）双曲线的离心率为，一条渐近线的倾斜角为α，m=|tanα|，当取得最小值时，双曲线的焦距为（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由双曲线的离心率为，可得=2，进而=4a+≥2=4，即可得出结论．解答：解：∵双曲线的离心率为，∴1+=5，∴=2，∵一条渐近线的倾斜角为α，m=|tanα|，∴m=2，∴=4a+≥2=4，当且仅当4a=，即a=时，取得最小值，∴c=，∴2c=．故选：C．点评：本题考查双曲线的简单性质，考查基本不等式的运用，属于中档题．6．（3分）已知实数x，y满足，则z=﹣x2﹣y的最小值是（）A．﹣8 B．﹣2 C．﹣1 D．0考点：简单线性规划的应用．专题：函数的性质及应用．分析：先画出满足条件的平面区域，结合图象，从而求出z的最小值．解答：解：画出满足条件的平面区域，如图示：，联立，解得：，由z=﹣x2﹣y得：y=﹣x2﹣z，∴当y=﹣x2﹣z过点（﹣2，4）时，﹣z取到最大值，z取到最小值，将（﹣2，4）代入得：z=﹣8，故选：A．点评：本题考查了线性规划问题，考查了数形结合思想，是一道中档题．7．（3分）将函数的图象向左平移个单位后，得到函数y=sin（2x+φ）的图象，则函数y=sin（2x+φ）的一个对称中心为（）A．B．C．D．考点：余弦函数的对称性．专题：三角函数的图像与性质．分析：由题意得y=sin（）=sin（2x+φ），可解得函数y=sin（2x+φ）的解析式为y=sin（2x﹣），从而可求其对称中心．解答：解：由题意得的图象向左平移个单位后，得到函数y=cos=sin（）=sin（2x+φ），故可解得：ω=2，φ=﹣，故函数y=sin（2x+φ）的解析式为y=sin（2x﹣），由2x﹣=kπ，即x=+，即函数的对称中心为（+，0），k∈Z，当k=0时有函数的对称中心为（，0），故选：B．点评：本题主要考查了余弦函数的对称性，属于基础题．8．（3分）如图，是一个几何体的正视图（主视图）、侧视图（左视图）、俯视图，正视图（主视图）、侧视图（左视图）都是矩形，则该几何体的体积是（）A．24 B．12 C．8 D．4考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由三视图可知该几何体是由两个并排全等的直三棱柱组成如图所示的几何体，再根据数据即可计算出答案．解答：解：由三视图可知该几何体是由两个并排全等的直三棱柱组成如图所示的几何体；∴V=．故选B．点评：由三视图正确恢复原几何体是解决问题的关键．9．（3分）△ABC是边长为2的等边三角形，D是以A为圆心，半径为1的圆上任意一点，如图所示，则的最大值是（）A．B．C．D．考点：向量在几何中的应用．专题：计算题；平面向量及应用．分析：由题意，建立平面直角坐标系，设出点的坐标，从而求最大值．解答：解：如图建立平面直角坐标系，A（0，0），D（cosa，sina），B（﹣1，﹣），C（1，﹣）；则=（cosa+1，sina+）•（cosa﹣1，sina+）=cos2a﹣1+（sina+）2=2sina+3，故当sina=1时有最大值，即的最大值是2+3．故选D．点评：本题考查了平面向量的应用及学生的作图能力，属于中档题．10．（3分）马航MH370航班失联事件发生后，多国海军在相关海域展开了搜索救援行动．某日中国将5艘不同的军舰分配到A、B、C三个搜索海域中，每个海域至少安排1艘军舰，其中甲军舰不能分配到A海域，则不同的分配方案种数是（）A．80 B．100 C．132 D．150考点：排列、组合及简单计数问题．专题：排列组合．分析：先不考虑甲军舰的问题，按要求进行排列组合，再根据甲进A、B、C三个海域的概率一样，继而求出甲军舰不能分配到A海域，则不同的分配方案种数解答：解：A海域1艘；B中1、2、3艘；则C中分别为3、2、1艘．因而不看甲军舰不能分配到A海域时，共有C51（C41+C42+C43）+C52（C31+C32）+C53•C21=150种甲进A、B、C三个海域的概率一样，甲军舰不能分配到A海域，因而不同的分配方案有×150=100种．故选：B点评：本题主要考查了排列组合的问题，关键是分类的思想，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置. 11．（4分）的展开式中只有第3项的二项式系数最大，则它的x﹣3项的系数是24．考点：二项式定理的应用．专题：计算题；二项式定理．分析：由二项式系数的性质，可得n为偶数，即有+1=3，解得n=4，求出的展开式的通项公式，化简整理，再令x的指数为﹣3，即可得到所求的系数．