高中数学选修2-2公开课教案1.5.2《汽车行使的路程》
高中数学选修2-2教学设计2：1.5.2 汽车行驶的路程教案
1.5.2 汽车行驶的路程整体设计教材分析求变速直线运动物体的路程也是定积分概念的一个重要背景．与求曲边梯形面积的实例相比，它们只是背景不同，解决问题的思想方法和求解步骤都是相同的，它们的求解过程都蕴含着定积分的基本思想．课时分配1课时教学目标知识与技能目标了解求曲边梯形面积的过程和解决有关汽车行驶路程问题的过程的共同点；感受在其过程中渗透的思想方法：分割、以不变代变、求和、取极限(逼近)．过程与方法目标通过与求曲边梯形的面积进行类比，求汽车行驶路程的有关问题，再一次体会“以直代曲“的思想，以及运用类比的方法研究问题．情感、态度与价值观在体会微积分思想的过程中，体会人类智慧的力量，培养世界是可知的唯物主义的世界观．重点难点重点：掌握求解过程步骤：分割、以不变代变、求和、逼近(取极限)．难点：求解过程的理解．教学方法运用类比的方法引导学生自主探究，归纳总结，在掌握知识的同时提升研究问题的能力．教具准备多媒体、几何画板．教学过程引入新课1．连续函数的概念．2．求曲边梯形面积的基本思想和步骤．3．利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时间的关系，求物体运动速度”的问题．反之，如果已知物体的速度与时间的关系，如何求其在一定时间内经过的路程呢？ 探究新知提出问题1：汽车以速度v 作匀速直线运动时，经过时间t 所行驶的路程为s ＝vt .如果汽车作变速直线运动，在时刻t 的速度为v (t )＝－t 2＋2(t 的单位：h ，v 的单位：km/h)，那么它在0≤t ≤1这段时间内行驶的路程s (单位：km)是多少？活动设计：学生首先独立思考，然后小组交流讨论．提出各自的方法与见解，最终形成可操作的方案．学情预测：学生可能从物理学的角度去思考、处理问题，也可能类比求曲边梯形面积的方法求解．活动成果：如果从物理学的角度去思考、处理问题，由于没有现成的公式可用，于是想到类比求曲边梯形面积的方法求解，体现转化与化归的数学思想．设计意图与求曲边梯形面积类似，采取“以不变代变”的方法，把求变速直线运动的路程问题，化归为求匀速直线运动的路程问题．把区间[0,1]等分成n 个小区间，在每个小区间上，由于v (t )的变化很小，可以近似地看作汽车作匀速直线运动，从而求得汽车在每个小区间上行驶路程的近似值，再求和得s (单位：km)的近似值，最后让n 趋向于无穷大就得到s (单位：km)的精确值．(思想：用化归为各个小区间上匀速直线运动的路程和无限逼近的思想方法求出匀变速直线运动的路程)提出问题2：请同学们按照我们讨论后拟定的方案，类比求曲边梯形面积的方法独立求解．活动设计：类比求曲边梯形的面积，学生独立解决，必要时教师加以指导、提示． 学情预测：学生可能由于对第一节求曲边梯形面积的方法掌握不熟练，导致不能独立完整地解决．活动成果：体会分割、以不变代变、求和、取极限的过程，感受在其过程中渗透的思想方法．解：(1)分割在时间区间[0,1]上等间隔地插入n －1个点，将区间[0,1]等分成n 个小区间：[0，1n ]，[1n ，2n ]，…，[n －1n，1]．记第i 个区间为[i －1n ，i n ](i ＝1,2，…，n )，其长度为Δt ＝i n －i －1n ＝1n. 把汽车在时间段[0，1n ]，[1n ，2n ]，…，[n －1n，1]上行驶的路程分别记作：Δs 1，Δs 2，…，Δs n ，显然，s ＝i ＝1n Δs i . (2)近似代替当n 很大，即Δt 很小时，在区间[i －1n ，i n]上，函数v (t )＝－t 2＋2的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于左端点i －1n 处的函数值v (i －1n )＝－(i －1n)2＋2.从物理意义上看，就是汽车在时间段[i －1n ，i n](i ＝1,2，…，n )上速度的变化很小，不妨认为它近似地以时刻i －1n 处的速度v (i －1n )＝－(i －1n)2＋2做匀速行驶，即在局部小范围内“以匀速代变速”．于是用小矩形的面积ΔS i ′近似地代替ΔS i ，即在局部范围内“以直代曲”，则有ΔS i ≈ΔS i ′＝v (i －1n )·Δt ＝[－(i －1n )2＋2]·1n ＝－(i －1n )2·1n ＋2n(i ＝1,2，…，n )．① (3)求和由①得s n ＝1n i i S =∆∑′＝∑i ＝1nv (i －1n )·Δt ＝∑i ＝1n [－(i －1n )2·1n ＋2n ] ＝－0·1n －(1n )2·1n －…－(n －1n )2·1n＋2 ＝－1n 3[12＋22＋…＋(n －1)2]＋2 ＝－1n 3(n －1)n (2n －1)6＋2＝－13(1－1n )(1－12n)＋2. 从而得到s 的近似值s ≈s n ＝－13(1－1n )(1－12n)＋2. (4)取极限当n 趋向于无穷大时，即Δt 趋向于0时，s n ＝－13(1－1n )(1－12n)＋2趋向于s ，从而有s ＝lim n →∞s n ＝lim n →∞∑i ＝1n1n ·v (i －1n )＝lim n →∞ [－13(1－1n )(1－12n )＋2]＝53. 设计意图通过学生自己独立推导，进一步让学生理解、掌握极限思想，以及分析问题、解决问题的能力，努力培养学生将问题转化为熟悉问题的意识．理解新知提出问题3：结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车行驶的路程s 与由直线t ＝0，t ＝1，v ＝0和曲线v ＝－t 2＋2所围成的曲边梯形的面积有什么关系？活动设计：学生自己结合上一节曲边梯形面积的知识求出曲边梯形面积的表达式，进一步与求出的汽车行驶的路程的表达式比较，发现问题的本质，从而给出求变速直线运动路程的几何解释，即求变速直线运动路程的问题也可以解释成求曲边梯形面积的问题． 活动成果：由于汽车行驶路程的表达式s ＝0lim t ∆→∑i ＝1n v (ξi )Δt ＝lim n →∞∑i ＝1n1n v (ξi )与曲边梯形的面积表达式S ＝0lim x ∆→∑i ＝1n f (ξi )Δx ＝lim n →∞∑i ＝1n 1n f (ξi )在形式上是一致的，因此比较这两个式子，就可以推断出该路程在数值上等于教科书中图所示的曲边梯形面积，即汽车行驶的路程s ＝lim n →∞s n 在数值上等于由直线t ＝0，t ＝1，v ＝0和曲线v ＝－t 2＋2所围成的曲边梯形的面积．一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为v ＝v (t )，那么我们也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，利用“以不变代变”的方法及无限逼近的思想，求出它在a ≤t ≤b 内所作的位移s .设计意图求变速直线运动路程的问题也可以解释成求曲边梯形面积的问题，这样就可以在给出定积分的定义后，直接给出定积分的几何意义． 运用新知例1弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力F (x )＝kx (k 为常数，x 是伸长量)，求弹簧从平衡位置拉长b 所作的功．分析：利用“以不变代变”的思想，采用分割、近似代替、求和、取极限的方法求解． 解：将物体用常力F 沿力的方向移动距离x ，则所作的功为W ＝F ·x .