2016-2017学年广东省广州市南沙区第一中学高一下学期期中考试数学试题
广东省广州市南沙区第一中学高一数学下学期期中试题
广州市南沙第一中学2015—2016学年第二学期期中考试高一数学试题全卷满分150分，考试时间120分钟．考生注意事项： 1． 答题前，务必在答题卡规定的地方填写自己的考号、座位号、姓名，并认真核对答题卡上的 “座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致．2． 答选择题时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3． 答非选择题时，必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写．在试题卷上作答无效．一、选择题（每小题5分，共60分） 1．在0到π2范围内，与角－34π终边相同的角是( )． A ．6πB ．3πC ．32πD ．34π2．sin50cos 20cos50sin 20-oooo的值等于（ ）A.14 B.32 C.12D.343．已知53sin ),,2(=∈αππα，则)4tan(πα+等于（ ）A.71B.7C.71- D.7- 4．下列函数中，最小正周期为的是（ ）A ． y=sinxB ． y=x 2sinC ． y=tanD ． y=cos4x5．下列各式中值等于12的是（ ） A ．sin15cos15οοB.2tan 22.51tan 22.5οο- C.22cos sin 1212ππ- D.1cos32π+6．已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4）．若λ为实数，（+λ）∥，则λ=（ ） A ．B ．C ． 1D ． 27．如图所示，D 是△ABC 的边AB 的中点，则向量=（ ）A．B．C．D．8．已知，满足：||=3，||=2，则|+|=4，则|﹣|=（）A．B．C． 3 D．9．把函数y=cosx的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变），然后把图象向左平移个单位，则所得图形对应的函数解析式为（）A． B．C．D．10．已知如图是函数y=2sin（ωx+φ）（|φ|＜）的图象上的一段，则（）A．ω=，φ= B．ω=，φ=﹣C．ω=2，φ=D．ω=2，φ=﹣11．已知是夹角为60°的两个单位向量，则与的夹角的余弦值是（）A．B．C．D．12．已知tan（α+β）=，tan（β﹣）=，则tan（α+）的值等于（）A．B．C．D．二、填空题（每小题5分，共20分）13．sin 210°＝14．已知角θ的顶点在坐标原点,始边与x 轴正半轴重合终边在直线30x y -=上,则sin cos sin cos θθθθ-=+15．如图，在正方形ABCD 中，2AB =，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上． 若0=⋅BF AE ，则=⋅AF AE16．已知函数()cos sin f x x x =⋅，给出下列四个说法：① ()f x 为奇函数； ② ()f x 的一条对称轴为2x π=；③()f x 的最小正周期为π； ④ ()f x 在区间[,]44ππ-上单调递增； ⑤()f x 的图象关于点(,0)2π-成中心对称．其中正确说法的序号是三、解答题（共70分，请写出必要的解题步骤和证明过程）17.（本小题满分10分）已知向量a r ＝(1,2)，b r＝(2，－2)．(1)设c r ＝4a r ＋b r ，求(b r ·c r )· a r；(2)若a r ＋λb r 与a r垂直，求λ的值.18. （本小题满分12分）已知πβπα<<<<20，212tan=α,102)cos(=-a β.(1)求αsin 的值；(2)求βsin 的值．19．（本小题满分12分）已知函数f (x )＝2sin 2⎪⎭⎫⎝⎛+x 4π－3cos 2x . AB CDFE第15题图(1)求f (x )的最小正周期和单调递增区间； (2)当x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡24ππ，时，求函数的值域．20. （本小题满分12分）如图：已知四棱锥P ABCD -中，,PD ABCD ABCD ⊥平面是正方形，E 是PA 的中点，求证：(1)//PC 平面EBD (2)平面PBC ⊥平面PCD21. （本小题满分12分）在平面直角坐标系x y O 中，点()0,3A ，直线:l 24y x =-．设圆C 的半径为1，圆心在直线l 上．()1若圆心也在直线5y x =-+上，求圆C 的方程；()2在()1的条件下，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；()3若圆C 上存在点M ，使MA =MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．22. （本小题满分12分） 已知二次函数2()f x ax bx c =++.(1)若(1)0,(0)0f f -==，求出函数)(x f 的零点；(2)若)(x f 同时满足下列条件：①当1x =-时，函数)(x f 有最小值0，②(1)1f =；求函数)(x f 的解析式；(3)若(1)(3)f f ≠，证明方程)]3()1([21)(f f x f +=必有一个实数根属于区间（1,3）.广州市南沙第一中学2015—2016学年第二学期期中考试高一数学试题参考答案1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C CADBBADDCBB二、填空题（每小题5分，共20分） 13．sin 210°＝ 21-14．已知角θ的顶点在坐标原点,始边与x 轴正半轴重合终边在直线30x y -=上,则sin cos sin cos θθθθ-=+ 2115．如图，在正方形ABCD 中，2AB =，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上． 若0=⋅，则⋅ 416．已知函数()cos sin f x x x =⋅，给出下列四个说法：① ()f x 为奇函数； ② ()f x 的一条对称轴为2x π=；③()f x 的最小正周期为π； ④ ()f x 在区间[,]44ππ-上单调递增； ⑤()f x 的图象关于点(,0)2π-成中心对称．其中正确说法的序号是① ② ④三、解答题（共70分，请写出必要的解题步骤和证明过程）17.（本小题满分10分）已知向量a r ＝(1,2)，b r＝(2，－2)．(1)设c r ＝4a r ＋b r ，求(b r ·c r )· a r；AB CDFE第15题图(2)若a r ＋λb r 与a r垂直，求λ的值.解析：(1)∵a r ＝(1,2)，b r＝(2，－2)，∴c r ＝4a r ＋b r＝(4,8)＋(2，－2)＝(6,6)． …………2分 ∴b r ·c r＝2×6－2×6＝0， …………4分∴(b r ·c r ) ·a r ＝0·a r＝0 …………6分 (2) a r ＋λb r＝(1,2)＋λ(2，－2)＝(2λ＋1,2－2λ)， …………7分由于a r ＋λb r 与a r 垂直，(a r ＋λb r )·a r=0 …………8分即2λ＋1＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝52 …………10分18. （本小题满分12分）已知πβπα<<<<20，212tan=α,102)cos(=-a β.(1)求αsin 的值；(2)求sin β的值．解 (1)tan α＝2tanα21－tan 2α2＝43， …………2分所以sin αcos α＝43.又因为sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin α＝45. …………4分(2)因为0<α<π2<β<π，所以0<β－α<π. 因为cos(β－α)＝210， 所以sin(β－α)＝7210. …………6分因为0<α<π2 , sin α＝45.所以cos α=35 …………8分所以sin β＝sin[(β－α)＋α] …………9分 ＝sin(β－α)cos α＋cos(β－α)sin α …………10分＝7210×35＋210×45＝22. …………12分19．（本小题满分12分）已知函数f (x )＝2sin 2⎪⎭⎫ ⎝⎛+x 4π－3cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期和单调递增区间； (2)当x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡24ππ，时，求函数的值域．解：(1)f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x －3cos 2x ＝1＋sin 2x －3cos 2x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1， …………4分最小正周期T ＝π； …………5分 令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z，解得f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z)． …………7分(2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，所以2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3， …………8分所以函数在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,6ππ，单调递增，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡322ππ，单调递减； …………10分所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，所以f (x )的值域为[2,3]． …………12分20. （本小题满分12分）如图：已知四棱锥P ABCD -中，,PD ABCD ABCD ⊥平面是正方形，E 是PA 的中点，求证：(1)//PC 平面EBD (2)平面PBC⊥平面PCD解：（1）连接AC 交BD 与O,连接EO, …………1分 ∵E、O 分别为PA 、AC 的中点∴EO∥PC …………3分 ∵PC ⊄平面EBD,EO ⊂平面EBD ∴PC∥平面EBD …………5分 （2）∵PA ⊥平面ABCD, PA ⊂平面ACD ，∴平面PCD ⊥平面ABCD ， …………7分 ∵ABCD 为正方形 ∴ BC ⊥CD ， …………8分 ∵平面PC D∩平面ABCD, BC ⊂平面ABCD ∴∴BC ⊥平面PAB …………10分又∵ BC ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PCD ． …………12分21. （本小题满分12分）在平面直角坐标系x y O 中，点()0,3A ，直线:l 24y x =-．设圆C 的半径为1，圆心在直线l 上．()1若圆心也在直线5y x =-+上，求圆C 的方程；()2在()1的条件下，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；()3若圆C 上存在点M ，使MA =MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．解:(1)由⎩⎨⎧+=-=5-42x y x y得圆心C 为(3,2), …………1分 ∵圆C 的半径为1，∴圆C 的方程为:1)2()3(22=-+-y x …………3分 （2）由题意知切线的斜率一定存在,设所求圆C 的切线方程为3+=kx y ,即03=+-y kx …………4分∴113232=++-k k …………5分∴1132+=+k k ∴0)34(2=+k k∴0=k 或者43-=k …………6分 ∴所求圆C 的切线方程为:3=y 或者343+-=x y即3=y 或者01243=-+y x …………7分(3)解:∵圆C 的圆心在在直线42:-=x y l 上,所以,设圆心C 为)42,-a a （，则圆C 的方程为: []1)42()(22=--+-a y a x …………8分又∵||||MO MA =，解法一：∴点M 在OA 的中垂线m 上，OA 的中点（0，23）11分 得直线m : 23=y …………9分 解法二：设M 为(x,y)，由2222)3(y x y x +=-+整理得直线m : 23=y …………9分 ∴点M 应该既在圆C 上又在直线m 上 即:圆C 和直线m 有公共点∴ 12342≤--a ， …………10分 ∴41349≤≤a …………11分 终上所述,a 的取值范围为:⎥⎦⎤⎢⎣⎡413,49 …………12分22. （本小题满分12分）已知二次函数2()f x ax bx c =++.(1)若(1)0,(0)0f f -==，求出函数)(x f 的零点；(2)若)(x f 同时满足下列条件：①当1x =-时，函数)(x f 有最小值0，②(1)1f =；求函数)(x f 的解析式；(3)若(1)(3)f f ≠，证明方程)]3()1([21)(f f x f +=必有一个实数根属于区间（1,3）.解：（1）0)0(,0)1(==-f f Θb a =∴ …………1分)1()(+=∴x ax x f …………2分所以：函数)(x f 的零点是0和1- …………3分(2)由条件①得：241,024b ac b a a--=-=,0>a ⇒ 222,444b a b ac a ac a c ==⇒=⇒= 由条件②知：1=++c b a由12a b c b a a c ++=⎧⎪=⎨⎪=⎩…………6分 得11,42a c b === 所以：221111()(1)4244f x x x x =++=+ …………7分（3）令)]3()1([21)()(f f x f x g +-=，则 …………8分)]3()1([21)]3()1([21)1()1(f f f f f g -=+-=)]1()3([21)]3()1([21)3()3(f f f f f g -=+-=， …………10分0)]3()1([41)3()1(2<--=⋅∴f f g g …………11分()0g x ∴=在(1,3)内必有一个实根即方程)]3()1([21)(f f x f +=必有一个实数根属于(1,3) …………12分。
2017年广州市南沙区高一下学期数学期中考试试卷
2017年广州市南沙区高一下学期数学期中考试试卷一、选择题（共12小题；共60分）1. 已知数列a n（n∈N∗）是等比数列，a1=8，a4=1，则公比q= A. −12B. −2 C. 2 D. 122. 设a,b,c∈R，且a>b，则 A. ac>bcB. a3>b3C. a2>b2D. 1a <1b3. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=1，b=6，C=60∘，则△ABC的面积为 A. 32B. 332C. 3D. 34. 若正方体的表面积为24 cm2，则它的体积是 A. 4 cm3B. 16 cm3C. 64 cm3D. 8 cm35. 在等差数列a n n∈N∗中，已知a1=2，a2+a3=13，则a4+a5+a6= A. 40B. 42C. 43D. 456. △ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a cos B=b cos A，则△ABC的形状一定是A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 等腰三角形7. 设S n是等差数列a n n∈N∗的前n项和，已知a2=3，a6=11，则S7= A. 13B. 35C. 49D. 638. 已知a>0，b>0，且2a+b=4，则1ab的最小值为 A. 14B. 4 C. 12D. 29. 利用斜二测画法得到的下列结论正确的是 ①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．A. ①②B. ①C. ③④D. ①②③④10. 在数列a n n∈N∗中，a1=1，a n−a n−1=1n n−1n≥2，则a n= A. 2−1n B. 1−1nC. 1nD. 2−1n−111. 关于x的不等式ax2+2ax−4<0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是 A. −4,0B. −∞,0C. −4,0D. 0,412. 已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），则这个几何体的体积是A. 13 cm3 B. 23cm3 C. 43cm3 D. 83cm3二、填空题（共4小题；共20分）13. 在△ABC中，若sin A:sin B:sin C=2:3:4，则cos C=．14. 设x，y为正实数，且x+2y=1，则1x +1y的最小值为．15. 若实数x，y满足约束条件y≤x,x+y≤1,y≥−1,则z=2x+y的最大值是．16. 定义在−∞,0∪0,+∞上的函数f x，若对于任意给定的等比数列a n n∈N∗，有f a n仍是等比数列，则称f x为“保等比数列函数”．现有定义在−∞,0∪0,+∞上的如下函数：①f x=x2；②f x=2x；③f x= x ；④f x=ln x ，则其中是“保等比数列函数”的f x的序号为．三、解答题（共6小题；共78分）17. 已知数列a n n∈N∗为等差数列，且a3=−6，a6=0．（1）求数列a n的通项公式；（2）若等比数列b n满足b1=−8，b2=a1+a2+a3．求数列b n的前n项和S n．18. 设△ABC的内角A，B，C所对的边为a，b，c，且b sin A=3a cos B．（1）求角B的大小；（2）若b=3，sin C=2sin A，求a，c的值．19. 已知二次函数f x=x2+bx+c，且不等式f x<0的解集为x1<x<3．（1）求f x的解析式；（2）若不等式f x>mx−1对于x∈R恒成立，求实数m的取值范围．