第32届全国中学生物理竞赛参考答案及评分标准
第32届全国中学生物理竞赛复赛试题
2015年9月19日一、（15分）在太阳内部存在两个主要的核聚变反应过程：碳循环和质子-质子循环；其中碳循环是贝蒂在1938年提出的，碳循环反应过程如图所示。
图中p、+e和eν分别表示质子、正电子和电子型中微子；粗箭头表示循环反应进行的先后次序。
当从循环图顶端开始，质子p与12C核发生反应生成13N核，反应按粗箭头所示的次序进行，直到完成一个循环后，重新开始下一个循环。
已知+e、p和He核的质量分别为MeV/c2、u和u（1u≈ MeV/c2），电子型中微子eν的质量可以忽略。
（1）写出图中X和Y代表的核素；（2）写出一个碳循环所有的核反应方程式；（3）计算完成一个碳循环过程释放的核能。
二、（15分）如图，在光滑水平桌面上有一长为L的轻杆，轻杆两端各固定一质量均为M的小球A和B。
开始时细杆静止；有一质量为m的小球C以垂直于杆的速度v运0动，与A球碰撞。
将小球和细杆视为一个系统。
（1）求碰后系统的动能（用已知条件和球C 碰后的速度表出）；（2）若碰后系统动能恰好达到极小值，求此时球C 的速度和系统的动能。
三、（20分）如图，一质量分布均匀、半径为r 的刚性薄圆环落到粗糙的水平地面前的瞬间，圆环质心速度v 0与竖直方向成θ（π3π22θ<<）角，并同时以角速度0ω（0ω的正方向如图中箭头所示）绕通过其质心O 、且垂直环面的轴转动。
已知圆环仅在其所在的竖直平面内运动，在弹起前刚好与地面无相对滑动，圆环与地面碰撞的恢复系数为k ，重力加速度大小为g 。
忽略空气阻力。
（1）求圆环与地面碰后圆环质心的速度和圆环转动的角速度； （2）求使圆环在与地面碰后能竖直弹起的条件和在此条件下圆环能上升的最大高度； （3）若让θ角可变，求圆环第二次落地点到首次落地点之间的水平距离s 随θ变化的函数关系式、s 的最大值以及s 取最大值时r 、0v 和0ω应满足的条件。
四、（25分）如图，飞机在距水平地面（xz 平面）等高的航线KA （沿x 正方向）上，以大小为v （v 远小于真空中的光速c ）的速度匀速飞行；机载雷达天线持续向航线正右侧地面上的被测固定目标P 点（其x 坐标为P x ）发射扇形无线电波束（扇形的角平分线与航线垂直），波束平面与水平地面交于线段BC （BC 随着飞机移动，且在测量时应覆盖被测目标P 点），取K 点在地面的正投影O 为坐标原点。
第27届、第32届全国中学生物理竞赛复赛试卷(含答案)
解答一、参考解答： 1．以i l 表示第i 个单摆的摆长，由条件（b ）可知每个摆的周期必须是40s 的整数分之一，即i i402T N == （N i 为正整数） （1） [(1)式以及下面的有关各式都是在采用题给单位条件下的数值关系.]由(1)可得，各单摆的摆长i 22i400πg l N = （2） 依题意，i 0.450m 1.000m l ≤≤，由此可得i N << （3） 即i 2029N ≤≤ （4） 因此，第i 个摆的摆长为i 22400π(19i)g l =+ (i 1,2,,10)= （5） 2．20s评分标准：本题15分．第1小问11分．（2）式4分，（4）式4分，10个摆长共3分．第2小问4分．二、参考解答：设该恒星中心到恒星－行星系统质心的距离为d ，根据题意有2L d θ∆= （1） 将有关数据代入（1）式，得AU 1053-⨯=d ．又根据质心的定义有Md r d m-= （2） 式中r 为行星绕恒星做圆周运动的轨道半径，即行星与恒星之间的距离.根据万有引力定律有222πMm G Md r T ⎛⎫= ⎪⎝⎭（3） 由（2）、（3）两式得()23224π1md G TM m =+ （4） [若考生用r 表示行星到恒星行星系统质心的距离，从而把(2)式写为Md r m =，把(3)式写为()222πMmG Md T r d ⎛⎫= ⎪⎝⎭+，则同样可得到(4)式，这也是正确的.] 利用（1）式，可得 ()()3222π21L m GT Mm θ∆=+ （5） （5）式就是行星质量m 所满足的方程．可以把(5)试改写成下面的形式()()()33222π21m M L GMT m M θ∆=+ （6）因地球绕太阳作圆周运动，根据万有引力定律可得3S 22(1AU)(1y)4πGM = （7）注意到S M M =，由（6）和（7）式并代入有关数据得()()310S 8.6101S m M mM -=⨯+ (8) 由（8）式可知 S1m M << 由近似计算可得3S 110m M -≈⨯ （9）由于m M 小于1/1000，可近似使用开普勒第三定律，即3322(1AU)(1y)r T =（10） 代入有关数据得5AU r ≈ （11）评分标准：本题20分．（1）式2分，（2）式3分，（3）式4分，（5）式3分，（9）式4分，（11）式4分．三、参考解答：解法一一倾角为θ的直角三角形薄片(如图1所示)紧贴于半径为R 的圆柱面，圆柱面的轴线与直角三角形薄片的沿竖直方向的直角边平行，若把此三角形薄片卷绕在柱面上，则三角形薄片的斜边就相当于题中的螺线环．根据题意有π1tan 2π2R R θ== （1） 可得：sin 5θ=，cos 5θ= （2） 设在所考察的时刻，螺旋环绕其转轴的角速度为ω，则环上每一质量为i m ∆的小质元绕转轴转动线速度的大小都相同，用u 表示，u R ω= （3） 该小质元对转轴的角动量2i i i L m uR m R ω∆=∆=∆整个螺旋环对转轴的角动量22i i L L m R mR ωω=∆=∆=∑∑ （4）小球沿螺旋环的运动可视为在水平面内的圆周运动和沿竖直方向的直线运动的合成．在螺旋环的角速度为ω时，设小球相对螺旋环的速度为'v ，则小球在水平面内作圆周运动的速度为cos Rθω'=-v v（5）沿竖直方向的速度sin ⊥'=v v θ （6）对由小球和螺旋环组成的系绕，外力对转轴的力矩为0，系统对转轴的角动量守恒，故有0m R L=-v（7）由（4）、（5）、（7）三式得：'v cos θ-ωωR =R （8）在小球沿螺旋环运动的过程中，系统的机械能守恒，有()222i 1122mgh m m u ⊥=++∆∑v v（9） 由（3）、（5）、（6）、（9）四式得：()2222sin gh =R R θ-ωθω2''++v v 2cos（10）解（8）、（10）二式，并利用（2）式得ω=（11）'v =（12） 由（6）、（12）以及（2）式得⊥=v（13） 或有2123gh ⊥=v（14）（14）式表明，小球在竖直方向的运动是匀加速直线运动，其加速度13⊥=a g（15） 若小球自静止开始运动到所考察时刻经历时间为t ，则有212⊥h =a t （16） 由（11）和（16）式得3=ωgt R（17） （17）式表明，螺旋环的运动是匀加速转动，其角加速度3=βgR（18）小球对螺旋环的作用力有：小球对螺旋环的正压力1N ，在图1所示的薄片平面内，方向垂直于薄片的斜边；螺旋环迫使小球在水平面内作圆周运动的向心力2N '的反作用力2N ．向心力2N '在水平面内，方向指向转轴C ，如图2所示．1N 、2N 两力中只有1N 对螺旋环的转轴有力矩，由角动量定理有1sin ∆=∆N R t L θ （19）由（4）、（18）式并注意到∆=∆ωβt得13sin mg N θ==（20） 而222N N m R '==v（21）图2由以上有关各式得22 3 =hN mgR（22）小球对螺旋环的作用力13N==（23）评分标准：本题22分．（1）、（2）式共3分，（7）式1分，（9）式1分，求得（11）式给6分，（20）式5分，（22）式4分，（23）式2分．