解答：解：由二项式系数的性质，可得n为偶数，且有中间项的二项式系数最大，即有+1=3，解得，n=4，则的展开式的通项公式T r+1==，令=﹣3，解得，r=2．则它的x﹣3项的系数是=24，故答案为：24点评：本题考查二项式系数的性质和二项式展开式的通项及运用，考查运算能力，属于中档题．12．（4分）已知程序框图，则输出的i=9．考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：执行程序框图，写出每次循环得到的S，i的值，当满足S≥100时，退出执行循环体，输出i的值为9．解答：解：S=1，i=3不满足S≥100，执行循环体，S=3，i=5不满足S≥100，执行循环体，S=15，i=7不满足S≥100，执行循环体，S=105，i=9满足S≥100，退出执行循环体，输出i的值为9．故答案为：9．点评：本题考察程序框图和算法，属于基础题．13．（4分）若等差数列{a n}满足a1+2014a2014=2013a2013，O为坐标原点，点P（1，a1），Q，则=2014．考点：数列与向量的综合．专题：计算题；等差数列与等比数列；平面向量及应用．分析：由题意，设等差数列{a n}的公差为d，则由a1+2014a2014=2013a2013可推出a1+2013d=0，求出=（1，a1），=，=2014+a1•a2014．解答：解：设等差数列{a n}的公差为d，则a1+2014a2014=2013a2013可化为a1+2014（a1+2013d）=2013（a1+2012d），即a1+2013d=0，则=（1，a1），=，=2014+a1•a2014=2014+a1•（a1+2013d）=2014，故答案为：2014．点评：本题考查了等差数列的定义及平面向量的坐标运算，属于中档题．14．（4分）定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则关于x的函数g（x）=f（x）+a（0＜a＜2）的所有零点之和为1﹣2a．（用含a的式子表达）考点：函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：当x≥0时，f（x）=，f（x）=（x＜0），画出图象求解．解答：解：∵在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，∴f（x）=（x＜0），画图象如下：∵关于x的函数g（x）=f（x）+a（0＜a＜2）的所有零点之和为x1，x2，x3，x4，x5，∴x1+x2+x3+x4+x5=﹣10+（﹣log2（1﹣x3））+10=﹣a，即1﹣x=2a，故x=1﹣2a，故答案为：1﹣2a，点评：本题考查了函数的图象的运用，属于难题，根据对称性求解．15．（4分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，MN是它的内切球的一条弦（把球面上任意两点之间的连线段称为球的弦），P为正方体表面上的动点．给出下列命题：①弦MN的长的取值范围是；②内切球的体积为；③直线PM与PN所成角的范围是；④当PN是内切球的一条切线时，PN的最大值是；⑤线段PN的最大值是．其中正确的命题是②⑤（把所有正确命题的序号都填上）考点：命题的真假判断与应用．专题：空间位置关系与距离．分析：根据MN的最大值为球直径，即|MN|≤2可判断①；由内切球的直径为2，求出球的体积，可判断②；根据直线PM与PN所成角最小为0，可判断③；根据PN是内切球的一条切线时，PN的最大值是，可判断④；根据线段PN的最大值是可判断⑤解答：解：∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，MN是它的内切球的一条弦，故MN的最大值为球直径，即|MN|≤2，即弦MN的长的取值范围是（0，2]，故①错误；内切球的直径为2，半径为2，体积为，故②正确；直线PM与PN所成角的范围是，故③错误；当PN是内切球的一条切线时，PN的最大值是，此时P为正方体的一个顶点，N为内切球与正方体的切点；故④错误；线段PN的最大值是．此时P为正方体的一个顶点，N为体对角线与球的交点，故⑤正确；故答案为：②⑤点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了正方体的内切球及其相关的距离，夹角，体积等问题，难度中档．三、解答题：本大题共6小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.16．