2018-2019学年人教B版高中数学-选修4-4教学案-第二章-曲线的参数方程 (可直接打印)
新人教选修4-4教案参数方程的概念曲线的参数方程
曲线的参数方程教学目标1．通过圆及弹道曲线的参数方程的建立，使学生理解参数方程的概念，初步掌握求曲线的参数方程的思路．2．通过弹道曲线的参数方程的建立及选取不同参数建立圆的参数方程，培养学生探索发现能力以及解决实际问题的能力．3．从弹道曲线的方程的建立,对学生进行数学的返璞归真教育,使学生体会数学来源于实践的真谛,帮助学生树立空间和时间是运动物体的形式这一辩证唯物主义观点．教学重点与难点曲线参数方程的探求及其有关概念是本节课的重点;难点是弹道曲线参数方程的建立．教学过程师:满足什么条件时,一个方程才能称作曲线的方程,而这条曲线才能够称作方程的曲线?生:1.必须同时满足两个条件：（１）曲线上任一点的坐标都是这个方程的解；（２）同时以这个方程的第一组解作为坐标的点都在曲线上．那么，这个方程就称作曲线的方程，而这条曲线就称作这个方程的曲线．师：请写出圆心在原点，半径为r的圆Ｏ的方程，并说明求解方法．(师板书——⊙O:)师：求圆的方程事实上是探求圆上任一点Ｍ（x,y）的横、纵坐标之间的关系式.能用别的方法来探x、y之间的关系吗？生：……师：（诱导一下）不用刚才的方法给我们直接求x、y的关系带来了困难，能否考虑用间接的方法来求？即在x、y之间是否能建立一座桥梁，使之联系起来？（计算机演示动画，如图３－１）师：驱使Ｍ运动的因素是什么？生：旋转角θ.师：当我们把x轴作为θ角始边，并使ＯＭ绕Ｏ点逆时针旋转，请考虑θ在什么范围内取值就可以形成整个圆了？生：师：至此x、y之间的关系已通过θ联系起来了，谁能具体地说说它们之间的关系？生3：（c∈[0,2π],θ为变量，r为常数）（生３叙述，师板书）师：①式是⊙Ｏ的方程吗？生４：①式是⊙Ｏ的方程.师：请说明理由.生４：（生４叙述，师板书）（１）任取⊙Ｏ上一点，总存在，由三角函数定义知，显然满足方程①；（２）任取,由①得即M（）．所以．所以Ｍ在⊙Ｏ上.由（１）、（２）知①是⊙Ｏ的方程.师：既然①是⊙Ｏ的方程，那么它应该和是一致的，两者能统一起来吗？生：能，消去θ即可．师：这里，我们从另一个角度重新审视了圆，通过第三个变量θ把圆上任意一点的横、纵坐标x、y联系了起来，获得了圆的方程的另一种形式.通过间接的方法把某两个变量联系起来的例子不仅几何中有，在生产实践、军事技术、工程建设中也有.特别在两个变量之间的直接关系不易建立时，常用间接的方法将它们联系起来.请同学们再看一个例子.炮兵在射击目标时，需要考虑炮弹的飞行轨迹、射程等等.现在，我们假设一个炮兵射击目标，炮弹的发射角为α，发射的初速度为ν０.请同学们帮他求出弹道曲线的方程。
人教版高中选修4-4第二章参数方程教学设计
人教版高中选修4-4第二章参数方程教学设计教学目标1.理解参数方程的含义和定义；2.掌握参数方程的基本性质；3.能够根据题意建立参数方程，并求解相关问题；4.了解参数方程在几何中的应用。
教学内容第一部分：参数方程的引入1.普通方程和参数方程的对比；2.引入参数的原因和意义；3.参数方程的定义及基本形式。
第二部分：参数方程的基本性质1.参数方程的坐标表示和轨迹；2.参数曲线的对称性；3.两条曲线的交点和平行关系。
第三部分：参数方程的应用举例1.抛物线的参数方程；2.椭圆和双曲线的参数方程；3.参数方程在机械运动和物理中的应用。
教学方法1.讲授法：通过讲解理论知识，引导学生理解参数方程的基本概念和性质；2.示范法：通过举例分析解题方法，帮助学生掌握参数方程的应用技巧；3.实践法：设计练习题目，让学生在实践中巩固和提高参数方程的运用能力。
教学过程设计第一课时1.引入参数方程的定义和意义；2.对比普通方程和参数方程的区别；3.分析简单的参数方程，引导学生理解其含义和形式。
第二课时1.讲解参数方程的坐标表示和轨迹；2.以椭圆和双曲线为例，分析参数方程的性质；3.引导学生练习绘制参数曲线的方法。
第三课时1.讨论参数曲线的对称性；2.分析两条参数曲线的交点和平行关系；3.引导学生通过参数方程求解相关问题。
第四课时1.分析抛物线的参数方程；2.探讨参数方程在机械运动和物理中的应用；3.综合练习和巩固。
课堂教学效果评价1.课堂笔记：学生能够认真听讲并做好课堂笔记，记录教师重点内容；2.课堂互动：教师注重与学生互动，发挥学生的主体性；3.课后作业：课后布置练习题目，检验学生的掌握情况；4.考试成绩：结合平时表现和考试成绩，评估学生的学习效果。
高中数学人教B版选修4-4教学案第二章 2.3 2.3.1 椭圆曲线的参数方程
圆锥曲线的参数方程．椭圆的参数方程[读教材·填要点]椭圆的参数方程中心在原点，焦点在轴上的椭圆＋＝的参数方程是(\\(＝，＝))≤≤π.中心在(，)的椭圆＋＝的参数方程是(\\(＝＋＝＋))≤≤π.[小问题·大思维]．中心在原点，焦点在轴上的椭圆＋＝的参数方程是什么？提示：由(\\(()＝φ，,()＝φ，))得(\\(＝φ，＝φ.))即参数方程为(\\(＝φ，＝φ))(≤φ≤π)．．圆的参数方程(\\(＝θ，＝θ))中参数θ的意义与椭圆的参数方程中参数φ的意义相同吗？提示：圆的参数方程(\\(＝θ，＝θ))(≤θ≤π)中的参数θ是动点(，)的旋转角，但在椭圆的参数方程(\\(＝φ，＝φ))(≤φ≤π)中的φ不是动点(，)的旋转角，它是点所对应的圆的半径＝(或＝)的旋转角，称为离心角，不是的旋转角．[例]已知椭圆＋＝有一内接矩形，求矩形的最大面积．[思路点拨]本题考查椭圆的参数方程的求法及应用．解答此题需要设出点的坐标，然后借助椭圆的对称性即可知，，的坐标，从而求出矩形的面积的表达式．[精解详析]∵椭圆方程为＋＝，∴可设点的坐标为( α，α)，则＝α，＝α.∴＝·＝×α·α＝α.矩形∵α≤，∴矩形的最大面积为.利用椭圆的参数方程求函数(或代数式)最值的一般步骤为：()求出椭圆的参数方程；()利用椭圆中的参数表示已知函数(或代数式)；()借助三角函数的知识求最值．．已知实数，满足＋＝，求目标函数＝－φ的最大值与最小值．解：椭圆＋＝的参数方程为(\\(＝φ，＝φ，))≤φ≤π.代入目标函数得＝φ－φ＝(φ＋φ)＝(φ＋φ)φ＝())).所以＝－，＝.[例]由椭圆＋。
新人教B版高中数学选修4-4第2章参数方程2.1曲线的参数方程讲义
学习目标：1.了解曲线参数方程的有关概念.2.能进行参数方程和普通方程的互化．(重点)1．参数方程的概念定义：设在平面上取定了一个直角坐标系xOy ，把坐标x ，y 表示为第三个变量t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )y ＝g (t )，a ≤t ≤b .(*)如果对于t 的每一个值(a ≤t ≤b )，(*)式所确定的点M (x ，y )都在一条曲线上；而这条曲线上的任一点M (x ，y )，都可由t 的某个值通过(*)式得到，则称(*)式为该曲线的参数方程，其中变量t 称为参数．简单地说，若t 在a ≤t ≤b 内变动时，由(*)式确定的点M (x ，y )描出一条曲线，则称(*)式为该曲线的参数方程．2．参数方程与普通方程互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )y ＝g (t )就是曲线的参数方程．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．思考1：曲线的参数方程中，参数是否一定具有某种实际意义？在圆的参数方程中，参数θ有什么实际意义？[提示] 联系x 、y 的参数t (θ，φ，…)可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是无实际意义的任意实数．圆的参数方程中，其中参数θ的几何意义是OM 0绕点O 逆时针旋转到OM 的位置时，OM 0转过的角度．思考2：普通方程化为参数方程，参数方程的形式是否惟一？[提示] 不一定惟一．普通方程化为参数方程，关键在于适当选择参数，如果选择的参数不同，那么所得的参数方程的形式也不同．1．将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θy ＝sin 2θ(θ为参数)化为普通方程为( )A ．y ＝x －2B ．y ＝x ＋2C ．y ＝x －2(2≤x ≤3)D ．y ＝x ＋2(0≤y ≤1)[解析] 消去sin 2θ，得x ＝2＋y ， 又0≤sin 2θ≤1，∴2≤x ≤3.[答案] C2．把方程xy ＝1化为以t 为参数的参数方程是( ) A ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 12y ＝t －12 B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin t y ＝1sin tC ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t y ＝1cos tD ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan t y ＝1tan t[答案] D3．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t 2y ＝t －1与x 轴交点的直角坐标是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,0)D ．(±2,0)[解析] 设与x 轴交点的直角坐标为(x ，y )，令y ＝0得t ＝1，代入x ＝1＋t 2，得x ＝2， ∴曲线与x 轴的交点的直角坐标为(2,0)． [答案] C4．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2ty ＝2＋3t (t 为参数)与直线x ＋y ＝0的交点坐标是( )A ．(5，－5)B ．(7，－7)C ．(－5,5)D ．(－7,7)[解析] 将x ＝1－2t ，y ＝2＋3t 代入x ＋y ＝0得t ＝－3，代入参数方程得x ＝7，y ＝－7. [答案]B⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ(θ为参数，0≤θ<2π)．判断点A (2,0)，B (－3，32)是否在曲线C 上？若在曲线上，求出点对应的参数的值．[思路探究] 将点的坐标代入参数方程，判断参数是否有解． [解] 把点A (2,0)的坐标代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ得cos θ＝1且sin θ＝0，由于0≤θ<2π，解之得θ＝0，因此点A (2,0)在曲线C 上，对应参数θ＝0，同理，把B (－3，32)代入参数方程，得⎩⎪⎨⎪⎧－3＝2cos θ，32＝3sin θ.∴⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝－32，sin θ＝12.又0≤θ<2π，∴θ＝56π，所以点B (－3，32)在曲线C 上，对应θ＝56π.对于曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )y ＝g (t )(t 为参数)，若点M (x 1，y 1)在曲线上，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝f (t )y 1＝g (t )对应的参数t有解，否则无解，即参数t 不存在．1．已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1y ＝t 2－4(t 为参数)判断点A (3,0)，B (－2,2)是否在曲线C 上？若在曲线上，求出点对应的参数的值．[解] 将点A (3,0)的坐标代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1y ＝t 2－4，得⎩⎪⎨⎪⎧t ＋1＝3t 2－4＝0，解之得t ＝2.所以点A (3,0)在曲线C 上，对应参数t ＝2.将点B (－2,2)的坐标代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1y ＝t 2－4，得⎩⎪⎨⎪⎧t ＋1＝－2t 2－4＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧t ＝－3t 2＝6，此方程组无解．所以点B (－2,2)不在曲线C 上．【例2】 在一次军事演习中，飞机要向假想敌军阵地进行投弹，投弹时，飞机离地面的距离h ＝490 m ，水平飞行的速度v ＝100 m/s.求炸弹投出后，弹道的参数方程．(不计空气阻力，重力加速度g ＝10 m/s 2)[思路探究] 这是物理学中的平抛运动，选择时间t 作参数，可将炸弹的水平方向和竖直方向的运动表示出来，从而建立弹道的参数方程．[解] 如图，从飞机投弹所在的位置向地面作垂线，垂足为O ，以垂线为y 轴，以O 为原点，建立平面直角坐标系．设P (x ，y )为炸弹在t s 后的坐标，则由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝vt ，y ＝h －12gt 2.因为h ＝490 m ，v ＝100 m/s ，g ＝10 m/s 2，所以，炸弹投出后，弹道的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝100t ，y ＝490－5t 2(0≤t ≤72)．1．本例选择时间t 为参数，很容易将炸弹的水平方向和竖直方向的运动表示出来，给建立弹道的参数方程带来了方便，可见合理地选择参数是建立参数方程的关键．2．求轨迹的参数方程的一般步骤是(1)建立适当的坐标系，设动点P (x ，y )为轨迹上任意一点．(2)根据题意选择与动点P 有直接联系的参数t .(3)根据轨迹条件求出x 和y 与参数t 之间的函数关系，从而得到轨迹的参数方程，求轨迹的参数方程时，参数选的不同，得到的参数方程也不同，但化成普通方程后却是一样的．2．设炮弹的发射角为α，发射的初速度为v 0，求弹道曲线的参数方程(不计空气阻力、风向等因素)． [解] 取炮口为原点，水平方向为x 轴，建立坐标系如图所示，设炮弹发射后的位置在点M (x ，y )，又设炮弹发射后的时间t 为参数．由匀速直线运动和竖直上抛运动的位移公式，得x ＝OQ ＝|OP |cos α＝v 0t cos α.y ＝QM ＝QP －MP ＝v 0t sin α－12gt 2.即得弹道曲线的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝v 0t cos α，y ＝v 0t sin α－12gt 2.【例3】 在方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋t cos θy ＝b ＋t sin θ，(a ，b 为正常数)中，(1)当t 为参数，θ为常数时，方程表示何种曲线？ (2)当t 为常数，θ为参数时，方程表示何种曲线？