第24章圆(全章热门考点整合应用)

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人教版九年级数学上册第24章《圆》知识小结与复习

A
A.140°B.135°C.130°D.125°
DF
∠BOC＝90°+ 1∠A 2
R
E
BM
Q
O
G
P
NC
3、边长分别为3,4,5的三角形的内切圆半径与外接圆半径的比为( )
A.1∶5 B.2∶5 C.3∶5 D.4∶5
4.已知△ABC，AC=12，BC=5，AB=13。则 △ABC的外接圆半径为。内切圆半径____ 5. 正三角形的边长为a,它的内切圆和外接圆的半径分别是______, ____
O1
AM
O
B
如图,在矩形ABCD中,AB=20cm,BC=4cm,点 ⊙p从A开始折线A—B—C—D以4cm/秒的速度移动,点⊙Q从C开始沿CD边以1cm/秒的速度移动,如果点⊙P, ⊙Q分别从A,C同时出发,当其中一点到达D时,另一点也随之停止运动,设运动的时间t（秒）如果⊙P和⊙Q的半径都是2cm,那么t 为何值时, ⊙P和⊙Q外切？
(2)若C△ABC= 36, S△ABC=18,则r内=_1____; (3)若BE=3,CE=2, △ABC的周长为18,则AB=_7___;
A
D
8
F
4
o
B
6E
C
1 S △ABC= 2 C △ABC·r内
2.△ABC中, ∠A=70°,⊙O截△ABC三条边所得的
弦长相等.则 ∠BOC=__D__.
3.两圆相切,圆心距为10cm,其中一个圆的半径为 6cm,则另一个圆的半径为_____.
4. 已知圆O1与圆O 2的半径分别为12和2,圆心O1的坐标为(0,8),圆心O2 的坐标为(-6,0),则两圆的位置关系是______.

人教版九年级数学第二十四章《圆》单元知识点总结

人教版九年级数学第二十四章《圆》单元知识点总结1.弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 直径：经过圆心的弦叫做直径.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.2.弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.①半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；②优弧：大于半圆的弧叫做优弧；③劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.3.同心圆与等圆圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.4.等弧在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.5、弧、弦、圆心角的关系(1)圆心角定义如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．(2)定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．6、圆周角（1）圆周角定义：像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．（2）.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．（3）.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.7.圆内接四边形：（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．8.弦、弧、圆心角、弦心距的关系：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等)。

九年级数学人教版第二十四章圆24.1.4圆周角(同步课本结合例题精讲)

九年级数学第24章圆
理解定理定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 也可以理解为：一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角的二倍；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半. 弧相等，圆周角是否相等？反过来呢？什么时候圆周角是直角？反过来呢？直角三角形斜边中线有什么性质？反过来呢？
九年级数学第24章圆
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是90°； 90°的圆周角所对的弦是直径.
推论3：如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
C E
D
O
A
B
九年级数学第24章圆
例题
如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线
交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．
C
【解析】
想一想 D
1.如下左图，比较∠ACB、∠ADB、∠AEB的大小.
C
E
E
A
F
O
AOB
D BC
2.如上右图，如果弧AB＝弧CD，那么∠E和∠F是什么关系？
反过来呢？
3.如下图，⊙O1和⊙O2是等圆，如果弧AB＝弧CD，那么∠E和 A
E F
∠F是什么关系？反过来呢？
O2
O1 D
B
C
九年级数学第24章圆
九年级数学第24章圆
C
C
O
O
B
A
B
B A
A
C
O
圆周角：顶__点__在__圆__上__，并且角_两__边__都__和__圆__相__交_. 圆心角: _顶__点__在__圆_心___ 的角.
九年级数学第24章圆
定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

第24章圆【十二大考点串讲+素养提升PPT】

【变式】．已知⊙O的半径为4 cm，A为线段OP的中点，
当OP＝7 cm时，点A与⊙O的位置关系是( A )
A．点A在⊙O内 B．点A在⊙O上
C．点A在⊙O外 D．不能确定
考点七、直线与圆的位置关系
如图(1)，直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交，这条
直线叫做圆的割线.
如图(2)，直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三
角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.
【例9】如图，⊙O与△ABC的边BC相切于点D，与AB、AC的延长线分
别相切于点E、F，连接OB，OC．
(1)若∠ABC=80°，∠ACB=40°，求∠BOC的度数．
(2)∠BOC与∠A有怎样的数量关系，并说明理由．
(4)如果AB=CD，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F，
OE与OF相等吗？为什么？
解：OE=OF.理由如下： ∴ AE=CF
∵ OE⊥AB，OF⊥CD，又∵ AO=CO，
1
1
∴ AE= AB，CF= CD
∴ Rt△AOE≌Rt△COF(HL)
2
2
∴ OE=OF
又∵ AB=CD，
考点五、圆周角及其定理、推论
A
C
4.等圆：能够重合的两个圆叫做等圆，容易看出：半径相等的两个圆是
等圆；反过来，同圆或等圆的半径相等.
5.等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.
【例1】如图，AB是☉O的直径，点C、D在☉O上，且点C、D在AB的异侧，
连接AD、OD、OC.若∠AOC=70°，且AD∥OC,求∠AOD的度数.
在Rt △ ABC中，BC = AB 2 − AC2 = 4，

人教版九年级上册第24章圆的有关性质知识点课件

A. 8
B. 10
C. 4 3
D. 4 5
A
垂径定理
勾股定理
5O
B 4D
C
【巩固】
1. 下列说法不正确的是（ C ） A. 圆既是轴对称图形又是中心对称图形 B. 圆有无数条对称轴 C. 圆的每一条直径都是它的对称轴 D. 圆的对称中心是它的圆心
【巩固】 2. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5 cm，CD＝8 cm，则 AE的长为（ A）
劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧．如 BC . 优弧：大于半圆的弧叫优弧．用三个字母表示，如 ABC . 等圆：能够重合的两个圆叫做等圆. 容易看出：半径相等的两个圆叫做等圆；
反过来，同圆或等圆的半径相等.
等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.
【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，若以点 C 为圆心、CB 长为半径的圆恰好经过 AB 的中点 D，则 AC 的长为_____5__3_______.
B
C
A
O
D
【巩固】
1. 如图，在⊙O 中，∠AOB＝∠COD，那么AC 和 BD 的大小关系是（C ）
A. AC ＞ BD C. AC ＝ BD
B. AC ＜ BD
D. 无法确定
C D
B A
O
【巩固】 2. 如图，C是⊙O上的点，CD⊥OA于点 D，CE⊥OB于点 E，且CD＝CE，则 AC 与 BC 的关系是（A ）
直角三角形斜边上的中线的性质
同一个圆中的所有半径都相等， “连半径”是常用的辅助线
C
B
D
A
【巩固】 1. 如图，AB是⊙O的直径，点 C 在圆上，∠ABC＝65°，那么∠OCA 的度数是（ A）

