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第十二章 级数第一节 数项级数及其敛散性思考题：1. 级数收敛的必要条件所起的作用是什么？答：级数收敛的必要条件可用来判别一些级数的发散性，缩小了收敛级数的范围. 2. 判定一个级数是否收敛，有哪几种方法？ 答：有下列主要方法：（1）利用收敛定义，即考查n n s ∞→lim 是否存在.（2）若为正项级数，则可利用比较判别法或比值判别法. （3）若为非正项级数，考查是否绝对收敛. （4）若为交错级数，用莱布尼茨判别法来判断.习作题：1. 判别下列数项级数是否收敛：（1）∑∞=-+1)1(n n n , （2）∑∞=131n n, （3）∑∞=1!n n nn , （4）)1(1)1(11+-∑∞=-n n n n .解：（1） nn n n ++=-+111121+>n ,而级数∑∞=+111n n 发散, ∴级数∑∞=-+1)1(n n n 发散. （2）∑∞=131n n 是公比31=q 的等比级数，而1<q ， ∴∑∞=131n n 收敛.（3） nn n a a 1lim +∞→ = nn n n n n n !)1()!1(lim 1+∞→++=n n n n )1(lim +∞→=1e 1<-, ∴原级数收敛.（4） ∑∞=-+-11)1(1)1(n n n n=∑∞=+1)1(1n n n ,而级数∑∞=+1)1(1n n n 收敛，故原级数绝对收敛.2. 证明级数 ⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++2222sin 33sin 22sin 1sin nn θθθθ对任何θ都收敛. 证明：221s i n n n n ≤θ, 而级数 ⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++23221312111n =∑∞=121n n收敛,故因比较判别法知, 原级数对任何θ都绝对收敛.3. 将循环小数83.0 化为分数. 解： 83.0 = +⨯+⨯+⨯+---38.01038.01038.01038.0642=∑∞=⋅1210138n n=∑∞==1299381038n n.4. 判定级数∑∞=142cos n n n α的敛散性. 解：因为级数42cos n n α≤41n , 而级数∑∞=141n n 收敛，故级数∑∞=142cos n n n α绝对收敛.第二节 幂级数思考题：1. 在收敛区间内幂级数有哪些性质？答：幂级数的代数性质有：加法运算性质和乘法运算性质. 幂级数的分析性质有：连续性. 可导性. 可积性，即在收敛区间内：（1）连续，（2）可导，且可逐项求导，（3）可积且可逐项积分.2. 如何将一个函数展开成幂级数？间接展开法有哪些优点？ 答：函数的幂级数展开可利用直接展开法和间接展开法.间接展开法与直接展开法比较有以下优点： （1）避免直接展开法中求系数n a 时)(0)(x fn 的复杂运算，而由基本展开式可直接求出n a ,（2）根据幂级数运算保持收敛性不变的性质，由基本展开式可直接求出展开式的收敛区间，因此不必通过求收敛半径等讨论收敛性.3. 将函数展开成幂级数与将函数在0=x 处展开成泰勒级数两句话的含义一致吗？ 答：不一致.将函数展开成幂级数可以在任意0x x =处展开，而将函数在0=x 处展开成泰勒级数是指将函数在特定的点0=x 处展开成幂级数.4. 计算器上，对函数x ln 的求值算法能通过本节所述的知识实现吗？请详细讨论和实验.答：能.习作题：1. 求下列幂级数的收敛域：（1）∑∞=1!n nx n , （2）∑∞=1)!2(n nn x .解：（1）1lim+∞→=n n n a a R =)!1(!lim +∞→n n n =11lim +∞→n n =0,∴级数∑∞=1!n n x n 的收敛域为}0|{=x x .（2）1lim+∞→=n nn a a R =)]!1(2[1)!2(1lim +∞→n n n =1)22)(12(lim++∞→n n n=∞+,∴级数∑∞=1)!2(n nn x 的收敛域为),(+∞-∞. 2. 求幂级数∑∞=+-0)1()1(n n nx n 的和函数.解：设∑∞=+-=)1()1()(n n nx n x s ,两端关于x 求积分得：x x s x d )(0⎰=∑∞=+-01)1(n n n x =xx+1 )1,1(-∈x 两端求导得：2)1(1)(x x s +=, 即∑∞=-∈+=+-02)1,1(,)1(1)1()1(n n n x x x n . 3. 将xx f 1)(=展开成3-x 的幂级数，并求收敛域. 解：)3(31)(-+=x x f =)33(1131-+⋅x ,因为∑∞=+=-011)1(n n n xx )1,1(-∈x , 所以 ∑∞=-⋅-=-+⋅)33(31)1()33(1131n n n x x =∑∞=+--01)3()31()1(n n n n x , 其中1331<-<-x ， 即60<<x . 当0=x 时，级数为∑∞=031n 发散；当6=x 时，级数为∑∞=⋅-031)1(n n 发散,故 x 1=∑∞=+--01)3()31()1(n nn n x )6,0(∈x .4. 以函数xx f -=11)(的幂级数展开式为基础，分别求出下列函数的幂级数展开式，并写出收敛域.（1）x +11, （2）211x+, （3）)1ln(x +, （4）x arctan , （5）x cot cos .解：（1）x +11=)(11x --=∑∞=-∈-0)1,1(,)1(n nn x x .（2）211x + =∑∞=-02)(n n x =∑∞=-02)1(n nn x ,)1,1(-∈x .（3）)1ln(x +=⎰+xx x 0d 11=⎰∑∞=-x n n n x x 0d )1( =∑⎰∞=-0d )1(n x nnx x =∑∞=++-011)1(n n n x n , ]1,1(-∈x .(4) 211)(arctan x x +='=∑∞=-∈-02)1,1(,)1(n nn x x , 于是 x arctan =⎰∑∞=-x n nnx x 02d )1(=()∑∞=++-012121n n nx n , ]1,1[-∈x .(5) 211)cot arc (x x +-='=∑∞=+-∈-021)1,1(,)1(n nn x x , 于是 x cot arc =⎰∑∞=+-x n n n x x 0021d )1(=()∑∞=+++-0121121n n n x n ,]1,1[-∈x .第三节 傅里叶级数思考题：1. ()x f 是定义在[]b a ,上的函数, 且满足收敛定理的条件，如何将其展成以a b -为周期的傅里叶级数？答：可设)2()(a b x f x F ++=，则)(x F 在]2,2[ab a b ---上有定义，且满足收敛定理条件，故可展开为以a b -为周期的傅里叶级数.2. 函数)(x f 的傅里叶级数展开式是否惟一？设以2l 为周期的函数)(x f ，将其在],[l l -上展开和在[0，2l ]上展开的以2l 为周期的傅里叶级数是否相同？为什么？答：（1）)(x f 的傅里叶展开式并不惟一，因为不同的区间[]b a ,上的展开式的系数可能不同.（2）当)(x f 的周期为l 2时，注意定积分恒等或⎰⎰+=x x f x x f al ald )(d )(220，其中)(x f 的周期为2l ，a 为任意常数，则可知将)(x f 在],[l l -展开和在[]l 2,0上展开的傅里叶级数相同.习作题：1. 将周期为1的函数21)(x x f -=)2121(≤≤-x 展成傅里叶级数.解：令π2tx =，则得()t F 在[]π,π-上的表达式为 22π41)(t t F -=， 611d π41π1d )(π122ππππ0=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⎰⎰--t t t t F a ， ()t nt t F a n d cos π1ππ⎰-==t nt t d cos π41π122ππ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎰- =t nt t d cos π212π03⎰-=t nt t n d sin 2π21π03⎰=()()()212π1πcos π1n n n n +-=-， ()t nt t F n b n d sin 1ππ⎰-==t nt t d sin π41π122ππ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎰-=0 ()x f ∴的傅里叶展开式为()()()x n n x x f n n πc o s 1121111212⋅-+=-=∑∞=+π )2121(≤≤-x 2. 把x x f -=1)(()10≤≤x 展开成正弦级数和余弦级数. 解: (1)先将)(x f 延拓为奇函数⎩⎨⎧<≤---≤<-=,01,1,10,1)(1x x x x x f 再作变换t x π1=, 得⎪⎩⎪⎨⎧<≤---≤<-=,0π,π1,π0,π1)(1x tt t t F 由 t nt t F b n d sin )(π11ππ⎰-==t nt t d sin )π1(π2π0-⎰=π2)1(1n n ⋅-+，得 )(1t F =∑∞=+⋅-11sin π2)1(n n nt n , ππ≤≤-t 且0≠t . 令 x t π=, 得)(x f 的正弦级数展开式为⎪⎩⎪⎨⎧=≤<-=-∑∞=+.0,1,10,πsin )1(π2111x x x n n x n n(2) 先将)(x f 延拓为偶函数⎩⎨⎧<≤-+≤≤-=,01,1,10,1)(2x x x x x f 再作变换t x π1=, 得⎪⎩⎪⎨⎧<≤-+≤≤-=,0π,π1π,0,π1)(2x tt t t F 由 1d )π1(π2d )(π1π02ππ0=-==⎰⎰-t tt t F a ,t nt t F a n d cos )(π11ππ⎰-==t nt t d cos )π1(π2π0-⎰ =⎪⎩⎪⎨⎧,,0,,π422为偶数时为奇数时n n n得 )(2t F =)55cos 33cos (cos π421222 ++++tt t , ππ≤≤-t , 令 x t π=, 得)(x f 的余弦级数展开式为∑∞=++=-122πcos )12(1π4211n x n n x , 10≤≤x .。
级数理论
第三篇：级数理论第一部分：数项级数与广义积分第九章：数项级数1 预备知识：数列的上极限和下极限一、 定义：对于有界数列{}n a ，{}n a 未必收敛，但它有收敛的子列。
这里我们考虑数列{}n a 具有特殊性质的子列{}nj a ，它的极限值最大（或者最小）。
例如：{}(1)n-={}n a ，2na=1→1，21n a -=-1→-1。
在{}n a 去掉最前面的k 项以后 ，剩下来的仍是一个有界数列，证这个数列{}k ja +的上确界为kβ，下确界为k α，即：k β=sup n k>{}n a =sup {}1,2,k k a a ++随着k 的增大在变小k α={}{}1,2,inf inf k k k n ka a a ++>=随着k 的增大在变大令k=1,2,3,……，可得新的数列{}k β及{}k α。
显见，{}kβ，{}kα。
由单调有界准则知{}k β，{}k α均收敛，分别证：,lim lim k k k k H h βα→∞→∞==分别称H ，h 为数列{}n a 的上极限与下极限，记为H=lim n n a →∞,h=lim n →∞n a 。
即：H=lim nx a →∞={}lim sup n k n ka →∞>；h=lim n →∞n a {}liminf n k n ka →∞>≤。
由上、下极限的定义，显然有：h H 。
（事实上，',k k ∀有{}{}'','''sup inf ,,lim H ,n n k k k k k k n kn ka a H k βαβαα→∞>>≥≥=≥≥→∞故故即：再令，有h H ≤）对于无界数列{},n a 可以补充规定：1;lim n a n =∞→∞______规定：（）如果数列无上界，级数H=（2）如果数列{}n a 无下界，级数.lim n n h a →∞==-∞这样，对于任何的数列，上极限和下极限h 均有定义。
级数
级 数1. 数项级数⑴ 定义 设给定一个无穷数列 ,,,,21n u u u ，则++++=∑∞=n n n u u u u 211称为数项级数，简称级数.其中第n 项n u 称为级数的通项或一般项.该级数的前n 项和 ∑==+++=nk knnuu u u S 121称为级数∑∞=1n n u 的前n 项部分和,并称数列{}n S 为级数∑∞=1n nu的部分和数列.⑵ 级数的收敛、发散与级数和 若级数∑∞=1n nu的部分和数列{}n S 的极限存在，即S S n n =∞→lim，则称级数∑∞=1n nu 收敛，若部分和数列的极限不存在，则称级数∑∞=1n nu发散.当级数∑∞=1n nu收敛时，称其部分和数列的极限S 为级数∑∞=1n nu的和，记为S un n=∑∞=1.⑶ 数项级数的性质①若级数∑∞=1n nu和∑∞=1n nυ分别收敛于S 与T ,则级数∑∞=+1)(n n nuυ收敛于T S +，即 ∑∞=+1)(n n n u υ=∑∞=1n n u +∑∞=1n n υ．②级数∑∞=1n nu和∑∞=1n ncuc (为任一常数，)0≠c 有相同的敛散性，且若∑∞=1n n u 收敛于S ，则∑∞=1n n cu 收敛于cS ，即∑∞=1n n cu =∑∞=1n n u c .③添加、去掉或改变级数的有限项，所得级数的敛散性不变.④(级数收敛的必要条件) 若级数∑∞=1n nu收敛，则0lim=∞→n n u .⑷ 正项级数及其收敛判别法若),2,1(0 =≥n u n，则称级数∑∞=1n n u 为正项级数.①比较判别法设∑∞=1n nu和∑∞=1n nυ是两个正项级数，且),2,1( =≤n u n n υ，那么有若级数∑∞=1n nυ收敛，则级数∑∞=1n nu也收敛； 若级数∑∞=1n nu发散，则级数∑∞=1n nυ也发散.②比值判别法设∑∞=1n n u 是正项级数，且ρ=+∞→nn n u u 1lim，则 当1<ρ时，级数收敛； 当1>ρ时，级数发散； 当1=ρ时，级数可能收敛，也可能发散.⑸ 交错级数与莱布尼茨判别法 ①交错级数设),2,1(0 =>n u n，级数∑∞=--11)1(n n n u 称为交错级数.②莱布尼茨判别法如果交错级数∑∞=--11)1(n n n u ),2,1,0( =>n u n 满足莱布尼茨(Leibniz)条件：),2,1(1 =≥+n u u n n 且0lim =∞→n n u ,则该级数收敛,且其和1u S≤,其余项n r 的绝对值1+≤n n u r .