[思路探究] (1)运用加减消元法，消t ；(2)利用平方关系sin 2θ＋cos 2θ＝1消参数，化成普通方程，进而判定曲线形状．[解] 方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋t cos θ， ①y ＝b ＋t sin θ， ②(a ，b 是正常数)，(1)①×sin θ－②×cos θ得x sin θ－y cos θ－a sin θ＋b cos θ＝0.∵cos θ、sin θ不同时为零， ∴方程表示一条直线． (2)(ⅰ)当t 为非零常数时，原方程组为⎩⎪⎨⎪⎧x －at＝cos θ， ③y －bt ＝sin θ. ④③2＋④2得(x －a )2t 2＋(y －b )2t2＝1， 即(x －a )2＋(y －b )2＝t 2，它表示一个圆． (ⅱ)当t ＝0时，表示点(a ，b )．1．将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法与加减消元法，第(2)问中利用了三角恒等变换消去参数．2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响．本题启示我们，形式相同的方程，由于选择参数的不同，可表示不同的曲线．3．若将题目中的条件，改为“以过点A (0,4)的直线的斜率为参数，试求方程4x 2＋y 2＝16的参数方程”．[解] 设M (x ，y )是曲线4x 2＋y 2＝16上异于A (0,4)的任意一点． 则y －4x＝k (x ≠0)， ∴y ＝kx ＋4(k ≠0)．将y ＝kx ＋4代入4x 2＋y 2＝16，得x [(4＋k 2)x ＋8k ]＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8k4＋k 2y ＝－4k 2＋164＋k2(k ≠0，k 为参数)．因此所求的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8k4＋k2y ＝－4k 2＋164＋k2(k ≠0)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－4.(教材P34习题2－1T4)设曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－2t y ＝－1－4t ，把它化为普通方程，说明它表示什么曲线．化下列曲线的参数方程为普通方程，并指出它是什么曲线.⎩⎨⎧x ＝1－2ty ＝3－4t(t 是参数)．[命题意图] 本题以化参数方程为普通方程为载体，考查运算求解能力． [解] ∵x ＝1－2t ，∴t ＝1－x2，① ∴x ≤1，将①代入y ＝3－4t 得2x －y ＋1＝0(x ≤1)，表示一条射线．。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修4-4：坐标系与参数方程 2.1.2 曲线的参数方程》1
课题：参数方程的概念贵州省龙里中学李以雄教学目标知识与技能：通过分析齿轮转动角速度间的关系，了解一般曲线的参数方程，体会参数的意义。
过程与方法：选取适当的参数，求简单曲线的参数方程。
情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
教学重点：根据问题抽象出参数方程的概念，体会参数的意义。
教学难点：对参数方程及参数的作用的理解。
，探究归纳教学过程一．情景设置：思考1：若齿轮A、B、C的半径相等，他们转动时的角速度分别是、、t，方向忽略不计1 第一组图中，A与B角速度之间的关系是_______________；2 第二组图中，A与C角速度之间的关系是________________；B与C角速度之间的关系是________________；思考2：若齿轮A、B、C的半径分别为4、1、2，他们转动时的角速度分别是、、t，方向忽略不计1 第一组图中，它们角速度之间的关系是____________；2 第二组图中，它们角速度之间的关系是____________思考3：如图，设圆的圆心在坐标原点，半径为1，求出该圆的标准方程；试一试：能不能找出一个变量，“连接”圆上点的横坐标和纵坐标,进而得出圆的方程的不同表现形式二．新课探究：探究活动：填写下列两个表格，思考方程①和方程②的区别与联系思考4：方程，，有什么共同的特征？参数方程的概念：一般的，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标,都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M,都在这条曲线上，那么方程③就叫做这条曲线的参数方程，联系变数,的变数t叫做参变数，简称参数。
思考5:下列方程哪些是参数方程吗？⎩⎨⎧==tytx⎪⎩⎪⎨⎧==tytx221cossinxyθθ=⎧⎨=⎩xy4=⎪⎩⎪⎨⎧==tytx221三应用举例：例1、 已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧+==1232t y t x t 为参数（1）判断点1M 0,1, 2M 5,4与曲线C的位置关系；（2）已知点3M 6,a 在曲线C 上，求a 的值。
人教课标版高中数学选修4-4：《曲线的参数方程》教案-新版
第二讲 参数方程 2.1 曲线的参数方程一、教学目标 （一）核心素养通过这节课学习，了解参数方程的概念、体会参数的意义，会进行参数方程和普通方程的互化，在直观想象、数学抽象中感受不同参数方程的特点． （二）学习目标1．通过实例，了解参数方程的含义，体会参数的意义．2．能求解圆的参数方程并用圆的参数解决有关问题，了解圆的参数方程中参数的意义． 3．掌握基本的参数方程与普通方程的互化，，感受集合语言的意义和作用． （三）学习重点 1．参数方程的概念． 2．圆的参数方程及其应用． 3．参数方程与普通方程的互化． （四）学习难点1．参数方程与普通方程的互化的等价转化．2．根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务（1）读一读：阅读教材第21页至第26页，填空：一般的，在平面直角坐标系中，如果曲线上的任意一点的坐标y x ,都是某个变数t 的函数：⎩⎨⎧==)()(t g y t f x ①且对于t 的每一个允许值，由方程组①确定的点)(y x M ，都在这条曲线上，那么方程组①叫做这条曲线的参数方程，联系变数y x ,的变数t 叫参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点坐标y x ,之间关系的方程0)(=y x f ，叫普通方程．（2）想一想：参数方程与普通方程如何转化？一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.反之，如果知道变数y x ,中的一个与参数t 的关系，例如)(t f x =，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系)(x g y =，那么就是曲线的参数方程．（3）写一写：圆的一般参数方程是什么？①圆心在原点,半径为r 的圆的参数方程为(θ为参数);②圆心在),(b a ,半径为r 的圆的参数方程为(θ为参数).2．预习自测（1）方程⎩⎨⎧x ＝1＋sin θy ＝sin 2θ(θ是参数)所表示曲线经过下列点中的( )A.(1,1)B.)21,23( C.)23,23(D.)21,232(-+ 【知识点】参数方程的定义【解题过程】将选项中的点一一代入曲线的参数方程中，显然选项C 满足题意 【思路点拨】根据参数方程的定义求解 【答案】C ．（2）下列方程：①⎩⎨⎧ x ＝m ，y ＝m .(m 为参数) ②⎩⎨⎧ x ＝m ，y ＝n .(m ，n 为参数) ③⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2.④x ＋y ＝0中，参数方程的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【知识点】参数方程的定义【解题过程】根据参数方程的定义，只有①是参数方程 【思路点拨】由参数方程的定义求解 【答案】A（3）参数方程⎩⎨⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)化成普通方程为_______________.【知识点】参数方程与普通方程互化【解题过程】由⎩⎨⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α变形整理得1sin ,cos -==y x αα，两式分别平方相加得1)1(22=-+y x【思路点拨】利用三角恒等变换消去参数 【答案】1)1(22=-+y x .（4）P (x ，y )是曲线⎩⎨⎧x ＝2＋cos αy ＝sin α(α为参数)上任意一点，则P 到直线x －y ＋4＝0的距离的最小值是________．【知识点】参数方程的应用【解题过程】由P 在曲线⎩⎨⎧x ＝2＋cos αy ＝sin α上可得P 的坐标为(2＋cos α，sin α)，由点到直线的距离公式得d ＝|cos α－sin α＋6|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋62，当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1时，d 最小，d min ＝－2＋62＝－1＋3 2.【思路点拨】根据参数方程的应用得到点设置，再转化为三角函数的最值问题求解 【答案】－1＋3 2 (二)课堂设计 1．问题探究探究一 结合实例，认识参数方程★ ●活动① 归纳提炼概念在过去的学习中，我们已经掌握了一些求曲线方程的方法，但在求某些曲线方程时，直接确定曲线上点的坐标y x ,的关系并不容易，我们先看下来的例子：一架救援飞机在离灾区底面500m 高处以100m/s 的速度作水平直线飞行．为使投放的救援物质准确落于灾区指定的地面飞行员应如何确定投放时机？（不计空气阻力，重力加速度2/8.9s m g =）设飞机在点A 将物质投出机舱，在过飞机航线且垂直于底面的平面上建立如右图的平面直角坐标系，其中x 轴为该平面与地面的交线，y 轴经过A 点．记物质从被投出到落地这段时间内的运动曲线为C ，)(y x M ，为C 上任意点，设t 时刻时，x 表示物质的水平位移，y 表示物质距地面的高度.由物理知识，物资投出机舱后，沿Ox 方向以s m /100的速度作匀速直线运动，沿Oy 反方向作自由落体运动，即：221500100gt y t x ⎪⎩⎪⎨⎧-== 令s t y 10.10,0≈=，代入t x 100=，解得m x 1010≈.所以，飞行员在离救援点的水平距离约为m 1010时投放物资，，可以使其准确落在指定地点.由上可知：在t 的取值范围内，给定t 的一个值，就可以惟一确定y x ,的值，反之也成立. 一般的，在平面直角坐标系中，如果曲线上的任意一点的坐标y x ,都是某个变数t 的函数：⎩⎨⎧==)()(t g y t f x ①且对于t 的每一个允许值，由方程组①确定的点)(y x M ，都在这条曲线上，那么方程组①叫做这条曲线的参数方程，联系变数y x ,的变数t 叫参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点坐标y x ,之间关系的方程0)(=y x f ，叫普通方程．参数是联系变数y x ,的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义，也可以没有明显实际意义的变数.【设计意图】从生活实例到数学问题，从特殊到一般，体会概念的提炼、抽象过程． ●活动② 巩固基础，检查反馈例1 已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧+==)(1232为参数t t y tx（1）判断点)4,5(),1,0(21M M 与曲线C 的位置关系； （2）已知点),6(a M 在曲线C 上，求a 的值. 【知识点】参数方程．【解题过程】（1）把点1M 的坐标)1,0(代入方程组，解得0=t ，所以1M 在曲线C ．把点2M 的坐标)4,5(代入方程组，得⎩⎨⎧+==124352t t ，无解，所以2M 不在曲线C . （2）因为点),6(a M 在曲线C 上，所以⎩⎨⎧+==12362t a t，解得9,2==a t 【思路点拨】根据参数方程与曲线的关系来求解．【答案】（1） 1M 在曲线C ，2M 不在曲线C ； （2） 9=a ．同类训练 已知某条曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧∈=+=),(212R a t at y tx 为参数且点)4,3(-M 在该曲线上. (1)求常数a 的值；(2)判断点P (1,0)，Q (3，－1)是否在曲线C 上？【知识点】参数方程．【解题过程】(1)将M (－3,4)的坐标代入曲线C 的参数方程⎩⎨⎧ x ＝1＋2t ，y ＝at 2，得⎩⎨⎧－3＝1＋2t ，4＝at 2，消去参数t ，得a ＝1.(2)由上述可得，曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝1＋2t ，y ＝t 2，把点P 的坐标(1,0)代入方程组，解得t ＝0，因此P 在曲线C 上，把点Q 的坐标(3，－1)代入方程组，得到⎩⎨⎧3＝1＋2t ，－1＝t 2，这个方程组无解，因此点Q 不在曲线C 上． 【思路点拨】根据参数方程和曲线的关系来求解．【答案】(1)1=a ； (2) P 在曲线C 上，点Q 不在曲线C 上． 【设计意图】巩固基础，加深理解与应用． 探究二 探究圆的参数方程 ●活动① 互动交流、初步实践结合以上参数方程的定义，你能的得到圆的参数方程吗？先看下面例子当物体绕定轴作匀速转动时，物体中各个点都作匀速圆周运动(如右图)．那么，怎样刻画运动中点的位置呢？如图1，设圆O 的半径是r ，点M 从初始位置M 0(t ＝0时的位置)出发，按逆时针方向在圆O 上作匀速圆周运动，点M 绕点O 转动的角速度为ω.以圆心O 为原点，OM 0所在的直线为x 轴，建立直角坐标系．显然，点M 的位置由时刻t 惟一确定，因此可以取t 为参数．【设计意图】通过现实问题的求解，加深对参数方程中参数的意义的理解．●活动② 建立模型，加深认识如果在时刻t ，点M 转过的角度是θ，坐标是M (x ，y )，那么θ＝ωt .设|OM |＝r ，如何用r 和θ表示x ，y 呢？由三角函数定义，有cos ωt ＝x r ，sin ωt ＝yr ， 即⎩⎨⎧x ＝r cos ωt ，y ＝r sin ωt .(t 为参数) 考虑到θ＝ωt ，也可以取θ为参数，于是有 ⎩⎨⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ.(θ为参数) 这就得到了以原点为圆心，半径为r 的圆参数方程.其中θ的几何意义是OM 0绕点O 逆时针旋转到OM 的位置时，OM 0转过的角度．【设计意图】通过对问题的求解，得出圆的参数方程，同时为求圆的标准方程的参数方程作铺垫．●活动③ 归纳梳理、灵活应用若圆的圆心坐标为),(b a ，半径为r 的圆的参数方程是什么呢？此时圆的标准方程为：222)()(r b y a x =-+-，由1cos sin 22=+αα，故令θθsin ,cos =-=-rby r a x ，整理得：图2-1-2)(sin cos 为参数θθθ⎩⎨⎧+=+=r b y r a x 一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，另外，要注明参数及参数的取值范围. 【设计意图】由特殊到一般，体会培养学生数学抽象、归类整理意识． 探究三 探究参数方程和普通方程的互化★▲ ●活动① 归纳梳理、体会内在联系我们除了用普通方程表示曲线外，还可以用参数方程表示曲线，它们是同一曲线的两种不同的表达形式.但由参数方程直接判断曲线的类型不太容易，例如⎩⎨⎧=+=θθsin 3cos y x 为何曲线？这就需要我们转化为普通再判断，那么两者如何转化？由⎩⎨⎧=+=θθsin 3cos y x 得⎩⎨⎧=-=yx θθsin 3cos ， 所以1)3(22=+-y x ，表示以)0,3(为圆心，半径为1的圆. 一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.反之，如果知道变数y x ,中的一个与参数t 的关系，例如)(t f x =，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系)(x g y =，那么就是曲线的参数方程．在参数方程与普通方程的互化中，必须使y x ,的取值范围保持一致，即等价转化.【设计意图】通过实例体会参数方程与普通方程的互化，培养学生数学抽象意识． ●活动② 巩固基础，检查反馈例2 如图，已知点P 是圆x 2＋y 2＝16上的一个动点，定点A (12,0)，当点P 在圆上运动时，求线段P A 的中点M 的轨迹.【知识点】圆的参数方程、点的轨迹方程． 【数学思想】数形结合 【解题过程】设动点M (x ，y )，∵圆x 2＋y 2＝16的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ，(θ为参数)，∴设点P (4cos θ，4sin θ)， 由线段的中点坐标公式，得x ＝4cos θ＋122，且y ＝4sin θ2，∴点M 的轨迹方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ＋6，y ＝2sin θ，转化为普通方程得4)6(22=--y x因此点M 的轨迹是以点(6,0)为圆心，以2为半径的圆．【思路点拨】借助于圆的参数方程来得到点的轨迹方程，即代入法． 【答案】点M 的轨迹是以点(6,0)为圆心，以2为半径的圆．同类训练 将例1中的定点A 的坐标改为)0,4(，其它条件不变，求线段P A 的中点M 的轨迹 【知识点】圆的参数方程、点的轨迹方程． 【解题过程】设动点M (x ，y )，∵圆x 2＋y 2＝16的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ，(θ为参数)，∴设点P (4cos θ，4sin θ)， 由线段的中点坐标公式，得24cos 4+=θx ，且y ＝4sin θ2， ∴点M 的轨迹方程为2cos 22sin x y θθ=+⎧⎨=⎩，转化为普通方程得4)2(22=--y x因此点M 的轨迹是以点(6,0)为圆心，以2为半径的圆．【思路点拨】借助于圆的参数方程来得到点的轨迹方程，即代入法． 【答案】点M 的轨迹是以点(2,0)为圆心，以2为半径的圆． 【设计意图】巩固检查参数方程与曲线的关系．例3 把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线？（1）⎩⎨⎧-=+=)(211为参数t ty t x （2）⎩⎨⎧+=+=)(2sin 1cos sin 为参数θθθθy x 【知识点】参数方程化为普通方程．【解题过程】（1）由11≥+=t x ，有1-=x t ，代入t y 21-=，得到32+-=x y .又因为11≥+=t x ，所以与参数方程等价的普通方程是)1(32≥+-=x x y ，即以)1,1(为端点的一条射线（包括端点）.（2）把θθcos sin +=x 平方后减去θ2sin 1+=y ，得到 y x =2，又因为)4sin(2cos sin πθθθ+=+=x ，所以]2,2[-∈x ，即与参数方程等价的普通方程是y x =2，]2,2[-∈x ，即开口向上的抛物线的一部分.【思路点拨】先由一个方程求出参数的表达式，再代入另一个方程，或者利用三角恒等变换消去参数．【答案】（1）)1(32≥+-=x x y ；（2）y x =2，]2,2[-∈x ． 同类训练 化下列曲线的参数方程为普通方程,并指出它是什么曲线． (1)⎩⎨⎧x ＝1＋2t ，y ＝3－4t (t 为参数)；(2)⎩⎨⎧x ＝cos θ＋sin θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)．【知识点】参数方程化为普通方程． 【解题过程】(1)∵x ＝1＋2t ，∴2t ＝x －1. ∵－4t ＝－2x ＋2，∴y ＝3－4t ＝3－2x ＋2. 即y ＝－2x ＋5(x ≥1)，它表示一条射线． (2)∵x ＝cos θ＋sin θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，∴x ∈[－2，2]． x 2＝1＋2sin θcos θ，将sin θcos θ＝y 代入，得x 2＝1＋2y .∴普通方程为y ＝12x 2－12()－2≤x ≤2，它是抛物线的一部分．【思路点拨】先由一个方程求出参数的表达式，再代入另一个方程，或者利用三角恒等变换消去参数．【设计意图】巩固检查参数方程与普通方程的互化． ●活动③ 强化提升、灵活应用例4 若x ，y 满足(x －1)2＋(y ＋2)2＝4，求2x ＋y 的最值． 【知识点】参数方程的应用、三角函数．【数学思想】转化与化归思想．【解题过程】令x －1＝2cos θ，y ＋2＝2sin θ，则有x ＝2cos θ＋1，y ＝2sin θ－2， 故2x ＋y ＝4cos θ＋2＋2sin θ－2＝4cos θ＋2sin θ＝25sin(θ＋φ)． ∴－25≤2x ＋y ≤2 5.即2x ＋y 的最大值为25，最小值为－2 5.【思路点拨】考虑利用圆的参数方程将求2x ＋y 的最值转化为求三角函数最值问题． 【答案】2x ＋y 的最大值为25，最小值为－2 5.同类训练 已知点M (x ，y )是圆x 2＋y 2＋2x ＝0上的动点，若4x ＋3y －a ≤0恒成立，求实数a 的取值范围．【知识点】参数方程的应用、三角函数．． 【数学思想】转化化归思想．【解题过程】由x 2＋y 2＋2x ＝0，得(x ＋1)2＋y 2＝1，又点M 在圆上， ∴x ＝－1＋cos θ，且y ＝sin θ， 因此4x ＋3y ＝4(－1＋cos θ)＋3sin θ＝－4＋5sin(θ＋φ)≤－4＋5＝1.(φ由tan φ＝43确定) ∴4x ＋3y 的最大值为1.若4x ＋3y －a ≤0恒成立，则a ≥(4x ＋3y )max ， 故实数a 的取值范围是[1，＋∞)．【思路点拨】考虑利用圆的参数方程将恒成立问题转化为最值，在利用求三角函数最值问题． 【答案】[1，＋∞)．【设计意图】熟练利用参数方程求解某些最值问题． 3.课堂总结 知识梳理（1）一般的，在平面直角坐标系中，如果曲线上的任意一点的坐标y x ,都是某个变数t 的函数：⎩⎨⎧==)()(t g y t f x ①且对于t 的每一个允许值，由方程组①确定的点)(y x M ，都在这条曲线上，那么方程组①叫做这条曲线的参数方程，联系变数y x ,的变数t 叫参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点坐标y x ,之间关系的方程0)(=y x f ，叫普通方程．（2）一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.反之，如果知道变数y x ,中的一个与参数t 的关系，例如)(t f x =，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系)(x g y =，那么就是曲线的参数方程．（3）①圆心在原点,半径为r 的圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ.)(为参数θ; ②圆心在),(b a ,半径为r 的圆的参数方程为)(sin cos 为参数θθθ⎩⎨⎧+=+=r b y r a x . 重难点归纳（1）参数t （也可用其它小写字母表示）是联系变数y x ,的桥梁，它可以是有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数；参数方程和普通方程都是在直角坐标系之下同一曲线的两种不同表的形式．（2）参数方程和普通方程互化时，一定使y x ,的取值范围保持一致，即等价转化．（三）课后作业基础型 自主突破1．下列方程中能表示曲线参数方程的是( )A.032=-+t y xB.⎩⎨⎧+==t x y ty x 232C.⎩⎨⎧+=-=2342u y t xD.⎩⎨⎧+=+=ky k x 2335 【知识点】参数方程的含义．【解题过程】A 是含参数的方程,B 中的y x ,并不都由参数t 确定,C 中的y x ,不是由同一个参数确定,D 正确.【思路点拨】根据参数方程的含义进行判断．【答案】D2．曲线⎩⎨⎧x ＝1＋t 2y ＝t －1)(为参数t 与x 轴交点的直角坐标是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,0) D ．(±2,0)【知识点】曲线与参数方程．【解题过程】设与x 轴交点的直角坐标为(x ，y )，令y ＝0得t ＝1，代入x ＝1＋t 2，得x ＝2， ∴曲线与x 轴的交点的直角坐标为(2,0)．【思路点拨】根据曲线与参数方程的关系判断．【答案】C3．曲线⎩⎨⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( ) A.在直线y ＝2x 上 B.在直线y ＝－2x 上 C.在直线y ＝x －1上 D.在直线y ＝x ＋1上【知识点】圆的参数方程．【解题过程】由⎩⎨⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ，得⎩⎨⎧cos θ＝x ＋1，sin θ＝y －2.所以(x ＋1)2＋(y －2)2＝1.曲线是以(－1，2)为圆心，1为半径的圆，所以对称中心为(－1，2)，在直线y ＝－2x 上.故选B ．【思路点拨】将圆的参数方程化为圆的标准方程．【答案】B4．若x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则x ＋3y 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【知识点】参数方程的应用．【解题过程】由于圆x 2＋y 2＝1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，则x ＋3y ＝3sin θ＋cos θ＝2sin )6(πθ+，故x ＋3y 的最大值为2.故选B. 【思路点拨】利用三角代换求解．【答案】B ．5．圆心在点(-1,2),半径为5的圆的参数方程为________.【知识点】普通方程化为参数方程．【解题过程】因为是圆心在点(-1,2),半径为5的圆，所以参数方程为)(sin 52cos 51为参数θθθ⎩⎨⎧+=+-=y x ． 【思路点拨】根据三角代换公式来求解．【答案】)(sin 52cos 51为参数θθθ⎩⎨⎧+=+-=y x ．6．设y ＝tx (t 为参数)，则圆x 2＋y 2－4y ＝0的参数方程是_________．【知识点】普通方程与参数方程互化．【解题过程】把y ＝tx 代入x 2＋y 2－4y ＝0得x ＝4t 1＋t 2，y ＝4t 21＋t 2， ∴参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4t 1＋t 2，y ＝4t 21＋t 2(t 为参数)．【思路点拨】利用代入法求解．【答案】⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4t 1＋t 2，y ＝4t 21＋t 2(t 为参数) 能力型 师生共研7．将参数方程⎩⎨⎧x ＝2＋sin 2θy ＝sin 2θ(θ为参数)化为普通方程为( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝x ＋2C ．y ＝x －2(2≤x ≤3)D ．y ＝x ＋2(0≤y ≤1)【知识点】参数方程化为普通方程．【解题过程】消去sin 2θ，得x ＝2＋y ，又0≤sin 2θ≤1，∴2≤x ≤3.【思路点拨】注意三角函数的有界性，参数方程的等价转化．【答案】C8．已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ(θ为参数，0≤θ<2π)． 判断点A (2,0)，B )23,3(-是否在曲线C 上？若在曲线上，求出点对应的参数的值． 【知识点】曲线与参数方程．【解题过程】把点A (2,0)的坐标代入⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ，得cos θ＝1且sin θ＝0，由于0≤θ<2π，解之得θ＝0，因此点A (2,0)在曲线C 上，对应参数θ＝0.同理，把B )23,3(-代入参数方程，得 ⎩⎪⎨⎪⎧ 3＝2cos θ，32＝3sin θ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ cos θ＝－32，sin θ＝12.又0≤θ<2π，∴θ＝56π，所以点B )23,3(-在曲线C 上，对应θ＝56π. 【思路点拨】利用曲线与参数方程的关系求解．【答案】A ，B 是在曲线C 上，A ，B 对应的参数的值分别为θ＝0、θ＝56π．探究型 多维突破9．在平面直角坐标系xOy 中，动圆x 2＋y 2－8x cos θ－6y sin θ＋7cos 2θ＋8＝0(θ∈R )的圆心为P (x ，y )，求2x －y 的取值范围．【知识点】参数方程的应用．【解题过程】由题设得⎩⎨⎧ x ＝4cos θ，y ＝3sin θ，(θ为参数，θ∈R )． 于是2x －y ＝8cos θ－3sin θ＝73sin(θ＋φ)，⎝ ⎛⎭⎪⎫φ由tan φ＝－83确定所以－73≤2x －y ≤73. 