高中人教B版数学必修五同步课时跟踪检测：第2章数列 2.2 2.2.2 第二课时

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2017春人教B版高中数学必修五检测：第2章数列2.2 第1课时含解析精品

第二章 2.2 第1课时基础巩固一、选择题1．在等差数列{a n }中，a 1＋a 9＝10，则a 5的值为导学号 27542285( A ) A ．5 B ．6 C ．8D ．10[解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，则a 1＋a 9＝a 1＋a 1＋8d ＝2a 1＋8d ＝2(a 1＋4d )＝2a 5＝10，∴a 5＝5.2．等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为导学号 27542286( B ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4[解析] 设公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1＋4d ＝10a 1＋3d ＝7，解得d ＝2.3.2＋1与2－1的等差中项是导学号 27542287( C ) A ．1 B ．－1 C ． 2D ．±1[解析] 由等差中项的定义可知，2＋1与2－1的等差中项为2＋1＋2－12＝ 2.4．{a n }是首项为a 1＝1，公差d ＝3的等差数列，如果a n ＝22，则n 等于导学号 27542288( C )A ．6B ．7C ．8D ．9[解析] 由题意，得a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋3(n －1)＝3n －2，又∵a n ＝22，∴3n －2＝22，∴n ＝8.5．在数列{a n }中，a 1＝2,2a n ＋1＝2a n ＋1，则a 101的值为导学号 27542289( D ) A ．49 B ．50 C ．51D ．52[解析] 由2a n ＋1＝2a n ＋1得a n ＋1－a n ＝12，∴{a n }是等差数列首项a 1＝2，公差d ＝12，∴a n ＝2＋12(n －1)＝n ＋32，∴a 101＝101＋32＝52.6．等差数列{a n }中，a 5＝33，a 45＝153，则201是该数列的第( )项导学号 27542290( B )A ．60B ．61C ．62D ．63[解析] 设公差为d ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋4d ＝33a 1＋44d ＝153，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝21d ＝3.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝21＋3(n －1)＝3n ＋18. 令201＝3n ＋18，∴n ＝61. 二、填空题7．在等差数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＋a 3＝13，则a 4＋a 5＋a 6＝42.导学号 27542291 [解析] a 1＋a 2＋a 3＝15，a 2＝5，d ＝3， ∴a 5＝a 2＋3d ＝14，a 4＋a 5＋a 6＝3a 5＝42.8．一个四边形的四个内角成等差数列，最小角为40°，则最大角为140°. 导学号 27542292[解析] ∵四边形的四个内角成等差数列，最小角为40°，∴设其他内角为40°＋d,40°＋2d,40°＋3d ，∴40°＋(40°＋d )＋(40°＋2d )＋(40°＋3d )＝360°，解得d ＝100°3，∴最大角为40°＋3d ＝40°＋3×100°3＝140°.三、解答题9．已知等差数列6,3,0，…，试求此数列的第100项.导学号 27542293[解析] 设此数列为{a n }，则首项a 1＝6，公差d ＝3－6＝－3，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝6－3(n －1)＝－3n ＋9.∴a 100＝－3×100＋9＝－291.10．已知等差数列{a n }中，a 15＝33，a 61＝217，试判断153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？导学号 27542294[解析] 设首项为a 1，公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋(15－1)d ＝33a 1＋(61－1)d ＝217，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－23d ＝4， ∴a n ＝－23＋(n －1)×4＝4n －27，令a n ＝153，即4n －27＝153，得n ＝45∈N *， ∴153是所给数列的第45项．能力提升一、选择题1．等差数列的首项为125，且从第10项开始为比1大的项，则公差d 的取值范围是导学号 27542295( D )A ．d >875B ．d <325C ．875<d <325D ．875<d ≤325[解析] 由题意⎩⎪⎨⎪⎧a 10>1a 9≤1，∴⎩⎨⎧125＋9d >1125＋8d ≤1，∴875<d ≤325.2．在等差数列{a n }中，a 3＝7，a 5＝a 2＋6，则a 6＝导学号 27542296( C ) A ．11 B ．12 C ．13D ．14[解析] 设公差为d ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝7a 1＋d ＋6＝a 1＋4d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3d ＝2.∴a 6＝a 1＋5d ＝3＋10＝13.3．已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，又数列{1a n ＋1}是等差数列，则a 11等于导学号 27542297( B )A ．0B ．12C ．23D ．－1[解析] 令b n ＝1a n ＋1，由题设b 3＝1a 3＋1＝13， b 7＝1a 7＋1＝12且{b n }为等差数列，∴b 7＝b 3＋4d ，∴d ＝124.∴b 11＝b 7＋4d ＝12＋16＝23，又b 11＝1a 11＋1，∴a 11＝12.4．若a ≠b ，两个等差数列a ，x 1，x 2，b 与a ，y 1，y 2，y 3，b 的公差分别为d 1、d 2，则d 1d 2等于导学号 27542298( C )A ．32B ．23C ．43D ．34[解析] 由题意可知：d 1＝b －a 3，d 2＝b －a 4，∴d 1d 2＝43，故选C ．二、填空题5．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为6766升. 导学号 27542299[解析] 设此等差数列为{a n }，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3a 7＋a 8＋a 9＝4， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝33a 1＋21d ＝4，解得⎩⎨⎧a 1＝1322d ＝766，∴a 5＝a 1＋4d ＝1322＋4×766＝6766.6．在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝20.导学号 27542300 [解析] 设公差为d ，则a 3＋a 8＝2a 1＋9d ＝10， 3a 5＋a 7＝4a 1＋18d ＝2(2a 1＋9d )＝20. 三、解答题7．一位同学喜欢观察小动物的活动规律，他观察到随着气温的升高，一种昆虫在相等的时间内发出的啁啾声次数也在逐渐增加．下表是他记录的数据，34上方及40下方的数据变得模糊不清了．但是该同学记得气温每升高1℃他观察一次，而且观察到的数据成等差数列．请你为他补好这两个数据.导学号 27542301[解析] n 则a 1＝4，a 5＝20，温度为34℃时，a 7＝a 1＋6d . 又因为d ＝a 5－a 14＝164＝4，所以a 7＝4＋6×4＝28.若a n ＝40，则4＋(n －1)×4＝40.所以n ＝10，所以温度为37℃. 8．已知函数f (x )＝3xx ＋3，数列{x n }的通项由x n ＝f (x n －1)(n ≥2，且n ∈N *)确定. 导学号 27542302(1)求证：{1x n }是等差数列；(2)当x 1＝12时，求x 100的值．[解析] (1)∵x n ＝f (x n －1)＝3x n －1x n －1＋3(n ≥2，n ∈N *)，∴1x n ＝x n －1＋33x n －1＝13＋1x n －1， ∴1x n －1x n －1＝13(n ≥2，n ∈N *)． ∴数列{1x n }是等差数列．(2)由(1)知{1x n }的公差为13，又x 1＝12，∴1x n ＝1x 1＋(n －1)·13＝13n ＋53.∴1x 100＝1003＋53＝35，即x 100＝135.。

人教版高中数学必修5：第二章数列(课堂同步教学课件+学案+练习+单元检测,20份)课时跟踪检测(九

课时跟踪检测(九) 等差数列的前n 项和一、选择题1．设{a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和．若S 10＝S 11，则a 1＝( )A ．18B ．20C ．22D ．242．已知等差数列{a n }满足a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10，则它的前10项的和S 10等于( )A ．138B ．135C ．95D ．233．等差数列{a n }中，d ＝2，a n ＝11，S n ＝35，则a 1等于( )A ．5或7B ．3或5C ．7或－1D ．3或－14．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( )A ．63B ．45C ．36D ．275．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为( )A ．5B ．4C ．3D ．2二、填空题6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝S 3＝12，则{a n }的通项a n ＝________.7．已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，n ∈N *.若a 3＝16，S 20＝20，则S 10的值为________．8．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 4＝2a 3，则S 7S 5＝ ________.三、解答题9．设数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n n)(n ∈N *)均在函数y ＝3x －2的图象上．求数列{a n }的通项公式．10．在等差数列{a n }中，a 10＝18，前5项的和S 5＝－15，(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前n 项和的最小值，并指出何时取得最小值．答案课时跟踪检测(九)1．选B 由S 10＝S 11，得a 11＝S 11－S 10＝0，a 1＝a 11＋(1－11)d ＝0＋(－10)×(－2)＝20.2．选C 由a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10，可知d ＝3，a 1＝－4.∴S 10＝－40＋10×92×3＝95. 3．选D 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝11，S n ＝35，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2(n －1)＝11，na 1＋n (n －1)2×2＝35.解得⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝5，a 1＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧n ＝7，a 1＝－1. 4．选B ∵a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，而由等差数列的性质可知，S 3，S 6－S 3，S 9－S 6构成等差数列．所以S 3＋(S 9－S 6)＝2(S 6－S 3)，即S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝2×36－3×9＝45.5．选C 由题意得S 偶－S 奇＝5d ＝15，∴d ＝3.或由解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋20d ＝15，5a 1＋25d ＝30 求得d ＝3，故选C.6．解析：设{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝12，3a 1＋3×22d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝2，于是a n ＝2＋(n －1)×2＝2n .答案：2n7．解析：设{a n }的首项，公差分别是a 1，d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝16，20a 1＋20×(20－1)2×d ＝20，解得a 1＝20，d ＝－2， ∴S 10＝10×20＋10×92×(－2)＝110. 答案：1108．解析：由等差数列的性质知S 7S 5＝7a 45a 3＝75×a 4a 3＝75×2＝145. 答案：1459．解：依题意得，S n n＝3n －2，即S n ＝3n 2－2n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n 2－2n )－[3(n －1)2－2(n －1)]＝6n －5，因a 1＝S 1＝1，满足a n ＝6n －5，所以a n ＝6n －5(n ∈N *)．10．解：(1)设{a n }的首项，公差分别为a 1，d .则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋9d ＝18，5a 1＋52×4×d ＝－15，解得a 1＝－9，d ＝3，∴a n ＝3n －12.(2)S n ＝n (a 1＋a n )2＝12(3n 2－21n ) ＝32(n －72)2－1478， ∴当n ＝3或4时，前n 项的和取得最小值为－18.。

人教B版数学必修五：第2章《数列》章末检测学案(含答案解析)

第二章章末检测(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a ＋b ＋cA.1 B ．2．等差数列{a n }满足a 24＋a 27＋2a 4a 7＝9，则其前10项之和为( ) A ．－9 B ．－15 C ．15 D ．±153．等比数列{a n }中，a 2，a 6是方程x 2－34x ＋64＝0的两根，则a 4等于( ) A ．8 B ．－8 C ．±8 D ．以上都不对4．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10∶S 5＝1∶2，则S 15∶S 5等于( ) A ．3∶4 B ．2∶3 C ．1∶2 D ．1∶35．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是( )A ．21B ．20C ．19D ．186．已知数列{a n }为等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1等于( )A ．16(1－4－n )B ．16(1－2n) C.323(1－4－n ) D.323(1－2－n ) 7．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 21＝42，记A ＝2a 211－a 9－a 13，则A 的值为( ) A ．2 B ．1 C ．16 D ．328．若{a n }是等比数列，其公比是q ，且－a 5，a 4，a 6成等差数列，则q 等于( ) A ．1或2 B ．1或－2 C ．－1或2 D ．－1或－29．已知等差数列{a n }的公差d ≠0且a 1，a 3，a 9成等比数列，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10等于( )A.1514B.1213C.1316D.151610．某纯净水厂在净化过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质的20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需过滤的次数为(lg 2≈0.301 0)( )A ．5B ．10C ．14D ．1511．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n 等于( ) A ．2＋ln n B ．2＋(n －1)ln n C ．2＋n ln n D ．1＋n ＋ln n12．已知数列1，12，21，13，22，31，14，23，32，41，…，则56是数列中的( )A ．第48项B ．第49项C ．第50项D ．第51项二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知在等差数列{a n }中，首项为23，公差是整数，从第七项开始为负项，则公差为______．14．在83和272之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为________．15．数列{a n }中，S n 是其前n 项和，若a 1＝1，a n ＋1＝13S n (n ≥1)，则a n ＝____________.16．等差数列{a n }中，a 10<0，且a 11>|a 10|，S n 为数列{a n }的前n 项和，则使S n >0的n 的最小值为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知数列{log 2(a n －1)} (n ∈N *)为等差数列，且a 1＝3，a 3＝9. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n<1.18．(12分)设数列{a n }的前n 项的和为S n ＝43a n －13×2n ＋1＋23(n ＝1,2,3…)(1)求首项a 1与通项a n ；(2)设T n ＝2n S n (n ＝1,2,3，…)，证明：∑i ＝1n T i <32.(∑i ＝1nT i 表示求和)19．(12分)已知正项数列{b n }的前n 项和B n ＝14(b n ＋1)2，求{b n }的通项公式．20.(12分)某市2009年共有1万辆燃油型公交车．有关部门计划于2010年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问：(1)该市在2016年应该投入多少辆电力型公交车？(2)到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的13？21．(12分)设{a n }是等差数列，{b n }是各项都为正数的等比数列，且a 1＝b 1＝1，a 3＋b 5＝21，a 5＋b 3＝13.(1)求{a n }、{b n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 的前n 项和S n .22．(12分)在数列{a n }中，已知a 1＝－1，且a n ＋1＝2a n ＋3n －4 (n ∈N *)． (1)求证：数列{a n ＋1－a n ＋3}是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式；(3)求和：S n ＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n | (n ∈N *)．第二章章末检测1．A [由题意知，a ＝12，b ＝516，c ＝316，故a ＋b ＋c ＝1.]2．D [a 24＋a 27＋2a 4a 7＝(a 4＋a 7)2＝9. ∴a 4＋a 7＝±3，∴a 1＋a 10＝±3，∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝±15.]3．A [a 2＋a 6＝34，a 2a 6＝64，∴a 24＝64，∵a 2>0，a 6>0，∴a 4＝a 2q 2>0，∴a 4＝8.] 4．A [显然等比数列{a n }的公比q ≠1，则由S 10S 5＝1－q 101－q 5＝1＋q 5＝12⇒q 5＝－12，故S 15S 5＝1－q151－q 5＝1－(q 5)31－q 5＝1－⎝⎛⎭⎫－1231－⎝⎛⎭⎫－12＝34.] 5．B [∵(a 2－a 1)＋(a 4－a 3)＋(a 6－a 5)＝3d ， ∴99－105＝3d.∴d ＝－2.又∵a 1＋a 3＋a 5＝3a 1＋6d ＝105，∴a 1＝39.∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d2n ＝－n 2＋40n ＝－(n －20)2＋400. ∴当n ＝20时，S n 有最大值．]6．C [设{a n }的公比为q ，则q 3＝a 5a 2＝18.∴q ＝12，a 1＝4，∵{a n a n ＋1}也是等比数列且首项a 1a 2＝8，公比为q 2＝14，∴a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝8⎝⎛⎭⎫1－14n 1－14＝323(1－4－n )．]7．B [由S 21＝21(a 1＋a 21)2＝21a 11＝42，∴a 11＝2.∴a 211－(a 9＋a 13)＝a 211－2a 11＝0.∴A ＝2a 211－a 9－a 13＝20＝1.]8．C [依题意有2a 4＝a 6－a 5，即2a 4＝a 4q 2－a 4q ，而a 4≠0，∴q 2－q －2＝0，(q －2)(q ＋1)＝0. ∴q ＝－1或q ＝2.]9．C [因为a 23＝a 1·a 9，所以(a 1＋2d)2＝a 1·(a 1＋8d)．所以a 1＝d.所以a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10＝3a 1＋10d 3a 1＋13d ＝1316.]10．C [设原杂质数为1，各次过滤杂质数成等比数列，且a 1＝1，公比q ＝1－20%，∴a n ＋1＝(1－20%)n ，由题意可知：(1－20%)n <5%，即0.8n <0.05. 两边取对数得n lg 0.8<lg 0.05，∵lg 0.8<0，∴n>lg 0.05lg 0.8，即n>lg 5－2lg 8－1＝1－lg 2－23lg 2－1＝－lg 2－13lg 2－1≈－0.301 0－13×0.301 0－1≈13.41，取n ＝14.] 11．A [∵a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ， ∴a n ＋1－a n ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ＝ln n ＋1n＝ln (n ＋1)－ln n. 又a 1＝2，∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋[ln 2－ln 1＋ln 3－ln 2＋ln 4－ln 3＋…＋ln n －ln (n －1)]＝2＋ln n －ln 1＝2＋ln n ．]12．C [将数列分为第1组一个，第2组二个，…，第n 组n 个，即⎝⎛⎭⎫11，⎝⎛⎭⎫12，21，⎝⎛⎭⎫13，22，31，…，⎝⎛⎭⎫1n ，2n －1，…，n 1，则第n 组中每个数分子分母的和为n ＋1，则56为第10组中的第5个，其项数为(1＋2＋3＋…＋9)＋5＝50.]13．－4解析由⎩⎪⎨⎪⎧a 6＝23＋5d ≥0a 7＝23＋6d<0，解得－235≤d<－236，∵d ∈Z ，∴d ＝－4. 14．216解析设插入的三个数为a q ，a ，aq ，则由题意有83，a ，272也为等比数列，所以a 2＝83×272＝36，由于83，a ，272都处在奇数位上，所以同号，故a ＝6，从而aq·a ·aq ＝a 3＝216.15.⎩⎪⎨⎪⎧1， n ＝113·⎝⎛⎭⎫43n －2， n ≥2解析 a n ＋1＝13S n ，a n ＋2＝13S n ＋1，∴a n ＋2－a n ＋1＝13(S n ＋1－S n )＝13a n ＋1∴a n ＋2＝43a n ＋1 (n ≥1)．∵a 2＝13S 1＝13，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， n ＝113·⎝⎛⎭⎫43n －2， n ≥2.16．20解析 ∵S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19a 10<0；S 20＝20(a 1＋a 20)2＝10(a 10＋a 11)>0.∴当n ≤19时，S n <0；当n ≥20时，S n >0. 故使S n >0的n 的最小值是20.17．(1)解设等差数列{log 2(a n －1)}的公差为d .由a 1＝3，a 3＝9，得log 2(9－1)＝log 2(3－1)＋2d ，则d ＝1.所以log 2(a n －1)＝1＋(n －1)×1＝n ，即a n ＝2n ＋1.(2)证明因为1a n ＋1－a n ＝12n ＋1－2n ＝12n ，所以1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n ＝121＋122＋123＋…＋12n ＝12－12n ×121－12＝1－12n <1.18．解 (1)∵S n ＝43a n －13×2n ＋1＋23，n ＝1,2,3，…，①令n ＝1，得a 1＝S 1＝43a 1－13×4＋23，解得a 1＝2，n ≥2时，S n －1＝43a n －1－13×2n ＋23.②①－②得：a n ＝S n －S n －1＝43(a n －a n －1)－13×2n .∴a n ＝4a n －1＋2n ，a n ＋2n ＝4a n －1＋4×2n －1.∴{a n ＋2n }是首项为a 1＋2＝4，公比为4的等比数列．即a n ＋2n ＝4×4n －1＝4n ，b ＝1,2,3，…， ∴a n ＝4n －2n ，n ＝1,2,3，….证明 (2)将a n ＝4n －2n 代入①得：S n ＝43(4n －2n )－13×2n ＋1＋23＝13(2n ＋1－1)(2n ＋1－2)＝23(2n ＋1－1)(2n －1)， T n ＝2n S n ＝32×2n (2n ＋1－1)(2n －1)＝32⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1－1(n ＝1,2,3…)， ∴∑i ＝1nT i ＝32∑i ＝1n ⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1－1＝32×⎝⎛⎭⎫121－1－12n ＋1－1<32. 19．解当n ＝1时，B 1＝b 1，∴b 1＝14(b 1＋1)2，解得b 1＝1.当n ≥2时，b n ＝B n －B n －1＝14(b n ＋1)2－14(b n －1＋1)2＝14(b 2n －b 2n －1＋2b n －2b n －1)，整理得b 2n －b 2n －1－2b n －2b n －1＝0， ∴(b n ＋b n －1)(b n －b n －1－2)＝0. ∵b n ＋b n －1>0，∴b n －b n －1－2＝0.∴{b n }为首项b 1＝1，公差d ＝2的等差数列．∴b n ＝2(n －1)＋1＝2n －1，即{b n }的通项b n ＝2n －1.20．解 (1)由题意可知，该市逐年投入的电力型公交车数量组成一个等比数列，其中a 1＝128，q ＝1＋50%＝1.5，到2016年应为a 7，则到2016年该市应该投入的电力型公交车为a 7＝a 1·q 6＝128×1.56＝1 458(辆)．(2)设经过n 年电力型公交车数量开始超过该市公交车总量的13，记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，依题意有S n 10 000＋S n >13，即S n >5 000，∴S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝128(1－1.5n )1－1.5＝256(1.5n －1)>5 000，即1.5n >65732，解得n >7.5，故n ≥8.所以到2017年底，电力型公交车数量开始超过该市公交车总量的13.21．解 (1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则依题意有q >0且⎩⎪⎨⎪⎧1＋2d ＋q 4＝21，1＋4d ＋q 2＝13.解得d ＝2，q ＝2. 所以a n ＝1＋(n －1)d ＝2n －1，b n ＝q n －1＝2n －1. (2)a n b n ＝2n －12n －1. S n ＝1＋321＋522＋…＋2n －32n －2＋2n －12n －1，①2S n ＝2＋3＋52＋…＋2n －32n －3＋2n －12n －2.②②－①得S n ＝2＋2＋22＋222＋…＋22n －2－2n －12n －1＝2＋2×⎝⎛⎭⎫1＋12＋122＋…＋12n －2－2n －12n －1＝2＋2×1－12n －11－12－2n －12n －1＝6－2n ＋32n －1.22．(1)证明令b n ＝a n ＋1－a n ＋3 ⇒b n ＋1＝a n ＋2－a n ＋1＋3＝2a n ＋1＋3(n ＋1)－4－2a n －3n ＋4＋3 ＝2(a n ＋1－a n ＋3)＝2b n .∴数列{b n }为公比为2的等比数列． (2)解 a 2＝2a 1－1＝－3，b 1＝a 2－a 1＋3＝1⇒b n ＝a n ＋1－a n ＋3＝2n －1⇒2a n ＋3n －4－a n ＋3＝2n －1⇒a n ＝2n －1－3n ＋1 (n ∈N ＋)．(3)解设数列{a n }的前n 项和为T n ，T n ＝2n －1－n (2＋3n －1)2＝2n －1－n (3n ＋1)2，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，∵n ≤4时，a n <0，n >4时，a n >0，∴n ≤4时，S n ＝－T n ＝1＋n (3n ＋1)2－2n；n >4时，S n ＝T n －2T 4＝2n ＋21－n (3n ＋1)2.∴S n＝⎩⎨⎧1＋n (3n ＋1)2－2n (n ≤4)，2n＋21－n (3n ＋1)2(n >4).。