(1)分割在区间[0，b ]上等间隔地插入n －1个点，将区间[0,1]等分成n 个小区间：[0，b n ]，[b n ，2b n ]，…，[(n －1)b n，b ]， 记第i 个区间为[(i －1)b n ，i·b n ](i ＝1,2，…，n )，其长度为Δx ＝i·b n －(i －1)b n ＝b n. 把在分段[0，b n ]，[b n ，2b n ]，…，[(n －1)b n，b ]上所作的功分别记作：ΔW 1，ΔW 2，…，ΔW n .(2)近似代替由条件知：ΔW i ＝F ((i －1)b n )·Δx ＝k ·(i －1)b n ·b n(i ＝1,2，…，n )． (3)求和W n ＝∑i ＝1n k ΔW i ＝∑i ＝1nk·(i －1)b n ·b n ＝kb 2n 2[0＋1＋2＋…＋(n －1)]＝kb 2n 2n (n －1)2＝kb 22(1－1n )． 从而得到W 的近似值W ≈W n ＝kb 22(1－1n)． (4)取极限W ＝lim n →∞W n ＝lim n→∞∑i ＝1nkΔW i ＝lim n →∞ kb 22(1－1n )＝kb 22， 所以弹簧从平衡位置拉长b 所作的功为kb 22. 巩固练习一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，设汽车在时刻t 的速度为v (t )＝－t 2＋5(t 的单位：h ，v 的单位：km/h)，计算这辆汽车在0≤t ≤2这段时间内汽车行驶的路程s (单位：km)．【答案】223. 达标检测已知某物体做直线运动，速度与时间t 满足v (t )＝e t ，求物体在时间区间[0,1]内的运动距离．【答案】e －1.课堂小结1．知识收获：掌握“分割、近似代替、求和、取极限”四个步骤解决问题的方法．2．方法收获：类比方法、数形结合方法．3．思维收获：类比思想、转化思想．布置作业补充练习基础练习1．物体以速度v (t )＝t 2作直线运动，则在时间段[0,1]内运动的路程s 为( )A.13B.12C.1D.162．已知物体做自由落体运动在t 时刻的速度v ＝g t (g 是常数)，求在时间区间[2,4]内物体下落的距离s .【答案】1.A 2.6g拓展练习3．以初速度40 m/s 垂直向上抛一物体，t s 时刻的速度为v ＝40－10t (单位：m/s)，问多少秒后此物体达到最高？最大高度是多少？【答案】4秒后物体达到最高，最大高度是80 m.设计说明求变速直线运动物体的路程也是定积分概念的一个重要背景，与求曲边梯形面积的实例相比，它们只是背景不同，解决问题的方法和步骤是相同的，它们的求解过程都蕴含着定积分的基本思想，所以本节课设计的主要意图是类比思考、自主探索，增强学生自主探究的意识与能力，引导学生类比求曲边梯形面积的过程，让他们自己独立解决问题，以进一步体会定积分的背景、思想和方法，为引入定积分的概念奠定基础．。
人教A版高中数学选修2-2课件1.5.2汽车行驶的路程
抓关键 促规范 1 根据偶函数的图象特征把所求面积转化为y轴右侧图形面 积的2倍． 2 求曲边梯形的顶点坐标以便确定被分割的区间． 3 通过分割、近似代替，求和、取极限求出x＝0，x＝2，y ＝0和y＝x2围成的面积． 4 利用函数之间的关系得出所求面积．
跟踪训练 3．求y＝2与y＝cos x＋1围成的图形的面积．
想一想 2.如果物体作曲线运动，能否用上述方法求它的路程？ 提示：不能．
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 求曲边梯形的面积 例1 求抛物线 f(x)＝1＋x2 与直线 x＝0，x＝1，y＝0 所
围成的平面图形的面积 S. 【解】 (1)分割
把区间[0,1]等分成 n 个小区间i－n 1，ni (i＝1,2，…，n)，其
1＋21n
＋
4.
(4)取极 限
s＝
＝ 81＋1n1＋21n＋4＝8＋4＝12.
所以这段时间内行驶的路程为 12 km.
【名师点评】 把变速直线运动的路程问题，化归为求匀速 直线运动的路程问题，采用方法仍然是分割、近似代替、求 和、取极限，求变速直线运动的路程和曲边梯形的面积，虽 然它们的意义不同，但都可以归纳为求一个特定形式和的极 限，通过这样的背景问题，能更好体会后面所要学习的定积 分的概念．
精彩推荐典例展示
规范解答 利用对称性巧求曲边梯形的面积 (本例题4满分12分)求由抛物线y＝x2与直线y＝4所围成的图形的 面积． 【解】如图，∵y＝x2 为偶函数，图象关于 y 轴对称，∴所求图形的面积应为 y＝x 2(x≥0)与直线 x＝0，y＝4 所围成的图形面
积 S 的 阴影 2 倍，下面求 S 阴影． 2 分
y＝ x2， 由y＝4， 得交点为(2,4)． 4 分
人教版高中数学选修2-2《1.5.2汽车行驶的路程》
1 n( n 1)(2n 1) 3 2 n 6
1 1 1 (1 )(2 ) 2 6 n n 1 1 1 (1 )(1 ) 2 3 n 2n
o
1
t
（4）取极限
S lim S n
n
1 1 5 1 lim (1 )(1 ) 2 n n 2n 3 3
2
v
v(t)=-t2 + 2
汽车行驶的路程等于由t=0,t=1,v=0,
v(t)=-t2 + 2所围成的曲边梯形的面积
o
1
t
得出结论
o
1
t
新课探究
v
以直代曲
v(t)=-t2 + 2
2
在小区间内可以认为汽车
近似于做匀速直线运动.
o
1
t
以不变代变
（1）分割
在区间[0,1]上等间隔地插入 n-1个分点，
1 1 2 n1 0, , , , ..., ,1 等分成n个小区间： n n n n
2
2 2 3 n n
2
v 2
v(t)=-t2 + 2
2 1 n n Sn v t 2 n n n
n 2 3 n n
o
1
2
t
（3）求和
Sn S1 S2 S3 ... Sn
1.5定积分的概念
数学选修2-2人教新课标A版1-5-2汽车行驶的路程课件(18张)
i 1
n
n
=
kb2 n2
0
1
2
n 1
kb2 n2
nn 1
2
kb2 2
1
1 n
从而得到W 的近似值
W
Wn
kb2 2
1
1 n
（4）取极限
W
lim
n
Wn
lim
n
n i 1
Wi
lim
n
kb2 2
1
1 n
kb2 2
所以得到弹簧从平衡位置拉长 b 所作的功为： kb2 2
归纳概括
1.求变速直线运动的物体在某时段内所走过的路
例 弹簧在拉伸过程中,力与伸长量成正比,即力
F(x)=kx (k是常数,x是伸长量).求弹簧从平衡位置
拉长b所做的功.
解： 将物体用常力 沿力的方向移动距离 ，则所 作的功为W=Fx,F(x)=kx
将区间［0,b］ n等分: x b
分点依次为：
n
x0
0,
x1
b n
,
x2
2b n
,...,
xn1
(n
思考 2：结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车行驶的 路程 s 与由直线 t=0，t=1，v=0 和曲线 v=－t2+2 所围成 的曲边梯形的面积有什么关系？
新知探究
图中矩形面积的和就是曲边 梯形的面积，从而汽车行
驶的路程
s
lim
n
sn
在数
值上就等于相应曲边梯形 面积.
v S1 S
2
2
S3 S4 v (t )
1 n
v
i
1 n
lim
n
高二数学 教案 1.5.2汽车行驶的路程导学案人教版_选修2-2
课后作业
1.(课本P45练2)一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，设汽车在时刻 的速度为 （ 的单位： ， 的单位： ），试计算这辆汽车在 这段时间内汽车行使的路程 （单位： ）.