所以2x －y 的取值范围是[－73，73]．【思路点拨】利用参数方程，转化为三角函数的最值来求解．【答案】[－73，73]．10．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cos θy ＝4sin θ(θ为参数，且0≤θ<2π)，点M 是曲线C 1上的动点．(1)求线段OM 的中点P 的轨迹的直角坐标方程；(2)以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l 的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ＋1＝0(ρ>0)，求点P 到直线l 距离的最大值．【知识点】参数方程、极坐标、点到直线的距离．【解题过程】(1)曲线C 1上的动点M 的坐标为(4cos θ，4sin θ)，坐标原点O (0,0)，设P 的坐标为(x ，y )，则由中点坐标公式得x ＝12(0＋4cos θ)＝2cos θ，y ＝12(0＋4sin θ)＝2sin θ，所以点P 的坐标为(2cos θ，2sin θ)，因此点P 的轨迹的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝2cos θy ＝2sin θ(θ为参数，且0≤θ<2π)， 消去参数θ，得点P 轨迹的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4.(2)由直角坐标与极坐标关系得直线l 的直角坐标方程为x －y ＋1＝0.又由(1)知，点P 的轨迹为圆心在原点，半径为2的圆，因为原点(0,0)到直线x －y ＋1＝0的距离为|0－0＋1|12＋(－1)2＝12＝22， 所以点P 到直线l 距离的最大值为2＋22.【思路点拨】普通方程侧重于判断曲线的形状,参数方程侧重于表示曲线上的点．【答案】（1）P 轨迹的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4；（2）2＋22． 自助餐1．下列点在方程)(2cos sin 2为参数θθθ⎩⎨⎧==y x 所表示的曲线上的是( ) A.)7,2( B.)32,31( C.)21,21( D.)1,1(- 【知识点】曲线与参数方程．【解题过程】选D.由方程(θ为参数),令1sin 2==θx ,得Z k k ∈+=,2ππθ12cos -==θy .【思路点拨】利用曲线点的与参数方程的关系求解．【答案】D2．把方程xy ＝1化为以t 为参数的参数方程是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t 12y ＝t －12B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝sin t y ＝1sin tC.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝cos t ，y ＝1cos tD.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝tan t ，y ＝1tan t【知识点】普通方程与参数方程互化．【解题过程】A 显然代入不成立，B,C 选项中1≤x ，不成立，D 选项满足要求．【思路点拨】把选项的参数方程转化为普通方程，注意等价转化．【答案】D3．圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋4cos θ，y ＝－3＋4sin θ(0≤θ<2π)，若圆上一点P 对应参数θ＝43π，则P 点的坐标是________．【知识点】曲线与参数方程．【解题过程】将θ＝43π代入参数方程中，解得33,0-==y x ，所以)33,0(-P ．【思路点拨】利用曲线上的点与参数方程的关系．【答案】(0，－33)．4．点(x ，y )是曲线C ：⎩⎨⎧ x ＝－2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，0≤θ＜2π)上任意一点，则y x 的取值范围是________．【知识点】圆的参数方程、直线斜率．【数学思想】数形结合思想【解题过程】曲线C ：⎩⎨⎧x ＝－2＋cos θ，y ＝sin θ是以(－2,0)为圆心，1为半径的圆，即(x ＋2)2＋y 2＝1.设y x ＝k ，∴y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时，k 取得最小值与最大值， ∴|－2k |k 2＋1＝1，k 2＝13，∴y x 的范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33. 【思路点拨】利用数形结合的思想求解．【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33． 5．根据所给条件，把曲线的普通方程化为参数方程：（1）012=---y x y ，设t t y ,1-=为参数；（2）14922=+y x ，设θθ,cos 3=x 为参数. 【知识点】普通方程与参数方程互化．【解题过程】（1）将,1-=t y 代入方程012=---y x y ，解得132+-=t t x ，所以参数方程为⎩⎨⎧-=+-=)(1132为参数t t y t t x （2）将,cos 3θ=x 代入方程14922=+y x θsin 2±=y ，由于参数θ的任意性，可取θsin 2=y ，所以参数方程为)(sin 2cos 3为参数θθθ⎩⎨⎧==y x ．【思路点拨】普通方程化为参数方程，注意等价转化．【答案】（1）⎩⎨⎧-=+-=)(1132为参数t t y t t x ；（2）)(sin 2cos 3为参数θθθ⎩⎨⎧==y x 6．在方程⎩⎨⎧ x ＝a ＋t cos θ，y ＝b ＋t sin θ(a ，b 为正常数)中， (1)当t 为参数，θ为常数时，方程表示何种曲线？(2)当t 为常数，θ为参数时，方程表示何种曲线？【知识点】参数方程的含义．【数学思想】分类讨论的思想．【解题过程】（1）方程⎩⎨⎧ x ＝a ＋t cos θ， ①y ＝b ＋t sin θ， ②(a ，b 是正常数)， (1)①×sin θ－②×cos θ得 x sin θ－y cos θ－a sin θ＋b cos θ＝0.∵cos θ、sin θ不同时为零，∴方程表示一条直线．(2)(ⅰ)当t 为非零常数时，原方程组为⎩⎪⎨⎪⎧ x －a t ＝cos θ，③y －b t ＝sin θ. ④③2＋④2得x －a 2t 2＋y －b2t 2＝1，即(x －a )2＋(y －b )2＝t 2，它表示一个圆．(ⅱ)当t ＝0时，表示点(a ，b )．【思路点拨】(1)运用加减消元法，消t ；(2)当t ＝0时，方程表示一个点，当t 为非零常数时，利用平方关系消参数θ，化成普通方程，进而判定曲线形状．【答案】（1）方程表示一条直线；（2）(ⅰ)当t为非零常数时，它表示一个圆，(ⅱ)当t＝0时，表示点(a，b)．。
2020最新人教B版高中数学-选修4-4教学案-第二章-抛物线、双曲线的参数方程 (Word)
y－(tan α＋tan β)
＝－[x－(sec α＋sec β)]．
将P(x0,0)代入上式，得
x0＝(sec α＋sec β)．
∵A，B是双曲线同支上的不同两点，
(1)将曲线C的参数方程化为普通方程；
(2)曲线C与曲线D有无公共点？试说明理由．
解：(1)由α∈[0,2π)
得x2＋y＝1，x∈[－1,1]．
(2)由ρsin＝－得
曲线D的普通方程为x＋y＋2＝0.
由得x2－x－3＝0.
解得x＝∉[－1,1]，故曲线C与曲线D无公共点.
双曲线参数方程的应用
[例2] 在双曲线x2－y2＝1上求一点M，使M到直线y＝x的距离为.
二、填空题
5．若点P(3，m)在以点F为焦点的抛物线上，则|PF|＝________.
解析：抛物线为y2＝4x，准线为x＝－1，|PF|等于点P(3，m)到准线x＝－1的距离，即为4.
答案：4
6．已知抛物线C：设O为坐标原点，点M在C上运动(点M与O不重合)，P(x，y)是线段OM的中点，则点P的轨迹的普通方程为________．
[精解详析] ∵－＝1，
∴右焦点为(5,0)，右顶点为(4,0)．
设椭圆＋＝1，∴a＝5，c＝4，b＝3.
∴方程为＋＝1.
设椭圆上一点P(5cos θ，3sin θ)，
双曲线一渐近线为3x－4y＝0，
∴点P到直线的距离d＝
＝.
∴dmax＝.
对于同一个方程，确定的参数不同， 所表示的曲线就不同．当题目条件中出现多个字母时，一定要注明什么是参数，什么是常量，这一点尤其重要．
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修4-4：坐标系与参数方程 2.1.2 曲线的参数方程》
曲线的参数方程一、教学目标知识与技能：了解参数方程的概念，了解参数的意义会将直角坐标方程化成参数方程的形式过程与方法：从物理学的平抛运动知识出发，运用向量工具，得到物体平抛运动的参数方程；通过对现实原型的分析、概括与抽象，建立曲线的参数方程概念。
再用数学方法对曲线的参数方程进行研究，最后应用到解析几何中去解决问题情感、态度与价值观：使学生对参数的方程有一个初步认识，感受生活中处处有数学，数学维过程；掌握未知转化为已知的数学方法；理解特殊与一般的辩证关系二、新设计1．为了便于学生接受新知识，调动学生学习兴趣。
本节课引入时，我借助物理知识中，学生较为理解的小球的平抛运动的几张图片说明小球不同时刻的运动情况，水平方向和竖直方向运动方式不同，分别计算它们的位移，得到物体的平抛运动的参数方程，引出本节新知2为了学生易于理解曲线的参数方程的概念。
在讲解本节例题时，利用圆的参数方程的几何画板课件，帮助同学理解曲线的参数方程的概念3为了便于学生更好的学习本节知识，利用微课对必修二中直线的相关知识进行了快速复习三、学情分析同学们在数学2中学习了解析几何的基本知识，在选修课中学习了圆锥曲线的性质及表示该曲线的直角坐标方程，对解析几何有了一定的认知，本节曲线的参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，它是曲线在同一坐标系下的又一种表示形式本班学生虽然基础不是很好,但是借助直观图片、课件和微课回顾相关知识，对本节学习应该收获颇丰四、教学重、难点教学重点：曲线的参数方程概念的理解和参数方程与普通方程的互化教学难点：曲线的参数方程概念的理解，已学解析几何知识的熟练应用突破手段：借助于圆的参数方程的几何画板课件，理解参数方程的概念及一般参数方程中参数的物理、数学意义。
利用微课对已学解析几何本节能用到的知识进行快速复习五、教学活动1问题引入借助物理知识中，学生较为理解的小球的平抛运动的两张图片说明小球不同时刻的运动情况，水平方向和竖直方向运动方式不同，分别计算它们的位移，得到物体的平抛运动的参数方程观察图片引出问题 得到结论2探求新知参数方程：设在平面上取定了一个直角坐标系xoy ，把坐标,x y 表示为第三个变量t 的函数()()x f t y g t =⎧⎨=⎩a tb ≤≤,如果对于t 的每一个值（a t b ≤≤），上式所确定的点(,)M x y 都在一条曲线上；而这条曲线上的任一点(,)M x y ，都可由t 的某个值得到，则称上式为该曲线的参数方程，其中变量t 称为参数提出问题：（1）概念中的关键词有哪些？（2）分别说明了什么？教师指出参数方程的意义: 参数方程是曲线点的位置的另一种表示形式，它借助于中间变量把曲线上的动点的两个坐标间接地联系起来，参数方程与普通方程同等地描述了曲线，的横坐标和纵坐标3应用范例例1设质点沿以原点为圆心，半径为2的圆作匀角速运动，角速度为/60rad s π试以时间t 为参数，建立质点运动轨迹的参数方程设计意图:通过分析，学生容易得到参数方程；反之，通过教师利用几何画板课件，学生理解参数方程的概念同时，理解参数的物理,数学意义例2 选取适当参数，把直线方程23y x =+化为参数方程设计意图:通过分析，学生容易通过普通方程得到参数方程； 理解如何引入适当的参数得到参数方程 例3 设曲线的参数方程为32,14x t y t =-⎧⎨=--⎩把它化为普通方程，说明它表示什么曲线 设计意图:让学生体会参数方程化普通方程的方法。
人教B版高中数学-选修4-4教学案-第二章一些常见曲线的参数方程(W
人教B版高中数学-选修4-4教学案-第二章一些常见曲线的参数方程(W事，都将最终影响你走上良好发展的坦途。
挫折是最好的、最残酷的生存训练，关键是你有没有发现它的价值，借它之势成就自己。
好几个环节每一次低谷都蕴含着最强的向上力量，每次的痛哭都会洗刷埋藏最深的阴霾。
每件你所经历的坏事，刷埋藏最深的阴霾。
每件你所经历的坏事，都将最终影响你走上良好发展的坦途。
挫折是最好的、最残酷的生存训练，关键是你有没有发现它的价值，借它之势成就自己。
好几个环节每一次低谷都蕴含着最强的向上力量，【2021年度】精编人教B版高中数学-选修4-4教学案-第二章一些常见曲线的参数方程（Word）[读教材・填要点]1．摆线的概念一圆周沿一直线无滑动滚动时，圆周上的一定点的轨迹称为摆线，摆线又叫旋轮线．2．渐开线的概念把一条没有弹性的细绳绕在一个固定不动的圆盘的侧面上，把绳拉紧逐渐展开，绳的外端点随之移动，且绳的拉直部分始终和圆相切．绳的端点移动的轨迹就是一条圆的渐开线，固定的圆称为渐开线的基圆．3．圆的渐开线和摆线的参数方程(1)摆线的参数方程：.(2)圆的渐开线方程：.[小问题・大思维]1．摆线的参数方程中，字母a和参数t的几何意义是什么？提示：字母a是指定圆的半径，参数t是指圆滚动时转过的角度．2．渐开线方程中，字母a和参数t的几何意义是什么？提示：字母a是指基圆的半径，参数t是指OA�D→和x轴正向所成的角(A是绳拉直时和圆的切点)．求圆的摆线的参数方程[例1] 已知一个圆的摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时该摆线的参数方程．[思路点拨] 本题考查圆的摆线的参数方程的求法．解答本题需1 / 19事，都将最终影响你走上良好发展的坦途。
挫折是最好的、最残酷的生存训练，关键是你有没有发现它的价值，借它之势成就自己。
好几个环节每一次低谷都蕴含着最强的向上力量，每次的痛哭都会洗刷埋藏最深的阴霾。
每件你所经历的坏事，刷埋藏最深的阴霾。
2017-2018学年高中数学人教B版选修4-4教学案：第二章 2-1 曲线的参数方程 精品
