九年级数学求解析式类型练习题
数学人教版九年级上册求抛物线的解析式
y
x
例题讲解：
已知二次函数的图象过
1, 0
式。
0 ，求这个二次函数解析 , 3 2,5 、
. . .
例题讲解：
已知二次函数的图象过
1, 0
3 ,0 、 0 , 3 ，求这个二次函数解析
式。
. . .
.
.
, 4 1 ,1 0 的顶点为 二次函数的图象过 、 和 ， 2 ,5 求这个二次函 0 , 3 且经过 数解析式。
练习巩固：
， 16 已知二次函数的顶点为 1 ，且与 x 轴的两个交点之间的距离为 8 ，试求抛物 线的解析式。 1， 16
3 ， 0
. .1, 0.
4
5， 0
作业布置：
《课堂导学案》 P130-131 第62课时 求抛物线的解析式
结束寄语：
•
探索是数学的生命线.
，并且当 x 3 -3 ④若二次函数的图象经过点 4， 时，有最大值4；
变式提升：
已知二次函数的图象如下图所示， 你能用什么办法求出抛物线的解析式。
. .
.Байду номын сангаас.
变式提升：
已知二次函数的图象如下图所示， 你能用什么办法求出抛物线的解析式。
.
.
挑战提升
已知抛物线的顶点是（1,16 ） ，且抛物线与x轴的 两交点间的距离为8 ，求抛物线的解析式
例题讲解：
. . .
.
. .
， ， ；
练习巩固：选择合适的方法求二次函
数解析式
一般式 ① 顶点式 ②④ 交点式 ③
C B 1 ， 0 1 ， 2 、 0 ， 1 ①若抛物线经过了点 A 、
精品 九年级数学中考 二次函数专题 一 解析式的求法
二次函数专题 一 解析式的求法一、选择题：1.方程xx x 1452=--的实数根的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C.2个 D. 3个二、填空题：1.将抛物线3)3(22+-=x y 向右平移2个单位后，在向下平移5个单位后所得抛物线的解析式为 ，顶点坐标为2.把抛物线 向左平移4个单位后，再向上平移1个单位后得到了抛物线6)3(32-+-=x y 。
三、计算证明题：1.已知抛物线2442-+-=a ax ax y ，其中a 是常数。
（1）求抛物线的顶点坐标；（2）若52>a ，且抛物线与x 轴交于整数点（坐标为整数的点），求此抛物线的解析式。
2.在平面直角坐标系中，抛物线n mx mx y ++=322经过P(3,5),A(0,2)两点。
（1）求此抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为B,将直线AB 沿y 轴向下平移两个单位得到直线l ，直线l 与抛物线的对称轴交于点C,求直线l 的解析式；（3）在（2）的条件下，求到直线OB 、OC 、BC 距离相等的点的坐标。
3.一次函数y=2x+3与二次函数c bx ax y ++=2的图象交于A(m ，5)和B(3，n)两点，且当x=3时，抛物线取得最值为9.（1）求二次函数的解析式；（2）从图像观察，x 为何值时，一次函数与二次函数的值都随x 的增大而增大； （3）当x 为何值时，一次函数值大于二次函数值？4.已知二次函数4)42(22-++-=m x m x y 的图像与y 轴的交点在原点下方，与x 轴交于点A 、B 两点，点A 在点B 的左边，且A 、B 两点到原点的距离AO 、BO 满足OB AO AO OB ⋅=-2)(3,直线y=kx+k 与这个二次函数图象的一个交点为P,且锐角∠POB 的正切值为4.(1)求m 的取值范围；(2)求这个二次函数的解析式；(3)确定直线y=kx+k 的解析式。
5.已知关于x 的一元二次方程01422=-++k x x 有实数根，k 为正整数。
人教版九年级数学上册求解二次函数解析式专题练习
求解二次函数解析式专题练习1．已知抛物线y＝ax2经过点A(1，1)．(1)求这个函数的解析式；2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象顶点坐标为(－2，3)，且过点(1，0)，求此二次函数的解析式．3．抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标为(2，4)，且过原点，求抛物线的解析式．4．若一抛物线与x轴两个交点间的距离为8，且顶点坐标为（1, 5），则它们的解析式为。
5．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝－1时有最小值－4，且图象在x轴上截得线段长为4，求函数解析式．6．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过(0，0)，(12，0)两点，其顶点的纵坐标是3，求这个抛物线的解析式．7.已知二次函数为x＝4时有最小值-3且它的图象与x轴交点的横坐标为1，求此二次函数解析式．8. 已知抛物线经过点(-1，1)和点(2，1)且与x轴相切．(1)求二次函数的解析式。
9.已知二次函数y=ax2＋bx＋c，当 x=0时，y=0；x=1时，y=2；x=-1时，y=1．求a、b、c，并写出函数解析式．10．把抛物线y ＝(x －1)2沿y 轴向上或向下平移后所得抛物线经过点Q (3，0)，求平移后的抛物线的解析式．11．二次函数y ＝x 2－mx ＋m －2的图象的顶点到x 轴的距离为,1625求二次函数解析式．12．已知二次函数m x x y +-=62的最小值为1，求m 的值．13．已知抛物线y ＝ax 2经过点A (2，1)．(1)求这个函数的解析式；(2)写出抛物线上点A 关于y 轴的对称点B 的坐标；(3)求△OAB 的面积；(4)抛物线上是否存在点C ，使△ABC 的面积等于△OAB 面积的一半，若存在，求出C 点的坐标；若不存在，请说明理由．14已知抛物线经过A （0，3），B （4,6）两点，对称轴为ｘ＝53，求这条抛物线的解析式；15．函数y ＝x 2＋2x －3(－2≤x ≤2)的最大值和最小值分别为( )A ．4和－3 B ．5和－3 C ．5和－4 D ．－1和416．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如下图所示，那么a （）0，b （）0，c （）017．二次函数y ＝mx 2＋2mx －(3－m )的图象如下图，那么m 的取值范围是()A ．m ＞0 B ．m ＞3C ．m ＜0 D ．0＜m ＜318．在同一坐标系内，函数y ＝kx 2和y ＝kx －2(k ≠0)的图象大致如图( )19.已知抛物线y=-x 2+mx+n 的顶点坐标是（-1，- 3 )，则m 和n 的值分别是（）A.2,4B.-2,-4C.2,-4D.-2,020、已知二次函数2y ax bx c =++的图象经过原点和第一、二、三象限，则（）（A ）0,0,0a b c >>>（B ）0,0,0a b c <<= （C ）0,0,0a b c <<>（D ）0,0,0a b c >>=。
九年级数学上册专题训练(三)用待定系数法求二次函数解析式试题(新版)新人教版
专题训练(三) 用待定系数法求二次函数解析式一、已知三点求解析式1．已知二次函数的图象经过(1，0)，(2，0)和(0，2)三点，则该函数的解析式是( D ) A．y＝2x2＋x＋2 B．y＝x2＋3x＋2C．y＝x2－2x＋3 D．y＝x2－3x＋22．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A，B，C三点，求出抛物线的解析式．解：将点A(－1，0)，B(0，－3)，C(4，5)三点的坐标代入y＝ax2＋bx＋c得解得所以抛物线的解析式为y＝x2－2x－3二、已知顶点或对称轴求解析式3．在直角坐标平面内，二次函数的图象顶点为A(1，－4)，且过点B(3，0)，求该二次函数的解析式．解：∵二次函数的图象顶点为A(1，－4)，∴设y＝a(x－1)2－4，将点B(3，0)代入得a＝1，故y ＝(x－1)2－4，即y＝x2－2x－34．已知抛物线经过两点A(1，0)，B(0，3)，且对称轴是直线x＝2，求其解析式．解：∵抛物线对称轴是直线x＝2且经过点A(1，0)，由抛物线的对称性可知：抛物线还经过点(3，0)，设抛物线的解析式为y＝a(x－1)(x－3)，把(0，3)代入得a＝1，∴抛物线的解析式为y＝x2－4x ＋3三、已知抛物线与x轴的交点求解析式5．已知抛物线与x轴的交点是A(－2，0)，B(1，0)，且经过点C(2，8)，则该抛物线的解析式为__y ＝2x2＋2x－4___．6．如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴的两个交点分别为A(1，0)，B(3，0)，求这条抛物线的解析式．解：∵抛物线与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，∴抛物线的解析式可表示为y＝－(x－3)(x－1)，即y＝－x2＋4x－3四、已知几何图形求解析式7．如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的正方形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过B，C两点．求该二次函数的解析式．解：由题意，得C(0，2)，B(2，2)，∴解得所以该二次函数的解析式为y＝－x2＋x＋2五、已知面积求解析式8．直线l过点A(4，0)和B(0，4)两点，它与二次函数y＝ax2的图象在第一象限内交于点P，若S△AOP ＝，求二次函数关系式．解：易求直线AB的解析式为y＝－x＋4，∵S△AOP＝，∴×4×y p＝，∴y p＝，∴＝－x＋4，解得x ＝，把点P的坐标(，)代入y＝ax2，解得a＝，∴y＝x2六、已知图形变换求解析式9．已知抛物线C1：y＝ax2＋bx＋c经过点A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)．(1)求抛物线C1的解析式；(2)将抛物线C1向左平移几个单位长度，可使所得的抛物线C2经过坐标原点，并写出C2的解析式．解：(1)y＝x2－2x－3(2)抛物线C1向左平移3个单位长度，可使得到的抛物线C2经过坐标原点，所求抛物线C2的解析式为y＝x(x＋4)，即y＝x2＋4x七、运用根与系数的关系求解析式10．已知抛物线y＝－x2＋2mx－m2－m＋2.(1)直线l：y＝－x＋2是否经过抛物线的顶点；(2)设该抛物线与x轴交于M，N两点，当OM·ON＝4，且OM≠ON时，求出这条抛物线的解析式．解：(1)将y＝－x2＋2mx－m2－m＋2配方得y＝－(x－m)2－m＋2，由此可知，抛物线的顶点坐标是(m，－m＋2)，把x＝m代入y＝－x＋2得y＝－m＋2，显然直线y＝－x＋2经过抛物线y＝－x2＋2mx －m2－m＋2的顶点(2)设M，N两点的横坐标分别为x1，x2，则x1，x2是方程－x2＋2mx－m2－m＋2＝0的两个实数根，∴x1x2＝m2＋m－2，∵OM·ON＝4, 即|x1x2|＝4，∴m2＋m－2＝±4.当m2＋m－2＝4时，解得m1＝－3，m2＝2，当m＝2时，可得OM＝ON不合题意，所以m＝－3；当m2＋m－2＝－4时，方程没有实数根，因此所求的抛物线的解析式只能是y＝－x2－6x－4。