2．变速运动物体的速度 （ ），
若已知其路程是 ，求 的值.
学习评价
1．若 ，那么作匀速（速度为 ）
直线运动的物体在 这段时间内，物体所运动
的路程 是（ ）
A． B． C． D．
2．变速直线运动的物体 （ ）的路程
是（ ）
A． B． C． D．
3．已知某物体运动的速度为 ，则物体从 到 所走过的路程为（ ）
A． B． C． D．
4．以速度 沿直线运动的物体在 到
◆反馈练习
1.(课本P45练1)在上面的第二步“近似替代”中，如果我们认为在每个小时间间隔
上，汽车近似地以时刻 处的速度 作匀速行驶，从而得到汽车行驶的总路程 的近似值，用这种方法能求出 的值吗？这个值也是 吗？
2.（课本P44探究）结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车行驶的路程 与由直线 和曲线 所围成的曲边梯形的面积有什么关系？
第15课时
1.5.2汽车行驶的路程
学习目标
1．掌握求变速直线运动的思想方法和步骤.
2．感知“以不变代变”的思想方法.
学习过程
一、学前准备
◆复习：回忆求曲边梯形的面积的步骤.
二、新课导学
◆探究新知（预习教材P42～P45，找出疑惑之处）
问题1:利用导数我们解决了“已知物体运的关系，如何求其在一定时间内经过的路程呢？
问题2:类比求曲边梯形面积的思想方法和基本步骤，得出求变速直线运动的路程的思想步骤.
新人教A版选修(2-2)1.5.2《汽车行驶的路程》word教案
学校： 临清一中 学科：数学 编写人：李洪涛 审稿人：张林§1.5.2汽车行驶的路程教案教学目标：1．体会求汽车行驶的路程有关问题的过程；2．感受在其过程中渗透的思想方法：分割、以不变代变、求和、取极限（逼近）。
3．了解求曲边梯形面积的过程和解决有关汽车行驶路程问题的过程的共同点；教学重点：掌握过程步骤：分割、以不变代变、求和、逼近（取极限）．教学难点：过程的理解．教学过程：一．创设情景复习：1．连续函数的概念；2．求曲边梯形面积的基本思想和步骤；利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时间的关系，求物体运动速度”的问题．反之，如果已知物体的速度与时间的关系，如何求其在一定时间内经过的路程呢？二．新课讲授问题：汽车以速度v 组匀速直线运动时，经过时间t 所行驶的路程为S vt =．如果汽车作变速直线运动，在时刻t 的速度为()22v t t =-+（单位：km /h ），那么它在0≤t ≤1(单位：h)这段时间内行驶的路程S （单位：km ）是多少？分析：与求曲边梯形面积类似，采取“以不变代变”的方法，把求匀变速直线运动的路程问题，化归为匀速直线运动的路程问题．把区间[]0,1分成n 个小区间，在每个小区间上，由于()v t 的变化很小，可以近似的看作汽车作于速直线运动，从而求得汽车在每个小区间上行驶路程的近似值，在求和得S （单位：km ）的近似值，最后让n 趋紧于无穷大就得到S （单位：km ）的精确值．（思想：用化归为各个小区间上匀速直线运动路程和无限逼近的思想方法求出匀变速直线运动的路程）．解：1．分割在时间区间[]0,1上等间隔地插入1n -个点，将区间[]0,1等分成n 个小区间：10,n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，12,n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…，1,1n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦记第i 个区间为1,(1,2,,)i i i n n n -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其长度为 11i i t n n n -∆=-= 把汽车在时间段10,n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，12,n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…，1,1n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上行驶的路程分别记作： 1S ∆，2S ∆，…，n S ∆显然，1nii S S ==∆∑（2）近似代替当n 很大，即t ∆很小时，在区间1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，可以认为函数()22v t t =-+的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点1i n-处的函数值2112i i v n n --⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从物理意义上看，即使汽车在时间段1,(1,2,,)i i i n n n -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦上的速度变化很小，不妨认为它近似地以时刻1i n -处的速度2112i i v n n --⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭作匀速直线运动，即在局部小范围内“以匀速代变速”，于是的用小矩形的面积i S '∆近似的代替i S ∆，即在局部范围内“以直代取”，则有21112i i i i S S v t n n n ⎡⎤--⎛⎫⎛⎫'∆≈∆=∆=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦2112(1,2,,)i i n n n n -⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭ ①（3）求和由①，21111112n nn n i i i i i i S S v t n n n n ===⎡⎤--⎛⎫⎛⎫'=∆=∆=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑∑ =221111102n n n nn n -⎛⎫⎛⎫----+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=()222311212n n ⎡⎤-+++-+⎣⎦ =()()3121126n n n n ---+=11111232n n ⎛⎫⎛⎫---+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 从而得到S 的近似值 11111232n S S n n ⎛⎫⎛⎫≈=---+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ （4）取极限当n 趋向于无穷大时，即t ∆趋向于0时，11111232n S n n ⎛⎫⎛⎫=---+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭趋向于S ，从而有 1111115lim lim lim 112323n n n n n i i S S v n n n n →∞→∞→∞=-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫===---+= ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑思考：结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车行驶的路程S 与由直线0,1,0t t v ===和曲线22v t =-+所围成的曲边梯形的面积有什么关系？结合上述求解过程可知，汽车行驶的路程lim n n S S →∞=在数据上等于由直线0,1,0t t v ===和曲线22v t =-+所围成的曲边梯形的面积．一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为()v v t =，那么我们也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，利用“以不变代变”的方法及无限逼近的思想，求出它在a ≤t ≤b 内所作的位移S ．三．典例分析例1．弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力()F x kx =（k 为常数，x 是伸长量），求弹簧从平衡位置拉长b 所作的功．分析：利用“以不变代变”的思想，采用分割、近似代替、求和、取极限的方法求解． 解： 将物体用常力F 沿力的方向移动距离x ，则所作的功为W F x =⋅．1．分割在区间[]0,b 上等间隔地插入1n -个点，将区间[]0,1等分成n 个小区间：0,b n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2,b b n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…，()1,n b b n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦记第i 个区间为()1,(1,2,,)i b i b i n nn -⎡⎤⋅=⎢⎥⎣⎦，其长度为()1i b i b b x n n n -⋅∆=-= 把在分段0,b n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2,b b n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…，()1,n b b n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上所作的功分别记作： 1W ∆，2W ∆，…，n W ∆（2）近似代替有条件知：()()11i i b i b b W F x k n n n --⎛⎫∆=⋅∆=⋅⋅⎪⎝⎭ (1,2,,)i n =（3）求和 ()111n n n i i i i b b W W k n n ==-=∆=⋅⋅∑∑=()()22222110121122n n kb kb kb n n n n -⎛⎫++++-==-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭从而得到W 的近似值 2112n kb W W n ⎛⎫≈=- ⎪⎝⎭（4）取极限2211lim lim lim 122nn i n n n i kb kb W W W n →∞→∞→∞=⎛⎫==∆=-= ⎪⎝⎭∑ 所以得到弹簧从平衡位置拉长b 所作的功为：22kb 四．课堂练习1．课本 练习五．回顾总结求汽车行驶的路程有关问题的过程．六．布置作业。
高二人教版数学选修2-2课件：1.5.2 汽车行驶的路程
解析：(1)分割：将 a，b 之间分割成 n 个小区间．设 a＝ x0<x1<x2<…<xi－1<xi<…<xn＝b.记第 i 个区间的长度为Δxi＝xi －xi－1(i＝1，2，…，n)．并在小区间[xi－1，xi]内任取一点 ξi.