人教版高中数学必修5：第二章数列(课堂同步教学课件+学案+练习+单元检测,20份)课时跟踪检测(八

课时跟踪检测(八) 等差数列的性质一、选择题1．等差数列{a n }的公差为d ，则数列{ca n }，(c 常数且c ≠0)是( )A ．公差为d 的等差数列B ．公差为cd 的等差数列C ．不是等差数列D ．以上都不对2．若{a n }是等差数列，且a 1＋a 4＋7＝45，a 2＋a 5＋a 8＝39，则a 3＋a 6＋a 9＝( )A ．39B ．20C ．19.5D ．333．设{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37＝( )A ．0B ．37C ．100D ．－374．等差数列{a n }中，a 2＋a 5＋a 8＝9，那么关于x 的方程：x 2＋(a 4＋a 6)x ＋10＝0( )A ．无实根B ．有两个相等实根C ．有两个不等实根D ．不能确定有无实根5．已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 等于( )A ．8B ．4C ．6D ．12二、填空题6．已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为__________． 7．已知数列{a n }满足a 1＝1，若点⎝ ⎛⎭⎪⎫a n n ，a n ＋1n ＋1在直线x －y ＋1＝0上，则a n ＝________. 8．某市出租车的计价标准为1.2元/km ，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14 km 处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付车费________．三、简答题9．已知5个数成等差数列，它们的和为25，它们的平方和为165，求这五个数．10．已知无穷等差数列{a n }中，首项a 1＝3，公差d ＝－5，依次取出序号能被4除余3的项组成数列{b n}．(1)求b1和b2；(2)求{b n}的通项公式；(3){b n}中的第503项是{a n}中的第几项？答案课时跟踪检测(八)1．选B设b n＝ca n，则b n＋1－b n＝ca n＋1－ca n＝c(a n＋1－a n)＝cd.2．选D由等差数列的性质，得a1＋a4＋a7＝3a4＝45，a2＋a5＋a8＝3a5＝39，a3＋a6＋a9＝3a6.又3a5×2＝3a4＋3a6，解得3a6＝33，即a3＋a6＋a9＝33.3．选C设c n＝a n＋b n，由于{a n}，{b n}都是等差数列，则{c n}也是等差数列，且c1＝a1＋b1＝25＋75＝100，c2＝a2＋b2＝100，∴{c n}的公差d＝c2－c1＝0.∴c37＝100.4．选A由于a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，即3a5＝9，∴a5＝3，方程为x2＋6x＋10＝0，无实数解．5．选A因为a3＋a6＋a10＋a13＝4a8＝32，所以a8＝8，即m＝8.6．解析：不妨设角A＝120°，c<b，则a＝b＋4，c＝b－4，于是cos 120°＝b 2＋(b －4)2－(b ＋4)22b (b －4)＝－12，解得b ＝10，所以S ＝12bc sin 120°＝15 3. 答案：15 37．解析：由题设可得a n n －a n ＋1n ＋1＋1＝0，即a n ＋1n ＋1－a n n＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以1为公差的等差数列，且首项为1，故通项公式a n n＝n ，所以a n ＝n 2. 答案：n 28．解析：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km 时，每增加1 km ，乘客需要支付1.2元．所以可以建立一个等差数列{a n }来计算车费．令a 1＝11.2，表示4 km 处的车费，公差d ＝1.2那么当出租车行至14 km 处时，n ＝11，此时需要支付车费a 11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．答案：23.2元9．解：设这5个数依次为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ (a －2d )＋(a －d )＋a ＋(a ＋d )＋(a ＋2d )＝25，(a －2d )2＋(a －d )2＋a 2＋(a ＋d )2＋(a ＋2d )2＝165，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，d ＝±2. 所以这5个数为1,3,5,7,9或9,7,5,3,1.10．解：数列{b n }是数列{a n }的一个子数列，其序号构成以3为首项，4为公差的等差数列，由于{a n }是等差数列，则{b n }也是等差数列．(1)∵a 1＝3，d ＝－5，∴a n ＝3＋(n －1)×(－5)＝8－5n .数列{a n }中序号被4除余3的项是{a n }中的第3项，第7项，第11项，…，∴b 1＝a 3＝－7，b 2＝a 7＝－27.(2)设{a n }中的第m 项是{b n }中的第n 项，即b n ＝a m ，则m ＝3＋4(n －1)＝4n －1，∴b n ＝a m ＝a 4n －1＝8－5×(4n －1)＝13－20n ，即{b n }的通项公式为b n ＝13－20n .(3)b 503＝13－20×503＝－10 047，设它是{a n }中的第m 项，则－10 047＝8－5m ，解得m ＝2 011，即{b n }中的第503项是{a n }中的第2 011项．。

人教版高中数学必修5：第二章数列(课堂同步教学课件+学案+练习+单元检测,20份)课时跟踪检测(五

课时跟踪检测(五) 数列的概念与通项公式一、选择题1．下面有四个结论，其中叙述正确的有①数列的通项公式是唯一的；②数列可以看做是一个定义在正整数集或其子集上的函数；③数列若用图象表示，它是一群孤立的点；④每个数列都有通项公式．( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④2．数列的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1，n 为奇数，2n －2，n 为偶数，则a 2·a 3等于( ) A ．70B ．28C ．20D ．83．数列－1,3，－7,15，…的一个通项公式可以是( )A ．a n ＝(－1)n ·(2n －1)B ．a n ＝(－1)n ·(2n －1)C ．a n ＝(－1)n ＋1·(2n －1) D ．a n ＝(－1)n ＋1·(2n －1) 4．(2012·宿州高二检测)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n －1n ＋1，那么这个数列是( ) A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．摆动数列5．下列命题： ①已知数列{a n }，a n ＝1n (n ＋2)(n ∈N *)，那么1120是这个数列的第10项，且最大项为第一项． ②数列2，5，22，11，…的一个通项公式是a n ＝3n －1.③已知数列{a n }，a n ＝kn －5，且a 8＝11，则a 17＝29.④已知a n ＋1＝a n ＋3，则数列{a n }是递增数列．其中正确命题的个数为( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题6．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n 2＋n，那么110是它的第________项． 7．已知数列{a n }的前4项为11,102,1 003,10 004，…，则它的一个通项公式为________．8．(2013·福州高二检测)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－8n ＋12，那么该数列中为负数的项一共有________项．三、解答题9．求下列数列的一个可能的通项公式：(1)1，－1,1，－1，…；(2)1,10,2,11,3,12，…；(3)1＋12，1－324，1＋526，1－728，….10．在数列{a n }中，a 1＝2，a 17＝66，通项公式是关于n 的一次函数．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求a 2 013；(3)2 014是否为数列{a n }中的项？答案课时跟踪检测(五)1．选B 数列的通项公式不唯一，有的数列没有通项公式，所以①④不正确．2．选C 由a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1，n 为奇数，2n －2，n 为偶数，得a 2＝2，a 3＝10，所以a 2·a 3＝20.3．选A 数列各项正、负交替，故可用(－1)n 来调节，又1＝21－1,3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，…，所以通项公式为a n ＝(－1)n ·(2n －1)．4．选A a n ＝n －1n ＋1＝1－2n ＋1，∴当n 越大，2n ＋1越小，则a n 越大，故该数列是递增数列．5．选A 对于①，令a n ＝1n (n ＋2)＝1120⇒n ＝10，易知最大项为第一项．①正确．对于②，数列2，5，22，11，…变为2，5，8，11，…⇒3×1－1，3×2－1，3×3－1，3×4－1，…⇒a n ＝3n －1，②正确；对于③，a n ＝kn －5，且a 8＝11⇒k ＝2⇒a n ＝2n －5⇒a 17＝29.③正确；对于④，由a n ＋1－a n ＝3＞0，易知④正确．6．解析：令2n 2＋n ＝110，解得n ＝4(n ＝－5舍去)，所以110是第4项．答案：47．解析：由于11＝10＋1,102＝102＋2，1 003＝103＋3，10 004＝104＋4，…，所以该数列的一个通项公式是a n ＝10n ＋n .答案：a n ＝10n ＋n8．解析：令a n ＝n 2－8n ＋12＜0，解得2＜n ＜6，又因为n ∈N *，所以n ＝3,4,5，一共有3项．答案：39．答案：(1)a n ＝(－1)n ＋1 或a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n 为奇数，－1，n 为偶数. (2)a n ＝⎩⎨⎧n ＋12，n 为奇数，n 2＋9，n 为偶数或a n ＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫n ＋192＋(－1)n ×172. (3)a n ＝1＋(－1)n ＋1(2n －1)22n. 10．解：(1)设a n ＝kn ＋b (k ≠0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝2，17k ＋b ＝66，解得k ＝4，b ＝－2.∴a n ＝4n －2.(2)a 2 013＝4×2 013－2＝8 050.(3)令2 014＝4n －2，解得n ＝504∈N *，∴2 014是数列{a n }的第504项．。

人教B版高中数学必修5同步章节训练题及答案全册汇编

人教B版高中数学必修5同步章节训练题及答案全册汇编高中数学人教B版必修5同步练习目录1.1.1《正弦定理》测试题 1.1.2《余弦定理》测试题 1.2《正余弦定理的应用》测试2.1《数列》同步练习 2.2.1《等差数列》例题解析2.2.2《等差数列前n项和》例题解析 2.3.1《等比数列》例题解析 2.3.1《等比数列》测试3.1.1《不等关系与不等式》测试题 3.1.2《不等式的性质》测试题 3.2《均值不等式》测试题 3.2《均值不等式》测试题3.3《一元二次不等式的解法》测试题 3.3《一元二次不等式的解法》测试题 3.4《不等式的实际应用》测试题3.4《不等式的实际应用》测试题（人教B版必修5） 3.5.1《二元一次不等式（组）所表示的平面区域》测试题3.5.2《简单线性规划》测试题高中数学人教B版必修5同步练习1.1.1正弦定理测试题【能力达标】一、选择题1. 不解三角形，下列判断正确的是（）ooA. a=7，b=14，A=30，有两解.B. a=30，b=25，A=150，有一解.ooC. a=6，b=9，A=45，有两解.D. a=9，b=10，A=60，无解. 2．在?ABC中acosA=bcosB,则?ABC是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形C.等边三角形D.等腰或直角三角形3．在?ABC中，已知a=52，c=10，∠A＝30，则∠B等于（）oA.105B. 60C. 15D.105或154．在?ABC中，a(sinB－sinC)+b(sinC－sinA)+c(sinA－sinB)的值是（）oo o oo1 B.0 C.1 D.? 25. 在?ABC中下列等式总成立的是（）A.A. a cosC=c cosAB. bsinC=c sinAC. absinC=bc sinBD. asinC=c sinA 6. 在ΔABC中，∠A=45,∠B=60,a=2,则b=( ) A．6 B．26 C．36 D．46 7．在ΔABC中，∠A=45, a=2，b=2，则∠B=（）00A．300 B．300或1500 C．600 D．600或1200 二、填空题8．在ΔABC中，a=8,B=1050,C=150,则此三角形的最大边的长为。

人教版高中数学必修5：第二章数列(课堂同步教学课件+学案+练习+单元检测,20份)课时跟踪检测(十

课时跟踪检测(十一) 等比数列的性质一、选择题1．等比数列{a n }的公比q ＝－14，a 1＝2，则数列{a n }是( ) A ．递增数列B ．递减数列C ．常数数列D ．摆动数列2．已知等比数列{a n }中，a 4＝7，a 6＝21，则a 8的值( )A ．35B ．63C ．21 3D ．±21 33．在等比数列{a n }中，a 1＝1，a 10＝3，则a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9等于( )A ．81B ．27327C ．3D ．2434．设数列{a n }为等比数列，则下面四个数列：①{a 3n }；②{pa n }(p 为非零常数)；③{a n ·a n ＋1}；④{a n ＋a n ＋1}．其中是等比数列的有几个( ) A ．1B ．2C ．3D ．45．已知等比数列{a n }中，a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9等于( )A ．2B ．4C ．8D ．16二、填空题6．公差不为零的等差数列{a n }中，2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝________.7．画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________平方厘米．8．在等比数列{a n }中，a 7·a 11＝6，a 4＋a 14＝5，则a 20a 10＝ ________.三、简答题9．三个互不相等的数成等差数列，如果适当排列这三个数，又可成为等比数列，这三个数的和为6，求这三个数．10.如图所示，在边长为1的等边三角形A 1B 1C 1中，连结各边中点得△A 2B 2C 2，再连结△A 2B 2C 2的各边中点得△A 3B 3C 3，…，如此继续下去，试证明数列S △A 1B 1C 1，S △A 2B 2C 2，S △A 3B 3C 3，…是等比数列．答案课时跟踪检测(十一)1．选D 由于公比q ＝－14＜0，所以数列{a n }是摆动数列．2．选B ∵{a n }成等比数列．∴a 4，a 6，a 8成等比数列∴a 26＝a 4·a 8，即a 8＝2127＝63. 3．选A 因为数列{a n }是等比数列，且a 1＝1，a 10＝3，所以a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9＝(a 2a 9)·(a 3a 8)(a 4a 7)(a 5a 6)＝(a 1a 10)4＝34＝81.故选A.4．选D ①∵a 3n ＋1a 3n ＝⎝⎛⎭⎫a n ＋1a n 3＝q 3，故{a 3n }是等比数列； ②∵pa n ＋1pa n ＝a n ＋1a n＝q ，故{pa n }是等比数列； ③∵a n ·a n ＋1a n －1·a n ＝a n ＋1a n －1＝q 2，故{a n ·a n ＋1}是等比数列； ④∵a n ＋a n ＋1a n －1＋a n ＝q (a n －1＋a n )a n －1＋a n＝q ，故{a n ＋a n ＋1}是等比数列． 5．选C 等比数列{a n }中，a 3a 11＝a 27＝4a 7，解得a 7＝4，等差数列{b n }中，b 5＋b 9＝2b 7＝2a 7＝8.6．解析：∵2a 3－a 27＋2a 11＝2(a 3＋a 11)－a 27＝4a 7－a 27＝0，∵b 7＝a 7≠0，∴b 7＝a 7＝4.∴b 6b 8＝b 27＝16.答案：167．解析：这10个正方形的边长构成以2为首项，2为公比的等比数列{a n }(1≤n ≤10，n ∈N *)，则第10个正方形的面积S ＝a 210＝22·29＝211＝2 048. 答案：2 0488．解析：∵{a n }是等比数列，∴a 7·a 11＝a 4·a 14＝6，又a 4＋a 14＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝2，a 14＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝3，a 14＝2， ∵a 14a 4＝q 10， ∴q 10＝23或q 10＝32. 而a 20a 10＝q 10， ∴a 20a 10＝23或a 20a 10＝32. 答案：23或329．解：由已知，可设这三个数为a －d ，a ，a ＋d ，则a －d ＋a ＋a ＋d ＝6，∴a ＝2，这三个数可表示为2－d,2,2＋d ，①若2－d 为等比中项，则有(2－d )2＝2(2＋d )，解之得d ＝6，或d ＝0(舍去)．此时三个数为－4,2,8.②若2＋d 是等比中项，则有(2＋d )2＝2(2－d )，解之得d ＝－6，或d ＝0(舍去)．此时三个数为8,2，－4.③若2为等比中项，则22＝(2＋d )·(2－d )，∴d ＝0(舍去)．综上可求得此三数为－4,2,8.10．解：由题意，得△A n B n C n (n ＝1,2,3…)的边长A n B n 是首项为1，公比为12的等比数列，故A n B n ＝⎝⎛⎭⎫12n －1，所以S △A n B n C n ＝34⎝⎛⎭⎫122n －2，所以S △A n ＋1B n ＋1C n ＋1S △A n B n C n ＝34⎝⎛⎭⎫122n 34⎝⎛⎭⎫122n －2＝14. 因此，数列S △A 1B 1C 1，S △A 2B 2C 2，S △A 3B 3C 3，…是等比数列．。