九年级上册数学第24章《圆》知识点梳理完整版

【学习目标】九年级数学上册第24 章《圆》知识点梳理1.理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征；2.了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线；3.了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆；4.了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积；5.结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.【知识网络】【要点梳理】要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角1.圆的定义(1)线段 OA 绕着它的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的封闭曲线，叫做圆.(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.2.圆的性质(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心1 2n是圆心.在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.(2) 轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.(3)垂径定理及推论：①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. ②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. ③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦. ⑤平行弦夹的弧相等. 要点诠释：在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 3. 两圆的性质(1) 两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线.(2) 相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点.4. 与圆有关的角(1) 圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数. (2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角. 圆周角的性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. ③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角. ④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. ⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角. 要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.要点二、与圆有关的位置关系 1. 判定一个点 P 是否在⊙O 上设⊙O 的半径为，OP= ，则有点 P 在⊙O 外；点 P 在⊙O 上；点 P 在⊙O 内.要点诠释：点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.2. 判定几个点A 、A 、 A 在同一个圆上的方法当时，在⊙O 上.3. 直线和圆的位置关系设⊙O 半径为 R ，点 O 到直线的距离为 .(1)直线和⊙O没有公共点直线和圆相离.(2)直线和⊙O有唯一公共点直线和⊙O相切.(3)直线和⊙O有两个公共点直线和⊙O相交.4.切线的判定、性质(1)切线的判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线.(2)切线的性质：①圆的切线垂直于过切点的半径.②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点.③经过切点作切线的垂线经过圆心.(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.5.圆和圆的位置关系设的半径为，圆心距.(1) 和没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离.(2) 和没有公共点，且的每一个点都在内部内含(3) 和有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部外切.(4) 和有唯一公共点，除这个点外，的每个点都在内部内切.(5)和有两个公共点相交.要点三、三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形1.三角形的内心、外心、重心、垂心(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示.(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O 表示.(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的 2倍，通常用G 表示.(4)垂心：是三角形三边高线的交点.要点诠释：(1)任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2)解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S 为三角形的面积，P 为三角形的周长，r 为内切圆的半径). (3)三角形的外心与内心的区别：名称确定方法图形性质外心(三角形外三角形三边中垂线的(1)OA=OB=OC ；(2)外心不一接圆的圆心) 交点定在三角形内部内心(三角形内三角形三条角平分线(1)到三角形三边距离相等；切圆的圆心) 的交点(2)OA、OB、OC 分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部.2.圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.要点四、圆中有关计算1.圆中有关计算圆的面积公式：，周长.圆心角为、半径为 R 的弧长.圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为 R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R ，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积 S、扇形半径 R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.【典型例题】13 (1 + 1)2 + (0 - 3)2 OE 2 - EF 2 3 3 类型一、圆的基础知识1．如图所示，△ABC 的三个顶点的坐标分别为 A (－1，3)、B (－2，－2)、C (4，－2)，则△ABC 外接圆半径的长度为．【答案】；【解析】由已知得 BC∥x 轴，则 BC 中垂线为 x =-2 + 4 = 12那么，△ABC 外接圆圆心在直线 x=1 上，设外接圆圆心 P(1,a)，则由 PA=PB=r 得到：PA 2=PB 2即(1+1)2+(a-3)2=(1+2)2+(a+2)2化简得 4+a 2-6a+9=9+a 2+4a+4 解得 a=0即△ABC 外接圆圆心为 P(1,0) 则 r = PA = = 【总结升华】三角形的外心是三边中垂线的交点，由 B 、C 的坐标知：圆心 P （设△ABC 的外心为 P ）必在直线x=1 上；由图知：BC 的垂直平分线正好经过（1，0），由此可得到 P （1，0）；连接 PA 、PB ，由勾股定理即可求得⊙P 的半径长．类型二、弧、弦、圆心角、圆周角的关系及垂径定理2．如图所示，⊙O 的直径 AB 和弦 CD 相交于点 E ，已知 AE ＝1cm ，EB ＝5cm ，∠DEB＝60°，求 CD 的长．【答案与解析】作 OF⊥CD 于 F ，连接 OD ．∵ AE ＝1，EB ＝5，∴ AB ＝6． ∵ OA =AB = 3 ，∴ OE ＝OA-AE ＝3-1＝2．2在 Rt△OEF 中，∵ ∠DEB＝60°，∴ ∠EOF＝30°， ∴ EF = 1OE = 1 ，∴ OF = = ．2在 Rt△DFO 中，OF ＝，OD ＝OA ＝3，13OD 2 - OF 2∵ OF⊥CD，∴ DF ＝CF ，∴ CD ＝2DF ＝ 2 cm ．【总结升华】因为垂径定理涉及垂直关系，所以常常可以利用弦心距（圆心到弦的距离）、半径和半弦组成一个直角三角形，用勾股定理来解决问题，因而，在圆中常作弦心距或连接半径作为辅助线，然后用垂弦定理来解题．作 OF⊥CD 于 F ，构造 Rt△OEF，求半径和 OF 的长；连接 OD ，构造 Rt△OFD，求 CD 的长．举一反三：【变式】如图，AB 、AC 都是圆 O 的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为 M 、N ，如果 MN ＝3，那么 BC ＝．C【答案】由 OM⊥AB，ON⊥AC，得 M 、N 分别为 AB 、AC 的中点（垂径定理），则 MN 是△ABC 的中位线，BC=2MN=6.3．如图，以原点 O 为圆心的圆交 x 轴于点 A 、B 两点，交 y 轴的正半轴于点 C ，D 为第一象限内⊙O 上的一点，若∠DAB = 20°，则∠OCD = ．yCDAOBx（第 3 题）【答案】65°.【解析】连结 OD ，则∠DOB = 40°，设圆交 y 轴负半轴于 E ，得∠DOE= 130°，∠OCD =65°. 【总结升华】根据同弧所对圆周角与圆心角的关系可求. 举一反三：【变式】（2015•黑龙江）如图，⊙O 的半径是 2，AB 是⊙O 的弦，点 P 是弦 AB 上的动点，且 1≤OP ≤2，则弦 AB 所对的圆周角的度数是（）A ．60°B ．120°C ．60°或 120°D ．30°或 150°【答案】C.【解析】作 OD ⊥AB ，如图，N O AMB∴ DF = = 32 - ( 3)2 = 6 (cm)．6∵点P 是弦AB 上的动点，且1≤OP≤2，∴OD=1，∴∠OAB=30°，∴∠AOB=120°，∴∠AEB= ∠AOB=60°，∵∠E+∠F=180°，∴∠F=120°，即弦AB 所对的圆周角的度数为60°或120°．故选C．类型三、与圆有关的位置关系4．如图，在矩形 ABCD 中，点O 在对角线 AC 上，以OA 的长为半径的圆 O 与AD、AC 分别交于点 E、F，且∠ACB= ∠DCE．请判断直线 CE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论.【答案与解析】直线 CE 与⊙O相切理由：连接 OE∵OE=OA∴∠OEA=∠OAE∵四边形 ABCD 是矩形∴∠B=∠D=∠BAD=90°，BC∥AD,CD=AB∴∠DCE+∠DEC=90°, ∠ACB=∠DAC又∠DCE=∠ACB∴∠DEC+∠DAC=90°∵OE=OA∴∠OEA=∠DAC∴∠DEC+∠OEA=90°∴∠OEC=90°∴OE⊥EC∴直线 CE 与⊙O相切.【总结升华】本题考查了切线的判定：经过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线．举一反三：【变式】如图，P 为正比例函数图象上的一个动点，的半径为3，设点P 的坐标为(x、y).(1)求与直线相切时点P 的坐标.(2)请直接写出与直线相交、相离时 x 的取值范围.