(2)近似代替：如果区间很小，由 F 在[xi－1，xi]内变化不 大，可近似看作常力，把 F(ξi)记为这个常力，那么物体从 xi－ 1 到 xi 所做的功ΔWi＝F(ξi)·Δxi(i＝1，2，…，n)．
(i－1)2
＝
54 n3
[12
＋
22
＋
…
＋
(n
－
1)2]
＝
54 n3
·
1 6
பைடு நூலகம்
n(n
－
1)·(2n
－
1)
＝
91－n12－n1.
S＝
Sn＝
91－n12－n1＝18(m)．
【易错剖析】若对质点运动的概念理解不透，则会解错第
(1)小题．因此应掌握以下关系：若速度 v 是时间 t 的常数函数， 则物体作匀速运动；若速度 v 是时间 t 的一次函数，则物体作 匀加速或匀减速运动；速度 v 是时间 t 的二次函数，则物体作 变加速或变减速运动．
单位：m/s.
(1)请根据速度函数描述质点的三种运动状态；
(2)试求这一质点在 3s 内的运动路程．
解析：(1)v(t)＝2t2(0≤t≤3)，说明质点在前 3 s 内做变加速
直线运动；
v(t)＝18(3<t<7)，说明质点在第 3 s～7 s 之间做匀速直线运 动；
v(t)＝－3t＋39(7≤t≤13)，说明质点在第 7 s～13 s 之间做 匀减速直线运动．
人教版高中数学选修2-2学案：1.5.2汽车行驶的路程
1.5.2汽车行驶的路程【学习目标】1.会求较简单的曲边梯形的面积、变速直线运动的路程；2.了解“以直代曲”、“以不变代变”的数学思想方法；3.通过实例（求曲边梯形的面积、变速直线运动的路程等），从问题的情境中了解定积分的实际背景．【新知自学】新知梳理：1.曲边梯形的面积如右图，曲边梯形是指由直线x=a,x=b(a ≠b),_________________和曲线y=f(x)围成的图形（如图①）． 2.求曲边梯形的面积的方法和步骤（1）分割：把区间[a,b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分成一些________________(如图②)； （2）近似代替：对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用_____________的面积代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形的面积的______________(如图②);（3）求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的______________求和；（4）取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个_______________,即为曲边梯形的面积.y=f (x)O b a yxy=f (x)O ba xy图① 图②3.求变速直线运动的位移（路程）如果物体做变速直线运动，速度函数)(t v v =,那么也可以采用_________、_______、___________、__________的方法，求出它在a ≤t ≤b 内所经过的位移s.对点练习：1.把区间[1,3]分成n 等份，所得n 个小区间，每个小区间的长度为( ) A.n 1 B.n 2 C.n3D.n 212.把区间],[b a )(b a <n 等分后，第i 个小区间是( )A.],1[n in i - B.)](),(1[a b n ia b n i --- C.],1[n ia n i a +-+ D.)](),(1[ab nia ab n i a -+--+3.在“近似替代”中，函数)(x f 在区间],[1+i i x x 上的近似值（ ） A.只能是左端点的函数值)(i x f B.只能是右端点的函数值)(1+i x fC.可以是该区间内的任一函数值()∈i i f ξξ(],[1+i i x x ）D.以上答案均正确4．汽车以)(t v v =(函数)(t v v =在),0(+∞上为连续函数)在笔直的公路上行使，在]2,0[内经过的路程为S ,下列说法中正确的是 __________ ．(1)将]2,0[n 等分，若以每个小区间左端点的速度近似替代时，求得的n S 是S 的不足近似值(S S n <)； (2)将]2,0[n 等分，若以每个小区间右端点的速度近似替代时，求得的n S 是S 的过剩近似值(S S n >)； (3)将]2,0[n 等分，当n 很大时，求出的n S 就是S 的准确值；(4)S 的准确值就是由直线0,2,0===v t t 和曲线)(t v v =所围成的图形的面积．【合作探究】典例精析：例1. 求由抛物线y =x 2与x 轴及x =1所围成的平面图形的面积S ．例2.汽车以速度v 组匀速直线运动时，经过时间t 所行驶的路程为S vt =．如果汽车作变速直线运动，在时刻t 的速度为()22v t t =-+（单位：km /h ），那么它在0≤t ≤1(单位：h)这段时间内行驶的路程S （单位：km ）是多少？规律总结：求曲边梯形的面积：（1）思想：以直代曲、逼近；（2）步骤：分割→近似代替→求和→取极限；关键：近似代替；结果：分割越细，面积越精确.【课堂小结】【当堂达标】1.已知函数()f x x =，则函数的图象与直线0,1==y x 所围成的区域的面积为( )A. 21Ｂ.１ Ｃ.２ Ｄ.０ 2.函数f(x)=x 2在区间],1[nin i -上（ ） A.f(x)的值变化很小 B. f(x)的值变化很大 C. f(x)的值不变化D.当n 很大时， f(x) 的值变化很小3．求由直线x=1,x=2,y=0和曲线y=lnx 所围成的图形的面积时的不足近似值是__________；过剩近似值是______________________．【课时作业】1．一质点在作直线运动时,其速度⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-<<≤≤=)137(393)73(18)30(2)(2t t t t t t v (单位：s m /),则此质点在区间_____内作加速度越来越快的变加速运动； 在区间________内作速度为_________匀速运动；在区间______内作加速度大小为_______的匀____ 速运动； 这一质点在这13s 内的运动路程为 ________m ．2．求由直线0,1,0===y x x 和抛物线22x y =所围成的图形的面积．3.已知自由落体物体的运动速度gtv ，求在时间区间[0,t]内物体下落的距离赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：45°4321AC1F B正方形ABCD中，∠EAF=45°∠1=12∠BAD推导说明：1.1在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且∠F AE＝45°，求证：EF＝BE+DF45°DBa+b-aa 45°A BE1.2在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且EF＝BE+DF，求证：∠F AE＝45°DBa +b-aa45°ABE挖掘图形特征：a+bx-aa 45°DEa +b-a45°A运用举例：1．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF =45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM .（1）求证：EF =FM（2）当AE =1时，求EF 的长．DE3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°. （1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.DC变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．DAB CFEDCDC。
高中数学 1.5.1-1.5.2曲边梯形的面积 汽车行驶的路程教案 新人教A版选修2-2
(1)关于曲边梯形面积的定义的教学.
建议教师考虑学生的接受能力,而且从 直观上也比较容易接受矩形等“直边图形”面积 逼近曲边梯形面积的方法.
(2)关于求和符号∑的教学.
建议教师根据学生的实际情况,在讲述相关内容时对求和符号进行适当的介绍.例如:可给出S=ΔS1+பைடு நூலகம்S2+…+ΔSi+…+ΔSn=ΔSi来帮助学生认识求和符号∑.