解法二一倾角为θ的直角三角形薄片(如图1所示)紧贴于半径为R的圆柱面，圆柱面的轴线与直角三角形薄片的沿竖直方向的直角边平行，若把此三角形薄片卷绕在柱面上，则三角形薄片的斜边就相当于题中的螺线环．根据题意有：π1tan2π2RRθ==（1）可得：sinθ=cosθ=（2）螺旋环绕其对称轴无摩擦地转动时，环上每点线速度的大小等于直角三角形薄片在光滑水平地面上向左移动的速度．小球沿螺旋环的运动可视为在竖直方向的直线运动和在水平面内的圆周运动的合成．在考察圆周运动的速率时可以把圆周运动看做沿水平方向的直线运动，结果小球的运动等价于小球沿直角三角形斜边的运动．小球自静止开始沿螺旋环运动到在竖直方向离初始位置的距离为h的位置时，设小球相对薄片斜边的速度为'v，沿薄片斜边的加速度为'a．薄片相对地面向左移动的速度为u，向左移动的加速度为a．u就是螺旋环上每一质元绕转轴转动的线速度，若此时螺旋环转动的角速度为ω，则有u Rω=（3）而a就是螺旋环上每一质元绕转轴转动的切向加速度，若此时螺旋环转动的角加速度为β，则有=a Rβ（4）小球位于斜面上的受力情况如图2所示：图1a 图2重力mg ，方向竖直向下，斜面的支持力N ，方向与斜面垂直，以薄片为参考系时的惯性力f *，方向水平向右，其大小0*=f ma （5）由牛顿定律有cos sin mg θN f θ*--=0 （6） sin cos *'+=mg f ma θθ （7） 0sin =N ma θ （8）解（5）、（6）、（7）、（8）四式得2sin sin '1+2a =g θθ （9） 2cos =1sin +N mg θθ （10）02sin cos 1+sin =a g θθθ （11）利用（2）式可得'a =g（12） 3N =mg （13） 013=a g （14） 由（4）式和（14）式，可得螺旋环的角加速度1=3βg R（15） 若小球自静止开始运动到所考察时刻经历时间为t ，则此时螺旋环的角速度=ωβt （16）因小球沿螺旋环的运动可视为在水平面内的圆周运动和沿竖直方向的直线运动的合成，而小球沿竖直方向的加速度sin ⊥⊥''==a a a θ（17） 故有212⊥h =a t （18） 由（15）、（16）、（17）、（18）、以及（2）式得=ω （19）小球在水平面内作圆周运动的向心力由螺旋环提供，向心力位于水平面内，方向指向转轴，故向心力与图2中的纸面垂直，亦即与N 垂直．向心力的大小21N mR=v （20）式中v 是小球相对地面的速度在水平面内的分量.若a 为小球相对地面的加速度在水平面内的分量，则有a t =v （21）令a '为a '在水平面内的分量，有00cos a a a a a θ''=-=- （22）由以上有关各式得123=hN mg R（23） 小球作用于螺旋环的力的大小0N =（24）由（13）、（23）和（24）式得0N = （25）评分标准：本题22分．（1）、（2）式共3分，（9）或（12）式1分，（10）或（13）式5分，（11）或（14）式1分，（19）式6分，（23）式4分，（25）式2分．四、参考解答：而R ω=v （2）由（1）、（2）两式得m B q ω=（3）如图建立坐标系，则粒子在时刻t 的位置()cos x t R t ω=，()sin y t R t ω= （4）取电流的正方向与y 轴的正向一致，设时刻t 长直导线上的电流为()i t ，它产生的磁场在粒子所在处磁感应强度大小为()()i t B kd x t =+ （5） 方向垂直圆周所在的平面.由（4）、（5）式，可得()(cos )m i t k d R t q ωω=+（6）评分标准：本题12分．（3）式4分，（4）式2分，（5）式4分，（6）式2分．五、参考解答：1．质点在A B →应作减速运动（参看图1）．设质点在A 点的最小初动能为k0E ，则根据能量守恒，可得质点刚好能到达B 点的条件为 k03/225/2kqQ kqQ kqQ kqQmgR E R R R R -+=+-（1） 由此可得:k0730kqQE mgR R=+（2） 2． 质点在B O →的运动有三种可能情况：i ．质点在B O →作加速运动（参看图1），对应条件为249kqQmg R≤ （3） 此时只要质点能过B 点，也必然能到达O 点，因此质点能到达O 点所需的最小初动能由（2）式给出，即k0730kqQE mgR R =+（4） 若（3）式中取等号，则最小初动能应比（4）式给出的k0E 略大一点．ii ．质点在B O →作减速运动（参看图1），对应条件为 24kqQmg R ≥ （5） 此时质点刚好能到达O 点的条件为图1k0(2)/225/2kqQ kqQ kqQ kqQmg R E R R R R -+=+-（6） 由此可得k011210kqQE mgR R=-（7） iii ．质点在B O →之间存在一平衡点D （参看图2），在B D →质点作减速运动，在D O →质点作加速运动，对应条件为22449kqQ kqQmg R R <<（8） 设D 到O 点的距离为x ，则()2(/2)kqQ mg R x =+ （9）即2R x =（10）根据能量守恒，质点刚好能到达D 点的条件为()k0(2)/225/2kqQ kqQ kqQ kqQ mg R x E R R xR R -+-=+-+ （11）由（10）、（11）两式可得质点能到达D 点的最小初动能为k059210kqQ E mgR R=+- （12）只要质点能过D 点也必然能到达O 点，所以，质点能到达O 点的最小初动能也就是（12）式（严格讲应比（12）式给出的k0E 略大一点．）评分标准：本题20分．第1小问5分．求得（2）式给5分．第2小问15分．算出第i 种情况下的初动能给2分；算出第ii 种情况下的初动能给5分；算出第iii 种情况下的初动能给8分，其中（10）式占3分．六、参考解答：1n =时，A 、B 间等效电路如图1所示， A 、B 间的电阻rLAB图 1图211(2)2R rL rL == （1）2n =时，A 、B 间等效电路如图2所示，A 、B 间的电阻21141233R rL R ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2） 由（1）、（2）两式得256R rL = (3)3n =时，A 、B 间等效电路如图3所示，A 、B 间的电阻3211331233229443R rL R ⎡⎤⎛⎫=++++++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（4） 由（3）、（4）式得379R rL =（5）评分标准：本题20分．（1）式4分，（3）式6分，（5）式10分．七、参考解答：１．根据题意，太阳辐射的总功率24S S S 4πP R T σ=．太阳辐射各向同性地向外传播．设地球半径为E r ，可以认为地球所在处的太阳辐射是均匀的，故地球接收太阳辐射的总功率AB图321rL1211rL 1rL 9rL9rL11R 2rL 2rL23rL113R23rL图2为242S I S E πR P T r d σ⎛⎫= ⎪⎝⎭（1）地球表面反射太阳辐射的总功率为I P α．设地球表面的温度为E T ，则地球的热辐射总功率为24E E E 4πP r T σ= （2）考虑到温室气体向地球表面释放的热辐射，则输入地球表面的总功率为I E P P β+．