分组分解法[1].doc
§9.16分组分解法(1)
=c(2a+b)–3d(2a+b)
=(c–3d)(2a+ b)
注意符号 可按系数特征分组
=(2a+b)(c–3d)
2ac–6ad+bc–3bd =(2ac–3bd)+(–6ad+bc)
例题2 分解因式
4a2+2a–b2+b 解： 4a2+2a–b2+b 4a2+2a–b2+b
课堂练习
分解因式：
(1) a2－ab－2a+2b
2 3 x y 6 xy 4 x 8 (2)
(3) a 2 9b2 2a 6b
(4)
x x 4y 2y
2 2
例题3 分解因式
2x3–2x2y+8y–8x 解： 2x3–2x2y+8y–8x =2(x3–x2y+4y–4x) =2[(x3–x2y)+ (4y–4x)]
1 =(4a2–b2)+(2a1 +b )
=2a(a+1)+b(–b+1)
=(2a+b)(2a–b)+(2a+b)
=(2a+b)(2a–b+1)
全部提取后括号内保留1
可按字母指数特征分组
适时小结：
我们把这种分组方式简单地称为“二二”分组． “二二”分组分解时应注意的问题： （1）把四项式二二分为两组(按字母特征分组， 或按系数特征分组，或按字母指数特征分组)； （2）分组分解后产生新公因式； （3）继续用提取公因式法来分解因式； （4）分解到不能分解为止．
有公因式的先提 取公因式
=2 [x2(x–y)–4(x–y)]
分组分解法例题
分组分解法例题（原创版）目录1.分组分解法的概念和原理2.分组分解法的具体步骤3.分组分解法的应用实例4.分组分解法的优点和局限性正文一、分组分解法的概念和原理分组分解法，是一种在解决复杂问题时常用的思维方法。
其核心思想是将问题按照一定的规则进行分组，然后对每组进行独立处理，最后将处理结果合并，从而得到问题的解决方案。
这种方法可以有效地降低问题的复杂度，提高解决问题的效率。
二、分组分解法的具体步骤1.确定分组规则：根据问题的特点，选择合适的分组规则，如按照属性、功能、时间等进行分组。
2.进行分组：将问题按照分组规则进行分组，确保每组内的元素具有相似性。
3.独立处理每组：对每组进行独立处理，可以使用其他解决问题的方法，如归纳法、演绎法等。
4.合并处理结果：将每组的处理结果进行合并，得到问题的最终解决方案。
三、分组分解法的应用实例以数学中的例题为例，假设有一个数列：1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9，要求计算这个数列的和。
这个问题可以使用分组分解法来解决。
1.确定分组规则：将数列中的数字按照每两个一组进行分组。
2.进行分组：(1, 2), (3, 4), (5, 6), (7, 8), (9)。
3.独立处理每组：计算每组的和，分别为 3, 7, 12, 19, 18。
4.合并处理结果：将每组的和相加，得到最终结果为 89。
四、分组分解法的优点和局限性分组分解法的优点在于它可以有效地降低问题的复杂度，使得解决问题的过程更加清晰和有序。
此外，分组分解法还可以提高解决问题的效率，特别是在处理大量数据时，可以节省大量的时间和精力。
然而，分组分解法也有其局限性。
首先，它需要预先确定分组规则，这就要求对问题有深入的了解。
第1页共1页。
分组分解法
三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
解：原式=)()(bn bm an am +++=)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！=))((b a n m ++例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。
第二、三项为一组。
解：原式=)5()102(bx by ay ax -+- 原式=)510()2(by ay bx ax +-+-=)5()5(2y x b y x a --- =)2(5)2(b a y b a x ---=)2)(5(b a y x -- =)5)(2(y x b a --（二）分组后能直接运用公式例3、分解因式：ay ax y x ++-22分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。
解：原式=)()(22ay ax y x ++-=)())((y x a y x y x ++-+=))((a y x y x +-+例4、分解因式：2222c b ab a -+-解：原式=222)2(c b ab a -+-=22)(c b a --=))((c b a c b a +---四、十字相乘法.（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。
特点：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。
例.已知0＜a ≤5，且a 为整数，若223x x a ++能用十字相乘法分解因式，求符合条件的a .解析：凡是能十字相乘的二次三项 式ax 2+bx+c ，都要求24b ac ∆=- >0而且是一个完全平方数。
分组分解法的九种技巧
分组分解法的九种技巧1.根据功能分组：将问题按照不同的功能进行分组，每个功能组解决其相关的问题。
这种方法适用于多个功能之间有较少的交叉问题。
2.根据角色分组：将问题按照不同的角色进行分组，每个角色组解决其相关的问题。
这种方法适用于问题涉及到多个不同的参与者。
3.根据时间分组：将问题按照不同的时间段进行分组，每个时间段解决其相关的问题。
这种方法适用于问题有明确的时间要求或按时间顺序解决的问题。
4.根据地理位置分组：将问题按照不同的地理位置进行分组，每个地理位置组解决其相关的问题。
这种方法适用于问题涉及到不同的地理区域或位置。
5.根据优先级分组：将问题按照不同的优先级进行分组，每个优先级组解决其相关的问题。
这种方法适用于问题有不同的紧急程度或重要程度。
6.根据类型分组：将问题按照不同的类型进行分组，每个类型组解决其相关的问题。
这种方法适用于问题有多个不同的类型或类别。
7.根据原因分组：将问题按照不同的原因进行分组，每个原因组解决其相关的问题。
这种方法适用于问题有多个不同的根本原因或诱因。
8.根据解决方法分组：将问题按照不同的解决方法进行分组，每个解决方法组解决其相关的问题。
这种方法适用于问题的解决方法有多种选择或不同的解决路径。
9.根据具体情况分组：根据实际情况和需求，将问题按照自定义的分组方式进行分组，以解决具体的问题。
以上九种分组分解法技巧可以根据问题的具体情况和要求进行灵活组合和运用，以便更好地解决复杂问题。
通过将问题分解成多个较小的子问题，并分别解决，可以提高问题解决的效率和准确性，同时也有助于更好地理解问题的本质和关联。
因式分解的分组分解方法(一)
因式分解的分组分解方法(一)因式分解的分组分解方法引言因式分解是数学中的重要概念，它能将多项式分解成乘积的形式，帮助我们简化计算和解题。
其中，分组分解方法是一种常用且有效的因式分解方法，本文将介绍一些常见的分组分解方法。
方法一：拆项分组法拆项分组法在因式分解中经常使用，它将多项式的项按照特定的规则进行分组，从而便于我们进行因式分解。
步骤如下： 1. 观察多项式，将其项按照相似的部分进行分组；2. 列出每个组的公因式； 3. 将每个组的公因式提取出来，并写在一起，形成因式分解式。
方法二：配方法配方法也是一种常用的分组分解方法，适用于某些特定的多项式。
步骤如下： 1. 观察多项式，如果存在两项可以通过配方法相乘得到另一项，那么可以使用配方法； 2. 根据配方法的公式进行运算，并将结果写在一起，形成因式分解式； 3. 检查分解后的乘积是否与原多项式相同。
方法三：差的平方分解法差的平方分解法适用于差的平方形式的多项式，它可以将其分解为两个因式的乘积。