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获.幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。
1.5.1曲边梯形的面积
1.5.2汽车行驶的路程
教学建议
1.教材分析
本节主要就两类典型问题——求曲边梯形的面积和求物体做变速直线运动的位移进行了详细讨论,利用“以直代曲”“以不变代变”的思想方法,抽象概括出它们的共同特征.引导学生体会定积分的背景、思想和方法,为引入定积分的概念奠定基础.本节的重点是解决两类典型问题的思想方法和步骤.难点是对“以直代曲”“以不变代变”的思想方法的理解.
(1)分割
在区间 [0,b]上等间隔地插入n-1个点,将区间[0,b]等分成n个小区间:
,…,,记第i个区间为(i=1,2,…,n),其长度为Δx=.
把在分段,…,上所做的功分别记作:ΔW1,ΔW2,…, ΔWn.
(2)近似代替
湖南省怀化市湖天中学新课标人教A版数学选修2-2第一章《1.5.2 汽车行驶的路程》教案
1．分割：在区间 上等间隔地插入 个点，将区间 等分成 个小区间：
记第 个区间为 ，其长度
把在分段 ， ，…， 上所作的功分别记作： ， ，…，
（2）近似代替：有条件知：
（3）求和：
=
从而得到 的近似值
（4）取极限：
所以得到弹簧从平衡位置拉长 所作的功为：
①
（3）求和:由①，
= =
= =
从而得到 的近似值
（4）取极限:当 趋向于无穷大时，即 趋向于0时， 趋向于 ，从而有
思考：结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车行驶的路程 与由直线 和曲线 所围成的曲边梯形的面积有什么关系？
结合上述求解过程可知，汽车行驶的路程 在数据上等于由直线 和曲线 所围成的曲边梯形的面积．
四：课堂小结：求汽车行驶的路程有关问题的过程．
五：课后作业：数理报
教学后记：
2．新课讲授
问题3：汽车以速度 组匀速直线运动时，经过时间 所行驶的路程为 ．如果汽车作变速直线运动，在时刻 的速度为 （单位：km/h），那么它在0≤ ≤1(单位：h)这段时间内行驶的路程 （单位：km）是多少？
分析：（思想：用化归为各个小区间上匀速直线运动路程和无限逼近的思想方法求出匀变速直线运动的路程）．
课时计划
教学日期
年 课题
1.5.2汽车行驶的路程
教学班级中级班
三
维
目
标
知识与
技能
了解求曲边梯形面积的过程和解决有关汽车行驶路程问题的过程的共同点；感受在其过程中渗透的思想方法：分割、以不变代变、求和、取极限（逼近）
过程与
方法
通过与求曲边梯形的面积进行类比，求汽车行驶的路程有关问题，再一次体会“以直代曲“的思想
人教版高中数学选修2-21.5.1-1.5.2曲边梯形的面积汽车行驶的路程教案
1.5.1 曲边梯形的面积1.5.2 汽车行驶的行程教课建1.教材剖析本主要就两典型——求曲梯形的面和求物体做速直运的位移行了,利用“以直代曲”“以不代”的思想方法 ,抽象归纳出它的共同特点.引学生领会定分的背景、思想和方法,引入定分的观点确立基.本的要点是解决两典型的思想方法和步.点是“以直代曲”“以不代”的思想方法的理解 . 2.主要与教课建(1)对于曲梯形面的定的教课.建教考学生的接受能力,并且从直上也比简单接受矩形等“直形”面迫近曲梯形面的方法 .(2)对于乞降符号∑的教课 .建教依据学生的状况,在述有关内容乞降符号行适合的介.比如 : 可出S= S1+S2+ ⋯ + S i+ ⋯ + S n=S i来帮助学生乞降符号∑.(3)对于汽行行程的一般表达式.建教注意合理地利用教材旁白中出的行程的一般表达式:s=v (ξi ) t=ξ感到个一般表达式建立刻可 .i ),要修业生能直簧在拉伸的程中 ,力与伸量成正比,即力 F(x)=kx (k 常数 ,x 是伸量 ), 求将簧从均衡地点拉b 所做的功 .解: 将物体用常力 F 沿力的方向拖距离x,所做的功 W=F ·x.(1)切割在区 [0,b]上等隔地插入n-1 个点 ,将区 [0,b] 平分红 n 个小区 :,⋯ ,,第 i 个区 (i= 1,2,⋯,n),其度 x=.把在分段 ,⋯ ,上所做的功分作: W1, W2,⋯,nW .(2)近似取代取各小区的左端点函数作小矩形的高 ,由条件知 :W i≈F·Δx=k ·(i= 1,2,⋯ ,n).(3)乞降W n= W i≈k·= [0 + 1+ 2+ ⋯+ (n-1)]=.进而得到 W 的近似W=W n≈.(4)取极限W=W n=W i= ,因此将簧从均衡地点拉 b 所做的功 .。
高中数学高中数学选修22公开课教案1.5.2《汽车行使的路程》
1.5.2 汽车行使的路程教学目标：通过探求汽车行使的路程，使学生了解定积分的实际背景，了解“以不变代变”“逼近”的思想方法，建立微积分的概念的认识基础.教学重点：了解定积分的基本思想“以不变代变” “逼近”的思想.教学难点：“以不变代变” “逼近”的思想的形成求和符号∑教学过程：思考1：已知物体运动路程与时间的关系怎样求物体的运动速度？例如 S (t )=3t 2+2. 则v (t )= S ´(t )=6t +0.思考2：已知物体运动速度为v (常量)及时间t ，怎么求路程？S =vt 直接求出思考3：如果汽车作匀速直线运动，在时刻t 的速度为v (t )=- t 2+2.那么它在0≤t ≤1这段时间内行驶的路程S 是多少呢？思考4：结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车行驶的路程S 由直线t =0，t =1，v =0和曲线v =- t 2+2所围成的曲边梯形的面积有什么关系？ 图中矩形面积和就是曲边梯形的面积，从而汽车行驶的路程n n S S ∞→=lim 在数值上就等于相应曲边梯形面积.思考5：在上面的第二步“近似代替”中，如果我们认为在每个小时间间隔)21](1[n i n i n i ，，，， =-上，汽车进似地以时刻n i 处的速度2)()(2+-=ni n i v 作匀速行驶，从而得到汽车行驶的总路程s 的近似值，用这种方法能求出s 的值吗？若能求出，这个值也是35吗？ 练习：P45面练习第2题.思考：怎样求上式中汽车在2≤t ≤4这段时间行驶的路程？高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。
考生可依自己的解题习惯和基本功，选择执行“六先六后”的战术原则。
1.先易后难。
2.先熟后生。
3.先同后异。
先做同科同类型的题目。
4.先小后大。
先做信息量少、运算量小的题目，为解决大题赢得时间。
5.先点后面。
高考数学解答题多呈现为多问渐难式的“梯度题”，解答时不必一气审到底，应走一步解决一步，步步为营，由点到面。
人教版数学高二选修2-2教案1.5.2汽车行驶的路程
1.5.2 汽车行驶的路程教学目标：1．体会求汽车行驶的路程有关问题的过程；2．感受在其过程中渗透的思想方法：分割、以不变代变、求和、取极限（逼近）。
3．了解求曲边梯形面积的过程和解决有关汽车行驶路程问题的过程的共同点；教学重点：掌握过程步骤：分割、以不变代变、求和、逼近（取极限）．教学难点：过程的理解．教学过程：1．连续函数的概念；2．求曲边梯形面积的基本思想和步骤；利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时间的关系，求物体运动速度”的问题．反之，如果已知物体的速度与时间的关系，如何求其在一定时间内经过的路程呢？交流点拨问题引入：汽车以速度v 组匀速直线运动时，经过时间t 所行驶的路程为S vt =．如果汽车作变速直线运动，在时刻t 的速度为()22v t t =-+（单位：km/h ），那么它在0≤t ≤1(单位：h)这段时间内行驶的路程S （单位：km ）是多少？分析：与求曲边梯形面积类似，采取“以不变代变”的方法，把求匀变速直线运动的路程问题，化归为匀速直线运动的路程问题．把区间[]0,1分成n 个小区间，在每个小区间上，由于()v t 的变化很小，可以近似的看作汽车作于速直线运动，从而求得汽车在每个小区间上行驶路程的近似值，在求和得S （单位：km ）的近似值，最后让n 趋紧于无穷大就得到S （单位：km ）的精确值．（思想：用化归为各个小区间上匀速直线运动路程和无限逼近的思想方法求出匀变速直线运动的路程）．1．