2019-2020年高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第2节命题及其关系充分条件与必要条件课件

[变式训练 2] 设集合 M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B [若 a＝1，则集合 N＝{1}，此时满足 N⊆M.若 N⊆M，则 a2＝1 或 2，所
以 a＝±1 或 a＝± 2.故“a＝1”是“N⊆M”的充分不必要条件．]
[规律方法] 充分条件、必要条件的三种判断方法 (1)定义法：根据 p⇒q，q⇒p 进行判断，适用于定义、定理判断性问题． (2)集合法：根据 p，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用 于命题中涉及字母的范围的推断问题． (3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化 为其逆否命题进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题．
则 S⊆P，
∴11－＋mm≥≤－102，， 1－m≤1＋m，
∴0≤m≤3.8 分
综上，可知 0≤m≤3 时，x∈P 是 x∈S 的必要条件.14 分
[迁移探究 1] 本例条件不变，问是否存在实数 m，使 x∈P 是 x∈S 的充要 条件．
[解] 由例题知 P＝{x|－2≤x≤10}.2 分 若 x∈P 是 x∈S 的充要条件，则 P＝S， ∴11－ ＋mm＝ ＝－ 102，， 8 分 ∴mm＝ ＝39， ， 这样的 m 不存在.14 分
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“x2＋2x－3<0”是命题．( )
(2)命题“若 p，则 q”的否命题是“若 p，则綈 q”．( ) (3)当 q 是 p 的必要条件时，p 是 q 的充分条件．( ) (4)“若 p 不成立，则 q 不成立”等价于“若 q 成立，则 p 成立”．( )
[规律方法] 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解 题时需注意：
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集 合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．
(2)要注意区间端点值的检验．
[变式训练 3] (1)(2017·温州模拟)已知命题 p：a≤x≤a＋1，命题 q：x2－4x<0， 若 p 是 q 的充分不必要条件，则 a 的取值范围是________．
充分条件与必要条件的判断
(1)函数 f(x)在 x＝x0 处导数存在．若 p：f′(x0)＝0；q：x＝x0 是 f(x) 的极值点，则( )
A．p 是 q 的充分必要条件 B．p 是 q 的充分条件，但不是 q 的必要条件 C．p 是 q 的必要条件，但不是 q 的充分条件 D．p 既不是 q 的充分条件，也不是 q 的必要条件
2．四种命题及其相互关系 (1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假关系
图--
①两个命题互为逆否命题，它们有_相__同__的真假性；
②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性_没__有__关__系பைடு நூலகம்__．
3．充分条件与必要条件 (1)如果 p⇒q，则 p 是 q 的_充__分__条件，q 是 p 的_必__要__条件． (2)如果 p⇔q，那么 p 与 q 互为__充__要__条__件__． (3)如果 pD q，且 qD p，则 p 是 q 的__既__不__充__分__也__不__必__要___条件． 4．集合与充要条件 设集合 A＝{x|x 满足条件 p}，B＝{x|x 满足条件 q}，则有： (1)若 A⊆B，则 p 是 q 的充分条件，若 A B，则 p 是 q 的充分不必要条件． (2)若 B⊆A，则 p 是 q 的必要条件，若 B A，则 p 是 q 的必要不充分条件． (3)若 A＝B，则 p 是 q 的充要条件．
(2)当 a＝0 时，原方程为 2x＋1＝0， ∴原方程有一个负实根 x＝－12. 当 a≠0 时，ax2＋2x＋1＝0 只有一个负实根． ∴方程有一个正根和一个负根或方程有两个相等的负根，当方程有一正一 负根时，则 x1x2＜0， ∴1a＜0，且 Δ＝4－4a＞0，解得 a＜0. 当方程有两个相等的负根时，Δ＝4－4a＝0，a＝1，此时方程的根为－1， 符合题意， 综上，方程的解集只有一个负实根的充要条件是 a≤0 或 a＝1.]