【答案】(1)过作直线的垂线，垂足为.当点在直线右侧时，，得，(5，7.5).当点在直线左侧时，，得，( ，).当与直线相切时，点的坐标为(5，7.5)或( ，).(2)当时，与直线相交.当或时，与直线相离.类型四、圆中有关的计算5．（2015•丽水）如图，在△ABC 中，AB=AC，以AB 为直径的⊙O 分别与BC，AC 交于点D，E，过点D 作⊙O 的切线DF，交AC 于点F．（1）求证：DF⊥AC；（2）若⊙O 的半径为4，∠CDF=22.5°，求阴影部分的面积．【答案与解析】（1）证明：连接OD，∵OB=OD，∴∠ABC=∠ODB，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ODB=∠ACB，∴OD∥AC，∵DF 是⊙O 的切线，∴DF⊥OD，∴DF⊥AC．（2）解：连接OE，∵DF⊥AC，∠CDF=22.5°，∴∠ABC=∠ACB=67.5°，∴∠BAC=45°，∵OA=OE，∴∠AOE=90°，∵⊙O 的半径为4，∴S 扇形AOE=4π，S△AOE=8 ，∴S 阴影=4π﹣8．【总结升华】本题主要考查了切线的性质，扇形的面积与三角形的面积公式，圆周角定理等，作出适当的辅助线，利用切线性质和圆周角定理，数形结合是解答此题的关键．类型五、圆与其他知识的综合运用6．如图(1)是某学校存放学生自行车的车棚示意图(尺寸如图(1))，车棚顶部是圆柱侧面的一部分，其展开图是矩形．图(2)是车棚顶部截面的示意图， AB 所在圆的圆心为 O ．车棚顶部用一种帆布覆盖，求覆盖棚顶的帆布的面积(不考虑接缝等因素，计算结果保留 π)．【答案与解析】连接 OB ，过点 O 作 OE⊥AB，垂足为 E ，交 AB 于点 F ，如图(2)．由垂径定理，可知 E 是 AB 中点，F 是 AB 的中点，∴ AE= 1AB = 2 2，EF ＝2．设半径为 R 米，则 OE ＝(R-2)m ．在 Rt△AOE 中，由勾股定理，得 R 2 = (R - 2)2 + (2 3)2 ．解得 R ＝4．∴ OE ＝2，OE = 1AO ，∴ ∠AOE＝60°，∴ ∠AOB＝120°．2∴ AB 的长为120 ⨯ 4π = 8π(m)． 180 3 ∴ 帆布的面积为 8π⨯ 60 = 160π(m 2)．3【总结升华】本题以学生校园生活中的常见车棚为命题背景，使考生在考场上能有一种亲切的感觉，这也体现了中考命题贴近学生生活实际的原则．求覆盖棚顶的帆布的面积，就是求以 AB 为底面的圆柱的侧面积．根据题意，应先求出 AB 所对的圆心角度数以及所在圆的半径，才能求 AB 的长．举一反三：【变式】某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径，如图所示是水平放置的破裂管道有水部分的截面.①请你补全这个输水管道的圆形截面图；②若这个输水管道有水部分的水面宽 AB=16cm ，水最深的地方的高度为 4cm ，求这个圆形截面的半径.【答案】①作法略.如图所示.3②如图所示，过 O 作OC⊥AB于D，交于 C，∵ OC⊥AB，∴.由题意可知，CD=4cm.设半径为x cm，则.在Rt△BOD中，由勾股定理得：∴.∴.即这个圆形截面的半径为 10cm.圆的基本概念和性质【学习目标】1.知识目标：在探索过程中认识圆，理解圆的本质属性；2.能力目标：了解圆及其有关概念，理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念，理解概念之间的区别和联系；3.情感目标：通过圆的学习养成学生之间合作的习惯.【要点梳理】要点一、圆的定义及性质1.圆的定义(1)动态：如图，在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点 O 叫做圆心，线段 OA 叫做半径. 以点 O 为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.(2)静态：圆心为 O，半径为 r 的圆是平面内到定点 O 的距离等于定长 r 的点的集合.要点诠释：①定点为圆心，定长为半径；②圆指的是圆周，而不是圆面；③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.2.圆的性质①旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心；②圆是轴对称图形：任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴.要点诠释：①圆有无数条对称轴；②因为直径是弦，弦又是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”.3.两圆的性质两个圆组成的图形是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线（经过两圆圆心的直线叫做两圆连心线）.要点二、与圆有关的概念1.弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.直径：经过圆心的弦叫做直径.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.要点诠释：直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 中任意一条弦，求证：AB≥CD.证明：连结OC、OD2.弧∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD 过圆心O 时，取“=”号) ∴直径AB 是⊙O 中最长的弦.弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；优弧：大于半圆的弧叫做优弧；劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.要点诠释：①半圆是弧，而弧不一定是半圆；②无特殊说明时，弧指的是劣弧.3.同心圆与等圆圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.4.等弧在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.要点诠释：①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；②圆中两平行弦所夹的弧相等.【典型例题】类型一、圆的定义1．（2014 秋•邳州市校级月考）如图所示，BD，CE 是△ABC 的高，求证：E，B，C，D 四点在同一个圆上．【思路点拨】要证几个点在同一个圆上，就是证明这几个点到同一点的距离都相等即可.【答案与解析】证明：如图所示，取BC 的中点F，连接DF，EF．∵BD，CE 是△ABC 的高，∴△BCD 和△BCE 都是直角三角形．∴DF，EF 分别为Rt△BCD 和Rt△BCE 斜边上的中线，∴DF=EF=BF=CF．∴E，B，C，D 四点在以F 点为圆心，BC 为半径的圆上．【总结升华】要证几个点在同一个圆上，只能依据圆的定义，去说明这些点到平面内某一点的距离相等.举一反三：【变式】下列命题中，正确的个数是（）⑴直径是弦，但弦不一定是直径；⑵半圆是弧，但弧不一定是半圆；⑶半径相等且圆心不同的两个圆是等圆；⑷一条弦把圆分成的两段弧中，至少有一段是优弧.A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个【答案】⑴、⑵、⑶是正确的，⑷是不正确的.故选 C.类型二、圆及有关概念2．判断题(对的打√，错的打×，并说明理由)①半圆是弧，但弧不一定是半圆；（）②弦是直径；（）③长度相等的两段弧是等弧；（）④直径是圆中最长的弦. （）【答案】①√ ②× ③× ④√.【解析】①因为半圆是弧的一种，弧可分为劣弧、半圆、优弧三种，故正确；②直径是弦，但弦不一定都是直径，只有过圆心的弦才是直径，故错；③只有在同圆或等圆中，长度相等的两段弧才是等弧，故错；④直径是圆中最长的弦，正确.【总结升华】理解弦与直径的关系，等弧的定义.举一反三：【变式】（2014•长宁区一模）下列说法中，结论错误的是（）A ．直径相等的两个圆是等圆B ．长度相等的两条弧是等弧C ．圆中最长的弦是直径D ．一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧【答案】B.提示：A 、直径相等的两个圆是等圆，正确，不符合题意；B 、长度相等的两条弧圆周角不一定相等，它们不一定是等弧，原题的说法是错误的，符合题意；C 、圆中最长的弦是直径，正确，不符合题意；D 、一条直径把圆分成两条弧，这两条弧是等弧，正确，不符合题意，故选：B ．3．直角三角形的三个顶点在⊙O 上，则圆心 O 在 .......................【答案】斜边的中点.【解析】根据圆的定义知圆心 O 到三角形的三个顶点距离相等，由三角形斜边的中线等于斜边的一半可知，斜边上的中点到各顶点的距离相等.【总结升华】圆心到圆上各点的距离相等. 4．判断正误：有 AB 、C D ， AB 的长度为 3cm, C D 的长度为 3cm ，则 AB 与C D 是等弧.【答案】错误.【解析】“能够完全重合的弧叫等弧”.在半径不同的圆中也可以出现弧的长度相等，但它们不会完全重合，因此，只有在同圆或等圆中，长度相等的弧才是等弧.【总结升华】在同圆或等圆中，长度相等的弧才是等弧.举一反三：【变式】有的同学说：“从优弧和劣弧的定义看，大于半圆的弧叫优弧，小于半圆的弧叫劣弧，所以优弧一定比劣弧长.”试分析这个观点是否正确.甲同学：此观点正确，因为优弧大于半圆，劣弧小于半圆，所以优弧比劣弧长.乙同学：此观点不正确，如果两弧存在于半径不相等的两个圆中，如图，⊙O 中的优弧 AmB ，中的劣弧C D ，它们的长度大小关系是不确定的，因此不能说优弧一定比劣弧长.请你判断谁的说法正确？【答案】弧的大小的比较只能是在同圆或等圆中进行. 乙的观点正确.类型三、圆的对称性5．已知：如图，两个以 O 为圆心的同心圆中，大圆的弦 AB 交小圆于 C，D．求证：AC=BD．【答案与解析】证明：过 O 点作OM⊥AB于M，交大圆与 E、F 两点.如图，则EF 所在的直线是两圆的对称轴，所以 AM=BM，CM=DM，故AC=BD.【总结升华】作出与AB垂直的圆的对称轴，由圆的对称性可证得结论.垂径定理【学习目标】1.理解圆的对称性；2.掌握垂径定理及其推论；3.利用垂径定理及其推论进行简单的计算和证明.【要点梳理】知识点一、垂径定理1.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.要点诠释：(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.知识点二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（2）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；OD 2 + AD 2 42 + 32 （4）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.要点诠释：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）【典型例题】类型一、应用垂径定理进行计算与证明1．如图，AB 是⊙O 的弦，半径 OC⊥AB 于点 D ，且 AB ＝6 cm ，OD ＝4 cm ，则 DC 的长为（）A ．5 cmB ．2.5 cmC ．2 cmD ．1 cm【思路点拨】欲求 CD 的长，只要求出⊙O 的半径 r 即可，可以连结 OA ，在 Rt△AOD 中，由勾股定理求出 OA.【答案】D ；【解析】连 OA ，由垂径定理知 AD = 1AB = 3cm ， 2所以在 Rt△AOD 中， AO = = = 5 （cm ）．所以 DC ＝OC －OD ＝OA －OD ＝5－4＝1（cm ）.【点评】主要是解由半径、弦的一半和弦心距（圆心到弦的垂线段的长度）构成的直角三角形。

