24.1.3弧弦圆心角圆周角,24.2.124.2.2点、直线、圆与圆的位置关系。
人教版九年级数学上册第二十四章圆知识点总结
第二十四章 圆24.1 圆24.1.1 圆知识点一 圆的定义圆的定义：第一种：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆。
固定的端点O叫作圆心，线段OA叫作半径。
第二种：圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合。
比较圆的两种定义可知：第一种定义是圆的形成进行描述的，第二种是运用集合的观点下的定义，但是都说明确定了定点与定长，也就确定了圆。
知识点二 圆的相关概念（1） 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫作直径。
（2） 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
（3） 等圆：等够重合的两个圆叫做等圆。
（4） 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
弦是线段，弧是曲线，判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中，只有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等弧，而不是长度相等的弧。
24.1.2 垂直于弦的直径知识点一 圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。
知识点二 垂径定理（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
如图所示，直径为CD，AB是弦，且CD⊥AB，AM=BM垂足为M AC=BCAD=BDD垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧如上图所示，直径CD与非直径弦AB相交于点M，CD⊥ABAM=BM AC=BCAD=BD注意：因为圆的两条直径必须互相平分，所以垂径定理的推论中，被平分的弦必须不是直径，否则结论不成立。
24.1.3 弧、弦、圆心角知识点 弦、弧、圆心角的关系（1） 弦、弧、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
（2） 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量也相等。
（3） 注意不能忽略同圆或等圆这个前提条件，如果丢掉这个条件，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等，比如两个同心圆中，两个圆心角相同，但此时弧、弦不一定相等。
九年级数学上册24.1.3弧、弦、圆心角课件(新版)新人教版
符号表达式：
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴ ∠A+∠C=180°
D
∠B+∠D=180°
A
O
B
C
• 已知：如图，∠EAD是圆内接四边形ABCD的一 个外角，并且BD=DC．
• 求证：AD平分∠EAC • 证明：如图，∵四边形ABCD是圆内接四边形， • ∴∠BCD+∠BAD=180°，
• 又∠EAD+∠BAD=180° • ∴∠EAD=∠DCB． • ∵BD=DC， • ∴∠DBC=∠DCB． • 又∵∠DBC=∠DAC， • ∴∠EAD=∠DAC， • 即AD平分∠EAC
A.菱形
B.矩形
C.正方形 D.等腰梯形
B
D
O C
图3
返回
3． AB是⊙O的直径， C 、D是圆上的两点 ，若∠ABD=40°，求∠BCD．
D
A
O 40° B
C
形。
2、圆内接梯形一定是 等腰梯 形。
3、圆内接菱形一定是
形。
巩固练习:
1、如图，四边形ABCD为⊙O 的内接四边形， 已知∠BOD＝100°，求∠BAD及∠BCD的度 数。
A
O
B
D
C
课堂小结
本节课所学的内容可概括为三个“一”.
一个概念：圆的内接四边形；
顶点在圆上的四边形叫圆内接四边形,该圆叫四边 形的外接圆。
一个定理：圆的内接四边形的性质定理； 圆的内接四边形的对角互补。
则∠B=_____5_0∠°D=_____13_0(图°2) (3)四边形ABCD内接于⊙O, ∠A:∠C=1:3,则∠A=_____4,5°
A
80
B
人教数学九年级上册第二十四章圆24.1.3弧、弦、圆心角(共28张PPT)
A
B
C
D
课堂练习
2、下列结论正确的是（ D ） A.长度相等的两条弧是等弧 B. 同一条弦所对的两条弧一定是等弧 C. 相等的圆心角所对的弧相等 D. 等弧所对的圆心角相等
课堂练习
3、 如图，AB是⊙O的直径， ⌒BC=C⌒D=D⌒E，
∠COD=40°，则∠AOE= 60 °。
ED
C
A O
B
课堂练习
复习回顾
圆是轴对称图形吗？若是， 它的对称轴是？
圆是轴对称图形 过圆心的任意一条 直线都是它的对称轴
垂经定理
观察发现
把一个圆形纸片它绕圆心旋转180°,所得 的图形与原图形重合吗?由此你能得到什么 结论?把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？
圆是中心对称图形，
A
180°
O
它的对称中心是圆心，
B
观察发现 把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？
1、圆心角定义：
2、在自制的三张圆形纸片上分别作出一个相等的圆心角∠AOB,其中较
大的一张圆形纸片再作一个圆心角∠A’OB’， 使∠A’OB’ ＝ ∠AOB。
3、用手中的圆形纸片分组交流探究，得到 圆心角、弦、弧关系定理
（1）在同圆中，当圆心角∠AOB =∠A’OB’时，它们所对的弧 、所
对的弦相等吗？为什么？ （2）在等圆中，当圆心角∠AOB ＝∠A‘O’B‘，它们所对的弧 、所 对的弦相等吗？为什么？ （3）在同圆和等圆中，当弦AB = A’B‘时，它们所对的弧 、所对的
⑴在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧__相_等_ ，所对的弦__相_等_。 ⑵在__同_圆_或_等__圆__ 中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角 __相_等___ ，所对的弦__相_等___ ； ⑶在__同_圆__或_等_圆__ 中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角 __相_等___，所对的弧__相__等__ 。
九年级数学人教版第二十四章圆整章知识详解图文结合(同步课本结合例题精讲)
【解析】选D.延长AO交BC于点D，连接OB， 根据对称性知AO⊥BC，则BD=DC=3.