初三数学抛物线解析式练习题
初三数学抛物线解析式练习题抛物线是数学中重要的曲线之一，具有广泛的应用和意义。
学好抛物线解析式对于初三学生来说非常重要，本文将为大家提供一些抛物线解析式的练习题，帮助大家加深对该概念的理解和掌握。
题1：已知抛物线的顶点为(2, 4)，焦点为(2, 2)，求抛物线的解析式。
解：由于抛物线的顶点和焦点的横坐标相同，所以抛物线的解析式可以表示为：y = a(x - 2)^2 + 4，其中a为待定系数。
再根据焦点的纵坐标可以得到：2 = a(2 - 2)^2 + 4，解方程可得a = -1/2。
因此，抛物线的解析式为：y = -1/2(x - 2)^2 + 4。
题2：已知抛物线的焦点为(-1, 2)，过点(2, 6)的直线是抛物线的切线，求抛物线的解析式。
解：首先，由于抛物线的焦点为(-1, 2)，所以抛物线的顶点的横坐标为-1。
设抛物线的解析式为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为待定系数。
由题意可得三个方程：1）过点(2, 6)：6 = 4a + 2b + c；2）抛物线的顶点：c = 2；3）抛物线的切线：6 = 4a(2 - 1) + 2b。
根据第二个方程可得c = 2，代入其他两个方程可得：1）6 = 4a + 2b + 2；2）6 = 4a + 2b。
解方程组可得a = 0，b = 3。
因此，抛物线的解析式为：y = 3x + 2。
题3：已知抛物线的焦点为(1, 1)，经过点(2, 3)，求抛物线的解析式。
解：与题2类似，设抛物线的解析式为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为待定系数。
由题意可得三个方程：1）过点(2, 3)：3 = 4a + 2b + c；2）抛物线的焦点：1 = a(1 - 1)^2 + b(1 - 1) + c；3）焦点与直线的距离公式：1 = 2a(1 - 1) + b(1 - 1) + c - 3。
化简方程2和方程3可得：1）1 = c；2）1 = c - 3。
部编数学九年级上册待定系数法求二次函数解析式(讲+练)【7种题型】2023考点题型精讲 解析版含答案
22.1.5待定系数法求二次函数解析式二次函数解析式常见有以下几种形式 ： (1)一般式：2y ax bx c =++(a ，b ，c 为常数，a ≠0)；(2)顶点式：2()y a x h k =-+(a ，h ，k 为常数，a ≠0)；(3)交点式：12()()y a x x x x =--(1x ，2x 为抛物线与x 轴交点的横坐标，a ≠0)．注意：确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下第一步，设：先设出二次函数的解析式，如2y ax bx c =++或2()y a x h k =-+，或12()()y a x x x x =--，其中a ≠0；第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)；第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中．题型1：一般式求二次函数解析式-一个或两个参数未知1.若抛物线y ＝x 2+bx +c 的对称轴为y 轴，且点P （2，6）在该抛物线上，则c 的值为（ ） A ．﹣2B ．0C ．2D ．4【答案】C 【解析】【解答】解：∵抛物线y ＝x 2+bx+c 的对称轴为y 轴，∴b ＝0，∵点P （2，6）在该抛物线上，∴6＝4+c ，解得：c ＝2．题型2：一般式求二次函数解析式-a、b、c未知2.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点A（﹣1，8）、B（2，﹣1），与y轴交于点C（0，3），求二次函数的表达式．【答案】解：把A（﹣1，8）、B（2，﹣1），C（0，3）都代入y＝ax2+bx+c中，得a−b+c=84a+2b+c=−1c=3，解得a=1b=−4c=3，的三元一次方程组，解出a、b、c的值即得y=−x+6x−5，然后将其化为顶点式，即可得出结论.题型3：顶点式求二次函数解析式3.已知抛物线的顶点是A（2，﹣3），且交y 轴于点B（0，5），求此抛物线的解析式.应的y值，则可得点A的坐标.【变式3-2】已知如图，抛物线的顶点D的坐标为（1，-4），且与y轴交于点C（0，-3）.（1）求该函数的关系式；（2）求该抛物线与x轴的交点A，B的坐标.【答案】解：（1）∵抛物线的顶点D的坐标为(1，−4)，∴设抛物线的函数关系式为y=a(x−1)2−4，又∵抛物线过点C(0，-3)，∴-3=a(0−1)2−4，解得a=1，∴抛物线的函数关系式为y=(x−1)2−4，即y=x2−2x−3；（ 2 ）令y=0，得：x2−2x−3=0，解得x1=3，x2=−1.所以坐标为A（-1，0），B（3，0）.【解析】【分析】（1）设出抛物线方程的顶点式，将点C的坐标代入即可求得抛物线方程；（2）对该抛物线令y=0，解二元一次方程即可求得点A，B的坐标.题型4：交点式求二次函数解析式4.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像经过A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）三点，求这个二次函数的解析式．【答案】解：设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），把C（0，-3）代入得a×1×（-3）=-3，解得a=1，所以这个二次函数的解析式为y=（x+1）（x-3）=x2-2x-3【解析】【分析】根据A，B，C三点的坐标特点，设出所求函数的交点式，再将C点的坐标代入即可求出a的值，从而得出抛物线的解析式。
人教九年级数学上册- 用待定系数法求二次函数的解析式(附习题)
新课导入
问题：如果一个二次函数的图象经过(-1,10)，(1,4)，(2,7) 三点，能求出这个二次函数的解析式吗？
会用待定系数法求二次函数的解析式.
推进新课
知识点1 用二次函数一般式y=ax2+bx+c 求函数解析式
b=-3
由③-①可得：3a+3b=-3
a+b=-1
a=2
将a=2，b=-3代入①可得：2+3+c=10 c=5
∴解方程组得：a=2, b=-3, c=5
已知一个二次函数的图象过点(-1,10)、(1,4) 、(2,7)， 求这个函数的解析式.
解：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c.
a-b+c=10 由已知得： a+b+c=4
的解析式.
两种方法的结果
一样吗？哪种方
方法1：设y=a(x-1)(x-3)+1,把C(0法，更3)代简入捷其？中求出 a的值.
方法2：设y=ax2+bx+c，把A(1，1)，B(3，1)，C(0， 3)代入其中列方程组求a，b，c的值.
已知二次函数的图象经过点(-1,3), (1,3),(2,6),求这个 二次函数的解析式.
解：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c. 由已知得： a-b+c=10 a+b+c=4
三个未知数，两个 等量关系，这个方
程组能解吗？
第一步:设出解析式的形式； 第二步:代入已知点的坐标； 第三步：解方程组。
已知一个二次函数的图象过点(-1,10)、(1,4) 、(2,7)， 求这个函数的解析式.
九年级数学人教版(上册)小专题4 求二次函数的解析式
D(0，4)，求这个二次函数的解析式．
解：∵二次函数 y＝ax2－5ax＋c 的图象过点 D(0，4)，∴c＝4.
∵二次函数 y＝ax2－5ax＋c 的最小值为－94，
∴4a·4－（－5a）2＝－9且
4a
4
a＞0.
∴a＝1.
∴这个二次函数的解析式是 y＝x2－5x＋4.
类型 2 利用平移、对称求二次函数解析式 4．已知抛物线 y＝－x2＋2x＋1. (1)向右平移 3 个单位长度，向下平移 2 个单位长度得到的函数 解析式是 y＝－(x－4)2(或y＝－x2＋8x－16) ． (2)沿 x 轴翻折所得抛物线解析式为 y＝(x－1)2－2(或y＝x2－2x －1) ． (3)沿 y 轴翻折所得抛物线解析式为y＝－(x＋1)2＋2(或y＝－x2 －2x＋1) ．
(1)二次函数的平移变化 ①抛物线 y＝ax2＋bx＋c 向左(右)平移 m(m＞0)个单位长度，得 到抛物线 y＝a(x±m)2＋b(x±m)＋c； ②抛物线 y＝ax2＋bx＋c 向上(下)平移 n(n＞0)个单位长度，得 到抛物线 y＝ax2＋bx＋c±n.
(2)二次函数的对称变化 ①关于 x 轴对称
h)2＋k.
第二十二章 二次函数
小专题4 求二次函数的解析式
类型 1 利用待定系数法求二次函数解析式
1．已知二次函数的图象经过点 A(1，－2)和 B(0，－1)，且对称
轴为直线 x＝1，求这个二次函数的解析式．
解：设这个二次函数的解析式为 y＝ax2＋bx＋c，
a＋b＋c＝－2， a＝1，来自根据题意，得c＝－1，
设二次函数为 y＝a(x－m)(x－n)(a≠0)，
∵二次函数图象经过 B(4，0)，A(－1，0)， ∴y＝a(x－4)(x＋1)， 把点 C(0，2)代入 y＝a(x－4)(x＋1)，得－4a＝2， 解得 a＝－12. ∴y＝－12(x－4)(x＋1)＝－12x2＋32x＋2.