20. （1）求函数f x=x+2x+1x≥0的最小值，并求相应的x的值；（2）解关于x的不等式：x2−3a+1x+2a a+1<0a∈R．21. 如图，A，B是海面上位于东西方向相距53+3海里的两个观测点，现位于A点北偏东45∘，B点北偏西60∘的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60∘且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时．（1）求BD的长；（2）该救援船达到D点需要多长时间?22. 设数列b n n∈N∗的前n项和为S n，且b n=2−2S n．（1）求数列b n的通项公式；（2）若c n=n2⋅b n，设T n为数列c n的前n项和，求T n；（3）是否存在自然数m，使得m−24<T n<m4对一切n∈N∗恒成立?若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．答案第一部分1. D2. B3. B4. D5. B6. D7. C8. C9. A 10. A11. A 12. C第二部分13. −1414. 3+2215. 316. ①③第三部分17. （1）设等差数列a n n∈N∗的首项为a1，公差为d，a6−a3=3d=6⇒d=2，a3=a1+2d=−6⇒a1=−10．通项公式a n=a1+n−1d=2n−12．（2）由已知b2=a1+a2+a3=−10−8−6=−24，等比数列b n的公比q=b2b1=3，S n=a11−q n1−q=−81−3n1−3=41−3n．18. （1）由正弦定理及已知b sin A=a cos B可得：b sin A=a cos B⇒sin B sin A=A cos B．A∈0,π，sin A>0，上式变形为tan B=3>0，且B∈0,π，tan B>0，B=π3．（2）b=3，sin C=2sin A⇒c=2a，由余弦定理可得：b2=a2+c2−2ac cos B=a+c2−2ac1+cos B，即a+c2−2ac1+cos B=a+c2−3ac=9，解得：a=3，c=23．19. （1）二次函数f x=x2+bx+c，且不等式f x<0的解集为x1<x<3，1，3是方程x2+bx+c=0的两根，即b=−1+3=−4，c=1×3=3，f x=x2+bx+c=x2−4x+3．（2）不等式f x>mx−1对于x∈R恒成立，即x2−m+4x+4>0对于x∈R恒成立，只需Δ=m+42−16<0⇒−8<m<0，实数m的取值范围为−8,0．20. （1）函数f x=x+2x+1=x+1+2x+1−1，因为x≥0，x+1≥1，由基本不等式可得：f x=x+2x+1=x+1+2x+1−1≥22−1，取“=”条件：x+1=2x+1⇒x=2−1≥0，函数f x=x+2x+1x≥0的最小值为22−1，x=2−1．（2）关于x的不等式：x2−3a+1x+2a a+1<0，即x−2a x−a−1<0，对应方程两根为2a，a+1，以下分类讨论：①当2a=a+1⇔a=1时，原不等式即为x−22<0，解集为∅；②当2a>a+1⇔a>1时，原不等式即为x a+1<x<2a；③当2a<a+1⇔a<1时，原不等式即为x2a<x<a+1．综上所述，当2a=a+1⇔a=1时，原不等式即为x−22<0，解集为∅；当2a>a+1⇔a>1时，原不等式即为x a+1<x<2a；当2a<a+1⇔a<1时，原不等式即为x2a<x<a+1．21. （1）由已知条件可得：在△ABD中，AB=53+3，∠DAB=45∘，∠ABD=30∘，所以∠ADB=105∘，由正弦定理得：BD sin∠DAB =ABsin∠ADB⇒BDsin45∘=ABsin105∘⇒22=36+24，BD=103．（2）在△BCD中，∠CBD=60∘，BC=203，BD=103，由余弦定理得：CD2=BC2+BD2−2BC⋅BD⋅cos∠CBD．即CD2=2032+1032−2⋅203⋅103⋅cos60∘=900.则CD=30海里，该救援船达到D点需要时间为：3030=1小时．22. （1）由已知b n=2−2S n，当n=1时，b1=2−2S1=2−2b1⇒b1=23，当n≥2时，2S n+b n=2，2S n−1+b n−1=2，两式相减得：3b n=b n−1n≥2⇒b nb n−1=13，数列b n n∈N∗是以b1=23为首项，以13为公比的等比数列，通项公式b n=2⋅13n．（2）由已知c n=n2⋅b n=n⋅13n，用错位相减法求和T n：T n=1⋅131+2⋅132+3⋅133+⋯+n⋅13n，1 3T n=1⋅132+2⋅133+3⋅134+⋯+n⋅13n+1，所以23T n=131+132+133+⋯+13n−n⋅13n+1=12−2n+3613n，T n=34−2n+3413n．（3）假设存在自然数m，使得m−24<T n<m4对一切n∈N∗恒成立，一方面，T n+1−T n=b n+1=n+13n+1>0，则数列T n单调递增，故T n≥T1=c1=13；另一方面，T n=34−2n+3413n<34；所以13≤T n<34，若m−24<T n<m4对一切n∈N∗恒成立，则34≤m4,m−24<13且m是自然数，故m=3．。
2016-2017学年高一下学期期中考试数学试题Word版含答案
2016-2017学年高一下学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.如图，正六边形ABCDEF 中，CD BA EF ++=（ ）A ．0B ．BEC ．ADD ．CF2.已知数列{n a }满足：11a =，2210,1n n n a a a +>-= ()*n N ∈，那么使n a ＜3成立的n 的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．8D ．93.在数列1,1,2,3,5,8,,21,34,55,...x 中,x =（ ）A.11B.12C. 13D.144.已知正方形ABCD 的边长为2，点E 是AB 边上的中点，则DE DC ⋅的值为( )A. 1B. 2C.4D.65.在△ABC 中，2cos 22B a cc+=，（a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边），则△ABC 的形状为（ ） A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形6.在等差数列{}n a 中，11a =，n S 为其前n 项和．若191761917S S -=，则10S 的值等于（ ） A .246B. 258C. 280D. 2707.数列{}n a 的通项公式为*,2cos N n n a n ∈=π,其前n 项和为n S ，则=2017S ( ) A.B.C.D.8.在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若22()6c a b =-+，△ABC C 的大小为（ ） A.3π B.23π C.6π D.56π9.数列{}n a 满足122,1,a a ==且1111(2)n n n n n n n n a a a a n a a a a -+-+⋅⋅=≥--,则数列{}n a 的第100项为（ ） A ．10012 B ．5012 C ．1100 D ．15010.在ABC ∆中，若111,,tan tan tan A B C依次成等差数列，则（ ） A ．,,a b c 依次成等差数列 BC ．222,,a b c 依次成等差数列D ．222,,a b c 依次成等比数列 11.已知等差数列{a n }的前n 项和为，满足，，则当取得最小值时的值为（ ）A.7B.8C.9D.1012.已知数列{}n a 的通项公式5n a n =-，其前n 项和为n S ，将数列{}n a 的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{}n b 的前3项，记{}n b 的前n 项和为n T ，若存在*m N ∈，使对任意*n N ∈，总有λ+<m n T S 恒成立，则实数λ的取值范围是（ ） A ．2λ≥ B ．3λ> C ．3λ≥D ．2λ>二、填空题(本大题共4小题,每小题5分，共20分．)13.已知2=a,1=b ， 1=⋅b a ，则向量a 在b 方向上的投影是_____14.已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，某三角形三边之比为234::a a a ，则该三角形最大角的大小是 15.已知命题：“在等差数列{}n a 中，若210()4+24,a a a +=则11S 为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为 . 16.已知数列{}n a 中，11511,2n n a a a +==- .设12n n b a =-则数列{}n b 的通项公式为__.三、解答题(本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17．（本小题满分10分）已知不等式220ax x c ++>的解集为11{|}32x x -<<．(1)求a 、c 的值；(2)解不等式220cx x a -+<．18.（本小题满分12分）设{}n a 是公比不为1的等比数列，且534,,a a a 成等差数列.(1)求数列{}n a 的公比；(2)若453423a a a a a a +<<+，求1a 的取值范围.19.（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知向量m ＝(b ，a －2c )，n ＝(cosA －2cos C ，cosB )，且向量m ⊥n .(1)求sin C sin A的值；(2)若a ＝2，|m |＝35，求△ABC 的面积S .20.（本小题满分12分）如图，△ABC 中，3B π=，2BC =，点D 在边AB 上，AD DC =, DE AC ⊥，E 为垂足．(1)若△BCD，求CD 的长； (2)若DE =，求角A 的大小.21.（本小题满分12分）在数1与100之间插入n 个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积记作T n ，再令a n =lgT n ，n≥1．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)记，求数列{b n }的前n 项和S n ．EDCA22.（本小题满分12分）已知数列{}n a 中，11a =，214a =，且1(1)nn n n a a n a +-=-（2,3,4,n = ）．(1)求3a 、4a 的值； (2)设111n n b a +=-(*N n ∈),试用n b 表示1n b +并求{}n b 的通项公式；(3)设1sin 3cos cos n n n c b b +=(*N n ∈),求数列{}n c 的前n 项和n S ；2016-2017学年高一下学期期中考试数学试题答案DCCBB CDADC CD 13._1 14.π3215.18 16. 112433n n b -=-⨯-17. 解：（Ⅰ）由220ax x c ++>的解集为11{|}32x x -<<知0a <且方程220ax x c ++=的两根为1211,32x x =-=.由根与系数的关系得112321132ac a⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，由此得12,2a c =-=.（Ⅱ）不等式220cx x a -+<可化为260x x --<，解得23x -<<. 所以不等式的解集为{|23}x x -<<.18.解：（1）设数列{}n a 的公比为q (0,1q q ≠≠)， 由534,,a a a 成等差数列,得3542a a a =+,即2431112a q a q a q =+.由10,0a q ≠≠得220q q +-=,解得122,1q q =-=(舍去). ∴2q =-. （2）211114534232118322416q a a a a a a a a a a =-⎧⇒<-<⇒-<<-⎨+<<+⎩19.解 (1)法一 由m ⊥n 得，b (cos A －2cos C )＋(a －2c )cos B ＝0.根据正弦定理得，sin B cos A －2sin B cos C ＋sin A cos B －2sin C cos B ＝0. 因此(sin B cos A ＋sin A cos B )－2(sin B cos C ＋sin C cos B )＝0， 即sin(A ＋B )－2sin(B ＋C )＝0.因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin C －2sin A ＝0. 即sin Csin A＝2. 法二 由m ⊥n 得，b (cos A －2cos C )＋(a －2c )cos B ＝0. 根据余弦定理得，b ×b 2＋c 2－a 22bc ＋a ×a 2＋c 2－b 22ac －2b ×a 2＋b 2－c 22ab －2c ×a 2＋c 2－b 22ac＝0.即c －2a ＝0. 所以sin C sin A ＝c a＝2.(2)因为a ＝2，由(1)知，c ＝2a ＝4.因为|m |＝35，即b 2＋ a －2c 2＝35，解得b ＝3. 所以cos A ＝32＋42－222×3×4＝78.因为A ∈(0，π)，所以sin A ＝158. 因此△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×3×4×158＝3415.20.解（Ⅰ）连接CD ，由题意得BCD S ∆=1sin 2BC BD B ⋅⋅=，又2BC=，sin 2B =得23BD =．由余弦定理得CD ===，所以，边CD 的长为3．（Ⅱ）方法1：因为sin DE CD AD A ===． 由正弦定理知：sin sin BC CDBDC B=∠，且2BDC A ∠=，得2sin 2A =，解得cos A =，4A π=．所以角A 的大小为4π．方法2：由正弦定理得22sin sin AEA B=，得sin sin AE A B ⋅==．又sin tan cos DE AA AE A==，则sin cos AE A DE A ⋅=⋅A ==，得cos A =，4A π=．所以角A 的大小为4π．21.解：（I ）∵在数1和100之间插入n 个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列， ∴设这个等比数列为{c n }，则c 1=1，，又∵这n+2个数的乘积计作T n ， ∴T n =q•q 2•q 3×…×q n+1=q 1+2+3+…+n•q n+1=×100=100×100=10n+2，又∵a n =lgT n ，∴a n =lg10n+2=n+2，n ∈N *． （II ）∵a n =n+2， ∴=，∴S n =+++…++，①=，②①﹣②，得：==1+﹣=2﹣﹣，∴S n =4﹣22.已知数列{}n a 中，11a =，214a =，且1(1)n n nn a a n a +-=-（2,3,4,n = ）．（1）求3a 、4a 的值； （2）设111n n b a +=-(*N n ∈),试用n b 表示1n b +并求{}n b 的通项公式；（3）设1sin3cos cos n n n c b b +=(*N n ∈),求数列{}n c 的前n 项和n S ；（1）317a =，4110a =．（2）当2n ≥时，1(1)1111(1)(1)(1)1n n n n n n n a n a n a n a n a n a +---=-==----， ∴当2n ≥时，11n n nb b n -=-故11,n n n b b n N n*++=∈ 累乘得1n b nb =又13b = ∴3n b n = n N ∈． （3）∵1sin 3cos cos n n n c b b +=∙sin(333)tan(33)tan 3cos(33)cos3n n n n n n+-==+-+∙，∴12n n S c c c =+++L (tan 6tan3)(tan9tan 6)(tan(33)tan3)n n =-+-+++-Ltan(33)tan3n =+-。
广东省广州市南沙一中2016-2017学年高一下学期期中数学试卷