步骤如下： 1. 观察多项式，如果存在差的平方形式，即a2−b2，那么可以使用差的平方分解法； 2. 将差的平方形式分解为两个因式的乘积； 3. 检查分解后的乘积是否与原多项式相同。
方法四：公因式提取法公因式提取法是一种简单而常见的因式分解方法，它适用于多项式中存在公因式的情况。
步骤如下： 1. 观察多项式，找出各个项的公因式； 2. 将公因式提取出来，并写在一起，形成因式分解式； 3. 检查分解后的乘积是否与原多项式相同。
方法五：完全平方公式法完全平方公式法适用于多项式中存在完全平方公式的情况。
步骤如下： 1. 观察多项式，如果存在完全平方公式形式，即a2+2ab+b2，那么可以使用完全平方公式法； 2. 将完全平方公式分解为两个因式的乘积； 3. 检查分解后的乘积是否与原多项式相同。
结论分组分解方法是因式分解中常用的方法之一，它能帮助我们将多项式简化成更简单的形式。
因式分解(分组分解法)
=(2ax-bx)+(5by-10ay)
=a(a+c)-b(a+c)
=(2ax-bx)+(-10ay +5by）
= (a+c)(a-b)
=x(2a-b)-5y(2a-b)
= (2a-b)(x-5y)
分组规律： 在有公因式的前提下，按对应项系数成
比例分组，或按对应项的次数成比例分组。
解： 2ax-10ay+5by-bx
=(2ax-10ay)+(5by-bx)
=(2ax-10ay)+(-bx +5by）
=2a(x-5y)-b(x- 5y)
=(x-5y)(2a-b)
例１，例3种还有没有其他分组的方法；如果有， 因式分解的结果是不是一样。
例1解(2)：a2-ab+ac-bc 例2解(2)： 2ax-10ay+5by-bx
先提公因式;
2. 如果各项没有公因式,那么可以尝试运用 公式来分解;
3.如果用上述方法不能分解,那么可以尝试 用分组来分解;
4.分解因式,必须进行到每一个多项式都不 能再分解为止. 口诀： 一提 二套 三分 四彻底
教学重点：掌握分组分解法的 分组规律和步骤。 主要内容：
学习分组分解法的概念，用分组分解法分 组之后，可以用提公因式的多项式进行因式分 解。
例2把多项式 a2-2ab+b2-c2 分解因式．
【分析】观察多项式，前 三项符合完全平方公式．
例3把2ax-10ay+5by-bx分解因式 分析：把这个多项式的四项按前两项与后两项分成
两组，并使两组的项都按x的降幂排列，然后从两
组分别提出公因式2a与-b，这时，另一个因式正好
初中数学因式分解-分组分解法
3 分组分解整式ax by bx ay --+的四项没有公因式可以提取，也无法直接应用公式，这样的式子需要分组分解.3．1 三步曲我们用上面的整式来说明如何分组分解.例1 分解因式：ax by bx ay --+.解 ax by bx ay --+=()()ax bx ay by -+- ［分为两组］=()()x a b y a b -+- ［“提”］=()()x y a b +- ［再“提”］一般地，分组分解大致分为三步：1．将原式的项适当分组；2．对每一组进行适当分组；3．将经过处理后的每一组当作一项，再采用“提”或“代”进行分解.一位高明的棋手，在下棋时，决不会只看一步，同样，在进行分组时，不仅要看到第二步，而且要看到三步.一个整式的项有许多种分组的方法，初学者往往需要经过尝试才能找到适当的分组方法，但是只要努力实践，多加练习，就会成为有经验，多加练习，就会成为有经验的“行家”.3．2 殊途同归分组的方法并不是唯一的，对于上面的整式ax by bx ay --+，也可以采用下面的做法： ax by bx ay --+=()()ax ay ax by +-+=()()a x y b x y +-+=()()x y a b +-.两种做法的效果是一样的，殊途同归！可以说，一种是按照x 与y 来分组（含x 的项在一组，含y 的项在另一组）；另一种是按a 与b 来分组.例2 分解因式：221x ax x ax a +++--.解法一 按字母x 的幂来分组.221x ax x ax a +++--=()()()221x ax x ax a +++-+=()()()2111x a x a a +++-+=()()211a x x ++-解法二 按字母a 的幂来分组.221x ax x ax a +++--=()()221ax ax a x x +-++-=()()2211a x x x x +-++-=()()211a x x ++-.3．3 平均分配在例2中，原式的6项是平均分配的，或都要分成三组，每组两项；或者分成两组，每组三项.如果分组的目的是使第二步与第三步都有公因式可提，那么就必须平均分配. 例3 分解因式：3254222x x x x x --++-.解 6项可以分成三组，每组两项.我们把幂次相近的项放在一起，即3254222x x x x x --++-=()()()5432222x x x x x -+---=()()()42222x x x x x x -+---=()()4221x x x -+-.本例也可以将6项分为两组，每组三项，即将系数为1的放在一组，系数为－2的放在另一组，详细过程请读者自己完成.例4 分解因式：2222ac bd ad bc +--.解 2222ac bd ad bc +--整式ax by bx ay --+的四项没有公因式可以提取，也无法直接应用公式，这样的式子需要分组分解.3.4瞄准公式如果在第二步或第三步中需要应用乘法公式，那么各组中的项数不一定相等，应当根据公式的特点来确定。
因式分解——分组分解法
因式分解——分组分解法一、分组分解法分解因式的意义我们把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和运用公式法进行分解，然后，综合起来，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果。
这种分解因式的方法叫做分组分解法。
二、学习指导：如果一个多项式适当分组，使分组后各组之间有公因式或可应用公式，那么这个多项式就可以用分组的方法分解因式。
分组分解法适用于不能直接使用提取公因式法，公式法和十字相乘法的多项式。
分组分解法并不是一种独立的因式分解的方法。
通过对多项式进行适当的分组，把多项式转化为可以应用基本方法分解的结构形式，使之具有公因式，或者符合公式的特点等，从而达到可以利用基本方法进行分解因式的目的。
我们有目的地将多项式的某些项组成一组，从局部考虑，使每组能够分解，从而达到整个多项式因式分解的目的，至于如何恰当地分组，需要具体问题具体分析，但分组时要有预见性，要统筹思考，减少盲目性，分组的好坏直接影响到因式分解能否顺利进行。
通过适当的练习，不断总结规律，便能掌握分组的技巧。
三、例题分析例1、分解因式：（1）2x2+2xy-3x-3y (2)a2-b2+4a-4b(3)4x2-9y2-24yz-16z2 (4)x3-x2-x+1分析：首先注意到前两项的公因式2x和后两项的公因式-3，分别把它们提出来，剩下的是相同因式（x+y），可以继续用提公因式法分解。
此题也可以考虑含有y的项分在一组。
如下面法（二）解法。
解(一)2x2+2xy-3x-3y=(2x2+2xy)-(3x+3y)=2x(x+y)-3(x+y)=(x+y) (2x-3)解(二)2x2+2xy-3x-3y=(2x2-3x)+(2xy-3y)=x(2x-3)+y(2x-3)=(2x-3)(x+y)说明：解法1和解法2虽然是不同的分组方式，但却有着相同的内在联系，即两组中的对应项系数成比例，分别为1：1和2：（-3）。
这也是分组中必须遵循的规律之一。
分组分解法——精选推荐