又△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°， 则AD= 1 BC =3,∴OD=3-1=2,
2
∴OB= 22 32 13.
九年级数学第24章圆
4.（毕节·中考）如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5， OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝l，则弦AB的长是 ． 【解析】如图所示，连接OB，则OB=5,OD=4,利用勾股定
（2）若旋转角度不是180°，而是旋转任意角度，则旋转 过后的图形能与原图形重合吗？
B
Oα
A
圆绕圆心旋转任意角度α ，都能够与原来的图形重合. ___圆__具__有__旋__转__不__变__性___.
九年级数学第24章圆
(二) 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
（1）相关概念
圆__心__角___：顶点在圆心的角
2.如图,一根5m长的绳
子,一端栓在柱子上,
另一端栓着一只羊,请
5
画出羊的活动区域.
九年级数学第24章圆
【解析】
九年级数学第24章圆
1.判断下列说法的正误：
(1)弦是直径;(
)
(2)半圆是弧;(
)
(3)过圆心的线段是直径;( )
(4)长度相等的弧是等弧;( )
(5)半圆是最长的弧;(
)
(6)直径是最长的弦;(
问题：你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的 石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶，它的主桥拱 是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4 m，拱高 （弧的中点到弦的距离）为7.2 m，你能求出赵州桥主桥 拱的半径吗？
九年级数学第24章圆
九年级.数学 第二十四章 圆 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 24.2.1 点和圆的位置关系
100°
B
CE
F
(2)三角形的最小覆盖圆有何规律？请写出你所得到的结论(不要求
证明)．
【解】 锐角三角形(和直角三角形)的最小覆盖圆是其外接圆；钝角(dùnjiǎo)三角形
的最小覆盖圆是以其最长边为直径的圆．
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内容(nèiróng)总结
24．2 点和圆、直线和圆的位置关系。24．2 点和圆、直线和圆的位置关系。(1)平面 内的点和圆有三种位置关系：①点在__________。(2)设⊙O半径为r，点P到O的距离OP＝d，
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知识点二：三角形的外接圆
例2 小明家的房前有一块矩形(jǔxíng)的空地，空地上有三棵树A，B，C，小明想建 一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．请你帮小明把花坛的位置画出来(尺规作图， 不写作法，保留作图痕迹)．
在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，则△ABC的外接圆的半径(bànjìng)
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．
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知识点三：反证法
例3 在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于H，求证(qiúzhèng)：AD与 BE不能被点H互相平分．
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求证：在一个三角形中，如果(rúguǒ)两个角不等，(
A．点M在⊙O上
)
A B．点M在⊙O内
C．点M在⊙O外 D．点M在⊙O右上方
*4.用反证法证明“△ABC中，若∠A＞∠B＞∠C，则∠A＞60°”，第一步应假设(
)
A．∠A＝60° B．∠A＜60°
C．∠A≠6D0°
D．∠A≤60°
初中九年级数学上册第24章圆24.1圆的有关性质24.1.3弧弦圆心角预习课件
∴A︵B＝A′︵B′，弦 AB 与弦 A′B′重合， ∴AB＝A′B′. 由此我们得到弧、弦与圆心角的关系．
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
第二十四章 圆
24.1.3 弧、弦、圆心角
24.1.3 பைடு நூலகம்、弦、圆心角
探究新知
活动1 知识准备
如图24－1－10，△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB′C′， 则△ABC____≌____△AB′C′，所以BC＝___B_′_C_′__，∠CAB＝ _∠__C′__A_B′__．
图24－1－10
24.1.3 弧、弦、圆心角
活动2 教材导学
弧、弦、圆心角的关系 如图24－1－11，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的
位置，你能发现哪些等量关系？为什么？
图24－1－11
谢谢观看！
24.1.3 弧、弦、圆心角
根据旋转的性质，将圆心角∠AOB 绕圆心 O 旋转到∠A′OB′的位置 时，∠AOB＝_∠__A_′__O_B′_，OA 与___O_A_′___重合，OB 与___OB_′____重合．而同圆 的半径相
九年级数学人教版(上册)24.1.3 弧、弦、圆心角
易错点 对弧、弦、圆心角的关系理解有误致错 9．如图，在⊙O 中，A︵C＝2A︵B，试判断 AC 与 2AB 的大小关系， 并说明理由． 解：∵在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的弦相等， ∴当A︵C＝2A︵B时，AC＝2AB.