人教新版九年级数学上册22-1-4-2 用待定系数法求二次函数的解析式 同步练习【含答案】
22.1.4 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和性质*第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式一、选择题1.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示,则其函数解析式是( )A.y=x 2-4x+5B.y=-x 2-4x+5C.y=x 2+4x+5D.y=-x 2+4x+52.如果二次函数y ＝ax 2＋bx ,当x ＝1时,y ＝2;当x ＝－1时,y ＝4,则a ,b 的值是( )A.a ＝3,b ＝－1B.a ＝3,b ＝1C.a ＝－3,b ＝1D.a ＝－3,b ＝－13.某抛物线的形状、开口方向与抛物线y ＝3x 2完全相同,顶点坐标是(－2,4),则该抛物线的解析式为( )A.y ＝－3(x ＋2)2＋4B.y ＝3(x ＋2)2＋4C.y ＝－(2x ＋1)2＋4D.y ＝－3(2x －1)2＋44.已知抛物线的对称轴为直线x ＝3,y 的最大值为－5,且与y ＝x 2的图象开口大小相同,则这条抛12物线的解析式为( )A.y ＝－(x ＋3)2＋512B.y ＝－(x －3)2－512C.y ＝(x ＋3)2＋512D.y ＝(x －3)2－5125.已知某抛物线的顶点坐标为M (－2,1),且经过原点,则该抛物线的函数解析式为( )A.y ＝(x －2)2＋1B.y ＝(x ＋2)2＋114C.y ＝(x ＋2)2＋1D.y ＝－(x ＋2)2＋1146.某抛物线与x 轴交点的横坐标为－2和1,且过点(2,8),则它对应的二次函数的解析式为( )A.y ＝2x 2－2x －4B.y ＝－2x 2＋2x －4C.y ＝2x 2＋2x －4D.y ＝x 2＋x －27.如图是某个二次函数的图象,根据图象可知,该二次函数的解析式是( )A.y ＝－x 2＋x ＋2B.y ＝－x 2－x ＋21212C.y ＝－x 2－x ＋11212D.y ＝x 2－x －28.二次函数的部分图象如图所示,对称轴是x ＝－1,则这个二次函数的解析式为( )A.y ＝－x 2＋2x ＋3B.y ＝x 2＋2x ＋3C.y ＝－x 2－2x －3D.y ＝－x 2－2x ＋39.当k 取任意实数时,抛物线y ＝3(x －k －1)2＋k 2＋2的顶点所在的函数图象的解析式是( )A.y ＝x 2＋2B.y ＝x 2－2x ＋1C.y ＝x 2－2x ＋3D.y ＝x 2＋2x －3二、填空题10.已知A (0,3),B (2,3)是抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 上两点,则该抛物线的解析式是 . 11.已知某二次函数的图象过(0,1),(1,0),(－2,0)三点,则这个二次函数的解析式是 .12.已知抛物线与x 轴交点的横坐标分别为3,1,与y 轴交点的纵坐标为6,则该二次函数的解析式为 .13.已知抛物线y=4x 2+mx-48,当x>-2时,y 随x 的增大而增大;当x<-2时,y 随x 的增大而减小.则当x=3时,y= .14.二次函数y=ax 2+bx+c (a ,b ,c 为常数,且a ≠0)中的x 与y 的部分对应值如下表:x-1013y -1353下列结论:①ac<0;②当x>1时,y 随x 的增大而减小;③当x=2时,y=5;④3是方程ax 2+(b-1)x+c=0的一个根.其中正确的结论有 .(填写序号)15.如果将二次函数y ＝－6(x －1)2的图象沿x 轴对折,得到的函数图象的解析式是 ;如果沿y 轴对折,得到的函数图象的解析式是 .16.如图,抛物线的顶点M 在y 轴上,抛物线与直线y ＝x ＋1相交于A ,B 两点,且点A 在x 轴上,点B 的横坐标为2,则该抛物线的函数解析式为 .三、解答题17.如图,在平面直角坐标系中,抛物线经过点A (0,4),B (1,0),C (5,0),求该抛物线的解析式和顶点E 的坐标.18.若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中,函数值y 与自变量x 的部分对应值如下表: x…－2－1012…y …0－2－204…求该二次函数的解析式.19.已知抛物线y ＝a (x －h )2＋k 与抛物线y ＝4x 2－2x ＋5的形状相同,且抛物线y ＝a (x －h )2＋k 经过点(0,0),其最大值为16,求此抛物线的解析式.20.已知二次函数图象的对称轴是直线x ＝－3,图象经过点(1,6),且与y 轴的交点坐标为.(0,52)(1)求这个二次函数的解析式.(2)当x 在什么范围内变化时,这个函数的函数值y 随x 的增大而增大?21.如图,抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(1,0),B(－3,0)两点.(1)求该抛物线的解析式.(2)设(1)中的抛物线交y轴于点C,在该抛物线的对称轴上是否存在点M,使得△MAC的周长最小?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.22.(陕西)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(3，12)和(－2，－3)，与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l.(1)求该抛物线的解析式．(2)P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P，D，E为顶点的三角形与△AOC全等，求满足条件的点P、点E的坐标．23.(江西)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：x…－2－1012…y…m0－3n－3…(1)根据以上信息，可知抛物线开口向________，对称轴为____________．(2)求抛物线的解析式及m，n的值．(3)请在图中画出所求的抛物线．设点P为抛物线上的动点，OP的中点为P′，描出相应的点P′，再把相应的点P′用平滑的曲线连接起来，猜想该曲线是哪种曲线？(4)设直线y＝m(m>－2)与抛物线及(3)中的点P′所在曲线都有两个交点，交点从左到右依次为A1，A2，A3，A4，请根据图象直接写出线段A1A2，A3A4之间的数量关系：______________．24.(永州)在平面直角坐标系xOy中，等腰直角三角形ABC的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B在x轴上，且AB＝4，抛物线经过A，B，C三点，如图①所示．(1)求抛物线所表示的二次函数解析式．(2)过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，如图②所示．①求△CMN面积的最小值．②已知Q是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P，使得点P与点Q关于直线l对称？若存在，求出点P的坐标及直线l的一次函数解析式；若不存在，请说明理由．25.(攀枝花)如图，开口向下的抛物线与x轴交于点A(－1，0)，B(2，0)，与y轴交于点C(0，4)，点P是第一象限内抛物线上的一点．(1)求该抛物线所对应的函数解析式；(2)设四边形CABP的面积为S，求S的最大值．26.(衡阳)在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数y＝x2＋px＋q的图象过点(－1，0)，(2，0)．(1)求这个二次函数的解析式；(2)求当－2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差；(3)一次函数y＝(2－m)x＋2－m的图象与二次函数y＝x2＋px＋q的图象交点的横坐标分别是a 和b，且a＜3＜b，求m的取值范围．27.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知矩形ABCD的顶点坐标A(-1,0),B(3,0),C(3,-2),抛物线经过A,B两点,且顶点在线段CD上.(1)求这条抛物线的解析式;(2)若点E(3,1),将△DCE向上平移直至CD边与AB边重合,在此过程中,线段CD与抛物线的交点为P(x1,y1),Q(x2,y2),线段DE与AB交于点M(x3,y3),求x1+x2+x3的取值范围.答案一、选择题1.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示,则其函数解析式是( B )A.y=x 2-4x+5B.y=-x 2-4x+5C.y=x 2+4x+5D.y=-x 2+4x+52.如果二次函数y ＝ax 2＋bx ,当x ＝1时,y ＝2;当x ＝－1时,y ＝4,则a ,b 的值是(A)A.a ＝3,b ＝－1B.a ＝3,b ＝1C.a ＝－3,b ＝1D.a ＝－3,b ＝－13.某抛物线的形状、开口方向与抛物线y ＝3x 2完全相同,顶点坐标是(－2,4),则该抛物线的解析式为(B)A.y ＝－3(x ＋2)2＋4B.y ＝3(x ＋2)2＋4C.y ＝－(2x ＋1)2＋4D.y ＝－3(2x －1)2＋44.已知抛物线的对称轴为直线x ＝3,y 的最大值为－5,且与y ＝x 2的图象开口大小相同,则这条抛12物线的解析式为(B)A.y ＝－(x ＋3)2＋512B.y ＝－(x －3)2－512C.y ＝(x ＋3)2＋512D.y ＝(x －3)2－5125.已知某抛物线的顶点坐标为M (－2,1),且经过原点,则该抛物线的函数解析式为(D)A.y ＝(x －2)2＋1B.y ＝(x ＋2)2＋114C.y ＝(x ＋2)2＋1D.y ＝－(x ＋2)2＋1146.某抛物线与x 轴交点的横坐标为－2和1,且过点(2,8),则它对应的二次函数的解析式为(C)A.y ＝2x 2－2x －4B.y ＝－2x 2＋2x －4C.y ＝2x 2＋2x －4D.y ＝x 2＋x －27.如图是某个二次函数的图象,根据图象可知,该二次函数的解析式是(A)A.y ＝－x 2＋x ＋2B.y ＝－x 2－x ＋21212C.y ＝－x 2－x ＋11212D.y ＝x 2－x －28.二次函数的部分图象如图所示,对称轴是x ＝－1,则这个二次函数的解析式为(D)A.y ＝－x 2＋2x ＋3B.y ＝x 2＋2x ＋3C.y ＝－x 2－2x －3D.y ＝－x 2－2x ＋39.当k 取任意实数时,抛物线y ＝3(x －k －1)2＋k 2＋2的顶点所在的函数图象的解析式是(C)A.y ＝x 2＋2B.y ＝x 2－2x ＋1C.y ＝x 2－2x ＋3D.y ＝x 2＋2x －3二、填空题10.已知A (0,3),B (2,3)是抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 上两点,则该抛物线的解析式是 y ＝－x 2＋2x ＋3 .11.已知某二次函数的图象过(0,1),(1,0),(－2,0)三点,则这个二次函数的解析式是 y ＝－x ＋1 . 12x 2－1212.已知抛物线与x 轴交点的横坐标分别为3,1,与y 轴交点的纵坐标为6,则该二次函数的解析式为 y=2x 2-8x+6 .13.已知抛物线y=4x 2+mx-48,当x>-2时,y 随x 的增大而增大;当x<-2时,y 随x 的增大而减小.则当x=3时,y= 36 .14.二次函数y=ax 2+bx+c (a ,b ,c 为常数,且a ≠0)中的x 与y 的部分对应值如下表:x-1013y -1353下列结论:①ac<0;②当x>1时,y 随x 的增大而减小;③当x=2时,y=5;④3是方程ax 2+(b-1)x+c=0的一个根.其中正确的结论有 ①③④ .(填写序号)15.如果将二次函数y ＝－6(x －1)2的图象沿x 轴对折,得到的函数图象的解析式是 y ＝6(x －1)2 ;如果沿y 轴对折,得到的函数图象的解析式是 y ＝－6(x ＋1)2 .16.如图,抛物线的顶点M 在y 轴上,抛物线与直线y ＝x ＋1相交于A ,B 两点,且点A 在x 轴上,点B 的横坐标为2,则该抛物线的函数解析式为 y ＝x 2－1 .三、解答题17.如图,在平面直角坐标系中,抛物线经过点A (0,4),B (1,0),C (5,0),求该抛物线的解析式和顶点E 的坐标.解:由题意,设y ＝a (x －1)(x －5).将点A (0,4)代入,得a ＝,45∴y ＝,45(x －1)(x －5)＝45(x －3)2－165故顶点E 的坐标为.(3,−165)18.