分组分解法学习目标要求①能用分组分解法把分组后可以直接提公因式或运用公式的多项式进行因式分解．能用分组分解法把分组后可以直接提公因式或运用公式的多项式进行因式分解． ②掌握二次三项式x 2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)的分解原理、特点；的分解原理、特点； ③了解因式分解的一般步骤，能灵活应用提公因式法、能灵活应用提公因式法、公式法、公式法、分组分解法进行多项式的因式分解式分解中考基本要求①熟练掌握并能灵活运用分组分解法．熟练掌握并能灵活运用分组分解法．考查分组分解法常与提公因式、考查分组分解法常与提公因式、公式法相结合，公式法相结合，命题以对四项式的多项式因式分解为主．以对四项式的多项式因式分解为主．②熟练掌握x 2+(p+q)x+pq 的因式分解的原理；能灵活选用恰当的方法因式分解；x 2+(p+q)x+pq 的分解很重要，它与方程、函数等知识有密切联系，函数等知识有密切联系，中考时常常把它融入其它中考时常常把它融入其它知识中去．知识中去．1．为什么要分组分解为什么要分组分解现在我们要分解下面两个多项式：现在我们要分解下面两个多项式：(1)xy-xb+ay-ab (1)xy-xb+ay-ab；；(2)x 2-y 2+ax+ay +ax+ay．．它们都是四项式，对于四项而言，既没有公因式可提，又不能运用四个因式分解公式，那么怎样才能来完成分解过程呢那么怎样才能来完成分解过程呢??为此，让我们来考察一个因式分解的逆过程——多项式的乘法．例如：乘法．例如：(x+a)(y-b)=x(y-b)+a(y-b)=(xy-xb)+(ay-ab)=xy-xb+ay-ad,如果把上述过程反过去，就找到了因式分解的途径．如果把上述过程反过去，就找到了因式分解的途径．xy-xb+ay-ab=(xy-xb)+(ay-ab) ( =(xy-xb)+(ay-ab) (分组分组)) =x(y-b)+a(y-b) =x(y-b)+a(y-b)．．至此，我们分别把x(y-b)x(y-b)、、a(y-b)a(y-b)看成一个整体，看成一个整体，那么在两项之间有公项式y-b 可提．即原式原式==……=(y-b)(x+a)=(y-b)(x+a)．这就是分组分解法．．这就是分组分解法．对于多项式对于多项式(2)(2)，前两项，前两项x 2-y 2，可以用平方差公式分解得，可以用平方差公式分解得(x+y)(x-y)(x+y)(x-y)，后两项，后两项ax+ay ax+ay，，有公因式a ，提出来得a(x+y)a(x+y)，这样原有多项式就变形为，这样原有多项式就变形为(x+y)(x-y)+a(x+y)(x+y)(x-y)+a(x+y)，这时可看到，这时可看到它们又有公因式x+y x+y，提出后得，提出后得(x+y)(x-y+a)(x+y)(x-y+a)，也达到分解的目的．，也达到分解的目的． 由此可见，对于四项或四项以上的多项式，进行恰当的分组，往往可以进行因式分解．2．分组分解法不是一种独立的分解因式的方法，经过适当的分组以后，转化为已经学过的提公因式法或运用公式来进行因式分解．提公因式法或运用公式来进行因式分解．3．分组分解法的原则是要能继续进行因式分解，这有两种情况：一种情况是分组后能直接提取公因式，一种情况是分组后能直接运用公式．一种情况是分组后能直接运用公式．分组没有固定的形式，分组没有固定的形式，但要确保分组后能但要确保分组后能继续分解．因此，合理地选择分组的方法，是分组分解法的关键．继续分解．因此，合理地选择分组的方法，是分组分解法的关键．4．为了合理地选择分组的方法，要用到加法的交换律和结合律，而提取公因式又运用了分配律，因此，运算律在分组分解中起到很重要的作用．配律，因此，运算律在分组分解中起到很重要的作用．5．二次三项式x 2+(p+q)x+pq 的特点：的特点： ①二次项的系数是①二次项的系数是1; 1;②常数项是两个数之积；②常数项是两个数之积；③一次项系数是常数项的两个因数之和．③一次项系数是常数项的两个因数之和．6．x 2+(p+q)x+pq 的分解原理的分解原理二次项系数是二次项系数是11的二次三项式x 2+(p+q)x+pq,+(p+q)x+pq,用十字相乘法因式分解的原理．用十字相乘法因式分解的原理．我们学习多项式乘法时，学过这样一个公式：我们学习多项式乘法时，学过这样一个公式：(x+p)(x+q)=x 2+(p+q)x+pq 将上式反过来，就得到将上式反过来，就得到x 2十(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)由此可以发现，对于二次项系数是由此可以发现，对于二次项系数是11的二次三项式，因式分解的思考途径是：先把常数项分解成两个因数的积pq pq，，再看这两个因数的和p+q p+q，，是否等于一次项系数，如果相等就可以成功，如果不相等再重新尝试．以成功，如果不相等再重新尝试．其实：按分组分解法其实：按分组分解法x 2+(p+q)x+pq=x 2+px+qx+pq=(x 2+px)+(qx+pq)=x(x+p)+q(x+p)=(x+p)(x+q)因此：因此：x x 2+(p+q)x+pq 型式子的分解即为分组分解法的特殊情形，型式子的分解即为分组分解法的特殊情形，我们称x 2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)为二次项系数为为二次项系数为11的二次三项式的因式分解公式．的二次三项式的因式分解公式．7．把一个多项式因式分解的一般步骤把一个多项式因式分解的一般步骤1．如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；．如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式； 2．如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；．如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；3．如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组来分解；．如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组来分解；4．分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．．分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．①分组分解法主要应用于四项或四项以上的多项式的因式分解．分组分解法主要应用于四项或四项以上的多项式的因式分解．②仍应首先考虑公因式的提取，其次才考虑分组．仍应首先考虑公因式的提取，其次才考虑分组．③分组方法的不同，仅仅是因式分解手段的不同，各种手段的目的都是把原多项式进行因式分解．分解．④对于四项式的两两分组，对于四项式的两两分组，尽管方法不惟一，尽管方法不惟一，但要注意，但要注意，并不是任何两项结合都可以最终达到因式分解的目的．要注意分组的合理性．到因式分解的目的．要注意分组的合理性．⑤对于四项式中的另一种分组方法，则是把其中的某三项组成一组，使其成为完全平方形式，而四项式中剩下的一项是某一个数而四项式中剩下的一项是某一个数((或代数式或代数式))的平方．此项又与完全平方式符号相反，则得到(a (a±±b)2-c 2或c 2-(a -(a±±b)2的形式，然后用平方差公式分解因式．⑥原多项式的项数超过四项时，要考虑五项式的三、二分组、六项式的三、二、一分组．原多项式的项数超过四项时，要考虑五项式的三、二分组、六项式的三、二、一分组． ⑦原多项式带有括号，不便直接分组时，要将括号去掉，整理后再分组分解．原多项式带有括号，不便直接分组时，要将括号去掉，整理后再分组分解．⑧在分组分解过程中，渗透着换元思想，掌握好这一点，就能熟练地进行分组分解．在分组分解过程中，渗透着换元思想，掌握好这一点，就能熟练地进行分组分解． ⑨二次三项式x 2+bx+c 在分解时有以下规律和技巧： (1)(1)如果常数项如果常数项c 是正数，那么可把c 分解为两个同号因数，它们的符号与一次项系数b 的符号相同；(2)(2)如果常数项如果常数项c 是负数，那么可把c 分解为两个异号因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数b 的符号相同．