以上解答是否正确？若不正确，请改正．
解：不正确，2AB＞AC.
理由：连接 BC， ∵A︵C＝2A︵B， ∴A︵B＝B︵C. ∴AB＝BC. ∵在△ABC 中，AB＋BC＞AC，
∴△OAD 是等边三角形． ∴OA＝AD. 同理可证△OBD 是等边三角形． ∴OB＝BD. ∴AD＝BD＝OA＝OB. ∴四边形 OADB 是菱形．
13．如图，MN 是⊙O 的直径，点 A 是半圆上一个三等分点， 点 B 是A︵N的中点，点 B′是点 B 关于 MN 的对称点，⊙O 的半径为 1， 则 AB′的长为 2 ．
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质 24.1.3 弧、弦、圆心角
知识点 1 圆心角的概念及其计算 1．下图中∠ACB 是圆心角的是( B )
2．如图，已知 AB 为⊙O 的直径，点 D 为半圆周上的一点，且 A︵D所对圆心角的度数是B︵D所对圆心角度数的 2 倍，则圆心角∠BOD ＝ 60° ．
33
E，OD⊥AC，垂足为 F，AC＝BD，则弦 BD 的长为 2 ．
12．如图，在⊙O 中，A︵B＝A︵C，∠ACB＝60°.
(1)求证：∠AOB＝∠BOC＝∠AOC. 证明：∵A︵B＝A︵C， ∴AB＝AC. 又∵∠ACB＝60°， ∴△ABC 是等边三角形． ∴AB＝BC＝AC. ∴∠AOB＝∠AOC＝∠BOC.
(2)若 D 是A︵B的中点，求证：四边形 OADB 是菱形． 证明：∵∠AOB＋∠AOC＋∠BOC＝360°， ∴∠AOB＝∠AOC＝∠BOC＝120°. 连接 OD，交 AB 于点 M. ∵D 是A︵B的中点， ∴A︵D＝B︵D.
九年级数学人教版(上册)24.1.3弧、弦、圆心角
OF相等吗？为什么？
解：OE=OF. 理由如下：
A
E
B
OE AB,OF CD,
O·
D
AE 1 AB,CF 1 CD.
2
2
F C
又 AB＝CD , AE＝CF.
又 OA＝OC, RtAOE≌RtCOF.
OE OF.
侵权必究
当堂练习
✓ 当堂反馈 ✓ 即学即用
侵权必究
当堂练习
在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它们所对
的弧相等，所对的弦相等．
①∠AOB=∠COD
CB
②A⌒B=C⌒D ③AB=CD
D
O
A
侵权必究
新课导入
练一练
下列说法中，正确的是( C)
A．等弦所对的弧相等 B．等弧所对的弦相等 C．在同圆中，圆心角相等，所对的弦相等 D．弦相等，所对的圆心角相等
侵权必究
新课导入
弦所对应的圆心角相等 弦所对应的优弧相等 弦所对应的劣弧相等
侵权必究
新课导入
要点归纳
二、弧、弦与圆心角关系定理的推论
在同一个圆中，如果弧相等，那么它们所对的 圆心角相等，所对的弦相等．
在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的 圆心角相等，所对的弧相等．
侵权必究
新课导入
关系结构图
圆心角 相等
弦相等
侵权必究
当堂练习
( (
( (
4.如图，已知AB、CD为⊙O的两条弦，AD=BC
求证:AB＝CD.
证明：连接AO,BO,CO,DO.
∵AD=BC
AOD BOC.
C B
O.
D A
AOD+BOD=BOC+BOD.