⑹ 绝对收敛与条件收敛如果级数∑∞=1n n u 收敛，则称级数∑∞=1n n u 是绝对收敛的；如果级数∑∞=1n n u 收敛而级数∑∞=1n n u 发散，则称级数∑∞=1n n u 是条件收敛的.对于绝对收敛的级数∑∞=1n nu，有如下结论：如果级数∑∞=1n nu是绝对收敛的，则级数∑∞=1n nu也收敛.⑺ 两个重要级数①几何级数 形如+++++=-∞=∑120n n naqaq aq a aq的级数称为几何级数.几何级数的敛散性有如下结论：当1<q 时，几何级数∑∞=0n naq收敛于qa -1；当1≥q时，几何级数∑∞=0n naq 发散.②p -级数形如∑∞=+++++=11312111n ppppnn的级数称为p -级数．p -级数的敛散性有如下结论：当1>p 时，p -级数∑∞=11n pn收敛；当1≤p 时，p -级数∑∞=11n pn发散.特殊地, 1=p 时的p -级数∑∞=11n n称为调和级数, 调和级数是发散的.2．幂级数 ⑴ 函数项级数 如果级数+++)()()(21x f x f x f n 的各项都是定义在某个区间I 上的函数，则称该级数为函数项级数，)(x f n 称为通项或一般项.当x在区间I 中取定某个常数0x 时，该级数是数项级数.如果数项级数)(01x f n n ∑∞=收敛，则称0x 为函数项级数)(1x f n n ∑∞=的一个收敛点；如果发散，则称0x 为函数项级数的一个发散点，函数项级数的所有收敛点组成的集合称为它的收敛域.对于收敛域内的任意一个数x ，函数项级数为该收敛域内的一个数项级数，于是有一个确定的和S .这样，在收敛域上，函数项级数的和是x 的函数)(x S ，通常称)(x S 为函数项级数和函数，即 +++=)()()()(21x f x f x f x S n ，其中x 是收敛域内的任意一个点．⑵ 幂级数的定义形如+++++=∑∞=nn nn n x a x a x a a xa 22100的函数项级数称为x 的幂级数，其中),2,1,0( =n a n 称为该幂级数的第n 项系数.⑶ 幂级数的收敛半径幂级数的系数满足 λ=+∞→nn n a a 1lim，当+∞<<λ0时，称λ1=R 为幂级数的收敛半径；当0=λ时，规定收敛半径为+∞=R ；当+∞=λ时，规定收敛半径0=R .⑷ 幂级数的收敛区间、收敛域 ①收敛区间如果幂级数的收敛半径为R ，则称区间),(R R -为幂级数的收敛区间，幂级数在收敛区间内绝对收敛.②收敛域把收敛区间的端点R x ±=代入幂级数中，判断数项级数的敛散性后，就可得到幂级数的收敛域. ⑸ 幂级数的性质设),min( , ),( , )( , ),( , )(21022110R R R R R x x T xb R R x x S xan nn n nn=-∈=-∈=∑∑∞=∞=,①幂级数的和函数在收敛区间内连续．②(加法运算） 当∈x),(R R -时，有 ∑∑∑∞=∞=∞=±=±=±)()()(n nn n nnnn nn x T x S xb axbx a ．③(逐项微分运算） 当∈x ),(R R -时，有 ∑∑∑∞=-∞=∞=='='⎪⎭⎫ ⎝⎛='110)()(n n nn nnn n n xnax ax a x S ，且收敛半径仍为R .④(逐项积分运算） 当∈x ),(R R -时，有 ⎰⎰∑⎪⎭⎫ ⎝⎛=∞=xxn n n x x a x x S 000d d )(=∑⎰∞=00d n x nn x x a =∑∞=++011n n n x n a ， 且收敛半径仍为R .(6) 泰勒级数与麦克劳林级数 ①泰勒公式 如果函数)(x f 在开区间),(b a 内具有直至1+n 阶导数,且),(0b a x ∈,则对任意点),(b a x ∈,有)(x f 在0x x =处的n 阶泰勒公式),()(!)()(!2)())(()()(00)(200000x R x x n x fx x x f x x x f x f x f n nn +-++-''+-'+= 其中)(x R n称为n 阶泰勒公式的余项，当0x x →时，它是比nx x )(0-高阶的无穷小，故一般可写成)()(0nn x x o x R -=.余项)(x R n 有多种形式，一种常用的形式为拉格朗日型余项，其表达式为) ( )(!)1()()(010)1(之间与在x x x x n fx R n n nξξ++-+= .②泰勒级数 +-++-''+-'+nn x x n x fx x x f x x x f x f )(!)()(!2)())(()(00)(200000称为)(x f 在0x x =处的泰勒级数.③麦克劳林级数 +++''+'+nn x n fx f x f f !)0(!2)0()0()0()(2 称为)(x f 的麦克劳林级数.④函数展开成泰勒级数的充要条件 设函数)(x f 在0x x =的某个邻域内有任意阶导数，则函数)(x f 的泰勒级数在该邻域内收敛于)(x f 的充要条件是：0)(lim =∞→x R n n （其中)(x R n 是泰勒余项）. 如果)(x f 在0x x =处的泰勒级数收敛于)(x f ,则)(x f 在0x x =处可展开成泰勒级数,即nn n x x n x fx f )(!)()(000)(-=∑∞=，称其为)(x f 在0x x =处的泰勒展开式，也称为)(x f 关于0x x -的幂级数.当00=x 时，有 nn n x n f x f ∑∞==)(!)0()(称为函数)(x f 的麦克劳林展开式.(7) 常用初等函数的麦克劳林展开式 ①∑∞=+∞<<-∞+++++==2)( !!21!1 n nnx x n xxx xn e②++-+++-=+-=+∞=+∑!)12()1(!5!3!)12(1)1(sin 1205312n xxxx xn x n nn n n )( +∞<<-∞x ③ +-+++-=-=∑∞=!)2()1(!4!21!)2(1)1(cos 2422n xxxxn x nnn nn)( +∞<<-∞x④∑∞=++++-++-+-=+-=+0143211)1(43211)1()1ln( n n nn nn xxxxx xn x )11( ≤<-x⑤ ++--++-++=+nx n n x x x !)1()1(!2)1(1)1(2ααααααα)11( <<-x 其中α为任意实常数⑥∑∞=+-+-+-=-=+032)1(1)1(11n nn nnx x x x xx)11(<<-x3. 傅里叶级数 ⑴ 以π2为周期的函数)(x f 展开成傅里叶级数①设)(x f 是周期为π2的函数，则)(x f 的傅里叶系数的公式为),2,1,0( d cos )(π1ππ==⎰-n x nx x f a n ，),2,1( d sin )(π1ππ==⎰-n x nx x f b n ，由)(x f 的傅里叶系数所确定的三角级数∑∞=++10)sin cos (2n n nnx b nx aa 称为)(x f 的傅里叶级数.②当)(x f 是周期为π2的奇函数时，)(x f 的傅里叶级数是正弦级数∑∞=1sin n n nx b ，其中系数),3,2,1( d sin )(π2π0==⎰n x nx x f b n.③当)(x f 是周期为π2的偶函数时，)(x f 的傅里叶级数是余弦级数∑∞=+10cos 2n nnx aa ，其中系数),2,1,0( d cos )(π2π0==⎰n x nx x f a n.⑵ 狄利克雷（Dirichlet ）收敛定理 设以π2为周期的函数)(x f 在[]ππ,-上满足狄利克雷条件：①连续或仅有有限个第一类间断点；②至多只有有限个极值点， 则)(x f 的傅里叶级数收敛，且有①当x 是)(x f 的连续点时，)(x f 的傅里叶级数收敛于)(x f ；②当x 是)(x f 的间断点时，)(x f 的傅里叶级数收敛于这一点左、右极限的算术平均数[])0()0(21++-x f x f .⑶[]ππ,-或[]π,0上的函数)(x f 展开成傅里叶级数如果函数)(x f 只在区间[]ππ,-上有定义且满足狄利克雷收敛定理的条件，我们可以在[)π,π-或(]π,π-外，补充函数的定义，使它拓广成周期为π2的周期函数)(x F (按这种方式拓广函数的定义的过程称为周期延拓).再将)(x F 展开成傅里叶级数,并且该傅里叶级数在()π,π-∈x时,就是函数)(x f 的傅里叶级数,在π±=x 处，傅里叶级数收敛于))0π()0π((21+-+-f f .类似地，如果)(x f 只在[]π,0上有定义且满足狄利克雷收敛定理的条件，我们在()0,π-内补充)(x f 的定义,得到定义在(]π,π-上的函数)(x F ,使它在)ππ,(-上成为奇函数(偶函数)( 按这种方式拓广函数的定义的过程称为奇延拓(偶延拓)).然后把奇延拓(偶延拓)后的函数)(x F 展开成傅里叶级数,这个级数必定是正弦级数(余弦级数).⑷ 以l 2为周期的函数，且在[]l l ,-上满足狄利克雷收敛定理的条件，得到)(x f 的傅里叶级数展开式为∑∞=++=10)πsinπcos(2)(n n nlx n b lx n aa x f ，当x 是)(x f 的连续点时，上式成立.其中),2,1,0( d cos)(1 ==⎰-n x l n ππx f la l ln，),3,2,1( d πsin )(1 ==⎰-n x lxn x f l b l l n .二 、主要解题方法1． 判断数项级数的敛散性的方法例1 判断下列级数的敛散性，若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛(1)∑∞=-2ln )1(n n n， (2)∑∞=+-11)1(n nn a)0(>a ．解 (1)先判断级数∑∞=-2ln )1(n nn=∑∞=2ln 1n n的敛散性，显然级数∑∞=2ln 1n n是正项级数，因为nln 1>n1 ，而级数∑∞=21n n发散，由比较判别法知级数∑∞=2ln 1n n 发散．又因为级数∑∞=-2ln )1(n nn是一交错级数，nn ln 1lim∞→=0且nln 1>)1ln(1+n ，由莱布尼茨判别法知，级数∑∞=-2ln )1(n nn收敛，故此级数条件收敛．(2) 当0<1≤a 时，≠+∞→nn a11lim0，由级数收敛的必要条件知级数∑∞=+-11)1(n nn a发散．当1>a 时,先判断级数∑∞=+-11)1(n nn a=∑∞=+111n na的敛散性，因为111lim+∞→++n nn aa =n nn aa a111lim++∞→=a1<1 ，由比值判别法知，级数∑∞=+-11)1(n nn a绝对收敛．小结 对任意级数先取绝对值，判断绝对值级数的敛散性，因为绝对值级数是正项级数，所以可以用只适用于正项级数的比较判别法和比值判别法来判断，若收敛即为绝对收敛，若发散再看是否为交错级数，若是交错级数再用莱布尼茨判别法判断其敛散性．当然，不论判断何类级数，都先用收敛的必要条件来判断是否发散，当判断不出时，再考虑用其他方法． 2． 幂级数收敛区间或收敛域的方法 例2 求下列幂级数的收敛域(1)n n x n )3(11∑∞= ， (2)∑∞=+0)21(n n x ， (3) ∑∞=-02)!2()1(n nn n x ．解 (1) 因为nn n a a 1lim+∞→=13)1(3lim+∞→+n n n n n =3)1(lim+∞→n n n =31，所以收敛半径R =3，收敛区间为 （-3，3）．当x =-3时，级数为∑∞=-1)1(n nn，收敛，当x =3时，级数为∑∞=11n n，显然发散．故收敛域为 [-3，3)．(2) 因为nn n a a 1lim+∞→=122lim+∞→n nn =21，所以收敛半径R =2，由1x +<2得，收敛区间为（-3，1），当3-=x 时，级数为nn )1(0∑∞=-，发散，当x =1时，级数为∑∞=01n ，发散，故级数的收敛域为（-3，1）．(3)幂级数∑∞=-02)!2()1(n nn n x 缺少奇次项，直接用比值判别法有nn n xn n x222)!22()!2(lim++∞→=)12)(22(lim2++∞→n n xn =0，收敛半径R =∞+，收敛域为（∞+∞-,）． 小结 如果幂级数属于∑∞=0n nnxa或∑∞=-00)(n nnx x a形式，其收敛半径可按公式R1=nn n a a 1lim+∞→求得．若不属于标准形式，缺奇次（或偶次）项，则可用比值判别法求得．3． 求幂级数的和函数的方法例3 利用逐项求导和逐项微分，求下列级数在其收敛区间的和函数(1)∑∞=-11n n nx， (2)∑∞=-2)1(2n nn n x．解 （1）由于幂级数的系数含有幂指数加1的因子，所以采用“先积后微”的方法，设)(x s =∑∞=-11n n nx，⎰x x x s 0d )(=⎰∑∞=-x n n x nx11d =∑∞=1n n x =xx -1 ，1<x ，于是)(x s = ]d )([0'⎰xx x s =]1['-xx =2)1(1x - ，即∑∞=-11n n nx=2)1(1x - ，1<x .(2) 由于幂级数的系数含有幂指数的因子，所以采用“先微后积”的方法设)(x s =∑∞=-2)1(2n n n n x，则)(x s '=∑∞=--21)1(2n n n x，)(x s ''=∑∞=-222n n x=)1(21x - ，)(x s '=⎰''xx x s 0d )(=⎰-x x x 0d )1(21=-21)1ln(x -，)(x s =⎰'x x x s 0d )(=21[)1ln()1ln(x x x x ---+]，即∑∞=-2)1(2n nn n x=21[)1ln()1ln(x x x x ---+]．小结 掌握幂级数在其收敛区间内和函数的求法，首先要熟悉几个常用的初等函数的幂级数展开式，其次还必须分析所给幂级数的特点，找出它与和函数已知的幂级数之间的联系，从而确定出用逐项求导法还是用逐项积分法求所给幂级数的和函数．4． 把函数展开成幂级数的方法 例4 把下列函数展开为（0x x-）的幂级数(1))(x f =11+x ，0x =-4 ； (2) )(x f = 223xx x --，00=x ．解 (1) 利用等比级数求和公式11+x =341-+x =)341(31+--x ， 因为x-11=∑∞=0n nx（-1<x <1），所以3411+-x =∑∞=+0)34(n nx ，这里 -1<34+x <1 ，得 -7<x <-1 ，于是11+x =-∑∞=++013)4(n nn x （-7<x <-1 ）．(2)223xx x --=x-1122x-+=x-11112x -+=（1+x +2x +nx + ）-[-2x +(2)2x + +(nx )2-+ ]=23x +243x +389x +41615x + （-1<x <1）． 由x-11的收敛区间为 （-1，1）可知211x +的幂级数收敛区间为（-2，2），223xx x --的麦克劳林级数的收敛区间取（-1，1）与（-2，2）中较小的一个，即（-1，1）．小结 把函数)(x f 展开为（0x x -）的幂级数的方法有二：(1) 直接展开法（泰勒展开） 此方法计算量大，)()(x fn 的一般表达式不易求出，并且讨论余项)(x R n 当∞→n 时是否趋于0也困难．为了避免这些缺点，常用间接展开法．(2) 间接展开法 利用已知的函数展开式，通过恒等变换、变量代换、幂级数的代数运算及逐项求导或逐项积分把)(x f 展开成幂级数．5．傅里叶级数的展开法 例5 设)(x f 是以2π为周期的函数，它在[-π，π]上的表达式为)(x f =⎩⎨⎧<≤<≤-,π0,,0π,x x x将)(x f 展开成傅里叶级数．解()f x 满足收敛定理条件，()f x 的图形如图所示因此0a =π1⎰-ππd )(x x f =π1⎰-0πd x x =-2π，n a =π1⎰-ππd cos )(x nx x f =π1⎰-0πd cos x nx x =π1(nnx x sin +2cos nnx )0π-=⎪⎩⎪⎨⎧==,...6,4,2,0,...5,3,1,π22n n nn b =π1⎰-ππd sin )(x nx x f =π⎰-0πd sin x nx x =π1(nnxx cos -+2sin nnx )0π-=21)1(nn +- ．又)(x f 在除)12(+=k x π外处处连续，故)(x f 的傅里叶级数展开式为)(x f =-4π+(π2cos sin x x +)-21sin 2x +(π322cos 3x +31sin 3x )-41sin 4x +(π522cos 5x +1sin 5)5x -(∞<<∞-x 且≠x (12+k ) π)，当 )12(+=k x π时，级数收敛于-2π．小结 把)(x f （满足收敛定理条件）展开成傅里叶级数主要工作是计算傅里叶系数．因此要根据函数的特点尽量用适当的恒等变形或适当变量代换，把函数转化成求具有奇偶性的函数的傅里叶系数，这样可以简化运算．π2ππ3π -π-2π -π xyO第八章 幂级数1． 判断下列幂级数的收敛域（1）1(3)3nnn x n ∞=-⋅∑（2）213nn n x∞+=∑解：（1）这是不缺项的幂级数，可按公式来做。