⑩二次三项式x 2+bx+c 中的x 也可能是其它的字母或者一个较复杂的代数式，遇到此类问题时，要有换元思想．例1．把下列各式分解因式：(1)2ac+3bc+6a+9b (2)2x 3+x 2-6x-3讲解(1)解法解法11：原式：原式=(2ac+3bc)+(6a+9b)=(2ac+3bc)+(6a+9b)=c(2a+3b)+3(2a+3b)=(2a+3b)(c+3) =(2a+3b)(c+3)．．解法2：原式原式=(2ac+6a)+(3bc+9b)=(2ac+6a)+(3bc+9b)=2a(c+3)+3b(c 十3)=(c+3)(2a+3b) =(c+3)(2a+3b)，，(2)解法1：2x 3+x 2-6x-3=(2x 3+x 2)-(6x+3)=x 2(2x+1)-3(2x+1)=(2x+1)(x 2-3)-3)．．解法2：2x 3+x 2-6x-3=(2x 3-6x)+(x 2-3)=2x(x 2-3)+(x 2-3)=(x 2-3)(2x+1)-3)(2x+1)．．例2．把下列各式分解因式：(1)4a 2-9b 2-4a+1-4a+1；；(2)x 2+l0xy-70y-49+l0xy-70y-49；； (3)x 5y-x 3y+2x 2y-xy y-xy；； 分析：这一组是四项式的因式分解，一般采用三、一分组或二、二分组．这一组是四项式的因式分解，一般采用三、一分组或二、二分组．讲解(1)4a 2-9b 2-4a+1=(4a 2-4a+1)-9b 2=(2a-1)2-(3b)2=(2a-1+3b)(2a-1-3b) =(2a-1+3b)(2a-1-3b)．．(2)x 2+l0xy-70y-49=(x 2-49)+(10xy-70y)=(x+7)(x-7)+l0y(x-7)=(x-7)(x+7+10y) =(x-7)(x+7+10y)．．(3)x 5y-x 3y+2x 2y-xy=xy(x 4-x 2+2x-1)=xy[x 4-(x 2-2x+1)]=xy[x 4-(x-1)2]=xy(x 2+x-1)(x 2-x+1)-x+1)．．例3．分解因式x 2-2xy+y 2-3x+3y 分析 这是一个五项式，其中前三项为二次的，后两项为一次的，后两项为一次的，前三项又恰好符合完全平前三项又恰好符合完全平方式，即得方式，即得(x-y)(x-y)2，而后两项提出，而后两项提出-3-3后也产生了因式后也产生了因式(x-y)(x-y)．． 讲解 x 2-2xy+y 2-3x+3y =(x 2-2xy+y 2)+(-3x+3y)=(x-y)2-3(x-y)=(x-y)(x-y-3) =(x-y)(x-y-3)．．例4．分解因式ab(c 2+d 2)+cd(a 2+b 2)． 分析 观察要进行观察要进行因式分解因式分解的多项式，按原有的分组无法分解因式，因此想到打乱原有分组，重新分组．重新分组．重新分组后要注意重新分组后要注意联想联想公式或有无公因式可提，要多观察，公式或有无公因式可提，要多观察，勤思考，尽量多想几勤思考，尽量多想几种方法．种方法．讲解方法(1)：ab(c 2+d 2)+cd(a 2+b 2)=abc 2+abd 2+a 2cd+b 2cd=(abc 2+b 2cd)+(abd 2+a 2cd)=bc(ac+bd)+ad(ad+ac)=(ac+bd)(bc+ad) =(ac+bd)(bc+ad)．．方法(2)：原式原式=abc =abc 2+abd 2+a 2cd+b 2cd =(abc 2+a 2cd)+(abd 2+b 2cd)=ac(bc+ad)+bd(ad+bc)=(bc+ad)(ac+bd) =(bc+ad)(ac+bd)．．例5．3x 2-x=1-x=1，求，求6x 6x 3+7x 2-5x+200-5x+200的值．的值． 分析 思路一：由思路一：由3x 3x 2-x=1-x=1，不便于求出，不便于求出x 的值，故可考虑将的值，故可考虑将6x 6x 3+7x 2-5x+200-5x+200用用(3x 2-x)-x)“整“整体”重新表示；思路二：由思路二：由3x 3x 2-x=1-x=1，得，得3x 3x 2=1+x =1+x．利用此式可将．利用此式可将6x 6x 3+7x 2-5x+200,-5x+200,逐步降次，最终达到逐步降次，最终达到化简的目的．讲解方法一：6x 3+7x 2-5x+200=2x(3x 2-x)+9x 2-5x+200=2x(3x 2-x)+3(3x 2-x)-2x+200=(2x+3)(3x 2-x)-2x+200=2x+3-2x+200=203 =203．．方法二：∵∵3x 2-x=1-x=1，∴，∴3x 3x 2=1+x =1+x，则，则 6x 3+7x 2-5x+200=2x =2x··3x 2+7+7··x 2-5x+200 =2x(1+x)+7x 2-5x+200=9x 2-3x+200=3 =3··(1+x)-3x+200=3+3x-3c+200=203 =203．．点拨：方法一中为达到用方法一中为达到用(3x (3x 2-x)-x)整体表示的目的，采用的是从最高次项起逐步提公整体表示的目的，采用的是从最高次项起逐步提公因式因式(3x 2-x)-x)的做法；方法二中始终用的做法；方法二中始终用(1+x)(1+x)替换替换3x 3x 2，这样做可达到将原，这样做可达到将原多项式多项式降次的目的．例6．证明：对任意正证明：对任意正整数整数n ，3n+2-2n+2+3n -2n 一定是l0l0的的倍数． 分析 要想证明原式是要想证明原式是1010的倍数，的倍数，只需将原式只需将原式因式分解因式分解，若有一个若有一个因数因数是1010，，则说明原式可被1010整除整除，即是，即是1010的倍数．的倍数． 证明∵3n+2-2n+2+3n -2n=3n (32+1)-2n (22+1)=3n ·10-2n ·5 =10(3n -2n-1)∴对任意的正整数∴对任意的正整数n ，原式一定是，原式一定是1010的倍数．的倍数．例7．将下列各式将下列各式分解因式分解因式(1)x 2+5x+4+5x+4；； (2)x 2-7x+6-7x+6；； (3)y 2-3y-28-3y-28；； (4)m 2+3m-28+3m-28．． 分析：上列各式均为系数为上列各式均为系数为11的二次三项式，在应用公式x 2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)进行分解进行分解时，关键是要找到某乘积的关键是要找到某乘积的常数项常数项，和为一次项系数的两个数，和为一次项系数的两个数，一般先将常数项分解为两数一般先将常数项分解为两数之积，然后再验证这两个数的和是否为一次项系数，若为，即可利用上述公式进行分解．(1)中有中有4=14=1××4，且，且1+4=51+4=5；；(2)(2)中有中有6=(-1)6=(-1)××(-6)(-6)，且，且(-1)+(-6)=-7(-1)+(-6)=-7；；(3)(3)中有中有-28=4-28=4××(-7)(-7)，，且4+(-7)=-34+(-7)=-3；；(4)(4)中有中有-28=(-4)-28=(-4)××7，且，且(-4)+7=3(-4)+7=3．． 讲解：(1)x 2+5x+4=x 2+(1+4)x+1+(1+4)x+1××4 =(x+1)(x+4) =(x+1)(x+4)．．(2)x 2-7x+6=x 2+[(-1)+(-6)]x+(-1)+[(-1)+(-6)]x+(-1)××(-6)=(x-1)(x-6) =(x-1)(x-6)．．(3)y 2-3y-28=y 2+[(-7)+4]x+(-7)+[(-7)+4]x+(-7)××4=(y-7)(y+4) =(y-7)(y+4)，，(4)m 2+3m-28=m 2+[7+(-4)]m+7+[7+(-4)]m+7××(-4)=(m+7)(m-4) =(m+7)(m-4)．．例8．把下列各式把下列各式分解因式分解因式(1)p 4-7p 2+6+6；； (2)(a+b)2-4(a+b)-21;(3)x 2y 2+2xy-15+2xy-15．． 