人教版初中数学第二十四章圆知识点
第二十四章 圆24.1 圆的有关性质24.1.1 圆1.平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆.其中，定点称为圆心，定长称为半径，以点O 为圆心的圆记作“☉O”，读作“圆O ”.2.确定圆的基本条件：（1）、圆心：定位置，具有唯一性，（2）、半径：定大小.3.半径相等的两个圆叫做等圆，两个等圆能够完全重合.4.连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径.5.圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，弧用符号“⋂”表示，圆的任意一条直径的两个端点分圆成为两条等弧，每一条弧都叫做半圆，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧.6.在同圆或等圆中，能过重合的两条弧叫做等弧.24.1.2 垂直于弦的直径垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧.推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论.推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等. 即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD24.1.3 弧、弦、圆心角1.顶点在圆心的角叫做圆心角.圆心角的度数与他所对的弧的度数相等.2.圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等. 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中， 只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论， 即：①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =；③OC OF =；④ 弧BA =弧BD在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等.BD在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，那他们所对的优弧劣弧分别相等.24.1.4 圆周角1.顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.2.圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角（或弧的度数）的一半. 即：∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角 ∴2AOB ACB ∠=∠3.圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧； 即：在⊙O 中，∵C ∠、D ∠都是所对的圆周角 ∴C D ∠=∠推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径.即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵90C ∠=︒ ∴90C ∠=︒ ∴AB 是直径推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 即：在△ABC 中，∵OC OA OB ==∴△ABC 是直角三角形或90C ∠=︒注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理.注：忽略一条弦所对的弧有两条，所对的圆周角边有两种不同的角.4.一般的，如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个多边形叫做圆的内接多边形，这个圆叫做多边形的外接圆.圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补. 推论：圆内接四边形任何一个外角都等于他的内对角. 即：在⊙O 中， ∵四边形ABCD 是内接四边形 ∴180C BAD ∠+∠=︒ 180B D ∠+∠=︒DAE C ∠=∠24.2 点和圆、直线和圆的位置关系24.2.1 点和圆的位置关系1.点与圆的位置关系是由这个点到圆心的距离d 与半径r 的大小关系决定的.BABAO（1）点在圆内⇒d r<⇒点C在圆内；（2）点在圆上⇒d r=⇒点B在圆上；（3）点在圆外⇒d r>⇒点A在圆外；2.不在同一直线上的三个点确定一个圆且唯一一个.3.三角形的三个顶点确定一个圆，经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形.4.与三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.三角形的内切圆是三角形内面积最大的圆，圆心是三个角的角平分线的交点，他到三条边的距离相等：内心到三顶点的连线平分这三个角.24.2.2 直线与圆的位置关系1.如果圆O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么：（1）直线与圆相离⇒d r>⇒无交点；（2）直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点；（3）直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点；2.直线和圆有唯一公共点（即直线和圆相切）时，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点.（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：∵MN OA⊥且MN过半径OA外端∴MN是⊙O的切线（2）性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径（如上图）推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点.推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心.以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个.连接圆心与切点间的线段是解圆的切线问题时常用的辅助线，通常叙述为：“见切点连半径得垂直”.解决与圆的切线有关的问题时，常需要补充的线是作过切点的半径.3.切线长定理在经过圆外一点的圆的切线上，这点到切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.A切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和圆外这一点的连线平分两条切线的夹角. 即：∵PA 、PB 是的两条切线 ∴PA PB = PO 平分BPA ∠ 4.圆的公切线两圆公切线长的计算公式：（1）公切线长：12Rt O O C ∆中，221AB CO ==（2）外公切线长：2CO 是半径之差； 内公切线长：2CO 是半径之和 .24.3 正多边形和圆各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.把一个圆分成相等的弧，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做正多边形的外接圆.经过各分点做圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切多边形，这个圆叫做多边形的内切圆. 正多边形的外接圆（或内切圆）的圆心叫做正多边形的中心.正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径.正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角，正多边形内切圆半径叫做正多边形的边心距. 正n 边形的半径R 与边心距r 把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形.00n 0222n n n 360180=a =2sin ;n 1801cos ;(a );C a ;211=a n=C .22n n n n n n n R n r R R r n n S r r α==+=••关系式：中心角；边长边心距周长面积（1）正三角形在⊙O 中△ABC 是正三角形，有关计算在Rt BOD ∆中进行：::2OD BD OB =； （2）正四边形同理，四边形的有关计算在Rt OAE ∆中进行，::OE AE OA =（3）正六边形同理，六边形的有关计算在Rt OAB ∆中进行，::2AB OB OA =.24.4 弧长和扇形面积1、扇形：（1）弧长公式：180n Rl π=； （2）扇形面积公式： 213602n R S lR π== n ：圆心角 R ：扇形多对应的圆的半径 l ：扇形弧长 S ：扇形面积lO。
九年级数学上册 24.2点和圆直线和圆的位置关系24.2.1点与圆2三点确定圆22_1-5
经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形。
如图：⊙O 是△ABC 的外接圆，△ABC 是⊙O 的内接三角形，点O 是△ABC 的外心
◆外心是△ABC 三条边的垂直平分
线的交点
C A
B O 定义
你能画出过以下三角形的外接圆吗？（小组合
作完成）A
B C ●O
A B C C A B ┐●O ●O
说一说：比较这三个三角形外心的位置，你有何发现？
想一想：三角形有几个外接圆？圆有几个内接三角形？
（图一）（图二）（图三）
应用新知探索规律
应用新知探索规律
总结归纳：
1.三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点。
2.三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等。
3.锐角三角形的外心在三角形的内部。
直角三角形的外心是三角形的斜边中点。
钝角三角形的外心在三角形的外部。
反之成立。
1、判断：
（1）、经过三点一定可以作圆。
（）
（2）、三角形的外心就是这个三角形两边垂直平分线的交点。
（）
（3）、三角形的外心到三边的距离相等。
（）
×√×2、选择：下列命题不正确的是（）
A.过一点有无数个圆.