（7分）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边依次是a，b，c，且A=30°，a=1．（Ⅰ）若B=45°，求b的大小；（Ⅱ）若sinC=sin（B﹣A），求△ABC的面积．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）由正弦定理列出关系式，把sinA，sinB以及a的值代入求出b的值即可；（Ⅱ）已知等式左边利用诱导公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后求出cosB=0，确定出B为直角，利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出b的值，再利用勾股定理求出c的值，即可确定出三角形ABC面积．解答：解：（Ⅰ）由正弦定理得=，即=，解得：b==；（Ⅱ）∵sinC=sin（B﹣A），∴sin（A+B）=sin（B﹣A），∴sinAcosB+cosAsinB=sinBcosA﹣cosBsinA．整理得：sinAcosB=0，∵sinA≠0，∴cosB=0，∴B=90°，∵A=30°，a=1，∴b=2a=2，c==，则△ABC的面积S=ac=．点评：此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．17．（8分）2013年6月13 日，阿里巴巴推出“余额宝”理财产品，2014年1月22日，腾讯推出的理财产品“微信理财通”（简称“理财通”）正式上线．某人准备将10万元资金投入理财产品，现有“余额宝”，“理财通”两个产品可供选择：（1）投资“余额宝”产品一年后获得的利润X1（万元）的概率分布列如下表所示：X10.6 0.65 0.7P a 0.6 b且X1的数学期望E（X1）=0.65；（2）投资“理财通”产品一年后获得的利润X2（万元）的概率分布列如下表所示：X20.65 0.7 0.75P p 0.6 q（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）假设该人在“理财通”正式推出之前已经选择投资了“余额宝”产品，现在，他决定：只有当满足E（X1）≤E（X2）﹣0.05时，它才会更换选择投资“理财通”产品，否则还是选择“余额宝”产品，试根据p的取值探讨该人应该选择何产品？考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）由概率和为1及数学期望公式可得，解出即可；（II）E（X2）=0.65p+0.7×0.6+0.75q，p+q+0.6=1，可得E（X2）=0.72﹣0.1p，令E（X1）≤E（X2）﹣0.05，解得p≤0.2．可得当0≤p≤0.2时，该人应该选择“理财通”产品；当0.2＜p≤0.4时，该人应该选择“余额宝”产品．解答：解：（Ⅰ）由概率和为1及数学期望公式可得，解得．（Ⅱ）E（X2）=0.65p+0.7×0.6+0.75q=0.65p+0.42+0.75（1﹣p﹣0.6）=0.72﹣0.1p，令E（X1）≤E（X2）﹣0.05，得0.65≤0.72﹣0.1p﹣0.05．解得p≤0.2．故当0≤p≤0.2时，满足E（X1）≤E（X2）﹣0.05，该人应该选择“理财通”产品；当0.2＜p≤0.4时，不满足E（X1）≤E（X2）﹣0.05，该人应该选择“余额宝”产品．点评：本题考查了概率的性质、数学期望的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18．（8分）已知数列{a n}与{b n}满足b n=2an（n∈N*），数列{b n}是等比数列，且b1+b5=68，a2+a4=8．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}是递增数列，设c n=a n+b n，求数列{c n}的前n项和S n．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由等差数列和等比数列的性质结合已知得到b1，b5的值，进一步得到a1，a5的值，然后求出等差数列的公差，则数列{a n}的通项公式可求；（Ⅱ）由数列{b n}是递增数列得到其通项公式，然后分别利用等差数列和等比数列的前n项和求得数列{c n}的前n项和S n．解答：解：（Ⅰ）∵a2+a4=8，∴．