广东省广州市南沙一中2016-2017学年高一（下）期中数学试卷（解析版）一、选择题1、cos210°的值为（）A、B、C、D、2、已知向量=（2，4），=（﹣1，1），则2 ﹣=（）A、（5，7）B、（5，9）C、（3，7）D、（3，9）3、若sinα＜0，tanα＞0，则α的终边在（）A、第一象限B、、第二象限C、第三象限D、第四象限4、已知α∈（﹣，0），cosα= ，则tanα等于（）A、﹣B、﹣C、D、5、下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是（）A、=（0，0），=（1，﹣2）B、=（﹣1，2），=（5，7）C、=（3，5），=（6，10）D、=（2，﹣3），=（，﹣）6、要得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只要将函数y=sin2x的图象（）A、向左平移B、向右平移C、向左平移D、向右平移7、已知两个单位向量，的夹角为60°，且满足⊥（λ ﹣），则实数λ的值是（）A、﹣2B、2C、D、18、若sin = ，则cosα=（）A、﹣B、﹣C、D、9、已知函数y=sin（2x+φ）+1的图象关于直线对称，则φ的可能取值是（）A、B、C、D、10、如图所示，已知，，= ，= ，则下列等式中成立的是（）A、B、C、D、11、函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）A、B、C、D、12、tan70°+tan50°﹣的值等于（）A、B、C、D、二、填空题13、已知角α的终边经过点P（，），则cosα的值是________．14、已知向量满足，与的夹角为60°，则在方向上的投影是________．15、已知均为锐角，则cosβ=________．16、已知函数f（x）=sinxcosφ+cosxsinφ（其中x∈R，0＜φ＜π）．若点（，）在函数y=f（2x+ ）的图象上，则φ的值为________．三、解答题17、已知| |= ，| |=1(1)若=1，求与的夹角．(2)若与的夹角θ为45°，求| ﹣|的值．18、已知f（α）=(1)若α=﹣，求f（α）的值；(2)若α为第二象限角，且cos（α﹣）= ，求f（α）的值．19、设A，B，C，D为平面内的四点，且A（1，3），B（2，﹣2），C（4，1）．(1)若= ，求D点的坐标；(2)设向量= ，= ，若k ﹣与+3 平行，求实数k的值．20、已知函数y=3sin（x﹣）(1)求此函数的振幅、周期和初相；(2)用五点法在给定的坐标系中作出函数一个周期的图象．（先列表再作图）21、设函数f（x）=2cos2x+ sin2x﹣1．(1)求f（x）的最大值及此时的x值(2)求f（x）的单调减区间(3)若x∈[﹣，]时，求f（x）的值域．22、已知向量，且，(1)求的取值范围；(2)求证；(3)求函数的取值范围．答案解析部分一、<b >选择题</b>1、【答案】D【考点】运用诱导公式化简求值【解析】【解答】解：cos210°=cos（180°+30°）=﹣cos30°=﹣．故选D【分析】所求式子中的角度变形后，利用诱导公式化简即可求出值．2、【答案】A【考点】平面向量的坐标运算【解析】【解答】解：由=（2，4），=（﹣1，1），得： 2 ﹣=2（2，4）﹣（﹣1，1）=（4，8）﹣（﹣1，1）=（5，7）．故选：A．【分析】直接利用平面向量的数乘及坐标减法运算得答案．3、【答案】C【考点】三角函数值的符号【解析】【解答】解：sinα＜0，则α的终边在三、四象限或y轴的负半轴上；tanα＞0则α的终边在三、一象限，sinα＜0，tanα＞0，同时满足，则α的终边在三象限．故选：C【分析】根据题意和“一全正、二正弦、三正切、四余弦”进行判断α终边所在的位置．4、【答案】A【考点】同角三角函数基本关系的运用【解析】【解答】解：∵α∈（﹣，0），cosα= ，∴sinα=﹣=﹣，∴tanα= =﹣．故选：A．【分析】利用同角三角函数间的关系式可求得sinα的值，继而可得tanα的值．5、【答案】B【考点】平面向量的基本定理及其意义【解析】【解答】解：可以作为基底的向量需要是不共线的向量，A中一个向量是零向量，两个向量共线，不合要求C中两个向量是，两个向量共线，D选项中的两个向量是，也共线，故选B．【分析】可以作为基底的向量需要是不共线的向量，可以从向量的坐标发现A，D，C选项中的两个向量均共线，得到正确结果是B．6、【答案】D【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】【解答】解：将函数y=sin2x 的图象向右平移 个单位，则y=sin2（x ﹣ ）=sin（2x ﹣）． 故选：D ．【分析】由条件利用函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，可得结论． 7、【答案】B【考点】平面向量数量积的运算【解析】【解答】解：单位向量 ，的夹角为60°， ∴•=1×1×cos60°=；又 ⊥（λ ﹣ ），∴•（λ﹣ ）=λ•﹣=λ﹣1=0，解得λ=．故选：B ．【分析】根据两向量垂直，数量积为0，列出方程解方程即可． 8、【答案】C【考点】二倍角的余弦【解析】【解答】解：由二倍角的余弦公式可得cosa=1﹣2sin 2 =1﹣2× =1﹣ =故选C【分析】由二倍角的余弦公式可得cosα=1﹣2sin 2 ，代入已知化简即可．9、【答案】A【考点】正弦函数的图象【解析】【解答】解：由题意， ，k ∈Z ， 得 ，k ∈Z ，令k=0，可得x=，满足题意，故选A ．【分析】根据正弦函数求解出对称轴的方程，可得答案． 10、【答案】A【考点】平面向量的基本定理及其意义【解析】【解答】解： ===．故选：A ．【分析】利用向量的三角形法则，把作为基底进行加法运算．11、【答案】A【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义【解析】【解答】解：∵在同一周期内，函数在x= 时取得最大值，x= 时取得最小值，∴函数的周期T满足= ﹣= ，由此可得T= =π，解得ω=2，得函数表达式为f（x）=2sin（2x+φ）又∵当x= 时取得最大值2，∴2sin（2• +φ）=2，可得+φ= +2kπ（k∈Z）∵，∴取k=0，得φ=﹣故选：A．【分析】根据函数在同一周期内的最大值、最小值对应的x值，求出函数的周期T= =π，解得ω=2．由函数当x= 时取得最大值2，得到+φ= +kπ（k∈Z），取k=0得到φ=﹣．由此即可得到本题的答案．12、【答案】D【考点】两角和与差的正切函数【解析】【解答】解：由tan120°=tan（70°+50°）= =﹣tan60°=﹣，得到tan70°+tan50°=﹣+ tan70°tan50°，则tan70°+tan50°﹣tan70°tan50°=﹣．故选D【分析】由50°+70°=120°，利用两角和的正切函数公式表示出tan（70°+50°），且其值等于tan120°，利用诱导公式及特殊角的三角函数值即可得到tan120°的值，化简后即可得到所求式子的值．二、<b >填空题</b>13、【答案】【考点】任意角的三角函数的定义【解析】【解答】解：∵角α的终边经过点P（，），∴x= ，y= ，∴r=1，∴cosα= ．故答案为．【分析】由已知中角α的终边经过点P（，），我们易计算出OP=r的值，进而根据任意角三角函数的定义，得到答案．14、【答案】1【考点】平面向量数量积的运算【解析】【解答】解：向量满足，与的夹角为60°，∴在方向上的投影是| |cos60°=2× =1．故答案为：1．【分析】根据向量在方向上投影的定义写出运算结果即可．15、【答案】【考点】两角和与差的正弦函数【解析】【解答】解：由均为锐角，得到α﹣β∈（﹣，），所以cos（α﹣β）= = ，cosα= = ，则cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]=cos（α﹣β）cosα+sin（α﹣β）sinα= × + （﹣）= ．故答案为：．【分析】α，β的范围得出α﹣β的范围，然后利用同角三角函数间的基本关系，由sin（α﹣β）和sinα的值，求出cos（α﹣β）和cosα的值，然后由β=α﹣（α﹣β），把所求的式子利用两角差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值．16、【答案】【考点】三角函数中的恒等变换应用【解析】【解答】解：因为f（x）=sinxcosφ+cosxsinφ=sin（x+φ），所以y=f（2x+ ）=sin（2x+ +φ），∵点（，）在函数y=f（2x+ ）的图象上，∴sin（2× + +φ）= ，∴cosφ= ，∵0＜φ＜π，∴φ= ．故答案为．【分析】利用和角的正弦公式，结合点（，）在函数y=f（2x+ ）的图象上，求出φ的值．三、<b >解答题</b>17、【答案】（1）解：因为| |= ，| |=1，且=| |×| |×cosθ=1，所以cosθ= = ，因为向量的夹角范围是0°≤θ≤180°，所以与的夹角为45°（2）解：与的夹角θ为45°，所以= ﹣2 + = ﹣2××1×cos45°+12=1，所以求| ﹣|=1【考点】平面向量数量积的运算【解析】【分析】（1）应用平面向量数量积的公式，求出两向量的夹角大小；（2）求平面向量的模长时，通常先求向量的平方值，再开方，可得模长大小．18、【答案】（1）解：f（α）= =，（2）解：∵cos（α﹣）=cos（﹣α）= ，∴，∵α是第二象限角，∴，∴【考点】三角函数的化简求值【解析】【分析】（1）根据三角恒等变换的公式，化简f（α）=cosα，即可求解当α= 时，f（α）的值；（2）由cos（α﹣）= ，解得sinα= ，进而求解cosα的值．19、【答案】（1）解：设D（x，y）．∵，∴（2，﹣2）﹣（1，3）=（x，y）﹣（4，1），化为（1，﹣5）=（x﹣4，y﹣1），∴，解得，∴D（5，﹣4）（2）解：∵=（1，﹣5），= =（4，1）﹣（2，﹣2）=（2，3）．∴=k（1，﹣5）﹣（2，3）=（k﹣2，﹣5k﹣3），=（1，﹣5）+3（2，3）=（7，4）．∵k ﹣与+3 平行，∴7（﹣5k﹣3）﹣4（k﹣2）=0，解得k= ．∴【考点】相等向量与相反向量，平面向量共线（平行）的坐标表示【解析】【分析】（1）利用向量相等即可得出；（2）利用向量共线定理即可得出．20、【答案】（1）解：周期T= =4π，（2分）；振幅A=3，初相是﹣．x﹣）描点、连线，如图所示：【考点】五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象，由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式【解析】【分析】（1）根据周期、振幅、初相的概念即可求出结果；（2）利用五点作图法即可做出图象21、【答案】（1）解：f （x ）=2cos 2x+sin2x﹣1=cos2x+ =， 当2x+ ，即 时，f （x ）max =2（2）解：（3）解：由 ，得 ， ∴f（x ）的单调减区间为[ ]，k ∈Z ；，由 ，得 ，∴ ，∴﹣1≤f （x ）≤2．则f （x）的值域为[﹣1，2]【考点】正弦函数的单调性，三角函数的最值 【解析】【分析】f （x ）=2cos 2x+sin2x ﹣1=cos2x+（1）当2x+，即时，f （x ）取得最大值；（2）由，得，即可求出f（x）的单调减区间；（3）由，得，即可求出f（x）的值域．22、【答案】（1）解：∵=sinx•cosx+sinx•cosx=2sinx•cosx=sin2x ∵x∈[0，]，∴2x∈[0，π]∴∈[0，1]（2）解：证明：∵=（cos+sinx，sinx+cosx）∴| |==∵x∈[0，]，∴x+ ∈[ ，]，∴sin（x+ ）＞0，∴=2sin（x+ ），∴| + |=2sin（x+ ）．（3）解：∵x∈[0，]，∴x+ ∈[ ，]∴f（x）===2sinxcosx﹣2（sinx+cosx）解法1：令t=sinx+cosx∴∴y=t2﹣1﹣2t=（t﹣1）2﹣2∴y∈，解法2：f（x）=sin2x﹣2== ﹣1∵≤1∴f（x）∈[﹣2，]【考点】二次函数在闭区间上的最值，平面向量数量积的运算，三角函数的化简求值，正弦函数的定义域和值域【解析】【分析】（1）利用向量的坐标运算公式可求得=sin2x，又x∈[0，]，从而可求的取值范围；（2）由=（cos+sinx，sinx+cosx）由向量模的概念结合辅助角公式即可证得| |=2sin（x+ ）．（3）将化简为：f（x）═2sinxcosx﹣2（sinx+cosx），解法1：令t=sinx+cosx，sinx•cosx= （1≤t≤ ），y=t2﹣1﹣2t=（t﹣1）2﹣2取值范围可求．解法2：f（x）=sin2x﹣2 sin（x+ ）=﹣1，求得sin（x+ ）的范围即可．。
数学---广东省广州市南沙区第一中学2016-2017学年高二下学期期中考试(文)
广东省广州市南沙区第一中学2016-2017学年高二下学期期中考试（文）第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的）1．命题“()0000,,ln 1x x x ∃∈+∞=-”的否定（ ）A ．()0000,,ln 1x x x ∃∈+∞≠-B ．()0000,,ln 1x x x ∃∉+∞=-C ．()0,,ln 1x x x ∀∈+∞≠-D ．()0,,ln 1x x x ∀∉+∞=-2．设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不确定3．数列{}n a 、{}n b 满足*2()n a n b n N =∈，则“数列{}n a 是等差数列”是“数列{}n b 是等比数列”的（ ）A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也必要条件4．图中共顶点的椭圆①、②与双曲线③、④的离心率分别为1234e e e e ﹑﹑﹑，其大小关系为（ ）A ．1234e e e e <<< B ．2134e e e e <<<C ．1243e e e e <<<D ．2143e e e e <<<5．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点()01，F ，离心率为21，则椭圆C 的方程是（ ） A. 14322=+y x B. 15422=+y x C. 12422=+y x D. 13422=+y x 6．等差数列的前n 项和，前2n 项和，前3n 项的和分别为S ，T ，R ，则（ ）A. ()22S T S T R +=+ B. 3()R T S =-C. 2T SR =D. 2S R T +=7．在ABC ∆中，如果()()3a b c b c a bc +++-=，那么A 等于（ ） A ．30︒ B ．60︒ C ．120︒ D ．150︒ 8．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75 ，30 ，此时气球的高是60m ，则河流的宽度BC 等于（ ）A．1)m B．1)m C．1)m D．1)m9．如图3，已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上有一点A ，它关于原点的对称点为B ，点F 为双曲线的右焦点，且满足BF AF ⊥，设α=∠A B F ，且]6,12[ππα∈，则该双曲线离心率e 的取值范围为（ ）A ．]32,3[+B ．]13,2[+C ．]32,2[+D ．]13,3[+10.设实数x ，y 满足2102146x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则xy 的最大值为（ ）A.252B. 492C. 12D. 1411.下列命题中，正确命题的个数是（ ）①命题“x R ∃∈，使得013<+x ”的否定是“x R ∀∈，都有013>+x ”．②双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 中，F 为右焦点，A 为左顶点，点),0(b B 且0=⋅→→BF AB ，则此双曲线的离心率为215+． ③在△ABC 中，若角A 、B 、C 的对边为a 、b 、c ，若cos 2B +cosB +cos （A -C ）=1，则a、c 、b 成等比数列．④已知,a b 是夹角为120的单位向量，则向量a b λ+ 与2a b - 垂直的充要条件是45=λ．A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个 12.设x R ∈, 对于使22x x M -+≤成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值1叫做22x x -+ 的上确界．若,a b R +∈，且1a b +=，则122a b--的上确界为（ ）A ．5-B ．4-C ．92D ．92-第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省广州市2016-2017学年高一数学下学期期中试题
广东省广州市2016-2017学年高一数学下学期期中试题本试卷共4页．满分为150分，考试用时120分钟．（注：以下黑体字母均表示向量）一、选择题：本大题12小题，每小题5分，满分60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量a ＝(4，－2)，向量b ＝(x ，5)，且a ∥b，那么x 等于( )．A ．10B ．5C ．－25 D ．－102．若cos ＞0，sin ＜0，则角的终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知扇形的圆心角为π弧度，半径为2，则扇形的面积是( ) A ．πB ．C ．2πD ．π4．已知向量1BA 2=⎛ ⎝⎭,31BC ,2=⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭,则∠ABC= ( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°5．若向量，，满足条件++=，||=||=||=1，则△P 1P 2P 3的形状是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．不能确定6．若11tan ,tan(),32ααβ=+=则tan β=（ ） A ． 17 B ． 16 C ． 57 D ． 567．函数2πsin 24log y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递减．区间为（ ） A ．πππ4k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦Z ，， B ．π3πππ,88k k k ⎡⎫++∈⎪⎢⎣⎭Z ，C ．3ππππ88k k k ⎛⎤-++∈ ⎥⎝⎦Z ，， D ．ππππ88k k k ⎛⎤-++∈ ⎥⎝⎦Z ，， 8． 对任意向量a ，b ，下列关系式中不恒成立的是 ( )A ．|a ·b |≤|a ||b |B ．|a-b |≤||a |-|b ||C ．(a +b )2=|a +b |2D ．(a +b )·(a -b )=a 2-b 29．若向量a ，b 的夹角为150°，|a |=，|b |=4，则|2a +b |=( ) A ．2B ．3C ．4D ．510．设a=cos6°-sin6°，b=2sin13°.cos13°，c=，则有( ) A ．c<b<aB ．a<b<cC ．a<c<bD ．b<c<a11．已知函数f(x)=3sin(ω>0)和g(x)=2cos(2x+φ)+1的图象的对称轴完全相同，若x∈，则f(x)的取值范围是( )A ．[-3，3]B ．C ．D ．12．定义区间[]21,x x 长度为12x x -，(12x x >），已知函数)0,(,1)()(f 22≠∈-+=a R a xa x a a x 的定义域与值域都是[]n ,m ，则区间[]n ,m 取最大长度时a 的值为（ ） A ．332 B ．1 或-3， C ．-1． D ．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．