若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中,函数值y 与自变量x 的部分对应值如下表: x…－2－1012…y …0－2－204…求该二次函数的解析式.解:根据表中可知,点(－1,－2)和点(0,－2)关于对称轴对称,∴对称轴是直线x ＝－.12设二次函数的解析式为y ＝a ＋k.(x ＋12)2把点(－2,0)和点(0,－2)代入,得{a (−2＋12)2＋k ＝0,a (0＋12)2＋k ＝−2,解得a ＝1,k ＝－,94∴该二次函数的解析式为y ＝＝x 2＋x －2.(x ＋12)2－9419.已知抛物线y ＝a (x －h )2＋k 与抛物线y ＝4x 2－2x ＋5的形状相同,且抛物线y ＝a (x －h )2＋k 经过点(0,0),其最大值为16,求此抛物线的解析式.解:把点(0,0)代入y ＝a (x －h )2＋k ,得ah 2＋k ＝0.∵抛物线y ＝a (x －h )2＋k 的最大值为16,∴函数图象的开口向下,即a <0,其顶点的纵坐标k ＝16.∵抛物线y ＝a (x －h )2＋k 的形状与抛物线y ＝4x 2－2x ＋5相同,∴a ＝－4,把a ＝－4,k ＝16代入ah 2＋k ＝0中,得h ＝±2,∴此抛物线的解析式为y ＝－4(x －2)2＋16或y ＝－4(x ＋2)2＋16.20.已知二次函数图象的对称轴是直线x ＝－3,图象经过点(1,6),且与y 轴的交点坐标为.(0,52)(1)求这个二次函数的解析式.(2)当x 在什么范围内变化时,这个函数的函数值y 随x 的增大而增大?解:(1)这个二次函数的解析式为y ＝.12x 2＋3x ＋52(2)∵y ＝,12x 2＋3x ＋52∴a ＝>0,开口向上,对称轴是直线x ＝－3,12∴当x >－3时,这个函数的函数值y 随x 的增大而增大.21.如图,抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A (1,0),B (－3,0)两点.(1)求该抛物线的解析式.(2)设(1)中的抛物线交y 轴于点C ,在该抛物线的对称轴上是否存在点M ,使得△MAC 的周长最小?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)该抛物线的解析式为y ＝－x 2－2x ＋3.(2)存在.连接BC 交对称轴于点M ,则此时△MAC 的周长最小.在y ＝－x 2－2x ＋3中,令x ＝0,得y ＝3,∴点C 的坐标为(0,3).设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b ,∴∴直线BC 的解析式为y ＝x ＋3.{−3k ＋b ＝0,b ＝3,解得{k ＝1,b ＝3,∵抛物线y ＝－x 2－2x ＋3的对称轴为直线x ＝－1,∴当x ＝－1时,y ＝2,∴点M 的坐标为(－1,2).22.(陕西)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(3，12)和(－2，－3)，与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l.(1)求该抛物线的解析式．解：将点(3，12)和(－2，－3)的坐标代入抛物线的解析式，得解得故抛物线的解析式为y＝x2＋2x－3.(2)P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P，D，E为顶点的三角形与△AOC全等，求满足条件的点P、点E的坐标．解：抛物线的对称轴为直线x＝－1.令y＝0，则x＝－3或x＝1；令x＝0，则y＝－3，故点A，B的坐标分别为(－3，0)，(1，0)，点C的坐标为(0，－3)．∴OA＝OC＝3.∵∠PDE＝∠AOC＝90°，∴当PD＝DE＝3时，以P，D，E为顶点的三角形与△AOC全等．设点P(m，n)，当点P在抛物线的对称轴右侧时，m－(－1)＝3，解得m＝2，故n＝22＋2×2－3＝5，故点P(2，5)，故点E(－1，2)或(－1，8)；当点P在抛物线的对称轴左侧时，由抛物线的对称性可得点P (－4，5)，此时点E坐标同上．综上，点P的坐标为(2，5)或(－4，5)，点E的坐标为(－1，2)或(－1，8)．23.(江西)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：x…－2－1012…y…m0－3n－3…(1)根据以上信息，可知抛物线开口向__上______，对称轴为_直线x＝1___________．(2)求抛物线的解析式及m，n的值．解：把x＝－1，y＝0；x＝0，y＝－3；x＝2，y＝－3分别代入y＝ax2＋bx＋c，得解得∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3.当x＝－2时，m＝4＋4－3＝5；当x＝1时，n＝1－2－3＝－4.(3)请在图中画出所求的抛物线．设点P为抛物线上的动点，OP的中点为P′，描出相应的点P′，再把相应的点P′用平滑的曲线连接起来，猜想该曲线是哪种曲线？解：如图所示．该曲线是一条抛物线．(4)设直线y＝m(m>－2)与抛物线及(3)中的点P′所在曲线都有两个交点，交点从左到右依次为A1，A2，A3，A4，请根据图象直接写出线段A1A2，A3A4之间的数量关系：_A3A4－A1A2＝1_______．24.(永州)在平面直角坐标系xOy中，等腰直角三角形ABC的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B在x轴上，且AB＝4，抛物线经过A，B，C三点，如图①所示．(1)求抛物线所表示的二次函数解析式．解：在等腰直角三角形ABC中，OC垂直平分AB，且AB＝4，∴OA＝OB＝OC＝2.∴A (－2，0)，B (2，0)，C (0，－2)．∴设二次函数解析式为y ＝ax 2－2，将点B (2，0)的坐标代入，得4a －2＝0，则a ＝.12∴抛物线所表示的二次函数解析式为y ＝x 2－2.12(2)过原点任作直线l 交抛物线于M ，N 两点，如图②所示．①求△CMN 面积的最小值．解：设直线l 的解析式为y ＝kx ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由可得x 2－kx －2＝0，12∴x 1＋x 2＝2k ，x 1·x 2＝－4.∴(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4k 2＋16.∴|x 1－x 2|＝2.k 2＋4∴S △CMN ＝OC ·|x 1－x 2|＝2.12k 2＋4∴当k ＝0时，2取最小值4.k 2＋4∴△CMN 面积的最小值为4.②已知Q是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P ，使得点P 与点Q 关于直线l 对称？若存在，求出点P 的坐标及直线l 的一次函数解析式；若不存在，请说明理由．解：抛物线上存在点P ，使得点P 与点Q 关于直线l 对称．设点P 的坐标为，连接OP ，OQ ，PQ ，∴OP ＝OQ ，即＝，解得m 1＝，m 2＝－，33m 3＝1(不合题意，舍去)，m 4＝－1(不合题意，舍去)．当m ＝时，点P，3则线段PQ 的中点为，∴k ＝－1，1＋32解得k ＝1－.3∴直线l 的解析式为y ＝(1－)x .3当m ＝－时，点P，3则线段PQ 的中点为，∴k ＝－1，1－32解得k ＝1＋，3∴直线l 的解析式为y ＝(1＋)x .3综上，直线l 的解析式为y ＝(1－)x 或y ＝(1＋)x .3325.(攀枝花)如图，开口向下的抛物线与x 轴交于点A (－1，0)，B (2，0)，与y 轴交于点C (0，4)，点P 是第一象限内抛物线上的一点．(1)求该抛物线所对应的函数解析式；解：由题意可设抛物线所对应的函数解析式为y ＝a (x ＋1)(x －2)，将C (0，4)的坐标代入，得4＝－2a ，解得a ＝－2.∴该抛物线所对应的函数解析式为y ＝－2(x ＋1)(x －2)＝－2x 2＋2x ＋4.(2)设四边形CABP 的面积为S ，求S 的最大值．解：如图，连接OP ，设点P 的坐标为(m ，－2m 2＋2m ＋4)， m ＞0.∵A (－1，0)，B (2，0)，C (0，4)，∴OA ＝1，OC ＝4，OB ＝2.∴S ＝S △OAC ＋S △OCP ＋S △OPB ＝×1×4＋×4m ＋×2×(－2m 2＋2m ＋4)＝－2m 2＋4m ＋6＝－2(m －1)1212122＋8.当m ＝1时，S 最大，最大值为8.26.(衡阳)在平面直角坐标系xOy 中，关于x 的二次函数y ＝x 2＋px ＋q 的图象过点(－1，0)，(2，0)．(1)求这个二次函数的解析式；解：由题意得二次函数的解析式为y ＝(x ＋1)(x －2)＝x 2－x －2.(2)求当－2≤x ≤1时，y 的最大值与最小值的差；解：∵抛物线开口向上，对称轴为直线x ＝＝，－1＋2212∴在－2≤x ≤1范围内，当x ＝－2时，函数有最大值，y 最大值＝4＋2－2＝4；当x ＝时，函数有最小值，y 最小值＝－－2＝－(如图)．12141294∴y 的最大值与最小值的差为4－＝.254(3)一次函数y ＝(2－m )x ＋2－m 的图象与二次函数y ＝x 2＋px ＋q 的图象交点的横坐标分别是a 和b ，且a ＜3＜b ，求m 的取值范围．解：令x 2－x －2＝(2－m )x ＋2－m ，整理得x 2＋(m －3)x ＋m －4＝0.解得x 1＝－1，x 2＝4－m .∵a ＜3＜b ，∴a ＝－1，b ＝4－m .由4－m ＞3，解得m ＜1.27.如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知矩形ABCD 的顶点坐标A (-1,0),B (3,0),C (3,-2),抛物线经过A ,B 两点,且顶点在线段CD 上.(1)求这条抛物线的解析式;(2)若点E (3,1),将△DCE 向上平移直至CD 边与AB 边重合,在此过程中,线段CD 与抛物线的交点为P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),线段DE 与AB 交于点M (x 3,y 3),求x 1+x 2+x 3的取值范围.解:(1)由题意可知抛物线的对称轴为直线x==1,顶点为(1,-2).-1+32设抛物线的解析式为y=a (x-1)2-2,把A (-1,0)代入得4a-2=0,∴a=,12∴这条抛物线的解析式为y=(x-1)2-2.12(2)易知D (-1,-2),E (3,1),可求得直线DE 的解析式为y=x-.3454令y=0,则0=x-,解得x=,∴x 3=;34545353至CD 边与AB 边重合时,线段DE 与AB 交于A (-1,0),∴x 3=-1,∴-1≤x 3≤.53∵对称轴为直线x=1,∴x 1+x 2=2,∴x 1+x 2+x 3的取值范围是-1+2≤x 1+x 2+x 3≤2+,即1≤x 1+x 2+x 3≤.53113。
人教版数学九年级上学期课时练习- 待定系数法求二次函数解析式(人教版)