人教B版高中数学必修5同步练习题及答案全册汇编

人B版高中数学必修5同步习题目录第1章1.1.1第一课时同步练习第1章1.1.1第二课时同步练习第1章1.1.2第一课时同步练习第1章1.1.2第二课时同步练习第1章1.2同步练习第1章章末综合检测第2章2.1.1同步练习第2章2.1.2同步练习第2章2.2.1第一课时同步练习第2章2.2.1第二课时同步练习第2章2.2.2第一课时同步练习第2章2.2.2第二课时同步练习第2章2.3.1第一课时同步练习第2章2.3.1第二课时同步练习第2章2.3.2第一课时同步练习第2章2.3.2第二课时同步练习第2章章末综合检测第3章3.1.1同步练习第3章3.1.2第一课时同步练习第3章3.1.2第二课时同步练习第3章3.2第一课时同步练习第3章3.2第二课时同步练习第3章3.3第一课时同步练习第3章3.3第二课时同步练习第3章3.4同步练习第3章3.5.1同步练习第3章3.5.2第一课时同步练习第3章3.5.2第二课时同步练习第3章章末综合检测人教B 版必修5同步练习1．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( ) A ．1∶5∶6 B ．6∶5∶1 C ．6∶1∶5 D ．不确定解析：选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6.2．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝13，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C等于( )A.8381B.2393C.393D ．27 解析：选B.由比例的运算性质知a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，故a sin A ＝1332＝2393. 3．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( )A.32B.34C.32或 3D.34或32解析：选D.AB sin C ＝AC sin B ，求出sin C ＝32，∵AB ＞AC ，∴∠C 有两解，即∠C ＝60°或120°，∴∠A ＝90°或30°.再由S △ABC ＝12AB ·AC sin A 可求面积．4．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________．解析：由正弦定理，得a ＝2R ·sin A ，b ＝2R ·sin B ，代入式子a ＝2b cos C ，得 2R sin A ＝2·2R ·sin B ·cos C ，所以sin A ＝2sin B ·cos C ，即sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ＝2sin B ·cos C ，化简，整理，得sin(B －C )＝0. ∵0°＜B ＜180°，0°＜C ＜180°， ∴－180°＜B －C ＜180°， ∴B －C ＝0°，B ＝C . 答案：等腰三角形5．在△ABC 中，已知b ＝16，A ＝30°，B ＝120°，求边a 及S △ABC .解：由正弦定理，得a ＝b sin A sin B ＝16×sin30°sin120°＝1633.又C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(30°＋120°)＝30°，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×1633×16×12＝6433.1．在△ABC 中，若AB ＝3，∠ABC ＝75°，∠ACB ＝60°，则BC 等于( ) A.3 B ．2 C. 5 D. 6解析：选D.∠BAC ＝180°－75°－60°＝45°，由正弦定理得BC sin ∠BAC ＝ABsin ∠ACB，∴BC ＝AB sin ∠BAC sin ∠ACB＝3×sin 45°sin 60°＝ 6.2．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )A. 6 B ．2 C. 3 D. 2解析：选D.由正弦定理得6sin120°＝2sin C，∴sin C ＝12.又∵C 为锐角，则C ＝30°，∴A ＝30°， △ABC 为等腰三角形，a ＝c ＝ 2.3．在△ABC 中，若cos A cos B ＝ba，则△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析：选D.∵b a ＝sin B sin A ，∴cos A cos B ＝sin Bsin A，sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B即2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B ，或A ＋B ＝π2.4．三角形的两边长为3 cm 、5 cm ，其夹角的余弦值是方程5x 2－7x －6＝0的根，则此三角形的面积是( )A ．6 cm 2B ．152cm 2C ．8 cm 2D ．10 cm 2 解析：选A.设其夹角为θ，由方程得cos θ＝－35，∴sin θ＝45，∴S ＝12×3×5×45＝6(cm 2)．5．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝m ∶(m ＋1)∶2m ，则m 的取值范围是( ) A ．m ＞2 B ．m ＜0C ．m ＞－12D ．m ＞12解析：选D.由已知和正弦定理可得：a ∶b ∶c ＝m ∶(m ＋1)∶2m .令a ＝mk ，b ＝(m ＋1)k ，c ＝2mk (k ＞0)，则a ，b ，c 满足三角形的三边关系，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＞c ，a ＋c ＞b ，b ＋c ＞a .得m ＞12.6．△ABC 中，若sin A a ＝cos B b ＝cos Cc，则△ABC 中最长的边是( )A ．aB ．bC ．cD ．b 或c解析：选A.cos B b ＝cos Cc，∴tan B ＝tan C ，∴B ＝C ， sin A a ＝cos B b ＝cos B a sin B sin A＝sin A ·cos Ba sin B，∴tan B ＝1，∴B ＝4＝π4，A ＝π2，故a 最长．7．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝________，c ＝________.解析：由正弦定理得a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝63sin60°＝12，又S △ABC ＝12bc sin A ，∴12×12×sin60°×c ＝183，∴c ＝6.答案：12 68．已知△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，a ＝1，则a －2b ＋csin A －2sin B ＋sin C＝________.解析：由∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3得，∠A ＝30°，∠B ＝60°，∠C ＝90°，∴2R ＝a sin A ＝1sin30°＝2，又∵a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，∴a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C ＝2R (sin A －2sin B ＋sin C )sin A －2sin B ＋sin C ＝2R ＝2. 答案：29．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.解析：依题意，sin C ＝223，S △ABC ＝12ab sin C ＝43，解得b ＝2 3. 答案：2 310．△ABC 中，ab ＝603，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为153，求边b 的长．解：由S ＝12ab sin C 得，153＝12×603×sin C ，∴sin C ＝12，∴∠C ＝30°或150°.又sin B ＝sin C ，故∠B ＝∠C . 当∠C ＝30°时，∠B ＝30°，∠A ＝120°.又∵ab ＝603，a sin A ＝bsin B，∴b ＝215.当∠C ＝150°时，∠B ＝150°(舍去)．故边b 的长为215.11．已知△ABC 中，A 、B 、C 分别是三个内角，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，△ABC 的外接圆半径为12，且C ＝π3，求△ABC 面积S 的最大值．解：S △ABC ＝12ab sin C ＝12·2R sin A ·2R sin B ·sin C ＝3R 2sin A sin B ＝32R 2[cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝32R 2[cos(A －B )＋12]．当cos(A －B )＝1，即A ＝B 时，(S △ABC )max ＝334R 2＝334×144＝108 3.12．在平面四边形OAPB 中，∠AOB ＝120°，OA ⊥AP ，OB ⊥BP ，且AB ＝23，求OP 的长．解：如图，在平面四边形OAPB 中，∵OA ⊥AP ，OB ⊥BP ，∴O 、A 、B 、P 四点共圆．∴OP 的长就是四边形OAPB 外接圆的直径．∵a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，在△AOB 中，∠AOB ＝120°，AB ＝23，∴2R ＝AB sin ∠AOB ＝23sin 120°＝4，∴△AOB 外接圆的直径为4，即OP 的长为4.人教B 版必修5同步练习1．(2011年开封高二检测)在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( ) A.6 B. 2 C. 3 D ．2 6解析：选A.应用正弦定理得：a sin A ＝b sin B ，求得b ＝a sin Bsin A＝ 6.2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( ) A ．4 2 B ．4 3C ．4 6 D.323解析：选C.A ＝45°，由正弦定理得b ＝a sin Bsin A ＝4 6.3．在△ABC 中，∠B ＝45°，c ＝22，b ＝433，则∠A 的大小为( )A ．15°B ．75°C ．105°D ．75°或15°解析：选D.∵∠B 为锐角，又c sin B ＜b ＜c ，∴三角形有两解．4．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π3，则A＝________.解析：由正弦定理得：a sin A ＝csin C，所以sin A ＝a ·sin C c ＝12.又∵a ＜c ，∴A ＜C ＝π3，∴A ＝π6.答案：π65．如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少？解：在△ABC 中，BC ＝40×12＝20，∠ABC ＝140°－110°＝30°， ∠ACB ＝(180°－140°)＋65°＝105°，所以∠A ＝180°－(30°＋105°)＝45°，由正弦定理得AC ＝BC ·sin ∠ABC sin A＝20sin30°sin45°＝102(km)．即货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是10 2 km.1．在△ABC 中，一定成立的等式是( ) A ．a sin A ＝b sin B B ．a sin B ＝b sin A C ．a cos A ＝b cos B D ．a cos B ＝b cos A解析：选B.由正弦定理得：a sin A ＝b sin B，故a sin B ＝b sin A . 2．(2009年高考广东卷)已知△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c .若a ＝c ＝6＋2，且∠A ＝75°，则b ＝( )A ．2 B.6－ 2 C ．4－2 3 D ．4＋2 3解析：选A.sin A ＝sin75°＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°＝2＋64.由a ＝c ＝6＋2可知，∠C ＝75°，所以∠B ＝30°，sin B ＝12，由正弦定理得b ＝asin A ·sin B ＝2＋62＋64×12＝2，故选A. 3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对解析：选C.由正弦定理a sin A ＝b sin B 得：sin B ＝b sin A a ＝22，又∵a >b ，∴B <60°，∴B ＝45°.4．(2011年青岛高二检测)在△ABC 中，∠A ＝π3，BC ＝3，则△ABC 的两边AC ＋AB的取值范围是( )A ．[33，6]B ．(2,43)C ．(33，43]D ．(3,6]解析：选D.在△ABC 中，AC ＝BC ·sin B sin A ＝3·sin Bsin π3＝23sin B ，AB ＝23sin C ，∴AC ＋AB ＝23sin B ＋23sin C ＝23(sin B ＋sin C )＝23[sin B ＋sin(2π3－B )]＝23(sin B ＋sin 2π3cos B －cos 2π3sin B )＝23(32sin B ＋32cos B )＝23×3(32sin B ＋12cos B )＝6sin(B ＋π6)，∵0＜B ＜2π3，∴π6＜B ＋π6＜5π6，∴sin(B ＋π6)∈(12，1]，∴AC ＋AB ＝6sin(B ＋π6)∈(3,6]．5．在△ABC 中，∠B ＝30°，∠C ＝60°，a ＝1，则最短边的边长是( )A.63B.62C.12D.32解析：选C.由a sin A ＝b sin B 得，b ＝a sin B sin A ＝12，∵∠B 最小，∴最小边是b .6．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( )A ．1 B.12 C ．2D.14解析：选A.C ＝180°－105°－45°＝30°，由b sin B ＝csin C 得c ＝2×sin 30°sin45°＝1.7．在△ABC 中，已知a ＝433，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________.解析：由正弦定理得a sin A ＝bsin B⇒sin B ＝b sin A a ＝4×12433＝32.答案：328．(2011年盐城高二检测)在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________.解析：C ＝180°－120°－30°＝30°，∴a ＝c ，由a sin A ＝bsin B 得，a ＝12×sin30°sin120°＝43， ∴a ＋c ＝8 3. 答案：8 39．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解．解析：∵b sin C ＝43×12＝23且c ＝2，∴c <b sin C ，∴此三角形无解．答案：010．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sinB sinC ＝cos 2A2，求A 、B 及b 、c .解：由sin C 2cos C 2＝14，得sin C ＝12，又C ∈(0，π)，所以C ＝π6或C ＝5π6.由sin B sin C ＝cos 2A2，得sin B sin C ＝12[1－cos(B ＋C )]，即2sin B sin C ＝1－cos(B ＋C )，即2sin B sin C ＋cos(B ＋C )＝1，变形得 cos B cos C ＋sin B sin C ＝1，即cos(B －C )＝1，所以B ＝C ＝π6，B ＝C ＝5π6(舍去)，A ＝π－(B ＋C )＝2π3.由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C，得b ＝c ＝a sin Bsin A ＝23×1232＝2.故A ＝2π3，B ＝π6，b ＝c ＝2.11．(2009年高考四川卷)在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且cos 2A ＝35，sin B ＝1010.(1)求A ＋B 的值；(2)若a －b ＝2－1，求a ，b ，c 的值．解：(1)∵A 、B 为锐角，sin B ＝1010，∴cos B ＝1－sin 2B ＝31010.又cos 2A ＝1－2sin 2A ＝35，∴sin A ＝55，cos A ＝255，∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝255×31010－55×1010＝22.又0＜A ＋B ＜π，∴A ＋B ＝π4.(2)由(1)知，C ＝3π4，∴sin C ＝22.由正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C得5a ＝10b ＝2c ，即a ＝2b ，c ＝5b .∵a －b ＝2－1，∴2b －b ＝2－1，∴b ＝1. ∴a ＝2，c ＝ 5.12．在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知2B ＝A ＋C ，a ＋2b ＝2c ，求sin C 的值．解：因为2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝180°，所以B ＝60°，A ＋C ＝120°. 所以0°＜A ＜120°，0°＜C ＜120°.又因为a ＋2b ＝2c ，所以sin A ＋2sin B ＝2sin C ，所以sin(120°－C )＋2sin60°＝2sin C ，所以3sin C －cos C ＝2，即sin(C －30°)＝22.又因为0°＜C ＜120°且sin(C －30°)＞0，所以0°＜C －30°＜90°. 所以C －30°＝45°，C ＝75°.所以sin C ＝sin75°＝6＋24.人教B 版必修5同步练习1．在△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c 2－a 2－b22ab＞0，则△ABC ( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．是锐角或直角三角形解析：选C.∵cos C ＝a 2＋b 2－c22ab＜0，∴C 为钝角，∴△ABC 是钝角三角形． 2．如果满足∠ABC ＝60°，AC ＝12，BC ＝k 的三角形恰有一个，那么k 的取值范围是( ) A ．k ＝8 3 B ．0＜k ≤12 C ．k ≥12 D ．0＜k ≤12或k ＝8 3 解析：选D.设AB ＝x ，由余弦定理得 122＝x 2＋k 2－2kx cos60°，化简得x 2－kx ＋k 2－144＝0，因为方程的两根之和x 1＋x 2＝k ＞0，故方程有且只有一个根，等价于k 2－4(k 2－144)＝0或k 2－144≤0，解得0＜k ≤12或k ＝8 3.3．在△ABC 中，若a cos 2C 2＋c cos 2A 2＝32b ，那么a 、b 、c 的关系是( )A ．a ＋b ＝cB ．a ＋c ＝2bC ．b ＋c ＝2aD ．a ＝b ＝c解析：选B.cos 2C 2＝1＋cos C 2，cos 2A 2＝1＋cos A2，代入已知条件等式，得a ＋c ＋a cos C ＋c cos A ＝3b ，a ＋c ＋a ×a 2＋b 2－c 22ab ＋c ×b 2＋c 2－a 22bc＝3b ，整理，得a ＋c ＝2b .4．已知△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，且面积S ＝a 2＋b 2－c 24，则角C ＝________.解析：12ab sin C ＝S ＝a 2＋b 2－c 24＝a 2＋b 2－c 22ab ·ab 2＝12ab cos C ，∴sin C ＝cos C ，∴tan C ＝1，∴C ＝45°. 答案：45°5．在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A . (1)求AB 的值；(2)求sin(2A －π4)的值．解：(1)在△ABC 中，由正弦定理AB sin C ＝BCsin A，得AB ＝sin Csin ABC ＝2BC ＝2 5.(2)在△ABC 中，根据余弦定理，得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝255，于是sin A ＝1－cos 2A ＝55.从而sin 2A ＝2sin A cos A ＝45，cos 2A ＝cos 2 A －sin 2 A ＝35.所以sin(2A －π4)＝sin 2A cos π4－cos 2A sin π4＝210.1．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则∠B 的值为( )A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3解析：选D.由(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，联想到余弦定理，代入得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32·1tan B ＝32·cos B sin B .显然∠B ≠π2，∴sin B ＝32.∴∠B ＝π3或2π3.2．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，则a cos B ＋b cos A 等于( ) A ．a B ．b C ．c D ．以上均不对解析：选C.a ·a 2＋c 2－b 22ac ＋b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝2c 22c＝c .3．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加的长度决定解析：选A.设三边长分别为a ，b ，c 且a 2＋b 2＝c 2. 设增加的长度为m ，则c ＋m ＞a ＋m ，c ＋m ＞b ＋m ，又(a ＋m )2＋(b ＋m )2＝a 2＋b 2＋2(a ＋b )m ＋2m 2＞c 2＋2cm ＋m 2＝(c ＋m )2， ∴三角形各角均为锐角，即新三角形为锐角三角形．4．已知锐角三角形ABC 中，|AB →|＝4，|AC →|＝1，△ABC 的面积为3，则AB →·AC →的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．4 D ．－4解析：选A.S △ABC ＝3＝12|AB →|·|AC →|·sin A＝12×4×1×sin A ， ∴sin A ＝32，又∵△ABC 为锐角三角形，∴cos A ＝12，∴AB →·AC →＝4×1×12＝2.5．已知△ABC 的三个内角∠A ，∠B ，∠C 所对的三边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积S ＝c 2－(a －b )2，则tan C2等于( )A.12B.14C.18D ．1 解析：选B.依题意知S ＝c 2－(a －b )2＝c 2－a 2－b 2＋2ab ＝2ab －2ab cos C ＝12ab sin C ，得sin C ＋4cos C ＝4，即2sin C 2cos C 2＋4(2cos 2C2－1)＝4，即2sin C 2cos C 2＋8cos 2C 2sin 2C 2＋cos 2C 2＝8，得2tan C 2＋8tan 2C 2＋1＝8.解得tan C 2＝14或tan C2＝0(舍去)．6．边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角的和是( ) A ．90° B ．120° C ．135° D ．150°解析：选B.设中间角为θ，则cos θ＝52＋82－722×5×8＝12，θ＝60°，180°－60°＝120°即为所求．7．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，S 是△ABC 的面积，若a ＝4，b ＝5，S ＝53，则边c 的值为________．解析：S ＝12ab sin C ，sin C ＝32，∴C ＝60°或120°.∴cos C ＝±12，又∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴c 2＝21或61，∴c ＝21或61. 答案：21或618．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos A ∶cos B ∶cos C ＝________. 解析：由正弦定理a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，设a ＝2k (k ＞0)，则b ＝3k ，c ＝4k ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝(2k )2＋(4k )2－(3k )22×2k ×4k＝1116，同理可得：cos A ＝78，cos C ＝－14，∴cos A ∶cos B ∶cos C ＝14∶11∶(－4)．答案：14∶11∶(－4)9．在△ABC 中，a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.解析：∵cos C ＝13，∴sin C ＝223.又S △ABC ＝12ab sin C ＝43，即12·b ·32·223＝43， ∴b ＝2 3. 答案：2 310．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，确定△ABC 的形状．解：由正弦定理，得sin C sin B ＝cb.由2cos A sin B ＝sin C ，有cos A ＝sin C 2sin B ＝c2b.又根据余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，所以c 2b ＝b 2＋c 2－a22bc，即c 2＝b 2＋c 2－a 2，所以a ＝b .又因为(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，所以(a ＋b )2－c 2＝3ab ，所以4b 2－c 2＝3b 2，所以b ＝c ，所以a ＝b ＝c ，因此△ABC 为等边三角形．11．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ＝60°，c ＝3b .求： (1)ac的值； (2)cot B ＋cot C 的值．