B.过两点有无数个圆.
C.弦是圆的一部分.
D.过同一直线上三点不能画圆.
练一练
C。
人教版初中数学九年级上册 24.1.3弧、弦、圆心角 初中九年级数学教学课件PPT 人教版
这样，我们就得到下面的定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦也相等．
同样，还可以得到：
同圆或等圆中，
两个圆心角、两
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所条对弧的、两条弦中
圆心角__相__等_， 所对的弦____相__等__；
有一组量相等， 它们所对应的其
A′ B
B′
A′ B
B′
·
O
A
·
O
A
根据旋转的性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置时，显然 ∠AOB＝∠A′OB′，射线OA与OA′重合，OB与OB′重合．而同圆的半径相等， OA=OA′，OB=OB′，从而点A与A′重合，B与B′重合．
⌒ ⌒ 因此，弧AB与弧A1B1 重合，AB与A′B′重合．
上交作业：教科书第89页第2，3题 ．
课后作业：“学生用书”的“课后作业” 部分．
谢谢
21. 能识别圆心角. 2. 探索并掌握弧、弦、圆心角的关系，了解圆的中心对称性 和旋转不变性. 3. 能用弧，弦、圆心角的关系解决圆中的计算题、证明题.
一、概念
圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.
A ·O
B
如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置，你能发现 哪些等量关系？为什么？
余各组量也相 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所等对．的
圆心角__相__等__，所对的弧____相__等___．
【针对训练】
C
(2)
O
A A′
B B′
A
C
D
B
O
C B
AD
九年级数学上册第二十四章圆24.1圆的有关性质24.1.3弧弦圆心角ppt作业课件新版新人教版
解：连接 AC，BD.∵C，D 是 AB 的三等分点，∴AC＝CD＝DB，
且∠AOC＝13 ×90°＝30°.∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝75°.∵∠ AOB＝90°，OA＝OB，∴∠OAE＝∠OBF＝45°，∴∠AEC＝∠OAE ＋∠AOE＝45°＋30°＝75°，∴AE＝AC.同理可证 BF＝BD，∴AE＝ BF＝CD
，故 DO＝
3 2
，OA＝
3，
即圆 O 半径长为 3 ，∴S△ABC＝3×12 ×DO·AB＝943
15．如图，⊙O 的两条弦 AB，CD 互相垂直且相交于点 P，OE⊥AB， OF⊥CD，垂足分别为 E，F，AC ＝ BD .求证：四边形 OEPF 是正方形．
解：连接 OA，OD.∵ AC ＝ BD ，∴ AC ＋ BC ＝ BD ＋ BC ， 即 AB ＝ CD ，∴AB＝CD.又∵OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为 E，F，
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
第10题图
11．(周口月考)如图，在⊙O 中，AB ＝2 CD ，则下列结论正确的是
(C)
A．AB＞2CD
B．AB＝2CD
C．AB＜2CD D．以上都不正确
第11题图
12．如图，AB 为⊙O 的直径，C，D 分别为 OA，OB 的中点，CF⊥ AB，DE⊥AB，下列结论：①CF＝DE；② AF ＝ FE ＝ EB ；③AE＝2CF；
解：(1)∵A，B，C 为圆 O 上的三等分点，∴ AB ＝ BC ＝ AC . ∴∠BOC＝13 ×360°＝120°
(2)过点 O 作 OD⊥AB 于点 D，如图，∵A，B，C 为圆 O 上的三等分点， ∴AB＝AC＝BC＝3，即△ABC 是等边三角形，∴∠BAO＝∠OBA＝30°.
人教版九年级数学上册课件24.1.3弧、弦、圆心角
教师投影出示例题. 教师引导、点拨、分析：要证OE＝OF，只要证OE、OF构 成的两个三角形全等即可.
学生先自主、再合作，完成证明过程. 养成良好的分析问题、解决问题的能力和习惯.
三、课堂小结，梳理新知
本节课应掌握： 1.圆心角概念. 2.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦 中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等，及其 它们的应用. 点评方法：在解决有关弦、半径(直径)、圆心到弦的距 离等问题时，通常是通过构造直角三角形将垂径定理和勾股定 理结合起来.