又数列{b n}是等比数列，∴b1b5=b2b4=256．又已知b1+b5=68，故b1，b5是一元二次方程x2﹣68x+256=0的两根．则或易知数列{a n}是等差数列，当时，，则数列{a n}的公差．故a n=a1+（n﹣1）d=2+（n﹣1）×1=n+1；当时，，则数列{a n}的公差．故a n=a1+（n﹣1）d=6+（n﹣1）×（﹣1）=7﹣n．综上，数列{a n}的通项公式为a n=n+1或a n=7﹣n；（Ⅱ）若数列{b n}是递增数列，由（Ⅰ）得a n=n+1，．∴．∴S n=（a1+b1）+（a2+b2）+…+（a n+b n）=（a1+a2+…+a n）+（b1+b2+…+b n）=+（22+23+…+2n+1）==．点评：本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了等差数列和等比数列的前n项和，是中档题．19．（9分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为菱形，△PAD为正三角形，且E，F分别为AD，AB的中点，PE⊥平面ABCD，BE⊥平面PAD．（Ⅰ）求证：BC⊥平面PEB；（Ⅱ）求EF与平面PDC所成角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）证明：AD⊥平面PEB，利用四边形ABCD为菱形，可得AD∥BC，即可证明BC⊥平面PEB；（Ⅱ）以E为原点，建立坐标系，求出平面PDC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求EF与平面PDC所成角的正弦值．解答：（Ⅰ）证明：∵PE⊥平面ABCD，BE⊥平面PAD，∴PE⊥AD，BE⊥AD，∵PE∩BE=E，∴AD⊥平面PEB，∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC，∴BC⊥平面PEB；（Ⅱ）解：以E为原点，建立如图所示的坐标系，则不妨设菱形ABCD的边长为2，则．则点.．设平面PDC的法向量为=（x，y，z）．则由解得不妨令z=1，得=（﹣，﹣1，1），又，所以EF与平面PDC所成角的正弦值为||=．…（9分）点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及线面角及其度量，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．20．（9分）已知函数f（x）=2x﹣lnx﹣m，g（x）=mx﹣1（m∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x﹣y=0，求实数m的值；（Ⅱ）若直线y=﹣1与函数f（x）=2x﹣lnx﹣m的图象无公共点，求实数m的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出原函数的导函数，得到f'（1），再求出f（1），代入直线方程的点斜式得答案；（Ⅱ）求出原函数的定义域，利用导数求其最小值，由其最小值大于﹣1 求得m的取值范围．解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=2x﹣lnx﹣m，∴，∴f'（1）=1．∵f（1）=2﹣m，故函数f（x）在点（1，f（1））的切线方程为y﹣（2﹣m）=x﹣1，即x﹣y+1﹣m=0．又已知切线方程为x﹣y=0，∴1﹣m=0，解得m=1；（Ⅱ）函数f（x）的定义域是（0，+∞）．令f'（x）＞0，得，故函数f（x）在上单调递增；令f'（x）＜0，得；故函数f（x）在上单调递减，故函数f（x）在处取得最小值．即．故函数f（x）的取值范围是[1+ln2﹣m，+∞）．若直线y=﹣1与函数f（x）=2x﹣lnx﹣m的图象无公共点，则1+ln2﹣m＞﹣1，解得m＜2+ln2．故实数m的取值范围是（﹣∞，2+ln2）．点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，考查了利用导数求函数的最值，体现了数学转化思想方法，是中档题．21．（9分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的上、下顶点分别为A1A2，左、右顶点分别为B1，B2为坐标原点，若直线A1B2的斜率为﹣，△A1OB2的斜边上的中线长为．（1）求椭圆C的方程；（2）P是椭圆C上异于A1，A2，B1，B2的任一点，直线PA1，PA2分别交x轴于点N，M，若直线OT与过点M，N的圆G相切，切点为T．