解：(1)由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(13c )2＋c 2－2·13c ·c ·12＝79c 2，故a c ＝73.(2)cot B ＋cot C ＝cos B sin C ＋cos C sin B sin B sin C ＝sin (B ＋C )sin B sin C ＝sin Asin B sin C，由正弦定理和(1)的结论得sin A sin B sin C ＝1sin A ·a 2bc＝23·79c 213c ·c ＝1433＝1439，故cot B ＋cot C ＝1439.12．在三角形ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c .求证：a 2－b 2c 2＝sin (A －B )sin C.证明：法一：右边＝sin A cos B －cos A sin Bsin C＝a ·cos B －cos A ·b c＝a ·a 2＋c 2－b 22ac －b 2＋c 2－a 22bc·bc＝a 2＋c 2－b 2－b 2－c 2＋a 22c c ＝a 2－b 2c 2＝左边．法二：左边＝sin 2A －sin 2Bsin 2C＝1－cos 2A 2－1－cos 2B2sin 2C＝cos 2B －cos 2A 2sin 2C＝－2sin (B ＋A )sin (B －A )2sin 2C＝sin C ·sin (A －B )sin 2C ＝sin (A －B )sin C＝右边．人教B 版必修5同步练习1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝13，那么AC 等于( )A ．6B ．2 6C ．3 6D ．4 6 解析：选A.由余弦定理，得 AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B＝ 42＋62－2×4×6×13＝6.2．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3－1，C ＝30°，则c 等于( ) A. 3 B. 2 C. 5 D ．2解析：选B.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝22＋(3－1)2－2×2×(3－1)cos30° ＝2， ∴c ＝ 2.3．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋3bc ，则∠A 等于( ) A ．60° B ．45° C ．120° D ．150°解析：选D.cos ∠A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc 2bc ＝－32，∵0°＜∠A ＜180°，∴∠A ＝150°.4．已知△ABC 的三个内角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________．解析：∵2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3.在△ABD 中，AD ＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B＝ 1＋4－2×1×2×12＝ 3.答案： 35．△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10，求最大角的度数．解：∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10， ∴a ∶b ∶c ＝(3－1)∶(3＋1)∶10.设a ＝(3－1)k ，b ＝(3＋1)k ，c ＝10k (k ＞0)， ∴c 边最长，即角C 最大．由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，又C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°.1．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为( ) A.π3 B.π6 C.π4 D.π12解析：选B.易知c 最小，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝72＋(43)2－(13)22×7×43＝32. 又∵0＜C ＜π，∴C ＝π6.2．在不等边三角形中，a 是最大的边，若a 2<b 2＋c 2，则角A 的取值范围是( )A ．(π2，π)B ．(π4，π2)C ．(π3，π2)D ．(0，π2)解析：选C.因为a 是最大的边，所以A >π3.又a 2<b 2＋c 2，由余弦定理cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc>0，所以A <π2，故π3<A <π2.3．在△ABC 中，b ＝3，c ＝3，B ＝30°，则a 为( ) A. 3 B ．2 3 C.3或2 3 D ．2解析：选C.在△ABC 中，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即3＝a 2＋9－33a ， ∴a 2－33a ＋6＝0，解得a ＝3或2 3.4．在△ABC 中，已知a 4＋b 4＋c 4＝2c 2(a 2＋b 2)，则角C 等于( ) A ．30° B ．60° C ．45°或135° D ．120°解析：选C.由a 4＋b 4＋c 4＝2c 2(a 2＋b 2)，得(a 2＋b 2－c 2)2＝2a 2b 2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝±22，所以C ＝45°或135°.5．在△ABC 中，已知a 2＝b 2＋bc ＋c 2，则角A 为( ) A.π3 B.π6 C.2π3 D.π3或2π3解析：选C.由a 2＝b 2＋bc ＋c 2得b 2＋c 2－a 2＝－bc ，即b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，联想到余弦定理，∴cos A ＝－12，∴∠A ＝2π3.6．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于( ) A.14 B.34 C.24 D.22解析：选B.由b 2＝ac ，又c ＝2a ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34.7．已知△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6，则AB →·BC →的值为________．解析：在△ABC 中，cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝49＋25－362×7×5＝1935， ∴AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos(π－B )＝7×5×(－1935)＝－19. 答案：－198．(2011年广州调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________．解析：设三边长为k －1，k ，k ＋1(k ≥2，k ∈N )，则⎩⎪⎨⎪⎧k 2＋(k －1)2－(k ＋1)2＜0k ＋k －1＞k ＋1⇒2＜k ＜4， ∴k ＝3，故三边长分别为2,3,4，∴最小角的余弦值为32＋42－222×3×4＝78.答案：789．设△ABC 中，AB →＝(1,2)，AC →＝(－x,2x )(x >0)．若△ABC 的周长为65时，则x 的值为________．解析：c ＝5，b ＝5x ，∴a ＝(5－x )5，由余弦定理得cos A ＝5x －12x ，又cos A ＝AB →·AC→|AB →||AC →|＝35， ∴x ＝3011.答案：301110．在△ABC 中，边a ，b 的长是方程x 2－5x ＋2＝0的两个根，C ＝60°，求边c 的长．解：由题意得a ＋b ＝5，ab ＝2，∴a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝25－4＝21， ∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝21－2＝19. ∴c ＝19.11．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1，求AB 的长．解：∵A ＋B ＋C ＝π且2cos(A ＋B )＝1，∴cos(π－C )＝12，即cos C ＝－12.又∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根， ∴a ＋b ＝23，ab ＝2. ∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C＝a 2＋b 2－2ab (－12)＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab ＝(23)2－2＝10， ∴AB ＝10.12．已知△ABC 的周长为2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C . (1)求边AB 的长；(2)若△ABC 的面积为16sin C ，求角C 的度数．解：(1)由题意及正弦定理得AB ＋BC ＋AC ＝2＋1，BC ＋AC ＝2AB ，两式相减，得AB ＝1.(2)由△ABC 的面积12BC ·AC ·sin C ＝16sin C ，得BC ·AC ＝13，由余弦定理得cos C ＝AC 2＋BC 2－AB22AC ·BC＝(AC ＋BC )2－2AC ·BC －AB 22AC ·BC ＝12，所以C ＝60°.人教B 版必修5同步练习1．如图，在河岸AC 测量河的宽度BC ，测量下列四组数据，较适宜的是( )A ．a 和cB ．c 和bC ．c 和βD ．b 和α解析：选D.在河的一岸测量河的宽度，关键是选准基线，在本题中AC 即可看作基线，在△ABC 中，能够测量到的边角分别为b 和α.2．如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )A ．a km B.3a km C.2a km D ．2a km 解析：选B.利用余弦定理解△ABC .易知∠ACB ＝120°，在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos120°＝2a 2－2a 2×(－12)＝3a 2.∴AB ＝3a .3．在200 m 的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为( )A.4003 mB.40033mC.20033 mD.2003m解析：选A.如图，设塔高为AB ，山顶为C ，在Rt △CDB 中，CD ＝200，∠BCD ＝90°－60°＝30°，∴BC ＝200cos30°＝40033.在△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ＝30°，∴∠BAC ＝120°，BC sin120°＝ABsin30°，∴AB ＝BC ·sin30°32＝4003(m)．4．一河两岸有A 、B 两地，为了测出AB 的距离，在河岸上选取一点C ，测得∠CAB ＝60°，∠ACB ＝45°，AC ＝60 m ，则AB ≈________.(精确到1 m)．解析：在△ABC 中，先由三角形的内角和定理求出∠B ，再由正弦定理求出AB . 答案：44 m5．已知A 、B 两点的距离为100海里，B 在A 的北偏东30°方向，甲船从A 点以50海里/小时的速度向B 航行，同时乙船从B 点以30海里/小时的速度沿方位角150°方向航行，问航行几小时，两船之间的距离最小？解：如图所示，设航行x 小时以后，甲船到达C 点，乙船到达D 点，在△BCD 中，BC ＝100－50x (海里)(0≤x ≤2)，BD ＝30x (海里)，∠CBD ＝60°，由余弦定理得： CD 2＝(100－50x )2＋(30x )2－2(100－50x )·30x ·cos60° ＝4900x 2－13000x ＋10000，作为二次函数考虑，当x ＝130002×4900＝6549(小时)时，CD 2最小，从而得CD 最小．故航行6549小时，两船之间距离最小．1．海面上有A ，B 两个小岛，相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成30°的视角，则B 岛与C 岛之间的距离是( )A ．10 3 海里 B.1063海里C ．5 2 海里D ．5 3 海里解析：选D.在由A ，B ，C 三岛组成的△ABC 中，∠C ＝180°－∠A －∠B ＝90°，所以BC ＝AB ·sin60°＝5 3.2．如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东40°，灯塔B 在观察站C 的南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东10°D ．南偏西10°解析：选B.∠ACB ＝180°－40°－60°＝80°，又∵AC ＝BC ，∴∠ABC ＝∠BAC ＝180°－80°2＝50°，又90°－50°－30°＝10°， ∴塔A 在塔B 的北偏西10°.3．如图，D 、C 、B 在地平面同一直线上，DC ＝10 m ，从D 、C 两地测得A 点的仰角分别为30°和45°，则A 点离地面的高AB 等于( )A ．10 mB ．5 3 mC ．5(3－1)mD ．5(3＋1) m解析：选D.在△ACD 中，由DC sin (45°－30°)＝ACsin30°得AC ＝10×12sin (45°－30°)＝56－24＝5(6＋2)．在△ABC 中，AB ＝AC ·sin45°＝5(6＋2)×22＝5(3＋1)．4. 如图所示，有一广告气球，直径为6 m ，放在公司大楼的上空，当行人仰望气球的中心的仰角∠BAC ＝30°时，测得气球的视角θ为2°，若θ的弧度数很小时，可取sin θ为θ的弧度数，由此可估计该气球的高BC 约为( )A ．70 mB ．86 mC ．102 mD ．118 m解析：选B.由题意，知∠BAC ＝30°，所以BC ＝12AC .又圆的半径为3 m ，sin1°＝sinπ180≈π180，所以AC ≈3×180π，即BC ＝12AC ≈270π≈86 (m)．5．(2011年温州质检)北京2008年第29届奥运会开幕式上举行升旗仪式，在坡度15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为106米(如图所示)．旗杆底部与第一排在一个水平面上，若国歌长度为50秒，升旗手应以多少米/秒的速度升旗( )A.15B.35C.35D.65 解析：选B.∠ABC ＝180°－60°－15°＝105°， ∠CAB ＝180°－105°－45°＝30°.∴AB ＝BC sin ∠CAB ·sin ∠BCA ＝106sin 30°·sin 45°＝20 3.在Rt △OAB 中，OA ＝AB sin ∠ABO ＝203·sin 60°＝30.∴v ＝3050＝35(米/秒)．故选B.6．在某个位置测得某山峰的仰角为θ，对着山峰在地面上前进600 m 后，测得仰角为原来的2倍，继续在地面上前进200 3 m 后，测得山峰的仰角为原来的4倍，则该山峰的高度为( )A ．200 mB ．300 mC ．400 mD ．100 m解析：选B.如图所示，在三角形ABC 中，BC ＝AC ＝600.在三角形ADC 中，DC ＝AD ＝2003，所以AD sin2θ＝AC sin (180°－4θ)＝ACsin4θ，所以2003sin2θ＝6002sin2θcos2θ，所以cos2θ＝32，2θ＝30°，所以在三角形ADE 中，AE ＝AD sin4θ＝2003×32＝300(m)．7．一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔M 在北偏东60°方向，行驶4 h 后，船到B 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________．解析：如图所示，AB ＝60 km ，∠MAB ＝30°，∠AMB ＝180°－30°－105°＝45°.由MB sin30°＝AB sin45°，得MB ＝30 2 km. 答案：30 2 km8.某观测站C 在城A 的南偏西20°的方向(如图)，由城A 出发的一条公路，走向是南偏东40°.在C 处测得距C 为31里的公路上有一人正沿公路向A 城走去，走了20里之后，到达D 处，此时CD 间的距离为21里，问此人还要走__________里路可到达A 城．解析：在△CDB 中，由余弦定理得cos ∠DBC ＝DB 2＋BC 2－CD 22·DB ·BC ＝2331，∴sin ∠DBC ＝12331，∴sin ∠ACB ＝sin[π－(∠DBC ＋∠DAC )]＝sin(∠DBC ＋π3)＝35362，在△CAB 中，由正弦定理得AB ＝BC ·sin ∠ACBsin ∠CAB＝35，∴AD ＝35－20＝15. 答案：159．如图所示的是曲柄连杆结构示意图，当曲柄OA 在水平位置时，连杆端点P 在Q 的位置，当OA 自OB 按顺时针旋转α角时，P 和Q 之间的距离为x ，已知OA ＝25 cm ，AP ＝125 cm ，若OA ⊥AP ，则x ＝________(精确到0.1 cm)．解析：x ＝PQ ＝OA ＋AP －OP ＝25＋125－252＋1252 ≈22.5(cm)．答案：22.5 cm10．在2008年北京奥运会垒球比赛前，C 国教练布置战术时，要求击球手以与连结本垒及游击手的直线成15°的方向把球击出．由经验及测速仪的显示，通常情况下球速为游击手最大跑速的4倍，问游击手在这种布置下能否接着球？解：假设游击手能接着球，接球点为B ，游击手从A 点跑出，本垒为O 点，球速为v ，如图所示，则∠AOB ＝15°，OB ＝v t ，AB ≤v t4.在△AOB 中，由正弦定理，得OB sin ∠OAB ＝ABsin15°，所以sin ∠OAB ＝OB sin15°AB≥v t v t 4·6－24＝6－ 2. 因为(6－2)2＝8－43>8－4×1.73>1，即sin ∠OAB >1，所以∠OAB 不存在，即游击手不能接着球． 11．甲船在A 处发现乙船在北偏东60°的B 处，乙船正以a n mile/h 的速度向北行驶．已知甲船的速度是 3a n mile/h ，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？解：如图，设经过t h 两船在C 点相遇，则在△ABC 中，BC ＝at ，AC ＝3at ，B ＝90°＋30°＝120°，由BC sin ∠CAB ＝AC sin B，得sin ∠CAB ＝BC sin BAC＝at ·sin120°3at ＝323＝12.∵0°<∠CAB <90°， ∴∠CAB ＝30°， ∴∠DAC ＝60°－30°＝30°. 即甲船应沿北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇．12．(2011年济南调研)A ，B ，C 是一条直路上的三点，AB ＝BC ＝1 km ，从这三点分别遥望一座电视发射塔P ，在A 处看见塔在东北方向，在B 处看见塔在正东方向，在C 处看见塔在南偏东60°方向，求塔到直路的距离．解：如图所示，设BN ＝x，则PQ ＝x ，P A ＝2x ，∵AB ＝BC ，∴CM ＝2BN ＝2x ，PC ＝2PQ ＝2x . 在△P AC 中，由余弦定理，得： AC 2＝P A 2＋PC 2－2P A ·PC ·cos 75°，即4＝2x 2＋4x 2－42x 2·6－24，解得x 2＝2(4＋3)13.过P 作PD ⊥AC ，垂足为D ，则线段PD 的长即为塔到直路的距离．在△P AC 中，由12AC ·PD ＝12P A ·PC sin 75°，得PD ＝P A ·PC ·sin 75°AC ＝22x 2·sin 75°2＝2·2(4＋3)13 ·6＋24＝7＋5313.故塔到直路的距离为7＋5313km.人教B 版必修5第1章章末综合检测(时间：120分钟；满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2011年福州高二检测)在△ABC 中，a ＝1，∠A ＝30°，∠B ＝60°，则b 等于( )A.32B.12C. 3 D ．2解析：选C.由a sin A ＝b sin B 得，b ＝a sin B sin A ＝1·sin60°sin30°＝ 3.2．在△ABC 中，a ＝80，b ＝100，∠A ＝45°，则此三角形解的情况是( ) A ．一解 B ．两解 C ．一解或两解 D ．无解解析：选B.由a sin A ＝bsin B得sin B ＝100×sin45°80＝528＜1，又∵a ＜b ， ∴B 有两解．故三角形有两解．3．(2011年临沂高二检测)在△ABC 中，若a ＝7，b ＝8，cos C ＝1314，则最大角的余弦值是( )A ．－15B ．－16C ．－17D ．－18解析：选C.c 2＝72＋82－2×7×8×1314＝9，∴c ＝3，∴B 最大．cos B ＝72＋32－822×7×3＝－17.4．在三角形ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则∠BAC 的大小为( ) A.2π3 B.5π6 C.3π4 D.π3解析：选A.由余弦定理cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22×AB ×AC ＝52＋32－722×5×3＝－12，所以∠BAC ＝2π3.5．在△ABC 中，∠B ＝60°，最大边与最小边之比为(3＋1)∶2，则最大角为( ) A ．45° B ．60° C ．75° D ．90°解析：选 C.设最大角为∠A ，最小角为∠C .由∠B ＝60°得∠A ＋∠C ＝120°.根据正弦定理，得a c ＝sin A sin C ＝sin (120°－C )sin C ＝3＋12，所以2sin(120°－C )＝(3＋1)·sin C ，即3cos C ＋sin C＝3sin C ＋sin C ，所以tan C ＝1，又0°＜∠C ＜180°，所以∠C ＝45°，所以∠A ＝75°.6．在△ABC 中，a 2＋b 2－ab ＝c 2＝23S △ABC ，则△ABC 一定是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：选B.由a 2＋b 2－ab ＝c 2得：cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴∠C ＝60°，又23S △ABC ＝a 2＋b 2－ab ，∴23×12ab ·sin 60°＝a 2＋b 2－ab ，得2a 2＋2b 2－5ab ＝0，即a ＝2b 或b ＝2a .当a ＝2b 时，代入a 2＋b 2－ab ＝c 2得a 2＝b 2＋c 2；当b ＝2a 时，代入a 2＋b 2－ab ＝c 2得b 2＝a 2＋c 2. 故△ABC 为直角三角形． 7．如图所示为起重机装置示意图．支杆BC ＝10 m ，吊杆AC ＝15 m ，吊索AB ＝519 m ，起吊的货物与岸的距离AD 为( )A ．30 m B.1523 mC ．15 3 mD ．45 m 解析：选B.在△ABC 中，由余弦定理，得cos ∠ACB ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC＝152＋102－(519)22×15×10＝－12，∴∠ACB ＝120°，∴∠ACD ＝180°－120°＝60°.∴AD ＝AC ·sin60°＝1532(m)．8．在△ABC 中，b 2－bc －2c 2＝0，a ＝6，cos A ＝78，则△ABC 的面积S 为( )A. 152B.15C ．2D ．3解析：选A.∵b 2－bc －2c 2＝0， ∴(b －2c )(b ＋c )＝0.∵b ＋c ≠0，∴b －2c ＝0.∴b ＝2c .∴6＝c 2＋4c 2－2c ·2c ×78，∴c ＝2，b ＝4.∴S ＝12bc sin A ＝12×2×4×1－4964＝152.9．锐角三角形ABC 中，b ＝1，c ＝2，则a 的取值范围是( ) A ．1＜a ＜3 B ．1＜a ＜ 5 C.3＜a ＜ 5 D ．不确定解析：选C.因为△ABC 为锐角三角形，所以cos A ＞0，cos B ＞0，cos C ＞0，所以b 2＋c 2－a 2＞0，a 2＋c 2－b 2＞0， a 2＋b 2－c 2＞0，所以1＋4－a 2＞0， a 2＋4－1＞0，a 2＋1－4＞0，即3＜a 2＜5，所以3＜a ＜ 5. 又c －b ＜a ＜b ＋c ，即1＜a ＜3.由⎩⎨⎧3＜a ＜5，1＜a ＜3.得3＜a ＜ 5.10．△ABC 中，a ，b ，c 分别是A 、B 、C 的对边，且满足2b ＝a ＋c ，B ＝30°，△ABC 的面积为0.5，那么b 为( )A ．1＋ 3B ．3＋ 3 C.3＋33D ．2＋ 3解析：选C.2b ＝a ＋c ，12ac ·12＝12⇒ac ＝2，a 2＋c 2＝4b 2－4，∴b 2＝a 2＋c 2－2ac ·32⇒b 2＝4＋233⇒b ＝3＋33.11．在△ABC 中，下列结论：①a 2＞b 2＋c 2，则△ABC 为钝角三角形；②a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则A 为60°；③a 2＋b 2＞c 2，则△ABC 为锐角三角形；④若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则a ∶b ∶c ＝1∶2∶3.其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选A.①a 2＞b 2＋c 2⇒b 2＋c 2－a 2＜0⇒b 2＋c 2－a 22bc＜0⇒cos A ＜0⇒A 为钝角⇒△ABC为钝角三角形；②a 2＝b 2＋c 2＋bc ⇒b 2＋c 2－a 2＝－bc ⇒b 2＋c 2－a 22bc ＝－12⇒cos A ＝－12⇒A ＝120°；③与①同理知cos C ＞0，∴C 是锐角，但△ABC 不一定是锐角三角形． ④A ∶B ∶C ＝1∶2∶3⇒A ＝30°，B ＝60°，C ＝90° ⇒a ∶b ∶c ＝1∶3∶2.12．锐角三角形ABC 中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对边，设B ＝2A ，则ba的取值范围是( )A ．(－2,2)B ．(0,2)C ．(2，2)D ．(2，3)解析：选D.∵b a ＝sin B sin A ＝sin2Asin A＝2cos A ，又∵△ABC 是锐角三角形，∴⎩⎪⎨⎪⎧B ＝2A ＜90°A ＋2A ＞90°，∴30°＜A ＜45°，则ba＝2cos A ∈(2，3)．二、填空题(本大题共4小题，把答案填在题中横线上) 13．在△ABC 中，若A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则AC ＝________.解析：在△ABC 中，由余弦定理，得cos A ＝cos120°＝AB 2＋AC 2－BC 22×AB ×AC ，即25＋AC 2－492×5×AC＝－12.解得AC ＝－8(舍去)或AC ＝3. 答案：3。