分析：(1)要说明OE＝OF，只要在直角三角形AOE和直角三角 形COF中说明AE＝CF，即说明AB=CD，因此，只要运用前面所讲的 定理即可.
（2）∵OE=OF，∴在Rt△AOE和Rt△COF中，又有AO＝CO是半 径，
∴Rt△AOE≌Rt△COF,∴AE=CF,∴AB=CD,又可运用上面的定 理得到AB=CD，从而可得∠AOB＝∠COD.
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
24.1.3 弧、弦、圆心角
教学重点：定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的
弧相等、所对弦也相等及其两个推论和它们的应用.
教学难点：探索定理和推导及其在纸上，任意画一个圆，任意画出两条半径，构成顶点在 圆上的一个角，像这样的角就是圆心角.这节课就来学习在同圆 或等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系.
通过上面的问题我们就能得到下面的结论：在同圆或等圆 中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么 它们所对应的其余各组量也相等.
3.应用： 例1教材第84页.分析：在⊙O中，要使圆心角相等，可通 过证明圆心角所对的弦或弧相等解题.解略.例2如右图，在⊙O 中，AB、CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E、F. (1)如果∠AOB=∠COD，那么OE与OF的大小有什么关系?为 什么? (2)如果OE=OF，那么AB、CD的大小有什么关系?弦AB与CD 的大小有什么关系?为什么?∠AOB与∠COD呢?
人教版九年级数学上册第24章 圆3 弧、弦、圆心角
化的数学思想解决问题.
天圆地方是我国古人朴素的世界观，圆很早就被运用于中国传统
建筑的设计之中.可以说，没有圆就没有中式设计，比如北京天坛
的圜丘坛就是典型的圆形建筑，还有中式园林中的“洞门”.
上节课我们学习了圆是轴对称图形，你还能观察出圆的什么性质
呢？
开火车，以小组为单位循环接龙.
1.我们熟悉的既是轴对称图形，又是中心对称图形的有哪些？
【题型三】利用弧、弦、圆心角证明
= ,
⊥ 于点D,CE⊥
例5:如题图,在⊙O中,
OB于点E,求证:AD=BE.
证明：如答图，连接OC.
= ,
∴ ∠ = ∠.
∵
∵CD⊥OA,CE⊥OB,∴∠ODC=∠OEC=90° .
又∵CO=CO,∴△COD≌△COE,∴OD=OE.
（分别相等）
你能用文字语言归纳你得到的结论吗？
（在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心
角相等，所对的弦相等）
4.在同圆或等圆中，画任意两条等弦，它们所对的圆心角、所对的弧
有什么关系?
（分别相等）
自主探究
你能用文字语言归纳你得到的结论吗？
（在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆
（圆的旋转不变性；圆心角的定义；圆心角、弧、弦之间的
关系）
2.我们研究圆心角、弧、弦之间的关系，大前提是什么?
（在同圆或等圆中）
3.你掌握了哪些数学思想方法？
（分类讨论、转化）
【教材习题】完成课本85页练习1,2题.
【作业本作业】完成 对应练习.
【实践性作业】请画出两个大小不同的圆，在两个圆中分别找
= ,
∵
∵ = , ∴ ∠ = ∠,
九年级数学上册 第二十四章 24.1 圆有关的性质 24.1.3 弧、弦、圆心角备课资料教案 (新版)新人教版
第二十四章 24.1.3弧、弦、圆心角知识点1：圆心角1.圆心角的顶点是圆心,圆心角的两边通常是圆的两条半径.如图中,∠AOB就是一个圆心角.2.注意:一个角要成为圆心角,必须具备顶点在圆心这一特征.3.圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.知识点2：弧、弦、圆心角之间的关系弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对弦的弦心距也相等.弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理的推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.关键提醒:(1)运用本知识点时,应注意其成立的条件“同圆或等圆中”和“所对应的”两词的含义;(2)由“弦相等”推出“弧相等”时,这里的“弧相等”指的是对应的劣弧与劣弧相等、优弧与优弧相等;(3)运用本知识点可证明同圆或等圆中弧相等、角相等以及线段相等;(4)圆心角的度数等于它所对弧的度数;(5)上述关系中所说的圆心角一般指小于平角的角,因此它所对的弧是劣弧.考点1：利用圆心角证明问题【例1】如图,A、B是☉O上的两点,∠AOB=120°,点D为劣弧AB的中点.求证:四边形AOBD 是菱形.证明:连接OD.因为D是劣弧AB的中点,所以=,因为∠AOB=120°,所以∠AOD=∠DOB=60°,又因为OA=OD=OB,所以△AOD和△DOB都是等边三角形,所以AD=AO=OB=BD,所以四边形AOBD是菱形.点拨：要证四边形AOBD是菱形,关键是要用好“点D为劣弧AB的中点”这个条件,由弧等证角等,从而得出∠AOD=∠DOB=60°.考点2：利用弧、弦、圆心角之间的关系解决实际问题【例2】如图所示,AB、CD是☉O的两条直径,CE∥AB,求证:=.解:连接OE.∵OE=OC,∴∠C=∠E.∵CE∥AB,∴∠C=∠BOC,∠E=∠AOE.∴∠BOC=∠AOE.∴=.点拨:要证明=,由在同圆或等圆中的圆心角相等所对的弧相等可知,只要证明两条弧所对的圆心角相等即∠BOC=∠AOE,问题便得以解决.。
九年级数学上册 第二十四章 圆 24.1.3 弧、弦、圆心角教学课件上册数学课件
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相 等，所对的弦相等. 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相
等，所对的优弧和劣弧(lièhú)分别相等.