专题22.18 待定系数法求二次函数解析式（专项练习） 1．已知：二次函数23y x bx =+-的图象经过点(25)A ，．(1)求b ；(2)将（1）中求得的函数解析式用配方法化成2()y x h k =-+的形式．2．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数225y x mx m =-+的图象经过点()1,2-． （1）求二次函数的表达式；（2）求二次函数图象的对称轴．3．已知二次函数y =ax 2+c 的图像经过点(﹣2，8)和(﹣1，5)，求这个二次函数的表达式．4．已知抛物线经过点()1,0A -，()5,0B ，()0,5C ，求该抛物线的函数关系式5．已知二次函数，当x ＝－1时，函数的最小值为－3，它的图象经过点（1，5），求这个二次函数的表达式．6．已知二次函数2y x bx c =-++的图象与x 轴的一个交点坐标为()1,0-，与y 轴的交点坐标为()0,3．（1）求此二次函数的解析式；（2）用配方法求此抛物线的顶点坐标．7．已知抛物线214y x bx c =++的对称轴为直线2x =，且经过点（0，1），求该抛物线的表达式．8．把抛物线y ＝（x ﹣1）2沿y 轴向上或向下平移后所得抛物线经过点Q （3，0），求平移后的抛物线的解析式．9．已知抛物线经过（3，5），A （4，0），B （-2，0），且与y 轴交于点C ．（1）求二次函数解析式；（2）求△ABC 的面积．10．已知二次函数图象的顶点坐标为M （1，﹣2），且经过点N （2，3），求这个二次函数的解析式．11．已知二次函数22yx bx c 的图像经过()1,0A -，()3,0B ，求抛物线的解析式12．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y x mx n =++的图象经过点()()0,1,3,4A B ．求此二次函数的表达式及顶点的坐标．13．已知抛物线25y ax bx =+-经过点M （﹣1，1），N （2，﹣5）．(1)求a ，b 的值；(2)若P （4，1y ），Q （m ，2y ）是抛物线上不同的两点，且2122y y =-，求m 的值．14．如图，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象过点A （0，3），B （2，3），C （-1，0）则（1）该抛物线的对称轴为_________；（2）该抛物线与x 轴的另一个交点为_______；（3）求该抛物线的表达式．15．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象经过A （1，5）、B （﹣1，9），C （0，8）．(1)求这个二次函数的解析式；(2)如果点D （x 1，y 1）和点E （x 2，y 2）在函数图象上，那么当0＜x 1＜x 2＜1时，请直接写出y 1与y 2的大小关系：y 1 y 2．16．已知二次函数23y ax bx =+-的图象经过()()1,4,1,0A B --两点．(1)求a 和b 的值；(2)在坐标系xOy 中画出该二次函数的图象．17．已知一个二次函数图象的顶点为(1，0)，与y 轴的交点为(0，1)．(1)求这个二次函数的解析式；(2)在所给的平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象．18．抛物线上部分点的横坐标、纵坐标的对应值如表：请选择合适方法，求此抛物线的函数表达式．19．已知二次函数的图象经过（－6，0），（2，0），（0，－6）三点．（1）求这个二次函数的表达式；（2）求这个二次函数的顶点坐标．20．已知抛物线的顶点是（﹣3，2），且经过点（4，﹣5），试确定抛物线的函数表达式．参考答案1．(1)2(2)2y (x 1)4=+-【分析】（1）把点(25)A ，代入函数解析式即可求；（2）利用配方法化成顶点式即可．(1)解：把点(25)A ，代入23y x bx =+-得，5423b =+-，解得，2b =．(2)解：223y x x =+-，22113y x x =++--，2214y x x =++-，2y (x 1)4=+-．【点拨】本题考查了待定系数法求解析式和配方法，解题关键是熟练掌握待定系数法和配方法，准确进行计算．2．（1）1m =-；（2）直线1x =-【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可；（2）利用对称轴公式2b x a=-求解即可． 解：（1）∵二次函数y ＝x 2－2mx ＋5m 的图象经过点(1，－2)，∵－2＝1－2m ＋5m ，解得1m =-；∵二次函数的表达式为y ＝x 2＋2x －5．（2）二次函数图象的对称轴为直线2122b x a =-=-=-； 故二次函数的对称轴为：直线1x =-；【点拨】本题考查了求二次函数解析式和对称轴，解题关键是熟练运用待定系数法求解析式，熟记抛物线对称轴公式．3．二次函数的表达式为24y x =+．【分析】将点(﹣2，8)和(﹣1，5)代入二次函数表达式，列出二元一次方程组，进行求解即可．解：二次函数y =ax 2+c 的图像经过点(﹣2，8)和(﹣1，5)，∴485a c a c +=⎧⎨+=⎩，解得：14a c =⎧⎨=⎩． ∵二次函数的表达式为24y x =+．【点拨】本题主要是考查了待定系数法求解二次函数表达式，将已知点代入表达式，再解方程，然后确定二次函数的表达式．4．245y x x =-++【分析】利用待定系数法设出抛物线的表达式为()()15y a x x =+-，将点()0,5C 代入求解即可． 解：∵抛物线经过点()1,0A -，()5,0B ，()0,5C ，∵设抛物线的表达式为()()15y a x x =+-，将点()0,5C 代入得：55a =-，解得：1a =-，∵()()21545y x x x x =-+-=-++．∵该抛物线的函数关系式为245y x x =-++．【点拨】此题考查了待定系数法求二次函数表达式，解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数表达式．5．2241y x x =+-【分析】根据题意，先得出二次函数的顶点坐标为()1,3--，然后设该二次函数的解析式为()213y a x =+-，将点代入求解即可得． 解：依题意，可得二次函数的顶点坐标为()1,3--，设该二次函数的解析式为()213y a x =+-，∵它的图象经过点()1,5，∵代入函数解析式可得：()25113a =+-，解得：2a =．故该二次函数的解析式为：()22213241y x x x =+-=+-．【点拨】题目主要考查根据待定系数法确定二次函数的解析式，熟练掌握顶点式的特点性质是解题关键．6．（1）223y x x =-++；（2）()1,4 ．【分析】（1）利用待定系数法，将(1,0)-，(0,3)两个点代入函数解析式求解即可确定函数解析式； （2）根据配方法将函数解析式化为顶点式，即可得出顶点坐标．解：（1）把(1,0)-，(0,3)代入2y x bx c =-++得： 103b c c --+=⎧⎨=⎩， 解得：23b c =⎧⎨=⎩， 所以抛物线解析式为：2y x 2x 3=-++；（2）()222232113(1)4=-++=--+-+=--+y x x x x x ，所以抛物线的顶点坐标为(1,4)．【点拨】题目主要考查利用待定系数法确定函数解析式及二次函数的顶点式，熟练掌握待定系数法确定函数解析式是解题关键．7．2114y x x =-+ 【分析】 根据抛物线的对称轴22－＝b a，即可确定b 的值，将点（0，1）代入函数解析式确定c 的值，由此即可确定函数解析式．解：∵抛物线214y x bx c =++的对称轴为直线2x =，14a =， ∵2124b⨯－＝，∵1b ＝－．∵抛物线经过点（0，1），代入函数解析式可得：∵1c ＝．∵该抛物线的解析式为2114y x x =-+． 【点拨】题目主要考查利用对称轴及点的坐标确定函数解析式，熟练掌握根据待定系数法确定函数解析式是解题关键．8．223y x x =--【分析】设平移后的抛物线的解析式为()21y x k =-+ ，将点Q （3，0），代入，即可求解． 解：设平移后的抛物线的解析式为()21y x k =-+ ，∵平移后所得抛物线经过点Q （3，0），∵()2310k -+= ，解得：4k =- ，∵平移后的抛物线的解析式为()221423y x x x =--=-- ．【点拨】本题主要考查了二次函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式是解题的关键．9．（1）二次函数解析式为228y x x =-++；（2）△ABC 的面积为24．【分析】（1）直接利用待定系数法求出函数解析式，进而得出答案；（2）先求出C 点的坐标，利用三角形的面积公式即可求出答案．解：（1）设抛物线解析式为(2)(4)y a x x =+-(a ≠0)，将(3，5)代入得：5(32)(34)a =+-，解得1a =-，∵二次函数解析式为(2)(4)y x x =-+-．即228y x x =-++； （2）令x =0，则y =8，∵C (0，8)， ∵1(42)8242ABC S =+⨯=△． 【点拨】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，三角形的面积，熟练掌握待定系数法与三角形的面积公式是解题的关键．10．y ＝5x 2﹣10x +3【分析】已知二次函数的顶点坐标为（1，﹣2），设抛物线的顶点式为y ＝a （x ﹣1）2﹣2，将点（2，3）代入求a 即可．解：设此二次函数的解析式为y ＝a （x ﹣1）2﹣2．∵其图象经过点（2，3），∵a （2﹣1）2﹣2＝3，∵a ＝5，∵y ＝5（x ﹣1）2﹣2，即y ＝5x 2﹣10x +3．【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．11．2246y x x =-++【分析】将（-1，0）、（3，0）两点坐标代入22yx bx c 得到关于b 、c 的方程组，然后解方程组即可．解：把（-1，0）、（3，0）代入22y x bx c 中 得201830b c b c --+=⎧⎨-++=⎩， 解得46b c =⎧⎨=⎩， ∵二次函数的解析式为2246y x x =-++．【点拨】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式；在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．12．221y x x =-+，()1,0【分析】直接把点A 、B 的坐标代入二次函数解析式进行求解，然后求出对称轴，最后问题可求解．解：∵二次函数2y x mx n =++的图象经过点()()0,1,3,4A B ；∵1934n m n =⎧⎨++=⎩， 解得：21m n =-⎧⎨=⎩， ∵221y x x =-+∵对称轴为直线2121x -=-=⨯， ∵21210y =-+=，∵顶点的坐标为()1,0．【点拨】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握利用待定系数法求解函数解析式是解题的关键． 13．(1)24a b =⎧⎨=-⎩(2)2m =- 【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）判断出点P （4，1y ），Q （m ，2y ）是抛物线2245y x x =--上的对称点，利用二次函数的对称性，即可求解．(1)解：由抛物线25y ax bx =+-经过M （﹣1，1），N （2，﹣5）两点，得 514255a b a b --=⎧⎨+-=-⎩， 解这个方程组，得24a b =⎧⎨=-⎩； (2)解：∵P （4，1y ），Q （m ，2y ）是抛物线2245y x x =--上不同的两点，且2122y y =-∵212444511y =⨯-⨯-= ，2122221111y y =-=-=，∵ 12y y =∵点P （4，1y ），Q （m ，2y ）是抛物线2245y x x =--上的对称点，∵抛物线2245y x x =--的对称轴为4122x -=-=⨯，∵2m =-．【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，正确的理解题意是解题的关键．14．（1）x =1；（2）（3，0）；（3） 2y x 2x 3=-++【分析】（1）根据,A B 坐标即可确定对称轴，根据函数值相等即可确定对称轴；（2）根据对称轴以及C 点的坐标即可确定另一个交点；（3）根据待定系数法求解析式即可．解：（1） A （0，3），B （2，3）∴该抛物线的对称轴为x=1故答案为：1x =（2）(1,0)C -，对称轴为1x =∴该抛物线与x 轴的另一个交点为（3,0）;故答案为：（3,0）（3）∵抛物线过点（0,3）、（-1,0）、（2,3）设二次函数的解析式为2()30y ax bx a =++≠由题意得，304233a b a b -+=⎧⎨++=⎩解得，123a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩∵223y x x =++-【点拨】本题考查了根据二次函数的对称性求对称轴，根据对称轴求与x 轴的交点问题，待定系数法求解析式，掌握二次函数的性质是解题的关键．15．(1)y =-x 2-2x +8(2)＞【分析】（1）由题意直接根据待定系数法即可求得；（2）根据题意先求得抛物线的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的性质即可判断．(1)解：∵二次函数y =ax 2+bx +c 的图象经过A （1，5）、B （-1，9），C （0，8），∵598a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩，解得：128a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∵二次函数解析式为y =-x 2-2x +8.(2)∵y =-x 2-2x +8=-（x +1）2+7，∵抛物线开口向下，对称轴为直线x =-1，∵当x ＞-1时，y 随x 的增大而减小，∵0＜x 1＜x 2＜1，∵y 1＞y 2．故答案为：＞．【点拨】本题考查待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的图象和性质，熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题的关键．16．