的取值范围是，则的夹角为与且满足已知平面向量||120b ,1||)0,0,.130a a a b-=≠≠ .14．函数y ＝A sin （ωx ＋φ） （ω＞0，|φ|＜π2，x ∈R ）的部分图象如图所示，则函数表达式为 .15．函数f(x)=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是 ,单调递减区间是 . 16．如图所示，在ABC ∆中，12AD AB =，F 在线段CD 上，设AB a =，AC b =，AF xa yb =+， 则22x y +的最小值为 ．三．解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知0＜＜2π，sin ＝54． (1)求tan的值； (2)求cos 2＋sin(＋2π)的值． 18．（121=3=，(1) 若a，b 的夹角为6π-； (2) +的取值范围； (3) 若21)2()3(=+⋅-b a b a ，求a 与b 的夹角θ.19．（12分）已知函数f （x ）＝sin （π－ωx ）cos ωx ＋cos 2ωx （ω＞0）的最小正周期为π． (1) 求ω的值；(2) 将函数y ＝f （x ）的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g （x ）的图象，求函数g （x ）在区间[0，π16]上的最小值．20．(12分)如图，矩形ABCD 的长AD=2，宽AB=1，A ，D 两点分别在x 轴，y 轴的正半轴上移动，B ，C 两点在第一象限.求OB 2的最大值.21．(12分)已知向量m =，n =，设函数f(x)=m ·n .(1) 求函数f(x)的解析式.(2) 求函数f(x)，x∈[-π，π]的单调递增区间.(3) 设函数h(x)=f(x)-k(k∈R)在区间[-π，π]上的零点的个数为a ，试探求a 的值及对应的k 的取值范围.22．(12分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知以M 为圆心的圆060141222=+--+y x y x M ：及其上一点A(2,4).(1) 设圆N 与x 轴相切,与圆M 外切,且圆心N 在直线x=6上,求圆N 的标准方程. (2) 设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B,C 两点,且BC=OA,求直线l 的方程. (3) 设点T(t,0)满足:存在圆M 上的两点P 和Q,使得+TA T Q =P T ,求实数t 的取值范围.2016—2017学年高一（下）期中考试（数学）参考答案 一、选择题（5*12=60分）1.D2.D3.D4.A5.C6.A7.B8.B9.A 10.C 11.D 12.D 二、填空题（4*5=20分） 13.⎥⎦⎤ ⎝⎛3320，14.y ＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π415.π;]87,83[ππππk k ++,k ∈Z 16.51 三、解答题（70分） 17.（10分）(1)因为0＜＜2π，sin ＝54， 故cos ＝53，所以tan ＝34． -------5分(2)cos 2＋sin(2π＋)＝1－2sin 2＋＝－2532＋53＝258．-----------5分18.（12分）解：（1）∵a ，b 的夹角为6π， ∴ ⋅＝|a |•|b |•cos 6π＝23， ……1分∴|a -b |2＝（a -b ）2……2分＝a 2＋b 2-2⋅＝1＋3－3＝1， ……3分1=- ……4分（2≤+≤]13,13[+-∈+ ……6分≤]3,0[∈ ……7分（3）21)2()3(=+⋅-，2135222=-⋅-∴．……8分又|a |＝1，|b |＝3，23-=⋅∴．……9分 1cos 2a b a b θ∴==-·23． ……10分 ],0[πθ∈ ……没有此说明扣1分 65πθ=∴． ……12分19．（12分）解：（1）因为f （x ）＝sin （π－ωx ）cos ωx ＋cos 2ωx ，所以f （x ）＝sin ωx cos ωx ＋1＋cos 2ωx 2＝12sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋12＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4＋12． 由于ω＞0，依题意得2π2ω＝π，所以ω＝1．-------------------4（2）由（1）知f （x ）＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12， 所以g （x ）＝f （2x ）＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4＋12．当0≤x ≤π16时，π4≤4x ＋π4≤π2，所以22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4≤1．因此1≤g （x ）≤1＋22．故g （x ）在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π16上的最小值为1．-----------------------620．（12分）解:过点B 作BH ⊥OA ，垂足为H.设∠OAD=θ，则∠BAH=-θ，--------------------------2OA=2cos θ，--------------------------------------------------3BH=sin =cos θ， ---------------------------------------4AH=cos =sin θ，-----------------------------------------5所以B(2cosθ+sinθ，cosθ)，---------------------------7OB2=(2cosθ+sinθ)2+cos2θ=7+6cos2θ+2sin2θ=7+4sin.------------------------------9由0<θ<，知<2θ+<，所以当θ=时，OB2取得最大值7+4.---------------------------------------1221.（12分）解：(1)f(x)=m·n=4sin xcos x+2cosx=2sinx+2cosx=4sin.----3(2)由(1)，知f(x)=4sin，x∈[-π，π]，所以x+∈，由-≤x+≤，解得-≤x≤，所以函数f(x)的单调递增区间为.------------------------------7(3)当x∈[-π，π]时，函数h(x)=f(x)-k的零点讨论如下：当k>4或k<-4时，h(x)无零点，a=0；----------------------------------8当k=4或k=-4时，h(x)有一个零点，a=1；-------------------------------10当-4<k<-2或-2<k<4时，h(x)有两个零点，a=2；---------------------------11当k=-2时，h(x)有三个零点，a=3.--------------------------------------1222.（12分）解：(1)设点N(6,n),因为与x轴相切,则圆N为(x-6)2+(y-n)2=n2,n>0,又圆N与圆M外切,圆M:(x-6)2+(y-7)2=25,则|7-n|=|n|+5,解得n=1,即圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.--------------------------------------------4(2)由题意得OA=2,k OA=2,设l:y=2x+b,则圆心M到直线l的距离d==,则BC=2,即⇒b=5或b=-15,即l:y=2x+5或y=2x-15.------------8(3)因为+TA T Q =P T ,所以=-TA TQ TP PQ =,=TA PQ ⇒=TA PQ ,(TA t =-,根据|PQ |≤10,即10⇒t ∈[2-2所以t 的取值范围为对于任意t ∈[2-2欲使=TA PQ ,此时|TA |≤10,只需要作直线TA 的平行线,使圆心到直线的距离为2TA 必然与圆交于P,Q 两点,此时=TA PQ ,即=TA PQ ,因此对于任意t∈[2-2均满足题意,综上t ∈。
2016-2017第1学期广州中学高一期中考数学试卷
2016—2017学年度第一学期期中考试高一数学1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
共150分，考试时间120分钟。
2．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、学号、考试科目等按要求填涂在选择题答题卡上；答第Ⅱ卷前，考生务必将自己的姓名、班别、学号等填写在密封线左边的空格内。
3．第Ⅰ卷的答案必须答在选择题答题卡上；第Ⅱ卷用黑色字迹的钢笔或签字笔按各题要求答在答卷相应位置上。
4．考试结束时，将选择题答题卡和第Ⅱ卷答卷一并交回，试卷和草稿纸自行带走。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1、集合{}31<<-∈=x Z x A 的元素个数是（ ) A ．1B ．2C ．3D ．42、已知集合为那么N M x x N x x M },1{},20{>=≤≤=（ ）（A ）｝｛10<≤x x （B ） ｝｛21≤<x x （C ）｝｛21<≤x x （D ）｝｛21<<x x 3、下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）A ．1y =，xy x= B ．y y =C ．y x =，y =．y x =，2y =4、函数3)12(++=x k y 在(-∞,+∞)上是减函数,则( ) A. 21>k B. 21<k C. 21->k D. 21-<k 5、下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ） A ．1y x =+ B ．2y x =- C ．1y x=D ．3x y = 6．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1 (x ≥2)－x 2＋3x (x <2)，则f (－4)＋f (4)的值为( )A ．－21B ．－32C ．－2D ．07、函数1()2x f x a -=+（0a >且1a ≠）的图象一定经过点（ ）A ．（0，1）B ．（0，3）C ．（1，2）D ．（1，3）8、计算lg4+2lg5 的结果为 ( )A 2B 4C 5D 10 9、设2.13.0=a ,3.02.1=b ,6.0log 3=c ，则（ ）A ．b a c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．a b c <<10、在同一坐标系中，函数()(0)a f x x x =>，()log a g x x =的图象可能是（ ）11、已知函数x x x f 2log 2)(+-=，则)(x f 的零点所在区间为（ ） A.）（1,0 B. ）（2,1 C.）（3,2 D.）（4,3 12．已知偶函数)(x f 的定义域为R ，且在)0,(-∞上是增函数，则)1(2+-a a f 与)43(f 的大小关系为( )(A) )1(2+-a a f < )43(f (B) )1(2+-a a f ≤)43(f(C))1(2+-a a f >)43(f (D) )1(2+-a a f ≥)43(f 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13、计算 ______________25log 27)41(5321=-+-;14、满足不等式 931≥-x 中x 的取值范围为___________________；15、已知幂函数)(x f y =的图象过点)2,2(，则此函数的解析式为____________; 16、已知函数**(),,y f x x y =∈∈N N ，对任意*n ∈N 都有[()]3f f n n =，且()f x 是增函数，则(3)f =三、解答题（本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
数学---广东省广州市南沙区第一中学2016-2017学年高二下学期期中考试(理)
广东省广州市南沙区第一中学2016-2017学年高二下学期期中考试（理）第I 卷（选择题共60分）一、选择题（每小题5分，共60分） 1. 下列说法中，正确的是（ ）A ．命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题是真命题B ．命题“存在2,0x R x x ∈->”的否定是：“任意2,0x R x x ∈-≤”C ．命题“p 或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题D ．已知x R ∈，则“1x >”是“2x >”的充分不必要条件 2. 已知121,,,8a a -成等差数列，1231,,,,4b b b --成等比数列，那么122a ab 的值为（ ） A ．5- B ．5 C ．52- D ． 523. 已知ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为，若222a b c bc =+-，4bc =，则ABC ∆的面积为（ ）A.12B. 1C.D. 24. 已知不等式()91≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛++y a x y x 对任意正实数y x ,恒成立，则正实数a 的最小值为（ ）A. 4B. 1C. 5D. 35. 已知b a ,是实数，则“1=a 且2=b ”是“054222=+--+b a b a ”的（ ） A ． 充分而不必要条件 B ． 必要而不充分条件 C ． 充要条件D ． 既不充分也不必要条件6. 已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，E 为AA 1中点，则异面直线BE 与CD 1所成角的余弦值为（ ）A B. 15 C. D. 357. 已知双曲线222211x y a a -=-(0)a >a 的值为（ ） A.12B.2C.13D.8. 已知抛物线:C x y 42=的焦点为F，直线1)y x =-与C 交于,(A B A 在x 轴上方）两点. 若AF mFB =，则m 的值为（ ）A.B.32C. 2D. 39. 已知椭圆上有一点A,它关于原点的对称点为B ，点F 为椭圆的右焦点，且满足，设，且，则该椭圆的离心率e 的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ． 10. 在四棱锥P ABCD 中,底面ABCD 是正方形,侧棱PD ⊥平面ABCD,AB=PD=a.点E 为侧棱PC 的中点,又作DF ⊥PB 交PB 于点F.则PB 与平面EFD 所成角为（ ）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°11. 已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，顶角为120°，则E 的离心率为（ ）A ．B ．2C ．D ．12. 已知点是双曲线 右支上一点， 分别是双曲线的左、右焦点，为 的内心，若 成立，则双曲线的离心率为（ ） A ．4 B ．C ．2D ．)0(12222>>=+b a by a x AF BF ⊥ABF α∠=,126ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦]23,213[-]36,213[-]36,13[-]23,13[-P ()22221,0,0x y a b a b-=>>12,F F I 12PF F ∆121212IPF IPF IF F S S S ∆∆∆=+2553第II 卷二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知双曲线的两条渐近线的夹角为60°，则其离心率为 ．14. 若抛物线上一点M 到焦点的距离为3，则点M 到ｙ轴的距离为 ． 15. 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为AB 、CC 1的中点，则异面直线EF 与A 1C 1所成角的大小是_______.16. 若椭圆过抛物线的焦点， 且与双曲线有相同的焦点，则该椭圆的标准方程是_______.三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. (本题满分10分)过椭圆x 216＋y 24＝1内点M (2,1)引一条弦，使弦被M 平分，求此弦所在直线的方程．18. (本题满分12分)中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝213，椭圆的长半轴长与双曲线半实轴长之差为4，离心率之比为3∶7.(1)求这两曲线方程；(2)若P 为这两曲线的一个交点，求△F 1PF 2的面积．19. (本题满分12分)设F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，过的直线与相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB|，|BF 2|成等差数列． （1）求|AB|；（2）若直线的斜率为1，求实数的值．x y 42=22221x y a b+=28y x =221x y -=)10(1:222<<=+b by x E 1F l E l b20.（12分）已知数列{}n a 中，11a =，其前n 项的和为n S ，且满足2221n n n S a S =-2()n ≥. ⑴ 求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； ⑵ 证明：当2n ≥时，1231113 (232)n S S S S n ++++<.21. (本题满分12分)如图，三棱锥P ﹣ABC 中，PC ⊥平面ABC ，PC=3，∠ACB=．