分析：(1)p 4=(p 2)2，设p 2=y =y，则原，则原多项式多项式可转化为关于y 的二次三项式；的二次三项式；(2)(2)可看成是关于可看成是关于(a+b)(a+b)的二次三项式；的二次三项式；(3)(3)可看成是关于可看成是关于xy 的二次三项式的二次三项式..讲解：(1)方法一设设p 2=y =y，则，则 p 4-7p 2+6=y 2-7y+6=(y-1)(y-6)=(p 2-1)(p 2-6)=(p+1)(p-1)(p 2-6)方法二：p 4-7p 2+6=(p 2)2-7p 2+6=(p 2-6)(p 2-1) =(p 2-6)(p-1)(p+1)-6)(p-1)(p+1)．． (2)(a+b)2-4(a+b)-21=(a+b-7)(a+b-3) =(a+b-7)(a+b-3)．．(3)x 2y 2+2xy-15=(xy)2+2+2··xy-15=(xy+5)(xy-3) =(xy+5)(xy-3)．．说明：(1)(1)中的方法一用的是中的方法一用的是换元法换元法；方法二用的是换元的思想一在意识上将p 2看成一个整体，体，把原多项式看成是关于把原多项式看成是关于p 2的二次三项式，的二次三项式，但并不写出换元的步骤．但并不写出换元的步骤．这样，在书写上较方这样，在书写上较方法一简捷了许多．例9．分解因式a 2-4ab+3b 2．分析 本题所给的本题所给的多项式多项式是一个二齐次式，这类式子可看作是关于某一个字母的二次三项式，把另一个字母看作式，把另一个字母看作常数常数．不妨把a 2-4ab+3b 2看作关于a 的二次三项式，则的二次三项式，则常数项常数项是3b 2，一次项系数是-4b ．∵3b 2=(-b)=(-b)··(-3b)，而(-b)+(-3b)=-4b ．∴a 2-4ab+3b 2可写成a 2+[(-b)+(-3b)]x+(-b)(-3b)+[(-b)+(-3b)]x+(-b)(-3b)，继而分解为，继而分解为(a-b)(a-3b)(a-b)(a-3b)．． 讲解 a 2-4ab+3b 2=(a-b)(a-3b)=(a-b)(a-3b)．．注意 对于含有两个字母的二齐次式．分解因式时；要防止丢掉后一个字母的错误．对于含有两个字母的二齐次式．分解因式时；要防止丢掉后一个字母的错误．例10．把下列各式分解因式(1)x 4y 2-5x 2y 2-14y 2；(2)x 2-10xy+25y 2+6x-30y+8+6x-30y+8．． 分析：(1)(1)中各项提出公因式中各项提出公因式y 2后，括号内各项为x 2的二次三项式，的二次三项式，可用本节公式分解；可用本节公式分解；(2)(2)中前三项一组，第四、五项一组，第六项一组，原式即可转化为关于中前三项一组，第四、五项一组，第六项一组，原式即可转化为关于(x-5y)(x-5y)的二次三次式，的二次三次式，可继续用本节公式分解．(1)x 4y 2-5x 2y 2-14y 2=y 2(x 4-5x 2-14)=y 2(x 2-7)(x 2+2)(2)x 2-l0xy+25y 2+6x-30y+8=(x-5y)2+6(x-5y)+8=(x-5y+2)(x-5y+4)例11．分解因式：分解因式：(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1分析 ∵1+4=2+31+4=2+3，，∴可考虑把∴可考虑把(x+1)(x+4)(x+1)(x+4)及及(x+2)(x+3)(x+2)(x+3)分别分别组合组合相乘，所得两个二次三项式的二次项相同，一次项也相同，即含有x 的部分完全相同．以便进一步用的部分完全相同．以便进一步用换元法换元法分解因式．讲解：原式原式=[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]+1=[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]+1=(x 2+5x+4)(x2+5x+6)+1设x 2+5x+4=y +5x+4=y，则，则原式原式=y(y+2)+1=y =y(y+2)+1=y 2+2y+1 =(y+1)2=(x 2+5x+4+1)2=(x 2+5x+5)2说明：本题解散法的关键是：①巧妙结合．②恰当换元本题解散法的关键是：①巧妙结合．②恰当换元例12．已知已知(m (m 2-2)2-9(m 2-2)+14=0-2)+14=0，求，求m 的值． 分析：此题中，此题中，方程方程的左边可以用本节的公式分解，分解后，的左边可以用本节的公式分解，分解后，依据乘积为零则至少有一个依据乘积为零则至少有一个因因式为零，则原方程可转化为几个次数较低的方程，从而可求出m 的值．讲解：由(m 2-2)2-9(m 2-2)+14=0-2)+14=0，得，得 [(m 2-2)-2)][(m 2-2)-7]=0(m 2-4)(m 2-9)=0(m-2)(m+2)(m-3)(m+3)=0∵∵m-2=0m-2=0或或m+2=0m+2=0或或m-3=0m-3=0或或m+3=0 ∴∴m=2m=2或或m=-2m=-2或或m=3m=3或或m=-3m=-3．．答：一、选择题：1．分解因式2a 2+4ab+2b 2-8c 2，正确的是，正确的是( )( ) A ．2(a+b-2c) B ．2(a+b+c)(a+b-c)C ．(2a+b+4c)(2a+b-4c)D ．2(a+b+2c)(a+b-2c)2．x 2-6x-16-6x-16分解因式为分解因式为( )( ) A ．(x-2)(x-8) B ．(x+2)(x+8)C．(x+2)(x-8) D．(x-2)(x+8)3．x 2-13xy-30y2分解因式为( )A．(x-3y)(x-l0y) B．(x+15y)(x-2y)C．(x+l0y)(x+3y) D．(x-15y)(x+2y)4．如果如果多项式多项式x4-3x3-28x2的其中一个因式是x2，则另外两个因式是，则另外两个因式是( )( )A．(x-4)(x+7) B．(x-4)(x-7)C．(x+4)(x-7) D.(x+4)(x+7)5．多项式x2+px-q(p>0-q(p>0，，pq>0)pq>0)分解因式的结果足分解因式的结果足(x+m)(x+n)(x+m)(x+n)，则下列判断正确的是，则下列判断正确的是( )( ) A．mn<0 B．mn>0C．m>0m>0且且n>0 D．m<0m<0且且n<06．多项式a6+7a3-8-8分解因式后含有多少个因式分解因式后含有多少个因式( )( )A．1 B．2 C．3 D．47．如果x2-px+q=(x+a)(x+b)-px+q=(x+a)(x+b)，那么，那么p等于等于( )( )A．ab B．a+b C．-ab D．-(a+b)8．若x2+(5+b)x+5b=x2-x-30-x-30，则，则b的值为的值为( )( )A．5 B．-6 C．-5 D．69．如果多项式x2+ax-6+ax-6可分解为两个整系数的一次因式的积，可分解为两个整系数的一次因式的积，那么a可取的可取的整数整数值为值为( )( ) A．4个B．3个C．2个D．1个二、判断题：10．x2+(a+b)x+ab=________+(a+b)x+ab=________；；x2-(m-n)x-mn=_______11．3ax2+6axy+3ay2=_______12．已知x2-3x-54=(x+a)(x+b)-3x-54=(x+a)(x+b)，则，则a与b的符号的符号____________13．已知x2-5xy+4y2=0=0，则，则x：y=______14．x 2-2x-24-2x-24能被能被(x+a)(x+a)整除整除，则a=______ 三、把下列各式分解因式：15．(1)5m 2+6n-15m-2mn +6n-15m-2mn；；(2)ab-3b+7a 2-2la -2la；；(3)a 3-3b 2+3ab-a 2b ； (4)ax 2+3x 2-4a-12-4a-12．．16．