(1)12a b =⎧⎨=-⎩(2)见分析 【分析】（1）利用待定系数法将()()1,4,1,0A B --两点代入抛物线求解即可得；（2）根据（1）中结论确定函数解析式，求出与x ，y 轴的交点坐标及对称轴，然后用光滑的曲线连接即可得函数图象．(1)解：∵二次函数23y ax bx =+-的图象经过()()1,4,1,0A B --两点，∵3430a b a b +-=-⎧⎨--=⎩， 解得：12a b =⎧⎨=-⎩． (2)解：由（1）可得：函数解析式为：223y x x =--，当0y =时，2230x x --=，解得：11x =-，23x =，∴抛物线与x 轴的交点坐标为：()1,0-，()3,0，抛物线与y 轴的交点坐标为：()0,3-， 对称轴为：21221b x a -=-=-=⨯， 根据这些点及对称轴在直角坐标系中作图如下．【点拨】题目主要考查待定系数法确定函数解析式及作函数图象，熟练掌握待定系数法确定函数解析式是解题关键．17．(1)2(1)y x =-(2)见分析【分析】（1）设抛物线解析式为2(1)y a x =-，将(0,1)代入解析式求解；（2）根据二次函数解析式作图即可．解：(1)设抛物线解析式为2(1)y a x =-，将(0,1)代入2(1)y a x =-得：1a =，∵2(1)y x =-；(2)二次函数图像如下图所示：【点拨】本题考查二次函数的图像以及用待定系数法求二次函数，掌握顶点式的形式是解题的关键．18．212524y x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭【分析】根据题意利用抛物线的顶点式，并代入（0，6）即可求出抛物线的函数表达式.解：设抛物线的函数表达式：2()(0)y a x h k a =-+≠，由图表可知抛物线的顶点为(0.5,6.25)即125(,)24， 可得2125()24y a x =-+， 代入（0，6）可得1a =-， 所以抛物线的函数表达式为：212524y x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭. 【点拨】本题考查待定系数法求函数解析式，注意掌握二次函数的顶点式为2()(0)y a x h k a =-+≠，顶点为(,)h k . 19．（1）21262y x x =+-；（2）（－2，－8） 【分析】 （1）设抛物线y =ax 2+bx +c ，把三点坐标代入二次函数解析式求出a ，b ，c 的值，即可确定出二次函数解析式；（2）经过配方配成顶点式即可得到答案．解：（1）设抛物线y =ax 2+bx +c ，把（－6，0），（2，0），（0，－6）三点代入解析式，得36604206a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩解得，1226a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩∵抛物线的解析式为：21262y x x =+- （2）221126=2)822y x x x =+-+-（ ∵抛物线的顶点坐标为：（-2，-8）．【点拨】本题主要考查了运用待定系数法求函数关系式，本题运用两根式求函数关系式更简单些．20．抛物线的表达式为y =−17（x +3）2+2． 【分析】根据题意可设顶点式y =a （x -h ）2+k ，然后再把点（4，-5）代入进行计算即可解答． 解：∵抛物线的顶点是（-3，2），∵设抛物线的表达式为：y =a （x +3）2+2，把点（4，-5）代入y =a （x +3）2+2中得：a （4+3）2+2=-5，解得：a =−17， ∵抛物线的表达式为：y =−17（x +3）2+2． 【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的顶点式是解题的关键．。
【初中数学】人教版九年级上册第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式(练习题)
人教版九年级上册第2课时用待定系数法求二次函数的解析式(380)1.一条抛物线与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)，并经过点C(0，−3)，求这条抛物线的解析式．解：因为抛物线与x轴交于点A(1,0),B(3，0)，所以可设这条抛物线的解析式为．因为点C(0,−3)在这条抛物线上，所以把C(0，−3)代入解析式，解得，所以该抛物线的解析式为，化为一般式为．2.已知抛物线y1=x2+4x+1向上平移m(m>0)个单位长度得到的新抛物线过点(1,8)，求m的值,并将平移后的抛物线解析式写成y2=a(x−ℎ)2+k的形式．解：根据平移特点，抛物线y1=x2+4x+1的图象向上平移m个单位长度得到的新抛物线的解析式为y2=．∵点(1,8)在该函数的图象上,∴,解得m=,则平移后的抛物线解析式为y2=(写成y2=a(x−ℎ)2+k的形式)．3.一条抛物线的顶点坐标是(−1，4)，并经过点A(0，5)，求这条抛物线的解析式．解：根据这条抛物线的顶点坐标是(−1，4)，设这条抛物线的解析式为．因为点A(0，5)在这条抛物线上，所以把点A的坐标(0，5)代入解析式，解得，所以该抛物线的解析式为．4.已知二次函数在x=1时有最大值−6,且图象经过点(2,−8),求此二次函数的解析式．解：由已知条件可得抛物线的顶点坐标为,可设解析式为，代入点(2,−8),得a=．则该二次函数的解析式为,化成一般式为．5.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(−1，−1)，B(0，2)，C(1，3)，求这个二次函数的解析式．解：因为点A，B，C都在抛物线y=ax2+bx+c上，所以将各点坐标代入解析式，得方程组，解得，所以该二次函数的解析式为．6.若抛物线y=x2+bx+c经过点A(−1，0),B(3，0),则该抛物线所对应的函数解析式为（）A.y=x2−2x−3B.y=x2−2x+3C.y=x2+2x+3D.y=x2+2x−37.已知二次函数y=ax2+bx+c中的x，y满足下表：求这个二次函数的解析式．参考答案1.【答案】:y =a(x −1)(x −3)；a =−1；y =−(x −1)(x −3)；y =−x 2+4x −32.【答案】:x 2+4x +1+m ；8=1+4×1+1+m ；2；(x +2)2−13.【答案】:y =a(x +1)2+4；a =1；y =(x +1)2+44.【答案】:(1,−6)；y =a(x −1)2−6；−2 ；y =−2(x −1)2−6；y =−2x 2+4x −85.【答案】:{a −b +c =−1，c =2，a +b +c =3.；{a =−1，b =2，c =2.；y =−x 2+2x +26.【答案】:A7.【答案】:解：把点(0，−5)代入y =ax 2+bx +c ，得c =−5. 再把点(−1，0)，(1，−8)分别代入y =ax 2+bx −5中， 得{a −b −5=0,a +b −5=8解得{a =1b =−4∴这个二次函数的关系式为：y =x 2−4x −5.【解析】:从表格中可知，c =−5，再选取2组解利用待定系数法求二次函数的解析式.。
九年级数学上册专题三+求二次函数的解析式同步测试+新人教版
求二次函数的解析式一 设一般式y ＝ax 2＋bx ＋c (a≠0)求二次函数的解析式教材P40练习第2题)一个二次函数的图象经过(0，0)，(－1，－1)，(1，9)三点，求这个二次函数的解析式．解：设这个二次函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则{c ＝0，a －b ＋c ＝－1，a ＋b ＋c ＝9，解得{a ＝4，b ＝5，c ＝0，所以所求的二次函数的解析式为y ＝4x 2＋5x .【思想方法】若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，将已知条件代入，求出a ，b ，c 的值．1，抛物线的函数解析式是( D )A ．y ＝x 2－x ＋2B ．y ＝x 2＋x ＋2C ．y ＝－x 2－x ＋2D ．y ＝－x 2＋x ＋2【解析】根据题意，设二次函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，因为抛物线过点(－1，0)，(0，2)，(2，0)，所以{a －b ＋c ＝0，c ＝2，4a ＋2b ＋c ＝0，解得a ＝－1，b ＝1，c ＝2，所以这个二次函数的解析式为y ＝－x 2＋x ＋2.图22，二次函数y ＝ax 2－4x ＋c 的图象经过坐标原点，与x 轴交于点A (－4，0)．(1)求二次函数的解析式；(2)在抛物线上存在点P ，满足S △AOP ＝8，请直接写出点P 的坐标．解：(1)由已知条件得：{c ＝0，a ×（－4）2－4×（－4）＋c ＝0，解得{c ＝0，a ＝－1，∴此二次函数的解析式为y ＝－x 2－4x .(2)∵点A 的坐标为(－4，0)，∴AO ＝4.设点P 的坐标为(x ，h )，则S △AOP ＝12AO ·|h |＝12×4×|h |＝8，解得|h |＝4.①当点P 在x 轴上方时，－x 2－4x ＝4，解得x ＝－2，∴点P 的坐标为(－2，4)；②当点P 在x 轴下方时，－x 2－4x ＝－4，解得x 1＝－2＋x2＝－2－∴点P 的坐标为(－2＋24)或(－2－4)，综上所述，点P 的坐标为(－2，4)或(－24)或(－2－4)．如图3，抛物线经过A (－1，0)，B (5，0)，C (0，－52)三点．图3(1)求抛物线的解析式；(2)点M 为x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N ，使A ，C ，M ，N 四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，根据题意，得{a －b ＋c ＝025a ＋5b ＋c ＝0c ＝－52，解得{a ＝12b ＝－2c ＝－52，∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－2x －52；(2)存在．(i)当点N 在x 轴的下方时，如图所示，∵四边形ACNM 是平行四边形，∴CN ∥x 轴，∴点C 与点N 关于对称轴x ＝2对称，∵C 点的坐标为(0，－52)，∴点N 的坐标为(4，－52)．(ii)当点N ′在x 轴上方时，如图所示，作N ′H ⊥x 轴于点H ，∵四边形ACM ′N ′是平行四边形，∴AC ＝M ′N ′，∠N ′M ′H ＝∠CAO ，∴Rt △CAO ≌Rt △N ′M ′H ，∴N ′H ＝OC ，∵点C 的坐标为(0，－52)，∴N ′H ＝52，即点N ′的纵坐标为52，∴12x 2－2x －5＝5，解得x 1＝2x 2＝2∴点N ′的坐标为(2，52)和(2，52)．综上所述，满足题目条件的点N 共有三个，分别为(4，－52)，(2，52)和(2，52)．二 设顶点式y ＝a (x ＋m )2＋k (a≠0)求二次函数的解析式教材P36例4)要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m 处达到最高，高度为3 m ，水柱落地处离池中心3 m ，水管应多长？解：以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x 轴，水管所在直线为y 轴，建立直角坐标系．点(1，3)是这段抛物线的顶点，因此可设这段抛物线对应的函数解析式是y ＝a (x －1)2＋3(0≤x ≤3)．由这段抛物线过点(3，0)，可得0＝a (3－1)2＋3解得a ＝－34因此y ＝－34(x －1)2＋3 (0≤x ≤3)当x ＝0时，y ＝2.25，也就是说，水管应2.25 m 长．【思想方法】若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值)，可设所求二次函数的解析式为y ＝a (x ＋m )2＋k ，将已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式即可． 已知某二次函数的图象如图4所示，则这个二次函数的解析式为( D )A ．y ＝2(x ＋1)2＋8B ．y ＝18(x ＋1)2－8C ．y ＝29(x －1)2＋8 D ．y ＝2(x －1)2－8一抛物线的形状、开口方向与y ＝12x 2－4x ＋3相同，顶点坐标为(－2，1)，则此抛物线的解析式为( C )A ．y ＝12(x －2)2＋1 B ．y ＝12(x ＋2)2－1C ．y ＝12(x ＋2)2＋1 D ．y ＝－12(x ＋2)2＋1【解析】抛物线的形状、开口方向与y ＝12x 2－4x ＋3相同，所以a ＝12.顶点在(－2，1)，所以抛物线的解析式是y ＝12(x ＋2)2＋1. 已知抛物线y ＝x 2－2x ＋c 的顶点在x 轴上，你认为c 的值应为( C )A ．