新人教版数学第24章圆复习知识点归纳

(1) 直径 (过圆心的线)；(2)垂直弦；
(2) (3) 平分弦；
(4)平分劣弧；
(3) (5)平分优弧.
知二得三
注意: “ 直径平分弦则垂直弦.” 这句话对吗? ()
错
C
A
B
M└
●O
D
二、圆心角、弧、弦、弦心距的关系
在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
三角形三边垂直平分线的交点
三角形的内心
三角形三内角角平分线的交点
到三角形各顶点的距离相等
到三角形各边的距离相等
三角形的外心是否一定在三角形的内部？
A
A
●O
●O
┐
B
C
B
C
锐角三角形的外心位于三角形内, 直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点, 钝角三角形的外心位于三角形外.
A ●O
B
C
怎样要将一个如图所示的破镜重圆？
d
R
r
交点个数名称
0
外离
1
外切
2
相交
1
内切
0
内含
同心圆是内含的特殊情况
d , R , r 的关系 d>R+r d=R+r
R-r< d < R+ r d=R-r d<R-r
七.三角形的外接圆和内切圆：
A
A
O
I
C
B
C
B
三角形内切圆的圆心叫三角形的内心。
三角形外接圆的圆心叫三角形的外心
实质
性质
三角形的外心
三.正多边形:

九年级数学人教版第二十四章圆整章知识详解图文结合(同步课本结合例题精讲)

【解析】选D.延长AO交BC于点D，连接OB，根据对称性知AO⊥BC，则BD=DC=3.
又△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，则AD= 1 BC =3,∴OD=3-1=2,
2
∴OB= 22 32 13.
九年级数学第24章圆
4.（毕节·中考）如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5， OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝l，则弦AB的长是．【解析】如图所示，连接OB，则OB=5,OD=4,利用勾股定
（2）若旋转角度不是180°，而是旋转任意角度，则旋转过后的图形能与原图形重合吗？
B
Oα
A
圆绕圆心旋转任意角度α ，都能够与原来的图形重合. ___圆__具__有__旋__转__不__变__性___.
九年级数学第24章圆
(二) 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
（1）相关概念
圆__心__角___：顶点在圆心的角
2.如图,一根5m长的绳
子,一端栓在柱子上,
另一端栓着一只羊,请
5
画出羊的活动区域.
九年级数学第24章圆
【解析】
九年级数学第24章圆
1.判断下列说法的正误：
(1)弦是直径;(
)
(2)半圆是弧;(
)
(3)过圆心的线段是直径;( )
(4)长度相等的弧是等弧;( )
(5)半圆是最长的弧;(
)
(6)直径是最长的弦;(
问题：你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶，它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2 m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
九年级数学第24章圆

人教版九年级数学上册第二十四章圆全章总复习及知识梳理

第二十四章圆
旋转对称、中心对称、轴对称
对称性
垂径定理及其推论(注意推论中“不是直径的弦”的条件) 基本性质弧、弦、圆心角关系定理及其推论前提条件：在同圆或等圆中
圆周角定理及其推论
第二十四章圆
正多边形与圆
等分圆周
有关计算
第二十四章圆
位置关系切线的性质直线与圆的位置关系切线的判定切线的作用
且OM=3, 则⊙O的半径为( C ).
A．10 B． 8 C． 5 D．2
第二十四章圆
分析
第二十四章圆
相关题2 如图24-Z-4, 已知AB是⊙O的直径, 且AB=12.
弦CD⊥AB于点M, 且M是半径OB的中点, 则弦CD的长是
6 3 结果保留根号). ______(
第二十四章圆
解析
【要点指导】一条弧所对的圆周角等于它所对的圆
心角的一半, 在解有关圆的问题时常常借助这个定理
进行角度转化.
第二十四章圆
例 1 如图24-Z-1, 某珠宝店有一圆形货柜, 为了
增加珠宝的光彩, 在其圆形边缘上的点A处安装了
一台小灯, 它所发出的光线形成的最大张角是65°.
为了使整个货柜里的珠宝都能被灯光照射到, 最少需在圆形边缘上安装这样的小灯( A．3台 B． 4台 C．5台
A
)．
D．6台
第二十四章圆
分析 ∵∠A=65°,
∴该圆周角所对的弧所对的圆心角是130°.
∵360°÷130°≈2.8, ∴至少要安装3台这样的小灯. 故选A.
第二十四章圆
相关题1
如图24-Z-2, B, C是⊙A上的两点, AB的垂直平分
线与⊙A交于E, F两点,与线段AC交于点D．若∠BFC=20°, 则

九年级数学第24章圆知识完整归纳

第24章圆第一节圆的有关性质知识点一：圆的定义1、圆可以看作是到定点（圆心O）的距离等于定长（半径r）的点的集合。

2、圆的特征（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径）。

（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。

注意：（1）圆指的是圆周，即一条封闭的曲线，而不是圆面。

（2）“圆上的点”指圆周上的点，圆心不在圆周上。

知识点二：圆的相关概念1、弦与直径：连结圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。

2、弧、半圆、优弧、劣弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

大于半圆的弧（用三个点表示）叫优弧；小于半圆的弧叫做劣弧．注意：半圆是弧，但弧不一定是半圆。

半圆既不是优弧，也不是劣弧。

3、等圆：能够重合的两个圆叫做等圆周。

4、等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

知识点三：圆的对称性1、圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴。

注意：（1）圆的对称轴有无数条（2）因为直径是弦，弦是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”或说成“圆的对称轴是经过圆心的直线”。

2、圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心，不仅如此，把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合。

知识点四：垂径定理及推论（重点）1、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

如图，AB是⊙O的直径，CD 是⊙O的弦，AB交CD于点E，若AB⊥CD，则CE=DE，CB=DB，AC=AD注意：（1）这里的垂径可以是直径、半径或过圆心的直线或线段，其本质是“过圆心”。

B （2）垂径定理中的“弦”为直径时，结论仍成立。

2、垂径定理的推论：如图：CD 是非直径的弦，AB 是直径，若CE=DE ，则AB ⊥CD ，CB=DB ，AC=AD 。

注意：被平分的弦不是直径，因为直径是弦，两直径互相平分，结论就不成立，如图直径AB 平分CD ，但AB 不垂直于CD 。

第24章圆章节知识点及习题及答案

第24章圆章节知识点及习题及答案第⼆⼗四章圆章节知识点思维导图：⼀、圆的有关性质（⼀）与圆有关的概念1、定义：在⼀个平⾯内线段OA绕它固定的⼀个端点O旋转⼀周，另⼀个端点A所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆⼼，线段OA叫做半径。

2、弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆⼼的弦，叫做直径。

3、弧：圆上任意两点间的部分（曲线）叫做圆弧，简称弧。

能够互相重合的弧叫等弧。

圆的任意⼀条直径的两个端点把圆分成两条弧，每⼀条弧都叫做半圆，⼤于半圆的弧叫优弧；⼩于半圆的弧叫劣弧，由弦及其所对的弧组成的圆形叫⼸形。

4、圆⼼⾓：我们把顶点在圆⼼的⾓叫做圆⼼⾓。

5、圆周⾓：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的⾓叫做圆周⾓。

注意：在圆中，同⼀条弦所对的圆周⾓有⽆数个。

6、弦⼼距：从圆⼼到弦的距离叫弦⼼距。

7、同⼼圆、等圆：圆⼼相同，半径不相等的两个圆叫同⼼圆；能够重合的两个圆叫等圆。

8、点的轨迹：1）圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆⼼，定长为半径的圆；2）垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3）⾓的平分线：到⾓两边距离相等的点的轨迹是这个⾓的平分线；4）到直线的距离相等的点的轨迹是：平⾏于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5）到两条平⾏线距离相等的点的轨迹是：平⾏于这两条平⾏线且到两条直线距离都相等的⼀条直线。

（⼆）圆的性质1、对称性：圆是轴对称图形，任何⼀条直径所在直线都是它的对称轴；圆也是以圆点为对称中⼼的中⼼对称图形。

2、性质：①垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；推论1 ：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；垂径定理及推论1 可理解为⼀个圆和⼀条直线具备下⾯五个条件中的任意两个，就可推出另外三个：①过圆⼼；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。