级数知识点总结归纳
级数知识点总结归纳引言级数是数学中重要的概念，它在各个领域都有广泛的应用。
本文将对级数的基本概念、性质和常见的级数测试进行总结和归纳。
通过深入的探讨，希望能够帮助读者全面理解级数的知识。
一级标题1：级数的定义与基本性质二级标题1.1：级数的定义1.级数是由一列数相加得到的无穷和，形如a1+a2+a3+...+a n+...的表达式。
二级标题1.2：级数的收敛与发散1.如果级数的部分和数列S n极限存在，则称此级数收敛，数列{S n}的极限值称为级数的和；2.如果级数的部分和数列S n极限不存在或为无穷大，则称此级数发散。
二级标题1.3：级数的性质1.收敛级数的部分和数列是有界的；2.收敛级数的和不受有限或任意个项的去除影响；3.可以对级数的各个项重新排序；4.级数的收敛性与发散性不受固定个数项的改变影响；5.如果级数∑a n收敛，则lim n→∞a n=0。
一级标题2：级数的测试二级标题2.1：正项级数及比较测试三级标题2.1.1：正项级数1.如果级数所有的项都是非负的，称之为正项级数。
三级标题2.1.2：比较测试1.比较测试：如果级数0≤a n≤b n，其中∑b n收敛，则∑a n也收敛；2.极限形式的比较测试：如果级数0≤a n和0≤b n，且lim n→∞a nb n=L，其中0<L<∞，则级数∑b n和∑a n要么同时收敛，要么同时发散。
二级标题2.2：正项级数的求和公式三级标题2.2.1：调和级数1.调和级数：级数1+12+13+...+1n+...；2.调和级数发散。
三级标题2.2.2：p级数1.p级数：级数1+12p +13p+...+1n p+...；2.当p≤1时，p级数发散；3.当p>1时，p级数收敛。
二级标题2.3：比值测试与根值测试三级标题2.3.1：比值测试1.比值测试：如果lim n→∞|a n+1a n|=L，其中0≤L<1，则级数∑a n收敛；2.如果lim n→∞|a n+1a n|=L，其中L>1或为无穷大，则级数∑a n发散。
级数知识点公式总结
级数知识点公式总结一、级数的定义1.1 级数的概念级数是指将一系列数相加得出的结果，通常用符号表示为S = a1 + a2 + a3 + ... = ∑an其中ai（i=1,2,3,...）为级数的每一项，∑为级数的求和符号。
1.2 级数的收敛与发散级数的和可能有限也可能无限。
如果级数的和有限，即级数收敛；如果级数的和无限，即级数发散。
收敛和发散是级数的重要性质，在后续的讨论中将会详细介绍。
1.3 级数的部分和级数的部分和是指级数中前n项的和，通常用Sn表示。
级数的部分和是级数收敛与发散的重要依据，在计算级数的和时，通常需要用到级数的部分和。
1.4 级数的常见形式在实际应用中，级数通常有一些常见的形式，如等比级数、调和级数、幂级数等。
不同形式的级数有着不同的性质和求和方法，需要根据具体情况进行分析和求解。
二、级数的常见性质2.1 级数的加法性质级数具有加法性质，即级数的和等于其各项部分和的和。
假设级数∑an收敛，则有S = a1 + a2 + a3 + ... = ∑an对于级数的部分和Sn也有Sn = a1 + a2 + ... + an则有级数的和S等于部分和Sn的极限：S = lim(n→∞)Sn2.2 级数的乘法性质级数也具有乘法性质，即级数的和与乘以一个常数之后的和是相等的。
假设级数∑an收敛，则有kS = k(a1 + a2 + a3 + ...) = k∑an其中k为一个常数。
2.3 级数的收敛性质级数的收敛性质时级数理论中的重要内容，对于级数是否收敛有着一些判断的方法。
其中比较常见的是级数收敛的判别法，例如比较判别法、比值判别法、根值判别法等。
这些判别法在判断级数的收敛性时具有一定的实用性，需要掌握和运用。
2.4 级数的发散性质级数的发散性质同样是级数理论中的重要内容，对于级数是否发散也有着一些判断的方法。
通常可以通过级数的通项公式、部分和的性质等来判断级数的发散性。
2.5 级数的收敛域级数在其收敛域内可以具有比较好的性质和应用，而在其发散域外则有着不同的性质和应用。
级数_精品文档
级数什么是级数？在数学中，级数是一种无限求和的数学表达式。
通常用字母 n 表示序号，并将各项之和表示为 S。
级数的一般形式可以写作：S = a₁ + a₂ + a₃ + …其中，a₁, a₂, a₃ 等表示级数的各个项，可以是实数、复数或者是其他数学对象。
级数的收敛与发散在讨论级数的性质时，一个重要的概念是级数的收敛与发散。
当级数的各项无穷地逼近一个确定的有限值时，我们称该级数收敛。
反之，如果各项无法逼近有限值，我们称该级数发散。
收敛级数的例子1.等比级数：如果一个级数的各项之比（通常记作 r）在区间 (-1, 1) 内，那么这个级数就是一个收敛级数。
例如：S = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + …这是一个等比级数，其中每一项都是前一项的一半。
根据等比级数的求和公式：S = a / (1 - r) = 1 / (1 - 1/2) = 2可以发现，这个级数的和是 2，因此它是一个收敛级数。
2.调和级数：调和级数是一个特殊的级数，形式为：S = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + …调和级数也是一个收敛级数。
然而，虽然级数的和是无穷的，但是它的和增长的速度非常慢。
发散级数的例子1.等差级数：等差级数是一个常见的级数，形式为：S = 1 + 2 + 3 + 4 + …这个级数每一项都比前一项大1，如果想要求这个级数的和，会发现没有确定的有限值。
因此，这个级数是一个发散级数。
2.绝对值级数：绝对值级数是将级数的每一项都取绝对值后的级数。
例如：S = 1 - 1 + 1 - 1 + …这个级数由于项的正负不断交替，所以没有确定的和。
因此，这个级数是一个发散级数。
级数的收敛测试当我们尝试确定一个级数的收敛性时，我们可以使用一些常见的收敛测试。
整数判别法如果级数的各项是整数，并且级数的各项都是非零常数的多个倍数，那么这个级数一定是发散的。
正项级数测试如果级数的各项都是非负数，那么可以使用正项级数测试判断级数的收敛性。
第九章 级数
第九章 无穷级数（数二不作要求）第一节 基本概念与内容提要一、级数的基本概念、基本性质、级数收敛的必要条件 （一）1()n nn a aR ∞=∈∑称为级数。
令1nn k k S a ==∑，称n S 为级数1n n a ∞=∑的部分和。
若lim ()n n S A A R →∞=∈称级数1nn a∞=∑收敛，否则称级数发散。
（二）1nn a∞=∑收敛的必要条件是lim 0n n a →∞=（三）若1nn a∞=∑，1nn b∞=∑均收敛，则1()nn n ab ∞=±∑也收敛（四）若1nn a∞=∑收敛，1nn b∞=∑发散，则1()nn n ab ∞=±∑也发散（五）收敛级数任意加括号后的新级数仍收敛，且其和不变。
（六）正项级数收敛的充要条件是其某一加括号后的新级数收敛 二、正项级数的审敛法 （一）1nn a∞=∑为正项级数，1nn a∞=∑收敛⇔{}n S 有界（二）比较判别法 若0n n a b ≤≤，则 （1）由1nn b∞=∑收敛⇒1nn a∞=∑收敛 （2）由1nn a∞=∑发散⇒1nn b∞=∑发散（三）比较判别法的极限形式 设0,0,limnn n n na ab b λ→∞≥>=，则（1）当0λ≤<+∞，1nn b∞=∑收敛时⇒1nn a∞=∑收敛（2）当0λ<≤+∞，1nn b∞=∑发散时⇒1nn a∞=∑发散（四）比值判别法 设10,limn n n na a a λ+→∞>=，则（1）当01λ≤<时，1nn a∞=∑收敛，（2）当1λ>时，1nn a∞=∑发散（五）根值判别法设n n a λ>=，则（1）当01λ≤<时，1nn a∞=∑收敛，（2）当1λ>时，1nn a∞=∑发散三、两个重要级数 （一）p-级数11pn n∞=∑，当1p ≤时，发散；当1p >收敛。
（二）几何级数n n q ∞=∑，当且仅当1q <时收敛，这时0n n q ∞=∑=11q- 四、任意项级数的绝对收敛、条件收敛、莱布尼兹法则 （一）1nn a∞=∑收敛时，1nn a∞=∑必收敛，这时称1nn a∞=∑为绝对收敛（二）1nn a∞=∑发散时，但1nn a∞=∑收敛，这时称1nn a∞=∑为条件收敛（三）莱布尼兹判别法 若交错级数1(1)nnn a ∞=-∑中，1n n a a +≥，且lim 0n n a →∞=，则1(1)n nn a ∞=-∑收敛。
级数的概念及其性质
级数的概念及其性质我们在中学里已经遇到过级数——等差数列与等比数列，它们都属于项数为有限的特殊情形。
下面我们来学习项数为无限的级数，称为无穷级数。
无穷级数的概念设已给数列a1,a2,…,a n,…把数列中各项依次用加号连接起来的式子a1+a2+…+a n+…称为无穷级数，简称级数.记作：或，即：=a1+a2+…+a n+…，数列的各项a1,a2,…称为级数的项，a n称为级数的通项.取级数最前的一项，两项，…，n项，…相加，得一数列S1=a1，S2=a1+a2，…，S n=a1+a2+…+a n，…这个数列的通项S n=a1+a2+…+a n称为级数的前n项的部分和，该数列称为级数的部分和数列。
如果级数的部分和数列收敛：，那末就称该级数收敛，极限值S称为级数的和。
例题：证明级数：的和是1.证明：当n→∞时，Sn→1.所以级数的和是1.级数的性质1.级数收敛的必要条件：收敛的级数的通项a n当n→∞时趋于零，即：注意：此条件只是级数收敛的必要条件，而不是充分条件。
例如：级数虽然在n→∞时，通项，级数却是发散的。
此级数为调和级数，在此我们不加以证明。
2.如果级数收敛而它的和是S，那末每一项乘上常数c后所得到的级数，也是收敛的，而且它的和是cS.如果发散，那末当c≠0时也发散。
3.两个收敛的级数可以逐项相加或相减。
4.在任何收敛的级数中，不改变连在一起的有限项的次序而插入括号，所得的新级数仍收敛，其和不变。
注意：无限项的所谓和是一种极限，与有限项的和在本质上是有区别的。
5.在一个级数的开头添入或去掉有限个项并不影响这个级数的收敛或发散。
正项级数的收敛问题对于一个级数，我们一般会提出这样两个问题：它是不是收敛的？它的和是多少？显然第一个问题是更重要的，因为如果级数是发散的，那末第二个问题就不存在了。
下面我们来学习如何确定级数的收敛和发散问题。
我们先来考虑正项级数(即每一项a n≥0的级数）的收敛问题。
判定正项级数敛散性的基本定理定理：正项级数收敛的充分与必要条件是部分和S n上有界.如果S n上无界，级数发散于正无穷大。
级数总结知识点
级数总结知识点一、级数的基本概念级数是由一列数按照一定的次序相加或相乘而得到的结果。
在级数中，每一个数都称为级数的项，而级数中的项的次序可以从1开始，也可以从0开始。
一般来说，级数以Σ表示，其一般形式为：Σ a_n = a_1 + a_2 + a_3 + ...其中，a_n表示级数的第n项。
级数的收敛与发散与其部分和的性质有很大的关系。
当一列数的部分和在n趋向于无穷时，其极限存在且有限，则称该级数收敛。
如果其部分和的极限不存在或者为无穷大，则称该级数发散。
二、级数的收敛性1. 收敛级数的定义级数Σ a_n在部分和S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n当n趋向于无穷时存在极限S，而S是一个有限的数时，则称级数Σ a_n是收敛的，并称S为级数的和。
即：Σ a_n = S2. 收敛级数的性质（1）收敛级数的部分和是有界的对于收敛级数Σ a_n而言，其部分和S_n是有界的。
这是因为在级数收敛的情况下，S_n是收敛数列，故其绝对值必小于某个常数M。
（2）收敛级数的项趋于零对于收敛级数Σ a_n而言，当n趋向于无穷时，级数的每一项a_n都趋于零。
（3）收敛级数的和不受项的次序变换影响对于收敛级数Σ a_n而言，其和不会因为项的次序变换而改变。
3. 收敛级数的判别法（1）比较判别法设级数Σ a_n和Σ b_n是两个级数，若对于所有的n都有a_n <= b_n，则有以下结论：若Σ b_n收敛，则Σ a_n也收敛。
若Σ a_n发散，则Σ b_n也发散。
（2）比值判别法设级数Σ a_n和Σ b_n是两个级数，如果存在常数0<r<1和N >0，对于所有的n > N都有|a_(n+1)/a_n| < r，则有以下结论：若Σ a_n收敛，则Σ a_n绝对收敛。
若Σ a_n绝对收敛，则Σ a_n收敛。
（3）根值判别法设级数Σ a_n是一个级数，如果存在常数0<r<1和N >0，对于所有的n > N都有|a_n|^1/n < r，则有以下结论：若Σ a_n收敛，则Σ a_n绝对收敛。
级数
级数在数学中，一个有穷或无穷的序列u 0,u 1,u 2, …的元素的形式和S 称为级数。
序列u 0,u 1,u 2, …中的项称作级数的通项。
级数的通项可以是实数、矩阵或向量等常量，也可以是关于其他变量的函数，不一定是一个数。