_2.1曲线的参数方程[对应学生用书P22][读教材·填要点]定义：设在平面上取定了一个直角坐标系xOy ，把坐标x ，y 表示为第三个变量t 的函数⎩⎨⎧x ＝f (t )，y ＝y (t )，a ≤t ≤b ① 如果对于t 的每一个值(a ≤t ≤b )①式所确定的点M (x ，y )都在一条曲线上；而这条曲线上的任一点M (x ，y )，都可由t 的某个值通过①式得到，则称①式为该曲线的参数方程，其中变量t 称为参数．如果从参数方程中消去参数t ，就得到联系x 和y 的方程F (x ，y )＝0，则方程F (x ，y )＝0是这条曲线的直角坐标方程(即普通方程)．[小问题·大思维]1．参数方程中的参数t 是否一定有实际意义？提示：参数是联系变数x ，y 的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．2．曲线的参数方程一定是唯一的吗？提示：同一曲线选取参数不同，曲线参数方程形式也不一样．如⎩⎨⎧ x ＝4t ＋1，y ＝2t (t ∈R )和⎩⎨⎧x ＝2m ＋1，y ＝m(m ∈R ) 都表示直线x ＝2y ＋1.[对应学生用书P22][例1] 指出下列参数方程表示什么曲线：(1)⎩⎨⎧x ＝1＋4cos t ，y ＝－2＋4sin t ；(t 为参数) (2)⎩⎨⎧ x ＝5cos t ，y ＝4sin t ；(t 为参数)(3)⎩⎨⎧x ＝2t－2－t ，y ＝2t＋2－t .(t 为参数) [思路点拨] 本题考查化参数方程为普通方程的方法．解答此题需要从一个方程中解出t ，代入另一个方程．[精解详析] (1)(x －1)2＋(y ＋2)2＝16cos 2t ＋16sin 2t ＝16，即(x －1)2＋(y ＋2)2＝16，表示以(1，－2)为圆心，半径为4的圆． (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 42＝cos 2t ＋sin 2t ＝1， 即x 225＋y 216＝1，表示中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆． (3)x 2－y 2＝(2t －2－t )2－(2t ＋2－t )2＝－4， 即y 2－x 2＝4. 又2t >0，y ≥22t ·2－t ＝2，故y 2－x 2＝4(y ≥2)，它表示双曲线的上支．(1)将参数方程化为普通方程时，消去参数的常用方法有：①代入法．先由一个方程求出参数的表达式(用直角坐标变量表示)，再代入另一个方程．②利用代数或三角函数中的恒等式消去参数．例如，对于参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a (t ＋1t )cos θ，y ＝a (t －1t )sin θ，如果t 是常数，θ是参数，那么可以利用公式sin 2θ＋cos 2θ＝1消参；如果θ是常数，t 是参数，那么可以利用(t ＋1t )2－(t －1t )2＝4消参．(2)一般来说，如果消去曲线的参数方程中的参数，就可以得到曲线的普通方程，但要注意，这种消参的过程要求不减少也不增加曲线上的点，即要求参数方程和消去参数后的普通方程是等价的．1．已知曲线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝sin θ＋1，y ＝cos θ＋3，0≤θ≤2π.把它化成普通方程，并说明它表示什么曲线． 解：由x ＝sin θ＋1，y ＝cos θ＋3可得sin θ＝x －1， cos θ＝y －3.由sin 2θ＋cos 2θ＝1得(x －1)2＋(y －3)2＝1，∴曲线的普通方程为(x －1)2＋(y －3)2＝1，它表示以(1,3)为圆心.1为半径的圆．[例2] 经过原点作圆x 2－2ax ＋y 2＝0的弦，求这些弦的中点的轨迹参数方程．[思路点拨] 本题考查曲线参数方程的求法．解答本题需要先确定参数，然后分别用同一个参数表示x 和y .[精解详析] 如图，设OQ 是经过原点的任意一条弦，OQ 的中点是M (x ，y )，设弦OQ 和x 轴的夹角为θ，取θ作为参数．已知圆的圆心是O ′(a,0)，连接O ′M ，那么O ′M ⊥OQ ，过点M 作MM ′⊥OO ′，那么|OM |＝a cos θ，∴⎩⎨⎧x ＝|OM ′|＝|OM |cos θ＝a cos 2θ，y ＝|MM ′|＝|OM |sin θ＝a cos θsin θ，(θ为参数) 这就是所求轨迹的参数方程．(1)求曲线参数方程的主要步骤：第一步，建立直角坐标系，设(x ，y )是轨迹上任意一点的坐标，画出草图(画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之间的关系)．第二步，选择适当的参数．参数的选择要考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标x ，y 与参数的关系比较明显，容易列出方程；二是x ，y 的值可以由参数唯一确定．例如，在研究运动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常选旋转角为参数．此外，离某一定点的“有向距离”、直线的倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数．第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式．(2)求曲线的参数方程时，要根据题设条件或图形特性求出参数的取值范围并标注出来．2．如图所示，OA 是圆C 的直径，且OA ＝2a ，射线OB 与圆交于Q 点，和经过A 点的切线交于B 点，作PQ ⊥OA ，交OA 于D ，PB ∥OA .试求点P 的轨迹的参数方程．解：设P (x ，y )是轨迹上任意一点，取∠DOQ ＝θ.由PQ ⊥OA ，PB ∥OA ，得x ＝OD ＝OQ cos θ＝OA cos 2θ＝2a cos 2θ， y ＝AB ＝OA tan θ＝2a tan θ. 所以P 点轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2a cos 2θ，y ＝2a tan θ.(－π2<θ<π2)[对应学生用书P23]一、选择题1．将参数方程⎩⎨⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝sin 2θ(0≤θ≤2π)化为普通方程为( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝x ＋2C ．y ＝x －2(2≤x ≤3)D ．y ＝x ＋2(0≤y ≤1)解析：选C 化为普通方程：y ＝x －2，但是x ∈[2,3]，y ∈[0,1]． 2．当参数θ变化时，由点P (2cos θ，3sin θ)所确定的曲线过点( ) A ．(2,3) B ．(1,5) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 D ．(2,0)解析：选D 当2cos θ＝2，即cos θ＝1时，3sin θ＝0.3．曲线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3t 2＋2，y ＝t 2－1，则曲线是( ) A ．线段 B ．双曲线的一支 C ．圆D ．射线解析：选D 消去参数得x －3y －5＝0，且x ≥2，故是射线．4．下列参数方程(t 为参数)与普通方程x 2－y ＝0表示同一曲线的方程是( )A.⎩⎨⎧x ＝|t |y ＝tB.⎩⎨⎧x ＝cos t y ＝cos 2tC.⎩⎨⎧x ＝tan ty ＝1＋cos 2t 1－cos 2tD.⎩⎨⎧x ＝tan ty ＝1－cos 2t 1＋cos 2t解析：选D A 显然错误，B 中x ∈[－1,1]与原题中x 的范围不同，C 可化为y －1x 2＝0，故选D.二、填空题5．方程x 2＋y 2－4tx －2ty ＋3t 2－4＝0(t 为参数)所表示的圆的圆心轨迹的参数方程为________．解析：由x 2＋y 2－4tx －2ty ＋3t 2－4＝0得 (x －2t )2＋(y －t )2＝4＋2t 2. 设圆心坐标为(x ，y )， 则⎩⎨⎧x ＝2t ，y ＝t . 答案：⎩⎨⎧x ＝2t ，y ＝t6．已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝3t ，y ＝2t 2＋1(t 为参数)．则点M 1(0,1)，M 2(5,4)与曲线C 的位置关系__________________________(填点是否在曲线上)．解析：将M 1的坐标(0,1)代入方程组，解得t ＝0.因此M 1在曲线C 上．同理可知方程组⎩⎨⎧5＝3t ，4＝2t 2＋1无解，故M 2不在曲线C 上．答案：M 1在曲线C 上，M 2不在曲线C 上7．若点(x ，y )在曲线⎩⎨⎧x ＝3＋2cos θ，y ＝－4＋2sin θ(0≤θ≤2π)上，则x 2＋y 2的最小值是________．解析：法一：由题可知，x 2＋y 2＝(3＋2cos θ)2＋(－4＋2sin θ)2＝29＋12cos θ－16sin θ＝29＋20cos(θ＋φ)(tan φ＝43)，当cos(θ＋φ)＝－1时最小，因此可得最小值为9.法二：将原式转化为普通方程(x －3)2＋(y ＋4)2＝4，它表示圆．令t ＝x 2＋y 2，则t 可看成圆上的点到点(0,0)的距离的平方，圆外一点与圆上点的最近距离为该点与圆心的距离减去半径，t min ＝[(0－3)2＋(0＋4)2－2]2＝9，所以x 2＋y 2的最小值为9.答案：98．在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t (t 为参数)与曲线C 2：⎩⎨⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ(θ为参数，a ＞0)有一个公共点在x 轴上，则a ＝________. 解析：曲线C 1的普通方程为2x ＋y ＝3，曲线C 2的普通方程为x 2a 2＋y 29＝1.直线2x ＋y ＝3与x 轴的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，故曲线x 2a 2＋y 29＝1也经过这个点，代入解得a ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫舍去－32. 答案：32 三、解答题9．化下列参数方程为普通方程： (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t 1＋t ，y ＝2t1＋t(t ∈R 且t ≠－1)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan θ＋1tan θ，y ＝1cos θ＋1sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ≠k π，k π＋π2，k ∈Z . 解：(1)变形为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋21＋t，y ＝2－21＋t，∴x ≠－1，y ≠2.∴x ＋y ＝1(x ≠－1)． (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1sin θcos θ， ①y ＝sin θ＋cos θsin θcos θ. ②②式平方，再结合①得y 2＝x 2＋2x . 由x ＝tan θ＋1tan θ 知|x |≥2.所以方程为(x ＋1)2－y 2＝1(|x |≥2)．10．物体从高处以初速度v 0(m/s)沿水平方向抛出，求以抛出点为原点，水平直线为x 轴，物体所经路线的参数方程．解：设物体抛出的时刻为0 s ，在时刻t s 时其坐标为M (x ，y )， 由于物体作平抛运动， 依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝v 0t ，y ＝－12gt 2.这就是物体所经路线的参数方程．11．舰A 在舰B 的正东，相距6 km ；舰C 在舰B 的北偏西30°，相距4 km.它们准备围捕海中某动物，某时刻舰A 发现动物信号，4 s 后舰B 、舰C 同时发现这种信号，舰A 于是发射麻醉炮弹．假设舰与动物都是静止的，动物信号的传播速度为1 km/s ，炮弹初速度为203g3 km/s ，其中g 为重力加速度，空气阻力不计，求舰A 炮击的方位角与仰角．解：以BA 为x 轴，BA 中垂线为y 轴建立直角坐标系(如图)，则B (－3,0)，A (3,0)，C (－5,23)．设该动物位于P (x ，y )．因为|BP |＝|CP |，所以P 在线段BC 的中垂线上，易知中垂线方程是y ＝33(x ＋7)．又|PB |－|P A |＝4，所以P 在以A ，B 为焦点的双曲线右支上，双曲线方程是x 24－y 25＝1. 从而得P (8,53)．设∠xAP ＝α，则tan α＝k AP ＝3，∴α＝60°.这样炮弹发射的方位角为北偏东30°.再以A 为原点，AP 为x ′轴建立坐标系x ′Ay ′(如图)．|P A |＝10，设弹道曲线方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝v 0t cos θ，y ′＝v 0t sin θ－12gt 2(其中θ为仰角)．将P (10,0)代入，消去t 便得sin 2θ＝32，θ＝30°或60°.这样舰A 发射炮弹的仰角为30°或60°.。
高中数学人教B版选修4-4教学案第二章 2.1 曲线的参数方程
曲线的参数方程[读教材·填要点]定义：设在平面上取定了一个直角坐标系，把坐标，表示为第三个变量的函数(\\(＝((，＝((，))≤≤①如果对于的每一个值(≤≤)①式所确定的点(，)都在一条曲线上；而这条曲线上的任一点(，)，都可由的某个值通过①①式得到，则称变量式为该曲线的参数方程，其中参数称为参数．如果从参数方程中消去，就得到联系和的方程(，)＝，则方程(，)＝是这条曲线的直角坐标方程(即普通方程)．[小问题·大思维]．参数方程中的参数是否一定有实际意义？提示：参数是联系变数，的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．．曲线的参数方程一定是唯一的吗？提示：同一曲线选取参数不同，曲线参数方程形式也不一样．如(\\(＝＋，＝(∈())和(\\(＝＋，＝))(∈) 都表示直线＝＋.[例]指出下列参数方程表示什么曲线：()(\\(＝＋，＝－＋；))(为参数)()(\\(＝，＝；))(为参数)()(\\(＝－－，＝＋－.))(为参数)[思路点拨]本题考查化参数方程为普通方程的方法．解答此题需要从一个方程中解出，代入另一个方程．[精解详析]()(－)＋(＋)＝＋＝，即(－)＋(＋)＝，表示以(，－)为圆心，半径为的圆．()＋＝＋＝，即＋＝，表示中心在原点，焦点在轴上的椭圆．()－＝(－－)－(＋－)＝－，即－＝.又>，≥＝，故－＝(≥)，它表示双曲线的上支．()将参数方程化为普通方程时，消去参数的常用方法有：①代入法．先由一个方程求出参数的表达式(用直角坐标变量表示)，再代入另一个方程．②利用代数或三角函数中的恒等式消去参数．例如，对于参数方程(\\(＝(＋()( θ，＝(－()( θ，))如果是常数，θ是参数，那么可以利用公式θ＋θ＝消参；如果θ是常数，是参数，那么可以利用(＋)－(－)＝消参．()一般来说，如果消去曲线的参数方程中的参数，就可以得到曲线的普通方程，但要注意，这种消参的过程要求不减少也不增加曲线上的点，即要求参数方程和消去参数后的普通方程是等价的．．已知曲线的参数方程为(\\(＝θ＋，＝θ＋，))≤θ≤π.把它化成普通方程，并说明它表示什么曲线．解：由＝θ＋，＝θ＋可得θ＝－，θ＝－.由θ＋θ＝得(－)＋(－)＝，∴曲线的普通方程为(－)＋(－)＝，它表示以()为圆心为半径的圆．。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修4-4：坐标系与参数方程 2.1.2 曲线的参数方程》7
