第17章 贝塞尔函数 课后习题解答

(
x(1) n

)

d

=
a
2
x(1) n
[
J
0
(
x(1) n
)]2

−2
J
0
(
x(1) n
)
[
x(1) n
]2
=
−4
a

[
x(1) n
]3
J
0
(
x(1) n
)
所以，原定解问题的解为： u(，t)
=
n=1
[
a

[
x(1) n
−4 ]3 J
0
(
x(1) n
)
sin(
x(1) n
at
)]J
0
答案：略。
17.8
证明：（1） J2 (x) =
J0(
x)
−
1 x
J0(x) ；（2） J3(x) + 3J0(x) − 4J0(x) = 0
答案：略。
补充作业 1：
设
x(0) n
(n
= 1, 2,...)
是方程
J0 ( x)
=
0
的所有正根，试将函数
f
(x)
=
x2 (0
x
b)
展开成
2(−1)n (u1 − u0 )
n

K0
(
n L
0 )
n K0( L
)sin( n L
z)
=
0
的第
n
个根。
解关于 t 的方程:
T (t )
+
(
x(1) n
)2
a2T
(t)
=
0
,T
(t)
=
An
cos(
x(1) n
at
)
+
Bn
sin( xn(1) at )

所以原问题的通解为： u(，t) =
[
An
cos(
x(1) n
at
)
+
Bn
sin(
x(1) n
at
)]J
0
(
x(1) n

)
Z(z) − Z (z) = 0
R() + 1 R() + R() = 0
代入齐次的侧面边界条件： R(b) = 0, R(0) = 有限
求本征值问题：
R(
)+ 1
R(b) =
R() + 0, R(0)
=
R() 有限
=
0
可得：
n
答案： I1 = x4.7 证明:
I2 = −2J2 (x) − J0 (x) + c
（1）
d dx
[ xJ 0
(x)J1(x)]
=
x[J
2
0
(x)
−
J 2 (x)] 1
（2）
x2J1(x)dx = 2xJ1(x) − x2J0 (x) + c
)]2
，
令t
=
x(0) n
x
，则：
b
b 0
x2
J
0
(
x(0) n b
x)
xdx
=
b4
[
x(0) n
]4
xn( 0) 0
t
3
J
0
(t
)dt
=
b4
[
x(0) n
]4
{[
x(0) n
]3
J1
(
x(0) n
)
−
4
xn( 0 ) }
=
b4
J1
(
x(0) n
){
1 x(0)
n
4
−
[
x(0) n
]3
}
所以，
bessel
函数
J
0
(
xn(0 b
)
x) 的级数。
解：设
f
(x)
=
x2
=
n=1
fn
J
0
(
x(0) n b
x) ，其中，
fn
=
1
[
N (0) n
]2
b 0
x2
J
0
(
x(0) n b
x)xdx
[
N (0) n
]2
=
b2 2
[
J
0
(
x(0) n b
)]2 =
−
b2 2
[
J1
(
x(0) n b
=
(
x(0) n
)2
b
R() = J
,
0
n = 1,
(
x(0) n
b
2, 3... )
其中，
x(0) n
为方程
J0
(x)
=
0
的第
n
个根。
解关于
z
的方程：Z
(
z)
−
(
x(0) n
b
)2 Z(z)
=
0 ，可得：Zn (z)
=
An
cosh(
x(0) n
b
z) +
Bn
sinh(
x(0) n
b
z)
所以原问题的通解为： u(，z)
求解本征值问题，
R( )
+
1
R( )
+
R(1) = 0, R(0)
k 2 R( ) = 有限
=
0
可得：
kn

=
x(0,2) n
=
x(1) n
,
n
= 1, 2,3...
R()
=
J
0
(
x(1) n b
)
其中，
x(1) n
为方程
J1
(
x)
=
0
即
J0
(
x)
=

[ An
n=1
cosh(
x(0) n
b
z)
+
Bn
sinh(
x(0) n b
z
)]J
0
(
x(0) n b
)
代入底面边界条件， u = 0,u = 2
z=0
z=h
u
z=0
=
n=1
An
J
0
(
x(0) n b
)
=
0 ，解得：
An
=
0
u
z=h
=
n=1
Bn
sinh(
x(0) n
b
h)
fn
=
1
[
N (0) n
]2
b 0
x2
J
0
(
x(0) n b
x)xdx
=
xn(0
)
2b2
J1
(
x(0) n
)
{1
−
[
4 x(0)
n
]2
}
所以，
f
(x)
=
x2
=
n=1
x(0) n
2b2
J1
(
x(0) n
)
{1
−
[
4 x(0)
n
]2
}J
0
(
x(0) n b
x),
(0 x b)
17.9 半径为 b，高为 h 的均匀圆柱体，下底和侧面保持为零度，上底温度分布为 2 ，求圆
u z=0 = 0, u z=L = u1
将底面边界齐次化，可设 u = u1z + w ，则 w 满足下列定解问题： L
w = 0 ( 0, 0 z h)

w

=
0
= (u0
− u1)z L
,w →
= 有限
w z=0 = 0,
w =0 z=L
由边界条件可得，问题与φ无关，所以，可设： w(, z) = R()Z (z)
n Z (
= z)
−( n )2, n = L
= sin( n z) L
1,
2,
3...
解关于ρ的方程： R() + 1 R() − ( n )2 R() = 0 ，此为 0 阶虚宗量贝塞尔方程。

L
其解为： Rn ()
=
n AnI0 ( L
) +
n BnK0 ( L
n=1
代入初始条件， u t=0 = 0, ut t=0 = 1− 2

u = t=0
An
J
0
(
x(1) n

)
=
0 ，解得：
An
=
0
n=1

ut t=0 =
x(1) n
aBn
J
0
(
x(1) n

)
=
1−

2
n=1
Bn
=
1
a

xn(1) [
N (0,2) n
]2
b
(1 −
0

2
)
J
0
(
x(1) n

)
补充作业 2：
半径为ρ0，高位 L 的导体圆柱壳，用不导电的物质将柱壳的上下底面与侧面隔离开来，