如果级数的通项是常量，则称之为常数项级数，如果级数的通项是函数，则称之为函数项级数。
常见的简单有穷数列的级数包括等差数列和等比数列的级数。
有穷数列的级数一般通过初等代数的方法就可以求得。
如果序列是无穷序列，其和则称为无穷级数，有时也简称为级数。
无穷级数有发散和收敛的区别，称为无穷级数的敛散性。
判断无穷级数的敛散性是无穷级数研究中的主要工作。
无穷级数在收敛时才会有一个和；发散的无穷级数在一般意义上没有和，但可以用一些别的方式来定义。
无穷级数的研究更多的需要数学分析的方法来解决。
无穷级数一般写作a 1+a 2+a 3+⋯= a n 或者 a n ∞n =1，级数收敛时，其和通常被表示为 a n ∞n =1无穷级数的定义设(u n )是一个无穷序列：u 1,u 2, …,u n ,…，其前n 项的和称为 u n 的部分和:S n =u 1+u 2+ …+u n(u n )部分和依次构成另一个无穷序列：S 1,S 2, …,S n ,…这两个序列合称为一个级数，记作 u n 或者 u n ∞n =1，其中符号为求和号。
无穷级数的敛散性对于级数 u n ∞n =1，如果当n 趋于正无穷大时，s n 趋向一个有限的极限：S =lim x→∞S n ，那么这个无穷级数就叫做是收敛的，S 叫做级数 u n ∞n =1的和。
如果极限不存在，这个无穷级数就是发散的。
收敛的无穷级数存在唯一的一个和S 。
这时可以定义级数 u n 的余项和：R n =S-S n 。
收敛级数的性质若一个无穷级数 u n : u 1+u 2+ …+u n + …收敛，其和为S ，则如果每一项乘以一个常数a ，得到的级数 au n : au 1+au 2+ …+au n + …也收敛，且和等于aS 。
第6讲级数理论
第六章 级数理论§1 数项级数I 基本概念一 数项级数及其敛散性定义1 给定一个数列{}n u ，对它的各项依次用“+”号连结起来的表达式++++n u u u 21 （1）称为数项级数或无穷级数，简称级数，记为∑∞=1n nu，其中n u 称为数项（1）的通项． 数项级数（1）的前n 项之和，记为∑==nk kn uS 1，称之为（1）的前n 项部分和，简称为部分和．定义2 若级数（1）的部分和数列{}n S 收敛于S （即S S n n =∞→lim ），则称级数（1）收敛，并称S 为（1）的和，记为∑∞==1n nuS ．若{}n S 是发散数列，则称级数（1）发散．二 收敛级数的基本性质1 收敛级数的柯西收敛准则级数（1）收敛的充要条件是：0>∀ε，0>∃N ，N n >∀，+∈∀Z p ，有ε<++++++p n n n u u u 21．2 级数收敛的必要条件：若级数∑∞=1n na收敛，则0lim =∞→n n a ．3 去掉、增加或改变级数的有限项并不改变级数的敛散性．4 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和（正项级数亦如此），即收敛级数满足结合律．5 若级数适当加括号后发散，则原级数发散．6 在级数中，若不改变级数中各项的位置，只把符号相同的项加括号组成一新级数，则两级数具有相同的敛散性．7 线性运算性质 若级数∑∞=1n nu与∑∞=1n nv都收敛，d c ,是常数，则()∑∞=+1n n ndv cu收敛，且()∑∑∑∞=∞=∞=±=±111n n n n n n nv d u c dv cu．三 正项级数收敛性判别法1 正项级数∑∞=1n nu收敛的充要条件是部分和数列{}n S 有界．2 比较判别法 设∑∞=1n nu与∑∞=1n nv是两个正项级数，若存在正整数N ，当N n >时，都有n n v u ≤，则（1）若∑∞=1n nv收敛，则∑∞=1n nu收敛； （2）若∑∞=1n nu发散，则∑∞=1n nv发散．3 比较原则的极限形式 设∑∞=1n nu和∑∞=1n nv是两个正项级数，且l v u nnn =∞→lim，则（1）当+∞<<l 0时，∑∞=1n nu和∑∞=1n nv具有相同的敛散性； （2）当0=l 时，若∑∞=1n nv收敛，则∑∞=1n nu收敛； （3）当+∞=l 时，若∑∞=1n nv发散，则∑∞=1n nu发散．4 设∑∞=1n n a 和∑∞=1n n b 是两个正项级数，且0>∃N ，N n >∀，有nn n n b b a a 11++≤，则 （1）若∑∞=1n nb收敛，则∑∞=1n na收敛； （2）若∑∞=1n na发散，则∑∞=1n nb发散．5 比式判别法（达朗贝尔判别法） 设∑∞=1n nu是正项级数，若00>∃N 及常数0>q ，有（1）当0N n >时，11<≤+q a a n n ，则级数∑∞=1n n u 收敛； （2）当0N n >时，11≥+n n a a ，则∑∞=1n n u 发散． 6 比式判别法极限形式 设∑∞=1n nu为正项级数，且q u u nn n =+∞→1lim，则（1）当1<q 时，∑∞=1n nu收敛；（2）当1>q 若+∞=q 时，∑∞=1n nu发散；（3）当1=q 时失效．当比式极限不存在时，我们有 设∑∞=1n nu为正项级数．（1）若1lim 1<=+∞→q u u n n n ，则级数收敛；（2）若1lim1>=+∞→q u u nn n ，则级数发散．7 根式判别法（柯西判别法） 设∑∞=1n nu为正项级数，且存在某正整数0N 及正常数l ，（1）若对一切0N n >，成立不等式1<≤l u n n ，则级数∑∞=1n nu收敛；（2）若对一切0N n >，成立不等式1≥nn u ，则级数∑∞=1n n u 发散．8 根式判别法极限形式 设∑∞=1n nu为正项级数，且l u n n n =∞→lim ，则（1）当1<l 时级数收敛； （2）当1>l 时级数发散． 9 柯西积分判别法设f 为[)∞+,1上非负递减函数，那么正项级数()∑∞=1n n f 与反常积分()⎰∞+1dx x f 同时收敛或同时发散．10 拉贝判别法 设∑∞=1n nu为正项级数，且存在某正整数0N 及常数r ，（1）若对一切0N n >，成立不等式111>≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+r u u n n n ，则级数∑∞=1n n u 收敛；（2）若对一切0N n >，成立不等式111≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+n n u u n ，则级数∑∞=1n n u 发散．注 拉贝判别法中（1）111>≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+r u u n n n 可转化为n ru u n n -≤+11，1>r 收敛；（2）r u u n n n ≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+11可转化为n ru u nn -≥+11，1≤r 发散． 11 拉贝判别法极限形式 若r u u n n n n =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→11lim ，则有 （1）当1>r 时，∑∞=1n nu收敛； （2）当1<r 时，∑∞=1n nu发散．四 一般项级数1 莱布尼兹判别法 若交错级数()∑∞=--111n n n u ，0>n u ，满足下列两个条件：（1）数列{}n u 单减； （2）0lim =∞→n n u ，则∑∞=1n nu收敛．注 若交错级数()∑∞=--111n n n u 满足莱布尼兹判别法，则其余项()x R n 满足()1+≤n n u x R ．2 绝对收敛级数及其性质 定义 对于级数∑∞=1n nu，若∑∞=1n nu收敛，则称∑∞=1n nu绝对收敛；若∑∞=1n nu收敛，而∑∞=1n nu发散，则称∑∞=1n nu是条件收敛的． 显然，若∑∞=1n nu绝对收敛，则∑∞=1n nu一定收敛，反之不真．绝对收敛级数的性质： （1）重排性：若∑∞=1n nu绝对收敛，其和为S ，则任意重排后所得级数亦绝对收敛，且有相同的和数．此说明：绝对收敛级数满足交换律．对于条件收敛级数适当重排后，可得到发散级数，或收敛于任何事先指定的数（Riemann ）． （2）级数的乘积 若∑∞=1n nu和∑∞=1n nv都绝对收敛，其和分别为A 和B ，则其乘积∑∞=1n n u ∑∞=⋅1n nv按任意方式排列所得的级数也绝对收敛，且其和为AB （柯西定理）．乘积的排列方式通常有两种：正方形和对角线法．3 一般级数收敛判别法一般级数除应用前面正项级数方法判定其绝对收敛以外，莱布尼兹判别法和下面的狄利克雷判别法和阿贝尔判别法则是判定其可能条件收敛的主要方法．（1）狄利克雷判别法 若数列{}n a 单减收敛于零，∑∞=1n nb的部分和数列有界，则级数nn n ba ∑∞=1收敛．注 莱布尼兹判别法是狄利克雷判别法的特例，Abel 判别法亦可由狄利克雷判别法推证． （2）阿贝尔判别法：若数列{}n a 单调有界，∑∞=1n nb收敛，则级数nn n ba ∑∞=1收敛．五、常用于比较判别法的已知级数（1）几何级数∑∞=1n nq，1<q 收敛，1≥q 发散；（2）-p 级数∑∞=11n pn，1>p 时收敛，1≤p 发散； （3）()∑∞=2ln 1n pn n ，1>p 时收敛，1≤p 发散．II 例题选解一 级数敛散性判别例1 讨论下列级数的敛散性． （1）∑∞=+111n nx，0>x ；（2）∑∞=1sinn nx，R x ∈． 解（1）10<<x ，0→nx ，0111≠→+nx ，发散； 1=x 时，02111≠→+nx，发散； 1>x 时，nnx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛<+111，∑∞=11n n x 收敛，故∑∞=+111n n x收敛． （2）当0=x 时收敛，当0≠x 时，发散．例2 已知∑∞=12n na收敛．（1）判定()∑∞=+-1211n n n n a 的敛散性；（2）证明：∑∞=2ln n n nn a 收敛．（武汉大学）解（1）()222221112111n a n a n a n nn+≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤+⋅-，∑∞=12n n a 与∑∞=121n n 均收敛，从而原级数收敛（绝对收敛）．（2）仿（1），由五（3）知其收敛． 例3 判断下列级数的敛散性． （1）∑∞=+-1)]11ln(1[n n n ；（东北师大） （2）∑++++-)]!1!21!111([n e ；（东北师大） （3）∑∞=142sin3n n n ； （4）∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛-1cos 1n pn π，（0>p ）（5）∑∞=1!n n n nn a （e a a ≠>,0）；（6）()∑∞=--+11312n n n ；（7）∑∞=->-+111)0()2(n nna a a ；（8）∑⎰∞=+14411n n dxx ；（9）∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛---21111n n n n ； （10）()()∑∞=+2ln ln 1n n n n n ； （11）∑∞=3ln n p n n（0>p ）；（12）()()∑∞=++11ln 11n pn n （0>p ）；（1=p 为大连理工）（13）()∑∞=+++1!2!!2!1n n n ； （14）()∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+111ln n p n n （0>p ）； （15）()()∑∞=⋅-11!!2!!12n n n n ；（16）()∑∞=1ln ln 1n nn ；（17）∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛-2ln 1n nn n p （0>p ）； （18）()()()∑∞=+++12111n nnx x x x （0≥x ）； （19）()∑∞=+-⋅-+211ln 1n p n n n n （0>p ）；（20）()∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛++-110310021n nnn n ；（21）()()∑∞=-+-211n n n n ； （22）∑∞=1cos n pn nx（π<<x 0）； （23） +---+--+-+2222222222； （24）()[]∑∞=-11n n n；（25）()()∑∞=2ln ln ln 1n qp n n n ；（大连理工1998） （26）∑∞=+-11n nn n；（中科院2002）（27）∑-nnnarctan )1(（北京大学1999）．解（1）由于)(1ln ln 1)1ln(1)]11ln(1[111∞→→++-=+-=+-=∑∑∑===n c n nn k n k k k S nk n k nk n ，其中c 为欧拉常数，所以级数收敛．（2）由于++++=++++-<)!2(1)!1(1)!1!21!111(e 0n n n ))3)(2)(1(1)2)(1(111(!1 +++++++++=n n n n n n n 22)!1(2))3)(2(1)2)(1(111(!1n n n n n n n n <+=++++++++< ， 由比较原则知其收敛．（3）24342sin 3→⎪⎭⎫⎝⎛nnn ⇒ 收敛； （4）21021~cos 12≤<⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-p n n ppππ发散，21>p 收敛；（5）()()e a n n a n n a n n a nnn n n →⎪⎭⎫⎝⎛+⋅=⋅++⋅++1!1!111e a <<⇒0收敛，e a >发散； （6）()131312<→-+n n n⇒收敛；或()()∑∑∑∞=-∞=∞=--+=-+111113131232n nn n n n n n ，收敛；或()1131312--≤-+n nn ，收敛；（此乃正项级数）（7）220222121211)ln 2()(lim )21()(lim )21()2(lim a x a a n a a n a a x x x nnn nnn =-=-=-+-+→-∞→-∞→⇒收敛； 注：利用xa 的Maclaurin 展开式估计分子的阶．