推论2：圆两条平⾏弦所夹的弧相等。

24章《圆》章节知识点复习专题.docx

《圆》章节知识点复习一、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）;3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；二、点与圆的位置关系1、点在圆内d <r 0 点C在圆内；2、点在圆上u> _ d = r <=>点、B在圆上；3、点在圆外O _d>广O 点4在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离u> d >厂u>无交点；2、直线与圆相切O_d二厂有一个交点;3、直线与圆相交o d <厂有两个交点;四、圆与圆的位置关系外离（图1 ）U>无交点 => 〃〉R + r^_外切（图2 ）u>有一个交点=>_d = R + r ;相交（图3 ）有两个交点<=>_R-r <d < /? + r ;内切（图4 ）=>有一个交点、=> d = R-r ;注：相切连心线过切点五、垂径定理内含（图5）=><R-r \垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1: (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧; (2) 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧;(3) 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①是直径 ②43丄CD③CE = DE ④ 睡BC =^BD ⑤ 弧AC =弧4D 中任意2个条件推出其他3个结论。

九年级数学上册第二十四章圆基础知识点归纳总结(带答案)

九年级数学上册第二十四章圆基础知识点归纳总结单选题1、如图，AB 是⊙O 的直径，PA 与⊙O 相切于点A ，∠ABC ＝25°，OC 的延长线交PA 于点P ，则∠P 的度数是( )A ．25°B ．35°C ．40°D ．50°答案：C分析：根据圆周角定理可得∠AOC =50°，根据切线的性质可得∠PAO =90°，根据直角三角形两个锐角互余即可求解．∵AC⌢=AC ⌢，∠ABC ＝25°， ∴∠AOC =2∠ABC =50°，∵ AB 是⊙O 的直径，∴ ∠PAO =90°，∴∠P =90°−∠AOC =40°．故选C ．小提示：本题考查了圆周角定理，切线的性质，掌握圆周角定理与切线的性质是解题的关键．2、已知圆锥的底面半径为4cm ，母线长为6cm ，则圆锥的侧面积为（）A ．36πcm 2B ．24πcm 2C ．16πcm 2D ．12πcm 2答案：B分析：利用圆锥侧面积计算公式计算即可：S 侧=πrl ；S 侧=πrl =π×4×6=24π cm 2 ，故选B ．小提示：本题考查了圆锥侧面积的计算公式，比较简单，直接代入公式计算即可．3、圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，它的侧面展开图的圆心角是（）A．90°B．100°C．120°D．150°答案：C分析：圆锥的侧面展开图是一个扇形，利用弧长公式进行计算即可得．解：设这个圆锥的侧面展开图的圆心角是n°，=2π×1，由题意得：n⋅3π180解得n=120，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角是120°，故选：C．小提示：本题考查了圆锥的侧面展开图、弧长公式，熟记弧长公式是解题关键．4、如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，∠ACD=40°，则∠B=（）A．70°B．60°C．50°D．40°答案：C分析：由CD是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，得出∠CAD＝90°，根据直角三角形两锐角互余得到∠ACD与∠D互余，即可求得∠D的度数，继而求得∠B的度数．解：∵CD是⊙O的直径，∴∠CAD＝90°，∴∠ACD+∠D＝90°，∵∠ACD＝40°，∴∠ADC＝∠B＝50°．故选：C．小提示：本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，注意掌握数形结合思想是解题的关键．5、如图，在平面直角坐标系中，以1.5为半径的圆的圆心P的坐标为(0,2)，将⊙P沿y轴负方向平移1.5个单位长度，则x轴与⊙P的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定答案：A分析：根据题意，将圆心点向下平移1.5个单位，即可判断圆与x轴的位置关系．解：如图，∵圆心P的坐标为(0,2)，将⊙P沿y轴负方向平移1.5个单位长度，∴平移后的点P的坐标为(0,0.5)，∴OP=0.5，∵半径为1.5，∴PO<r，∴圆P与x轴相交，故选A.小提示：本题主要考查圆与直线的位置关系，结合题意判断圆与x轴的位置关系是解题的关键．6、如图，圆柱的底面周长为12cm，AB是底面圆的直径，在圆柱表面的高BC上有一点D，且BC=10cm，DC=2cm．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱体的表面爬行到点D的最短路程是（）cm．A．14B．12C．10D．8答案：C分析：首先画出圆柱的侧面展开图，根据底面周长12cm，求出AB的值，由BC=10cm，DC=2cm，求出DB的值，再在Rt△ABD中，根据勾股定理求出AD的长，即可得答案．解：圆柱侧面展开图如下图所示，∵圆柱的底面周长为12cm，∴AB =6cm，∵BC=10cm，DC=2cm，∴DB=8，在Rt△ABD中，AD=√AB2+DB2=√62+82=10( cm )，即蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点D的最短距离是10cm，故选： C ．小提示：此题主要考查了圆柱的平面展开图，以及勾股定理的应用，解题的关键是画出圆柱的侧面展开图．⌢上，则∠BAC的度数为（）7、如图，在⊙O中，∠BOC＝130°，点A在BACA．55°B．65°C．75°D．130°答案：B分析：利用圆周角直接可得答案．⌢上，解：∵∠BOC＝130°，点A在BAC∴∠BAC=1∠BOC=65°,2故选B小提示：本题考查的是圆周角定理的应用，掌握“同圆或等圆中，同弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半”是解本题的关键．8、如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°．E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（）A．55°B．65°C．60°D．75°答案：B分析：连接CD，根据圆内接四边形的性质得到∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，根据垂径定理得到OD⊥BC，求得BD ＝CD，根据等腰三角形的性质即可得到结论．解：连接CD，∵∠A＝50°，∴∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，∵E 是边BC 的中点，∴OD ⊥BC ，∴BD ＝CD ，∴∠ODB ＝∠ODC ＝12∠BDC ＝65°，故选：B ．小提示：本题考查了圆内接四边形的性质，垂径定理，等腰三角形的性质等知识．正确理解题意是解题的关键．9、如图，CD 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于点E ，则下列结论不一定成立的是（）A ．AE ＝BEB ．OE ＝DEC ．AC⌢=BC ⌢D ．AD ⌢=BD ⌢ 答案：B分析：根据垂径定理即可判断．解：∵CD 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于点E ，∴AE =EB ，AC⌢=BC ⌢， AD ⌢=BD ⌢．故选：B ．小提示：本题主要考查垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键．10、如图，点A,B,C,D,E 在⊙O 上，AB =CD,∠AOB =42°，则∠CED =（）A ．48°B ．24°C ．22°D ．21°答案：D分析：先证明AB⌢=CD ⌢,再利用等弧的性质及圆周角定理可得答案．解：∵ 点A,B,C,D,E 在⊙O 上，AB =CD,∠AOB =42°，∴AB⌢=CD ⌢, ∴∠CED =12∠AOB =12×42°=21°,故选：D.小提示：本题考查的两条弧，两个圆心角，两条弦之间的关系，圆周角定理，等弧的概念与性质，掌握同弧或等弧的概念与性质是解题的关键．填空题11、如图，在正六边形ABCDEF 中，连接AC,CF ，则∠ACF =____________度．答案：30分析：连接BE ，交CF 与点O ，连接OA ，先求出∠AOF =360°6=60°，再根据等腰三角形等边对等角的性质，三角形外角的性质求解即可．连接BE ，交CF 与点O ，连接OA ，∵在正六边形ABCDEF 中，∴∠AOF =360°6=60°，∵OA =OC∴∠OAC =∠OCA∵∠AOF =∠OAC +∠ACF =2∠ACF∴∠ACF =30°，所以答案是：30．小提示：本题考查了正多边形与圆，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．