当达到热平衡时，输入的能量与输出的能量相等，有I E I E P P P P βα+=+ （3）由以上各式得1/41/2S E S 121R T T d αβ⎫-⎛⎫=⎪⎪-⎝⎭⎝⎭（4）代入数值，有E 287K T = （5）2．当地球表面一部分被冰雪覆盖后，以α'表示地球表面对太阳辐射的平均反射率，根据题意这时地球表面的平均温度为E 273K T =．利用（4）式，可求得0.43α'= （6）设冰雪覆盖的地表面积与总面积之比为x ，则12(1)x x ααα'=+- （7）由（6）、（7）两式并代入数据得%30=x （8）评分标准：本题15分．第1小问11分．（1）式3分，（2）式1分，（3）式4分，（4）式2分，（5）式1分．第2小问4分．（6）式2分，（8）式2分．八、参考解答：方案一：采光装置由平面镜M 和两个凸透镜L 1、L 2组成．透镜组置于平面镜M 后面，装置中各元件的相对方位及光路图如图1所示．L 1、L 2的直径分别用D 1、D 2表示，其焦距的大小分别为f 1 、f 2．两透镜的距离12d f f =+ （1）直径与焦距应满足关系1212f fD D = （2） 设射入透镜L 1的光强为10I '，透过透镜L 1的光强为1I '，考虑到透镜L 1对光的吸收有 1100.70I I ''=（3） 从透镜L 1透出的光通量等于进入L 2的光通量，对应的光强与透镜的直径平方成反比，进入L 2的光强用20I 表示，即2220112122I D f I f D ⎛⎫== ⎪'⎝⎭故有212012f I I f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭（4）透过L 2的光强2200.70I I '=，考虑到（3）式，得 2121020.49f I I f ⎛⎫''= ⎪⎝⎭（5） 由于进入透镜L 1的光强10I '是平面镜M 的反射光的光强，反射光是入射光的80%，设射入装置的太阳光光强为0I ，则1000.80I I '= L 22.5图1代入（5）式有212020.39f I I f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭（6）按题设要求202I I '= 代入（6）式得2100220.39f I I f ⎛⎫= ⎪⎝⎭从而可求得两透镜的焦距比为122.26f f = （7） L 2的直径应等于圆形窗户的直径W ，即210cm D =，由（2）式得112222.6cm f D D f == （8） 由图可知，平面镜M 参与有效反光的部分为一椭圆，其半短轴长度为1/211.3cm b D == （9）半长轴长度为1(2sin 22.5)29.5cm a D == （10）根据装置图的结构，可知透镜组的光轴离地应与平面镜M 的中心等高，高度为H ． 评分标准：本题20分．作图8分（含元件及其相对方位，光路），求得（7）、（8）两式共10分，（9）、（10）式共2分．方案二：采光装置由平面镜M 和两个凸透镜L 1、L 2组成，透镜组置于平面镜M 前面，装置中各元件的相对方位及光路图如图2所示．对透镜的参数要求与方案一相同．但反射镜M 的半短轴、半长轴的长度分别为2/2 5.0cm b D == 和2(2sin 22.5)13.1cm a D ==评分标准：参照方案一．方案三、采光装置由平面镜M 和一个凸透镜L 1、一个凹透镜L 2组成，透镜组置于平面镜M 后面（也可在M 前面），装置中各元件的相对方位及光路图如图3所示．有关参数与方案一相同，但两透镜的距离12d f f =-如果平面镜放在透镜组之前，平面镜的尺寸和方案一相同；如果平面镜放在透镜组之后，平面镜的尺寸和方案二相同． 评分标准：参照方案一．九、参考解答：1．假设碰撞后球1和球2的速度方向之间的夹角为α（见图），1L 22.5图 322.5图2W则由能量守恒和动量守恒可得22220000102m c m c m c m c γγγ+=+ （1）()()()()()2220000110220110222cos m m m m m γγγγγα=++v v v v v（2）其中0γ=，1γ=，2γ=．由（1）、（2）式得2101γγγ+=+ （3）2222012121212(/)cos c γγγγγα+=++v v （4）由（3）、（4）式得222220121212121212111cos 02()()()c c γγγγγαγγγγ+-+--==>v v v v （5）π2α<（6） 即为锐角．在非相对论情况下，根据能量守恒和动量守恒可得2202100212121v v v m m m +=20 （7） ()()()()()22200010201022cos m m m m m α=++v v v v v（8）对斜碰，1v 的方向与2v 的方向不同，要同时满足（1）和（2）式，则两者方向的夹角π2α=（9） 即为直角．2．根据能量守恒和动量守恒可得22220m c +=+（10）1=+（11）令0γ=，1γ=，2γ=则有：0=v1=v2=v 代入（10）、（11）式得2101γγγ+=+ （12）111222120-+-=-γγγ（13）解（12）、（13）两式得11=γ 02γγ= （14）或01γγ= 21γ= （15）即10=v ， 20=v v （16）（或10=v v ，20=v ，不合题意）评分标准：本题16分．第1小问10分．（1）、（2）式各2分，（6）式4分，（9）式2分． 第2小问6分．（10）、（11）式各1分，（16）式4分．第32届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题及答案2015年9月19日说明：所有解答必须写在答题纸上，写在试题纸上无效。
全国中学生第30届——32届物理决赛实验试题和答案Doc1
第30届全国物理竞赛决赛实验试题实验题目二“研究小灯泡的发光问题”题解与评分标准【问题1】确定灯泡灯丝温度与电阻的关系（18分）1.1设计出确定环境温度下灯泡灯丝电阻R0的路线图（3分）（若申请了提示卡1，扣除6分）测量原理电路图如图1所示。
线路图评分标准：（1）.电路原理正确2分（2）.元件符号使用正确0.5分，连线无断点0.5分。
1.2简述测量原理及步骤（6分）测量原理（4.5分）：通过测量在环境温度（室温）下灯泡的灯丝电阻，由公式T=aR0.83计算得出a，即可确定灯泡的灯丝温度与其电阻的关系。
小灯泡由于其通电之后的热效应，其环境温度下的电阻不能直接测量。
（在原理部分，可能出现以下三种答案）答案1:利用小功率下的灯丝电阻与电功率关系外推到零功率的情况下获得，此部分测量线路如图1所示。
图中R1为电位器，R2为标准电阻，L是小灯泡。
记录灯丝电压及标阻电压，从而获得灯丝电阻与其电功率的关系，画出他们的关系曲线，外推到功率为零即可获得环境温度下的电阻。
为测出环境温度下的灯丝电阻，可不必进行大功率围的测量，只测量小功率下的即可。
答案2.利用低电流下的灯丝电阻与电流关系外推到零电流的情况下获得，此部分测量线路如图1所示。
图中R1为电位器，R2为标准电阻，L是小灯泡。
记录灯丝电压及标阻电压，从而获得灯丝电阻与其电流的关系，画出他们的关系曲线，外推到电流为零即可获得环境温度下的电阻。
为测出环境温度下的灯丝电阻，可不必进行大电流围的测量，只测量小电流下的即可。
答案3.利用低电压下的灯丝电阻与电压关系外推到零电压的情况下获得，此部分测量线路如图1所示。
图中R1为标准电阻，L是小灯泡。
记录灯丝电压及标阻电压，从而获得灯丝电阻与其电压的关系，画出他们的关系曲线，外推到电压为零即可获得环境温度下的电阻。