高中数学人教B版必修5习题第2章数列基本知能检测(含答案)

第二章基本知能检测(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中)1．在等差数列{a n }中，a 3＝－6，a 7＝a 5＋4，则a 1等于( ) A ．－10 B ．－2 C ．2 D ．10[答案] A[解析] 设公差为d ，∴a 7－a 5＝2d ＝4， ∴d ＝2，又a 3＝a 1＋2d ， ∴－6＝a 1＋4，∴a 1＝－10.2．在等比数列{a n }中，a 4、a 12是方程x 2＋3x ＋1＝0的两根，则a 8等于( ) A ．1 B ．－1 C ．±1 D ．不能确定[答案] B[解析] 由题意得，a 4＋a 12＝－3<0， a 4·a 12＝1>0，∴a 4<0，a 12<0. ∴a 8<0，又∵a 28＝a 4·a 12＝1， ∴a 8＝－1.3．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1(n 为奇数)2n －2(n 为偶数)，则a 2a 3等于( )A ．70B ．28C ．20D ．8[答案] C[解析] 由通项公式可得a 2＝2，a 3＝10，∴a 2a 3＝20.4．已知0<a <b <c ，且a ，b ，c 为成等比数列的整数，n 为大于1的整数，则log a n ，log b n ，log c n 成( )A ．等差数列B ．等比数列C ．各项倒数成等差数列D ．以上都不对[答案] C[解析] ∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac . 又∵1log a n ＋1log c n ＝log n a ＋log n c ＝log n (ac )＝2log n b ＝2log b n ，∴1log a n ＋1log c n ＝2log b n. 5．在等比数列{a n }中，a n <a n ＋1，且a 2a 11＝6，a 4＋a 9＝5，则a 6a 11等于( )A ．6B ．23C ．16D ．32[答案] B[解析] ∵a 4·a 9＝a 2a 11＝6，又∵a 4＋a 9＝5，且a n <a n ＋1， ∴a 4＝2，a 9＝3， ∴q 5＝a 9a 4＝32，又a 6a 11＝1q 5＝23. 6．在等比数列{a n }中，a 1＝1，则其前3项的和S 3的取值范围是( ) A ．(－∞，－1] B ．(－∞，0)∪(1，＋∞) C ．[34，＋∞)D ．[3，＋∞)[答案] C[解析] 设等比数列的公比为q ，则S 3＝1＋q ＋q 2＝(q ＋12)2＋34.∴S 3的取值范围是[34，＋∞)．7．正项等比数列{a n }满足a 2a 4＝1，S 3＝13，b n ＝log 3a n ，则数列{b n }的前10项和是( ) A ．65 B ．－65 C ．25 D ．－25[答案] D[解析] ∵{a n }为正项等比数列，a 2a 4＝1， ∴a 3＝1，又∵S 3＝13，∴公比 q ≠1. 又∵S 3＝a 1(1－q 3)1－q＝13，a 3＝a 1q 2，解得q ＝13.∴a n ＝a 3q n －3＝(13)n －3＝33－n ，∴b n ＝log 3a n ＝3－n . ∴b 1＝2，b 10＝－7.∴S 10＝10(b 1＋b 10)2＝10×(－5)2＝－25.8．等差数列{a n }中，若3a 8＝5a 13，且a 1>0，S n 为前n 项和，则S n 中最大的是( ) A ．S 21 B ．S 20 C ．S 11 D ．S 10[答案] B[解析] 设数列{a n }的公差为d ，因为3a 8＝5a 13，所以2a 1＋39d ＝0，即a 1＋a 40＝0，所以a 20＋a 21＝0，又a 1>0，d <0，故a 20>0，a 21<0，所以S n 中最大的是S 20. 9．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝x ·3n －1－16，则x 的值为( )A ．13B ．－13C ．12D ．－12[答案] C[解析] a 1＝S 1＝x －16，a 2＝S 2－S 1＝3x －16－x ＋16＝2x ，a 3＝S 3－S 2＝9x －16－3x ＋16＝6x ，∵{a n }为等比数列，∴a 22＝a 1a 3，∴4x 2＝6x ⎝⎛⎭⎫x －16，解得x ＝12.10．等差数列{a n }中，S n 是{a n }前n 项和，已知S 6＝2，S 9＝5，则S 15＝( ) A ．15 B ．30 C ．45 D ．60[答案] A[解析] 解法一：由等差数列的求和公式及⎩⎪⎨⎪⎧S 6＝2S 9＝5知，⎩⎨⎧6a 1＋6×52d ＝29a 1＋9×82d ＝5，∴⎩⎨⎧a 1＝－127d ＝427，∴S 15＝15a 1＋15×142d ＝15.解法二：由等差数列性质知，{S n n }成等差数列，设其公差为D ，则S 99－S 66＝3D ＝59－26＝29，∴D ＝227，∴S 1515＝S 99＋6D ＝59＋6×227＝1，∴S 15＝15. 11．一个卷筒纸，其内圆直径为4 cm ，外圆直径为12 cm ，一共卷60层，若把各层都视为一个同心圆，π＝3.14，则这个卷筒纸的长度为(精确到个位)( )A ．14 mB ．15 mC ．16 mD ．17 m[答案] B[解析] 纸的厚度相同，且各层同心圆直径成等差数列，则l ＝πd 1＋πd 2＋…＋πd 60＝60π×4＋122＝480×3.14＝1507.2(cm)≈15 m ，故选B ．12．数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N ＋)．若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8＝( )A ．0B ．3C ．8D ．11 [答案] B[解析] 本题主要考查等差数列的性质及累加法求通项，由b 3＝－2，b 10＝12，∴d ＝2， b 1＝－6，∴b n ＝2n －8，∵b n ＝a n ＋1－a n .∴a 8＝(a 8－a 7)＋(a 7－a 6)＋(a 6－a 5)＋(a 5－a 4)＋(a 4－a 3)＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝b 7＋b 6＋b 5＋b 4＋b 3＋b 2＋b 1＋a 1 ＝7(－6＋2×7－8)2＋3＝3.二、填空题(本大题共4个小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，a 5＝－2，a 8＝16，则S 6等于________． [答案]218[解析] ∵{a n }为等比数列，∴a 8＝a 5q 3，∴q 3＝16－2＝－8，∴q ＝－2.又a 5＝a 1q 4，∴a 1＝－216＝－18， ∴S 6＝a 1(1－q 6)1－q ＝－18[1－(－2)6]1＋2＝218.14．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，则a 9＝__________. [答案] 15[解析] 设等差数列公差为d ，则 S 3＝3a 1＋3×22×d ＝3a 1＋3d ＝3，a 1＋d ＝1，①又S 6＝6a 1＋6×52×d ＝6a 1＋15d ＝24，即2a 1＋5d ＝8.② 联立①②两式得a 1＝－1，d ＝2，故a 9＝a 1＋8d ＝－1＋8×2＝15.15．在等差数列{a n }中，S n 为它的前n 项和，若a 1＞0，S 16＞0，S 17＜0, 则当n ＝________时，S n 最大．[答案] 8[解析] ∵⎩⎪⎨⎪⎧S16＝16(a 1＋a 16)2＝8(a 8＋a 9)＞0S17＝17(a 1＋a 17)2＝17a 9＜0，∴a 8＞0而a 1＞0，∴数列{a n }是一个前8项均为正，从第9项起为负值的等差数列，从而n ＝8时，S n 最大．16．数列{x n }满足lg x n ＋1＝1＋lg x n (x ∈N *)，且x 1＋x 2＋…＋x 100＝100，则lg(x 101＋x 102＋…＋x 200)＝________.[答案] 102[解析] 由题意得x n ＋1＝10x n ，即数列{x n }是公比为10的等比数列，所以x 101＋x 102＋…＋x 200＝(x 1＋x 2＋…＋x 100)·10100＝10102，故lg(x 101＋x 102＋…＋x 200)＝102.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)已知数列{a n } 是首项为1的等差数列，且公差不为零．而等比数列{b n }的前三项分别是a 1，a 2，a 6.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若b 1＋b 2＋…＋b k ＝85，求正整数k 的值． [解析] (1)设数列{a n }的公差为d ， ∵a 1，a 2，a 6成等比数列，∴a 22＝a 1·a 6， ∴(1＋d )2＝1×(1＋5d )，∴d 2＝3d ，∵d ≠0，∴d ＝3，∴a n ＝1＋(n －1)×3＝3n －2. (2)数列{b n }的首项为1，公比为q ＝a 2a 1＝4.∵b 1＋b 2＋…＋b k ＝1－4k 1－4＝4k －13，∴4k －13＝85，∴4k ＝256，∴k ＝4，∴正整数k 的值为4.18．(本题满分12分)(2015·福建文，17)等差数列{a n }中，a 2＝4，a 4＋a 7＝15. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n －2＋n ，求b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10的值． [解析] (1)设等差数列{a n }的公差为d .由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝4(a 1＋3d )＋(a 1＋6d )＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3d ＝1.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ＋2. (2)由(1)可得b n ＝2n ＋n .所以b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10)＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10)＝2(1－210)1－2＋(1＋10)×102＝(211－2)＋55＝211＋53＝2 101.19．(本题满分12分)已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若数列{b n }是等差数列，且b n ＝S nn ＋c ，求非零常数c .[解析] (1){a n }为等差数列， ∵a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22，又a 3·a 4＝117，∴a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的两个根．又公差d >0，∴a 3<a 4， ∴a 3＝9，a 4＝13.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝9a 1＋3d ＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1d ＝4， ∴a n ＝4n －3.(2)由(1)知，S n ＝n ·1＋n (n －1)2·4＝2n 2－n ，∴b n ＝S nn ＋c ＝2n 2－n n ＋c，∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c ，∵{b n }是等差数列，∴2b 2＝b 1＋b 3， ∴2c 2＋c ＝0，∴c ＝－12(c ＝0舍去)．20.(本题满分12分)数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝13S n ，n ≥1，n ∈N ＋.求：(1)数列{a n }的通项公式； (2)a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n 的值． [解析] (1)∵a n ＋1＝13S n (n ∈N ＋)，∴a n ＝13S n －1(n ≥2，n ∈N ＋)，∴两式相减，得a n ＋1－a n ＝13a n .即a n ＋1a n ＝43(n ≥2)．a 2＝13S 1＝13a 1＝13，a 2a 1＝13≠43. ∴数列{a n }是从第2项起公比为43的等比数列，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (n ＝1)13·(43)n －2(n ≥2).(2)由(1)知，数列a 2，a 4，a 6，…，a 2n 是首项为13，公比为169的等比数列，∴a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝13[1－(169)n ]1－169＝37[(169)n －1]．21．(本题满分12分)(2015·天津文，18)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，{b n }是等差数列，且a 1＝b 1＝1，b 2＋b 3＝2a 3，a 5－3b 2＝7.(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)设c n ＝a n b n ，n ∈N *，求数列{c n }的前n 项和． [解析] (1)设{a n }的公比为q ，{b n }的公差为d .由题意q >0，由已知，有⎩⎪⎨⎪⎧2q 2－3d ＝2q 4－3d ＝10，消去d ，得q 4－2q 2－8＝0. 又因为q >0，解得q ＝2，d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，n ∈N *， {b n }的通项公式为b n ＝2n －1，n ∈N *. (2)由(1)有c n ＝(2n －1)2n －1，设{c n }的前n 项和为S n ，则S n ＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n －1)×2n －1， 2S n ＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n －1)×2n ，两式相减，得－S n ＝1＋22＋23＋…＋2n －(2n －1)×2n ＝－(2n －3)×2n －3. 所以S n ＝(2n －3)2n ＋3，n ∈N *.22.(本题满分14分)如图所示，某市2009年新建住房400万平方米，其中250万平方米是中低价房，预计今年后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积比上一年增加50万平方米，那么到哪一年底，(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2009年累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米？(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?[解析] (1)设中低价房面积构成数列{a n }，由题意知：{a n }是等差数列，其中a 1＝250，d ＝50，∴S n ＝250n ＋n (n －1)2×50＝25n 2＋225n ，令25n 2＋225n ≥4 750，即n 2＋9n －190≥0，解得n ≤－19或n ≥10， ∴n ≥10.故到2018年底，该市历年所建中低价房累计面积首次不少于4 750万m 2. (2)设新建住房面积构成等比数列{b n }．由题意知{b n }为等比数列，b 1＝400，q ＝1.08. ∴b n ＝400×(1.08)n －1，令a n >0.85b n ，即250＋(n －1)×50>400×(1.08)n －1×0.85，∴满足不等式的最小正整数n＝6.故到2014年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.。

人教版高中数学必修5：第二章数列(课堂同步教学课件+学案+练习+单元检测,20份)课时跟踪检测(七

课时跟踪检测(七) 等差数列一、选择题1．在等差数列{a n }中，a 3＝0，a 7－2a 4＝－1，则公差d 等于( )A ．－2B ．－12 C.12 D ．22．设x 是a 与b 的等差中项，x 2是a 2与－b 2的等差中项，则a ，b 的关系是( )A ．a ＝－bB ．a ＝3bC ．a ＝－b 或a ＝3bD ．a ＝b ＝03．若等差数列{a n }中，已知a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝35，则n ＝( )A ．50B ．51C ．52D ．534．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋1，则a 2 012等于( )A ．2 009B ．2 010C ．2 011D ．2 0125．下列命题中正确的个数是( )(1)若a ，b ，c 成等差数列，则a 2，b 2，c 2一定成等差数列；(2)若a ，b ，c 成等差数列，则2a,2b,2c 可能成等差数列；(3)若a ，b ，c 成等差数列，则ka ＋2，kb ＋2，kc ＋2一定成等差数列；(4)若a ，b ，c 成等差数列，则1a ，1b ，1c可能成等差数列． A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题6．已知数列{a n }是各项均为正数的等差数列，a 1和a 3是方程x 2－8x ＋7＝0的两根，则它的通项公式是________．7．等差数列1，－3，－7，…的通项公式为________，a 20＝________.8．数列{a n }是等差数列，且a n ＝an 2＋n ，则实数a ＝________.三、解答题9．在等差数列{a n }中，已知a 1＝112，a 2＝116，这个数列在450到600之间共有多少项？10．数列{a n }满足a 1＝1，12a n ＋1＝12a n＋1(n ∈N *)． (1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．答案课时跟踪检测(七)1．选B 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝0，a 1＋6d －2(a 1＋3d )＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝－12. 2．选C 由等差中项的定义知：x ＝a ＋b 2， x 2＝a 2－b 22， ∴a 2－b 22＝⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，即a 2－2ab －3b 2＝0. 故a ＝－b 或a ＝3b .3．选D 依题意，a 2＋a 5＝a 1＋d ＋a 1＋4d ＝4，代入a 1＝13，得d ＝23. 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝13＋(n －1)×23＝23n －13，令a n ＝35，解得n ＝53.4．选D 由于a n ＋1－a n ＝1，则数列{a n }是等差数列，且公差d ＝1，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，故a 2 012＝2 012.5．选B 对于(1)取a ＝1，b ＝2，c ＝3⇒a 2＝1，b 2＝4，c 2＝9，(1)错．对于(2)a ＝b ＝c ⇒2a ＝2b ＝2c ，(2)正确；对于(3)∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b .∴(ka ＋2)＋(kc ＋2)＝k (a ＋c )＋4＝2(kb ＋2)，(3)正确；对于(4)，a ＝b ＝c ≠0⇒1a ＝1b ＝1c， (4)正确．综上可知选B.6．解析：解方程x 2－8x ＋7＝0得x 1＝1，x 2＝7. ∵数列{a n }的各项均为正数，∴a 1＝1，a 3＝7.∴公差d ＝a 3－a 12＝3.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3n －2. 答案：a n ＝3n －27．解析：∵d ＝－3－1＝－4，a 1＝1，∴a n ＝1－4(n －1)＝－4n ＋5.∴a 20＝－80＋5＝－75.答案：a n ＝－4n ＋5 －758．解析：∵{a n }是等差数列，∴a n ＋1－a n ＝常数． ∴[a (n ＋1)2＋(n ＋1)]－(an 2＋n )＝2an ＋a ＋1＝常数． ∴2a ＝0，∴a ＝0.答案：09．解：由题意，得d ＝a 2－a 1＝116－112＝4，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝112＋4(n －1)＝4n ＋108. 令450≤a n ≤600，解得85.5≤n ≤123，又因为n 为正整数，故有38项．10．解：(1)证明：由12a n ＋1＝12a n ＋1，可得1a n ＋1－1a n＝2， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，以2为公差的等差数列． (2)由(1)知1a n＝1＋(n －1)·2＝2n －1，∴a n ＝12n －1.。

人教B版高中数学必修五检测第2章数列2.2 第2课时 Word版含解析

第二章第课时基础巩固一、选择题．如果等差数列{}中，＋＋＝，那么＋＋…＋＝( )．．．．[解析]∵{}是等差数列，∴＋＋＝＝，∴＝.∴＋＋…＋＝＝.．在等差数列{}中，已知＋＝，则＋＝( )．．．．[解析]在等差数列{}中，＋＝＋＝，故选．．(·重庆理，)在等差数列{}中，若＝，＝，则等于( )．．－．．[解析]解法一：∵＋＝，∴＝－＝－＝.解法二：∵－＝，∴＝－，∴＝－.∴＝＋＝－＝.．已知等差数列{}满足＋＋＋…＋＝，则有( )．＋<．＋>．＝．＋≤[解析]由题设＋＋＋…＋＝＝，∴＝.．等差数列{}中，＋＋＝，＋＋＝，则＋＋的值为( )．．．．[解析]＝＋＋＝，＝＋＋＝，＝＋＋，∵{}成等差数列，∴，，成等差数列，∴＋＋＝＝＋(－)＝－＝.．等差数列中，若＋＋＋＋＋＋＝，则＋等于( )．．．．[解析]＋＋＋＋＋＋＝＝，∴＝，∴＋＝＝.二、填空题．(·广东理，)在等差数列{}中，若＋＋＋＋＝，则＋＝[解析]因为{}是等差数列，所以＋＝＋＝＋＝，＋＋＋＋＝＝，即＝，＋＝＝.－．在等差数列{}中，＝，＝，则＝[解析]∵－＝，∴－＝.＝＋＝＋－＝－.三、解答题．四个数成递增等差数列，中间两数的和为，首末两项的积为－，求这四个数[解析]设这四个数为－，－，＋，＋(公差为)．依题意，得＝，且(－)(＋)＝－，即＝，－＝－，∴＝，∴＝或＝－.又四个数成递增等差数列，所以>，∴＝，故所求的四个数为－.．已知等差数列{}中，＋＋＝，求＋[解析]解法一：＋＋＝＋＋＋＋＋＝＋＝，∴＋＝.∴＋＝＋＋＋＝＋＝(＋)＝.解法二：∵{}为等差数列，∴＝＋＝＋，∴＋＋＝＝，∴＝，∴＋＝＝.能力提升一、选择题．设数列{}、{}都是等差数列，若＋＝，＋＝，则＋＝( )．．．．[解析]∵数列{}、{}都是等差数列，∴＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝(＋)＝，∴＋＝－(＋)＝－＝.．在等差数列{}中，若＋＋＋＋＝，则－的值为( )．．．．[解析]由题意，得＝，∴＝，∴－＝(＋)－(＋)＝＝.．设{}是公差为正数的等差数列，若＋＋＝，＝，则＋＋等于)( )．．．．[解析]由＋＋＝，可得＝，所以＋＝，＝，解得＝，＝或＝，＝.又等差数列{}的公差为正数，所以数列{}是递增数列，所以＝，＝，其公差＝－＝－＝，所以＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝(＋＋)＋＝＋×＝.。

(人教版)高中数学必修5检测第2章数列2.2 第1课时 Word版含答案

第二章第课时一、选择题(每小题分，共分)．在等差数列{}中，＝－，＝＋，则等于( )．－．－．－．－解析：∵＝＋，∴＝－＝，∴＝.∴＝－＝－－＝－，故选.答案：．已知等差数列{}的通项公式为＝－，则它的公差为( )．．．－．－解析：∵＝－＝＋(－)×(－)，∴＝－，故选.答案：．{}是首项＝，公差＝的等差数列，＝，则序号等于( )．．．．解析：∵＝＋(－)＝＋(－)＝，∴＝，故选.答案：．已知数列{}，对任意的∈*，点(，)都在直线＝＋上，则{}为( ) ．公差为的等差数列．公差为的等差数列．公差为－的等差数列．非等差数列解析：由题意知＝＋，∴＋－＝，应选.答案：二、填空题(每小题分，共分)．在等差数列{}中，＝，＝，则＝.解析：由是与的等差中项知，＝＋，∴＝.答案：．在等差数列{}中，＋＝，＝，则＝.解析：设等差数列{}的公差为，则有(\\(＋＝＋＝，＝＋＝，))解得(\\(＝－()，＝()，))∴＝－＋×＝.答案：三、解答题(每小题分，共分)．判断下列数列是否为等差数列．()在数列{}中＝＋；()在数列{}中＝＋.解析：()＋－＝(＋)＋－(＋)＝(∈*)．由的任意性知，这个数列为等差数列．()＋－＝(＋)＋(＋)－(＋)＝＋，不是常数，所以这个数列不是等差数列．．已知等差数列{}的首项为，公差为，且＝－，＝，求的值．你能判断该数列从第几项开始为正数吗？解析：由等差数列＝＋(－)列方程组：(\\(＋＝－，＋＝，))解得(\\(＝－，＝，))∴＝－＋×＝－，∴＝－＋(－)×＝－，令≥，即－≥⇒≥.∴从第项开始，各项为正数．☆☆☆.(分)已知单调递增的等差数列{}的前三项之和为，前三项之积为，求数列{}的通项公式．解析：方法一：根据题意，设等差数列{}的前三项分别为，＋，＋，则(\\(＋(＋(＋(＋(＝，(＋((＋(＝，))即(\\(＋＝，(＋((＋(＝，))解得(\\(＝，＝))或(\\(＝，＝－.))因为数列{}为单调递增数列，因此(\\(＝，＝，))从而等差数列{}的通项公式为＝－.方法二：由于数列{}为等差数列，因此可设前三项分别为－，，＋，于是可得(\\((－(＋＋(＋(＝，,(－((＋(＝，))即(\\(＝，(－(＝，))解得(\\(＝，＝))或(\\(＝，＝－.))由于数列{}为单调递增数列，因此(\\(＝，＝，))从而＝－.。

2019-2020学年高中人教B版数学必修五同步课时跟踪检测：第2章数列 2.2 2.2.2 第

姓名，年级：时间：第二章2．2 等差数列2．2.2 等差数列的前n项和第二课时等差数列习题课课时跟踪检测[A组基础过关]1．（2018·贵州遵义月考)已知等差数列｛a n｝的前n项和为S n,S9〉0，S8<0，则使得S n取得最小值的n为（)A．3 B．4C．5 D．6解析：由S9〉0，S8〈0，得S9＝9a5>0，∴a5>0，由S8＝错误!＝4(a4＋a5）＜0，∴a4<0，∴S n取得最小值的n为4,故选B.答案：B2．已知S n是等差数列｛a n}(n∈N＊）的前n项和，且S6>S7>S5,有下列四个命题：①d〈0；②S11>0；③S12<0；④数列{S n}中的最大项为S11,其中正确的命题是（）A．①②B．①③C．②③D．①④解析：由S6〉S7>S5,得错误!∴a6>0，a7<0,S6最大，④错；∴d<0，①正确；S＝错误!＝11a6〉0，②正确；11S＝错误!＝错误!>0，③错．12故选A.答案：A3．(2018·河北衡水月考)设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S13>0，S14<0，若a k·a k＋1<0，则k＝( ）A．6 B．7C．13 D．14解析:S13＝错误!＝13a7>0，S14＝错误!＝7(a7＋a8）〈0，∴a8<0,∴k＝7时，a7·a8<0，故选B。

答案：B4．已知等差数列｛a n}的前n项和为S n，S10＝0，且S n≥－5对一切n∈N＊恒成立,则此等差数列｛a n｝公差d的取值范围是（)A。

错误!B．错误!C。

错误!D。

错误!解析：由S10＝10a1＋错误!d＝0，∴a1＝－错误!d。

又S n＝na1＋错误!d＝－92nd＋n2－n2d＝错误!(n2－10n）＝错误![(n－5）2－25]．由S n≥－5对一切n∈N*恒成立，∴错误!∴0<d≤错误!。