D ，E分别为线段AB ，BC 上的点，且CD=DE=，CE=2EB=2.（Ⅰ）证明：DE ⊥平面PCD（Ⅱ）求锐二面角A ﹣PD ﹣C 的余弦值．22 (12分)已知椭圆22221(0)x y a b a b +=＞＞，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点12,F F 为顶点的三角形的周长为1)+.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为B A 、和C D 、. （Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；（Ⅱ）设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k 、2k ，证明12·1k k =； （Ⅲ）探究11AB CD+是否是个定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.参考答案一、选择题1-5 BACAC 6-10 CBDCD 11-12 DC 二、填空题13. 2或 14. 2 15. 30° 16. 三、解答题17. 解：设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，M (2,1)为AB 的中点．∴x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.又A 、B 两点在椭圆上，则x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 22＝16. 两式相减得(x 21－x 22)＋4(y 21－y 22)＝0.于是(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24 y 1＋y 2＝－12，即k AB ＝－12.故所求直线方程为x ＋2y －4＝0.18. 解：(1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线方程为x 2m 2－y 2n2＝1(a ，b ，m ，n>0，且a>b)，则⎩⎪⎨⎪⎧a －m ＝47·13a ＝3·13m ，解得：a ＝7，m ＝3，∴b ＝6，n ＝2， ∴椭圆方程为x 249＋y 236＝1，双曲线方程为x 29－y 24＝1.(2)不妨设F 1，F 2分别为左、右焦点，P 是第一象限的一个交点， 则PF 1＋PF 2＝14，PF 1－PF 2＝6，∴PF 1＝10，PF 2＝4，∴cos ∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1·PF 2＝45，∴sin ∠F 1PF 2＝35.∴S △F 1PF 2＝12PF 1·PF 2sin ∠F 1PF 2＝12·10·4·35＝12.19. （1）由椭圆定义知|AF 2|＋|AB|＋|BF 2|＝4， 又2|AB|＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB|＝（2）因为左焦点，设l 的方程为y ＝x ＋c ，其中． 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则A ，B 两点坐标满足方程组22142x y +=431(,0)F c-c化简，得（1＋b 2）x 2＋2cx ＋1－2b 2＝0. 则． 因为直线AB 的斜率为1，所以．即． 则， 解得． 20. 解：（1）当2n ≥时，21221nn n n S S S S --=-，112n n n n S S S S ---=1112n n S S --=，从而1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成以1为首项，2为公差的等差数列. (6分)（2）由（1）可知，111(1)221n n n S S =+-⨯=-，121n S n ∴=- ∴当2n ≥时，11111111()(21)(22)2(1)21n S n n n n n n n n n=<=⋅=----- 从而123111111111313...1(1)2322231222n S S S S n n n n ++++<+-+-++-<-<- .21. 解：（Ⅰ）∵PC ⊥平面ABC ，DE ∈平面ABC ，∴PC ⊥DE ， ∵CE=2，CD=DE=，∴△CDE 为等腰直角三角形，∴CD ⊥DE ，∵PC∩CD=C ，DE 垂直于平面PCD 内的两条相交直线， ∴DE ⊥平面PCD（Ⅱ）由（Ⅰ）知△CDE 为等腰直角三角形，∠DCE=，过点D 作DF 垂直CE 于F ，易知DF=FC=FE=1，又由已知EB=1，故FB=2，2221y x c y x b =+⎧⎪⎨+=⎪⎩2121222212,11c b x x x x b b--+==++21AB x =-2143x =-()22221212222282128()449111c b b x x x x b b b --⎛⎫=+-=-⨯= ⎪++⎝⎭+2b =由∠ACB=得DF ∥AC ，，故AC=DF=，以C 为原点，分别以，，的方向为xyz 轴的正方向建立空间直角坐标系，则C （0，0，0），P （0，0，3），A （，0，0），E （0，2，0），D （1，1，0）， ∴=（1，﹣1，0），=（﹣1，﹣1，3），=（，﹣1，0），设平面PAD 的法向量=（x ，y ，z ），由，故可取=（2，1，1），由（Ⅰ）知DE ⊥平面PCD ，故平面PCD 的法向量可取=（1，﹣1，0），∴两法向量夹角的余弦值cos ＜，＞==∴二面角A ﹣PD ﹣C 的余弦值为．22. 解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c ，由题意知：c a =，2a+2c=4+1）所以，c=2， 又2a =22b c +，因此b=2故椭圆的标准方程为22184x y += 由题意设等轴双曲线的标准方程为22221x y m m-=()0m >，因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点。
广东省广州市南沙区第一中学2016-2017学年高一下学期
南沙第一中学2016级高一下学期第一次统测试题平行班 数学 2017.3.14一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．2cos3π=（ ） A ．21 B ．23 C ．21- D ．23- 2．在单位圆中，面积为1的扇形所对的弧长为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 3．与角3π-终边相同的角是（ ）A.56πB.3πC.116π D.35π4 ）A ．12x =B ．6x =C ．3x π=D ．12x π=-5．已知1312sin -=α，且α是第四象限的角，则αtan 的值为（ ） A ．512 B ．512- C ．125 D ．125-6．已知α为第二象限角，则2α所在的象限是（ ）A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限7．已知α为锐角，且4sin 5α=，则()cos πα-=（ ）． A ．35- B ．35 C ．45- D ．458. 函数1sin 2y x =（ ）A ．在[],ππ-上是增函数B ．在[]0,π上是减函数C ．在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数 D ．在[],0π-上是减函数9.为了得到函数sin 2y x =的图象，只需将函数sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象（ ）A ．向左平移8π个单位 B ．向右平移8π个单位 C ．向左平移4π个单位 D ．向右平移4π个单位10.） A ．．()(),k k k Z πππ+∈C11.()0000cos6cos36sin6cos54+=A ．C ． 0 D12.A ．tan α B ．tan 2α C ． 2tan α D ．2tan 2α二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知sin 2cos 12sin cos αααα-=-+，则tan α= ．14．()0cos75-＝________15.定义域为________ 16.已知函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如下图所示.则函数()f x 的解析式为________三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知4cos ,,tan 5ααα=-求sin 的值。
广东省广州市南沙区高一数学下学期期中试题
广东省广州市南沙区2016-2017学年高一数学下学期期中试题一、选择题1．︒210cos =（ ）A. 21B. 23 C. 21- D. 23- 2．已知向量)1,1(),4,2(-==b a ，则-2=（ ） A ．(5,7) B ．(5,9) C ．(3,7) D ．(3,9) 3．若，，则的终边在( )A 、第一象限 B.、第二象限 C 、 第三象限 D 、 第四象限 4．已知⎪⎭⎫⎝⎛-∈0,2πα，53cos =a ，则=αtan （ ）A.43B. 43-C. 34D. 34-．5．下列向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 （ ） A ．1e =(0,0), 2e =(1,－2) ; B ．1e =(-1,2), 2e =(5,7);C ．=(3,5),=(6,10); D ．=(2,-3) ,=6．要得到函数y =sin(2x -)的图象，只要将函数y =sin2x 的图象（ ）A ．向左平移B ．向右平移C ．向左平移D ．向右平移7．已知两个单位向量，的夹角为，且满足，则实数的值是（ ）A. B. C. D. 8．若，则（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知函数的图象关于直线对称，则的可能取值是A. B. C. D.10．如图所示，已知，则下列等式中成立的是A. B.C. D.11．函数的部分图象如图所示，则的值分别是（）A. B.C. D.12．的值等于（）A． B． C． D．二、填空题13．已知角的终边经过点P，则的值是14．已知向量满足，的夹角为，则在方向上的投影是_______ 15．已知均为锐角，则=_________16．已知函数（其中，）．若点在函数的图像上，则的值为三、解答题17．已知（1）若，求的夹角。
（2）若的夹角为45°，求的值；18．已知．（1）若，求的值；（2）若为第二象限角，且，求的值．19．设A，B，C，D为平面内的四点，且A（1，3），B（2，﹣2），C（4，1）. （1）若，求D点的坐标；（2）设向量，若平行，求实数k的值.20．已知函数y=3sin（1）求此函数的振幅、周期和初相；（2）用五点法在给定的坐标系中作出函数一个周期的图象。
2016-2017年广东省广州市南沙一中实验班高一(下)第一次月考数学试卷(解析版)
2016-2017学年广东省广州市南沙一中实验班高一（下）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）＝（）A．B．C．D．2．（5分）在单位圆中，面积为1的扇形所对的弧长为（）A．1B．2C．3D．43．（5分）与角终边相同的角是（）A．B．C．D．4．（5分）函数图象中的一条对称轴的方程是（）A．B．C．D．5．（5分）若sinα＝﹣，且α为第四象限角，则tanα的值等于（）A．B．﹣C．D．﹣6．（5分）已知α为第二象限角，则所在的象限是（）A．第一或第二象限B．第二或第三象限C．第一或第三象限D．第二或第四象限7．（5分）已知α为锐角，且，则cos（π﹣α）＝（）A．B．C．D．8．（5分）函数（）A．在[﹣π，π]上是增函数B．在[0，π]上是减函数C．在上是减函数D．在[﹣π，0]上是减函数9．（5分）要得到函数y＝sin2x的图象，只要将函数y＝sin（2x﹣）的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位10．（5分）函数的单调递增区间为（）A．B．（kπ，kπ+π）（k∈Z）C．D．11．（5分）cos6°cos36°+sin6°cos54°＝（）A．B．C．0D．12．（5分）化简y＝（）A．tanαB．tan2αC．2tanαD．2tan2α二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知，则tanα＝．14．（5分）cos（﹣75°）＝．15．（5分）函数的定义域为．16．（5分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．求函数f（x）的解析式．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知cosα＝﹣，求sinα，tanα18．（12分）（1）化简f（α）＝；（2）若tanα＝1，求f（α）的值．19．（12分）已知函数（1）函数f（x）的单调区间．（2）求函数f（x）取得最大值、最小值的自变量x的集合，并分别写出最大值、最小值是什么？20．（12分）某同学用“五点法”画函数的图象，先列表，并填写了一些数据，如表：（1）请将表格填写完整，并画出函数f（x）在一个周期内的简图；（2）写出如何由f（x）＝sin x的图象变化得到的图象，要求用箭头的形式写出变化的三个步骤．21．（12分）已知函数f（x）＝cos（x﹣），x∈R．（Ⅰ）求f（﹣）的值；（Ⅱ）若cosθ＝，θ∈（，2π），求f（2θ+）．22．（12分）已知函数f（x）＝cos2x+sin2x．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．（3）求f（x）的单调区间；（4）求f（x）的对称轴和对称中心．2016-2017学年广东省广州市南沙一中实验班高一（下）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）＝（）A．B．C．D．【解答】解：cos＝cos（π﹣）＝﹣cos＝﹣故选：C．2．（5分）在单位圆中，面积为1的扇形所对的弧长为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，扇形的面积为S，则r＝1，S＝1，由S＝lr，可得：1＝l×1，解得：弧长l＝2．故选：B．3．（5分）与角终边相同的角是（）A．B．C．D．【解答】解：∵与﹣角终边相同的角的集合为A＝{α|α＝﹣+2kπ，k∈Z}，取k＝1，得α＝．∴与﹣角终边相同的角是．故选：D．4．（5分）函数图象中的一条对称轴的方程是（）A．B．C．D．【解答】解：令2x+＝+kπ（k∈Z），解得x＝+（k∈Z），∴函数图象的对称轴方程为x＝+（k∈Z），取整数k＝0，得x＝为函数图象的一条对称轴，故选：A．5．（5分）若sinα＝﹣，且α为第四象限角，则tanα的值等于（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：∵sinα＝﹣，且α为第四象限角，∴cosα＝＝，则tanα＝＝﹣，故选：B．6．（5分）已知α为第二象限角，则所在的象限是（）A．第一或第二象限B．第二或第三象限C．第一或第三象限D．第二或第四象限【解答】解：∵α是第二象限角，∴k•360°+90°＜α＜k•360°+180°，k∈Z，则k•180°+45°＜＜k•180°+90°，k∈Z，令k＝2n，n∈Z有n•360°+45°＜＜n•360°+90°，n∈Z；在一象限；k＝2n+1，n∈z，有n•360°+225°＜＜n•360°+270°，n∈Z；在三象限；故选：C．7．（5分）已知α为锐角，且，则cos（π﹣α）＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵α为锐角，且，∴cosα＝＝，∴cos（π﹣α）＝﹣cosα＝﹣．故选：A．8．（5分）函数（）A．在[﹣π，π]上是增函数B．在[0，π]上是减函数C．在上是减函数D．在[﹣π，0]上是减函数【解答】解：根据正弦函数的图象与性质，令﹣+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z，解得﹣π+4kπ≤x≤π+4kπ，k∈Z，所以当k＝0时，函数在区间[﹣π，π]上是增函数．故选：A．9．（5分）要得到函数y＝sin2x的图象，只要将函数y＝sin（2x﹣）的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【解答】解：将函数y＝sin（2x﹣）的图象向左平移个单位，可得函数y＝sin[2（x+）﹣]＝sin2x的图象，故选：C．10．（5分）函数的单调递增区间为（）A．B．（kπ，kπ+π）（k∈Z）C．D．【解答】解：对于函数，令kπ﹣＜x﹣＜kπ+，求得kπ﹣＜x＜kπ+，可得函数的增区间为（kπ﹣，kπ+）故选：D．11．（5分）cos6°cos36°+sin6°cos54°＝（）A．B．C．0D．【解答】解：cos6°cos36°+sin6°cos54°＝cos6°cos36°+sin6°sin36°＝cos（36°﹣6°）＝cos30°＝，故选：B．12．（5分）化简y＝（）A．tanαB．tan2αC．2tanαD．2tan2α【解答】解：y＝＝＝．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知，则tanα＝．【解答】解：由，可得：＝﹣1，解得tanα＝．故答案为：．14．（5分）cos（﹣75°）＝．【解答】解：cos（﹣75°）＝cos75°＝cos（45°+30°）＝cos45°cos30°﹣sin45°sin30°＝﹣＝，故答案为：．15．（5分）函数的定义域为．【解答】解：要使函数有意义，需，解得故答案为．