（8）204421110nxdx dx x a n n n =≤+=<⎰⎰⇒ 收敛；（9）()nn n nn n n n n n -=--=---111111=n n -231⇒收敛； 或⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--n o n n n n n n 11111111111⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=23231111n o n n n⇒⎪⎭⎫⎝⎛+=---=2323111111n o n n n n a n （∞→n ）∑∞=⇒1n n a 收敛； （10）()()()()n en n n n nn n nnnnnln ln 1ln 11ln ln ln ln +⋅=+=+， 而()01ln ln →+⋅nn n ，从而上式极限为零，⇒收敛；（11）当10≤<p 时，nn n p 1ln ≥（3>n ）⇒发散； 当1>p 时，()()21211ln 1ln --+⋅=p p p n nn n n ，当n 充分大时， ()1ln 21<-p n n ⇒ ()2111ln -+≤p p n n n ⇒收敛． 或当1>p 时，0ln 1ln 1ln 121<-=⋅-⋅='⎪⎭⎫⎝⎛+-p p p p p x x p x xpx x x x x （3>x ），即单减．由柯西积分判别法知原级数收敛．（12）()()()p n n n u 1ln 11++=单减，故可用柯西积分判别法，令()()()1ln 11++=x x x f p，1≥x ，易知当1=p 时，()⎰∞+1dx x f 发散，10<<p 时亦发散，而1>p 时收敛．（13）()()()2121!2!!2!!2!1+≤⋅≤+++n n n n n n （3≥n ）⇒收敛； （14）由泰勒公式（皮亚诺余项形式）得：()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+p p n p n p n n o n n n 221121111ln ()⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅--=p p p nn o n n 2211211，当1>p 绝对收敛，121≤<p 条件收敛，210≤<p 发散．注 能否利用()()p n p n n n 1~11ln -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⇒()∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+111ln n p n n 收敛？（此法仅用于正项级数）． （15）()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+⋅++=⋅-+⋅++=+1112211122121!!2!!1211!!22!!121n n n n n n nn n n n n a a n n()⎪⎭⎫⎝⎛+++-=+++-=11123112112312n o n n n 由拉贝判别法知其收敛．（16）+∞→n ln ，则当n 较大时，2ln e n >，()()2ln 2ln 11ln 1n en n n =<⇒收敛； （17）根式判别法失效．先估计它的阶，⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n p n n n e n n p u ln 1ln ln 1，n npn n p ln ~ln 1ln -⎪⎭⎫ ⎝⎛-（∞→n ）， 从而可以估计pn n u -~，于是可讨论n pp n u n nu =的极限，为此()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞→∞→∞→n n p n n p n n p n u n n npn n p n ln 1ln ln lim ln 1ln lim ln lim ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=-∞→n n p n p n n n 1ln 1ln 1ln 11lim 1 ()[]x px x px xx ln ln 1ln 1lim 0-+=→ ()0ln 1ln ln lim 220=++-=→x px x x x x p x 故1lim =∞→n pn u n ，p n n u -~，所以当1>p 时收敛，当1≤p 时发散．（18）当0=x 时级数显然收敛；当10<<x 时，nn x u <，故收敛；当1=x 时，nn u ⎪⎭⎫⎝⎛=21，收敛；当1>x 时，()()()112111111--<+<+++=n n n n n x x x x x x u ，收敛． （19）()()())(12121~1112∞→⋅=++=-+n n nn n n n p p p p p ， )(2~12~121ln 11ln ∞→-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=+-n n n n n n ， 所以，211121~p p n na +-⋅-)(∞→n ，由此易得：0>p 时收敛，0≤p 时发散．注 等价无穷小替换法仅适用于同号级数．（20）()132103100210310021<→++=⎪⎭⎫⎝⎛++-n n n n n nn，绝对收敛． （21）()()()()()111111111-+--=----=-+-=n n n n n n u nnnnn n ， ()()()0121112112221<---=---⋅='⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x x x x xx x （1>x ） 由莱布尼兹判别法，()∑∞=--211n nn n 收敛，而∑∞=-111n n 发散，故原级数发散．（22）当0≤p ，发散，1>p ，绝对收敛，当10≤<p 时，由狄利克雷判别法知其收敛．事实上，212sin 21sin cos 3cos 2cos cos -⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++++x xn nx x x x ，()π,0∈x ，有界． （23）法一：212sin24sin24cos22πππ====a ，322sin 24cos 1222ππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=a ，4332sin 22cos 224cos 122222πππ=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=--=a ，……12sin2+=n n a π，……于是原级数可表为∑∞=+=⎪⎭⎫⎝⎛++++21322sin 22sin 2sin 2sin 2n n n ππππ ，收敛．法二：记21=A ，222+=A ，2223++=A ，……则2→n A ，于是121222lim 222lim 222lim lim22111<=-+-=-+-=-+-=→→--∞→+∞→x x x x A A a a x x n n n nn n ，收敛．（24）将级数中相邻且符号相同的项合并为一项，得一新级数()()∑∞=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-++++-12221111111n nn n n 注意到通项中共有12+n 项，其中前n 项之和和后1+n 项之和分别夹在11+n 与n1之间， n n n n n n n n n n n n n 11111122222=<-+++<-+<+= ()nn n n n n n n n n n n n n 11211211122222=++<++++<+<+=+ 因此()n n n n n 211111112222<-+++++<+ 由此得其单减，从而为收敛级数，而原级数的部分和总是夹在新级数某相邻的二部分和之间，所以原级数也收敛．（25）当1=p 时，则当1>q 时收敛，1≤q 时发散，此时级数的敛散性等同于无穷积分()⎰∞+2ln ln ln qx x x dx的敛散性．由无穷积分立得()⎰∞+2ln ln ln q x x x dx ()⎰+∞→=A q A x x x dx2ln ln ln lim ()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<∞+>-=+∞==-+∞→+∞→1,1,ln ln 11lim 1,ln ln ln lim 212q q x q q x A qAA A 收敛， 当1<p 时发散，1>p 时收敛，事实上，当1<p 时，()()()()n n n n n n n n n q pqp ln 1ln ln ln ln 1ln ln ln ln 11>⋅=-（n 充分大） 当1>p 时，()()()()()()()2121211ln 1ln ln ln 1ln 1ln ln ln ln 1+--+<⋅=p q p p q p n n n n n n n n n ． （26）由 及∑-1n发散知级数发散．（27）由于{}n arctan 单调有界，∑-nn)1(收敛，由阿贝尔判别法知其收敛．思考题1 判别下列级数的敛散性： （1）∑∞=+--++122)11(1n n n n n n ；（复旦大学1997） （2）∑∞=123ln n n n ；（复旦大学1998） （3）∑∞=122sinn nn π；（复旦大学1999）（4）∑∞=-122sin)53(n n n n π；（复旦大学1999）（5）)0()1()2ln(1>++∑∞=a n a n n n；武汉理工大学2004） （6）∑∞=-1)1sin 1(n n n α．（南京理工2004） 提示：（1）分子有理化，发散； （2）收敛；（3）仿上例（3），收敛；（4）当n 为偶数时，通项为0，去掉这些为0的项以后所得级数为交错级数，收敛，从而原级数收敛（考察它们部分和数列之间的关系）．（5）由级数收敛的必要条件知当1≤a 时发散；当1>a 由比式判别法知其收敛； （6）利用x sin 的Taylor 公式讨论． 例4 讨论级数∑∞=11n p n 的敛散性．分析：1=p ，柯西准则，发散；1>p ，柯西积分判别法，收敛； 1<p ，比较判别法，发散．例5 证明 （1）若级数∑∞=12n n a 收敛，则∑∞=1n nna 收敛；（淮北煤师院2004） （2）若0lim ≠=a na n n ，则∑∞=1n na发散，而∑∞=12n na收敛；（南开大学2001）（3）若∑∞=1n n a 是收敛的正项级数，则当21>p 时，级数∑∞=1n p n na 收敛（中科院2002）．分析：（1）⎪⎭⎫⎝⎛+≤22121n a n a n n ；（2）01≠→=a na na n n ，∑∞=1n n a 发散，而∑∞=12n na 收敛； （3）同（1）．或：由Cauchy 不等式211221111⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑===nk p nk k nk pk k a k a ； 知其部分和有界，从而收敛．例6（兰州大学2000）设0>n u 是单调递减数列，试证明：（1）若0lim ≠=∞→c u n n ，则∑∞=+-11)1(n nn u u 收敛； （2）若0lim =∞→n n u ，则∑∞=+-11)1(n nn u u 发散． 证（1）由单调有界定理知0>≥c u n ，再由极限的柯西收敛准则知：0,0>∃>∀N ε，当+∈∀>Z p N n ,，有εc u u p n n <-+，又n u 单调递减，所以，当+∈∀>Z p N n ,时，有ε<-≤-++-+-+-+++++np n n p n p n n n n n u u u u u u uu u )1()1()1(1121 ， 由级数的柯西收敛准则知其收敛．（2）由于1)1()1()1(1121-=-≥-++-+-+++-+++++pn n p n p n n p n p n n n n n u u u u u u u u u u u ， 令∞→p 得上式右端的极限为∞+，由柯西准则知∑∞=+-11)1(n nn u u 发散．例7（华东师大1997）设级数∑∞=1n nn a收敛．试就∑n a 为正项级数和一般项级数两种情形分别证明：级数n n an n+∑∞=1也收敛．证 当∑na为正项级数时，1lim=+∞→nn a n a n n n ，由比较判别法知n n an n+∑∞=1收敛．当∑∞=1n n n a 为一般项级数时，nn a n n a n n n n 1111+=+∑∑∞=∞=，由阿贝尔判别法知它是收敛的．思考题2（华东师大1998）已知∑∞=1n n a 为发散的一般项级数，试证明∑∞=+1)11(n n n a 也是发散级数．提示：用反证法．假设∑∞=+1)11(n n n a 收敛，则∑∑∞=∞=++=11)1)(11(n n n n n nn a a ，由阿贝尔判别法知∑∞=1n na收敛，矛盾．例8（北京工业大学2000）设和正项数列{}n a 单调减少，且级数n n na ∑∞=-1)1(发散．令nn a a a u ++⋅+=11111121 ，.,2,1 =n 试问级数∑∞=1n nu是否收敛，并说明理由．证 级数∑∞=1n nu收敛．这是因为：由级数n n na ∑∞=-1)1(发散和正项数列{}n a 单调减少知0lim >=∞→a a n n ，且由单调有界定理知a a n ≥，于是nn n n aa a a a u )11()1(111111121+=+≤++⋅+=， 由比较原则知∑∞=1n nu收敛．例9（北方交通大学1999）已知.,2,1,,01 =≤>+n a a a n n n 讨论级数++++na a a a a a 21211111 的敛散性．解 由单调性假设知存在极限0lim ≥=∞→a a n n ，则a a a a n n n =∞→ 21lim ，由柯西根式判别法知，当1>a 时收敛，当1<a 时发散，当1=a 时，例10（中国矿大北研部）设0>n a ，n n a a a S +++= 21，级数∞=∑∞=1n na．试证：（1）∑∞=1n nnS a 发散；（武汉大学） （2）∑∞=12n nnS a 收敛．（东北师大） 证 （1）0>n a ，↑n S ，于是pn n p n pn n k kpn n k k k S S S a S a ++++=++=-=≥∑∑111． 而∞=∑∞=1n n a ，故+∞=++∞→p n p S lim ，从而当p 充分大时，21<+pn n S S ， 211≥∑++=pn n k kk S a ．由柯西收敛准则知其发散．（2）11211211122121111a S S S S a S S a a S a n nk k k n k k k k nk kk ≤-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+≤∑∑∑=-=-=，部分和有界，故收敛．例11（华中科技大学） 若0lim 1=+∞→n n a ，()0lim 21=+++∞→n n n a a ，…，()0lim 21=++++++∞→p n n n n a a a ，…，试问∑∞=1n n a 是否一定收敛？