证明：线段OT的长为定值，并求出该定值．考点：圆与圆锥曲线的综合；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）利用直线A1B2的斜率为，得到已改方程，利用△A1OB2的斜边上的中线长为，得到另一个方程，求出a，b．即可求椭圆C的方程．（2）由（1）可知，A1，A2．设点P（x0，y0），表示出N，M的坐标，设圆G的圆心为，设圆G的半径为r，通过点在圆上，推出．然后求出|OT|的表达式，利用点P（x0，y0）在椭圆上，化简即可求出|OT|的值．解答：解：（1）因为直线A1B2的斜率为，所以．①因为△A1OB2的斜边上的中线长为，且△A1OB2是直角三角形，又直角三角形斜边上的中线长等于斜边的一半，所以．②由①②，解得a=2，b=1．故所求椭圆C的方程为．…（3分）（2）由（1）可知，A1（0，1），A2（0，﹣1）．设点P（x0，y0），则直线，令y=0，得；直线，令y=0，得；设圆G的圆心为，设圆G的半径为r，则..又点P（x0，y0）在椭圆上，则．所以．则．即|OT|2=4．所以|OT|=2．即线段OT的长度为定值2．…（9分）点评：本题考查椭圆方程的求法，圆与椭圆的综合应用，直线与圆、椭圆的位置关系，运算量大，容易出错．21。
2018-2019学年安徽省安庆二中高二上学期期中考试数学试题 Word版
安庆二中2018-2019学年度第一学期期中考试高二数学试题满分：150分时间：120分钟命题: 余永安审题：沈锐一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将答案填写在答题卡上.）1、有五组变量:①汽车的重量和汽车每消耗l升汽油所行驶的平均路程；②平均日学习时间和平均学习成绩；③某人每日吸烟量和其身体健康情况；④正方形的边长和面积；⑤汽车的重量和百公里耗油量；其中两个变量成正相关的是（）A. ①③B. ②④C. ②⑤D. ④⑤考点：变量间的相关关系，两个变量的线性相关分析：①汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程是负相关的关系；②平均日学习时间和平均学习成绩的关系是一个正相关；③某人每日吸烟量和其身体健康情况是负相关的关系；④正方形的边长和面积的倒数的关系是函数关系；⑤汽车的重量和百公里耗油量是正相关的；解答：①汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程是负相关的关系；②平均日学习时间和平均学习成绩的关系是一个正相关；③某人每日吸烟量和其身体健康情况是负相关的关系；④正方形的边长和面积的倒数的关系是函数关系；⑤汽车的重量和百公里耗油量是正相关的。
故两个变量成正相关的是②⑤.故选C.2、已知圆C:x2+y2−2x−4y−4=0,则其圆心坐标与半径分别为( )A. (1,2)，r=2B. (−1,−2)，r=2C. (1,2)，r=3D. (−1,−2)，r=3考点：圆的一般方程化运动一般方程为标准方程，即可得到圆心与半径．解答：圆C:x2+y2−2x−4y−4=0,的标准方程为：(x−1)2+(y−2)2=9，则其圆心坐标与半径分别为：(1,2)半径为：3.故选：C.3、一箱产品中有正品4件，次品2件，从中任取2件，事件：①恰有1件次品和恰有2件次品；②至少有1件次品和全是次品；③至少有1件正品和至少1件次品；④至少有1件次品和全是正品.其中互斥事件为( )A. ①③④B. ①②C.②③④D.①④考点：互斥事件与对立事件分析：利用互斥事件定义直接求解．解答：由一箱产品中有正品4件，次品2件，从中任取2件，事件：在①中，恰有1件次品和恰有2件次品不能同时发生，是互斥事件；在②中，至少有1件次品和全是次品能同时发生，不是互斥事件；在③中，至少有1件正品和至少1件次品能同时发生，不是互斥事件；在④中，至少有1件次品和全是正品不能同时发生，是互斥事件.故①④.故选：B.4、若直线l1//l2，且l1的倾斜角为45°，l2过点（4，6），则l2还过下列各点中的（）A.（1，8）B.（-2，0）C.（9，2）D.（0，-8）考点：倾斜角,斜率分析：因为直线l1//l2，且l1//l2的倾斜角为45°，所以l1//l2的斜率为1，将四个选项与（4，6）运算，计算其斜率，只有B中与（4，6）斜率为1.B5、“双色球”彩票中有33个红色球,每个球的编号分别为01,02,…,33.