12、如图，在⊙O 中，半径OC 与弦AB 垂直于点D ，M 为AD 的中点，N 为AC⌢上的点，且MN ∥CD ．若CD ＝5，MN ＝4，则⊙O 的半径为_______．答案：212##10.5分析：连接AO ，ON ，延长NM 交⊙O 于F ，过O 作OE ⊥NF 于E ，如图，设⊙O 的半径为r ，AD =t ，先证明四边形MEOD 是矩形得到OE =DM =12t ，OD =ME =r -5，再利用勾股定理得(r −5)2+t 2=r 2①，(r −5+4)2+(12t)2=r 2②，然后解方程组即可．解：连接AO ，ON ，延长NM 交⊙O 于F ，过O 作OE ⊥NF 于E ，如图，设⊙O的半径为r，AD=t，∵CD⊥AB，MN∥CD，∴∠ODM=∠DME=∠MEO=90°，∴四边形MEOD是矩形，∴OE=DM=1t，OD=ME=r-5，2在Rt△AOD中，(r−5)2+t2=r2，①t)2=r2，②在Rt△NOE中，(r−5+4)2+(12②×4-①得2r-21=0，，解得r=212即⊙O的半径为21．2所以答案是：212小提示：本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理，理解题意，熟练掌握运用这些知识点是解题关键．13、如图，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足为C，OC的延长线交⊙O于点D．若∠APD是AD⌢所对的圆周角，则∠APD的度数是______．答案：30°##30度分析：根据垂径定理得出∠AOB =∠BOD ，进而求出∠AOD =60°，再根据圆周角定理可得∠APD =12∠AOD =30°． ∵OC ⊥AB ，OD 为直径，∴BD⌢=AD ⌢， ∴∠AOB =∠BOD ，∵∠AOB =120°，∴∠AOD =60°，∴∠APD =12∠AOD =30°，所以答案是：30°．小提示：本题考查了圆周角定理、垂径定理等知识，掌握垂径定理是解答本题的关键．14、如图，在△ABC 中，AC =2，BC =4，点O 在BC 上，以OB 为半径的圆与AC 相切于点A ，D 是BC 边上的动点，当△ACD 为直角三角形时，AD 的长为___________．答案：32或65 分析：根据切线的性质定理，勾股定理，直角三角形的等面积法解答即可．解：连接OA ，①当D 点与O 点重合时，∠CAD 为90°，设圆的半径=r ，∴OA =r ，OC =4-r ，∵AC =2，在Rt △AOC 中，根据勾股定理可得：r 2+4=（4-r ）2，解得：r =32，即AD =AO =32；②当∠ADC =90°时，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，∵12AO •AC =12OC •AD ， ∴AD =AO⋅AC OC ，∵AO =32，AC =2，OC =4-r =52， ∴AD =65，综上所述，AD 的长为32或65，所以答案是：32或65．小提示：本题主要考查了切线的性质和勾股定理，熟练掌握这些性质定理是解决本题的关键．15、如图，已知A 为半径为3的⊙O 上的一个定点，B 为⊙O 上的一个动点（点B 与A 不重合），连接AB ，以AB 为边作正三角形ABC ．当点B 运动时，点C 也随之变化，则O 、C 两点之间的距离的最大值是______．答案：6分析：连接OB ，OC ，OA ，在优弧AB 上取点N ，使得AN =AO ．证明△BAO ≌△CAN （SAS ），推出OB =CN =3，推出OC ≤ON +CN =6，可得结论．解：如图，连接OB，OC，OA，在优弧AB上取点N，使得AN=AO．∵OA=ON，OA=AN，∴AO=ON=AN，∴△OAN是等边三角形，∴∠OAN=60°，∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∵∠BAC=∠OAN=60°，∴∠BAO=∠CAN，∴△BAO≌△CAN（SAS），∴OB=CN=3，∵OC≤ON+CN=6，∴OC的最大值为6，所以答案是：6．小提示：本题考查了等边三角形的性质，圆的相关性质，垂径定理，利用两地之间线段最短是本题的解题关键．解答题16、（1）如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=3，若AD平分∠BAC交CB于点D，那么点D到AC的距离为．（2）如图②，四边形ABCD内接于⊙O，AC为直径，点B是半圆AC的三等分点（弧AB<弧BC），连接BD，若BD平分∠ABC，且BD=8，求四边形ABCD的面积．（3）如图③，为把“十四运”办成一届精彩圆满的体育盛会很多公园都在进行花卉装扮，其中一块圆形场地圆O，设计人员准备在内接四边形ABCD区域内进行花卉图案设计，其余部分方便游客参观，按照设计要求，四边形ABCD满足∠ABC=60°，AB=AD，且AD+DC=10（其中2≤DC≤4），为让游客有更好的观体验，四边形ABCD花卉的区域面积越大越好，那么是否存在面积最大的四边形ABCD？若存在，求出这个最大值，不存在请说明理由．答案：（1）127；（2）四边形ABCD的面积为32；（3）存在24√3．分析：（1）如图，作辅助线，证明AE=DE；证明△BDE∽△BCA，得到BEAB =DEAC，列出比例式即可解决问题．（2）（2）连接OB，根据题意得∠AOB=60°，作AE⊥BD，利用解直角三角形可求AB的长，通过解直角三角形分别求出BC，AD，CD的长，再根据面积公式求解即可；过点A作AN⊥BC于点N，AM⊥DC，交DC的延长线于点M，连接AC，可得S四边形ABCD =S四边形ANCM，根据面积法求出关于面积的二次函数关系式，根据二次函数的性质求出最值即可．解：如图，过点D作DE⊥AB于点E．则DE//AC；∵AD平分∠BAC，∠BAC=90°，∴∠DAE=45°，∠ADE=90°−45°=45°，∴AE=DE（设为λ），则BE=4−λ；∴△BDE∽△BCA，∴BEAB =DEAC，即：4−λ4=λ3解得：λ=127，∴点D到AC的距离127．（2）连接OB，∵点B是半圆AC的三等分点（弧AB＜弧BC），∴∠AOB=60°∴∠ADB=ACB=30°∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°∵BD平分∠ABC∴∠ABD=∠CBD=45°过点A作AE⊥BD于点E，则∠BAE=∠ABE=45°∴AE=BE设AE=BE=x，则DE=AEtan30°=√3x∵BD=BE+DE=x+√3x=8∴AB=√2AE=4√6−4√2∵∠ADB=ACB=30°∴ABBC =tan30°=√33∴BC=√3AB=12√2−4√6∵BD平分∠ABC∴∠ABD=∠CBD∴AD⌢=CD⌢∴AD=CD∵AE⊥DE∴AD2=DE2+AE2∵AE=4√3−4,DE=√3x=12−4√3∴AD2=(12−4√3)2+(4√3−4)2=256−128√3∴S四边形ABCD =SΔABC+SΔADC=12AB·BC+12AD·CD=12AB·BC+12AD2=1 2(4√6−4√2)(12√2−4√6)+12(256−128√3)=64√3−96+128−64√3=32；（3）过点A作AN⊥BC于点N，AM⊥DC，交DC的延长线于点M，连接AC，∵AB=AD∴∠ACB=∠ACD∴AM=AN∵∠ADC+∠ABC=180°，∠ADC+∠ADM=180°, ∴∠ABC=∠ADM又∠ANB=∠AMD=90°，∴△ABN≌△ADM∴S四边形ABCD =S四边形ANCM∵AN=AM，∠BCA=∠DCA，AC=AC∴△ACN≌△ACM∴S四边形ANCM=2SΔACM∵∠ABC=60°∴∠ADC=120°∴∠ADM=60°，∠MAD=30°设DM=x，则AD=2x，AM=DM·tan60°=√3x,CD=10−2x,CM=10−x∴S四边形ANCM =2SΔACM=2×12×√3x(10−x)=−√3(x2−10x)∵2≤DC≤4∴2≤10−2x≤4，即3≤x≤4∵抛物线对称轴为x=5∴当x=4时，有最大值，为−√3×(16−40)=24√3小提示：本题属于圆综合题，考查了三角形的面积，解直角三角形，角平分线的性质定理，圆周角定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．17、如图，已知圆锥的底面半径r为10cm，母线长为40cm．求它的侧面展开扇形的圆心角的度数和它的全面积．答案：90°，500π分析：根据由圆锥的底面圆的周长等于侧面展开扇形的弧长可求．解：由圆锥的底面圆的周长等于侧面展开扇形的弧长可知：，n=90°，2π×10=n×π×40180∴侧面展开扇形的圆心角的度数是90°．全面积＝底面积＋展开侧面积，=500π．全面积为：π×102+90×π×402360小提示：本题考查了圆锥全面积和展开图圆心角的度数，解题关键是明确圆锥的底面圆的周长等于侧面展开扇形的弧长，根据题意列方程求解．18、如图所示，扇形OAB的面积为4π cm2，∠AOB=90°，用这个扇形围成一个圆锥的侧面．求这个圆锥的底面圆的半径．答案：1cm分析：设这个圆锥的底面半径为r cm，先利用扇形面积公式得到90π·OA2=4π，则可得到OA=4，再利用圆锥360的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和扇形面积公式得到1·2π·r·4=4π，然后解2方程求出r即可．解：设这个圆锥的底面半径为r cm，=4π，解得OA=4，由题意得90π·OA2360·2π·r·4=4π，解得r=1．所以12所以这个圆锥的底面半径为1cm．小提示：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．。