－1B ．0C ．1D ．2【解析】 根据题意得4c －（－2）24×1＝0，所以c ＝1.y ＝x 2－2(m ＋1)x ＋2m 2－m 的对称轴为x ＝3，则m 的值是( B )A ．1B ．2C ．3D ．4三 利用平移规律求二次函数的解析式教材P34思考)抛物线y ＝－12(x ＋1)2，y ＝－12(x －1)2与抛物线y ＝－12x 2有什么关系？解：把抛物线y ＝－12x 2向左平移1个单位，就得到抛物线y ＝－12(x ＋1)2；把抛物线y ＝－12x 2向右平移1个单位，就得到抛物线y ＝－12(x －1)2.【思想方法】(1)可按照口诀“左加右减，上加下减”写出平移后的解析式；(2)平移所得函数的解析式与平移的先后顺序无关．y ＝x 2－4x ＋3的图象向左平移2个单位后所得新抛物线的顶点坐标为( A )A ．(0，－1)B ．(0，－3)C ．(－2，－3)D ．(－2，－1)y ＝x 2＋x 向下平移2个单位，所得新抛物线的解析式是__y ＝x 2＋x －2__．在平面直角坐标系中，将抛物线y ＝x 2－4先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的新抛物线的解析式为( B )A ．y ＝(x ＋2)2＋2B ．y ＝(x －2)2－2C ．y ＝(x －2)2＋2D ．y ＝(x ＋2)2－2y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A (1，0)，B (3，0)，且过点C (0，－3)．(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；(2)请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y ＝－x 上，并写出平移后抛物线的解析式．图5解：(1)∵抛物线与x 轴交于点A (1，0)，B (3，0)，∴可设抛物线解析式为y ＝a (x －1)(x －3)，把C (0，－3)代入得：3a ＝－3， 解得：a ＝－1，故抛物线解析式为y＝－(x－1)(x－3)，即y＝－x2＋4x－3，∵y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，∴顶点坐标为(2，1)；(2)先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的解析式为y＝－x2，平移后抛物线的顶点为(0，0)，落在直线y＝－x上．。
人教版数学九年级上册 求二次函数解析式专项综合全练(二)含答案
2019年人教版数学九年级上册 专项综合全练（二）求二次函数解析式类型一利用“三点式”求二次函数解析式1．（2018福建龙岩上杭月考）已知二次函数的图象经过点(0，3)、（-3，0）、（2，-5）． (1)试确定此二次函数的解析式；(2)请你判断点P （-2，3）是否在这个二次函数的图象上．2．（2017上海闵行一模）已知：在平面直角坐标系x Oy 中，抛物线y=ax ²+bx+c 经过点A(3，0)，B （2，-3），C(0，-3)． (1)求抛物线的表达式；(2)设点D 是抛物线上一点，且点D 的横坐标为-2，求△AOD 的面积． 3．（2019广东广州越秀月考）已知抛物线y= ax ²+bx+c 过点 A(-1,1)，B （4,-6），C(0,2). (1)求此抛物线的函数解析式；(2)该抛物线的对称轴是__________，顶点坐标是____； (3)选取适当的数据，并在直角坐标系内描点画出该抛物线． 类型二利用“顶点式”求二次函数解析式4．（2019四川广安月考）某抛物线的对称轴为直线x=3，y 的最大值为-5，且与的图象开口大小相同，则这条抛物线的解析式为( )A.y=（x+3）²+5B ．y=(x-3)²-5C.y=（x+3）²+52x 21=y 21-21-21D ．y=(x-3)2²-55．已知二次函数y= ax ²+bx +c 中，函数值y 与自变量x 的部分对应值如下表：(1)求该函数的表达式；(2)当y<5时，x 的取值范围是________．6．已知某二次函数图象的顶点坐标为（2，-2），且经过点(3，1)，求此二次函数的解析式，并求出该函数图象与，，轴的交点坐标． 类型三利用“交点式”求二次函数解析式7．（2019安徽合肥包河月考）已知二次函数图象经过A （-5，0），B(3，0)，C （-1，16）三点，求该抛物线的解析式．8．如图22-5-1，抛物线y=ax ²+bx+c 经过A(1，0)，B(4，0)，C(0，3)三点，求抛物线的解析式．图22-5-19．已知二次函数y= ax ²+bx+c 的图象过点A(1，0)，B （-3，0），C （0，-3）． (1)求此二次函数的解析式：(2)在抛物线上存在一点P ，使△ABP 的面积为6，求点P 的坐标．（写出详细的解题过程）21图22-5-2类型四利用“平移规律”求二次函数解析式10.如图22-5-3．将函数y=(x-2) ²+1的图象沿y 轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A(1，m)、B （4，n ）平移后的对应点分别为A ‘、B ’．若曲线段AB 扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是( )图22-5-3A ．y=(x-2) ²-2 B.y=(x-2) ²+7 C ．y=(x-2)²-5 D ．y=(x-2)² +411.将抛物线y=3（x-4）²+2向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后抛物线的解析式是______________.12．如图22-5-4，抛物线y=x ²沿直线y=x向上平移个单位后，顶点在直线y=x 上的M 处，则平移后抛物线的解析式为_______________．21212121212图22-5-413.如图22-5-5，△OAB的OA边在x轴上，其中B点坐标为(3，4)且OB= BA.(1)求经过A，B，0三点的抛物线的解析式：(2)将(1)中的抛物线沿x轴平移，设点A，B的对应点分别为点A’，B’，若四边形ABB’A’为菱形，求平移后的抛物线的解析式．图22-5-514.如图22-5-6所示，直线L经过点A(4，0)和B(O，4)两点，它与二次函数y= ax²的图象在第一象限内交于P点，若△AOP的面积为4．(1)求点P的坐标：(2)求二次函数的解析式：(3)能否将抛物线y=ax²上下平移，使平移后的抛物线经过点A?如果能，请求出平移后抛物线的解析式：如果不能，请说明理由，图22-5-6答案求二次函数解析式类型一利用“三点式”求二次函数解析式1．解析 (1)设此二次函数的解析式为y=ax ²+bx+c ，将(0，3)、（-3，0）、（2，-5）代入y=ax2 +bx+c ，得解得∴此二次函数的解析式是y=-x ²-2x+3． (2)当x=-2时，y=-（-2）²-2x （-2）+3 =3， ∴点P( -2，3)在这个二次函数的图象上．2．解析(1)把A(3，0)，B （2，-3），C （0，-3）代入y=ax ²+ bx+得解得∴该抛物线的解析式为y=x ²-2x-3.(2)把x=-2代入抛物线的解析式得y=5， 即D （-2，5）， ∵A(3，0)，∴OA=3，∴． 3．解析(1)抛物线的解析式为y=ax ²+bx+c ，将点A （-1，1），B （4，-6），C(0，2)分别代入，得解得2155321S AOD =⨯⨯=∆则此抛物线的解析式为．(2)对称轴为直线；∵．∴抛物线的顶点坐标为．(3)其函数图象如下，类型二利用“顶点式”求二次函数解析式 4. B解析；因为抛物线的对称轴为x=3,y 的最大值为-5，所以设抛物线解析式为y=a(x-3)²-5，因为所求抛物线与的图象开口大小相同，而y 有最大值，所以，所以这条抛物线的解析式为．故选B ．5．解析(1)由题表易得二次函数y=ax ²+bx+c 的图象的顶点坐标为(2，1)， 设函数的表达式为y=a （x-2）²+1． 由题意得函数的图象经过点(0，5)， 所以5=a ·（-2）²+1．所以a=1．所以该函数的表达式为y=（x-2）2+1（或y=x ²-4x+5）． (2)由题表所给数据可知二次函数图象的对称轴为x=2． ∴(0，5)和(4，5)均在该函数图象上． 又a=1>0．221y x -=221a x =5)3(21y 2---=x∴当y<5时，对应的x 的取值范围为0<x<4． 故答案为0<x<4．6．解析根据题意，可设二次函数的解析式为y=a （x-2）²-2(a ≠0)， 把(3，1)代入y=a （x-2）²-2，得a(3-2)²-2=1，解得a=3，所以二次函数的解析式为y=3（x-2）²-2(或y=3x ²-12x+10). 当x=0时，y= 3x4-2= 10，所以该函数图象与y 轴的交点坐标为(0，10)． 类型三利用“交点式”求二次函数解析式 7．解析 ∵A （-5，0），B(3，0)， ∴设抛物线解析式为y=a （x-3）（x+5），把C （-1，16）代入得a ·（-1-3）×（- 1+5）=16， 解得a= -1,∴抛物线的解析式为y=-（x-3）(x+5)，即y= -X ²-2x+15．8．解析根据题意，可设抛物线的解析式为y=a （x-1）（x-4）(n ≠0)，把c(0，3)代入得a ．（-1）×（-4）=3，解得a=，所以抛物线的解析式为y=（x-1）（x-4），即y=x ²-+3．9．解析(1)根据题意，可设抛物线的解析式为y=a （x-1）(x+3)(a ≠0)， 把C （0，-3）代入得a ·（-1）x3= -3，解得a=1，所以这个二次函数的解析式为y=（x-1）·（x+3）=x ²+2x-3． (2)∵A(1,0),B( -3,0)．∴AB=4. 设P(m ，n)，∵△ABP 的面积为6．∴AB ·ln l =6，即×4xlnl =6,解得n=±3．当n=3时，m ²+2m-3=3．434343x4152121解得m= - 1+或-1-， ∴P(-1+，3)或P(-1-，3)． 当n= -3时，m ²+2m-3= -3, 解得m=0或m=-2, ∴P(0，-3)或P( -2，-3)．故P （-1+，3）或P （-1-，3）或P(0，-3)或P （-2，-3）． 类型四利用“平移规律”求二次函数解析式 10. D解析：如图，连接AB 、A'B'，则，由平移可知AA ’= BB ’，AA ’∥BB ’， ∴四边形ABB' A ’是平行四边形， 分别延长A ’ A 、B ’ B 交x 轴于点M 、N. ∵A(1，m)、B （4，n ）， ∴MN=4-1=3． ∵,∴9= 3AA ’，解得AA ’=3,即原函数图象沿y 轴向上平移了3个单位，∴新图象的函数表达式为y=(x-2) ²+4．11．答案y=3（x-5）²-177777721解析抛物线y=3（x-4）²+2的顶点坐标为(4，2)，将其向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度所得点的坐标为（5，-1），所以平移后抛物线的解析式为y=3（x-5）²-1． 12.答案y=（x-1）²+1解析 抛物线y=x ²沿直线y=x 向上平移个单位后，顶点在直线y=x 上的M 处．∴M(1，1)，则平移后抛物线的解析式为y=( x-1)²+1． 13．解析(1) ∵B 点坐标为(3，4)且OB= BA ， ∴A(6，0)．设所求抛物线的解析式为y=ax （x-6）， 将(3，4)代入，可得4=a ．3x( 3-6)= -9a ，∴，∴．(2)∵ B(3，4)，A(6，0)， ∴．∵四边形ABB' A ’为菱形， ∴BB'= BA=5．①若抛物线沿x 轴向右平移，则B ’(8，4)，∴平移后抛物线的解析式为y=（-8）²+4；②若抛物线沿x 轴向左平移，则B ’（-2，4），∴平移后抛物线的解析式为y=(x+2)²+4．14．解析(1)设直线l 的解析式为y=kx+b(k ≠0)， ∵直线l 过A(4，0)和B(0，4)两点，∴∴294a -=x x x x 3894)6(94y 2+-=--=94-94-∴y=-x+4 设,∵△AOP 的面积为4．∴∴，∴2= -+4， 解得=2．∴点P 的坐标为(2，2)．(2)把点P(2，2)代入y=ax ²，得2=ax2²，解得，故二次函数的解析式为．(3)能．设将抛物线上下平移后的解析式为+m,把点A(4，0)代入，得0=×4²+m ，解得m= -8．故将抛物线y= ax ²向下平移8个单位长度时，平移后的抛物线经过点A ．平移后抛物线的解析式为-8．21a =221y x =221y x =221y x =21221y x=。
九年级数学求二次函数的解析式
m2 1 2
m1 0
利用二次 函数的定义求 解析式
解之，得： m=-1
这个二次函数的解析式为：
y 2x2 4x 3
2.抛物线 y ax2 bx c 的图象如图所示,
（1）根据图象写出点A、B、C的坐标.