一位彩民用随机数表法选取6个号码作为6个红色球的编号,选取方法是从下面的随机数表中第1行第6列的数开始,从左向右读数,则依次选出来的第3个红色球的编号为( )49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 6457 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76A. 21B. 26C. 09D. 20考点：系统抽样方法分析：根据随机数表法，依次进行选择即可得到结论．从随机数表第1行的第6列的数字3开始，按两位数连续向右读编号小于等于33的号码依次为21，32，09，16，17，02；所以第3个红球的编号为09.故选：C.6、已知直线l过点(0,3),且与直线x−y−1=0垂直,则l的方程是( )A. x+y−2=0B. x−y+2=0C. x+y−3=0D. x−y+3=0考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系分析：设与直线x-y-1=0垂直的直线l的方程是x+y+m=0，把点（0，3）代入解得m．解答：设与直线x−y−1=0垂直的直线l的方程是x+y+m=0，把点(0,3)代入可得：0+3+m=0，解得m=−3.∴直线l的方程为：x+y−3=0.故选：C.由题意设角三角形中较小的直角边是1，则较大的直角边是3，则大正方形的面积是10，故小正方形的面积是4，故选：D.8、运行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为-21，则判断框中可以填（ ）A.?64<aB. ?64≤aC. ?128<aD. ?128≤a考点：程序框图分析：根据输出结果倒推判断条件.解答：运行程序如下：64,2132168421,32,8421,8,421,4,21,2,1,0,1=-=-+-+-=-=-+-=-=+-==-=-====a S a S a S a S a S S a 根据题意，应为?64<a综上所述，答案选择：A∴圆(x+1)2+(y+2)2=8上与直线x+y+1=0相交,且圆(x+1)2+(y+2)2=8上与直线x+y+1=0的距离的点共有3个故选A.根据题意，由题目所给的统计图可知：30个得分中,按大小排序,中间的两个得分为5、6,故中位数m e=5.5，得分为5的最多,故众数m0=5，故选：D.令函数2)10(36--=x y 的图象表示圆心在(10,0)，半径为6的上半圆圆上点到原点的最短距离为4，最大距离为16，若存在三点成等比数列,则最大的公比q 应有16=4q 2,即q 2=4，q=2，故选C.二、填空题：本大题共4小题，考生作答4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卷上.x2+y2=50,①;x2+y2−12x−6y+40=0②；②−①得：2x+y−15=0为公共弦所在直线的方程，15、某厂家为了了解一款产品的质量，随机抽取100名女性使用者，对该款产品进行评分，画出所示的频率直方图.观察图形的信息，估计100名女性使用者评分的平均分为________.最小二乘估计分别为：x b y ax x y yx x x n x xyn yx bni ini iin i i ni ii ˆˆ,)())((ˆ1211221-=---=--=∑∑∑∑====22、（本小题满分12分）已知圆M经过第一象限,与y轴相切于点O(0,0),且圆M上的点到x 轴的最大距离为2,过点P(0,−1)作直线l.(1)求圆M的标准方程；(2)当直线l与圆M相切时，求直线l的方程；(3)当直线l与圆M相交于A. B两点,且满足向量PA=λPB,λ∈[2,+∞)时，求|AB|的取值范围.。
安徽省安庆市第一中学高二下学期期中考试数学(文)试题
安庆一中2015—2016学年度第二学期高二年级数学（文科）期中考试试卷（卷面总分150分，考试时间120分钟）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的， 把正确答案的代号填在括号内.） 1．设z ＝i (i 是虚数单位)，则2z＋z 2＝( )A ．－1+2iB ．－1－2iC ．1－2iD ．1＋2i2．在线性回归模型中，下列说法正确的是（ ）A ．是一次函数B ．因变量y 是由自变量x 唯一确定的C ．因变量y 除了受自变量x 的影响外，可能还受到其它因素的影响，这些因素会导致随机误差e 的产生D ．随机误差e 是由于计算不准确造成的，可以通过精确计算避免随机误差e 的产生3．