高中人教B版数学必修五同步课时跟踪检测：第2章数列 2.3 2.3.2 第一课时

第二章 2．3 等比数列2．3.2 等比数列的前n 项和第一课时等比数列的前n 项和课时跟踪检测[A 组基础过关]1．在等比数列{a n }中，公比q ＝－2，S 5＝44，则a 1的值为( )A ．4B ．－4C ．2D ．－2 答案：A2．(2018·宁夏银川月考)设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 2＝( ) A ．2B ．4 C.152D.172解析：S 4a 2＝a 1(1－24)1－22a 1＝152，故选C. 答案：C3．(2019·河北邢台月考)设S n 为数列{a n }的前n 项和，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前20项和为( )A.32－12×319B ．74－14×319 C.32－12×318D.74－14×318解析：a n ＋1＝2S n ，当n ≥2时，a n ＝2S n －1，∴2S n －2S n －1＝a n ＋1－a n ，∴2a n ＝a n ＋1－a n ，∴a n ＋1＝3a n ，又a 1＝1，a 2＝2S 1＝2a 1＝2，∴数列{a n }从第二项起是等比数列，公比为3.∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 从第二项起是等比数列，1a 1＝1，1a 2＝12，q ＝13，∴前20项和为1＋12⎝⎛⎭⎫1－13191－13＝74－14×318，故选D. 答案：D4．正项等比数列{a n }中，S n 为其前n 项和，若S 3＝3，S 9＝39，则S 6为( )A ．21B ．18C ．15D ．12解析：由S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列，得(S 6－S 3)2＝S 3(S 9－S 6)，即(S 6－3)2＝3(39－S 6)，即S 26－3S 6－108＝0，解得S 6＝12或S 6＝－9(舍)．答案：D5．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列．若a 1＝1，则S 4＝( )A ．7B ．8C ．15D ．16 解析：由题可得4a 2＝4a 1＋a 3，∴4q ＝4＋q 2，∴q ＝2，∴S 4＝1×(1－24)1－2＝15，故选C. 答案：C6．已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和，若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝_________.解析：由题可知⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＝5，a 1·a 3＝4， ∵{a n }是递增数列，∴a 1＝1，a 3＝4，∴q ＝2，S 6＝a 1(1－q 6)1－q ＝1－261－2＝63. 答案：637．(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为数列{a n }的前n 项和，若S n ＝2a n ＋1，则S 6＝________. 解析：根据S n ＝2a n ＋1，可得S n ＋1＝2a n ＋1＋1，两式相减得a n ＋1＝2a n ＋1－2a n ，即a n ＋1＝2a n ，当n ＝1时，S 1＝a 1＝2a 1＋1，解得a 1＝－1，所以数列{a n }是以－1为首项，以2为公比的等比数列，所以S 6＝－(1－26)1－2＝－63. 答案：－638．(2018·甘肃武威月考)已知数列{a n }是一个递增的等比数列，且a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，求数列{a n }的前n 项和S n .解：∵{a n }是递增数列，由a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝a 1a 4＝8，得a 1＝1，a 4＝8，∴q 3＝a 4a 1＝8，∴q ＝2， ∴S n ＝1(1－2n )1－2＝2n －1. [B 组技能提升]1．设等比数列{a n }的前n 项积为T n (n ∈N *)，已知a m －1·a m ＋1－2a m ＝0，且T 2m －1＝128，则m 的值为( )A ．4B ．7C ．10D ．12 解析：因为{a n }是等比数列，所以a m －1a m ＋1＝a 2m ，又由a m －1a m ＋1－2a m ＝0，可知a m ＝2.由等比数列的性质可知前(2m －1)项积T 2m －1＝a 2m －1m ，即22m －1＝128，故m ＝4. 答案：A2．等比数列{a n }共有奇数项，所有奇数项和S 奇＝255，所有偶数项和S 偶＝－126，末项是192，则首项a 1等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4 解析：∵a n ＝192，S 奇＝255，S 偶＝－126， ∴q ＝S 偶S 奇－a n ＝－126255－192＝－2. 又S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q＝S 奇＋S 偶， ∴a 1＋3843＝255－126，∴a 1＝3. 故选C.答案：C3．(2018·江苏南京师范大学月考)设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若满足a 4＋3a 11＝0，则S 21S 14＝________. 解析：∵a 4＋3a 11＝0，∴q 7＝－13，∴S 21S 14＝1－q 211－q 14＝1－⎝⎛⎭⎫－1331－⎝⎛⎭⎫－132＝76. 答案：764．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1－a n ＝2n ，n ∈N *，则a n ＝________. 解析：a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n －1＋2n －2＋…＋2＋1＝1－2n 1－2＝2n －1.答案：2n －15．已知递增等比数列{a n }的第三项，第五项，第七项的积为512，且这三项分别减去1,3,9后成等差数列．(1)求{a n }的首项和公比；(2)设S n ＝a 21＋a 22＋…＋a 2n ，求S n . 解：(1)由题可知a 3·a 5·a 7＝512，∴a 35＝512，a 5＝8，∴a 3·a 7＝64，又a 3－1，a 5－3，a 7－9成等差数列， ∴2(a 5－3)＝a 3－1＋a 7－9，即a 3＋a 7＝20.∴a 3＝4，a 7＝16，∴q 4＝a 7a 3＝4. ∴q ＝2，a 1＝2.(2)由(1)可知a n ＝2·(2)n －1，∴a 2n ＝4·2n －1. ∴数列{a 2n }是等比数列，公比为2，首项为4，∴S n ＝4(1－2n )1－2＝2n ＋2－4. 6．数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1＝t ，点(S n ，a n ＋1)在直线y ＝3x ＋1上，n ∈N *.(1)当实数t 为何值时，数列{a n }是等比数列；(2)在(1)的结论下，设b n ＝log 4a n ＋1，c n ＝a n ＋b n ，T n 是数列{c n }的前n 项和，求T n . 解：(1)∵点(S n ，a n ＋1)在直线y ＝3x ＋1上， ∴a n ＋1＝3S n ＋1，a n ＝3S n －1＋1(n >1，且n ∈N *)， a n ＋1－a n ＝3(S n －S n －1)＝3a n ，∴a n ＋1＝4a n ，n >1，a 2＝3S 1＋1＝3a 1＋1＝3t ＋1，∴当t ＝1时，a 2＝4a 1，数列{a n }是等比数列．(2)在(1)的结论下，a n＋1＝4a n，a n＋1＝4n，b n＝log4a n＋1＝n，c n＝a n＋b n＝4n－1＋n，T n＝c1＋c2＋…＋c n＝(40＋1)＋(41＋2)＋…＋(4n－1＋n) ＝(1＋4＋42＋…＋4n－1)＋(1＋2＋3＋…＋n)＝4n－13＋n(n＋1)2.由Ruize收集整理。

高中人教B版数学必修五同步课时跟踪检测：第2章数列 2.1 2.1.2

第二章 2．1 数列2．1.2 数列的递推公式(选学)课时跟踪检测[A 组基础过关]1．(2018·湖南宁远期中)已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且a n ＋1＝12a n ＋12，则此数列第4项是( )A ．1B.12C.34D.58解析：a 1＝1，a 2＝12×1＋12＝1， a 3＝12×1＋12＝1， a 4＝12×1＋12＝1，故选A. 答案：A2．已知数列{a n }中，a 2＝3，a n ＋2＝a n ＋n ，则a 8＝( )A ．11B ．13C ．15D ．17 解析：a 2＝3，则a 4＝a 2＋2＝5，a 6＝a 4＋4＝9，a 8＝a 6＋6＝15.故选C. 答案：C3．已知数列{x n }对于任意m ，r ∈N ＋，有x m ＋r ＝x m ＋x r ，又x 2＝－6，则x 10＝( )A ．21B ．－30C ．34D ．－43解析：由题可得x 10＝x 8＋2＝x 8＋x 2＝x 6＋2x 2＝x 4＋3x 2＝5x 2＝－30.故选B. 答案：B4．(2019·江西赣州月考)已知数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝a n ＋1n 2＋3n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝1n ＋1B ．a n ＝n n ＋1C ．a n ＝12＋n －1n 2＋n ＋2D ．a n ＝n ＋1n ＋2解析：将n ＝1,2代入验证，可排除A 、C 、D ，故选B.答案：B5．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＝－1(n ∈N ＋)，则此数列的通项a n 等于( )A ．n 2＋1B ．n ＋1C ．1－nD ．3－n解析：当n ＝1时，a 1＝2，排除C ；当n ＝2时，a 2－a 1＝－1，∴a 2＝1，排除A 、B ，故选D.答案：D6．已知数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧ 2a n ⎝⎛⎭⎫0≤a n <12，2a n －1⎝⎛⎭⎫12≤a n <1，若a 1＝67，则a 8的值为________．解析：a 1＝67，∴a 2＝2×67－1＝57，a 3＝2×57－1＝37，a 4＝67，a 5＝57，a 6＝37，a 7＝67，a 8＝57. 答案：577．(2018·吉林延边月考)已知数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n，则a 16＝________. 解析：∵a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n， ∴a 2＝1－1a 1＝－1， a 3＝1－1－1＝2， a 4＝1－12＝12， ∴数列{a n }具有周期性，T ＝3，∴a 16＝a 1＝12. 答案：128．已知数列{a n }满足下列条件，写出它的前五项，并归纳出各数列的一个通项公式．(1)a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋(2n －1)；(2)a 1＝1，a n ＋1＝2a n a n ＋2. 解：(1)∵a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋(2n －1)，∴a 2＝a 1＋(2×1－1)＝1，a 3＝a 2＋(2×2－1)＝4，a 4＝a 3＋(2×3－1)＝9，a 5＝a 4＋(2×4－1)＝16.∴它的前五项为0,1,4,9,16，此数列又可写成(1－1)2，(2－1)2，(3－1)2，(4－1)2，(5－1)2，…，故该数列的一个通项公式为a n ＝(n －1)2.(2)∵a 1＝1，a n ＋1＝2a n a n ＋2， ∴a 2＝23，a 3＝12，a 4＝25， a 5＝13. 它的前五项依次为1，23，12，25，13，因此该数列可写成21＋1，22＋1，23＋1，24＋1，25＋1，…，故它的一个通项公式为a n ＝2n ＋1. [B 组技能提升]1．已知数列{a n }满足：a 1＝17，对于任意的n ∈N *，a n ＋1＝72a n (1－a n )，则a 1 413－a 1 314＝( )A ．－27B ．27C ．－37D.37解析：a 1＝17，a 2＝72×17×67＝37， a 3＝72×37×47＝67， a 4＝72×67×17＝37，…，归纳可知，当n >1时，若n 为奇数，a n ＝67；若n 为偶数，a n ＝37， ∴a 1 413－a 1 314＝67－37＝37，故选D.答案：D2．跳格游戏：如图，人从格子外只能进入第1个格子，在格子中每次可向前跳1格或2格，那么人从格子外跳到第8个格子的方法种数为( )A ．8种B ．13种C ．21种D ．34种解析：设跳到第n 个格子的方法数有a n ，则由题可知a n ＝a n －1＋a n －2，∴a 2＝1，a 3＝2，a 4＝3，a 5＝5，a 6＝8，a 7＝13，a 8＝21，故选C.答案：C3．(2018·甘肃天水月考)已知数列{a n }中，a 1＝5，a 2＝2，a n ＝2a n －1＋3a n －2(n ≥3)，则a 4＝________.解析：由a n ＝2a n －1＋3a n －2得a 3＝2a 2＋3a 1＝19，a 4＝2a 3＋3a 2＝44.答案：444．设数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝1－1a n，记数列{a n }的前n 项之积为T n ，则T 2 018的值为________．解析：由a n ＋1＝1－1a n得 a n ＋2＝1－1a n ＋1＝1－11－1a n ＝11－a n ， ∴a n ＋3＝1－1a n ＋2＝a n ， ∴数列{a n }是周期为3的周期数列，又a 1＝2，a 2＝12，a 3＝－1， ∴T 3＝2×12×(－1)＝－1， ∴T 2 018＝(－1)672·a 1·a 2＝1.答案：15．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3，a 4＝15，a n ＋1＝pa n ＋q .试求p 和q 的值．解：在a n ＋1＝pa n ＋q 中，令n ＝1，得a 2＝pa 1＋q ，即p ＋q ＝3，①令n ＝2，得a 3＝pa 2＋q ，即3p ＋q ＝a 3，令n ＝3，得a 4＝pa 3＋q ＝p (3p ＋q )＋q ＝15，②由①②两式消去q 并整理得p 2＋p －6＝0.p ＝2或p ＝－3.将p 代入①中，得q ＝1或q＝6.所以适合题意的p ，q 的值分别为2,1或－3,6.6．已知数列{a n }满足a 1＝a ，a n ＋1＝1＋1a n，我们知道当a 取不同的值时，得到不同的数列．如当a ＝1时，得到无穷数列：1,2，32，53，…；当a ＝－12时，得到有穷数列：－12，－1,0.(1)求当a 为何值时，a 4＝0；(2)设数列{b n }满足b 1＝－1，b n ＋1＝1b n －1(n ∈N *)，求证：a 取数列{b n }中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{a n }．解：(1)解法一：∵a 1＝a ，a n ＋1＝1＋1a n， ∴a 2＝1＋1a 1＝1＋1a ＝a ＋1a ，a 3＝1＋1a 2＝2a ＋1a ＋1， a 4＝1＋1a 3＝3a ＋22a ＋1. 故当a ＝－23时，a 4＝0. 解法二：∵a 4＝0，∴1＋1a 3＝0，∴a 3＝－1. ∵a 3＝1＋1a 2，∴a 2＝－12. ∵a 2＝1＋1a ，∴a ＝－23. 故当a ＝－23时，a 4＝0. (2)证明：∵b 1＝－1，b n ＋1＝1b n －1，∴b n ＝1b n ＋1＋1. a 取数列{b n }中的任一个数，不妨设a ＝b n .∵a ＝b n ，∴a 2＝1＋1a 1＝1＋1b n＝b n －1， ∴a 3＝1＋1a 2＝1＋1b n －1＝b n －2，…， ∴a n ＝1＋1a n －1＝1＋1b 2＝b 1＝－1. ∴a n ＋1＝0.故a 取数列{b n }中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{a n }．由Ruize收集整理。

人教版高中数学必修5：第二章数列(课堂同步教学课件+学案+练习+单元检测,20份)课时跟踪检测(十

课时跟踪检测(十二) 等比数列的前n 项和一、选择题1．在等比数列{a n }中，如果a 1＋a 2＝40，a 3＋a 4＝60，那么a 7＋a 8＝( )A ．135B ．100C ．95D ．802．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列．若a 1＝1，则S 4等于( )A ．7B ．8C ．15D ．163．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为( )A.158或5B.3116或5 C.3116 D.1584．已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么前10项和等于( )A ．31B ．33C ．35D ．375．等比数列{a n }的公比q ＜0，已知a 2＝1，a n ＋2＝a n ＋1＋2a n ，则{a n }的前2 010项和等于( )A ．2 010B ．－1C ．1D ．0二、填空题6．设等比数列{a n }的公比q ＝12，前n 项和为S n ，则S 4a 4＝ ________.7．等比数列{a n }共有2n 项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q ＝________.8．已知等比数列的前10项中，所有奇数项之和为8514，所有偶数项之和为17012，则S ＝a 3＋a 6＋a 9＋a 12的值为________．三、解答题9．设等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 2＝6,6a 1＋a 3＝30，求a n 和S n .10．已知等比数列{a n }中，a 1＝13，公比q ＝13. (1)S n 为{a n }的前n 项和，证明：S n ＝1－a n 2； (2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{b n }的通项公式．答案课时跟踪检测(十二)1．选A 由等比数列的性质知，a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，a 7＋a 8成等比数列，其首项为40，公比为6040＝32. ∴a 7＋a 8＝40×(32)3＝135. 2．选C 设{a n }的公比为q ，∵4a 1,2a 2，a 3成等差数列，∴4a 2＝4a 1＋a 3，即4a 1q ＝4a 1＋a 1q 2，即q 2－4q ＋4＝0，∴q ＝2，又a 1＝1，∴S 4＝1－241－2＝15，故选C. 3．选C 易知公比q ≠1.由9S 3＝S 6，得9·a 1(1－q 3)1－q ＝a 1(1－q 6)1－q，解得q ＝2.∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公比为12的等比数列．∴其前5项和为1－⎝⎛⎭⎫1251－12＝3116. 4．选B 根据等比数列性质得S 10－S 5S 5＝q 5， ∴S 10－11＝25，∴S 10＝33. 5．选D 由a n ＋2＝a n ＋1＋2a n 得q n ＋1＝q n ＋2qn －1，即q 2－q －2＝0，又q ＜0，解得q ＝－1，又a 2＝1，∴a 1＝－1，S 2 010＝－1×[1－(－1)2 010]1－(－1)＝0. 6．解析：对于S 4＝a 1(1－q 4)1－q，a 4＝a 1q 3， ∴S 4a 4＝1－q 4q 3(1－q )＝15. 答案：157．解析：设{a n }的公比为q ，则奇数项也构成等比数列，其公比为q 2，首项为a 1，S 2n ＝a 1(1－q 2n )1－q， S 奇＝a 1[]1－(q 2)n 1－q 2. 由题意得a 1(1－q 2n )1－q ＝3a 1(1－q 2n )1－q 2， ∴1＋q ＝3，∴q ＝2.答案：28．解析：设公比为q ，由⎩⎪⎨⎪⎧ S 偶S 奇＝q ＝2，S 奇＝a 1[]1－(q 2)51－q 2＝8514，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝14，q ＝2.∴S ＝a 3＋a 6＋a 9＋a 12＝a 3(1＋q 3＋q 6＋q 9)＝a 1q 2·1－q 121－q 3＝585. 答案：5859．解：设{a n }的公比为q ，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q ＝6，6a 1＋a 1q 2＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝3，q ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝3. 当a 1＝3，q ＝2时，a n ＝3×2n －1，S n ＝3(2n －1)；当a 1＝2，q ＝3时，a n ＝2×3n －1，S n ＝3n －1. 10．解：(1)证明：因为a n ＝13×⎝⎛⎭⎫13n －1＝13n ， S n ＝13⎝⎛⎭⎫1－13n 1－13＝1－13n 2，所以S n ＝－1－a n 2. (2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋…＋n )＝－n (n ＋1)2. 所以{b n }的通项公式为b n ＝－n (n ＋1)2.。

人教B版高中数学必修五第二章各节同步检测(1)(3)