人教版数学九年级上册第二十四章圆小结与复习课件

A
D
O
B
C
P
例2 如图，已知A、B、C、D四点都在⊙O上，OB⊥AC， BC=CD，在下列四个说法中：① AC2CD；②AC=2CD； ③OC⊥BD；④∠AOD=3∠BOC，正确说法的个数是（ C ） A．1 B．2 C．3 D．4
解析：由OB⊥AC可知OB垂直平分AC，则 AB=BC=CD.∴ A B B C C D . 点C是 B D 的中点，易得OC⊥BD， ∠AOB=∠BOC=∠COD，即∠AOD=3∠BOC. 易知AB+BC＞AC，即2CD＞AC.综上可知，正确的说法有3个.
[注意]“同弧”指“在一个圆中的同一段弧”；“等弧”指“在同圆或等圆中相等的弧”；“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦”．
(3)推论2：90°的圆周角所对的弦是直径.
(4)推论3：圆的内接四边形的对角互补.
3.与切线相关的定理： (1)判定定理：经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. (2)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.
提示：遇切线，通常连接圆心和切点，构造直角三角形求解.
C
AO
BE
D
针对训练
6.如图，BE是⊙O的直径，点A是圆上一点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点C，若AB=AC，CE=2，⊙O的半径为 __2___．
例6 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线
与AB延长线相交于点P．若∠COB=2∠PCB，求证：PC是
∵PB为的切线，∴∠OBE=90°.
设OB=r,则OE=12-r. 在Rt△OBE中，由勾股定理得r2+82=(12-r)2. 解得r= 1 0 .
3 D E O E r, D E 1 2 r r 1 6 .

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炸初中系列方肘创新教辅领跑-=1ir-“£1全章热门考点整合应用名师点金：圆的知识是初中数学的重点内容，也是历年中考命题的热点.本章题型广泛, 主要考查圆的概念、基本性质以及圆周角定理及其推论，直线与圆的位置关系，切线的性质和判定，正多边形与圆的计算和证明等，通常以这些知识为载体，与函数、方程等知识综合考查.全章热门考点可概括为：一个概念、三个定理、三个关系、两个圆与三角形、三个公式、两个技巧、两种思想.1.下列说法正确的是（）A. 直径是弦，弦也是直径B. 半圆是弧，弧是半圆C. 无论过圆内哪一点，只能作一条直径 D .在同圆或等圆中，直径的长度是半径的 |l —匚 I 三个定理定理1垂径定理2.【2015北京】如图，AB 是O O 的直径，过点 B 作O O 的切线BM ，弦CD // BM , 交AB 于点F ,且DA = DC ，连接AC , AD ，延长AD 交BM 于点E.⑴求证：△ ACD 是等边三角形; ⑵连接OE ，若DE = 2,求OE 的长.JTK定理2圆心角、弦、弧间的关系定理3.如图，AB 是O O 的直径，点C 在O O 上,/ AOC = 40 ° D 是BC 的中点，求/ ACD的度数.■\一过夷一个概念圆的相关概念色蒸邂藝初中系列方肘创新教辅领跑（第3题）定理3圆周角定理4.如图，已知AB是O O的弦，0B = 2,/ B = 30 ° C是弦AB上任意一点（不与点A , B重合），连接CO并延长CO交O 0于点D，连接AD.⑴弦长AB = （结果保留根号）;⑵当/ D = 20。

时，求/ BOD的度数.三个关系关系1点与圆的位置关系5.如图，有两条公路0M , ON相交成30。

角，沿公路0M方向离两条公路的交叉处0殊蒸初中系列方肘创新教辅领跑点80 m 的A 处有一所希望小学，当拖拉机沿 ON 方向行驶时，距拖拉机 50 m 范围内会受到噪音影响，已知有两台相距30 m 的拖拉机正沿 ON 方向行驶，它们的速度均为5 m/s ,则这两台拖拉机沿ON 方向行驶时给小学带来噪音影响的时间是多长?关系2直线与圆的位置关系6.如图，在平行四边形 ABCD 中，/ D = 60°以AB 为直径作O O ,已知 AB = 10, AD = m.⑴求点O 到CD 的距离；(用含m 的代数式表示)(2)若m = 6，通过计算判断O O 与CD 的位置关系; (3)若O O 与线段CD 有两个公共点，求 m 的取值范围.S ------ 叫(第6题)关系3正多边形和圆的位置关系7.如图，已知O O 的内接正十边形 ABCD …，AD 交0B , 0C 于M , N.求证: (1)MN // BC ; (2)MN + BC = OB.(第 7 题)（第 5 题）蒸邂藝初中系列方肘创新教辅领跑圆与三角形1三角形的外接圆&【中考哈尔滨】如图，O 0是^ ABC的外接圆，弦BD交AC于点E,连接CD，且AE = DE, BC = CE.(1)求/ ACB的度数;⑵过点0作OF丄AC于点F，延长F0交BE于点G , DE = 3, EG = 2，求AB的长.SI蒸邂藝初中系列方肘创新教捕领>6圆与三角形2三角形的内切圆9.如图，若△ ABC 的三边长分别为 AB = 9, BC = 5, CA = 6, △ ABC 的内切圆O O 切A . 5B . 10C . 7.5D . 410.如图，在△ ABC 中，AB = AC ，内切圆O O 与边BC , AC , AB 分别切于 D , E , F./ BAC = 120 ° BF = 2>/3.则内切圆O O 的半径为（）A. 2 B A /3 C . 4西—6 D.9L A Ail 三个公式公式1弧长公式11.如图，已知正六边形 ABCDEF 是边长为2 cm 的螺母，点P 是FA 延长线上的点,在A , P 之间拉一条长为12 cm 的无伸缩性细线，一端固定在点 A ，握住另一端点 P 拉直细A. 13 ncmB. 14ncmC. 15 ncm D . 16 ncm12.【2016昆明】如图，AB 为O O 的直径，AB = 6, AB 丄弦CD ,垂足为G , EF 切O OAB , BC , AC 于点 D ,F ,则AF 的长为（）线，把它全部紧紧缠绕在螺母上（缠绕时螺母不动），则点P 运动的路径长为（）第12题）A0（第10题）AOD（?于点B ,连接AD , OC , BC ，/ A = 30°下列结论不正确的是（）A . EF // CDB. A COB 是等边三角形 C . CG = DG D.BC 的长为3n公式2扇形面积公式13.设计一个商标图案，如图，在矩形 ABCD 中，若AB = 2BC ，且AB = 8 cm ,以点A 为圆心，AD 长为半径作弧，交 BA 的延长线于点F ，则商标图案（阴影部分）的面积等于B. (4 n+ 16) cm 2D. (3 n+ 16) cm2如图，以AB 为直径，点0为圆心的半圆经过点 C ,若AC = BC =<2, 则图中阴影部分的面积是（）C. nD.2+n公式3圆锥的侧面积和全面积公式15•在手工课上，王红制成了一顶圆锥形纸帽，已知纸帽底面圆的半径为长为50 cm ,则制作一顶这样的纸帽所需纸板的面积至少为（）A. 250 ncm 2 B . 500 ncm 22 2C. 750 ncm D . 1 000 ncmA. 4 nB. 8 nC. 12 nD. 16 nA. (4 n+ 8) cm 2C. (3 n+ 8) cm 2（第13题）（第14题）14.【2016重庆】 10 cm ,母线16.已知圆锥底面圆的半径为2,母线长是 4，则它的全面积为（）DF 4C___ |[ *取蒸邂蛊初中系列方肘创新教辅领践I两个技巧技巧1作同弧所对的圆周角（特别的：直径所对的圆周角）17.如图，在△ ABC中，AB = AC,以AC为直径的O O交AB于点D，交BC于点E.⑴求证：BE = CE;(2)若/ B = 70 °求DE的度数;⑶若BD = 2, BE = 3，求AC的长.(第17 题)技巧2作半径（特别的：垂直于弦的半径、过切点的半径）18 .如图，AB为O O的直径，PQ切O O于E，AC丄PQ于C.(1)求证：AE平分/ BAC ;⑵若EC = V3,/ BAC = 60 °求O O的半径.P K C Q(第18 题)炸蒸®藝初中系列方肘创新教4#领典思想1分类讨论思想1 的O O 中，弦 AC =p 2,弦 AB = J 3,则/ CAB =ABCD 的边长是4,以BC 为直径作圆，从点 A 引圆的切线，切点 DC 于点E.求：⑴△ ADE 的面积;19.已知在半径为思想2方程思想20.如图，正方形为F , AF 的延长线交直sss初中系列方肘创新教辅领跑(2)BF的长.a: (第20 题)■\直sss 初中系列方肘创新教辅领跑AD = AC = CD.•••△ ACD 是等边三角形.（第2题）⑵解：如图，过 0作ON 丄AD 于N.由⑴知^ ACD 是等边三角形，•/ DAC = 60 °•/ AD = AC , CD 丄 AB ,•••/ DAB = 30°,• BE = ^AE , ON = ^AO.设O O 的半径为 r , • ON =》,• AN = DN =¥「,••• EN = 2 + 乎r , AE = 2+ 迈r ；. BE = jAE =茫 + 2.在 RtA NEO 与 RtA BEO 中，OE 2=ON 2 + NE 2 = OB 2 + BE 2,即卩夕 + 2+当rr2也去).••• OE 2= 2 + 2+*r = 28.又•/ OE>0 ,3.解：•••/ AOC = 40°1•••/ BOC = 180° - 40°= 140° / ACO = § X (180。