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第十六页，共二十页。
四、强化训练
如图，圆O的半径等于4，如果弦 所对A的B圆心角等于
①∠AOB=∠A′O′B′
OC=OC′
②A⌒B=A′B⌒′
③AB=A′B′
在同圆或等圆中，相等的弦心距所对的圆心角相等，所对的弧相等
，所对的弦相等．
在同圆或等圆中，有一组关系相等， 那么所对应的其他各组关系均分别 相等．
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二、新课讲解
例 2 (jiǎngjiě) 如图，在圆O中， AB=⌒AC ,⌒∠ACB=60°,
第四页，共二十页。
二、新课讲解
(jiǎngjiě)
圆是
轴对称
__中__心__对__称___
图形
· .O
将⊙O 绕圆心 O 顺时针旋转180°，这两个(liǎnɡ ɡè)
图形___重__合___．
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第五页，共二十页。
二、新课讲解
圆的对称性：
1、圆是轴对称图形(túxíng)
垂径定理及其推论
九年级数学(shùxué)人教版· 上
册
第二十四章 圆
24.1.3 弧、弦、圆心角
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授课(shòukè)人：XXXX
第一页，共二十页。
一、新课引入
回顾(huígù)旧知 弦：连接圆上任意两点的线段(xiànduàn)叫做弦.
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知识要点
1、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.
2、等对等定理:同圆或等圆中，两个圆心角、两个圆心角所对的弧、两个圆心角所对的弦、弦心距中如果有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。
(知一得三)
3、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相等，等于它所对的圆心角的一半。
4、半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于90°(直角).反过来也是成立的,即90°的圆周角所对的弦是圆的直径
5、同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
6、在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，那么它们所对的弧一定相等
7、圆的内接四边形的对角互补。
8、点与圆的位置关系
设⊙O的半径为r，点P到圆的距离为d，则有：点P在圆外⇔d>r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d<r
9、经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆
10、外接圆的圆心叫做三角形的外心。
（三角形三边垂直平分线的交点是三角形的外心）
11、三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心，（三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）
12、直线与圆的位置关系。
设⊙O的半径为r，直线L到圆心O的距离为d则有：
直线L和⊙O相交⇔d<r ；直线L和⊙O相切⇔d=r；直线L和⊙O相离⇔d>r
13、切线的判定定理：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
14、圆的切线垂直于过切点的半径．注：连接圆心和切点是我们解决切线长定理相关问题时常用的辅助线．
15、经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做切线长．
16、圆与圆的位置关系
17
18、如果两圆相切，两圆的连心线经过切点．19、当两圆相交时，连心线垂直平分公共弦．
实战演练
一、选择题
1、⊙O 的半径为2,点P 是⊙O 外一点,OP 的长为3,那么以P 为圆心,且与⊙O 相切的圆的半径一定是( ) A.1或5 B.1 C.5 D.1或4
2、(2009台州)大圆半径为6，小圆半径为3，两圆圆心距为10，则这两圆的位置关系为（ ） A ．外离 B ．外切 Ｃ．相交 D ．内含
3、（2009宜宾）若两圆的半径分别是2cm 和3cm ，圆心距为5cm ，则这两圆的位置关系是( ) A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．外离
4、下列判断正确的是（ ）
①直线上一点到圆心的距离大于半径，则直线与圆相离；②直线上一点到圆心的距离等于半径，则直线与圆相切；③直线上一点到圆心的距离小于半径，•则直线与圆相交． A ．①②③ B ．①② C ．②③ D ．③
5、下列说法正确的是( )
A.垂直于半径的直线是圆的切线
B.经过三点一定可以作圆