为测出环境温度下的灯丝电阻，可不必进行大电压围的测量，只测量低电压下的即可。
原理部分评分标准：（1）明确需要测量室温下的电阻，利用测量到的室温度和电阻来确定a，1分（2）①由于小灯泡的热效应直接与其电功率相对应，因此用功率为零来获得室温下的电阻较为合理，得3分。
第32届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题与答案
第32届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题2015年9月19日说明：所有解答必须写在答题纸上，写在试题纸上无效。
一、（15分）在太阳内部存在两个主要的核聚变反应过程：碳循环和质子-质子循环；其中碳循环是贝蒂在1938年提出的，碳循环反应过程如图所示。
图中p 、+e 和e ν分别表示质子、正电子和电子型中微子；粗箭头表示循环反应进行的先后次序。
当从循环图顶端开始，质子p 与12C 核发生反应生成13N 核，反应按粗箭头所示的次序进行，直到完成一个循环后，重新开始下一个循环。
已知+e 、p 和He 核的质量分别为0.511 MeV/c 2、1.0078 u 和 4.0026 u （1u≈931.494 MeV/c 2），电子型中微子e ν的质量可以忽略。
（1）写出图中X 和Y 代表的核素；（2）写出一个碳循环所有的核反应方程式； （3）计算完成一个碳循环过程释放的核能。
二、（15分）如图，在光滑水平桌面上有一长为L 的轻杆，轻杆两端各固定一质量均为M 的小球A 和B 。
开始时细杆静止；有一质量为m 的小球C 以垂直于杆的速度0v 运动，与A 球碰撞。
将小球和细杆视为一个系统。
（1）求碰后系统的动能（用已知条件和球C 碰后的速度表出）； （2）若碰后系统动能恰好达到极小值，求此时球C 的速度和系统的动能。
三、（20分）如图，一质量分布均匀、半径为r 的刚性薄圆环落到粗糙的水平地面前的瞬间，圆环质心速度v 0与竖直方向成θ（π3π22θ<<）角，并同时以角速度0ω（0ω的正方向如图中箭头所示）绕通过其质心O 、且垂直环面的轴转动。
已知圆环仅在其所在的竖直平面内运动，在弹起前刚好与地面无相对滑动，圆环与地面碰撞的恢复系数为k ，重力加速度大小为g 。
忽略空气阻力。
（1）求圆环与地面碰后圆环质心的速度和圆环转动的角速度； （2）求使圆环在与地面碰后能竖直弹起的条件和在此条件下圆环能上升的最大高度；（3）若让θ角可变，求圆环第二次落地点到首次落地点之间的水平距离s 随θ变化的函数关系式、s 的最大值以及s 取最大值时r 、0v 和0ω应满足的条件。
32届中学生物理竞赛复赛试题(含答案)_
32届中学生物理竞赛复赛试题(含答案)_32届中学生物理竞赛复赛试题(含答案)32届中学生物理竞赛复赛试题(含答案)第32届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题讲明：所有解答必须写在答题纸上，写在试题纸上无效。
一、〔15分〕在太阳内部存在两个主要的核聚变反响经过：碳循环和质子-质子循环；其中碳循环是贝蒂在1938年提出的，碳循环反响经过如下图。
图中p、+e和eν分别表示质子、正电子和电子型中微子；粗箭头表示循环反响进行的先后次序。
当从循环图顶端开场，质子p与12C核发生反响生成13N 核，反响按粗箭头所示的次序进行，直到完成一个循环后，重新开场下一个循环。
已知+e、p和He核的质量分别为0.511MeV/c2、1.0078u和4.0026u 〔1u≈931.494MeV/c2〕，电子型中微子eν的质量能够忽略。
〔1〕写出图中X和Y代表的核素；〔2〕写出一个碳循环所有的核反响方程式；〔3〕计算完成一个碳循环经过释放的核能。
二、〔15分〕如图，在光滑水平桌面上有一长为L的轻杆，轻杆两端各固定一质量均为M的小球A和B。
开场时细杆静止；有一质量为m的小球C以垂直于杆的速度0v运动，与A球碰撞。
将小球和细杆视为一个系统。
〔1〕求碰后系统的动能〔用已知条件和球C碰后的速度表出〕；〔2〕若碰后系统动能恰好到达极小值，求此时球C的速度和系统的动能。
三、〔20分〕如图，一质量分布均匀、半径为r的刚性薄圆环落到粗糙的水平地面前的霎时，圆环质心速度v0与竖直方向成θ〔π3π22θ32届中学生物理竞赛复赛试题(含答案)32届中学生物理竞赛复赛试题(含答案)VpcdV13V1p3pc'2p5V1〔3〕已知0sRL>>，求从C先到达P点、直至B到达P 点经过中最大频移与最小频移之差〔带宽〕，并将其表示成扇形波束的张角θ的函数。
已知：当1y≥。
光在薄膜层1里来回反射，沿锯齿形向波导延伸方向传播。
图中，ijθ是光波在介质j外表上的入射角，tjθ是光波在介质j外表上的折射角。
第32届全国中学生物理竞赛预赛试卷及解析
第32届全国中学生物理竞赛预赛试卷本卷共l6题，满分200分。
一、选择题．本题共5小题，每小题6分．在每小题给出的4个选项中，有的小题只有一项符合题意，有的小题有多项符合题意。
把符合题意的选项前面的英文字母写在每小题后面的方括号内．全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分．1. 2014年3月8日凌晨2点40分，马来西亚航空公司一架波音777-200飞机与管制中心失去联系．2014年3月24日晚，初步确定失事地点位于南纬31o52′、东经115 o 52′的澳大利亚西南城市珀斯附近的海域．有一A .B .C .D . 2. 23892U A . 8次αC . 4次α3．如图，)，下A . 在左球B ．在左球C . 在左球D . 4．如图，0.05 m ．取A .BCD . 5将面积为S ，电阻为"的矩形导线框abcd 沿图示方位水平放置于地面上某处，将其从图示位置绕东西轴转180o ，测得通过线框的电荷量为Q 1；将其从图示位置绕东西轴转90 o ，测得通过线框的电荷量为Q 2。
该处地磁场的磁感应强度大小应为A . 22214Q Q S R + B . 2221Q Q S R + C . 2221212Q Q Q Q S R ++ D . 222121Q Q Q Q S R ++ 二、填空题．把答案填在题中的横线上．只要给出结果，不需写出求得结果的过程．6．(10分)水平力F 方向确定，大小随时间的变化如图a 所示；用力F 拉静止在水平桌面上的小物块，在F 从0开始逐渐增大的过程中，物块的加速度a随时间变化的图象如图b所示．重力加速度大小为10m/s2。
由图示可知，物块与水平桌面间的最大静摩擦力为；物块与水平桌面间的动摩擦因数为；在0~4s时间内，合外力做的功为。
7．(10分)如图，物块A、C置于光滑水平桌面上，通过轻质滑轮和细绳悬挂物块B，物块A、B的质量均为2kg，物块C的质量为1 kg，重力加速度大小为10m/s2。
第32届全国中学生物理竞赛预赛试卷及复习资料(标准word版)
第32届全国中学生物理竞赛预赛试卷1~567 8总分910111213141516一、选择题•本题共 5小题，每小题6分•在每小题给出的 4个选项中，有的小 题只有一项符合题意，有的小题有多项符合题意。