为什么？解 不一定．如级数∑∞=11n n ，有 )(01121110∞→→+<++++++<n n p p n n n ；但∑∞=11n n 发散． 例12（上海交大） 若 1lim 1sin 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅∞→n nn n a n ，则级数∑∞=1n n a 是否收敛？试证之． 解 由于11sin2→-nn n na （∞→n ），而()432sin 21sin2110-⋅--≤=<--nnnnn nn （n 充分大），由比较判别法知∑∞=-11sin2n nn n收敛，再由比较判别法知∑∞=1n na收敛．例13 设0>n a 且单减，试证∑∞=1n na与∑∞=122n nn a 同时敛散．证 因为对正项级数任意加括号不改变敛散性，因此由∑∞=1n na()()() ++++++++++=1587654321a a a a a a a a a∑∞==++++≤02232221222232n n n a a a a a和∑∞=1n na()()() ++++++++++=169854321a a a a a a a a∑∞=+=+++++≥02116842122121842n nn a a a a a a a知两级数具有相同的敛散性．例14 若正项级数∑∞=1n na收敛，且n n nb a n a e a e++=（ ,2,1=n ）．证明（1）∑∞=1n nb收敛；（华东师大）（2）∑∞=1n n na b 收敛．（北京理工大学2003） 证 解出n b 得：()0ln lim >-=∞→n a n n a eb n，而∑∞=1n n a 收敛，故当n 充分大时，nnn a b b <，从而（2）收敛立得（1）收敛．由收敛的必要条件得)(0∞→→n a n ．又因为()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++++=-n n n n n a a a a a a e n!3!21ln ln 32()n n n a o a a =++ 32!3121~， 即 0lim=∞→nn n a b ，由级数∑∞=1n n a 收敛得∑∞=1n n n a b收敛． 例15 研究级数∑∞=121n nx 的敛散性，这里n x 是方程x x tan =的正根，并且按递增的顺序编号．解 解方程得：()⎪⎭⎫⎝⎛+-+∈ππππn n x n 2,12，()22111-<n x n ，1>n ，收敛． 例16 设11=u ，22=u ，21--+=n n n u u u （3≥n ）．问∑∞=-11n nu收敛吗？解 由于03323233211211111<-=-=-=-+--+-+++n n n n n n n n n n n u u u u u u u u u u u （3>n ）； 所以 321111≤=+--+n n nn u u u u （由n u 的前若干项预测）；由比式判别法知其收敛．例17 设0>n a ，证明级数 ()()()∑∞=+++121111n n na a a a 收敛． 解 由于()()()()()()()()n n n a a a a a a a a a a a a a S +++++++++++++=<111111111021321321211()()()()()()()++++++++-=+++++=321321212121111111111a a a a a a a a a a a a ()()()()()()n n a a a a a a a ++++++++-=1111111121321()()()1111121<+++-=n na a a a即部分和有界，所以收敛．例18（上海师大）证明：级数： +⎪⎭⎫⎝⎛+++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-4131211713121151211311是收敛的．解 这是交错级数，且()()⎪⎭⎫ ⎝⎛++++-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=n n n n n n a n 12111212121211121 111121112112111221121+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++>⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=n a n n n n n n ， ()()0ln 1211211121→++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=n n n c n n n a ε ． 由莱布尼兹判别法知∑∞=1n na收敛．例19（合肥工大2001）已知正项级数∑na 和∑nb 都发散，问下列级数收敛性如何？（1）∑),min(nnb a ； （2）∑),max(nnb a ．解（1）可能收敛，也可能发散，例如，取1-==n b a nn，则∑),mi n(nn b a 发散；若取n na )1(1-+=，1)1(1+-+=n n b ，则0),min(≡n n b a ，∑),min(nn b a 收敛．（2）一定发散，这是因为n n n a b a ≥),max (． 思考题3（复旦大学1997）证明：如果任意项级数∑nu和∑nv都收敛，且成立.1,≥≤≤n v w u n n n则∑nw收敛．提示：利用柯西收敛准则．思考题4（上海交大2004）设.,2,1,1,11212 +==⎰+-n dx x x n x n nn n 证明∑∞=--11)1(n nn x 收敛．提示：12212111-+=<<+=n n n x n x n x ，应用Leibniz 判别法即可．例20（华东师大2000）设∑∞=1n na收敛，0lim =∞→n n na ．证明：∑∑∞=∞=+=-111)(n n n n na a an ．证 记级数∑∞=--11)(n n na an 的前n 项和为n S ，则12113221)()(2)(++-+++=-++-+-=n n n n n na a a a a a n a a a a S ，而0])1(1[lim lim 11=+⋅+=+∞→+∞→n n n n a n n nna ，所以 ∑∑∞=∞=+=-111)(n n n n na a an ．思考题5（合肥工大2000）设数列{}n a 单调，且级数∑∞=1n na收敛于A ．证明：级数∑∞=+-11)(n n na an 收敛，并求其和．思考题6（北京工业大学2001）设数列{}n na 收敛，00=a ，级数∑∞=--11)(n n na an 收敛，证明：级数∑∞=1n na收敛．思考题7（安徽大学2003）若级数∑∞=1n na满足：（1）0lim =∞→n n a ；（2）∑∞=-+1212)(n n n a a收敛，证明：∑∞=1n na收敛．思考题8（华东师大2003）若级数∑∞=1n na满足：（1）0lim =∞→n n a ；（2）∑∞=--1212)(n n n a a收敛，证明：∑∞=1n na收敛．例21（吉林大学）证明级数+-++-++-+611119141715121311发散到正无穷．证 记.,2,1,141241341 =---+-=n n n n a n 则nnna n 1)331(3142-=->， 而∑n1发散到正无穷，所以，+∞=∞→n n S 3lim ．又因为n n n S S S 31323>>++，故+∞=∞→n n S lim ． 注（1）若要证明级数发散，则只需证明+∞=∞→n n S 3lim 即可．（2）在证明{}n S 收敛或发散时，有时通过求其子列的敛散性而使问题变得简单． 思考题9（武汉大学1999）级数+--+++-+-n n 21)12(1514131211222 是否收敛？为什么？提示：考察n S 2．例22 证明：级数∑∞=1n na收敛的充分必要条件是：对于任意的正整数序列{}k p 和正整数数任意子序列{}k n ，都有.0)(lim 11=++++++∞→k k k k p n n n k a a a证 必要性．设级数∑∞=1n na收敛，则由柯西收敛准则得：,0,0>∃>∀N ε当N n >时，+∈∀Z p ，都有ε<++++++p n n n a a a 21，从而当N k >时，N n k >，于是对于任意的正整数序列{}k p ，有ε<++++++k k k k p n n n a a a 11，即 .0)(lim 11=++++++∞→k k k k p n n n k a a a充分性．反证法．若∑∞=1n na发散，则+∈∃>∃>∀>∃Z p N n N ,,0,00ε，使得021ε≥++++++p n n n a a a ，特别地，分别取,,1,1111+∈∃>∃=Z p n N 使得 0211111ε≥++++++p n n n a a a ，{}+∈∃>∃>Z p N n n N 22212,,,2m ax ，使得 0212222ε≥++++++p n n n a a a ，如此下去，得一正整数子序列{}k n 和正整数序列{}k p ，恒有011ε≥++++++k k k k p n n n a a a ，这与已知条件矛盾．二 绝对收敛与条件收敛例23 判别下列级数是条件收敛，还是绝对收敛： （1）()∑∞=+--1111n n p n n（南京师大2002，1=p 为武汉大学1995）；（2）∑∞=-1sin)1(n nnx（内蒙古大学）； （3）)0()23()1(12>-+-∑∞=x n n n xn（复旦大学1997）． 解（1）当0≤p 时，n u 不趋于0，发散； 当1>p 时，原级数绝对收敛；当10≤<p 时，()∑∞=--1111n p n n 收敛，nn 11单调有界，由阿贝尔判别发知其收敛，但 ()1111→--+-p np n n n（∞→n ）；故原级数条件收敛．（2）当0=x 时绝对收敛，当0≠x 时，不妨设0>x ，则0>∃N ，当N n >时，有20π<<x ，且nxsin关于n 单减趋于0，由莱布尼兹判别法知其收敛． 又因为)(1sin)1(∞→→-n nx n xn ，而∑∞=1n n x发散，故原级数条件收敛． （3）当0>x 时，数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+x n n )23(12单减趋于0，由莱布尼兹判别法知其收敛．又因为 222423n n n n <-+<，所以xx n x x nn n n 2221)23()1(41≤-+-<， 从而，当21>x 时，绝对收敛，当21≤x 时，条件收敛．思考题10（武汉大学2005）判别级数∑∞=2sin ln ln ln n n n n是否绝对收敛或条件收敛．思考题11（南京大学2001）设1,0,1,111≥>>++=+n x k x x k x nnn ． （1）证明：级数∑∞=+-01)(n n n x x绝对收敛；（2）求级数∑∞=+-11)(n n n x x之和．提示：例24（北京大学1999,中国矿大1999，安徽大学2000，2001）设()x f 在0=x 的某邻域内有二阶连续导数，且()0lim 0=→x x f x ．证明：级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛11n n f 绝对收敛．证 由()0lim 0=→xx f x 得()00=f ，()00='f ，()x f 在0=x 某邻域内的二阶泰勒展式为 ()()()()()22212100x x f x x f x f f x f θθ''=''+'+=，10<<θ由()x f ''连续知，0>∃M ，有()M x f ≤''，从而有2121nM n f ⋅≤⎪⎭⎫ ⎝⎛ 故∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛11n n f 绝对收敛． 思考题12 证明： （1）（华南理工大学2005）设)(x f 是偶函数，在0=x 的某个领域中有连续的二阶导数，.2)0(,1)0(=''=f f 则级数∑∞=-1)1)1((n n f 绝对收敛．（2）（浙江大学2004）设函数)(x f 在区间)1,1(-内具有直到三阶的连续导数，且0)0(=f ，.0)(lim 0='→x x f x 则∑∞=2)1(n n nf 绝对收敛． 例25 设0>n a （ ,2,1=n ）单调，且级数∑∞=11n n a 收敛，讨论级数()∑∞=++-111n nna a n 是条件收敛还是绝对收敛．解 由于0>n a 且单调，故01→na ↑⇒n a()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<++<++++⋅-=<+++⋅-++,2112121,22211221122212n n n n nn n n a a n n a a a n a na n a a a n 由已知条件，∑∞=12n na收敛，故原级数绝对收敛．例26 （哈尔滨工大2000）证明：若级数∑∞=1n nb收敛，且级数()∑∞=--11n n na a绝对收敛，则级数∑∞=1n nn ba 收敛．证 设n n b b b S +++= 21，则1--=n n n S S b ，于是由∑∞=1n nb收敛知：0>∃M ，M S n ≤， ,2,1=n ．由()∑∞=--11n n n a a 收敛知：0>∀ε，01>∃N ，1,N m n >∀，有ε<-++-+--+-111m m n n n n a a a a a a ，又{}n S 收敛，对上述0>ε，02>∃N ，2N n >∀，2N m >，有ε<-m n S S ，取{}1,ma x21+=N N N ，于是，当N m n >,时， m m n n n n b a b a b a +++++ 11()()()1111-++--++-+-=m m m n n n n n n S S a S S a S S a[]()11121--+++-+-+-++-+-≤n m n n m m m n n n n S S a a a M a a a a a a M εM 3<．由柯西收敛准则知级数∑∞=1n nn ba 收敛．另证∑∞=1n nb收敛⇒0>∀ε，0>∃N ，N n >∀，+∈∀Z p ，有ε<∑++=pn n k kb1．记∑++==in n k ki bS 1，p i ,,2,1 =，则ε<i S ，p i ,,2,1 =．由()∑∞=--11n n na a绝对收敛得其部分和有界，即0>∃M ，有M a aS mn n nm ≤-='∑=-11， ,2,1=m ．