曲线的参数方程一 三维目标1 了解圆的参数方程以及参数意义；参数方程与普通方程之间互化；2 能够适当选取参数，求简单曲线的参数方程；3 通过思考探究，培养学生创新意识。
二 教学重难点重点：1：圆的参数方程的形式与应用；2：参数方程与普通方程互化难点：圆的参数方程的应用三 教学过程复习旧知求参数方程的步骤建立直角坐标系, 设曲线上任一点从初始位置M0（t=0时的位置）出发，秒，M 的位置在何处 圆2 2=r2对应的参数方程所以∴参数方程为 θ为参数 )(.sin ,cos 为参数t t r y t r x ⎩⎨⎧==ωω)(sin cos 为参数θθθ⎩⎨⎧==r y r x 22?2690,x y x y ++-+=、已知圆的方程为将它化为参例1数方程.2222269013 1.：，（）（）解x y x y x y ++-+=++-=化为标准方程⎩⎨⎧+=+-=θθsin 3cos 1y x 1222()(:(,),?)x a y b r O b a r -+-=思考圆心为、半径为的圆的标准方程为那么参数方程是什么呢11111(,),(,)(,),,圆心为、半径为的圆可以看作由圆心为原点、半径为的圆平移得到设圆上任意一点是圆上的点平移得到的由平移公式有O a b r O r O P x y O P x y 11x x a y y b =+⎧⎨=+⎩11cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩⎩⎨⎧+=+=θθsin cos r b y r a x练习：1填空：已知圆O 的参数方程是参数方程与普通方程的互化注：1、参数方程的特点是没有直接体现曲线上点的横、纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横、纵坐标与参数之间的关系2、参数方程的应用往往是在与直接关系很难或不可能体现时，通过参数建立间接的联系 参数方程与普通方程的互化总结一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程，如果知道变数,中的一个与参数t 的关系，例如=ft,把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系=gt,那么 就是曲线参数方程注意：,范围保持一致将下列参数方程化为普通方程：思考与练习5cos (02)5sin x y θθπθ=⎧≤<⎨=⎩θθsin cos r y r x ==222)()(r b y a x =-+-⎩⎨⎧+=+=θθsin cos r b y r a x ⎩⎨⎧=+=θθsin 3cos 32y x ⎩⎨⎧==θθ2cos sin y x 5_______3⑴如果圆上点所对应的参数则点的坐标是P P πθ=()52,2如果圆上点所对应的坐标是则点对应的参数等于_______Q Q ⎛- ⎝⎭θ⎩⎨⎧==).(),(t g y t f x 2222()64120123031、已知点，是圆上动点，求（）的最值;（）的最值;（）到直线的距离的最值.例P x y x y x y x y x y P x y d +--+=+++-=小结:1、圆的参数方程2、圆的参数方程与普通方程的互化作业布置:书本后面练习板书设计略教学反思略。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修4-4：坐标系与参数方程 2.1.2 曲线的参数方程》3
（1）略
（2）求 的值
变式：求 的值
小结：
题型三、极径 应用
例3（2021双基22）
在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数，且 ，常数 ），以 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，曲线 的极坐标方程为
（1）略
（2）设 与 交于 点， 与 交于 点，求 的最大值
小结：
课堂检测
2021一模22
在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 为参数，在以 为极点，
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为
（1）求直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；
（2）已知点 ，且 ，设直线 与曲线 的两个交点为 ， ，若 ，求 的值
设计意图
导入本课：对三次考试的再思考
通过三次考试回顾题型总结方法
题型一、方程互化
例12021二模22
在平面直角坐标o中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），直线经过点 ，斜率为 ，直线与曲线 相交于 两点
（1）求曲线的普通方程与直线 的参数方程；
变式：求曲线 ，直角坐标方程？
小结：
题型二、 几何意义
例22021二模22
小结：
每道例题逐一反思更有针对性
板书设计：4-4专题
例1方程互化 例2 几何意义例3极径 应用
小结
课后作业：
1.整理典型题
2.完成课后巩固案
我的收获：
学案引导回顾规律通过三道例题回顾三种题型
变式练习合作探究通过变式练习合作探究巩固已有规律小组内合作问题解决
通过作图找到问题类型，进而形成方法
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修4-4：坐标系与参数方程 2.1.2 曲线的参数方程》6
曲线的参数方程教学设计安顺学院附中——黄诺教学目标1、通过分析抛物运动中时间与物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义。
2、分析曲线的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。
教学重点根据问题的条件引进适当的参数，建立曲线的参数方程。
教学难点根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程。
教学方法启发诱导，探究归纳。
教学过程一、复习引入在平面直角坐标系中求点的轨迹方程1、试确定过M （0,1）做椭圆 1422=+y x 的弦的中点的轨迹方程。
解：设过M 的弦AB 的中点）（y x P ,为,其中）（11,y x A ,）（22,y x B则 221x x x += 221y y y += (1) 且 011212--=--xy x x y y(2)将AB 坐标代入椭圆方程得｛两式相减得把（1）（2）代入化简得二、学习背景在过去的学习中我们已经掌握了一些求曲线方程的方法.在求某些曲线方程时，直接确定曲线上点的坐标x, y的关系并不容易，但是如果利用某个参数作为联系它们的桥梁，那么就可以方便的得出坐标x，y所要适合的条件，即参数可以帮助我们得出曲线的方程.下面我们来研究求曲线方程的问题.三、新课讲授1、参数方程的概念：如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放时机呢？提示：即求飞行员在离救援点的水平距离多远时，开始投放物资？分析：物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：（1）沿ox作初速为100m/s的匀速直线运动；（2）沿oy反方向作自由落体运动。
解：物资出舱后，设在时刻t,水平位移为x,垂直高度为y，所以令y=0，得t= 10.10s代入x=100t，得x=1010m所以，飞行员应在离救援点的水平距离为1010m时投放物资。
总结：1、方程组有3个变量，其中的x,y表示点的坐标，变量t叫做参变量，而且x,y分别是t的函数。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修4-4：坐标系与参数方程 2.1.2 曲线的参数方程》9
双曲线的参数方程 甘肃省秦安县第二中学杨宁芳三维目标：【知识与技能】：1了解双曲线的参数方程及其参数方程中参数的几何意义． 2会写出双曲线的参数方程3应用双曲线的参数方程解决有关问题．【过程与方法】：能根据双曲线的几何条件，写出双曲线的参数方程与参数的意义 【情感态度与价值观】：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养学生的创新意识 教学重点：会写出双曲线的参数方程． 教学难点：应用双曲线的参数方程解决有关问题． 多媒体：2931P P -222r y x=+()()222r b y a x =-+-22221y x a b +=⎩⎨⎧==θθsin 5cos 3y x ⎩⎨⎧==θθsin 10cos 8y x O a b 0,0a b >>1C 2C A 1C OA A 1C AA 'x A '2C x B 2C BB 'OA B 'A 'B 'y x A M 'B M 'M Ox OA M ,x yM M A 'M B 'A 'B '的坐标,随着哪个量的变化而变化呢问题2：如何求点M 的参数方程呢问题3：求出点M 的参数方程后，如何根据方程指出曲线类型呢？【解析】由已知xOA θ∠=，(,)M x y ，则(,0)A x '，(,)B b y '， 因为(cos , sin )A a a θθ所以(cos ,sin )OA a a θθ=,(cos ,sin )AA x a a θθ'=-- 因为OA AA '⊥，所以0OA AA '⋅=， 即22cos (cos )sin 0a x a a θθθ--=，sec cos ax a θθ==， 由三角函数的定义得， tan ybθ=，tan y b θ=，所以点M 的轨迹方程为 sec tan x a y b θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）（[0,2)θπ∈，且3,22ππθθ≠≠） 消参化为普通方程是22221x y a b-=2双曲线22221x y a b -=的参数方程：sec tan x a y b θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）（[0,2)θπ∈，且3,22ππθθ≠≠）中，θ点M 的离心角，注意离心角的几何意义3 双曲线22221x y a b-=上任意一点M 的坐标可设为)tan ,sec (ϕϕb a 。
人教版高中数学选修4-4学案：第2讲-2圆锥曲线的参数方程Word版含解析
二圆锥曲线的参数方程1．理解椭圆的参数方程及其应用．(要点 )2．认识双曲线、抛物线的参数方程．3．可以利用圆锥曲线的参数方程解决最值、相关点的轨迹问题．( 难点、易错点 )[基础·初探 ]教材整理 1椭圆的参数方程阅读教材 P27～P29“思虑”及以上部分，达成以下问题．一般方程参数方程x2y2a2＋b2＝ 1(a>b>0)y2x2a2＋b2＝ 1(a>b>0)x＝4cos φ椭圆(φ为参数 )的离心率为(y＝5sin φ43 A.5 B.5x＝acos φ(φ为参数 ) y＝bsin φx＝bcos φ(φ为参数 ) y＝asin φ)3C.4【分析】由椭圆方程知【答案】B1D.523 a＝ 5， b＝ 4，∴c＝9，c＝3，e＝5.教材整理 2双曲线的参数方程阅读教材 P29～P32，达成以下问题 .一般方程参数方程x2y2x＝asec φa－b ＝ 1(a>0，b>0)y＝btan φφ为参数22x＝3secθ，以下双曲线中，与双曲线(θ为参数 )的离心率和渐近线都相y＝tan θ同的是 ()y2x2y2x2A. 3－9＝1B.3－9＝－ 1y22y22C. 3－x＝ 1D.3－ x＝－ 1【分析】由 x＝ 3sec θ得，2＝3＝2θ＋cos2θ2x＝ 3tan θ＋，223cosθcos θ又∵ y＝tan θ，222x2∴x＝ 3y ＋ 3，即3－y ＝ 1.经考证可知，选项 B 适合．【答案】B教材整理 3抛物线的参数方程阅读教材 P33～P34“习题”以上部分，达成以下问题．1．抛物线 y2＝2px 的参数方程是x＝2pt2(t 为参数 )．y＝2pt2．参数 t 表示抛物线上除极点外的随意一点与原点连线的斜率的倒数．x＝4t2为参数上，则＝若点 P(3， m)在以点 F 为焦点的抛物线(t)y＝4t|PF| ________.【分析】抛物线为 y2＝4x，准线为 x＝－ 1，|PF|等于点 P(3，m)到准线 x＝－ 1 的距离，即为 4.【答案】4[怀疑·手记 ]预习达成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”商讨沟通：疑问 1：解惑：疑问 2：解惑：疑问 3：解惑：椭圆的参数方程及应用x＝5cos θ，将参数方程(θ为参数 )化为一般方程，并判断方程表示y＝3sin θ曲线的焦点坐标．【思路研究】依据同角三角函数的平方关系，消去参数，化为一般方程，从而研究曲线形状和几何性质．xx＝5cos θcos θ＝5，【自主解答】由得y＝3sin θysin θ＝3，2 2x y两式平方相加，得52＋32＝1.∴a＝5，b＝3，c＝4.所以方程表示焦点在x 轴上的椭圆，焦点坐标为F1(4,0)和 F2(－4,0)．x＝ acos θ，椭圆的参数方程(θ为参数， a，b 为常数，且 a>b>0)中，常数y＝ bsin θ，a ，b 分别是椭圆的长半轴长和短半轴长，焦点在长轴上．[再练一题 ]x ＝3cos θ，1．若本例的参数方程为 (θ 为参数 )，则怎样求椭圆的一般方y ＝5sin θ，程和焦点坐标？x ＝3cos θ，x＝cos θ，【解】3将化为y ＝5sin θ，y5＝sin θ，22x y两式平方相加，得 32＋52＝1.此中 a ＝5， b ＝ 3， c ＝ 4.所以方程的曲线表示焦点在 y 轴上的椭圆，焦点坐标为 F 1(0，－4)与 F 2(0,4).双曲线参数方程的应用x 2y 2求证：双曲线 a 2－ b 2＝1(a>0， b>0)上随意一点到两渐近线的距离的乘积是一个定值．【思路研究】运算．设出双曲线上任一点的坐标， 可利用双曲线的参数方程简化22【自主解答】xy由双曲线 a 2－ b 2＝1，得两条渐近线的方程是： bx ＋ ay ＝0，bx － ay ＝0，设双曲线上任一点的坐标为 (asec φ， btan φ)，它到两渐近线的距离分别是 d 1 和 d 2，|absec φ＋abtan φ| 则d 1·d2＝b 2＋ a 2·|absec φ－abtan φ|22b ＋ － a2 2 22φ2 2|a bφ－tan＝ 2a b2(定值 )．