把符合题意的选项前面的英文 字母写在每小题后面的方括号内.全部选对的得 6分，选对但不全的得 3分，有1.2014年3月8日凌晨2点40分，马来西亚航空公司一架波音 777-200飞机与管制中心失去联系.2014年3月24日晚，初步确定失事地点位于南纬 31o52'、东经115 o 52'的澳大利亚西南城市珀斯附近的海域•有一颗绕地球做匀速圆周运动的卫星，每天上午同一时刻在该区域正上方对海面拍照，则A. 该卫星一定是地球同步卫星B.该卫星轨道平面与南纬 31 o 52'所确定的平面共面C •该卫星运行周期一定是地球自转周期的整数倍D •地球自转周期一定是该卫星运行周期的整数倍 2.23892U （铀核）衰变为22288Rn （氡核）要经过 A. 8次a 衰变，16次B 衰变 B.3次a 衰变，4次B 衰变 C. 4次a 衰变，16次B 衰变 D. 4次a 衰变，4次B 衰变3. 如图，一半径为 R 的固定的光滑绝缘圆环，位于竖直平面内；环上有两个相 同的带电小球 a 和b （可视为质点），只能在环上移动，静止时两小球之间的距 离为R 。
现用外力缓慢推左球 a 使其到达圆环最低点 c ,然后撤除外力.下列 说法正确的是 A. 在左球a 到达c 点的过程中，圆环对 b 球的支持力变大 B. 在左球a 到达c 点的过程中，外力做正功，电势能增加。
C. 在左球a 到达c 点的过程中，a 、b 两球的重力势能之和不变 D. 撤除外力后，a 、b 两球在轨道上运动过程中系统的能量守恒得分阅卷复核选错或不答的得0分.4. 如图，O点是小球平抛运动抛出点；在O 点有一个频闪点光源，闪光频率为30Hz ;在抛出点的正前方，竖直放置一块毛玻璃，小球初速度与毛玻璃平面垂直.在小球抛出时点光源开始闪光.当点光源闪光时，在毛玻璃上有小球的一个投影点.已知图中O点与毛玻璃水平距离L=1 . 20 m，测得第一、二个投影点之间的距离为0.05 m .取重力加速度g=10m/s2.下列说法正确的A.小球平抛运动的初速度为4m/sB .小球平抛运动过程中，在相等时间内的动量变化不相等C .小球投影点的速度在相等时间内的变化量越来越大D.小球第二、三个投影点之间的距离0. 15m5.某同学用电荷量计（能测出一段时间内通过导体横截面的电荷量）测量地磁场强度，完成了如下实验：如图，将面积为S,电阻为”的矩形导线框abed沿图示方位水平放置于地面上某处，将其从图示位置绕东西轴转180。
第32届全国中学生物理竞赛预赛-试卷答案及评分标准
2015年第32届全国中学生物理竞赛预赛试卷本卷共16题，满分200分．一、选择题．本题共5小题，每小题6分．在每小题给出的4个选项中，有的小题只有一项符合题意，有的小题有多项符合题意．把符合题意的选项前面的英文字母写在每小题后面的方括号内．全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分．1．2014年3月8日凌晨2点40分，马来西亚航空公司一架波音777－200飞机与管制中心失去联系．2014年3月24日晚，初步确定失事地点位于南纬31°52′、东京115°52′的澳大利亚西南城市珀斯附近的海域．有一颗绕地球做匀速圆周运动的卫星，每天上午同一时刻在该区域正上方对海面拍照，则［ ］A ．该卫星一定是地球同步卫星B ．该卫星轨道平面与南纬31°52′所确定的平面共面C ．该卫星运行周期一定是地球自转周期的整数倍D ．地球自转周期一定是该卫星运行周期的整数倍2．U 23892（铀核）衰变为Rn 22288（氡核）要经过［ ］A ．8次α衰变，16次β衰变B ．3次α衰变，4次β衰变C ．4次α衰变，16次β衰变D ．4次α衰变，4次β衰变3．如图，一半径为R 的固定的光滑绝缘圆环，位于竖直平面内；环上有两个相同的带电小球a 和b （可视为质点），只能在环上移动，静止时两小球之间的距离为R ．现用外力缓慢推左球a 使其到达圆环最低点c ，然后撤除外力．下列说法正确的是［ ］A ．在左球a 到达c 点的过程中，圆环对b 球的支持力变大B ．在左球a 到达c 点的过程中，外力做正功，电势能增加C ．在左球a 到达c 点的过程中，a 、b 两球的重力势能之和不变D ．撤除外力后，a 、b 两球在轨道上运动过程中系统的能量守恒4．如图，O 点是小球平抛运动抛出点；在O 点有一个频闪点光源，闪光频率为30 Hz ；在抛出点的正前方，竖直放置一块毛玻璃，小球初速度与毛玻璃平面垂直．在小球抛出时点光源开始闪光．当点光源闪光时，在毛玻璃上有小球的一个投影点．已知图中O 点与毛玻璃水平距离L ＝1.20 m ，测得第一、二个投影点之间的距离为0.05 m ．取重力加速度g ＝10 m ／s 2．下列说法正确的是［ ］A ．小球平抛运动的初速度为4 m ／sB ．小球平抛运动过程中，在相等时间内的动量变化不相等C ．小球投影点的速度在相等时间内的变化量越来越大D ．小球第二、三个投影点之间的距离0.15 m5．某同学用电荷量计（能测出一段时间内通过导体横截面的电荷量）测量地磁场强度，完成了如下实验：如图，将面积为S 、电阻为R 的矩形导线框abcd 沿图示方位水平放置于地面上某处，将其从图示位置绕东西轴转180°，测得通过线框的电荷量为Q 1；将其从图示位置绕东西轴转90°，测得通过线框的电荷量为Q 2．该处地磁场的磁感应强度大小为［ ］A ．22214Q Q SR+ B ．2221Q Q S R + C ．2221212Q Q Q Q S R++ D ．222121Q Q Q Q S R ++二、填空题．把答案填在题中的横线上．只要给出结果，不需写出求得结果的过程．6．（10分）水平力F 方向确定，大小随时间的变化如图a 所示；用力F 拉静止在水平桌面上的小物块，在F 从0开始逐渐增大的过程中，物块的加速度a 随时间变化的图像如图b 所示．重力加速度大小为10 m ／s 2．由图示可知，物块与水平桌面间的最大静摩擦力为__________；物块与水平桌面间的动摩擦因数为__________；在0～4s 时间内，合外力对物块所做的功为__________．7．（10分）如图，物块A 、C 置于光滑水平桌面上，通过轻质滑轮和细绳悬挂物块B ，物块A 、B 的质量均为2 kg ，物块C 的质量为1 kg ，重力加速度大小为10 m ／s 2．（1）若固定物块C ，释放物块A 、B ，则物块A 、B 的加速度之比为_______；细绳的张力为_______．（2）若三个物块同时由静止释放，则物块A 、B 和C 加速度之比为_______．8．（10分）2011年8月中国发射的宇宙飞船“嫦娥二号”在完成探月任务后，首次从绕月轨道飞向日地延长线上的拉格朗日点，在该点，“嫦娥二号”和地球一起同步绕太阳做圆周运动．已知太阳和地球的质量分别为M s 和M E ，日地距离为R ．该拉格朗日点离地球的距离x 满足的方程为____________________，由此解得x ≈____________________．（已知当λ＜＜ 1时，（1+λ）n ≈1 + n λ．）9．（10分）在“利用电流传感器（相当于理想电流表）测定干电池电动势和内阻”的实验中，某同学利用两个电流传感表中I 1和I 2分别是通过电流传感器1和2的电流．该电流的值通过数据采集器输入到计算机，数据采集器和计算机对原电路的影响可忽略．（1）在图b 中绘出I 1～I 2图线；（2）由I 1～I 2图线得出，被测电池的电动势为_____V ，内阻为_____Ω．10．（10分）某金属材料发生光电效应的最大波长为λ0，将此材料制成一半径为R 的圆球，并用绝缘线悬挂于真空室内．若以波长为λ（λ＜λ0）的单色光持续照射此金属球，该金属球发生光电效应所产生光电子的最大初动能为_____________，此金属球可带的电荷量最多为_____________．（设无穷远处电势为零，真空中半径为r 带电量为q 的导体球的电势为rq k U ．）三、计算题．