（2）求出这个二次函数的解析式.
y a(x 1)(x 3) (a 0)
3 a(0 1)(0 3)
解之，得 a 1
这个二次函数的解析式为：
y (x 1)(x 3)
3. 一个二次函数的图象过点（0, 1）,它的顶点坐标 是（8, 9）,求这个二次函数的解析式.
解：分设析这：个二已次知函顶数点的坐解标析，式设为顶：点式
4.把函数 y 4(x 1)2 2 的图象沿x轴对折得到的图象
的解析式是 y 4(x 1)2 2
分析： y 4(x 1)2 2
法2：抛物线开口方向改变，
关于x轴对称
y 4( x 1)2 2
张口大小没变
a : 4 4
顶点坐标：（1, 2）
关于x轴对称
被根汉给糟蹋了已经,不过最终の结果,并没有改变,她们还是壹起成为了根汉の女人,只不过这过程却远不如第壹回那样狗血."是呀,他变成了真正の男人,有担当の男人..."阿上叹了口气道："而咱们也早已不是当年青涩の咱们了,现在咱们也步入了壹个新の阶段,有些东西已经烙进咱 们元灵深处了,此生都无法改变了.""蓉蓉,你有后悔过吗?"张素尔问她.阿上笑着反问她："你呢?""没有..."她摇了摇头,无奈の苦笑,"不怕你笑话咱,昨天晚上咱睡觉の时候,还梦到了他呢..."
九年级数学求解析式类型练习题
在求二次函数解析式的过程中，如何灵活应用适合的方法快速准确地解决问题，需要根据题目的条件来确定，现列举如下：1．三点型已知三点坐标求解析式。
例略。
方法：将三点的坐标代入解析式得出三元一次方程组，解方程组，即可得出函数解析式。
2．顶点型已知二次函数的对称轴是x=1，图象上最低点P的纵坐标为-8，图象经过点（-2，10），求这个二次函数的解析式解法一：设所求的解析式为y=ax2+bx+c,则-b2a=14ac-b24a= -84a-2b+c=10解得a= 2b= -4c= -6∴所求解析式为y=2x2-4x-6.解法二：设所求的解析式为y=a(x-h)2+k,则(h,k)为顶点则由已知条件可知y=a(x-1)2+(-8)又∵图象经过(-2,10)∴a(-2-1)2+(-8)=10∴a=2∴所求解析式为y= 2(x -1)2+(-8)=2x2-4x-6.3．交点型已知方程ax2+bx+c=0的两根是-23,12 .抛物线y= ax2+bx+c与经过点P(1, 32)的直线y= kx+n 有一个交点Q(-1, -3),求直线和抛物线的解析式。
解：由题意得：k+n=23-k+n=-3解得k=34n= -94∴所求直线解析式为y=94x -34设所求的二次函数解析式为y= a(x-x1)(x-x2) 则x1和x2为与x轴交点的横坐标则由已知条件可知y= a(x+ 23)(x -12) ,又∵图象经过(-1,-3)∴a(-1+ 23)(-1 -12)= -3∴a = -6∴所求二次函数解析式为y = -6 (-1+ 23)(-1 -12)= -6 x2 -2x +24．平移型二次函数y= mx2+(m-1)x+m-2 (m≠0) 的图象的对称轴方程是x= -1，平移这一抛物线使它经过原点（0，0）和Q（1，2）两点时，求平移后对应的解析式。
解：由顶点坐标公式得：- m-12m= -1∴平移前二次函数的解析式y= -x2 -2x–3∵平移图象所得的抛物线形状和方向不变∴可设平移后二次函数的解析式y= -x2 +bx+c由已知条件可知c=0-1+b+c=2∴c=0,b=3∴平移后二次函数的解析式y= -x2 +3x5．弧长型已知：变量y是x的二次函数，且函数的图象在x轴上切得的线段AB长为4个单位，又知函数图象的顶点坐标为P(3,-2)，求解析式解：∵顶点坐标为P(3,-2)∴对称轴是x=3又∵AB长为4个单位∴A的坐标为(1,0)B的坐标为(5,0)∴设此二次函数的解析式为y = ax2+bx+c则a+b+c=025a+5b+c=09a+3b+c= -2解得：a=0.5b= -3c=2.5∴所求二次函数解析式为y = 0.5x2 -3x+2.56．特定条件型以x为自变量的二次函数，y= -x2+(2m+2)x–(m2 + 4m–3) 中，m为不小于0的整数，它的图象与x轴交于A、B两点，点A在原点左边，点B在原点右边，求解析式解：由题意得：m≥0△=(2m+2)2-4×1×(m2 + 4m–3)>0∴0≤m<2∴整数m为0或1。
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在求二次函数解析式的过程中，如何灵活应用适合的方法快速准确地解决问题，需要根据题目的条件来确定，现列举如下：
1．三点型
已知三点坐标求解析式。
例略。
方法：将三点的坐标代入解析式得出三元一次方程组，解方程组，即可得出函数解析式。
2．顶点型
已知二次函数的对称轴是x=1，图象上最低点P的纵坐标为-8，图象经过点（-2，10），求这个二次函数的解析式
解法一：设所求的解析式为y=ax2+bx+c,则
-
b
2a=1
4ac-b2
4a= -8
4a-2b+c=10
解得
a= 2
b= -4
c= -6
∴所求解析式为y=2x2-4x-6.
解法二：设所求的解析式为y=a(x-h)2+k,则(h,k)为顶点
则由已知条件可知y=a(x-1)2+(-8)
又∵图象经过(-2,10)
∴a(-2-1)2+(-8)=10
∴a=2
∴所求解析式为y= 2(x -1)2+(-8)
=2x2-4x-6.
3．交点型
已知方程ax2+bx+c=0的两根是-
2
3,
1
2 .抛物线y= ax
2+bx+c与经过点P(1, 3
2)的直线y= kx+n 有一个交点Q(-1, -3),求直线和抛物线的解析式。
解：由题意得：
k+n=
2
3
-k+n=-3
解得
k=
3
4
n= -
9
4
∴所求直线解析式为y=
9
4x -
3
4
设所求的二次函数解析式为y= a(x-x1)(x-x2) 则x1和x2为与x轴交点的横坐标
则由已知条件可知y= a(x+ 2
3)(x -
1
2) ,
又∵图象经过(-1,-3)
∴a(-1+ 2
3)(-1 -
1
2)= -3
∴a = -6
∴所求二次函数解析式为y = -6 (-1+ 2
3)(-1 -
1
2)
= -6 x2 -2x +2
4．平移型
二次函数y= mx2+(m-1)x+m-2 (m≠0) 的图象的对称轴方程是x= -1，平移这一抛物线使它经过原点（0，0）和Q（1，2）两点时，求平移后对应的解析式。
解：由顶点坐标公式得：- m-1
2m= -1
∴平移前二次函数的解析式y= -x2 -2x–3
∵平移图象所得的抛物线形状和方向不变
∴可设平移后二次函数的解析式y= -x2 +bx+c
由已知条件可知
c=0
-1+b+c=2
∴c=0,b=3
∴平移后二次函数的解析式y= -x2 +3x
5．弧长型
已知：变量y是x的二次函数，且函数的图象在x轴上切得的线段AB长为4个单位，又知函数图象的顶点坐标为P(3,-2)，求解析式
解：∵顶点坐标为P(3,-2)
∴对称轴是x=3
又∵AB长为4个单位
∴A的坐标为(1,0)
B的坐标为(5,0)
∴设此二次函数的解析式为y = ax2+bx+c
则
a+b+c=0
25a+5b+c=0
9a+3b+c= -2
解得：
a=0.5
b= -3
c=2.5
∴所求二次函数解析式为y = 0.5x2 -3x+2.5
6．特定条件型
以x为自变量的二次函数，y= -x2+(2m+2)x–(m2 + 4m–3) 中，m为不小于0的整数，它的图象与x轴交于A、B两点，点A在原点左边，点B在原点右边，求解析式
解：由题意得：
m≥0
△=(2m+2)2-4×1×(m2 + 4m–3)>0
∴0≤m<2
∴整数m为0或1。
∴当m=0时y= -x2 +2x + 3
当m=1时y= -x2 +4x – 2
又点A在原点左边，点B在原点右边x1 x2<0即当m=1时x1 x2=2要舍去
所以只有m=0
即y= -x2 +2x + 3。