由阿贝尔定理得p n p p n p n p n n n n pn n k kk a S a a S a a S a a S ba ++-+-++++++=+-++-+-≤∑113222111p n p a S M ++≤ε又M a a a a a a a p n p n p n +<-++-+=-+++01010 ，从而()012a M ba pn n k kk +≤∑++=ε．由柯西收敛准则知其收敛．例27（华东师大2001）证明：若级数∑∞=1n na绝对收敛，则级数∑∞=+++121)(n n na a a a也绝对收敛．证 记n n a a S ++= 1，则由∑∞=1n na绝对收敛知∑∞=1n na收敛，所以{}n S 有界，即0>∃M ，有.,2,1, =≤n M S n 于是有n n n a M a a a a ≤+++)(21 ，由∑∞=1n na绝对收敛知级数∑∞=+++121)(n n na a a a也绝对收敛．思考题14（华中科技2004）设)(),1(,010∞→→≥==∑=n b x n ax x n nk kn ，求级数∑-+)(1n n nx x a之和．提示：1--=n n n x x a ．例28 证明：若对任意收敛于0的数列{}n x ，级数∑∞=1n n nx a都收敛，则级数∑∞=1n n a 绝对收敛．分析 问题等价于：若级数∑na发散，则至少存在一个收敛于0的数列{}n x ，使得级数∑nnxa 发散，于是问题转化为：从∑+∞=na出发，构造出满足条件的数列{}n x ．联想例10中（1）的结论立明．证 假设∑∞=1n n a 发散，记其前n 项和为n S ，则+∞=∞→n n S lim ．取210=ε，0>∀N ，N n >∃，由+∞=∞→n n S lim 得 210lim <=∞→mn m S S ，从而当m 充分大（n m >）时，有21<m n S S ，于是0221121ε=>-≥+++++=++m n m m m n n n n S S S S a S a S a ， 由柯西收敛准则知级数 ∑∞=1n n n S a 发散，取1,1≥=n S x nn ，则0lim =∞→n n x ，且∑∞=1n n n x a 发散，这与题目的条件矛盾，故命题成立．思考题15（中国人民大学2000）若正项级数∑∞=1n na发散，则存在收敛于0的正数序列{}n b ，使得级数∑∞=1n nn ba 发散．例29 研究级数∑∞=1sin n n n的收敛性．记其前n 项和为n S ，将其分成两项 -++=n n n S S S ，其中-+nnS S ,分别表示前n 项和中所有正项之和与负项之和．证明：极限-+∞→nnn S S lim 存在，并求其值．证 由Dirichlet 判别法知其收敛．又因为∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=-=≥111212cos 21121sin sin n n n n n nn n n n ， 右端第一个级数发散，第二个级数收敛（利用Dirichlet 判别法），从而∑∞=1sin n n n非绝对收敛． 由于)(sin 2122)(1∞→-∞→-=--+=∑=-+-+-n k k S S S S S S n k n n n n n n，所以，1)1(lim lim lim -=-=-+=-∞→---+∞→-+∞→n n n n n n n n nn n S S S S S S S S ． 注 此例给出了条件收敛与绝对收敛的一个本质区别，且这个结论对一切条件收敛级数都成立．三 构造级数例30 试构造一级数∑∞=1n na，使它满足：（1）∑∞=1n n a 收敛； （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛≠n o a n1． 解 ∑∞=121n n ，∑∞=11n n 满足（2），将两者结合起来，构造级数如下：+++++=∑∞=22221514131211n n a 即当n 是整数平方时，n a n 1=，否则21n a n =，显然⎪⎭⎫⎝⎛≠n o a n 1，同时+∞<≤+≤=∑∑∑∑=≤==nk n k nk nk k n k kk a S 12212112112故此级数收敛．例31 举出一个发散的交错级数，使其通项趋于零． 分析 交错级数+-++-+--n n a a a a a a 2124321 （0>n a ）部分和为∑∑==--=n k k nk k n a aS 121122，可见只要构造一个级数∑∞=1n n a ，使得0→n a ，同时使∑∞=-112k k a和∑∞=12k ka一个收敛，另一个发散即可．为此可构造级数如下：() +--+-+-+-nn 21121514131211222． 例32（南开大学1999）已知级数∑∞=1n na收敛，问级数∑∞=12n na和∑∞=13n na是否必收敛？说明理由．解 未必收敛．如级数∑∞=-1)1(n nn收敛，但∑∞=12n na发散．令+---+--+-=∑∞=33333331331331331312212212111n n a+----+项k k k k k k k k k k k11113则级数∑∞=1n na收敛，但∑∞=13n na发散，因为它的部分和子列+∞→----+++=3312111211kk S k n ．四 级数与极限问题例33 设正项级数∑∞=1n na收敛，试证：0lim1=∑=∞→nkank kn ．证 记∑∞==1n naS ，∑==nk kn aS 1，则S S n →（∞→n ），且∑∑-==-=111n k k n nk kS nS ka，从而0lim lim1211=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=-∞→∞=∞→∑S S n S S S S nkan n x k kn ． 例34（西安电子科技大学2003，东北师大）设021>≥≥ a a ，且级数∑∞=1n na发散，则1lim1231242=++++++-∞→n nn a a a a a a ．解 由于1123112311231242=++++++≤++++++---n n n n a a a a a a a a a a a a ；1211121121121123123124211--+-+-++->++--=++++≥++++++n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a ；（1）而 n n a a a a a a 2421231+++≥+++- ，由此及∑∞=1n na发散可得)(2)(21223211231∞→∞→=++++≥+++-n S a a a a a a a n n n ， 从而（1）式右端的极限为1，由两边夹定理知结论成立．例35（煤师院2004）设级数∑∞=1n na收敛，0>n a ，且n a 单减．试证0lim =∞→n n na ．分析：0lim =∞→n n na ⇔0>∀ε，0>∃N ，N n >∀，有ε<n na ．证 由∑∞=1n na收敛知，0>∀ε，0>∃N ，N m n >>∀，有ε<++++<+++n m m m a a a a 3210 由n a 单减知，当m n 2>时，m n n-<2，于是有()()ε22222211<⋅+++≤-<⋅=++-n m m n n n a a a a m n na na ．故0lim =∞→n n na ．例36（北师大）证明：极限 )]ln(ln ln 1[lim 2n kk nk n -∑=∞→存在有限． 证 令xx x f ln 1)(=，则f 在),2[+∞上非负单减，所以 ∑⎰⎰=+<<=-nk n nk k dx x f dx x f n 2122ln 1)()()2ln(ln )ln(ln ， 从而得0)2ln(ln )ln(ln ln 12>->-∑=n kk nk ，即数列有下界．又 0)1ln()1(1)1ln()1(1)()1ln()1(1111=++-++<-++=-⎰⎰+++n n n n n n dx n n n n dx x f n n a a ，即数列单减，从而极限存在且有限．例37 试证：若正项级数∑∞=1n na收敛，且数列{}1+-n n a a 单减，则.)11(lim 1+∞=-+∞→nn n a a。
级数收敛定义
级数收敛定义级数是数学中的一个重要概念，它是指将一系列数相加所得到的无穷和。
在数学中，我们经常需要讨论级数的收敛性问题，这是因为级数的收敛性质与许多数学问题密切相关。
本文将介绍级数收敛的定义、性质以及一些常见的判别法。
一、级数的定义定义1：若数列 {a_n} 的和 s_n 满足当 n 趋向于无穷大时，s_n 趋向于一个有限数 s，则称级数∑a_n 收敛于 s，记作∑a_n=s。
定义2：若数列 {a_n} 的和 s_n 满足当 n 趋向于无穷大时，s_n 趋向于正无穷大或负无穷大，则称级数∑a_n 发散。
二、级数的性质1.级数收敛的必要条件是其通项趋于零。
即当∑a_n 收敛时，必有 lim n→∞ a_n=0。
证明：假设∑a_n 收敛，若 lim n→∞ a_n≠0，则存在一个正数ε，使得对于所有的 n，有 |a_n|≥ε，从而∑|a_n|≥∑ε=+∞，这与级数收敛的定义相矛盾。
2.级数的收敛性与级数的部分和有关。
即若级数∑a_n 收敛，则其部分和数列 {s_n} 有界。
证明：由级数收敛的定义可知，对于任意的ε>0，存在一个正整数 N，使得当 n>N 时，有 |s_n-s|<ε。
取ε=1，则存在正整数 N1，使得当 n>N1 时，有 |s_n-s|<1，即 s_n-1<s<s_n+1。
于是对于任意的 n>N1，有 |s_n|≤|s|+1，即数列 {s_n} 有界。
3.级数的收敛性具有可加性。
即若级数∑a_n 和∑b_n 均收敛，则级数∑(a_n+b_n) 也收敛，并且有∑(a_n+b_n)=∑a_n+∑b_n。
证明：设∑a_n=s1，∑b_n=s2，∑(a_n+b_n)=s3。
则对于任意的ε>0，由级数收敛的定义可知，存在正整数 N1，N2，N3，使得当n>N1，n>N2，n>N3 时，有|s1-s_n|<ε/2，|s2-t_n|<ε/2，|s3-(s_n+t_n)|<ε。
级数典型例题
级数典型例题摘要：一、级数概念介绍1.级数的定义2.级数的基本性质二、级数求和方法1.级数的求和公式2.级数的比较判别法3.级数的根值判别法三、典型例题解析1.求和公式应用题2.比较判别法应用题3.根值判别法应用题四、级数在实际生活中的应用1.数学分析中的应用2.物理学中的应用3.经济学中的应用正文：级数是一个数学概念，它表示一个无穷序列的和。
在数学领域，级数被广泛应用于各种问题，如求极限、求和、研究函数的性质等。
本文将介绍级数的基本概念、求和方法以及典型例题，并探讨级数在实际生活中的应用。
一、级数概念介绍级数是指一个无穷序列{a_n}，其中每个元素都有一个确定的值。
级数的和可以表示为：S = a_1 + a_2 + a_3 + ...级数的基本性质包括：1.级数收敛：当且仅当各项的绝对值逐渐减小，趋于零。
2.级数发散：当且仅当各项的绝对值逐渐增大，不趋于零。
3.级数的和：当级数收敛时，存在唯一的和S。
二、级数求和方法1.级数的求和公式：求和公式是一种计算级数和的方法，通常适用于某些具有规律的级数。
例如，等差级数和等比级数的求和公式分别为：S_n = n*(a_1 + a_n)/2 （等差级数）S_n = (a_1 - a_n)^(n)/(1 - r) （等比级数）2.级数的比较判别法：比较判别法是一种判断级数敛散性的方法。
通过比较级数与另一个已知敛散性的级数，来判断原级数的敛散性。
例如，若级数{a_n}满足|a_n+1| < |a_n|，则级数{a_n}收敛。
3.级数的根值判别法：根值判别法是一种求解级数敛散性的方法。
通过计算级数的根值，判断级数的敛散性。
例如，若级数{a_n}满足|a_n+1| <=|a_n|，则级数{a_n}收敛。
三、典型例题解析1.求和公式应用题：例题1：求等差级数S_n = n^2，求和公式为S_n = n*(a_1 + a_n)/2，其中a_1 = 0，a_n = n^2。
第九章 级数
142第九章 级 数无穷级数包括常数项级数与函数项级数两部分，可以利用它求出某些函数、积分和微分方程的近似值，还可以利用它来表示很多重要的非初等函数。
基本内容：基本概念：常数项级数、正项级数、函数项级数、幂级数、傅立叶级数；基本运算：判断级数的敛散性；求幂级数的收敛半径与收敛区间；求泰勒级数与幂级数展开式； 基本理论：极限的理论；本章重点：无穷级数收敛与发散的概念；正项级数的比值判别法；级数的绝对收敛和收敛的关系；幂级数的收敛半径与收敛区间；泰勒级数；函数的幂级数展开式；傅立叶级数。
课标导航1．理解常数项级数收敛、发散及级数求和；2．掌握收敛级数的基本条件，了解正项级数收敛的充分必要条件； 3．掌握-p 级数、几何级数、条件级数收敛与发散的条件； 4．熟练掌握正项级数的比较、比值和根式敛散法；了解交错级数的敛散法以及绝对收敛和条件敛散的概念；5．了解函数项级数及其收敛域、掌握幂级数的收敛半径和收敛域的求法，并会求较简单的幂级数的和函数；6．了解函数在某点处的泰勒级数以及函数展开成幂级数的概念，会用间接法将函数展开成幂级数； 一、知识梳理与链接 （一）.基本概念 1．数项级数【定义】如果给定一个数列 ,,,,21n u u u 则由这些数列构成的表达式∑+∞==++++121n n n u u u u 叫做（常数项）无穷级数，简称（常数项）级数。
其中：级数的第n 项n u 叫做级数的通项或一般项，级数的前n 项和叫做级数的部分和，记为n s .即n n u u u s +++= 21；如果级数部分和数列n s 极限存在，则称该级数收敛，其极限值叫做级数的和，记为s ，否则称该级数发散；级数和与部分和的差称为该级数的余项，记为n r .2．正项级数、交错级数级数中的各项均由正数或零组成，则称该级数为正项级数；级数中的各项是由正负交错组成，则称该级数为交错级数。
3．绝对收敛与条件收敛如果级数∑+∞=1n n u 各项的绝对值所构成的正项级数∑+∞=1n n u 收敛，则称级数∑+∞=1n n u 绝对收敛；如果级数∑+∞=1n n u 收敛，而级数∑+∞=1n n u 发散，则称级数∑+∞=1n n u 条件收敛。
级数典型例题
级数典型例题典型例题1：计算以下级数的和：1 + 2 + 3 + 4 + ...解答：这是一个等差数列，首项a=1，公差d=1，因此可以使用等差数列的求和公式来计算和。
等差数列的求和公式为：Sn = (n/2)(2a + (n-1)d)，其中n表示项数，Sn表示和。
代入a=1，d=1，得到Sn = (n/2)(2(1) + (n-1)(1)) = (n/2)(n+1)。
因此，1 + 2 + 3 + 4 + ...的和为Sn = (n/2)(n+1)。
典型例题2：计算以下级数的和：1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...解答：这是一个等比数列，首项a=1，公比r=1/2，因此可以使用等比数列的求和公式来计算和。