C.圆的切线垂直于圆的半径
D.每个三角形都有一个内切圆
6、如图，在⊙O 中，弦BC //半径OA ，AC 与OB 相交于M ，∠C =20°，则∠AMB 的度数为（ ） A ．30° B
C ．50°
D ．40°
第6题图 第7题图 第8题图 第9题图 第10题图 7、如图，AB 是⊙O 的直径，∠C ＝30°．则∠ABD 等于（ ） A ．30° B ．40° C ．50° D ．60°
8、如图，Rt △ABC ，∠C=90°，AC=3cm ，BC=4cm ，则它的外心与顶点C 的距离为（ ）．
A ．2.5
B ．2.5cm
C ．3cm
D ．4cm
9、如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是直径，BC=4，AC=3，CD 平分∠ACB ，则弦AD 长为（ ） A ．
52 B ．5
2
C D ．3
10、如图，AB 与⊙O 切于点C ，OA=OB ，若⊙O 的直径为8cm ，AB=10cm ，那么OA 的长是（ ）
A B 11、若两圆半径分别为R 和r(R>r),圆心距为d,且R 2
+d 2
=r 2
+2Rd, 则两圆的位置关系为( ) A.内切 B.内切或外切 C.外切 D.相交
12、下列说法：①三点确定一个圆；②三角形有且只有一个外接圆；③圆有且只有一个内接三角形； ④三角形的外心是各边垂直平分线的交点；⑤三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑥等腰三角形 的外心一定在这个三角形内，其中正确的个数有（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
B A
C A
C
B A
O M
二、填空题
1、如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，∠BCD ＝130°，则∠BOD 的度数是__________．
2、一条弧所对的圆周角为80°，它所对的圆心角是____ 度，它所含的圆周角是____度．
3、⊙O 的半径为6,⊙O 的一条弦AB 长
以3为半径的同心圆与直线AB 的位置关系是__________. 4、如图，三个半径为3的圆两两外切，且ΔABC 的每一边都与其中的两个圆相切，那么ΔABC 的 周长是
5、已知如图I 是△ABC 的内心．若∠A =70°，则∠BIC = 。
6、两圆相切，圆心距为9 cm ，已知其中一圆半径为5 cm ，另一圆半径为_____。
7、△ABC 的内切圆半径为5，△ABC 的周长为20，则△ABC 的面积是 。
8、（2009年，安徽）如图，将小王某月手机费中各项费用的情况制成扇形统计图，则表示短信费的扇形圆心角的度数为__________.
9、如图,在△ABC 中,AB=AC,∠BAC=120°,⊙A 与BC 相切于点D,与AB 相交于点E, 则∠ADE 等于____度.
三、计算题
1、如图,BC 是半圆O 的直径,P 是BC 延长线上一点,PA 切⊙O 于点A,∠B=30°. (1)试问AB 与AP 是否相等?请说明理由.
(2)若
求半圆O 的直径.
2、（2009泸州）如图11，在△ABC 中，AB=BC ，以AB 为直径的⊙O 与AC 交于点D ，过D 作D F ⊥BC ， 交AB 的延长线于E ，垂足为F ． 求证：直线DE 是⊙O 的切线；
C
作业
1、直径为6和10的两上圆相外切,则其圆心距为( )
A.16
B.8
C.4
D.2
2、已知两圆的半径分别是2和3，两圆的圆心距是4，则这两个圆的位置关系是（）
A．外离B．外切C．相交 D.内切
3、下列三个命题：①圆既是轴对称图形又是中心对称图形；②垂直于弦的直径平分弦；③相等的圆心角所对的弧相等．④在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么弦也相等。
其中真命题的是（）
A．①②B．②④C．①②④D．①②③
4、三角形的外心是( )
A.三条中线的交点
B.三条边的垂直平分线的交点
C.三个内角平分线的交点
D.三条高的交点
5、下列说法正确的是（）
A．与圆有公共点的直线是圆的切线．
B．和圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线;
C．垂直于圆的半径的直线是圆的切线;
D．过圆的半径的外端的直线是圆的切线
6、直角三角形的外心是______的中点，锐角三角形外心在三角形_____，钝角三角形外心在三角形_____
7、两圆相切,圆心距为10cm,已知其中一圆半径为6cm, 则另一圆半径为____
8、PA、PB是⊙O的切线,A、B为切点,若∠AOB=136°,则∠P=______.
9、两圆的半径分别为10cm和R、圆心距为13cm，若这两个圆相切，则R的值是________．
10、已知两圆半径分别为8、6,若两圆内切,则圆心距为______;若两圆外切,则圆心距为___.
11、如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O交AB于D，交AC于E，BD=CE．
求证：AB=AC
提示：作BD、CE的弦心距证明．
12、如图，在⊙O中，弦AB与DC相交于E，且AE＝EC，求证：AD＝BC．。