如图是一商场某一个时间制订销售计划时的局部结构图，则直接影响“计划” 的要素有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4. 有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为（ ）A ．推理形式错误B ．大前提错误C ．小前提错误D ．非以上错误5．极坐标方程为(1)()0(0)ρθπρ--=≥表示的图形是 ( )A ．两个圆B ．两条直线C ．一条直线和一条射线D ．一个圆和一条射线6．两个变量与的回归模型中，分别选择了4个不同模型， 它们的相关指数如下，其中拟合效果最好的模型是 ( ) A ．模型1的相关指数为0.99 B. 模型2的相关指数为0.88 C. 模型3的相关指数为0.50 D. 模型4的相关指数为0.207．执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的属于( )A ． B. C. D.8．若复数3+i 与2+3i 对应的点分别为与，则向量对应的复数为（）A 5+4iB 1－2iC －1+2iD 9. 下列可以作为直线的参数方程是（ ）A.（t 为参数）B. （t 为参数）C. （t 为参数）D. （t 为参数） 10．若≤2，则的最大值是（ ） A ． 9 B 7 C 5D 311．设，，，……，，则=（ ）A. B. C. D.12．若定义运算：，例如，则下列等式不能成立．．．．的是（ ） A ．B ．C ．()()a b c a b c ⊗⊗=⊗⊗D ．()()()c a b c a c b ⋅⊗=⋅⊗⋅（）二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把最简单结果填在题后的横线上） 13．用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时应该假设14．下表是某厂1～4由散点图可知，用水量y 是y ^＝－0.7x ＋5.25，则等于___15．平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1；外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14，推广到空间可以得到类似结论；正四面体P －ABC 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝16．以表示值域为的函数组成的集合，表示具有如下性质的函数组成的集合：对于函数 存在一个正数，使得函数的值域包含于区间。
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安庆二中2015—2016学年度第一学期期中考试
高二数学试题
（满分：150分时间：120分钟）命题人：左小刚审题人：沈锐
一：选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
请将答案填在答题卡上。
1、下列两个变量之间的关系具有相关关系的是（）
A.速度一定时，位移与时间
B.单位面积的产量为常数时，土地面积与总产量
C.电压一定时，电流与电阻
D.人的身高与体重
2、已知空间中两点A（1，2,3），B（4,2，a）,且|AB|=，则a=（）
A.1或2
B.1或4
C.0或2
D.2或4
3、阅读如图的程序框图。
若输入n=6，则输出k的值为（）
A.3
B.2
C.4
D.5
4、已知三条不重合的直线m,n,l 和两个不重合的平面α，β，则下列命题正确的是（）
A.若m//n,mα,则m//α
B.若αβ，βα=m,n m则nα
C.若lα,mβ,且l m则αβ
D.若l n,m n,则m//l
5、一个均匀的正方形玩具的各个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次，向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则（）
A、A与B是互斥而非对立事件
B、A与B是对立事件
C、B与C是对立事件
D、B与C是互斥而非对立事件
6、第三赛季甲、乙两运动员每场比赛得分的茎叶图如图所示，则下列说法中正确的是（）A甲、乙两人单场得分的最高分都是9分
B.已运动员的得分更集中，发挥更稳定
D.甲、乙两人单场得分的中位数相同
7、有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是（）