等比数列的求和公式为：Sn = a(1-r^n)/(1-r)，其中n表示项数，Sn表示和。
代入a=1，r=1/2，得到Sn = 1(1-(1/2)^n)/(1-(1/2)) = 2 (1-(1/2)^n)。
因此，1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...的和为Sn = 2 (1-(1/2)^n)。
典型例题3：计算以下级数的和：1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + ...解答：这是一个等比数列，首项a=1，公比r=1/3，因此可以使用等比数列的求和公式来计算和。
等比数列的求和公式为：Sn = a(1-r^n)/(1-r)，其中n表示项数，Sn表示和。
代入a=1，r=1/3，得到Sn = 1(1-(1/3)^n)/(1-(1/3)) = 3/2 (1-(1/3)^n)。
因此，1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + ...的和为Sn = 3/2 (1-(1/3)^n)。
级数的重要结论
级数的重要结论级数是数学中重要的概念之一，它在数学分析、概率论、统计学等领域都有广泛的应用。
本文将介绍级数的重要结论，包括级数的收敛性、级数和的性质、级数的运算等内容。
一、级数的收敛性级数的收敛性是指级数的部分和是否趋于一个有限的极限。
对于级数∑an来说，如果存在一个实数L，使得对任意给定的正数ε，存在正整数N，当n>N时，有|Sn-L|<ε，其中Sn表示前n项的部分和，则称级数收敛于L，记作∑an=L。
1. 收敛级数的性质：如果级数∑an收敛，则它的任意子级数也收敛，并且收敛于相同的极限。
2. 收敛级数的必要条件：如果级数∑an收敛，则必有lim(n→∞)an=0。
3. 收敛级数的比较判别法：设∑an和∑bn是两个级数，如果存在正整数N，使得当n>N时，有|an|≤|bn|，则有以下结论：a) 如果∑bn收敛，则∑an也收敛；b) 如果∑an发散，则∑bn也发散。
二、级数和的性质级数和是指级数的所有项相加得到的结果。
对于级数∑an来说，级数和可以是有限的也可以是无限的。
1. 级数和存在的条件：如果级数∑an收敛，则级数和存在。
2. 级数和的唯一性：如果级数∑an收敛，则级数和是唯一的。
3. 改变级数前有限项不改变级数和：如果级数∑an收敛，则级数∑bn也收敛，并且它们的级数和相同，其中bn=an（n>N）。
三、级数的运算级数的运算包括级数的加法、减法、乘法和除法。
1. 级数的加法：如果级数∑an和∑bn都收敛，则它们的和级数∑(an+bn)也收敛，并且有以下结论：a) (∑an+∑bn)=∑(an+bn)b) (∑an+∑bn)的级数和等于∑an的级数和加上∑bn的级数和。
2. 级数的减法：如果级数∑an和∑bn都收敛，则它们的差级数∑(an-bn)也收敛，并且有以下结论：a) (∑an-∑bn)=∑(an-bn)b) (∑an-∑bn)的级数和等于∑an的级数和减去∑bn的级数和。
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1. 判别级数的敛散性:（1）111ln n n n n ∞=+⎛⎫- ⎪⎝⎭∑ ， （2）211ln n n n ∞=-∑ ， （3）121nn n n ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑ （4）()11!2!!2!n n n ∞=+++∑ ，（5）()21ln 1ln ln 1n n n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭+∑,（6）ln 113n n ∞=∑（7）21sin ln n n n π∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑.2. 求下列幂级数的收敛域（1）12nn n x n ∞=∑ ， （2）2112sin 22nn x n x ∞=+⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭∑ ，（3）()()2321nn nn x n ∞=+-+∑3. 求下列级数的和函数（1）21021!n n n x n ∞+=+∑ ，（2）221212n nn n x ∞-=-∑ 4.把级数 ()()121221121!2n n n n x n -∞--=--∑的和函数展开成1x -的幂级数。
5. 将函数21arctan 0()10x x x f x x x ⎧+ ≠⎪=⎨⎪ =⎩展开为x 的幂级数，并计算∑∞=--1241)1(n n n 的和。
6. 求级数()22112nn n ∞=-∑的和。
7. 求函数()2sin ,020,02T x x T f x T x π⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩的傅立叶展开式。
例1：判别级数()21ln 1ln ln 1n n n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭+∑的敛散性。
（用定义）解：原式=()()22ln 1ln 11()ln ln 1ln ln(1)n n n n n n nn ∞∞==+-=-++∑∑级数的部分和111111ln 2ln3ln3ln 4ln ln(1)n S n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭111ln 2ln(1)ln 2n =-→+， ()n →∞ 所以原级数收敛，且收敛于1ln 2。
例2：证明级数2cos cos(1)n n n n ∞=-+∑收敛。
（利用柯西审敛原理） 证明：1cos cos(1)n pn p n m n m m S S m ++=+-+-=∑ ()()()11cos 1cos 11()cos 111n p m n n n p m n mm n p +-=+++=--+-+++∑ 得1111112()111n p n p n m n S S n m m n p n +-+=+-≤+-+=++++∑，对任意的0ε>，取2N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则当n N >时，对所有p N ∈，都有n p n S S ε+-<，故原级数收敛。
例3：判别下列级数的敛散性（1）111ln n n n n ∞=+⎛⎫- ⎪⎝⎭∑ ， （2）211ln n n n ∞=-∑ ， （3）121nn n n ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑（4）()11!2!!2!n n n ∞=+++∑ ，（5）()()()21111n nn x x x x ∞=+++∑ ，（0x ≥） （6）ln 113n n ∞=∑ 解：（1）因为ln(1)0x x x +< >，所以1111ln ln(1)0n n n n n+-=-+>， 而 111lnln ln 1111n n n n n n +⎛⎫-==-<- ⎪+++⎝⎭， 有2111111ln 1(1)n n n n n n n n+-<-=<++， 由比较审敛法知，级数111ln n n nn ∞=+⎛⎫- ⎪⎝⎭∑收敛。
（2）因为 2221ln lim lim n n n n n u n n →∞→∞==-，又211n n∞=∑收敛，所以原级数收敛。
（3）用根值法11212lim n n n n →∞→∞==<+ ，所以原级数收敛。
（4）()()()()1!2!!11!!211!n n n n n n +++<--+=--()2!1!2!n n n =--<所以 ()()()()12!212!122122n n n u n n n n n -<=<++- 有比较法知，原级数收敛。
（5）比值法：111lim lim n n n n n u xu x ++→∞→∞=+， 当01x ≤<时，11lim n n nu x u +→∞=<，级数收敛， 当1x =时，1112lim n n nu u +→∞=<，级数收敛， 当1x >时，101lim n n nu u +→∞=<，级数收敛。
所以，当0x ≥时，级数收敛。
（6）101133ln 31y x y e dx dy ∞∞==-⎰⎰ln 101133ln 31yxy e dx dy +∞+∞==-⎰⎰，所以原级数收敛。
例4：判断级数21sin ln n n n π∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑的敛散性。
解：()11sinln nn u n=- 1sin ln n u n =，又11ln n n >，知级数21ln n n ∞=∑发散，从而2n n u ∞=∑发散，即级数非绝对收敛。
因为1sin0ln lim n n→∞=，且1sin ln x 在()2+∞，内单调减少，由莱布尼兹判别法知，原级数条件收敛。
例5：证明级数()n-1211n ∞=⎛⎫--- ⎝∑收敛。
证：设()1f x =-，则原级数为()()n-121n f n ∞=-∑， 又()32110,(0)2f x x x -⎛⎫'=-<> ⎪ ⎪⎝⎭，即()f x 在()0,+∞内单调下降， 从而()()1f n f n >+，且()0lim n f n →∞=，由莱布尼兹判别法知，原级数收敛。
例6：设数列{}n a 为单调增加的有界正数列，证明级数211n n n a a ∞=+⎛⎫- ⎪⎝⎭∑收敛。
证明：因为数列{}n a 为单调增加有上界，所以极限存在。
设lim nn aa →∞=，考虑1111101n n n n n n n n a a a a au a a a ++++--<=-=< 而级数()()11112lim n n n n n aa a a a a ∞++→∞=-=-=-∑存在，由比较审敛法知，原级数收敛。
例7：求下列幂级数的收敛域（1）12n n n x n ∞=∑ ， （2）2112sin 22nn x n x ∞=+⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭∑ ，（3）()()2321nn nn x n ∞=+-+∑解：（1）()11212lim lim n n n na n a n +→∞→∞==+，所以收敛半径为2R =，收敛区间()2,2-。
2x =时，级数11n n ∞=∑发散；2x =-时，()111n n n ∞=-∑收敛。
所以收敛域为[)2,2-。
（2）令122x t x +=-，原级数为21sin 2n n t n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑ 因为()11s i n 2111sin 2lim lim n n n n n a a n +→∞→∞⎛⎫⎪+⎝⎭===⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以收敛半径1R =。
又1t =时级数21sin 2n n t n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑发散，1t =-时级数21sin 2n n t n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑收敛，故其收敛域为[)1,1D =-：再由12112x x +-≤≤-，解得原级数的收敛域为13,3D ⎡⎫=-⎪⎢⎣⎭。
（3）()1121331112333lim lim n n nn n n a n a n ++→∞→∞-⎛⎫+ ⎪⎝⎭==+-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以收敛半径13R =，收敛区间为： 11133x -<+<，即4233x -<<- 当43x =-时，原级数收敛，当23x =-时，原级数发散。
得原级数的收敛域为42,33D ⎡⎫=--⎪⎢⎣⎭。
例8：求下列级数的和函数（1）21021!n n n x n ∞+=+∑ ，（2）221212n nn n x ∞-=-∑ ，（3）()()()201123!nn n n x n ∞=-++∑ 解（1）()()12(1)1!230(1)!21121lim lim lim n n n n n a n n n a n n n n +→∞→∞→∞+++===++++ 所以收敛半径R =∞，收敛域为：(),-∞+∞。
2122120000212121!!!!n n n n n n n n n n n x x x x x x x n n n n ∞∞∞∞+-====++⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑()22222222122(12)!n x x x x x n x x x xe x e x e xe xe x n ∞='⎛⎫=+=++=+ ⎪⎝⎭∑ 即和函数22()2(12)x s x xe x =+。
（2）()()1121212122lim lim n n n n n n n a a n ++→∞→∞+==-，所以收敛半径R ==又x =(D =。
设级数的和函为()s x ，对幂级数逐项积分得，()212200112122n xx n n n n n n x s x dx x dx -∞∞-==-==∑∑⎰⎰21211()222212n n x x xxx x ∞-====--∑ ，(x ∈ 对上式两边求导得()()2222222x x s x x x '+⎛⎫== ⎪-⎝⎭-，(x ∈。
（3）易求级数的收敛域为(),-∞+∞。
记级数的和函为()s x ，因为()()()()121230011sin 21!23!n n n n n n x x x x n n -∞∞++==--==-++∑∑，所以()()1231sin 23!n n n xx x n -∞+=-=-+∑， (),x ∈-∞+∞ 即()()12201sin 123!n n n xx n x-∞+=-=-+∑， ()0x ≠ 对上式两端求导得：()()()()121202111cos sin 23!n n n n x x x x n x-∞+=+-=--+∑故有()()()()()1213111cos sin 23!2n n n n S x x x x x n x -∞+=+-==--+∑， ()0x ≠ 当0x =时，由所给级数知()106S =。
因此()()31cos sin 02106x x x x xS x x ⎧--≠⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩例9 把级数 ()()121221121!2n n n n x n -∞--=--∑的和函数展开成1x -的幂级数。