16．（5分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．求函数f（x）的解析式f（x）＝2sin（2x+）．【解答】解：由题意可知A＝2，T＝4（）＝π，ω＝2，当x＝时取得最大值2，所以2＝2sin（2x+φ），所以φ＝，函数f（x）的解析式：f（x）＝2sin（2x+）故答案为：f（x）＝2sin（2x+）．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知cosα＝﹣，求sinα，tanα【解答】解：∵cosα＝﹣，∴α为第II或第III象限的角①当为第II象限的角时sinα＝＝，tanα＝﹣②为第III象限的角时sinα＝﹣＝﹣，tanα＝．18．（12分）（1）化简f（α）＝；（2）若tanα＝1，求f（α）的值．【解答】解：（1）化简f（α）＝＝．（2）f（α）＝＝＝＝1．19．（12分）已知函数（1）函数f（x）的单调区间．（2）求函数f（x）取得最大值、最小值的自变量x的集合，并分别写出最大值、最小值是什么？【解答】解：函数由﹣≤2x +≤，k∈Z．得，∴单调递增区间，由≤2x +≤，k∈Z．得，单调递减区间．（2）根据三角函数的图象和性质，当2x +＝时，即x＝k π时，y取得最大值3．当2x +＝﹣，即x＝k π时，y取得最大值﹣3∴函数f（x）取得最大值自变量x 的集合为，y的最大值3函数f（x）取得最小值自变量x 的集合为，y的最大值﹣3．20．（12分）某同学用“五点法”画函数的图象，先列表，并填写了一些数据，如表：（1）请将表格填写完整，并画出函数f（x）在一个周期内的简图；（2）写出如何由f（x）＝sin x的图象变化得到的图象，要求用箭头的形式写出变化的三个步骤．【解答】解：（1）由，当＝0时，可得x＝，f（x）＝0，当＝时，可得x＝2π，f（x）＝2，当＝π时，可得x＝，f（x）＝0，当＝时，可得x＝5π，f（x）＝﹣2，当＝2π时，可得x＝，f（x）＝0，简图如下：（2）f（x）＝sin x 的图象变化得到的图象，（2）函数f（x）＝sin x第一步：y＝sin x y＝sin（x﹣）第二步：y＝sin（x﹣）→横坐标伸长原来的3倍，纵坐标不变可得y＝sin（x﹣）第三步：y＝sin（x﹣）y＝2sin（x﹣）21．（12分）已知函数f（x）＝cos（x﹣），x∈R．（Ⅰ）求f（﹣）的值；（Ⅱ）若cosθ＝，θ∈（，2π），求f（2θ+）．【解答】解：（1）（2）因为，所以所以，所以＝22．（12分）已知函数f（x）＝cos2x+sin2x．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．（3）求f（x）的单调区间；（4）求f（x）的对称轴和对称中心．【解答】解：（1）函数f（x）＝cos2x+sin2x＝•+sin2x＝cos2x+sin2x+＝sin（2x+）+；∴f（x）的最小正周期为T＝＝π；…（3分）（2）∵﹣≤x≤，所以0≤2x+≤当2x+＝时，即x＝时，f（x）取得最大值为1+，当2x+＝0时，即x＝﹣时，f（x）取得最小值为；…（6分）（3）令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z；∴f（x）的单调递增区间是；同理，f（x）的单调递减区间是[kπ+，kπ+]（k∈Z）；…（10分）（4）令2x+＝+kπ，k∈Z，解得x＝kπ+，k∈Z；∴f（x）的对称轴为x＝kπ+，k∈Z；令2x+＝kπ，k∈Z，解得x＝kπ﹣，k∈Z；∴f（x）的对称中心为（kπ﹣，0）．…（12分）。
广东省广州市南沙区高一数学下学期期中试题
广东省广州市南沙区2016-2017学年高一数学下学期期中试题一、选择题1．︒210cos =（ ） A.21 B. 23 C. 21- D. 23- 2．已知向量)1,1(),4,2(-==b a ，则-2=（ ） A ．(5,7) B ．(5,9) C ．(3,7) D ．(3,9) 3．若，，则的终边在( )A 、第一象限 B.、第二象限 C 、 第三象限 D 、 第四象限 4．已知⎪⎭⎫⎝⎛-∈0,2πα，53cos =a ，则=αtan （ ）A.43B. 43-C. 34D. 34-．5．下列向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 （ ） A ．1e =(0,0), 2e =(1,－2) ; B ．1e =(-1,2), 2e =(5,7);C ．=(3,5),=(6,10); D ．=(2,-3) ,=6．要得到函数y =sin(2x -)的图象，只要将函数y =sin2x 的图象（ ）A ．向左平移B ．向右平移C ．向左平移D ．向右平移7．已知两个单位向量，的夹角为，且满足，则实数的值是（ ）A. B. C. D. 8．若，则（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知函数的图象关于直线对称，则的可能取值是A. B. C. D.10．如图所示，已知，则下列等式中成立的是A. B.C. D.11．函数的部分图象如图所示，则的值分别是（）A. B.C. D.12．的值等于（）A． B． C． D．二、填空题13．已知角的终边经过点P，则的值是14．已知向量满足，的夹角为，则在方向上的投影是_______ 15．已知均为锐角，则=_________16．已知函数（其中，）．若点在函数的图像上，则的值为三、解答题17．已知（1）若，求的夹角。
（2）若的夹角为45°，求的值；18．已知．（1）若，求的值；（2）若为第二象限角，且，求的值．19．设A，B，C，D为平面内的四点，且A（1，3），B（2，﹣2），C（4，1）. （1）若，求D点的坐标；（2）设向量，若平行，求实数k的值.20．已知函数y=3sin（1）求此函数的振幅、周期和初相；（2）用五点法在给定的坐标系中作出函数一个周期的图象。
广东省广州市南沙一中高一(下)第一次月考数学试卷
2015-2016学年广东省广州市南沙一中高一（下）第一次月考数学试卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一项是正确的）1．cos（﹣π）的值为（）A．B．﹣C．﹣D．2．设集合U={1，2，3，4，5}，A={2，4}，B={1，2，3}，则图中阴影部分所表示的集合是（）A．{4}B．{2，4}C．{4，5}D．{1，3，4}3．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．12πB．8πC． D．4．设，则f=（）A．1 B．2 C．4 D．85．已知两条直线y=ax﹣2和y=（2﹣a）x+1互相平行，则a等于（）A．﹣1 B．2 C．1 D．06．下列函数中，既是偶函数，又在（0，+∞）上是单调减函数的是（）A．y=B．y=cosx C．y=ln|x+1|D．y=﹣2|x|7．已知角α的终边经过点P（﹣3，4），则sinα的值等于（）A．﹣B．C．D．﹣8．对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得（）A．a⊂α，b⊂αB．a⊂α，b∥αC．a⊥α，b⊥αD．a⊂α，b⊥α9．若，则（）A．f（﹣1）＞f（0）＞f（1）B．f（0）＞f（1）＞f（﹣1）C．f（1）＞f（0）＞f（﹣1）D．f（0）＞f（﹣1）＞f（1）10．已知sinθ+cosθ=，，则sinθ﹣cosθ的值为（）A．B．﹣C．D．﹣11．若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的取值范围是（）A．hslx3y3h，，3﹣1，，3内的零点．19．在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，E为PC中点，底面ABCD 是直角梯形．AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2．（Ⅰ）求证：BE∥平面APD；（Ⅱ）求证：BC⊥平面PBD．20．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）把函数f（x）图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）图象，当x∈hslx3y3h，f（﹣1）f（﹣1）f（﹣1）0，+∞），不关于原点对称，则不具奇偶性，则A不满足；对于B，为余弦函数，为偶函数，在（2kπ，2kπ+π）（k∈Z）上递减，则B不满足；对于C，定义域为{x|x≠﹣1}不关于原点对称，则不具奇偶性，则C不满足；对于D，定义域为R，f（﹣x）=﹣2|﹣x|=f（x），为偶函数，x＞0时，y=﹣2x递减，则D满足．故选D．7．已知角α的终边经过点P（﹣3，4），则sinα的值等于（）A．﹣B．C．D．﹣【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】由任意角的三角函数的定义可得x=﹣3，y=4，r=5，由此求得sinα=的值．【解答】解：∵已知角α的终边经过点P（﹣3，4），由任意角的三角函数的定义可得x=﹣3，y=4，r=5，∴sinα==，故选C．8．对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得（）A．a⊂α，b⊂αB．a⊂α，b∥αC．a⊥α，b⊥αD．a⊂α，b⊥α【考点】空间点、线、面的位置．【分析】对两条不相交的空间直线a与b，有a∥b 或a与b是异面直线，从而得出结论．【解答】解：∵两条不相交的空间直线a和b，有a∥b 或a与b是异面直线，∴一定存在平面α，使得：a⊂α，b∥α．故选B．9．若，则（）A．f（﹣1）＞f（0）＞f（1）B．f（0）＞f（1）＞f（﹣1）C．f（1）＞f（0）＞f（﹣1）D．f（0）＞f（﹣1）＞f（1）【考点】正切函数的单调性．【分析】本题要比较三个变量的正切值的大小，首先考虑到是求出函数的单调区间，把要比较大小的三个变量通过周期性变化到一个单调区间，根据函数的单调性得到结果．【解答】解：由题意知本题考查正切函数的单调性，由正切函数的单调区间可以知道y=tan（x+）的x+），∴x，函数单调递增∵f（1）=f（1﹣π），﹣＜1﹣π＜﹣1＜0＜，∴f（1﹣π）=f（1）＜f（﹣1）＜f（0），故选D．10．已知sinθ+cosθ=，，则sinθ﹣cosθ的值为（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】由题意可得可得1＞cosθ＞sinθ＞0，2sinθcosθ=，再根据sinθ﹣cosθ=﹣，计算求得结果．【解答】解：由sinθ+cosθ=，，可得1＞cosθ＞sinθ＞0，1+2sinθcosθ=，∴2sinθcosθ=．∴sinθ﹣cosθ=﹣=﹣=﹣，故选：B．11．若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的取值范围是（）A．hslx3y3h，，3﹣1，，32（x﹣）+4，5）∪（5，+∞）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据题意，列出使函数f（x）解析式有意义的关于自变量的不等式组，求出解集即可．【解答】解：∵函数f（x）=，∴；解得x≥4，且x≠5；∴函数f（x）的定义域是4，5）∪（5，+∞）．14．经过点（﹣2，1），且与直线2x﹣3y+5=0平行的直线方程是2x﹣3y+7=0．【考点】直线的点斜式方程．【分析】设出所求的直线方程是2x﹣3y+m=0，把点（﹣2，1）代入方程解得m的值，即得所求的直线的方程．【解答】解：设过点（﹣2，1），且与直线2x﹣3y+5=0平行的直线方程是2x﹣3y+m=0，把点（﹣2，1）代入方程解得m=7，故所求的直线的方程为2x﹣3y+7=0，故答案为：2x﹣3y+7=0．15．设函数f（x）=cos x，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2 015）+f（2 016）=0．【考点】数列的求和．【分析】函数f（x）=cos x，可得T=6．利用其周期性即可得出．【解答】解：∵函数f（x）=cos x，∴=6．则f（1）==，f（2）==﹣，f（3）=cosπ=﹣1，f（4）==，f（5）==，f（6）=cos2π=1，∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）=0，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2 015）+f（2 016）=336×=0．故答案为：0．16．已知函数，则满足不等式的实数m的取值范围为．【考点】指、对数不等式的解法；函数单调性的性质．【分析】由函数的解析式求得f（）==2，画出函数f（x）的图象，求得A、B的横坐标，可得满足不等式的实数m的取值范围【解答】解：∵函数，∴f（）==2，∴函数f（x）的图象如图所示：令=2，求得x=，故点A的横坐标为，令3x﹣3=2，求得x=log35，故点B的横坐标为log35．∴不等式，即f（m）≤2．顾满足f（m）≤2的实数m的取值范围为，故答案为．三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知f（α）=．（1）化简f（α）；（2）若α=﹣1860°，求f（α）的值；（3）若α∈（0，），且sin（α﹣）=，求f（α）的值．【考点】运用诱导公式化简求值；两角和与差的正弦函数．【分析】（1）利用诱导公式化简函数f（x）的解析式．（2）利用诱导公式化简f（α）=f（﹣18600）的值，可得结果．（3）利用同角三角的基本关系求得cos（α﹣）的值，再利用两角和差的余弦公式，求得f（α）的值．【解答】解：（1）f（α）===﹣cosα．（2）∵α=﹣18600=﹣6×3600+3000，∴f（α）=f（﹣18600）=﹣cos（﹣18600）=．（3）∵，∴f（α）=﹣cosα=﹣cos=﹣cos（α﹣）cos+sin（α﹣）sin=﹣•+=．18．已知f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求在（0，）内一条对称轴；（2）求在（0，2π，可得函数在（0，2π，可得x=，，，，故函数在（0，2π，（x﹣）+，﹣1，2hslx3y3h．21．已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2=4（a＞0）及直线l：x﹣y+3=0．当直线l被圆C截得的弦长为时，求（Ⅰ）a的值；（Ⅱ）求过点（3，5）并与圆C相切的切线方程．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）根据圆的方程找出圆心坐标与圆的半径，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离d，然后根据垂径定理得到弦心距，弦的一半及圆的半径成直角三角形，利用勾股对了列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，然后由a大于0，得到满足题意a的值；（Ⅱ）把（Ⅰ）求出a的值代入圆的方程中确定出圆的方程，即可得到圆心的坐标，并判断得到已知点在圆外，分两种情况：当切线的斜率不存在时，得到x=3为圆的切线；当切线的斜率存在时，设切线的斜率为k，由（3，5）和设出的k写出切线的方程，根据直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，让d等于圆的半径即可列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，把k的值代入所设的切线方程即可确定出切线的方程．综上，得到所有满足题意的切线的方程．【解答】解：（Ⅰ）依题意可得圆心C（a，2），半径r=2，则圆心到直线l：x﹣y+3=0的距离，由勾股定理可知，代入化简得|a+1|=2，解得a=1或a=﹣3，又a＞0，所以a=1；（Ⅱ）由（1）知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=4，圆心坐标为（1，2），圆的半径r=2由（3，5）到圆心的距离为=＞r=2，得到（3，5）在圆外，∴①当切线方程的斜率存在时，设方程为y﹣5=k（x﹣3）由圆心到切线的距离d==r=2，化简得：12k=5，可解得，∴切线方程为5x﹣12y+45=0；②当过（3，5）斜率不存在直线方程为x=3与圆相切．由①②可知切线方程为5x﹣12y+45=0或x=3．22．已知定义在R上的函数f（x）=是奇函数．（1）求实数a的值；（2）用定义证明f（x）在R上是减函数；（3）已知不等式f（log m）+f（﹣1）＞0恒成立，求实数m的取值范围．【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明．【分析】（1）由奇函数的性质得f（﹣x）+f（x）=0恒成立，代入解析式利用指数的运算化简，求出a的值；（2）根据函数单调性的定义进行证明，即取值﹣作差﹣变形﹣判断符号﹣下结论；（3）根据奇函数的性质将不等式转化为：f（log m）＞f（1），再由函数的单调性得log m ＜1，利用对数的单调性对m进行分类讨论，再求出实数m的取值范围．【解答】解：（1）由于f（x）是奇函数，则f（﹣x）+f（x）=0对于任意的x∈R都成立，即，则…可得﹣1+a•2x﹣2x+a=0，即（a﹣1）（2x+1）=0…因为2x＞0，则a﹣1=0，解得a=1…（2）设x1、x2∈R，且x1＜x2，则f（x2）﹣f（x1）=﹣==…，因为x1＜x2，所以，所以，，，从而f（x2）﹣f（x1）＜0，即f（x2）＜f（x1）…所以f（x）在R上是减函数…（3）由f（log m）+f（﹣1）＞0可得：f（log m）＞﹣f（﹣1）…因为f（x）是奇函数，所以f（log m）＞f（1），又因为f（x）在R上是减函数，所以log m＜1…①当m＞1时，不等式成立；②当0＜m＜1时，解得0＜m＜；综上可得，0＜m＜，或m＞1…故m的取值范围是（0，）∪（1，+∞）…2016年11月1日。
广东省广州市南沙区第一中学高一数学下学期第一次月考