(1)x 3 + x 2y - x 2z - xyz z - xyz；；(2)a 2x + a 2y - b 2x - b 2y ； (3)m 2n 2 - x 2y 2- m 2y 2+ n 2x 2；(4)a 4b+a 3b+ab+b b+ab+b．．17．(1)ax 2+x 2-a-1; (2)x 3-4+x-4x 2；(3)m 3-m-8m 2+8+8；；(4)a 2b 2-a 2-b 2+1+1．． 18．(1)25x 2-4a 2+12ab-9b 2；(2)a 2+2ab+b 2-ac-bc -ac-bc；；(3)a 2+2ab+b 2-m 2+2mn-n 2;(4)x 3 + x 2y - xy 2 - y 3．19．(1)y(y-2)+4x(x-y+1)(1)y(y-2)+4x(x-y+1)；；(2)3(ab+cd)-(bc+9ad)(2)3(ab+cd)-(bc+9ad)；；(3)1-ab(1-ab)-a 3b 3；(4)a(a-1)(a-2)-6(4)a(a-1)(a-2)-6．．20．求值求值(1)(1)已知已知a+b= ，a-b= ，求a 2+ab-3a-3b 的值； (2)(2)已知已知a 2+a+1=0+a+1=0，求，求a 3+2a 2+2a+3+2a+3的值；的值；(3)(3)若若x 2+2x+y 2-6y+10=0-6y+10=0，求，求x ，y 的值；(4)(4)已知已知a+b=0a+b=0，求，求a 3-2b 3+a 2b-2ab 2的值．答案（一）（一）11．D 2D 2．．C 3C 3．．D 4D 4．．C 5C 5．．A 6A 6．．D 7D 7．．D 8D 8．．B 9B 9．．A（二）（二）1010．．(x+a)(x+b),(x-m)(x+n) 11(x+a)(x+b),(x-m)(x+n) 11．．3a(x+y)21212．互异．互异 13 13．．1或4 144 14．．4或-6（三）（三）1515．．(1) (m-3)(5m-2n)(2) (a-3)(7a+b)(3) (a-b)(a 2+3b)(4) (a+3)(x+2)(x-2)1616．．(1) x(x+y)(x-z)(2) (x+y)(a+b)(a-b)(3) (m 2+x 2)(n+y)(n-y)(4) b(a+1)2(a 2-a+1)1717．．(1) (a+1)(x-1)(x 2+x+1)(2) (x 2+1)(x-4)(3) (m+1)(m-1)(m-8)(4) (a+1)(a-1)(b+1)(b-1)1818．．(1) (5x+2a-3b)(5x-2a+3b)(1)- (2)2 (3)x=-1,y=3 (4)=0 m 的值为的值为22，-2-2，，3或-3-3．． (2) (a+b)(a+b-c)(3) (a+b+m-n)(a+b-m+n)(4) (x-y)(x+y)2 1919．．(1) (2x-y)(2x-y+2)(2) (3a-c)(b-(2) (3a-c)(b-3d 3d )(3) (1+a 2b 2)(1-ab)(4) (a 2+2)(a-3) 2020．．。
因式分解之分组分解法
因式分解之分组分解法【知识精读】分组分解法并不是一种独立的因式分解的方法，分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式，或者可以直接运用公式。
使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性。
能预见到下一步能继续分解。
而“预见”源于细致的“观察”，分析多项式的特点，恰当的分组是分组分解法的关键。
注意问题提示：（1）分组分解法主要应用于四项以上的多项式的因式分解。
（2）分析题时仍应首先考虑公因式的提取，公式法的应用，其次才考虑分组。
（3）分组方法的不同，仅仅是因为分解的手段不同，各种手段的目的都是把原多项式 进行因式分解。
常见分组方法方法一：分组后能提取公因式1．按字母分组例如：分解因式：ax+ay+bx+by 可以按某一字母为准分组，若按含有字母a 的分为一组， 含有字母b 的分为一组，即ax+ay+bx+by=(ax+ay)+(bx+by)=a(x+y)+b(x+y)，这样就产生了公因式(x+y)。
2．按系数分组例如：分解因式：a 2-ab+3b-3a ，我们观察到前两项的系数之比和后两项系数之比恰好 相等，即1:(-1)=3:(-3)，则a 2-ab+3b-3a=(a 2-ab)-(3a-3b)=a(a-b)-3(a-b)。
3．按次数分组例如：分解因式：x 3+x 2+x-y 3-y 2-y ，此多项式有两个三次项，有两个两次项，有两个一次项，按次数分组为：(x 3-y 3)+(x 2-y 2)+(x-y)方法二：分组后能运用公式例如：x 2-2xy+y 2-z 2可以把前三项作为一组，它是一个完全平方式，可以分解为(x-y)2。
而(x-y)2-z 2又是平方差形式的多项式，还可以继续分解。
方法三：重新分组例如：分解因式4x 2+3y-x(3y+4)，此多项式必须先去括号，进行重新分组。
4x 2+3y-x(3y+4)=4x 2+3y-3xy-4x=(4x 2-4x)+(3y-3xy)=4x(x-1)-3y(x-1)=(4x-3y)(x-1)。
因式分解——分组分解法
北京四中撰稿：史卫红编审：谷丹责编：赵云洁因式分解——分组分解法一、分组分解法分解因式的意义我们把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和运用公式法进行分解，然后，综合起来，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果。
这种分解因式的方法叫做分组分解法。
二、学习指导：如果一个多项式适当分组，使分组后各组之间有公因式或可应用公式，那么这个多项式就可以用分组的方法分解因式。
分组分解法适用于不能直接使用提取公因式法，公式法和十字相乘法的多项式。
分组分解法并不是一种独立的因式分解的方法。
通过对多项式进行适当的分组，把多项式转化为可以应用基本方法分解的结构形式，使之具有公因式，或者符合公式的特点等，从而达到可以利用基本方法进行分解因式的目的。
我们有目的地将多项式的某些项组成一组，从局部考虑，使每组能够分解，从而达到整个多项式因式分解的目的，至于如何恰当地分组，需要具体问题具体分析，但分组时要有预见性，要统筹思考，减少盲目性，分组的好坏直接影响到因式分解能否顺利进行。
通过适当的练习，不断总结规律，便能掌握分组的技巧。
三、例题分析例1、分解因式：（1）2x2+2xy-3x-3y (2)a2-b2+4a-4b(3)4x2-9y2-24yz-16z2 (4)x3-x2-x+1分析：首先注意到前两项的公因式2x和后两项的公因式-3，分别把它们提出来，剩下的是相同因式（x+y），可以继续用提公因式法分解。
此题也可以考虑含有y的项分在一组。
如下面法（二）解法。
解(一)2x2+2xy-3x-3y=(2x2+2xy)-(3x+3y)=2x(x+y)-3(x+y)=(x+y) (2x-3)解(二)2x2+2xy-3x-3y=(2x2-3x)+(2xy-3y)=x(2x-3)+y(2x-3)=(2x-3)(x+y)说明：解法1和解法2虽然是不同的分组方式，但却有着相同的内在联系，即两组中的对应项系数成比例，分别为1：1和2：（-3）。
分组分解法(1)
四．新课
【注意】 (1)把有公因式的各项归为一组，并使组之间产生新 的公因式，这是正确分组的关键，因此，设计分组 方案是否有效要有预见性. (2)分组的方法不唯一，而合理地选择分组方案，会 使分解过程简单. (3)分组时要用到添括号法则，注意在添加带有“－ ”号的括号时，括号内每项的符号都要改变. (4)实际上，分组只是为完成分解创造条件，并没有 直接达到分解的目的．
( x a b)( x a b)
5 3 a a 2 b ab2 b 3 ． 2 2
(a b)( a b )
6 4x 2 4x 1 y 2 ． (2 x 1 y)(2 x 1 y).