分割在时间区间[]0,1上等间隔地插入1n -个点，将区间[]0,1等分成n 个小区间：10,n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，12,n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…，1,1n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦记第i 个区间为1,(1,2,,)i i i n n n -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其长度为11i i t n n n -∆=-= 把汽车在时间段10,n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，12,n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…，1,1n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上行驶的路程分别记作： 1S ∆，2S ∆，…，n S ∆显然，1n i i S S==∆∑.2. 近似代替当n 很大，即t ∆很小时，在区间1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，可以认为函数()22v t t =-+的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点1i n-处的函数值2112i i v n n --⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从物理意义上看，即使汽车在时间段1,(1,2,,)i i i n n n -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦上的速度变化很小，不妨认为它近似地以时刻1i n -处的速度2112i i v n n --⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭作匀速直线运动，即在局部小范围内“以匀速代变速”，于是的用小矩形的面积i S '∆近似的代替i S ∆，即在局部范围内“以直代取”，则有21112i i i i S S v t n n n ⎡⎤--⎛⎫⎛⎫'∆≈∆=∆=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦2112(1,2,,)i i n n n n -⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭①3. 求和由①，21111112n nn n i i i i i i S S v t n n n n ===⎡⎤--⎛⎫⎛⎫'=∆=∆=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑∑ =221111102n n n n n n -⎛⎫⎛⎫----+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=()222311212n n ⎡⎤-+++-+⎣⎦=()()3121126n n n n ---+=11111232n n ⎛⎫⎛⎫---+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭从而得到S 的近似值 11111232n S S n n ⎛⎫⎛⎫≈=---+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 4. 取极限 当n 趋向于无穷大时，即t ∆趋向于0时，11111232n S n n ⎛⎫⎛⎫=---+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭趋向于S ，从而有 1111115lim lim lim 112323n n n n n i i S S v n n n n →∞→∞→∞=-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫===---+= ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑ 思考：结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车行驶的路程S 与由直线0,1,0t t v ===和曲线22v t =-+所围成的曲边梯形的面积有什么关系？结合上述求解过程可知，汽车行驶的路程lim n n S S →∞=在数据上等于由直线0,1,0t t v ===和曲线22v t =-+所围成的曲边梯形的面积．一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为()v v t =，那么我们也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，利用“以不变代变”的方法及无限逼近的思想，求出它在a ≤t ≤b 内所作的位移S ．拓展建构例1：弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力()F x kx =（k 为常数，x 是伸长量），求弹簧从平衡位置拉长b 所作的功．分析：利用“以不变代变”的思想，采用分割、近似代替、求和、取极限的方法求解． 解： 将物体用常力F 沿力的方向移动距离x ，则所作的功为W F x =⋅．（1）分割在区间[]0,b 上等间隔地插入1n -个点，将区间[]0,1等分成n 个小区间：0,b n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2,b b n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…，()1,n b b n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦记第i 个区间为()1,(1,2,,)i b i b i n n n -⎡⎤⋅=⎢⎥⎣⎦，其长度为()1i b i b b x n n n -⋅∆=-= 把在分段0,b n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2,b b n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…，()1,n b b n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上所作的功分别记作： 1W ∆，2W ∆，…，n W ∆（2）近似代替有条件知：()()11i i b i b b W F x k n n n --⎛⎫∆=⋅∆=⋅⋅⎪⎝⎭(1,2,,)i n =（3）求和 ()111n n n i i i i b b W W k n n ==-=∆=⋅⋅∑∑ =()()22222110121122n n kb kb kb n n n n -⎛⎫++++-==-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭从而得到W 的近似值 2112n kb W W n ⎛⎫≈=- ⎪⎝⎭（4）取极限2211lim lim lim 122nn i n n n i kb kb W W W n →∞→∞→∞=⎛⎫==∆=-= ⎪⎝⎭∑ 所以得到弹簧从平衡位置拉长b 所作的功为：22kb 课堂小结教学反思。
1.5.2汽车的行驶路程教案
例1．弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力 （ 为常数， 是伸长量），求弹簧从平衡位置拉长 所作的功．
分析：利用“以不变代变”的思想，采用分割、近似代替、求和、取极限的方法求解．
解：将物体用常力 沿力的方向间 上等间隔地插入 个点，将区间 等分成 个小区间：
思考：结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车行驶的路程 与由直线 和曲线 所围成的曲边梯形的面积有什么关系？
结合上述求解过程可知，汽车行驶的路程 在数据上等于由直线 和曲线 所围成的曲边梯形的面积．
一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为 ，那么我们也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，利用“以不变代变”的方法及无限逼近的思想，求出它在a≤ ≤b内所作的位移 ．