＝ 2 2a ＋ba ＋b在研究相关圆锥曲线的最值和定值问题时，使用曲线的参数方程特别简捷方便，此中点到直线的距离公式对参数形式的点的坐标仍合用，此外此题要注意公式 sec2φ－tan2φ＝1 的应用．[再练一题 ]2．如图2-2-1，设P 为等轴双曲线x2－y2＝1 上的一点，F1、F2是两个焦点，证明： |PF1| ·|PF2|＝|OP|2.图 2-2-1【证明】设 P(sec φ，tan φ)，∵F1(－2，0)，F2(2，0)，∴|PF1|＝φ＋22＋tan2φ＝2sec2φ＋2 2secφ＋1，2φ－22＋tan2φ＝ 2sec2φ－2 2sec φ＋1，|PF |＝1 · 2＝2φ＋2－ 8sec2φ＝2sec2φ－1.|PF | |PF |∵|OP|2＝sec2φ＋ tan2φ＝2sec2φ－1，∴|PF1| ·|PF2|＝|OP|2.抛物线的参数方程设抛物线 y2＝2px 的准线为 l ，焦点为 F，极点为 O，P 为抛物线上任一点， PQ⊥ l 于 Q，求 QF 与 OP 的交点 M 的轨迹方程 .【导学号： 91060021】【思路研究】解答此题只需解两条直线方程构成的方程组获得交点的参数方程，而后化为一般方程即可．【自主解答】当 t≠0时，设 P 点的坐标为 (2pt 2,2pt)(t 为参数 )，1直线 OP 的方程为 y＝t x，pQF 的方程为 y＝－ 2t x－2，它们的交点 M(x，y)由方程组1y＝t x确立，py＝－ 2t x－2两式相乘，消去 t，2 p得y ＝－2x x－2，∴点 M 的轨迹方程为 2x2－px＋y2＝0(x≠0)．当 t＝0 时， M(0,0)知足题意，且适合方程 2x2－ px＋y2＝ 0.故所求的轨迹方程为2x2－px＋ y2＝0.1．抛物线 y2＝ 2px(p>0)的参数方程为x＝ 2pt2，(t 为参数)，参数t为随意y＝ 2pt实数，它表示抛物线上除极点外的随意一点与原点连线的斜率的倒数．2．用参数法求动点的轨迹方程，其基本思想是选用适合的参数作为中间变量，使动点的坐标分别与参数相关，从而获得动点的参数方程，而后再消去参数，化为一般方程．[再练一题 ]3．已知抛物线的参数方程为x＝ 2pt2，(t 为参数 )，此中 p>0，焦点为 F，y＝ 2pt准线为 l.过抛物线上一点M 作 l 的垂线，垂足为E，若 |EF|＝|MF|，点 M 的横坐标是 3，则 p＝________.【分析】依据抛物线的参数方程可知抛物线的标准方程是y2＝2px，所以2，所以p p p22M ＝E－，± 6p ，F，0，所以＋＝p ＋ 6p，所以 p ＋ 4p－12 y6p2223＝ 0，解得 p ＝2(负值舍去 )．【答案】 2[建立 ·系统 ]— 椭圆的参数方程圆锥曲线的 —— 双曲线的参数方程参数方程— 抛物线的参数方程x ＝ cos θ，)1．参数方程 (θ为参数 )化为一般方程为 (y ＝ 2sin θ22A ．x 2＋y＝1B ．x 2＋y＝ 142 2x 2 2x 2 C ．y ＋ 4 ＝ 1D ．y ＋ 4 ＝1【分析】易知 cos θ＝x ，sin θ＝y，22y 2∴x ＋ 4 ＝1，应选 A. 【答案】 A2．方程 xcos θ＝ a ， (θ为参数， ab ≠ 0)表示的曲线是 ()y ＝bcos θ【导学号： 91060022】A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．双曲线的一部分a【分析】 由 xcos θ＝ a ， ∴cos θ＝x ，代入 y ＝ bcos θ，得 xy ＝ ab ，又由 y ＝ bcos θ知， y ∈[－ |b|，|b|]，∴曲线应为双曲线的一部分．【答案】Dx ＝ t 2， 3．圆锥曲线(t 为参数 )的焦点坐标是 ________．y ＝ 2t【分析】 将参数方程化为一般方程为 y 2＝ 4x ，表示张口向右，焦点在 x 轴正半轴上的抛物线，由 2p ＝4? p ＝2，则焦点坐标为 (1,0)．【答案】 (1,0)x ＝t ＋ 1，4．在直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C 1：(t 为参数 )与曲线 C 2：y ＝1－2tx ＝ asin θ，(θ为参数， a>0)有一个公共点在 x 轴上，则 a ＝________.y ＝ 3cos θx ＝t ＋1，【分析】 ∵消去参数 t 得 2x ＋y －3＝0.y ＝1－2t ，又 x ＝ asin θ，22消去参数 θ得x2＋ y＝1.y ＝ 3cos θ，a 933x 2 y 29方程 2x ＋y －3＝0 中，令 y ＝0 得 x ＝2，将2， 0 代入 a 2＋ 9＝1，得 4a 2＝ 1. 3又 a>0，∴a ＝2.【答案】325 25 ．已 知两曲 线参数 方程分 别为x ＝ 5cos θ，(0 ≤θ＜ π)和x ＝4t，y ＝sin θy ＝ t(t ∈R )，求它们的交点坐标．x ＝ 5cos θ，x 22【解】将y ＝sin θ(0≤θ＜π)化为一般方程得：5 ＋y ＝ 1(0≤y ≤1，x ≠－ 5)，5 2542将 x ＝4t ，y ＝t 代入得：16t ＋t － 1＝ 0，解得 t 2＝4，5∴t ＝ 2 5＝5 2 5 4＝1，5＝ ≥ ，t＝ ×(y t 0) x 4 52 5∴交点坐标为 1，5 .我还有这些不足：(1)(2)我的课下提高方案：(1)(2)学业分层测评 (七)(建议用时： 45 分钟 )[ 学业达标 ]一、选择题1．曲线 C：x＝ 3cos φ，(φ为参数 )的离心率为 () y＝ 5sin φ23 A.3 B.5 35C.2D. 32 2x y【分析】由题设，得9＋5＝ 1，∴a2＝ 9， b2＝5，c2＝4，c 2所以 e＝a＝3.【答案】A2．已知曲线x＝ 3cos θ(θ为参数， 0≤θ≤π)上一点 P，原点为 O，直线 PO y＝ 4sin θπ的倾斜角为4，则 P 点坐标是 ()A ．(3,4)B.32，22212 12 C ．(－3，－4)D. 5， 5y － 0 4π3 4【分析】因为 x － 0＝ 3tan θ＝tan 4＝1，所以 tan θ＝ 4，所以 cos θ＝5，sin θ3P 点坐标为12 12＝ 5，代入得5 ， 5.【答案】Dααx ＝ sin 2＋cos 2，)3．参数方程(α为参数 )的一般方程是 ( y ＝ 2＋ sin αA ．y 2－ x 2 ＝1B ．x 2－y 2＝ 1C ．y 2－x 2＝ 1(1 ≤y ≤ 3)D ．y 2－ x 2 ＝1(|x| ≤ 2)【分析】因为 x 2＝ 1＋ sin α，所以 sin α＝ x 2－1.又因为 y 2＝ 2＋sin α＝2＋(x 2－1)，所以 y 2－x 2＝ 1.∵－ 1≤sin α≤1，y ＝2＋sin α，∴1≤y ≤ 3，∴一般方程为 y 2－x 2＝ 1， y ∈ [1， 3]．【答案】 C4．点 P(1,0)到曲线x ＝t 2(参数 t ∈R )上的点的最短距离为 ()y ＝2tA ．0B ．1 C. 2 D ．2【分析】d 2＝(x －1)2 ＋y 2＝(t 2－1)2＋ 4t 2＝ (t 2＋1)2，由 t 2≥0 得 d 2≥1，故 d min ＝1.【答案】 Bx＝2t－2－ t5．方程t－t (t 为参数 )表示的曲线是 ()y＝2＋2【导学号： 91060023】A．双曲线B．双曲线的上支C．双曲线的下支D．圆【分析】将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，得：x2－y2＝ (2t－2－t)2－(2t＋ 2－t)2＝－ 4，即 y2－x2＝4.又注意到 2t＞ 0,2t＋2－t≥22t·2－t＝2，得 y≥2.可见与以上参数方程等价的一般方程为：y2－x2＝ 4(y≥2)．明显它表示焦点在y 轴上，以原点为中心的双曲线的上支．【答案】B二、填空题x＝2cos t6．已知椭圆的参数方程(t 为参数 )，点 M 在椭圆上，对应参数 t y＝4sin t π＝3，点 O 为原点，则直线OM 的斜率为 ________．【分析】由πx＝ 2cos3＝1，πy＝ 4sin3＝ 2 3，得点 M 的坐标为 (1,2 3)23直线 OM 的斜率 k＝1＝2 3.【答案】 2 37．设曲线 C 的参数方程为x＝ t，(t 为参数 )，若以直角坐标系的原点为极y＝ t2点， x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系，则曲线 C 的极坐标方程为 ________．【分析】x＝t，化为一般方程为 y＝x2，因为ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，所y＝t2以化为极坐标方程为2 2θ，即 ρcos 2θ－ sin θ＝0.ρsin θ＝ρcos【答案】 ρcos 2θ－sin θ＝08．在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 1 和 C 2 x ＝t ， (t的参数方程分别为y ＝ t为参数 )和 x ＝ 2cos θ，(θ为参数 )，则曲线 C 1 与 C 2 的交点坐标为 ________．y ＝ 2sin θx ＝t ，＝ 2cos θ，【分析】 由得 y ＝ x ，又由x 得 x 2 ＋y 2＝2.＝y ＝ t ，2sin θ，yy ＝ x ，x ＝1，由 22得x ＋y ＝ 2，y ＝1，即曲线 C 1 与 C 2 的交点坐标为 (1,1)．【答案】(1,1)三、解答题1 29．如图 2-2-2 所示，连结原点 O 和抛物线 y ＝ 2x 上的动点 M ，延伸 OM 到点 P ，使 |OM|＝|MP|，求 P 点的轨迹方程，并说明是什么曲线？图 2-2-2x ＝2t ，【解】抛物线标准方程为 x 2＝2y ，其参数方程为y ＝2t 2， 得 M(2t,2t 2)．设 P(x ， y)，则 M 是 OP 中点．x ＋02t ＝ 2 ，∴2y ＋02t ＝ 2 ，x ＝ 4t∴y ＝4t2 (t 为参数 )，1 2消去 t 得 y ＝4x ，是以 y 轴对称轴，焦点为 (0,1)的抛物线．10．已知直线 l 的极坐标方程是ρcos θ＋ρsin θ－1＝0.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，成立平面直角坐标系，椭圆 C 的参数方程x＝2cos θ是(θ为参数 )，求直线 l 和椭圆 C 订交所成弦的弦长．y＝sin θ【解】由题意知直线和椭圆方程可化为：x＋ y－ 1＝ 0，①x224＋y ＝ 1，②①②联立，消去 y 得： 5x2－8x＝0，8解得 x1＝0，x2＝5.设直线与椭圆交于 A、B 两点，则 A、 B 两点直角坐标分别为(0,1)，83 5，－5，2282 38则|AB|＝－5－1 ＋5 ＝5，8 2故所求的弦长为5 .[ 能力提高 ]x＝ 4secθ，1．P 为双曲线(θ为参数 )上随意一点， F1， F2为其两个焦点，y＝ 3tan θ则△F1PF2重心的轨迹方程是 ()A．9x2－16y2＝16(y≠0)B．9x2＋16y2＝ 16(y≠0)C．9x2－16y2＝ 1(y≠0)D．9x2＋16y2＝1(y≠0)【分析】由题意知 a＝4，b＝3，可得 c＝ 5，故 F1(－ 5,0)，F2(5,0)，设 P(4sec θ，3tan θ)，重心 M(x， y)，则＝－5＋5＋4sec θ4＋＋3tanθ3＝0 0＝ tan θ.x3sec θ，y＝3从而有 9x2－16y2＝ 16(y≠0)．【答案】Ax＝sin2θ，2．若曲线(θ为参数 )与直线 x＝ m 订交于不一样两点，则 m 的取y＝cos θ－1值范围是()A．R C．(0,1)B．(0，＋∞)D．[0,1)x＝sin2θ，【分析】将曲线y＝cos θ－1化为一般方程得 (y＋1)2＝－ (x－1)(0≤x≤1)．它是抛物线的一部分，如下图，由数形联合知 0≤m<1.【答案】Dx＝2cos θ3．对随意实数，直线y＝ x＋ b 与椭圆 (0 ≤θ≤ 2π)，恒有公共点，y＝4sin θ则 b 的取值范围是 ________．【分析】将(2cos θ，4sin θ)代入 y＝x＋b 得：4sin θ＝2cos θ＋b.∵恒有公共点，∴以上方程有解．令 f(θ)＝ 4sin θ－2cos θ＝25sin(θ＋φ) tan φ＝1，2∴－ 25≤f(θ)≤2 5，∴－ 25≤b≤2 5.【答案】[－2 5，2 5]4．在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的方程为 x－y＋4＝0，曲线 C 的参数方程x＝3cos α为(α为参数 )．y＝sin α(1)已知在极坐标系 (与直角坐标系 xOy 取同样的长度单位，且以原点 O 为极π点，以 x 轴正半轴为极轴 )中，点 P 的极坐标为4，2，判断点 P 与直线 l 的地点关系；(2)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．π【解】 (1)把极坐标系下的点 P 4，2化为直角坐标，得点 (0,4)．因为点 P 的直角坐标 (0,4)知足直线 l 的方程 x－ y＋ 4＝ 0，所以点 P 在直线 l 上．(2)因为点 Q 在曲线 C 上，故可设点 Q 的坐标为 ( 3cos α，sin α)，从而点 Q 到直线 l 的距离为| 3cos α－sin α＋ 4|d＝2π2cos α＋6＋ 4＝2ππ＝2cos α＋6＋22，由此得，当cos α＋6＝－1时， d 获得最小值，且最小值为 2.。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修4-4：坐标系与参数方程 2.1.2 曲线的参数方程》5
《曲线的参数方程》教学设计一、教学目标：知识与技能：初步认识曲线的参数方程，写出简单曲线的参数方程，会将曲线的参数方程转化为普通方程。
过程与方法：通过分析抛物运动和匀速圆周运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动和匀速圆周运动的轨迹参数方程，体会参数的意义。
情感、态度、价值观：通过概念的形成过程，培养我们探究、推理的思维能力。
二、教学重点、难点：重点：根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义。
难点：根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程。