第2章 2.3 第4课时数列的综合应用一、选择题1．在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a＋b＋c的值为()A.1[答案] A[解析]由题意知a＝12，b＝516，c＝316，故a＋b＋c＝1.2．若S n是数列{a n}的前n项和，且S n＝n2，则{a n}是() A．等比数列，但不是等差数列B．等差数列，但不是等比数列C．等差数列，但也是等比数列D．既不是等差数列，又不是等比数列[答案] B[解析]S n＝n2，S n－1＝(n－1)2(n≥2)，∴a n＝S n－S n－1＝n2－(n－1)2＝2n－1(n≥2)，又a1＝S1＝1满足上式，∴a n＝2n－1(n∈N*)∴a n＋1－a n＝2(常数)∴{a n}是等差数列，但不是等比数列，故应选B.3．(2010·福建理)设等差数列{a n}的前n项和为S n.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当S n取最小值时，n等于()A．6 B．7 C．8 D．9[答案] A[解析]设等差数列的公差为d，由由a4＋a6＝－6得2a5＝－6，∴a5＝－3.又∵a1＝－11，∴－3＝－11＋4d，∴d＝2，∴S n＝－11n＋n(n－1)2×2＝n2－12n＝(n－6)2－36，故当n＝6时S n取最小值，故选A.4．等比数列{a n}的前n项和为S n，且4a1,2a2，a3成等差数列．若a1＝1，则S4＝()A．7 B．8 C．15 D．16[答案] C[解析]设等比数列的公比为q，则由4a1,2a2，a3成等差数列，得4a2＝4a1＋a3，∴4a1q＝4a1＋a1q2，又∵a1＝1，∴q2－4q＋4＝0，q＝2.∴S4＝a1(1－q4)1－q＝15.5．(2009·湖南)设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于()A．13 B．35 C．49 D．63[答案] C[解析]∵a1＋a7＝a2＋a6＝3＋11＝14，∴S7＝7(a1＋a7)2＝49.6．在数列{a n }中，a 1，a 2，a 3成等差数列，a 2，a 3，a 4成等比数列，a 3，a 4，a 5的倒数成等差数列，则a 1，a 3，a 5( )A ．成等差数列B ．成等比数列C ．倒数成等差数列D ．不确定[答案] B[解析] 由题意，得2a 2＝a 1＋a 3， a 23＝a 2·a 4，① 2a 4＝1a 3＋1a 5.② ∴a 2＝a 1＋a 32，代入①得，a 4＝2a 23a 1＋a 3③③代入②得，a 1＋a 3a 23＝1a 3＋1a 5，∴a 1a 23＋1a 3＝1a 3＋1a 5，∴a 23＝a 1a 5. 二、填空题7．实数1a ，1，1c 成等差数列，实数a 2,1，c 2成等比数列，则a ＋c a 2＋c 2＝__________.[答案] 1或－13[解析]由条件⎩⎨⎧1a ＋1c＝2a 2c 2＝1，得∴⎩⎪⎨⎪⎧ ac ＝1a ＋c ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝－1a ＋c ＝－2，∴a ＋c a 2＋c 2＝1或－13.8．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9＝72，则a 2＋a 4＋a 9＝________.[答案] 24[解析] 设等差数列的首项为a 1，公差为d ，则a 2＋a 4＋a 9＝3a 1＋12d ，又S 9＝72， ∴S 9＝9a 1＋12×9×8×d ＝9a 1＋36d ＝72，∴a 1＋4d ＝8，∴a 2＋a 4＋a 9＝3(a 1＋4d )＝24. 三、解答题9．已知a 、b 、c 、x 、y 、z 都是不等于1的正数，且a x ＝b y ＝c z ，如果1x ，1y ，1z 成等差数列，求证：a ，b ，c 成等比数列．[解析] 设a x ＝b y ＝c z ＝p ， ∴x ＝log a p ，y ＝log b p ，z ＝log c p ， ∵1x ，1y ，1z 成等差数列．∴2y ＝1x ＋1z ，即：2log p b ＝log p a ＋log p c .∴b 2＝ac ，∵a 、b 、c 均为正数，∴a 、b 、c 成等比数列． 10．{a n }是等差数列，且3a 5＝8a 12＞0.数列{b n }满足b n ＝a n ·a n ＋1·a n＋2(n ∈N *)，{b n }的前n 项和为S n ，当n 多大时，S n 取得最大值？证明你的结论．[解析] 设{a n }的公差为d ，则由3a 5＝8a 12，得3a 5＝8(a 5＋7d )．∴a 5＝－565d ＞0，∴d ＜0. ∴a 5＋11d ＝－565d ＋11d ＝－d5＞0， a 5＋12d ＝－565d ＋12d ＝4d5＜0，即a 16＞0，a 17＜0. 这样b 1＞b 2＞…b 14＞0,0＞b 17＞b 18＞…. 其中b 15＝a 15·a 16·a 17＜0，b 16＝a 16·a 17·a 18＞0.由于a15＝a5＋10d＝－65d＞0，a18＝a5＋13d＝95d＜0，∴|a18|＞|a15|＝a15.∴b16＞|b15|＝－b15.∴S16＝S14＋b15＋b16＞S14.综上所述，在数列{b n}的前n项和中，前16项和S16最大．能力提升一、选择题1．根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量S n(万件)近似地满足S n＝n90·(21n－n2－5)(n＝1,2，…，12)．按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是()A．5月、6月B．6月、7月C．7月、8月D．8月、9月[答案] C[解析]设第n个月份的需求量超过1.5万件．则S n－S n－1＝n 90(21n－n2－5)－n－190[21(n－1)－(n－1)2－5]＞1.5，化简整理，得n2－15n＋54＜0，即6＜n＜9.∴应选C.2．已知等比数列{a n}满足a n>0，n＝1,2，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝() A．n(2n－1) B．(n＋1)2C．n2D．(n－1)2[答案] C[解析]由已知，得a n＝2n，log2a2n－1＝2n－1，∴log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝1＋3＋…＋(2n－1)＝n2.二、填空题3．已知a 、b 、c 成等比数列，a 、x 、b 成等差数列，b 、y 、c 也成等差数列，则a x ＋cy 的值__________．[答案] 2[解析] b 2＝ac,2x ＝a ＋b,2y ＝b ＋c ∴a x ＋c y ＝2aa ＋b ＋2c b ＋c＝2ab ＋4b 2＋2bc (a ＋b )(b ＋c )＝2b (a ＋2b ＋c )b (a ＋2b ＋c )＝2. 4．将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10……按照以上排列的规律，第n 行(n ≥3)从左向右的第3个数为________．[答案] n 2－n ＋62[解析] 前n －1行共有正整数1＋2＋…＋(n －1)个，即n 2－n2个，因此第n 行从左向右的第3个数是全体正整数中第n 2－n2＋3个，即为n 2－n ＋62. 三、解答题5．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝3n －1＋a n －1(n ≥2)． (1)求a 2、a 3；(2)证明a n ＝3n －12.[解析] (1)∵a 1＝1，∴a 2＝3＋1＝4，a 3＝32＋4＝13.(2)由已知a n －a n －1＝3n －1，故a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝3n －1＋3n －2＋…＋3＋1＝3n －12.所以a n ＝3n －12.6．(2011·重庆文)设{a n }是公比为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝a 2＋4.(1)求{a n }的通项公式；(2)设{b n }是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n ＋b n }的前n 项和S n .[解析] (1)设公比为q (q >0)， ∵a 1＝2，a 3＝a 2＋4， ∴a 1q 2－a 1q －4＝0，即q 2－q －2＝0，解得q ＝2， ∴a n ＝2n(2)由已知得b n ＝2n －1， ∴a n ＋b n ＝2n ＋(2n －1)，∴S n ＝(2＋22＋23＋…＋2n )＋(1＋3＋5＋…＋2n －1) ＝2(1－2n )1－2＋[1＋(2n －1)]n2＝2n ＋1－2＋n 2.7．已知数列{a n }的首项a 1＝23，a n ＋1＝2a na n ＋1，n ＝1,2，….(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是等比数列； (2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n a n 的前n 项和S n .[解析] (1)∵a n ＋1＝2a na n ＋1，∴1a n ＋1＝a n ＋12a n ＝12＋12·1a n ，∴1a n ＋1－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1，又a 1＝23，∴1a 1－1＝12，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是以12为首项，12为公比的等比数列．(2)由(1)知1a n －1＝12·12n －1＝12n ，即1a n ＝12n ＋1，∴n a n ＝n2n ＋n .设T n ＝12＋222＋323＋…＋n2n ，①则12T n ＝122＋223＋…＋n －12n ＋n2n ＋1，② ①－②得12T n ＝12＋122＋…＋12n －n 2n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12－n 2n ＋1＝1－12n －n 2n ＋1，∴T n ＝2－12n －1－n2n .又1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n a n 的前n 项和S n ＝2－2＋n 2n ＋n (n ＋1)2＝n 2＋n ＋42－n ＋22n .。

高中人教B版数学必修五同步课时跟踪检测：第2章数列 2.3 2.3.2 第二课时

第二章 2．3 等比数列2．3.2 等比数列的前n 项和第二课时常见的数列求和课时跟踪检测[A 组基础过关]1．(2018·浙江月考)已知数列{a n }的前n 项和S n ，且满足S n ＝2a n －3(n ∈N *)，则S 6＝( )A ．192B ．189C ．96D ．93解析：∵S n ＝2a n －3，∴n ＝1时，a 1＝2a 1－3，a 1＝3，n ≥2时，a n ＝2a n －3－2a n －1＋3.∴a n ＝2a n －1，∴{a n }是等比数列，q ＝2，∴S 6＝a 1(1－26)1－2＝189，故选B. 答案：B2．已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋a 24＋…＋a 2n ＝( ) A ．(2n －1)2B ．13(2n －1)C ．4n －1 D.13(4n －1) 解析：由a n ＝S n －S n －1(n ≥2)可以求出a n ＝2n －1.由等比数列的性质知数列{a 2n }是等比数列，此数列的首项是1，公比是22，则S ′n ＝1×[1－(22)n ]1－22＝13(4n －1)．答案：D3．已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么前10项和等于( )A ．31B ．33C ．35D ．37 解析：S 10＝S 5＋q 5S 5＝1＋25×1＝33，故选B.答案：B4．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1n (n ＋1)，则S 2 018等于( ) A.12 018B ．2 0172 018 C.2 0182 019D.2 0162 017解析：a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1， ∴S 2 018＝a 1＋a 2＋…＋a 2 018＝11－12＋12－13＋…＋12 018－12 019＝1－12 019＝2 0182 019，故选C. 答案：C5．定义n p 1＋p 2＋…＋p n为n 个正数p 1，p 2，…，p n 的“均倒数”，已知数列{a n }的前n 项的“均倒数”为12n ＋1，又b n ＝a n ＋14，则1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 10b 11＝( ) A.111B ．910 C.1011 D.1112 解析：由题可知n a 1＋a 2＋…＋a n ＝12n ＋1， ∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝n (2n ＋1)，令S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则S n ＝2n 2＋n ，当n ＝1时，a 1＝S 1＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n －1，n ＝1时，符合上式，∴a n ＝4n －1，∴b n ＝n ，∴1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 10b 11 ＝11×2＋12×3＋…＋110×11＝1－12＋12－13＋…＋110－111＝1－111＝1011. 答案：C6．已知{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝________.解析：设数列{a n }的公比为q ，则由等比数列的性质知，a 2·a 3＝a 1·a 4＝2a 1，即a 4＝2.由a 4与2a 7的等差中项为54知，a 4＋2a 7＝2×54， ∴a 7＝12⎝⎛⎭⎫2×54－a 4＝14. ∴q 3＝a 7a 4＝18，即q ＝12. ∴a 4＝a 1q 3＝a 1×18＝2， ∴a 1＝16，∴S 5＝16⎝⎛⎭⎫1－1251－12＝31. 答案：317．数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋n ＋1，则该数列的前________项之和等于9. 解析：∵a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n )＝n ＋1－1＝9，∴n ＋1＝10，∴n ＝99.答案：998．(2018·广东汕头期中)已知数列{a n }是等比数列，a 2＝4，a 3＋2是a 2和a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2log 2a n －1，求数列{a n b n }的前n 项和T n .解：(1)设数列{a n }的公比为q ，因为a 2＝4，所以a 3＝4q ，a 4＝4q 2.因为a 3＋2是a 2和a 4的等差中项，所以2(a 3＋2)＝a 2＋a 4.即2(4q ＋2)＝4＋4q 2，化简得q 2－2q ＝0.因为公比q ≠0，所以q ＝2.所以a n ＝a 2q n －2＝4×2n －2＝2n (n ∈N *)．(2)因为a n ＝2n ，所以b n ＝2log 2a n －1＝2n －1，所以a n b n ＝2n ·(2n －1)，则T n ＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)2n －1＋(2n －1)2n ，①2T n ＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n －3)2n ＋(2n －1)2n ＋1.②由①－②得，－T n ＝2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n －(2n －1)2n ＋1＝2＋2×4(1－2n －1)1－2－(2n －1)2n ＋1 ＝－6－(2n －3)2n ＋1，所以T n ＝6＋(2n －3)2n ＋1.[B 组技能提升]1．已知函数f (n )＝n 2cos(n π)，a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝( )A ．－100B ．0C ．100D ．10 200 解析：由题意，得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝(－12＋22)＋(22－32)＋(－32＋42)＋…＋(1002－1012)＝1＋2－(2＋3)＋(3＋4)－(4＋5)＋…－(100＋101)＝－100.答案：A2.122－1＋132－1＋142－1＋…＋1(n ＋1)2－1的值为( ) A.n ＋12(n ＋2) B ．34－n ＋12(n ＋2)C.34－12⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1n ＋2 D.32－1n ＋1＋1n ＋2 解析：∵1(n ＋1)2－1＝1n 2＋2n ＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2， ∴122－1＋132－1＋142－1＋…＋1(n ＋1)2－1＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2 ＝12⎝⎛⎭⎫32－1n ＋1－1n ＋2＝34－12⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1n ＋2. 答案：C3．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项公式为2n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.解析：∵a n ＋1－a n ＝2n ，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n －1＋2n －2＋…＋22＋2＋2＝2－2n 1－2＋2＝2n －2＋2＝2n .∴S n ＝2－2n ＋11－2＝2n ＋1－2. 答案：2n ＋1－24．(2019·福建泉州月考)各项均为正数的等差数列{a n }中，前n 项和为S n ，当n ∈N *，n ≥2时，有S n ＝n n －1(a 2n －a 21)，则S 20－2S 10＝________. 解析：由题意S n ＝n n －1(a 2n －a 21)＝n n －1(a n ＋a 1)(a n －a 1)， ∴(a n ＋a 1)n 2＝n n －1(a n ＋a 1)(a n －a 1)＝n n －1(a n＋a 1)×(n －1)d ， ∴d ＝12， ∴S 20－2S 10＝(S 20－S 10)－S 10＝(a 11＋a 12＋…＋a 20)－(a 1＋a 2＋…＋a 10)＝100d ＝50. 答案：505．(2018·安徽六校月考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 1＝2，a n ＋1＝2S n ＋2，(n ≥1)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足：b n ＝a n ＋(－1)n log 3a n ，求数列{b n }的前2n 项和S 2n . 解：(1)∵a n ＋1＝2S n ＋2(n ≥1)，①∴当n ≥2时，a n ＝2S n －1＋2，②①－②得：a n ＋1－a n ＝2a n ，∴a n ＋1＝3a n ，又a 1＝2，由①得a 2＝2a 1＋2＝6，∴a 2＝3a 1，∴{a n }是以2为首项3为公比的等比数列，∴a n ＝2×3n －1.(2)∵b n ＝a n ＋(－1)n log 3a n ＝2×3n －1＋(－1)n log 3(2×3n －1)＝2×3n －1＋(－1)n [log 32＋(n －1)log 33]＝2×3n －1＋(－1)n (－1＋log 32)＋(－1)n n ， ∴S 2n ＝b 1＋b 2＋…＋b 2n ＝2(1＋3＋32＋…＋32n －1)＋0＋n ＝32n ＋n －1.6．(2018·浙江卷)已知等比数列{a n }的公比q >1，且a 3＋a 4＋a 5＝28，a 4＋2是a 3，a 5的等差中项．数列{b n }满足b 1＝1，数列{(b n ＋1－b n )a n }的前n 项和为2n 2＋n .(1)求q 的值；(2)求数列{b n }的通项公式．解：(1)由a 4＋2是a 3，a 5的等差中项得a 3＋a 5＝2a 4＋4，所以a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＋4＝28，解得a 4＝8.由a 3＋a 5＝20得8⎝⎛⎭⎫q ＋1q ＝20，因为q >1，所以q ＝2. (2)设c n ＝(b n ＋1－b n )a n ，数列{c n }的前n 项和为S n .由c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.解得c n ＝4n －1.由(1)可知a n ＝2n －1，所以b n ＋1－b n ＝(4n －1)·⎝⎛⎭⎫12n －1，故b n －b n －1＝(4n －5)·⎝⎛⎭⎫12n －2，n ≥2，所以b n －b 1＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 3－b 2)＋(b 2－b 1)＝(4n －5)·⎝⎛⎭⎫12n －2＋(4n －9)·⎝⎛⎭⎫12n －3＋…＋7·⎝⎛⎭⎫121＋3⎝⎛⎭⎫120. 设T n ＝3·⎝⎛⎭⎫120＋7·⎝⎛⎭⎫121＋11·⎝⎛⎭⎫122＋…＋(4n －5)·⎝⎛⎭⎫12n －2，n ≥2， 12T n ＝3·12＋7·⎝⎛⎭⎫122＋…＋(4n －9)·⎝⎛⎭⎫12n －2＋(4n －5)·⎝⎛⎭⎫12n －1，所以12T n ＝3＋4·12＋4·⎝⎛⎭⎫122＋…＋4·⎝⎛⎭⎫12n －2－(4n －5)·⎝⎛⎭⎫12n －1，因此T n ＝14－(4n ＋3)·⎝⎛⎭⎫12n －2，n ≥2，又b 1＝1，所以b n ＝15－(4n ＋3)·⎝⎛⎭⎫12n －2.由Ruize收集整理。

高中人教B版数学必修五同步课时跟踪检测：第2章数列 2.3 2.3.1 第二课时

第二章2．3等比数列2．3.1等比数列第二课时等比数列的性质课时跟踪检测[A组基础过关]1．在等比数列{a n}中，若a4＝8，q＝－2，则a7的值为()A．－64B．64C．－48 D．48解析：a7＝a4q3＝8×(－2)3＝－64.答案：A2．(2019·河北馆陶月考)已知等差数列{a n}的公差为3，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于()A．－18 B．－15C．－12 D．－9解析：由题可得a23＝a1a4，∴(a1＋6)2＝a1(a1＋9)，∴a1＝－12，∴a2＝－12＋3＝－9，故选D.答案：D3．在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a5·a6＝9，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝()A．12 B．10C．8 D．2＋log35解析：log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2·…·a10)＝log3(a5·a6)5＝log395＝10.故选B.答案：B4．在公差不为0的等差数列{a n}中，若2a3－a27＋2a11＝0，数列{b n}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝()A．2 B．4C．8 D．16解析：由2a3－a27＋2a11＝0，得a27＝2a3＋2a11＝4a7，∴a 7＝4或a 7＝0.∵b 7＝a 7≠0，∴b 7＝4，∴b 6b 8＝b 27＝16，故选D.答案：D5．设{a n }是由正数组成的等比数列，公比q ＝3，且a 1a 2a 3·…·a 30＝330，那么a 3a 6a 9·…·a 30＝( )A ．310B ．320C ．316D ．315 解析：330＝a 1a 2a 3·…·a 30＝a 301q(1＋2＋…＋29)＝a 301q 29×15，开立方得a 101q 5×29＝310.a 3a 6a 9·…·a 30＝a 101q (2＋5…＋29)＝a 101q 31×5＝a 101q 29×5·q 10＝310·q 10＝310·310＝320. 答案：B6．(2018·湖北襄阳四中)在各项都为正数的等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2n ＋2＋4a 2n ＝4a 2n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析：由a 2n ＋2＋4a 2n ＝4a 2n ＋1，得a 2n q 4－4a 2n q 2＋4a 2n ＝0，∵a n ≠0，∴q 4－4q 2＋4＝0.∴(q 2－2)2＝0，∴q 2＝2.又∵q >0，∴q ＝ 2.∴a n ＝2·(2)n －1＝2n ＋12. 答案：2n ＋127．已知a >b >0，且 a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则a ＋b ＝________.解析：由题可得a ，b ，－2为等差数列，a ，－2，b 为等比数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2b ＝a －2，ab ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－2(舍)． ∴a ＋b ＝5.答案：58．在83和272之间插入三个数，使这5个数成等比数列，求插入的这三个数的乘积．解：解法一：设这个等比数列为{a n }，公比为q .∵a 1＝83，a 5＝272＝a 1·q 4＝83q 4， ∴q 4＝8116，∴q 2＝94. 设所插入的三个数分别是a 2，a 3，a 4，∴a 2·a 3·a 4＝a 1·q ·a 1·q 2·a 1·q 3＝a 31·q 6＝⎝⎛⎭⎫833×⎝⎛⎭⎫943＝216.解法二：设插入的三个数分别是a ，b ，c ，∵83，a ，b ，c ，272成等比数列， ∴83×272＝ac ＝b 2＝36，又b >0，∴b ＝6，∴abc ＝36×6＝216.[B 组技能提升]1．在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n ＝( )A ．11B ．12C ．14D ．16解析：a 4a 5a 6a 1a 2a 3＝q 9＝3，又a 1a 2a 3＝a 31q 3＝4， a n －1a n a n ＋1＝a 31q3n －3＝324， ∴a 31q 3·q 3n －6＝324， ∴q 3n －6＝81＝q 36，∴3n －6＝36，∴n ＝14.答案：C2．定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f (x )，如果对于任意给定的等比数列{a n }，{f (a n )}仍是等比数列，则称f (x )为“保等比数列函数”，现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：①f (x )＝x 2；②f (x )＝2x ；③f (x )＝||x ；④f (x )＝ln|x |.则其中是“保等比数列函数”的f (x )的序号为( )A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④ 解析：解法一：设{a n }的公比为q .①f (a n )＝a 2n ，∵a 2n ＋1a 2n ＝⎝⎛⎭⎫a n ＋1a n 2＝q 2，∴{f (a n )}是等比数列，排除B ，D ；③f (a n )＝|a n |，∵ |a n ＋1||a n |＝⎪⎪⎪⎪a n ＋1a n ＝ |q |，∴{f (a n )}是等比数列，排除A.解法二：不妨令a n ＝2n .①因为f (x )＝x 2，所以f (a n )＝4n .显然{f (2n )}是首项为4，公比为4的等比数列．②因为f (x )＝2x ，所以f (a 1)＝f (2)＝22，f (a 2)＝f (4)＝24，f (a 3)＝f (8)＝28，所以f (a 2)f (a 1)＝2422＝4≠f (a 3)f (a 2)＝2824＝16，所以{f (a n )}不是等比数列．③因为f (x )＝|x |，所以f (a n )＝2n ＝(2)n .显然{f (a n )}是首项为2，公比为2的等比数列．④因为f (x )＝ln|x |，所以f (a n )＝ln 2n ＝n ln 2.显然{f (a n )}是首项为ln 2，公差为ln 2的等差数列．答案：C3．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1＝2，且2a 1，a 3,3a 2成等差数列，则a n ＝________. 解析：由2a 1，a 3,3a 2成等差数列，∴2a 3＝2a 1＋3a 2，∴2a 1q 2＝2a 1＋3a 1q ，∴2q 2－3q －2＝0，∴q ＝－12或q ＝2. ∵a n >0，∴q ＝2，∴a n ＝2·2n －1＝2n .答案：2n4．已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列，且满足a 12＋a 22＝2a 1＋2a 2，a 34＋a 44＝4a 3＋4a 4，则a 1a 5＝________.解析：设正项等比数列的公比为q ，q >0，则由a 12＋a 22＝2a 1＋2a 2，得a 1＋a 22＝2(a 1＋a 2)a 1a 2，∴a 1a 2＝4，同理，由a 34＋a 44＝4a 3＋4a 4，得a 3a 4＝16，则q 4＝a 3a 4a 1a 2＝4，q ＝2，a 1a 2＝2a 21＝4，∴a 21＝2 2. ∴a 1a 5＝a 21q 4＝8 2.答案：8 25．已知正项等比数列{a n }中，a 1a 5－2a 3a 5＋a 3a 7＝36，a 2a 4＋2a 2a 6＋a 4a 6＝100，求数列{a n }的通项公式．解：∵a 1a 5＝a 23，a 3a 7＝a 25，∴由条件，得a 23－2a 3a 5＋a 25＝36，同理得a 23＋2a 3a 5＋a 25＝100，∴⎩⎪⎨⎪⎧ (a 3－a 5)2＝36，(a 3＋a 5)2＝100，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 3－a 5＝±6，a 3＋a 5＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝2，a 5＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝8，a 5＝2，分别解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝12，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝32，q ＝12， ∴a n ＝a 1q n －1＝2n －2或a n ＝a 1q n －1＝26－n . 6．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且首项a 1≠3，a n ＋1＝S n ＋3n (n ∈N *)．(1)求证：{S n －3n }是等比数列；(2)若{a n }为递增数列，求a 1的取值范围．解：(1)证明：∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，∴S n ＋1＝2S n ＋3n .∴S n ＋1－3n ＋1S n －3n ＝2S n ＋3n －3n ＋1S n －3n ＝2S n －2×3nS n －3n＝2. 且a 1－3≠0，所以{S n －3n }是以a 1－3为首项，以2为公比的等比数列．(2)由(1)得S n －3n ＝(a 1－3)×2n －1，所以S n ＝(a 1－3)×2n －1＋3n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(a 1－3)×2n －1＋3n －(a 1－3)×2n －2－3n －1＝(a 1－3)×2n －2＋2×3n －1. 若{a n }为递增数列，则a n ＋1>a n 对n ∈N *恒成立．当n ≥2时，(a 1－3)×2n －1＋2×3n >(a 1－3)×2n －2＋2×3n －1，则2n －2⎣⎡⎦⎤12×⎝⎛⎭⎫32n －2＋a 1－3>0对n ≥2，n ∈N *恒成立，则a 1>－9.又a 2＝a 1＋3>a 1，且a 1≠3，所以a 1的取值范围为(－9,3)∪(3，＋∞)．由Ruize收集整理。