， ，…，
记第 个区间为 ，其长度为
把在分段 ， ，…， 上所作的功分别记作：
， ，…，
（2）近似代替
有条件知：
（3）求和
=
从而得到 的近似值
（4）取极限
所以得到弹簧从平衡位置拉长 所作的功为：
四：课堂小结
求汽车行驶的路程有关问题的过程
备课札记
教学反思
????11iibibbwfxknnn???????????????12in??3求和??111nnniiiibbwwknn??????????????22222110121122nnkbkbkbnnnn????????????????????从而得到w的近似值2112nkbwwn?????????4取极限2211limlimlim122nninnnikbkbwwwn????????????????????所以得到弹簧从平衡位置拉长b所作的功为
2019-2020学年高二数学 1.5.2汽车行驶的路程学案 新人教A版选修2-2
1．5.2 汽车行驶的路程1．了解求汽车变速行驶的路程的方法．2．了解“以不变代变”和逼近的思想，借助物体运动的实际背景体会定积分的基本思想．基础梳理1．如果物体按规律s ＝s (t )运动，则物体在时刻t 0的瞬时速度为s ′(t 0)． 想一想：如果物体按规律s ＝2t 2运动，则物体在时刻t ＝2的瞬时速度为8． 2．汽车做匀速直线运动时，速度v 关于时间t 的关系式为v ＝v 0，物体经过时间t 所行驶的路程为s ＝v 0t ．想一想：物体以v ＝20 km/h 的速度做匀速直线运动，经过3小时物体经过的路程为60_km ．3．当物体做匀加速直线运动时，速度v 关于时间t 的关系式为v ＝v 0＋kt ，此时在0＜t ＜a 时段中物体经过的路程为s ＝v 0a ＋ka 22＝v 0＋（v 0＋ka ）2a ．想一想：(1)物体做匀加速直线运动时，速度v 关于时间t 的关系式为v ＝2＋t ，此时在0＜t ＜6时段中物体经过的路程为______．(2)求物体做变速直线运动的路程的具体步骤有哪些？ 答案：(1)30(2)①分割；②近似代替；③求和；④取极限． 自测自评1．一物体沿直线运动，其速度v (t )＝t ，这个物体在t ＝0到t ＝1这段时间内所走的路程为(B )A.13B.12 C ．1 D.32解析：曲线v (t )＝t 与直线t ＝0，t ＝1，横轴围成的三角形面积S ＝12，即为这段时间内物体所走的路程．2．已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所示)．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是(A)A．在t1时刻，甲车在乙车前面B．t1时刻后，甲车在乙车后面C．在t0时刻，两车的位置相同D．t0时刻后，乙车在甲车前面解析：由图象可知，曲线v甲比v乙在0～t0、0～t1与x轴所围成图形面积大，则在t0、t1时刻，甲车均在乙车前面，故选A.3．汽车以速度v做匀速直线运动是地，经过时间t所行驶的路程s＝vt，如果汽车做匀速直线运动，在时刻t的速度为v(t)＝t2＋2(单位：km/h)，则该汽车在1≤t≤2这段时间内行驶的路程可用一个平面图形的面积来表示，则围成该图形的直线和曲线分别是___ ______________________．解析：围成该图形的直线和曲线分别是t＝1，t＝2，v＝0，v＝t2＋2.答案：t＝1，t＝2，v＝0，v＝t2＋2基础巩固1．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是(A)解析：汽车加速行驶时，相同的时间内汽车走过的路程越来越多，曲线呈加速上升状态，曲线的切线的斜率也越来越大；汽车减速行驶时，相同的时间内汽车走过的路程越来越少，曲线呈减速下降状态，曲线的切线的斜率也越来越小．点评：加速行驶时速度越来越大，曲线的切线的斜率也越来越大，减速行驶时速度越来越小，曲线的切线的斜率也越来越小．常用此法来判断物体运动的路程—时间曲线的变化情况．2．如果物体按规律s ＝t n运动，在时刻t ＝1时的瞬时速度为3，则n 为(C ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析：s ′(t )＝ntn －1，t ＝1时，n ＝3.故选C.3．汽车以v ＝(3t ＋2) m/s 做变速直线运动，在第1 s 到第2 s 间的1 s 内经过的路程是(C )A ．7 mB ．6.8 mC ．6.5 mD ．6.3 m解析：将[1，2]n 等分，并取每个小区间的左端点的速度近似代替，则Δt ＝1n，v (t i )＝v ⎝⎛⎭⎪⎫1＋i －1n ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i －1n ＋2＝3n(i －1)＋5. 所以s n ＝∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤3n （i －1）＋5·1n＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫3n[0＋1＋2＋…＋（n －1）]＋5n ·1n＝3n 2n （n －1）2＋5＝32⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋5， 所以s ＝s n ＝32＋5＝6.5(m)．4．已知某物体运动的速度v ＝2t －1，t ∈[0，10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程的近似值为________．解析：由题意知，物体运动的路程即为这10个小矩形的面积和，即S ＝1＋3＋5＋…＋19＝1＋192×10＝100.答案：100 能力提升5．汽车以10米/秒的速度行驶，在某处需要减速停车，设汽车以加速度－2米/秒2刹车，若把刹车时间5等分，则从开始刹车到停车，汽车刹车距离的过剩估计值(取每个小区间的左端点对应的函数值)为(D )A ．80米B ．60米C ．40米D ．30米解析：由题意知，v (t )＝v 0＋at ＝10－2t .令v (t )＝0，得t ＝5，即t ＝5秒时，汽车将停车．将区间[0，5]5等分，用每个小区间的左端点的函数值近似替代每个小区间上的平均速度，可得汽车刹车距离的过剩近似值为S ＝(10＋10－2×1＋10－2×2＋10－2×3＋10－2×4)×1＝30(米)．6．若做变速直线运动的物体v (t )＝t 2，在0≤t ≤a 内经过的路程为9，则a 的值为(C ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：将区间[0，a ]分为等长的n 个小区间，第i 个区间记为⎣⎢⎡⎦⎥⎤（i －1）a n ，ia n (i ＝1，2，…，n )，取每个小区间的右端点的速度近似代替，则Δt ＝a n，所以v (t i )＝(ian)2，s n ＝∑i ＝1n⎝⎛⎭⎪⎫ia n 2·a n ＝a3n 3(1＋22＋…＋n 2)＝a 3n （n ＋1）（2n ＋1）6n 3＝a 36⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ， 于是s ＝s n ＝a 36⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ＝a 33＝9， 得a ＝3.故选C.7．汽车作直线运动，前2小时的速度是v ＝110 km/h ，后3小时的速度是v ＝80 km/h ，则5小时内汽车行驶的路程为________．解析：路程s ＝2×110＋3×80＝460 (km)． 答案：460 km8．汽车以v ＝(3t ＋2)m/s 做变速直线运动时，第1 s 到第2 s 间的1 s 内经过的路程是________m.解析：由题意知，所求路程为直线x ＝1，x ＝2，y ＝0与y ＝3x ＋2所围成的直角梯形的面积，故S ＝12×(5＋8)×1＝6.5.答案：6.59．若一辆汽车的速度—时间曲线如下图所示， 求汽车在这1 min 行驶的路程．解析：求汽车在这1 min 行驶的路程，就是求梯形ABCO 的面积．s ＝30＋602×30＝1 350 (m)． 10．若物体做变速运动，速度v 关于时间t 的关系式为v ＝3t 2，求物体在0＜t ＜2时段中行驶的路程．解析：仿照例2，按分割、近似代替、求和、取极限的解题步骤进行，解得行驶的路程为8.。
人教版高中数学选修2-21.5.2汽车行驶的路程学案