三、教学方法：探究式、启发式四、课堂类型：新授课五、教学媒体使用：多媒体六、教学过程：出舱后的物资作什么运动？自主探究1．平抛运动：为参数）tgtytx(215001002⎪⎩⎪⎨⎧-==令=0,得t=10则=10001000A∴应在距处水平位移为米时投放物资2(,)(,),,ta t bM x yM x ytt≤≤如果对于的每一个值（），上式所确定的点都在一条曲线上；而这条曲线上的任一点，都可由的某个值通过上式得到则称上式为该曲线的参数方程其中变量称为参数教师指导，分析物资的运动轨迹，将平抛运动分解成水平的匀速直线运动和自由落体运动，学生作完图后教师提问：能否用t表示,教师边让学生列相应的函数式，边操作课件，引导学生得到t与、之间的函数关系式引导学生观察得到的参数方程，归纳总结出参数方程的特征教师引导归纳出曲线参数方程的定义，实现学生对参数方程概念的形成通过对问题的解决，使学生了解学习参数方程的必要性。
以平抛运动为例，通过问题来引导学生从形的角度认识参数方程的特征在引例的基础上，形成一般化的概念，培养学生数学抽象思维能力,xoyx yt定义：设在平面上取定了一个直角坐标系，把坐标表示为第三个变量的函数()()x f ta t by g t=⎧≤≤⎨=⎩2cos 60(0)2sin 60x t t y tππ∴⎧=⎪⎪≥⎨⎪=⎪⎩参数方程为体会参数θ的几何意义和参数t 的物理意义成果展示23y x =+例3：选取适当参数，把直线方程化为参数方程.()3214x tt y t =-⎧⎨=--⎩例4：将曲线的参数方程为参数化为普通方程,说明它表示什么曲线。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
_2.1曲线的参数方程[对应学生用书P22][读教材·填要点]定义：设在平面上取定了一个直角坐标系xOy ，把坐标x ，y 表示为第三个变量t 的函数⎩⎨⎧x ＝f (t )，y ＝y (t )，a ≤t ≤b ① 如果对于t 的每一个值(a ≤t ≤b )①式所确定的点M (x ，y )都在一条曲线上；而这条曲线上的任一点M (x ，y )，都可由t 的某个值通过①式得到，则称①式为该曲线的参数方程，其中变量t 称为参数．如果从参数方程中消去参数t ，就得到联系x 和y 的方程F (x ，y )＝0，则方程F (x ，y )＝0是这条曲线的直角坐标方程(即普通方程)．[小问题·大思维]1．参数方程中的参数t 是否一定有实际意义？提示：参数是联系变数x ，y 的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．2．曲线的参数方程一定是唯一的吗？提示：同一曲线选取参数不同，曲线参数方程形式也不一样．如⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4t ＋1，y ＝2t (t ∈R )和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2m ＋1，y ＝m(m ∈R) 都表示直线x ＝2y ＋1.[对应学生用书P22][例1] 指出下列参数方程表示什么曲线： (1)⎩⎨⎧x ＝1＋4cos t ，y ＝－2＋4sin t ；(t 为参数) (2)⎩⎨⎧ x ＝5cos t ，y ＝4sin t ；(t 为参数) (3)⎩⎨⎧x ＝2t－2－t ，y ＝2t＋2－t .(t 为参数) [思路点拨] 本题考查化参数方程为普通方程的方法．解答此题需要从一个方程中解出t ，代入另一个方程．[精解详析] (1)(x －1)2＋(y ＋2)2＝16cos 2t ＋16sin 2t ＝16， 即(x －1)2＋(y ＋2)2＝16，表示以(1，－2)为圆心，半径为4的圆． (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 42＝cos 2t ＋sin 2t ＝1， 即x 225＋y 216＝1，表示中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆． (3)x 2－y 2＝(2t －2－t )2－(2t ＋2－t )2＝－4， 即y 2－x 2＝4. 又2t >0，y ≥22t ·2－t ＝2，故y 2－x 2＝4(y ≥2)，它表示双曲线的上支．(1)将参数方程化为普通方程时，消去参数的常用方法有：①代入法．先由一个方程求出参数的表达式(用直角坐标变量表示)，再代入另一个方程．②利用代数或三角函数中的恒等式消去参数．例如，对于参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a (t ＋1t )cos θ，y ＝a (t －1t )sin θ，如果t 是常数，θ是参数，那么可以利用公式sin 2θ＋cos 2θ＝1消参；如果θ是常数，t 是参数，那么可以利用(t ＋1t )2－(t －1t )2＝4消参．(2)一般来说，如果消去曲线的参数方程中的参数，就可以得到曲线的普通方程，但要注意，这种消参的过程要求不减少也不增加曲线上的点，即要求参数方程和消去参数后的普通方程是等价的．1．已知曲线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝sin θ＋1，y ＝cos θ＋3，0≤θ≤2π.把它化成普通方程，并说明它表示什么曲线． 解：由x ＝sin θ＋1，y ＝cos θ＋3可得sin θ＝x －1， cos θ＝y －3.由sin 2θ＋cos 2θ＝1得(x －1)2＋(y －3)2＝1，∴曲线的普通方程为(x －1)2＋(y －3)2＝1，它表示以(1,3)为圆心.1为半径的圆．[例2] 经过原点作圆x 2－2ax ＋y 2＝0的弦，求这些弦的中点的轨迹参数方程．[思路点拨] 本题考查曲线参数方程的求法．解答本题需要先确定参数，然后分别用同一个参数表示x 和y .[精解详析] 如图，设OQ 是经过原点的任意一条弦，OQ 的中点是M (x ，y )，设弦OQ 和x 轴的夹角为θ，取θ作为参数．已知圆的圆心是O ′(a,0)，连接O ′M ，那么O ′M ⊥OQ ，过点M 作MM ′⊥OO ′，那么|OM |＝a cos θ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝|OM ′|＝|OM |cos θ＝a cos 2θ，y ＝|MM ′|＝|OM |sin θ＝a cos θsin θ，(θ为参数) 这就是所求轨迹的参数方程．(1)求曲线参数方程的主要步骤：第一步，建立直角坐标系，设(x ，y )是轨迹上任意一点的坐标，画出草图(画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之间的关系)．第二步，选择适当的参数．参数的选择要考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标x ，y 与参数的关系比较明显，容易列出方程；二是x ，y 的值可以由参数唯一确定．例如，在研究运动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常选旋转角为参数．此外，离某一定点的“有向距离”、直线的倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数．第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式．(2)求曲线的参数方程时，要根据题设条件或图形特性求出参数的取值范围并标注出来．2．如图所示，OA 是圆C 的直径，且OA ＝2a ，射线OB 与圆交于Q 点，和经过A 点的切线交于B 点，作PQ ⊥OA ，交OA 于D ，PB ∥OA .试求点P 的轨迹的参数方程．解：设P (x ，y )是轨迹上任意一点，取∠DOQ ＝θ.由PQ ⊥OA ，PB ∥OA ，得x ＝OD ＝OQ cos θ＝OA cos 2θ＝2a cos 2θ， y ＝AB ＝OA tan θ＝2a tan θ. 所以P 点轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a cos 2θ，y ＝2a tan θ.(－π2<θ<π2)[对应学生用书P23]一、选择题1．将参数方程⎩⎨⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝sin 2θ(0≤θ≤2π)化为普通方程为( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝x ＋2C ．y ＝x －2(2≤x ≤3)D ．y ＝x ＋2(0≤y ≤1)解析：选C 化为普通方程：y ＝x －2，但是x ∈[2,3]，y ∈[0,1]． 2．当参数θ变化时，由点P (2cos θ，3sin θ)所确定的曲线过点( ) A ．(2,3) B ．(1,5) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 D ．(2,0)解析：选D 当2cos θ＝2，即cos θ＝1时，3sin θ＝0.3．曲线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3t 2＋2，y ＝t 2－1，则曲线是( ) A ．线段 B ．双曲线的一支 C ．圆D ．射线解析：选D 消去参数得x －3y －5＝0，且x ≥2，故是射线．4．下列参数方程(t 为参数)与普通方程x 2－y ＝0表示同一曲线的方程是( )A.⎩⎨⎧x ＝|t |y ＝tB.⎩⎨⎧x ＝cos t y ＝cos 2tC.⎩⎨⎧x ＝tan t y ＝1＋cos 2t 1－cos 2tD.⎩⎨⎧x ＝tan t y ＝1－cos 2t 1＋cos 2t解析：选D A 显然错误，B 中x ∈[－1,1]与原题中x 的范围不同，C 可化为y －1x2＝0，故选D.二、填空题5．方程x 2＋y 2－4tx －2ty ＋3t 2－4＝0(t 为参数)所表示的圆的圆心轨迹的参数方程为________．解析：由x 2＋y 2－4tx －2ty ＋3t 2－4＝0得(x －2t )2＋(y －t )2＝4＋2t 2. 设圆心坐标为(x ，y )， 则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝t . 答案：⎩⎨⎧x ＝2t ，y ＝t6．已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝3t ，y ＝2t 2＋1(t 为参数)．则点M 1(0,1)，M 2(5,4)与曲线C 的位置关系__________________________(填点是否在曲线上)．解析：将M 1的坐标(0,1)代入方程组，解得t ＝0.因此M 1在曲线C 上．同理可知方程组⎩⎪⎨⎪⎧5＝3t ，4＝2t 2＋1无解，故M 2不在曲线C 上．答案：M 1在曲线C 上，M 2不在曲线C 上7．若点(x ，y )在曲线⎩⎨⎧x ＝3＋2cos θ，y ＝－4＋2sin θ(0≤θ≤2π)上，则x 2＋y 2的最小值是________．解析：法一：由题可知，x 2＋y 2＝(3＋2cos θ)2＋(－4＋2sin θ)2＝29＋12cos θ－16sin θ＝29＋20cos(θ＋φ)(tan φ＝43)，当cos(θ＋φ)＝－1时最小，因此可得最小值为9.法二：将原式转化为普通方程(x －3)2＋(y ＋4)2＝4，它表示圆．令t ＝x 2＋y 2，则t 可看成圆上的点到点(0,0)的距离的平方，圆外一点与圆上点的最近距离为该点与圆心的距离减去半径，t min ＝[(0－3)2＋(0＋4)2－2]2＝9，所以x 2＋y 2的最小值为9.答案：98．在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t (t 为参数)与曲线C 2：⎩⎨⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ(θ为参数，a ＞0)有一个公共点在x 轴上，则a ＝________. 解析：曲线C 1的普通方程为2x ＋y ＝3，曲线C 2的普通方程为x 2a 2＋y 29＝1.直线2x ＋y ＝3与x 轴的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，故曲线x 2a 2＋y 29＝1也经过这个点，代入解得a ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫舍去－32.答案：32三、解答题9．化下列参数方程为普通方程： (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t 1＋t ，y ＝2t1＋t(t ∈R 且t ≠－1)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan θ＋1tan θ，y ＝1cos θ＋1sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ≠k π，k π＋π2，k ∈Z . 解：(1)变形为⎩⎨⎧x ＝－1＋21＋t，y ＝2－21＋t，∴x ≠－1，y ≠2.∴x ＋y ＝1(x ≠－1)．(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1sin θcos θ， ①y ＝sin θ＋cos θsin θcos θ. ②②式平方，再结合①得y 2＝x 2＋2x .由x ＝tan θ＋1tan θ知|x |≥2.所以方程为(x ＋1)2－y 2＝1(|x |≥2)．10．物体从高处以初速度v 0(m/s)沿水平方向抛出，求以抛出点为原点，水平直线为x 轴，物体所经路线的参数方程．解：设物体抛出的时刻为0 s ，在时刻t s 时其坐标为M (x ，y )， 由于物体作平抛运动，依题意，得⎩⎨⎧x ＝v 0t ，y ＝－12gt 2.这就是物体所经路线的参数方程．11．舰A 在舰B 的正东，相距6 km ；舰C 在舰B 的北偏西30°，相距4 km.它们准备围捕海中某动物，某时刻舰A 发现动物信号，4 s 后舰B 、舰C 同时发现这种信号，舰A 于是发射麻醉炮弹．假设舰与动物都是静止的，动物信号的传播速度为1 km/s ，炮弹初速度为203g3km/s ，其中g 为重力加速度，空气阻力不计，求舰A 炮击的方位角与仰角．解：以BA 为x 轴，BA 中垂线为y 轴建立直角坐标系(如图)，则B (－3,0)，A (3,0)，C (－5,23)．设该动物位于P (x ，y )．因为|BP |＝|CP |，所以P 在线段BC 的中垂线上，易知中垂线方程是y ＝33(x ＋7)．又|PB |－|PA |＝4，所以P 在以A ，B 为焦点的双曲线右支上，双曲线方程是x 24－y 25＝1.从而得P (8,53)．设∠xAP ＝α，则tan α＝k AP ＝3，∴α＝60°.这样炮弹发射的方位角为北偏东30°.再以A 为原点，AP 为x ′轴建立坐标系x ′Ay ′(如图)．|PA |＝10，设弹道曲线方程是⎩⎨⎧x ′＝v 0t cos θ，y ′＝v 0t sin θ－12gt 2(其中θ为仰角)．将P (10,0)代入，消去t 便得sin 2θ＝32，θ＝30°或60°.这样舰A 发射炮弹的仰角为30°或60°.。