人教B版数学必修五：第2章数列章末检测学案含答案解析

第二章章末检测(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a ＋b ＋cA.1 B ．2．等差数列{a n }满足a 24＋a 27＋2a 4a 7＝9，则其前10项之和为( ) A ．－9 B ．－15 C ．15 D ．±153．等比数列{a n }中，a 2，a 6是方程x 2－34x ＋64＝0的两根，则a 4等于( ) A ．8 B ．－8 C ．±8 D ．以上都不对4．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10∶S 5＝1∶2，则S 15∶S 5等于( ) A ．3∶4 B ．2∶3 C ．1∶2 D ．1∶35．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是( )A ．21B ．20C ．19D ．186．已知数列{a n }为等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1等于( )A ．16(1－4－n )B ．16(1－2n) C.323(1－4－n ) D.323(1－2－n ) 7．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 21＝42，记A ＝2a 211－a 9－a 13，则A 的值为( ) A ．2 B ．1 C ．16 D ．328．若{a n }是等比数列，其公比是q ，且－a 5，a 4，a 6成等差数列，则q 等于( ) A ．1或2 B ．1或－2 C ．－1或2 D ．－1或－29．已知等差数列{a n }的公差d ≠0且a 1，a 3，a 9成等比数列，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10等于( )A.1514B.1213C.1316D.151610．某纯净水厂在净化过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质的20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需过滤的次数为(lg 2≈0.301 0)( )A ．5B ．10C ．14D ．1511．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n 等于( ) A ．2＋ln n B ．2＋(n －1)ln n C ．2＋n ln n D ．1＋n ＋ln n12．已知数列1，12，21，13，22，31，14，23，32，41，…，则56是数列中的( )A ．第48项B ．第49项C ．第50项D ．第51项二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知在等差数列{a n }中，首项为23，公差是整数，从第七项开始为负项，则公差为______．14．在83和272之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为________．15．数列{a n }中，S n 是其前n 项和，若a 1＝1，a n ＋1＝13S n (n ≥1)，则a n ＝____________.16．等差数列{a n }中，a 10<0，且a 11>|a 10|，S n 为数列{a n }的前n 项和，则使S n >0的n 的最小值为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知数列{log 2(a n －1)} (n ∈N *)为等差数列，且a 1＝3，a 3＝9. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n<1.18．(12分)设数列{a n }的前n 项的和为S n ＝43a n －13×2n ＋1＋23(n ＝1,2,3…)(1)求首项a 1与通项a n ；(2)设T n ＝2n S n (n ＝1,2,3，…)，证明：∑i ＝1n T i <32.(∑i ＝1nT i 表示求和)19．(12分)已知正项数列{b n }的前n 项和B n ＝14(b n ＋1)2，求{b n }的通项公式．20.(12分)某市2009年共有1万辆燃油型公交车．有关部门计划于2010年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问：(1)该市在2016年应该投入多少辆电力型公交车？(2)到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的13？21．(12分)设{a n }是等差数列，{b n }是各项都为正数的等比数列，且a 1＝b 1＝1，a 3＋b 5＝21，a 5＋b 3＝13.(1)求{a n }、{b n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 的前n 项和S n .22．(12分)在数列{a n }中，已知a 1＝－1，且a n ＋1＝2a n ＋3n －4 (n ∈N *)． (1)求证：数列{a n ＋1－a n ＋3}是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式；(3)求和：S n ＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n | (n ∈N *)．第二章章末检测1．A [由题意知，a ＝12，b ＝516，c ＝316，故a ＋b ＋c ＝1.]2．D [a 24＋a 27＋2a 4a 7＝(a 4＋a 7)2＝9.∴a 4＋a 7＝±3，∴a 1＋a 10＝±3， ∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝±15.]3．A [a 2＋a 6＝34，a 2a 6＝64，∴a 24＝64， ∵a 2>0，a 6>0，∴a 4＝a 2q 2>0，∴a 4＝8.] 4．A [显然等比数列{a n }的公比q ≠1，则由S 10S 5＝1－q 101－q 5＝1＋q 5＝12⇒q 5＝－12，故S 15S 5＝1－q151－q 5＝1－(q 5)31－q 5＝1－⎝⎛⎭⎫－1231－⎝⎛⎭⎫－12＝34.] 5．B [∵(a 2－a 1)＋(a 4－a 3)＋(a 6－a 5)＝3d ， ∴99－105＝3d.∴d ＝－2.又∵a 1＋a 3＋a 5＝3a 1＋6d ＝105，∴a 1＝39. ∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d2n ＝－n 2＋40n ＝－(n －20)2＋400. ∴当n ＝20时，S n 有最大值．]6．C [设{a n }的公比为q ，则q 3＝a 5a 2＝18.∴q ＝12，a 1＝4，∵{a n a n ＋1}也是等比数列且首项a 1a 2＝8，公比为q 2＝14，∴a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝8⎝⎛⎭⎫1－14n 1－14＝323(1－4－n )．]7．B [由S 21＝21(a 1＋a 21)2＝21a 11＝42，∴a 11＝2.∴a 211－(a 9＋a 13)＝a 211－2a 11＝0. ∴A ＝2a 211－a 9－a 13＝20＝1.]8．C [依题意有2a 4＝a 6－a 5，即2a 4＝a 4q 2－a 4q ，而a 4≠0，∴q 2－q －2＝0，(q －2)(q ＋1)＝0. ∴q ＝－1或q ＝2.] 9．C [因为a 23＝a 1·a 9，所以(a 1＋2d)2＝a 1·(a 1＋8d)．所以a 1＝d. 所以a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10＝3a 1＋10d 3a 1＋13d ＝1316.]10．C [设原杂质数为1，各次过滤杂质数成等比数列，且a 1＝1，公比q ＝1－20%，∴a n ＋1＝(1－20%)n ，由题意可知：(1－20%)n <5%，即0.8n <0.05. 两边取对数得n lg 0.8<lg 0.05，∵lg 0.8<0，∴n>lg 0.05lg 0.8，即n>lg 5－2lg 8－1＝1－lg 2－23lg 2－1＝－lg 2－13lg 2－1≈－0.301 0－13×0.301 0－1≈13.41，取n ＝14.] 11．A [∵a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ， ∴a n ＋1－a n ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ＝ln n ＋1n＝ln (n ＋1)－ln n. 又a 1＝2，∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋[ln 2－ln 1＋ln 3－ln 2＋ln 4－ln 3＋…＋ln n －ln (n －1)]＝2＋ln n －ln 1＝2＋ln n ．]12．C [将数列分为第1组一个，第2组二个，…，第n 组n 个，即⎝⎛⎭⎫11，⎝⎛⎭⎫12，21，⎝⎛⎭⎫13，22，31，…，⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ，2n －1，…，n 1，则第n 组中每个数分子分母的和为n ＋1，则56为第10组中的第5个，其项数为(1＋2＋3＋…＋9)＋5＝50.]13．－4解析由⎩⎪⎨⎪⎧a 6＝23＋5d ≥0a 7＝23＋6d<0，解得－235≤d<－236，∵d ∈Z ，∴d ＝－4.14．216解析设插入的三个数为a q ，a ，aq ，则由题意有83，a ，272也为等比数列，所以a 2＝83×272＝36，由于83，a ，272都处在奇数位上，所以同号，故a ＝6，从而aq·a ·aq ＝a 3＝216.15.⎩⎪⎨⎪⎧1， n ＝113·⎝⎛⎭⎫43n －2， n ≥2解析 a n ＋1＝13S n ，a n ＋2＝13S n ＋1，∴a n ＋2－a n ＋1＝13(S n ＋1－S n )＝13a n ＋1∴a n ＋2＝43a n ＋1 (n ≥1)．∵a 2＝13S 1＝13，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， n ＝113·⎝⎛⎭⎫43n －2， n ≥2.16．20解析 ∵S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19a 10<0；S 20＝20(a 1＋a 20)2＝10(a 10＋a 11)>0.∴当n ≤19时，S n <0；当n ≥20时，S n >0. 故使S n >0的n 的最小值是20.17．(1)解设等差数列{log 2(a n －1)}的公差为d .由a 1＝3，a 3＝9，得log 2(9－1)＝log 2(3－1)＋2d ，则d ＝1.所以log 2(a n －1)＝1＋(n －1)×1＝n ，即a n ＝2n ＋1.(2)证明因为1a n ＋1－a n ＝12n ＋1－2n ＝12n ，所以1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n ＝121＋122＋123＋…＋12n ＝12－12n ×121－12＝1－12n <1.18．解 (1)∵S n ＝43a n －13×2n ＋1＋23，n ＝1,2,3，…，①令n ＝1，得a 1＝S 1＝43a 1－13×4＋23，解得a 1＝2，n ≥2时，S n －1＝43a n －1－13×2n ＋23.②①－②得：a n ＝S n －S n －1＝43(a n －a n －1)－13×2n .∴a n ＝4a n －1＋2n ，a n ＋2n ＝4a n －1＋4×2n －1.∴{a n ＋2n }是首项为a 1＋2＝4，公比为4的等比数列．即a n ＋2n ＝4×4n －1＝4n ，b ＝1,2,3，…， ∴a n ＝4n －2n ，n ＝1,2,3，…. 证明 (2)将a n ＝4n －2n 代入①得：S n ＝43(4n －2n )－13×2n ＋1＋23＝13(2n ＋1－1)(2n ＋1－2)＝23(2n ＋1－1)(2n －1)， T n ＝2n S n ＝32×2n (2n ＋1－1)(2n －1)＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1－1(n ＝1,2,3…)， ∴∑i ＝1n T i ＝32∑i ＝1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1－1＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫121－1－12n ＋1－1<32. 19．解当n ＝1时，B 1＝b 1，∴b 1＝14(b 1＋1)2，解得b 1＝1.当n ≥2时，b n ＝B n －B n －1＝14(b n ＋1)2－14(b n －1＋1)2＝14(b 2n －b 2n －1＋2b n －2b n －1)，整理得b 2n －b 2n －1－2b n －2b n －1＝0，∴(b n ＋b n －1)(b n －b n －1－2)＝0. ∵b n ＋b n －1>0，∴b n －b n －1－2＝0.∴{b n }为首项b 1＝1，公差d ＝2的等差数列． ∴b n ＝2(n －1)＋1＝2n －1，即{b n }的通项b n ＝2n －1.20．解 (1)由题意可知，该市逐年投入的电力型公交车数量组成一个等比数列，其中a 1＝128，q ＝1＋50%＝1.5，到2016年应为a 7，则到2016年该市应该投入的电力型公交车为a 7＝a 1·q 6＝128×1.56＝1 458(辆)．(2)设经过n 年电力型公交车数量开始超过该市公交车总量的13，记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，依题意有S n 10 000＋S n >13，即S n >5 000，∴S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝128(1－1.5n )1－1.5＝256(1.5n －1)>5 000，即1.5n >65732，解得n >7.5，故n ≥8.所以到2017年底，电力型公交车数量开始超过该市公交车总量的13.21．解 (1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则依题意有q >0且⎩⎪⎨⎪⎧1＋2d ＋q 4＝21，1＋4d ＋q 2＝13.解得d ＝2，q ＝2.所以a n ＝1＋(n －1)d ＝2n －1，b n ＝q n －1＝2n －1. (2)a n b n ＝2n －12n －1. S n ＝1＋321＋522＋…＋2n －32n －2＋2n －12n －1，①2S n ＝2＋3＋52＋…＋2n －32n －3＋2n －12n －2.②②－①得S n ＝2＋2＋22＋222＋…＋22n －2－2n －12n －1＝2＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋122＋…＋12n －2－2n －12n －1＝2＋2×1－12n －11－12－2n －12n －1＝6－2n ＋32n －1.22．(1)证明令b n ＝a n ＋1－a n ＋3 ⇒b n ＋1＝a n ＋2－a n ＋1＋3＝2a n ＋1＋3(n ＋1)－4－2a n －3n ＋4＋3 ＝2(a n ＋1－a n ＋3)＝2b n .∴数列{b n }为公比为2的等比数列． (2)解 a 2＝2a 1－1＝－3，b 1＝a 2－a 1＋3＝1⇒b n ＝a n ＋1－a n ＋3＝2n －1 ⇒2a n ＋3n －4－a n ＋3＝2n －1 ⇒a n ＝2n －1－3n ＋1 (n ∈N ＋)． (3)解设数列{a n }的前n 项和为T n ， T n ＝2n －1－n (2＋3n －1)2＝2n －1－n (3n ＋1)2，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，∵n ≤4时，a n <0，n >4时，a n >0， ∴n ≤4时，S n ＝－T n ＝1＋n (3n ＋1)2－2n；n >4时，S n ＝T n －2T 4＝2n＋21－n (3n ＋1)2.∴S n＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋n (3n ＋1)2－2n(n ≤4)，2n＋21－n (3n ＋1)2 (n >4).。

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第二章 2．2 等差数列2．2.2 等差数列的前n 项和第二课时等差数列习题课课时跟踪检测[A 组基础过关]1．(2018·贵州遵义月考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 9>0，S 8<0，则使得S n 取得最小值的n 为( )A ．3B ．4C ．5D ．6 解析：由S 9>0，S 8<0，得S 9＝9a 5>0，∴a 5>0，由S 8＝8(a 1＋a 8)2＝4(a 4＋a 5)＜0， ∴a 4<0，∴S n 取得最小值的n 为4，故选B. 答案：B2．已知S n 是等差数列{a n }(n ∈N *)的前n 项和，且S 6>S 7>S 5，有下列四个命题：①d <0；②S 11>0；③S 12<0；④数列{S n }中的最大项为S 11，其中正确的命题是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①④ 解析：由S 6>S 7>S 5，得⎩⎪⎨⎪⎧a 7<0，a 6＋a 7>0， ∴a 6>0，a 7<0，S 6最大，④错；∴d <0，①正确；S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11a 6>0，②正确； S 12＝12(a 1＋a 12)2＝12(a 6＋a 7)2>0，③错．故选A.答案：A3．(2018·河北衡水月考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 13>0，S 14<0，若a k ·a k＋1<0，则k ＝( )A ．6B ．7C ．13D ．14解析：S 13＝13×(a 1＋a 13)2＝13a 7>0， S 14＝14×(a 1＋a 14)2＝7(a 7＋a 8)<0， ∴a 8<0，∴k ＝7时，a 7·a 8<0，故选B.答案：B4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 10＝0，且S n ≥－5对一切n ∈N *恒成立，则此等差数列{a n }公差d 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，25 B ．⎣⎡⎦⎤0，25 C.⎣⎡⎭⎫－52，0 D.⎣⎡⎦⎤0，52 解析：由S 10＝10a 1＋10×92d ＝0， ∴a 1＝－92d . 又S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－92nd ＋n 2－n 2d ＝d 2(n 2－10n ) ＝d 2[(n －5)2－25]．由S n ≥－5对一切n ∈N *恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧d >0，－252d ≥－5， ∴0<d ≤25. 当d ＝0时，S n ≥－5恒成立，∴d 的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，25，故选B. 答案：B5．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n ＋1＝S n ＋a n ＋3，a 4＋a 5＝23，则S 8＝( )A ．72B ．88C ．92D ．98解析：由S n ＋1＝S n ＋a n ＋3，得S n ＋1－S n ＝a n ＋3，∴a n ＋1＝a n ＋3，∴{a n }是等差数列，公差为3，由a 4＋a 5＝23，得S 8＝8(a 4＋a 5)2＝92，故选C. 答案：C6．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8＝________.解析：a 8＝S 8－S 7＝64－49＝15.答案：157．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 4＝1, S 5＝10，则当S n 取得最大值时，n 的值为________．解析：由a 4＝a 1＋3d ＝1，S 5＝5a 1＋10d ＝10，得a 1＝4，d ＝－1，∵S n ＝4n －n (n －1)2＝－n 2＋9n 2，∴n ＝4或n ＝5时，S n 最大．答案：4或58．数列{a n }的前n 项和S n ＝33n －n 2.(1)求证：{a n }是等差数列；(2)问{a n }的前多少项和最大；(3)设数列{b n }的每一项都有b n ＝|a n |，求{b n }的前n 项和S ′n . 解：(1)证明：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝34－2n ，又当n ＝1时，a 1＝S 1＝32＝34－2×1满足a n ＝34－2n .故{a n }的通项为a n ＝34－2n .所以a n ＋1－a n ＝34－2(n ＋1)－(34－2n )＝－2.故数列{a n }是以32为首项，－2为公差的等差数列．(2)令a n ≥0，得34－2n ≥0，所以n ≤17，故数列{a n }的前17项大于或等于零．又a 17＝0，故数列{a n }的前16项或前17项的和最大．(3)由(2)知，当n ≤17时，a n ≥0；当n ≥18时，a n ＜0.所以当n ≤17时，S ′n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝33n －n 2.当n ≥18时，S ′n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 17|＋|a 18|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 17－(a 18＋a 19＋…＋a n )＝S 17－(S n －S 17)＝2S 17－S n＝n 2－33n ＋544.故S ′n ＝⎩⎪⎨⎪⎧33n －n 2，n ≤17，n 2－33n ＋544，n ≥18. [B 组技能提升]1．(2019·甘肃武威月考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为( )A.100101B ．99101 C.99100D.101100 解析：由a 5＝5，S 5＝15，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋4d ＝5，5a 1＋5×42d ＝15， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1， ∴a n ＝n ，由1a n a n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1， ∴T 100＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1100－1101 ＝1－1101＝100101，故选A. 答案：A2．(2018·甘肃兰州月考)已知数列{a n }满足a 2＝102，a n ＋1－a n ＝4n (n ∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 的最小项的值为( )A ．25B ．26C ．27D ．28解析：由a n ＋1－a n ＝4n ，得a 2－a 1＝4，∴a 1＝a 2－4＝98，∴a 2－a 1＝4，a 3－a 2＝8，…a n －a n －1＝4(n －1)，以上n －1个式子相加，∴a n －a 1＝4＋8＋…＋4(n －1)＝2n 2－2n ，∴a n ＝2n 2－2n ＋98，∴a n n ＝2n ＋98n－2. 由函数f (x )＝2x ＋98x在(0,7)时为减函数，在(7，＋∞)时为增函数， ∴当n ＝7时，a n n有最小值，最小值为2×7＋987－2＝26.故选B. 答案：B3．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n ，那么它的通项公式为a n ＝________. 解析：当n ＝1时，S 1＝a 1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2＋n )－(n －1)2－(n －1)＝2n .当n ＝1时，a 1也符合上式，∴a n ＝2n .答案：2n4．数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列，且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)．若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8＝________.解析：{b n }为等差数列，公差d ＝b 10－b 310－3＝2，b n ＝b 3＋2(n －3)＝2n －8，则a n ＋1－a n ＝2n －8，所以a 8＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a 8－a 7)＝3＋(－6)＋(－4)＋…＋6＝3＋7×(－6＋6)2＝3. 答案：35．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2a n －1＋2n ＋1(n ≥2，n ∈N *)．(1)令b n ＝a n 2n ，求证：{b n }是等差数列； (2)在(1)的条件下，设T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1，求T n .解：(1)证明：由a n ＝2a n －1＋2n ＋1，得a n 2n ＝a n －12n －1＋2. ∴a n 2n －a n －12n －1＝2(n ≥2)．又b n ＝a n 2n .∴b 1＝1. ∴数列{b n }是首项为1，公差为2的等差数列．(2)由(1)知b n ＝2n －1，∴1b n b n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1) ＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1. ∴T n ＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1.6．设数列{a n }满足a 1＝0，且11－a n ＋1－11－a n＝1. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1－a n ＋1n ，记S n ＝，证明：S n ＜1. 解：(1)由题设11－a n ＋1－11－a n＝1，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫11－a n 是公差为1的等差数列．又11－a 1＝1，故11－a n＝n . 所以a n ＝1－1n. (2)证明：由(1)得b n ＝1－a n ＋1n ＝n ＋1－n n ＋1·n ＝1n －1n ＋1， S n ＝＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1k ＋1＝1－1n ＋1＜1.由Ruize收集整理。

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