1．5.2汽车行驶的行程1．认识求汽车变速行驶的行程的方法．2．认识“以不变代变”和迫近的思想，借助物体运动的实质背景领会定积分的基本思想．基础梳理1．假如物体按规律 s＝ s(t)运动，则物体在时辰t0的刹时速度为 s′(t0)．想想：假如物体按规律s＝ 2t2运动，则物体在时辰t＝ 2 的刹时速度为 8．2．汽车做匀速直线运动时，速度v 对于时间 t 的关系式为 v＝ v0，物体经过时间 t 所行驶的行程为 s＝ v0 t．想想：物体以 v＝20km/h的速度做匀速直线运动，经过3小时物体经过的行程为60_km．3．当物体做匀加快直线运动时，速度v 对于时间 t 的关系式为 v＝ v0＋ kt，此时在 0＜t＜a 时段中物体经过的行程为s＝v0 a＋ka2＝v0＋（ v0＋ ka）22a．想想： (1) 物体做匀加快直线运动时，速度v 对于时间 t 的关系式为 v＝ 2＋ t，此时在0＜ t＜6 时段中物体经过的行程为 ______．(2)求物体做变速直线运动的行程的详细步骤有哪些？答案： (1)30(2)①切割；②近似取代；③乞降；④取极限．自测自评1．一物体沿直线运动，其速度 v(t)＝ t，这个物体在 t＝ 0 到 t＝1这段时间内所走的行程为(B)1 B.1C． 13A. 32 D.21分析：曲线 v(t)＝ t 与直线 t＝ 0， t＝ 1，横轴围成的三角形面积S＝2，即为这段时间内物体所走的行程．2．已知甲、乙两车由同一同点同时出发，并沿同一路线(假设为直线 )行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和 v 乙(以下图 )．那么对于图中给定的t 0和 t1，以下判断中必定正确的是 (A)A ．在 t1时辰，甲车在乙车前方B．t 1时辰后，甲车在乙车后边C．在 t0时辰，两车的地点同样D． t0时辰后，乙车在甲车前方分析：由图象可知，曲线v 甲比 v 乙在 0～ t0、0～ t1与 x 轴所围成图形面积大，则在t0、t1时辰，甲车均在乙车前方，应选 A.3．汽车以速度v 做匀速直线运动是地，经过时间t 所行驶的行程s＝ vt，假如汽车做匀速直线运动，在时辰t 的速度为v(t)＝t 2＋ 2(单位： km/h)，则该汽车在1≤t≤2这段时间行家驶的行程可用一个平面图形的面积来表示，则围成该图形的直线和曲线分别是___ ______________________ ．分析：围成该图形的直线和曲线分别是t＝ 1， t＝ 2， v＝0， v＝ t2＋ 2.答案： t＝ 1， t＝ 2， v＝ 0， v＝ t2＋2基础巩固1．汽车经过启动、加快行驶、匀速行驶、减速行驶以后泊车，若把这一过程中汽车的行驶行程 s 看作时间 t 的函数，其图象可能是 (A)分析：汽加快行，同样的内汽走的行程愈来愈多，曲呈加快上涨状，曲的切的斜率也愈来愈大；汽减速行，同样的内汽走的行程愈来愈少，曲呈减速降落状，曲的切的斜率也愈来愈小．点：加快行速度愈来愈大，曲的切的斜率也愈来愈大，减速行速度愈来愈小，曲的切的斜率也愈来愈小．常用此法来判断物体运的行程—曲的化情况．2．假如物体按律s＝ t n运，在刻 t＝ 1 的瞬速度3， n (C)A ． 1B． 2C． 3D． 4分析： s′(t)＝ nt n－1，t ＝ 1 ， n＝ 3.故 C.3．汽以 v＝ (3t＋ 2) m/s 做速直运，在第 1 s 到第 2 s 的 1 s 内的行程是 (C)A ． 7 mB ． 6.8 mC．6.5 m D． 6.3 m分析：将 [1， 2] n平分，并取每个小区的左端点的速度近似取代，t ＝1， v(t i) ＝nv 1＋i－1＝ 3 1＋i －1＋2＝3(i－ 1)＋ 5.n n nn31因此 s n＝i＝ 1n（ i－ 1）＋ 5· n31＝n[0＋ 1＋2＋⋯＋（ n－1）] ＋5n· n3 n（ n－1）31＋ 5，＝ 22＋ 5＝21－nn因此 s＝s n＝32＋ 5＝ 6.5(m) ．4．已知某物体运的速度v＝ 2t－ 1， t∈ [0， 10]，若把区10 平分，取每个小区右端点的函数近似小矩形的高，物体运的行程的近似________．分析：由意知，物体运的行程即10 个小矩形的面和，即S＝1＋ 3＋5＋⋯＋19＝1＋19× 10＝ 100.2答案： 100能 力 提 升5．汽 以10 米 /秒的速度行 ，在某 需要减速停 ， 汽 以加快度－2 米/秒2 刹，若把刹5 平分， 从开始刹 到停 ，汽 刹 距离的 剩估(取每个小区的左端点 的函数) (D)A ．80 米B ． 60米C ．40米D ．30 米分析：由 意知，v(t)＝ v 0＋at ＝ 10－ 2t.令 v(t) ＝0，得 t ＝ 5，即 t ＝ 5 秒 ，汽 将停 ．将区 [0，5]5 平分，用每个小区 的左端点的函数 近似代替每个小区 上的均匀速度，可得汽 刹 距离的 剩近似S ＝ (10＋ 10－2×1＋ 10－2×2＋ 10－ 2×3＋ 10－ 2× 4) ×1＝ 30(米 )．6．若做 速直 运 的物体v(t)＝ t 2，在 0≤t ≤a 内 的行程 9， a 的 (C)A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4分析：将区 [0，a] 分 等 的 n 个小区 ，第 i 个区（ i －1） a ian， n (i ＝ 1，2，⋯，n)，取每个小区 的右端点的速度近似取代，t ＝ a ，因此 v(t i )＝(ia)2，nn＝ nia 2 a a 32＋ ⋯ ＋ n2 a 3n （ n ＋ 1）（ 2n ＋ 1） a 31 1，n· ＝ 3)＝3＝ 6 1＋ n 2＋n s ni ＝1n n (1＋ 26na 311a 3于是 s ＝s n ＝61＋n 2＋n ＝ 3＝9，得 a ＝3.故 C.7．汽 作直 运 ，前2 小 的速度是v ＝ 110 km/h ，后 3 小 的速度是v ＝80 km/h ，5 小 内汽 行 的行程________．分析：行程s ＝ 2×110＋3×80＝ 460 (km) ．答案： 460 km8．汽 以v ＝ (3t ＋ 2)m/s做 速直 运 ，第1 s 到第2 s 的1 s 内 的行程是________m.分析：由 意知，所求行程 直x ＝ 1，x ＝ 2， y ＝ 0 与 y ＝3x ＋ 2 所 成的直角梯形的面 ，故S ＝12× (5＋ 8) ×1＝6.5.答案： 6.59．若一 汽 的速度 — 曲 以下 所示， 求汽 在 1 min 行 的行程．分析：求汽车在这 1 min 行驶的行程，就是求梯形ABCO 的面积．30＋ 60s＝× 30＝1 350 (m)．10．若物体做变速运动，速度v 对于时间t 的关系式为v＝3t2，求物体在0＜ t＜ 2 时段中行驶的行程．分析：模仿例2，按切割、近似取代、乞降、取极限的解题步骤进行，解得行驶的行程为 8.。
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- 1 - 1.5.2 汽车行使的路程
教学目标：通过探求汽车行使的路程，使学生了解定积分的实际背景，了解“以不变代变”
“逼近”的思想方法，建立微积分的概念的认识基础.
教学重点：了解定积分的基本思想“以不变代变” “逼近”的思想.
教学难点：“以不变代变” “逼近”的思想的形成求和符号∑
教学过程：
思考1：已知物体运动路程与时间的关系怎样求物体的运动速度？
例如 S (t )=3t 2+2. 则v (t )= S ´(t )=6t +0.
思考2：已知物体运动速度为v (常量)及时间t ，怎么求路程？
S =vt 直接求出
思考3：如果汽车作匀速直线运动，在时刻t 的速度为v (t )=- t 2+2.那么它在0≤t ≤1这段时间内行驶的路程S 是多少呢？
思考4：结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车行驶的路程S 由直线t =0，t =1，v =0和曲线v =- t 2+2所围成的曲边梯形的面积有什么关系？ 图中矩形面积和就是曲边梯形的面积，从而汽车行驶的路程n n S S ∞
→=lim 在数值上就等于相应曲边梯形面积.
思考5：在上面的第二步“近似代替”中，如果我们认为在每个小时间间隔
)21](1[n i n i n i ，，，， =-上，汽车进似地以时刻n i 处的速度2)()(2+-=n
i n i v 作匀速行驶，从而得到汽车行驶的总路程s 的近似值，用这种方法能求出s 的值吗？若能求出，这个值也是3
5吗？ 练习：P45面练习第2题.
思考：怎样求上式中汽车在2≤t ≤4这段时间行驶的路程？。