练
习
把下列各式分解因式： 7 pq p q 1 ． (q 1)( p 1) 8 4n 2 m2 6m 9 ． (2n m 3)( 2n m 3)
练习: 把下列各式因式分解: 2 2 (1)4a -b +6a-3b (2)9m2-6m+2n-n2 2 2 2 (3)x -y -z +2yz (4)x2-4xy+4y2+2x-4y
方法
分类
分组方法
特点 ①按字母分组②按系 数分组③符合公式的 两项分组 先完全平方公式后平 方差公式 各组之间有公因式 各组之间有公因式 可化为二次三项式
x 2 6x 91 ( x 13)(x 7)
四．新课 例6 分解因式： (a＋2b)2－10(a＋2b)＋21 【分析】本题应该把(a＋2b)2看成二次项， － 10(a ＋ 2b) 看成一次项，－ 10 看成一次项的 系数， 21 看成常数项，从而可以用十字相乘 法． a＋2b －3 【解】 (a＋2b)2－10(a＋2b)＋21 a＋2b －7 ＝(a＋2b－3)(a＋2b－7)
因式分解——分组分解法
=(x-3y-5)2
（3）分析此题还是六项式，但都不具备上述两题的特征，可将这六项式二项、二项、二项分成三组，各自提取公因式，再提取三组间的公因式。
解：a2-a2b+ab2-a+b-b2
=(a2-b2)-(a2b-ab2)-(a-b)
=(a+b)(a-b)-ab(a-b)-(a-b)
=(x-1)(x+1)(x-1)
=(x+1)(x-1)2
法（二）原式=(x3-x)-(x2-1)
=x(x2-1)-(x2-1)
=(x2-1)(x-1)
=(x+1)(x-1)(x-1)
=(x+1)(x-1)2
说明：分组时，不仅要注意各项的系数，还要注意到各项系数间的关系，这样可以启示我们对下一步分解的预测，如下一步是提公因式还是应用公式等。
=a2x2+b2y2+b2x2+a2y2
=(a2x2+b2x2)+(b2y2+a2y2)
=x2(a2+b2)+y2(a2+b2)
=(a2+b2)(x2+y2)
（4）分析：将3b2变形为4b2-b2再分组进行。
解：a2-4ab+3b2+2bc-c2
=a2-4ab+4b2-b2+2bc-c2
=(a2-4ab+4b2)-(b2-2bc+c2)
=(a+b)(a-b)+4(a-b)
=(a-b) (a+b+4)
(3)若将此题应用（2）题方法分组将4x2-9y2一组应用平方差公式，或者将4x2-16z2一组应用平方差公式后再没有公因式可提，分组失败。观察题中特点，后三项符合完全平方公式，将此题二、三、四项分组先用完全平方公式，再用平方差公式完成分解。
分组分解法
分组分解法分组分解是分解因式的一种简洁的方法，下面是这个方法的详细讲解。
能分组分解的多项式有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法。
比如：ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y)我们把ax和ay分一组，bx和by分一组，利用乘法分配律，两两相配，立即解除了困难。
同样，这道题也可以这样做。
ax+ay+bx+by=x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+y)几道例题：1．5ax+5bx+3ay+3by解法：原式=5x(a+b)+3y(a+b)=(5x+3y)(a+b)说明：系数不一样一样可以做分组分解，和上面一样，把5ax和5bx看成整体，把3ay和3by看成一个整体，利用乘法分配律轻松解出。
2．x2-x-y2-y解法：原式=(x2-y2)-(x+y)=(x+y)(x-y)-(x+y)=(x+y)(x-y-1)利用二二分法，再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b)，然后相合解决。
三一分法，例：a2-b2-2bc-c2原式=a2-(b+c)2=(a-b-c)(a+b+c)十字相乘法十字相乘法在解题时是一个很好用的方法，也很简单。
这种方法有两种情况。
①x2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和。
因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) ．例1：x2-2x-8=(x-4)(x+2)②kx2+mx+n型的式子的因式分解如果有k=ab，n=cd，且有ad+bc=m时，那么kx2+mx+n=(ax+c)(bx+d)．例2：分解7x2-19x-6图示如下：a=7 b=1 c=2 d=-3因为-3×7=-21，1×2=2，且-21+2=-19，所以，原式=(7x+2)(x-3)．十字相乘法口诀：分二次项，分常数项，交叉相乘求和得一次项。
分组分解法
=2(m-n)(1-2x)
例3 分解因式：
4a2-b2+4a-2b
练习：
1.x2+ax-y2+ay
2.4x2-y2+6x-3y
例4：分解因式 a2 2ab b2 c2
练习：
2ab a2 b2 9
也就有:
am an bm bn = (m n)(a b)
定义：这种把多项式分成几组来分解因 式的方法叫分组分解法
注意：如果把一个多项式的项分 组并提出公因式或运用公式后， 它们的另一个因式正好相同或可 用公式法，那么这个多项式就可 以用分组分解法来分解因式。
例１:把a2-ab+ac-bc分解因式
因式分解之
分组分解法
分组后能直接提公因式 或能运用公式法
1.什么叫做因式分解？
把一个多项式化成几个整式的积的形式， 这种式子变形叫做把这个多项式因式分解， 也叫做把这个多项式分解因式。
2.回想我们已经学过那些分解因式的方法？
提公因式法， 公式法——平方差公式，完全平方公式
我们看下面这个多项式
am an bm bn
(a c)(a b)
例2：把 m2 5n mn 5m分解因式．
解：m2 5n mn 5m
＝ (m2 mn) (5n 5m) ＝ m(m n) 5(m n)
＝ (m n)(m 5)
把下列各式分解因式：
(1)20(x+y)+x+y
解：原式
要把这个多项式分解因式，不能提公 因式也不能用公式！
在这里我们把它的前两项分成一组
a 并提出公因式 ；
把它的后两项分成一组，并提出
分组分解法步骤
分组分解法步骤嘿，咱今儿就来说说分组分解法的步骤哈！这分组分解法啊，就像是搭积木，得一块一块有技巧地摆弄。
先来看第一步，那就是得好好观察式子呀！就跟咱观察一个人似的，得看清它的特点、模样。
式子里面的各项都有啥样的特点，是有公因式呢，还是能凑成平方差、完全平方啥的。
这一步可得仔细咯，别马虎，不然就像找错了路，那可就麻烦啦！第二步呢，就是根据观察到的特点来分组啦！把那些能凑到一块儿的项放在一组。
这就好比把志同道合的朋友聚在一起，他们在一起能发挥更大的作用呢！分组的时候可得动点小脑筋，别瞎分一气呀。
第三步，就是对分好的组分别进行处理啦。
该提公因式的提公因式，该化简的化简，让每一组都变得简单明了。
这就好像给每组都化个妆，让它们变得漂漂亮亮的。
第四步，再看看经过处理后的各组之间有没有新的联系或者规律。
也许这时候你就会发现，哇，原来它们能组合成更美妙的式子呢！就像拼图一样，突然就找到了关键的那一块。
比如说，给你个式子 x²+2xy+y²-1，你就得先观察，哟，前三项不就是个完全平方嘛，然后把它们分成一组，剩下的 -1 自己一组。
接着对第一组进行化简得到 (x+y)²，再看看和后面的 -1 一结合，是不是就能用平方差公式啦！你可别小看这分组分解法呀，它用处可大着呢！在解决好多数学问题的时候都能派上大用场。