计算题的解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写出最后结果的不能得分．有数值计算的，答案中必须明确写出数值和单位．11．（20分）某机场候机楼外景如图a 所示．该候机楼结构简化图如图b 所示：候机楼侧壁是倾斜的，用钢索将两边斜壁系住，在钢索上有许多竖直短钢棒将屋面支撑在钢索上．假设每边斜壁的质量为m ，质量分布均匀；钢索与屋面（包括短钢棒）的总质量为2m ，在地面处用铰链与水平地面连接，钢索固定于斜壁上端以支撑整个屋面，钢索上端与斜壁的夹角为30°；整个系统左右对称．求（1）斜壁对钢索的拉力的大小；（2）斜壁与地面的夹角．12．（20分）从左至右在同一水平地面上依次有3个质点a 、b 、c ，且三者共线，a 与b 相距l 1，b 与c 相距l 2．现同时将它们从其初始位置抛出．已知质点b 以初速度v 0竖直上抛，质点c 以某一初速度竖直上抛．设在这3个质点的运动过程中，a 能碰到质点b 和c ；并假设质点a 的质量远大于质点b 的质量，且a 与b 碰撞时间极短．求质点c 的初速度v c 和质点a 的初速度所满足的条件．所求的结果均用题中的已知量表示出来．13．（20分）有一块长条形的纯净半导体硅，其横截面积为2.5 cm 2，通有电流2 mA 时，其内自由电子定向移动的平均速率为7.5×10－5 m ／s ，空穴定向移动的平均速率为2.5×10－5 m ／s ．已知硅的密度为2.4×103 kg ／m 3，原子量是28．电子的电荷量大小为e ＝1.6×10－19 C ．若一个硅原子至多只释放一个自由电子，试估算此半导体材料中平均多少个硅原子中才有一个硅原子释放出自由电子？阿伏伽德罗常数为N 0＝6.02×1023 mol －1．14．（20分）电子感应加速器利用变化的磁场来加速电子．电子绕平均半径为R 的环形轨道（轨道位于真空管道内）运动，磁感应强度方向与环形轨道平面垂直．电子被感应电场加速，感应电场的方向与环形轨道相切．电子电荷量为e ．（1）设电子做圆周运动的环形轨道上的磁感应强度大小的增加率为tB ∆∆，求在环形轨道切线方向感应电场作用在电子上的力； （2）设环形轨道平面上的平均磁感应强度大小的增加率为t B ∆∆，试导出在环形轨道切线方向感应电场作用在电子上的力与t B ∆∆的关系； （3）为了使电子在不断增强的磁场中沿着半径不变的圆轨道加速运动，求tB ∆∆和t B ∆∆之间必须满足的定量关系．15．（20分）如图，导热性能良好的气缸A和B高度均为h（已除去活塞的厚度），横截面积不同，竖直浸没在温度为T0的恒温槽内，它们的底部由一细管连通（细管容积可忽略）．两气缸内各有一个活塞，质量分别为m A＝2m和m B＝m，活塞与气缸之间无摩擦，两活塞的下方为理想气体，上方为真空．当两活塞下方气体处于平衡状态时，两活塞底面相对于h．现保持恒温槽温度不变，在两活塞上面同时各缓慢加上同样大小的压力，让压力从零缓慢增加，气缸底的高度均为2直至其大小等于2mg（g为重力加速度）为止，并一直保持两活塞上的压力不变；系统再次达到平衡后，缓慢升高恒温槽h处．求的温度，对气体加热，直至气缸B中活塞底面恰好回到高度为（1）两个活塞的横截面积之比S A∶S B；（2）气缸内气体的最后的温度；（3）在加热气体的过程中，气体对活塞所做的总功．16．（20分）如示意图所示，一垂直放置的高为15.0 cm的圆柱形中空玻璃容器，其底部玻璃较厚，底部顶点A点到容器底平面中心B点的距离为8.0 cm，底部上沿为一凸起的球冠，球心C点在A点正下方，球的半径为1.75 cm．已知空气和玻璃容器的折射率分别是n0＝1.0和n1＝1.56．只考虑近轴光线成像．已知：当λ＜＜1时，sinλ≈λ．（1）当容器内未装任何液体时，求从B点发出的光线通过平凸玻璃柱，在玻璃柱对称轴上所成的像的位置，并判断像的虚实；（2）当容器内装满折射率为1.30的液体时，求从B点发出的光线通过平凸玻璃柱的上表面折射后所成像点的位置，并判断这个像的虚实．2015年第32届全国中学生物理竞赛预赛参考答案1．D 2．D 3．BD 4．A 5．C6．（10分）6 N （3分）；0.1（3分）；24 J （4分）7．（10分）（1）2∶1（3分）；8N （3分）（2）2∶3∶4（4分）8．（10分）()()x R R Mx M x R M S E S +=++322（6分）；R M M S E 313⎪⎪⎭⎫⎝⎛（4分）9．（10分）（1）（4分）（2）3.0（±0.1）（3分）；1.0（±0.1）（3分）10．（10分）()00λλλλ-hc （5分）；()0λλλλke Rhc -（5分）11．（20分）（1）mg F 21=（2）︒=60α12．（20分）v c ＝v 0；0212v v llg x +≥，v y ＝v c ＝v 013．（20分）()210v v +=S eN IM N n ρ 代入有关数据得 5101-⨯=Nn14．（20分）（1）t B eR F ∆∆=（2）t B eR F ∆∆=21（3）t Bt B ∆∆=∆∆2115．（20分）（1）S A ∶S B ＝2∶1（2）T ＝5T 0（3）W ＝4mgh16．（20分）（1）B点发出的光线通过平凸玻璃柱，在玻璃柱对称轴上所成的像点的位置在C点正上方9.75 cm处或在B点正上方16.0 cm处；实像（2）B点发出的光线通过平凸玻璃柱，第一次折射后所成的像点的位置在C点正下方26.25 cm处或在B点正下方20.0 cm 处；虚像。
32届中学生物理竞赛复赛试题(含答案)
第32届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题说明：所有解答必须写在答题纸上，写在试题纸上无效。
一、（15分）在太阳内部存在两个主要的核聚变反应过程：碳循环和质子-质子循环；其中碳循环+e 和e ν分是贝蒂在1938年提出的，碳循环反应过程如图所示。
图中p 、别表示质子、正电子和电子型中微子；粗箭头表示循环反应进行的先后次序。
当从循环图顶端开始，质子p 与12C 核发生反应生成13N 核，反应按粗箭头所示的次序进行，直到完成一个循环后，重新开始下一个循环。
已知+e 、p 和He 核的质量分别为0.511MeV/c 2、1.0078u 和4.0026u （1u≈931.494MeV/c 2），电子型中微子e ν的质量可以忽略。
（1（2（3二、（15杆两端质量为m 细杆视（1； （2系统的动能。
三、（20心速度v （1（2（3s 四、（25v （v P 点（其O 为坐0（1）已知机载雷达天线经过A 点（其x 坐标为A x ）及此后朝P 点相继发出无线电波信号，由P 反射后又被机载雷达天线接收到，求接收到的回波信号的频率与发出信号的频率之差（频移）。
（2）已知BC 长度为s L ，讨论上述频移分别为正、零或负的条件，并求出最大的正、负频移。
（3）已知0s R L >>，求从C 先到达P 点、直至B 到达P 点过程中最大频移与最小频移之差（带宽），并将其表示成扇形波束的张角θ的函数。
已知：当1y <<212y ≈+。
五、（20分）如图，“田”字形导线框置于光滑水平面上，其中每个小正方格每条边的长度l 和电阻Vd 3V 1c '5V 1R 分别为0.10 m 和1.0 Ω。
导线框处于磁感应强度 1.0 T B =的均匀磁场中，磁场方向竖直向下，边界（如图中虚线所示）与de 边平行。
今将导线框从磁场中匀速拉出，拉出速度的大小为 2.0 m/s =v ，方向与de 边垂直，与ae 边平行。
第32届全国中学生物理竞赛决赛理论试答案word版