A B C D
8.我校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法，抽取4个班进行调查，若抽到编号之和为48，则抽到的最小编号为（）
A.2
B.3
C.4
D.5
9、圆上与直线的距离等于的点共有（）
A.3个
B.2个
C.1个
D.4个
10.一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（）
A.1
B.2
C.3
D.4
11.、直线的倾斜角的取值范围是（）
A.[0,π]
B.[0,](,π)
C.[0,]
D.[0,] 12.函数2)10(36--=x y 的图像上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为该等比数列的公比的数是（） A.4
3 B.3 C.5 D.2 二、填空题：本大题共4小题，考生作答4小题，每小题5分，共20分。
请将答案填在答题卷上。
13、某学生5天的生活费（单位：元）分别为：x,y,8,9,6.已知这组数据的平均数为8，方差为2，则|x-y|=__________
14、光线从点（-1,3）射向x 轴，经过x 轴反射后过点（0,2），则反射光线所在的直线方程是_________
15、若多面体的各个顶点都在同一球面上，则称这个多面体内接于球。
直四棱柱ABCD-1111D C B A 内接于球O ，且AB=BC=2，221=AA ,则A 、
B 两点之间的球面距离为______ 16、如图，圆
C 与x 轴相切于点T(1，0),与y 轴正半轴交于两点A,B （B 在A 的上方），且|AB|=2.过点A 任作一条直线与圆O ：12
2=+y x 相交于M,N 两点，则=-|
||||NA ||NB |MB MA _________ 三、解答题：解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程。
请将答案填在答题卷上
17、（本小题满分10分）求适合下列条件的直线方程：
（1）过点A （-1，-3），斜率是直线y=3x 的斜率的4
1- （2）过点A(1，-1)与已知直线062:1=-+y x l 相交于B 点，且|AB|=5.
18、（本小题满分10分）甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指头，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢。
（1）若以A 表示和为6的事件，求P(A)
（2）现连玩三次，若以B 表示甲至少赢一次的事件，C 表示乙至少赢两次的事件，试问B 与C 是否为互斥事件？为什么？
（3）这种游戏规则公平吗？试说明理由。
19、某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六组[90，100），[100，110），…，[140，150]后得到如下部分频率分布直方图．观察图
形的信息，回答下列问题：
（1）求分数在[120，130）内的频率
（2）通过直方图，估计本次考试的平均分：
（3）用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[120,130)内的概率。
20、（本小题满分12分）已知方程04222=+--+m y x y x
（1）若此方程表示圆，求m 的取值范围；
（2）若（1）中的圆与直线x+2y-4=0相交于M 、N 两点，且OM ⊥ON （O 为坐标原点），求m
(3)在（2）的条件下，求以MN 为直径的圆的方程。
21、（本小题满分13分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD,四边形ABCD 为正方形，PA=AB=4，G 为PD 中点，E 点在AB 上，平面PEC ⊥平面PDC 。
（1）求证：AG ⊥平面PCD
（2）求证：AG//平面PEC
（3）求点G 到平面PEC 的距离
22、（本小题满分13分）已知圆M 经过象限，与y 轴相切于点O （0,0），且圆M 上的点到x 轴的最大距离为2，过点P （0，-1）作直线l,
(1)求圆M 的标准方程；
(2)当直线l 与圆M 相切时，求直线l 的方程；
(3)当直线l 与圆M 相交于A 、B 两点，且满足向量），+∞∈−→−=−→−,2[λλPB
PA 时，
求|AB|的取值范围。