就好像一把神奇的钥匙，能打开好多难题的大门。
而且啊，这学分组分解法就跟学骑自行车似的，一开始可能会有点不稳，会摔倒，但只要你多练习，多尝试，慢慢地就熟练啦，就能骑得稳稳当当的啦！所以呀，别害怕遇到难题，要勇敢地去尝试，去摸索。
咱学习数学呀，就是这样，一点一点积累，一点一点进步。
每一个小方法，每一个小技巧，都是我们前进道路上的小基石。
相信自己，一定能把这分组分解法掌握得牢牢的！加油吧！就这么着，分组分解法的步骤咱可就说完啦，你学会了没？。
因式分解(分组分解法)
因式分解 （分组分解法）【知识要点】1、定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如22a b a b -+-没有公因式，又不能直接利用分式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。
再提公因式，即可达到分解因式的目的。
例如：22a b a b -+-=22()()()()()()(1)a b a b a b a b a b a b a b -+-=-++-=-++， 这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。
2、原则：分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必须使各组之间能继续分解。
3、有些多项式在用分组分解法时，分解方法并不唯一，无论怎样分组，只要能将多项式正确分解即可。
【典型例题】例1 把下列各式分解因式（1）2914x x ++= （2）212x x --=（3）2812x x ++= （4）2710x x -+=（5）228x x --= （6）2922x x --=（7）2295x x +-= （8）2376x x --=（9）28103x x ++= （10）210275x x ++= 例2 把下列各式分解因式（1）bc ac ab a -+-2 （2）bx by ay ax -+-5102（3）n mn m m 552+-- （4）bx ay by ax 3443+++（5）22144a ab b --- （6）223443ax ay bx cy cx by +-++- 例3 把下列各式分解因式（1）22421x xy y --； （2）()()267a b a b +-+-； （3）()()22524x x -+-+ （4）()()()()22310a b a b a b a b -+-+-+；（5）()()2224221x y x y y y +-+- （6）222()14()24x x x x +-++ 例4 把下列各式分解因式（1）()()z y y z x x +-+ （2）()()b a x ab x 34322-+- （3）()()cd b a dc ab 2222--- （4）()()y a bx by b y ax 2233+++ 【思考题】分解因式()()()()2222d b d c c a b a +-+-+++。
分组分解法例题
分组分解法例题摘要：一、分组分解法简介1.分组分解法的定义2.分组分解法的作用3.分组分解法的应用范围二、分组分解法例题解析1.例题一a.题目描述b.解题思路c.解题步骤d.答案2.例题二a.题目描述b.解题思路c.解题步骤d.答案3.例题三a.题目描述b.解题思路c.解题步骤d.答案正文：一、分组分解法简介分组分解法是一种数学解题方法，它主要用于解决复杂数字问题。
通过对问题进行合理的分组和分解，可以将复杂问题简化为更易处理的简单问题，从而提高解题效率。
分组分解法适用于各种年龄段的数学学习者，对于培养学生的数学思维能力具有重要意义。
二、分组分解法例题解析1.例题一题目描述：一个水果摊上的苹果和香蕉共计100千克，苹果的重量是香蕉的2倍。
若将苹果和香蕉分别装入两个袋子，且每个袋子的重量相同，求每个袋子的重量。
解题思路：首先，根据题目描述，我们可以将问题分解为两个部分：苹果的重量和香蕉的重量。
然后，通过设方程的方式求解每个袋子的重量。
解题步骤：(1) 设香蕉的重量为x千克，则苹果的重量为2x千克。
(2) 根据题目描述，x + 2x = 100，解得x = 25。
(3) 香蕉的重量为25千克，苹果的重量为50千克。
(4) 每个袋子的重量为(25 + 50) / 2 = 37.5千克。
答案：每个袋子的重量为37.5千克。
2.例题二题目描述：某企业的员工总数为120人，其中生产部门的员工人数是销售部门的2倍。
若将员工分为两部分，且两部分员工的人数相同，求生产部门和销售部门各有多少人。
解题思路：首先，根据题目描述，我们可以将问题分解为两个部分：生产部门的员工人数和销售部门的员工人数。
然后，通过设方程的方式求解每个部门的员工人数。
解题步骤：(1) 设销售部门的员工人数为x人，则生产部门的员工人数为2x人。
(2) 根据题目描述，x + 2x = 120，解得x = 40。
(3) 生产部门的员工人数为2x = 80人，销售部门的员工人数为x = 40人。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
分组分解法
章章 节节 课课时时分分配配 主主 备备 辅辅备备
第第11章章分解因式
时时
分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式，或者可以直接运用公
式，使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性。
重点:利用分组分解法分解因式 难点:如何适当分组
把下列各式分解因式： (1)20(x+y)+x+y (2)2m-2n-4x(m-n)
如何进行多项式am+an+bm+bn 分解因式？
观察：多项式的各项有公因式吗？ 每两项之间呢？
怎样把am+an+bm+bn 分解因式？
这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法
解： am+an+bm+bn
=(am+an)+(bm+bn) =a(m+n)+b(m+n) =(m+n)(a+b)
分组
提取组内公因式
产生新的公因式
对于am+an+bm+bn，你还有其它的分组方法吗？
注：分组的方法不是唯一的，但是答案是唯一的
例 1. 将2mx-10my+nx-5ny分解因式
你还有其他的分组方法吗？
1、分组分解法是一种适合于四项以上的多项式的因式分解，是在多项式暂无公因式可提，通过分组能产生新的公因式
2、在有公因式的前提下，按对应项系数成比例分组，或按对应项的次数成比例分组。
在多项式的项数≥4时,可以用分组分解法：
在有公因式的前提下，按对应项系数成比例分组，或按对应项的次数成比例分组。
分组规律：
bc
ac
ab
a-
+
-
2
)1(bx
by
ay
ax-
+
-5
10
2)2(
bx
ay
by
ax3
4
4
3)3(+
+
+m
mn
n
m5
5
)4(2-
-
+
分解步骤：(1)分组；
(2)在各组内提公因式；
(3)产生新的公因式；
(4)提取公因式完成分解因式.
教学中的不足
教学中的优点
4
16
4)1(3
2-
-
+x
x
x
xy
xz
x
yz6
2
3
4
)2(2+
-
+
-
y
x
x
y
x
x n
n
n
n2
1
13
2
3
2)3(-
-
+-
+
-
2
4
320
5
4
)4(m
m
m
m-
-
+。