第32届全国中学生物理竞赛决赛理论试答案word版精品文档32届全国中学生物理竞赛决赛理论试卷第2015年11月考生须知1、考生考试前务必认真阅读本须知2、考试时间为3小时。
分。
试题的每一页下面标出了该页的3、试题从本页开始，共5页，含八道大题，总分为140每一页中是否印刷不清楚页码和试题的总页数，请认真核对每一页的页码和总页数是否正确，的地方，发现问题请及时与监考老师联系。
、考生可以用发的草稿纸打草稿，但需要阅卷老师评阅的内容一定要写到答题纸上；阅卷老4 师只评阅答题纸上的内容，写在草稿纸和本试题纸上的解答一律无效。
----------------------------------------------------------------------------------------------------------以下为试题通过轻质弹悬挂在天花板下，一物块DA和B分）一根轻杆两端通过两根轻质弹簧一、（15与轻杆的连接C的质量为m，k、B和C的劲度系数分别为、k和k，DC簧连在轻杆上；A321；整个系统的平衡时，轻杆和bA点到和B的水平距离分别为aB、接近水平，如图所示。
假设物块D在竖直方向做微小振动，A 始终可视为竖直，忽略空气阻力。
）求系统处于平衡位置时各弹簧相对于各自原长的伸长；（1 上下微小振动的固有频率；（2）求物块D的固有频率最大？并求出当3）a和b满足什么条件时，物块D（该固有频率的最大值。
分）如图，轨道型电磁发射器是由两条平行固定长直刚性金属导轨、高功率电源、接（20二、触导电性能良好的电枢和发射体等构成。
电流从电流源输出，经过导轨、电枢和另一条导轨构成闭合回路，在空间中激发磁场。
载流电枢在安培力作用下加速，推动发射体前进。
已知导轨每增加单位长度整个回路，?R；导轨单位长度的电阻为m电枢质量为，发射体质量为m rsa R?；电枢引入的电阻为、电感为L的电感的增加量为I；回路连线引入的电阻为R、电感为0srs L。
第32届全国中学生物理竞赛预赛解答
第32届全国中学生物理竞赛预赛试卷参考解答与评分标准一、选择题．本题共5小题，每小题6分．在每小题给出的4个选项中，有的小题只有一项符合题意，有的小题有多项符合题意．把符合题意的选项前面的英文字母写在每小题后面的方括号内。
全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分．1． D 2．D 3．BD 4．A 5．C 1、【解析】：该卫星轨道经过南纬31º52′、东经115 º 52′的澳大利亚西南城市珀斯附近的海域上空，而地球同步卫星一定在赤道上空，所以该卫星一定不是地球同步卫星，选项A 错误。
卫星运行万有引力提供向心力，轨道中心一定在地心，故该卫星轨道平面不能与南纬31º52′所确定的平面共面，选项B 错误。
地球自转周期一定是该卫星运行周期的整数倍，选项D 正确C 错误。
2、【解析】：由（238-222）÷4=4可知，23892U （铀核）衰变为22288Rn （氡核）要经过4次α衰变。
经过4次α衰变，电荷数减少8，而实际上电荷数减少了92-88=4，所以经过了4次β衰变，电荷数增加了4，选项D 正确。
3、【解析】：在左球a 到达c 点的过程中，b 球向上移动，重力与库仑力的夹角增大，其合力减小，由平衡条件可知，圆环对b 球的支持力变小，选项A 错误。
在左球a 到达c 点的过程中，两球之间的距离减小，外力做正功，电势能增加，选项B 正确。
在左球a 到达c 点的过程中，a 、b 两球的重力势能之和变化，选项C 错误。
撤除外力后，a 、b 两球在轨道上运动过程中系统的能量守恒，选项D 正确。
4、【解析】：闪光周期T=1/30s ，由212vT gT =0.05L， 解得小球平抛运动的初速度为v=4m/s ，选项A 正确。
小球平抛运动过程中，只受重力，由 mg=ma=mv t∆∆ =()mv t ∆∆，解得△（mv ）=mg △t ，所以小球平抛运动过程中，在相等时间内的动量变化相等，选项B 错误。
第32届全国中学生物理竞赛预赛试卷与解析
第32届全国中学生物理竞赛预赛试卷本卷共l6题，满分200分。
一、选择题．本题共5小题，每小题6分．在每小题给出的4个选项中，有的小题只有一项符合题意，有的小题有多项符合题意。
把符合题意的选项前面的英文字母写在每小题后面的方括号内．全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分．1. 2014年3月8日凌晨2点40分，马来西亚航空公司一架波音777-200飞机与管制中心失去联系．2014年3月24日晚，初步确定失事地点位于南纬31º52′、东经115 º52′的澳大利亚西南城市珀斯附近的海域．有一颗绕地球做匀速圆周运动的卫星，每天上午同一时刻在该区域正上方对海面拍照，则A. 该卫星一定是地球同步卫星B. 该卫星轨道平面与南纬31 º 52′所确定的平面共面C. 该卫星运行周期一定是地球自转周期的整数倍D. 地球自转周期一定是该卫星运行周期的整数倍2. 23892U（铀核）衰变为22288Rn（氡核）要经过A. 8次α衰变，16次β衰变B. 3次α衰变，4次β衰变C. 4次α衰变，16次β衰变D. 4次α衰变，4次β衰变3．如图，一半径为R的固定的光滑绝缘圆环，位于竖直平面内；环上有两个相同的带电小球a和b(可视为质点)，只能在环上移动，静止时两小球之间的距离为R。
现用外力缓慢推左球a使其到达圆环最低点c，然后撤除外力．下列说法正确的是A. 在左球a到达c点的过程中，圆环对b球的支持力变大B．在左球a到达c点的过程中，外力做正功，电势能增加。
C. 在左球a到达c点的过程中，a、b两球的重力势能之和不变D. 撤除外力后，a、b两球在轨道上运动过程中系统的能量守恒4．如图，O点是小球平抛运动抛出点；在O点有一个频闪点光源，闪光频率为30Hz；在抛出点的正前方，竖直放置一块毛玻璃，小球初速度与毛玻璃平面垂直．在小球抛出时点光源开始闪光．当点光源闪光时，在毛玻璃上有小球的一个投影点．已知图中O点与毛玻璃水平距离L=1．20 m，测得第一、二个投影点之间的距离为0.05 m．取重力加速度g=10m/s2．下列说法正确的是A. 小球平抛运动的初速度为4m/sB．小球平抛运动过程中，在相等时间内的动量变化不相等C．小球投影点的速度在相等时间内的变化量越来越大D. 小球第二、三个投影点之间的距离0．15m5．某同学用电荷量计(能测出一段时间内通过导体横截面的电荷量)测量地磁场强度，完成了如下实验：如图，将面积为S ，电阻为"的矩形导线框abcd 沿图示方位水平放置于地面上某处，将其从图示位置绕东西轴转180º，测得通过线框的电荷量为Q 1；将其从图示位置绕东西轴转90 º ，测得通过线框的电荷量为Q 2。
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2 1 M m m m 2M m 2 1 m 2 v v mv v0 0 y x 2 M M m M 2 M m 2
⑧
12 ○
可见，在条件
vx
vy 0
m v0 ， M m
13 ○
下，碰后系统动能达到其最小值
1 m2 2 14 ○ v0 2 M m 它是小球仅与球 A 做完全非弹性碰撞后系统所具有的动能。 11 式各 1 分； 评分参考：第（1）问 10 分， （解法一）①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩○ （解法二）①②式各 1 分， 12 ○ 13 式各 2 分，○ 14 式 1 分。 ③式 2 分，④⑤⑥各 1 分，⑦式 2 分，⑧式 1 分；第（2）问 5 分，○ 三、 （20 分） E