充分条件、必要条件的应用
已知 P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合 S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若 x ∈P 是 x∈S 的必要条件，求 m 的取值范围. 【导学号：51062008】
[解] 由 x2－8x－20≤0 得 －2≤x≤10， ∴P＝{x|－2≤x≤10}.4 分 ∵x∈P 是 x∈S 的必要条件，
4．命题“若 a＞－3，则 a＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中
假命题的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
B [原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为“若 a＞－6，则 a
＞－3”是假命题，从而其否命题也是假命题．
因此 4 个命题中有 2 个假命题．]
5．(2017·杭州学军中学模拟)若 p：“x>a”是 q：“x>1 或 x<－3”的充分不必
A．若 α≠π4，则 tan α≠1 B．若 α＝π4，则 tan α≠1 C．若 tan α≠1，则 α≠π4 D．若 tan α≠1，则 α＝π4 C [“若 p，则 q”的逆否命题是“若綈 q，则 綈 p”，显然綈 q：tan α≠1，
綈 p：α≠π4，所以该命题的逆否命题是“若 tan α≠1，则 α≠π4”．]
2．给出一个命题，要判断它是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明 它是假命题，只需举一反例即可．
3．由于原命题与其逆否命题的真假性相同，所以有时可以利用这种等价性 间接地证明命题的真假．
[变式训练 1] 原命题为“若an＋2an＋1＜an，n∈N*，则{an}为递减数列”，
关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )
3．(2017·浙江五校第一次联考)设 x>0，则“a＝1”是“x＋ax≥2 恒成立”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
()
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A [因为 x＋ax≥2，x>0 恒成立⇔a≥(2x－x2)max＝1，x>0，所以“a＝1”是
“x＋ax≥2 恒成立”的充分不必要条件，故选 A.]
[易错与防范] 1．当一个命题有大前提而要写出其他三种 命题时，必须保留大前提． 2．判断命题的真假及写四种命题时，一定 要明确命题的结构，可以先把命题改写成 “若 p，则 q”的形式． 3．判断条件之间的关系要注意条件之间关 系的方向，正确理解“p 的一个充分而不必要 条件是 q”等语言的含义．
抓
基
础
·
自
主 学
第一章 集合与常用逻辑用语 课
习
时
分
第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件 层
明 考
训 练
向
·
题
型
突
破
1．命题 用 语 言 、 符 号 或 式 子 表 达 的 ， 可 以 _判__断__真__假___ 的 陈 述 句 叫 做 命 题 ， 其 中 _判__断__为__真___的语句叫做真命题，__判__断__为__假__的语句叫做假命题．
[思想与方法] 1．写出一个命题的逆命题、否命题及逆否 命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后 按定义来写；在判断原命题及其逆命题、否命 题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其 逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或 同假来判定．
2．充分条件、必要条件的几种判断方法 (1)定义法：直接判断“若 p，则 q”“若 q， 则 p”的真假． (2)等价法：对于条件或结论是否定形式的 命题，一般运用等价法． (3)利用集合间的包含关系判断：设 A＝ {x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若 A⊆B，则 p 是 q 的充 分条件或 q 是 p 的必要条件；若 A B，则 p 是 q 的充分不必要条件，若 A＝B，则 p 是 q 的充 要条件．
(2)方程 ax2＋2x＋1＝0(a∈R，a 为常数)的解集只有一个负实根的充要条件 是________．
(1)(0,3) (2)a≤0 或 a＝1 [(1)令 M＝{x|a≤x≤a＋1}，N＝{x|x2－4x<0}＝ {x|0<x<4}．
∵p 是 q 的充分不必要条件，∴M N， ∴aa＋>01，<4， 解得 0<a<3.
[迁移探究 2] 本例条件不变，若 x∉P 是 x∉S 的必要不充分条件，求实数 m 的取值范围．
[解] 由例题知 P＝{x|－2≤x≤10}． ∵x∉P 是 x∉S 的必要不充分条件，∴P 是 S 的充分不必要条件， ∴P⇒S 且 SD P，4 分 ∴[－2,10] [1－m,1＋m]， ∴11－ ＋mm≤ ＞－ 102， 或11＋－mm≥＜1－0，2， 8 分 ∴m≥9，即 m 的取值范围是[9，＋∞).14 分
A．真，真，真
B．假，假，真
C．真，真，假
D．假，假，假
A [由an＋2an＋1＜an，得 an＋an＋1＜2an，即 an＋1＜an. 所以当an＋2an＋1＜an 时，必有 an＋1＜an， 则{an}是递减数列． 反之，若{an}是递减数列，必有 an＋1＜an， 从而有an＋2an＋1＜an. 所以原命题及其逆命题均为真命题，从而其否命题及其逆否命题也均是真 命题．]
(2)设 x∈R，则“|x－2|＜1”是“x2＋x－2＞0”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(1)C (2)A [(1)当 f′(x0)＝0 时，x＝x0 不一定是 f(x)的极值点， 比如，y＝x3 在 x＝0 时，f′(0)＝0，但在 x＝0 的左右两侧 f′(x)的符号相同， 因而 x＝0 不是 y＝x3 的极值点． 由极值的定义知，x＝x0 是 f(x)的极值点必有 f′(x0)＝0. 综上知，p 是 q 的必要条件，但不是充分条件． (2)|x－2|＜1⇔1＜x＜3，x2＋x－2＞0⇔x＞1 或 x＜－2. 由于{x|1＜x＜3}是{x|x＞1 或 x＜－2}的真子集． 所以“|x－2|＜1”是“x2＋x－2＞0”的充分不必要条件．]