广州市南沙第一中学2015级高一下学期月考（一）数学一、选择题(本题共12小题,每小题5分，共60分，每小题只有一项是正确的)1．的值为（）A．B．C．D．2．设集合U={1，2，3，4，5}，A={2，4}，B={1，2，3}，则图中阴影部分所表示的集合是（）A．{4} B．{2，4} C．{4，5} D．{1，3，4}3．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A．B．C．D．4．设，则=（）A．1 B．2 C．4 D．85．已知两条直线y=ax﹣2和y=（2﹣a）x+1互相平行，则a等于（）A．﹣1 B．2 C．1 D．06．下列函数中，既是偶函数，又在上是单调减函数的是（）A．B．C．D．7．已知角的终边经过点，则的值等于（）A．B．C．D．8．对于空间中两条不相交的直线与，必存在平面，使得（）A．，B．，C．，D．，9．若，则（）A．B．C．D．10．已知，则的值为A．B．C．D．11．若直线与曲线有公共点，则的取值范围是（）A．B．C．D．12．函数的图象如下图所示，为了得到的图像，可以将的图像（）A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13．函数f（x）=的定义域是．14．经过点，且与直线平行的直线方程是________．15．设函数，则＝________．16．已知函数，则满足不等式的实数m的取值范围为．三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题10分）已知．（1）化简；（2）若，求的值；18．（本小题12分）已知f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求在（0，）内一条对称轴；（2）求在（0，2π]内的零点．19．（本小题12分）在四棱锥中，侧面⊥底面，，为中点，底面是直角梯形，，，．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面；20．（本小题12分）已知函数部分图象如图所示。
广州市数学高一下期中测试题(培优练)(1)
一、选择题1．(0分)[ID ：12425]设曲线31x y x +=-在点25（，）处的切线与直线10ax y +-=平行，则a=（ ）A ．-4B ．14-C ．14D ．42．(0分)[ID ：12423]已知三棱锥D ABC -的外接球的表面积为128π，4,42AB BC AC ===，则三棱锥D ABC -体积的最大值为（ ）A ．2732B ．10863+ C ．1663+ D ．3221663+ 3．(0分)[ID ：12411]已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若m α⊂，则m β⊥B ．若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥C ．若m α⊄，m β⊥，则//m αD ．若m αβ=，n m ⊥，则n α⊥ 4．(0分)[ID ：12405]三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，P A =2，AB =BC =1，则其外接球的表面积为（ ）A ．6πB ．5πC ．4πD ．3π5．(0分)[ID ：12378]已知平面//α平面β，直线m α，直线n β，点A m ∈,点B n ∈，记点A 、B 之间的距离为a ,点A 到直线n 的距离为b ,直线m 和n 的距离为c ,则 A ．b a c ≤≤ B ．a c b ≤≤ C ． c a b ≤≤ D ．c b a ≤≤6．(0分)[ID ：12355]已知点A （1，2），B （3，1），则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ）A ．4x 2y 5+=B ．4x 2y 5-=C ．x 2y 5+=D ．x 2y 5-= 7．(0分)[ID ：12344]用一个平面去截正方体，则截面不可能是（ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．正方形D ．正六边形 8．(0分)[ID ：12340]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．12B ．18C ．24D ．309．(0分)[ID ：12395]正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AD ，DD 1的中点，AB ＝4，则过B ，E ，F 的平面截该正方体所得的截面周长为（ ）A ．62+45B ．62+25C ．32+45D ．32+2510．(0分)[ID ：12391]已知点()1,2-和3,03⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭在直线():100l ax y a --=≠的两侧，则直线l 的倾斜角的取值范围是 ( )A ．,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭ B ．2,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．25,36ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．30,,34πππ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11．(0分)[ID ：12386]已知AB 是圆22620x y x y +-+=内过点(2,1)E 的最短弦，则||AB 等于（ ）A ．3B ．22C ．23D ．2512．(0分)[ID ：12364]已知直线()()():21110l k x k y k R ++++=∈与圆()()221225x y -+-=交于A ，B 两点，则弦长AB 的取值范围是（ ） A ．[]4,10 B ．[]3,5 C ．[]8,10 D ．[]6,1013．(0分)[ID ：12359]若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( )．A ．130B ．140C ．150D ．16014．(0分)[ID ：12339]某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为4的正方形，两条虚线互相垂直且相等，则该几何体的体积是（ ）A ．1763B ．1603C ．1283 D ．32 15．(0分)[ID ：12335]已知平面αβ⊥且l αβ=，M 是平面α内一点，m ，n 是异于l 且不重合的两条直线，则下列说法中错误的是（ ）. A ．若//m α且//m β，则//m lB ．若m α⊥且n β⊥，则m n ⊥C ．若M m ∈且//m l ，则//m βD ．若M m ∈且m l ⊥，则m β⊥二、填空题16．(0分)[ID ：12479]光线由点P(2,3)射到直线x+y+1=0上，反射后过点Q(1,1) ，则反射光线方程为__________．17．(0分)[ID ：12527]如图，在圆柱O 1 O 2 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O 1 O 2 的体积为V 1 ,球O 的体积为V 2 ，则12V V 的值是_____18．(0分)[ID ：12526]直线y =x +1与圆x 2+y 2+2y −3=0交于A ， B 两点，则|AB |=________．19．(0分)[ID ：12522]在三棱锥P ABC -中,PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，3AB =，4BC =，5PA =，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为__________20．(0分)[ID ：12517]过点(1,2)-且与直线2390x y -+=垂直的直线方程为____________．21．(0分)[ID ：12441]如上图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别是棱1AB CC 、的中点，1MB P ∆的顶点P 在棱1CC 与棱11C D 上运动，有以下四个命题：A ．平面1MB P 1ND ⊥； B ．平面1MB P ⊥平面11ND A ；C ．∆1MB P 在底面ABCD 上的射影图形的面积为定值；D ．∆1MB P 在侧面11D C CD 上的射影图形是三角形．其中正确命题的序号是__________.22．(0分)[ID ：12500]如图，AB 是底面圆O 的直径,点C 是圆O 上异于A 、B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且1,2PO OB BC ===，点E 在线段PB 上，则CE OE +的最小值为________.23．(0分)[ID ：12451]圆221x y +=上的点到直线34250x y +-=的距离的最小值是 ．24．(0分)[ID ：12502]直线:l y x b =+与曲线2:1C y x =-有两个公共点，则b 的取值范围是______.25．(0分)[ID ：12438]已知PA 垂直于平行四边形ABCD 所在平面，若PC BD ⊥，则平行四边形ABCD 一定是___________.三、解答题26．(0分)[ID ：12601]如图1，有一边长为2的正方形ABCD ，E 是边AD 的中点，将ABE △沿着直线BE 折起至A BE '位置（如图2），此时恰好A E A C ''⊥，点A '在底面上的射影为O .（1）求证：A E BC '⊥；（2）求直线A B '与平面BCDE 所成角的正弦值.27．(0分)[ID ：12571]如图所示，四棱锥B AEDC -中，平面AEDC ⊥平面ABC ，F 为BC 的中点，P 为BD 的中点，且AE ∥DC ，90ACD BAC ∠=∠=︒，2DC AC AB AE ===．（Ⅰ）证明：平面BDE ⊥平面BCD ；（Ⅱ）若2DC =，求三棱锥E BDF -的体积．28．(0分)[ID ：12557]如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，ABE ∆是等腰直角三角形，AB AE =，FA FE =，45AEF ∠=︒．（1）设线段CD AE 、的中点分别为P M 、，求证：//PM 平面BCE ；（2）求二面角F BD A --所成角的正弦值．29．(0分)[ID ：12549]已知点(3,4),(9,0)A B -，,C D 分别为线段,OA OB 上的动点，且满足AC BD =（1）若4,AC =求直线CD 的方程；（2）证明：OCD ∆的外接圆恒过定点（异于原点）．30．(0分)[ID ：12530]在ABC ∆中，已知()1,2A ，()3,4C ，点B 在x 轴上，AB 边上的高线CD 所在直线的方程为220x y --=.（1）求B 点坐标；（2）求ABC ∆面积.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题1．D2．D3．C4．A5．D6．B7．A8．C9．A10．D11．D12．D13．D14．B二、填空题16．4x－5y+1=0【解析】【分析】先求P点关于直线x+y+1=0对称点M再根据两点式求MQ方程即得结果【详解】因为P点关于直线x+y+1=0对称点为所以反射光线方程为【点睛】本题考查点关于直线对称问17．【解析】设球半径为则故答案为点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：①若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体锥体或台体则可直接利用公式进行求解；②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出则常18．22【解析】【分析】首先将圆的一般方程转化为标准方程得到圆心坐标和圆的半径的大小之后应用点到直线的距离求得弦心距借助于圆中特殊三角形半弦长弦心距和圆的半径构成直角三角形利用勾股定理求得弦长【详解】根19．【解析】【分析】以为长宽高构建长方体则长方体的外接球是三棱锥的外接球由此能求出三棱锥的外接球的表面积【详解】由题意在三棱锥中平面以为长宽高构建长方体则长方体的外接球是三棱锥的外接球所以三棱锥的外接球20．【解析】【分析】因为直线l与已知直线垂直根据两直线垂直时斜率的乘积为-1由已知直线的斜率求出直线l的斜率然后根据（-12）和求出的斜率写出直线l的方程即可【详解】因为直线2x-3y+9=0的斜率为所21．【解析】由正方体的几何性质对4个命题进行判断对于A当动点P与点重合时以等腰三角形与不垂直所以不能得出平面A为假命题；对于B易证所以平面所以平面⊥平面故B为真命题；对于C在底面上的射影图形的面积为定值22．【解析】【分析】首先求出即有将三棱锥展开当三点共线时值最小可证为中点从而可求从而得解【详解】在中所以同理所以在三棱锥中将侧面绕旋转至平面使之与平面共面如图所示当共线时取得最小值又因为所以垂直平分即为23．4【解析】试题分析：圆的圆心为圆心到直线的距离为所以点到直线的距离的最小值是5-1=4考点：直线和圆的位置关系24．【解析】【分析】由题意曲线表示以原点为圆心1为半径的半圆根据图形得出直线与半圆有两个公共点时抓住两个关键点一是直线与圆相切时二是直线过时分别求出的值即可确定的范围【详解】如图所示是个以原点为圆心1为25．菱形【解析】【分析】【详解】根据题意画出图形如图∵PA垂直平行四边形ABCD所在平面∴PA⊥BD又∵PC⊥BDPA⊂平面PACPC⊂平面PACPA∩PC=P∴BD⊥平面PAC又∵AC⊂平面PAC ∴A三、解答题27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】求出原函数的导函数，得到函数在2x =时的导数，再由两直线平行与斜率的关系求得a 值．【详解】 解：由31x y x +=-，得()()2213411x x y x x ---=---'=， ∴2'|4x y ==-， 又曲线31x y x +=-在点25（，）处的切线与直线10ax y +-=平行， ∴4a -=-，即4a =．故选D ．【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查两直线平行与斜率的关系，是中档题．2．D解析：D【解析】【分析】先求出球心O 到底面距离的最大值，从而可求顶点D 到底面的距离的最大值，利用该最大值可求体积的最大值.【详解】设外接球的球心为O ，半径为R ，则24128R ππ=，故42R =设球心O 在底面上的投影为E ，因为OA OC OB ==，故E 为ABC ∆的外心. 因为4AB BC ==，42AC =222AC AB BC =+，故ABC ∆为直角三角形， 故E 为AC 的中点，所以2226OE OA AE =-=，设D 到底面ABC 的距离为h ，则2642h OE R ≤+=所以三棱锥D ABC -的体积的最大值为(1132216644264232+⨯⨯⨯⨯=. 故选：D.【点睛】几何体的外接球、内切球问题，关键是球心位置的确定，必要时需把球的半径放置在可解的几何图形中，注意球心在底面上的投影为底面外接圆的圆心．如果球心的位置不易确定，则可以把该几何体补成规则的几何体，便于球心位置和球的半径的确定． 3．C解析：C【解析】由题设，,αβ⊥ 则A. 若m α⊂，则m β⊥，错误；B. 若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ 错误；D. 若m αβ⋂=，n m ⊥，当n β⊄ 时不能得到n α⊥，错误.故选C.4．A解析：A【解析】分析：将三棱锥的外接球转化为以,,AP AB BC 为长宽高的长方体的外接球，从而可得球半径，进而可得结果.详解：因为PA ⊥平面AB ，,AB BC ⊂平面ABC ，PA BC ∴⊥，,PA AB AB BC ⊥⊥，所以三棱锥的外接球，就是以,,AP AB BC 为长宽高的长方体的外接球，外接球的直径等于长方体的对角线，即2R ==246R ππ=，故选A.点睛：本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用22224R a b c =++（,,a b c 为三棱的长）；②若SA ⊥面ABC （SA a =），则22244R r a =+（r 为ABC ∆外接圆半径） ③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.5．D解析：D【解析】【分析】根据平面与平面平行的判断性质,判断c 最小,再根据点到直线距离和点到直线上任意点距离判断a 最大.【详解】由于平面//α平面β,直线m 和n 又分别是两平面的直线,则c 即是平面之间的最短距离. 而由于两直线不一定在同一平面内,则b 一定大于或等于c ,判断a 和b 时,因为B 是上n 任意一点,则a 大于或等于b .故选D.【点睛】本题主要考查面面平行的性质以及空间距离的性质，考查了空间想象能力，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.6．B解析：B【解析】【分析】【详解】因为线段AB 的垂直平分线上的点(),x y 到点A ，B 的距离相等，=．即：221244x x y y +-++-229612x x y y =+-++-，化简得：425x y -=．故选B ．7．A解析：A【解析】【分析】【详解】画出截面图形如图显然A 正三角形C 正方形：D 正六边形可以画出三角形但不是直角三角形；故选A ．用一个平面去截正方体，则截面的情况为：①截面为三角形时，可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形，但不可能是钝角三角形、直角三角形；②截面为四边形时，可以是梯形（等腰梯形）、平行四边形、菱形、矩形，但不可能是直角梯形；③截面为五边形时，不可能是正五边形；④截面为六边形时，可以是正六边形．故可选A ．8．