利用⑤式，⑨式成为
2 c
2 2 xP R0 R0 x1 x1 xP 2
2
v x x 2 c
2 1 1
⑨
t2 t2 t1 t1
2 2 2v 2 2 2 2 R x x v t t R x x t1 t1 0 1 P 1 1 0 1 P c c2 2 x1 xP v t1 t1 2 R02 x1 xP c
2
⑥
x1 xP R x1 xP
2 0 2
v t2 t1 c
上式右端已略去了 v / c 2 级的高阶顶。由⑥式解得
t2 t1 2 R02 x1 xP c
2
1 v 1 c x1 R02 x1 xP
2
2 2 R02 x1 xP x1 xP 1 v 2 c 2 c R0 x1 xP
0 ， v v0 k cos
即圆环做竖直上抛运动。圆环上升的最大高度为
2 2 2 2 2 2 k cos2 k v0 r 0 v2 v0 2g 2g 2g
⑨
h
⑩
（3）由于忽略空气阻力，圆环再次弹起后，角速度保持为 不变，质心做以初速度为 v 的斜抛运动。 圆环第二次落地点到首次落地点之间的水平距离 s 随 变化的函数关系式为 kv cos v 2 sin 2 11 s 0 ○ v0 sin r0 g g
2 2 2 8v0 2r0 r0 r 20 8v0
16 g
14 ○
s2
2 2 r 20 8v0 3r0
2 2 2 8v0 2r0 r0 r 20 8v0
16 g
15 ○
13 式右端根号前取正和负号的情形。由以上两式可知， s 的最大值为 式中 s1 和 s2 分别对应于○
由①②式和 v c 得 ③ ④ ⑤
1 2 2 2 2 t2 t1 R0 x1 xP R0 x1 xP x2 x1 c
1 2 2 2 R02 x1 xP R02 x1 xP 2v t2 t1 x1 xP x2 x1 c 1 2 2 2 R02 x1 xP R02 x1 xP 2v t2 t1 x1 xP v 2 t2 t1 c 2 R02 x1 xP c
⑧
VAx
m v0 vx M
⑨ ⑩
VBx 0
利用⑧⑨⑩式，碰撞后系统的动能为
E 1 1 1 2 2 2 2 m vx vy M VA M VB2x VB2y x VAy 2 2 2 1 1 2 2 2 2 11 m vx vy M VA ○ x 2VAy 2 2 1 2 1 m2 2M m 2 2 mvx mv y v0 vx 2 2M 4M
1 1 1 L 2 2 E m vx vy 2M VC2x VC2y 2 M 2 2 2 2
2
⑦
利用④⑤⑥式，系统动能⑦式可表示成
1 2 1 m2 2M m 2 2 E mvx mv y v0 vx 2 2M 4M 11 式或者解法（二）的⑧式即为 （2）解法（一）的○
（1）设圆环的质量为 m ，它在碰撞过程中受到的地面对它的水平冲量为 I t ；碰撞后圆环质心的速度大
小为 v ， v 与竖直向上方向的夹角（按如图所示的顺时针方向计算）为 ，圆环的角速度为 。规定 水平向右方向和顺时针方向分别为水平动量和角速度的正方向。在水平方向，由动量定理有
mv sin mv0 sin I t
返回至飞机的机载雷达被接受，此时飞机的机载雷达 光信号；该信号到达 P 点，经反射后，于时刻 t 2
, h , 0 。同理有 的位置为 x2 x1 v t2 t1 x2 x1 v t1 t1 x1 x2 v t2 t2 x2
⑦
2 R x1 xP
2 0
2
c
2v x1 xP c2
同理，由③④式和 v c 得
t1 t2
由⑦⑧式得
2 xP 2 R0 x1
2
c
2v x1 xP c2
⑧
t2 t2 t1 t1
xA t xB t yA t yB t L2
2 2
④
由上式对时间求导得
xA t xB t VAx t VBx t yA t yB t VAy t VBy t 0
25.619MeV ⑨ 评分参考：第（1）问 4 分， X 和 Y 正确，各 2 分；第（2）问 6 分，②③④⑤⑥⑦式各 1 分：第（3） 问 5 分，⑧式 2 分，⑨式 3 分。 二、 （15 分） （l） （解法一） 取碰前 B 球所在位置 O 为原点，建立坐标系（如图） 。
碰撞前后系统的动量及其对细杆中心的角动量都守恒，有
2 2 r 2 0 8v0 3r 0 2 2 2 8v0 2 r 0 r 0 r 2 0 8v0
smax
k
16 g
16 ○
又因为
1 sin 1
由上式得，当 s 取最大值时， r 、 v0 和 0 应满足
v0 r 0
17 ○
评分参考：第（1）问 9 分，①②式符 2 分，③④⑤⑥⑦式各 1 分：第（2）问 4 分，⑧⑨式各 1 分， 11 ○ 12 ○ 13 ○ 14 ○ 15 ○ 16 ○ 17 式各 1 分。 ⑩式 2 分：第（3）问 7 分，○ 四、 （25 分） （1）解法（一） 按照题给坐标系，设待测点 P 的位置为 xP , 0 , a ，飞机在 t 0 时所在点 K 的位置为 0 , h , 0 。在时 刻 t1 ，飞机所在位置 A 点的坐标为 x1 xA , h , 0 ，机载雷达此时发出一光信号；该信号到达 P 点， 经反射后，于时刻 t 2 返回到飞机的机载雷达被接受，此时飞机的机载雷达的位置为 x2 xA , h , 0 ， 如图所示。
m L L L L v0 m vx 2M 2 2 2 2
式中， vx 和 vy 表示球 C 碰后的沿 x 方向和 y 方向的速度分量。由①②③式得
Vcx
m v0 vx 2M m vy 2M
④ ⑤ ⑥
VCy
碰撞后系统的动能为
m v0 vx ML
①
由对质心的动量矩定理有
rm r rm r0 rIt
②
按题意，圆环在弹起前刚好与地面无相对滑动，因而此时圆环上与地面的接触点的水平速度为零，即 ③ v sin r 0 由题意知
0 v cos k v0 cos 0
④
联立①②③④式得
v
1 2 2 4k 2 v0 cos2 r0 v0 sin 2
第 32 届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题解答
2015 年 9 月 19 日
一、 （15 分） （1）图中 X 和 Y 代表的核素分别为 15 O 和 13 C ①
（2）一个循环所有的核反应方程式依循换次序为
p 12 C 13 N
13
② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦
N 13 C e ve
p 13 C 14 N p 14 N 15 O
⑩
上式右端已略去了 v / c 级的高阶项。令
2
t1 t1 T0
（解法二）
取碰前 B 球所在位置 O 为原氧，建立坐标系（如图） 。设碰撞后，小球 C 的运动速率为 v ，细杆中心的 运动速度为 VC ， 细杆绕中心转动的角速度为 。 碰撞前后系统的动量及其对细杆中心的角动量都守恒， 有
mv0 mvx 2MVCx
① ② ③
0 mvy 2MVCy
s 取最大值时， 的取值 满足
ds d
12 式得 由得○
2 2 r0 r 20 8v0
kv0 v0 cos 2 r0 sin 0 g
12 ○
sin
4v0Leabharlann 13 ○13 代入○ 11 式得 将○
s1
k
k
2 2 r 20 8v0 3r0
⑤
在碰撞后的瞬间有
xA t 0 xB t 0 ， yA t 0 yB t 0 L
利用⑥式，⑤式在碰撞后的瞬司成为
VAy VAy t 0 VBy t 0 VBy