— 40° = 70°.如图，连接 OD. •/ D 是 BC的中点，•/ COD =二 BOC = 70°.•/ OCD = 180「70= 55°•••/ ACD = / ACO +/ OCD = 70°+ 55°= 125°4. 解：（1）2也.⑵如图，连接OA..-亠— ./■-1. D2. (1)证明: •••CD // BE ,••• D A = DC , 答案•/ AB 是O O 的直径，BM 是O O 的切线，••• AB 丄BE.••• CD 丄 AB. ••• A D = A C D A = AC = CD=「2+ [•••「= 2颐=••• OE = 2^/7.n4fln (第 3 )•/ OA = OB , OA = OD , •••/ BAO = / B , / DAO =/ D. •••/ BAD =/ BAO +/ DAO =/ B + / D. 又•••/ B = 30° / D = 20° •••/ BAD = 50°.•••/ BOD = 2 / BAD = 100°点拨：圆周角定理、垂径定理在与圆有关的证明、计算题中经常出现，要牢固掌握.（第5题）5. 解：如图,过点A 作AC 丄ON ，垂足为C. •// MON = 30° OA = 80 m ,以点A 为圆心，50 m 为半径作圆，交 ON 于B ,D 点时第二台拖拉机在 C 点，还需前行30 m 后才对小学没有噪音影响.•••影响时间应是 90^5= 18（s ）.即这两台拖拉机沿 ON 方向行驶时给小学带来噪音影响的时间是18 s.6.解：（1）根据平行线间的距离相等，知点 O 到CD 的距离即为点 A 到CD 的距离.过点A 作AE 丄CD 于点E.根据/ D = 60° AD = m ,利用直角三角形中“ 30°角所对的直角边等于斜边的一半”及勾股定理，得AE = ¥m ,即点O 到CD 的距离是^m.（2）由题可得 OA = 5.当m = 6时，^23m = 3^/3>5，故O O 与CD 相离.⑶若O O 与线段CD 有两个公共点，则该圆和线段 CD 相交，当点C 在O O 上时，易得 m = 2A B = 5;D 两点，连接AB , AD.当第一台拖拉机到 B 点时对小学产生噪音影响，••• AB = 50 m ,.・.由勾股定理得 BC =30 m ,第一台拖拉机到D 点时对小学产生的噪音消失，易得 CD = 30 m.•••两台拖拉机相距 30 m ,•••第一台拖拉机到|['当线段CD与O O相切时，有^23m = 5, m=霁.所以m的取值范围是5W m<7.证明：⑴如图，连接OA ,0D，则/ AOB =/ BOC = / COD = 360 T0= 36° 则/ AOD =/ AOB + / BOC + / COD = 108°又••• OA = OD,•••/ OAD = / ODA = 36°•••/ ANO =/ COD + / ODA = 36° + 36° = 72°.•// BOC = 36° OB = OC,•••/ BCO = / OBC = 72°•••/ ANO =/ BCO.••• MN // BC.（第7题）(2) •// AON =/ AOB + / BOC = 72 °,/ ANO = 72°AN = AO = OB.•/ MN // BC,•••/ AMB =/ OBC = 72°"ABM =叮=72°•••/ ABM =/ AMB. ••• AB = AM.又AB = BC. ••• AN = AM + MN = AB + MN = BC + MN.••• MN + BC = OB.&解：⑴在O O中，/ A = / D.•// AEB = / DEC , AE = DE,•••△ AEB N DEC. ••• EB = EC.又••• BC = CE ,• BE = CE= BC.•••△ EBC 为等边三角形ACB = 60°(2) •/ OF 丄 AC ,• AF = CF. •••△ EBC 为等边三角形,•••/ GEF = 60°.；/ EGF = 30°.•/ EG = 2 ,••• EF = 1.又••• AE = ED = 3,； CF = AF = 4.； AC = 8, CE = 5.； BC = 5.如图,作 BM 丄 AC 于点 M ,•••/ BCM = 60°,•••/ MBC = 30°.； CM = I ； BM = p BC 2- CM 2=晋,AM = AC — CM =号.• AB = ^AM 2+ BM 2= 7.9. A10. C 点拨：设O O 的半径为r ，连接AO , OD , OE ,易得A , 0, D 三点共线，AD=2, AO = 2— r ,/ AEO = 90° / AOE = 30°••• AE = 2AO = ^(2 — r).又根据已知条件易求得 AE = 4 — 2A /3 ,••• 4-2©= 2(2 — r),•- r = 4^3- 6,即内切圆O 0的半径是4寸3— 6.由题图可知，点 P 运动的路径长是题图中六个扇形的弧长之和，每个扇12X 2n= 4n •侧面积是-X4 nX 4= 8 n,底面积是 nX 22•••全面积是8 n+ 4 n= 12 n（第8题）11. B 点拨: 形的圆心角均为60 ，半径从12 cm 依次减2 cm ,所以点P 运动的路径长为18060 nX 12 + 60 nX 1018060 nX 8 60nX 6+180 180:,—(12 + 10+8+ 6 +4+ 2) = 14ncm).故选 B. 180 312. D13. A 点拨：•••在矩形 ABCD 中，AB = 2BC , AB = 8 cm ,； AD = BC = 4 cm , / DAF=90 .…S 扇形1AFD = 4 nAD 2= 4 Xcm 2). S 矩形 ABCD = AB -AD = 8 X 4= 32(cm 2).又T AF = AD = 41 1cm,； BF = AF + AB = 4+ 8= 12(cm). • S ^BCF = 2BF BC = -X 12 X 4= 24(cm 2). • S 阴影=S扇形 AFD+ S 矩形 ABCD — S A BCF = 4 n+ 32 — 24= (4 计 8)(cm 2).故选 A.14. A 15. B点拨：由圆锥的侧面展开图的面积计算公式，得S = nl = n X 10X 50 =500 ncm 2). 故选B.16. C 点拨：•••底面周长是炸蒸邂蛊初中系列方肘创新数辅领跑17.⑴证明：如图，连接 AE,T AC 为直径,•••/ AEC = 90°.• AE 丄BC. •/ AB = AC , • BE = CE.⑵解：如图，连接 OD , OE ,在 RtA ABE 中，/ BAE = 90 -/ B = 90。