C解析：C【解析】试题分析：由三视图可知，几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，如图所示，三棱柱的高为5，消去的三棱锥的高为3，三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为3和4的直角三角形，所以几何体的体积为V =12×3×4×5−13×12×3×4×3=24，故选C ．考点：几何体的三视图及体积的计算．【方法点晴】本题主要考查了几何体的三视图的应用及体积的计算，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状，本题的解答的难点在于根据几何体的三视图还原出原几何体和几何体的度量关系，属于中档试题．9．A解析：A【解析】【分析】利用线面平行的判定与性质证明直线1BC 为过直线EF 且过点B 的平面与平面11BCC B 的交线,从而证得1,,,B E F C 四点共面,然后在正方体中求等腰梯形1BEFC 的周长即可.【详解】作图如下:因为,E F 是棱1,AD DD 的中点,所以11////EF AD BC ,因为EF ⊄平面11BCC B ,1BC ⊂平面11BCC B ,所以//EF 平面11BCC B ，由线面平行的性质定理知,过直线EF 且过点B 的平面与平面11BCC B 的交线l 平行于直线EF ,结合图形知,l 即为直线1BC ,过B ，E ，F 的平面截该正方体所得的截面即为等腰梯形1BEFC ,因为正方体的棱长AB ＝4,所以11EF BE C F BC ====所以所求截面的周长为+故选:A【点睛】本题主要考查多面体的截面问题和线面平行的判定定理和性质定理；重点考查学生的空间想象能力;属于中档题.10．D解析：D【解析】设直线l 的倾斜角为θ∈[0,π).点A (1,−2),B (3,0). 直线l :ax −y −1=0(a ≠0)经过定点P (0,−1). ()121,01PA PB k k ---==-==-∵点(1,−2)和在直线l :ax −y −1=0(a ≠0)的两侧，∴k P A <a <k PB ,∴−1<tanθtanθ≠0. 解得30,34ππθθπ<<<<.本题选择D 选项. 11．D解析：D【解析】【分析】求出圆的标准方程，确定最短弦的条件，利用弦长公式进行求解即可．【详解】圆的标准方程为（x ﹣3）2+（y +1）2＝10，则圆心坐标为C （3，﹣1），半径为过E 的最短弦满足E 恰好为C 在弦上垂足，则CE ==，则|AB |==，故选D ．【点睛】本题主要考查圆的标准方程的求解，以及直线和圆相交的弦长问题,属于中档题．12．D解析：D【解析】【分析】由直线()()21110k x k y ++++=，得出直线恒过定点()1,2P -，再结合直线与圆的位置关系，即可求解.【详解】由直线()()():21110l k x k y k R ++++=∈，可得()210k x y x y ++++=，又由2010x y x y +=⎧⎨++=⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩，即直线恒过定点()1,2P -，圆心()1,2C ， 当CP l ⊥时弦长最短，此时2222AB CP r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得min 6AB =， 再由l 经过圆心时弦长最长为直径210r =， 所以弦长AB 的取值范围是[]6,10.故选：D.【点睛】本题主要考查了直线系方程的应用，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟练利用直线的方程，得出直线恒过定点，再结合直线与圆的位置关系求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.13．D解析：D【解析】设直四棱柱1111ABCD A B C D -中，对角线119,15AC BD ==， 因为1A A ⊥平面,ABCD AC ,平面ABCD ，所以1A A AC ⊥，在1Rt A AC ∆中，15A A =，可得AC ==同理可得BD ===，因为四边形ABCD 为菱形，可得,AC BD 互相垂直平分，所以8AB ===，即菱形ABCD 的边长为8， 因此，这个棱柱的侧面积为1()485160S AB BC CD DA AA =+++⨯=⨯⨯=，故选D.点睛：本题考查了四棱锥的侧面积的计算问题，解答中通过给出的直四棱柱满足的条件，求得底面菱形的边长，进而得出底面菱形的底面周长，即可代入侧面积公式求得侧面积，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及空间想象能力，其中正确认识空间几何体的结构特征和线面位置关系是解答的关键.14．B解析：B【解析】该几何体为一个正方体去掉一个倒四棱锥，其中正方体棱长为4，倒四棱锥顶点为正方体中心，底面为正方体上底面，因此体积是32116042433-⨯⨯=，选B. 点睛： 1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．15．D解析：D【解析】【分析】根据已知条件和线面位置关系一一进行判断即可.【详解】选项A ：一条直线平行于两个相交平面，必平行于两个面交线，故A 正确；选项B ：垂直于两垂直面的两条直线相互垂直，故B 正确；选项C ：M m ∈且//m l 得m α⊂且//m β，故C 正确；选项D ：M m ∈且m l ⊥不一定得到m α⊂，所以,m l 可以异面，不一定得到m β⊥. 故选：D .【点睛】本题主要考查的是空间点、线、面的位置关系的判定，掌握线面、线线之间的判定定理和性质定理是解决本题的关键，是基础题.二、填空题16．4x －5y+1=0【解析】【分析】先求P 点关于直线x+y+1=0对称点M 再根据两点式求MQ 方程即得结果【详解】因为P 点关于直线x+y+1=0对称点为所以反射光线方程为【点睛】本题考查点关于直线对称问解析：4x－5y+1=0【解析】【分析】先求P点关于直线x+y+1=0对称点M，再根据两点式求 MQ方程，即得结果.【详解】因为P点关于直线x+y+1=0对称点为(4,3)M--，所以反射光线方程为13:1(1),451014MQ y x x y+-=--+=+.【点睛】本题考查点关于直线对称问题，考查基本分析求解能力，属基本题.17．【解析】设球半径为则故答案为点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：①若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体锥体或台体则可直接利用公式进行求解；②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出则常解析：3 2【解析】设球半径为r，则213223423V r rV rπ⨯==π．故答案为32．点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：①若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．18．22【解析】【分析】首先将圆的一般方程转化为标准方程得到圆心坐标和圆的半径的大小之后应用点到直线的距离求得弦心距借助于圆中特殊三角形半弦长弦心距和圆的半径构成直角三角形利用勾股定理求得弦长【详解】根解析：2√2【解析】【分析】首先将圆的一般方程转化为标准方程，得到圆心坐标和圆的半径的大小，之后应用点到直线的距离求得弦心距，借助于圆中特殊三角形半弦长、弦心距和圆的半径构成直角三角形，利用勾股定理求得弦长.【详解】根据题意，圆的方程可化为x2+(y+1)2=4，所以圆的圆心为(0,−1)，且半径是2，根据点到直线的距离公式可以求得d=√12+(−1)2=√2，结合圆中的特殊三角形，可知|AB|=2√4−2=2√2，故答案为2√2.【点睛】该题考查的是有关直线被圆截得的弦长问题，在解题的过程中，熟练应用圆中的特殊三角形半弦长、弦心距和圆的半径构成的直角三角形，借助于勾股定理求得结果.19．【解析】【分析】以为长宽高构建长方体则长方体的外接球是三棱锥的外接球由此能求出三棱锥的外接球的表面积【详解】由题意在三棱锥中平面以为长宽高构建长方体则长方体的外接球是三棱锥的外接球所以三棱锥的外接球 解析：50π【解析】【分析】以,,AB BC PA 为长宽高构建长方体，则长方体的外接球是三棱锥P ABC -的外接球，由此能求出三棱锥P ABC -的外接球的表面积.【详解】由题意，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面,,3,4,5ABC AB BC AB BC PA ⊥===， 以,,AB BC PA 为长宽高构建长方体，则长方体的外接球是三棱锥P ABC -的外接球，所以三棱锥P ABC -的外接球的半径为R == 所以三棱锥P ABC -的外接球的表面积为2244()502S R πππ==⨯=. 【点睛】 本题主要考查了三棱锥的外接球的表面积的计算问题，其中解答中根据几何体的结构特征，以,,AB BC PA 为长宽高构建长方体，得到长方体的外接球是三棱锥P ABC -的外接球是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力.20．【解析】【分析】因为直线l 与已知直线垂直根据两直线垂直时斜率的乘积为-1由已知直线的斜率求出直线l 的斜率然后根据（-12）和求出的斜率写出直线l 的方程即可【详解】因为直线2x-3y+9=0的斜率为所 解析：3210x y +-=【解析】【分析】因为直线l 与已知直线垂直，根据两直线垂直时斜率的乘积为-1，由已知直线的斜率求出直线l 的斜率，然后根据（-1，2）和求出的斜率写出直线l 的方程即可．【详解】因为直线2x-3y+9=0的斜率为23 ，所以直线l 的斜率为32- ， 则直线l 的方程为：3212y x -=-+（） ，化简得3210x y +-=.即答案为3210x y +-=．【点睛】本题考查学生掌握两直线垂直时斜率的关系，会根据一点和斜率写出直线的点斜式方程，是一道基础题．21．【解析】由正方体的几何性质对4个命题进行判断对于A 当动点P 与点重合时以等腰三角形与不垂直所以不能得出平面A 为假命题；对于B 易证所以平面所以平面⊥平面故B 为真命题；对于C 在底面上的射影图形的面积为定值 解析：BC【解析】由正方体的几何性质对4个命题进行判断，对于A ，当动点P 与点1D 重合时，MNP ∆以等腰三角形，PM 与1ND 不垂直，所以不能得出平面11MB P ND ⊥，A 为假命题；对于B ，易证11111ND MB MB A D ⊥⊥，，所以1MB ⊥平面11ND A ，所以平面1MB P ⊥平面11ND A ，故B 为真命题；对于C ，∆ 1MB P 在底面ABCD 上的射影图形的面积为定值，因为1MB P ∆在底面ABCD 的射影是三角形，底边是MB ，点P 在底面的射影在CD 上，到MB 的距离不变，若正方体棱长为a 时，则射影面积为214a 为定值，所以C 为真命题；对于D ，当P 点与点1C 重合时，则点1B 与点P 的投影重合，此时∆ 1MB P 在侧面11D C CD 上的射影图形是线段，不是三角形，故D 是假命题。
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2016-2017学年广东省广州市南沙区第一中学高一下学期期中考试数学试
题
一、选择题
1．︒210cos =（ ） A.
21 B. 23 C. 21- D. 2
3
-
2．已知向量)1,1(),4,2(-==b a ，则b a -2=（ ） A ．(5,7) B ．(5,9) C ．(3,7) D ．(3,9)
3．若
，
，则
的终边在( )
A 、第一象限 B.、第二象限 C 、 第三象限 D 、 第四象限 4．已知⎪⎭
⎫
⎝⎛-
∈0,2πα，53cos =a ，则=αtan （ ）
A.
43
B. 43-
C. 34
D. 3
4-． 5．下列向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 （ ）
A ．1e =(0,0), 2e =(1,－2) ;
B ．1e =(-1,2), 2e =(5,7);
C ．
=(3,5),
=(6,10); D ．
=(2,-3) ,
=
6．要得到函数y =sin (2x -)的图象，只要将函数y =sin2x 的图象（ ）
A ．向左平移
B ．向右平移
C ．向左平移
D ．向右平移
7．已知两个单位向量
，的夹角为，且满足，则实数的值是（ ）
A. B. C. D.
8．若
，则
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9．已知函数
的图象关于直线
对称，则的可能取值是
A. B. C. D.
10．如图所示，已知，则下列等式中成立的是
A. B.
C. D.
11．函数的部分图象如图所示，则
的值分别是（）
A. B.
C. D.
12．的值等于（）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知角的终边经过点P，则的值是
14．已知向量满足，的夹角为，则在方向上的投影是_______
15．已知均为锐角，则=_________
16．已知函数（其中，）．若点在函数
的图像上，则的值为
三、解答题
17．已知
（1）若，求的夹角。
（2）若的夹角为45°，求的值；
18．已知．
（1）若，求的值；
（2）若为第二象限角，且，求的值．
19．设A，B，C，D为平面内的四点，且A（1，3），B（2，﹣2），C（4，1）.（1）若，求D点的坐标；
（2）设向量，若平行，求实数k的值.
20．已知函数y=3sin
（1）求此函数的振幅、周期和初相；
（2）用五点法在给定的坐标系中作出函数一个周期的图象。
（先列表再作图）
x 3sin
21．设函数
（1）求的最大值及此时的值 （2）求的单调减区间
（3）若
22．已知向量)cos ,(sin ),sin ,(cos x x b x x a ==,且]2
,0[π
∈x ,
（1）求b a ⋅的取值范围; （2）求证)4
sin(2π+
=+x b a ;
（3）求函数
b
a b a x f +-⋅=2)(的取值范围
参考答案
1．D
【解析】解：因为，选D.
2．A
【解析】
试题分析：根据平面向量的坐标运算可得，故选择A
考点：平面向量的坐标运算
3．C
【解析】，则的终边在三、四象限；则的终边在三、一象限，
，，同时满足，则的终边在三象限。
4．D
【解析】解：因为已知角的余弦值，且为第四象限，那么利用同角平方关系得到正弦值为负数，且为-，因此正切值为-，选D
5．B
【解析】选作基底的标准是不共线的两个向量，显然B选项中的两个向量不共线.
6．D
【解析】将函数y=sin2x的图象向右平移个单位，则..
7．B
【解析】试题分析：因为单位向量的夹角为，所以，又因为，所以，故选B．
考点：1、向量垂直的性质；2、平面向量数量积公式.
8．C
【解析】
试题分析：,故选C．
考点：二倍角公式．
9．A
【解析】由题意，，，得，，在四个选项中，只有满足题意，故选A．
【解析】因为，，，所以
，故选A．
11．C
【解析】
试题分析：根据图像可得：,,而，，当时，
，解得：，故选C.
考点：的图像
12．D
【解析】
试题分析：
由，
代入已知式子化简可得，故选择D
考点：两角和的正切展开式
13．
14．1
【解析】依题意有.
15．
【解析】由于都是锐角，所以，
所以，，
所以
．
点睛：在三角函数恒等变换中，灵活应用三角公式是解题的关键，要注意公式中“单角”与得“复角”是相对的，例如以下角的变换经常用到：
16．
【解析】因为,
所以,,
17．（1）夹角为
2）1
【解析】（1）数量积的公式应用：
（2）求的值时，通常先求的平方值，再开方，
解：（1）因为，
且，又因为所以
因为向量的夹角范围为所以夹角为
2）=1
18．（1）；（2）．
【解析】
试题分析：（1）根据三角恒等变换的公式，化简，即可求解当时，的值；（2）由，解得，进而求解的值．
试题解析：．
（1）．
（2），∴，
∵是第二象限角，∴，
∴．
考点：三角函数的化简求值．
19．（1）（5，﹣4）（2）
【解析】
试题分析：（1）设出D点坐标，将其代入向量关系式=可得到D点坐标；（2）由向量平行可得到两向量的坐标关系式，从而得到关于实数k的方程，求得其值
试题解析：（1）设D（x，y）.∵，
∴（2，﹣2）﹣（1，3）=（x，y）﹣（4，1），
化为（1，﹣5）=（x﹣4，y﹣1），
∴，解得，
∴D（5，﹣4）.
（2）∵=（1，﹣5），==（4，1）﹣（2，﹣2）=（2，3）.
∴=k（1，﹣5）﹣（2，3）=（k﹣2，﹣5k﹣3），=（1，﹣5）+3（2，3）=（7，4）.
∵k﹣与+3平行，
∴7（﹣5k﹣3）﹣4（k﹣2）=0，解得k=.
∴.
考点：平面向量共线（平行）的坐标表示；相等向量与相反向量
20．（1）详见解析;（2）振幅A=3，初相是-．
【解析】
试题分析：（1）根据周期、振幅、初相的概念即可求出结果；（2）利用五点作图法即可做出图像；解：（1）周期T===4， 2分；振幅A=3，初相是-． 4分
（2）列表：
x
02
3sin
030-30
8分
描点、连线,如图所示：
12分
考点：1．“五点作”图法；2．y=Asin（ωx+φ）的函数性质．
21．（1）时，；
（2），；
（3）.
【解析】
试题分析：（1）通过降幂公式化简，再利用辅助角公式化简函数为
，令，求函数的最大值以及x值；（2）根据上一问的化简，令
求函数的单调递减区间；（3）根据x的范围，求的范围，然后求的范围，最后求函数的值域.
试题解析：
（1）当时，时，；（2）由
得，解得：
所以函数的单调递减区间为，.（3）
由得：，所以
所以，故函数的值域为.
考点：1.三角恒等变换；2.三角函数的性质.
22．解：（1）∵=sinx·cosx+sinx·cosx
=2sinx·cosx=sin2x (2’) x∈
∴2x∈
∴∈ (4’) ………4分
（2）证明：∵=(cos+sinx, sinx+cosx)
………10分
………14分
………14分
【解析】本试题主要是考查了向量的数量积和三角函数性质的综合运用问题。
（1）根据已知的向量的坐标表示向量的数量积，得到关于x的三角函数，结合三角函数的性质得到范围。
（2）利用向量的平方就是向量模的平方的关系得到
（3）利用二倍角公式化简变形得到单一三角函数，然后求解值域。